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Precálculo
1 | P á g i n a
Unidad VI Funciones
Relación:
Una relación es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos dados. La relación está
determinada por algún criterio que permite asociar a algunos o a todos los elementos del primer conjunto con
algunos o todos los elementos del segundo conjunto. La relación puede representarse mediante un diagrama,
tabla, pares ordenados, etc.
Al primer conjunto se le llama conjunto de salida y al segundo conjunto de llegada. Dentro de los cuales
podemos identificar:
Variable independiente: es la característica que representa al conjunto de salida y que puede tomar distintos
valores (numéricos o no).
Variable dependiente: es la característica que representa al conjunto de llegada y puede tonar distintos valores
(numéricos o no).
Pares ordenados: Un par ordenado es una colección de dos elementos tal que uno puede ser distinguido
como el primero y el otro como el segundo. Un par ordenado con primer elemento a y segundo b es escrito
usualmente como (a, b).
Sistema de Coordenadas Cartesianas: Un sistema de coordenadas es la representación matemática de la
posición de puntos. En las coordenadas cartesianas un punto se localiza según su posición entre dos ejes que se
cortan, uno horizontal y otro vertical, que se denominan x e y, se denominan respectivamente abscisa y
ordenada.
Para representar los conjuntos que conforman la relación se utilizan letras mayúsculas y para representar la
relación se utilizan las letras minúsculas.
Plano cartesiano
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1. Definición de función:
X f Y = f(x)
Ámbito = conjunto de las imágenes 2 11 – 1 5 8 10 0 – 2 – 7 6 DOMINIO CODOMINIO
Una función es un conjunto de pares ordenados en el que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo
primer elemento.
Si “a" es un elemento de A, su elemento asociado “1”
pertenece a B.
Al conjunto A le llamamos Dominio y B se le llama
Codominio de la función.
Para simbolizar que se ha establecido una función f de un
conjunto A en un conjunto B, se usa la siguiente notación
: .f A B
Definamos algunos de los conceptos:
Preimagen: Dada una función f : A B , se le llama preimagen de un elemento y B a aquel
elemento x que se asocia a y bajo la función f. A cada uno de los elementos del dominio de una
función se le llama preimágenes.
Imagen: Dada una función f : A B , se le llama imagen de un elemento x A , al elemento y B ,
que se le asigna una correspondencia a x bajo la función f. La imagen de un elemento x se denota por
f(x) y así f x = y .
Es una relación o correspondencia entre dos conjuntos (A y B) no vacíos, en donde a cada elemento del
conjunto de salida “A” (Dominio), le corresponde uno y solo un elemento en el conjunto de llegada “B”
(Codominio), con el cual se asocia o le corresponde.
Una Relación se denomina FUNCIÓN, si
cumple con las siguientes condiciones:
- Todos los elementos del conjunto que se ubica en el eje de las abscisas (Eje “X”), deben estar relacionados.
- Cada uno de esos elementos se debe relacionar una única vez.
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A cada uno de los valores del codominio que están relacionados con alguna preimagen se les llama
imágenes. Note que no necesariamente todos los valores del codominio son imágenes pues en algunas
ocasiones los valores no tienen relación con ninguna preimagen.
Dominio: Sea f : A B una función. Se dice que el conjunto A es el Dominio de la función f y se
define como el conjunto al cual pertenecen las preimágenes de la función f.
Codominio: Sea f : A B una función. Se dice que el conjunto B es el Codominio de la función f y
se define como el conjunto al cual pertenecen las imágenes de la función f.
Ámbito o Rango: Sea f : A B una función. Se denomina Ámbito o rango de la función f al
conjunto de las imágenes de dicha función. Evidentemente el Ámbito es un subconjunto del
Codominio, porque son todos los valores de B que tienen una pareja en A; “en algunas ocasiones
puede ser igual al codominio” (ámbito codominio) Ámbito = Conjunto de las imágenes.
Criterio: Es la regla por medio de la cual puede asignarse a “y” un valor o más valores de “x”, los cuales
van a ser específicos para ese “y”. Tales reglas suelen expresarse por medio de una expresión
algebraica.
Una función se puede denotar de la forma f : A B , esto se lee f de A en B y hace alución a que en la función
f, A es el dominio y B es el codominio. El dominio y el codominio de una función pueden ser conjuntos finitos o
conjuntos infinitos como intervalos, IN , ZZ , Q// , IR . Si en una función no se aclara su dominio y su codominio
suponemos que la función va de IR en IR ( f : IR IR ).
La expresión f(x) se utiliza para hacer referencia a la imagen de “x”, donde “x” es una preimagen.
En muchas ocasiones la relación entre las preimágenes y las imágenes está determinada por una expresión
algebraica a la cual anteriormente habíamos definido como criterio de la función.
Calculo de imágenes y preimagenes
1. Sea la función
2 1 1k : , ,0, ,1, B
5 3 3, tal que 2k x x 4 (este es el criterio de la función).
Determine todas las imágenes y el ámbito de la función.
k
2
5 k
1
3 k 0 k
1
3 k 1
Para determinar las imágenes solo se sustituye “x” por el valor que me dan y se encuentra el resultado. (para encontrar imágenes evaluar)
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2. Sea la función j : A B , tal que j x 4x 7 , si el ámbito de la función “j” es 5,3,7,15,27
Determine todas las preimágenes y el dominio de la función.
Preimagen de 5 Preimagen de 3 Preimagen de 7 Preimagen de 15 Preimagen de 27
Para determinar las preimágenes se iguala el criterio al valor que me dan y se resuelve la ecuación. (para
encontrar preimágenes igualar y resolver la ecuación)
Ejemplo:
f(x)= 3x + 2 , si f(x)= 9, entonces se sabe que y = 9,
9 = 3x 2
9 2 3x
7 3x
7
3x
Por lo tanto la preimagen de 9 es 7
3, para esta función.
Practica
I PARTE Calcule lo que se pide:
1) Sea f : , IR 2 8 , f (x) = 5
32 x calcule el ámbito de f
2) Sea g : 2,1,0,1,3 , g(x) = 32 3 x calcule el ámbito de g
3) Sea f(x) = 124 33 xx , Halle f(-3), f
3
1, f(0), f(2)
4) Sea h(x) = x
xx 22, Halle h(-4), h(0), h(-1), h
2
1
5) Sea f(x) = 32
1
x
x, Halle f(-1), f(0), f
3
1, f
2
5
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6) Grafique las siguientes funciones de IR en IR .
a) 52)( xxf b) 2
4
xy c) 34 xy d) g(x) = 5 – 3x
e) y = 2 f) y = 1 – x b)
0,12
0,1)(
xx
xxxg
h)
152
1,
xx
xxy i) 3x
j) Sea 32)( xxf y 3)( xxg trácelas en un mismo plano cartesiano y encuentre la intersección de
las rectas.
8) Sea g(x) =
2,12
2,12
xx
xx calcule g(-3), g(0), g(2), g
2
5, g
3
7 , g(4)
Dominio máximo de una función
Cuando definimos una función y = f(x) con una fórmula y el dominio no es explícito, se entiende que el
dominio es el mayor conjunto de valores de x para los cuales la fórmula da valores reales en y.
