UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA N° 5 CÁLCULO I

Profesor: Carlos Ruz Leiva

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

Las funciones más usadas en Cálculo son las siguientes:

1. Función lineal: Forma general nmxxf +=)( , donde m es la pendiente de la recta y

n es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y. La siguiente figura

muestra una recta cualquiera.

Ejemplo: Determine la pendiente y la intersección con el eje Y de las siguientes rectas:

(a) 32 −= xy , (b) 754 =− yx .

Solución:

(a) Comparando 32 −= xy con la forma general nmxxf +=)( , concluimos que

2=m y 3−=n . Es decir, la pendiente de la recta es 2=m y corta al eje Y en el

punto )3,0(),0( −=n .

(b) Escribimos la ecuación 754 =− yx , en la forma 57

54

−= xy , de donde se deduce

que 5/4=m y que 5/7−=n .

Usando Maple: (a)

> y:=2*x-3; := y − 2 x 3

> plot(y,x=-2..5);

(b)

> y:=4/5*x-7/5;

:= y − 45 x

75

> plot(y,x=-2..4);

Ejercicios:

1. Determine la pendiente y la intersección en y de la recta, y obtenga su gráfica.

(a) 3=+ yx , (b) 03 =+ yx , (c) 0131

21

=+− yx , (d) 1243 =− yx .

2. Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce x hornos

con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación

000,36 += xy ( y en dólares).

a) Trace la gráfica de esta ecuación.

b) ¿Qué representan la pendiente y la intersección en y de esta gráfica?

3. Se proporcionan ecuaciones (i) y (ii) para la oferta y la demanda.

a) Trace la gráfica de las dos ecuaciones en un rectángulo de visualización

apropiado.

b) Estime el punto de equilibrio de la gráfica .

c) Estime el precio y la cantidad de la mercancía producida y vendida en el

punto de equilibrio.

(i) Oferta: 445.0 += py

Demanda: 2865.0 +−= py

(ii) Oferta: 455.8 += py

Demanda: 3006.0 +− p .

2. Función cuadrática. Forma general cbxaxxf ++= 2)( .

Gráfica de la función cuadrática, que muestra el vértice y la intersección con el eje Y.

Ejemplo:

1. Trace la gráfica de la función cuadrática 32)( 2 +−= xxf .

Solución:

Para esta función tenemos que 2−=a , 0=b y 3=c . Como 0<a , la concavidad de la

función (parábola) apunta hacia abajo. Como 3=c , la función corta al eje Y, en este

valor de la ordenada. El vértice de la parábola es ) 4/)4( , 2/( 2 aacbabV −−− =

) 3 , 0 () )2(4/)3)(2(4)0(( , )2(2/0( 2 VV =−−−−−− . El gráfico se obtiene, directamente

o usando Maple.

> f(x):=-2*x^2+3;

:= ( )f x − + 2 x2 3

> plot(f(x),x=-3..3,y=-15..10);

¿Cuál es el valor máximo de esta función?

2. Determine el valor máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones

cuadráticas.

a) xxxf 4)( 2 += , b) 542)( 2 −+−= xxxf .

Solución:

a) En este caso a = 1, b = 4 y c = 0. Por lo tanto, el vértice de la parábola es

) 4/)4( , 2/( 2 aacbabV −−− = ) )1(4/))0)(1(4)4(( , )1(2/)4(( 2 −−−V =

) 4 , 2( −−V . Es decir, como 0>a , en el vértice ( 2−=x ) , tenemos un

mínimo de valor 4)2( −=−f .

Usando Maple:

> f(x):=x^2+4*x;

:= ( )f x + x2 4 x

> plot(f(x),x=-6..2,y=-6..10);

b) Observe que en el vértice abx

2−

= , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

abf

2 es el valor máximo si 0<a ,

mientras que, es el valor mínimo si 0>a .

