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Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones Unidad II Modelos de Programación Lineal y su Interpretación geométrica Estudiantes: FAREM-Carazo Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. II Semestre 2010 Quien tiene un libro y no lo lee, no se diferencia de aquel que no sabe leer” Año académico:

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Universidad Nacional Autónoma de NicaraguaUNAN-Managua

Curso de Investigación de Operaciones

Unidad II

Modelos de Programación Lineal y su

Interpretación geométricaEstudiantes:

FAREM-Carazo

Profesor:

MSc. Julio Rito

Vargas Avilés.

II Semestre 2010

“Quien tiene un libro y no lo lee, no se diferencia de aquel que no sabe leer”

Año

académico:

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Un problema de máximos de programación lineal

Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100

Kg.. de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A

contienen 3 Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B

contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las

cajas de tipo A y B son 13 y 13,50 €, respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe

fabricar para maximizar sus venta?

Caja tipo A Caja tip B Disponibles

Chocolate 3 2 500

Almendras 1 1.5 100

Frutas 1 1 85

Precio en euros 13 13.50

La siguiente tabla resume los datos del problema

Designando porx = nº de cajas de tipo Ay = nº de cajas de tipo B

Función objetivo z = f (x, y) = 13x + 13.5y que hay que maximizar

Con las restricciones:

3x + 2y 500 (por el chocolate almacenado)x + 1.5y 100 (por la almendra almacenada)x + y 85 (por la fruta almacenada)x 0

y 0

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• En un primer paso representamos la región factible.

• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.

R(0, 100/1,5)

Q(55, 30)

P(85, 0)

• Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y ; en cada vértice, para obtener el máximo

• z(P) = 13.85+13,50. 0 = 1105 €

• z(Q) = 13.55+13,50. 30 = 1120 €

• z(R) = 13.0+13,50. 100/1,5 = 900 €

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Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de

FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de

información general. La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de

música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta

al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo 4000 €. Sabiendo que

tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de

información general, ¿cuántos días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para

que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos

una semana?

Emisora FM Emisora AM Disponibles

Música rock 12 5 120

Música clásica 6 8 180

Información general 5 10 100

Coste en euros 5000 4000

La siguiente tabla resume los datos del problema

Designando porx = nº de días de AMy = nº de días de FM

Función objetivo z = f (x , y) = 5000x + 4000y que hemos de minimizar

Con las restricciones:

12x + 5y 120 (por la música rock)6x + 8y 180 (por la música clásica)5x + 10y 100 (por la información general)x + y 7 (emitir al menos una semana)

x 0y 0

Un problema de mínimos de programación lineal

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• En un primer paso representamos la región factible.

• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.

R(0, 10)

Q(7.37, 6.32)

P(10, 0)

• Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x + 4000y en cada vértice, para obtener el mínimo.

• z(P) = 5000.10+4000. 0 = 50000 €

• z(Q) = 5000.7.37+4000. 6.32 = 62130 €

• z(R) = 5000.0+4000. 10 = 40000 €

• z(S) = 5000.0+4000. 7 = 28000 €

• z(T) = 5000.7+4000. 10 = 35000 €

T(7, 0)

S(0, 7)

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Cada muñeco:

• Produce un beneficio neto de U$3 .

• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.

• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.

Cada tren:

• Produce un beneficio neto de U$2

• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.

• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.

Problema 3

La fábrica Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.

Cada semana Gepetto puede disponer de:

• Todo el material que necesite.

• Solamente 100 horas de acabado.

• Solamente 80 horas de carpinteria.

También:

• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).

• La demanda de muñecos es como mucho 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

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Variables de

Decisión

x = nº de muñecos

producidos a la

semana

y = nº de trenes

producidos a la

semana

Función Objetivo. En cualquier

PPL, la decisión a tomar es

como maximizar (normalmente el

beneficio) o minimizar (el coste)

de alguna función de las

variables de decisión. Esta

función a maximizar o minimizar

se llama función objetivo.

Max z = 3x + 2y

El objetivo de Gepetto es

elegir valores de x e y para

maximizar 3x + 2y. Usaremos

la variable z para denotar el

valor de la función objetivo. La

función objetivo de Gepetto es:

Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).

