Universidad Técnica Nacional · ¡Impresiona con tu magia! ... Los siguientes son trucos de...
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Universidad Técnica Nacional Área de Matemáticas
Álgebra 1
Contenido
Sesión 10................................................................................................................................. 3 Actividad 10.1: “La magia del álgebra”. ..................................................................................... 3 Actividad 10.1.1. ....................................................................................................................... 3 Actividad 10.1.2. ....................................................................................................................... 4 Actividad complementaria 10.2: .................................................................................................. 4
Expresiones algebraicas ................................................................................................. 5 Actividad 10.3........................................................................................................................... 5 Conociendo las expresiones detrás del truco... ............................................................................ 5 Actividad complementaria. 10.4. ................................................................................................. 6 Hagamos números… .................................................................................................................. 7 Actividad.10.5........................................................................................................................... 7 Actividad 10.6........................................................................................................................... 8
Sesión 11................................................................................................................................. 9
Empleando los polinomios. ................................................................................................... 9 Actividad. 11.1.......................................................................................................................... 9 Descubriendo y deduciendo las fórmulas notables. ....................................................................11 Actividad.11.2..........................................................................................................................11 Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la suma. ................................11 Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la resta. .................................13 Representación Geométrica de la Diferencia de cuadrados .........................................................14 Resumiendo … .........................................................................................................................16 Actividad 11.3..........................................................................................................................16 Poniendo en práctica … ............................................................................................................16 Los primeros productos notables...............................................................................................17 Actividad 11.4..........................................................................................................................19 Pongamos en práctica el modelo: ..............................................................................................19 Actividad 11.5..........................................................................................................................19 Para practicar...........................................................................................................................19 La diferencia de cuadrados .......................................................................................................20 Actividad complementaria 11.6................................................................................................21 Para practicar...........................................................................................................................22 Factor común y agrupación .......................................................................................................22 Actividad complementaria 11.7................................................................................................26 Para practicar...........................................................................................................................27
Sesión 12............................................................................................................................... 27 Actividad. 12.1.........................................................................................................................27 Representación Geométrica de factorización por agrupación ......................................................27 Actividad.12.2..........................................................................................................................29 Análisis de casos.......................................................................................................................29 Buscando factores… .................................................................................................................30 Actividad.12.3..........................................................................................................................31 Poniendo en práctica. ...............................................................................................................31
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Álgebra 2
Actividad. 12. 4. .......................................................................................................................32 Actividad.12.5..........................................................................................................................33 Actividad.complementaria 12.6................................................................................................35 Para practicar...........................................................................................................................35 Actividad.12.7..........................................................................................................................38 Poniendo en práctica … ............................................................................................................38
Sesión 13............................................................................................................................... 39 División de polinomios..............................................................................................................39 Actividad.13.1..........................................................................................................................39 Creando retos…........................................................................................................................39 Actividad complementaria.13.2................................................................................................40 Análisis de casos.......................................................................................................................40
Actividad de cierre ............................................................................................................... 41
Sesión 14............................................................................................................................... 51 Actividad 14.1..........................................................................................................................51 Ecuaciones...............................................................................................................................51
.............................................................................................................................................. 52 Actividad 14.2..........................................................................................................................53 Conociendo más a fondo las ecuaciones …................................................................................54 Actividad 14.3:.........................................................................................................................56 Actividad 14.3..........................................................................................................................56 Actividad 14.1..........................................................................................................................56 El símbolo de igualdad .............................................................................................................56 Actividad 14.1.1 .......................................................................................................................57 Actividad 14.1.2 .......................................................................................................................57
Sesión 15............................................................................................................................... 60 Actividad 15.1..........................................................................................................................60 Actividad 15. 2 .........................................................................................................................61 Despejando … ..........................................................................................................................64 Actividad 15.3..........................................................................................................................64 Actividad 15.4 (complementaria) .............................................................................................65 Construyendo modelos matemáticos para resolver problemas mediante ecuaciones ................65 Casos.......................................................................................................................................65
Sesión 16............................................................................................................................... 66
Inecuaciones ......................................................................................................................... 66 Actividad 16.1..........................................................................................................................66 Actividad 16.2..........................................................................................................................67 Actividad 16.3..........................................................................................................................70
Bibliografía ........................................................................................................................... 72
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Álgebra 3
Sesión 10
Actividad 10.1: “La magia del álgebra”.
¡Impresiona con tu magia!
Actividad 10.1.1.
Piensa en tu número favorito. Súmale 5
Mult iplícalo por 6 Divídelo por 3
Mult iplica por 2
Divide por 4 Réstale tu número favorito
¿Qué resultado obtuviste? _______
¡De seguro que el número que hallaste es el mismo que la cantidad de estrellas en este sombrero del mago!
¿Les sucedió lo mismo a tus compañeros? Pregúntale a tus compañeros
acerca de cuál fue el número que ellos pensaron y cuál ha sido su resultado.
¿Te resulta asombroso? Comparte la experiencia con los compañeros.
Ahora tu profesor pide que pienses en un número y lo dejes secreto. Debes sumar 1 al número y luego mult iplicar por 3. Cuando ya tenga el resultado
reste 6 y divida el resultado entre tres. Dile al profesor cuál fue el número que obtuviste y él adivinará el número en el que habías pensado.
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Álgebra 4
Actividad 10.1.2. Esta es una actividad grupal. Forma grupos de 3 personas.
¡Ahora serás el mago! ¡Sorprende a tus amigos!
Para lograrlo, el equipo debe crear un “Truco” similar al empleado por el profesor y probarlo.
Cuando ya están seguros de que funciona, aplíquenlo con compañeros de
otros grupos y hasta lo puedes usar en casa, sólo por diversión.
Actividad complementaria 10.2: Los siguientes son t rucos de algunos magos reconocidos. Realiza lo que
consideres necesario para saber cuál es la estrategia que cada mago sigue
para darle respuesta a su público.
Truco 1. Piense en un número, pero no lo diga. Ahora réstele 2 a su número, cuando lo haya hecho mult iplica el resultado por 2 y a lo que obtienes debes
sumarle 4. Bien, ahora divide el resultado por 2 y súmale 1. ¿Cuál es el
resultado que obtuviste? … Entonces el número que habías pensado es: _____
Escriba lo anterior expresado de manera algebraica:
Truco 2. Piense un número y no me lo diga. Mult iplica ese número por 3 y luego resta 6. ¿Listo? Bien, ahora debes dividir ese resultado por 3. A lo que
te da debes sumar 4 unidades. ¿Qué número obtuviste? … Entonces el
número que habías pensado es: _____
Escriba lo anterior expresado de manera algebraica:
Truco 3. Piense un número sin mencionarlo. A ese número súmele 4 y lo que
da mult iplíquelo por 3 y luego reste 6 del resultado. Lo que obtienes debes dividirlo por 3. ¿Listo? Bien, ahora debes restar 5 unidades. ¿Qué valor se
obtuvo? … Entonces el número que habías pensado es: _____
Escriba lo anterior expresado de manera algebraica:
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Álgebra 5
Expresiones algebraicas
Actividad 10.3.
Conociendo las expresiones detrás del truco...
¿Has escuchado hablar de valores que se mantienen fijos y de algunos que pueden variar en un contexto? Te diremos de qué se trata…
Hay ciertas cantidades que las expresamos mediante números, y en casos part iculares se usan letras. Se trata de las constantes. Una constante es un
valor permanente que no puede modificarse en el contexto en que está definido. Si es un número real se llama constante real.
Son ejemplos de constantes reales los siguientes: −3, 8, √1
7, −√2, 𝑒, 𝜋, 𝜑
Observa que en los ejemplos anteriores los últ imos dos números están expresados mediante letras, pero en muchos contextos se sabe que
𝑒 = 2.718281828459… 𝑦 𝜋 = 3.1415926535….
Por otra parte, en ocasiones requerimos un representante de varios valores
pero que permita identificarlos de acuerdo a una definición, en estos casos usamos una letra para indicar a elementos con ciertas característ icas. A
estas letras que se designan se les llama variables. Una variable es un símbolo
que se ut iliza en un mismo contexto y que toma valores diferentes de un mismo conjunto numérico definido.
Por ejemplo, si t ienes los números pares posit ivos menores que 10 y lo
representas con la letra x, entonces a x le llamaremos variable y ella puede tomar cualquiera de los valores: 2, 4, 6, 8, o 10.
Ahora que conoces las definiciones anteriores, ¿Sabes qué resulta de
combinar las constantes y variables, mediante las operaciones con números
reales?
En muchos casos es necesario representar cantidades que quizá requieren de valores constantes, pero también de alguno que puede variar. Por
ejemplo, para saber la cantidad de medicamento que debe administrarse
a un paciente, el médico debe conocer característ icas de cada individuo. El peso y la edad son de esas característ icas que varían de persona a
persona, mientras que los componentes del medicamento se mantienen
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Álgebra 6
invariantes en su composición independientemente de las personas a las
que se les recomienda ut ilizarlo. Así entonces el peso y la edad son variables,
que en la fórmula usada para calcular la dosis a recomendar se relacionan mediante operaciones aritméticas y otras cantidades constantes para así
obtener la mejor recomendación a cada paciente. La expresión en la que se combinan constantes y variables mediante
operaciones aritméticas es conocida como expresión algebraica.
En el siguiente cuadro se ilustra algunas expresiones algebraicas ut ilizadas comúnmente.
Fórmula Área temática
o ciencia
Utilidad
𝑣 =𝑑
𝑡
Física.
Movimiento
se ut iliza para calcular la velocidad v,
cuando la distancia recorrida es d y el
t iempo t .
𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑎 ∙ ℎ Matemática. Volúmenes
Se ut iliza para calcular el volumen de un prisma rectangular recto con largo l, ancho
a y altura h.
𝑑 =𝑚
𝑣 Química.
Densidad
Se usa para calcular la densidad d, de un
cuerpo cuya masa es m y su volumen v.
𝐼 = 𝑃𝑖𝑟 Administración.
Interés simple
Se ut iliza para calcular el interés I de un
monto P, a una tasa i en un periodo r.
En algunas de las fórmulas, existen valores que las variables no pueden tomar
pues llevarían a la expresión algebraica a indefinirse. A esos valores que se debe evitar les llamaremos restricciones. Como ejemplo analice ¿qué
ocurriría en la fórmula de la densidad de un cuerpo cuando la variable
volumen toma el valor 0? Analiza que debemos restringir su uso ya que se indefine o toma un valor que no es número real.
Actividad complementaria. 10.4. Observa a tu alrededor y piensa en qué situaciones se requieren fórmulas. Escríbelas y anota si existe algún valor que sea restricción. Puedes entrevistar a un
amigo o familiar si en sus labores diarias usa algunas fórmulas o ecuaciones y si te puede ejemplificar su uso. Comparte tu pequeña investigación con los compañeros de la clase.
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Álgebra 7
Hagamos números…
Se ha venido trabajando con ciertas cantidades que resultan de reemplazar valores en las fórmulas. Cuando se cambian los valores de algunas variables y se realizan las operaciones
indicadas en la expresión algebraica estamos obteniendo el valor numérico de la expresión. Como, por ejemplo, si utilizas la fórmula del volumen de un prisma dada en la tabla y le das
a las variables los valores a=2, l=3 y h=5, se obtiene como resultado v=30. Este número lo llamamos valor numérico de la expresión y en este caso se interpreta como: el volumen de
un prisma cuya altura es 5, y su largo y ancho son 3 y 2 respectivamente. ¿Qué importancia tiene el correcto cálculo de los valores numéricos de ciertas expresiones algebraicas? Algunas personas consideran que el trabajo algebraico es tarea sólo de algunos, pero si bien es cierto a diario se realizan cálculos de vital importancia desde el punto de vista económico,
social, ecológico y sanitario. Así que presta atención cuando tú mismo u otra persona requiera de valores numéricos pues su exactitud puede representar más allá que una simple
operación.
Dada la importancia de las expresiones algebraicas, se hace necesario un análisis más detallado de sus características y por ende de su clasificación.
Actividad.10.5. Investiga qué significan los prefijos: mono, bi, t ri, poli y en cuáles disciplinas o
contextos son ut ilizados. ¿Se te hacen familiares? Comenta con tus compañeros.
Observa los patrones y completa los que hacen falta:
1) 3𝑥2,6𝑥4, 12𝑥8,24𝑥16, _________
2) 𝑎𝑏, 2𝑎2𝑏2 , 3𝑎3𝑏3, 4𝑎4𝑏4, __________
3) 𝑎 + 𝑏, 𝑎3 + 𝑏3, 𝑎5 + 𝑏5, 𝑎7 + 𝑏7, __________
4) 1 +2𝑚
3+𝑛, 2 +
3𝑚2
4+𝑛2 , 3 +
4𝑚3
5+𝑛3 , 4 +
5𝑚4
6+𝑛4 , __________
Las expresiones algebraicas pueden ser clasificadas en monomios, binomios,
t rinomios y polinomios. La parte “nomio” hace referencia a la palabra nombre. Así definiremos lo siguiente:
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Álgebra 8
Un monomio es una expresión algebraica que sólo contiene mult iplicación
de números reales y una o más variables con exponentes naturales. Son
ejemplos de monomios: 3
7𝑎𝑏,
4𝑥𝑦
√3, −12, −𝜋𝑘2𝑛𝑝5.