Para cualquier polinomio el dominio es
Ejemplo f(x) = 4x5 – 6x3 + x2 – 5x + 9
y = 4x – 9
Para calcular el dominio máximo estudiaremos los siguientes casos.
I caso f es una función racional ( )
( )( )
p xf x
q x el dominio máximo = – {x tal que q(x) = 0 }
Ejemplos Calcule el dominio máximo de
a) 2
3( )
16
xf x
x
b)
2
5 4 3( )
1 20
xh x
x x x
c) 2
1
3 40
xy
x x
d)
5
2
xy
x
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II caso Funciones radicales . Para hallar el dominio máximo se resuelve subradical O si la raiz esta en el
numerador y subradical > O si la raíz esta en el denominador Ejemplos
a) 2 8y x c) 4 3
( )5
xh x
x
b) g(x) = 3 1
9 5
x
x
PRACTICA
1) Halle el dominio máximo de cada función
a) 9
2)(
2
x
xxf f) xy 32
b) 1
2
3
1)(
2
x
x
xxh g)
22
4
30
8
xxx
xy
c) x
xy
3
12 h)
x
xxh
2
52)(
d) xx
xg
22
2)( i) 24)( xxf
e) 82
32)(
2
xx
xxf j)
5
12)(
2
x
xxxg
FUNCION LINEAL
Si una función f está definida en un intervalo o IR y su criterio está dado por f(x) = mx + b, donde “m” y “b”
corresponden a números reales, entonces se denomina FUNCIÓN LINEAL.
Son ejemplos de éstas:
f(x) = 2x + 5 ............( m = 2 , b = 5 )
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f(x) = 32
1 x ............ ( m =
1
3
, b =
1
2)
f(x) = 5x ………. ( m = 5 , b = 0 )
Esta función se llama lineal porque su gráfica genera en el plano cartesiano una “línea recta”, que puede ser:
estrictamente creciente, estrictamente decreciente o constante según sea en su criterio el valor numérico de
“m”. Como se ilustra a continuación:
m: Número positivo m: Número negativo m: Igual a cero (Función estrict. creciente) (Función estrict. decreciente) (Función constante) INTERPRETACIÓN DEL CRITERIO DE UNA FUNCION LINEAL: Como el criterio de una función lineal f está definido por f(x) = mx + b tenemos que:
El número real m recibe el nombre de pendiente y determina en el plano cartesiano la inclinación de la recta. Como m es un número real se tiene que:
a) Si m > 0 ( número positivo) entonces la recta se inclinará en el plano hacia arriba y la función lineal será estrictamente creciente. b) Si m = 0 entonces la recta no tendrá ninguna inclinación y la función lineal corresponderá a una función constante. c) Si m <0 ( número negativo) entonces la recta se inclinará hacia abajo y la función será estrictamente decreciente.
El número real b recibe el nombre de intersección y determina el punto donde la función lineal interseca al EJE Y. Dicho punto de intersección corresponde al par ordenado (0,b).
Apliquemos tales conceptos para dar solución a la siguiente actividad:
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GRAFICA
ACTIVIDAD No. 1: Complete el siguiente cuadro escribiendo en cada columna: un número, un par ordenado, un sí o un no según corresponda, para obtener afirmaciones correctas.
Criterio Pendiente
(m)
Intersección
(b)
Punto de
Intersección eje
Y
Estrictamente
Creciente
Estrictamente
decreciente Constante
k(x) = 4x + 5
g(x) =3
2
2
5 x
w(x) = 3
p(x) = 5
1 x
h(x) = 3
45 x
Determinemos los puntos de intersección con los ejes cartesianos para cada una de las siguientes funciones y tracemos su gráfica. Consideremos como dominio IR
1) f(x) = 3x 1 Punto de intersección con:
Eje Y : (0,b)
Eje X: b
,0m
2) f(x) = 4 – 2x
Punto de intersección con:
Eje Y : (0,b)
Eje X: b
,0m
GRAFICA
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Calcule la pendiente y intersección de las siguientes rectas
1) y = 5x + 10 2) f(x) = 2
5
x + 3
3) 4y – 7x = 12 4) 5( 2 ) 18x y + 3x
PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CRITERIO DE UNA FUNCION LINEAL O LA ECUACIÓN DE UNA RECTA,
CONOCIENDO DOS DE SUS PARES ORDENADOS: Consideremos la función f(x)= mx + b cuya gráfica se presenta a continuación:
Con los pares ordenados (x1,y1) y (x2,y2) podemos obtener el criterio de la función lineal correspondiente a la gráfica adjunta. Para ello se sugiere aplicar el procedimiento planteado a continuación:
Procedimiento: Cálculo de la pendiente , de la intersección y del criterio:
Seleccione dos pares ordenados de la gráfica de la función: (x1 , y1) y (x2 , y2)
Para determinar el valor de la pendiente aplique la fórmula:
12
12
xx
yym
.
Para determinar el valor numérico de la intersección “b” , elija uno de los pares ordenados, como por ejemplo (x1 , y1) y aplique la fórmula:
b = y1 - mx1 .
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Sustituya los valores de m y b en f(x)= mx + b , así obtendrá el criterio de la función lineal asociada a la gráfica en estudio. Dicho criterio también se puede escribir como y = mx + b, ecuación que se conoce como ECUACIÓN DE UNA RECTA.
Ejemplos:
1. Determine el criterio de la función lineal cuya gráfica contiene los puntos:
a) (-7, 2 ) y (1, 6) b) (2, 1) y (-1 , 9) c) -1 9 1
, y , - 24 2 7
2. Determinemos la ecuación de la recta representada en cada una de las gráficas adjuntas.
a)
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PRACTICA
a) ¿Cuál es el criterio de una función lineal con pendiente 4 y cuya gráfica contiene al punto (1, 3)?
b) Si la pendiente de una función lineal es 2
1y su gráfica contiene al punto (1, 2 ) entonces, ¿cuál es su
criterio?
c) De acuerdo con los datos indicados en cada caso, determine la ecuación de la recta:
Cuya pendiente es –2 y que pasa por el punto (4, 0).
Que pasa por los puntos
1,
4
33,
4
1y .
Que pasa por los puntos ( 0, 3) y ( 4 , 3). d) Para resolver el siguiente ejercicio tome como referencia la información presente en el cuadro adjunto. (No copie esta información, sólo aplique lo que en ella se plantea)
1) Si una función lineal f definida en [–1 , 5 ] posee como criterio: f(x) = 5x – 3 , entonces ¿cuál es su ámbito?
2) Si una función lineal h está definida en el intervalo ] –5, 2 [ y su criterio está dado por h(x) =
23
1 x . Entonces para que dicha función sea biyectiva ¿cuál debe ser su codominio?
3) Si una función lineal está definida en ]3,8 ] y posee como criterio a g(x) =2
4 x, entonces ¿cuál
debe ser su codominio para que sea biyectiva? ¿Cómo se clasifica dicha función: estrictamente creciente o estrictamente decreciente?
