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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
TESIS
“DEFLEXIONES DIFERIDAS EN VIGAS DE SECCIÓN
COMPUESTA DE CONCRETO Y ACERO”
PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO CIVIL
ELABORADO POR
YORDAN ALBERTO ROCIO MALDONADO
ASESOR
Ing. JOSE CIPRIANO MASIAS GUILLEN
LIMA- PERÚ
2017
DEDICATORIA
Esta tesis se la dedico con mucho cariño y aprecio a mi madre, Elmira
Maldonado, que gracias a su apoyo incondicional, ejemplo y valentía, he podido
completar numerosas metas y objetivos a lo largo de mi vida.
A mis tíos, que con sus consejos y ocurrencias, hacen que la vida sea más fácil y
agradable.
A mis amigos que gracias a la continua motivación, he cumplido varios objetivos.
A todos en general, por el continuo conocimiento brindado tanto personalmente
como éticamente
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar, agradezco a mi alma máter, Universidad Nacional de Ingeniería,
por haberme brindado el conocimiento necesario para desarrollarme
profesionalmente y personalmente, a sus profesores por impartir sus enseñanzas
que día a día desarrollan el futuro del país.
Agradezco también a mi Asesor, Ing. José Cipriano Masías Guillén, por el continuo
apoyo en el desarrollo de la presente tesis, otorgándome la motivación tanto
profesionalmente como personalmente con sus anécdotas, consejos y
conocimientos durante el proceso de elaboración.
Agradezco al Ing. Jorge Palomino Tamayo, por el apoyo brindado en la etapa
inicial, brindándome la información necesaria para empezar con el tema tratado.
Agradezco a los miembros del jurado, por su tiempo y compromiso en la revisión,
corrección y evaluación de la presente investigación.
Agradezco a todos los que han sido mis compañeros de aulas, ya que gracias a
su amistad, a sus vivencias, a sus ocurrencias y a su apoyo, me han guardado
gratos recuerdos para mejorar cada día.
En último lugar, agradezco a todas las personas que he conocido durante todo
trayecto de mi vida, porque gracias a ello, he podido aprender muchas cosas
nuevas en mi vida.
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DEFLEXIONES DIFERIDAS EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA DE CONCRETO Y ACERO Bachiller Rocio Maldonado, Yordan Alberto 4
ÍNDICE 4
RESUMEN 8
ABSTRACT 10
PRÓLOGO 12
LISTA DE CUADROS 14
LISTA DE FIGURAS 15
LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS 21
INTRODUCCIÓN 26
1. CAPÍTULO I. GENERALIDADES 27
1.1 ANTECEDENTES 27
1.1.1 Sistema compuesto 27
1.1.2 Vigas de sección compuesta de concreto y acero, tipo “T” 29
1.1.3 Deflexiones diferidas en vigas de sección compuesta 30
1.2 RESEÑA HISTÓRICA 31
2. CAPÍTULO II. VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA TIPO “T” 36
2.1 ¿QUÉ ES UNA VIGA DE SECCIÓN COMPUESTA? 36
2.2 ELEMENTOS DE LA VIGA DE SECCIÓN COMPUESTA 37
2.2.1 Losa de Concreto 38
2.2.2 Conectores de corte 39
2.2.3 Viga de acero, perfil “I” 41
2.3 TIPOS DE INTERACCIÓN EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA 41
2.4 PROCESO CONSTRUCTIVO DEL SISTEMA DE LOSA COMPUESTA
(COLABORANTE) 43
2.5 VENTAJAS 47
2.6 DESVENTAJAS 48
3. CAPÍTULO III. DEFLEXIONES DIFERIDAS 49
3.1 DEFLEXIONES EN GENERAL 49
3.2 DEFLEXIONES EN VIGAS DE CONCRETO ARMADO 50
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3.3 MÉTODOS DE APROXIMACIÓN LINEAL PARA EFECTOS DIFERIDOS 54
3.3.1 Método efectivo “Effective Method” (EM) 54
3.3.2 Método del módulo ajustado de edad efectivo “Aged-Adjusted Effective
Modulus Method” (AEMM) 55
3.3.3 Método de la Sección transformada 56
3.3.4 Ejemplo conceptual 57
3.4 DEFLEXIONES EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA 60
3.4.1 Estado de servicio 60
3.4.2 Interacción completa en vigas de sección compuesta 61
3.4.3 Interacción parcial en vigas de sección compuesta 65
3.4.4 Modelos de predicción del flujo plástico y de la retracción 70
3.4.4 Ejemplo aplicativo 97
4. CAPÍTULO IV. BIBLIOGRAFÍA EN LITERATURA NACIONAL E
INTERNACIONAL 104
4.1 FLUJO PLÁSTICO Y RETRACCIÓN EN EL CONCRETO 105
4.2 ENSAYOS EXPERIMENTALES 109
4.3 CONECTORES DE CORTE 114
4.4 MODELAMIENTO ANALÍTICO 116
5. CAPÍTULO V. NORMATIVA ACTUAL 128
5.1 NORMATIVA NACIONAL 128
5.1.1 Reglamento Nacional de Edificaciones 128
5.2 NORMATIVA INTERNACIONAL 130
5.2.1 American Concrete Institute 130
5.2.2 American Institute of Steel Construction 131
5.2.3 British Standard 5950 133
5.2.4 Euro código 4 134
5.2.5 American Association of State Highway and Transportation Standards 137
6. CAPÍTULO VI. INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS CONSTITUYENTES Y
PROPIEDADES DIVERSAS 140
6.1 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES CONSTITUYENTES 140
6.1.1 CONCRETO 140
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6.1.2 ACERO 141
6.2 INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS CONSTITUYENTES 144
6.2.1 INFLUENCIA DEL CONCRETO EN LA LOSA 144
6.2.3 INFLUENCIA DEL ACERO ESTRUCTURAL 156
6.2.4 INFLUENCIA DEL ACERO DE REFUERZO 158
6.2.5 INFLUENCIA DE LOS CONECTORES DE CORTE 160
6.2.6 INFLUENCIA POR EL MÉTODO DE CONSTRUCCIÓN 163
7. CAPÍTULO VII. LINEAMIENTOS PARA EL MODELAMIENTO DE VIGAS
DE SECCIÓN COMPUESTA 166
7.1 MODELAMIENTO PARA LA LOSA DE CONCRETO 166
7.1.1 Modelo elasto-plástico del concreto 167
7.1.2 Modelo de concreto en compresión 167
7.1.3 Modelo viscoelástico del concreto 169
7.1.4 Modelo para concreto en tracción 171
7.1.5 Modelamiento del elemento por método de elementos finitos 171
7.2 MODELAMIENTO PARA EL ACERO DE REFUERZO 173
7.2.1 Modelo del acero de refuerzo 173
7.2.2 Modelo de elementos finitos empleados en la literatura 174
7.3 MODELAMIENTO PARA LA VIGA DE ACERO 174
7.3.1 Modelo del acero estructural 174
7.3.2 Modelo del acero estructural según Tamayo 2011 175
7.3.3 Formulación de método de elementos finitos 176
7.4 MODELAMIENTO PARA LOS CONECTORES DE CORTE 177
7.4.1 Modelo de los conectores de corte 177
7.4.2 Modelo según Tamayo 2011 178
7.4.3 Modelo de elementos finitos para los conectores de corte 178
7.5 ELEMENTOS FINITOS 180
7.5.1 Discretización espacial 180
7.5.2 Principio de trabajos virtuales 181
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7.6 PROCESO DE CÁLCULO, CONTROL Y VERIFICACIÓN DE DEFLEXIONES
DIFERIDAS SIMPLIFICADO EN UNA VIGA 183
7.6.1 Módulo de elasticidad constante 185
7.6.2 Módulo de elasticidad no lineal 186
7.6.3 Cálculo de deflexiones diferidas con conectores de corte 186
8. CAPÍTULO VIII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 189
8.1 CONCLUSIONES 189
8.2 RECOMENDACIONES 192
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 193
ANEXOS 203
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RESUMEN
El diseño estructural usando vigas de sección compuesta ha tomado gran
importancia a nivel ingenieril, gracias a las ventajas de usar diferentes materiales
para crear un elemento con propiedades mejoradas. En relación a este gran
avance, el campo de diseño se ha visto en la obligación de crear normas o
reglamentos que tomen en cuenta el correcto funcionamiento de dicho sistema.
Por ello, el diseño se debe regir en principios o filosofías que brinden la seguridad;
uno de los principales principios es el estado límite de servicio, cuyo principio es
asegurar el correcto desempeño estructural tanto la funcionabilidad como la
seguridad. A través de los años, el comportamiento, en dicho estado, es asumido
en rango elástico, ya que se diseña con la suposición de que los elementos
trabajan elásticamente y en consecuencia sus respuestas estructurales también.
Por tal motivo, las respuestas estructurales deben ser controladas y verificadas en
función a teorías de mecánica de materiales, considerando que la estructura se
deforma elásticamente –efecto instantáneo y diferido- el que se toma en
consideración mediante fórmulas empíricas en estado elástico por falta de estudio.
En contradicción al comportamiento real de la estructura, el estado de servicio no
considera el rango “no lineal”, por tanto las respuestas estructurales como las
deflexiones, primordialmente, no toman en cuenta los efectos del comportamiento
histórico dependiente o de largo plazo (diferidos), tal problema ocasiona que los
cálculos sean subestimados o sobrestimados por normas actuales tales como
AISC, Euro código 4, BS 5950, NTP. Igualmente, dichos efectos diferidos
ocasionan que los esfuerzos de la estructura compuesta tiendan a disminuir
progresivamente, las fuerzas no permanezcan constantes y que las deflexiones
aumenten en un porcentaje alto comparadas a las instantáneas. En el presente
trabajo, se realizará una recopilación de la información respecto a las deflexiones
diferidas en vigas de sección compuesta de concreto y acero en el proceso de
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cálculo, control y verificación de la respuesta estructural – la deflexión - en el
sistema; además de los lineamientos necesarios para modelar este tipo de vigas.
Dichos lineamientos son usados para realizar un modelo más real para
posteriormente evaluar los resultados con base en ensayos experimentales.
Finalmente, se brindará una revisión bibliográfica respecto al problema planteado
en función a las propiedades constituyentes de los elementos que conforman la
sección compuesta.
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ABSTRACT
Structural design using composite beam has taken more importance in the
engineering field due to all the advantages for using of different materials in the
creation of a new element with better properties. For that reason, the design field
has seen in the obligation of creating new line guides or norms that take the correct
performance of that system; one of the principles is the limit service state, which
function is assure the correct structural performance such as the functionality and
the security. As a long time, the behavior, in that state, works in elastic range,
because it is designed in the assumption of the elements work elastically and,
consequently, the responses too. In service, the structural responses should be
controlled and verified in function of mechanic theories, considering the structure
acts elastically – instantaneous effect – and the long time effect does not occurs in
the analysis, it verifies using formulas in elastic state or empiric form. In the spite
of the fact that the real behavior, the service state does not work as a lineal range,
in fact the real response as deflections, primarily, do not take in consideration the
time dependent effects or long terms effects. Those problems generates
underestimated or overestimated calculations in current design codes like as AISC,
Euro code 4, BS 5950, NTP. Equally, the long-term effects generates that strains
may decrease progressively, forces do not stay constant and deflections increase
in a high percentage rate, compared to the short-term effects (instantaneous). In
the present thesis, it will realize a recompilation of information from long term
deflection on composite beams of concrete and Steel in the process of calculus,
control and verification of the structural response –the deflection- in that system.
Moreover, the necessary guidelines for modeling beams. Those guidelines were
used for creating a realistic model in order to evaluate the results with real
experiments. Finally, it has included a revision of information for proposed
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problems in function of the constitutive properties from the elements, which
conform the composite section.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA PRÓLOGO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
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PRÓLOGO
Muy pocas veces un trabajo de investigación está orientado a un tema
complejo, de mucha importancia, pero tratado de manera práctica de modo de
cubrir aspectos generales de dicho tema y otorgar bases para el inicio de estudios
más profundos, aplicación directa y/o en ensayos de laboratorio, además de
brindar posibles lineamientos futuros de investigación en nuestro medio. Es así
que el autor se dedica, a tiempo completo, a la investigación del tema deflexiones
diferidas en vigas de sección compuesta de concreto y acero, dando como
resultado el presente trabajo.
Si bien el cálculo de las deflexiones de vigas esta estudiado en general, no así la
determinación de estas para el caso de vigas de sección compuesta, conformadas
por perfiles tipo H y losas de concreto armado. Hasta el momento de elaborar el
presente trabajo se encontraron referencias de que aún se encuentra en etapa de
estudio la determinación de deflexiones producto de cargas a largo plazo-
especialmente en nuestro medio- ya que en la norma de concreto armado vigente,
E060, este tipo de deflexiones solo está determinada mediante una fórmula
empírica y ajustada solo para el caso de secciones netamente de concreto
armado. Se encuentra que este tipo de deformaciones no dependen solo de las
características físicas de los materiales involucrados, como el flujo plástico,
también de la cantidad de estos, formas, dimensiones, interacción entre ellos,
deformaciones relativas y de los procesos constructivos, además del tiempo, como
es de esperarse.
Cabe la pregunta de cómo una cuestión tan importante aún no es tomada muy en
cuenta en las normas en todo el mundo y de cómo un tema tan importante no es
aún bien entendido. La respuesta ante este reto está aquí al tratar las deflexiones
diferidas de secciones compuestas de una manera simple, acumulando y
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mostrando de forma ordenada toda la información posible y encontrada; se
encontrará que el fin del presente no es resolver el problema, el fin primordial es
mostrar dicho problema de manera sencilla.
MASIAS GUILLEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA LISTA DE CUADROS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
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LISTA DE CUADROS
Cuadro N° 3.1 Peraltes o espesores mínimos de vigas no pre-esforzadas o losas
en una sola dirección. ........................................................................................ 51
Cuadro N° 3.2 Valores obtenidos de los diferentes modelos de predicción del
concreto. ............................................................................................................ 96
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LISTA DE FIGURAS
Figura N° 1.1 Vigas de secciones compuestas. 28
Figura N° 1.2 Tipos de columnas compuestas: (a) Sección embevida; (b) Sección
circular con concreto; (c) Sección circular dentro de una sección circular; (d)
Sección parcialmente encasetada; (e) Sección múltiple de acero; (f) Sección
asimétrica. 28
Figura N° 1.3 Tipos de perfiles para sistema de losa colaborante. 29
Figura N° 1.4 Sección transversal para una viga compuesta tipo "T" 30
Figura N° 1.5 Piso suspendido con juntas de hierro 32
Figura N° 1.6 Piso Pohlmann. 32
Figura N° 1.7 Sección típica de puente en 1932. 33
Figura N° 1.8 Sección de puente en Suiza. 33
Figura N° 1.9 Viga compuesta de Kahn en 1926. 34
Figura N° 1.10 Viga de sección compuesta con conectores de cortes. 35
Figura N° 2.1 Viga de sección compuesta en área de estacionamiento del centro
comercial “Tottus” de Atocongo. 36
Figura N° 2.2 Detalle de una viga de sección compuesta tipo "T" 37
Figura N° 2.3 Losa de concreto armado en sistema compuesto. 38
Figura N° 2.4 Losa de concreto con planchas metálicas. 39
Figura N° 2.5 Prueba de colocación de conectores de corte soldados al ala
superior de un perfil "I" (Obra almacén XIMESA). 39
Figura N° 2.6 Tipos de conectores de corte. 40
Figura N° 2.7 Equilibrio de fuerzas entre losa y viga. 40
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Figura N° 2.8 Perfil de acero, "I” o “W". 41
Figura N° 2.9 Tipos de interacción entre el concreto y el acero 43
Figura N° 2.10 Colocación de planchas metálicas en el sistema deck. 44
Figura N° 2.11 Grampa usada para la unión de sistema deck. 44
Figura N° 2.12 (a) Colocación (b) Espaciamiento en conectores. 45
Figura N° 2.13 Puesta de conectores de corte. 45
Figura N° 2.14 Aparato usado en el proceso de soldado. 46
Figura N° 2.15 Vaciado del concreto. 46
Figura N° 3.1 Viga deformada por cargas externas. 50
Figura N° 3.2 Diagrama de esfuerzo-tiempo para efecto no lineal. 50
Figura N° 3.3 Factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas 53
Figura N° 3.4 Reducción gradual del esfuerzo en el tiempo. 55
Figura N° 3.5 Gráfico de esfuerzo-deformación del concreto. 55
Figura N° 3.6 Sección de viga rectangular de concreto doblemente reforzado en
el intervalo de carga de servicio después del agrietamiento. 58
Figura N° 3.7 Deformaciones iniciales en la sección. 62
Figura N° 3.8 (a) Sección transversal; (b) Fuerzas actuantes; (c) Redistribución de
esfuerzos en rango no lineal superpuestos a esfuerzos iniciales. 64
Figura N° 3.9 (a) Efecto de deslizamiento “slip”, (b) Distribución de esfuerzo debido
a la conexión parcial. 66
Figura N° 3.10 Fuerzas de corte y deformaciones unitarias desarrolladas en
conexión parcial. 66
Figura N° 3.11 Viga con planchas metálicas transversales a la viga 68
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Figura N° 3.12 (a) deformaciones finales con parcial adherencia, (b) por conexión
completa, (c) deformación de desplazamiento relativo. 69
Figura N° 3.13 Influencia del tipo de conexión obtenido al ensayar una viga de
sección compuesta en un programa realizado por Kim. 70
Figura N° 3.14 Comparación modelo B3 con algunos test para el creep básico. 84
Figura N° 3.15 Vista de elevación de pasarela. 97
Figura N° 3.16 Sección transversal de pasarela. 98
Figura N° 4.1 Muestra tomada en forma experimental por Bazant 1987, comparada
con el modelo Lau et al. 106
Figura N° 4.2 Deflexiones vs tiempo para caso de vigas reforzadas en modelos
experimentales y analíticos. 107
Figura N° 4.3 Modelo implementado en el programa ABAQUS. 108
Figura N° 4.4 Deflexiones en la viga de sección compuesta. 109
Figura N° 4.5 Bloques de concreto que simulan cargas constantes. 110
Figura N° 4.6 Sistema usado para el estudio experimental por Ranzi. 110
Figura N° 4.7 Aplicación de la carga sostenida en la sección compuesta. 111
Figura N° 4.8 Resultados del ensayo push-out para ver la rigidez inicial de los
conectores. (a) Tipo empernada; (b) tipo empernado; (c) tipo soldado. 112
Figura N° 4.9 Sistema usado para el estudio experimental. 112
Figura N° 4.10 Proceso de aplicación de carga en la viga de acero con láminas de
fibra de carbono. 113
Figura N° 4.11 Fallas ocasionadas en los conectores de corte ensayados. 114
Figura N° 4.12 Diagrama de fuerza vs deflexión. 116
Figura N° 4.13 Segmento infinitesimal de la viga de sección compuesta. 116
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Figura N° 4.14 Segmento de equilibrio en el modelo mencionado. 117
Figura N° 4.15 Elemento finito utilizado para el modelo. 117
Figura N° 4.16 Segmento de modelo de viga de sección compuesta. 118
Figura N° 4.17 Modelo aplicado para el análisis de sensibilidad. 119
Figura N° 4.18 Grupo de elementos finitos en programa ABAQUS: (a) losa de
concreto; (b) perfil de acero; (c) conectores de corte y (d) elemento de contacto
entre el acero y el concreto. 120
Figura N° 4.19 Fuerzas internas actuantes en dos capas distintas y las fuerzas de
conexión. 121
Figura N° 4.20 Modelo desarrollado en elementos finitos que considera los grados
de libertad para fuerzas y nodos. 122
Figura N° 4.21 Elementos finitos para las vigas de sección compuesta con
conexión parcial. 123
Figura N° 4.22 Fuerzas nodales y componentes del desplazamiento para una viga
simplemente apoyada. 124
Figura N° 4.23 (a) Geometría de la sección; (b) desplazamiento de la sección
transversal; (c) función de esfuerzo. 125
Figura N° 4.24 Malla de elementos finitos usados por Tamayo 2011 y Dias 2013
en programa GiD. 126
Figura N° 4.25 Modelo de elemento finito usado. 126
Figura N° 4.26 Sistema en elementos finitos en el programa ANSYS. 127
Figura N° 5.1 Factor de reducción para los momentos de apoyo. 136
Figura N° 6.1 Gráfico de esfuerzo-deformación del acero estructural A-36 141
Figura N° 6.2 Curvas esfuerzos-deformación en diferentes grados de acero. 143
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Figura N° 6.3 Deformación vs tiempo, modelo visco elástico del concreto. 144
Figura N° 6.4 Deformación por flujo plástico. 145
Figura N° 6.5 Retracción por secado del concreto a humedad constante. 147
Figura N° 6.6 Retracción por secado del concreto a humedad variable. 147
Figura N° 6.7 Variación de esfuerzos por relajación. 149
Figura N° 6.8 Deformación total del concreto bajo cargas sostenidas. 150
Figura N° 6.9 Efectos ocurridos en el concreto por el tipo de losa. 151
Figura N° 6.10 Comportamiento real del conector de corte. 152
Figura N° 6.11 Fallas por corte en los conectores. 152
Figura N° 6.12 Esquemas de zona de tracción y compresión en el concreto. 153
Figura N° 6.13 Transferencia del corte a través de una fisura de concreto. 154
Figura N° 6.14 Distribución longitudinal del flujo de corte en una viga de sección
compuesta. 155
Figura N° 6.15 Distribución de esfuerzos por shear lag. 155
Figura N° 6.16 Tipos de pandeo en la viga de perfil. 157
Figura N° 6.17 Fuerzas actuantes en el ala del perfil. 157
Figura N° 6.18 Curva de esfuerzo-deformación del acero reforzado: (a) planchas
metálicas (b) barras de refuerzo. 158
Figura N° 6.19 Fallas planares a través de la losa compuesta por el acero
longitudinal. 159
Figura N° 6.20 Esquema de la transferencia de fuerzas longitudinales debido al
acero transversal en vigas discontinuas. 160
Figura N° 6.21 Fenómeno de deslizamiento. 161
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Figura N° 6.22 Ensayo "push out" para carga de corta duración. 162
Figura N° 6.23 Gráfico de capacidad en conectores de corte. 163
Figura N° 6.24 Apuntalamiento y no apuntalamiento de viga de sección
compuesta. 163
Figura N° 6.25 Distribución de esfuerzos para el caso de no apuntalamiento. 164
Figura N° 6.26 Distribución de esfuerzos para el caso de apuntalamiento. 165
Figura N° 7.1 Superficie de plastificación biaxial. 168
Figura N° 7.2 Modelo de representación del concreto. 169
Figura N° 7.3 Modelo constitutivo del concreto en compresión. 171
Figura N° 7.4 (a) Elemento sólido cuadrático; (b) elemento de cáscara 172
Figura N° 7.5 Diagramas de tensión del acero de refuerzo: (a) trilinealidad, (b)
bilinealidad. 173
Figura N° 7.6 Diagrama bilineal para el acero en el perfil 174
Figura N° 7.7 Criterio de fluencia en tracción y compresión para el acero 176
Figura N° 7.8 Elemento cuadrilatero con 4 grados de libertad 176
Figura N° 7.9 Conector de corte típico después de la deformación. 178
Figura N° 7.10 Curva de capacidad del conector de corte 187
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
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LISTA DE SÍMBOLOS Y DE SIGLAS
�̅�𝑒 : Módulo de elasticidad del concreto ajustado en el tiempo 𝑋.
�̅�𝑒(𝑡, 𝑡0): Módulo efectivo de elasticidad para el tiempo 𝑡, aplicado en un tiempo 𝑡0.
∆휀𝑜 : Aumento gradual de la deformación.
ℎ𝑑 : Altura de conector de corte después del soldado.
ℎ𝑝: Altura de la losa del sistema deck o colaborante.
𝐴𝑐 : Área transversal de la losa de concreto.
𝐴𝑐, 𝐵𝑐 y 𝐼𝑐: Propiedades geométricas de la sección transversal.
𝐴𝑐𝑣: Sección transversal del concreto por unidad de área.
𝐴𝑒 : Área de acero de refuerzo transversal en cada plano.
𝐴𝑠 : Área transversal de acero.
𝐷𝑐 : Espesor de la losa de concreto armado.
𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 : Módulo efectivo de elasticidad del concreto.
𝐸𝑐 : Módulo de elasticidad del concreto.
𝐸𝑟 : Módulo de elasticidad del acero de refuerzo.
𝐸𝑠 : Módulo de elasticidad del acero estructural.
𝐸𝑠(𝑡0) : Módulo de elasticidad del acero en un tiempo de aplicación 𝑡0.
𝐼1y 𝐽2 : Funciones tensoriales para función de plastificación.
𝐼𝑒 : Momento de Inercia de la sección efectiva.
𝐼𝑔 : Momento de Inercia de la sección bruta.
𝐽(𝑡,𝑡𝑜) : Función de superposición para el modelo ACI 209R-92.
𝑀0: Es el momento máximo en la viga simplemente apoyada.
𝑀1 y 𝑀2: Momentos en los soportes adyacentes
𝑀𝑐 : Momento flector del concreto.
𝑀𝑐𝑟 : Momento de agrietamiento de la sección.
𝑀𝑐𝑟 : Momento máximo no amplificado.
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𝑁𝑎: Número actual de conectores entre el apoyo y el medio de la viga.
𝑁𝑐 : Fuerza de corte del concreto.
𝑁𝑝: Número de conectores de corte para momentos positivos.
𝑁𝑟: Número de conectores de corte en cada grupo en el ala de viga.
𝑁𝑠 : Fuerza de corte del acero.
𝑄𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒 : Fuerza del conector de corte.
𝑌𝑡 : Distancia del eje neutro hacia la fibra en compresión.
�̅�(𝑡0) : Coeficiente de sección transformada.
𝑏0: Espesor de la placa metálica.
𝑓´𝑐(𝑡) : Resistencia a la compresión del concreto.
𝑓´𝑐: Resistencia a la compresión del concreto.
𝑓𝑟 : Módulo de rotura del concreto.
𝑓𝑠𝑘: Es el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo.
𝑓𝑢 ; Esfuerzo de rotura del acero.
𝑓𝑦𝑝 : es el esfuerzo de fluencia del acero del sistema DECK.
𝑘𝑡 : Rigidez del conector de corte.
𝑡𝑠 : Espesor de la hoja del sistema DECK.
𝑤𝑐: El peso específico del concreto.
𝑤𝑒𝑓𝑓 : Ancho efectivo de la losa de concreto.
𝛥𝑑𝑖𝑓 : Deflexión diferida en vigas.
𝛥𝑖𝑛𝑠 : Deflexión instantánea en vigas.
𝛥𝑚𝑖𝑑−𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 : Deflexión en el vano central de la viga.
𝛽𝑠 ( 𝑡 − 𝑡𝑠) : Función adoptada de MC-90 del ACI 209R.
𝛾𝑐 : Producto acumulativo de la aplicable correlación factores.
𝛿0 : Es la deflexión de una viga simplemente apoyada para la misma carga.
𝛿𝑐 : Es la deflexión de una viga continua.
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𝛿𝑠 : es la deflexión del acero actuando sólo.
휀𝑐 : Deformación por relajación del concreto.
휀𝑐𝑠0 : Retracción total.
휀𝑜𝑖 : Deformación inicial en la fibra superior.
휀𝑟 : Deformación del acero de refuerzo.
휀𝑠 : Deformación del acero estructural.
휀𝑠ℎ𝑢 : Último esfuerzo de retracción.
휀𝑠𝑙𝑖𝑝 : Deformación por desplazamiento relativo
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 : Deformación total.
𝜈𝑅𝑑 : Resistencia de corte por unidad de área.
𝜉𝑠ℎ: Retracción del concreto.
𝜌𝑖,𝑠𝑙𝑖𝑝 : Curvatura para adherencia de la viga de sección compuesta.
𝜌𝑖,𝑛𝑜 𝑠𝑙𝑖𝑝 : Curvatura para no adherencia de la viga de sección compuesta.
𝜌𝑖 : Curvatura inicial de la sección transversal de la viga de sección compuesta.
𝜎𝑟 : Esfuerzo del acero de refuerzo.
𝜎𝑠 : Esfuerzo del acero estructural.
𝜎𝑦(𝑘) : Tensor de plastificación.
𝜏𝑅𝑑: Fuerza cortante del concreto.
𝜏𝑙𝑖𝑚 : Fuerza máxima de fricción.
𝜑𝑢 : Coeficiente de flujo plástico último.
𝜕 𝑓(𝜎)
𝜕𝜎𝑖𝑗 : Gradiente de la función de tensiones.
∆𝜌𝑚𝑖𝑑 : Aumento gradual de la curvatura de la viga de sección compuesta.
∆𝜌𝑜 : Curvatura para el efecto diferido del concreto.
∆𝑀 : Aumento gradual del momento flector.
∆𝑁 : Aumento gradual del deslizamiento puro.
∆𝜎(𝑡0): Cambio gradual de esfuerzos
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ℎ : Altura del perfil de acero.
L : Longitud de la viga.
Δ𝜆 : Factor dependiente del tiempo.
𝐴 , 𝐵 y 𝐼: propiedades de la sección transversal transformada que corresponden
área, primer y segundo momento de inercia respecto a la superficie.
𝐹 : Área de la adherencia entre el concreto y el acero.
𝐹(𝜎, 𝑘 ) : Función de endurecimiento.
𝐺 : Módulo de corte.
𝑀 : Momento flector de la viga de sección compuesta.
𝑁 : Deslizamiento puro.
𝑋 : Coeficiente de la edad del concreto
𝑑 : Diámetro del conector de corte.
𝑑휀𝑖𝑗𝑝
: Incremento de la deformación por tiempo.
𝑓 (𝐼1, 𝐽2 ) : Función de plastificación.
𝑓(𝜎) : Función de plastificación.
𝑟(𝑡 , 𝑡𝑜) : Función de relajación del concreto.
𝑠 : Espaciamiento de los conectores de corte.
𝑡: Edad del concreto.
𝑤 : Ancho de losa de concreto.
𝑦 : Distancia de la fibra superior de la losa del concreto hacia un punto dado.
𝛽 : Factor dependiente del tipo de conector
𝜂: coeficiente del concreto.
𝜇 : Coeficiente de rozamiento.
𝜇 : Módulo de poisson.
𝜉 : Factor dependiente del tiempo.
𝜌´ : Cuantía del acero en compresión.
𝜎(𝑡0) : Esfuerzo debido a lo largo del tiempo.
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𝜏 : Fuerza de fricción.
𝜙(𝑡, 𝑡0) : Coeficiente del flujo plástico para el tiempo 𝑡, aplicado en un tiempo 𝑡0.
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INTRODUCCIÓN
Las vigas de sección compuesta presentan un sinfín de ventajas en el campo
estructural, representando una solución atractiva en el campo de puentes y
edificaciones. Estas vigas están comprendidas por una losa de concreto armada;
conectada mecánicamente por conectores de corte al perfil de acero , tipo “I” o
“W”, desarrollando eficazmente una viga de sección tipo “T” capaz de resistir altas
cargas aplicadas. En este tipo de sección de viga, el desarrollo de las respuestas
estructurales en el campo ingenieril pueden jugar un rol importante en la
funcionabilidad, seguridad y economía de las obras sean civiles o mecánicas, por
tal motivo el estudio de dichas respuestas viene a estar normado por lineamientos
vigentes en reglamentos de la literatura actual. Dentro de las respuestas
estructurales, se observan las deflexiones que son divididas en dos tipos:
instantáneas y diferidas; éstas son calculadas con métodos simplificados lineales
para efectos a corto plazo (instantáneas) y efectos a largo plazo (diferidas). No
obstante, el efecto diferido debe tomar en cuenta las propiedades mecánicas
reales de los materiales para una mejor aproximación en el cálculo. De hecho, el
efecto a largo plazo debe ser realizado, adecuando los efectos no lineales y el
rango inelástico del concreto y el acero en el sistema compuesto.
El presente trabajo tendrá como tema central el desarrollo de las deflexiones
diferidas para las vigas de sección compuesta. Para tal fin, se realizó una
recopilación de información en la literatura actual mediante la descripción del
sistema estructural, la normativa actual, las deflexiones diferidas y la influencia de
los elementos y materiales constituyentes. Además, se describe un breve
lineamiento para el modelamiento de las vigas de sección compuesta basado en
elementos finitos de acuerdo a diversos autores, para desarrollar una mejor
precisión en el cálculo de las respuestas en futuros estudios.
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1. CAPÍTULO I. GENERALIDADES
1.1 ANTECEDENTES
1.1.1 Sistema compuesto
El término “construcción compuesta” es utilizado para denominar el uso de
materiales con diferentes propiedades, considerando sus principales ventajas por
separado para poder conseguir una mejor aplicación práctica y segura.
Debido al constante uso de este sistema, la difusión ha sido relativamente grande
a nivel mundial en países industrializados. Por ello, normas y códigos nacionales
e internacionales, BS 5950 Part 3 (Norma británica), Euro Código, AISC,
AASHTO, Reglamento Nacional de Edificaciones, entre otros; consideran un
lineamiento para el diseño, análisis, cálculo, control y verificación de elementos
estructurales que requieran la aplicación del sistema. Todo ello para poder
satisfacer las principales funciones de diseño, seguridad y economía en el campo
ingenieril.
El sistema de construcción compuesta se usa en vigas, columnas, losas y zapatas
en el campo de edificaciones y puentes. En vigas, es usado ampliamente en
sistemas de pórticos en edificaciones y como vigas longitudinales en puentes por
su alta capacidad, principalmente. La aplicación del sistema compuesto requiere
el uso de materiales que resistan las fuerzas internas (esfuerzos de compresión o
de tracción), consecuencia de la constante aplicación de grandes solicitaciones
externas, requiriendo el uso de los perfiles de acero junto con el concreto mediante
la conexión parcial o completa (embebidas) para desarrollar una mejor capacidad
interna.
Las vigas de secciones compuestas varían dependiendo de la solicitación de
cargas, tanto externa como interna. En el caso de solicitaciones externas, de
acuerdo a la aplicación de cargas, la forma más genérica en uso es la combinación
de una losa de concreto sólido unida a un perfil de acero, “I”, formando una sección
de tipo “T” tal como se observa actualmente. Por otro lado, en secciones de tipo
de solicitación interna, resisten mayores esfuerzos internos, se consideran las
propiedades conjuntas del acero y concreto, trabajando al cien por ciento
conectados, así por ejemplo las vigas embebidas.
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Figura N° 1.1 Vigas de secciones compuestas.
Fuente: (Euro código 4).
El sistema de construcción compuesta ofrece en columnas un sinfín de ventajas
comparadas a los sistemas convencionales de concreto y acero; algunas de las
principales son las siguientes: la considerable reducción de la sección transversal,
el aumento de la capacidad interna que mejora la resistencia a los esfuerzos
axiales y otros. En consecuencia, este sistema es usado en diseños que requieran
resistir una alta demanda axial; para tal fin, este tipo de sistema es simétrico para
un flujo uniforme de fuerzas internas y mejorar el tiempo de construcción.
Figura N° 1.2 Tipos de columnas compuestas: (a) Sección embevida; (b) Sección circular con concreto; (c) Sección circular dentro de una sección circular; (d) Sección parcialmente encasetada;
(e) Sección múltiple de acero; (f) Sección asimétrica.
Fuente: (Derick et al, s.f.)
El sistema compuesto en losas (colaborante o sistema deck) de edificaciones y
puentes puede ser una eficiente alternativa frente a las losas macizas de concreto
armado debido a las siguientes ventajas: reducción del peso, mejora en los
tiempos de la construcción, resistencia al fuego, aumento de la capacidad frente
a la demanda estructural y otros. Este sistema está compuesto de planchas
metálicas con diferentes secciones - ver figura N° 1.3 -, acero de refuerzo - que
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puede ser acero corrugado, mallas electro soldadas u otros - para facilitar la
adecuada transferencia de la fuerza cortante longitudinalmente; conectores de
corte, tanto rígidos como flexibles en la losa de concreto y la viga metálica.
Figura N° 1.3 Tipos de perfiles para sistema de losa colaborante.
Fuente: (Couchman et al, 2000).
La aplicación en conjunto de estos elementos compuestos de construcción
compuesta puede ofrecer características superiores frente a los sistemas
comunes en obras civiles. Estos elementos mencionados representan sólo las
aplicaciones más comunes en ingeniería, porque las aplicaciones pueden ser
limitadas por la imaginación del diseñador.
1.1.2 Vigas de sección compuesta de concreto y acero, tipo “T”
En especial, la aplicación del sistema compuesto en vigas de tipo “T” toma suma
importancia por el uso en puentes a nivel nacional, debido a las grandes
demandas externas por las cargas aplicadas. Dado estas características, las vigas
pueden ofrecer una alta relación costo-beneficio, tanto estructuralmente como
arquitectónicamente. A nivel estructural, el estado de esfuerzos debe ser
calculado de manera correcta para un adecuado funcionamiento y en el caso de
arquitectura, el uso optimizado de los espacios es una de las mejores
características, por ejemplo el aumento de la altura libre, vanos más anchos, losas
de grandes dimensiones entre otros.
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Figura N° 1.4 Sección transversal para una viga compuesta tipo "T"
Fuente: (Derick et al, s.f.)
Estas vigas de sección compuesta están formadas por una losa de concreto
armado y un perfil metálico de sección “I”, formando en conjunto una sección T y
conectados mediante conectores de corte.
La losa de concreto es sometida a esfuerzos de tipo compresivo, igualmente, la
viga de acero es sometida a esfuerzos de tracción. Al incluirse dichas fuerzas
internas, existe un elemento de unión que son los conectores de corte que tiene
como principales funciones: la unión entre la losa y la viga, la restricción de los
desplazamientos relativos tanto en dirección longitudinal como vertical y
transmisión de fuerzas internas. Finalmente, el trabajo conjunto de los elementos
presentes resulta en una alta rigidez y una alta capacidad en la estructura.
1.1.3 Deflexiones diferidas en vigas de sección compuesta
El uso de sistemas de sección compuesta requiere de diseños seguros y
económicos de los elementos constituyentes, lo que conlleva a emplear un método
de análisis que refleje cercanamente el comportamiento real de estas estructuras,
considerando los efectos diferidos del concreto y los efectos no lineales en los
elementos constituyentes – rigidez de los conectores de corte, desplazamiento
relativo entre losa y viga por la demanda actuante.
La base científica del estudio de las deflexiones se encuentra en numerosas
investigaciones que muestran los efectos diferidos, el grado de conexión, el tipo
de material que conforman dicho sistema compuesto y el análisis no lineal en las
vigas. Tal es el caso de Wang et al. [86] que nos indica que las suposiciones por
las fórmulas del AISC subestiman el cálculo de deflexiones en estado de servicio
–mostrando un método simplificado-; además del trabajo de Fu y Lu et al. [31] que
indica, de igual manera, que en la formulación AASHTO las deflexiones tienden a
subestimarse. Kotinda et al. [43] muestra un lineamiento básico para el
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modelamiento en elementos finitos con base en un programa comercial;
similarmente, Dias [25] y Tamayo [78], quienes encontraron que la deflexión límite
en condiciones de servicio puede controlar muchas veces el diseño de las
estructuras de vigas de sección compuesta y para, finalmente, demostrar que el
aumento de la deflexión en el tiempo es una consecuencia del efecto de fluencia,
temperatura, edad y retracción del concreto en la losa, que se produce a través
del tiempo (aspectos que no son considerados adecuadamente en la norma
peruana, NTE E.060 y NTE E.090). En Perú, el problema se aborda de manera
práctica mediante el diseño y/o verificación de las estructuras realizados por medio
de modelos de análisis estructural simplificado y/o fórmulas empíricas dadas en
códigos de diseños actuales que parte de la suposición de la elasticidad en los
elementos del sistema dicho. Por otra parte, existen métodos de cálculo y control
de deflexiones en normas internacionales tales como AASHTO, ACI 209, AISC
(1993), Euro código 4, BS 5950 Part 3 que consideran los efectos diferidos en
elementos de concreto para el posterior proceso de aplicación.
1.2 RESEÑA HISTÓRICA
El inicio de la construcción compuesta se remonta al año 1808, en dicho año se
patenta el primer sistema de pisos suspendidos con vigas de sección compuesta,
dicho sistema fue inventado por Ralph Dodd, ingeniero civil británico conocido por
la construcción del túnel debajo del río Thames (Reino Unido). Este sistema
comprendía de tubos maleables de hierro con alas que eran llenados con piedras
artificiales, mezcla de diferentes materiales que mediante procesos físico-químico
son endurecidos. Años más tarde, dicho sistema fue mejorado por varios
inventores en función de crear elementos de mejor capacidad; esto se realiza
gracias a la mejora continua del hierro a usar en el relleno de la sección, se
empezó a usar concreto, hasta incluso llegando a utilizar secciones de tipo “I” junto
con conectores de corte en fase inicial. En 1873, se crea el sistema compuesto
tipo “T” por William E. Ward para que posteriormente sea perfeccionado.
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Figura N° 1.5 Piso suspendido con juntas de hierro
Fuente: (Pelke et al.2015)
A partir de la invención del sistema “T”, se comienza a variar los elementos
constituyentes de dicho sistema; así por ejemplo, se cambia el hierro por acero
debido a las mejoras de las propiedades mecánicas de dicho material, se empieza
a estudiar el fenómeno de fuerzas de corte en función de los conectores que se
encuentran entre el acero y el concreto, y otros aspectos más en las conexiones
mismad. En la figura N° 1.6, se observa el inicio del uso de conectores de corte
pero de forma asimétrica, luego se mejora dicha aplicación en función al estudio
del fenómeno “slip” (desplazamiento relativo entre viga de acero y losa de
concreto).
Figura N° 1.6 Piso Pohlmann.