¿Entonces qué es un binomio? Y ¿un trinomio? _________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Actividad 10.6. Observa con atención el siguiente rectángulo. En él se encuentran
sombreados algunos rectángulos.
Asuma que el largo del rectángulo pequeño mide y, y el ancho mide n,
todos los rectángulos pequeños son iguales. Escriba en el espacio indicado lo que se solicita en cada caso:
a) el área sombreada del rectángulo pequeño _______________ b) el perímetro del rectángulo pequeño ___________________
c) el área sombreada del rectángulo grande ________________
d) el perímetro de ese rectángulo grande __________________
Si te detienes un momento, podrás ver que las expresiones algebraicas sirven para representar medidas, las cuales en este caso se usarían en el cálculo
de áreas y perímetros. Para poder realizarlo se debió ut ilizar sumas y
mult iplicaciones entre las cantidades. Por eso es importante definir las operaciones con polinomios y expresiones algebraicas.
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Álgebra 9
Sesión 11
Empleando los polinomios.
Suponga que se debe hacer una visita a una empresa y que para llegar a ella se debe viajar 3 kilómetros en autobús y 400 metros caminando. ¿Cómo
puede representar la distancia en una sola cantidad? ¿Cuál es la distancia recorrida?
Anota en el siguiente espacio la distancia recorrida en total, en metros: ________ y acá _______ la cantidad total en kilómetros.
Lo mismo sucede cuando vamos a sumar o restar polinomios, sólo podremos
realizar la operación cuando los términos literales sean exactamente iguales.
Por ejemplo, los monomios 2𝑎𝑏, −7𝑎𝑏,2
5𝑎𝑏 cuentan con el factor 𝑎𝑏, así que
se denominan monomios semejantes. Otro grupo de monomios semejantes
es el siguiente: 𝑥𝑦2
3, 𝑥𝑦2, −5𝑥𝑦2, −√17𝑥𝑦2 , cuyo factor literal es 𝑥𝑦2.
Así que solo podremos sumar o restar monomios que sean semejantes. Por ejemplo, para hallar la cantidad de metros en el caso citado anteriormente,
se debió indicar la distancia de 3 kilómetros en metros, es decir, 3000 metros. Así se pudo adicionar los 400 metros y decir que en total se recorrieron 3400
metros. En otra manera: 3000 m + 400 m = 3400 m. Conservando la unidad
de medida en metros y operando con los números.
Actividad. 11.1 Pon en práctica lo aprendido y trabaja en las siguientes situaciones:
1. Si una persona piensa viajar a Estados Unidos, y para ello cuenta con un ahorro de 1550 dólares y 450 000 colones. ¿Cuántos dólares en total tendrá
disponibles para el viaje?
2. Se requiere decorar el borde de una ventana que t iene la forma que se
ilustra en la figura. ¿Cuántos metros de cinta decorativa deben comprarse?
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Álgebra 10
3. De acuerdo con las figuras indique el área de la figura que se forma con dos de los cuadrados y tres de los rectángulos dados.
x x
x 2x
4. Exprese algebraicamente el perímetro de cada figura
50 cm
0,3534 m
m
25 cm 0,25 m
2
𝑑
3
𝑑
3
1
1
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Álgebra 11
En los casos anteriores se han realizado operaciones con monomios y
polinomios. Se estudiará a continuación una serie de fórmulas que son comunes y facilitarán el t rabajo de realizar mult iplicaciones de polinomios
que cumplen ciertas característ icas. Éstas son conocidas como fórmulas
notables.
Descubriendo y deduciendo las fórmulas notables.
Actividad.11.2. A continuación, se plantean algunas actividades en las que mediante el
análisis de figuras geométricas se van a descubrir e ilustras los conocidos productos notables.
Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la suma.
Todas las formulas notables t ienen una representación geométrica en el
plano. Para el caso de la diferencia de cuadrados, se considera el área de
un cuadrado de lado 𝑎 + 𝑏. Cada lado se divide en dos segmentos de medidas a y b, por lo que las regiones que se forman hacen que el cuadrado
se visualice de la siguiente manera:
a + b
a + b
a
b
b a
a+b
a+x
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Álgebra 12
Acciones a seguir en esta actividad.
1) Con base en ilustración dada, compruebe geométricamente que el área total es igual a la suma de las áreas de las partes.
2) Calcule el área de la figura completa, del lado 𝑎 y escriba el resultado sobre la figura correspondiente.
3) Calcule el área de cada una de las partes y escriba el resultado sobre
la figura correspondiente. 4) Con base en los resultados obtenidos en las actividades 1 y 2,
compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la
suma de las áreas de las partes.
Como usted puede comprobar, la suma de las áreas de estos cuadrados y
rectángulos es igual al área total del rectángulo de lados 𝑎 y 𝑏. Es decir:
= + + +
= + + +
Reordenado la ecuación y desarrollando algunos términos, se obtiene la fórmula notable:
=
=
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Álgebra 13
Representación Geométrica del cuadrado de un binomio. Caso de la resta.
Todas las fórmulas notables t ienen una representación geométrica. Para el
caso del cuadrado de la resta, se considera el área de un cuadrado de lado 𝑎. Cada lado del cuadrado se divide en dos partes, de manera que una de
ellas mida 𝑏 y la otra mitad la diferencia entre 𝑎 y 𝑏 ; por lo que las regiones que se forman hacen que éste se visualice de la siguiente manera:
Acciones a seguir en esta actividad
1) Con base en la ilustración anterior compruebe geométricamente que
el área total es igual a la suma de las áreas de las partes.
2) Calcule el área de la figura completa, de lado 𝑎 y escriba el resultado sobre la figura correspondiente.
3) Calcule el área de cada una de las partes y anote el resultado sobre la figura correspondiente.
4) Con base en los resultados obtenidos en las actividades 1, 2 y 3 y a
part ir de la comprobación geométrica, compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la suma de las áreas de las
partes.
Como usted pudo comprobar geométricamente, la suma de las áreas de
los cuadrados y rectángulos es igual al área total del rectángulo de lado 𝑎. Es decir:
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Álgebra 14
= + + +
Reordenado la ecuación y desarrollando algunos términos, se obtiene:
Área total = Suma de las áreas de las partes.
= + + +
= + +
= + +
= + + por lo tanto se t iene:
– + =
A esta igualdad se le llama: cuadrado de la resta de un binomio
Representación Geométrica de la Diferencia de cuadrados
Todas las formulas notables t ienen una representación geométrica. Para el
caso de la diferencia de cuadrados, se considera el área de un rectángulo
de lados 𝑎 y 𝑎 + 𝑏. El lado del rectángulo que mide 𝑎 se divide en dos partes, la parte menor mide 𝑏 por lo que la parte mayor es igual a 𝑎 − 𝑏. El lado de
medida se divide en dos partes a y b; por lo que las regiones que se
forman hacen que éste se visualice de la siguiente manera:
a + b
a - b
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Álgebra 15
Acciones a desarrollar en esta actividad
1) Con base en el material dado, compruebe geométricamente que el área total es igual a la suma de las áreas de las partes.
2) Calcule el área de la figura completa, de lado y escriba el
resultado sobre la figura correspondiente.
3) Calcule el área de cada una de las partes y escriba el resultado sobre la figura correspondiente.
4) Con base en los resultados obtenidos en las actividades 1 y 2, compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la
suma de las áreas de las partes.
Como usted puedo comprobar, la suma de las áreas de estos cuadrados y
rectángulos es
igual al área total del rectángulo de lados 𝑎 y 𝑎 + 𝑏. Es decir:
= + + +
Reordenando la ecuación y desarrollando algunos términos, se obtiene la tercera fórmula notable:
Área total
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Álgebra 16
Resumiendo …
Las fórmulas notables se presentan en el siguiente cuadro y al lado un
ejemplo de su uso.
Actividad 11.3.
Poniendo en práctica …
A) Desarrolle los siguientes productos notables.
1. (𝑥 − 3)2 2. (𝑎 + 4)2 3. (5𝑦 − 1)2
4. (𝑝 + 𝑞)(𝑝 − 𝑞) 5. (𝑦 − 𝑧)(𝑦 + 𝑧) + (𝑦− 6)2
B) Identifique la fórmula notable que se ilustra en cada caso. Escriba el
nombre de la fórmula en el espacio en blanco.
1. 9𝑥2 +30𝑥 + 25 _________________ 2. 100 − 20𝑎 + 𝑎2 _________________
3. 121𝑣2 −4 _____________________
4. 𝑧4 + 2𝑧2 +1 ____________________
Después de hacer los ejercicios anteriores, habrá notado que en unos casos
se desarrolla la fórmula notable mientras que en otros se expresa como una mult ipliación. En ese segundo caso se está factorizando la expresión. Se
estudiará el proceso de factorización.
Al estudiar el tema de factorización para expresiones algebraicas, debemos
tener presente el significado del proceso: ¿cómo podríamos factorizar si no
tenemos claro lo que significa este concepto? Recordemos que factorizar una expresión significa: “expresarla como product o de sus fact ores”.
Lo anterior sugiere entonces, que una expresión algebraica se puede expresar de dos maneras: una de forma desarrollada (expandida) y otra de
forma factorizada. El siguiente ejemplo muestra una misma expresión
algebraica escrita en ambos formatos:
Fórmula Ejemplo
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (2𝑥 + 3)2 = (2𝑥)2 + 2(2𝑥)(3) + 32 = 4𝑥2+ 12𝑥 + 9
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (√7 + 𝑚)2 = (√7)2 − 2(√7)(𝑚) + 𝑚2 = 7 − 2𝑚√7 + 𝑚2 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 (𝑦 − 4)(𝑦 + 4) = 𝑦2 − 42 = 𝑦2 − 16
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Álgebra 17
Expresión desarrollada Expresión factorizada
𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚 − 𝟑𝟓𝒚𝟐 (2𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 − 7𝑦)
De esta manera, expandir y factorizar son procesos inversos. Expandir una
expresión siempre resulta ser un método más sencillo de realizar, mientras que factorizar requiere de más herramientas y muchas veces no resulta tan
sencillo identificar el formato estándar de las expresiones, para poder elegir
adecuadamente un método.
Para recordar un poco sobre como expandir expresiones escritas en forma
factorizada, repasaremos la propiedad distribut iva (recuerde que esta
propiedad es distribut ividad de la mult iplicación con respecto a la suma), que nos permit irá realizar el proceso de transición de una factorización
hacia expansión para la expresión factorizada:
(2𝑥 + 5𝑦)(4𝑥 − 7𝑦) = 8𝑥2 − 14𝑥𝑦+ 20𝑥𝑦− 35𝑦2 = 8𝑥2 + 6𝑥𝑦− 35𝑦2
Note que cada término del primer factor, se mult iplica con cada término del
segundo factor. Para reducir el resultado al máximo, se suman los términos semejantes entre sí, pero, ¿qué son términos semejantes?
Recordemos… Los términos semejantes son aquellos monomios (combinación de variables y números unidos únicamente por
mult iplicación) que t ienen el mismo factor literal, es decir, la parte
del monomio formada por el producto de las variables es la misma. Note que en el ejemplo anterior los términos −14𝑥𝑦 y 20𝑥𝑦
son semejantes, pues poseen el mismo factor literal 𝑥𝑦.
Part iendo de esta pequeña introducción, volvamos la mirada nuevamente a las fórmulas notables básicas, pero ahora las usaremos para factorizar
expresiones algebraicas.
Los primeros productos notables
Supongamos que queremos desarrollar el siguiente producto: (𝑥 + 5)(𝑥 + 5),
para lo cual nos vamos a apoyar en la propiedad distribut iva que previamente estudiábamos en la introducción:
(𝑥 + 5)(𝑥 + 5) = 𝑥2 + 5𝑥 + 5𝑥 + 52 = 𝒙𝟐 +𝟏𝟎𝒙+ 𝟐𝟓
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Álgebra 18
Note que la expresión anterior, posee el siguiente formato:
(𝒙 + 𝟓)2 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 5) = 𝒙𝟐 +𝟐(𝒙 ∙ 𝟓)⏟ +𝟓𝟐
Analicemos otro caso para ver si identificamos el mismo patrón:
(𝟑𝒙+ 𝟐)2 = (3𝑥 + 2)(3𝑥 + 2) = 9𝑥2 +12𝑥 + 4 = (𝟑𝒙)𝟐+𝟐(𝟑𝒙)(𝟐) + 𝟐𝟐
Note que el formato se conserva, esto por la razón de que cada una de
estas expresiones está just ificada por la siguiente fórmula notable, estudiada anteriormente:
Análogamente, se puede inducir la siguiente fórmula:
Retomemos ahora el modelo mediante el proceso inverso, es decir,
supongamos que tenemos una expresión desarrollada y queremos saber si
se puede factorizar ut ilizando alguna de estas fórmulas: ¿cómo podemos identificarlo?
