UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS

CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

AUTOR: Montaño Andrango Mélani Andrea

TUTOR: Dr. Danilo Gortaire Játiva, Ph.D.

Propuesta de un modelo de pensiones condistribución

probabilística por ingresos y estabilidad a largo plazo

Trabajo de graduación previo a la obtención del Título de

Ingeniera Matemática

Quito, 2019

DERECHOS DE AUTOR

Yo,Montaño Andrango Mélani Andrea en calidad de autor y titular de los de-

rechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación PROPUESTA DE UN

MODELO DE PENSIONES CON DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTI-

CA POR INGRESOS Y ESTABILIDAD A LARGO PLAZO, modalidad

trabajo de investigación, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO

DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E

INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia

gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra, con fines

estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre

la obra, establecidos en la normativa citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la di-

gitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de

conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Supe-

rior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su

forma y expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la res-

ponsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y

liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

Mélani Andrea Montaño Andrango

CI: 1723514939

Telf: 0984063891

E-mail: mely.mel94.mm@gmail.com

ii

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulación presentado por MÉLANI AN-

DREA MONTAÑO ANDRANGO, para optar por el grado de Ingeniera Ma-

temática; cuyo título es: PROPUESTA DE UNMODELO DE PENSIONES

CON DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA POR INGRESOS Y ESTA-

BILIDAD A LARGO PLAZO, considero que dicho trabajo reúne los requisitos

y méritos suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por

parte del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 31 días del mes de Julio del año 2019.

Dr. Danilo Gortaire Játiva Ph.D.

CI: 1705940508

Telf: 0998327673

E-mail: danilo_gortaire@yahoo.es

iii

DEDICATORIA

Dedicado a

mi papá Ramiro,

mi mamá Gladys,

mi hermano Sebastián

y a mi abuelita Mita el pilar más importante de la familia.

iv

AGRADECIMIENTOS

”Esfuérzate y sé valiente..."

Josué 1:6-9

Quiero expresar mi gratitud a Dios por ser mi fortaleza en todas las etapas de mi

vida y en especial en mi carrera universitaria, por cuidar y bendecir a mi familia

que ha sido mi mayor apoyo.

Un eterno agradecimiento a mi padre Ramiro por ser un hombre correcto, respon-

sable y trabajador, quién con su esfuerzo ha hecho posible que cumpla cada una

de mis metas, a mi madre Gladys le agradezco por su dedicación, sus consejos y su

eterno amor.

De igual manera mis agradecimientos a todos los docentes de la carrera de Ingeniería

Matemática por sus valiosos conocimientos que hicieron que pueda crecer día a día

como profesional, principalmente al Dr. Danilo Gortaire, Ph.D. tutor del presente

trabajo de investigación, quién con sus conocimientos me encaminó de la mejor

manera a la finalización de esta meta.

v

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACIÓN DEL TUTOR iii

DEDICATORIA iv

AGRADECIMIENTOS v

CONTENIDO vi

ÍNDICE DE TABLAS ix

ÍNDICE DE FIGURAS x

RESUMEN xi

ABSTRACT xii

NOTACIONES 1

I. INTRODUCCIÓN Y DATOS PRELIMINARES 2

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Fundamentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Algunos conceptos sobre matemática actuarial . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2. Medidas de tendencia central . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3. Medidas de posición no central . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.4. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.5. Medidas de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Distribución por ingresos. Datos del INEC . . . . . . . . . . . . . . 17

vi

1.6. Metodología de ajuste de datos empíricos a una distribución proba-

bilística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II. DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA POR INGRESOS 27

2.1. Ajuste de los datos empíricos del INEC a una distribución probabi-

lística. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Test de bondad y ajuste de criterios de Kolmogórov - Smirnov y

criterio de Ji Cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1. Test de Kolmogórov - Smirnov de ajuste a una ley de proba-

bilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2. Test de bondad y ajuste: Ji-Cuadrado . . . . . . . . . . . . . 37

III.ALGUNOS CÁLCULOS CLÁSICOS PARA UNA PENSIÓN DE

JUBILACIÓN. VALORES DE UNAANUALIDAD DE SEGURO 39

3.1. Tablas de mortalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1. Relaciones entre las funciones de la tabla de mortalidad . . . 40

3.2. Funciones de conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1. Seguro personal de sobrevivencia (Dx) . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2. Seguro de pensiones (Nx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3. Seguros de fallecimientos por n años . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.4. Tablas de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Valor de una anualidad de seguro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Anualidades posnumerando (pago al final del periodo) . . . . . . . . 54

3.5. Anualidades prenumerando (pago al inicio del periodo) . . . . . . . 57

3.6. Valor de las anualidades con pagos m veces al año . . . . . . . . . . 58

IV. EL NUEVO MODELO DISTRIBUTIVO 62

4.1. Cálculo actuarial y fórmulas de las pensiones. . . . . . . . . . . . . 63

4.1.1. Pensión promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2. Pensión laboral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Variantes de la pensión laboral y aplicación de la distribución por

ingresos n/m - bipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. Algunos tipos de pensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.1. Discapacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vii

4.3.2. Viudedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.3. Orfandad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

V. RESULTADOS DEL MODELO DE PENSIONES 76

5.1. Valores de las pensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 83

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

APÉNDICES 87

A. CÁLCULOS REALIZADOS EN EL CAPÍTULO I 87

B. TABLAS ESTADÍSTICAS 91

BIBLIOGRAFÍA 95

viii

ÍNDICE DE TABLAS

1.1. Rangos de ingreso corriente monetario mensual de los ecuatorianos. 19

1.2. Deciles por ingreso monetario mensual. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1. Magnitudes 1/Anm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Tabla de frecuencias relativas acumuladas observadas y esperadas. . 36

2.3. Tabla de frecuencias observadas y esperadas. . . . . . . . . . . . . . 38

3.1. Tabla de mortalidad del Ecuador para hombres y mujeres . . . . . . 44

3.2. Tabla de conmutación para hombres con una tasa i = 9 % . . . . . . 50

3.3. Tabla de conmutación para mujeres con una tasa i = 4, 5 % . . . . . 53

3.4. Valores de Algunas Anualidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5. Valores de Algunas Anualidades para distintos plazos. . . . . . . . . 61

4.1. Distribución de fondos [16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1. Valores de pensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.1. Cálculos preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.2. Valores correspondientes para cálculo de deciles . . . . . . . . . . . 90

B.1. Test de Kolmogórov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.2. Distribución Ji - Cuadrado χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Ojiva porcentual de rangos de ingreso corriente monetario mensual. 20

1.2. Histograma y curva de frecuencias del ingreso monetario mensual de

los ecuatorianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. Relación empírica entre media, mediana y moda. . . . . . . . . . . . 23

2.1. Distribución n/m-bipotencial en diferentes grados. . . . . . . . . . . 28

2.2. Datos empíricos del INEC vs. Función 6/8-bipotencial. . . . . . . . 34

5.1. Leyes de pensiones vs Salario promedio mensual . . . . . . . . . . . 80

6.1. Pirámide poblacional nacional 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

x

TEMA: Propuesta de un modelo de pensiones con distribución probabilística por

ingresos y estabilidad a largo plazo.