Fuente: (Pelke et al.2015)
A partir de la invención del concreto reforzado en las estructuras ingenieriles en
1886, el sistema se empezó a usar masivamente en diferentes tipos de casos para
elevar las propiedades mecánicas del sistema compuesto. Durante los inicios del
siglo XX, se empieza la discusión de cómo la unión debería ser puesta en marcha,
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para lo cual se necesitaba diversos tipos de pruebas en función de ver la
capacidad que podría tener la viga de sección compuesta; concluyendo que la
ubicación de los perfiles “I” es de gran importancia debido a que la separación
entre ellos (aumenta o reduce la capacidad de carga de la viga misma). En la
figura N° 1.7, se observa la sección transversal de un puente que sistema de
sección compuesta encasetada.
Figura N° 1.7 Sección típica de puente en 1932.
Fuente: (Pelke et al.2015)
Durante el tiempo de 1925 a 1950, la industria de la construcción empieza a
estudiar el efecto de la conexión entre la losa de concreto armado y la viga de
acero para ampliar el uso a nivel regional y para aumentar la capacidad de carga;
esto se realizó en países europeos, Alemania y Suiza. El sistema de conexión que
fue aplicado son los conectores –usados actualmente- que debido al fenómeno de
deslizamiento entre los elementos de concreto y acero estos tienden a transmitir
esfuerzos de tipo cortante tanto longitudinalmente y transversalmente. En función
a esta temática, se comienza a variar la posición de los perfiles en las secciones
transversales en función del largo del vano y la aplicación.
Figura N° 1.8 Sección de puente en Suiza.
Fuente: (Pelke et al.2015)
En Estados Unidos, gracias a la industria automovilística, se necesita un sistema
eficiente tanto en el campo estructural como en el campo de construcción, por ello,
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en 1926, Kahn desarrolla una patente que considera una forma de unión entre la
losa de concreto y el acero con conectores con un ángulo de 45° respecto a la
horizontal, ver figura N° 1.9. Además, se inicia el uso de información experimental
con cargas aplicadas; tal como la variación de las secciones con diferentes
magnitudes de cargas en diferentes estudios.
Figura N° 1.9 Viga compuesta de Kahn en 1926.
Fuente: (Pelke et al.2015)
En 1944, AASHO1 (Predecesor del AAHSTO) oficializa el uso de vigas de sección
compuesta de concreto y acero en Estados Unidos por primera vez. Durante los
años siguientes, se comienza el estudio para mejorar la conexión entre el concreto
y acero, considerando el uso de conectores de corte y los efectos diferidos del
concreto tales como flujo plástico y la retracción. Igualmente, los diversos países
europeos vieron la necesidad de publicar normas en función al correcto
funcionamiento en sistemas compuestos, se publicaron normas tales como BS
5950, Euro código 4 y otros. En la actualidad, el sistema sigue siendo estudiado
para poder dar un eficiente uso entre los elementos de concreto y de acero;
además, considerar nuevos elementos en la construcción como en madera, en
PVC, en fibra de carbono para la mejora en las propiedades mecánicas. En tal
forma, se hace uso del campo computacional para predecir un mejor
comportamiento tanto en fuerzas internas como en respuestas estructurales,
asegurando el grado de seguridad y confiabilidad de la estructura.
1 American Association of State Highway Officials.
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Figura N° 1.10 Viga de sección compuesta con conectores de cortes.
Fuente: (http://tatproddel.tat.cloud.opentext.com/sites/constructionuk/default/en/reference/teaching-resources/architectural-teaching-resource/elements/composite-construction/introduction-to-
composite-construction,s.f.)
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2. CAPÍTULO II. VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA TIPO “T”
2.1 ¿QUÉ ES UNA VIGA DE SECCIÓN COMPUESTA?
El desarrollo ingenieril ha permitido el uso de diversos sistemas estructurales con
el fin de cumplir los objetivos de diseño, esto ha llevado al uso de materiales
conocidos durante muchos años como el concreto, acero, madera, y otros.
Igualmente, estos materiales tienen altas ventajas en tanto al diseño por
resistencia, servicio y estabilidad, por tanto se deciden usar en elementos
estructurales específicos (vigas, columnas, placas, muros, cimientos, etc.). No
obstante, el concreto tiende a no resistir esfuerzos de tipo tracción o el acero, no
puede resistir la corrosión o el fuego. Con el fin de obtener un mejor
comportamiento en común -que usando aisladamente los diferentes tipos de
materiales- se ha demostrado que la acción compuesta del acero y del concreto
genera secciones más rígidas, más resistentes y con un alto grado de beneficio a
nivel estructural. Por ello, el uso de este sistema puede ser recomendado en
diferentes tipos de sistemas estructurales; así por ejemplo, la viga de sección de
tipo “T” en puentes de largos vanos por su alta capacidad frente a demandas
externas.
Figura N° 2.1 Viga de sección compuesta en área de estacionamiento del centro comercial “Tottus” de Atocongo.
Se puede definir a las secciones compuestas como aquellos elementos
estructurales que están conformados por dos o más materiales con diferentes
propiedades mecánicas, que al actuar conjuntamente forma una estructura más
rígida y más resistente.
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Figura N° 2.2 Detalle de una viga de sección compuesta tipo "T"
Fuente: (http: //www.steel-bridges.com/composite-beam-bridge.html, s.f.)
La viga de sección compuesta tipo “T” está estructuralmente formada por la losa
de concreto reforzado que está conectada mecánicamente al ala superior de la
viga de acero, perfil “I”, mediante conectores de corte, ver figura N° 2.2. Esto hace
que la viga de acero se comporte de manera conjunta tomando las propiedades
mecánicas de los elementos, haciendo que el concreto resista esfuerzos de tipo
compresivo en mayor proporción, y que la viga de acero resista esfuerzo de tipo
tracción por sus propiedades presentes.
En respuestas estructurales, las más predominantes son las deflexiones tanto a
corto plazo como a largo plazo. Así en el caso de vigas de sección compuesta, los
elementos que conforman dicha sección juegan un rol fundamental en el análisis.
De esta manera, la losa de concreto condiciona el efecto a largo plazo y el rango
no lineal presente que aumentan las deflexiones en un gran porcentaje; los
conectores de corte ayudan a mantener la correcta unión entre la losa y la viga, a
fin de evitar efectos no deseados en el comportamiento de la viga; finalmente, la
viga de acero, sección “I”, es diseñada en el rango elástico para que se comporte
dúctilmente.
2.2 ELEMENTOS DE LA VIGA DE SECCIÓN COMPUESTA
La viga de sección compuesta “T” está conformada por tres elementos que
aseguran la correcta conexión entre diferentes materiales. Estos elementos son
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los siguientes: la losa de concreto, los conectores de corte y la viga de acero, por
tal motivo se procederá a describir cada elemento.
2.2.1 Losa de Concreto
La losa de concreto es reforzada con acero corrugado o con mallas electro
soldadas cuya principal función es mantener la seguridad y funcionalidad,
igualmente, este elemento se encarga de resistir las cargas demandadas durante
el funcionamiento de la estructura. El diseño de este elemento es referido a
normas tales como AISC, AASHTO, BS 59502 y otros códigos para una mejor
aplicación ingenieril. En el diseño de dicho elemento, el concreto se
predimensiona a partir del ancho efectivo sobre la base del perfil usado; dicho
ancho efectivo es calculado por el fenómeno “shear lag” (transferencia de fuerza
cortante a través de la losa de concreto), para asegurar la transferencia de
esfuerzos en forma constante y asegurar un correcto cálculo para los demás
elementos.
En el estado límite de servicio, la NTP E.060, sección de cálculo y control de
deflexiones, menciona que el uso de acero de refuerzo en compresión es para
disminuir las deflexiones en un gran porcentaje porque absorbe los esfuerzos
compresivos a través del tiempo.
Figura N° 2.3 Losa de concreto armado en sistema compuesto.
Fuente: (Euro código 4)
2 Norma británica.
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Figura N° 2.4 Losa de concreto con planchas metálicas.
Fuente: (Euro código 4)
En las figuras N° 2.3 y 2.4 se observan los tipos de losa de concreto usadas en la
construcción compuesta tanto sistema deck como losa maciza de acuerdo al
diseño previsto que es condicionada por la demanda de las cargas.
2.2.2 Conectores de corte
El uso de conectores de corte – ver figura N° 2.5 - tiene como principal función
asegurar la adherencia y transferencia de fuerzas longitudinales y transversales
entre la losa de concreto y la viga de acero.
Figura N° 2.5 Prueba de colocación de conectores de corte soldados al ala superior de un perfil "I" (Obra almacén XIMESA).
Fuente: (Masias Guillen estructuras, 2009)
Durante el proceso de diseño, se considera que la conexión es asegurada al
100%, es decir “completa” entre los elementos estructurales, esto es mencionado
en los códigos tales como AISC, Euro código 4, BS 5950 part 3 y otros; en otras
palabras, los elementos actúan como uno solo, en forma perfecta y continua,
transmitiendo las fuerzas internas a todos los elementos estructurales de la viga,
sin embargo esta interacción completa no es real porque la adherencia de
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materiales no es completa por el comportamiento real que presenta cada elemento
constituyente.
Figura N° 2.6 Tipos de conectores de corte.
Fuente: (Kotinda, 2006)
Debido a esto, el rango de aplicación se determina únicamente con la correcta
unión mecánica de la losa de concreto y el perfil de acero; no obstante, esta unión
es dependiente del conector usado que puede ser tanto flexible como rígido (ver
figura N° 2.6). El conector tipo flexible se deforma por la aplicación de la carga,
caso contrario a los conectores rígidos, los cuales tiene un rango de
deformaciones mucho mayores comparados a los flexibles, asimismo, aplicando
la misma carga se observa que los conectores flexibles se deforman en un
porcentaje mayor a los conectores rígidos
Figura N° 2.7 Equilibrio de fuerzas entre losa y viga.
Fuente: (Kotinda, 2006)
A nivel estructural, las ecuaciones de compatibilidad en la estructura nos indican
que el equilibrio en la losa de concreto y la viga de acero es por la aparición de
fuerzas cortantes debido a la adherencia entre el concreto y el acero, ver Figura
N° 2.7. Puesto que se observa un sistema de equilibrio de fuerzas perpendiculares
a la viga identificadas como “Pn”, éstas ocurren a lo largo de viga de acero en
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DEFLEXIONES DIFERIDAS EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA DE CONCRETO Y ACERO Bachiller Rocio Maldonado, Yordan Alberto 41
tracción que son equilibradas mediante la fuerza de corte “Psh” y la fuerza de
compresión “C”, lo que ocasiona el equilibrio entre los elementos de concreto y
acero. Ahora bien gracias a las ecuaciones de compatibilidad en el campo de la
mecánica de materiales se puede estudiar el equilibrio existente en el rango lineal-
elástico la losa y la viga, por esto se puede dimensionar los elementos
estructurales a partir de las relaciones presentes.
2.2.3 Viga de acero, perfil “I”
“El miembro de acero no es descrito como viga, debido a que su principal función
es resistir los esfuerzos de tipo tracción en la estructura. Esto es causado por las
propiedades mecánicas del acero, que en su mayoría son de tipo lineal, caso
contrario al concreto para diseñar de manera simplificada” (Johnson 2004) [41].
La viga de acero tiene como principal función resistir esfuerzos de tracción, ya que
el acero es un material de índole dúctil en un alto porcentaje y al aplicar cargas
externas se observan esfuerzos en tracción. Esto indica que el diseño es basado
en las propiedades lineales del acero, dado que el acero no entra en rango plástico
y no se deforma irreversiblemente. Durante el proceso de construcción, la viga de
acero se coloca primero para posteriormente resistir las cargas de construcción
en sentido longitudinal, en efecto, estas cargas no deben deformar a la viga para
una futura conexión entre los elementos faltantes.
Figura N° 2.8 Perfil de acero, "I” o “W".
Fuente: (http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/americab/01-introducion/1-11.html)
2.3 TIPOS DE INTERACCIÓN EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA
La acción u interacción en dicho sistema se realiza en dos tipos: interacción
completa e interacción parcial en función al criterio del diseño a usar.
En el primer caso, las deflexiones pueden ser calculadas aisladamente (elementos
por separados) por las propiedades lineales de los elementos; esto se puede
observar en las deflexiones instantáneas y diferidas. En efecto, se asume que los
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elementos tanto la losa de concreto como el perfil de acero se deforma en uno
solo, por tal motivo, el conector de corte no toma importancia gracias a la no
aparición de fuerzas cortantes que actúan tanto longitudinalmente como
transversalmente por la correcta adherencia.
En el segundo caso, entre los elementos no existe una conexión perfecta, por
tanto no trabajan como uno solo, esto es debido a las fuerzas cortantes absorbidas
por los conectores de corte a nivel longitudinal y transversal. Además, se observa
que la conexión se relaciona con la fuerza de corte resultante por la adherencia
del concreto y el acero. Este caso se asemeja al comportamiento real visto en
diferentes experimentos, ya que para que exista la interacción completa se debe
emplear un número grandes de conectores y la adherencia debe ser al 100%, lo
que no sucede en el campo real.
En la figura N° 2.9 se muestra los tipos de interacción de la losa de concreto y la
viga en función de los esfuerzos y las deformaciones ocurridas en ambos grados
[23].
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Figura N° 2.9 Tipos de interacción entre el concreto y el acero
Fuente: (Derick et al. s.f.)
En el caso 1, conexión total o completa, los elementos actúan de forma similar a
que la viga sea de un solo material entonces la aparición de los esfuerzos
cortantes entre la losa y viga es nula porque no se presenta fuerzas de corte
longitudinales. Además, se observa que los esfuerzos de tipo compresivo se
encuentran en su mayoría en la losa de concreto, por tanto el eje plástico de la
sección está entre la losa de concreto y el perfil de acero.
En el caso 2, los esfuerzos compresivos son absorbidos en su mayoría por la losa
de concreto y una parte por la viga de acero (perfil), pero se observa hay una
mayor concentración de esfuerzos de compresión, por tanto la conexión es de tipo
completa.
En el caso 3, la adherencia no es total entre los elementos, la losa de concreto
toma esfuerzos de tipo compresivo y de tracción, similarmente, la viga de acero
toma esfuerzos de tracción pero la interacción entre losa-viga se define por los
conectores de corte. La fuerza de corte por los conectores es menor a la fuerza
de corte que aparece en el concreto, por tal motivo la conexión es de tipo parcial.
Estas diferencias se pueden observar en el proceso de cálculo a nivel estructural,
tanto en los códigos de diseño y en la suposición de que la acción conjunta es
perfecta o no es perfecta con lo cual las fuerzas calculadas son diferentes en
ambos casos, por tanto las respuestas estructurales son diferentes.
2.4 PROCESO CONSTRUCTIVO DEL SISTEMA DE LOSA COMPUESTA
(COLABORANTE)
El proceso de construcción de losas compuestas se inicia luego de la colocación
de los perfiles de acero tanto en columnas y vigas de acuerdo al diseño. A partir
de este punto, los elementos han sido colocados en las posiciones previstas; en
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el caso de uso de un sistema de losa colaborante, las vigas de acero son de tipo
“I” o “W” debido a las mejores propiedades mecánicas y constructivas. Luego,
encima de las vigas de acero se procede a colocar las planchas metálicas de acero
para que sirvan de base – encofrado – en el vertido del concreto. Finalmente, se
forma el sistema de losa compuesta.
Figura N° 2.10 Colocación de planchas metálicas en el sistema deck.
Fuente: (Seahu, s.f.)
En la figura 2.10, se observan las planchas metálicas. Estos elementos que sirven
como soporte -plancha metálica- para el concreto son soldados a las vigas de
acero presentes durante la puesta. No obstante, otra alternativa de unión con la
viga es con un compresor neumático que une mediante pernos hacia el perfil
metálico, empleando grampas que unen el ala superior del perfil de acero con las
planchas metálicas.
Figura N° 2.11 Grampa usada para la unión de sistema deck.
Fuente: (Seahu, s.f.)
A continuación, los conectores de corte (shear studs) son soldados a una región
cerámica circular para retener la soldadura; posteriormente, dicha región será
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martillada para remover el exceso de cerámica y formar la correcta soldadura entre
conector y el ala superior de la viga de acero “I”.
(a)
(b)
Figura N° 2.12 (a) Colocación (b) Espaciamiento en conectores.
Fuente: (Masias Guillen estructuras, 2009)
La puesta en obra de los conectores de corte depende del diseño, ya que, puede
variar tanto en función al espaciamiento como a la fuerza de corte a nivel
longitudinal.
Figura N° 2.13 Puesta de conectores de corte.
Fuente: (Seahu, s.f.)
Para aumentar la resistencia a la flexión y efectos diferidos, se coloca las mallas
electrosoldadas o las varillas de acero corrugado para evitar la retracción del
concreto que es ocurrente en grandes superficies que están en contacto con el
ambiente o resistir tracciones. Éstas se colocan antes del vaciado del concreto,
siguiendo la distribución otorgada por el diseño.
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Figura N° 2.14 Aparato usado en el proceso de soldado.
Fuente: (Masias Guillen estructuras, 2009)
Además, el sistema de construcción debe ser previsto en apuntalado o en no
apuntalado en función al tipo de viga a usar; así por ejemplo, vigas de grandes
luces son consideradas no apuntaladas, ya que la viga toma un mayor porcentaje
de las cargas actuantes gracias a la colocación de una contraflecha. Igualmente,
en el sistema apuntalado, se considera que el concreto y el acero trabajan en
conjunto para las cargas actuantes; este sistema es usado en sistemas compuesto
porque a los 7 días se adquiere el 75% de resistencia a la compresión del
concreto. En consecuencia, estos sistemas de construcción afectan la respuesta
estructural y el grado de interacción en el sistema compuesto.
Figura N° 2.15 Vaciado del concreto.
Fuente: (Seahu, s.f.)
Siguiendo los procesos anteriores, el concreto será instalado en la obra sobre la
base de todos los requisitos y procedimientos normados de los vigentes
reglamentos.
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Finalmente, se procede a realizar un control de calidad respecto al concreto y al
acero, usando los estándares de las normas vigentes para asegurar el correcto
funcionamiento de la estructura, como la dosificación del concreto, el correcto
vibrado y otros.
2.5 VENTAJAS
El sistema compuesto tiene muchas ventajas respecto a los sistemas
convencionales como se presentan a continuación:
1. Optimización del material: el uso del concreto junto al acero puede crear
una estructura más eficiente con alta capacidad en cargas de corta y larga
duración; en consecuencia, este tipo de estructura se puede convertir en
una eficiente viga de bajo peso para elementos de grandes dimensiones.
2. Claros libres mayores: la alta relación entre claros/resistencia combinada
con la rigidez del sistema compuesto puede permitir el amplio uso de este
sistema en estructuras en las cuales se requiera una luz libre superior a la
normal.
3. Rapidez de la construcción: el vaciado de concreto se puede realizar en
tiempos diferentes al armado de las estructuras metálicas, por lo que se
reduce el tiempo de construcción.
4. Posible disminución del costo: A consecuencia de la rapidez de
construcción, el costo de puede disminuirse en un notorio porcentaje
debido al uso de sistema compuesto, se puede ahorrar en encofrado para
el caso de losas colaborantes e incluso el proceso de puesta en marcha
aumenta notoriamente comparado a los sistema tradicionales (concreto
armado y otros).
5. Disminución de las deflexiones tanto instantáneas y diferidas en estado de
servicio es una característica muy importante, ya que, al disminuir las
fuerzas internas se reducen. Por tanto, la funcionalidad de la estructura se
puede mantener intacta.
6. Estructuralmente, este tipo de sistema presenta una alta rigidez con
secciones transversales menores a las secciones de concreto armado, por
lo que arquitectónicamente se puede aprovechar; por ejemplo, las luces
libres, alturas libres y acabados en el proyecto final.
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2.6 DESVENTAJAS
1. El trabajo conjunto del acero y el concreto no se logra al 100% por lo que
el diseño debe considerar la conexión parcial en el proceso de diseño.
Tanto es así, que el uso de conectores es la mejor opción para asegurar la
adherencia entre la losa de concreto y la viga de acero; pero esto no
sucede en la realidad porque se necesita un gran número de conectores
de corte para lograr dicho fin. (Wang, 1998) [86].
2. Durante el proyecto, la resistencia despreciable a la tracción del concreto
agrega un grado de complejidad al momento de determinar la rigidez de
los elementos. El concreto es un material viscoelástico, ya que presenta el
fenómeno de flujo plástico y retracción, es así como sus deflexiones
aumentan en el tiempo. En efecto, los esfuerzos internos del sistema
compuesto tienden a cambiar en el tiempo, haciendo que las fuerzas
internas iniciales sean diferentes a las finales.
3. Durante el proceso de construcción, es necesario mezclar las
especialidades de concreto y acero con un personal apto y experimentado
en el soldado de los conectores de corte en la viga de acero. Esto puede
ocasionar contratiempos si no se tiene una adecuada planificación; debido
a que estas especialidades deben estar trabajando simultáneamente.
4. En el armado del acero de refuerzo de la losa de concreto, puede existir
incompatibilidades en la colocación de las varillas de refuerzo con los
conectores de corte, por tanto se requiere un adecuado espaciamiento
entre conectores y acero de refuerzo tanto superior como inferior.
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3. CAPÍTULO III. DEFLEXIONES DIFERIDAS
3.1 DEFLEXIONES EN GENERAL
La funcionalidad de las estructuras es una de las principales características que
debe cumplir el diseño, por ello hay diversos enfoques de cálculo estructural, tales
como el estado límite último (ELU) y el estado límite de servicio (ELS) que
aseguran el correcto comportamiento frente a la demanda actuante. Dichos
enfoques de seguridad son usados en normas actuales (BS5950 part 3, AISC,
Euro Código 4, Reglamento Nacional de Edificaciones, AASHTO y otros más).
Con base en ello, los cálculos han sido basados en teorías tanto en estado elástico
como en estado inelástico para tener una mejor aproximación del comportamiento
real mecánico de los elementos estructurales.
Asimismo, el enfoque aplicado para la seguridad estructural es el estado límite de
servicio debido a que si no se cumple, la estructura dejaría de funcionar y no sería
segura; dicho estado es aplicado en el Reglamento Nacional de Edificaciones en
los materiales: concreto, acero, madera y en sistemas compuestos. Esto se realiza
mediante la verificación de respuestas estructurales como deflexiones,
fisuramiento, vibraciones y otros y la inclusión de las propiedades geométricas de
los elementos estructurales.
En el caso de las deflexiones, el método simplificado presente en códigos y
normas actuales indica que en servicio las deflexiones son importantes porque
aseguran que los esfuerzos internos calculados se comporten de acuerdo al rango
elástico. Estas deflexiones se dividen en dos tipos de corto plazo y a largo plazo,
superponiendo ambos tipos para el cálculo de la deflexión total.
En el caso de deflexiones a corto plazo (instantáneas), éstas son calculadas con
la teoría clásica de mecánica de materiales, ya que se basa en sus suposiciones
básicas: secciones transversales planas constantes, propiedades lineales y otros,
ver figura 3.1.
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Figura N° 3.1 Viga deformada por cargas externas.
Fuente: (https://es.wikiversity.org/wiki/ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo_01,s.f.)
Debido a la aplicación de una carga externa instantánea, la deflexión instantánea
tiene como magnitud en vigas de tipo isostáticas (simplemente apoyadas) la
siguiente relación:
𝛥𝑖𝑛𝑠 =5 𝑤𝐿 4
384 𝐸 𝐼𝑒 (3.1)
Donde 𝑤 es la carga distribuida longitudinal, 𝐿 es la longitud de la viga, 𝐸 es el
módulo de la elasticidad del material constitutivo de la viga e 𝐼𝑒 es el módulo de
inercia efectiva de la sección transversal.
En el caso de deflexiones diferidas no se observa una deformación constante, sino
que aumenta en función a la aplicación de la carga, ver figura N° 3.2.
Figura N° 3.2 Diagrama de esfuerzo-tiempo para efecto no lineal.
Fuente: (Kim, 2014)
Frente a tales deflexiones, la normativa actual indica un lineamiento para el
cálculo, control y verificación de las deflexiones en ELS. A continuación, se
muestra dicho proceso para vigas de concreto armado, según la norma NTP.E060.
3.2 DEFLEXIONES EN VIGAS DE CONCRETO ARMADO
En el reglamento nacional de edificaciones, sección E060, “Concreto Armado”,
según el estado límite de servicio, el cálculo de las flechas instantáneas por flexión
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se realiza con el fin de limitar cualquier deformación que pudiese afectar
adversamente la capacidad o el funcionamiento de la estructura. Para el caso de
vigas de concreto armado, se indica los peraltes mínimos para no ser verificados
estructuralmente, ver cuadro N° 3.1.
Cuadro N° 3.1 Peraltes o espesores mínimos de vigas no pre-esforzadas o losas en una sola dirección.
Fuente: (NTP.E060)
En ese mismo sentido, el cálculo de las deflexiones instantáneas se aplica la teoría
de elasticidad como se observa en las normas de diseños actuales, empleando
las siguientes ecuaciones que se indican a continuación:
El momento de agrietamiento3 (𝑀𝑐𝑟), que es el máximo momento ocurrido por las
grietas en tensión del concreto debido a la aplicación de cargas externas en forma
continua de la sección, se calcula mediante la siguiente relación:
𝑀𝑐𝑟 =𝑓𝑟 𝐼𝑔
𝑌𝑡 (3.2)
Donde:
𝑀𝑐𝑟 : Momento de agrietamiento de la sección.
𝐼𝑔 : Momento de Inercia de la sección transversal bruta.
𝑌𝑡 : Distancia del eje neutro en la sección transversal hacia la fibra en compresión.
𝑓𝑟 = 0.62√𝑓𝑐´ (3.3)
3 Se observa después de que el concreto llega al esfuerzo de tracción (aparición del fisuramiento).
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Donde:
𝑓𝑟: Módulo de rotura del concreto.
A partir de la sección transformada, que depende del concreto y el acero, se aplica
el momento efectivo4 para una mejor aproximación de propiedades geométricas.
“Este momento de inercia efectivo, 𝐼𝑒, se determina para proporcionar una
transición entre los límites superior e inferior de 𝐼𝑔 e 𝐼𝑐𝑟 , como función de la
relación 𝑀𝑐𝑟
𝑀𝑎.” (Comentarios del Capítulo 9 del Reglamento Hormigón Armado
Argentino, s.f.)
𝐼𝑒 = ( 𝑀𝑐𝑟
𝑀𝑎)3
𝐼𝑔 + [1 − (𝑀𝑐𝑟
𝑀𝑎)3
] 𝐼𝑐𝑟 (3.4)
A partir de esta ecuación 3.4, el cálculo de las deflexiones instantáneas se
simplifica en el cálculo en relación al tipo de sistema de viga (continua, voladizo o
simplemente apoyada). El momento de inercia efectivo se usa para calcular las
deflexiones en estado lineal-elástico antes de que el elemento se fisure
completamente, tomando en cuenta el 𝐼𝑐𝑟 como límite máximo respecto a la
rigidez.
Luego, se procede a calcular el factor de corrección para los efectos diferidos del
concreto en cargas sostenidas según la NTP.E060, como se indica a continuación:
∆𝜆 = 𝜉
1 + 50𝜌´ (3.5)
La ecuación 3.5 se indica en la norma NTP.E060 (Concreto armado) para el
control y verificación de deflexiones diferidas; donde ξ es un factor dependiente
del tiempo, 𝜌´ es la cuantía del acero de refuerzo en compresión y ∆𝜆 es el factor
dependiente del tiempo.
4 Momento de inercia en transición entre la sección bruta y la sección fisurada.
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Figura N° 3.3 Factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas
La fórmula 3.5 es realizada de forma empírica sin considerar un estudio
paramétrico en cuanto a las deflexiones diferidas según ACI 318. En dicho código,
la referencia5 a dicha fórmula indica que a partir de los estudios experimentales
en vigas rectangulares de Branson6 existe una relación para las deflexiones a
largo plazo entre la cuantía de acero entre compresión y la geometría. Para estos
ensayos, Branson usó vigas de concreto armado con el objetivo de establecer una
relación en las deflexiones entre las rigideces de las vigas y el acero de refuerzo
(compresión y tracción).
A causa de que las deflexiones instantáneas y diferidas ocurren en el rango lineal-
elástico, se aplica el principio de superposición ecuación 3.7.
𝛥𝑑𝑖𝑓 = 𝜆𝛥 ∗ 𝛥𝑖𝑛𝑠 (3.6)
𝛥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛥𝑖𝑛𝑠 + 𝛥𝑑𝑖𝑓 (3.7)
Luego de calcular las respuestas estructurales, éstas son verificadas según la
tabla N° 3.1 de acuerdo a los requisitos mínimos de flechas. No obstante, si no se
cumple con las especificaciones, se cambia de geometría y/o acero de refuerzo.
Así, el cambio la geometría genera el aumento del momento de inercia de la
sección transversal, por tal motivo existe una mayor resistencia a las
deformaciones. Igualmente, el aumento del área de acero de refuerzo longitudinal,
5 Ver referencia 9.19, ACI, Branson, Compression Steel on long-time deflection, 1971.
6 Estudió el comportamiento diferido en vigas de concreto armado, haciendo variar el cambio de
geometría y el acero de refuerzo, resultando en una fórmula empírica.
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las deflexiones a largo plazo disminuye, ya que los esfuerzos internos de
compresión y tracción son absorbidos en mayor parte por el refuerzo actuante,
reduciendo sustancialmente las fuerzas internas.
3.3 MÉTODOS DE APROXIMACIÓN LINEAL PARA EFECTOS DIFERIDOS
Las soluciones en función al rango lineal-elástico en el concreto son aplicadas en
elementos que trabajan elásticamente, es decir, cuando el elemento regresa a su
estado inicial luego de retirada la carga. No obstante, esta suposición no puede
ser aplicada en el rango no lineal porque debe existir una deformación permanente
e irreversible. En ese caso, autores desarrollaron métodos de aproximación que
consideran el rango lineal y el rango no lineal como sistema de solución en
elementos que presentan propiedades diferidas o la rigidez variable en conectores
de corte.
Al considerar el rango no lineal en el concreto (efectos de flujo plástico y de
retracción), esto no simplifica el cálculo, por tal motivo se desarrolla el método de
módulo ajustado de edad efectivo “Aged-Adjusted Effective Modulus Method
(AEMM)” y el método efectivo “Effective Method (EM)” que consideran la no
linealidad con la linealidad de las propiedades de los materiales, ajustando el
módulo de elasticidad del concreto en el tiempo.
3.3.1 Método efectivo “Effective Method” (EM)
Este método de aproximación es recomendado por el Euro código 4 debido a su
continua aplicación en el análisis de vigas de sección compuesta. Dicho método
se aplica en cargas externas, donde la pequeña diferencia entre las tensiones
iniciales y las finales de la losa de concreto varían considerablemente. El método
tiende a sobreestimar la reducción del flujo plástico y se observa como una
solución no conservativa. (Dezi, 1992) [24].
𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝑐
(1 + 𝜙(𝑡, 𝑡0)) , (𝑡 = 𝑡𝑠) (3.8)
En la ecuación 3.8 se observa el módulo de elasticidad efectivo del concreto
(𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓) que está en relación a la función del flujo plástico (𝜙(𝑡, 𝑡0)) que es una
expresión matemática en relación al efecto diferido en el concreto, ver capítulo VI,
donde se puede calcular el rango lineal-elástico en el tiempo.
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3.3.2 Método del módulo ajustado de edad efectivo “Aged-Adjusted Effective
Modulus Method” (AEMM)
Este método considera la variación del módulo de elasticidad del concreto gracias
a que al ser un material que posee flujo plástico y retracción, sus propiedades son
variables. Este método fue desarrollado por Trost (1967) y Bazant (1972).
Figura N° 3.4 Reducción gradual del esfuerzo en el tiempo.
Fuente: (Kim, 2014)
En la figura N° 3.4, se observa los esfuerzos del concreto en el tiempo, éstos a
una edad inicial son mayores que los esfuerzos posteriores a un tiempo 𝑡0 que es
causado por las cargas externas y/o condiciones ambientales por los efectos
diferidos del concreto (flujo plástico y retracción).
Figura N° 3.5 Gráfico de esfuerzo-deformación del concreto.
Fuente: (Kim, 2014)
La figura N° 3.5 muestra la relación esfuerzo-deformación para un modelo elasto-
plástico (módulo de fluencia es igual al módulo de rotura); en dicha gráfica, se
observa dos zonas, elástica y plástica por el comportamiento debido al tiempo de
aplicación de la carga. En consecuencia, el cálculo de la deformación final en el
tiempo se asume en un rango lineal en el cual la deformación plástica ocurre;
además, la deformación elástica es considerada constante en el tiempo,
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observándose una nueva zona de tipo lineal con una pendiente diferente, ver
ecuación 3.12.
La deformación total del concreto es dada por la siguiente relación:
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 휀𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐 + 휀𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 (3.9)
Entonces ambas deformaciones se calculan en función de los esfuerzos y
módulos de elasticidad tanto el rango lineal-elástico como rango plástico en las
ecuaciones 3.10 y 3.11.
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜎
𝐸𝑐+
𝜎
𝐸𝑐𝜙 (3.10)
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜎
𝐸𝑐
(1 + 𝜙) (3.11)
Simplificando la ecuación 3.11.
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜎
(𝐸𝑐
1 + 𝜙)
(3.12)
Reemplazamos la ecuación 3.12 por la variable 𝐸𝑒 que es el módulo de elasticidad
efectivo del concreto en función al flujo plástico (creep) que está sujeto a un
comportamiento lineal, tal como se observa en la ecuación 3.13.
𝐸𝑒 = (𝐸𝑐
1 + 𝜙) (3.13)
3.3.3 Método de la Sección transformada
La sección transformada se usa para el cálculo de algunas propiedades
geométricas (profundidad del eje neutro y el momento de inercia efectivo). Dichas
propiedades se utilizan en el cálculo de las respuestas estructurales (deflexiones,
agrietamiento y esfuerzos), al considerar que la sección varía en el tiempo en
función a la diferencia de materiales.
El artificio empleado en la sección transformada es que la sección transversal de
concreto reforzado es reemplazada por una sección transformada, cuya área es
igual al área del concreto adicionando 𝑛 veces el área del acero y se reemplaza
en las fórmulas para las respuestas estructurales, ver ecuación 3.14.
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𝑛(𝑡0) =𝐸𝑠(𝑡0)
�̅�𝑒(𝑡, 𝑡0) (3.14)
Aplicando los diferentes métodos de aproximación, se indica el proceso de cálculo
para las deflexiones en vigas de sección compuesta.
3.3.4 Ejemplo conceptual
En el siguiente ejemplo se procede a explicar, la relación del coeficiente de flujo
plástico con respecto a las deformaciones unitarias en el concreto, en el acero de
refuerzo en compresión y en el acero de refuerzo en tracción
La relación lineal del concreto comprende entre los rango de 0.2𝑓′𝑐 a 0.5𝑓′𝑐, según
investigaciones realizadas para cargas de larga duración en el análisis del estado
límite de servicio, ya que, las esfuerzos internos varían proporcionalmente sin
alterar las propiedades geométricas. Si se considera dicha afirmación, la
deformación toma la siguiente forma proporcional en relación al esfuerzo unitario
inmediato del concreto:
휀𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝 = 𝐶𝑡
𝑓𝑐′
𝐸𝑐 (3.15)
En la ecuación (3.15), 𝐶𝑡 es el coeficiente de flujo plástico del concreto, 𝑓𝑐′ es la
resistencia a la compresión del concreto y 𝐸𝑐 es el módulo de elasticidad lineal-
elástico del concreto. Además, considerando las deformaciones iniciales o
inmediatas (𝑓𝑐
′
𝐸𝑐) y las deformaciones por flujo plástico (𝐶𝑡
𝑓𝑐′
𝐸𝑐) que son causadas por
cargas sostenidas y por la redistribución de esfuerzos internos. Luego, se calcula
la deformación total (휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) del siguiente modo:
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑓𝑐
′
𝐸𝑐+ 𝐶𝑡
𝑓𝑐′
𝐸𝑐 (3.16)
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (1 + 𝐶𝑡) ∗𝑓𝑐
′
𝐸𝑐 (3.17)
Como resultado a dichos efectos, el cambio de esfuerzos internos ocasiona un
cambio de profundidad del eje neutro que disminuye o aumenta las tensiones del
concreto (tracción o compresión), ver ecuación 3.23. Estos esfuerzos son
afectados en forma proporcional al coeficiente de flujo plástico dentro del intervalo
en que el concreto se comporte linealmente. Sin embargo, si se quiere considerar
el efecto real, se debe tener presente la correcta historia de cargas, la función del
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flujo plástico, la retracción y otros efectos a largo plazo que suceden en la
estructura.
En el siguiente ejemplo, se realiza una explicación breve de una viga rectangular
doblemente reforzada, en el intervalo de las cargas de servicio, aplicando el
método del par interno.
Figura N° 3.6 Sección de viga rectangular de concreto doblemente reforzado en el intervalo de carga de servicio después del agrietamiento.
Fuente: (Park & Pauley, 1980)
Las deformaciones unitarias del concreto (휀𝑐), del acero de refuerzo en tracción
(휀𝑠) y del acero de refuerzo en compresión (휀′𝑠) se pueden escribir como se
presenta en las siguientes fórmulas:
휀𝑐 = (1 + 𝐶𝑡) ∗𝑓𝑐
′
𝐸𝑐 (3.18)
휀′𝑠 =𝑓𝑠
′
𝐸𝑠 (3.19)
휀𝑠 =𝑓𝑠𝐸𝑠
(3.20)
Donde 𝑓𝑠 es el módulo de fluencia del acero y 𝐸𝑠 es el módulo de elasticidad del
acero, aplicando la relación lineal existente en las deformaciones unitarias porque
tanto en las fibras superiores y fibras inferiores se consideran que no exceden el
límite lineal máximo, contemplase las siguientes formas:
휀𝑐
𝑘𝑑=
휀′𝑠𝑘𝑑 − 𝑑′
= 휀𝑠
𝑑 − 𝑘𝑑 (3.21)
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Se escribe la ecuación de equilibrio de las fuerzas internas, compresión del
concreto (𝐶𝑐), compresión del acero de refuerzo (𝐶𝑠) y el acero de refuerzo en
tracción (𝑇); suponiendo que tales esfuerzos no sufren variación:
𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇 (3.22)
De acuerdo a las relaciones presentadas por las deformaciones unitarias y la
ecuación de equilibrio (3.22), se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio
simplificada que está en función de los parámetros de los componentes del
concreto armado:
0.5𝑓𝑐′𝑏𝑘𝑑 + 𝐴′𝑠 (
𝑘𝑑 − 𝑑′
𝑘𝑑)𝑛𝑓𝑐
′ = 𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑘𝑑
𝑘)𝑛𝑓𝑐
′ (3.23)
Donde:
𝑛 = (1 + 𝐶𝑡)𝐸𝑠
𝐸𝑐 (3.24)
La relación modular del concreto (𝑛) y el acero influyen en el cálculo de las
propiedades geométricas a largo plazo porque al iniciarse la carga, las
propiedades toman un valor inicial (instantáneo) casi nulo. Esto se refleja en la
ecuación 3.23, que consta de tres términos. El primer término es respecto a la
geometría (eje neutro) y la resistencia a la compresión del concreto para la fuerza
a la compresión en el concreto sólo; el segundo término considera la relación
modular del concreto y acero en el refuerzo por compresión, lo que indica un
cambio a partir de la función de flujo plástico, y si fuera el caso de que el coeficiente
dependiera del tiempo, entonces el eje neutro también variaría, haciendo que los
esfuerzos de tracción y compresión en el elemento sean diferentes y dependan
del tiempo. Por último, el tercer término también depende dicha relación modular,
aumentando o disminuyendo la tracción en el acero de refuerzo, ya que el eje
neutro también varía.
En efectos a largo plazo, el coeficiente de flujo plástico (𝐶𝑡) aumenta
progresivamente, ver modelos de predicción, por tanto la relación modular
también. Este coeficiente al ser dependiente del tiempo, varía entre un rango de 0
(para cargas inmediatas, es decir que la estructura no se ha cargado) a 2
(completamente cargado) en el diseño. Así por ejemplo, se muestra cuantas veces
la relación modular aumenta para un coeficiente de flujo plástico igual a 2.
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𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = (1 + 2)𝐸𝑠
𝐸𝑐
Siendo:
𝑛 =𝐸𝑠
𝐸𝑐
Entonces:
𝑛𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 = 3𝑛
Para cuestiones de diseño, se considera una relación modular de “3n” en el acero
de refuerzo a compresión y el acero de refuerzo a tracción. La relación modular
depende del coeficiente de flujo plástico para cargas sostenidas, pero al ser
dependiente del tiempo de aplicación, este coeficiente también se asume que
depende en el tiempo (𝜙(𝑡, 𝑡0)), al convertir la relación modular en una función del
tiempo tal como se muestra a continuación:
𝑛(𝑡, 𝑡0) = (1 + 𝜙(𝑡, 𝑡0))𝐸𝑠
𝐸𝑐 (3.25)
Esta función se aplica en elementos de concreto armado que no hayan
sobrepasado el límite de proporcional de linealidad. En este estado se asegura la
correcta funcionalidad de los elementos estructural debido a las cargas vivas que
pueden afectar el cálculo estructural por su continua aplicación.
3.4 DEFLEXIONES EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA
3.4.1 Estado de servicio
La norma británica, BS 5950 part 3, sección Servicio, indica a continuación: “Las
cargas de servicio deben ser tomadas con valores sin factorar. Las cargas muertas
e impuestas (servicio) deben ser consideradas en esta sección por ser de tipo
sostenidas. Las cargas de construcción no deben ser incluidas en las cargas de
servicio (consideradas aparte)”.
Para el caso de deflexiones, sección 2.4, Estado límite de servicio, nos indica el
siguiente apartado: “Deflexiones bajo cargas de servicio en una estructura o parte
de ellas no deben perjudicar la resistencia y la eficiencia de la estructura o sus
componentes o causar daño” [...]. Además, […] “deflexiones en los procesos de
construcción debido a la carga muerta en el ancho efectivo de concreto y las vigas
de acero” […], tienen que controlar las flechas totales y, consecuentemente, el
funcionamiento.
