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Universidad Sergio Arboleda
Álgebra lineal con aplicacionesCon un enfoque geométrico y nota histórica© REINALDO NÚÑEZ© MOISÉS ARANDA SILVA© LUIS ALEJANDRO BELLO RODRÍGUEZ
reinaldo.nuñ[email protected]éfono: 3257500
Segunda edición: abril de 2015
Queda prohibida toda reproducción, por cualquier medio, sin previa autorización escrita del editor.
Edición realizada por el Fondo de Publicaciones Universidad Sergio Arboleda Calle 74 No. 14-14Teléfonos: 3220080-3220282-5400300www.usergioarboleda.edu.coFax: 3177529Bogotá D.C.
Director editorial: Jaime Barahona CaicedoDiseño carátula y diagramación: Maruja E. Flórez JiménezImpresión: DigiprintBogotá, D.C.
ISBN: 978-958-8866-40-6
núñez, reinaldo
Álgebra lineal con aplicaciones: con un enfoque geométrica y nota histórica/ reinaldo núñez, Moisés aranda Silva, luis alejandro bello rodríguez. – 2ª ed. – bogotá: Universidad Sergio arboleda, 2015.
342 p.
iSbn: 978-958-8866-40-6
1. algebraS linealeS 2. eCUaCiOneS linealeS i. aranDa SilVa, MOiSÉS ii. bellO rODrÍgUeZ, lUiS aleJanDrO
512.5 ed. 21
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vii
CONTENIDO
P ........................................................................................................RÓLOGO ix
Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
vii
CONTENIDO
P ........................................................................................................RÓLOGO ix
Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
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Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
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Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
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Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
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Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
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Capítulo 11
Vectores en 1 ‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano.........................................................................................31.3 Vectores en ..................................................................................................8 ‘
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1.4 Norma de un vector........................................................................................151.5 Producto punto...............................................................................................181.6 Vectores en ...............................................................................................27 ‘
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1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en .................................................................................................45 ‘
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1.6 Rectas y planos...............................................................................................50
Capítulo 263
Sistema de ecuaciones lineales y matrices632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales..................................................632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales......................................................732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices.............................................................................932.6 Matrices cuadradas.........................................................................................982.7 Matrices elementales....................................................................................1072.8 Rango de una matriz.....................................................................................118 Nota histórica...............................................................................................125
Capítulo 3128
Determinantes1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................138 8
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Capítulo 1 1
Vectores en 1‘8
1.1 Introducción......................................................................................................11.2 Vectores en el plano......................................................................................... 31.3 Vectores en ..................................................................................................8‘#
1.4 Norma de un vector........................................................................................ 151.5 Producto punto............................................................................................... 181.6 Vectores en ............................................................................................... 27‘8
1.7 Independencia lineal, base y dimensión..........................................................381.8 Vectore en ................................................................................................. 45‘$
1.6 Rectas y planos............................................................................................... 50
Capítulo 2 63
Sistema de ecuaciones lineales y matrices 632.1 Introducción....................................................................................................632.2 Sistema homogéneos de ecuaciones lineales.................................................. 632.3 Teoría de sistemas de ecuaciones lineales...................................................... 732.4 Matrices..........................................................................................................842.5 Multiplicación de matrices............................................................................. 932.6 Matrices cuadradas......................................................................................... 982.7 Matrices elementales.................................................................................... 1072.8 Rango de una matriz..................................................................................... 118 Nota histórica............................................................................................... 125
Capítulo 3 128
Determinantes 1283.1 Introducción..................................................................................................1283.2 Determinantes...............................................................................................1283.3 Determinantes de orden .............................................................................1388
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131520273039485762
75758596
105110119130137
141141151
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Álgebra Lineal con Aplicacionesviii Á L ALGEBRA INEAL CON PLICACIONES
3.4 Propiedades.................................................................................................. 1463.5 Una interprtación geométrica del determinante............................................ 1483.6 Producto vectorial generalizado en .........................................................152‘8
3.7 Matriz inversa y determinantes.....................................................................160 Nota histórica............................................................................................... 165
Capítulo 4 169
Transformaciones lineales 1694.1 Introducción..................................................................................................1694.2 Transformaciones lineales............................................................................ 1694.3 Construcción de transformaciones lineales...................................................1824.4 Núcleo e imagen de una transformación lineal............................................. 1884.5 Transformaciones lineales y matrices...........................................................1974.6 Isomorfismos................................................................................................ 2054.7 Transformaciones lineales y cambios de base.............................................. 227
Capítulo 5 237
Valores propios y vectores propios 2375.1 Valores propios y vectores propios.............................................................. 2375.2 Ortonormalización de bases. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt.........................................................................................................2515.3 Formas bilineales..........................................................................................263
Capítulo 6 272
Aplicaciones 2726.1 Introducción..................................................................................................2726.2 Producto punto............................................................................................. 2726.3 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.................................................. 2776.4 Modelo de Leontief...................................................................................... 2916.5 Cadenas de Markov...................................................................................... 2956.6 Programación lineal......................................................................................3016.7 Diagonalización............................................................................................3066.8 Método AHP................................................................................................ 308
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
viii Á L ALGEBRA INEAL CON PLICACIONES
3.4 Propiedades.................................................................................................. 1463.5 Una interprtación geométrica del determinante............................................ 1483.6 Producto vectorial generalizado en .........................................................152‘8
3.7 Matriz inversa y determinantes.....................................................................160 Nota histórica............................................................................................... 165
Capítulo 4 169