Autora: Mélani Andrea Montaño Andrango

Tutor: Dr. Danilo Gortaire Játiva, Ph.D.

RESUMEN

El presente trabajo de investigación describe un sistema de pensiones basado en

una distribución probabilística de los ingresos de los ecuatorianos, datos correspon-

dientes al censo 2010 proporcionados por el INEC. Mediante el análisis estadístico

realizado al conjunto de datos se determina la distribución teórica D, para luego,

utilizando criterios de Matemática Actuarial construir el nuevo modelo probabilís-

tico, el cual se caracteriza por ser un sistema totalmente justo, asegurando un nivel

de vida digno a los grupos vulnerables de la sociedad, además, ofrece la capacidad

de ser estable a lo largo del tiempo, es decir, puede ser aplicado por decenas de

años independientemente de la inflación, pues posee un ajuste automático en caso

de una fuerte inflación en la economía del país.

PALABRAS CLAVE: DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA / MATEMÁTICA

ACTUARIAL / SISTEMA DE PENSIONES / MODELO PROBABILÍSTICO.

xi

TITLE: Proposal of a pension model with probabilistic distribution by income

and long-term stability.

Author: Mélani Andrea Montaño Andrango

Advisor: Dr. Danilo Gortaire Játiva, Ph.D.

ABSTRACT

This research paper describes a pensions’s system based on a probabilistic distribu-

tion of the income of Ecuadorians, data corresponding to the 2010 census provided

by the INEC. By means of the statistical analysis made to the data set, the theoreti-

cal distribution D is determined, and then, using criteria of Actuarial Mathematics,

to construct the new probabilistic model, which is characterized by being a totally

fair system, ensuring a decent standard of living to vulnerable groups of the society,

furthermore, it offers the ability to be stable over time, that is, it can be applied

for dozens of years independently of inflation, since it has an automatic adjustment

in case of strong inflation in the country’s economy.

KEYWORDS: PROBABILISTIC DISTRIBUTION / ACTUARIAL MATHE-

MATICS / PENSION SYSTEM / PROBABILISTIC MODEL.

xii

NOTACIONES

Las siguientes notaciones se utilizan a lo largo del presente trabajo de investigación

basada en [3].

t :t :t : Periodo promedio de trabajo de un ciudadano en su vida (en años).

T :T :T : Tiempo de vida promedio de un ciudadano después del registro de pensión (en

años).

N :N :N : Número total de personas (en millones).

z :z :z : Ingresos individuales de un ciudadano (en dólares/mes).

q :q :q : Aportación total a la seguridad social (en las fórmulas como fracción decimal,

en las tablas como porcentaje %).

p :p :p : Pensión laboral de un ciudadano (en dólares/mes).

µ :µ :µ : Gastos de administración del fondo de pensiones (fracción decimal).

P :P :P : Pensión promedio de un ciudadano (en dólares/mes).

P :P :P : Pensión básica de un ciudadano (en dólares/mes).

k :k :k : Relación entre la esperanza de vida de un ciudadano al momento de la jubilación

y el periodo de trabajo de un ciudadano durante su vida.

Z :Z :Z : adimensional (normalizado, referido al salario promedio en el país) el salario

individual de un ciudadano de por vida.

H,M :H,M :H,M : Índices que denotan a hombres o mujeres (sin índice promedio nacional).

η :η :η : Índice que denota la categoría de discapacidad o dificultades de la profesión (η

= 0 condiciones normales).

j :j :j : Índice del mes.

α, β :α, β :α, β : Parámetros de la fórmula de la pensión.

f(z) :f(z) :f(z) : Función de distribución de salarios.

a, b, c :a, b, c :a, b, c : Parámetros de la función de distribución.

1

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN Y DATOS PRELIMINARES

1.1 Introducción

Un sistema de pensiones bien estructurado, diseñado matemáticamente y enfocado

a la participación de toda la sociedad es un elemento importante para la legislación

de un país, necesario para mantener la estabilidad social. El sistema debe garantizar

un nivel de vida que cubra las necesidades básicas y de bien estar social.

El presente estudio se realiza considerando la siguiente premisa:

En el Ecuador los pensionistas constituyen alrededor de la cuarta parte de los

afiliados al Instituto Ecuatoriano de Seguridad Social (IESS) y por tanto, tienen

un poder de decisión en la elección de los representantes en el gobierno nacional

y sectorial, por ende constituyen un sector importante en la economía del país,

emprendimientos locales, turismo y servicios de salud.

Contestando a la cuestión de ¿Cuáles serían los requisitos para que la opinión

pública considere que tenemos un buen sistema de pensiones?, podemos afirmar:

La seguridad social en el Ecuador tiene un carácter solidario y su cobertura

tanto en pensiones como en salud son un ejemplo para otras sociedades,

además tiene cobertura a nivel nacional y es un derecho garantizado por la

constitución ecuatoriana que el empleador afilie a sus trabajadores.

Ser socialmente justo (nadie se quedaría sin una pensión, y cuanto más trabaje

un ciudadano, mayor debería ser su pensión).

Ser un sistema simple y comprensible para cualquier persona educada pro-

medio (para que la inmensa mayoría pueda calcular con facilidad y confianza

el valor de su pensión).

Todo sistema de pensiones tiene que considerar ser sostenido en el tiempo y

sustentable en su propósito, que es el de asegurar la pensión a un jubilado

2

por el resto de su vida.