Restricciones

Son desigualdades que

limitan los posibles

valores de las variables

de decisión.

En este problema las

restricciones vienen

dadas por la

disponibilidad de horas

de acabado y carpintería

y por la demanda de

muñecos.

También suele haber

restricciones de signo o

no negatividad:

x ≥ 0

y ≥ 0

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Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.

Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.

Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.

Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente

por las siguientes desigualdades:

Restricción 1: 2 x + y ≤ 100

Restricción 2: x + y ≤ 80

Restricción 3: x ≤ 40

Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece.

Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los

valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:

Restricciones

Además, tenemos las restricciones de no negatividad: x ≥ 0 e y ≥ 0

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x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Muñeco Tren

Beneficio 3 2

Acabado 2 1 ≤ 100

Carpintería 1 1 ≤ 80

Demanda ≤ 40

Formulación matemática del PPL

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

2 x + y ≤ 100 (acabado)

x + y ≤ 80 (carpinteria)

x ≤ 40 (demanda muñecos)

Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana

y = nº de trenes producidos a la semana

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Max z = 3x + 2y (función objetivo)

Sujeto a (s.a:)

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)

x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de

signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones,

tenemos el siguiente modelo de optimización:

Formulación matemática del PPL

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Región factible

x = 40 e y = 20 está en la región

factible porque satisfacen todas

las restricciones de Gepetto.

Sin embargo, x = 15, y = 70 no

está en la región factible porque

este punto no satisface la

restricción de carpinteria

[15 + 70 > 80].

Restricciones de Gepetto

2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)

x + y ≤ 80 (restricción carpintería)

x ≤ 40 (restricción demanda)

x ≥ 0 (restricción signo)

y ≥ 0 (restricción signo)

La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos

que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano

delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.

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Solución óptima

La mayoría de PPL tienen solamente una solución

óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen

solución óptima, y otros PPL tienen un número

infinito de soluciones.

Más adelante veremos que la solución del PPL de

Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un

valor de la función objetivo de:z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €

Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima,

estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la

función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.

Para un problema de maximización, una solución

óptima es un punto en la región factible en el cual

la función objetivo tiene un valor máximo. Para un

problema de minimización, una solución óptima es

un punto en la región factible en el cual la función

objetivo tiene un valor mínimo.

Se puede demostrar

que la solución

óptima de un PPL

está siempre en la

frontera de la región

factible, en un

vértice (si la

solución es única) o

en un segmento

entre dos vértices

contiguos (si hay

infinitas soluciones)

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Representación Gráfica de las restricciones

2x + y = 100

Cualquier PPL con sólo dos

variables puede resolverse

gráficamente.

Por ejemplo, para representar

gráficamente la primera

restricción, 2x + y ≤ 100 :

Dibujamos la recta 2x + y = 100

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Elegimos el semiplano que

cumple la desigualdad: el

punto (0, 0) la cumple

(2·0 + 0 ≤ 100),

así que tomamos el

semiplano que lo contiene.

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Dibujar la región factible

Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver

gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos

que satisfacen las restricciones:

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)

x ≤ 40 (restricción de demanda)

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.

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Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

1002x + y = 100

Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

Dibujar la región factible

Teniendo en

cuenta las

restricciones de

signo (x ≥ 0, y ≥ 0),

nos queda:

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Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x + y = 80

Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

Dibujar la región factible

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Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x = 40Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

Dibujar la región factible

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Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

1002x + y = 100

x + y = 80

x = 40

La intersección

de todos estos

semiplanos

(restricciones)

nos da la región

factible

Dibujar la región factible

Región

Factible

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Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

1002x + y = 100

x + y = 80

x = 40

Región

Factible

La región factible (al

estar limitada por

rectas) es un polígono.

En esta caso, el

polígono ABCDE.

A

B

C

D

EComo la solución

óptima está en alguno

de los vértices (A, B, C,

D o E) de la región

factible, calculamos

esos vértices.