Para este ejemplo 2−=a , 4=b . Luego, en abx

2−

= = 1)2(2)4(

=−

− , tenemos un

máximo de valor ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

abf

2 = 35)1(4)1(2)1( 2 −=−+−=f , ya que 0<a .

Comprobación, usando Maple:

> f(x):=-2*x^2+4*x-5;

:= ( )f x − + − 2 x2 4 x 5

> plot(f(x),x=-1..3,y=-10..2);

Ejercicios:

1. Trace la gráfica de la parábola dada y determine las coordenadas de su vértice y de

sus intersecciones.

a) 862 ++= xxy , b) 57202 2 +−= xxy , c) 263 2 −+−= xxy .

2. Determine el valor máximo o mínimo de la función dada.

a) 1)( 2 ++= xxxf , b) 2749100)( tttf −−= , c) 6221)( 2 −+= xxxf .

3. Determine la función cuya gráfica sea una parábola con vértice (1,-2) y que pase

por el punto (4,16).

4. Si se lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de 40 pies/s, su altura (en pies)

después de t segundos está dada por 21640 tty −= . ¿Cuál es la altura máxima

alcanzada por la pelota?

Solución:

25 pies.

5. Obtenga dos números cuya diferencia es 100 y cuyo producto sea lo más pequeño

posible.

Solución:

50 , -50.

6. Para las funciones cuadráticas 21.379.1)( 2 −+= xxxf , 221)( xxxf −+=

(a) Determine el valor máximo o mínimo de la función dada, correcta a dos

decimales (usando Maple).

(b) Determine el valor máximo o mínimo exacto de la función, y compárelo con su

respuesta del inciso (a).

3. Función exponencial. xexf =)( .

Gráfica de la función.

> plot(exp(x),x=0..5,y=0..100);

Aplicación:

Una población que experimenta crecimiento exponencial aumenta de acuerdo con la

fórmula

rtentn 0)( =

donde =)(tn población al tiempo t .

=0n tamaño inicial de la población.

=r tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción de la

población).

=t tiempo.

Ejemplo:

El conteo de bacterias en un cultivo es de 500. Posteriormente un biólogo hace un conteo

de muestra y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es de 40% por hora.

a) Obtenga una fórmula para el número )(tn de bacterias después de t horas.

b) ¿Cuál es el conteo estimado después de 10 horas?

c) Trace la gráfica de la función )(tn .

Solución:

a) Utilizamos la fórmula para el crecimiento exponencial de la población con

5000 =n y 4.0=r para obtener

tetn 4.0500)( =

donde t se mide en horas.

b) Utilizando la fórmula del inciso (a), determinamos que el conteo de bacterias

después de 10 horas es

300,27500500)10( 4)10(4.0 ≈== een

c) Gráfica de la función.

> plot(500*exp(0.4*t),t=0..5,n=0..4000);

Ejercicios:

1. La población de zorros en una cierta región tiene una tasa de crecimiento relativo de 8%

anual. Se estima que la población en 1992 fue de 18,000.

a) Determine una fórmula para la población t años después de 1992.

b) Use la fórmula del inciso a) para estimar la población en el 2000.

c) Trace la gráfica de la función de la población de zorros para los años 1992-2000.

Solución:

a) tetn 08.0000,18)( = , b) 137,34 .

2. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos

desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa

que queda después de t días está dada por la función

tetm 05.06)( −=

donde )(tm está en gramos.

a) Determine la masa en el tiempo t = 0.

b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días?

Solución:

a) 6 g , b) 1 g.

3. La población de una especie de ave está limitada por el tipo de hábitat necesario para

la anidación. La población está modelada por la fórmula de crecimiento logístico

tetn 044.05.275.0

600,5)( −+=

donde t se mide en años.

a) Determine la población inicial de aves.

b) Trace la gráfica de la función )(tn .

c) ¿A qué tamaño tiende la población conforme transcurre el tiempo?