En este trabajo se describe un sistema de pensiones que cumpliría con todos los

requisitos exigidos anteriormente, además está dirigido a los interesados en deter-

minar el monto de las pensiones en función de la esperanza de vida de los contri-

buyentes que se acojan a este derecho, de tal forma que el mismo no se desfinancie

y tenga cobertura total. Los sistemas de pensiones basados en análisis matemático

tiene que estar respaldados para su aplicación en el país, por la parte legal y por

las instituciones gubernamentales que garanticen el manejo adecuado del mismo.

En nuestro país, alrededor de 40 años, funciona la ley de pensiones de 1957. No

se habían tomado en cuenta los efectos de las inflaciones, y por tanto se volvió

obsoleta a mediados de las dos últimas décadas, y el colapso de la economía por la

quiebra del sistema financiero, debido a las reformas de 1999-2000 la resquebrajó.

Se hizo necesario ajustar regularmente sus cifras y coeficientes. Esto fue hecho por

la nueva ley de 2002, que preveía la indexación regular de las pensiones a medida

que aumentaba la inflación. La nueva ley fue aprobada en el 2004.

1.2 Fundamentación

Un modelo de pensiones puede construirse en forma estándar, es decir, en base a

la capitalización de los dineros acumulados por los afiliados, se procede mediante

leyes financieras y cálculo actuarial a distribuir esos dineros entre los pensionistas,

tomando en cuenta el número de aportaciones, edad, años trabajados, tasas de

interés, coeficientes de mortalidad, leyes sociales y otros factores.

El modelo presentado en la actual investigación se fundamenta en una distribución

probabilística de los ingresos de los ecuatorianos. Mediante los datos empíricos

de ingresos, proporcionados por el INEC, se procede a determinar la distribución

probabilística teórica que más se ajusta. Esto lo hacemos postulando la distribución

n/m - bipotencial, para luego, utilizando varios criterios como el de Kolmogórov-

Smirnov, el de Ji cuadrado u otros, comprobar si la distribución empírica postulada

se ajusta a la distribución teórica. Ya encontrada la distribución n/m - bipotencial

de los ingresos se procede a hacer los cálculos financieros y actuariales de los valores

3

de las pensiones por ingresos.

1.3 Objetivos

1.3.1. Objetivo General

Construir un modelo matemático de pensiones basado en la distribución probabilís-

tica de ingresos de los trabajadores ecuatorianos percibidos en el año 2010 (Censo

nacional 2010) datos proporcionados por el Instituto Nacional de Estadística y

Censos (INEC).

1.3.2. Objetivos Específicos

Tomar datos estadísticos de los ingresos mensuales de los trabajadores y

determinar indicadores e índices estadísticos descriptivos.

Determinar (ajustar) la distribución probabilística n/m− bipotencial de los

ingresos de los ecuatorianos mediante la metodología de ensayos y errores

reiterativos.

Construir el modelo de determinación de pensiones a partir de la función

probabilística n/m− bipotencial, obtener las fórmulas para el cálculo de las

pensiones y realizar las aplicaciones.

4

1.4 Algunos conceptos sobre matemática actuarial

1.4.1. Conceptos básicos

Las siguientes definiciones se utilizarán a lo largo del presente trabajo de investi-

gación y están basadas en [7].

Definición 1.1 (Vivienda) Es un recinto de alojamiento estructuralmente sepa-

rado y con entrada independiente, construido, edificado, transformado o dispuesto

para ser habitado por una persona o grupo de personas, siempre que al momento

de la investigación no esté utilizado con finalidad distinta.

Definición 1.2 (Hogar) Es la unidad social conformada por una persona o un

grupo de personas que se asocian para compartir el alojamiento y la comida. Es

decir, que el hogar es el conjunto de personas que residen habitualmente en la

misma vivienda o en parte de ella (viven bajo el mismo techo), que están unidas o

no por lazos de parentesco y que cocinan en común para todos sus miembros (comen

de la misma olla).

Definición 1.3 (Miembros del hogar) Se les considera Miembros de Hogar a

las siguientes personas:

a) Los residentes habituales presentes en el momento de la entrevista (censo)

que viven permanentemente en el hogar, es decir que duermen la mayor parte

del tiempo en él; incluyendo aquellos que al tiempo de la entrevista se en-

cuentra temporalmente ausente por diferentes razones (trabajo, vacaciones,

enfermedades, etc.), siempre que su ausencia sea por un período menor a

seis meses.

b) Las personas sin parentesco con el jefe del hogar o familiares de éste, que

vivan habitualmente la mayor parte del tiempo en el hogar, siempre que no

tengan otro lugar de residencia.

c) Los servidores domésticos que son residentes habituales del Hogar y sus fa-

miliares que viven con ellos (puertas adentro).

5

d) Personal de las Fuerzas Armadas destacado en el lugar y que vive habitual-

mente en el hogar la mayor parte del tiempo.

e) Extranjeros que trabajan o estudian en el país desde hace seis meses, por lo

menos, y que permanecerán viviendo la mayor parte del tiempo en el hogar

en forma habitual.

f) En el caso de la persona que sea reconocida como jefe (a) en dos o más

hogares, deberá considerarla como miembro del hogar donde vive la mayor

parte del tiempo, respecto al momento de la entrevista.

g) Las personas que estudian fuera de la ciudad donde vive el resto de la familia,

serán considerados como miembros del hogar en las ciudades donde realizan

sus estudios, independientemente de que estos regresen con frecuencia o no a

sus hogares de origen.

Definición 1.4 (Jefe del hogar) Es la persona que siendo residente habitual, es

reconocida como Jefe por los demás miembros del hogar, ya sea por una mayor

responsabilidad en las decisiones familiares, por prestigio, relación familiar o de

parentesco, por razones económicas o por tradiciones culturales.

Definición 1.5 (Perceptor de ingresos) Es la persona que recibe ingresos de

cualquier fuente u origen, sea proveniente del trabajo (asalariado o independiente),

la renta de la propiedad (intereses, arriendos, etc.) o de transferencias u otras

prestaciones recibidas.

Definición 1.6 (Población en edad de trabajar PET) Comprende a todas

las personas de 15 años y más (en el 2011 se consideraba desde los 10 años).

Definición 1.7 (Condición de actividad) Gestión económica o no, que permi-

te clasificar a las personas de 15 años y más (en el 2011 se consideraba desde los 10

años) en Población Económicamente Activa (PEA) y Población Económicamente

Inactiva (PEI).

