Universidad Técnica Particular de Loja
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Universidad Técnica Particular de Loja
PROCESAMIENTO DE SEÑALES
Escuela de Electrónica
y Telecomunicaciones
Carlos Carrión Betancourth
EQBYTE.INC
Presentación
• Objetivo generalPresentar una introducción a los conceptos básicos de DSP, como las perspectivas de desarrollo de aplicaciones relacionadas.
• Temática Introducción al procesamiento digital de señales. Convolución y correlación. Ecuaciones en diferencia y transformada Z. DFT y FFT. Osciladores digitales.
• MetodologíaSe realizará presentaciones, se hará discusión sobre el tema de presentación, se realizará prácticas con Matlab/Simulink y elementos relacionados.
Contenido de la presentación
• Introducción al procesamiento digital de señales.
• Convolución y correlación.
• Ecuaciones en diferencias y transformada Z.
• Transformada discreta de Fourier.
• Osciladores digitales.
• Introducción a filtros digitales.
• Diseño e implementación de filtros digitales.
Aplicaciones de DSP
(1960-1970s) DSP limitado a: radar y sonar, medicina y exploración del espacio.
(1980-1990s) La revolución de la microelectrónica causó un gran crecimiento en las aplicaciones de los DSPs.
Aplicaciones de DSP
(2000s-actualidad) La tendencia actual de esta tecnología es hacia aplicaciones de comunicaciones inalámbricas, así como para multimedia. La producción a gran escala de chips tiende a una reducción de costos. Además de los nuevos dispositivos cuánticos.
Aplicaciones de DSP
Procesamiento de Imágenes• Reconocimiento de Patrones• Visión Robótica http://cavr.korea.ac.kr/Aplicaciones Militares• Comunicaciones seguras• Procesamiento de radar• Guía de misilesInstrumentación y control• Reducción de ruido• Análisis espectralProcesamiento de Audio• Reconocimiento de voz• Síntesis de vozMedicina• Monitoreo de pacientes• Procesamiento de señales ECG, EEG, imágenes
Procesamiento digital de señales
Diagrama de bloques de un Sistema de Procesamiento digital de señales:
Acondicionamiento de señal A/D
Procesamiento Digital D/A Adecuación
Procesamiento: convolución, correlación, DFT
Dispositivos para el procesamiento digital: PC, microprocesadores, microcontroladores, DSPs (Digital Signal Processors), ASICs (Application Specific Integrated Circuit)
Dispositivos Procesamiento - Generalidades
• GPP, General Purpose Processor
• DSP, Digital Signal Processor
• FPGA, Field Programmable Gate Array
• ASIC, Application Specific Integrated Circuit
Cada uno con unas características propias para determinadas aplicaciones.
El mejor dispositivo depende de la aplicación.
Dispositivos Programables - GPP
Características principales• Flexibilidad• Tecnología conocida• Gran desempeño en aplicaciones de control
de flujo
Desarrollo• Extensiones para manejo vectorial• Capacidades de procesamiento digital de
señales• Tecnología superescalares: varias
instrucciones por ciclo de reloj.
Dispositivos Programables - DSP
Evolución
• En 1982 TI introduce el primer DSP comercial (TMS32010) para aplicaciones en Telecomunicaciones
• En 1996 TI introduce el primer DSP con tecnología VLIW (Very Large Instruction Word), Familia TMS320C62XX, con 8 unidades de ejecución independientes.
y[n] = x[n]a0 + x[n-1]a1 + x[n-2]a3
Berkeley Design Technology, Inc.
Dispositivos Programables - GPP Vs VLIW
• GPP • VLIW
Memoria
Progama + Datos
ALU, Registros
Memoria Programa
L1 S1 M1 A1 L2 S2 M2 A2
Registros Registros
Memoria Datos
L:ALU S:Shift M:Multiply A:Address
Berkeley Design Technology, Inc.