Siga los siguientes consejos:
1. Asegúrese primero de que consta de 3 términos, ordénelos según la forma de la fórmula y verifique que los extremos sean cuadrados.
2. Luego, extraiga la raíz cuadrada de los dos extremos. 3. Verifique que el término central corresponde al doble producto de las
raíces cuadradas obtenidas en el paso anterior.
4. El signo del término central, nos indicará si es el caso de cuadrado de la suma o cuadrado de la resta (caso 1 o 2).
Si esto se cumple, entonces el modelo corresponde a una de las fórmulas
notables estudiadas.
1º
término 2º término
Es el doble de los dos
términos
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
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Álgebra 19
Actividad 11.4.
Pongamos en práctica el modelo:
Se t iene la expresión 𝑎4 − 2𝑎2𝑏2 + 𝑏4 y queremos determinar si esta expresión corresponde a alguna de las fórmulas notables. Note que la expresión ya
está ordenada según el modelo:
Paso 1: Tenemos una expresión de tres términos, los extremos son cuadrados y el término central es −2𝑎2𝑏2
Paso 2: Tenemos que √𝑎4 = 𝑎2 y √𝑏4 = 𝑏2
Paso 3: Note que el término central corresponde al doble del producto de las raíces anteriores.
Paso 4: Cómo el término central es negativo, el modelo se expresa como el caso 2.
Finalmente, tenemos: 𝑎4 − 2𝑎2𝑏2 + 𝑏4 = (𝑎2 −𝑏2)2
Caso: El cuadrado de la figura t iene como área la expresión 9𝑥2 +12𝑥+4. ¿Será posible hallar una expresión algebraica para la medida del lado del
cuadrado? ¿Puedes indicar el perímetro del cuadrado? ¿Qué operaciones
con polinomios son requeridas para indicar el perímetro?
Actividad 11.5
Para practicar
Factorice cada uno de las siguientes expresiones, si es posible, usando las fórmulas notables:
1. 𝑚2 + 2𝑚𝑏 + 𝑏2 2. 9𝑥2 + 6𝑥𝑦+ 𝑦2
3. (𝑚 + 𝑛)2 − 6(𝑚 +𝑛) + 9
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Álgebra 20
4. 𝑤2 −2𝑤
3+1
9
5. 2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥
6. 25𝑥2𝑦4 −20𝑡𝑥4𝑦2 +4𝑡2𝑥6
7. 450𝑟4 +81𝑟8 + 625 8. 12𝑡6 +147+ 84𝑡3
La diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados, es una de las expresiones que suele aparecer
con mayor frecuencia en los procesos de simplificación algebraica, de ahí
la importancia de su estudio. Recordemos su forma:
Los siguientes, son ejemplos de diferencias de cuadrados:
𝑥2 − 49 = 𝑥2 − 72 = (𝑥 − 7)(𝑥+ 7)
25𝑥2 − 1 = (5𝑥)2− 1 = (5𝑥 − 1)(5𝑥 + 1)
En algunas ocasiones se acostumbra a usar el método de una forma no tan evidente como la que se muestra en los casos anteriores. A manera de
ejemplo, ilustramos este argumento:
9𝑥2 −2 = (3𝑥 − √2)(3𝑥 +√2)
En otras ocasiones, un proceso de factorización completa requiere la
aplicación de la diferencia de cuadrados en reiteradas ocasiones, como se muestra en el siguiente ejemplo:
16𝑥4 −81𝑦8 = (4𝑥2 −9𝑦4)⏟ (4𝑥2 +9𝑦4)
Lo anterior, sugiere que para factorizar al máximo la expresión original,
debemos aplicar nuevamente el método de diferencia de cuadrados, de
la siguinete manera:
16𝑥4 − 81𝑦8 = (𝟒𝒙𝟐 −𝟗𝒚𝟒)(𝟒𝒙𝟐+𝟗𝒚𝟒) = (𝟐𝒙− 𝟑𝒚𝟐)(𝟐𝒙+ 𝟑𝒚𝟐)(𝟒𝒙𝟐+ 𝟗𝒚𝟒)
(𝑎− 𝑏)(𝑎+ 𝑏) = 𝑎2 −𝑏2
Nueva diferencia de cuadrados
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Álgebra 21
b
Observe que los términos expresados como sumas nunca se
factorizan, porque no está definida la suma de cuadrados dentro de
las fórmulas notables. Es importante tomar esto es cuenta para no incurrir en posibles errores de confusión.
En constantes ocasiones, a pesar de que las personas hayan ut ilizado el recurso algebraico por muchos años, siguen arrastrando errores en su
aplicación. Unos de las más comunes se detallan en los siguientes casos:
1.(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 𝑦2
2.(𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 − 𝑦2
Pero, ¿dónde está el error? En el primer caso se desarrolla la fórmula notable
estudiada en la sesión 11.2 (cuadrado de la suma de dos cantidades) como
si fuese una simple suma de cuadrados. Por otra parte, vimos que la factorización para la suma de cuadrados no está definida, por tanto, es
imposible factorizar una suma de este t ipo. La expresión 1 quedaría
completa si le agregamos a la suma de cuadrados la expresión 2𝑥𝑦.
El caso 2 es similar, sólo que a diferencia de la suma de cuadrados, la
diferencia si se puede factorizar. Sin embargo en la lección 2 estudiamos la factorización de la diferencia de cuadrados, situación que no corresponde
a la igualdad del caso 2. La expresión (𝑥 − 𝑦)2 corresponde a la fórmula
notable que estudiamos en la lección 1(el cuadrado de la diferencia de dos cantidades).
Actividad complementaria 11.6 Caso. Observe con atención la siguiente secuencia de cómo se construyó un rectángulo
¿Es posible hallar las dimensiones del rectángulo nuevo? Indica una expresión para el área y otra para el perímetro de rectángulo
resultante.
Cuadrado de lado x
Se corta la porción indicada
por la línea amarilla y se une al lado derecho
Rectángulo resultante
Cuadrado de lado x
b
Se corta un cuadrado de lado b
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Álgebra 22
Para practicar
Factorice al máximo, las siguientes expresiones. Recuerde que se pueden
combinar métodos:
1. 𝑢2 − 36 2. 𝑎8 − 𝑏8 3. 1 − 3𝑏2
4. 25𝑥4 −82𝑦2 5. (𝑧 + 1)4 −81
6. 𝑎2 − 𝑚2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
7. −9𝑥2 +24𝑥𝑦 − 16𝑦2 8. (𝑥2 +𝑏2) + 2𝑥𝑏
Factor común y agrupación
En las clases anteriores hemos estudiado algunas fórmulas notables importantes y en especial, formas en que podemos explicar sus procesos de
factorización. Ahora, nos surge la preguntas: ¿son todas las fórmulas
importantes que estudiaremos?
La respuesta es no, faltan otras por estudiar, pero, que en esta clase,
dejaremos de lado para atender uno de los métodos de factorización más
importantes: el factor común, y una variante de este método que es conocido como agrupación.
Empecemos...
Arranquemos esta clase recordando una de las propiedades que
estudiamos al inicio de este curso intensivo, la cual llamamos propiedad
dist ribut iva. El siguiente caso ilustra su funcionamiento:
𝒂(𝑏 + 𝑐) = 𝒂𝑏 + 𝒂𝑐
El concepto de distribut ividad, hace alusión a la idea de repart ir o distribuirse, en el caso anterior, la variable “a” que mult iplica a una suma, se
distribuye entre los términos de la suma.
Ahora, ¿qué relación t iene esta propiedad con el factor común?
Observe detenidamente el proceso a la inversa. Note que si tomamos la
expresión 𝒂𝑏 +𝒂𝑐, vamos a poder identificar que tanto en el primer término como en el segundo, la variable “a” aparece como una factor repetido o
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Álgebra 23
común, entonces, para factorizar la expresión lo que hacemos es aplicar la
propiedad distribut iva en la otra dirección y a ese método lo llamamos
Factor Común.
En esencia, el factor común se obtiene mediante los siguientes pasos:
Paso 1: Identifique el factor común.
En nuestro ejemplo el factor común es la variable “a”.
Paso 2: Extraiga el factor y divida cada término de la suma (resta) entre el
factor común.
Es decir: 𝒂(𝑎𝑏
𝒂+𝑎𝑐
𝒂)
Paso 3: Simplifique cada término, como sigue. 𝒂(𝑎𝑏
𝒂+𝑎𝑐
𝒂) = 𝒂(𝑏 + 𝑐)
Y listo.
Ahora, analicemos algunos casos:
Caso 1:
Se desea factorizar la expresión 15𝑥5𝑦2 + 30𝑥3𝑦4.
Para cumplir con el requisito del paso 1, debemos tomar en cuenta dos
cosas:
1. El factor común para los coeficientes será el máximo común divisor entre los coeficientes. En nuestro caso el máximo común divisor entre
15 y 30 es 15, pues aunque existan otros divisores comunes entre esos
números (por ejemplo el 3,5, etc), se cumple que el mayor de todos ellos es el15.
2. Se obtiene el factor común del factor literal. En nuestro caso, note que en el primer término encontrarnos el factor 𝑥5 mientras que en el
segundo término aparece 𝑥3, entonces el factor común entre ellos es
la menor de las potencias, es decir 𝑥3. Análogamente se obtendría 𝑦2 como el otro factor común.
Combinando los resultados anteriores, podemos ver que el máximo factor
común entre ambos términos sería 15𝑥3𝑦2. Ahora continuamos con el paso 2:
15𝑥5𝑦2 +30𝑥3𝑦4 = 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐(15𝑥5 𝑦2
𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐+30𝑥3𝑦4
𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐)
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Álgebra 24
Ahora, con el paso 3 simplificamos para obtener la expresión final
factorizada al máximo:
15𝑥5𝑦2+ 30𝑥3𝑦4 = 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐(𝑥2 +2𝑦2)
El método conocido como agrupación no es un método del todo nuevo,
sino más bien una variante del método de factor común, pero entonces, ¿en qué se diferencia?.
Lo novedoso del método consiste en que algunas expresiones algebraicas no poseen una factor común para todos sus términos, sin embargo, muchas
veces es posible apreciar que algunos subgrupos de términos sí poseen un
factor común. Si ocurre lo anterior, entonces, procedemos a hacer una agrupación adecuada asociando aquellos términos que posean ese factor
común.
Para comprender el mensaje que queremos comunicar, analicemos el
siguiente caso.
Caso 2:
Se desea factorizar la expresión 6𝑎2𝑏𝑥𝑦− 15𝑎3𝑥2 + 10𝑏𝑦2 − 25𝑎𝑥𝑦.
Note que la expresión algebraica anterior no posee un factor común para
todos sus términos, sin embargo, note que si podemos encontrar factor común entre los primeros dos términos y entre los dos últ imos términos
respectivamente.
Hacemos la siguiente agrupación:
(𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚 − 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐) + (𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐− 𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚) (1)
Analicemos cada paréntesis por separado:
(𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚 − 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐) = 𝟑𝒂𝟐𝒙(𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)
(𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐− 𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚) = 𝟓𝒚(𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)
De esta manera, sust ituyendo los resultados anteriores en (1) se tendría lo
siguiente:
(𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚− 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐)+ (𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐−𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚) = 3𝑎2𝑥(2𝑏𝑦− 5𝑎𝑥)+ 5𝑦(2𝑏𝑦− 5𝑎𝑥)
Sin embargo, el proceso no termina ahí, porque la expresión resultante t iene
ahora un nuevo factor común, como se muestra a continuación:
3𝑎2𝑥(𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)+ 5𝑦(𝟐𝒃𝒚 − 𝟓𝒂𝒙) = (𝟐𝒃𝒚− 𝟓𝒂𝒙)(3𝑎2𝑥 + 5𝑦)
De esta manera, concluimos con la expresión factorizada al máximo.
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Álgebra 25
Note que en el ejercicio anterior hicimos un asocie adecuado de términos
que tuviesen factor común, tomando los dos primeros y los dos segundos por
separado, no obstante, ¿crees que sea la única opción de hacer el asocie adecuado?. Para responder esta pregunta le invito a asumir el reto de
factorizar nuevamente la expresión, pero, en esta oportunidad asocie los términos según lo indican los siguientes colores comunes: 𝟔𝒂𝟐𝒃𝒙𝒚− 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒙𝟐+𝟏𝟎𝒃𝒚𝟐− 𝟐𝟓𝒂𝒙𝒚.
Combinando procesos...
Veamos el siguiente ejemplo presente en la práctica final de la clase 1:
2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥
La idea es factorizar al máximo dicha expresión. Note que primeramente se puede apreciar un factor común entre los términos: 2x.
Entonces, procedemos como sigue:
2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥 = 2𝑥(2𝑎2𝑥
2𝑥−4𝑎𝑏𝑥
2𝑥+2𝑏2𝑥
2𝑥)
= 2𝑥(𝑎2 −2𝑎𝑏 + 𝑏2) por factor común
= 2𝑥(𝑎 − 𝑏)2 por fórmula notable.