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Otro aspecto de suma importancia son las deformaciones irreversibles, tal como
dice en otro apartado: “Para prevenir grandes deformaciones bajo carga de
servicio, las deformaciones irreversibles deben ser evitadas en vigas simplemente
apoyadas y en voladizo, y en la zona media de vigas continuas” […]. Siguiendo
estas recomendaciones, no se debe permitir el desarrollo de las deflexiones de
tipo inelástica en zonas críticas, con el fin de obtener una estructura segura y de
orden lineal. Por otra parte, […] “los esfuerzos basados en propiedades elásticas
deberán ser calculados bajo cargas de servicio. Cuando se use construcciones
apuntaladas, los esfuerzos de carga muerta de la región de concreto y el acero de
la viga deberán ser basados en la propiedades de la viga de acero” […].
Dependiendo del tipo de conexión a diseñar, el sistema de construcción influye en
el cálculo de las respuesta interna y externa de la estructuras, condicionando que
el cálculo se basa en función de la viga longitudinal de acero (Sección “I”).
Propiedades elásticas son aplicadas en el cálculo de esfuerzos de dichos
elementos, sin considerar las verdaderas propiedades de los elementos de
concreto y acero y el tipo de conexión. Por tanto, dichos cálculos son
aproximaciones que no consideran el comportamiento real; por ejemplo, el cálculo
es realizado como si fuera una viga compuesta de interacción completa (perfecta
adherencia entre concreto y acero).
En Perú, el código vigente peruano no menciona un lineamiento en el cálculo de
deflexiones tanto inmediatas como diferidas. Por tanto, se procede a mencionar el
modelo propuesto por Kim (2014) [42] debido a que en su tesis de maestría explica
un método simplificado para el cálculo de deflexiones.
3.4.2 Interacción completa en vigas de sección compuesta
En este tipo de vigas, la acción conjunta de fuerzas internas, momento flector y
deslizamiento puro (cortante) son calculadas usando el estado elástico con el
método de aproximación “AEMM”.
Aplicando el método de aproximación “AEMM”, el proceso de análisis se simplifica
con base en las siguientes hipótesis.
La solicitación de deslizamiento puro (corte) se satisface completamente
con el número de conectores de corte, en otras palabras, la fuerza de corte
no toma importancia a nivel de losa de concreto y perfil de acero.
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La losa de concreto y el perfil de acero se deforman en un mismo plano
vertical tanto que al actuar conjuntamente, esta deflexión se toma como si
fuese una sola.
Las cargas muertas, vivas u otras aplicadas son constantes, ya que, estas
cargas no varían en ningún momento en el transcurso del tiempo.
Ahora, se procede a explicar el cálculo de las deflexiones instantáneas y diferidas
para el caso de interacción completa. En dicho cálculo, se realiza primero las
deflexiones instantáneas y luego las deflexiones diferidas a partir de las
propiedades geométricas y los efectos diferidos del concreto basados en el
modelo de Kim [42].
3.4.2.1 Deflexión instantánea
Cuando una carga externa es aplicada a la viga, la deflexión de corta duración
aparece como respuesta instantánea, por tal motivo, dicha respuesta en el rango
lineal-elástico es verificada en el estado de servicio.
Figura N° 3.7 Deformaciones iniciales en la sección.
Fuente: (Kim, 2014)
Se puede deducir en función del peralte de la viga la ecuación 3.1 para las
deformaciones a corto plazo a partir de la figura N° 3.7; se observa la curvatura
de los elementos en interacción completa, siendo la deformación total con base al
radio de curvatura de la sección transversal (𝜌𝑖) y la distancia calculada desde la
fibra superior (𝑦).
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 휀𝑜𝑖 − 𝑦 ∗ 𝜌𝑖 (3.26)
A partir de las propiedades geométricas iniciales de la sección transversal y las
deformaciones iniciales, la fuerza de corte o adherencia entre concreto y acero (N)
es calculada con los esfuerzos internos y la sección transversal, como se observa
en la ecuación 3.27.
𝑁 = ∫𝜎𝑖𝑑𝐴 (3.27)
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𝑁 = 𝐸𝑐 . 𝐴. 휀𝑜𝑖 − 𝐵𝑐 . 𝜌𝑖. 𝐸𝑐 (3.28)
Similar caso, el esfuerzo es multiplicado por un brazo relativo al centro de
gravedad para el momento flector de la sección (M) en la ecuación 3.29.
𝑀 = −∫𝜎𝑖𝑦𝑑𝐴 (3.29)
𝑀 = −𝐸𝑐 . 𝐵. 휀𝑜𝑖 + 𝐼. 𝜌𝑖. 𝐸𝑐 (3.30)
Siendo 𝐴 (sección transversal), 𝐵 y 𝐼 las propiedades de la sección transversal
transformada que corresponden al área, al primer y segundo momento de inercia
respecto a la superficie, aplicadas en las ecuaciones 3.29 y 3.30.
Luego, se determina la deflexión inicial en el centro del vano de la viga que
relaciona el radio de curvatura y la deformación inicial de acuerdo a la ecuación
3.31, donde 𝜌𝐴, 𝜌𝑚𝑖𝑑 y 𝜌𝐶 son los incrementos de los radios de curvatura
longitudinalmente en la viga en diferentes puntos.
𝛥𝑚𝑖𝑑−𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =𝐿2
96(𝜌𝐴 + 10 ∗ 𝜌𝑚𝑖𝑑 + 𝜌𝐶) (3.31)
La ecuación 3.31 resulta de un análisis elástico en función a la curvatura
compuesta, la viga de acero y la losa de concreto. La ecuación 3.32 muestra el
cálculo simplificado de las deflexiones instantáneas en distintos tipos de sistema:
𝛥𝑖𝑛𝑠 =𝑤𝑙 4
384 𝐸 𝐼𝐿𝐵 (3.32)
3.4.2.2 Análisis dependiente al tiempo
El tiempo de uso de una estructura de concreto influye en la redistribución de
tensiones y deformaciones, también; esto indica que las cargas internas a causa
del aumento gradual de esfuerzos internos se reducen, produciéndose el efecto.
Aplicando los principios básicos estructurales: equilibrio, compatibilidad y las leyes
constitutivas; las deflexiones a largo plazo pueden ser obtenidas a partir de las
deflexiones a corto plazo, usando factores que asemejan la no-linealidad del
concreto gracias a ensayos empíricos, así por ejemplo el factor de edad aplicada
en la NTP.E060.
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Figura N° 3.8 (a) Sección transversal; (b) Fuerzas actuantes; (c) Redistribución de esfuerzos en rango no lineal superpuestos a esfuerzos iniciales.
Fuente: (Kim, 2014)
En la figura N° 3.8, se observa que la redistribución de esfuerzos tiene un aumento
gradual, dicho aumento es superpuesto en las deformaciones iniciales. Estas
deformaciones aumentan por la redistribución de fuerzas tales fuerzas cortantes
(∆𝑁) como momentos flectores (∆𝑀).
La deformación total incluyendo el flujo plástico y la retracción viene a ser dada
por la ecuación 3.32 que incluye las cargas sostenidas y la retracción, aumentando
considerablemente las deflexiones.
A continuación, se presentan las ecuaciones 3.33 y 3.34 que explican las causas
del incremento en fuerzas cortantes y momentos flectores por efectos internos a
largo plazo.
∆𝑁 = �̅�𝑒 . [𝜙(𝑡)(𝐴𝑐 . 휀𝑜𝑖 − 𝐵𝑐 . 𝜌𝑖) + 휀𝑠ℎ(𝑡). 𝐴𝑐] (3.33)
∆𝑀 = �̅�𝑒 . [𝜙(𝑡)(𝐼𝑐 . 𝜌𝑖 − 𝐵𝑐 . 휀𝑜𝑖) + 휀𝑠ℎ(𝑡). 𝐵𝑐] (3.34)
Donde 𝐴𝑐, 𝐵𝑐 y 𝐼𝑐 son las propiedades geométricas de la sección transversal.
Esta variación de momentos y fuerzas de corte es gracias al incremento por el
flujo plástico (𝜙(𝑡)) y la retracción del concreto (휀𝑠ℎ) debido al cambio de fuerzas
internas en el acero por los efectos axiales (∆𝑁) y los momentos flectores (∆𝑀) .En
el caso del acero estructural, este efecto interno no varía debido a que no se
comporta en el estado plástico porque no llegar a tener los requisitos.
Además, el incremento de la curvatura en la figura N° 3.8 hace que las
deformaciones aumenten y a su vez las tensiones internas del material disminuyan
gradualmente, en consecuencia del aumento gradual de fuerzas internas por el
efecto del flujo plástico y la retracción. Por tanto, las deflexiones totales cambian
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en función a dichos esfuerzos presentes en la ecuación 3.35, siendo ∆𝜌𝐴, ∆𝜌𝑚𝑖𝑑 y
∆𝜌𝐶, los aumentos del grado de curvatura a través de las fibras longitudinales de
la viga en diferentes puntos, apoyos y centro del vano de la viga, respectivamente.
𝛥𝑚𝑖𝑑−𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 =𝐿2
96(∆𝜌𝐴 + 10 ∗ ∆𝜌𝑚𝑖𝑑 + ∆𝜌𝐶) (3.35)
Entonces las deformaciones totales del concreto, incluyendo el efecto diferido , se
observan en la ecuación 3.36 donde 휀𝑜𝑖 son las deformaciones instantáneas y ∆휀𝑜
son las deformaciones diferidas que se observa en la figura N° 3.7.
휀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 휀𝑜𝑖 + ∆휀𝑜 (3.36)
En el caso del radio de curvatura es de manera similar, donde 𝜌𝑜𝑖 es la curvatura
inicial y ∆𝜌𝑜 es el cambio de curvatura debido a los efectos instantáneos como se
observa en la figura N° 3.8
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌𝑜𝑖 + ∆𝜌𝑜 (3.37)
Finalmente, la deflexión total en el centro del vano de la viga es dada por:
∆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= ∆𝑚𝑖𝑑−𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + ∆𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 (3.38)
La deflexión calculada toma en cuenta los efectos instantáneos y efectos diferidos
para el caso de acción compuesta de los materiales.
3.4.3 Interacción parcial en vigas de sección compuesta
La interacción parcial induce a que las fuerzas cortantes en el sistema compuesto
no sean tomadas al cien por ciento por la losa de concreto, sino por los conectores
que están presentes en el sistema. Como consecuencia, la sección considera las
deformaciones en conectores, sus propiedades geométricas y otros. En tal
sentido, Kim [42] desarrolla un breve lineamiento que considera dicho efecto.
3.4.3.1 Deflexiones instantáneas
La acción compuesta supone una acción perfecta, lo que significa que los
conectores de corte de la viga son suficientes para poder transmitir
longitudinalmente las fuerzas cortantes entre el acero y el concreto. Pero en la
realidad esto no sucede por la adherencia real entre la losa y el perfil, ya que no
es perfecta y completa (Kotinda, 2006) [43]. Igualmente, en los códigos actuales
de diseño se considera que la viga es de interacción completa, por tanto, la
sección trabaja como un elemento en conjunto.
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Figura N° 3.9 (a) Efecto de deslizamiento “slip”, (b) Distribución de esfuerzo debido a la conexión parcial.
Fuente: (Kim, 2014)
Figura N° 3.10 Fuerzas de corte y deformaciones unitarias desarrolladas en conexión parcial.
Fuente: (Kim, 2014)
En la figura N° 3.9 se observa que el concreto tanto como el acero actúa
aisladamente como material por la deformación existente entre la unión aparente
entre la losa de concreto y la viga de acero. En los casos presentes (figuras N° 3.9
y 3.10), aparecen la fuerza de adherencia entre el concreto y el acero para
establecer el equilibrio mecánico.
En las ecuaciones (3.39 y 3.40) se observa el cálculo de las fuerzas cortantes del
concreto y del acero gracias a la adherencia, las propiedades de los materiales y
la geometría de los elementos:
𝑁𝑐 = 𝐸𝑐 . 𝐴𝑐 . 휀𝑜𝑖 − 𝐵𝑐 . 𝜌𝑖 . 𝐸𝑐 (3.39)
𝑁𝑠 = 𝐸𝑐 . 𝐴𝑠. (휀𝑜𝑖 + 휀𝑠𝑙𝑖𝑝) − 𝐵𝑠. 𝜌𝑖. 𝐸𝑐 (3.40)
Donde 𝑁𝑐 es la fuerza de corte en la losa de concreto, 𝑁𝑠 es la fuerza de corte del
acero estructural que considera el deslizamiento “slip” y las propiedades
geométricas de la sección transversal como deformación (휀𝑠𝑙𝑖𝑝), ver ecuaciones
3.39 y 3.40. A partir de las condiciones de equilibrio y gracias a la ausencia de la
fuerza axial, el equilibrio existente es:
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𝑁𝑐 + 𝑁𝑠 = 0 (3.41)
A partir de la ecuación 3.41, la fuerza longitudinal (𝐹) aparece en el sistema
estructural, ver figura N° 3.10, para contrarrestar la fuerzas del concreto (𝑁𝑐) en el
sentido paralelo, considerando una deformación por deslizamiento (휀𝑠𝑙𝑖𝑝).
𝑁𝑐 = 𝐸𝑐 . (𝐴𝑐 . 𝐵
𝐴.−𝐵) . 𝜌𝑖 − 𝐸𝑐 . (
𝐴𝑐 . 𝐵
𝐴) . 휀𝑠𝑙𝑖𝑝 = 𝐹 (3.42)
Para tal fin, las áreas de concreto (𝐴𝑐, 𝐵𝑐) y las áreas de acero (𝐴𝑠, 𝐵𝑠) son los
primeros y segundos momentos de inercia respectivamente.
𝐴𝑐 + 𝐴𝑠 = 𝐴 (3.43)
𝐵𝑐 + 𝐵𝑠 = 𝐵 (3.44)
Para el caso del momento flector en la fibra superior de la viga es dada por:
𝑀𝑐 = 𝐸𝑐 . (𝐵2
𝐴.− 𝐼) . 𝜌𝑖 − 𝐸𝑐 . (𝐵𝑠 −
𝐴𝑐 . 𝐵
𝐴) . 휀𝑠𝑙𝑖𝑝 (3.45)
Igualmente, se asume que la fuerza total longitudinal (𝐹) (adherencia) es asumida
por la suma total de las resistencias de los conectores de corte en la viga, por
tanto, la fuerza individual de cada conector es calculada por la división entre la
fuerza de adherencia y el número total de conectores, tal como se aprecia en la
ecuación 3.46:
𝑄𝑎𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒 =𝐹
𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 (3.46)
En el caso del Euro código 4 indica que el 𝑄𝑚𝑎𝑥 por conector de corte está en
función al acero y las propiedades geométricas del elemento.
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝑡 . 0.8 . 𝑓𝑢. (𝜋. 𝑑2/4) (3.47)
El grado de conexión del conector es dado por la siguiente ecuación en función
de la plancha metálica en el sistema compuesto junto con el conector de corte;
donde 𝑘𝑡 es el grado de interacción de los conectores de corte en la viga de
sección compuesta, cuando es 1.0 la conexión es completa, en cambio cuando es
menos a 1.0 la conexión es parcial, por tanto el conector de corte no desarrolla su
capacidad máxima.
𝑘𝑡 = 0.7
√𝑁𝑠
.𝑏0
ℎ𝑝 . (
ℎ𝑑
ℎ𝑝− 1) ≤ 1.0 (3.48)
Siendo:
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𝑁𝑠 : es el número de conectores de corte tipo stud que no deben exceder a la
resistencia de la sección (𝑘𝑡).
𝑏0: Espesor de la placa metálica.
ℎ𝑝: Altura de la losa del sistema compuesto.
ℎ𝑑 : Altura de conector de corte después de ser soldado.
La ecuación 3.47 indica la resistencia de los conectores de corte usados con
planchas metálicas en edificaciones, esto se observa en el acápite 6.6.4 del
eurocódigo 4 que considera a la plancha metálica en sentido transversal a la viga
de acero para efectos de cálculos, ver figura N°3.11.
Figura N° 3.11 Viga con planchas metálicas transversales a la viga
Fuente: Euro código 4
En el caso de la deformación por adherencia (휀𝑠𝑙𝑖𝑝) por la presencia del concreto
y el acero, Jianguo et al (2004) nos indica la ecuación 3.49 que depende las
propiedades geométricas del conector de corte:
휀𝑠𝑙𝑖𝑝 = 𝑒−∝𝑥(𝑒∝𝐿 − 𝑒2∝𝑥)𝛽𝑄
𝛼(1 + 𝑒∝𝐿) (3.49)
Donde 𝛽 es un factor dependiente al comportamiento del tipo de conector tanto
soldado o empernado, 𝑄 es la fuerza de corte axial de acuerdo al Euro código 4,
esta ecuación se obtiene por ecuaciones de mecánica de materiales que
consideran el momento y la fuerza cortante en la viga en una porción de viga,
además del equilibrio presente entre la fuerzas internas (compresión y tracción) y
el desplazamiento relativo entre los materiales de concreto y de acero, que indica
una relación entre el número de conectores de corte, mientras más aumenten,
esta deformación tiende a disminuir.
Pero en general, la deformación por desplazamiento entre diferentes elementos
es dado por el traslape entre la losa de concreto y la viga de acero al momento de
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actuar las cargas externas, por tanto dichos materiales (concreto y acero) se
considerarían como uno solo, actuando conjuntamente:
휀𝑠𝑙𝑖𝑝 = 𝑆𝑙𝑖𝑝 ∆
𝐿 (3.50)
Se calcula la deformación por adherencia (휀𝑠𝑙𝑖𝑝), para el cambio gradual en las
respuestas estructurales (deflexiones) en la losa de concreto. A partir de dicha
relación, la curvatura se calcula, usando la siguiente relación que está en función
de la sección transversal de la viga de sección compuesta:
𝜌𝑠𝑙𝑖𝑝 = 휀𝑠𝑙𝑖𝑝
(𝐷𝑐 + ℎ) (3.51)
Figura N° 3.12 (a) deformaciones finales con parcial adherencia, (b) por conexión completa, (c) deformación de desplazamiento relativo.
Fuente: (Kim, 2014)
En la figura N° 3.12b se observa las deformaciones iniciales para la sección
transversal en una interacción completa; la figura N° 3.12c muestra las
deformaciones a causa del desplazamiento entre el concreto y el acero;
finalmente, la figura N° 3.12a muestra las deformaciones en el caso de la
interacción parcial de la viga, considerando las deformaciones instantáneas y las
deformaciones por desplazamiento.
Con estas suposiciones se determina la curvatura final (𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙), considerando los
efectos instantáneos y diferidos por el principio de superposición de la sección con
interacción parcial gracias a la adherencia y el comportamiento compuesto
conjunto (estado inicial), ver figura N° 3.12.
𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌𝑖,𝑛𝑜 𝑠𝑙𝑖𝑝 + 𝜌𝑖,𝑠𝑙𝑖𝑝 (3.52)
Finalmente, la deflexión inicial será calculada en el centro de la viga simplemente
apoyada usando dicha curvatura en la ecuación presente, similar caso a la
interacción completa de la viga, ver ecuación 3.31.
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3.4.3.2 Efecto diferido en vigas de sección parcialmente compuestas
Las vigas de interacción completa varían gradualmente las tensiones internas en
función de los efectos diferidos.
La ecuación 3.41 indica que la curvatura total de la viga con interacción parcial es
dado por la aplicación de la superposición de efectos, se considera la viga,
inicialmente, sin desplazamiento relativo en la viga y la losa (𝜌𝑖,𝑛𝑜 𝑠𝑙𝑖𝑝 ); el efecto
de desplazamiento se considera aisladamente (𝜌𝑖,𝑠𝑙𝑖𝑝 ) en la curvatura; finalmente,
se considera el efecto diferidos debido al flujo plástico y la retracción del concreto
para el cálculo de la variación curvatura de la viga (∆𝜌𝑜) en una viga simplemente
apoyada.
𝜌𝑡𝑖𝑚𝑒 = 𝜌𝑖,𝑛𝑜 𝑠𝑙𝑖𝑝 + 𝜌𝑖,𝑠𝑙𝑖𝑝 + ∆𝜌𝑜 (3.53)
Una vez calculada la curvatura total, se procede a superponerse las curvaturas
con diferentes grados de interacción con los efectos a largo plazo del concreto.
Figura N° 3.13 Influencia del tipo de conexión obtenido al ensayar una viga de sección compuesta en un programa realizado por Kim.
Fuente: (Kim, 2014)
Se observa en la figura N° 3.13, la diferencia de deflexiones debido a los diferentes
grados de interacción –varía en porcentaje, desde 100% hasta 25% de
interacción- lo que lleva a una disminución progresiva en deformaciones.
3.4.4 Modelos de predicción del flujo plástico y de la retracción
Los modelos de predicción se usan para predecir los efectos a largo plazo – flujo
plástico y retracción - del concreto, en función diferentes parámetros de acuerdo
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al diseño de mezcla, las condiciones ambientales u otros aspectos. Estos modelos
se pueden observar la norma ACI 209 [2], siendo en total cuatro modelos de
predicción.
3.4.4.1 ACI 209R-92
Modelo empírico desarrollado por Branson y Christiason (1971) con
modificaciones introducidas en el código ACI 209R-82 (ACI Committee 209, 1982).
Este modelo simplificado es aplicado en el cálculo de las propiedades de los
materiales tanto módulo de elasticidad del concreto como la inercia efectiva para
efectos a largo plazo. Se toma en cuenta las condiciones de ambiente, el tiempo
de curado y el tiempo de secado en la formulación de las funciones de flujo plástico
y la retracción del concreto.
Se toma en consideración los siguientes parámetros:
Edad del concreto (𝑡, días), tiempo considerado para el cálculo de las
funciones en los elementos que se constituyan de dicho material.
Edad de aplicación de la carga (𝑡𝑜, días), se considera que la carga actúa
en un determinado periodo de tiempo para aproximar el coeficiente de flujo
plástico y la deformación unitaria por retracción.
Método de curado, de acuerdo al tipo de curado elegido durante la etapa
construcción.
Humedad relativa de acuerdo a las condiciones del ambiente, ésto es
medido en decimales para efecto del cálculo.
Relación de volumen-superficie que considera las dimensiones
geométricas del elemento estructural, tanto en forma y en tamaño.
Slump del concreto (mm o in), es la consistencia del concreto fresco
medido por el cono de Abrahams.
Porcentaje del agregado fino (%) que es cuánto de porcentaje de finos
posee el diseño de mezcla del concreto a usar.
Contenido de cemento (kg/m3), cantidad de cemento presente en la mezcla
de concreto a usar.
Contenido de aire (%), porcentaje de aire o vacío en la mezcla de concreto.
La resistencia a la compresión se emplea la siguiente expresión que se aproxima
al comportamiento no lineal del concreto. Esta ecuación está en relación a los
ensayos uniaxiales del concreto realizados con pruebas experimentales, la
aproximación a dichos resultados es gracias a regresiones polinómicas, En tal
sentido, se presenta la ecuación 3.54:
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𝑓´𝑐(𝑡) = [𝑡
𝑎 + 𝑏𝑡] . 𝑓´𝑐(28 𝑑í𝑎𝑠) (3.54)
Donde (𝑡) es la edad del concreto, (𝑎 𝑦 𝑏) son constantes para el caso de un
𝑓´𝑐(28 𝑑í𝑎𝑠), Para ensayos experimentales, (𝑎 𝑦 𝑏) toman los valores de 4 y 0.85,
respectivamente que son en función a las características y del tiempo de
aplicación de la carga para diferente concreto (ver ACI 209 R92, tabla 2.2.1). Esta
función de resistencia a la compresión se relaciona con el cálculo del módulo de
elasticidad que varía en el tiempo (𝐸𝑚𝑐𝑡𝑜) junto con las propiedades de la sección
transversal con un tiempo de aplicación de carga, ver ecuación 3.55.
𝐸𝑚𝑐𝑡𝑜 = 0.043𝛾𝑐1.5√𝑓𝑚𝑐𝑡𝑜 (3.55)
En la ecuación 3.55, 𝑓𝑚𝑐𝑡𝑜 es la resistencia a la compresión del concreto al tiempo
de carga, 𝛾𝑐 es el peso específico del concreto (kg/m3), ambos valores son en
unidades S.I.
La función de flujo plástico se asemeja a una función exponencial que aumenta
en el tiempo por ensayos experimentales en laboratorio, aplicando teorías de
solidificación del concreto (viscoelasticidad, fisuramiento entre otros) con base a
la edad del concreto y al tiempo de aplicación del concreto:
𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜) = ( 𝑡 − 𝑡𝑜)
𝜓
𝑑 + ( 𝑡 − 𝑡𝑜)𝜓
𝜑𝑢 (3.56)
Donde 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜) es el coeficiente de flujo plástico a una edad 𝑡 debido a una carga
aplicada durante 𝑡𝑜 , d (tiempo en días) y 𝜓 son constantes para condiciones
normales; d = 10 y 𝜓 = 0.6 de acuerdo a estudios realizados en muestras de
concreto, 𝜑𝑢 sería el coeficiente de flujo plástico último que condiciona el diseño
de la mezcla, cuyo valor es 2.35 para condiciones estándar.
En caso de otras condiciones de ambiente se tiene:
𝜑𝑢 = 2.35 𝛾𝑐 (3.57)
𝛾𝑐 = 𝛾𝑐,𝑡𝑜𝛾𝑐,𝑅𝐻𝛾𝑐,𝑣𝑠𝛾𝑐,𝑠𝛾𝑐,𝑐𝛾𝑠ℎ,𝛼 (3.58)
Donde 𝛾𝑐 representa el producto acumulativo de la correlación factores, 𝛾𝑐,𝑡𝑜 para
el periodo de curado, 𝛾𝑐,𝑅𝐻 para el porcentaje de humedad, 𝛾𝑐,𝑣𝑠 es la relación
entre volumen y superficie del concreto, 𝛾𝑐,𝑠 es el slump del concreto fresco, 𝛾𝑐,𝑐
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definido por el contenido de concreto y finalmente, 𝛾𝑠ℎ,𝛼 es el porcentaje de
contenido de aire. Estos factores reducen el coeficiente de flujo plástico del
concreto en gran porcentaje, ya que son factores que reducen el coeficiente inicial
(estándar). En vigas de sección de compuesta de concreto y acero, este valor
castiga al material de concreto en función a la losa de concreto, disminuyendo el
valor del módulo de elasticidad; por tanto, el módulo de la sección transformada
aumenta en progresión al tiempo, en cuestiones de diseño se considera como
“3n”.
En el caso de la función de la retracción del concreto, se asemeja a una función
exponencial, ya que la retracción actúa a lo largo de la losa de concreto durante
el tiempo de vida de la estrucutra:
휀(𝑡,𝑡𝑐) =( 𝑡 − 𝑡𝑐)
∝
𝑓 + ( 𝑡 − 𝑡𝑐)∝ 휀𝑠ℎ𝑢 (3.59)
Donde 𝑓 (en días) y ∝ son considerados constantes de acuerdo a parámetros
geométricos estudiados, 휀𝑠ℎ𝑢 es el último esfuerzo de retracción, y ( 𝑡 − 𝑡𝑐) es el
tiempo inicial y final del curado. En la ecuación 3.59, se observa la deformación
unitaria dependiente al tiempo de aplicación de la carga, similar caso al coeficiente
de flujo plástico. Esta fórmula está en función a la deformación unitaria por
retracción en condiciones estándares.
Para condiciones estándares, en la ausencia de información para retracción
específica para agregados locales y condiciones de ambiente, humedad relativa
al 60%, el valor promedio sugerido se relaciona con la siguiente fórmula:
휀𝑠ℎ𝑢 = 780𝛾𝑠ℎ𝑥 10−6 𝑚𝑚/𝑚𝑚 (𝑖𝑛./𝑖𝑛. ) (3.60)
Relacionado por la siguiente fórmula:
𝛾𝑠ℎ = 𝛾𝑠ℎ,𝑡𝑐𝛾𝑠ℎ,𝑅𝐻𝛾𝑠ℎ,𝑣𝑠𝛾𝑠ℎ,𝑠𝛾𝑠ℎ,𝑐𝛾𝑠ℎ,𝛼 (3.61)
En la ecuación 3.61, 𝛾𝑠ℎ representa el producto acumulativo de la correlación
factores, 𝛾𝑠ℎ,𝑡𝑐 para un periodo de curado, 𝛾𝑠ℎ,𝑅𝐻 para el porcentaje de humedad,
𝛾𝑠ℎ,𝑣𝑠 es la relación entre volumen y superficie del concreto, 𝛾𝑠ℎ,𝑠 es el slump del
concreto fresco, 𝛾𝑠ℎ,𝑐 definido por el contenido de concreto y, finalmente, 𝛾𝑠ℎ,𝛼 es
el porcentaje de contenido de aire. Similar caso al cambio de temperatura, la
deformación por retracción condiciona al acortamiento del elemento de concreto
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debido a su composición química, condiciones geométricas de la estructura y
otros. Estas relaciones pueden ser encontradas en el ACI 209 R-92.
La función que superpone los efectos mencionados es representada de la
siguiente manera:
𝐽(𝑡,𝑡𝑜) =1 + 𝜙( 𝑡 − 𝑡𝑐)
𝐸𝑐𝑚𝑡𝑜 (3.62)
La función compiladora o función de superposición (3.62) es para una deformación
unitaria que muestra la variación de los efectos internos del concreto que están en
función al tiempo para una mejor aproximación en el cálculo de las respuestas
estructurales, considerando los efectos lineales y no lineales tanto cargas externas
como composición química.
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3.4.4.2 Modelo CEB MC90-99
El modelo CEB MC90 (Muller and Hilsdorf 1990; CEB 1993) se utiliza para predecir
la función del flujo plástico y la retracción del concreto que están en función al
tiempo. Este modelo tiene similares conceptos al modelo ACI 209R-92, al
determinar el comportamiento en el tiempo del concreto con base en las
propiedades geométricas, resistencia a la compresión, consideración las
correcciones de acuerdo a la proporción de mezcla, aplicación de la carga y
condiciones de ambiente. No obstante, este modelo no se relaciona con el tipo, ni
el tiempo de curado en la formulación de funciones diferidas del concreto.
Los parámetros requeridos para la el cálculo de las funciones diferidas del
concreto son:
Edad del concreto (𝑡, días) en el cuál se va a calcular los valores de las
funciones de flujo plástico y retracción.
Edad del concreto durante la aplicación de la carga (𝑡𝑜, días), es decir,
cuando el concreto recibe la carga externa aplicada lo que indica el inicio
de la dependencia del tiempo para el flujo plástico.
Humedad relativa presente en el ambiente que influyen en la retracción del
concreto y flujo plástico por las variaciones de sus propiedades tanto
físicas como químicas.
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Relación de volumen-superficie del elemento de concreto, es decir, el
concreto expuesto al ambiente tanto en forma como en volumen,
considerando un tamaño ideal.
Resistencia a la compresión aproximada del concreto a los 28 días (MPa)
de acuerdo a ensayos uniaxiales, este valor es aproximado de acuerdo a
regresiones lineales.
Para este modelo la función de superposición por esfuerzo unitario para las
funciones lineales y no lineales del flujo plástico de acuerdo al módulo de
elasticidad del concreto para una edad de 28 días.
𝐽(𝑡,𝑡𝑜) =1
𝐸𝑐𝑚𝑡𝑜+
𝜙28( 𝑡, 𝑡0)
𝐸𝑐𝑚28 (3.63)
Donde 𝐸𝑐𝑚28 es el módulo de elasticidad a los 28 días de edad del concreto, y
𝐸𝑐𝑚𝑡𝑜 es el módulo de elasticidad a un tiempo de carga 𝑡0; 𝜙28( 𝑡, 𝑡0) es la función
de flujo plástico a los 28 días de edad, considerando la edad del concreto y la edad
de carga del concreto.
𝜙28( 𝑡, 𝑡0) = 𝜙0 𝛽𝑐( 𝑡 − 𝑡0) (3.64)
La ecuación 3.64 representa el flujo plástico para un tiempo de aplicación de 28
días, debido a que la representación indica la variación del fenómeno para un inicio
de la aplicación de carga constante desde el comportamiento lineal. Por otro lado,
el coeficiente de flujo plástico 𝜙0 como se muestra en la siguiente ecuación:
𝜙0 = 𝜙𝑅𝐻(ℎ) 𝛽(𝑓𝑐𝑚28) 𝛽 (𝑡0) (3.65)
Se observa que la función del flujo plástico (𝜙0) para la edad inicial de la aplicación
de la carga(𝑡𝑜) depende de la geometría del elemento a calcular, el tiempo, la
resistencia a la compresión inicial y a los 28 días de ensayo.
𝜙𝑅𝐻(ℎ) = [1 +1 − ℎ/ℎ0
√0.1[(𝑉/𝑆)/(𝑉/𝑆)0]3
𝛼1] 𝛼2 (3.66)
𝛽(𝑓𝑐𝑚28) =5.3
√𝑓𝑐𝑚28/𝑓𝑐𝑚0
(3.67)
𝛽 (𝑡0) =1
0.1 + (𝑡0/𝑡1)0.2
(3.68)
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𝛼1 = [3.5𝑓𝑐𝑚0
𝑓𝑐𝑚28]0.7
(3.69)
𝛼2 = [3.5𝑓𝑐𝑚0
𝑓𝑐𝑚28]0.2
(3.70)
Donde 𝑓𝑐𝑚28 es la resistencia del concreto a los 28 días de edad, ℎ es la humedad
relativa del ambiente, V/S es la relación volumen-superficie, 𝛼1 𝑦 𝛼2 son
coeficientes que dependen de la resistencia del concreto, en casos de condiciones
normales es 1, 𝑓𝑐𝑚0 es la resistencia a la compresión inicial del concreto antes de
la aplicación de la carga externa.
El coeficiente 𝛽𝑐( 𝑡 − 𝑡𝑐) describe el comportamiento del flujo plástico con el
tiempo de secado (𝑡𝑐), la diferencia entre el tiempo de edad del concreto y el
tiempo de secado ( 𝑡 − 𝑡𝑐) es la duración del tiempo de secado del concreto:
𝛽𝑐( 𝑡 − 𝑡𝑐) = [( 𝑡 − 𝑡𝑐)/𝑡1
𝛽𝐻 + ( 𝑡 − 𝑡𝑐)/𝑡1]
0.3
(3.71)
La función de la retracción del concreto para un tiempo de secado ( 𝑡𝑐) es dada
por:
𝛽𝐻 = 150[1 + (1.2ℎ/ℎ0)18](𝑉/𝑆)/(𝑉/𝑆)0 + 250 ≤ 1500 (3.72)
𝜺𝒄𝒔( 𝑡, 𝑡𝑐) = 휀𝑐𝑠0 𝛽𝑠 ( 𝑡 − 𝑡𝑐) (3.73)
Donde 휀𝑐𝑠0 es coeficiente de retracción inicial, 𝛽𝑠 ( 𝑡 − 𝑡𝑐) es el coeficiente descrito
para la retracción en el desarrollo en el tiempo, 𝑡 es la edad del concreto, 𝑡𝑐 es la
edad del concreto en el principio del secado.
휀𝑐𝑠𝑜 = 𝛽𝑅𝐻(ℎ) 휀𝑠(𝑓𝑐𝑚28) (3.74)
El desarrollo de la retracción con el tiempo es dado para determinar la relación
entre la geometría del elemento (volumen y superficie), se aproxima a la siguiente
relación que se presenta a continuación:
𝛽𝑠 ( 𝑡 − 𝑡𝑐) = [( 𝑡 − 𝑡𝑐) / 𝑡1
350[(𝑉/𝑆)/(𝑉/𝑆)0]2 + ( 𝑡 − 𝑡𝑐)/𝑡1
]
0.5
(3.75)
Donde:
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휀𝑠(𝑓𝑐𝑚28) = [160 + 10𝛽𝑠𝑐 (9 −𝑓𝑐𝑚28
𝑓𝑐𝑚𝑜)] 𝑥10−6 (3.76)
𝛽𝑅𝐻(ℎ) = −1.55 [1 − (ℎ
ℎ0)3
] (3.77)
En la ecuación 3.75, se observa que la deformación unitaria depende de la
resistencia a la compresión a los 28 días de aplicado largo junto a la aplicación
inicial del concreto. Donde 𝑓𝑐𝑚28 es la resistencia del concreto a los 28 días de
edad, ℎ es la humedad relativa del ambiente en números decimales, V/S es la
relación volumen-superficie de concreto en contacto con el medio ambiente.
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3.4.4.3 Bazant-Baweja B3 model
Bazant – Baweja B3 modelo es el modelo creado para la predicción del flujo
plástico y retracción del concreto, desarrollado por Bazant y sus trabajadores en
Northwestern university. Este modelo se desarrolla con función a experimentos
realizados en la literatura presente; además, análisis paramétricos que incluyen
rangos entre la dosificación de agua y cemento, la resistencia uniaxial a la
compresión y el diseño de mezcla existentes. De acuerdo a los autores Bazant y
Baweja (2000), el modelo B3 es más simple y teóricamente mejor justificado que
los otros modelos de predicción por el amplio rango de investigación en las
pérdidas internas del concreto y en los cambios de temperatura referentes a la
retracción.
Figura N° 3.14 Comparación modelo B3 con algunos test para el creep básico.
Fuente: (Neville, 2001)
Los parámetros definidos en el modelo presente son los siguientes:
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Edad del concreto cuando el secado empieza (días) o cuando se empieza
endurecer y a perder agua por el proceso de hidratación.
Edad del concreto cargado (días) cuando se inicia la aplicación de la carga
en la muestra a investigar.
Contenido de agregado en la mezcla de concreto a investigar de acuerdo
al diseño de mezclado (kg/m3).
Contenido de cemento en la mezcla de concreto, considerando el tipo de
cemento usado (kg/m3).
Relación de agua en la mezcla (kg/m3).
Tipo de cemento usado en la mezcla.
Resistencia a la compresión del concreto a los 28 días (MPa o psi)
La función de superposición para este modelo es:
𝐽(𝑡,𝑡𝑜) = 𝑞1 + 𝐶0(𝑡 , 𝑡0) + 𝐶𝑑(𝑡 , 𝑡0, 𝑡𝑐) (3.78)
Donde 𝑞1 es la deflexión instantánea debido al esfuerzo unitario inverso al módulo
de elasticidad que representa la relación lineal del concreto debido al módulo
inicial constante del concreto, cuya relación está en 10−9; 𝐶0(𝑡 , 𝑡0) es la función
de flujo plástico básico sin considerar el inicio del secado del concreto porque en
dicho proceso el concreto pierde propiedades internas y 𝐶𝑑(𝑡 , 𝑡0, 𝑡𝑐) es el flujo
plástico de secado que considera el tiempo de curado del curado, influyendo en la
deformación unitaria. Estas funciones están en relación a 𝑡 , 𝑡0, 𝑡𝑐 que son la edad
del concreto para efectos de cálculo, edad de fin del curado de acuerdo a los
métodos constructivos usados en el elemento estructural y la edad de inicio del
secado del concreto donde las propiedades internas del concreto tienden a
disminuir.
𝑞1 =0.6
𝐸𝑐𝑚28 (3.79)
En la ecuación 3.79, se considera una relación constante lineal para un módulo
de resistencia a la compresión de 28 días, porque dicho parámetro está en
diversos ensayos experimentales y en ajustes matemáticos. Por otro lado, el
módulo de elasticidad para dicha resistencia a la compresión se presenta a
continuación:
𝐸𝑐𝑚28 = 4734√𝑓𝑐𝑚28 en S.I. (3.80)
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Para el caso de flujo plástico básico se tiene la siguiente fórmula:
𝐶0(𝑡 , 𝑡0) = 𝑞2𝑄(𝑡 , 𝑡0) + 𝑞3. ln[1 + ( 𝑡 − 𝑡0)𝒏] + 𝑞4. ln[𝑡/𝑡0] (3.81)
La ecuación 3.81 considera el tiempo de inicio de la aplicación de carga del
concreto (𝑡0) y la edad de concreto a investigar (𝑡), ya que la diferencia entre
edades (𝑡 − 𝑡0) resulta en el tiempo cargado de manera constante. Esta ecuación
se desdobla en los siguientes términos que relacionan la función de edad de
viscoelasticidad con un ajuste paramétrico realizado por los autores.
𝑄(𝑡, 𝑡0) = 𝑄𝑓(𝑡0) [1 + (𝑄𝑓(𝑡0)
𝑍(𝑡, 𝑡0))
𝑟(𝑡0)
]
−1𝑟(𝑡0)
(3.82)
𝑄𝑓(𝑡0) = (0.086𝑡02/9 + 1.21𝑡0
4/9)−1
(3.83)
𝑍(𝑡, 𝑡0) = (𝑡0)−0.5𝑙𝑛[1 + (1 − 𝑡0)
0.1] (3.84)
𝑟(𝑡0) = 1.7(𝑡0)0.12 + 8 (3.85)
Similarmente para el flujo plástico seco se presenta la siguiente fórmula:
𝐶𝑑(𝑡 , 𝑡0, 𝑡𝑐) = 𝑞5 [𝑒𝑥𝑝{−8𝐻 (𝑡)} − 𝑒𝑥𝑝{8𝐻(𝑡0)}]1/2 (3.86)
𝐻(𝑡) = 1 − (1 − ℎ)𝑠(𝑡, 𝑡𝑐) (3.87)
Donde 𝑞2𝑄(𝑡 , 𝑡0) es el coeficiente de envejecimiento de superposición del
concreto en estado viscoelástico (edad del concreto); 𝑞3 es el coeficiente de no
envejecimiento viscoelastico; 𝑞4 es el coeficiente de envejecimiento (tiempo) del
flujo; 𝑞5 es el parámetro del secado del flujo plástico.
𝑞2 = 185.4 𝑥 10−6𝑐0.5𝑓𝑐𝑚28−0.9 (3.88)
𝑞3 = 0.29(𝑤/𝑐)4𝑞2 (3.89)
𝑞4 = 20.3𝑥 10−6(𝑎/𝑐)−0.7 (3.90)
𝑞5 = 0.757𝑓𝑐𝑚28−1|휀𝑠ℎ∞𝑥 10−6|−0.6 (3.91)
Donde 𝑤 es el contenido de agua en la mezcla, 𝑐 es el contenido de cemento en
la mezcla y 𝑎 es el contenido de agregado de la mezcla.