4) Si el dominio de una función lineal corresponde al intervalo [ 1 , [ y su criterio está dado por f(x) = –4x. Entonces:
- ¿Cuál es su ámbito?.
- ¿Cómo se clasifica esta función, estrictamente creciente o estrictamente decreciente?
El ámbito de una función lineal definida en un intervalo real se puede obtener sin tener que trazar su gráfica. Analice el siguiente ejemplo:
Si una función lineal está definida en el intervalo [ -3 ,5 [ y posee como criterio a f(x) = 6 – 3x, entonces ¿cuál es su ámbito?
Solución: Dominio: [ -3 , 5 [ Criterio: f(x) = 6 – 3x.
x = –3 f(–3) = 6 – 3 –3 = 15. Extremos
x = 5 f( 5 ) = 6 – 3 5 = –9 del ámbito
AMBITO DE F: ] –9 , 15 ]
Dicho intervalo se da ordenado, de menor a mayor.
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RECTAS PERPENDICULARES
m1m2 = 1
RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES Y OBLICUAS:
Como la ecuación de una recta está dado por: Y = mx + b, podemos comparar el valor numérico de la pendiente de dos o más rectas y clasificarlas en paralelas, perpendiculares u oblicuas, según sea el caso.
RECTAS PARALELAS: De la geometría sabemos que dos rectas en el mismo plano son paralelas si nunca se intersecan. También podemos decir que, si las ecuaciones de dos rectas poseen igual pendiente entonces dichas rectas son paralelas.
Ejemplos de rectas paralelas:
a) y1 = 3x – 5 , y2 = 3x + 1........ ( m = 3)
b) y1 = 4
2 x , y2 = 1
4
1
x.......( m=
41 )
c) y1 = x + 4 , y2 = x....................( m = 1)
RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas en el mismo plano son perpendiculares si forman entre sí un ángulo
de 900 (recto).
También podemos afirmar que:
- Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una corresponde al opuesto del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra. Ejemplos:
a) )2
3(5
2
3
2,)
3
2(1
3
2
1
mxym
xy
b) )2
1(1
22,)2(2
5
1
1
m
xymxy
Lo anterior equivale también a decir que:
- Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a –1.
RECTAS PARALELAS
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Ejemplos:
c) 5
41
2,3
4
5
1
xy
xy
son perpendiculares pues: 1
5
4
4
5
d) 232
,3
2
1
xy
xy son perpendiculares pues: 13
3
1
RECTAS OBLICUAS: Esta rectas NO son ni paralelas, ni perpendiculares.
En general podemos indicar que, si las pendientes de dos rectas NO cumplen con ninguna de las características anteriores, entonces dichas rectas se denominan oblicuas.
Ejemplos:
a) y1 = 2x + 4 (m = 2) , y2 = 4x – 1 (m = 4) .
b) )3(132
,)3
1(3
5
1
mxym
xy
c) y1 = x – 5 ( m = 1) , y2 = 5x – 1 (m=5)
Apliquemos estos conceptos en la solución de la siguiente actividad:
EJEMPLOS:
Determine cuales de las siguientes parejas de rectas son paralelas. Ejemplos
a) y = 7x + 10 y f(x) = 7x + 4 b) f(x) = 2
5
x + 3 y 5y + 2x = 10
c) Calcule la ecuación de la recta que es paralela a la recta 6y = 12x – 7 y pasa por el punto ( 1 , – 5)
RECTAS OBLICUAS
( m1 m2 , m1 m2 -1 )
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d) Determine cuales de las siguientes parejas de rectas son perpendiculares:
a) y = 5x + 1 y f(x) = 1
5
x + 8 b) f(x) =
7
4
x + 3 y 4y – 7x = 11
c ) Calcule la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 3y = 7x – 5 , pasa por el punto (– 5 , 6)
Practica:
1) Basado en las definiciones dadas anteriormente, clasifique cada parejas de rectas en: paralelas, perpendiculares u oblicuas.
a) y1 = 5
23 x , y2 =
5
23 x : ____________________
b) y1 = 7x – 4 , y2 = x74
1 : ____________________
c) y1 = ,4
1 x y2 = 4x – 1 : ____________________
d) 2x + 3y1 = 1 , 2x – 3y2 + 4 = 0 ____________________
(Debe primero despejar Y en ambas)
d) 2y + 6x – 5 = 0 , 3y – x + 12 = 0 ____________________
2) Complete en cada caso de forma que se obtengan proposiciones verdaderas.
a) Una recta paralela a Y = 4x – 5 , tiene como pendiente __________.
b) Si una recta pasa por ( 0 , 3) y es perpendicular a Y = 8
32 x. Entonces el valor de su pendiente
corresponde es m = ______ y posee como ecuación Y = ___________.
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c) Una recta perpendicular a xy7
6
5
3 tiene como pendiente a ___________.
d) Una recta paralela a Y = x + 7, que pasa por el origen posee como ecuación Y = ___________.
3) Resuelva en su cuadernos estos otros ejercicios. Incluya todos los cálculos.
- Determine la ecuación de la recta que contiene al punto:
a) ( 2 , 1) y paralela a la recta cuya ecuación está dada por Y = 5x + 4.
b) ( 7, 6 ) y es paralela a la recta definida como 2y – 2x – 1 = 0
c)
5
1,
2
3 y es paralela a la recta que pasa por los puntos
0,
4
1,5,1 .
d) (4 , 1) y es perpendicular a la recta definida por 3
25 xy
.
e) ( 4
1,
2
1 ) y es perpendicular a la recta definida como 2x – 4y = 6.
f)
3
14,2 y es perpendicular a la recta que contiene los puntos (5, 1) ;
5
4,
2
1.
3. La recta que pasa por los puntos ( 1, 2) y
5
1,
3
2 es perpendicular a la recta que pasa por el punto
( 2, 3). ¿Cuáles son las ecuaciones de ambas?
4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje de las abscisas en 2 y es perpendicular a la recta definida por 3x + 5y + 10 = 0?
5. Si una recta pasa por los puntos (3 , 0) ; (0, 4) y otra pasa por (2,0) y (0, 4). De acuerdo con sus ecuaciones, dichas rectas ¿son paralelas, perpendiculares u oblicuas?
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FUNCION CUADRATICA.
Una función f dada por 2ax bx c , con a, b, c IR; a 0 ; se denomina función cuadrática y su
representación gráfica se conoce con el nombre función polinómica. Para la grafica de la función es importante considerar los siguientes puntos:
a) Concavidad: Dada por “a”, de la siguiente forma:
0a> , cóncava hacia arriba.
0a< , cóncava hacia abajo.
b) Intersección con el eje X: Dada por la solución de la ecuación 2ax bx c , donde:
0 , interseca al eje X en dos puntos, x1 y x2, las soluciones de la ecuación.
0 , la parábola no interseca al eje X.