4. Grafique la función x

eyx

= y comente acerca de las asíntotas verticales y horizontales.

5. Determine los valores máximo y mínimo locales de la función y el valor de x en el cual

ocurre cada uno. Exprese cada respuesta a dos decimales.

a) xxexf −=)( , b) xx eexf 3)( −+= .

Solución: (a)

> plot(x*exp(-x),x=0..15,y=0..0.4);

> solve(0.36787944-x*exp(-x));

,.9999201985 1.000079806 Del gráfico se deduce que en 1=x la función es máxima y vale 0.36787944.

4. Función logaritmo natural. )ln()( xxf = .

Gráfica de la función.

> plot(ln(x),x=-1..5,y=-5..2);

Ejemplo:

1. Determine el dominio de la función )4ln()( 2xxf −= .

Solución:

La función dada está definida para 0>x . Luego el dominio de f está definido como

{ }04/)( 2 >−∈= xIRxfDom = { }4/ 2 <∈ xIRx = { }2/ <∈ xIRx = [ 2 , 2] − .

2. Trace la gráfica de la función )4ln( 2xxy −= y utilícela para determinar las asíntotas y

los valores de los máximos y mínimos locales.

Solución:

> plot(x*ln(4-x^2),x=-3..3);

Asíntotas verticales en 2±=x .

Para determinar los valores extremos debemos cambiar ventana de visualización.

Para el mínimo:

> plot(x*ln(4-x^2),x=-1.16..-1.14);

Para 15.1−=x tenemos un mínimo local que vale 1327.1)15.1( −=−f , aproximadamente.

Para el máximo:

> plot(x*ln(4-x^2),x=1.1..1.2,y=1.129..1.133);

Para 15.1=x tenemos un máximo local que vale 1326.1)15.1( =f aproximadamente.

Ejercicios:

1. Obtenga la gráfica de la función en un rectángulo de visualización adecuado y utilícela

para determinar el dominio, las asíntotas y los valores máximo y mínimo locales.

(a) )ln(xxy += , (b) xxy )ln(

= , (c) )ln( 2 xxy −= , (d) 2))(ln(xxy = .

2. (a) Obteniendo la gráfica de las funciones

)1ln(1)( xxf ++= y xxg =)(

en un rectángulo de visualización apropiado, demuestre que incluso cuando una

función logaritmo empieza más arriba que una función raíz cuadrada, finalmente

será alcanzada por ésta.

b) Determine, aproximadas a dos decimales, las soluciones de la ecuación

)1ln(1 xx ++= .

5. Función parte entera.

Gráfica de la función parte entera ]][[)( xxf =

> plot(floor(x),x=-3..3,discont=true,color=blue);

# En Maple esta es la función parte entera

Ejemplo:

Grafique la función (a) ]]2[[ xy = , (b) ]][[ 41 xy = , (c) ]][[xxy −= .

Solución:

(a) > plot(floor(2*x),x=-3..3,discont=true);

(b) > plot(floor(1/4*x),x=-10..10,discont=true);

(c) > plot(x-floor(x),x=-3..3,discont=true);

6. Funciones trigonométricas.

Gráfica de las funciones trigonométricas.

(a) Función seno.

> plot(sin(x),x=-Pi..2*Pi,y=-1.5..1.5,color=green);

(b) Función coseno.

> plot(cos(x),x=-2*Pi..3*Pi,y=-1.5..1.5,color=blue);

(c) Función tangente.

> plot(tan(x),x=-2*Pi..3*Pi,y=-

10..10,color=magenta,discont=true);

(d) Function secante.

> plot(sec(x),x=-Pi..Pi,y=-10..10,discont=true);

(e) Función cosecante.

> plot(csc(x),x=-5..5,y=-10..10,discont=true,color=blue);

(f) Función cotangente.

> plot(cot(x),x=-Pi..Pi,y=-10..10,discont=true);

(g) Función arcoseno.