Dispositivos Programables - FPGAs
Características principales• Flexibilidad• Bajo tiempo de desarrollo de aplicaciones• Bajos volúmenes• Aplicaciones de alto nivel de paralelismo
Características DSP• Herramientas para el diseño de sistemas DSP
(Altera: DSP Builder, Xilinx: System Generator).• Memoria Embebida• Multiplicadores embebidos 18x18 (Altera: hasta
150 a 250MHz, Xilinx: hasta 512 a 500 MHz).
http://www.altera.com/technology/dsp/devices/dsp-devices_features.htmlhttp://www.xilinx.com/products/virtex4/capabilities/xtremedsp.htm
Dispositivos Programables - ASICs
Características• Alto desempeño• Bajo consumo de potencia• Alta velocidad de procesamiento• Alto tiempo de desarrollo de aplicaciones• Altos volúmenes• No son flexibles
Desarrollo• HardCopy de Altera: desarrollo del diseño y
depuramiento empleando herramientas de FPGAs, emplea el mismo proceso de fabricación de FPGAs.
http://www.altera.com/products/software/flows/asic/qts-structured_asic.html
Dispositivos Programables - Comparación
Desempeño Costo Potencia Flexibilidad Esfuerzo de diseño
ASIC Alto Alto Baja Baja Alta
DPS Medio Medio Media Media Media
GPP Bajo Bajo Medio Alta Baja
HR Medio Medio Alta Alta Media
Reconfigurable Computing for DSP: a survey. INAOE.
Contenido de la presentación
• Introducción al procesamiento digital de señales.
• Convolución y correlación.
• Ecuaciones en diferencias y transformada Z.
• Transformada Discreta de Fourier.
• Osciladores.
• Introducción a Filtros Digitales.
• Diseño e implementación de filtros digitales.
Convolución discreta
kk
knhkxnhknxny ][][][][][
La convolución discreta se aplica a secuencias causales LTI.
x(n) h(n) y(n)
x(n): secuencia de entrada
h(n): respuesta del sistema al impulso
y(n): secuencia de salida
Convolución discreta – Sistemas LTI
h(n) = {0, 1, 1, 0}
0 1 2 3
n
T
x(0) = 1
0 1 2 3 4
x(1) = 2
n
0 1 2 3 4 n
0 1 2 3 4
y(n) = {0, 1,3, 2, 0}
n
Suma 0 1 3 2 0
Para: x(n) = {1, 2}
Matlab conv()
Correlación cruzada
1
0
)(2)(112N
n
nxnxr
1
0
)(2)(11
12N
n
nxnxN
r
Para dos secuencias x1(n), x2(n):
Dependiente del número de datos y del desfase
Dependiente del desfase
1
0
)(2)(11
)(12N
n
jnxnxN
jr
2/11
0
1
0
22 )(2)(11
)(12)(12
N
n
N
n
nxnxN
jrj Normalizada
Matlab xcorr()
Autocorrelación
Es cuando x1[n] = x2[n]
Cuando j=0
r11(0) es la energía normalizada
1
01111 )()(
1)(
N
n
jnxnxN
jr
1
0
21
1
01111 )(
1)()(
1)0(
N
n
N
n
nxN
nxnxN
r
Autocorrelación normalizada
Ejercicios
• Realice la correlación de las siguientes señales:– Señales senoidales con frecuencia 10Hz,
frecuencia de muestreo 360Hz, desfase 60°.– Dos señales de distribución de probabilidad
gausiana.– La autocorrelación de una señal de distribución
de probabilidad gausiana.