0 , interseca al eje X en un único punto.
c) Intersección con el eje Y: Dada por el punto (0, C).
d) Vértice: Dada por el punto -b -
,2a 4a
.
e) Eje de simetría: Es la recta vertical dada por -b
x =2a
, es decir la primera componente del vértice.
f) Monotonía: A) Si f es cóncava hacia arriba:
a. f es estrictamente creciente en ,2
ba
.
b. f es estrictamente decreciente en ,2
ba
.
B) Si f es cóncava hacia abajo:
a. f es estrictamente creciente en ,2
ba
b. f es estrictamente decreciente en ,2
ba
.
g) Ámbito: A) Si f es cóncava hacia arriba:
a. El ámbito corresponde ,4a
.
B) Si f es cóncava hacia abajo:
a. El ámbito corresponde , .4a
EJEMPLO: grafique la siguiente función cuadrática:
a) 2y = x - 2x - 8
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) 2 5 12b y x x
2) 4 12 9c y x x
PRACTICA Trace el grafico de las siguientes funciones cuadráticas Calcule concavidad , cortes con los ejes ,
vértice , eje de simetría , intervalos de crecimiento y decrecimiento.
a) y = x2 – 6x + 8 b) y = – 3x2 + 8x + 3 c) y = x2 + 2x + 1 d) y = 2x ( 5 – 3x)
e) y = 82
62
xx
f) y = – 4x2 + 12x + 7 g) y = x2 – 25
h) 2
6104 2xxy
i) y = – 4x2 + 20x – 25
j) 4)2
7(2 xxy
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Clasificación de funciones
Función sobreyectiva:
Una función f es sobreyectiva si el ámbito es igual al codominio, es decir todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
Función inyectiva:
Una función f es inyectiva si existe una correspondencia biunívoca entre
el dominio y el ámbito.
Función biyectiva:
Una función f es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.
Función inversa
Sea f: A B una función biyectiva. Entonces su función inversa f -1 : B A, está definida por
f -1 (y) =x y f (x)=y para cualquier y en B.
De lo anterior, una función f tiene por inversa otra función denotada por f -1 sí y sólo sí
existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del dominio y del codominio; es
decir, si f es biyectiva. Note que si f : A B y f -1 existe, entonces f -1 : B A.
Ejemplos Determine la función inversa de ( ) 4 9f x x
Determine la función inversa de ( ) 3 4f x x
Determine la función inversa de ( ) 5f x x
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Determine la función inversa de 2
( ) 103
xf x
Determine la función inversa de 5 4
( )8
xf x
x
Problemas de Aplicación:
1. f (x) = 3x x= 3y f –1 (x) = 3
x
2. f (x) = 3x –1 x = 3y –1 f –1 (x) = 3
1x
3. f (x) = x3 x = y3 f -1 (x) = 3 x
4. f(x) =x2 –2 x = y
2 –2 f
–1 (x) = 2x
5. f(x) = x 4 x = y 4 f –1 (x) = 4 x
6. f(x) = 8 – 3x x =8 – 3y f –1 (x) = 33
8 x
7. f(x) = x3 – 1 x = y3 –1 f –1 (x) = 3 1x
8. f(x) = x x = y f –1
(x) = x 2
9. f (x) = 2 – x 3
x = 2 – y 3 f
–1 (x) = 3 2 x
10. f (x) = 3x x = 3y f –1 (x) = x 2 –3
11.f (x) = 32 x x = 32 y f –1
(x) = x2 –2 + 3
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Precálculo
20 | P á g i n a
UNIDAD VI FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se define la función exponencial como +f x : IR IR , donde xf x a , para la cual “a” es la
base, con a >0 y a 1 ; por lo tanto se distinguen dos casos que recordaremos a continuación:
Caso 1: 1a
Para este caso tenemos xf(x) = 2 , haciendo una tabla de valores tenemos que:
De la cual podemos deducir las siguientes características:
1) El dominio es IR .
2) El ámbito es IR . 3) La gráfica no interseca al eje “x”. 4) La gráfica interseca al eje y en (0, 1). 5) f es estrictamente creciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.
Caso 2: 0 1a< <
Para este caso tenemos la función f para la cual x
1f x =
2ó x2 , haciendo la tabla de valores:
De la cual podemos deducir las siguientes características:
1) El dominio es IR .
2) El ámbito es IR . 3) La gráfica no interseca al eje “x”. 4) La gráfica interseca al eje y en (0, 1). 5) f es estrictamente decreciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 18
14
12
1 2 4 8
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 8 4 2 1 12
14
18
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Precálculo
21 | P á g i n a
Logaritmos
Definición: se define los logaritmos de la forma que x xaLog y a y , se lee “logaritmo de x en base
a es y” FUNCIÓN LOGARITMICA
Se de fine la función logarítmica como +f x : IR IR , donde xaf x = log , para la cual “a” es la
base, con a >0 y a 1 ; por lo tanto se distinguen dos casos que recordaremos. Ahora es importante definir
que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Caso 1: 1a
Para este caso tenemos 2f x log x , ahora por tener relación con la función exponencial podemos decir:
x2
x2
y
f(x) = log
y = log
2 = x
Haciendo una tabla de valores tenemos que:
De la cual podemos deducir las siguientes características:
1) El dominio es IR . 2) El ámbito es IR . 3) La gráfica interseca al eje x en (1, 0). 4) La gráfica no interseca al eje “y”. 5) f es estrictamente creciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.
x 18
14
12
1 2 4 8
f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
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Precálculo
22 | P á g i n a
Caso 2: 0 1a< <
Para este caso tenemos la función f para la cual 1
( )2
x
f x ó 2 x , haciendo la tabla de valores:
De la cual podemos deducir las siguientes características:
1) El dominio es IR . 2) El ámbito es IR . 3) La gráfica interseca al eje x en (1, 0). 4) La gráfica no interseca al eje “y”. 5) f es estrictamente decreciente. 6) Es continua. 7) f es biyectiva.
ECUACIONES EXPONENCIALES
( Una ecuación recibe el nombre de ecuación exponencial si la, o las variables aparecen en uno más exponentes. Por ejemplo:
623,;162 mmx bieno
En la resolución de ecuaciones exponenciales, se distinguen dos casos según los términos a ambos miembros de la igualdad:
Aquellas que son reducibles a igual base
Las que no son reducibles a la misma base En este tema estudiaremos aquellas que podrán reducirse a un base común, pues las otras requieren de la teoría de logaritmos que se estudiará posteriormente.
Dado que la función exponencial xbxf )( , es una función biyectiva, entonces se cumple que:
2121 )()( xxxfxf
Lo anterior significa que: Esta propiedad se puede aprovechar para resolver ecuaciones exponenciales, en los casos en que los términos a ambos miembros de la igualdad se pueden reducir a una base común.
x 8 4 2 1 12
14
18
f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
2121 xxbb
xx
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Precálculo
23 | P á g i n a
Ejemplos: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones exponenciales.
a) 3 2 57 7x x
d) 16
14 32
xx
b) 285 93 xx
e)
22
12
3
19
x
x
c) 018 32 x
f) 122
1 1
x
x
EJERCICIOS I) Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales. Indique el conjunto solución.