Y de esta manera factorizamos la expresión usando dos métodos
combinados. Cuando hemos adquirido cierta destreza en el método, se puede obviar el paso donde se indica que cada término se divide por el
factor común, es decir, el segundo paso, pero, sin olvidar que en el fondo lo que estamos haciendo es aplicando la idea base.
Pasemos a un nuevo caso, donde se desea factorizar la expresión: 9𝑎2 −𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎
Tenemos ahora una situación que se antoja resolver de varias formas. La siguiente tabla resume ambos casos:
Caso 1 Caso 2
Tenemos: 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎 = (𝟗𝒂𝟐 −𝒙𝟐) + (−𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒂) asociamos
= (𝟑𝒂 − 𝒙)(𝟑𝒂 + 𝒙) + 𝟒(−𝒙+ 𝟑𝒂) diferencia de cuadrados y factor común
= (𝟑𝒂 − 𝒙)(𝟑𝒂 + 𝒙) + 𝟒(𝟑𝒂 − 𝒙) identificamos un nuevo factor común = (𝟑𝒂 − 𝒙)((𝟑𝒂 + 𝒙) + 𝟒) se factoriza mediante
facto común. = (𝟑𝒂 − 𝒙)(𝟑𝒂 + 𝒙 + 𝟒)se simplifica eliminando paréntesis innecesarios.
Tenemos: 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎 = 𝟗𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙+ 𝟏𝟐𝒂 identificamos
expresiones con factor común = (𝟗𝒂𝟐 +𝟏𝟐𝒂) + (−𝒙𝟐− 𝟒𝒙) asociamos
adecuadamente los términos con factor común = 3𝑎(𝟑𝒂 +𝟒) + 𝒙(−𝒙 − 𝟒) mediante factor
común en ambos casos.
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Álgebra 26
Note que en el caso 2, no fue posible llegar al mismo resultado que en el
caso 1, entonces, ¿qué fue lo que ocurrió? Las expresiones con las que
regularmente trabajamos, son expresiones bastante simplificadas y esto provoca que durante el proceso de simplificación se anulen términos que
posteriormente, resultan importantes si queremos regresar a la expresión base. Si desarrollamos la expresión factorizada, obtenemos lo siguiente:
(𝟑𝒂− 𝒙)(𝟑𝒂+ 𝒙 + 𝟒) = 9𝑎2 +3𝑎𝑥 + 12𝑎 − 3𝑎𝑥 − 𝑥2 − 4𝑥
= 9𝑎2 + 𝟑𝒂𝒙+ 12𝑎− 𝟑𝒂𝒙− 𝑥2 −4𝑥 note que tenemos dos términos idénticos
opuestos
= 9𝑎2 + 12𝑎− 𝑥2 − 4𝑥 restamos los términos opuestos y llegamos a la
expresión original.
¿Cuál es la moraleja en esto? Si regresamos al proceso aplicado en el caso
2, lo que explica por qué no se pueda continuar es el hecho de ese término
𝟑𝒂𝒙 que desapareció en el proceso.
Veamos qué ocurre si agregamos nuevamente los términos, es decir 𝟑𝒂𝒙 y
– 𝟑𝒂𝒙 a la expresión:
9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 = 9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 + 𝟑𝒂𝒙–𝟑𝒂𝒙 Note que en realidad lo que estamos haciendo es sumar un cero conveniente a la expresión, un
proceso común en matemática. La dificultad de agregar un cero
adecuado, incide en el hecho de ser capaz de predecir el término que se eliminó en el proceso de simplificación.
Continuamos con el t rabajo:
9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 = 9𝑎2 − 𝑥2 −4𝑥 + 12𝑎 + 𝟎
= 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎 + 𝟑𝒂𝒙–𝟑𝒂𝒙 sumamos un cero adecuado.
= (𝟗𝒂𝟐 +𝟏𝟐𝒂+𝟑𝒂𝒙) + (−𝑥2− 4𝑥–3𝑎𝑥) asociamos adecuadamente
= 3𝑎(𝟑𝒂+ 𝟒 + 𝒙) − 𝒙(𝒙+ 𝟒 +𝟑𝒂) aplicamos factor común
= (3𝑎 − 𝒙)(𝟑𝒂+ 𝟒 + 𝒙) volvemos a aplicar factor común y listo
Actividad complementaria 11.7 Creación. Diseña un póster en el que presentes las fórmulas notables y los t ips que has aprendido al ut ilizarlas.
En el caso anterior, tenga cuidado con el manejo de los signos.
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Álgebra 27
Para practicar
Para cada uno de los siguientes casos, factorice las expresiones al máximo.
Recuerde que puede requerir varios métodos.
1. 5𝑦 + 𝑦2
2. 5𝑥2𝑦+ 15𝑥3𝑦2 +25𝑥2𝑦2 3. 14𝑏(𝑎 + 𝑐) − 7(𝑎 + 𝑐)
4. 8𝑥3 +4𝑥2 5. 𝑟3 −64𝑟5 6. 42𝑝2− 86𝑝− 2𝑝4 +6𝑝3 − 120 7. 9𝑎2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 12𝑎
8. 9𝑥2 − 𝑦2 + 3𝑥 − 𝑦 9. 2𝑎2𝑥 − 4𝑎𝑏𝑥 + 2𝑏2𝑥
10. 𝑎𝑥(𝑡 − 3) − 𝑎𝑡 + 3𝑎+ 2𝑥𝑡− 6𝑥 − 2𝑡 + 6
Sesión 12
Actividad. 12.1
Representación Geométrica de factorización por agrupación
Caso: ( + ) + ( + )
Para realizar la representación del caso de la mult iplicación del polinomio dado, considere el área del rectángulo de lados a + c y a + b. El lado
a + c se divide en dos segmentos de medidas a y c; y el lado a + b en los
segmentos de medidas a y b tal y como se muestra en la siguiente figura.
a a b c a b
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Álgebra 28
Acciones a seguir.
1) Con base en el dibujo dado compruebe geométricamente que el
área total es igual a la suma de las áreas de las partes.
2) Utilizando una regla, determine los valores de y el resultado
sobre cada figura.
3) Calcule el área de cada una de las figuras dadas y anote el dato en la superficie de cada una de ellas.
4) Verifique que el área del rectángulo de lados a + c y a + b es igual
a la suma de las áreas de las partes en que se dividió el rectángulo. 5) Compruebe de manera algebraica, que el área total es igual a la
suma de las áreas de las partes.
Como usted pudo comprobar geométricamente, la suma de las áreas de
los rectángulos es igual al área total del rectángulo de lados y
.
Área total = Suma de las áreas de las partes.
= + + +
Agrupando los términos de la derecha de la igualdad, se obtiene:
= ( + ) + ( + )
= ( + ) + ( + )
= ( + ) ( + )
cyba,
ca ba
caba 2a ba ca bc
caba 2a ba ca bc
caba a a b c a b
caba a b a c
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Álgebra 29
Actividad.12.2
Análisis de casos
Para poner en práctica lo estudiado hasta ahora, analiza con detenimiento
las siguientes figuras y anota para ellas lo que se solicita.
Caso 1. Suma las áreas de todas las figuras que se presentan y anote el
resultado en la siguiente línea: _________________.
Dibuja un cuadrado que esté formado con las figuras anteriores y anota su área en el siguiente espacio: _____________________.
Indica el nombre del producto notable que has encontrado en las figuras.
Caso 2. Anota la medida del lado del cuadrado menor para que
el área de la figura en color verde sea 𝑥2 + 10𝑥+25.
Caso 3. Observa con atención las figuras que se presentan.
¿Qué dimensiones debe tener una figura para que complete
correctamente la igualdad anterior? Dibuje la figura en el espacio indicado.
x w
x x w
w
x w
w
w
x w
x x
w
x
3 +
2
X+3
X+2 X +
X
=
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Álgebra 30
1x 2x 3
Buscando factores…
Hay casos como número 3 en los que se puede expresar un término como
el producto de dos factores dist intos. Pero, ¿cómo encontrarlos fácilmente?
Veamos por ejemplo la expresión 2𝑥2 + 7𝑥 + 3. Comprueba que al realizar la
mult iplicación (2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) se obtiene esa misma expresión. Veremos un
método llamado inspección que permite hallar estos últ imos factores.
Puedes guiarte en los siguientes pasos:
1. Ordena, en orden descendente el polinomio que deseas factorizar. El polinomio 2𝑥2 +7𝑥 + 3 ya está ordenado de la manera deseada.
2. Anote dos paréntesis 2𝑥2 +7𝑥 + 3 = ( )( )
3. Busca la factorización del primero de los extremos y coloca los posibles factores en la primera posición de los paréntesis, de la forma que se
indica: 2𝑥2 +7𝑥 + 3 = (2𝑥 )( 𝑥 ). 4. Ahora, coloca la factorización de los segundos factores en los otros
extremos de los paréntesis dados anteriormente, así: 2𝑥2 +7𝑥 + 3 =
( 2𝑥 1 )( 𝑥 3 ).
5. Realiza las mult iplicaciones de los términos como se indican a
continuación: 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 = ( 2𝑥 1 )( 𝑥 3 ).
6. Suma los resultados de esas mult iplicaciones y si lo que resulta es igual al
término central entonces estás cerca de factorizar.
Acá por ejemplo, el resultado es 7x, lo cual coincide con el valor del centro de la expresión que se está
factorizando.
7. Finalmente la factorización corresponde a: 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 = (2𝑥 + 1 )( 𝑥+ 3)
8. En caso de que la suma de los terminos indicados en el paso 5 y 6 no
coinciden con el valor del medio de la expresión que se quiere factorizar entonces deberá buscar otra manera de combinar los términos. De ahí
que el nombre que recibe el método seafactorización por inspección.
1x + 2x·3 =
7x
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Álgebra 31
Actividad.12.3.
Poniendo en práctica.
A continuación se le ofrecen algunos casos en los que se representa
geométricamente la factorización. Usa el método de inspección para realizar la comprobación de manera algebraica.
Caso 1
4𝑥2 + 5𝑥 + 1 = (4x + 1)(x + 1 )
Caso 2
2𝑦2 + 7𝑦 + 6 = (2y + 3)(y + 2 )
A practicar …
Prepárate para descubrir nuevos casos en los ejericios siguientes. Debes factorizar completamente cada ezpresión:
1) 5𝑥2 − 6𝑥 + 1
2) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 3) 10𝑥2 +2𝑥 − 8
Recordemos… El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que resulta cuando sust ituimos las variables que conforman la expresión
algebraica por valores específicos dados.
2x
2x + x
5
+ 1
1
=
4x + 1
x+ 1
y
2y
+ y
7
+ 2
3
=
2y + 3
y+2 2y
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Álgebra 32
Actividad. 12. 4. Complete la tabla que se presenta.
Expresión algebraica Cantidad de variables en la expresión
Valores de las variables
Valor numérico
1
𝑦+1
𝑥
𝑥 = 3, 𝑦 = 2
2𝑥3 − 𝑥𝑦𝑧 𝑥 = 1, 𝑦 = −3, 𝑧 = 4
𝑥3 − 4𝑥 𝑥 = 2
5𝑥2 + 3𝑥 −2 𝑥 = −1
2𝑚 + 3𝑛
4𝑧
𝑚 = 0, 𝑛 = −3, 𝑧 = 7
𝑎4 − 2𝑎 + 1 𝑎 = 1
Discutamos…
Observe los resultados de la tabla y reflexione acerca de las siguientes
preguntas:
¿En cuáles de las expresiones existen restricciones para los valores de las variables?
¿En cuáles casos el resultado del valor numérico es cero? En la expresión 𝑥3−4𝑥 ¿qué resultado se obtiene si la variable x tomara el
valor de 3 (𝑥 = 3)? Y si ¿x tomara el valor -2?
Anote sus respuestas y comente con un compañero.
Tome nota de lo siguiente: llamaremos cero de un polinomio al valor que al
ser sust ituido en la variable da como resultado cero. Por ejemplo, toma la expresión 𝑥3 −4𝑥 que se ut ilizó en la tabla y observa que al sust ituir 𝑥 = 2 el
resultado fue 0. Así que decimos que x=2 es un cero del polinomio. Lo ocurre con el valor x= -2 y x=0. ¡Haz la prueba!
Pero, para qué hablamos de los ceros. Presta atención porque conocer los ceros de un polinomio es muy importante en la factorización del mismo.