Transformaciones lineales 1694.1 Introducción..................................................................................................1694.2 Transformaciones lineales............................................................................ 1694.3 Construcción de transformaciones lineales...................................................1824.4 Núcleo e imagen de una transformación lineal............................................. 1884.5 Transformaciones lineales y matrices...........................................................1974.6 Isomorfismos................................................................................................ 2054.7 Transformaciones lineales y cambios de base.............................................. 227
Capítulo 5 237
Valores propios y vectores propios 2375.1 Valores propios y vectores propios.............................................................. 2375.2 Ortonormalización de bases. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt.........................................................................................................2515.3 Formas bilineales..........................................................................................263
Capítulo 6 272
Aplicaciones 2726.1 Introducción..................................................................................................2726.2 Producto punto............................................................................................. 2726.3 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.................................................. 2776.4 Modelo de Leontief...................................................................................... 2916.5 Cadenas de Markov...................................................................................... 2956.6 Programación lineal......................................................................................3016.7 Diagonalización............................................................................................3066.8 Método AHP................................................................................................ 308
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
viii Á L ALGEBRA INEAL CON PLICACIONES
3.4 Propiedades.................................................................................................. 1463.5 Una interprtación geométrica del determinante............................................ 1483.6 Producto vectorial generalizado en .........................................................152‘8
3.7 Matriz inversa y determinantes.....................................................................160 Nota histórica............................................................................................... 165
Capítulo 4 169
Transformaciones lineales 1694.1 Introducción..................................................................................................1694.2 Transformaciones lineales............................................................................ 1694.3 Construcción de transformaciones lineales...................................................1824.4 Núcleo e imagen de una transformación lineal............................................. 1884.5 Transformaciones lineales y matrices...........................................................1974.6 Isomorfismos................................................................................................ 2054.7 Transformaciones lineales y cambios de base.............................................. 227
Capítulo 5 237
Valores propios y vectores propios 2375.1 Valores propios y vectores propios.............................................................. 2375.2 Ortonormalización de bases. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt.........................................................................................................2515.3 Formas bilineales..........................................................................................263
Capítulo 6 272
Aplicaciones 2726.1 Introducción..................................................................................................2726.2 Producto punto............................................................................................. 2726.3 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.................................................. 2776.4 Modelo de Leontief...................................................................................... 2916.5 Cadenas de Markov...................................................................................... 2956.6 Programación lineal......................................................................................3016.7 Diagonalización............................................................................................3066.8 Método AHP................................................................................................ 308
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
viii Á L ALGEBRA INEAL CON PLICACIONES
3.4 Propiedades.................................................................................................. 1463.5 Una interprtación geométrica del determinante............................................ 1483.6 Producto vectorial generalizado en .........................................................152‘8
3.7 Matriz inversa y determinantes.....................................................................160 Nota histórica............................................................................................... 165
Capítulo 4 169
Transformaciones lineales 1694.1 Introducción..................................................................................................1694.2 Transformaciones lineales............................................................................ 1694.3 Construcción de transformaciones lineales...................................................1824.4 Núcleo e imagen de una transformación lineal............................................. 1884.5 Transformaciones lineales y matrices...........................................................1974.6 Isomorfismos................................................................................................ 2054.7 Transformaciones lineales y cambios de base.............................................. 227
Capítulo 5 237
Valores propios y vectores propios 2375.1 Valores propios y vectores propios.............................................................. 2375.2 Ortonormalización de bases. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt.........................................................................................................2515.3 Formas bilineales..........................................................................................263
Capítulo 6 272
Aplicaciones 2726.1 Introducción..................................................................................................2726.2 Producto punto............................................................................................. 2726.3 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.................................................. 2776.4 Modelo de Leontief...................................................................................... 2916.5 Cadenas de Markov...................................................................................... 2956.6 Programación lineal......................................................................................3016.7 Diagonalización............................................................................................3066.8 Método AHP................................................................................................ 308
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
viii Á L ALGEBRA INEAL CON PLICACIONES
3.4 Propiedades.................................................................................................. 1463.5 Una interprtación geométrica del determinante............................................ 1483.6 Producto vectorial generalizado en .........................................................152‘8
3.7 Matriz inversa y determinantes.....................................................................160 Nota histórica............................................................................................... 165
Capítulo 4 169
Transformaciones lineales 1694.1 Introducción..................................................................................................1694.2 Transformaciones lineales............................................................................ 1694.3 Construcción de transformaciones lineales...................................................1824.4 Núcleo e imagen de una transformación lineal............................................. 1884.5 Transformaciones lineales y matrices...........................................................1974.6 Isomorfismos................................................................................................ 2054.7 Transformaciones lineales y cambios de base.............................................. 227
Capítulo 5 237
Valores propios y vectores propios 2375.1 Valores propios y vectores propios.............................................................. 2375.2 Ortonormalización de bases. Proceso de ortogonalización de Gram- Schmidt.........................................................................................................2515.3 Formas bilineales..........................................................................................263
Capítulo 6 272
Aplicaciones 2726.1 Introducción..................................................................................................2726.2 Producto punto............................................................................................. 2726.3 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.................................................. 2776.4 Modelo de Leontief...................................................................................... 2916.5 Cadenas de Markov...................................................................................... 2956.6 Programación lineal......................................................................................3016.7 Diagonalización............................................................................................3066.8 Método AHP................................................................................................ 308
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 325
159161165173178
183183196202211219241
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265277
287287292306310316321323
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