1) 752 22 x
R/ 6S
2) 31 927 xx R/ 9S
3) 72)13(2 42 xx
R/ 8S
4) 018 23 x R/
3
2S
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24 | P á g i n a
5) 5
32
3
133
xx R/
3
8S
6) xx 273243 R/
2
5S
7) 164164 xx R/ 4S
8) xxx 211 2793 R/ 1S
9) 122 824 xxx R/ 7S
10) xxx 211 842 R/
5
1S
11) 2
1
2
12
xx R/ 2,1S
12) xxx 333 12
R/ 1S
13)
81
13 4 xx R/ 2S
14) xxx 82 R/ 3,0S
15) 11452
xx R/ 2,1S
16) 543 12
x R/
2
3S
17) 273
312
4
x
R/ 1S
18) 624
55
5
x
x
R/
3
10S
19)
xx
3
7
7
312
R/
3
1S
20)
1
32
1000
1100
x
x R/
7
9S
21) 0016,02,0 x
R/ 4S
22) 08125,0 123
1
xx R/
9
4S
23) xx 811 55 R/ 5S
24) 322 24 xx R/
2
1S
25) 33 2 366 xx R/
3
2S
26) 125
27
9
25
x
R/
2
3S
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25 | P á g i n a
27) 8
27
4
9
3
2
xx
R/ 3S
28) 135343 xx R/ 3S
29) 36333 xx R/ 2S
II) Conteste las siguientes preguntas
1) ¿Cuál es la preimagen de 27
8 para la función
5
4
9)(
x
xf ? R/ 2
7
2) ¿Cuál es la preimagen de 7 para la función 32
1)(
1
x
xf ? R/ 1
3) ¿Cuál es la preimagen de 625 para la función 15)( xxf ? R/ 9
4) ¿Cuál es la preimagen de 16 para la función 54)( xxf ? R/ 9
LOGARITMOS: DEFINICIÓN En general, el LOGARITMO de un número N con respecto a determinada base, es el EXPONENTE que debe usarse con la base para obtener N. El logaritmo de un número x es el exponente al que hay que elevar otro número “a”, llamado base, para obtener x.
xayx y
a log 0,1,0 xaa
y: se denomina logaritmo a: recibe el nombre de base del logaritmo y puede ser cualquier número real positivo, excepto 1. x: se llama argumento del logaritmo y no puede ser negativo ni cero.
log a x = y Ejemplo 1: 1) log2 32 =5 pues 2) log7 49 =2 pues
3)
9
1log3 =2 pues
NOTACIÓN EXPONENCIAL Y NOTACIÓN LOGARÍTMICA
FORMA EXPONENCIAL FORMA LOGARÍTMICA
23 = 8
40 = 1
24 = 16
1
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26 | P á g i n a
3–2 = 9
1
Ejemplo 2:
a) 281log9 , pues:
b) 01log x . pues:
c) 2
122log8 , pues:
1) LOGARITMOS NATURALES Y DECIMALES
LOGARITMO DECIMAL: Es la función logarítmica en base 10. Por convención la base 10 generalmente no se escribe.
log10 x = log x La función logaritmo en base 10 se define de la siguiente manera
log x = y 10 y = x LOGARITMO NATURAL:
Es la función logarítmica que utiliza como base el número de Euler e ( e 2,72 ):
loge x = ln x La función logaritmo natural se define de la siguiente manera:
ln x = y e y = x Ejemplo 3:
a) 2100log , pues:
b) 11,0log . pues:
c) 1ln e , pues:
Conociendo tan sólo dos valores de la expresión yxxa a
y log , se puede calcular el valor numérico
del tercero. Ejemplo 3: (resolver en el cuaderno)
I CASO: DETERMINAR EL ARGUMENTO.
A*) 2log5 N B*) 2log32
x
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27 | P á g i n a
II CASO: DETERMINAR EL LOGARTIMO.
81
0 001
1
4
1
8
3
1000
16
1
2
,
*) log
*) log
) log
) log
A m
B n
C x
D y
II CASO: DETERMINAR LA BASE.
3
14log)38log)
2
38log)
5
12log)
481log)3
12log*)
29log*)2
32log*)
3
24log*)3125log*)
kx
bm
nb
nb
mx
JI
HG
FE
DC
BA
2) CONVERSIÓN DE UN LOGARITMO DE BASE CUALQUIERA A BASE 10
Para convertir a base 10 un logaritmo de argumento N en cualquier base b, b >0,
b 1, basta con hallar el cociente del logaritmo en base 10 de N entre el logaritmo en base 10 de la base b. Así:
b
NNb
log
loglog
Ejemplo 4: Calcular los siguientes logaritmos:
a) log3 2 =
b) log715 =
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28 | P á g i n a
EJERCICIOS A-) Exprese en forma exponencial las siguientes expresiones logarítmicas
1) log2 16= 4 2) log5 125= 3
3) log36 216=2
3 4) log216 36 =
3
2
5) log2
8
1= –3 6) log7
343
1= –3
7) log 1000= 3 8) log 0,01= 2
9) ln 1= 0
10) ln e =1
B-) Exprese en forma logarítmica las siguientes expresiones exponenciales
1) 32 = 9 2) 34 = 81
3) 3–3 =27
1 4) 8 –2 =
64
1
5) 3
2
8 = 4 6) 2
3
36 =216
7)
2
3
1
= 9
8)
3
5
1
=125
9) 33
2
93
10) 102 =100
11) 10–3 =1000
1
12) 10 e
C-) Determine el valor de la variable que hace cierta cada igualdad.
1) log4 16 = x 2) log2 N = 2
3) 5
13log b
4) log b 16 = 4
5) log4 N = 1,5 6) log7 1 = y
7) log6 m = 0 8) x
27
1log3
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Precálculo
29 | P á g i n a
9) log n 32 = 5 10)
2
327log b
11) 4
12log
b
12) log5 0,04 = y
13) log b 4 = 0,5
14) 223log
2
1 y
15) x18log23
16) x372 92log
17) xaa
82log 18) mx
x15
15log
19) 332log2 x 20) 213log5 x
21) 113log x 22) 432log3
x
D-) Calcule los siguientes logaritmos aplicando teorema de cambio de base. 1) log52= 3) log23= 3) log510=
2) log927= 4) log25= 6) log255= LOGARITMOS: PROPIEDADES Las propiedades de los logaritmos permiten transformar un logaritmo en una expresión equivalente. Las propiedades de los logaritmos también permiten resolver ecuaciones logarítmicas, verificar identidades logarítmicas y además ayudan en el cálculo de algunos logaritmos.