> plot(arcsin(x),x=-1..1);

(h) Función arcocoseno.

> plot(arccos(x),x=-1..1);

(i) Función arcotangente.

> plot(arctan(x),x=-3*Pi..3*Pi);

Ejercicios:

1. Determine un rectángulo de visión apropiado para cada función y utilícelo para

obtener la gráfica.

(a) xxf 100cos)( = , (b) )40/()( xsenxf = , (c) xy 25tan= , (d) xseney 20= .

2. Grafique las tres funciones en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan las

gráficas?

(a) 2xy = , 2xy −= , senxxy 2= .

(b) xey = , xey −= , xseney x 5π= .

(c) 211x

y+

= , 211x

y+

−= , 21 2cos

xxy

+=

π .

3. (a) Utilice Maple para graficar la función.

(b) Determine de la gráfica si la función es periódica, y de serlo determine el

periodo.

(c) Determine de la gráfica si la función es impar, par o ninguna de ellas.

(i) senxy = , (ii) xseny = , (iii) senxey = , (iv) xseny 2= , (v) )( 2xseny = .

4. Determine, usando Maple, los valores máximo y mínimo de la función.

(a) xsensenxy 2+= , (b) senxxy 2−= , π20 ≤≤ x (c) xsensenxy 22 += .

5. Determine, usando Maple, todas las soluciones de la ecuación que ocurren en el

intervalo ] ,0[ π . Exprese cada respuesta correcta a 2 decimales.

(a) 4.0cos =x , (b) 2tan =x , (c) 3csc =x , (d) xx =cos .

6. Suponga que x

xxf cos1)( −= .

(a) ¿La función f es par, impar o ni otra?

(b) Determine las intersecciones con el eje X de la gráfica de f .

(c) Obtenga la gráfica de f en un rectángulo de visión apropiado.

(d) Describa el comportamiento de la función conforme ∞→x y −∞→x .

(e) Observe que )(xf no está definida cuando 0=x . ¿Qué ocurre cuando 0→x ?

7. Funciones hiperbólicas.

Gráfica de las funciones hiperbólicas.

(a) Función seno hiperbólico.

> plot(sinh(x),x=-3..3,y=-10..10);

Compruebe que 2

)(xx eexsenh

−−= .

(b) Función coseno hiperbólico.

> plot(cosh(x),x=-3..3,y=0..7);

Compruebe que 2

)cosh(xx eex

−+= .

(c) Función tangente hiperbólica.

> plot(tanh(x),x=-3..3,y=-1..1);

Compruebe que xx

xx

eeeex −

−

+−

=)tanh( .

(d) Función arcoseno hiperbólico.

> plot(arcsinh(x),x=-3..3,y=-2..2);

(e) Función arcocoseno hiperbólico.

> plot(arccosh(x),x=0..10,y=0..3);

(f) Función arcotangente hiperbólica.

> plot(arctanh(x),x=-1..1,y=-2..2);

8. Funciones racionales. Son del tipo )()()(

xQxPxf = , donde P y Q son polinomios.

Gráfica de algunas funciones racionales.

(a) x

xf 1)( = .

> f:=x->1/x;

:= f → x1x

> plot(f,-5..5,y=-5..5,discont=true);

(b) 21)(

−−

=xxxf .

> f:=x->(x-1)/(x-2);

:= f → x − x 1 − x 2

> plot(f,-4..10,y=-8..10,discont=true);

ASÍNTOTAS

1. La recta ax = es una asíntota vertical de la función )(xfy = si ∞→y o −∞→y

cuando +→ ax o −→ ax .

2. La recta by = es la asíntota horizontal de la función )(xfy = si by → cuando

∞→x o −∞→x .

Ejemplo: Trace la gráfica de la función 2

472)( 2

2

−+−+

=xx

xxxf .

Solución:

Factorizar el numerador y el denominador.