Definición 1.8 (Población económicamente activa PEA) Son todas las per-

sonas de 15 años y más (en el 2011 se consideraba desde los 10 años) que trabajaron

al menos una hora en la semana de referencia, o aunque no trabajaron tuvieron

trabajo (ocupados), o bien aquellas personas que no tenían empleo pero estaban

6

disponibles para trabajar (desocupados).

Definición 1.9 (Categoría ocupacional) Es la relación de dependencia en que

la persona ejerce su ocupación. Se han establecido las siguientes categorías:

Patrono Se considera como tal a aquellos que trabajan sin relación de de-

pendencia, es decir que son únicos dueños de la empresa y emplean como

mínimo a una persona asalariada en forma permanente.

Socio Es aquella persona que está asociada con otro u otros y trabajan sin

relación de dependencia, es decir, son los únicos dueños y pueden o no tener

empleados. Se diferencia del patrono porque los socios comparten las ganan-

cias o las pérdidas en la actividad económica.

Trabajadores por cuenta propia Se consideran como tal a los trabajadores

que desarrollan su actividad utilizando para ello, solo su trabajo personal, es

decir no dependen de un patrono ni hacen uso de personal asalariado, aunque

pueden estar auxiliados por trabajadores familiares no remunerados. También

se incluyan aquí los socios de cooperativa de producción o de sociedades de

personas que no emplean asalariados.

Asalariados Se considera como tal a las personas que trabajan en relación

de dependencia sea en el sector público o privado y recibe un pago por su

trabajo sea: sueldo, salario o jornal.

Trabajador del hogar no remunerado Son los que ejercen un trabajo en

relación con un miembro del hogar en un establecimiento familiar, sin recibir

ningún pago por el trabajo realizado.

Trabajador no del hogar sin pago Personas que trabajan o ayudan en

el trabajo, en un negocio o empresa, sin recibir ningún pago por el trabajo

realizado. La característica principal de esta categoría estaría dada por prestar

sus servicios a una persona que no es miembro del hogar investigado.

Ayudante no remunerado del asalariado/jornalero Personas que tra-

bajan o ayudan en el trabajo a otras personas que tienen relación de dependen-

cia con una empresa, institución, etc. En calidad de asalariados, jornaleros.

7

Empleados domésticos Se considera como tales a aquellas personas que

trabajan en relación de dependencia en un hogar particular, recibiendo por su

trabajo una remuneración.

Definición 1.10 (Población económicamente inactiva PEI) Son todas

aquellas personas de 15 años y más (en el 2011 se consideraba desde los 10

años) que no están ocupadas, tampoco buscan trabajo y no están disponibles para

trabajar. Típicamente las categorías de inactividad son:

Rentista Persona que no trabaja y percibe ingresos provenientes de utilidades

de un negocio, empresa u otra inversión.

Jubilado o pensionado Persona que ha dejado de trabajar y está recibiendo

una pensión por concepto de jubilación.

Estudiante Persona que se dedica con exclusividad al estudio, no trabaja,

no busca trabajo.

Ama de casa Persona que se dedica con exclusividad a los quehaceres domés-

ticos, no estudia, no trabaja, no busca trabajo, ni percibe rentas o pensiones.

Incapacitado Persona permanente imposibilitada de trabajar debido a un

impedimento físico o mental.

Otros Persona que no trabaja y cuya situación de inactividad no se incluye

en ninguna de las anteriores categorías.

Definición 1.11 (Ingreso corriente) Los ingresos de los hogares comprenden

todas las entradas en efectivo o en especie (bienes y servicios) percibidas por el

hogar o por alguno de sus miembros a intervalos anuales o más frecuentes, pero

no las ganancias imprevistas y otras entradas que se perciben en forma no perió-

dica y, normalmente, una sola vez. Las entradas percibidas por los hogares pueden

utilizarse para el consumo corriente, y no reducen el patrimonio neto del hogar

mediante una reducción de su dinero en efectivo, la venta o disposición de otros

activos financieros o no financieros o un aumento de su pasivo.

El ingreso de los Pensionistas y Empleados Domésticos, a pesar de ser considerados

como miembros del hogar en su relación de parentesco con el Jefe del Hogar, no se

8

consideran como ingreso de los Hogares.

Definición 1.12 (Ingreso proveniente del trabajo) Se considera al ingreso

de la persona en condición de asalariado, el ingreso proveniente de las empresas

no constituidas en sociedades de capital y administradas por sus dueños y los

honorarios o ganancias del trabajador por cuenta propia.

a) Trabajo Dependiente (Asalariado) Los ingresos del empleo asalariado

comprenden los pagos en dinero y en especie realizados por los empleadores a

sus asalariados, en concepto de remuneración por el trabajo o labor realizada

durante un período determinado.

Se considera como remuneración en especie aquellos bienes y servicios que

recibe un trabajador como contraprestación por un trabajo realizado. La valo-

ración de estos bienes se efectúa a precios de mercado minorista y al mismo

tiempo que constituye un ingreso en especie se considera un gasto cuando lo

consume.

b) Trabajo Independiente (agropecuario y no agropecuario) Correspon-

den fundamentalmente a los ingresos de los propietarios de empresas no cons-

tituidas en sociedad que trabajan en dichas empresas. Quedan excluidos los

beneficios de la inversión de capital de socios que no trabajan en dichas empre-

sas, dividendos y honorarios del personal directivo pagados a los propietarios

de empresas constituidas en sociedad. La actividad de una persona con empleo

autónomo puede tener pérdidas.

La base de la definición de ingresos del empleo independiente es el concepto de

ingresos mixtos procedentes tal como se define en el Sistema de Cuentas Na-

cionales que corresponden al valor de la producción bruta una vez descontados

los gastos de explotación.

Los ingresos del empleo independiente incluyen los conceptos de autoconsumo

y autosuministro.

Autoconsumo se refiere a los productos que el hogar produce por su

cuenta con el fin de destinarlos para su propio consumo y no para venderlos

en el mercado. Estos productos se valoran a precio de mercado.

9

Autosuministro se refiere a los productos que el trabajador indepen-

diente retira de su propio negocio para satisfacción de necesidades propias del

hogar. Estos productos también se valoran a precios de mercado.

c) Ingresos de otros trabajos Se refiere al ingreso monetario que recibieron

los integrantes del hogar por el desempeño por algún (os) trabajo(s) diferen-

te(s) al trabajo principal o secundario, durante el período de referencia.