Vértices de la región factibleRestricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

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Región

Factible

E(0, 80)

(20, 60)

C(40, 20)

B(40, 0)

A(0, 0)

Vértices de la región factible

Los vértices de la región factible

son intersecciones de dos

rectas. El punto D es la

intersección de las rectas

2x + y = 100

x + y = 80

La solución del sistema x = 20,

y = 60 nos da el punto D.

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

D

B es solución de

x = 40

y = 0

2x + y = 100

x = 40

x + y = 80

C es solución de

x = 40

2x + y = 100

E es solución de

x + y = 80

x = 0

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Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

z = 0 z = 100z = 180

Para hallar la

solución óptima,

dibujamos las

rectas en las

cuales los puntos

tienen el mismo

valor de z.

La figura muestra

estas lineas para

z = 0, z = 100, y z

= 180

Resolución gráfica

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Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

z = 0 z = 100z = 180

La última recta de

z que interseca

(toca) la región

factible indica la

solución óptima

para el PPL. Para

el problema de

Gepetto, esto

ocurre en el

punto D (x = 20, y

= 60, z = 180).

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Resolución gráfica

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Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

También podemos encontrar la

solución óptima calculando el

valor de z en los vértices de la

región factible.

Vértice z = 3x + 2y

(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0

(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120

(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160

(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180

(0, 80) z = 3·0+2·80 = 16020

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

La solución óptima es:

x = 20 muñecos

y = 60 trenes

z = U$ 180 de beneficio

Resolución analítica

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Hemos identificado la región factible para

el problema de Gepetto y buscado la

solución óptima, la cual era el punto en la

región factible con el mayor valor posible

de z.

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Recuerda que:

• La región factible en cualquier PPL

está limitada por segmentos (es un

polígono, acotado o no).

• La región factible de cualquier PPL

tiene solamente un número finito de

vértices.

• Cualquier PPL que tenga solución

óptima tiene un vértice que es óptimo.

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Problema 4.

Un problema de minimización

Dorian Auto; fabrica y vende autos y furgonetas.La

empresa quiere emprender una campaña

publicitaria en TV y tiene que decidir comprar los

tiempos de anuncios en dos tipos de programas: delcorazón y fútbol.

• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y

2 millones de hombres.

• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de

hombres.

• Un anuncio en el programa de corazón cuesta U$50.000 y un anuncio del

fútbol cuesta U$100.000 .

• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por lo menos 30 millones

de mujeres y 24 millones de hombres.

Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de

programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.

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• Cada anuncio del programa del

corazón es visto por 6 millones de

mujeres y 2 millones de hombres.

• Cada partido de fútbol es visto

por 3 millones de mujeres y 8

millones de hombres.

• Un anuncio en el programa de

corazón cuesta U$50.000 y un

anuncio del fútbol cuesta

U$100.000.

• Dorian Auto quisiera que los

anuncios sean vistos por lo menos

30 millones de mujeres y 24

millones de hombres.

Dorian Auto quiere saber cuántos

anuncios debe contratar en cada

tipo de programa para que el coste

de la campaña publicitaria sea

mínimo.

Corazón

(x)

Fútbol

(y)

mujeres 6 3 6x + 3y ≥ 30

hombres 2 8 2x + 8y ≥ 24

Coste

U$50 100 50x +100y

Formulación del problema:

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Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón

y = nº de anuncios en fútbol

Min z = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €)

s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)

2x + 8y ≥ 24 (hombres)

x, y ≥ 0 (no negatividad)

Formulación del problema:

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X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Dibujamos la región factible.

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X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

La región factible

no está acotada

Región

Factible

Calculamos los vértices de la región factible:

A

B

C

El vértice A es solución del

sistema

6x + 3y = 30

x = 0

Por tanto, A(0, 10)

El vértice B es solución de

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Por tanto, B(4, 2)

El vértice C es solución de

2x + 8y = 24

y = 0

Por tanto, C(12, 0)

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Región

Factible

Resolvemos por el método analítico

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Vértice z = 50x + 100y

A(0, 10)z = 50·0 + 100·10 =

= 0+10000 = 10 000

B(4, 2)z = 50·4 + 100·2 =

= 200+200 = 400

C(12, 0)z = 50·12 + 100·0 =

= 6000+0 = 6 000

El coste mínimo se obtiene en B.