1. Logaritmo de 1 en base a.
loga 1 = 0 Ejemplos: log2 1 = , pues 20 = 1
log7 1 = , pues 70 = 1
2. Logaritmo de la base.
Ejemplos: x log5 5 = , pues 51 = 5 log15 15 = , pues 151 = 15
loga a = 1
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30 | P á g i n a
3. xaxa
log Ejemplos:
9log44
3log
10
4. Logaritmo de una potencia.
Ejemplos: a) log x6 =
b) log3 8 =
c) log2 x5 =
5. Logaritmo de un producto o multiplicación.
Ejemplos: a) log a (2x) =
b) log2 (xyz) =
c) 96log 2 xxm
6. Logaritmo de un cociente.
Ejemplos:
a)
8
3log2 b)
9
729log3
c)
2
1log 1
x
xx
7. Logaritmo de una expresión radical.
Ejemplos:
log a xn = n log a x
log a (x . y ) = log a x + log a y
n
xx
nxx a
an
an
a
loglog
1loglog
1
log a
y
x = log a x – log a y
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31 | P á g i n a
a) 34 128log b) 5
3 81log
c)
4
3
2
logy
xn
Las propiedades anteriores también se aplican a los logaritmos naturales: 1. ln 1 = 0 2. ln en = n En particular: ln e = 1
3. xe x ln
4. Logaritmo natural de un producto: ln (x . y ) = ln x + ln y
5. Logaritmo natural de un cociente: yxy
xlnlnln
6. Logaritmo natural de una potencia: ln xn = n ln x
7. Logaritmo natural de una expresión radical: n
xx
nxx nn ln
ln1
lnln
1
Ejemplo 2 . Aplique propiedades de los logaritmos para cambiar cada expresión en sumas y restas, tanto como sea posible.
a) 432log myxa
b)
4 32
53
logcba
yxa
c)
3
2
556
)32()2(log
xx
xx
PRACTICA:PROPIEDADES DE LOGARITMOS
A) Escriba en un solo logaritmo las siguientes expresiones aplicando las propiedades de logaritmos, reduciendo al máximo cada expresión.
1-) 32log52log3
1log2 xxx R/
5
32
32
2log
x
xx
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32 | P á g i n a
2-)
y
xyxyx aaaa log3log2log3log4 3 R/
2
logy
xa
3-)
y
xyxxy aaa log2log3log 35 R/
10
4
logx
ya
4-)
423
log2
1log7log2 xyy
x
ybbb R/ 0
5-)
a
aa aaa log
1loglog2 R/
2
3
6-) xxx log4log2
1log
3
1 46 R/ xlog2
7-)
1
32log
23
12log
2
2
2
2
x
xx
xx
xx R/
2
3log
x
x
8-)
6
44log
44
4log
2
2
2
2
xx
xx
xx
x R/
2
3log
x
x
9-)
yn
n
y
y
xn
x
ynlog
5log
2loglog
2
2
R/ 1
10-) 3
333 log33log3log6 yyy R/ 3
11-) 1log1log1log2 2 xxx R/ 1log x
12-) 2
8
log
log5
x
x R/ 1
13-) 32 lnln xx ee R/ 5
14-) 1ln1ln1ln 2 xxx R/ 0
B) Escriba en términos de sumas y restas tanto como sea posible las siguientes expresiones aplicando las propiedades de logaritmos, reduciendo al máximo cada expresión.
1-) cd
ablog R/ dcba loglogloglog
2
1
2-)
3
2
logz
yx R/ zyx log3loglog2
3-)
wy
xz4
2
log R/ wyxz loglog4log2
1log2
4-) 35
2
logxz
y R/ zxy log
3
5log
3
1log
3
2
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33 | P á g i n a
5-)
3
4
2
logz
yx R/ zyx log
3
4log
3
2log
6-)
3 2
6
logz
xy R/ zyx log
3
2log6log
2
1
7-) 3 3log yzx R/ zyx log2
1log
6
1log
3
1
8-)
84
28log
3
2x
xx R/ 2log2log1 22 xx
C) Verifique las siguientes identidades logarítmicas.
1) 2
5ln 2 ee
2) 6
7ln
3 2 ee
3) xx ee lnln 2
= 2
4) 6
11log 3 53 bbb
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Una ecuación es logarítmica si la variable es parte de un número cuyo logaritmo será tomado, es decir la variable aparece en el argumento del logaritmo. Una ecuación logarítmica es una expresión como la siguiente:
log x + log (x –1) = 10 En la resolución de estas ecuaciones siempre deben ser probadas las raíces o soluciones debido a que el dominio de la función logarítmica está restringido a IR+ (el argumento es siempre positivo). Obviamente pueden obtenerse resultados que no correspondan a verdaderas soluciones de la ecuación. Para resolver ecuaciones logarítmicas se utilizan:
las propiedades de los logaritmos
la definición de logaritmo:
la siguiente propiedad:
xayx ya log
si loga f (x) = loga g(x)
entonces f (x) = g(x)
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Precálculo
34 | P á g i n a
Ejemplo 1: Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones logarítmicas.
a*) 21log32log 33 x
f) 26loglog2 xx
b*) 76log2log 22 xx
g) Z
EJERCICIOS ECUACIONES LOGARÍTMICAS
1) 2ln10lnln x 8) 3log236loglog x
2) 12log54log 33 xx 9) 11log3log 1212 xx
3) 15log5log3log 333 xx 10) 84ln45ln45ln xx
4) 16log 2 x 11) 373log3log 22 xx
5) 11log23log 32
3 xxx 12) 1ln1ln 2 xx
6) 23log2log 22
2 xxx 13) 0log29 4 x
7) 13log23log 22 xx 14)
xx
2log2log3log 888
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35 | P á g i n a
opuesto
adyacente
hipotenusa
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
ÁNGULO Porción de plano, separada por dos rayos y un vértice en común y Un ángulo colocado en un plano semejante rectangular se dice que está en la posición estándar si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo x. .Los ángulos pueden ser positivos se dibujan contrario a las manecillas del reloj y negativos en caso contrario.
Ejemplos 300 º – 225 º 630 º
Los ángulos se pueden medir en grados o radianes y se puede convertir de la siguiente manera
Para cambiar grados a radianes se multiplica por 180
150 º = 540 º = 60 º = 225 =
Para cambiar radianes a grados se multiplica por 180
3
4
7
3
12
5
\DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En todo triángulo rectángulo definimos las siguientes razones
Sen = opuesto
hipotenusa csc
hipotenusa
opuesto
Cos = adyacente
hipotenusa sec
hipotenusa
adyacente
tan = opuesto
abyacente cot
adyacente
opuesto
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Precálculo
36 | P á g i n a
Ejemplos: Si es un ángulo agudo y cos = 5
3 , encuentre el valor de todas las funciones
trigonométricas de
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Precálculo
37 | P á g i n a
x
y
ry
x
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO .
Si es un ángulo en posición estándar y P( x , y ) es un punto distinto del origen y situado sobre el lado final
del ángulo , entonces las seis funciones trigonométricas del ángulo se define como sigue
Sen = y
r csc
r
y
Cos = x
r sec
r
x
tan = y
x cot
x
y
Ejemplos
Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo tiene al
punto P( – 5 , –12)
Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo tiene al
punto P( – 8 , 15)
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Precálculo
38 | P á g i n a
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES
CIRCULO TRIGONOMETRICO
Sen = y
cos = x
Tan =
cos
sen
x
y
Csc = seny
11
Sec = cos
11
x
Cot =
seny
x cos
Además se cumple que 1cos1 2222 senyx
De esto 22 cos1 sen 22 1cos sen
Usando la formula anterior podemos deducir las siguientes identidades
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
22
2
2
21cos
sensensen
sen
22 sec1tan 22 csccot1
Ejemplos Demostrar la identidad
2
cos x csc xtan x
cot x
sen x cos x
1csc x sec x
OTRAS IDENTIDADES IMPORTANTES
Fórmulas del doble ángulo
Sen 2A = 2sen A cos A Cos 2A = cos 2 A – sen 2 A
sen2 A = 2
2cos1 A cos2 A =
2
2cos1 A
Fórmulas de la suma y resta de ángulos
Sen ( A + B ) = sen A cos B + sen B cos A cos ( A + B ) = cos A cos B – sen A sen B
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Precálculo
39 | P á g i n a
Sen ( A – B ) = sen A cos B – sen B cos A cos ( A – B ) = cos A cos B + sen A sen B
Ejemplos Si tan A = 5
12 y sec B =
5
3 Calcule
a) sen ( A + B) =
b) cos ( A – B) =
Gráfica de las funciones trigonométricas
LLaa ffuunncciióónn sseennoo
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje
de abcisas aparece la medida del ángulo en
radianes.
Es la gráfica de una función continua y definida en R.
Los valores del seno se repiten cada 2 radianes (cada 360º). Este valor se llama periodo de la función
Esta gráfica se llama sinusoide.
ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
seno
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Precálculo
40 | P á g i n a
LLaa ffuunncciióónn ccoosseennoo
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
coseno
La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje
de abscisas está la medida del ángulo en radianes.
También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua.
Los valores del coseno también se repiten cada 2 radianes (cada 360º).
Esta gráfica se llama cosinusoide.
LLaa ffuunncciióónn ttaannggeennttee
Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:
¿Qué ocurre con la tangente de 90º y con la de 270º?
Ahora representa la función tan . Sólo para valores
del intervalo ] -/2 , /2 [. (Este intervalo en grados sexagesimales se corresponde de –90º hasta 90º). En el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en radianes. La gráfica de la función tangente que has obtenido será semejante a la que tienes a continuación: Esta función no está definida para cualquier valor de x.
Como has podido ver los ángulos 90º (/2 rad) y 270º (3/2 rad) no tienen tangente. Tampoco existe la tangente para los ángulos que se obtiene a partir de los anteriores sumándoles 360º. El dominio de la función tangente será:
D(f) = R { / 2 + k · siendo k Z
ángulo 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 225º 270º 315º 360º
tangente
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
41 | P á g i n a
Funciones trigonométricas inversas.
El seno, en es monótona creciente, entonces podemos definir el inverso de la función seno restringida al intervalo . Análogamente podemos considerar la función coseno en el intervalo La tangente en es una función creciente cuya inversa estará definida en todo .
Así tendremos las siguientes definiciones:
1. Función arcoseno.
, . El arcoseno se define como el único tal que.
2. Función arcocoseno.
. El arcocoseno se define como el único tal que cos y x . La imagen del arcocoseno es el intervalo .
3. Función arcotangente.
, . La arcotangente se define como el único tal que . La imagen de la arcotangente es el intervalo .
Determine
a) tan ( arcsen 3 5 )
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
42 | P á g i n a
b) Evaluar 1 4
sen ( arctan arccos )2 5
Ecuaciones trigonométricas
Son aquellas en las que aparece alguna razón trigonométrica de la incognita. Para resolverlas es conveniente :
1º Expresar todas las razones que aparezcan en función de un mismo ángulo.
2º Expresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica.
Estos dos pasos se consiguen utilizando las fórmulas trigonométricas estudiadas anteriormente.
Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
1) 2sen(x) – 3 =0
2) sen(2x)=2sen(x)
3) cos2(x) – 3sen(x)=3
Soluciones:
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
43 | P á g i n a
50°
18
x
c b
a CB
A
110°
32° A
B
C
8
c b
aCB
A
Aplicaciones a la resolución de triángulos.. Ley de senos
Se usa para encontrar los lados o ángulos de un triángulo
a b c
sen A sen B sen C
De acuerdo a las figuras calcule x e y
Y y
y
TEOREMA DE LOS COSENOS
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el
doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
2 2 2 2 cosc a b ab C
2 2 2b a c 2accos B
Ejemplos 1) Los lados de un triángulo miden respectivamente 13, 14 y 15 cm. Hallar la medida de los ángulos del triángulo.
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
44 | P á g i n a
9
12
15
12
5
13
nm
r
178
65
B
A
C
18 21
a
2) Resuelva el triangulo
PRACTICA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 1) Convierta los siguientes ángulos a radianes y dibújelos a) – 120º e) 315º b) – 405º f) 300º c) 135º g) – 200º d) 1080 º h) – 270º 2) Convierta los siguientes ángulos a grados y dibújelos
a) 12
e)
10
3
b) 3
5 d)
6
5
c) 2 e) 4
d) 4
15 f)
6
7
3) Calcule el resto de las funciones trigonométricas de si
a) tan = 12
5 d) cot =
7
3
b) sen = 15
12 e) csc = x
c) cot = 3
1 f) sec =
2
5
4) Calcule las razones trigonométricas de
a) b) c) d)
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
45 | P á g i n a
e) Si tan = 1
2 f) Si cos =
5
3 g)
2sen
29 h)
7tan
2
5) Funciones trigonométricas de 30º , 45 º y 60º De acuerdo a los triángulos .Complete el siguiente cuadro.
6)Encontrar el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado final del ángulo ,si esta
en posición estándar y satisface las condiciones dadas
a) El punto P ( 6 , 8) está en el lado terminal de
b) El punto P (–12 , 5) está en el lado terminal de
c) El punto P ( – 2 , –5) está en el lado terminal de
d) El punto P ( 3 , –4) está en el lado terminal de
7) Calcule las siguientes expresiones
a) Sen ( x + ) =
b) Cos ( x + 2
) =
c) Sen ( x – 30º) = d) Cos ( x –180º) =
Función / ángulo
30º
45º
60º
Sen
Cos
Tan
Csc
Sec
Cot
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Precálculo
46 | P á g i n a
7) Si tan A = 4
3 y sec B =
12
15 Calcule
c) sen ( A + B) = d) cos ( A – B) =
8) Si Sen A = 17
8 Calcule
a) sen ( 2A) = b) cos ( 2A) =
9) Usando la calculadora calcule el valor de ángulo ( shifh función valor = )
a) 1
sen2
e) 4
sen7
i) sen 0.34
b) 2
cos 5
f) tan 3 j) cos 0.457
c) tan = 1
2 g)
1cos
2 k)
7tan
4
d) 2
sen 5
= h) sen 1 l) 15
17sen
10) Verifique las identidades trigonométricas 1. cos tg = sen
2. sen sec = tg
3. sen cotg = cos
4. sen tg + cos = sec
5. cosec - sen = cotg cos
6. (sen + cos)2 + (sen - cos)
2 = 2
7. (sen + cosec)2 = sen2 + cotg2
+ 3
8.