Contenido de la presentación
• Introducción al procesamiento digital de señales
• Convolución y correlación
• Ecuaciones en diferencias y transformada Z
• Transformada Discreta de Fourier
• Osciladores
• Filtros Digitales
• Empleo de Simulink
Transformada Z
Ejemplos
1. x(n) = {1 2 -1 -8}
X(z) = 1 + 2z-1 - z-2 – 8z-3; ROC: todo valor de z excepto z=0
2. x(n) = 0.5n u(n)
ROC: |0.5/z| < 1 => |z| > 0.5
n
nznxzX )()(z: variable compleja
ROC
1
0
1
0 5.01
15.05.0
z
zzn
n
n
nn
Transformada Z de primer orden
h(n) = an u(n)
x x
x x
x x
1
0
1
0 1
1)(
az
azzazHn
n
n
nn
Propiedades de la Transformada Z
• Linealidad:
ax1(n) + bx2(n) - > aX1(z) + bX2(z)
• Desplazamiento
x(n-m) = z-mX(z)
• Convolución
Y(z) = X(z) H(z)
Ecuación en Diferencias
y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-1) - a1y(n-1)
Propiedades de Z• Linealidad: ax1(n)+bx2(n) -> aX1(z)+bX2(z)• Desplazamiento: x(n-m) = z-mX(z)
Y(z) = b0X(z) + b1X(z) z-1+b2X(z) z-2-a1Y(z) z-1
Y(z) (1 + a1z-1) = X(z) (b0 + b1z-1 + b2z-2)
11
22
110
1)(
)()(
za
zbzbb
zX
zYzH
Ecuación en Diferencias
Especifican la operación que debe realizar un sistema:
Para pasar a Z (propiedad del desplazamiento):
Un sistema descrito por E. D (coef constantes) es LTI
M
kk
N
kk knxbknya
00
)()(
M
kk
N
kk knxbknyany
01
)()()(
M
k
kk
N
k
kk zXzbzYzany
01
)()()(
Transformadas Z del seno y el coseno
1)cos(2
)(2 Tzz
Tzsen
1)cos(2
)cos(2
2
Tzz
Tzz
sin(nT)
cos(nT)
Contenido de la presentación
• Introducción al procesamiento digital de señales
• Convolución y correlación
• Ecuaciones en diferencias y transformada Z
• Transformada Discreta de Fourier
• Osciladores
• Filtros Digitales
• Empleo de Simulink
Series de Fourier
En 1822 Fourier descubrió las series de Fourier.
Las sen(not) y cos(not) conjunto ortogonal donde:
o: frecuencia fundamental o del primer armónico.
no: armónicos
Expansión en series de Fourier:
1n0n0n0 t)n(senbt)ncos(aa)t(f
Series de Fourier: señales periódicasTransformada de Fourier: señales de energía finita
Exponencial y sinusoidal en tiempo discreto
1. Una senoidal discreta es periódicas solo si la frecuencia es racional:
f0= k/N2. Dos sinusoides separadas en = 2son idénticas
Exponenciales relacionadas armónicamente con f0=1/N,El conjunto de exponenciales:
exp(j2k f0n) está conformado solo por N exponenciales discretas:
exp(j2kn/N), k=0,1,2...N-1son periódicas de periodo N.
DFT Transformada Discreta de Fourier
x(n) se asume de periodo N
X(k) es de periodo N.
1
0
/2
1
0
/2
)(1
)(
)()(
N
k
Nknj
N
n
Nknj
ekXN
nx
enxkX
DFT
IDFT
Ejemplo DTF
Ejemplo: x[n] = {1 0 0 1}:
01001)()2( 33
0
4/4
j
n
nj eenxX
3
0
3
0
0 21001)()()0(nn
j nxenxX
jeenxX j
n
nj
11001)()1( 2/33
0
4/2
jeenxX j
n
nj
11001)()3( 2/93
0
4/6
1
0
/2)()(N
n
NknjenxkX
Complejidad DFT
Para calcular cada punto: 4 multiplicaciones complejas y 3 sumas.
Para N puntos: N2 multiplicaciones y N(N-1) sumas. Alta complejidad.
Hay redundancias, por ejemplo:
Para k=1, n=2: WN2
Para k=2, n=1: WN2
3
0))/2(exp(][][
nknNjnxkX WN = e-j2/N
kN
kN
kNN WxWxWxWxkX 320 )3()2()1()0()(
Para x(n) con 3 valores:
FFT
Peden aprovecharse las redundancias.
