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7/25/2019 UNIVERSIDAD-NACIONAL-DEL-ALTIPLAN1p.docx

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTILANO PUNOFSICA - VECTORES

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA Y METALURGICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA GEOLOGICA

FISICA

VECTORES PROF: LIC. Ruth Achulli Ayala

INTEGRANTES:

Ancco ui!"# $o!# Ma%ani Ma%ani Saul Mi Mont#!ino! uincho F'#(y Pach#co Ma%ani A)#l

SEMESTRE: I *+,- II

GRUPO: /


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PUNO - PERU

VECTORES

INTRODUCCI0N

El estudio de los vectores es una parte del algebra vectorial y nos ayudara a explicar,

comprender y evaluar algunos fenmenos fsicos que requieren para su descripcin, del

uso de magnitudes vectoriales como el desplazamiento de un automvil, la velocidad de

su avin, la fuerza aplicada a un ladrillo, la cantidad de movimiento de una bola de

billar, la velocidad angular del eje de una casetera, etc.

La importancia que tienen los vectores para la fsica es que a travs de ellos se

representan las magnitudes vectoriales lo cual permite una mejor descripcin y

comprensin de los fenmenos fsicos. !or ejemplo, si una persona traslada un bloque

empuj"ndolo, sabemos que le ejerce fuerza a#ora surge la pregunta $%mo

representamos esta fuerza&

!ara ello #acemos uso de un vector que nos permitir" no solo representar la fuerza, sino

tambin establecer la forma en que act'a y, a partir de ello, los efectos que originara.

!or todo eso, los vectores son de enorme utilidad.

Es importante no confundir la magnitud vectorial con el vector que la representa, por

ejemplo, la fuerza es una magnitud vectorial que se representa mediante un vector y no

podemos decir que la fuerza sea un vector.


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VECTOR (n vector tiene tres caractersticas esenciales) mdulo, direccin y sentido. !ara que dos

vectores sean considerados iguales, deben tener igual mdulo, igual direccin e igual

sentido.

Los vectores se representan geomtricamente con flec#as y se le asigna por lo general

una letra que en su parte superior lleva una peque*a flec#a de izquierda a derec#a como

se muestra en la figura.

Ma1nitu( . Es el valor numrico con su respectiva unidad. Estas unidades son fsicastales como +e ton, Libras, m-s , /m-#, etc.

Di'#cci2n. Es un "ngulo que forma con el eje de la 0. 1i el "ngulo dado est" conrespecto a 2, debe restarse a 34 grados. En ocasiones un vector est" #orizontal o

vertical, en tales casos debe mencionarse como direccin el "ngulo que corresponde al

eje de coordenadas.


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S#nti(o. Es el punto cardinal #acia donde apunta el vector. Est" indicado por la puntade la flec#a. 31igno positivo que por lo general no se coloca, o un signo negativo5. +ocorresponde comparar el sentido de dos vectores que no tienen la misma direccin, de

modo que se #abla solamente de vectores con el mismo sentido o con sentido opuesto.

Un 4#cto' es un segmento orientado. (n vector 67 queda determinado por dos puntos,O'i1#n 6 y #5t'#%o7.

I1ual(a( (# 4#cto'#!: 8os vectores son iguales si tienen el mismo mdulo, direccin y1entido. 9odos ellos se llaman representantes de un 'nico vector. Llamaremos

:epresentante cannico a aquel vector que tiene por origen el punto ;.

8os vectores son iguales si tiene igual magnitud y direccin. 1in que necesariamente

empiece en el mismo tiempo o punto.


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8os vectores son opuestos si tienen la misma magnitud, direccin y opuesto el sentido.

Ma1nitu( #!cala' +, no poseemos toda la informacin, ya que #abr"que indicar #acia dnde se dirige dic#a fuerza.

?r"ficamente, las magnitudes vectoriales se representan por una flec#a, siendo la

longitud de esta flec#a proporcional al mdulo de la magnitud, y su direccin y sentido

los de la magnitud vectorial.

VECTOR LIGADO

%uando el origen del vector est" fijado =por ejemplo, una fuerza que se aplica en un

punto concreto y no otro5 se dice que tenemos un vector ligado.

VECTOR LI/RE


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1i podemos cambiar el origen del vector sin que afecte al significado fsico de ste

=como ocurre, por ejemplo, con el peso de un objeto5 se dice que tenemos un vector

libre.

OPERACIONES VECTORIALES:6l igual que los n'meros, los vectores pueden operarse entre s, a travs de la suma, la

resta, la multiplicacin por un escalar, la divisin por un escalar, producto punto y

producto cruz. Estos dos 'ltimos son propios de los vectores.

SUMA MANERA GEOM6TRICA:6l sumar dos vectores se obtiene otro vector =vector suma o resultante5. !ara

obtener el vector suma es necesario recurrir a lo que se conoce como @regla del

paralelogramoA. Esto es, se construye un paralelogramo que tenga los vectores

como lados y se traza la diagonal del mismo para obtener el vector suma.

1i queremos sumar A 7 / , se dibuja uno a continuacin del otro, traslad"ndolo. Elvector resultante es el que va desde el punto inicial del primer vector, #asta el trmino

del segundo vector.

E$EMPLOS DE MAGNITUDES

ESCALARES VECTORIALES

Magnitud Smbolo Magnitud Smbolo

Masa m Posicin

Tiempo t Veloci a

Tempe!a"#!a

T F#e!$a

Ene!%&a E Campoel'c"!ico


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%abe destacar que la suma es conmutativa es decir)

%uando se quiere sumar m"s de un vector, se procede de la misma forma anterior, pero

a#ora se colocan uno a continuacin del otro #asta el 'ltimo. Luego la recta que une el

inicio del primer vector con el trmino del 'ltimo es el vector resultante.