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La deformación de retracción, medida desde el inicio del secado en 𝑡𝑐 (días), es
presentado a continuación:
휀𝑠ℎ(𝑡 , 𝑡𝑐) = −휀𝑠ℎ∞. 𝑘ℎ . 𝑆( 𝑡 − 𝑡𝐶) (3.92)
Donde 휀𝑠ℎ∞ es la deformación de retracción última; 𝑘ℎ es el factor que depende
de la humedad, y 𝑆( 𝑡 − 𝑡𝐶) es el factor que depende del tiempo. Siguiendo dicha
formulación, se calcula usando la siguiente expresión:
휀𝑠ℎ∞ = −휀𝑠∞
𝐸𝑐𝑚607
𝐸𝑐𝑚(𝑡𝐶+𝜏𝑠ℎ) (3.93)
Donde 𝐸𝑐𝑚607
𝐸𝑐𝑚(𝑡𝐶+𝜏𝑠ℎ)
es el factor que depende del tiempo para la retracción última del
concreto. Igualmente, el término (휀𝑠∞) se calcula siguiendo las siguientes pautas:
휀𝑠∞ = −𝛼1𝛼2[0.0019 𝑤2.1𝑓𝑐𝑚28−0.28 + 270] 𝑥 10−6 (3.94)
𝐸𝑐𝑚𝑡 = 𝐸𝑐𝑚28 (𝑡
4 + 0.85𝑡)0.5
(3.95)
Donde 𝑤 es el contenido de agua en kg/m3, 𝑓𝑐𝑚28 es la resistencia del concreto a
los 28 días, 𝛼1 𝑦 𝛼2 son constantes que dependen del tipo de mezcla del concreto.
𝜏𝑠ℎ = 0.085 𝑡𝐶−0.08𝑓𝑐𝑚28
−0.25[2𝑘𝑠(𝑉/𝑆)]2 (3.96)
𝑆( 𝑡 − 𝑡𝐶) = 𝑡𝑎𝑛ℎ√( 𝑡 − 𝑡𝐶)
𝜏𝑠ℎ (3.97)
Para ver más acerca del modelo de predicción, ver ACI 209 R92 [2].
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3.4.4.4 GL 2000
Este modelo fue desarrollado por Gardner y Lockman (2001), para un análisis
tiempo-historia. La última modificación de dicho modelo fue desarrollada por
Gardner en 2004. Este modelo es modificado del Atlanta 97 (Gardner y Zhao 1993)
que fue influenciado por CEB MC90, además se basa en un módulo de elasticidad
de 28 días, e igualmente en el módulo de elasticidad en el tiempo.
De acuerdo a los autores, el método es usado con los componentes químicos o
minerales que están en el concreto, temperatura, y el tiempo de curado junto con
la resistencia a la compresión a los 28 días en concretos con resistencias menores
a los 82MPa; otros factores que influyen en dicho modelo son: la edad de carga
del concreto, el tamaño del elemento, y la humedad relativa.
Siguiendo los parámetros, de acuerdo al ACI209 R92:
Edad del concreto cuando el secado empieza (días), este intervalo
condiciona el cálculo de la retracción.
Edad del concreto cargado (días), aproximadamente la vida útil del
concreto en la estructura.
Resistencia a la compresión del concreto a los 28 días (MPa o psi), de
acuerdo a ensayos de laboratorios.
Resistencia a la compresión del concreto (MPa o psi).
Módulo de elasticidad del concreto a los 28 días (MPa o psi).
Módulo de elasticidad del concreto (MPa o psi).
Humedad relativa expresada en decimales, que depende del ambiente a
estudiar.
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Relación de volumen-superficie (mm o in).
La función de superposición está conformada por el módulo de elasticidad del
concreto para 28 días por efectos internos del concreto es dada por:
𝐽(𝑡,𝑡𝑜) = 1
𝐸𝑐𝑚𝑡𝑜+
𝜙28( 𝑡, 𝑡0)
𝐸𝑐𝑚28 (3.98)
𝐸𝑐𝑚𝑡 = 3500 + 4300√𝑓𝑐𝑚𝑡 (3.99)
Donde 1
𝐸𝑐𝑚𝑡𝑜 representa la deformación inicial por unidad de esfuerzo, 𝜙28( 𝑡, 𝑡0)
es el coeficiente de flujo plástico que depende del tiempo y el tiempo de aplicación
de la carga:
𝜙( 𝑡, 𝑡0) = 𝜙( 𝑡𝑐) [2 [( 𝑡 − 𝑡0)
0.3
( 𝑡 − 𝑡0)0.3 + 14
] + (7
𝑡0)0.5
(( 𝑡 − 𝑡0)
( 𝑡 − 𝑡0) + 7)
0.5
+ 2.5(1 − 1.086ℎ2) (( 𝑡 − 𝑡0)
( 𝑡 − 𝑡0) + 77(𝑉/𝑆)2)
0.5
]
(3.100)
Los dos primeros términos de la ecuación 3.100 corresponden al flujo plástico
básico y el tercero depende del flujo plástico por secado que depende de las
propiedades geométricas de la estructura (volumen y superficie), 𝜙( 𝑡𝑐) es el
término de corrección por el efecto de secado antes de la carga y es detallado en
modelo de GL 2000 (Gardner y Lockman 2001) en el ACI 209.
𝜙( 𝑡𝑐) = [1 − ((𝑡0 − 𝑡𝑐)
(𝑡0 − 𝑡𝑐) + 0.12(𝑉/𝑆)2)
0.5
]
0.5
(3.101)
En la ecuación 3.101, se observa el término de corrección del flujo plástico,
donde 𝑡0 es el tiempo de inicio de la aplicación de la carga, 𝑡𝑐 es el tiempo de
curado, ya que el flujo plástico depende del tiempo de aplicación de carga y el
proceso de curado a usar. En tiempos iguales, se considera 𝜙( 𝑡𝑐) como 1, por el
efecto de secado antes del proceso de carga.
En términos de retracción para GL 2000 es calculado por:
𝜺𝒔𝒉( 𝑡, 𝑡𝑐) = 휀𝑠ℎ𝑢 𝛽(ℎ)𝛽( 𝑡 − 𝑡𝑐) (3.102)
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Donde 휀𝑠ℎ𝑢 es la deformación última de retracción para condiciones estándares,
este parámetro fue determinado de manera empírica en experimentos de ensayos
uniaxiales en probetas de concreto, 𝛽(ℎ) es el término de corrección por el efecto
de humedad para diferentes grados de humedad de la muestra, y 𝛽 ( 𝑡 − 𝑡𝑐) es la
corrección por el efecto de secado, en humedades relativas mayores a 0.96, ya
que la hidratación del concreto juega un rol importante dentro de la composición
química.
휀𝑠ℎ𝑢 = 900 𝑘 (30
𝑓𝑐𝑚28)1/2
𝑥10−6 (3.103)
𝛽(ℎ) = (1 − 1.18ℎ4) (3.104)
𝛽( 𝑡 − 𝑡𝑐) = [( 𝑡 − 𝑡0)
( 𝑡 − 𝑡0) + 77(𝑉/𝑆)2]
1/2
(3.105)
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De los modelos expuestos, se procede a calcular los coeficientes de flujo plástico
y la deformación unitaria para una edad de concreto de 365 días para efectos de
cálculos, de igual manera para la deformación unitaria del concreto presente,
obteniendose los siguientes resultados:
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Cuadro N° 3.2 Valores obtenidos de los diferentes modelos de predicción del concreto.
𝜙( 𝑡, 𝑡0) 𝜺𝒔𝒉( 𝑡, 𝑡𝑐)
ACI 209 1.82 3.64𝑥10−4
CEB MC90-99 1.12 5.66𝑥10−5
B3 BAWEJA - 6.11𝑥10−5
GL2000 1.14 2.321𝑥10−4
Se observa diferentes valores de coeficiente de flujo plástico en diferentes
modelos de predicción para un mismo elemento estructural, similar caso a la
deformación unitaria por retracción del concreto. En el modelo B3-Baweja, se
considera una deformación unitaria sin calcular el coeficiente de flujo plástico,
porque este fenómeno reológico se encuentra dentro de la función de compilación,
ver ecuación 3.78, tanto como el flujo plástico por secado, y otros. Estos
coeficientes de flujo plástico varían la sección transversal por la influencia del
concreto, al ser un elemento compuesto por una losa de concreto.
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3.4.4 Ejemplo aplicativo
A continuación se presenta una aplicación respecto al cálculo, control y
verificación de deflexiones tanto instantáneas como diferidas. En el siguiente
ejemplo, se observa el diseño de una pasarela de 38m de longitud con una
separación entre ejes de 35.60m, tal como se observa en la figura N°3.15. Este
sistema se encuentra apoyado en planchas de neopreno reforzadas con planchas
de acero estructural en su interior, siendo restringido tanto transversalmente como
longitudinalmente por medio de topes sísmicos.
Figura N° 3.15 Vista de elevación de pasarela.
Fuente: (TYPSA, 2017)
Esta pasarela (puente peatonal) está compuesta por una subestructura (estribos
con sistema de pilotaje) junto con la superestructura (tablero, sección compuesta
de concreto y acero tipo “I”), ver figura N° 3.16.
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Figura N° 3.16 Sección transversal de pasarela.
Fuente: (TYPSA, 2017)
En la figura N°3.16, se observa una losa de concreto con planchas de acero
(espesor de 12.5 cm). El ancho total del tablero es 2.80 m, la cual está constituida
por 2.50 m de ancho peatonal junto con barandas en los extremos con un ancho
de 0.15 m en cada lado. Esta sección de concreto y acero está unida
mecánicamente por medio de conectores de corte a vigas de acero estructural de
tipo “W” o “I”, con un peralte de 1.45m desde el ala superior hasta el ala inferior.
Este tipo de secciones son típicas por su gran desempeño en el campo estructural
por sus grandes ventajas tales como su capacidad frente a las altas demandas
(diseño, funcionalidad, seguridad y economía). Para cumplir dichas finalidades,
este sistema debe cumplir el estado límite de servicio.
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Para la viga en estado no compuesto, se obtiene el segundo momento de inercia
y sus propiedades geométricas sin tomar en cuenta la losa de concreto, sólo
incluyendo en el cálculo la viga de acero con su respectivo módulo de elasticidad:
Se procede a calcular para las cargas de corta duración (instantáneas), la relación
modular y el momento de inercia de segundo orden, incluyendo la losa de concreto
efectiva.
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Ahora se procede a calcular las deflexiones por efecto del flujo plástico cuando
estás completamente cargado (long term), considerando un tiempo de 365 días
(𝑡), con un tiempo de curado inicial de 7 días (𝑡𝑐) y con un tiempo de aplicación de
carga inicial de 7días (𝑡𝑜), de acuerdo a un modelo de predicción del ACI 209 R92,
presentado en la tabla N° 3.2. El módulo de elasticidad del concreto que incluye
al flujo plástico se procede a calcular a continuación:
El coeficiente de flujo plástico toma el siguiente valor, para después calcular el
módulo de elasticidad efectivo del concreto.
𝜙( 365,7) = 1.82
Relacionando dicho módulo de elasticidad del concreto con el módulo de
elasticidad del acero para calcular la relación modular, se obtiene:
Se procede a calcular las propiedades geométricas para una sección en estado
compuesto, es decir, incluyendo la losa del concreto con un ancho efectivo que
depende de la relación modular por flujo plástico.
Se calcula el momento de inercia de segundo orden para la sección transversal
efectiva.
Se considera una deformación unitaria por retracción, considerando un tiempo de
365 días (𝑡), con un tiempo de curado inicial de 7 días (𝑡𝑜) y con un tiempo de
aplicación de carga inicial de 7días (𝑡𝑜), de acuerdo a un modelo de predicción del
ACI 209 R92, presentado en la tabla N° 3.2.
𝜺𝒔𝒉( 365,7) = 3.64𝑥10−4
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Se procede a calcular las deflexiones totales, largo plazo y corto plazo, de acuerdo
a los elementos estructurales presentes, el uso de la estructura (carga muerta y
carga viva).
Se procede a calcular las deflexiones totales para la viga, sobrecargas y cargas
muertas que incluyen los elementos de concreto (baranda y losa) por los efectos
internos del concreto.
Por viga de acero:
Por sobrecargas de acuerdo al uso:
Por cargas sostenidas que incluyen el peso del concreto concreto:
Se calcula la deflexión por retracción del concreto, considerando que es una carga
axial excéntrica respecto al centro de gravedad de la sección transversal, por ello,
se calcula la magnitud de la fuerza, para luego calcular la respuesta estructural.
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Aplicando el efecto de superposición, debido a que es un elemento que considera
la linealidad de los materiales se obtiene:
Ahora, se procede a explicar el cálculo simplificado, sin utilizar los conceptos de:
flujo plástico y retracción del concreto y conectores de corte, considerando una
sección transversal totalmente compuesta sin la influencia en estado elástico-
lineal. La sección concreto armado se transforma a una de acero para considerar
un módulo de elasticidad constante.
Se procede a calcular para las cargas de corta duración (instantáneas) y larga
duración, la relación modular y el momento de inercia de segundo orden,
incluyendo la losa de concreto efectiva.
Se procede a calcular las deflexiones totales, largo plazo y corto plazo, de acuerdo
a los elementos estructurales presentes, el uso de la estructura (carga muerta y
carga viva).
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Se procede a calcular la deflexión total para viga, sobrecargas y cargas muertas
que incluyen los elementos de concreto (baranda y losa) para la sección
compuesta.
Aplicando el efecto de superposición, debido a que es un elemento que considera
la linealidad de los materiales se obtiene:
Se observa que la deflexión total considerando los efectos internos del concreto
es 95.92 mm; por otro lado la deflexión sin considerar la retracción y el flujo
plástico es 67.19 mm. Existe un aumento de 42% entre la deflexión que considera
los efectos internos del concreto y la que no considera.
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4. CAPÍTULO IV. BIBLIOGRAFÍA EN LITERATURA NACIONAL E
INTERNACIONAL
La deflexión en vigas es una respuesta estructural que condiciona la seguridad de
la estructura a diseñar; en el caso de vigas de sección compuesta, la deflexión
viene a ser calculada en forma simplificada con lineamientos de normas actuales.
Estos métodos normados no pueden reflejar el cálculo preciso en las deflexiones
de corta y larga duración, por ello, es necesario para verificar dichas respuestas,
el uso de modelos complejos que se alineen a las propiedades de los materiales.
En tal sentido, algunos problemas recurrentes durante el proceso de
modelamiento son los siguientes: el desplazamiento relativo “slip” que ocurre en
la interacción parcial entre la losa y la viga de acero; el efecto diferido por las
propiedades internas del concreto y por último, el fisuramiento existente en la losa
de concreto.
Estos problemas se presentaron en investigaciones respecto al comportamiento
larga y corta duración. Se estudiaron las propiedades constitutivas de los
materiales y los elementos que componen al sistema compuesto. No obstante, la
aparición de una parte no lineal en función a la carga aplicada, la geometría del
elemento y el tiempo de aplicación ocasiona un desconcierto en el cálculo de las
respuestas estructurales y la redistribución de esfuerzos internos.
Muchos autores han denotado la preocupación de que las respuestas no han sido
calculadas correctamente; por tanto, se empezaron a desarrollar experimentos y
métodos para soluciones exactas con la ayuda de nuevas tecnologías a nivel de
ingeniería.
El comportamiento diferido toma una gran importancia en el análisis de respuestas
estructurales en el estado de servicio, por tal motivo en el presente capítulo se
realizará una breve revisión bibliográfica respecto a los siguientes influyentes
temas:
Flujo Plástico y retracción en el concreto.
Ensayos experimentales
Conectores de corte
Modelos analíticos de vigas de sección compuesta.
Estos puntos son importantes porque los estudios actuales del comportamiento
diferido, tanto en vigas de sección compuesta como en otros sistemas
estructurales, hacen énfasis en la explicación y entendimiento de dicho efecto para
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un correcto diseño estructural, por ello se presenta una recopilación de
información en vigas de sección compuesta, tal como se muestra a continuación:
4.1 FLUJO PLÁSTICO Y RETRACCIÓN EN EL CONCRETO
En el caso de las vigas de sección compuesta, la variación de esfuerzos en los
elementos de concreto en el transcurso del tiempo constituye un aumento gradual
en las deflexiones a largo plazo; en consecuencia, el estado de servicio de la
estructura es más vulnerable por la variación de las respuestas estructurales, lo
que puede conllevar a no cumplir sus principales funciones: seguridad y
economía. Varios autores en esa área han realizado estudios para determinar una
mejor explicación al complejo problema de modelar, como se menciona a
continuación:
Scordelis (1982) [76] presenta un análisis no lineal en una sección reforzada de
tipo cajón celular para puentes, produciendo diferentes respuestas estructurales
con diferentes tipos de cargas estructurales. Esto se realiza con el fin de demostrar
el correcto análisis que produce los elementos finitos para las diferentes
solicitaciones (momentos, fuerzas cortantes y torsión), aplicando un modelamiento
tridimensional sobre las características de la rigidez, la geometría de la sección
transversal y sus materiales.
A partir de los estudios experimentales pasados, Bazant y Zebich [13] en 1983
predicen un modelo de flujo plástico y retracción, este modelo es transformado en
funciones algebraicas con diferentes parámetros, aproximando a una regresión
lineal respecto a los modelos de predicción del concreto propuestos por ACI y
CEB-FIP para determinar el comportamiento diferido. Se observó que no siempre
es certero el uso de los modelos para predicción en el efecto a largo plazo porque
el comportamiento complejo induce a una solución no exacta.
Bazant et al. 1987 [11] menciona que en el análisis de tiempo, los esfuerzos
internos del concreto tienden a disminuir gradualmente en función a su edad de
acuerdo al modelo de esfuerzo-endurecimiento; el endurecimiento tiende a ser un
factor importante porque determina la resistencia final del concreto. Por tanto, el
modelamiento de los esfuerzos internos debe ser por parámetros tales como
tiempo, tensiones y aplicación de las cargas. En el modelo viscoelástico
(comportamiento viscoso y elástico), se observa que el concreto tiene picos
máximos en la deformación de flujo plástico y a medida que continúa con la
aplicación de la carga constante, esta deformación tiende a disminuir, ocurriendo
una recuperación irreversible. A partir de este comportamiento, se adecua las
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representaciones lineales del efecto diferido aplicadas en el modelo de
aproximación lineal (AEMM), estos efectos lineales pueden ser representados por
el principio de superposición debido a que las deformaciones por cada tipo de
carga son superpuestas por efectos de flujo plástico y retracción. Luego de
aplicarlas en el ensayo, se observa una relación casi lineal a dichos esfuerzos
internos. Además, se observa que la deformación aumenta con el cambio de
fuerza aplicada, lo que indica que el cambio gradual de la fuerzas influyen en las
respuestas totales, ver figura N°4.1.
Figura N° 4.1 Muestra tomada en forma experimental por Bazant 1987, comparada con el modelo Lau et al.
Fuente: (Bazant 1987).
Años más tarde, Bazant et al. 1989 [12] realiza una investigación respecto al flujo
plástico y la retracción del concreto, desarrollando el análisis probabilístico de los
parámetros de dichos efectos con relación al principio de superposición,
considerando el uso de métodos aproximados de la literatura de su época; así por
ejemplo, AEMM que considera el flujo plástico como una función carácter lineal
para el estudio de dicho efecto. El autor trata de verificar la formulación
simplificada resultante por dicho método, aplicando teorías de probabilidad.
Dezi et al. (1992) [24] desarrolla un estudio analítico del flujo plástico y la retracción
del concreto en una viga de sección compuesta a través de una formulación
matemática de diferentes teorías lineales. El estudio se realiza en vigas
simplemente apoyadas y continuas, empleando como método de solución, la
discretización de los elementos constituyentes con conectores de tipo flexible,
basado en las siguientes suposiciones:
La sección transversal de los elementos permanece constante.
El desplazamiento vertical entre losa y viga de acero es igual.
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El deslizamiento entre el interface losa-viga es asumida para ser
proporcional a la fuerza cortante por unidad de área.
En tal sentido, estas suposiciones se consideran en estado lineal-elástico, cuando
se usa los materiales compuestos por acero y concreto; aplicando sistemas de
ecuaciones constituyentes de los fenómenos diferidos que se estudian por
separado.
La aplicación de estos métodos de aproximación para la función del flujo plástico
permite la evaluación del comportamiento a través del tiempo para las fuerzas
internas; por ejemplo, el flujo plástico tiende a gobernar las fuerzas internas y las
reacciones redundantes en la viga, en consecuencia las reacciones por parte de
la retracción disminuyen por el efecto mencionado. Adicionalmente, la
sobreestimación respecto al cálculo es correspondiente al 30% en flujo plástico.
Gilbert et al. (2007) [36] presenta un modelo de predicción del concreto para los
fenómenos de flujo plástico y retracción basados en el modelo viscoelástico que
explica el porqué del endurecimiento del concreto con base a los modelos de
predicción actuales. Estos resultados son comparados con datos experimentales
en vigas armadas simplemente apoyadas y columnas que incluyen el desarrollo
de las respuestas estructurales en estado de servicio. El autor observa una buena
relación entre el modelo analítico desarrollado y los datos reales, el cual observa
que las deflexiones en 250 a 280 días aumentan gradualmente, disminuyendo los
esfuerzos internos (tracción y compresión) a medida que la carga aplicada
continúa en los apoyos.
Figura N° 4.2 Deflexiones vs tiempo para caso de vigas reforzadas en modelos experimentales y analíticos.
Fuente: (Gilbert et al. 2007).
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En la figura N°4.2, se observa la comparación de los datos experimentales con los
datos obtenidos del modelo analítico para las deflexiones a largo plazo, al
representar los puntos los datos experimentales y las líneas los datos del modelo
para diferentes posiciones de la sección de la columna, en relación a los
desplazamientos axiales.
Erkmen et al. (2009) [27] desarrolla la predicción del fenómeno de flujo plástico y
retracción en vigas de sección compuesta curvas en puentes. Al modelar,
aplicando la teoría de viscoelasticidad del concreto para la formulación de los
efectos internos en tracción y en compresión en el diagrama de esfuerzo-
deformación. En ese sentido, las deformaciones en servicio son calculadas en
rango no lineal; por ejemplo, el flujo plástico y la retracción del concreto muestran
efectos significativos en las deformaciones finales porque éstas aumentan en una
considerable magnitud. El método de solución no lineal es paso a paso en el
análisis tiempo-historia que incluye la interacción parcial entre la losa de concreto,
el acero y los conectores de corte. Pero, si no se considera la interacción parcial,
el proceso de cálculo produce una mala exactitud en los resultados de las
deformaciones, en consecuencia una incertidumbre en el cálculo de resultados.
Figura N° 4.3 Modelo implementado en el programa ABAQUS.
Fuente: (Erkmen et al. 2009).
Bradford et al. (2011) [28] investiga las deformaciones a causa de la retracción en
el concreto para losas compuestas con interacción parcial en el tiempo de acuerdo
a diversos factores como se menciona en los diferentes modelos de predicción del
flujo plástico y de la retracción (ver Anexos). De igual manera, el estado de servicio
es importante, ya que la retracción tiende a ser una de las principales causas de
las deformaciones a largo plazo por la disminución del volumen del concreto que
causa esfuerzos de tracción en la superficie, al ocasionar fisuras que disminuyen
la capacidad de la estructura. La presencia de la deflexión entre la viga de acero
y la losa compuesta depende de la retracción en un gran porcentaje por la fuerza
ejercida por dicho fenómeno en el tiempo en la interacción parcial.
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Figura N° 4.4 Deflexiones en la viga de sección compuesta.
Fuente: (Bradford et al 2011).
Kim (2014) [42] investiga las deflexiones a largo plazo por flujo plástico y retracción
del concreto en su tesis de maestría, de acuerdo a los modelos de predicción
basados en el ACI 209. En el estudio, se desarrolla la comparación entre modelos
con diferentes tipos de interacción por sus diferentes comportamientos en las
deflexiones diferidas. Asimismo, el autor desarrolla un programa y compara los
resultados de dicho programa entre los modelos actuales y los resultados de la
literatura actual. Como consecuencia, se desarrolla un lineamiento para el proceso
de cálculo de las deflexiones, convirtiendo al flujo plástico y la retracción en una
función de rango lineal que aplica el principio de superposición en el cálculo.
4.2 ENSAYOS EXPERIMENTALES
Al demostrar la validez de los modelos analíticos de la viga de sección compuesta,
se desarrollan varios ensayos experimentales, tomando como principal base el
efecto a largo plazo de las deflexiones en los componentes estructurales de dicho
sistema, autores de diversos países desarrollaron dichos estudios con el objetivo
de observar el comportamiento estructural.
Ranzi et al. (2010) [63] realiza modelos experimentales con cargas de larga de
duración, al usar bloques de concreto en la viga como se observa en la figura N°
4.5, con el fin de realizar un estudio del flujo plástico del concreto, de la
temperatura y de la humedad. En tal caso, el cálculo de las deflexiones se basó
de acuerdo a un modelo de aproximación que demuestra, particularmente, los
efectos del flujo plástico. Además, se asume que el conector de corte tiene una
rigidez constante y los efectos diferidos en relación al método de aproximación
“AEMM” en el modelamiento. Se concluye que la demanda de la viga en cuestión
no es afectada por los efectos diferidos del concreto, ya que el desplazamiento
ocurrido por la retracción es contraria a la de las cargas externas debido a su
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naturaleza (no influye las solicitaciones externas), además se recomienda el
estudio de los conectores de corte con rigidez no constante en función del tiempo
en análisis más exhaustivos.
Figura N° 4.5 Bloques de concreto que simulan cargas constantes.
Fuente: (Ranzi et al. 2010).
Ranzi (2011) [69], realiza un estudio experimental en vigas de sección compuesta
en función de los efectos diferidos del concreto con base a la norma australiana
de diseño para obtener datos reales respecto al comportamiento de este tipo de
sección, ya que no existe información suficiente sobre el tema.
Figura N° 4.6 Sistema usado para el estudio experimental por Ranzi.
Fuente: (Ranzi et al 2011).
En la figura 4.6 se observa el sistema metálico que sostiene el encofrado de
concreto para la losa superior, este sistema fue ensayado durante un tiempo
aproximado de 300 días, desarrollando su capacidad máxima con una carga
sostenida aplicada en el centro de la viga longitudinal para luego ser estudiada.
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Al-deen et al. 2011 [64] desarrolla modelos de vigas de sección compuesta para
estudiar los efectos a largo plazo a escala real, se observa que las respuestas
estructurales - deflexiones - y las fuerzas internas debido a la carga aplicada en
forma constante y permanente (usando bloques de concreto durante 30 días)
influyen en las deflexiones finales.
Figura N° 4.7 Aplicación de la carga sostenida en la sección compuesta.
Fuente: (Al-deen et al 2011).
“La rigidez inicial de los conectores viene a ser mayor en comparación a la rigidez
final de los mismos” […], H. Ban et al (2015) [10] emplea cuatro vigas
experimentales con diferentes tipos de conexión en conectores (soldados o
empernados) para el estudio del comportamiento interno de los elementos
estructurales. Además, modela analíticamente la viga en función al método de los
elementos finitos, usando el programa ABAQUS; en dicho modelamiento se pudo
observar la reducción de la rigidez en los conectores de corte en un porcentaje
alto, ya que, inicialmente, estos conectores tienen mayor capacidad que en el
estado después de haber sido sometidos a una carga, observar figura N°4.8.
Igualmente, se observa que las curvas en los ensayos “push out” (fuerza vs
desplazamiento) reflejan diferentes tipos de comportamientos, estos resultados
indican que la disminución de fuerza cortante a través del tiempo (curva load-slip)
siempre está presente por las cargas aplicadas lo que ocasiona una disminución
de esfuerzos internos en la adherencia. Consecuentemente, se observa que las
deflexiones por flujo plástico y retracción influyen en el concreto y
simultáneamente en los conectores, pero este efecto va disminuyendo a través
del tiempo debido al acero de refuerzo tiende a tomar las tensiones internas
(compresión y tracción), reduciendo las deflexiones en un gran porcentaje.
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Figura N° 4.8 Resultados del ensayo push-out para ver la rigidez inicial de los conectores. (a) Tipo empernada; (b) tipo empernado; (c) tipo soldado.
Fuente: (H. Ban et al. 2015).
Sweedan et al. (2015) [79] realiza un estudio para determinar la capacidad debido
al momento flector (flexión) en vigas de acero frente a cargas reales. En el
experimento, se emplea once vigas con diferentes propiedades tanto en
materiales y como en geometría, además, se aplicó el uso de fibras de carbono
(láminas) como refuerzo en la parte central y en los extremos (junto a los apoyos).
Este experimento tiene como principal objetivo: observar el comportamiento de la
viga de acero durante la fluencia del acero con la aplicación de una gran carga
sostenida. El acero fluye primero en las partes superiores del perfil, siguiendo el
flujo hacia el eje neutro de la sección transversal, ocasionando fallas por flexión
luego de sobrepasar la capacidad máxima; en el caso longitudinal, el proceso de
carga sigue el vano central hacia las zonas de apoyo donde la fibra de carbono es
usa como refuerzo para contrarrestar el efecto ocasionado por la carga aplicada,
reduciendo la concentración de esfuerzos en dichas zonas.
Figura N° 4.9 Sistema usado para el estudio experimental.
Fuente: (Sweedan et al. 2015).
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Figura N° 4.10 Proceso de aplicación de carga en la viga de acero con láminas de fibra de carbono.
Fuente: (Sweedan et al. 2015).
Valipour et al (2015) [84] estudia el comportamiento mecánico del sistema
compuesto en acero y madera similar al de concreto y acero, para tal fin, se utiliza
diferentes tipos de conectores (empernados y soldados) en las pruebas de ensayo
para vigas. Con dichos experimentos, se observó el comportamiento de la viga de
acero y el comportamiento de la losa de acero, usando diferentes tipos de
secciones transversales en dicho experimento. En tal caso, la aparición del
fenómeno de agrietamiento está presente en la losa de madera junto al
aplastamiento, lo que induce que los conectores de corte fallen simultáneamente.
Como resultado del experimento, se grafica las curvas de esfuerzos-
desplazamiento en los diferentes tipos conectores, considerando las propiedades
generales de los mismos para ver la relación entre ellos. Además, se presenta la
formación de una o dos rótulas plásticas en los conectores que fueron soldados o
empernados, ya que la capacidad de los elementos han sido sobrepasadas por la
demanda de la estructura, ver figura N°4.11.
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Figura N° 4.11 Fallas ocasionadas en los conectores de corte ensayados.
Fuente: (Valipour et al 2015).
De Sutter et al. (2016) [21] realiza un modelo experimental de una viga hibrida
compuesta para investigar el comportamiento por fuerza cortante, se concluye que
la deformación por corte en vigas de sección de compuesta no toma mayor
relevancia en el cálculo de las deflexiones porque son muy pequeñas en
comparación a los otros tipos de deflexiones.
4.3 CONECTORES DE CORTE
El tipo de interacción entre la losa de concreto y el perfil de acero es uno de los
efectos más influyentes, puesto que durante el proceso de cálculo, control y
verificación de las respuestas estructurales es diferente por tipo. Esto influye
notablemente en el diseño; así por ejemplo, en la conexión completa se utiliza el
rango elástico-lineal como base, en cambio en la conexión parcial se utiliza el
rango no lineal. Estos problemas son estudiados por varios autores en forma
analítica y en forma experimental para asemejar a su comportamiento en las
estructuras compuestas, tanto en sistemas de pisos compuestos, vigas
compuestas o columnas compuestas.
El estudio del tipo de interacción de vigas de sección compuesta es realizado por
Oehlers et al. (1995) [23] que a partir de las diferentes propiedades geométricas
muestra como objetivo los cambios de esfuerzos internos en la sección. Con ello,
se demuestra que la fuerza axial del concreto usualmente es más grande que la
fuerza axial de la sección de acero y que el grado de interacción es independiente
a la solicitación interna o externa; en otras palabras, los materiales que gracias a
sus propiedades constituyen efectos aislados al tipo de interacción presente. Sin
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embargo, si se considera la conexión parcial, ésta puede reducir la fuerza de corte
gracias a la presencia de adherencia en el concreto y el acero, pero aumenta la
complejidad del cálculo por considerar dicha fuerza de corte.
Wang (1998) [86] desarrolla una formulación matemática para el cálculo de
deflexiones en caso de vigas de sección compuesta con interacción parcial de
acuerdo al lineamiento dado por el Euro código 4 y AISC. Así mismo, se realiza
un modelamiento de la viga con el método de elementos finitos para comprobar la
fórmula desarrollada en relación a propiedades lineales de los elementos
constituyentes. Se considera que las deflexiones son de suma importancia en el
rango de servicio, lo que ocasiona que las deflexiones máximas sean calculadas
por fórmulas de interacción completa como se observa en diferentes normas de
diseño actuales:
(4.1)
Esta ecuación 4.1 representa el efecto parcial debido a los conectores de corte
que considera la rigidez de los conectores (µ) y la propiedad geométricas de las
vigas así como vanos, módulo de elasticidad y cargas aplicadas; luego, se
compara con normas actuales de diseño, dando como resultado que las
deflexiones son sobreestimadas en un 20% debido al efecto de la interacción
parcial. Finalmente, el autor presenta un lineamiento para el diseño de conectores
de corte, que considera el rango no lineal de acuerdo al fenómeno “load-slip” para
un cálculo preciso.
Ranzi et al. (2011) [46], en orden de modelar la viga, representa el tipo de
interacción con elementos finitos, debido a que los conectores son influyentes en
la rigidez del sistema. Se modela el fenómeno de load-slip (carga-desplazamiento
relacionada a la interacción parcial) con datos experimentales de los ensayos push
out y datos analíticos, se concluye que el comportamiento no lineal de los
conectores de corte no depende de la relación load-slip, sino de la rigidez
transversal en vigas continuas o simplemente apoyadas.
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Figura N° 4.12 Diagrama de fuerza vs deflexión.
Fuente: (Ranzi et al. 2011).
4.4 MODELAMIENTO ANALÍTICO
Los modelos analíticos han tomado mayor importancia en el ámbito estructural
debido a que los elementos constituyentes pueden ser representados
matemáticamente; así por ejemplo, de modelos simples en una dimensión en
estado elástico-lineal a modelos en tres dimensiones con propiedades de
materiales no lineales en el tiempo. A continuación, se muestra la revisión de
algunos autores para el planteamiento analítico en el modelamiento de la viga de
sección compuesta.
Figura N° 4.13 Segmento infinitesimal de la viga de sección compuesta.
Fuente: (Dias et al. 2013).
Ayoub et al. (2000) [9] desarrolla un modelo no lineal de viga de sección
compuesta con cargas de tipo monotónica (una sola aplicación de cargas) y cíclica
(se repite la aplicación de la carga), se realiza una discretización de los elementos
estructurales tanto en viga, losa y conectores de corte, aplicando el método de los
elementos finitos como sistema de solución. La validación de dicho modelo se
realiza con resultados experimentales de diferentes autores para encontrar un
correcto ajuste de acuerdo a las condiciones iniciales planteadas por el autor. En
el estudio, se concluye que la acción cíclica de las cargas reduce la rigidez y la
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capacidad de la viga, por tal motivo, las respuestas estructurales tienden a
aumentar en función de la carga aplicada.
Figura N° 4.14 Segmento de equilibrio en el modelo mencionado.
Fuente: (Ayaub et al. 2000).
Fu y Lu (2003) [31] desarrollan un modelo matemático basado en elementos finitos
para vigas de sección compuesta en el campo de puentes debido a su amplio uso.
Para tal objetivo, se considera las propiedades lineales de los elementos de acero,
y las propiedades no lineales de concreto dentro del proceso de cálculo; por ello,
se desarrolla un lineamiento de acuerdo a un comportamiento más aproximado de
la viga, dando las pautas necesarias para el cálculo de deflexiones instantáneas
en función a sus propiedades constituyentes (elementos y materiales).
Posteriormente, estos parámetros son aplicados al modelo en tres dimensiones
para el análisis, luego, los resultados son comparados con vigas que han sido
ensayadas experimentalmente, ajustando el modelo presentado con los datos de
forma correcta. Se determina que el ajuste del modelo concuerda con los datos
obtenidos en las vigas ensayadas en un gran porcentaje, asumiendo como válida
las propiedades lineales y no lineales de los elementos de acuerdo al estudio
computacional de la viga, finalmente, se calcula las respuestas estructurales.
Figura N° 4.15 Elemento finito utilizado para el modelo.
Fuente: (Fu y Lu et al. 2003).
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Nie et al. (2004) [56] realiza un estudio comparativo de vigas continuas de sección
compuesta con elementos finitos, ya que, éstas aumentan su rigidez por el
aumento en el número de apoyos, el grado de hiperestaticidad aumenta
considerablemente, por tanto la estabilidad también. El estudio se desarrolla en el
estado de servicio, considerando las propiedades lineales de los materiales y
aplicando el principio de superposición para el cálculo de respuestas estructurales,
la viga de acero y el acero de refuerzo reducen las deflexiones en la viga, debido
a que dichos elementos aumentan la rigidez de la estructura de 10% a 20%.
Consecuentemente, la capacidad última aumenta en un porcentaje mayor al
diseño sin considerar el acero de refuerzo, considerando constante la rigidez del
conector. Finalmente, el autor recomienda que en el estado de servicio se debe
considerar el acero de refuerzo por el aumento gradual de las deformaciones.
Figura N° 4.16 Segmento de modelo de viga de sección compuesta.
Fuente: (Nie et al. 2004).
Liang et al (2004) [47] investiga los efectos del concreto y la interacción en la
fuerza de corte en las vigas continuas en función a diferentes parametrización del
momento y corte longitudinalmente. Se desarrolla un estudio analítico, empleando
el método de los elementos finitos como método de solución con base a las
propiedades de los elementos constituyentes y el tipo de interacción entre losa y
viga (interacción completa). Luego, estos resultados son comparados con ensayos
experimentales en el desarrollo de las respuestas estructurales, siguiendo el
lineamiento del Euro código y AISC para el diseño de dichas vigas.
En el análisis, la discretización de los elementos de la viga de sección compuesta
es usada mediante el método de los elementos finitos. Zona et al. (2006) [72]
aplica la condensación estática en la matriz de rigideces para fuerzas y
desplazamientos para una mejor aproximación, se procede a comparar los
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resultados ideales del modelo con los reales, ajustando en una buena relación
para el estudio del comportamiento de la viga.
Figura N° 4.17 Modelo aplicado para el análisis de sensibilidad.
Fuente: (Zona et al. 2006).
Ranzi y Bradford (2005) [18] proponen un modelo analítico en función de las
propiedades de los materiales constituyentes basados en métodos de
aproximación para el fenómeno del flujo plástico, los autores comprueban su
modelo con cálculos basados en la rigidez de los elementos de la sección
compuesta. En consecuencia, los cálculos obtenidos en las aproximaciones
fueron más complejos por el número de parámetros a usar y las funciones no
lineales en el tiempo en efectos a largo plazo presentes en el concreto.
Similarmente, Kotinda (2006) [43] realizó un modelo en elementos finitos para la
interacción parcial de la viga de sección compuesta, basado en modelos pasados
para el ajuste de las propiedades. El modelo es desarrollado en el programa
comercial ANSYS, que gracias al uso de su librería se modela cada tipo de los
elementos constituyentes de la viga de sección compuesta (losa de concreto, viga
de acero, conectores de corte y acero de refuerzo), incluyendo las propiedades
constituyentes de los materiales en el rango lineal y con efectos diferidos. En el
análisis en estado de servicio, se muestra que la interacción parcial entre la viga
de acero y la losa de concreto produce variaciones de esfuerzos a lo largo de la
sección transversal, éstos disminuyen en la viga simplemente apoyada,
incluyendo el efecto de la adherencia entre acero y concreto. Finalmente, se
compara los resultados con la norma NBR 8800-2003 (norma brasileña),
incluyendo los posibles efectos debido a la fisuración del concreto; por ello, se
muestra un lineamiento para el modelamiento de vigas de sección compuesta.
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Figura N° 4.18 Grupo de elementos finitos en programa ABAQUS: (a) losa de concreto; (b) perfil de acero; (c) conectores de corte y (d) elemento de contacto entre el acero y el concreto.
Fuente: (Kotinda 2006).
Ranzi (2007) [94] presenta un modelo analítico para la viga de sección compuesta
que incluye la deformación por corte en la viga de acero, no muy usado en los
modelamientos. Este modelo aplica las teorías de Euler-Bernoulli (sección plana
transversal constante), Timovshenko (asume deformaciones por corte en el
modelo) y Newmark (la losa de concreto y la viga de acero posee secciones
transversales planas constantes) en el análisis tridimensional. El acero de la viga
es modelado bajo capas de elementos lineales elásticos, mientras que la losa de
concreto es modelada bajo un régimen continuo viscoelástico (flujo plástico y
retracción). A partir de los modelos aplicados, se indica cual es el que tiene mejor
predicción para estudiar los resultados y el comportamiento en función a los
conectores de corte.
Ranzi et al. (2008) [65], durante el modelamiento de los elementos finitos, aplica
el fenómeno de desplazamiento vertical “uplift” que consiste en el levantamiento
de la losa de concreto fuera de la cabeza de los conectores de corte por la carga
aplicada. Igualmente, se indica que el proceso simplificado en las vigas reduce la
magnitud de las tensiones y deformaciones, en consecuencia, el modelo muestra
que las deflexiones aumentan en función de las rigideces y los conectores por la
conexión parcial. Por otro lado, también, se estudia la conexión completa en el
rango elástico-lineal para el cálculo de las respuestas estructurales tanto
esfuerzos como deflexiones.
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Figura N° 4.19 Fuerzas internas actuantes en dos capas distintas y las fuerzas de conexión.
Fuente: (Ranzi et al. 2008).