Recuerda que acabas de notar que 2, -2 y 0 son ceros de 𝑥3−4𝑥 y observa la factorización de este polinomio: 𝑥3−4𝑥 = 𝑥(𝑥+2)(𝑥− 2). Observa también que para el polimio 𝑎4 −2𝑎+ 1 el valor de 𝑎 = 1 es un cero
del polinomio y la factorización de este polinomio es: 𝑎4 −2𝑎+ 1 = (𝑎−1)(𝑎3+𝑎2+𝑎− 1)
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Álgebra 33
Pues si observas con detenimiento verás que existe una relación entre el cero
del polinomio con los factores del mismo. Si la hallaste, escríbela:
___________________________________________________________________
Actividad.12.5. Ahora toma la nota anterior como una regla general y escribe la información que falta en la columna correspondiente de la siguiente tabla
Polinomio ceros factorización
4𝑦2 − 8𝑦 − 32 y=4, y= -2
𝑚 = 3 (𝑚 − 3)2
−6𝑧2 + 5𝑧 + 4 (2𝑧 + 1)(4 − 3𝑧)
12𝑥3+ 16𝑥2 − 41𝑥 − 15 𝑥 =3
2, 𝑥 =
−5
2, 𝑥 =
−1
3
𝑎2 + 12𝑎 + 36
4𝑤2 − 9
𝑛 = −3, 𝑛 = 0, 𝑛 = 2
Toma nota… Ahora que ya conoces la ut ilidad de los ceros o también llamados raíces de
un polinomio en la factorización del mismo, de seguro te preguntarás cómo
hacer para encontrar los ceros. Veremos algunos de los casos a continuación:
En el caso de expresiones cuya mayor potencia sólo alcanza el grado 2 y se
muestra de la siguiente forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes,
entonces el desarrollo de la fórmula –𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 nos ofrece los ceros del
polinomio de grado 2 en ese formato (ésta es la llamada fórmula general).
Existen en este caso dos restricciones, una de ellas es que 𝑎 debe ser diferente de cero. Si sabes la razón anótala
aquuí:_________________________________________________.
La otra restricción está relacionada con el valor 𝑏2 −4𝑎𝑐 . ¿Qué debe cumplir dicho valor? ¿Se podría escribir cualquier número real dentro de la
raíz?
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Álgebra 34
¿Qué valores puede tomar 𝑏2 − 4𝑎𝑐 para poder hallar los ceros del
polinomio?________ __________________________________________________________________.
Entonces si se cumplen las condiciones, el resultado de –𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 es un cero
y el resultado de –𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 es el otro cero. De esta manera, cómo quedaría
la factorización del polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ?
Anótala: _________________________.
Comprobemos los resultados anteriores con los siguientes polinomios.
1) 5𝑥2 + 6𝑥 − 8
2) 𝑥2 + 3𝑥 − 4
Nota: en ambos casos encuentra los ceros usando la fórmula –𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 ,
plantea los factores y luego haz la comprobación mult iplicando los factores para determinar si el resultado es el mismo polinomio original. ¿Qué sucedió?
Anota los resultados del ejercicio y saca tus propias conclusiones.
_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
Coriije la regla general para factorizar el polinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
y anota en el recuadro la manera correcta de generalizar la regla:
Ahora ponga en práctica las reglas aprendidas hasta el momento.
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Álgebra 35
Actividad complementaria 12.6
Para practicar
Escriba la factorización completa de los siguientes polinomios.
1. 3𝑧2 − 5𝑧 − 2
2. 2𝑥2 + 7𝑥 − 15
3. 27𝑥3 − 𝑥
4. 4𝑡3 + 8𝑡2 − 5𝑡
Ya vimos cómo hallar los ceros si el polinomio es de grado 2, pero ¿qué hacemos si tenemos un polinomio de grado 3?
En este caso debemos ut ilizar una técnica llamada división sintét ica. La cual
requiere de seguir varios pasos para poder desarrollarla. Vamos a explicar los pasos al mismo t iempo que vamos factorizando el polinomio : 𝑥3 − 7𝑥 + 6
(Nota: observe con atención que aunque el polinomio sólo t iene tres términos no es posible usar el método de factorización con la fórmula
general ni con los productos notables, ¿Por qué?)
a) Anot emos en un conjunt o t odos los divisores del t érmino constante y en ot ro t odos los divisores del fact or numérico del t érmino con
mayor grado. En nuestro ejemplo, el término constante es 6 y todos sus divisores son: ±1,±2,±3, ±6. Y los divisores del coeficiente con el término de
mayor grado, que en este ejemplo es el 1, son: ±1.
b) Tomemos cada uno de los divisores del t érmino const ante y lo
dividimos ent re los divisores del coeficient e de mayor grado. Los result ados de est e proceso serán los posibles ceros.
Esto sería realizar las siguientes divisiones:
±1
±1= ±1,
±2
±1= ±2,
±3
±1= ±3 ,
±6
±1= ±6
Es decir, tenemos como posibles ceros los números 1, 2, 3 y 6, y sus negativos.
c) Se debe buscar, dent ro de los números obt enidos en el paso ant erior, ¿cuáles de ellos son ceros del polinomio?. ¿Cómo lo
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Álgebra 36
hacemnos? Evaluemos t odos los valores en el polinomio y
seleccionemos los que son ceros. Retomemos el polinomio que estamos trabajando : 𝑥3 −7𝑥 + 6 y
busquemos un cero del polinomio. 𝑃(1) = 13 − 7 ∗ 1 + 6 =0
Ya tenemos un primer cero del polinomio, el número x = 1 es un cero.
Podemos iniciar la división sintét ica.
d) Podemos empezar a probar los posibles ceros y cuado ya los t engas debes aplicar el procedimient o llamado división sint ét ica
Para hacer la división sintét ica tomamos únicamente los coeficientes de todos los términos del polinomio. En nuestro caso
debemeos reescribir el polinomio de la siguiente manera: 𝑥3− 7𝑥 +6=1 ∙ 𝑥3+ 0𝑥2 −7𝑥 + 6 . los números en color los colocamos como sigue:
A la derecha escribiremos el cero del polinomio, el cual lo
encontramos previamente.
El primer número en la fila se baja y se mult iplica por el número a la derecha
de la línea vert ical, y coloca el resultado en la segunda columna segunda fila.
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Álgebra 37
Con eso se obtiene
Debes realizar ahora lo siguiente:
Finalmente obtendrás:
¿Qué me indican los resultados de esa tabla? Veamos…
El 1 en azul es el cero del polinomio y éste me indica que uno de los factores es x – 1.
Los números de la fila 3 serán los coeficientes de otro polinomio que es factor
también del polinomio que estamos factorizando. De modo que tendremos lo siguiente:
𝑥3 − 7𝑥 + 6 = (x − 𝟏)(1 ∙ 𝑥2 +1 ∙ 𝑥 − 6) = (𝑥 − 1)(𝑥2+ 𝑥 − 6)
Pero este últ imo término, probablemente es factorizable. Así que debemos aplicar de nuevo el proceso o bien, al ser de grado 2 el polinomio que falta
por factorizar se puede usar el método de inspección o la fórmula general.
𝑥2 +𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
e) Se debe anot ar la factorización con t odos los factores hallados en el
proceso complet o.
Asi que finalmente la factorización completa del polinomio 𝑥3− 7𝑥 + 6 sería la siguiente:
𝑥3 − 7𝑥 + 6 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
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Álgebra 38
Actividad.12.7
Poniendo en práctica
1. Para el polinomio 3𝑥3 −8𝑥2 + 3𝑥 + 2 se sabe que el valor 𝑥 =−1
3 es un cero
del mismo. Encuentra la factorización completa ut ilizando la división
sintét ica.
2. Halle la factorización completa de los siguientes polinomios:
a) 𝑥3 − 3𝑥2 −4𝑥 + 12
b) 𝑥4 − 4𝑥 + 3
Caso. Hallando el factor perdido…
Un ingeniero debía encontrar los ceros unos polinomios que representaban
el costo de unas piezas de máquinas que debía poner en funcionamiento. Así que anotó en la pizarra de su oficina las factorizaciones que le permit irían
encontarlos. Pero un compañero quizo jugarle una broma y aprovechando que el ingeniero contestó una llamada y se distrajo, le borró algunos factores
de la pizarra. Quedando de la siguiente manera:
Ayuda al ingeniero a salir del apuro.
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Álgebra 39
Sesión 13
División de polinomios
Hasta el momento hemos hablado de algunas operaciones de polinomios.
Pero aún no ahondamos en la división. Dedicaremos esta sección para realizar divisiones de algunos términos.
Cuando se necesita dividir un polinomio entre un monomio lo más sencillo
es recurrir a las fracciones, esas mismas que estudiamos en el módulo 1. Por ejemplo queremos realizar la siguiente división: (2𝑥3 −5𝑥2 + 6𝑥) ÷ 2𝑥
podemos expresarla como una fracción, así: 2𝑥3−5𝑥2+6𝑥
2𝑥. De esta manera, se
puede usar un análogo a la ley distribut iva y reescribir la fracción así: 2𝑥3−5𝑥2+6𝑥
2𝑥=2𝑥3
2𝑥−5𝑥2
2𝑥+6𝑥
2𝑥.
¿Qué ventaja t iene esto?
Aplicando las reglas de simplificación de fracciones, lo anterior resultaría en:
𝑥2 −5𝑥
2+3
Así de sencillo podemos resolver estos casos en los que dividimos un
polinomio entre un monomio. Puede ser incluso en las ocasiones en que se
incluye más de una variable. Por ejemplo, 6𝑥𝑦4−12𝑥3𝑦
2𝑥2𝑦2=
6𝑥𝑦4
2𝑥2𝑦2−12𝑥3𝑦
2𝑥2𝑦2=3𝑦2
𝑥−6𝑥
𝑦
Actividad.13.1.
Creando retos…
1. Reúnase con dos o tres compañeros de clase. Diseñe 3 ejercicios como los anteriores y rete a otro grupo de estudiantes a resolverlo en el menor
t iempo posible. Asegúrate de haberlos resuelto en tu grupo primero para
que puedas revisar que esté correcto el t rabajo de tus otros compañeros. Busca apoyo en tu facilitador del curso si t ienes dudas.
3. El siguiente diagrama representa el terreno que una empresa t iene
para dest inar a sus bodegas. El terreno debe dividirse en tres partes.
Representa geométricamente una posible distribución del terreno.
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Álgebra 40
9+5x
Si la repart ición del terreno se hace en partes iguales, ¿cuánto es el área
que va a quedar para cada bodega?
Actividad complementaria.13.2.
Análisis de casos.
¿Qué estrategia se debe seguir para resolver los casos que se presentan a continuación?
Caso 1. Los ganancias de una compañía se representan con la fórmula 5𝑛2 +2𝑛 − 5
donde n representa el número de transacciones. Si se hace una transacción
más, las ganancias aumentan 2 unidades, ¿cuando se hace una transacción más cuál es la ganancia promedio?
Caso 2.
Se sabe que el volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto está dado por la fórmula 𝑉(𝑥) = 6𝑥3 +7𝑥2 + 2𝑥 y que una de sus aristas es x.
Pero es necesario conocer el área de cada una de sus caras para calcular
el costo de construcción de la caja. El único dato adicional que se conoce es que otra de sus aristas mide 3x+2.
Puedes hallar pistas para resolver el caso en los siguientes enlaces: https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-
volume-sa/volume-rect-prism/a/volume-of-rectangular-prisms-review
https://es.khanacademy.org/math/geometry-home/basic-geo/basic-geo-volume-sa/volume-rect-prism/v/volume-of-a-rectangular-prism-or-box-
examples
2x+3
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Álgebra 41
Caso 3.
Se está invest igando acerca de la resistencia de ciertos materiales que se ut ilizan en la construcción de recipientes. Se t iene un recipiente en forma de
pirámide recta, cuyo volumen está dado por la fórmula 𝑉(𝑥) =8𝑥3+10𝑥2+2𝑥
3. Se
requiere conocer el área de la base de la pirámide, en metros cuadrados,
en términos de x para ver la cantidad de material invert ido en la base del
recipiente. Se conoce que la altura del envase es x+1.
Actividad de cierre
Laboratorio
Introducción
Toda célula de cualquier organismo contiene un depósito de
información genética codificado en el ADN (Ácido desoxi ribonucleico) de sus cromosomas. Recordemos que un GEN es un segmento de ADN situado
en un lugar específico de un CROMOSOMA. Todo gen posee una secuencia
de NUCLEÓTIDOS que representa el código de la secuencia de aminoácidos de una proteína, que normalmente es una ENZIMA que cataliza una
reacción determinada de la célula.
En la ubicación de un gen específico puede haber secuencias de nucleótidos ligeramente dist intas llamadas ALELOS. Los alelos diferentes
generan formas dist intas de una misma enzima. De esta forma, por ejemplo, diversos alelos del gen que influyen en el color de los ojos en los seres
humanos contribuyen a producir ojos de color castaño, azul, verdes, etc.
En toda población de organismos hay habitualmente dos o más alelos de cada gen. Un individuo de una especie DIPLOIDE o poliploide cuyos
alelos de un gen determinado son todos del mismo t ipo es HOMOCIGÓTICO, y un individuo con alelos de t ipos diferentes de ese gen es HETEROCIGÓTICO.
Los alelos específicos presentes en los cromosomas de un organismo
(su GENOTIPO) interactúan con el medio para influir en el desarrollo de sus característ icas físicas y conductuales (su FENOTIPO).
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Álgebra 42
Estos Conceptos que hemos repasado anteriormente, nos permit irán
comprender la propuesta, que se expone en la ley de Hardy-Weinberg y su
relación con el equilibrio genético.
El principio de Hardy-Weinberg y el equilibrio genético.