Definición 1.13 (Renta de la Propiedad y del capital) Son las entradas ge-

neradas por la propiedad de activos financieros y no financieros, que se ofrecen

a otros para su utilización. Por lo general, se trata de retribuciones monetarias

procedentes de:

a) Ingresos por Renta de la Propiedad Las rentas son pagos recibidos por

el uso de activos no producidos, como arriendos de la tierra, casas, departa-

mentos, patentes, derechos de autor.

b) Ingresos por Renta de Capital Son intereses procedentes de cuentas ban-

carias, cooperativas de crédito y otras instituciones financieras, certificados

de depósitos, préstamos otorgados a terceros, valores por bonos, dividendo de

acciones.

Definición 1.14 (Transferencias corrientes) Las transferencias son las entra-

das monetarias recibidas por los integrantes del hogar y por las cuales el proveedor

o donante no demanda retribución de ninguna naturaleza.

Las variables incluidas bajo este concepto son:

Pensiones por Jubilaciones, orfandad, viudez, enfermedad, divorcio, alimen-

ticias.

Beneficios provenientes de programas gubernamentales (bono de desarrollo

humano y bono Joaquín Gallegos Lara).

Ingresos recibidos de familiares y amigos, dentro del país.

Ingresos recibidos de familiares y amigos del exterior.

Becas provenientes del gobierno e instituciones.

10

Donativos en dinero provenientes de instituciones privadas o públicas

(O.N.G. o iglesias).

Además como parte del ingreso no monetario, se incluyen los Regalos recibidos

por los hogares como transferencias no monetarias por parte de otros hogares o

instituciones sin fines de lucro.

Definición 1.15 (Valor Imputado de la vivienda propia y cedida) El

valor imputado o locativo se atribuye a las viviendas propias, así como aquellas

cedidas por familiares, amigos u otras personas. Para asignar el valor, se pregunta

al propietario u ocupante el monto que pagaría por ella si tuviera que alquilarla.

Definición 1.16 (Otros Ingresos Corrientes) Se refiere a los ingresos prove-

nientes del trabajo de las personas que al momento de la entrevista se declararon

como cesantes o inactivas, pero si trabajaron en los últimos 12 meses.

Definición 1.17 (Ingreso corriente total) El ingreso corriente total resulta de

la suma de los ingresos corrientes, monetario y no monetario.

a) Ingreso Monetario El ingreso monetario registra cuánto percibieron los

miembros de los hogares en los seis meses anteriores a la entrevista (censo)

y comprende los ingresos provenientes del trabajo dependiente, trabajo inde-

pendiente, otros trabajos, renta de la propiedad y del capital y transferencias

corrientes.

b) Ingreso no monetario El ingreso no monetario resulta de imputar el gasto

que se evita por el hecho de no pagar renta (alquiler estimado de la vivienda

propia), o producir un bien en lugar de comprarlo (autoconsumo), así co-

mo las retribuciones por servicios prestados (pago en especie), ingresos de

autosuministro y regalos.

1.4.2. Medidas de tendencia central

Cuando se dispone de un conjunto de datos, es importante analizar los valores

entorno a los cuales se agrupan la mayoría de ellos. Las medidas descriptivas que

permiten especificar estos valores se denominan medidas de localización o medidas

11

de tendencia central.

Nos centraremos en las más empleadas: la media, la mediana y la moda.

Notación

El símbolo Xj denota cualquiera de los N valores X1, X2, X3, ..., XN que una va-

riable X puede tomar. La letra j en Xj, la cual puede representar cualquiera de los

números 1, 2, 3, ..., N se llama índice o subíndice. Análogamente puede utilizarse

como subíndice cualquier otra letra distinta de j, como i, k, p, q, s.

Definición 1.18 (Media aritmética) La media aritmética, media o promedio de

un conjunto de N números o valores X1, X2, X3, ..., XN se representa por X y se

define como

X =X1 +X2 +X3 + ...+XN

N=

N∑j=1

Xj

N(1.1)

Si los números o valores X1, X2, ..., XK se presentan f1, f2, ..., fK veces respectiva-

mente, la media aritmética es

X =f1X1 + f2X2 + ...+ fKXK

f1 + f2 + ...+ fK=

K∑j=1

fjXj

K∑j=1

fj

=

∑fX∑f

=

∑fX

N(1.2)

Propiedades de la media aritmética

a) Si A es una marca de clase cualquiera y si dj = Xj−A son las desviaciones de

Xj de A, la suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de números

de su media aritmética es cero.

b) La suma de los cuadrados de las desviaciones de un conjunto de números Xj

con respecto a cierto número o valor a es mínima solamente si a = X.

c) Si f1 números tienen de media m1, f2 números tienen de media m2,..., fK

números tienen de media mK , entones la media total de todos los números es

X =f1m1 + f2m2 + ...+ fKmK

f1 + f2 + ...+ fK(1.3)

12

d) Si A es una marca de clase cualquiera y si dj = Xj − A son las desviaciones

de Xj de A, las relaciones (1.1) y (1.2) se convierten en

X = A+

N∑j=1

dj

N= A+

∑d

N(1.4)

X = A+

K∑j=1

fjdj

K∑j=1

fj

= A+

∑fd

N(1.5)

Definición 1.19 (Mediana) La mediana de una colección de datos ordenados en

orden de magnitud es el valor medio (o central) o la media aritmética de los dos

valores medios.

Para datos agrupados, la mediana se obtiene mediante interpolación y viene dada

por

Me = L1 +

N

2− (∑f)

fmediana

c (1.6)

donde :

L1 = límite inferior de la clase mediana.

N = número total de datos.∑f = frecuencia acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo de

la mediana.

fmediana = frecuencia absoluta de la clase mediana.

c = tamaño del intervalo de la clase mediana.

Definición 1.20 (Moda) La moda de un conjunto de datos es aquel valor que se

presenta con mayor frecuencia, es decir, es el valor más común. La moda puede no

existir, incluso si existe puede no ser única.

Para datos agrupados, la moda se determina mediante la fórmula

13

Mo = L1 +

(d1

d1 + d2

)c (1.7)

donde:

L1 = límite inferior de la clase modal.

d1 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase

anterior.

d2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase

siguiente.

c = tamaño del intervalo de la clase modal.