Gara et al (2008) [33] desarrolla un modelo de elementos finitos para el desarrollo
en vigas de sección compuesta en un tiempo diferido, estudiando la influencia de
las fuerzas internas y las fuerzas externas como en las vigas, la losa y otros, las
que luego son comparadas con estudios experimentales. Dicha acción demuestra
que el efecto a largo influye notablemente en el comportamiento del elemento
tanto en la redistribución de esfuerzos internos como en las respuestas
estructurales, que comparado al efecto instantáneo por la carga aplicada es
menor.
Según Sakr et al (2008) [74], el planteamiento de un modelo en relación al
comportamiento de la viga de sección compuesta es complejo debido a un sinfín
de propiedades presentes (lineales, no lineales, cargas y otros); por tanto, se
plantea un modelo que considera las propiedades más relevantes, aplicando las
siguientes suposiciones:
En el caso de la conexión de corte, la rigidez del conector tiende a ser de
forma no lineal, ya que, la rigidez varía en el tiempo debido al fenómeno
de slip-load.
Las deformaciones de corte no son consideradas bajo cargas de servicio
por ser demasiado pequeñas.
El concreto se fisura si se excede la resistencia en compresión,
provocando la falla frágil.
La sección de acero es de tipo compacta para que no se produzca el
pandeo de tipo global o localizado.
Por la presencia del efecto “shear lag” se usa un ancho efectivo para
mitigarlo.
El modelo planteado por el autor tiene diez grados de libertad en función a las
leyes constitutivas de los materiales, tal como se observa en las siguientes figuras:
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Figura N° 4.20 Modelo desarrollado en elementos finitos que considera los grados de libertad para fuerzas y nodos.
Fuente: (Sakr et al 2008).
En la figura N° 4.20, se muestra el modelo analítico tiempo-historia, que relaciona
el comportamiento no lineal de los conectores y la losa de concreto con
condiciones de frontera que ajustan más al comportamiento compuesto. Se
concluye que despreciando los efectos del fisuramiento en la capa de concreto,
éstos producen resultados no reales en la predicción de deflexiones y tensiones,
particularmente, en conectores de corte flexibles, por los resultados
experimentales anteriores. Igualmente, el rango no lineal afecta la rigidez de los
conectores de corte por su disminución progresiva; en consecuencia, la
interacción entre losa y viga considera la relación carga-desplazamiento (load-slip)
como el principal efecto en la reducción de rigidez de los conectores.
Zona (2009) [94] desarrolla tres modelos en elementos finitos en una viga de
sección “I”, aplicando diferentes teorías actuales para cada elemento
constituyente, estos modelos poseen una conexión deformable; en vigas se aplica
la teoría de Euler-Bernoulli, adicionando la deformación por corte con diferentes
cargas aplicadas en el rango no lineal. A partir de estos modelos, se menciona
que el efecto por corte se desprecia en los elementos tanto la losa de concreto y
el perfil de acero.
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Figura N° 4.21 Elementos finitos para las vigas de sección compuesta con conexión parcial.
Fuente: (Zona et al. 2009).
Sakla (2009) [72] realiza un estudio en la interacción parcial en las vigas de
sección compuesta, usando un método de redes neuronales (proceso iterativo en
función a los parámetros de los materiales y elementos constituyentes que
convergen a una solución planteada) para considerar un mejor ajuste en el modelo
con bases a las propiedades constituyentes de los elementos. Este estudio se
basa en el Euro código4 y AISC, que tienden a subestimar las cargas de corta
duración y sobreestimar las de larga duración en el cálculo, arrojando valores de
tipo conservativos. El análisis de las vigas toma como base las propiedades de
materiales constituyentes, las cargas aplicadas y la geometría de los elementos
en un proceso iterativo para que finalmente se observe un cambio gradual en las
propiedades, así por ejemplo, la rigidez inicial del conector tiene más influencia en
el comportamiento mecánico del sistema junto con la humedad relativa aplicada a
la retracción del concreto en las deformaciones totales.
Valipour (2009) [81] y Zhang et al (2009) [91] presentan una formulación en el
rango no lineal de las propiedades constituyentes y elementos (conectores y losa)
en el sistema compuesto, dado que en la interacción parcial en una sola
dimensión, demostrando el comportamiento de la viga en cargas servicio, ya que,
el servicio no incluye los efectos no lineales en su filosofía de diseño por el
comportamiento elástico-lineal que presenta. Las fuerzas internas respecto a los
efectos no lineales son calculadas, incluyendo las respuestas estructurales que
luego son comparadas con resultados pasados para verificar el modelo.
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Martinelli et al (2010) [51] desarrolla un método de cálculo “exacto” de elementos
finitos en una dimensión en una viga de sección compuesta, usando matrices de
rigideces, vectores equivalentes de las fuerzas nodales para los elementos
constituyentes. A partir de estas suposiciones, la formulación exacta se basa por
teoría de Newmark en el rango lineal-elástico que considera que la sección se
mantiene plana, ignorando la carga aplicada. Además, se observa que las fuerzas
internas y los desplazamientos por la adherencia del concreto y el acero en los
resultados influyen en el resultado; no obstante, dichos efectos se consideran en
el rango no lineal, entonces el cálculo de las respuestas tanto deflexión como
desplazamientos laterales de la estructura son en rango no lineal, por tanto son
más aproximados a los reales.
Figura N° 4.22 Fuerzas nodales y componentes del desplazamiento para una viga simplemente apoyada.
Fuente: (Martinelli et al 2010).
Leoni et al. 2011 [46] desarrolla un estudio paramétrico para el ancho efectivo de
la losa superior de concreto de las vigas de sección compuesta, incluyendo la
influencia de los efectos diferidos durante un tiempo de aplicación de carga de 28
días a 20000 días. Además, se estudia los efectos por el flujo de corte longitudinal
y transversal “shear lag”, este desarrollo extensivo se basa en condiciones de
cargas tanto cíclicos como monotónicas, influencia de los apoyos hiperestáticos
en el campo de puentes para el proceso de cálculo de las respuestas
estructurales. En consecuencia, se indica un planteamiento para el cálculo
simplificado del ancho efectivo en función a los efectos presentes en la sección
compuesta, considerando un lineamiento, llegando a usarse por diseñadores en
el campo de puentes y otras líneas de investigación
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Figura N° 4.23 (a) Geometría de la sección; (b) desplazamiento de la sección transversal; (c) función de esfuerzo.
Fuente: (Leoni et al. 2011).
Tamayo (2011) [78] desarrolla un modelo no lineal para materiales constituyentes
(concreto y acero) debido a la conexión parcial de la viga de sección compuesta,
se formula un modelo de elementos finitos con etapas de pre-procesamiento,
procesamiento y post-procesamiento para una aproximación más exacta. Para la
geometría de la sección transversal se usa el programa comercial GiD (pre-
procesamiento) donde se dibuja la viga, los conectores y la losa; luego, se
desarrolla un programa con lenguaje Fortrand7 para las leyes constituyentes de
los elementos (etapa de procesamiento) que considera las diferentes teorías de
modelamiento del concreto, acero y conectores; finalmente, se desarrolla la etapa
de post-procesamiento en GID, donde se visualiza las respuestas estructurales de
la viga tanto internamente o externamente. El autor realiza una comparación de
los datos del programa con diversos modelos experimentales, deduciendo que el
estado de servicio es de suma importancia, ya que las deflexiones aumentan
considerablemente en el tiempo, lo que pone en riesgo la funcionalidad de la
estructura. Finalmente, se concluye que se necesita un estudio con datos
experimentales para seguir un correcto lineamiento el cálculo, control y
verificación de deflexiones.
Siguiendo los lineamientos establecidos por Tamayo (2011) [78], Dias (2013) [25]
realiza un estudio en elementos finitos bajo la misma metodología de Tamayo,
pero en el campo de las deflexiones diferidas. Se aplica la misma metodología de
Tamayo, mencionando que el análisis por fisuramiento condiciona las fuerzas
actuantes, por tanto se debe verificar dicha respuesta estructural en el estado de
servicio.
7 Lenguaje computacional adaptado al cálculo numérico.
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Figura N° 4.24 Malla de elementos finitos usados por Tamayo 2011 y Dias 2013 en programa GiD.
Fuente: (Dias 2013)
Amadio et al 2012 [8] realiza un estudio paramétrico en estado de servicio en una
sección compuesta, usando lineamientos del Euro código 4 que dependen del tipo
de construcción (apuntalado y no apuntalado). Dichos resultados son comparados
con un modelo de elementos finitos que toma en cuenta las leyes constitutivas de
los materiales en un rango no lineal, se observa que las deflexiones son
conservadores en el tipo de construcción por el tipo de diseño a emplear, ya que
las deflexiones aumentan considerablemente; además, la fluencia del acero tiende
a influir en las tensiones la viga, ya que las aumenta en un porcentaje considerable
a dichas solicitaciones.
Yuan et al (2015) [90] plantea un modelo en relación al ancho efectivo de las vigas
de secciones compuestas, dicha suposición condiciona que la magnitud de las
fuerzas internas en el concreto se basa en el ancho efectivo que está en función
a tres parámetros: el espesor, la longitud y el ancho tributario, en consecuencia,
se ensaya con base a esos tres factores, usando los elementos finitos. Los
parámetros mencionados poseen un buen ajuste con respecto a las fórmulas del
AISC y Euro código 4 tanto en fuerzas internas como respuestas estructurales.
Figura N° 4.25 Modelo de elemento finito usado.
Fuente: (Yuan et al 2015).
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Bradford (2015) [16] realiza un estudio analítico y experimental para la interacción
parcial en las vigas de sección compuesta, se observa que la adherencia es muy
importante, ya que asegura la correcta transmisión de esfuerzos de corte, por tanto
el modelo considera dicha adherencia, empleando dicha suposición en el
modelamiento de la sección que condiciona a los conectores de corte por el tipo
de conexión empernada debido a la facilidad en la construcción y el uso continuo.
Figura N° 4.26 Sistema en elementos finitos en el programa ANSYS.
Fuente: (Bradford 2015).
En el caso para el efecto de la temperatura, el incremento produce efectos en los
elementos de conexión de corte y además en la viga de acero por el acero que
poseen ambos; así por ejemplo, la reducción de la rigidez de los conectores de
corte progresivamente debido al cambio repentino de temperatura. Chen et al.
(2015) [67] indica que la temperatura disminuye la resistencia por corte en la viga
de sección compuesta impuesta por los conectores y la viga de acero, esto se
basa por los modelos ensayados en la literatura presente.
El desarrollo de estudios en el campo de la viga de sección compuesta ayuda a
mejorar los procesos de cálculos para el comportamiento estructural, observando
una optimización de procesos en el diseño en diferentes campos. En
consecuencia, las respuestas estructurales como las deflexiones totales deben
tener mejor rango de predicción para satisfacer las condiciones del estado de
servicio.
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5. CAPÍTULO V. NORMATIVA ACTUAL
5.1 NORMATIVA NACIONAL
5.1.1 Reglamento Nacional de Edificaciones
En Perú, el código que rige es el Reglamento Nacional de Edificaciones (RNE),
cuyo principal alcance es normar los criterios y requisitos mínimos para el diseño
y ejecución de las habilitaciones urbanas. A su vez, este reglamento está dividido
en 3 títulos que son nombrados como: Generalidades, Habilitaciones Urbanas y
Edificaciones.
Aproximadamente en los años 70, se organizó la Primera Convención Nacional
de la Industria de la Construcción, en dicho evento se entregó un proyecto de
Reglamento, dicho proyecto fue aceptado por el Banco de la Vivienda del Perú y
de las Cajas de Ahorro y Préstamo. Años más tarde, en 1970, el gobierno expidió
el nuevo Reglamento Nacional de Construcciones con base al proyecto que sería
el predecesor del reglamento actual. En 1998, se publicó Reglamento Nacional de
Edificaciones, siendo usado para consultas. Durante ese mismo año, se constituyó
la comisión para proponer las normas dentro del mismo. En 2005, se promulgó el
índice del Reglamento Nacional de Edificaciones, meses más tarde se aprobó 66
normas incluidas. Luego dicho reglamento se ha ido modificando a través del
tiempo, 2006, 2009, 2010, 2011, 2012, 2014, 2015 y hasta la actualidad, para tener
lineamientos actuales de diseño. El último reglamento fue promulgado por el
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento, además este es propuesto y
verificado por las principales entidades en el sector de la construcción así como:
Colegio de Ingenieros, Colegio de Arquitectos, CAPECO, SENCICO y entre otros.
Dentro del reglamento, en el estado de servicio, una de las formas de verificar el
correcto desempeño de la estructura diseñada es usando deflexiones por su
facilidad de cálculo en estado elástico y rápidas consideraciones en propiedades
y elementos; éstas son de tipo instantáneas y diferidas que dependen de las
cargas, tiempo y propiedades de los elementos a diseñar o estudiar. En las
deflexiones se observa la formulación de acuerdo a la geometría y propiedad del
elemento estructural, pero en deflexiones diferidas se menciona breves
comentarios de cómo calcular y verificar, considerando los diferentes tipos de
materiales.
Primero, se mostrará el caso de concreto armado para el cálculo simplificado en
deflexiones a largo plazo. Según la norma E.060, de “Concreto Armado”
menciona: […] “Cuando se calculen las deflexiones, aquellas que ocurran
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inmediatamente con la aplicación de la carga, deben calcularse mediante los
métodos o fórmulas usuales para deflexiones elásticas, tomando en consideración
los efectos de fisuración y del refuerzo en la rigidez del elemento.” […] (RNE, 2009)
Este breve párrafo nos indica que las deflexiones instantáneas son calculadas en
el estado elástico a partir de las propiedades mecánicas de los materiales,
considerando el refuerzo de dicho elemento (sección transformada).
Para el caso de deflexiones diferidas, la norma presenta lo siguiente: […] “A menos
que se haga un análisis más completo, la deflexión diferida o adicional en el
tiempo, resultante del flujo plástico del concreto y de la retracción de los elementos
en flexión, podrá estimarse multiplicando la deflexión inmediata causada por las
cargas sostenidas (carga muerta y la porción de carga viva que se prevé actuará
permanentemente) por el factor λΔ.
∆𝜆 =𝜉
1 + 50𝜌, (5.1)
Donde ξ es un factor dependiente del tiempo, ρ’ es la cuantía del acero en
compresión y Δλ es el factor dependiente del tiempo para la estimación de
deflexiones diferidas, mostrando la importancia de la zona de compresión y el flujo
plástico en el cálculo de las deflexiones diferidas.” […] (RNE, 2009).
Estas deflexiones diferidas son estimadas con métodos experimentales, por lo
cual la fórmula mostrada anteriormente es de tipo empírica, es decir se empleó
ensayos de laboratorio para la parametrización de la misma.
En el caso de acero estructural debido a que la sección compuesta posee una viga
de acero de sección “I” o “W”, la norma E.090 menciona breves comentarios para
el cálculo de deflexiones en elementos de acero, como se muestra a continuación
en el acápite 12.3.1 “Deflexiones”:
[…] “Las deflexiones en elementos y sistemas estructurales por cargas de servicio
no deben afectar las condiciones de las estructura” […] (RNE, 2009), como
filosofía de diseño presente en los elementos de acero.
En el caso de construcción compuesta, dicho tópico está dentro de la sección
E.090 (Estructuras Metálicas). El tema principal de este trabajo es deflexiones
diferidas, por tanto, el reglamento debe tener al menos un subcapítulo para los
lineamientos de cálculo, control y verificación, pero dicho lineamiento no se
observa en el capítulo.
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En el capítulo 9, “Secciones compuestas”, indica los requerimientos mínimos para
el diseño de los elementos estructurales tales como columnas, vigas y otros, pero
el tema de deflexiones no se encuentra en dicho capítulo de acuerdo a la siguiente
división: “Hipótesis de diseño”, “Elementos en compresión”, “Elementos en
flexión”, “flexión y compresión combinadas” y “Conectores de corte”, en otras
palabras no se considera como un punto específico para la determinación correcta
en el proceso de cálculo, control y verificación, tal como se presenta a
continuación.
Sin embargo, en el caso de deflexiones se observa dentro de la sección “Hipótesis
de diseño” que indica: […] “cuando se necesite determinar las distribución de
esfuerzos elásticos, las deformaciones en el acero y concreto se asumirán
directamente proporcionales al eje neutro. Los esfuerzos serán iguales a las
deformaciones multiplicadas por el módulo de elasticidad del acero, 𝐸𝑠, ó el
módulo de elasticidad de concreto, 𝐸𝑐. El máximo esfuerzo en el acero no
excederá 𝑓𝑦8. El máximo esfuerzo de compresión en el concreto no excederá
0.85𝑓′𝑐 siendo 𝑓′𝑐 la resistencia a la compresión especificada del concreto.” […]
(RNE, 2006). Este comentario indica que se debe tomar en consideración el rango
elástico de los materiales (concreto y acero) considerando el modelo de
elastoplasticidad del acero junto al fenómeno de fluencia para un diseño elástico.
Este breve comentario, es un lineamiento básico para el cálculo de las deflexiones
instantáneas, pero en el caso de deflexiones diferidas, este no considera los
efectos no lineales del concreto u otras propiedades. En consecuencia, el cálculo
es a criterio del diseñador, ya que, en la misma norma, no especifica las fórmulas
a usar u otros recursos.
5.2 NORMATIVA INTERNACIONAL
5.2.1 American Concrete Institute
La falta de conocimiento en la industria del concreto generó la creación de un
instituto para un mejor control en la fabricación, mantenimiento y diseño de
elementos de concreto debido a que se necesitaba un conocimiento específico.
Este proceso de creación se inició en 1905, cuando la National Association of
Cement Users (NACU) se forma para crear una constitución y leyes para el
concreto. Durante los años siguientes, se crearon varios comités cuya intención
8 Esfuerzo de fluencia del acero.
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fue la creación de una norma reguladora del concreto; como resultado, se
realizaron convenciones en Indianapolis, en 1905, y Pensylvania, en 1907. Más
tarde, en 1910, se decidió crear una norma cuyo nombre sería “Standard Building
Regulations for the Use of Reinforced Concrete” (primera norma de concreto
reforzado). Luego, en 1914, NACU decidió cambiar el nombre a “American
Concrete Institute”, resultando un nombre que describe la misión de la empresa.
Dicho instituto tiene como principales características: […] “la investigación y
distribución de estándares consensuales, recursos técnicos, educacionales y
programas de entrenamiento, programas para la certificación” […] (ACI, 2016). De
igual manera, ACI publica constantemente recursos - online y en físico - para la
actualización del conocimiento en el concreto. Estas publicaciones son normadas
por los miembros del ACI.
Como se sabe los efectos diferidos del concreto tienden a afectar las deflexiones
en un gran porcentaje por ello ACI indica el cálculo, control y verificación de
deflexiones en los códigos (ACI 318 y ACI 209) para flujo plástico y retracción de
concreto.
En ACI 209, sección modelos, indica las pautas necesarias para el cálculo
simplificado de los efectos diferidos, existiendo 4 modelos en función a la
retracción y flujo plástico que toman diversos factores, ver anexos.
En el caso de vigas de sección compuesta, la losa de concreto es el único
elemento que posee los efectos diferidos, por ello se debe poner más hincapié en
el cálculo y control de dichos efectos a largo plazo.
En el caso del ACI 318 el efecto diferido se calcula mediante fórmulas, sección
control de deflexiones, ver ecuación 5.1.
En dicha sección se comenta que las deflexiones diferidas deben tomar los
efectos: flujo plástico, retracción, tiempo de curado, porcentaje de humedad,
volumen del concreto, relación agua/concreto, porcentaje de aire.
5.2.2 American Institute of Steel Construction
Este código se usa para dar los estándares técnicos en la industria del acero con
un mejor control en el proceso de construcción, mantenimiento, diseño u otros a
nivel ético y profesional en Estados Unidos (uno de los productores más grandes
a nivel internacional).
El inicio de este código se remonta a los años 1900 cuando los productores de
acero estructural jugaban un rol importante en el desarrollo del país, sin embargo
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la producción no era ordenada, no había una organización que velará por el
correcto uso del material. [...] “Años más tarde, se formó la primera organización
llamada U. S. War Industries, cuya principal función era la coordinación de la
producción del acero estructural durante Primera Guerra Mundial. En 1919, se
cambió el nombre anterior a War Service Committee, cuya función fue la
promoción del acero como base de la industria. Posteriormente, este nombre fue
modificado a The National Steel Fabricators Association (NSFA), que fue
establecido en alrededor de 50 estados. Finalmente, en 1922, se modificó el
nombre como American Institute of Steel Construction” [...] (Wikipedia, 2015).
El reglamento es aprobado por los miembros designados del AISC, cuya
implementación y revisión es realizada por ellos, cuyo principal objetivo es brindar
las pautas necesarias para los requisitos mínimos de control y calidad durante el
proceso de construcción, diseño, mantenimiento junto a otras acciones,
empleando la metodología de diseño Load Resistance Factor Design (LRFD), que
considera la aplicación de las cargas factoradas.
En deflexiones de estructuras de acero, la norma brinda un cálculo general en el
rango elástico similar a otros materiales, en consecuencia el lineamiento para
deflexiones en secciones compuestas no es conciso porque menciona sólo
comentarios para un análisis más exhaustivo.
En el capítulo L, “Design for serviceability”, indica las pautas de cómo calcular las
deflexiones, según el acápite L3: [...] “Deflexiones en miembros estructurales y
sistemas estructurales bajo apropiadas combinaciones de carga de servicio no
deben perjudicar el rango de servicio de las estructuras.
Nota: Condiciones que se deben considerar, incluido el nivel de pisos,
alineamiento de los miembros estructurales, integridad de acabado final de la
estructura, y otros factores que afecten el normal uso y función de la estructura.
Para miembros compuestos, las deflexiones adicionales debido al efecto de flujo
plástico y retracción del concreto debe ser considerado” [...] (AISC, 2005)
A partir de estas condiciones, el código indica que las deflexiones son de suma
importancia junto a las solicitaciones actuantes en el sistema compuesto, ya que,
afectan el estado de servicio de la estructura. Adicionalmente, los efectos no
lineales deben ser calculados para las deflexiones a largo plazo en el estado de
servicio.
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5.2.3 British Standard 5950
Las normas británicas tienden a mostrar los diferentes lineamientos para el diseño,
mantenimiento y construcción de elementos estructurales con diferentes
materiales (acero, concreto, madera y otros).
A través de los años, los cálculos se han ido estandarizando en orden de
mantener la funcionalidad de las estructuras (diseño por capacidad y por servicio),
en consecuencia, las estructuras se han vuelto más resistentes respecto a las
primeras que han sido diseñadas en el inicio del código. En 1918, aparece BESA9
que fue una asociación de ingenieros dedicadas al diseño civil; años más tarde, la
asociación se convierte en BS10 para fines de diseño en ingeniería. En 1988,
aparece un grupo llamado BSI11para normalizar los reglamentos y códigos con
base a los estándares permisibles presentes actualmente.
Con respecto a la preparación de los estándares británicos (BS 5950), ésta es
realizada por “Civil Engineering and Building Standards Policy Committe”, que está
compuesta por instituciones, colegios y otros cuerpos relacionados con el campo
de ingeniería. Para ilustrar esto, la norma BS 5950 part 3 se relaciona a la
construcción compuesta de concreto y acero.
En tal sentido, el estado de servicio condiciona a las respuestas estructurales, un
ejemplo de esto son las deflexiones que se relacionan con las cargas aplicadas y
la sección transversal, por tanto, el cálculo y control es considerada en el rango
elástico-lineal con unas expresiones simplificadas. En el cálculo de las deflexiones
diferidas, ésta norma no específica expresiones en relación al rango no lineal.
Para vigas continuas bajo cargas muertas distribuidas o cargas simétricas, la
deflexión 𝛿𝑐 es calculada en el vano central longitudinal de la viga continua, tal
como se observa a continuación, ver ecuación 5.2:
𝛿𝑐 = 𝛿0 ((1 − 0.6)(𝑀1 + 𝑀2)
𝑀0) (5.2)
Donde:
9 British Engineering Standards Association
10 British Standards
11 British Standards Institution
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𝛿0 : es la deflexión de una viga simplemente apoyada para la misma carga.
𝑀0: es el momento máximo en la viga simplemente apoyada.
𝑀1 y 𝑀2: son los momentos en los soportes adyacentes.
En el caso de vigas de sección compuesta en conexión parcial en estado de
servicio, relacionando la cantidad de conectores de corte, se especifican las
siguientes fórmulas:
𝛿 = 𝛿𝑐 + 0.5(1 −𝑁𝑎
𝑁𝑝)(𝛿𝑠 − 𝛿𝑐 ) (5.3)
Siendo la ecuación 5.3 para caso de viga apuntalada.
𝛿 = 𝛿𝑐 + 0.3(1 −𝑁𝑎
𝑁𝑝)(𝛿𝑠 − 𝛿𝑐 ) (5.4)
Siendo la ecuación 5.4 para caso de viga sin apuntalar.
Donde:
𝛿𝑠 : es la deflexión de la viga de acero actuando sólo.
𝛿𝑐 : es la deflexión de la viga compuesta con una interacción completa al cortante.
𝑁𝑎: Número actual de conectores entre el apoyo y el medio de la viga.
𝑁𝑝12: Número de conectores de corte para momentos positivos.
Estos cálculos consideran el rango elástico del acero y el concreto para determinar
la deflexión en función a la geometría y el comportamiento aislado de cada
elemento estructural; no obstante el concreto tiende a fisurarse por lo que debe
ser verificado con la norma BS 8110, porque influye en las deflexiones, de forma
que aumentan, similarmente, a las deflexiones en secciones de concreto armado.
5.2.4 Euro código 4
Norma diseñada por los países europeos, siguiendo el lineamiento de años de
experiencia en la construcción. Además, se extiende a diez volúmenes que
consideran los diferentes materiales en la construcción.
12 Ver en BS 5950 part 3, Sección 5: Composite beams: ultimate limit state, anexo 5.4
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En 1975, la Comisión de la Comunidad Europea de las Naciones (CEN) establece
la creación de estándares en el campo de la construcción, para lo cual consideran
la ley 95 del tratado de Roma, considerando la creación de estándares en el
campo estructural13. Más tarde, en 1989, se prepara los Euro-códigos en orden de
estandarizar los procesos conocidos de diseño y construcción, siguiendo como
principal filosofía: el correcto diseño estructural, aplicando diferentes fundamentos
teóricos sobre la resistencia y la estabilidad en las estructuras, la correcta
aplicación en la elaboración de proyectos y, finalmente, la guía para los procesos
en la construcción.
Estos Euro-códigos son aprobados por la Comisión Europea de Normalización
(CEN) siendo escritos en tres lenguas: inglés, francés y alemán. En el caso de
construcción compuesta, concreto y acero, la CEN brinda estándares técnicos
para la construcción, diseño y mantenimiento. Respecto a las deflexiones diferidas
de vigas de sección compuesta, el Euro-código 4 indica pautas tales como: el
diseño elástico en materiales de concreto y acero, el diseño en servicio para el
cálculo, control y verificación de flechas en vigas de sección compuesta
conectadas parcialmente.
En el capítulo 5, sección análisis elástico lineal, se menciona que las estructuras
deben ser diseñadas en el rango elástico, mientras para el análisis no lineal se
debe considerar los siguientes temas: el flujo plástico y la retracción del concreto,
la interacción compuesta de diferentes elementos y el análisis tiempo-historia.
En el capítulo 7,” Límite de estado en servicio”, sección 7.3, indica que el estado
de servicio asegura el correcto funcionamiento de la estructura a partir de los
principales fundamentos:
Deflexiones debido a la aplicación de la carga hacia al miembro de acero
sólo deben ser calculadas de acuerdo al Euro-código 1.
Se debe utilizar el rango elástico en el cálculo para simplificar el mismo,
tomando como base el capítulo 5 del mismo código,
El nivel de referencia para el hundimiento vertical de la deflexión (δmax)
en caso de vigas sin apuntalar es la cara superior de la viga compuesta.
Solamente, cuando la deflexión pueda ser perjudicial en la estructura, se
deberá tomar el nivel inferior de la viga compuesta como nivel de
13 Fuente: Wikipedia.
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referencia.
Los efectos de la interacción completa pueden ser ignoradas en orden de
simplificar cálculos, sólo si los diseños de los conectores de cortes
cumplen los requisitos del capítulo 6.
Para el cálculo de la deflexión en vigas no apuntaladas, se considera la
influencia local de la fluencia del acero estructural sobre un apoyo,
multiplicándolo con el momento en los apoyos:
𝑓2 = 0.5 si 𝑓𝑦 es alcanzado antes que la losa de concreto ha endurecido
𝑓2 = 0.7 si 𝑓𝑦 es alcanzado después que la losa de concreto ha endurecido
Figura N° 5.1 Factor de reducción para los momentos de apoyo.
Fuente: (Euro código 4, 2004)
Estos lineamientos, se aplican en cálculo de las deflexiones diferidas haciendo
uso de la linealidad de la sección compuesta, por ende, el factor de reducción trata
de asegurar cálculo de las deflexiones.
En el capítulo 9, indica una breve forma de verificar en estado de servicio,
haciendo uso de los capítulos 5 y 7, cuyas pautas son:
Las propiedades de la sección deben ser determinadas de acuerdo con
Euro-código 1-3.
La deflexión δs en la parte superior debe ser calculada con su propio peso
más el peso del concreto sin secar, excluyendo la carga de construcción,
no debiendo exceder δsmax14
14 Valores recomendados para δsmax son L/180 donde L es la longitud entre apoyos.
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Tal como se observa, en dichos capítulos presentados, el cálculo es realizado de
forma lineal-elástico. De esta manera, en el capítulo 5 se indica que el cálculo y
control debe realizarse en estado elástico, y si se quiere calcular las diferidas se
debe tomar en cuenta los efectos del concreto tales como: flujo plástico, retracción,
temperatura, humedad y otros. En otros capítulos, 7 y 9, indican las pautas para
la reducción de momentos con lo cual disminuye en un porcentaje las flechas
instantáneas debido al proceso de aplicación de la carga.
5.2.5 American Association of State Highway and Transportation Standards
Esta norma es aplicada en Estados Unidos de América, ya que contiene varios
protocolos y lineamientos en el ámbito del diseño, mantenimiento y construcción
en obras de índole de caminos.
En sus inicios, en 1914, se funda la “American Association of State Highway
Officials” (AASHO). […] “ Años más tarde, en 1973, el nombre de dicha asociación
fue cambiado al actual (AASHTO), dando un enfoque sin fines de lucro a la
asociación en el campo de transporte, teniendo como integrantes a más de 50
estados en Estados Unidos de América” […] (AASHTO, 2012). El principal objetivo
de dicha asociación es como cita la página oficial lo siguiente: […] “AASHTO
trabaja para educar al público y crear decisiones acerca del rol crítico que el
transporte juega, asegurando la buena calidad de la vida y la buena economía
para nuestra nación. AASHTO sirve como enlace entre los departamentos de
transporte y el gobierno Federal. AASHTO es un líder internacional en creación
de estándares técnicos para todas las fases de construcción en carreteras.
Estándares que son emitidos para diseño, construcción de carreteras y puentes,
materiales, y muchos aspectos en áreas técnicas” […] (AASHTO, 2012). Esta
norma es aprobada por el comité AASHTO que está representado por ingenieros,
arquitectos y personas relacionadas al rubro de transportes.
En el caso de puentes, el uso de vigas de sección compuestas viene a ser muy
utilizado; en Estado Unidos, este sistema es muy frecuente, ya que, el uso ha sido
diversificado. Por tanto, la norma AASHTO tiene una sección donde indica los
lineamientos de diseño, mantenimiento y construcción para secciones
compuestas tales como: columnas, vigas y otros elementos estructurales. Tal
como fue mencionado en otras normas, el diseño en estado de servicio es uno de
los principales factores para la seguridad estructural, por tal motivo, una de las
principales formas para verificar dicho estado son las deflexiones tanto
instantáneas como diferidas.
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A continuación, se menciona los principales puntos en la norma AASHTO para
cálculo de deflexiones diferidas:
En primer lugar, en la sección 2, “General Design and Location Features”, en
acápite 2.5, “Deformations”, indica las pautas necesarios para evitar las
deformaciones irreversibles; adicionalmente, las deformaciones por servicio
pueden causar el deterioro en la superficie de cualquier estructura e incluso puede
perjudicar la durabilidad y funcionalidad de la estructura. Posteriormente, brinda
los criterios para el cálculo, control y verificación de las deflexiones, siguiendo el
lineamiento clásico del cálculo elástico en diferentes materiales, todo esto a
criterio del diseñador. Dicho tema indica lo siguiente: […] “La rigidez de la sección
transversal es usada para determinar la deflexión” […]; en otras palabras, esto es
para mantener el comportamiento real de los elementos instalados por efectos de
las cargas externas.
En la sección 5, “Concrete structures”, los efectos no lineales del concreto deben
incluirse junto con la rigidez, siguiendo la referencia del ACI 209. Además, se
menciona las propiedades mecánicas del concreto que son aplicadas en el cálculo
lineal de elemento con dicho material para representar el comportamiento de las
vigas de sección compuesta. En el acápite 5.7.3.6 “Deformations”, […] “las
deflexiones deben ser acomodadas con los cambios dimensionales causados por
las cargas, flujo plástico, retracción, cambios térmicos, ensamblaje y pre
esforzado” […], en el cálculo de deflexiones, tal como se presenta el siguiente
método simplificado:
[…] “Deflexiones deben considerar cargas muertas, cargas vivas, presforzado,
cargas aplicadas, flujo plástico y retracción del concreto, y relajación del concreto.
En función de la geometría, la deflexión instantánea debe ser calculada, usando
el módulo de elasticidad del concreto, momento de inercia de la sección bruta (Ig),
o el momento de inercia efectivo (Ie) como se observa en la siguiente ecuación:
𝐼𝑒 = (𝑀𝑐𝑟
𝑀𝑎)3
𝐼𝑔 + [1 − (𝑀𝑐𝑟
𝑀𝑎)3
] 𝐼𝑐𝑟 ≤ 𝐼𝑔 (5.5)
En donde:
𝑀𝑐𝑟 = 𝑓𝑟𝐼𝑔
𝑦𝑡 (5.6)
Donde:
𝑀𝑐𝑟: Momento de fisuramiento (kip-in.).
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𝑓𝑟: Módulo de rotura del concreto (ksi).
𝑦𝑡: Distancia del eje neutro hacia la fibra en tensión (in.)
𝑀𝑎: Máximo momento en una componente en donde la deformación es calculada.
A no ser que una mayor determinación sea hecha, las deflexiones de larga
duración pueden ser tomadas como instantáneas multiplicando por los siguientes
factores:
Si la deflexión instantánea es basada en 𝐼𝑔: 4.0
Si la deflexión instantánea es basada en 𝐼𝑒: 3.0 − 1.2 (𝐴′
𝑠
𝐴𝑠) ≥ 1.6
Donde:
𝐴′𝑠: Área de refuerzo en compresión (in.2).
𝐴𝑠: Área de refuerzo en tensión (in.2).” […] (AASHTO, 2012).
Como se observa, las deflexiones instantáneas son calculadas con base a
métodos de sección transformada en rango lineal. Si se quiere hacer un cálculo
más exhaustivo, se debe de tener en cuenta las propiedades no lineales del
concreto, así como flujo plástico y retracción, en consecuencia, las deflexiones
diferidas son calculadas, tomando un factor que multiplicado por las deflexiones
instantáneas, resultando en deflexiones a largo plazo.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA CAPÍTULO VI: INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS CONSTITUYENTES FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y PROPIEDADES DIVERSAS
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6. CAPÍTULO VI. INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS CONSTITUYENTES
Y PROPIEDADES DIVERSAS
Las propiedades mecánicas de los elementos de la sección compuesta influyen
considerablemente en el cálculo, control y verificación de las deflexiones totales.
En el presente capítulo, se indica las propiedades diversas de los materiales y la
influencia en los elementos constituyentes (losa de concreto, acero de refuerzo,
viga de acero y conectores de corte).
6.1 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES CONSTITUYENTES
6.1.1 CONCRETO
6.1.1.1 Módulo de elasticidad
El módulo de elasticidad es la relación entre el esfuerzo y la deformación debido
al comportamiento lineal-elástico presente en el concreto para una mejor
representación. Para aproximar dicho relación, se aplica el método de la tangente,
que es una recta que toca a la curva de esfuerzo-deformación en un punto para
luego calcular la pendiente.
La ecuación 6.1 es influenciada por los materiales y las proporciones del diseño
de mezcla en el concreto a usar, aplicado en concretos de alta resistencia hasta
concreto ligeros.
𝐸𝑐 = 0.043 𝑤𝑐1.5√𝑓´𝑐 𝑀𝑃𝑎 (6.1)
Donde 𝑤𝑐 es el peso específico del concreto y 𝑓´𝑐 es la resistencia a la compresión
del concreto.
6.1.1.2 Módulo de ruptura
Es la máxima resistencia a la tensión por flexión que puede resistir el concreto
antes de observar la fisuración (los esfuerzos de tracción exceden los máximos
permisibles). Este módulo considera de 10% a 20% la resistencia a la compresión
para el cálculo de las propiedades.
𝑓𝑟 = 0.013√𝑤𝑐 𝑓´𝑐 𝑀𝑃𝑎 (6.2)
En la ecuación 6.2, se observa que 𝑓𝑟 es la resistencia de rotura del concreto, 𝑤𝑐
es el peso específico del concreto y 𝑓´𝑐 es la resistencia a la compresión del
concreto.
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6.1.2 ACERO
El acero está presente en el perfil tipo “I” o “W”, conectores de corte y en el refuerzo
de la losa de concreto, por tal motivo las propiedades mecánicas influyen
notablemente en el diseño y análisis de la sección.
A continuación, se presentan las principales propiedades mecánicas del acero que
resultan de pruebas de laboratorio con diferentes tipos de acero que consideran
la geometría, la velocidad de la carga y la temperatura, ya que éstas gobiernan el
comportamiento por su composición química y por sus procesos de fabricación.
Para estudiar la tracción, el espécimen es cargado axialmente por medio de la
prueba de tensión en una muestra no esbelta para evitar el pandeo axial,
observándose un deformación axial que reduce la sección transversal inicial hasta
llegar completamente a la falla por fractura dúctil (el acero entra en la plástica y
excede su límite), estos resultados se observan en el diagrama de esfuerzo-
deformación, ver figura N° 6.1.
Figura N° 6.1 Gráfico de esfuerzo-deformación del acero estructural A-36
Fuente: (http://www.monografias.com/trabajos72/diagrama-esfuerzo-deformacion/diagrama-esfuerzo-deformacion2.shtml)
En la figura N° 6.1 se observa una zona inicial de los esfuerzos y deformaciones,
en un rango lineal-elástico; el límite superior, se denomina límite de fluencia en
donde el acero tiende a fluir (esfuerzos permanecen constantes y no existe una
deformación muy grande) hasta al punto de rotura, dicha región es gobernada por
el rango plástico, observándose una deformación prolongada sin ayuda de
esfuerzos actuantes al inicial en mayor proporción. La deformación plástica
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continúa hasta el segundo límite mínimo de fluencia, a partir de este punto de
tensión máxima, se empieza a disminuir la resistencia del acero en forma
constante hasta llegar al punto de rotura, donde el acero pierde toda su
resistencia. La deformación unitaria plástica es de diez a veinte veces mayor a la
deformación inicial, denominándose ductilidad del acero.
A continuación, se define las propiedades mecánicas que caracterizan al acero.
6.1.2.1 Elasticidad
Es la propiedad que tienen los cuerpos para recuperar su estado inicial, después
de deformarse al aplicar una carga externa. Esto se observa cuando al quitar la
carga, el cuerpo recupera su estado inicial por el comportamiento lineal-elástico
que presenta, ya que depende proporcionalmente a la carga aplicada.
6.1.2.2 Límite de elasticidad
El límite de elasticidad es la tensión máxima de tipo uniaxial para que se comporte
en el rango lineal, considerando este límite, el material puede ser calculado,
aplicando las suposiciones de la mecánica de materiales (ley de Hooke, principio
de superposición, sección plana constante y otros), simplificando el cálculo en
gran medida.
6.1.2.2 Plasticidad
Es una propiedad que permite a los cuerpos mantener su deformación frente a la
carga aplicada porque al quitar una carga, la deformación se convierte de tipo
permanente e irreversible.
6.1.2.3 Límite de fluencia
El límite de fluencia es la tensión producida a partir de la presencia de grandes
deformaciones sin incremento en el esfuerzo alguno. Como se observa en la figura
N° 6.1 de esfuerzo-deformación el acero tiende a entrar en rango plástico a partir
del límite de fluencia.
El límite de fluencia varía dependiendo del grado de acero, ya que el grado es
producido con diferentes porcentajes de materiales y diferentes procesos de
fabricación, ver figura 6.2
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Figura N° 6.2 Curvas esfuerzos-deformación en diferentes grados de acero.
6.1.2.4 Módulo de elasticidad
Es la relación entre el esfuerzo y deformación en la región elástica inicial de la
curva esfuerzo. Este valor se determina por una pendiente en esa región.
𝐸 =𝜎
휀 (6.3)
Siendo para el caso del acero estructural, 𝐸 = 2100000 𝑀𝑃𝑎 a partir de ensayos
experimentales.
6.1.2.5 Módulo de corte
El módulo de corte mide la resistencia a la deformación del acero por corte.
𝐺 =𝐸
2(1 + 𝜇) (6.4)
Siendo para el caso del acero estructural, 𝐺 = 81 000 𝑀𝑃 a partir de ensayos
experimentales.
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6.2 INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS CONSTITUYENTES
6.2.1 INFLUENCIA DEL CONCRETO EN LA LOSA
6.2.1.1 Flujo plástico del concreto
Se define al flujo plástico como el incremento de la deformación unitaria en el
concreto debido a las aplicaciones de las cargas externas en el tiempo. Este efecto
es de largo plazo gracias a que la deformación continua en el tiempo, aumentando
gradualmente en un porcentaje grande comparada a la inicial.