RESTA DE MANERA GEOM6TRICA:!ara la resta se procede de la misma forma que la suma, pero el vector que resta

se debe dibujar con sentido contrario, o sea el signo negativo cambia el sentido

del vector. Luego el vector resultante es el que va desde el punto inicial del

primer vector, #asta el final del vector que se le cambio el sentido. %abe

mencionar que la resta no es conmutativa

A / 8 3/ A9

A 7 / 8 / 7 A

A / 8 3/ A9

A / es distinto a / A


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B PRODUCTO POR UN ESCALAR:

Las ma%ni"# es (ec"o!iales p#e en m#l"iplica!se po!ma%ni"# es escala!es !es#l"an o #na n#e(a can"i a (ec"o!ial)As&* po! e+emplo* la ,#e!$a so !e #na ca!%a p#n"#al esp!opo!cional al campo el'c"!ico en el .#e se enc#en"!a

El resultado es un vector, la fuerza, que tiene por mdulo

!or direccin la misma del vector original, en este caso el campo elctrico, y por

sentido el mismo que el del vector si la magnitud escalar, la carga en este caso, es

positiva y opuesto si es negativa.

Las dimensiones del producto de un escalar por un vector son las del escalar

multiplicadas por las del vector. 6s, por ejemplo, de la segunda ley de +e ton

PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar entre dos magnitudes vectoriales es una %a1nitu( #!cala' , definidacomo el producto de sus mdulos por el coseno del "ngulo que forman, C. 6s, para la

potencia desarrollada sobre una partcula.

El producto escalar da como resultado una cantidad positiva o negativa seg'n el "ngulo

que formen los dos vectores. Es positivo si el "ngulo es agudo, negativo si es obtuso, y

nulo si los dos vectores son ortogonales.


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PRODUCTO VECTORIAL

8ados dos magnitudes, y, que forman un "ngulo D, podemos construir una nueva

magnitud como el "'o(ucto 4#cto'ial de estas dosEsta magnitud es tambin vectorial

DO/LE PRODUCTO VECTORIAL

9res vectores se pueden multiplicar sucesivamente de forma vectorial, obtenindoseel doble producto vectorial , cuya expresin puede demostrarse que es equivalente a

;bsrvese que el resultado del doble producto vectorial contiene un trmino en la

direccin de y otro en la direccin de . 1e encuentra contenido por tanto en el planodefinido por estos dos vectores.

1i agrupamos de otra forma los vectores obtenemos la relacin similar, pero no idntica

.


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:estando estas dos ecuaciones y operando con las propiedades del producto vectorial sellega a la identidad de acobi.

FORMULAS:

A= VECTOR

A 8 %a1nitu( %o(ulo o int#n!i(a(

[ A ] 8 ,

8EFG+G86)

VECTORES EN EL PLANO:

8escomponer) A= Axi+ Ayj

A= A A

A= Acosi + Asenj


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Ma1nitu(: (i'#cci2n:

VECTORES EN EL ESPACIO

8nde) cos , Acos , Acos = cosenosdirectores

%uyo) cos + Acos + Acos = 1

Ma1nitu(:

Di'#cci2n:"ngulos directores en R3

.

Tg =

Ay

Ax

A= Ax2 + Ay2

A= cos i + Acos j+ Acos k

A= Ax2

+ Ay2

+ Az2

Ax= Acos

Ay = Acos


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B LEY DE COSENOS: magnitud.

B LEY DE SENOS: direccin.

PRODUCTO ESCALAR:

PRODUCTO VECTORIAL:

8efinicin vectorial)

!roducto triple)

S= A2 + B2 2 ABcos

Ssen

= A

sen=

Bsen

A .B= A . Bcos

A X B= ABsen .

A X B= [i j k x y z!x !y !z ]| A .(! x c )|= |x y z!x !y !zcx cy cz|


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APLICACI0N EN LA CARRERA

1.-

Dado el vector = (2, 1), determinar dos vectores

equipolentes a , , sabiendo que A(1, 3) y D(2, ) .

.B !alcula el valor de " sabiendo que el m#dulo del vector =(", 3) es $.


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>.B %i es un vector de componentes (3, &), 'a l lar un vectorunitario de su misma direcci#n y sentido.

H.B Dados los v rt ices de un tri n*ulo A(1, 2), +(3, &) y !(1,) , 'a l lar las coordenadas del baricentro.

I.B a l lar las coordenadas del punto ! , sabiendo que +(2, 2)es el punto medio de A!, A(3, 1).

I.B a l lar las coordenadas del punto ! , sabiendo que +(2, 2)es el punto medio de A!, A(3, 1).

J.B Averi*uar si est n al ineados los puntos A(2, 3), +(1, )y !( , $).


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K.B !alcula las coordenadas de D para que el cuadri l tero dev rt ices A(1, 2), +(&, 1), !($, 2) y D/ sea unparalelo*ramo.

.B 0as coordenadas de los e tremos del se*mento A+ son A (2,1) y +( , &). al lar las coordenadas del punto ! que divide alse*mento A+ en dos partes tales que A! es la mitad de !+.


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3.B %i el se*mento A+ de e tremos A(1, 3), +( , $), se divide encuatro partes i*uales, 4cu les son las coordenadas de los puntosde divisi#n5

M4.B a l lar el sim trico del punto A(&, 2) respecto de 6(2, ) .

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