Primeramente, vamos a part ir de un caso hipotét ico para tratar de
ilustrar el funcionamiento de este principio. Considere un rasgo como color
de ojos, color de piel, etc, por un solo LOCUS genético con dos alelos: y , regidos por la dominancia mendeliana simple. Cuando se examina una
población natural de 1 000 individuos, se observa que sólo 90 exhiben el
fenotipo recesivo característ ico del genotipo . Los 910 individuos restantes
exhiben el fenotipo dominante y son o .
Se podría suponer que después de muchas generaciones de recombinación genética durante la reproducción sexual haría que el alelo
dominante se hiciera más común en la población e incluso, suponer que el
alelo recesivo desaparecería con el t iempo. Est as suposiciones serían incorrectas ya que las frecuencias de alelos y genotipos no cambiarían de
una generación a otra, a menos que fuesen influidas por factores externos.
Si una población mantiene invariante sus frecuencias alélicas y
genotípicas de una generación a la siguiente, se dice que esta población
está en EQUILIBRIO GENÉTICO.
La explicación de esta estabilidad de las generaciones sucesivas fue
propuesta en 1908 de manera independiente por el matemático inglés
Godfrey Hardy y el médico alemán Wilhelm Weinberg. Ellos señalaron que las frecuencias esperadas de diversos genotipos en una población pueden
describirse de manera MATEMÁTICA. El principio de .Hardy-Weinberg demuestra que en poblaciones grandes el proceso de la herencia no causa
por sí mismo cambios en las frecuencias alélicas. También explica porqué los
alelos dominantes no son necesariamente más comunes que los recesivos en una población.
Este principio representa una situación ideal que tal vez nunca se
presenta en la naturaleza, sin embargo, es út il porque const ituye un modelo que nos ayuda a comprender el mundo real, es decir, al conocer el principio
de Hardy -Weinberg podremos comprender los mecanismos de cambio evolut ivo en poblaciones que se reproducen sexualmente.
Seguidamente ampliaremos el ejemplo original para ilustrar el
principio de Hardy -Weinberg. La frecuencia de algunos de los alelos o , es descrita por un número de 0 a 1, es decir, puede ser considerado como una probabilidad. Un alelo totalmente ausente de la población t iene
frecuencia cero o probabilidad cero. Si en la población todos los alelos en
A a
aa
AA Aa
A a
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Álgebra 43
un locus determinado son el mismo, entonces la frecuencia de este alelo es
de uno.
Para el locus de este ejemplo sólo existen dos alelos y , que sat isfacen la condición de que la suma de sus frecuencias es iguala a 1. Vamos a representar esta situación:
Sea la frecuencia o probabilidad del alelo
Sea la frecuencia o probabilidad del alelo
Entonces se cumple que:
.
Además, elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad obtenida en el paso anterior, se cumple:
Note que la expresión resultante corresponde a un binomio conocido
como fórmula notable y que se expresa de la siguiente manera:
Al inicio de esta unidad, se nos informaba que se habían determinado
90 individuos homocigotos recesivos en nuestra población de 1 000, es decir,
los individuos que exhiben un fenotipo recesivo característ ico. Se puede
inferir que la frecuencia del genotipo está dada por:
De este resultado es posible obtener el valor de la frecuencia del alelo
de la siguiente manera:
Además, como sabemos que , se puede obtener haciendo
el despeje respectivo:
Ahora, sabiendo el valor de la probabilidad o frecuencia de , se
puede determinar la frecuencia de los individuos homocigotos dominantes
y la frecuencia de los individuos heterocigotos como se expone a continuación:
Frecuencia de :
A a
p A
q a
1 qp
12 qp
12222
aadeFrecuenciaAadeFrecuenciaAAdeFrecuencia
qpqpqqqppqppqpqpqp
aa
09,00001
902 q
a
3,009,02 qq
1 qp p
7,03,011 qp
p
AA Aa
AA 49,07,022 p
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Álgebra 44
Frecuencia de :
La siguiente tabla ilustra este análisis de forma resumida
Tabla 1: Segregación de alelos y fecundación al azar
Frecuencias alélicas en los gametos femeninos
Frec
uen
cia
s a
lélic
as
en l
os
ga
met
os
ma
scu
lino
s
Tabla 2: Cálculo de frecuencias de los alelos y en los gamet os
Genotipos
Frecuencia de
genotipos en la
población
0,49
0,42
0,09
Frecuencia de alelos
en los gametos
Seguidamente haremos una interpretación de los datos de acuerdo
con el genotipo y el fenotipo de la población, así como los resultados
mostrados en las tablas 1 y 2:
Genot ipo:
Como la probabilidad de encontrar un individuo homocigoto dominante es de 0,49, quiere decir que el 49% de los individuos de
esta población sat isfacen esta característ ica genotípica. Cómo la
Aa 42.03,07,022 pq
7,0p 3,0q
7,0p
AA
49,0
7,07,02
xp
Aa
21,0
3,07,0
xpq
3,0q
Aa
21,0
3,07,0
xpq
aa
09,0
3,03,02
xq
A a
AA Aa aa
7,021,0
49,0
A3,009,0
21,0
a
AA
A
A a
a
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Álgebra 45
población que estamos estudiando es de 1000 individuos, implica que
490 son Homocigóticos Dominantes.
La probabilidad de encontrar un individuo heterocigoto es de 0,42, es decir, el 42%. En nuestra población de 1000 individuos significa que 420 son Heterocigotos.
El dato que conocíamos desde el inicio, indica que 90 individuos de 1000, son homocigotos recesivos. Cómo la frecuencia que obtuvimos
fue de 0,09, implica que el 9% de la población es Homocigoto
Recesiva.
Fenot ipo:
Recordemos que el fenotipo nos permite ver la manifestación física
del rasgo en el individuo. Esto quiere decir que si observamos en un individuo el rasgo recesivo, necesariamente debe ser genotípicamente homocigoto
recesivo. Por el contrario, si se observa la cualidad dominante podría ser que ese individuo sea homocigoto dominante o heterocigoto, puesto que este
últ imo al tener un genotipo , donde se percibe un rasgo recesivo, fenotípicamente predomina el dominante.
De esta manera:
Los individuos que exhiben el fenotipo recesivo son los que poseen un
genotipo , cuya probabilidad es de 0,09 o 9%. Con respecto a la población de 1000 individuos serían 90.
Los individuos que exhiben el fenotipo dominante, estarían representados por los genotipos , donde la probabilidad de
mostrar el fenotipo dominante se obtiene sumando las probabilidades
de los genotipos mencionados, es decir . Este dato nos
indica que en la población de 1000, 910 exhiben el rasgo dominante.
Cualquier población en la cual la distribución de genotipos se ajuste a la
relación , sin importar los valores absolutos, se encuentra en
EQUILIBRIO GENÉTICO.
El principio de Hardy-Weinberg del equilibrio genético nos dice que esperar cuando una población que se reproduce de manera sexual no esté
evolucionando. La proporción de alelos en generaciones sucesivas siempre
será la misma, cada vez que se cumplan las cinco condiciones siguientes:
1. Apareamiento al azar: Todos los individuos de la población t ienen la
misma posibilidad de aparearse con un individuo del sexo opuesto.
Aa
Aa
aa
AayAA
91,0·
1222 qpqp
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Álgebra 46
2. Ausencia de mut aciones net as: No debe haber mutaciones que
conviertan en o viceversa. Esto es, las frecuencias de y en la población no deben cambiar por causa de una mutación.
3. Tamaño poblacional grande: Las frecuencias alélicas t ienen mayor probabilidad de ser afectadas por fluctuaciones fortuitas (Deriva
genética) en una población pequeña que en una población grande.
4. Ausencia de migración: No puede haber intercambio de genes con otras
poblaciones que podrían tener diferentes frecuencias alélicas, esto es, no
hay emigración o inmigración de individuos.
5. Ausencia de selección nat ural: Si está ocurriendo selección natural,
algunos genotipos (y sus fenotipos correspondientes) son favorecidos
sobre otros. En consecuencia las frecuencias alélicas cambian y la población evoluciona.
El principio de Hardy-Weinberg permite a los biólogos calcular las frecuencias alélicas en una población determinada siempre y cuando se
conozcan las frecuencias genotípicas. Estos valores pueden funcionar como
la base para comparar las frecuencias alélicas de la población en generaciones sucesivas, donde si se determina que estas frecuencias se
desvían de los valores predichos por el principio de Hardy-Weinberg,
entonces se concluye que la población está evolucionando.
I Parte
Reflexione el texto anterior y responda las siguientes preguntas:
1. ¿Bajo qué condiciones una población puede estar en equilibrio genético
y así sat isfacer el principio de Hardy- Weinberg?.
2. Las condiciones a las cuales se hace referencia en la pregunta anterior,
suelen ser casi imposibles de de que ocurran en la naturaleza. Considerando esta afirmación, ¿por qué crees que es importante
estudiar la ley de Hardy-Weinberg?
3. La ley de Hardy-Weinberg correlaciona dos elementos centrales: el primero son los genes y el segundo es el ambiente. El principio requiere
para su cumplimiento un escenario invariante del ambiente, algo difícil
de considerar en nuestro medio. Sin embargo, pueden exist ir algunos hábitats que sean menos vulnerables a estos cambios y que se aproximen
a las condiciones de esta ley. Reflexione e invest igue sobre algún ejemplo de estos hábitat y explique porqué son poco vulnerables al cambio
4. ¿Cuál es el aporte de la matemática que observas en este laboratorio?
A a A a
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Álgebra 47
II Parte
Utilice la ley de Hardy-Weinberg para resolver los siguientes problemas:
1. El albinismo en humanos es un rasgo recesivo que se hereda por un t ipo de herencia denominada dominancia completa. En una población de
1000 individuos se encontraros 20 albinos. Con base a esta información:
a. Calcule la frecuencia para el albinismo en esa población
b. ¿Cuántos niños de pigmentación normal en la siguiente
generación, portarán el alelo de albinismo?
c. ¿Cuántos niños no portarán del alelo de albinismo?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga pigmentación normal?
2. Un t ipo de pelo de los humanos responde a un t ipo de herencia
codominante. El rizado es dominante, el lacio recesivo y el ondulado heterocigoto. En una población encontramos 180 rizados, 240 ondulados
y 80 lacios. Con base en la información:
a. Calcule la frecuencia del alelo de cabello rizado y de cabello lacio.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona posea cabello ondulado?
c. ¿Cuál es el porcentaje de hijos de esta población que portará
el alelo de cabello rizado?
d. Si se toma una muestra representativa de la siguiente
generación de esta población y se obtienen los siguientes datos: la frecuencia del alelo para cabello rizado es de 0,30 y
para cabello lacio es de 0,70. Considerando esta situación:
¿considera que la población está en equilibrio genético?, ¿qué está ocurriendo con esta población?
3. Demuestre que y que . Ut ilice estas fórmulas para
verificar la veracidad de los resultados obtenidos en los ejercicios 1 y 2.
pqpp 2
pqqq 2
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Álgebra 48
Vocabulario importante Gen: En términos generales se
habla de un conjunto de
información que lleva consigo una instrucción en part icular que
generalmente codifica una proteína. El ADN que conforma los
genes, almacena la información
genética en el núcleo. Existen fragmentos de ADN que no
codifican una proteína. Codifican
otras moléculas como el ARN estructural y a esos también los debemos denominar genes. Además, se presentan situaciones en las que un
fragmento de ADN es capaz de codificar más de una proteína. Entonces, ¿se debe hablar de un gen o de varios? En esas situaciones tendemos a
confundirnos un poco con la terminología. Pero en general, se puede decir
que un gen es un fragmento de ADN, que puede tener 100 pares de bases o hasta dos millones de pares de bases, como en el caso del gen de la
distrofia muscular, el cual codifica una proteína en part icular que t iene a su
vez una función part icular
Alelo: Los alelos son formas alternas de un gen, que difieren
en secuencia o función. Los
alelos que varían en secuencia t ienen diferencias en el ADN,
como deleciones, inserciones o sust ituciones. Los alelos que
difieren en función pueden tener
o no diferencias conocidas en las secuencias, pero se evalúan por la forma en que afectan al organismo.
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Álgebra 49
Nucleótido: Un nucleótido es la unidad
estructural del ADN o ARN. Es una molécula en
anillo que contiene nit rógenos y carbonos, oxígenos e
hidrógenos. Hay cuatro nucleótidos diferentes en el
ADN. Los llamamos adenina,
citosina, guanina y t imina. También hay 4 nucleótidos en el
ARN, adenina, citosina y guanina, pero en lugar de la
t imina está el nucleótido llamado uracilo. Estos
nucleótidos o bases están unidas en una cadena de ARN o ADN por medio de una
molécula de azúcar fosfato.
Locus: Nuestros cromosomas contienen entre 30 y 40 mil genes, distribuidos en los 23 pares de cromosomas. El locus es el sit io de un cromosoma donde
se localiza un gen determinado. En otras palabras, es la dirección de este
gen.