El flujo plástico ocurre por la hidratación de la pasta de cemento que consiste en
la pérdida del comportamiento plástico; por ello, los agregados del concreto no
pueden tomar los esfuerzos internos por ser más rígidos que los componentes de
la pasta. Estos agregados tienen como función la restricción del flujo que depende
del módulo de elasticidad y del volumen. Igualmente, el flujo plástico es
dependiente de las propiedades mecánicas, tiempo de aplicación de las cargas
sostenidas, condiciones del ambiente y las magnitudes de la cargas aplicadas.
De acuerdo a análisis experimentales, la deformación por flujo plástico es
proporcional a la carga sostenida en un porcentaje inmediato; incluso posee una
parte lineal, ver figura N° 6.3.
Algunas investigaciones indican que dicha parte (flujo plástico lineal) varía hasta
una tensión en compresión de 0.5f´c, por lo que se puede aplicar el principio de
superposición, siguiendo con la aparición del rango no lineal-plástico que resulta
en deformaciones permanentes e irreversibles.
Figura N° 6.3 Deformación vs tiempo, modelo visco elástico del concreto.
Fuente: (Mindess and Young, 1981).
Si la carga sostenida, ver figura N° 6.3, es removida después de tiempo, las
deformaciones decrecen inmediatamente en dicha magnitud. Esta deformación
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generalmente es más pequeña que la deformación inicial, en consecuencia, la
recuperación instantánea de la deformación es seguida por un incremento gradual
denominado recuperación del flujo que es siempre menor que el flujo inicial porque
es una deformación residual de tipo irreversible. (Neville et al 2010) [55]. En otras
palabras, el flujo plástico origina una deformación inelástica en el tiempo que no
recupera su forma inicial (permanente), en tal sentido, si un espécimen es
descargado después de un gran periodo de carga sostenida, la magnitud de flujo
plástico se recupera en un 40-50% de la deformación producida, entre un 10 y
20% de la deformación total por flujo plástico, y el restante queda afectado por
otros efectos de los elementos de la sección compuesta.
Función flujo plástico
Bajo cargas aplicadas sostenidas, el flujo plástico se expresa matemáticamente
en función de los esfuerzos internos y propiedades no lineales de los materiales.
휀𝑐(𝑡) = 𝜎𝑐(𝑡𝑜)
𝐸𝑐(𝑡𝑜)[1 + 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜)] (6.5)
Donde 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜) es el coeficiente dimensional del flujo plástico, y está en función a
la edad del concreto (tiempo de vida) y el inicio del tiempo de aplicación de la
carga.
Figura N° 6.4 Deformación por flujo plástico.
En la figura N° 6.4a, se observa la historia de esfuerzos debido a la aplicación de
una carga constante. No obstante, la carga continua aplicándose en el elemento
en el tiempo, apareciendo esfuerzos constantes que afectan las deflexiones a
largo plazo que aumentan gradualmente, ver la figura N° 6.4b.
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6.2.1.2 Retracción del concreto
La retracción del concreto es una deformación en el tiempo, ésta ocurre en un
espécimen de concreto por el cambio de volumen sin la necesidad de aplicar
cargas a condiciones normales (temperatura constante). La retracción se clasifica
en los siguientes tipos: plástica, química, térmica y por secado, dichas ocurren en
diferentes etapas de vida del concreto; así por ejemplo, la retracción plástica
aparece en el proceso de endurecimiento.
Tipos de retracción
La retracción plástica ocurre debido a la tensión capilar en los poros que disminuye
drásticamente las tensiones internas del concreto, se puede evitar durante el
proceso de construcción, controlando el proceso de exudación (proceso de
pérdida de agua en la mezcla de concreto por la temperatura, la humedad, la
composición química y otros); incluso, la falta de humedad produce poros que son
llenados con aire.
La retracción por secado es la reducción del volumen, causada principalmente por
la falta de humedad en la pasta de cemento. Este fenómeno depende de los
factores como la mezcla de concreto (cemento, contenido de agua, relación agua-
cemento, granulometría de los agregados y otros), influyendo cuando se supera
la resistencia a la tracción, apareciendo fisuras en sentido paralelo a la acción de
la tensión misma; así por ejemplo, se observa en veredas o elementos cuya
superficies están en contacto con el ambiente (piel de cocodrilo).
La retracción química es el resultado de varias reacciones químicas que son
producidas por los componentes internos del concreto o de los materiales que
tienen contacto en estado endurecido, esta ocurre después de días de la fragua
del concreto, con base de las condiciones ambientales.
En la retracción térmica, la diferencia de temperaturas dentro de la estructura de
concreto es provocada por los componentes internos que pierden calor de
hidratación a diferentes velocidades o por las condiciones climáticas que enfrían
o calientan una parte de la estructura, produciendo una reducción de volumen
gracias a la diferencia de temperaturas.
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Figura N° 6.5 Retracción por secado del concreto a humedad constante.
Fuente: (Neville et al. 2010)
En la figura N° 6.5, se observa la recuperación ocurrida de la retracción el concreto
debido a una humedad constante, las deformaciones permanentes se reducen en
un 40%-70% con respecto a la inicial, considerando un comportamiento plástico.
En condiciones normales, el concreto no es afectado por la humedad constante
sino por los tiempos reducidos (curado), por tanto se recupera menos comparado
al caso inicial, ver figura N° 6.6.
Figura N° 6.6 Retracción por secado del concreto a humedad variable.
Fuente: (Neville et al. 2010)
Factores que influyen en la retracción
Varios factores de igual manera al flujo plástico como agregados, cemento,
curado, etc. El factor más importante de tipo interno es el agregado, ya que
restringe la magnitud del fenómeno de retracción en la pasta de cemento en una
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relación constante de agua-cemento y un cierto grado de hidratación (Neville et al
2010) [55].
Los factores externos que afectan a la retracción son: las condiciones ambientales
y la humedad.
Función de retracción del concreto
Los esfuerzos causados por la retracción son reducidos o tomados por el flujo
plástico, por tal motivo deben ser considerados en el análisis de deformaciones
en forma matemática
𝜺𝒄𝒔( 𝑡, 𝑡𝑠) = 휀𝑐𝑠0 𝛽𝑠 ( 𝑡 − 𝑡𝑠) (6.6)
Donde 휀𝑐𝑠 es la deformación por retracción total que ocurre después del
endurecimiento del concreto en un tiempo indefinido. El valor de 휀𝑐𝑠0 depende de
la calidad del concreto, el ambiente y la humedad; la función 𝛽𝑠 ( 𝑡 − 𝑡𝑠) es
adoptada de MC-90, un modelo de predicción del flujo plástico y la retracción en
el tiempo, ver ACI 209.
6.2.1.3 Relajación del concreto
El concreto también exhibe un comportamiento común llamado esfuerzos de
relajación, un esfuerzo elástico generado en el espécimen que tiende a decrecer
en el tiempo, si el esfuerzo inicial se mantiene, debido al decrecimiento de
esfuerzos del concreto. (Kim, 2014) [42].
Si el concreto mantiene sus características geométricas iniciales, la deformación
por relajación no varía, observándose que los esfuerzos internos disminuyen
progresivamente por otros efectos. La formulación matemática empleada para la
función de relajación es la siguiente:
𝜎𝑐(𝑡) = 휀𝑐 𝑟(𝑡 , 𝑡𝑜) (6.7)
Donde 𝑟(𝑡 , 𝑡𝑜) es la función de relajación debido a una carga sostenida en un
tiempo 𝑡.
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Figura N° 6.7 Variación de esfuerzos por relajación.
Fuente: (Amin et al 2002).
Los esfuerzos por relajación aumentan en relación al tiempo de aplicación de la
carga porque estos dependen de la magnitud de otros esfuerzos no constantes
del concreto, ver figura N°6.7, que muestra el decrecimiento progresivo de los
esfuerzos por relajación.
6.2.1.4 Principio de superposición
Los efectos de flujo plástico, retracción y relajación del concreto presentan
relaciones de tipo lineal, inicialmente, lo que supone a una aplicación de efectos
simultáneos de acuerdo a la mecánica de materiales.
휀𝑐(𝑡) = 𝜎𝑐(𝑡𝑜)
𝐸𝑐(𝑡𝑜)[1 + 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜)] + ∫
[1 + 𝜑( 𝑡, 𝜏)]
𝐸𝑐(𝜏)
Δ𝜎𝑐(𝑡)
0
𝑑𝜎𝑐(𝜏) + 𝜺𝒄𝒔( 𝑡, 𝑡0) (6.8)
Se observa la deformación total en función del tiempo (𝑡), donde 휀𝑐(𝑡) muestra la
acción conjunta de efectos instantáneos y diferidos, considerando las propiedades
mecánicas y cargas aplicadas en la estructura, 𝑡𝑜 y 𝑡 que son las edades iniciales
y finales, respectivamente, 𝜏 es la edad promedio entre 𝑡𝑜 y 𝑡.
El coeficiente de edad (𝑋)
Este coeficiente representa la edad del concreto considerando las etapas de no
endurecimiento y endurecimiento, lo que indica un factor de reducción debido a la
función del flujo plástico en el tiempo.
En la ecuación 6.8, el segundo término de la ecuación requiere una solución, por
tal motivo, se emplea el coeficiente de edad que incluye las condiciones externas
(condiciones de ambiente, proceso de curación y otros) y las condiciones internas
(composición interna).
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휀𝑐(𝑡) = 𝜎𝑐(𝑡𝑜)
𝐸𝑐(𝑡𝑜)[1 + 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜)] +
Δ𝜎𝑐(𝑡𝑜)
𝐸𝑐(𝑡𝑜)[1 + 𝑋. 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜)] + 𝜺𝒄𝒔( 𝑡, 𝑡0) (6.9)
En la ecuación 6.9, se observa el incremento de esfuerzo Δ𝜎𝑐(𝑡) desde un tiempo
𝑡𝑜 hasta un tiempo 𝑡, el coeficiente de flujo plástico 𝜑( 𝑡, 𝜏) es reemplazado por un
valor reducido que factora a 𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜), tomando un valor de 𝑋𝜑( 𝑡, 𝑡𝑜) para resolver
la ecuación 6.8, donde 𝑋 = 𝑋( 𝑡, 𝑡𝑜) es denominado coeficiente de edad, cuyo
coeficiente varía de 0.6 a 0.9.
El primer término de la ecuación 6.5 representa la deformación instantánea debido
al esfuerzo 𝜎𝑐(𝑡𝑜) en el tiempo; el segundo término es la deformación diferencial
Δ𝜎𝑐(𝑡𝑜) en un tiempo 𝑡𝑜 hasta 𝑡 y el último término es la deformación por retracción.
El principal objetivo del coeficiente es el cálculo de deflexiones y esfuerzos en
efectos dependientes en el tiempo, considerando condiciones normales para dicho
efecto.
6.2.1.5 Deformación total del concreto
Como se menciona, las deformaciones totales del concreto ocurren
simultáneamente, gracias al comportamiento elástico-lineal que presentan los
efectos por separado, esto se aplica por el principio de superposición.
Figura N° 6.8 Deformación total del concreto bajo cargas sostenidas.
6.2.1.6 Influencia de la forma de losa de concreto
La transferencia de las fuerzas internas en la losa de concreto depende del tipo
de sistema a usar (maciza o compuesta), ya que produce efectos internos
diferentes. En ambos casos, el conector de corte queda conectado
mecánicamente a la losa de concreto presentando un área circundante de
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concreto con diferentes fuerzas internas en cada tipo, ver figura N° 6.9. Al aplicar
las cargas actuantes se observa que en las regiones aparecen esfuerzos internos
tanto compresión como tracción que producen efectos o respuestas estructurales
(aplastamiento, agrietamiento, vibración, etc) en el sistema estudiado.
Después de la aplicación de dichas fuerzas, los esfuerzos aparecen, ver figura N°
6.9; en consecuencia las respuestas estructurales también tanto agrietamiento
como aplastamiento, ver figuras 6.10 y 6.11, en los casos de losa maciza o losa
compuesta, el área de contacto difiere, generándose diferentes planos de corte15
en el espesor de la losa de losa de concreto.
Figura N° 6.9 Efectos ocurridos en el concreto por el tipo de losa.
Fuente: (Lawson et al. 1994).
En el sistema de losa colaborante, la transferencia de fuerzas cortantes en los
conectores difiere de manera significativa por las planchas metálicas, ya que el
concreto no se reparte uniformemente alrededor en el espesor de la losa,
generando que la distribución de esfuerzos ocasione una zona de falla de corte
no uniforme, una distribución de esfuerzos no constantes, siendo mayores en la
sección con menos espesor de la losa, ver figura N° 6.9.
En la losa maciza, la parte inferior del conector de corte es afectada por las fuerzas
laterales del concreto, presiones, provocando una acumulación de esfuerzos en
15 Referido al plano de corte donde ocurre la respuesta de fisuramiento.
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la las zonas confinadas por el ala superior de la viga de acero, creciendo en
función del espesor de la losa.
Figura N° 6.10 Comportamiento real del conector de corte.
Fuente: (Oehlers y Bradford, 1995).
Figura N° 6.11 Fallas por corte en los conectores.
Fuente: (Oehlers y Bradford, 1995).
La deformación relativa de los conectores como se observa en las figuras N° 6.10
y 6.11 es causada por las fuerzas de corte producidas por las cargas externas,
demandas estructurales. En efecto, aparecen esfuerzos de compresión y de
tracción por el confinamiento de la viga de acero (ala superior) que equilibran el
desplazamiento relativo entre los diferentes materiales, concreto y acero. De igual
manera, internamente, aparece un momento actuante; a causa de dicho efecto, la
parte superior del conector se desplaza en sentido transversal, produciendo
esfuerzos de tracción en el conector en la zona de base, seguido con la
compresión del concreto en la parte inferior ya que se trata de equilibrar la fuerza
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de corte con el momento relacionado al conector, ocasionando un efecto de
aplastamiento que sobrepasa la capacidad máxima y también efectos de tracción
en otras zonas circundantes del concreto, además, de que la fuerzas de corte
actúa en mayor proporción en la zona inferior por el sistema de conexión entre el
conector y el perfil metálico y la profundidad de losa de concreto. En la figura N°
6.12, se observa las zonas tanto tracción como compresión.
Figura N° 6.12 Esquemas de zona de tracción y compresión en el concreto.
Fuente: (Kotinda, 2006)
De acuerdo a datos experimentales, el comportamiento real de los conectores
influye considerablemente en las deflexiones totales, ya que unen a todos los
elementos mediante la adherencia entre materiales. A partir de estos alcances, se
determina el tipo de interacción en la viga compuesta (completa o parcial);
consecuentemente, el cálculo de deflexiones se realiza de acuerdo a esos dos
tipos de interacción, este efecto en el conector se observa en los ensayos push
out de conectores de corte.
6.2.1.7 Influencia de la transferencia de la fuerza cortante en el acero de refuerzo
Los esfuerzos de corte aparecen por el deslizamiento entre dos elementos de
diferentes materiales, produciéndose una separación de superficies a nivel de
partículas; éstos son resistidos por la acción conjunta del acero de refuerzo y el
concreto. En la losa de concreto, el acero de refuerzo debe resistir el esfuerzo de
tracción en un mayor porcentaje, porque el concreto tiende a fallar por fragilidad
por su baja capacidad, ambos tipos de tensión son resistidas por la fuerza de
fricción ocasionada entre las partículas de las superficies del concreto y del acero
corrugado. Por tal motivo, el acero de refuerzo es pieza clave en la transmisión de
esfuerzos longitudinales a nivel de la losa de concreto, ver figura N° 6.13.
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Figura N° 6.13 Transferencia del corte a través de una fisura de concreto.
Fuente: (Derick et al, s.f.)
En la losa, el acero longitudinal asegura el correcto flujo de la fuerza cortante a
través de las fisuras provocadas por la tracción del concreto, generando una
fuerza de fricción entre las superficies dadas. Estas fuerzas (tangenciales) son
asumidas por las fuerzas de corte por el acero de refuerzo debido a que actúa en
forma paralela a las solicitaciones presentes en efectos lineales.
6.2.1.8 Influencia del efecto “shear lag”
Las teorías convencionales de ingeniería asumen que los elementos permanecen
planos después de haber sido sometidos a fuerzas internas o externas, pero esta
suposición no es válida; ya que el comportamiento real tiende a deformar, incluso,
a la sección transversal. “El término “shear lag” es usado para describir las
discrepancias entre la teoría de aproximación de ingeniería (cálculo simplificado)
y el comportamiento real. En ambos casos, es causado por el incremento de los
esfuerzos del concreto situados en la parte superior; caso contrario para las
secciones de concreto situados de la parte superior en donde los esfuerzos
disminuyen”. (Derick et al. s.f.) [23].
Aplicando la mecánica de materiales, una viga simplemente apoyada con una
carga concentrada en el centro produce un diagrama de fuerzas cortantes (figura
N° 6.14). A partir de este diagrama, se observa que la fuerza queda dividida
equitativamente en dos partes, esto indica que el flujo de la fuerza cortante no es
constante hasta la mitad del ancho de la sección, lo que causa el fenómeno
denominado “shear lag”. En orden de mantener una fuerza cortante constante,
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diversos ajustes han sido desarrollados como el ancho efectivo para la
redistribución de fuerzas internas. (Derick et al. s.f.)[23].
Figura N° 6.14 Distribución longitudinal del flujo de corte en una viga de sección compuesta.
Fuente: (Derick et al s.f.)
En el caso de la sección transversal, los esfuerzos del concreto son mayores en
las superficies de apoyo losa-viga, observándose una variación de tensiones en
el eje axial de la sección. Dichas tensiones disminuyen progresivamente en forma
no lineal hasta a un ancho determinado que constituye el nivel de volumen de
concreto a usar; de igual modo, las tensiones máximas se basan en un ancho
efectivo para el diseño de la losa. Esto se realiza para corregir y tener una mejor
aproximación en tensiones así como se observa en la figura N° 6.15.
Figura N° 6.15 Distribución de esfuerzos por shear lag.
Fuente: (Alvarez et al, s.f.)
Estas redistribuciones de esfuerzos tienen como principal objetivo determinar el
ancho efectivo para un flujo de fuerza de corte uniforme. A partir de esta
suposición, las propiedades geométricas determinan las respuestas estructurales
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(deflexiones), en consecuencia, el ancho efectivo es usado en el diseño de la
sección.
El fenómeno “shear lag” es usado para determinar el ancho efectivo de la viga;
donde el ancho de losa “w” es reemplazado por un ancho efectivo “𝑤𝑒𝑓𝑓” dada por
la ecuación 6.10:
𝑤𝑒𝑓𝑓
𝑤=
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 (6.10)
6.2.3 INFLUENCIA DEL ACERO ESTRUCTURAL
En el sistema compuesto, el perfil de acero, “I” o “W”, tiene importancia en el
cálculo, control y verificación de deflexiones porque considera sus propiedades
geométricas para la determinación de requisitos estructurales tanto en estado de
servicio como en estado último.
En dicho contexto, el acero estructural trabaja elásticamente porque el sistema
compuesto no reúne las condiciones básicas para entrar fluencia (carga aplicada,
temperaturas altas y otros) porque se desea que no existan deformaciones
permanentes.
Asimismo, uno de los principales problemas es el pandeo elástico e inelástico
debido a que la viga posee una baja capacidad por la esbeltez del elemento, por
ello el pandeo debe ser verificado de forma global (longitudinal) y localizada
(lateral) para que dicho perfil no se comporte plásticamente. Siguiendo tal
condición, los perfiles de acero (“I” o “W”) son de tipo compacto no esbeltos porque
se desea que no ocurra el pandeo en la estructura.
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Figura N° 6.16 Tipos de pandeo en la viga de perfil.
Fuente: (Derick et al s.f.)
El pandeo lateral-distorsional (ver figura 6.16a) ocurre por la rigidez de la losa de
concreto que está conectado mecánicamente a la viga que produce momentos,
fuerzas axiales y fuerzas cortantes, ocasionando que el alma del perfil empiece a
pandear debido a la baja rigidez presente. Este tipo de pandeo es el más
perjudicial porque afecta los elementos individualmente, ocasionando su falla.
Por otro lado, el pandeo lateral-torsional debido a la baja rigidez torsional (alas
anchas), aparece una torsión de la sección, resultando en una falla estructural (ver
figura 6.16b), esto ocurre por el contacto de la viga de acero y la losa de concreto,
produciendo ondas a lo largo del perfil, ver figura 6.17.
Figura N° 6.17 Fuerzas actuantes en el ala del perfil.
Fuente: (Derick et al s.f.).
Las fuerzas que condicionan la acción compuesta y por tanto el efecto de pandeo,
se observa en la figura N° 6.17 se observa las fuerzas horizontales debido a la
adherencia entre la losa y la viga (N), fuerzas cortantes (V) transmitidas
perpendicularmente a los conectores hacia el ala del perfil.
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En consecuencia, se deben evitar estos tipos de fallas para que la estructura no
trabaje en rango plástico, y además las deformaciones no sean permanentes e
irreversibles. Como método de solución, se arriostra, ver figura 6.16c, las vigas
entre sí, todo ello para rigidizar horizontalmente, torsionalmente y así evitar el
pandeo
6.2.4 INFLUENCIA DEL ACERO DE REFUERZO
El acero de refuerzo puede ser en forma de varillas corrugadas o lisas, torones o
cables que son utilizados en secciones de concreto armado, pretensado y
postensado, respectivamente. Otros elementos que se usan como refuerzo son
las mallas electrosoldadas que cumplen la función de absorber y resistir las
tensiones a tracción producidas por efectos internos y efectos externos del
concreto.
En estado de servicio, el acero de refuerzo se usa como medida frente a las
deflexiones obtenidas por la demanda de la estructura. Por otro lado, el flujo
plástico tiende a influir de manera considerable a causa de la disminución de las
tensiones internas, por ello, el acero absorbe los esfuerzos de tracción presente
para que no se presente el fisuramiento y otros efectos.
Igualmente, el acero de refuerzo se emplea por el fenómeno de retracción porque
el concreto tiende a disminuir en volumen y en superficie, este efecto ocasiona la
reducción de su capacidad, ocasionando que trabaje en tracción.
Figura N° 6.18 Curva de esfuerzo-deformación del acero reforzado: (a) planchas metálicas (b) barras de refuerzo.
Fuente: (Nethercot et al. 2004)
En la sección compuesta, la transferencia de esfuerzos tangenciales por la
demanda se asegura mediante el acero de refuerzo, de manera que las
solicitaciones internas en la losa de concreto sean transferidas hacia los
conectores de corte longitudinalmente.
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Figura N° 6.19 Fallas planares a través de la losa compuesta por el acero longitudinal.
Fuente: (Lawson et al. 1994).
La resistencia por corte por unidad de área en el plano de la viga de sección
compuesta es:
𝜈𝑅𝑑 = 2.5𝐴𝑐𝑣𝜂𝜏𝑅𝑑 + 𝐴𝑒𝑓𝑠𝑘
𝛾𝑠 ≤
0.2𝐴𝑐𝑣𝜂𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐
(6.11)
Donde:
𝐴𝑐𝑣: Sección transversal del concreto por unidad de área.
𝜏𝑅𝑑: Fuerza cortante del concreto.
𝐴𝑒 : Área de acero de refuerzo transversal en cada plano.
𝑓𝑐𝑘: Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo.
𝜂: Tiene el valor de 1.0 para pesos normales de concreto y 0.3 +0.7 (ρ/2400) para
concretos ligeros, donde ρ es la densidad del concreto (kg/m3).
El corte longitudinal se transfiere a todo el sistema compuesto a través del acero
de refuerzo en vigas continuas, pero en vigas discontinuas, la resistencia de corte
para cada conector se calcula mediante la siguiente ecuación debido a la no
continuidad de la losa de concreto en la viga (juntas de dilatación):
𝜈𝑝𝑑 =𝑁𝑟
𝑠 ( 4𝑑𝑡𝑠𝑓𝑦𝑝 )
𝛾𝑎𝑝 (6.12)
Donde:
𝑁𝑟: Número de conectores de corte en cada grupo en el ala superior de viga.
𝑑: Diámetro del conector.
𝑡𝑠 : Espesor de la plancha metálica de acero
𝑓𝑦𝑝 : Esfuerzo de fluencia del acero.
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𝑠 : Espaciamiento de los conectores de corte.
Figura N° 6.20 Esquema de la transferencia de fuerzas longitudinales debido al acero transversal en vigas discontinuas.
Fuente: (Lawson et al. 1994).
En la figura N° 6.20 se observa el efecto de transferencia en una viga discontinua
que ocasiona que los esfuerzos no sean transferidos uniformemente por la junta
presente en la losa. Este fenómeno de transferencia influye notablemente en las
deflexiones porque la demanda es transferida por el acero de refuerzo hacia todos
los elementos constituyentes, lo que asegura el correcto comportamiento de los
miembros del sistema compuesto y la dependencia de los demás elementos hacia
el acero.
6.2.5 INFLUENCIA DE LOS CONECTORES DE CORTE
6.2.5.1 Adherencia entre el concreto y el acero
El comportamiento de la viga de sección compuesta tiene una relación directa con
el desplazamiento entre superficies debido a la adherencia del acero y el concreto.
La aplicación de una carga perpendicular (F) en la interface de la losa-viga genera
esfuerzos de compresión entre la conexión, implicando la acción de una fuerza
normal entre superficies. La existencia de dos superficies de contacto entre la losa
de concreto y la viga de acero producen una fuerza de fricción que tiende a
contrarrestar la fuerza de corte existente por la demanda de la estructura, siendo
representadas por la ley de Coulumb a partir de:
𝜏𝑙𝑖𝑚 = 𝜇𝐹 + 𝑐 (6.13)
|𝜏| ≤ 𝜏𝑙𝑖𝑚 (6.14)
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En las ecuaciones 6.13 y 6.14, 𝜏𝑙𝑖𝑚 es la fuerza máxima de fricción, 𝜏 es la fuerza
actuante de fricción, 𝜇 es el coeficiente de fricción, 𝐹 es la fuerza perpendicular a
la superficie y 𝑐 es una constante, si la fuerza de fricción actuante vence a la
máxima permisible, el elemento se desliza y en consecuencia, se produce el
fenómeno “slip”.
El coeficiente de rozamiento entre la losa de concreto y la viga de acero puede ser
estimado en 0.78 (rango permisible de 0.6 a 1.00) gracias a investigaciones
realizadas por McCormik et al. [52]; en dichas investigaciones, se realizaron
ensayos con superficies de mortero y acero estructural en diferentes bases de
columnas.
Si la fuerza de fricción excede a la fuerza de fricción límite, las superficies de
contacto empiezan a deslizar entre sí, en consecuencia, la losa de concreto tiende
a expandirse longitudinalmente debido a las fuerzas perpendiculares aplicadas en
la superficie. Al existir dos elementos de diferentes propiedades, el deslizamiento
relativo aparece en dirección paralela a las fuerzas de corte. En la figura N° 6.21,
se observa el estado inicial de la viga de sección compuesta con una fuerza
externa aplicada (F=0), se observa un estado de equilibrio; luego de un tiempo de
aplicar la fuerza (F≠0), el desplazamiento ocurre en un sentido paralelo a las
fuerzas de corte. La diferencia de rigideces influye notablemente en las
deflexiones diferidas, ya que el concreto al ser más rígido trata de restringir al
acero, y como se espera la viga de acero se comienza a reducir la longitud del ala
superior.
Figura N° 6.21 Fenómeno de deslizamiento.
Fuente: (Oehlers, 1995)
El desplazamiento a dichas de fuerzas de interacción es resistido por las
propiedades mecánicas de los conectores, así por ejemplo en el cálculo
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simplificado, esto está en función de la fuerza de corte, cuya diferencia resulta la
fuerza neto total para los conectores de corte, ver figura N° 6.21.
6.2.5.2 Influencia del efecto de la curva de capacidad (load-slip)
El conector de corte, al ser un tipo de conexión, posee una parte denominada
“cabeza”, cuya principal función es evitar la separación de la losa con la viga. Esta
parte previene que la losa de concreto trabaje completamente; debido a que recibe
un porcentaje de las cargas externas. De esta manera, es necesario que la rigidez
del conector sea constante para tener una conexión adecuada, pero esto no
sucede porque en el comportamiento real la rigidez no es constante. Esto se
observa en ensayos denominados “push out” (ver figura N°6.22, ver Euro código
4), que comprenden dos losas de concreto conectadas en las alas de un perfil, “I”;
luego, el espécimen se carga axialmente con un incremento progresivo en etapas,
provocando fuerzas de corte en las alas y fuerzas axiales en el alma. De tal modo,
el espécimen se carga por etapas que consideran la magnitud de la fuerza
actuante; en efecto, se deforman los conectores en dirección paralela a la carga
estructural, dando como resultado el gráfico de fuerza vs desplazamiento
(capacidad) que denota el tipo de comportamiento del conector frente a cargas
externas.
Figura N° 6.22 Ensayo "push out" para carga de corta duración.
Fuente: (Ban et al 2015)
El resultado de este ensayo se presenta en la figura N° 6.23 para una carga
sostenida en un tiempo de aplicación que se presenta en diferentes tipos de
conectores de corte para denotar el diseño más real.
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Figura N° 6.23 Gráfico de capacidad en conectores de corte.
Fuente: (Nethercot et al 2004)
La rigidez inicial de los conectores de corte presenta un comportamiento no lineal,
debido al aumento progresivo de la carga actuante, ya que al inicio el conector su
capacidad no es sobrepasada, consecuentemente aparecen las deformaciones
que disminuyen su rigidez axial de manera no lineal, tal como se observa en la
figura N° 6.23. Dicha no linealidad puede ser representada como una relación por
flujo plástico, aplicando el método de aproximación “AEMM”, ver capítulo 3.
6.2.6 INFLUENCIA POR EL MÉTODO DE CONSTRUCCIÓN
Los métodos de construcción en vigas de sección compuesta dependiendo de tipo
de solución estructural son los siguientes: apuntalado y no apuntalado.
Figura N° 6.24 Apuntalamiento y no apuntalamiento de viga de sección compuesta.
Fuente: (Oehlers, 1995)
6.2.6.1 Sistema no apuntalado
En este sistema, el apuntalamiento de vigas se utiliza usualmente en el campo de
puentes por sus grandes dimensiones, en vigas. Asimismo, cada componente se
diseña de forma aislada, ya que, cada elemento soporta grandes cargas externas
(sobrecargas, peso muerto, peso de barandas, etc); así por ejemplo, la viga de
acero se diseña con base en las demandas totales, por tal motivo las respuestas
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estructurales en estado de servicio son grandes, como por ejemplo contraflechas
para contrarrestar deflexiones verticales grandes por cargas gravitacionales.
Igualmente, las deflexiones son analizadas linealmente en función de la viga
aislada con sus propiedades mecánicas y geométricas (transversal y
longitudinales) del acero estructural. No obstante, la influencia de la losa de
concreto y los conectores no se consideran en este tipo de diseño debido a su
comportamiento no lineal frente a las demandas reales.
Figura N° 6.25 Distribución de esfuerzos para el caso de no apuntalamiento.
Fuente: (Oehlers, 1995)
6.2.6.2 Sistema apuntalado
La construcción apuntalada se utiliza para estructuras donde el peso del concreto
húmedo es transferido directamente a la viga de acero, produciendo una conexión
completa que luego será transferida a otros elementos estructurales, así por
ejemplo, las columnas reciben las cargas transferidas. Por ende, se utilizan
elementos verticales de sostenimiento (puntales estructurales) que son removidos
cuando el concreto se ha endurecido (aproximadamente a los 10 días, al 75% de
resistencia máxima a la compresión), lo que convierte al sistema en uno completo
y con una perfecta adherencia (interacción completa).
De modo que se aplica la teoría de mecánica de materiales en el proceso de
cálculo de las respuestas estructurales, así como la determinación de las
respuestas estructurales a corto plazo, deflexión instantánea. Al mismo tiempo,
para el diseño de la viga de sección compuesta se calcula la deflexión a largo
plazo, usando la teoría de flujo plástico, retracción y otros efectos internos que se
presentan en el concreto estructural.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA CAPÍTULO VI: INFLUENCIA DE LOS ELEMENTOS CONSTITUYENTES FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y PROPIEDADES DIVERSAS
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Figura N° 6.26 Distribución de esfuerzos para el caso de apuntalamiento.
Fuente: (Oehlers, 1995)
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7. CAPÍTULO VII. LINEAMIENTOS PARA EL MODELAMIENTO DE VIGAS
DE SECCIÓN COMPUESTA
El lineamiento para el modelamiento ha sido estudiado por diversos autores que
idealizan las vigas de sección compuesta en función de sus componentes y de
sus propiedades para obtener un comportamiento real y acertado. Por tal motivo,
se establece un proceso de modelamiento que considera los modelos analíticos y
experimentales, implementando la validación de datos como fuente de
aproximación al comportamiento real.
El proceso de validar datos en este tipo de estudios es el siguiente:
1. Plantear modelos analíticos de acuerdo a las propiedades de los
elementos y materiales constituyentes, así por ejemplo modelos de las
propiedades constituyentes para las vigas de sección compuesta.
2. Estudiar modelos experimentales del tema a tratar; no obstante sino se
encuentra información respecto al tema, se puede optar por desarrollar
modelos experimentales en relación a investigaciones pasadas.
3. A partir de los datos obtenidos en ambos estudios (analítico y
experimental) se procede al proceso de validación y ajuste matemático que
consiste en la calibración del modelo, considerando elementos y
propiedades.
4. Finalmente, se desarrolla la investigación, dando a conocer los resultados
en las respuestas estructurales o el comportamiento estructural.
Este proceso se realiza, actualmente, en diversas investigaciones; para tal fin, el
proceso se ha dividido en dos tipos: analítico y experimental. A continuación, se
procede a dar los lineamientos analíticos implementados por diversos autores
para la investigación del comportamiento de las vigas de sección tipo “T”.
7.1 MODELAMIENTO PARA LA LOSA DE CONCRETO
La losa de concreto representa la parte superficial en donde se soporta las cargas
aplicadas (monótonas o cíclicas) que pueden depender del tiempo de aplicación.
Dicho elemento transmite todas las fuerzas internas y externas en la viga a través
de la sección transversal y longitudinal hacia los demás elementos presentes en
la sección compuesta, por tal motivo, el elemento debe poseer propiedades
geométricas definidas tales como ancho y espesor uniforme que asegure el
correcto comportamiento frente a tensiones de tipo compresivo en función al
fenómeno “shear lag”. Al aplicarse cargas de larga duración el concreto presenta
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fenómenos de tipo diferidos que hacen variar su comportamiento interno (flujo
plástico y retracción) lo que implica que las respuestas estructurales varíen en un
porcentaje alto. Entonces en el modelo de la losa se debe representar el concreto
por sus propiedades a corto y a largo plazo en función a diferentes teorías lineales
o no lineales; así por ejemplo, elasticidad, elasto-plasticidad y visco elasticidad.
A continuación se procede a explicar brevemente los tipos de modelos que son
representados en no lineal de acuerdo al comportamiento real.
7.1.1 Modelo elasto-plástico del concreto
Este tipo de modelo considera que el concreto se comporta de manera elástica
por debajo al límite de fluencia (tensión máxima de tracción caso del concreto), y
cuando se sobrepasa dicho límite se comporta de manera plástica, produciéndose
deformaciones irreversibles y permanentes por la región plástica que aparece,
como ejemplo: el acero estructural se representa en función a dicho modelo para
fines prácticos de diseño. El modelo elasto-plástico del concreto considera que el
módulo de tensión máxima de fluencia es igual al módulo de rotura lo que ocasiona
que el concreto tienda a soportar mayores deformaciones antes de adquirir el
estado plástico, observándose una curva similar a la figura N° 7.2.
7.1.2 Modelo de concreto en compresión
Según Tamayo (2011) [78], el concreto al ser un material que se deforma
irreversiblemente a causa de los efectos de flujo plástico y retracción, ocasiona
que las deformaciones sean permanentes e irreversibles y afecten los elementos
estructurales. Al presentar comportamientos tanto elástico como plástico, se usa
la teoría de plasticidad, en función al modelo elasto-plástico del concreto
La primera relación constitutiva plantea dos tipos de superficies con base a los
criterios de elastoplasticidad (comportamiento elástico y plástico): (a) superficies
de plastificación inicial (inicio del flujo plástico) y (b) superficies de plastificación
límite que separa el estado de endurecimiento no lineal del lineal, observándose
un comportamiento elasto-plástico perfecto16 que definen a los tensores 𝐼1y 𝐽2,
siendo expresadas por la función de plastificación 𝑓 (𝐼1, 𝐽2 ). (Dias, 2013) [25].
𝑓 (𝐼1, 𝐽2 ) = (3𝐽2𝛽 + 𝛼𝐼1)1/2 = 𝜎0 𝛼 = 0.355𝜎0 ; 𝛽 = 1.355 (7.1)
16 Comportamiento en que exhibe una pequeña deformación irreversible.
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Donde 𝛼 y 𝛽 son parámetros del material obtenidos por ajuste en la ecuación (7.1)
a partir de resultados experimentales. Se distingue que la superficie de
plastificación inicial o el proceso elastoplástico que comienza con la expansión de
las superficies de acuerdo a la ley de endurecimiento17. (Dias, 2013) [25]. En la
figura N°7.1 se observa la representación del criterio de plastificación.
Figura N° 7.1 Superficie de plastificación biaxial.
Fuente: (Tamayo 2011).
La segunda relación constitutiva (ley de fluencia) que determina la dirección y
magnitud que tendrá la deformación plástica donde se observa el gradiente de la
función plástica, a partir de la siguiente relación:
𝑑휀𝑖𝑗𝑝
= 𝑑𝜆 𝜕 𝑓(𝜎)
𝜕𝜎𝑖𝑗 (7.2)
Siendo 𝑑𝜆 la constante de proporcionalidad que determina la magnitud del
incremento de la deformación plástica, que define su dirección perpendicular a la
superficie de plastificación, (gradiente de la función de las tensiones 𝜕 𝑓(𝜎)/
(𝜕𝜎𝑖𝑗 )) y 𝑓(𝜎) es función de fluencia en función a la carga actuante.
La tercera ley de endurecimiento considera al concreto como un material con
endurecimiento isotrópico (mismo comportamiento en diferentes direcciones); es
decir el endurecimiento se da de forma constante a través del material
constituyente, siendo la superficie de fluencia dada por la siguiente ecuación:
17 Estado en que el concreto comienza a endurecerse a causa de efectos químicos en su
composición.
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𝐹(𝜎, 𝑘 ) = 𝑓(𝜎) − 𝜎𝑦(𝑘) (7.3)
Donde 𝑓(𝜎) es la función de plastificación y 𝜎𝑦(𝑘) es el tensor de plastificación
relacionada al parámetro 𝑘 de endurecimiento del concreto de forma isotrópica.
Figura N° 7.2 Modelo de representación del concreto.
Fuente: (Tamayo 2011).
Debido a la no linealidad del endurecimiento en el concreto, se define como
superficie inicial del esfuerzo igual a 𝜎0 = 0.3 𝑓𝑐 que es considerado el inicio de la
deformación plástica. Esto se observa en la figura N° 7.2.
7.1.3 Modelo viscoelástico del concreto
Otros autores consideran que el concreto puede ser asumido como material
viscoelástico, es decir, el comportamiento es relacionado a un sólido y a un fluido.
Según Sakla et al. [72] en el estado de servicio, el esfuerzo de compresión es
lineal hasta un límite de 0.5 𝑓𝑐, a partir de este límite aparece el rango no lineal, se
considera que el modelo CEB-FIP18 se ajusta a las expectativas reales por tal
motivo se muestra las funciones relacionadas al concreto a continuación:
La ecuación 7.4 aplica el principio de superposición en el estado de fluencia que
tiende a ser:
휀𝑐𝑡 − 휀𝑛𝑡 = ∫ 𝐽(𝑡, 𝜏)𝑑𝜎𝑡
0
(𝜏) (7.4)
18 Ver tipos de modelos de predicción del flujo plástico.
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Donde 휀𝑐𝑡 y 휀𝑛𝑡 son la deformación total y la deformación por retracción en el
tiempo 𝑡, 𝐽(𝑡, 𝜏) que es la función de flujo plástico definida en un tiempo 𝜏. El autor
aproxima la solución de la ecuación por el método paso a paso de Bazant19 que
es una suma finita dividida en intervalos, considerando una amplitud igual con una
regla trapezoidal.
휀𝑐𝑘 − 휀𝑛𝑘 = ∑1
2[𝐽(𝑡𝑘 , 𝑡𝑖) + 𝐽(𝑡𝑘 , 𝑡𝑖−1)]
𝑘
𝑖=0
. Δ𝜎𝑐𝑖 (7.5)
휀𝑐𝑘 − 휀𝑛𝑘 =Δ𝜎𝑐𝑘
�̅�𝑐𝑘
+ ∑1
2[𝐽(𝑡𝑘 , 𝑡𝑖) + 𝐽(𝑡𝑘 , 𝑡𝑖−1)]
𝑘
𝑖=0
. Δ𝜎𝑐𝑖 (7.6)
Donde 휀𝑐𝑘 y 휀𝑛𝑘 son la deformación total y la retracción al tiempo 𝑡𝑘; �̅�𝑐𝑘 es el
módulo de elasticidad; Δ𝜎𝑐𝑖 es la variación de esfuerzos en el concreto en un
tiempo 𝑖. En las ecuaciones 7.5 y 7.6 se observa la representación de una suma
finita sobre la base a la regla trapezoidal que toma un efecto para un tiempo 𝑡𝑖 y
su antecesor 𝑡𝑖−1 para las funciones compilatorias del flujo plástico, considerando
el esfuerzo instantáneo referido al concreto por la carga sostenida.