eccos2
sen
cos1
cos1
sen
9.
cos
tggcot
eccos
10. cos4 - sen4
+1= 2 cos2
11. sec4 - sec2
= tg4 - tg2
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Precálculo
47 | P á g i n a
12. (sec + cos) (sec - cos) = tg2 + sen2
13. (1+ tg2) cos2
= 1
14. sen2 + sen2
tg2 = tg2
15. sec2 + cosec2
= sec2 cosec2
16. tg + cotg = sec cosec
17. (1 + cotg2) sen
2 = 1
18. cos4 - sen4
- 2 cos2= -1
19. sen3 cos + cos3
sen = sen cos
20.
eccos2
sen
cos1
cos1
sen
11) Resuelva los problemas ( Ley de senos y cosenos)
0) Desde un punto ubicado en una torre a 15 m de altura, se observa, con un ángulo
de depresión de 68º, un objeto en el plano de la base de la torre, ¿cuál es la distancia
aproximada del objeto a la base de la torre?
( ) 5,62 m ( ) 6,06 m ( ) 37,13 m ( ) 40,04 m
1) De acuerdo con los datos de la figura, en el rombo ABCD, ¿cuál es la longitud
aproximada de AC ?
( ) 5,30
( ) 6,25
( ) 8,48
( )18,87
B
C
D
A
532º
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
48 | P á g i n a
B C
DA
35º
20
A C
B
D
2) De acuerdo con los datos del rectángulo ABCD, ¿cuál es la medida aproximada
de AC ?
( ) 11,47 ( ) 24,42
( ) 16,38 ( ) 28,56
3) En ABC, AB = BC, ) 50m ACB y AC = 10 cm ¿cuál es la medida
aproximada de BD ?
( ) 3,21 cm
( ) 3,83 cm
( ) 4,20 cm
( ) 5,96 cm
4) Desde la cúspide de una torre de 14 m de alto se observa, con un ángulo de
depresión de 32°, un objeto ubicado en el mismo plano horizontal que la base de la
torre. ¿A qué distancia aproximada se encuentra el objeto de la base de la torre ?
( ) 8,75 m ( ) 16,51 m ( ) 22,40 m ( ) 26,42 m
5) De acuerdo con los datos de la figura, si ABCD es un paralelogramo, entonces ¿cuál es
aproximadamente el perímetro de ese paralelogramo?
( ) 48,33
( ) 68,39
( ) 65,73
( ) 53,24
20
6
25° D
C B
A
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
49 | P á g i n a
B
4
C
A
D
48°
48°
6) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la longitud aproximada de BC ?
( ) 2,01
( ) 2,23
( ) 2,70
( ) 4,48
7) Desde la cúspide de una torre se observa, con un ángulo de depresión de 32°, un
objeto ubicado a 12 m de la base de la torre en el mismo plano horizontal. ¿Cuál es la
altura aproximada de la torre?
( ) 6,36 m ( ) 7,50 m ( ) 10,18 m ( ) 19,20 m
8) De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de BC ?
( ) 7,20
( ) 8,88
( ) 5,38
( ) 10,77
3
A C D
B
48°
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
50 | P á g i n a
50°
18
x
A
B
C
D
48°
10
9) Considere la siguiente figura.
De acuerdo con los datos de la figura, la altura aproximada del árbol es ( ) 11,72
( ) 11,82
( ) 14,20
( ) 9,23
10) Considere el siguiente triángulo.
De acuerdo con los datos de la figura, el valor aproximado de x es
( ) 21,45
( ) 11,57
( ) 15.10
( ) 13,79
11) Considere la siguiente figura.
De acuerdo con los datos de la figura, en el rombo ABCD, ¿cuál es la longitud aproximada de AC ?
( ) 13,38
( ) 14,86
( ) 22,21
( ) 29,89
12) Desde un punto, ubicado en una torre vertical y con un ángulo de depresión de 58°, se observa
un objeto en el plano de la base de la torre a 10 m de distancia de dicha base. ¿A qué altura
aproximada se encuentra el punto de observación ubicado en la torre?
( ) 6,25 m ( ) 8,40 m ( ) 16,00 m ( ) 18,27 m
38° 15
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
51 | P á g i n a
P
R Q
3
25°
70°
13) Considere la siguiente figura.
Si ABCD es un rombo donde AB = 8, ) 112m DAB , entonces ¿cuál es la medida
aproximada de AC ? ( ) 13,26
( ) 14,30
( ) 23,72
( ) 8,95
14) En ABC, si m ABC) = 90°, BC = 37, m BCA ) = 25°, entonces ¿cuál es la longitud
aproximada de AB ? ( ) 17,25 ( ) 79,35 ( ) 15,64 ( ) 33,53
15) Si en ABC , m ) ABC = 72°, m )BCA = 40° y AB = 12, entonces ¿cuál es la medida aproximada de
AC ?
( ) 8,11 ( ) 4,84 ( ) 7,33 ( ) 17,75
16)Considere la siguiente figura.
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de PR ?
( ) 1,35
( ) 1,27
( ) 0,13
( ) 1,19
A
B
C
D
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
52 | P á g i n a
R
S T 54°
18
20
110°
32° A
B
C
8
A B
C
45º
60º
3
17) Considere el ABC.
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es la medida aproximada de BC ?
( ) 6,89
( ) 9,29
( ) 12,21
( ) 14,19
18) Considere el RST.
De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es el valor aproximado de ?
( ) 47°
( ) 64°
( ) 36°
( ) 62°
19) De acuerdo con los datos de la figura la medida de AB es
( ) 6
2
( ) 1
2 2
( ) 1
2 6
( ) 3 2
2
20) De acuerdo con los datos de la figura la longitud de AB es
( ) 24 2
( ) 8 2
( )8
2
( ) 2
2
B
AC
75°
45°
48
Universidad Técnica Nacional ( UTN )
Precálculo
53 | P á g i n a
Respuestas 11 ( Ley de senos y cosenos)
0 B 4 C 8 A 12 C 16 B 20 C
1 A 5 B 9 A 13 D 17 A
2 C 6 D 10 A 14 A 18 D
3 D 7 B 11 A 15 D 19 D
12) Resuelva los siguientes ecuaciones
1) 023 sen
2) tan x – 2 = – tan x, 3) sen2x – sen x = 0,
4) csc x = 2 cot x
5) cos x = 3 – cos x
6) tan2 x – 3 tan x = 0
7) 2sen2 x = sen x en 8) sen x ∙ cos x = cos 9) (2cos x –1)(2cos x – 3 ) = 0
10) 2tan x = 3 sec x
11) tan2 = 3sec2 en 2 , 0
12 ) 2 sen x cos x = 2 cos x
13) 2(sec 4) (cot 1) 0x x
14) 4 cos secx x
15) 22 3cossen x x
16) 1 – 2sen x = 2