1.4.3. Medidas de posición no central

Si una serie de datos se colocan en orden de magnitud, el valor medio que divide al

conjunto de datos en dos partes iguales es la mediana. Por extensión, de esta idea

se puede pensar en aquellos valores que dividen a los datos en cuatro (cuartiles),

diez (deciles) y cien (percentiles) partes iguales.

Definición 1.21 (Percentiles) Son aquellos valores que dividen a los datos en

cien partes iguales y se les nota como Pk con k = 1, ..., 99.

Si los datos están agrupados en clases, se calcula mediante

PK = Lk−1 +

nk

100−Nk−1

nkA (1.8)

donde:

Lk−1 = límite inferior del intervalo h (cuya frecuencia acumulada es la primera

mayor o igual ank

100).

Nk−1 = frecuencia acumulada hasta Lk−1.

nk = frecuencia absoluta del intervalo h.

A = Longitud del intervalo.

Definición 1.22 (Cuartiles) Son aquellos valores que dividen a los datos en cua-

tro partes iguales, cada una de las cuales engloba el 25 % de los mismos.

14

El cuartil inferior (Q1) deja a su izquierda el 25 % de los datos y cumple que

Q1 = P25.

El cuartil medio (Q2) deja a su izquierda el 50 % de los datos, coincide con

la mediana y se cumple que Q2 = P50.

El cuartil superior (Q3) deja a su izquierda el 75 % de los datos y cumple que

Q3 = P75.

Definición 1.23 (Deciles) Son aquellos valores que dividen a los datos en diez

partes iguales y se representan por Dk con k = 1, ..., 9.

El quinto decil deja a su izquierda el 50 % de los datos, coincide con la mediana

y se cumple que D5 = P50.

1.4.4. Medidas de dispersión

Luego de determinar las medidas de tendencia central de las observaciones, es

conveniente medir su grado de dispersión alrededor de un valor medio. Las medidas

que permiten especificar esta característica se denominan medidas de dispersión.

Definición 1.24 (Desviación típica) La desviación típica es un indicador de

variabilidad de cada medición particular con respecto al promedio.

Si X1, X2, ..., XK se presentan con frecuencias f1, f2, ..., fK, respectivamente, la des-

viación típica se describe como

σ =

√√√√√√K∑j=1

fj(Xj − X)2

N=

√∑f(X − X)2

N(1.9)

donde N =K∑j=1

fj =∑

f . De esta forma se emplea para datos agrupados, conside-

rando Xj como las marcas de clases y la media como la media de datos agrupados.

Definición 1.25 (Varianza) La varianza de un conjunto de datos se define como

el cuadrado de la desviación típica y viene dada por tanto por σ2 en (1.9).

15

Cuando es necesario distinguir la desviación típica de una población de la desviación

típica de una muestra sacada de esta población, se emplea el símbolo s para la

última y σ para la primera. Así s2 y σ2 representarían la varianza muestral y la

varianza poblacional, respectivamente.

1.4.5. Medidas de forma

Las medidas de forma nos permiten estudiar la forma que tiene la curva del conjunto

de datos, más concretamente podemos estudiar la asimetría y curtosis.

Definición 1.26 (Asimetría) El coeficiente de asimetría de una variable mide

el grado de asimetría de la distribución de sus datos en torno a su media. Es

adimencional y se define como sigue para datos agrupados:

As =

K∑i=1

f(Xi − X)3

Nσ3(1.10)

La medida anterior se conoce como coeficiente de asimetría de Fisher.

Las colas de una variable están constituidas por los valores alejados de la media

(valores extremos). Una variable es asimétrica si su cola a un lado es más larga que

su cola al otro y simétrica si ambas colas son igual de largas.

Si As > 0, la distribución será asimétrica a la derecha. La cola a la derecha

es más larga que la cola a la izquierda.

Si As = 0 la distribución será simétrica. ambas colas son igual de largas.

Si As < 0 la distribución será asimétrica a la izquierda. La cola a la izquierda

es más larga que la cola a la derecha.

Definición 1.27 (Curtosis) El coeficiente de apuntamiento o curtosis de una va-

riable sirve para medir el grado de concentración de los valores que toma en torno

a su media. Se elige como referencia a una variable con distribución normal, de tal

modo que para ella el coeficiente de curtosis es cero.

16

El coeficiente de curtosis para datos agrupados se define como sigue:

Ap =

K∑i=1

f(Xi − X)4

Nσ4− 3 (1.11)

Según su apuntamiento, una variable puede ser:

Leptocúrtica, si Ap > 0; es decir, es más apuntada que la normal. Los valores

que toma la variable están muy concentrados en torno a su media y hay pocos

valores extremos.

Mesocúrtica, si Ap = 0, es decir, es tan apuntada como la normal.

Platicúrtica, si Ap < 0, es decir, es menos apuntada que la normal. Hay

muchos valores extremos, las colas de la variable son muy pesadas.

1.5 Distribución por ingresos. Datos del INEC

En el presente trabajo partimos del análisis estadístico de los datos de los ingre-

sos de los ecuatorianos correspondientes al censo 2010, los resultados preliminares

presentados en esta sección permiten conocer los aspectos más relevantes sobre la

situación económica de los hogares del país; asimismo, proporciona información que

permitirá determinar la distribución probabilística D para posteriormente construir

el modelo matemático distributivo de pensiones.

El marco muestral está conformado por el listado actualizado de todas las viviendas

ocupadas del territorio nacional, urbano y rural, incluyendo las islas Galápagos, a

partir de la actualización cartográfica que se realizó para el censo 2010.

Según los datos de [7] durante el 2011 - 2012, el porcentaje de la población eco-

nómicamente activa con respecto al total de la población, a nivel nacional fue del

50, 0%, es decir, por cada persona económicamente activa, existe una persona me-

nor de 10 años o inactiva a nivel nacional. Al analizar este indicador por sexo, se

observan una diferencia significativa entre hombres y mujeres con 57, 8% y 42, 4%

respectivamente a nivel nacional. El porcentaje de población inactiva o tasa de

17

inactividad en el país, es del 37, 1%, con una cifra superior en el área urbana del

40, 3% frente al 30, 6% en el área rural.