𝜎𝑐𝑘 = Δ𝜎𝑐𝑘 + ∑ Δ𝜎𝑐𝑖
𝑘
𝑖=0
(7.7)
En la ecuación 7.7, la carga actuante y el aumento gradual de la misma se
consideran en el esfuerzo total a causa del tiempo para formar la siguiente
relación:
𝜎𝑐𝑘 = �̅�𝑐𝑘 . [휀𝑐𝑘 − 휀𝑛𝑘 − 휀𝑣𝑘] (7.8)
Donde 휀𝑣𝑘 es la viscosidad del flujo plástico en el tiempo 𝑡𝑘. Esta ecuación
representa la superposición total de los efectos diferidos del concreto. Al ser un
material de tipo viscoso, inicialmente, debido a que el concreto no se ha
endurecido bajo las cargas sostenidas. Además, se asume que las capas de
concreto transmiten todas las fuerzas longitudinalmente en dirección a los
elementos presentes.
19 Autor que estudió al fenómeno de flujo plástico y retracción.
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7.1.4 Modelo para concreto en tracción
De igual manera en el concreto en tracción, Tamayo (2011) [78] emplea el
concepto de fisuración distribuida, que menciona que excedida la tensión máxima
en tracción, el concreto tiende a fisurarse perpendicularmente a la tensión
principal, transformándose posteriormente en un material ortotrópico (propiedades
similares en forma perpendicular) a las tensiones principales.
Después del fisuramiento, ocurre que el módulo de elasticidad y el coeficiente de
Poisson son asumidos para ser cero en la dirección perpendicular al plano
fisurado, ya que el concreto no trabaja elásticamente. (Tamayo, 2015) [79].
Figura N° 7.3 Modelo constitutivo del concreto en compresión.
Fuente: (Tamayo 2011).
7.1.5 Modelamiento del elemento por método de elementos finitos
El autor Tamayo [78] emplea un elemento finito de cáscara, aplicando el principio
de superposición en el armado del elemento total tal como la viga de sección
compuesta. De igual modo, las deformaciones permanecen rectas después de la
aplicación de la carga por ello se despreció la tensión perpendicular para el
modelamiento por el ajuste necesario para la realidad.
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Figura N° 7.4 (a) Elemento sólido cuadrático; (b) elemento de cáscara
Fuente: (Tamayo 2011)
Las tensiones son definidas de acuerdo a sus componentes en el plano
tridimensional, considerando que la tensión perpendicular al plano es cero y no
afecta el resultado de las respuestas estructurales, estas componentes de la
tensión son dadas por las siguientes formulaciones:
{휀´} =
[
휀𝑥´
휀𝑦´
𝛾𝑥´𝑦´
𝛾𝑥´𝑧´
𝛾𝑦´𝑧´]
=
[
𝜕𝑢´
𝜕𝑥´𝜕𝑣´
𝜕𝑦´𝜕𝑣´
𝜕𝑥´+
𝜕𝑢´
𝜕𝑦´𝜕𝑢´
𝜕𝑧´ +
𝜕𝑤´
𝜕𝑥´𝜕𝑣´
𝜕𝑧+
𝜕𝑤´
𝜕𝑦 ]
(7.9)
Donde 𝑢´, 𝑣´ y 𝑤´ son los desplazamientos en el sistema local a nivel de elemento
estructural. Las deformaciones en los componentes locales serían de acuerdo a
la siguiente matriz ensamblada:
{𝜎´} =
[ 𝜎𝑥´
𝜎𝑦´
𝜏𝑥´𝑦´
𝜏𝑥´𝑧´
𝜏𝑦´𝑧´]
= [𝐷]{휀´} (7.10)
Donde {휀´} es el vector de deformación que indica el sentido de las magnitudes
resultantes y [𝐷] es la matriz constitutiva del material.
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7.2 MODELAMIENTO PARA EL ACERO DE REFUERZO
7.2.1 Modelo del acero de refuerzo
El acero de refuerzo sirve para controlar los efectos diferidos del concreto, puesto
que los esfuerzos internos del concreto tienden a disminuir gracias a la carga
aplicada y a la composición química. Éste tiende a tomar los esfuerzos cuando el
concreto tiende a fisurarse, asegurando la adherencia entre los elementos. Al
trabajar en estado de servicio, se asume que el acero no fluye debido a que no
experimenta las condiciones especiales (temperatura, carga aplicada y otros).
Autores tales como Tamayo, Dias, Sakla, Gilbert y otros, consideran dicho efecto
lineal en el modelamiento por tanto se considera que la curva de esfuerzo
deformación es de tipo lineal, tal como lo muestra Sakla et al. [72]:
Figura N° 7.5 Diagramas de tensión del acero de refuerzo: (a) trilinealidad, (b) bilinealidad.
Fuente: (Tamayo 2011).
A partir de las figuras N° 7.5a y 7.5b, se observa que el esfuerzo axial del acero
tiende a aumentar progresivamente debido a las tensiones en el proceso de
adherencia del concreto y acero, el comportamiento bilineal y trilineal constituye
una aproximación más real al acero estructural por la curva de esfuerzo-
deformación en ensayos, por ende, el presente uso en el modelamiento. En dichos
diagramas de tensión, el módulo de elasticidad comienza a variar, incluyendo
diferentes pendientes en función a la deformación presente, considerando el
comportamiento elástico tanto bilineal como trilineal.
Para un sistema convencional, el acero de refuerzo puede ser modelado a partir
del comportamiento elástico en el estado de servicio, como se presenta a
continuación:
𝜎𝑟 = 𝐸𝑟휀𝑟 (7.11)
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Donde 𝜎𝑟 es el esfuerzo del acero de refuerzo, 𝐸𝑟 módulo de elasticidad del acero
de refuerzo y 휀𝑟 es la deformación del acero de refuerzo.
7.2.2 Modelo de elementos finitos empleados en la literatura
Según Tamayo [78], la armadura de acero de refuerzo viene a ser modelada de
acuerdo a la siguiente relación constitutiva:
(Δ𝜎𝑟) = 𝐸𝑟 (Δ휀𝑟)𝑖 (7.12)
(𝜎𝑟)𝑖 = (𝜎𝑟)𝑖−1 + (Δ𝜎𝑟)𝑖 (7.13)
Para 𝑖 = 1, (𝜎𝑟)0 = 𝜎𝑟 , donde 𝜎𝑟 es la ecuación 7.11.
Tamayo modela el acero de refuerzo como una capa de membrana equivalente al
espesor en dirección longitudinal con una cuantía mínima, siguiendo el
comportamiento elasto-plástico del material dado en las ecuaciones 7.12 y 7.13.
En la literatura actual, se considera que la malla de acero reforzado puede ser
modelado en función a la cuantía del acero de la losa de concreto; autores como
Gilbert, Ranzi, Bradford y otros consideran que la cuantía del acero varía entre 1%
a 2% de la sección bruta de la losa.
7.3 MODELAMIENTO PARA LA VIGA DE ACERO
7.3.1 Modelo del acero estructural
Según Zona et al. [94] se requiere una ley constitutiva que prediga el
comportamiento del acero, se usa de los diagramas de esfuerzo-deformación
lineales porque el acero estructural no llega a fluir.
Figura N° 7.6 Diagrama bilineal para el acero en el perfil
Fuente: (Tamayo 2015)
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En la figura N° 7.6 se observa la bilinealidad debido a las diferentes propiedades
del ala y el alma del perfil por tanto las cargas en dichos componentes son
diferentes, que actúa en compresión y en tracción con la siguiente relación
constitutiva.
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠휀𝑠 (7.14)
Donde 𝜎𝑠 es el esfuerzo del acero de refuerzo, 𝐸𝑠 módulo de elasticidad del acero
y 휀𝑠 es la deformación del acero de refuerzo.
7.3.2 Modelo del acero estructural según Tamayo 2011
Se considera la deformación elasto-plástica en el acero son tres necesarios
requerimientos:
i. La relación constitutiva elástica se formula en el modelo del acero, es decir
el comportamiento es lineal.
ii. Criterio de fluencia inicial debido al comportamiento plástico del acero
estructural.
iii. La relación de deformaciones y tensiones debe ser desenvuelta para el
efecto mismo, se aplica el modelo elasto-plástico perfecto, llega a un cierto
límite y este empieza a fluir.
Criterio de fluencia
Se representa las tensiones de compresión y tracción en el acero estructural de
acuerdo a la ley de Huber-Von Mises, que condiciona la aparición de
deformaciones irreversibles en el material cuando se tiene una determinada carga,
que viene a ser dado en una superficie plástica para identificar la función de flujo
del material.
𝑓(𝐼1, 𝐽2) = (3𝐽2𝛽)1/2 = 𝜎0 (7.15)
Esta función puede ser expresada en la función de tensiones en el plano:
𝑓(𝜎) = (𝜎𝑥′2 + 𝜎𝑦′
2 − 𝜎𝑥′𝜎𝑦′ + 3𝜏𝑥′𝑦′2 )
1/2= 𝜎0 (7.16)
Tamayo [78] menciona que el campo de aplicación de estos tensores es el rango
de las tensiones principales (𝜎1, 𝜎2), se considera que las deformaciones que caen
dentro del área comprendida de la función se comportan de forma lineal mientras
que las deformaciones actuantes que están fuera de dicha superficie presentan
superficies irreversibles y permanentes en el acero estructural.
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Figura N° 7.7 Criterio de fluencia en tracción y compresión para el acero
Fuente: (Tamayo 2011)
7.3.3 Formulación de método de elementos finitos
El tipo de elemento cáscara que uso Tamayo [78] es uno de 4 grados de libertad
por nodo, como se muestra a continuación:
Figura N° 7.8 Elemento cuadrilatero con 4 grados de libertad
Fuente: (Tamayo 2011)
La matriz de rigidez de la viga de acero viene a ser dado por la relación:
[𝐵]𝑗 = {
𝜕𝑁𝑖/𝜕𝑥 00 𝜕𝑁𝑖/𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖/𝜕𝑦 𝜕𝑁𝑖/𝜕𝑥} (7.17)
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Donde es la matriz de esfuerzo-desplazamiento del elemento y 𝑁 es la fuerza de
corte aplicada, la relación constitutiva para el cálculo de la matriz de rigidez viene
a ser dado por:
[𝐾]𝑒 = ∫ [𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉𝑉𝑒
(7.18)
Donde [𝐷] es la matriz constitutiva del material, definiendo [𝐵] como:
[𝐵] = [ [𝐵]1 [𝐵]2 [𝐵]3 [𝐵]4 ] (7.19)
[𝐵]𝑖 = [ [𝐵]𝑖 [𝐺]𝑖 ] (7.20)
Se presenta el parámetro 𝜌 para considerar el módulo de corte (G), que considera
el módulo de elasticidad y módulo de poisson. El autor considero que el valor de
𝜌 es 0.375G, con lo cual se permite eliminar la singularidad de la matriz del
elemento en el plano de rotación, dando contribución a la matriz de rigideces.
[𝑃] = 𝜌 ∫ [𝑏]𝑇
𝑉
[𝑏] 𝑑𝑉 (7.21)
Siendo:
[𝑏]𝑖 = {−1
2
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
1
2
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥} (7.22)
[𝑏] = [ [𝑏]1 [𝑏]2 [𝑏]3 [𝑏]4 ] (7.23)
[𝑏]𝑖 = [ [𝑏]𝑖 [𝑔]𝑖 ] (7.24)
Siendo la matriz de rigidez para el elemento de acero es dada por:
[𝐾𝑚] = [𝐾] + [𝑃] (7.25)
Este tipo de formulación es formulada a través de la contribución del elemento
cascara plana en el campo de la matemático tensorial.
7.4 MODELAMIENTO PARA LOS CONECTORES DE CORTE
7.4.1 Modelo de los conectores de corte
El comportamiento de los conectores es complejo debido a que se encargan de
transmitir las fuerzas cortantes hacia los elementos (viga de acero y losa de
concreto). Muchos autores consideran que el efecto de la pérdida de rigidez debe
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ser considerado en el modelamiento de conectores, ya que en el tiempo, dicho
efecto tiende a influir en las respuestas estructurales y en las fuerzas internas. Por
eso, se considera, inicialmente, en el análisis como un elemento lineal que regresa
a su estado inicial; pero a medida que el estudio se convirtió en más exhaustivo,
se realizaron ensayos “push out” lo que muestra un efecto no lineal de dichos
conectores en diferentes materiales para determinar la capacidad máxima.
7.4.2 Modelo según Tamayo 2011
Los conectores de corte son modelados como elementos barras que toman en
cuenta las rigideces por flexión, axial y torsión a través de las ecuaciones de
compatibilidad.
Figura N° 7.9 Conector de corte típico después de la deformación.
Fuente: (Tamayo 2011).
7.4.3 Modelo de elementos finitos para los conectores de corte
La matriz propuesta por Tamayo (2011) [78] considera 5 grados de libertad por
nodo en elemento barra de los conectores, consideraron los efectos de torsión. A
continuación se presenta la matriz de rigidez usada.
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La matriz de rigidez de los conectores de corte considera la rigidez axial 𝐾𝐴 , las
rigideces laterales 𝐾𝑥 y 𝐾𝑦, la rigidez de torsión 𝐾𝑡 .
En el caso de Sakla (2008) [72], se considera que la losa de concreto y el perfil de
acero son elementos rígidos en la dirección perpendicular a la viga, en cambio los
conectores son flexibles en la dirección paralela a la longitud de la viga; en
consecuencia, el desplazamiento ocurrido entre dichos elementos es asumido de
manera lineal y proporcional a la dirección “x”, se asume la siguiente expresión:
𝑠 = ℎ0 [𝑑𝑣
𝑑𝑥] − (𝑢𝑐 − 𝑢𝑠) (7.26)
Donde ℎ0 es la distancia entre el centroide del perfil de acero y el centroide de la
losa de concreto; 𝑢𝑐 y 𝑢𝑠 son los desplazamientos horizontales de los puntos
localizados en el centroide de la losa de concreto y el perfil de acero. La relación
no lineal entre la fuerza de los conectores 𝑄, en el tiempo 𝑡𝑘 y el desplazamiento
del conector 𝑠, se aproxima con la relación:
𝑄
𝑄𝑚𝑎𝑥= (1 − 𝑒−𝛽𝑠)
𝛼 (7.27)
De acuerdo a resultados experimentales se da la siguiente relación que se ajusta
la curva load-slip del ensayo push-out:
𝐾𝑠𝑒𝑐 = 𝑄𝑚𝑎𝑥(1 − 𝑒−𝛽𝑠)
𝛼
𝑝𝑠 (7.28)
Donde 𝐾𝑠𝑒𝑐 es la rigidez de los conectores de corte que asume una rigidez en
función de la fuerza de corte y el tiempo.
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7.5 ELEMENTOS FINITOS
Dias 2013 [25] señala que el análisis numérico de estructuras de concreto armado
es complejo por el comportamiento no lineal en las respuestas estructurales; por
ejemplo, la aparición de fisuras que causa una redistribución de tensiones, efectos
diferidos, etc. Por otro lado, varios autores estudiaron dichos problemas en los
modelos analíticos no lineales para buscar una solución aproximada. Una de las
soluciones es aplicar una discretización espacial en función al principio del trabajo
virtual, el cual consiste en la formulación de las leyes constitutivas de cada
elemento en la ecuación general presente.
7.5.1 Discretización espacial
Tamayo y Dias emplean el método de elementos finitos como método de solución,
simulando como si los elementos estuvieran en un medio continuo20 (se considera
que los materiales tienen propiedades constantes y ocupan toda la región en el
espacio), adecuando las mallas de elementos finitos en cada elemento a partir de
un comportamiento conocido de acuerdo a experimentaciones pasadas, así por
ejemplo, la retracción del concreto que es considerada en el modelo compuesto
de carácter no lineal en la losa de concreto. La formación de elementos finitos
tiene como base al vector por desplazamientos {𝑢} en cualquier punto de un
elemento de acuerdo a las condiciones planteadas en el problema, que luego de
ser interpolado resulta en el vector desplazamiento nodal {𝑢}𝑒, siendo la relación:
{𝑢} = [𝑁]{𝑢}𝑒 (7.29)
Donde [𝑁] es la matriz de funciones constitutivas de elementos continuos que
relaciona los valores de nodales de los elementos discretizado en función a la
malla empleada, si se requiere saber cualquier desplazamiento se realiza una
relación lineal en el campo de las deformaciones que condiciona la magnitud y
dirección de los elementos presentes.
{휀} = [𝐿]{𝑢} (7.30)
20 Rama de la física que propone un modelo unificado para sólidos deformables, sólidos rígidos y
fluidos.
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Donde {휀} es el vector de deformación y [𝐿] es la matriz de operadores
diferenciales que indican el cambio gradual de las deformaciones en los nodos,
por tanto la matriz de esfuerzos-deformaciones viene a ser dado por:
{휀} = [𝐵]{𝑢}𝑒 (7.31)
Donde [𝐵] = [𝐿][𝑁] conocida como matriz de deformación-deslizamiento; para el
análisis en el tiempo es necesario llevar las deformaciones inelásticas en una
estructura dentro de la deformación total (corto plazo y largo plazo), considerando
los efectos diferidos del concreto (flujo plástico y retracción), como se muestra a
continuación:
{𝜎} = [𝐷]{휀 − 휀∗ } (7.32)
Donde [𝐷] es la matriz constitutiva del material, y {휀∗} es el vector de deformación
inicial, caso de concreto en deflexiones diferidas.
7.5.2 Principio de trabajos virtuales
Dias (2013) [25] considera los siguientes enunciados para resolver el sistema de
ecuaciones referidos a la formulación de elementos finitos:
Cargas cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es prolongado.
El trabajo de las fuerzas internas y externas es independiente de la
trayectoria de aplicación de la carga.
Se considera desplazamientos pequeños en los elementos constituyentes.
Se aplica el principio de superposición.
De acuerdo a la primera ley de la termodinámica se conoce que el trabajo
realizado por las fuerzas externas es igual al incremento de energía de
deformación, de acuerdo a dicha ley se calcula las deformaciones.
Considerando un elemento sujeto a fuerzas externas como fuerzas de
volumen{𝑝𝑏}, fuerzas de superficie {𝑝𝑠} y fuerzas concentradas {𝑝𝑒}, aplicando el
principio de trabajo virtuales se tiene:
∫ 𝛿휀𝑇𝜎𝑑𝑉𝑉𝑒
= ∫ 𝛿{𝑢}𝑇{𝑝𝑏}𝑑𝑉𝑉𝑒
+ ∫ 𝛿{𝑢}𝑇{𝑝𝑠}𝑑𝐴𝐴𝑒
+ 𝛿{𝑢}𝑒𝑇{𝑝𝑒} (7.33)
Donde 𝑉𝑒 es el volumen del elemento y 𝐴𝑒 es el área del elemento, sustituyendo
las ecuaciones anteriores con la ecuación (7.31), se obtiene:
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∫ [𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉𝑉𝑒
{𝑢}𝑒
= ∫ [𝑁]𝑇{𝑝𝑏}𝑑𝑉𝑉𝑒
+ ∫ [𝑁]𝑇{𝑝𝑠}𝑑𝐴𝐴𝑒
+ {𝑝𝑒}
+ ∫ [𝐵]𝑇[𝐷]{휀∗}𝑑𝑉𝑉𝑒
(7.34)
Escribiendo en forma compacta y abreviada, se tiene:
[𝐾]𝑒{𝑢}𝑒 = {𝐹}𝑒 + {𝑃}𝑒 (7.35)
Siendo:
[𝐾]𝑒 = ∫ [𝐵]𝑇[𝐷][𝐵]𝑑𝑉𝑉𝑒
(7.36)
{𝐹}𝑒 = ∫ [𝐵]𝑇[𝐷]{휀∗}𝑑𝑉𝑉𝑒
(7.37)
{𝑃}𝑒 = ∫ [𝑁]𝑇{𝑝𝑏}𝑑𝑉𝑉𝑒
+ ∫ [𝑁]𝑇{𝑝𝑠}𝑑𝐴𝐴𝑒
+ {𝑝𝑒} (7.38)
Donde [𝐾]𝑒 es la matriz de rigidez del elemento, {𝐹}𝑒 es el vector de fuerzas
iniciales debido a las deformaciones iniciales (fluencia y retracción) y {𝑃}𝑒 es el
vector de cargas externas totales aplicado al elemento. Equivalentemente es
expresado:
[𝐾]{𝑢} = {𝐹} + {𝑃} (7.39)
El vector de desplazamiento {𝑢} contiene a los grados de libertad de la estructura;
[𝐾] es la matriz de rigidez y {𝐹}, {𝑃} son las cargas equivalentes iniciales y
externas. Estos son dado por:
[𝐾] = ∑[𝐾]𝑒𝑛
(7.40)
{𝐹} = ∑{𝐹𝑒}
𝑛
(7.41)
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{𝑃} = ∑{𝑃𝑒}
𝑛
(7.42)
Donde 𝑛 es el número de elementos del modelo, los vectores {𝐹} y {𝑃} son
conocidos, la matriz [𝐾] es ensamblada a partir de los materiales empleados y los
desplazamiento son calculados a partir del número de ecuaciones 𝑁𝑥𝑛° grados de
libertad.
Entonces la expresión de equilibrio es dado por:
{𝑃} − {𝑄} = 0 (7.43)
Donde {𝑄} es el vector de fuerzas internas de la estructura dada por:
{𝑄} = [𝐾]{𝑢} − {𝐹} = ∫ [𝐵]𝑇{𝜎}𝑑𝑉𝑉𝑒
(7.44)
Con el sistema de matrices dado, se calcula los componentes respecto a las
propiedades constituyentes de los elementos del sistema compuesto en función
al efecto de largo plazo debido a las propiedades del concreto.
7.6 PROCESO DE CÁLCULO, CONTROL Y VERIFICACIÓN DE DEFLEXIONES
DIFERIDAS SIMPLIFICADO EN UNA VIGA
El proceso de cálculo para las deflexiones diferidas en una sección compuesta es
el siguiente:
Se realiza un metrado de cargas considerando todos los elementos existentes
dentro de la estructura y el tipo de uso, incluyendo las cargas transitorias; así por
ejemplo, cargas peatonales. En el presente caso, ver sección 3.4.4, es una viga
de sección compuesta a lo largo del tablero del puente con cargas de corta y larga
duración.
Se identifica el tipo de modelamiento simplificado es decir una forma aproximada
y sencilla de calcular las respuestas estructurales (deflexiones). A partir del
ejemplo presentado, se observa que el puente peatonal (pasarela) presenta un
sistema isostático en los apoyos o en otras palabras es una viga simplemente
apoyada, por tal motivo se rige en base a que es un elemento flexible con base a
las teorías de las secciones planas (Euler-Bernoulli) pues las solicitaciones
externas tienden a mantener plano el elemento a estudiar. Otra acotación
importante, es que el elemento estructural está restringido al movimiento a través
de topes sísmicos que han sido calculados por la fuerza sísmica y la rigidez tanto
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lateral como longitudinal de los neoprenos elastoméricos, asegurando su correcta
funcionalidad estructural.
El ejemplo aplicativo está constituido por diferentes tipos de materiales, concreto
y acero (refuerzo y estructural), por tanto, en el proceso de cálculo se considera
sus propiedades tanto geométricas como de los materiales; así por ejemplo, el
módulo de elasticidad del concreto y del acero. Estas propiedades en el proceso
de verificación estructural a nivel de diseño pueden ser consideradas en forma
lineal, pero en este caso se considera una variación en el módulo de elasticidad
del concreto porque la sección transversal varía en propiedades a lo largo del
tiempo en el concreto. Esto se realiza, para calcular las deflexiones por retracción
y por flujo plástico para un tiempo de carga sostenida, se considera un tiempo
aproximado de vida útil de 10 000 días para cargas de tipo permanente.
Además, se considera que las propiedades de la sección a largo plazo van a variar
en el tiempo en función al coeficiente del flujo que condiciona al módulo de
elasticidad del concreto, observándose también la variación de las propiedades
como el segundo momento de inercia, la retracción y el coeficiente de flujo
plástico.
Luego de identificar la geometría, el tipo de sistema estructural, y los materiales a
usar, se procede a calcular las respuestas estructurales considerando las
rigideces estructurales de la losa del concreto y la viga de acero para una sección
compuesta y una sección no compuesta. Hay que tener presente, que las rigideces
de los conectores de conectores también influyen en la rigidez total, pero por
cuestiones de diseño estas se omiten porque se considera una conexión completa
(existe una perfecta adherencia entre la viga de acero y la losa de concreto) y que
el flujo de corte se transfiere correctamente a través de estos elementos.
Si el cálculo es de forma lineal-elástica, la losa de concreto está en relación a su
sección transformada que considera el módulo de elasticidad del concreto en
forma lineal (constante) que considera la variación de la sección transversal, en
consecuencia, no existe variación en el tiempo para la deflexión (el valor no
aumenta).
Sin embargo, la deformación progresiva en el tiempo existe por los efectos
internos de la losa de concreto que está en compresión de tipo no lineal, ver gráfica
de resistencia versus tiempo, por tanto este aumenta su capacidad en el tiempo.
En consecuencia, dicha resistencia está en función a un módulo de elasticidad
que también depende del tiempo. Dicha representación del módulo de elasticidad
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(Módulo de elasticidad efectiva) se observa en métodos de solución aproximada
tanto AEEM (Aged-Adjusted Effective Modulus Method) como EM (Effective
Method), que son las bases de las soluciones de las ecuaciones representativas
de los modelos de predicción del concreto, ver ACI209 R92.
7.6.1 Módulo de elasticidad constante
Si se calcula de forma lineal el módulo de elasticidad del concreto, se tiene las
siguientes pautas:
El módulo de elasticidad al ser considerado constante afecta en un gran
porcentaje al cálculo de las deflexiones diferidas del concreto, ya que el único
elemento que está en función al ancho efectivo es la losa de concreto, que
previene el fenómeno “shear lag”, que depende del módulo de sección
transformada en forma lineal.
El momento de inercia de la sección no compuesta es calculada, es decir no se
considera la losa de concreto como aportante de inercia, sólo la viga de acero para
el cálculo de las deflexiones instantáneas por carga muerta (peso propio).
Igualmente, las deflexiones instantáneas son calculadas para cargas de corta
duración, así por ejemplo, en cargas de construcción, al momento de colocar la
viga de acero entre los apoyos de neoprenos, esta se puede deflectar
ocasionando que la estructura no adquiera su demanda máxima por condiciones
de servicio.
Sin embargo, la losa de concreto requiere estar unida mecánicamente con la losa
de concreto; en obra, este elemento se vacía junto con los conectores de corte y
la baranda, el peso de la losa de concreto, la viga de acero “I” y la baranda,
trabajan como una sección con una perfecta adherencia. Para el cálculo, la inercia
es obtenida en función a una carga de corta duración (instantánea) con un módulo
de sección transformada constante, sin variar en el tiempo (tipo lineal).
El efecto de carga viva se considera para un sistema de larga duración, por tal el
momento de inercia es calculado para un ancho efectivo de losa de concreto con
un módulo de “3n”, por los efectos diferidos del concreto, el acero de compresión
de la losa de concreto y la retracción.
En tal sentido, las deflexiones son calculadas tanto por peso propio, losa de
concreto, barandas y cargas peatonales, lo que luego debe ser verificado por el
máximo permisible que se observa en diferentes normas, así por ejemplo, “L/360”
por AASHTO LRFD Brigde Especification.
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7.6.2 Módulo de elasticidad no lineal
En caso que el cálculo sea de forma no lineal, se toma en consideración los
diferentes modelos de predicción del concreto que consideran un comportamiento
viscoelástico con base en cargas uniaxiales ensayadas.
Se elige el modelo de predicción a usar en el cálculo de las propiedades no
lineales del concreto, el módulo de elasticidad varía en el tiempo en función al
tiempo de carga de aplicación de las cargas sostenidas. Los momentos de inercia
efectivos están en función al módulo de elasticidad porque la losa de concreto
también depende del coeficiente por flujo plástico, este factor tiende a aumentar
en el tiempo, de acuerdo a los diferentes modelos de predicción del concreto.
La retracción se calcula con una deformación unitaria que varía en el tiempo que
considera el tiempo de curado, la humedad relativa, la cantidad de cemento, la
relación agua cemento y otros, observándose una curva que depende del tiempo.
Esta deformación unitaria actúa a lo largo de la losa de concreto en sentido
longitudinal y transversal por el cambio volumétrico, que condiciona a la
deformación máxima por contracción. En cuestiones de diseño, se considera la
longitud total del tablero en sentido longitudinal, esta deformación interna del
concreto tiende a esfuerzos de carácter compresivo que en vigas simplemente
apoyadas, tratan de acortar la losa. A partir de dicha formulación, se calcula la
fuerza actuante en el centro geométrico de la losa de concreto, con un signo
negativo por la compresión. Al ser un sistema de tipo isóstatico (simplemente
apoyada) se calcula el momento producido por la excentricidad de la fuerza por
contracción o retracción constante, luego se calcula la respuesta estructural por
mecánica de materiales, deflexiones, en el centro del vano por un momento
constante a lo largo del tablero.
Se procede a calcular las deflexiones instantáneas y diferidas en función del
tiempo, ya que el concreto se rige de acuerdo a los modelos de predicción,
resultando en una gráfica que aumenta en el tiempo.
7.6.3 Cálculo de deflexiones diferidas con conectores de corte
Los conectores de corte se pueden incluir dentro del cálculo para la inercia total
del sistema, la representación de la capacidad puede ser de tipo constantes o
dependientes en el tiempo. Además, existen expresiones tanto en AASHTO,
EUROCODIGO 4, BS5950 u otros que nos indican un valor a usar para determinar
la capacidad total del conector, conociendo dicha capacidad y el desplazamiento
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relativo del conector entre la losa de concreto y la viga de acero (debido a la
deflexión ocurrida), para calcular la rigidez axial en el sistema dado.
Diversos autores en la literatura actual han considerado a dicho efecto de suma
importancia porque estos conectores transfieren las fuerzas tanto de la losa y de
la viga hacia el sistema, por ello si esta conexión es deficiente no se puede
asegurar que la conexión sea completa o que se desarrolle la capacidad de la viga
tanto en corte o flexión. En el enunciado de Kim, se indica que dicho efecto se
puede omitir debido a que los conectores presentan unas deformaciones ínfimas
comparadas a las deformaciones por las cargas externas. Sin embargos, varios
autores señalan (Wang, Gilbert, Bradford u otros) que las conexiones aumentan
gradualmente por el tipo o grado de conexión de la viga, y que por el efecto de
“load-slip” la capacidad aumenta al inicio y en consecuencia esta disminuye, ver
figura 7.10.
Figura N° 7.10 Curva de capacidad del conector de corte
Fuente: (Wang et. Al 1998)
En la figura N° 7.10, se observa la curva de capacidad de diseño respecto a los
estudios realizados por Wang, esta curva representa el aumento de la resistencia
del conector en función a la demanda, por ello varios códigos consideran que el
diseño se regular mediante un factor menor a la unidad.
Si la capacidad es mayor al inicio, la rigidez también lo es, por tanto las deflexiones
aumentan en función de la capacidad. El espaciamiento, el desplazamiento
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relativo, el tipo de conector, geometría de los conectores y otros aspectos influyen
en el cálculo de las respuestas estructurales. Por otro lado, en cuestiones de
diseño este tipo de efecto no se considera puesto que las deformaciones son
relativamente pequeñas, comparadas a las deformaciones por solicitaciones
externas.
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8. CAPÍTULO VIII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
8.1 CONCLUSIONES
1. La norma peruana respecto a deflexiones peruana no posee un
lineamiento que considere los efectos diferidos en el concreto en forma
detallada. Igualmente, en la sección de elementos compuestos, se observa
que el control y verificación de las deflexiones es mencionado en forma de
comentarios lo que obliga al diseñador regirse a su criterio personal.
2. Existe poca literatura a nivel nacional de este problema tanto en el análisis
analítico y experimental. En el caso de los análisis experimentales, las
vigas son ensayadas por periodos largos de tiempo y la evaluación de las
respuestas estructurales son realizadas constantemente. En lo analítico, el
campo computacional no ha sido desarrollado por mucho tiempo, siendo
necesario estudiarlo para futuras investigaciones.
3. El modelo de predicción del flujo plástico y la retracción en el concreto son
basados en teorías de solidificación del concreto21, teorías de fisuración
del concreto y diseños de las mezclas, por tal motivo este tipos de modelos
deben ser incluidos en la norma peruana para efectos diferidos del
concreto.
4. Para la formulación en el cálculo de las deflexiones, se realizaron ensayos
empíricos que toman en cuenta los elementos constituyentes y la
geometría del elemento, esto se observa en la fórmula para deflexiones
diferidas; en el caso de vigas de sección compuesta, no existes ni fórmulas
respecto a las deflexiones diferidas para un cálculo simplificado.
5. Las deflexiones instantáneas tienden a ser estimadas con las teorías de
resistencia de materiales tales Euler-Bernoulli como otros, en caso de largo
plazo estás son en relación al estado fisurado del concreto ya que el
concreto pierde sus propiedades principales que refuerzan a la estructura;
consecuentemente, el estado de servicio considera la hipótesis de que la
estructura actúa elásticamente, y que no va a existir efectos no lineales en
el desarrollo de las respuestas estructurales.
6. Se mostró un cálculo simplificado de tipo lineal desarrollado por Kim [42],
quien considera los efectos de flujo plástico y retracción, las rigideces de
los elementos constituyentes y sus propiedades geométricas en general
21 Modelos de elastoplasticidad, viscoelasticidad
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para un cálculo simplificado, aplicando los modelos de predicción para
efectos diferidos del concreto.
7. La redistribución de fuerzas internas causa una disminución de esfuerzos
(esfuerzos compresión), gradualmente, en el concreto después de
aparecer fisuras entre el concreto mismo, lo que disminuye la tensión
referida y aumenta las deflexiones en un gran porcentaje.
8. El efecto “shear lag” debe ser estudiado en forma detallada puesto que
longitudinalmente los esfuerzos de diseño son variables; esto se observa
en el aumento gradual en las zonas de concreto y en el perfil de acero. En
tal medida, se opta por disminuir dicho efecto con el uso del ancho efectivo
para mitigar el efecto de las fuerzas cortantes.
9. El sistema de construcción (apuntalada y no apuntalada) condiciona que
las deformaciones y esfuerzos varíen en función a las cargas aplicadas y
el tipo de interacción entre la viga de acero y la losa de concreto.
10. El cálculo simplificado en vigas de sección compuesta considera la
interacción completa en las normativas actuales, con lo cual supone que
los elementos actúan de manera conjunta y en el rango elástico, pero no
toma en cuenta el grado de conexión real: interacción parcial.
11. La curva de capacidad (fuerza cortante vs desplazamiento) en conectores
de corte son de tipo lineal, bilineal y no lineal, a partir de este efecto se
puede calcular la matriz constituyente del elemento para el
comportamiento de los conectores. Igualmente, en caso de deflexiones
diferidas se observa en la curva capacidad “load slip” aumenta las fuerzas,
lo que ocasiona un aumento de deflexiones reduciendo la rigidez inicial de
los conectores.
12. La adherencia entre la losa de concreto y la viga de acero genera fuerzas
de fricción, las cuales son tomadas por los conectores. Estas se presentan
por las diferencias entre materiales y la superficie de contacto, generando
fuerzas de tipo horizontal y posteriormente el intento de separación entre
los elementos. Este tipo de efecto es tomado en cuenta por muchos
autores en la literatura, modelándolo como fuerzas externas paralelas a las
fuerzas cortantes debido al concreto y el acero, ya que condicionan el tipo
de interacción entre la losa de concreto y la viga de acero.
13. El acero de refuerzo se usa para los esfuerzos después de que el concreto
llega al estado frágil, en tal forma las deflexiones ocasionadas por la losa
de concreto, aumentan considerablemente en un porcentaje alto
comparados a la viga de acero (caso de construcción apuntalada).
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DEFLEXIONES DIFERIDAS EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA DE CONCRETO Y ACERO Bachiller Rocio Maldonado, Yordan Alberto 191
14. Los modelos de predicción del concreto toman en cuenta la teoría de
plasticidad como modelos de elastoplasticidad, viscoelasticiddad y otros,
debido a que el concreto es un material con etapa de no endurecimiento y
endurecimiento en su ciclo de vida. Se debe tomar énfasis en el desarrollo
de la norma peruana en los modelos de aplicación ya que no se muestra
el lineamiento para el cálculo de las deflexiones a lo largo del tiempo.
15. En el lineamiento analítico, varios autores han considerado que las
propiedades constituyentes de los elementos de la sección compuesta
están en función del tiempo y de la no linealidad presente en su
comportamiento real. Por ello, se considera el uso de diversos métodos
para el modelamiento, como elementos finitos y otros. Programas de
índole comercial han sido usado para la formulación de cada elemento que
sería parte del pre-procesamiento; siguiendo este proceso sigue el
procesamiento, donde se usan todas las teorías respecto a las
propiedades y elementos constituyentes; finalmente, se realiza la etapa de
post-procesamiento que son los resultados obtenidos por los programas
usados por diversos autores tales como respuestas estructurales.
16. Las deflexiones diferidas juegan un rol fundamental en el cálculo
estructural ya que al no ser calculadas correctamente, no se considera una
contraflecha que ajuste a la demanda real. En efecto, al no considerar
dicha contraflecha, la estructura puede resultar en deformaciones
permanentes de tipo irreversible lo que conlleva a una distribución de
esfuerzos internos que no han sido previstos en el diseño estructural. En
obra, las contraflechas aseguran el correcto orden y procedimiento de la
puesta en marcha de los diferentes elementos estructurales, en tal sentido,
si la estructura se deflecta los elementos que han sido proyectados no
coinciden con la geometría real, dando posible replanteos en obras o hasta
inclusive el colapso de la misma. Es de suma importancia que las vigas de
sección compuesta u otros elementos que consideren el concreto como
material de construcción, el correcto cálculo de lo mismo.
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8.2 RECOMENDACIONES
1. Se sugiere desarrollar esta línea de investigación del referido tema de
trabajo tanto analíticamente y experimentalmente con el objetivo de
desarrollar un lineamiento preciso y conciso para la aplicación directa en
problemas de ingeniería, teniendo como principal objetivo: la formulación
de una mejor normativa actual.
2. El cálculo, control y verificación de deflexiones para secciones de tipo
compuesta debe ser más exhaustivo, considerando el estado lineal y no
lineal de los elementos estructurales debido a que son aplicados en el
campo de los puentes, por tanto, las estructuras son de suma importancia
a nivel económico y social.
3. El análisis no lineal dependiente en el tiempo debe ser empleado más en
ingeniería, ya que, gracias a las nuevas tecnologías se obtienen resultados
más precisos y más reales respecto a los métodos convencionales que
aplica la teoría lineal-elástica.
4. El sistema de construcción debe seguirse adecuadamente porque las
deflexiones dependen de las cargas durante el proceso de construcción
(apuntalamiento); consecuentemente, estas tienden a aumentar
gradualmente durante el tiempo, se recomienda verificar esfuerzos durante
las fases de construcción.
5. El grado de interacción parcial entre la viga y la losa de concreto debe ser
considerado en el proceso de diseño por la existencia de los conectores
de corte en la sección transversal. Además, al considerar los conectores,
se considera las propiedades lineales y no lineales del mismo, lo que
promueve a una mejor aproximación real.
6. La elaboración de modelos en 3D, aplicando diferentes teorías de
linealidad y no linealidad ayuda en el entendimiento del comportamiento
de la viga de sección compuesta en forma real para diferentes tipos de
sistemas estructurales. Se recomienda estudiar las propiedades de los
materiales constituyentes en diferentes sistemas de construcción para un
mejor análisis estructural.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
DEFLEXIONES DIFERIDAS EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA DE CONCRETO Y ACERO Bachiller Rocio Maldonado, Yordan Alberto 193
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA ANEXOS FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
DEFLEXIONES DIFERIDAS EN VIGAS DE SECCIÓN COMPUESTA DE CONCRETO Y ACERO Bachiller Rocio Maldonado, Yordan Alberto 203
ANEXOS
BS EN 1994-1-1:2004 EN 1994-1-1:2004 (E)
7.2.2 Stress limitation for buildings
(1) Stress limitation is not required for bemns if, in the ultinlate lilnit state, no verification of fatigue is required and no pre-stressing by tendons and/or by controlled in1posed deforl11ations (e.g. jacking of supports) is provided.
(2) For composite colmnns in buildings nonnally no stress limitation is required.
(3) If required, the stress 1in1itatiol1s for concrete and reinforcelnent given in EN 1992-1-1, 7.2 apply.
7.3 Deformations in buildings
7.3.1 Deflections
(1) Deflections due to loading applied to the steel melnber alone should be calculated in accordance with EN 1993-1-1.
(2) Deflections due to loading applied to the con1posite ll1eInber should be calculated using elastic analysis in accordance with Section 5.
(3) The reference level for the sagging vertical deflection ~llax of un-propped beanls is the upperside of the composite beam. Only where the deflection can inlpair the appearance of the building should the underside of the bealn be taken as reference level.
(4) The effects of incomplete interaction may be ignored provided that:
a) the design of the shear connection is in accordance with 6.6,
b) either not less shear connectors are used than half the nunlber for full shear connection, or the forces resulting fron1 an elastic behaviour and which act on the shear connectors in the serviceability limit state do not exceed PRd and
c) in case of a ribbed slab with ribs transverse to the bemn, the height of the ribs does not exceed 80 Innl.
(5) The effect of cracking of concrete in hogging Inoment regions on the deflection should be taken into account by adopting the nlethods of analysis given in 5.4.2.3.
(6) For beams with critical sections in Classes 1, 2 or 3 the following sinlplified method may be used. At every internal support where O"ct exceeds 1,5 fc'm or 1,5 '/Ictm as appropriate, the bending moment determined by un-cracked analysis defined in 5.4.2.3(2) is nlultiplied by the reduction factor.li given in Figure 7.1, and conesponding increases are Inade to the bending nloments in adjacent spans. Curve A nlay be used for internal spans only, when the loadings per unit length on all spans are equal and the lengths of all spans do not differ by more than 250/0. Otherwise the approxinlate lower bound value}! 0.6 (line B) should be used.
(7) For the calculation of deflection of un-propped bealns, account nlay be taken of the influence of local yielding of structural steel over a support by n1ultiplying the bending 1110nlent at the support, determined according to the nlethods given in this clause, with an additional reduction factor as follows:
12 = 0,5
. 12 0,7
ifi;' is reached before the concrete slab has hardened;
if.,t;, is reached after concrete bas hardened .