Solución:

x = 4 anuncios en pr. corazón

y = 2 anuncios en futbol

Coste z = U$400 (mil )

Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

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Región

Factible

Resolvemos por el método gráfico

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

El coste mínimo

se obtiene en el

punto B.

Solución:

x = 4 anuncios en pr. corazón

y = 2 anuncios en futbol

Coste z = 400 (mil €)

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

Z = 600

Z = 400

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RESOLVER EL SIGUIENTE PROBLEMA DE PL(TAREA)

Un fabricante produce mesas (X) y escritorios (Y). Para

cada mesa que produce requiere 2 horas y media de

montaje, tres horas de pulido y una hora de embalaje.

Asimismo, para cada escritorio se requiere una hora de

montaje, tres horas de pulido y dos horas de embalaje.

Estas secciones presentan las siguientes limitaciones: la

unidad de montaje trabaja, como máximo 20 horas al día;

la unidad de pulido como máximo 15 horas al día; la

unidad de embalaje como máximo 16 horas al día. El

fabricante trabaja con un margen de beneficios de U$25

por mesa producida y U$40 por cada escritorio, Plantear

el modelo de programación Matemático en el caso que el

fabricante pretenda maximizar beneficios.

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Solución óptima

Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice

del polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas

soluciones)

Si la región factible es abierta, puede haber solución única (en un

vértice), infinitas soluciones (todo un lado) o no tener solución

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Número de Soluciones de un PPL

• Algunos PPL tienen un número infinito de

soluciones óptimas (alternativas o múltiples

soluciones óptimas).

• Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no

tienen región factible).

• Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en

la región factible con valores de z arbitrariamente

grandes (en un problema de maximización).

Los dos ejemplos anteriores, hasta ahora estudiados

tienen, cada uno, una única solución óptima.

No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar

también las siguientes posibilidades:

Veamos un ejemplo de cada caso.

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Número de soluciones de un problema de programación lineal

Para un problema de minimización

Solución únicaSolución de arista:infinitas soluciones

No hay mínimo

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Para un problema de maximización

Solución únicaSolución de arista:infinitas soluciones No hay máximo

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Número infinito de soluciones óptimas

max z = 3x + 2y

s.a:

Cualquier punto (solución)

situado en el segmento AB

puede ser una solución óptima

de z =120.

Consideremos el siguiente

problema:

3x + 2y ≤ 120

x + y ≤ 50

x , y ≥ 0

10

10 20 30 40

20

30

40

50

50

60

Y

X

z = 60

z = 100

z = 120

A

B

C

Región

Factible

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Sin soluciones factibles

s.a:

max z = 3x1 + 2x2

No existe región factible

Consideremos el siguiente

problema:

3x + 2y ≤ 120

x + y ≤ 50

x ≥ 30

y ≥ 30

x , y ≥ 0

10

10 20 30 40

20

30

40

50

50

60

Y

X

No existe

Región Factible

y ≥ 30

x ≥ 30

x + y ≤ 50

3x + 2y ≤ 120

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PPL no acotado

max z = 2x – y

s.a: x – y ≤ 1

2x + y ≥ 6

x, y ≥ 0

La región factible es no

acotada. Se muestran en el

gráfico las rectas de nivel

para z = 4 y z = 6. Pero

podemos desplazar las

rectas de nivel hacia la

derecha indefinidamente sin

abandonar la región factible.

Por tanto, el valor de z

puede crecer

indefinidamente.

1

1 2 3 4

2

3

4

5

5

6

Y

X

z = 4

z = 6

Región Factible

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Resumen

Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones

a1x + b1y d1

a2x + b2y d2

... ... ...

anx + bny dn

Función objetivo

• Solución posible: cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.

• Solución óptima: un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo

Un problema de programación lineal puede:

• Tener solución única• Tener infinitas soluciones• No tener solución

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FIN

INVESTIGACION

DE

OPERACIONES

JRVA- 2010