El primer algoritmo fue el de Cooley y Tukey (1965).
N DFT FFT X (DFT/FFT)
+ (DFT/FFT)X + X +
2 4 2 1 2 4 1
128 16384 16256 448 896 36.6 18.1
2048 4194304 4192256 11264 22528 372.4 186.1
8192 67108864 67100672 53248 106496 1260.3 630
Relación entre Fourier y Z
La relación entre Fourier y Z:z = re j = e j
Que es la transformada z alrededor del círculo unitario.
n
n
n
nj
znxzX
enxX
)()(
)()( Transformada de Fourier
Transformada Z
Ejemplo
Un sistema con respuesta al impulso:
h(n) = 0.5nu(n)
Términos de la respuesta al impulso:
h(n) = {1, 0.5, 0.25, 0.125….}
Que tipo de filtro es (LPF, HPF, BPF)?
1
0
1
0 5.01
15.05.0
z
zzn
n
n
nn
xComo implementar el filtro
en un DSP?
Ejercicios
1
1
5.01
1)(
z
zzH
Hallar los primeros 5 términos de la respuesta al impulso de un sistema con la siguiente función de transferencia:
Hallar la ecuación en diferencias para un sistema que tiene los siguientes polos y ceros:
z=0z=0.5p=-1p=1
Contenido de la presentación
• Introducción al procesamiento digital de señales
• Convolución y correlación
• Ecuaciones en diferencias y transformada Z
• Transformada Discreta de Fourier
• Osciladores
• Filtros Digitales
• Empleo de Simulink
Relación señal a ruido
Resultado de la precisión finita: SNR (ideal) = 6.02n + 1.76 dB
Puede mitigarse el efecto de truncar la fase añadiendo a la fase una secuencia aleatoria removiendo la periodicidad en la fase reduciendo los espurios
Osciladores
Tipos de osciladores
• Look-up-table
• CORDIC
• Transformada z
• Series de Taylor
Look-up-table
Consiste en acumular incrementos de fase para emplearlos como dirección de una ROM.
• ROM completa: la ROM almacena los 360° de las señales seno y coseno. Emplea mucha memoria y pocos elementos lógicos.
• ROM pequeña: almacena solo una porción de los valores de las señales seno y coseno. Los demás valores son derivados.
Programa en Matlab - LUT
clear all;fs = 2000; %frecuencia de muestreofo = 20; %frecuencia de la señalN = 2048; %valores en la tablapaso = 2*pi/(N+1);tabl = sin(0:paso:2*pi-paso);
Nspcy = fs/fo;thpas = N/(Nspcy-1)
ang = 1;x = [];for k = 0:floor(Nspcy)-1, x = [x tabl(floor(ang))]; ang = ang + thpas;end
plot(x)res = paso*180/pi
Antes y después de añadir ruido - LUT
CORDIC
Empleado cuando no se dispone de suficiente memoria para implementar una tabla.
El algoritmo emplea multiplicaciones por 2, sumas, restas y una tabla de un tamaño pequeño.
Transformada Z
1)cos(2
)(2 Tzz
Tzsen
1)cos(2
)cos(2
2
Tzz
Tzz
sin(nT)
cos(nT)
Programa Matlab
fs = 100; f = 20; w = 2*pi*f/fs;%Sin:a1s = sin(w); b1s = 2*cos(w);%Cos:a1c = cos(w); b1c = 2*cos(w);
ys = []; y1s = 0; y2s = 0; x1s = 0; xs = 1;yc = []; y1c = 0; y2c = 0; x1c = 0; xc = 1;for k = 1:10, yy = b1s*y1s - y2s + a1s*x1s; xx = b1c*y1c - y2c + a1c*x1c + xc; ys = [ys yy]; y2s = y1s; y1s = yy; x1s = xs; xs = 0;
yc= [yc xx]; y2c = y1c; y1c = xx; x1c = xc; xc = 0;endsubplot(2,1,1); stem(ys)subplot(2,1,2); stem(yc)