85
BS EN 1994-1-1:2004 EN 1994-1-1:2004 (E)
This applies for the detennination of the maximunl deflection but not for pre-camber. f1
-0,35
1,O-i----. 2: 0,6
A
0,6 -I-----!-........ ------"'I""'""'-B
2 3
Figure 7.1 : Reduction factor for the bending moment at supports
(8) Unless specifically required by the client, the effect of curvature due to shrinkage of normal weight concrete need not be included when the ratio of span to overall depth of the beatn is not greater than 20.
7.3.2 Vibration
(1) The dynanlic properties of floor beanls should satisfy the criteria in EN 1990, A 1.4.4.
7.4 Cracking of concrete
7.4.1 General
(1) For the lilnitation of crack width, the general considerations of EN 1992-1-1, 7.3.1 (1) (9) apply to composite structures. The limitation of crack width depends on the exposure classes according to EN 1992-1-1, 4.
(2) An estilnation of crack width can be obtained fron1 EN 1992-1-1,7.3.4, where the stress OS
should be calculated by taking into account the effects of tension stiffening. Unless a n10re precise nlethod is used, Us Inay be detennined according to 7.4.3(3).
(3) As a sinlplified and conservative alternative, crack width limitation to acceptable width can be achieved by ensuring a n1ininlUJTI reinforcenlent defined in 7.4.2, and bar spacing or diameters not exceeding the limits defined in 7.4.3.
(4) In cases where beanlS in buildings are designed as sinlply supported although the slab is continuous and the control of crack width is of no interest, the longitudinal reinforcelnent provided within the effective width of the concrete slab according to 6.1.2 should be not less than:
0,4 % of the area of the concrete, for propped construction;
0,2 % of the area of concrete, for un-propped construction.
The reinforcement in the beam designed as sill1ply-supported should extend over a length of 0,25L each side of an intenlal support, or 0,5L adjacent to a cantilever, where L is the length of the relevant span or the length of the cantilever respective1y. No account should be taken of any profiled steel sheeting. The 111axinlUlTI spacing of the bars should be in accordance with 9.2.1(5) for a conlposite slab, or with EN 1992-1-1, 9.3.1.1(3) for a solid concrete flange.
86
BS 5950-3.1:1990
© BSI 02-1999 27
Section 6. Composite beams: serviceability
6.1 Deflections6.1.1 General
Deflections should be determined under serviceability loads (see 2.4.1).For unpropped construction the imposed load deflection should be based on the properties of the composite section but the dead load deflection, due to the self weight of the steel beam and the concrete flange, should be based on the properties of the steel beam.For propped construction all deflections should be based on the properties of the composite section.When calculating deflections, the behaviour of composite beams should be taken as linear elastic, except for the redistribution of moments recommended in 6.1.3 and the increased deflections for partial shear connection recommended in 6.1.4.
6.1.2 Simply supported beams
Deflections of simply supported composite beams should be calculated using the properties of the gross uncracked section described in 4.2.2.NOTE For steel beams with equal flanges, the second moment of area of the gross uncracked composite section may be calculated from the formula given in B.3.1.
6.1.3 Continuous beams
6.1.3.1 General. For continuous beams, the imposed load deflections should allow for the effects of pattern loading. Where design at the ultimate limit state is based on plastic global analysis or on an analysis involving significant redistribution of support moments, the effects of shakedown on deflections should also be included in the imposed load deflections.As an alternative to rigorous analysis, the methods given in 6.1.3.2 to 6.1.3.5 may be used to allow for the effects of pattern loading and shakedown by modifying the initial support moments.6.1.3.2 Allowance for pattern loading. The initial moments at each support should be determined for the case of unfactored imposed load on all spans. Reductions should then be made to these initial support moments (except adjacent to cantilevers) to allow for pattern loading, as follows:
for normal loading: 30%for storage loading: 50%
6.1.3.3 Allowance for shakedown effects. Allowance should be made for the effects of shakedown if the beam has been designed for the ultimate limit state using:
plastic global analysis (see 5.2.4 and D.3);
elastic global analysis, using the properties of the gross uncracked section (see 5.2.3.1) with redistribution exceeding 40 %;elastic global analysis, using the properties of the cracked section (see D.2) with redistribution exceeding 20 %.
The support moments should be determined, without any redistribution, for the following combination of unfactored loads:
for normal loading: dead load plus 80 % of imposed load; for storage loading: dead load plus 100 % of imposed load.
Where these support moments exceed the plastic moment capacity of the section for negative moments, the excess moments should be taken as the moments due to shakedown.The deflections produced by these shakedown moments should be added to the imposed load deflections. This should be done by further reducing the calculated support moments due to imposed loading, by values equal to the shakedown moments, in addition to the reductions for the effects of pattern loading given in 6.1.3.2.6.1.3.4 Calculation of moments. The support moments required in 6.1.3.2 and 6.1.3.3 should be based on an analysis using the properties of the gross uncracked section throughout. Alternatively, provided the conditions given in 5.2.2 for the simplified method are satisfied, the support moments may be taken as follows:
two-span beam: WL/8; first support in a multi-span beam: WL/10 other internal supports: WL/14.
In these expressions, W is the appropriate unfactored load on the span L. Where the spans each side of a support differ, the mean of the values of WL. for the two adjacent spans should be used.6.1.3.5 Calculation of deflections. The imposed load deflection in each span should be based on the loads applied to the span and the support moments for that span, modified as recommended to allow for pattern loading and shakedown effects. Provided that the steel beam is of uniform section without any haunches, the properties of the gross uncracked composite section should be used throughout.The dead load deflections should be based on an elastic analysis of the beam. For unpropped construction, the properties of the steel beam should be used. For propped construction, the properties of the gross uncracked composite section should be used.
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BS 5950-3.1:1990
28 © BSI 02-1999
For continuous beams under uniform load or symmetric point loads, the deflection d c at mid-span may be determined from the expression:
wheredo is the deflection of a simply supported beam for the same loading; Mo is the maximum moment in the simply supported beam; M1 and M2 are the moments at the adjacent supports (modified as appropriate).
6.1.4 Partial shear connection
The increased deflection under serviceability loads (see 2.4.1) arising from partial shear connection should be determined from the following expressions: for propped construction
for unpropped construction
whereds is the deflection for the steel beam acting alone; dc is the deflection of a composite beam with full shear connection for the same loading.
For continuous beams, the same formulae apply, but ds and dc refer to the deflection of the continuous beam, dc being calculated as recommended in 6.1.3.
6.2 Irreversible deformationIn continuous beams, the sagging moments in each span should be increased as necessary to maintain equilibrium with the applied loads, allowing for the reductions in the support moments recommended in 6.1 to allow for the effects of pattern loading and shakedown.
Stresses in simply supported beams and cantilevers and the mid-span regions of continuous beams, under the serviceability loads given in 2.4.1, should not exceed the limits given in 2.4.3. It is not necessary to modify the elastic section modulus to take into account partial shear connection at the serviceability limit state.NOTE For composite beams in which the steel beam has equal flanges, the section modulus of the composite section may be calculated from the formulae given in B.4.
6.3 CrackingWhere it is required to limit the crack width, reference should be made to BS 8110.Where environmental conditions will not give rise to corrosion, such as in heated office buildings, it is not normally necessary to check crack widths, even where the composite beams are designed as simply supported, provided that the concrete flange slab is reinforced as recommended in BS 5950-4 or BS 8110 as appropriate.NOTE In such cases crack widths may be outside the limits given in BS 8110, but experience has shown that no durability problems arise.In cases of exposure to adverse environmental conditions (such as floors in car-parking structures or roofs generally) additional reinforcement in the concrete flange over the beam supports may be required to control cracking and the relevant clauses in BS 8110 should be referred to.To avoid visible cracks where hard finishes are used, the use of crack control joints in the finishes should be considered.
6.4 VibrationsWhere vibration may cause discomfort to the occupants of a building or damage to its contents, the response of long-span composite floors should be considered. If necessary reference should be made to specialist literature.NOTE For further guidance, reference may be made to SCI Publication 076 “Design Guide on the Vibration of Floors”.4)
dc do 1 0.6–( ) M1 M2+( )/M0( )=
d dc 0.5+ 1 Na Np⁄–( ) ds dc–( )=
d dc 0.3+ 1 Na Np⁄–( ) ds dc–( )=
4) Available from The Steel Construction Institute, Silwood Part, Buckhurst Road, Ascot, Berks, SL5 7QN.
Lice
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y: P
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Ms.
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ti, P
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c) B
SI
69
9.6.2.5 A menos que se haga un análisis más completo, la deflexión diferida o adicional en el tiempo,
resultante del flujo plástico del concreto y de la retracción de los elementos en flexión, podrá estimarse multiplicando la deflexión inmediata causada por las cargas sostenidas (carga muerta
y la porción de carga viva que se prevé actuará permanentemente) por el factor .
1 50 '
(9-15)
donde ′ es la cuantía del acero en compresión calculado en la mitad de la luz para tramos
simples y continuos y en el punto de apoyo para voladizos. Puede tomarse , el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas, igual a:
5 años o más ........................................................................................................ 2,0 12 meses............................................................................................................... 1,4 6 meses ...............................................................………………….………………. ..1,2 3 meses ................................................................................................................ 1,0
Para otras duraciones de las cargas sostenidas, se podrá usar el gráfico a que se presenta a continuación.
9.6.2.6 La deflexión calculada de acuerdo con 9.6.2.2 a 9.6.2.5 no debe exceder los límites
establecidos en la Tabla 9.2
Fig. 9.6.2.5 Factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas.
Duración de la carga (meses)
PROYECTO DE LA NTE E.090 ESTRUCTURAS METÁLICAS 03-09-2015
174
CAPÍTULO 12
DISEÑO PARA CONDICIONES DE SERVICIO
Este Capítulo provee recomendaciones de diseño para condiciones de servicio.
El capítulo está organizado de la siguiente manera:
12.1 General
12.2 Contraflecha
12.3 Deflexiones
12.4 Desplazamientos laterales
12.5 Vibraciones
12.6 Movimiento inducido por el viento
12.7 Expansión y contracción
12.8 Deslizamiento en las conexiones
12.1 GENERAL
Condición de Servicio es un estado en el que la función de la edificación, su
apariencia, su facilidad para darle mantenimiento, su durabilidad y la comodidad
de su uso por parte de sus ocupantes, se conservan bajo condiciones de uso
normal. Los valores límites de comportamiento estructural para asegurar las
condiciones de servicio (deflexiones máximas, vibraciones excesivas, etc.)
deben escogerse en función del uso de la estructura. Las condiciones de servicio
deberán evaluarse usando la combinación de cargas apropiada, listadas en
(1.4-7) al (1.4-11), para el estado límite de servicio identificado.
12.2 CONTRAFLECHA
Deben considerarse contraflechas cuando las deflexiones por cargas
permanentes, uso normal, son un problema para las condiciones de servicio. Se
recomienda que el valor de la contraflecha sea calculado a partir de las cargas
permanentes. La magnitud, dirección y ubicación de las contraflechas deberán
indicarse en los planos de diseño.
Las vigas y armaduras detalladas sin especificaciones de contraflecha deberán
fabricarse para que después del montaje, cualquier deflexión debido al rolado o
ensamble en taller quede en sentido ascendente. Si la contraflecha implica el
montaje de cualquier elemento con una precarga, esto deberá indicarse en los
planos de diseño.
12.3 DEFLEXIONES
Las deflexiones en elementos y sistemas estructurales debido a cargas de servicio
no deben afectar las condiciones de servicio de la estructura.
209R-4 ACI COMMITTEE REPORT
results, since the concrete initial modulus of elasticity,Eli, must be included, that is:
loading conditions similar to those expected in the field.It is difficult to test for most of the variables involved in
V* = S*E,i
This is seen from the relations:
one specific structure. Therefore, data from standard test(1-1) conditions used in connection with the equations recom-
mended in this chapter may be used to obtain a moreaccurate prediction of the material response in the
Creep strain = Q S,structure than the one given by the parameters recom-mended in this chapter.
=E Ei vt, a n d Occasionally, it is more desirable to use materialJ%i = u,ei parameters corresponding to a given probability or to use
where, u is the applied constant stress and ei is the in-upper and lower bound parameters based on the expect-
stantaneous strain.ed loading and envionmental conditions. This prediction
The choice of either of S, or vt is a matter of con-will provide a range of expected variations in the re-
venience depending on whether it is desired to apply thesponse rather than an average response. However, prob-
creep factor to stress or strain. The use of v, is usuallyabilistic methods are not within the scope of this report.
* The importance of considering appropriate water con-more convenient for calculation of deflections and pre-
- tent, temperature. and loading histories in predicting
stressing losses.1.3.3 Relaxation
concrete response parameters cannot be overemphasized.The differences between field measurements and the pre-
Relaxation is the gradual reduction of stress with time
under sustained strain. A sustained strain produces andicted deformations or stresses are mostly due to the lackof correlation between the assumed and the actual his-
initial stress at time of application and a deferred neg-ative (deductive)decreasing rate.89
tories for water content, temperature, and loading.stress increasing with time at a
2.2-Strength and elastic properties1.3.4 Modulus of elasticityThe static modulus of elasticity (secant modulus) is the
2.2.1 Concrete compressive strength versus time
linearized instantaneous (1 to 5 minutes) stress-strainA study of concrete strength versus time for the data
of References 1-6 indicates an appropriate general equa-relationship. It is determined as the slope of the secantdrawn from the origin to a point corresponding to 0.45
tion in the form of E . (2-l) for predicting compressivestrength at any time.64 -=-” **
f,’ on the stress-strain curve, or as in A STM C 469.1.3.5 Contraction and expansionConcrete contraction or expansion is the algebraic sum
KY = & u”,‘)28 (2-1)
of volume changes occurring as the result of thermal var-iations caused by heat of hydration of cement and by
where g in days and ~3 are constants, &‘)z8 = 28-day
ambient temperature change. The net volume change isstrength and t in days is the age of concrete.
Compressive strength is determined in accordance witha function of the constituents in the concrete. ASTM C 39 from 6 x 12 in. (152 x 305 mm) standard cyl-
indrical specimens, made and cured in accordance withASTM C 192.
CHAPTER 2-MATERIAL RESPONSE Equation (2-1) can be transformed into
2.1-IntroductionThe procedures used to predict the effects of time-
K>* = (2-2)
dependent concrete volume changes in Chapters 3,4, and5 depend on the prediction of the material response
where a/$? is age of concrete in days at which one half of
parameters; i.e., strength, elastic modulus, creep, shrink-the ultimate (in time) compressive strength of concrete,
age and coefficient of thermal expansion.df,‘), is reached.g2
The equations recommended in this chapter are sim-T h e ranges of g andp in Eqs. (2-l) and (2-2) for the
plified expressions representing average laboratory datanormal weight, sand lightweight, and all lighweight con-
obtained under steady environmental and loading con-cretes (using both moist and steam curing, and Types I
ditions. They may be used if specific material responseand III cement) given in References 6 and 7 (some 88specimens) are: a = 0.05 to 9.25, fi = 0.67 to 0.98.
parameters are not available for local materials andenvironmental conditions.
The constants a andfl are functions of both the type
Experimental determination of the response para-of cement used and the type of curing employed. The use
meters using the standard referenced throughout thisof normal weight, sand lighweight, or all-lightweight
egate does not appear to affect these constantsreport and listed in Section 2.10 is recommended if an significantly. Typical values recommended in Referencesaccurate prediction of structural service response is 7 are given in Table 2.2.1. Values for the time-ratio,desired. No prediction method can yield better resultsthan testing actual materials under environmental and
~~‘)*f~~‘)~~ or ~~I)~/~=‘),/~~‘~~ in Eqs. (2-l) and (2-2) aregiven also in Table 2.2.1.
PREDICTION OF CREEP 209R-5
"Moist cured conditions" refer to those in ASTM C132 and C 511. Temperatures other than 73.4 f 3 F (23f 1.7 C) and relative humidities less than 35 percent mayresult in values different than those predicted when usingthe constant on Table 2.2.1 for moist curing. T h e effectof concrete temperature on the compressive and flexuralstrength development of normal weight concr etes madewith different types of cement with and withoutaccelerating admixtures at various temperatures between25 F (-3.9 C)}and 120 F (48.9 ( C) were studied in Ref-erence 90.Constants in Table 2.2.1 are not applicable to con-cretes, such as mass concrete, containing Type II or TypeV cements or containing blends of portland cement andpozzolanic materials. In those cases, strength gains areslower and may continue over periods well beyond oneyear age.
“Steam cured” means curing with saturated steam atatmospheric pressure at temperatures below 212 F (100C) .
Experimental data from References 1-6 are comparedin Reference 7 and all these data fall within about 20percent of the average values given by Eqs. (2-l) and(2-2) for cons tan t s n and /? in Table 2.2.1. The tem-perature and cycle employed in steam curing may sub-stantially affect the strength-time ratio in the early daysfollowing curing.1*7
2.2.2 Modulus of rupture, direct tensile strength andmodulus of elasticity
Eqs. (2-3), (2-4),and (2-5) are considered satisfactoryin most cases for computing average values for modulusof rupture, f,, direct tensile strength, ft’, and secant mod-ulus of elasticity at 0.4(f,‘),, E,, respectively of differentweight concretes.1~4-12
f, = & MfJ,l” (2-3)
fi’ = gt MfN” (2-4)
E,, = &t ~w30c,‘M” (2-5)
For the unit weight of concrete, w in pcf and the com-pressive strength, (fc’)t in psi
gr = 0.60 to 1.00 (a conservative value of g,. = 0.60may be used, although a value g, = 0.60 to0.70 is more realistic in most cases)
gt = ‘/3&t = 33
For w in Kg/m3 and (fc’)f in MPa
& = 0.012 to 0.021 (a conservative value of gr =0.012 may be used, although a value of g, =0.013 to 0.014 is more realistic in most cases)
& = 0.0069gct = 0.043
The modulus of rupture depends on the shape of thetension zone and loading conditions E q . (2-3) corres-ponds to a 6 x 6 in. (150 x 150 mm) cross section as inASTM C 78, Where much o f the tension zone is remotef r o m the neutral axis as in the c a s e of large box girdersor large I-beams, the modulus of rupture approaches thedirect tensile strength.
Eq. (2-5) was developed by Puuw” and is used in Sub-section 8.5.1 of Reference 27. The static modulus of e-lasticity is determined experimentally in accordance withA S T M C 649.
The modulus of elasticity of concrete, as commonlyunderstood is not the truly instantaneous modulus, buta modulus which corresponds to loads of one to fiveminutes duratiavl.86
The principal variables that affect creep and shrinkageare discussed in detail in References 3, 6, 13-16, and aresummarized in Table 2.2.2. The design approach pre-sent&*’ for predicting creep and shrinkage: refers to``standard conditions”and correction factors for otherthan Standard conditions. This approach has also beenused in References 3, 7, 17, and 83.
Based largely on information from References 3-6, 13,15, 18-21, the following general procedure is suggestedfor predicting creep and shrinkage of concrete at anytime.7
tJrvt= d+p”U (2-6)
(2-7)
where d and f (in days), @ and a are considered con-stants for a given member shape and size which definethe time-ratio part, v,, is the ultimate creep coefficientdefined as ratio of creep strain to initial strain, (es& isthe ultimate shrinkage strain, and t is the time afterloading in Eq. (2-6) and time from the end of the initialcuring in Eq. (2-7).
When @ and QI are equal to 1.0, these equations arethe familiar hyperbolic equations of Ross” and Lorman2’in slightly different form.
The form of these equations is thought to be conven-ient for design purposes, in which the concept of theultimate (in time) value is modified by the time-ratio toyield the desired result. The increase in creep after, say,100 to 200 days is usually more pronounced than shrink-age. In percent of the ultimate value, shrinkage usuallyincreases more rapidly during the first few months. Ap-propriate powers of t in Eqs. (2-6) and (2-7) were foundin References 6 and 7 to be 1.0 for shrinkage (flatterhyperbolic form) and 0.60 for creep (steeper curve for
209R-6 ACI COMMlTTEE REPORT
larger values of t). This can be seen in Fig. (2-3) and(2-4) of Reference 7.
Values of q, d, vu,, a,f, and ~QJ~ can be determinedby fitting the data obtained from tests performed inaccordance to ASTM C 512.
Normal ranges of the constants in Eqs. (2-6) and (2-7)were found to be?’
@ = 0.40 to 0.80,d = 6 to 30 days,VU = 1.30 to 4.15,
f”= 0.90 to 1.10,= 20 to 130 days,
WU = 415 x 10” to 1070 x 10m6 in./in. (m/m)
These constants are based on the standard conditionsin Table 2.2.2 for the normal weight, sand lightweight,and all lightweight concretes, using both moist and steamcuring, and Types I and III cement as in References 3-6,13, 15, 18-20, 23, 24.
Eqs. (2-8), (2-9),, and (2-10) represent the averagevalues for these data. These equations were comparedwith the data (120 creep and 95 shrinkage specimens) inReference 7. The constants in the equations were deter-mined on the basis of the best fit for all data individually.The average-value curves were then determined by firstobtaining the average of the normal weight, sand light-weight, and all lightweight concrete data separately, andthen averaging these three curves. The constants v, and(E,h), recommended in References 7 and 96 were approx-imately the same as the overall numerical averages, thatis vu-6= 2.35 was recommended versus 2.36; (‘Q.J~ = 800x 10 in./in. (m/m) versus 803 x lOA for moist cured con-crete, and 730 x lOA versus 788 x 10e6 for steam curedconcrete.
The creepsurements7,18
and shrinkage data, based on 20-year mea-for normal weight concrete with an initial
time of 28 days, are roughly comparable with Eqs. (2-8)to (2-10). Some differences are to be found because ofthe different initial times, stress levels, curing conditions,and other variables.
However, subsequent work” with 479 creep datapoints and 356 shrinkage data points resulted in the sameaverage for v, = 2.35, but a new average for (EJ, =780 x 10-6 in./in. (m/m), for both moist and steam curedconcrete. It was found that no consistent distinction inthe ultimate shrinkage strain was apparent for moist andsteam cured concrete, even though different time-ratioterms and starting times were used.
The procedure using Eqs. (2-8) to (2-10) has also beenindependently evaluated and recommended in Reference60, in which a comprehensive experimental study wasmade of the various parameters and correction factorsfor different weight concrete.
No consistent variation was found between the dif-ferent weight concretes for either creep or shrinkage. Itwas noted in the development of Eq. (2-8) that moreconsistent results were found for the creep variable in the
form of the creep coefficient, vI (ratio of creep strain toinitial strain), as compared to creep strain per unit stress,S,. This is because the effect of concrete stiffness is in-cluded by means of the initial strain.
2.4-Recommended creep and shrinkage equations forstandard conditions
Equations (2-8), (2-9),, and (2-10) are recommendedfor predicting a creep coefficient and an unrestrainedshrinkage strain at any time, including ultimate values.6-7
They apply to normal weight, sand lightweight, and alllightweight concrete (using both moist and steam curing,and Types I and III cement) under the standard condi-tions summarized in Table 2.2.2.
Values of v, and CQ)~ need to be modified by thecorrection factors in Sections 2.5 and 2.6 for conditionsother than the standard conditions.
Creep coefficient, v1 for a loading age of 7 days, formoist cured concrete and for 1-3 days steam cured con-crete, is given by Eq. (2-8).
*0.60VI =
10 + tO*@ vu(2-8)
Shrinkage after age 7 days for moist cured concrete:
(2-9)
Shrinkage after age 1-3 days for steam cured concrete:
(2-10)
In Eq. (2-8), t is time in days after loading. In Eqs.(2-9) and (2-l0), t is the time after shrinkage is con-sidered, that is, after the end of the initial wet curing.
In the absence of specific creep and shrinkage data forlocal aggregates and conditions, the average values sug-gested for v, and CQ), are:
vzl = 2.35~~ a n d
kh), = 78Oy& x 10m6 in./in., (m/m)
where yc and y& represent the product of the applicablecorrection factors as defined in Sections 2.5 and 2.6 byEquations (2-12) through (2-30).
These values correspond to reasonably well shapedaggregates graded within limits of ASTM C 33. Aggre-gates affect creep and shrinkage principally because theyinfluence the total amount of cement-water paste in theconcrete.
The time-ratio part, [right-hand side except for v, and(e&)U] of Eqs. (2-8), (2-9), and (2-l0), appears to beapplicable quite generally for design purposes. Valuesfrom the standard Eqs. (2-8) to (2-10) of vt/v, and
PREDICTION OF CREEP
(Q)~/(Q)~ are shown in Table 2.4.1. Note that v is usedin Eqs. (4-11), (4-20), and (4-22), hence, svJv, = us/vufor the age of the precast beam concrete at the slabcasting.
It has also been shownU that the time-ratio part ofEqs. (2-8) and (2-10) can be used to extrapolate 28-daycreep and shrinkage data determined experimentally inaccordance with ASTM C 512, to complete time curvesup to ultimate quite well for creep, and reasonably wellfor shrinkage for a wide variety of data. It should benoticed that the time-ratio in Eqs. (2-8) to (2-10) doesnot differentiate between basic and drying creep norbetween drying autogenous and carbonation shrinkage.Also, it is independent of member shape and size,because d, f, q, and cy are considered as constant in Eqs.(2-8), (2-9), and (2-10).
The shape and size effect can be totally considered onthe time-ratio, without the need for correction factors.That is, in terms of the shrinkage-half-time rsh, as givenby Eq. (2-35) by replacing t by t/rsh in Eq. (2-9) and byO.lt/~~~ in Eq. (2-8) as shown in 2.8.1. Also by taking @= a! = 1.0 and d = f = 26.0 [exp 0.36(+)] in Eqs. (2-6)and (2-7) as in Reference 23, where v/s is the volume tosurface ratio, in inches. For v/s in mm use d = f = 26.0exp [ 1.42 x lo-* (v/s)].
References 61, 89, 92, 98 and 101 consider the effectof the shape and size on both the time-ratio (time-dependent development) and on the coefficients affectingthe ultimate (in time) value of creep and shrinkaa e.
ACI Committee 209, Subcommittee I Report’% is re-commended for a detailed review of the effects ofconcrete constituents, environment and stress on time-dependent concrete deformations.
2.5-Correction factors for conditions other than thestandard concrete composition7
All correction factors, y, are applied to ultimatevalues. However, since creep and shrinkage for anyperiod in Eqs. (2-8) through (2-10) are linear functionsof the ultimate values, the correction factors in thisprocedure may be applied to short-term creep andshrinkage as well.
Correction factors other than those for concrete com-position in Eqs. (2-11) through (2-22) may be used inconjunction with the specific creep and shrinkage datafrom a concrete tested in accordance with ASTM C 512.
2.5.1 Loading ageFor loading ages later than 7 days for moist cured
concrete and later than l-3 days for steam cured con-crete, use Eqs. (2-11) and (2-12) for the creep correctionfactors.
Creep yell = 1.25(te,)-o*1’8 for moistcured concrete (2-11)
Creep yta = 1.13 (tpJ-o*o94 for steam curedconcrete (2-12)
where t,, is the loading age in days. Representative val-ues are shown in Table 2.51. Note that in Eqs. (4-11),(4-20), and (4-22), the Creep yea correction factor mustbe used when computing the ultimate creep coefficient ofthe present beam corresponding to the age when slab iscast, vus That is:
vu.Y = v, wreep Ye,)
2.5.2 Differential shrinkage
(2-13)
For shrinkage considered for other than 7 days formoist cured concrete and other than l-3 days for steamcured concrete, determine the difference in Eqs. (2-9)and (2-10) for any period starting after this time.
That is, the shrinkage strain between 28 days and 1year, would be equal to the 7 days to 1 year shrinkageminus the 7 days to 28 days shrinkage. In this examplefor moist cured concrete, the concrete is assumed to havebeen cured for 7 days. Shrinkage ycP factor as in 2.5.3below, is applicable to Eq. (2-9) for concrete moist curedduring a period other than 7 days.
2.5.3 Initial moist curingFor shrinkage of concrete moist cured during a period
of time other than 7 days, use the Shrinkage yCp factorin Table 2.5.3. This factor can be used to estimate differ-ential shrinkage in composite beams, for example.
Linear interpolation may be used between the valuesin Table 2.5.3.
2.5.4 Ambient relative humidityFor ambient relative humidity greater than 40 percent,
use Eqs. (2-14) through26age correction factors.7,
2-16) for the creep and shrink-y**
Creep YJ = 1.27 - O.O067R, for R > 40 (2-14)
Shrinkage y1 = 1.40 - 0.0102, for 40 5 R I 80(2-15)
= 3.00 - O.O30R, for 80 > R s 100(2-16)
where Iz is relative humidity in percent. Representativevalues are shown in Table 2.5.4.
The average value suggested for R. = 40 percent is
(E,h)U = 780 x 10m6 in./in. (m/m) in both Eqs. (2-9) and(2-10). From Eq. (2-15) of Table 2.5.4, for R = 70 per-cent, @JU = 0.70(780 x 106) = 546 x 10e6 in/in. (m/m),for example. For lower than 40 percent ambient relativehumidity, values higher than 1.0 shall be used for CreepyA and Shrinkage yl.
2.5.5 Average thickness of member other than 6 in. (150mm) or volume-surface ratio other than 1.5 in. (38 mm)
The member size effects on concrete creep and shrink-age is basically two-fold. First, it influences the time-ratio(see Equations 2-6,2-7,2-8,2-9,2-10 and 2-35). Second-ly, it also affects the ultimate creep coefficient, v, andthe ultimate shrinkage strain, (‘Q),.
Two methods are offered for estimating the effect of
209R-8 ACI COMMITTEE REPORT
member size on v, and (‘,is,. The average-thicknessmethod tends to compute correction factor values thatare higher, as compared to the volume-surface ratiomethod,5g since Creep yh = Creep yVs = 1.00 for h = 6in. (150 mm) and v/s = 1.5 in. (38 mm), respectively; thatis, when h = 4v/s.
2.5.5.a Average-thickness methodThe method of treating the effect of member size in
terms of the average thickness is based on informationfrom References 3, 6, 7, 23 and 61.
For average thickness of member less than 6 in. (150mm), use the factors given in Table 2.5.5.1. These cor-respond to the CEB6’ values for small members. Foraverage thickness of members greater than 6 in. (150mm) and up to about 12 to 15 in. (300 to 380 mm), useEqs. (2-17) to (2-18) through (2-20).
During the first year after loading:
Creep yh = 1.14-0.023 h,
For ultimate values:
Creep yh = 1.10-0.017 h,
During the first year of drying:
Shrinkage yh = 1.23-0.038 h,
For ultimate values:
(2-17)
(2-18)
(2-19)
Shrinkage yh = 1.17-0.029 h, (2-20)
where h is the average thickness in inches of the part ofthe member under consideration.
During the first year after loading:
Creep yh = 1.14-0.00092 h,
For ultimate values:
Creep Yh = 1.10-0.00067 h,
During the first year after loading:
Shrinkage yh = 1.23-0.00015 h,
For ultimate values:
Shrinkage yh = 1.17-0.00114 h,
where h is in mm.
(2-17a)
(2-18a)
(2-19a)
(2-20a)
Representative values are shown in Table 2.5.5.1.2.5.5.b Volume-surface ratio method
The volume-surface ratio equations (2-21) and (2-22)were adapted from Reference 23.
Creep yvS = %[1+1.13 exp(-0.54 v/s)] (2-21)
Shrinkage yVs = 1.2 exp(-0.12 v/s) (2-22)
where v/s is the volume-surface ratio of the member ininches.
Creep yvS = %[1+1.13 exp(-0.0213 v/s)] (2-21a)
Shrinkage yvS = 1.2 exp(-0.00472 v/s) (2-22a)
where v/s in mm.Representative values are shown in Table 2.5.5.2.However, for either method ySh should not be taken
less than 0.2. Also, use ySh (‘qJu L 100 x 10” in./in.,(m/m) if concrete is under seasonal wetting and dryingcycles and Y& k/Ju 2 150 x 10m6 in./in. (m/m) if concreteis under sustained drying conditions.
2.5.6 Temperature other than 70 F (21 C)Temperature is the second major environmental factor
in creep and shrinkage. This effect is usually consideredto be less important than relative humidity since in moststructures the range of operating temperatures is sma11,68and high temperatures seldom affect the structuresduring long periods of time.
The effect of temperature changes on concrete creep6’and shrinkage is basically two-fold. First, they directlyinfluence the time ratio rate. Second, they also affect therate of aging of the concrete, i.e. the change of materialproperties due to progress of cement hydration. At 122F (50 C), creep strain is approximately two to three timesas great as at 68-75 F (19-24 C). From 122 to 212 F (50to 100 C) creep strain continues to increase with tem-perature, reaching four to six times that experienced atroom temperatures. Some studies have indicated an ap-parent creep rate maximum occurs between 122 and 176F (50 and 80 C).” There is little data establishing creeprates above 212 F (100 C). Additional information ontemperature effect on creep may be found in References68, 84, and 85.
2.6-Correction factors for concrete compositionEquations (2-23) through (2-30) are recommended for
use in obtaining correction factors for the effect ofslump, percent of fine aggregate, cement and air content.It should be noted that for slump less than 5 in. (130mm), fine aggregate percent between 40-60 percent,cement content of 470 to 750 lbs. per yd3 (279 to 445kg/m3) and air content less than 8 percent, these factorsare approximately equal to 1.0.
These correction factors shall be used only in con-nection with the average values suggested for v, = 2.35and @JU = 780 x 10m6 in./in. (m/m). As recommended in2.4, these average values for v, and &dU should be usedonly in the absence of specific creep and shrinkage datafor local aggregates and conditions determined in accord-ance with ASTM C 512.
If shrinkage is known for local aggregates and con-ditions, Eq. (2-31), as discussed in 2.6.5, is recommended.
The principal disadvantage of the concrete compo-sition correction factors is that concrete mix charac-teristics are unknown at the design stage and have to beestimated. Since these correction factors are normally notexcessive and tend to offset each other, in most cases,they may be neglected for design purposes.
2.6.1 Slump
Creep Ys = 0.82 + 0.067s
Shrinkage ys = 0.89 + 0.04ls
(2-23)
(2-24)
PREDICTION OF CREEP 209R-9
2.6.5 Shrinkage ratio of concretes with equivalent pastequality91
Shrinkage strain is primarily a function of the shrink-age characteristics of the cement paste and of the ag-gregate volume concentration. If the shrinkage strain ofa given mix has been determined, the ratio of shrinkagestrain of two mixes (QJ~/(E,~$~, with different content ofpaste but with equivalent paste quality is given in Eq.(2-31).
(% )PI 1 - (vJ”3-=(% A2 1 - (v2)U3
(2-31)
where v1 and v2 are the total aggregate solid volumes perunit volume of concrete for each one of the mixes.
where smm use:
is the observed slump in inches. For slump in
Creep YS = 0.82 + 0.00264s (2-23 a)
Shrinkage ys = 0.89 + 0.00161s (2-24a)
2.6.2 Fine aggregate percentage
Creep Y# = 0.88 + 0.0024@ (2-25)
For @ I 50 percent
Shrinkage yg = 0.30 + 0.014q (2-26)
For @ > 50 percent
Shrinkage = 0.90 + 0.002g (2-27)
where @ is the ratio of the fine aggregate to total aggre-gate by weight expressed as percentage.
2.6.3 Cement contentCement content has a negligible effect on creep co-
efficient. An increase in cement content causes a reducedcreep strain if water content is kept constant; however,data indicate that a proportional increase in modulus ofelasticity accompanies an increase in cement content.
If cement content is increased and water-cement ratiois kept constant, slump and creep will increase and Eq.(2-23) applies also.
Shrinkage y, = 0.75 + 0.00036c (2-28)
where c is the cement contentKg/m3,
in pounds perFor cement content in use:
cubic yard.
Shrinkage y= = 0.75 + 0.00061~ (2-28a)
2.6.4 Air content
Creep ya! = 0.46 + O.O9ar,but not less than 1.0 (2-29)
Shrinkage ya = 0.95 + 0.008~~ (2-30)
where LY is the air content in percent.
2.7-ExampleFind the creep coefficient and shrinkage strains at 28,
90, 180, and 365 days after the application of the load,assuming that the following information is known: 7 daysmoist cured concrete, age of loading tta = 28 days, 70percent ambient relative humidity, shrinkage consideredfrom 7 days, average thickness of member 8 in. (200mm), 2.5 in. slump (63 mm), 60 percent fine aggregate,752 lbs. of cement per yd3 (446 Kg/m3), and 7 percent aircontent.7 Also, find the differential shrinkage strain,(E,h)s for the period starting at 28 days after the appli-cation of the load, t,, = 56 days.
The applicable correction factors are summarized inTable 2.7.1. Therefore:
v, = (2.35)(0.710) = 1.67
(e& = (780 x 10-6)(0.68) = 530 x 1O-6
The results from the use of Eqs. (2-8) and (2-9) orTable 2.4.1 are shown in Table 2.7.2.
Notice that if correction factors for the concretecomposition are ignored for vt and (Q,J~, they will be 10and 4 percent smaller, respectively.
2.8-Other methods for predictions of creep and shrink-age
Other methods for prediction of creep and shrinkageare discussed in Reference 61, 68, 86, 87, 89, 93, 94, 95,97, and 98. Methods in References 97 and 98 subdividecreep strain into delayed elastic strain and plastic flow(two-component creep model). References 88, 89, 92, 99,100, 102, and 104 discuss the conceptual differences be-tween the current approaches to the formulation of thecreep laws. However, in dealing with any method, it isimportant to recall what is discussed in Sections 1.2 and2.1 of this report.
2.8.1 Remark on refined creep formulas needed forspecial structuresP3’94T95
.
The preceding formulation represents a compromisebetween accuracy and generality of application. More ac-curate formulas are possible but they are inevitably notas general.
209R-10 ACI COMMlTTEE REPORT
The time curve of creep given by Eq. (2-8) exhibits adecline of slope in log-t scale for long times. This prop-erty is correct for structures which are allowed to losetheir moisture and have cross sections which are not toomassive (6 to 12 in., 150 to 300 mm). Structures whichare insulated, or submerged in water, or are so massivethey cannot lose much of their moisture during theirlifetime, exhibit creep curves whose slope in log-t scale isnot decreasing at end, but steadily increasing. Forexample, if Eq. (2-8) were used for extrapolating short-time creep data for a nuclear reactor containment intolong times, the long-term creep values would be seriouslyunderestimated, possibly by as much as 50 percent asshown in Fig. 3 of Ref. 81.
It has been found that creep without moisture ex-change (basic creep) for any loadin
9described by Equation (2-33).86~80~83~gage tla is betterThis is called the
double power law.In Eq. (2-33) *I is a constant, and strain CF is the sum
of the instantaneous strain and creep strain caused byunit stress.
(2-33)
where l/E0 is a constant which indicates the lefthandasymptote of the creep curve when plotted in log t-scale(time t = 0 is at - 00 in this plot). The asymptotic valuel/E0 is beyond the range of validity of Eq. (2-33) andshould not be confused with elastic modulus. Suitablevalues of constants are @I = 0.97~~ and l/E0 = 0.84/E,,,being EC, the modulus of concrete which does not under-go drying. With these values, Eq. (2-33) and Eq. (2-8)give the same creep for t,, = 28 days, t = 10,000 daysand 100 percent relative humidity (m = 0.6), all othercorrection factors being taken as one.
Eq. (2-33) has further the advantage that it describesnot only the creep curves with their age dependence, butalso the age dependence of the elastic modulus EC, inabsence of drying. EC, is given by E = l/E,, for t = 0.001day, that is:
1 1 $1K = E, + K (0.001)1/8 (t&J-% (2-34)
Eq. (2-33) also yields the values of the dynamic modu-lus, which is given by c = l/Edyn when t = 10” days issubstituted. Since three constants are necessary to de-scribe the age dependence of elastic modulus (E,, @, andl/3), only one additional constant (i.e., l/s> is needed todescribe creep.
In case of drying, more accurate, but also more com-plicated, formulas may be obtainedg4 if the effect of crosssection size is expressed in terms of the shrinkage half-time, as given in Eq. (2-35) for the age td at which con-crete drying begins.
h*c Cl[ P--7sh = 6oo 150 (C,)=
where:
(2-35)
AT
T
To
W
characteristic thickness of the cross section,or twice the volume-surface ratio2 v/s in mm)
Drying diffusivity of the concrete (approx.10 mm/day if measurements are unavail-able)
age dependence coefficient
C,1,(0.05 + /iKqQ
z - 12, if C, < 7, set C, = 7if C, > 21, set C, = 21
coefficient depending on the shape of crosssection, that is:
1.00 for an infinite long slab1.15 for an infinite long cylinder1.25 for an infinite long square prism1.30 for a sphere1.55 for a cube
temperature coefficient
fexp(y -y)
concrete temperature in kelvin
reference temperature in kelvin
water content in kg/m3
By replacing t in Eq. (2-9) t/rsh, shrinkage is expressedwithout the need for the correction factor for size in Sec-tion 2.5.5.
The effect of drying on creep may then be expressedby adding two shrinkage-like functions vd and vP to thedouble power law for unit stress.g6 Function vd expressesthe additional creep during drying and function up, beingnegative, expresses the decrease of creep by loading afteran initial drying. The increase of creep during dryingarises about ten times slower than does shrinkage and sofunction vd is similar to shrinkage curve in Eq. (2-9) witht replaced by 0.1 t/Tsh in Eq. (2-8).
This automatically accounts also for the size effect,without the need for any size correction factor. The de-crease of creep rate due to drying manifests itself onlyvery late, after the end of moisture loss. This is apparentfrom the fact that function rsh is similar to shrinkagecurve in Eq. (2-9) with t replaced by 0.01 t/Tsh. Both vdand vP include multiplicative correction factors for rela-tive humidity, which are zero at 100 percent, and func-tion vd further includes a factor depending on the timelag from the beginning of drying exposure to the begin-ning of loading.
2.9-Thermal expansion coefficient of concrete