Cromosoma: Todas las células vivas almacenan su información genética en
estructuras llamadas cromosomas. Los
cromosomas están const ituidos de ADN y proteínas que están empacadas en forma
compacta y al examinarlos
microscópicamente parecen un hilo o una soga. En el caso de las células nucleadas,
como la mayoría de las células humanas, los cromosomas están localizados dentro del
núcleo. Diferentes organismos t ienen dist into
número de cromosomas. Los humanos tenemos 23 pares de cromosomas o sea 46 en total; 44 autosomas y 2
cromosomas sexuales. Cada progenitor aporta un cromosoma a cada par,
así que los hijos adquieren la mitad de sus cromosomas de la madre y la mitad del padre. De esta manera se crea una nueva combinación
genética, que representa la mezcla de ambos padres.
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Álgebra 50
ADN: El ADN es el ácido desoxirribonucléico, un
componente químico dentro del núcleo de las células, portador de las instrucciones genéticas para
la elaboración de los organismos vivientes. Hace relativamente poco tiempo se estableció que el ADN
es el material genético, pues antes de los años 50 se creía que las proteínas eran las que llevaban la
información genética de la célula.
Mutación: El término mutación se refiere a un cambio o alteración en el ADN. Cuando la gente oye la palabra mutación, generalmente piensa en un evento negativo, algo que es
nocivo. Sin embargo, hay algunos cambios o alteraciones en el ADN que pueden ser beneficiosos. Las mutaciones pueden no tener ningún impacto sobre la función de un
órgano o sistema o pueden en cambio causar problemas.
Aminoácido: Los aminoácidos son las unidades de construcción con que se arman las proteínas.
Existen veinte aminoácidos diferentes naturales, ensamblados en combinaciones diferentes para formar diferentes proteínas. Por ejemplo, el cabello de su cabeza está constituido por una proteína específica, elaborada con una secuencia
específica de aminoácidos. Los músculos de su brazo pueden estar compuestos por los mismos veinte aminoácidos, pero se agrupan en
una secuencia diferente para producir músculo en vez de cabello. Y de esta manera, el cuerpo elabora una serie de proteínas diferentes con diferentes funciones, usando los
mismos veinte bloques de construcción, pero en combinaciones diferentes. Enzimas: Las enzimas son proteínas que catalizan básicamente todas las reacciones
químicas en el cuerpo humano. Muchas de las reacciones que ocurren durante el metabolismo y funcionamiento normal del cuerpo humano, de hecho no podrían ocurrir si no fuera por las enzimas, que generalmente aceleran la velocidad a la cual ocurrirían de manera natural y espontánea estas reacciones. Diploide: El término diploide describe el número completo de copias del genoma en una célula determinada. Di significa dos y ploide se refiere al número de copias. Así, la inmensa mayoría de las células normales contienen dos copias del genoma, cada una proveniente de cada progenitor y se conocen como células diploides. Haploide por otra parte, sería el número de copias del genoma en las células reproductoras maduras de los organismos: los óvulos y los espermatozoides. Haploide significa la mitad del número de copias en el
genoma diploide. Catalizar: Favorecer o acelerar el desarrollo de un proceso
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Álgebra 51
Sesión 14
Actividad 14.1
Ecuaciones El concepto ecuación es más común de lo que podemos imaginar. Tan
simple como cuando en una red social un amigo te et iqueta o te envía una
imagen como las siguientes:
¿Te ha sucedido? Dale respuesta a los retos de las imágenes anteriores y
pregunta a tus compañeros o profesor si obtuvieron tus mismas conclusiones. ¡Debes prestar mucha atención a los detalles!
Pero, ¿Qué es lo que hay detrás de lo propuesto en los retos anteriores?
Expresiones similares a las de las imágenes las llamamos ecuaciones. En
muchos casos esas ecuaciones involucran expresiones algebraicas y corresponden a modelos que buscan explicar los fenómenos naturales
como el comportamiento de las mareas, la composición de la materia, el movimiento de los objetos, la conducción del calor, el comportamiento de
los mercados entre un sin fin más de situaciones que a diario nos podemos
topar. Tan indispensables son las ecuaciones en nuestras vidas que te has preguntado alguna vez, ¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del
mundo?
Quizá tu respuesta sea que no. Melissa Hogenboom de la BBC Earth, el 25 enero 2016 publicó un art ículo t itulado con esa pregunta. El not iciero le
consultó a matemáticos y físicos acerca del tema y eligió 12 de las respuestas. Te invito a leer el art ículo completo siguiendo el enlace
http://www.bbc.com/mundo/noticias/2016/01/160121_ciencia_matematic
a_formulas_hermosas_gtg
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Álgebra 52
Sin embargo, nos gustaría destacar, en este texto, la ecuación de Dirac:
La cual describe cómo las part ículas muy pequeñas como por ejemplo los
electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz. Ese comportamiento se llama entrelazamiento cuántico: "si dos sistemas
interaccionan entre ellos durante cierto periodo de t iempo y luego se
separan, son dos sistemas dist intos, pero de una forma indirecta se vuelven un sistema único porque lo que le sucede a uno sigue afectando al otro,
aun cuando estén a distancia de kilómetros o años luz". El comportamiento que describe la ecuación de Dirac, se relaciona con lo que le ocurre a dos
personas cuando los une un sentimiento fuerte denominado amor.
Otras ecuaciones interesantes, que a través de los siglos han sido
trabajadas, se relacionan por ejemplo con la búsqueda de números primos, el número pi, y muchas más que hasta el día de hoy se siguen
ut ilizando.
¿Cuál es tu ecuación favorita? Anótala aquí:
__________________________________
Conviene entonces estudiar con detalle tan importantes expresiones.
Ut ilizaremos algunas propiedades que t ienen las ecuaciones para resolverlas. Es muy posible que ya las conoces y que sin nombrarlas aún
puedas dar respuesta a una ecuación como esta:
Sin embargo, en otras ocasiones se requiere mucho más que conocer información previa, como que una manzana roja equivale a 7, por lo que
será necesario comprender bien ciertas reglas enunciadas hace muchísimos años y que hoy en día ut ilizamos. Antes de enunciarlas, realiza la siguiente
actividad.
(𝒊𝝋 − 𝒎)𝝍 = 𝟎
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Álgebra 53
Actividad 14.2 Resuelve las siguientes ecuaciones gráficas.
1.
2.
3.
Analice las estrategias ut ilizadas para resolver los casos anteriores y escribe
una lista de los pasos que crees que se deben seguir en general para trabajar con este t ipo de expresiones.
_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
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Álgebra 54
Conociendo más a fondo las ecuaciones… Uno de los libros más antiguos e importantes en matemáticas corresponde
a los 13 tomos del Griego Euclides, estos libros son llamado los Elementos, en el tomo I él define 5 nociones comunes de las cuales nos interesan las
siguientes
1. Regla de las ecuaciones equivalentes: Cosas iguales a cosas iguales
son iguales entre sí, o bien dos cosas iguales a una tercera son iguales
entre sí.
Ejemplo:
Si 3 + 2 = 5 y 9 - 4 = 5 entonces 3 + 2 = 9 – 4,
Mediante el álgebra se dice que si x = 3 y z = 3 entonces x = z
Ut ilizando balanzas, en equilibrio, esta propiedad se puede representar así:
Si: y entonces
Entonces 2. Regla de la suma: Si cantidades iguales son adicionadas a cantidades
iguales, las sumas son iguales.
Ejemplo:
Si 5 + 2 = 7 y 9 - 4 = 5 entonces 5+ 2 + 3 = 7 + 3,
Algebraicamente, podemos decir que si x - 2 = 3 entonces x - 2 + 2 =
3 + 2, es decir: x = 5 Mediante balanzas, en equilibrio, esta propiedad se puede
representar así: Si:
entonces
3. Regla de la resta: Si cantidades iguales son disminuidas a cantidades
iguales, las restas son iguales.
Ejemplo: Si 5 + 2 = 7 entonces 5 + 2 – 1 = 7 – 1,
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Álgebra 55
Además, usando variables podríamos decir que x + 2 = 5 entonces x +
2 – 2 = 5 – 2, es decir, x = 3
Ut ilizando la analogía con balanzas, esta propiedad se puede ejemplificar así:
Si: entonces
Además de estas tres nociones comunes, enunciadas por Euclides, podríamos agregar las siguientes propiedades:
4. Regla del producto: Si cantidades iguales son mult iplicadas por
cantidades iguales, los productos son iguales.
Ejercicio: Represente esto numéricamente y algebraicamente con un ejemplo.
Ut ilizando balanzas, esta propiedad se puede ejemplificar así: Si:
Entonces
5. Regla del cociente: Si cantidades iguales son divididas por cantidades
iguales, los cocientes son iguales.
Mediante un ejemplo numérico esto se puede representar escribiendo
25 = 20 + 5, entonces 25 ÷ 5 = (20+5) ÷ 5 Usando álgebra se puede escribir que 2x = 20 entonces 2x : 2 = 20 : 2,
es decir x = 10
Ejercicio: Ut ilizando estas balanzas realice una representación de la propiedad,
si:
entonces
Observación: Todas las propiedades anteriores se podrían resumir, diciendo que si en una
igualdad se realizan las mismas operaciones a ambos lados del símbolo de
igual, la igualdad seguiría siendo válida.
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Álgebra 56
Actividad 14.3: Considere las siguientes balanzas en equilibrio:
Qué figuras se deben poner, en el plato vacío de la siguiente balanza, para ésta se encuentre en equilibrio:
Actividad 14.3 Utilizando el applet Pan Balance – Shapes, que se encuentra disponible en
http://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3531 y con la ayuda del profesor, plantee un acert ijo similar al
de la actividad anterior y compártalo con los
compañeros de clase, para que ellos intenten resolverlos, aplicando las propiedades aprendidas
sobre las ecuaciones.
Actividad 14.1
El símbolo de igualdad 1. Es út il en todas las áreas de la matemática que ut ilizan números como la
aritmética y el álgebra.
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Álgebra 57
2. La mayor parte de los estudiantes tanto en secundaria como en los
primeros cursos de la universidad emplean mal el símbolo de igualdad.
3. La igualdad no es una operación es un símbolo para representar una
relación.
Actividad 14.1.1 Descargue el archivo balanzas.swf desde
https://www.dropbox.com/s/eos0wtiqm14jk72/Balanzas.swf?dl=0 y con la ayuda del profesor, ut ilícela para resolver las ecuaciones de primer grado
que se generan en ella, o si lo prefiere desde un disposit ivo portable con Android descargue la aplicación
https://play.google.com/store/apps/details?id=air.genmagic.ecuacionesse
ncillas&hl=es e intente resolver al menos 6 de las ecuaciones de primer grado que se generen en cada una de las aplicaciones.
Actividad 14.1.2 Cada uno de los siguientes conjuntos representa retos que irás resolviendo.
Cuando avances de un conjunto a otro habrás demostrado más dominio de las propiedades de las ecuaciones. ¡Adelante! ¡Manos a la obra!
Debes saber que posiblemente algunos de los retos no tengan solución.
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Álgebra 60
Sesión 15
Actividad 15.1 1. Comenta y resuelve el caso:
Un grupo de 5 est udiantes quiere hacer un viaje para sus vacaciones. El punt o de part ida va a ser la sede universit aria y el sit io de dest ino está
ubicado a 85 kilómetros. El litro de gasolina t iene un cost o de ¢632 y el carro
en el que van consume en promedio 18 lit ros por cada 100 Km. Gina es la encargada del presupuest o y debe indicar una part ida para el t ransporte
de ida y regreso para informarle a t odos los est udiantes y saber cuánto
dinero debe llevar cada uno para el t rasporte. Ayúdale a Gina a hacer el cálculo correspondient e?
2. Observa las siguientes ecuaciones que se relacionan con modelos de
situaciones reales. Reemplaza el valor de la variable (en algunos casos
es más de una) por el valor dado y observa que ocurre con los
resultados. Indica si los resultados son verdaderos o falsos.
Ecuación Valor de la variable Igualdad
Verdadera o
falsa
𝑣 =40
𝑡
Fórmula de la velocidad
𝑣 = 30,𝑡 = 15
30 + 2𝑡 = 𝑡2
Trayectoria de un proyectil en un tiempo t
𝑡 = 2
100 = 20𝑝 + 20
Precio de un producto
p=4
𝑅 =1
1𝑅1+1𝑅2
Resistencia en un circuito con
dos resistores
𝑅 =20
3, 𝑅1 = 10, 𝑅2 = 20
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Álgebra 61
Toma nota… Si observas con atención, en el cuadro obtuviste algunos resultados
verdaderos y otros falsos. Para que un valor de la variable sea solución de una ecuación debe ocurrir, que al reemplazar la variable por dicho valor el
resultado sea una igualdad verdadera. De lo contrario, el valor asignado no será solución.