)2)(1()4)(12()(

+−+−

=xxxxxf

Las intersecciones con el eje X, se obtienen haciendo 0)( =xf , es decir, en los

ceros del numerador. Estas ocurren en 21

=x y 4−=x .

La intersección con el eje Y se obtiene reemplazando 0=x en la función )(xf . Es

decir 224

)20)(10()40)(1)0(2()0( =

−−

=+−

+−=f .

Asíntota horizontal:

Para observar más claramente lo que ocurre cuando ±∞→x , escribimos

2

2

2

2

211

472

2472)(

xx

xxxx

xxxf−+

−+=

−+−+

= .

De aquí se deduce que 2)( →xf , cuando ±∞→x . Por lo tanto la asíntota

horizontal es 2=y .

Asíntota vertical:

Analizamos )(xf , escrito en la forma )2)(1()4)(12()(

+−+−

=xxxxxf , y mediante la

tabla siguiente:

Valores adicionales de la función dada se obtienen de:

> f:=x->(2*x^2+7*x-4)/(x^2+x-2);

:= f → x

+ − 2 x2 7 x 4 + − x2 x 2

> f(-6.);

.9285714286

> f(-3.);

-1.750000000

> f(-1.);

4.500000000

> f(1.5);

6.285714286

> f(2.);

4.500000000

> f(3.);

3.500000000

La gráfica de la función dada, es:

> plot(f,-5..5,y=-15..15,color=blue,discont=true);

El gráfico con las asíntotas:

> plot({2,f},-5..5,y=-15..15,color=blue);

Ejercicios:

1. Determine las intersecciones y las asíntotas, y después trace la gráfica de la función

racional.

a) 2

4−

=x

y , b) 21

−−

=xxy , c)

244

+−

=xxy , d)

xxy 42 −

= , e) 2)3(18−

=x

y ,

f) )1)(4(

84+−

+=

xxxy , g)

)3)(1()2)(1(

−++−

=xxxxy , h)

1212

2

2

+++−

=xxxxy ,

i) xx

xxy3

62

2

+−−

= , j) 32

632

2

−−+

=xx

xy , k) 44

552

2

+++

=xx

xy .

2. La población de conejos de la granja del señor Jenkins se comporta de acuerdo con la

fórmula

1000,3)(+

=t

ttp

donde 0≥t es el tiempo (en meses) desde el principio del año.

a) Trace la gráfica de la población de conejos.

b) ¿Qué pasa finalmente con la población de conejos?

3. A un paciente se le administra una medicina y se monitorea la concentración de la

misma en la corriente sanguínea. En el momento 0≥t (en horas desde la

administración de la droga), la concentración (en mg/l) está dada por

1

5)( 2 +=

tttc

Grafique la función c utilizando Maple.

a) ¿Cuál es la concentración de medicina más elevada alcanzada en la

corriente sanguínea del paciente?

b) ¿Qué le ocurre a la concentración de la medicina después de un largo

periodo?

c) ¿Cuánto tiempo pasa para que la concentración sea menor de 0.3 mg/l?

Solución:

> c:=t->5*t/(t^2+1);

:= c → t 5

t + t2 1

> plot({2.5,c},0..25);

a) La concentración de medicina más elevada alcanzada en la corriente sanguínea del

paciente, es de 2.5 mg/l.

b) Después de un largo tiempo la concentración de la medicina en la corriente sanguínea

del paciente tiende a cero.

Comprobación:

a) > ec1:=5*x/(x^2+1);

:= ec1 5

x + x2 1

> solve(2.5-ec1,{x});

,{ } = x 1. { } = x 1.

> subs(x=1.,ec1);

2.500000000

b) > subs(x=100.,ec1);

.04999500050

> subs(x=1000.,ec1);

.004999995000

> subs(x=1000000.,ec1);

.5000000000 10-5

Para valores grandes del tiempo x (en este caso) la concentración c tiende a cero.