Los rangos a considerar del ingreso monetario mensual de las personas, de acuerdo

al salario básico unificado (264 dólares) vigente a la fecha de la encuesta son:

Grupo 1: Menos de $ 264.

Grupo 2: De $ 264 hasta menos de $ 528.

Grupo 3: De $ 528 hasta menos de $ 792.

Grupo 4: De $ 792 hasta menos de $ 1.056.

Grupo 5: De $ 1.056 hasta menos de $ 1.320.

Grupo 6: De $ 1.320 hasta menos de $ 1.584.

Grupo 7: De $ 1.584 hasta menos de $ 1.848.

Grupo 8: De $ 1.848 hasta menos de $ 2.112.

Grupo 9: De $ 2.112 hasta menos de $ 2.376.

Grupo 10: De $ 2.376 hasta menos de $ 2.640.

Grupo 11: De $ 2.640 hasta menos de $ 3.168.

Grupo 12: De $ 3.168 hasta menos de $ 3.960.

Grupo 13: De $ 3.960 hasta menos de $ 5.280.

Grupo 14: De $ 5.280 en adelante.

Actualmente, al año 2019 el salario básico unificado corresponde al valor de 394

dólares EUA, y como los datos y su análisis corresponde al último censo del año

2010, entonces podríamos tomar como factor de corrección al valor 394/264 ≈

1, 492.

El tamaño de la población referencial obtenido según la Tabla 1.1 fue de 15′223.470

personas distribuidas en 3′921.615 hogares, el 50, 6 % corresponde a mujeres y el

49, 4 % a hombres. El Ingreso corriente total del hogar comprende todas las entradas

en efectivo o en especie percibidas con regularidad por los hogares, puede provenir

de diversas fuentes, tales como: el trabajo, la renta de la propiedad y el capital, así

como de transferencias entre las que se incluyen: pensiones por jubilación, viudez,

enfermedad, alimenticias, bono de desarrollo humano, envío de dinero dentro o

fuera del país (remesas), entre otros.

A continuación se presenta la tabla de distribución de frecuencias por rangos de

18

ingreso corriente monetario mensual de los ecuatorianos

Grupo Total de

personas

(f)

Frecuencia

Acumulada

(fa)

Frecuencia

Relativa

(fr)

Frecuencia

relativa

acumulada

(fra)

1 2.447.618 2.447.618 0, 1608 0, 1608

2 4.925.043 7.372.661 0, 3235 0, 4843

3 3.125.973 10.498.634 0, 2053 0, 6896

4 1.813.223 12.311.857 0, 1191 0, 8087

5 947.854 13.259.711 0, 0623 0, 8710

6 605.287 13.864.998 0, 0398 0, 9108

7 379.378 14.244.376 0, 0249 0, 9357

8 247.704 14.492.080 0, 0163 0, 9520

9 162.629 14.654.709 0, 0107 0, 9626

10 138.041 14.792.750 0, 0091 0, 9717

11 157.530 14.950.280 0, 0103 0, 9821

12 132.698 15.082.978 0, 0087 0, 9908

13 88.636 15.171.614 0, 0058 0, 9966

14 51.856 15.223.470 0, 0034 1, 0000

Total 15.223.470 1,000

Tabla 1.1: Rangos de ingreso corriente monetario mensual de los ecuatorianos.

Del ingreso total mensual de los hogares del país estimados en 3.502.915.573 dólares,

el 79, 3 % corresponde al ingreso monetario el cual comprende el ingreso proveniente

del trabajo, renta de la propiedad , del capital (ingreso proveniente del capital

de inversiones) y transferencias corrientes, y el 20, 7 % al ingreso no monetario

correspondiente a los salarios en especie, autoconsumo y autosumistro, regalos y

valor imputado de la vivienda propia y cedida ([7]).

Analizando la Tabla 1.1, se tiene que el 32, 35 % de la población se encuentra en

el grupo 2, es decir, tienen un ingreso mensual de 264 dólares hasta menos de 528

dólares y cuyo grupo presenta el mayor porcentaje respecto a los demás, por otro

lado, solo el 0, 34 % de la población recibe un ingreso mensual de 5.280 dólares o

19

más, siendo así el grupo integrado por el menor número de personas.

Como se puede apreciar en la Figura 1.1 los tres primeros grupos acumulan ya el

68, 96 % de la población, es decir, el 68, 96 % de los ecuatorianos reciben un ingreso

monetario mensual de menos de 792 dólares, los dos primeros grupos conforman el

48, 43 % del total de la población que reciben un ingreso mensual de 528 dólares o

menos, cuyo ingreso monetario mensual es inferior al precio de la canasta básica

familiar fijado en el 2010 en 538, 64 dólares en promedio, de esto podemos deducir

que casi la mitad de la población no puede cubrir en totalidad los gastos de los

productos de primera necesidad y servicios básicos que necesita para subsistir,

mientras que a los grupos con mayor ingreso monetario solo pertenece el 31, 04 %

de la población con un ingreso superior a 792 dólares.

Figura 1.1: Ojiva porcentual de rangos de ingreso corriente monetario mensual.

Para tener una mejor percepción de como se encuentra distribuida la población

20

según los ingresos monetarios mensuales, se presenta a continuación la Figura 1.2

la cual representa el histograma y la curva de frecuencias (ojiva) correspondiente

a la distribución de frecuencias de los ingresos de los ecuatorianos.

Figura 1.2: Histograma y curva de frecuencias del ingreso monetario mensual de

los ecuatorianos.

Se puede evidenciar que los grupos con mayor frecuencia son el Grupo 2 seguido por

el Grupo 3 integrados por el 32, 35 % y 20, 53 % de la población respectivamente

y como se mencionó anteriormente son los dos grupos más vulnerables pues los

ingresos mensuales no son suficientes para cubrir las necesidades básicas del hogar,

más adelante se demostrará que en estos dos grupos se encuentran la media, la

mediana y la moda.

Para determinar las principales características de la población ecuatoriana respecto

a sus ingresos monetarios mensuales, se hará uso de las definiciones presentadas en

21

la sección 1.4, los cálculos respectivos pueden ser verificados en el apéndice A.

Haciendo uso de la Definición 1.18 tenemos que el ingreso monetario total mensual

de los ecuatorianos tiene un promedio de 763, 30 dólares (A.1) a nivel nacional,

siendo superior en el área urbana con 899, 61 dólares, mientras que en el área rural

el ingreso mensual promedio es de 488, 31 dólares ([7]).