Cuando se encuentran todos los posibles valores que al ser reemplazados
en la ecuación generan una igualdad verdadera, se dice que se ha encontrado la solución de las ecuaciones y se representa en un conjunto
llamado conjunto solución de la ecuación. A cada valor que al ser reemplazado en la ecuación genere una igualdad
verdadera se le llama solución de la ecuación. ¿Puedes indicar en cuáles
casos del cuadro anterior los valores dados a las variables son solución de la ecuación? Señale también el conjunto solución de los casos del cuadro.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ El proceso de hallar todas las soluciones de una ecuación lo llamamos
resolver la ecuación. ¡Precaución! Recuerda que por tratarse de expresiones algebraicas pueden
exist ir valores que sean restricción y, además, al t rabajar con casos o
modelos de situaciones reales algunas de las soluciones de una ecuación podrían no serlo de un caso en sí. Por ejemplo, si estás buscando una
variable como la distancia, no es posible que ésta sea negativa.
Actividad 15. 2 a) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones de primer grado:
1. 8 4 3 7 14x x x x
2. 8 15 30 51 53 31 172x x x x x x
3. 3 2 1 7 3 5 24x x x x
4. 5 2 6 18 7 6 3 24x x x x x
5. 4 2 3 3 5 49 6 1 2x x x x x
6. 1 2 4 1 3 5 6 8 11 3 7x x x x x x x
b) Observa las ecuaciones dadas en el cuadro y comprueba que los
valores dados en la columna derecha son soluciones. Analiza bien
cada caso.
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Álgebra 62
Ecuación Solución (𝑥 + 4)(3 − 𝑥) = 0 𝑥 = −4,𝑥 = 3 (5𝑥 − 3)(2𝑥 + 7) = 0
𝑥 = −7
2, 𝑥 =
3
5
4𝑥2 +12𝑥 + 9 = 0 𝑥 = −
3
2
𝑚2 − 5𝑚 = 36 𝑚 = −4,𝑚 = 9
𝑎(𝑎 − √2) = 0 𝑎 = 0, 𝑎 = √2
Luego de comprobar y observar, ¿podrías decir si existe alguna relación entre los factores de la ecuación y las soluciones?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ ¿Tiene algo que ver el cero de la derecha? ¿Qué papel juegan los ceros de
un polinomio en la resolución de ecuaciones? _______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
c) Escribe tu propio método o estrategia para resolver ecuaciones
polinomiales.
_______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ d) En el método que planteaste, ¿has incluido la fórmula general que
usamos para hallar los ceros en el módulo de factorización? Si tu
respuesta es no, podrías considerar el dato y ver si te funciona como
una manera de hallar ceros.
e) Observa las gráficas que a continuación se presentan, las cuales son
una manera de expresar en forma geométrica a un polinomio. Busca
en ellas cuáles números hacen que el polinomio sea cero. ¿Te
parecería interesante plantear esta actividad como método para
saber las soluciones de una ecuación polinomial?
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Álgebra 64
Despejando
Actividad 15.3 Las propiedades que se estudiaron para resolver ecuaciones son de suma importancia.
Vuelve tu mirada hacia las balanzas y aplica esos conocimientos para despejar la variable
que se solicita en cada uno de los siguientes casos. Caso Ecuación Variable a despejar
1 𝑅 =
1
1𝑅1+1𝑅2
𝑅2
2 𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑎 ∙ ℎ 𝑎
3 𝐼 = 𝑃𝑖𝑟 𝑃
4 𝐹 =
𝑔𝑚𝑀
𝑟2
𝑀
5 𝑟2𝐹 = 𝑚𝑀𝑔 𝑟
6 𝑚−𝑀𝑣 = 𝑚𝑥 + 1 𝑚
7 𝑀𝑣
𝑥𝑔+ 2= 𝑚(𝑥𝑔− 2)
𝑀
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Álgebra 65
Actividad 15.4 (complementaria)
Construyendo modelos matemáticos para resolver problemas mediante ecuaciones
Casos La constructora Dyel SA es una empresa relat ivamente joven que opera en la ciudad de Liberia desde 2012. Actualmente, está analizando su plan de
construcción para los próximos años y desea encontrar un modelo que le
ayude para este fin. La información de las actividades de la empresa fue proporcionada por el gerente general: en el año 2013 la constructora Dyel
SA logró construir 4 casas a un costo total de 110 millones de colones; en
2014 construyó 6 casas a un costo total de 189.75 millones de colones, en el 2015 fueron construidas 8 casas a un costo total de 286 millones de colones
y durante el 2016 un total de 10 casas a un coto total de 398.75 millones de colones.
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Álgebra 66
Sesión 16
Inecuaciones
Actividad 16.1. Recuerdas la noticia “Puente bailey colapsa cuando dos vagonetas con 40
toneladas de asfalto trataron de cruzar a la vez”
Fuente:
http://www.nacion.com/nacional/infraestructura/Puente-colapsa-vagonetas-intentaban-Fortuna_0_1523847678.html
Fuente: http://www.nacion.com/nacional/infraestructura/Vagonetas-duplicaron-
capacidad-puente_0_1524047616.html
Como puedes observar hay dos versiones en relación al peso de las
vagonetas y para saber cuál de las dos noticias se aproxima más a la realidad, invest iga: ¿Cuál es el peso de una vagoneta sin carga?
Según Bianconi, Apango y Ramírez (2015), estos puentes están diseñados
para ser ut ilizados por periodos cortos y atender emergencias surgidas
prioritariamente en casos de desastres naturales al tener la característ ica de facilidad en el t ransporte y montaje. Hay de diferentes tamaños pero en
promedio pueden soportar una carga de 40 a 95 toneladas. Para el caso del puente del río Catarata, según el ministro de transporte, la
estructura está creada para un solo camión. Sin embargo, de los medios de
Según el reporte de bomberos, las vagonetas transportaban en conjunto 40 toneladas de asfalto y cada una pesa por si sola 20 toneladas, lo que significa que el puente cedió tras soportar al
menos 80 toneladas. Según informó el Ministerio de Obras Públicas y Transportes
(MOPT), la estructura está diseñada para que solo un camión
pesado circule a la vez.
Por la estructura, con una capacidad máxima de unas 27 toneladas, intentaron pasar unas
60 toneladas, según estimaciones del Consejo Nacional de Vialidad (Conavi).
A esta “ mprudencia”; sin embargo, se une el hecho de que no había un rótulo de
advertencia sobre la capacidad máxima de la estructura portátil.
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Álgebra 67
comunicación se desprende que no había rotulación que indicara esa
limitante.
Reflexionemos - Si x representa el peso máximo en toneladas que soporta un puente
bailey, ¿será posible expresar de manera algebraica los límites de
tolerancia dados por Bianconi, Apango y Ramírez? Inténtalo:
____________________
- ¿Crees que en nuestro país los puentes bailey se instalan por periodos
cortos?
En conclusión:
-Los puentes bailey son construidos con una capacidad máxima de soporte
de peso, por lo que debería exist ir una señalización de tránsito indicándolo. - Los puentes están diseñados para ser ut ilizados por periodos cortos.
- Fue Donald Bailey, oficial del ejército británico durante la Segunda Guerra
Mundial, quien presentó la propuesta de producción en 1941. En 1943 la contribución fue de suma importancia y en 1946 se le otorgó el t ítulo de
ilustre “Sir” en reconocimiento a su aporte.
Actividad 16.2 La ley general de tránsito de Costa Rica, señala que:
“En ausencia de señalización, los límit es mínimos y máximos serán:
a) En aut opista la velocidad mínima será de cincuent a kilómetros por hora (50km/h).
b) Donde no exist a demarcación, el límite será de sesent a kilómetros
por hora (60km/h); en zona urbana de alta densidad poblacional será de cincuent a kilómet ros por hora (50 km/h).
c) En pasos peat onales de vías públicas localizadas alrededor de planteles educat ivos con est udiantes present es, cent ros de salud y
donde se realicen act ividades o concent raciones masivas, el límite
será de veint icinco kilómet ros por hora (25 km/h). Deberá est ar debidamente definido y demarcado el punt o de inicio
y fin de dicha rest ricción, así como las horas y los días en que surte
efect o. Se prohíbe circular a una velocidad superior al límite máximo o inferior a la mínima est ablecida; para ello, el conduct or deberá
t omar en cuent a las condiciones de la vía y las normas de conducción”
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Álgebra 68
Reflexionemos…
¿Por qué se ponen límites de velocidad en las leyes?
Si 𝑣 representa la velocidad de un vehículo cualquiera, represente algebraicamente la respuesta que darías a las siguientes preguntas.
1. ¿En qué rango de velocidad puedo viajar en zona escolar?
2. ¿Cuándo me expongo a una multa?
3. ¿A qué velocidad se considera conducción temeraria?
Expresa en forma algebraica los niveles de alcohol permit idos en la sangre
al conducir.
¿Consideras que sea necesario que se haga algún cambio en esa ley?
Comente con sus compañeros.
Como puedes notar, las actividades 17.1 y 17.2, se refieren a casos de la vida
cotidiana y nos son tan familiares, que no nos percatamos que se están ut ilizando desigualdades matemáticas.
En la medicina, toda la parte de dosis en los t ratamientos (dosimetría) y en medición de la intensidad de las radiaciones (radiometría) se basa en
desigualdades: menos que, más que, porque está en juego la vida de los pacientes y una dosis inferior o mayor puede provocar hasta la muerte
Otros casos son: el pago mínimo de la tarjeta de crédito, fecha límite de pago de tus deudas, número de mensajes de texto permit idos en su plan.
Cuando hablamos de estas situaciones por lo general se está haciendo referencia a los límites establecidos: la capacidad máxima o límite de un
ascensor, la velocidad límite o máxima permit ida, el monto mínimo de compras para que se te aplique un descuento.
En general los seres humanos nos hemos caracterizado por t ipificar, poner estándares o límites para las leyes de tránsito, clasificar a las personas como
altas, pequeñas, ricas o pobres, jóvenes o viejas. Para ello se pone un dato que va a ser el que indique que a part ir de ese valor cumple una
característ ica o la otra.
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Álgebra 69
En matemáticas, una inecuación es una expresión que hace referencia al
tamaño u orden relat ivo de dos objetos o situaciones.
La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b.
Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando
La notación a ≤ b significa que a es menor o igual que b y la notación a ≥ b
quiere decir que a es mayor o igual que b.
En algunos casos se ut ilizan frases e indicadores del símbolo a ut ilizar.
Tabla 1
frase Desigualdad
matemática “a es más que b” a > b
“a es por lo menos b” a ≥ b
“a es menos que b” a < b
“a es por lo menos b;” o “a no es más que b”
a ≤ b
Sin embargo, muchos problemas no usan precisamente las palabras "por lo
menos" o “mayor que”, o "es menos que" o “menor que”. Entonces, ¿cómo saber qué símbolo usar en cualquier situación?
Ante una situación en la que no se usen palabras que indiquen directamente la relación establecida entre las variables u objetos, se debe
analizar el caso e identificar el contexto de la situación, y relacionar ese contexto a una de las situaciones enlistadas en la tabla. El contexto se
describe a la situación cotidiana en la cual se desenvuelve el problema, tal
y como podemos observar en la tabla 2.
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Álgebra 70
Tabla 2
Situación Desigualdad matemática
Velocidad (v) mínima en autopista V 50 km/h
Velocidad límite en si no hay límites de demarcación
V 60 km/h
Velocidad límite en zona urbana de alta densidad de población
V 60 km/hal 10%
Pago mínimo mensual (p) de la tarjeta de crédito P 10% del monto total gastado a la
fecha de corte.
Número de mensajes de texto permit idos (M) al mes M 250
Actividad 16.3. Analicemos la siguiente situación
Jairo es un estudiante de ingeniería que ocupa comprar un par de tenis para
correr en las competencias interuniversitarias. Él encontró tres pares de tenis
para correr que le gustan. El precio de cada par es $150, $159, y $179. Él ya t iene ahorrados $31, y posee un empleo donde gana $8.50 la hora.
¿Cuántas horas debe trabajar para poder pagar cualquiera de los pares de tenis?
Estrategia de solución:
Análisis de lo solicitado: 1. Nos está pidiendo encontrar el número de horas que Jairo debe
trabajar para comprar cualquiera de los pares de tenis. (Ut ilizaremos
la letra h para el total de horas trabajadas)
2. Como él t iene 3 posibilidades de est ilos y por lo tanto de precios; lo
mínimo que t iene que ajustar de dinero son $150.
3. Tiene $31
4. Gana $8,50 por hora.
5. Establecer la relación que existe entre la o las variables: en este caso
horas que debe trabajar para tener al menos $150. (Simbólicamente
el monto debe ser $150)
Pensemos en que somos Jairo:
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Álgebra 71
(Salario por hora) · (total de horas trabajadas) + el ahorro precio
de las tenis más baratas ($8,50) · ( h ) + $31 $150
Así se t iene que la inecuación que relaciona las variables es:
($8,50) · ( h ) + $31 $150
Método de solución: ($8,50) · ( h ) + $31 - $31 $150 - $31
($8,50) · ( h ) $119 ($8,50) · ( h ) $119
$8,50 $8,50
h $119
$8,50
h 14
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Álgebra 72
Bibliografía Acuña, L y Artavia,M. (2009). Ejercicios de matemática para
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