En la Figura 1.2 se puede observar que los datos no se ajustan a una distribución

uniforme, por lo que la media puede estar sesgada por valores más bajos que el

resto de valores como son los Grupos 13 y 14 con apenas una frecuencia de 88.636

y 51.856 personas respectivamente, es por ello que la mediana nos da una mejor

idea sobre el que podría ser el ingreso mensual de los ecuatorianos, por lo tanto,

se podría decir que a nivel nacional el ingreso monetario total mensual de los

ecuatorianos es de 548, 19 dólares (A.2).

El ingreso monetario mensual más habitual de una persona económicamente ac-

tiva es de 416, 94 dólares (A.3), el cual es un ingreso representativo respecto a la

mediana, por otro lado, si se toma de referencia la media se puede decir que existe

una diferencia significativa.

A continuación, en la Figura 1.3 se muestran las posiciones relativas de la media,

mediana y moda con sus valores respectivos expuestos previamente para la curva

de frecuencia, además se puede observar que la curva está sesgada a la derecha.

22

Figura 1.3: Relación empírica entre media, mediana y moda.

Deciles Ingreso monetario

mensual ($)

1 164, 20

2 296, 01

3 377, 61

4 459, 21

5 548, 19

6 676, 76

7 814, 97

8 1.036, 62

9 1.512, 52

10 10.560, 00

Tabla 1.2: Deciles por ingreso monetario mensual.

23

Si se ordena a la población por deciles de ingreso monetario mensual, en el que

cada decil contiene el 10 % de la población de menor a mayor ingreso, se pueden

observar diferencias importantes en el análisis sobre como está distribuido el ingreso

de acuerdo a sus fuentes.

De la Tabla 1.2 se tiene que el 10 % de la población gana $164, 20 o menos, mientras

que el grupo formado por el decil 10 gana $10.560, 00 o menos, el quinto decil es la

mediana y según [7], existen diferencias entre los deciles de hogares de mayores y

mas bajos ingresos, de acuerdo a su fuente u origen, la relación entre el décimo y

el primer decil es la siguiente:

Casi 11 veces para el ingreso por trabajo.

151 veces para la renta de la propiedad y el capital.

Algo más de 4 veces en transferencias Corrientes.

4 veces en otros ingresos corrientes.

Al analizar el ingreso monetario corriente por fuente con respecto al decil de ingreso

de los hogares, se observa que la principal fuente de ingresos es el trabajo, ya sea

como trabajadores dependientes o independientes ([7]).

Por otro lado, para determinar el grado de dispersión o la variabilidad de los datos,

se ha calculado la desviación típica y la varianza, con 785, 92 y 617668, 63 respecti-

vamente (A.4 y A.5). En vista de que el valor de la desviación típica (con respecto

a la media) es bastante grande, podemos concluir que en el Ecuador existe un alto

grado de injusticia social con respecto a la distribución de la riqueza.

Una parte importante en el estudio de la distribución, es la forma que tiene la

curva del conjunto de datos y la cual nos ayudará a la formación de la nueva

distribución probabilística, como se observa en (A.6) el grado de asimetría de la

distribución es As = 4, 06 > 0, por lo que la distribución es asimétrica a la derecha,

asimismo, el grado de curtosis es Ap = 26, 39 > 0 (A.7), lo que nos indica que es

una variable Leptocúrtica, es decir, la mayoría de los valores que toma la variable

están concentrados alrededor de la media y hay muy pocos valores extremos, esto

se puede comprobar rápidamente en la Figura 1.3.

24

1.6 Metodología de ajuste de datos empíricos a una

distribución probabilística

Lo primero que vamos a determinar para realizar cálculos precisos sobre las pen-

siones de jubilación es la función de distribución de la población por ingresos y es

necesario contar con datos estadísticos confiables, es por ello que basados en los

datos proporcionados por el INEC se pretende construir y aplicar una distribución

de probabilidad teórica D para ajustar los datos empíricos correspondientes a los

ingresos de los ecuatorianos.

Para seleccionar la distribución teórica con la que se va a trabajar es importante

primero, decidir qué familia de distribuciones parece más apropiada, para tomar

esta decisión se estudia la forma de la distribución como se realizó en la Sección

1.5, sin tener en cuenta el valor de los parámetros de la distribución.

Asimismo, las medidas de tendencia central de la muestra experimental, nos guían

en la elección de la familia de distribución que se ajusta mejor a la muestra o en

todo caso a descartar alguna de ellas.

Como conocimiento a priori, se tiene que la distribución de ingresos de los ecua-

torianos es asimétrica a la derecha y como se muestra en la Figura 1.3 la curva

de distribución al principio crece aproximadamente como una función de potencia.

Entonces el crecimiento se ralentiza y se sustituye por una disminución. El decreci-

miento es claramente no tan rápido, como un exponente. Por lo tanto, la función de

distribución probabilística que se propone para aproximar los datos de los ingresos

de los ecuatorianos es la siguiente:

f(z) =a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+m

aquí los parámetros n,m determinan la forma de la curva, a establece la escala

a lo largo del eje de ordenadas y b a lo largo de la abscisa. Llamamos a esto la

distribución n/m - bipotencial que más adelante la estudiaremos.

Luego de haber estimado los parámetros de la distribución a partir de los datos

empíricos, es de suma importancia saber en qué medida los datos se ajustan a la

25

distribución teórica o si existen grandes discrepancias, para ello se usan técnicas

gráficas y tests estadísticos.

Los tests de ajuste pretenden contrastar la hipótesis nula de que los datos ex-

perimentales están distribuidos con la función n/m - bipotencial, los tests más

empleados son el test de Kolmogórov-Smirnov y criterio Ji-cuadrado.

26

CAPÍTULO II

DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA POR INGRESOS

La distribución de los ingresos totales que genera una sociedad tiene su origen en

cada uno de los factores de la producción (tierra, trabajo, capital y organización).

A partir de ahí, se considera que la tierra está asociada a la renta; el trabajo con

el sueldo y el salario; el capital con la ganancia y el interés; y la organización con

el beneficio. Es así como se forman los diferentes niveles económicos los cuales son

el resultado de sus riquezas e ingresos.

El Ingreso: Se considera como ingreso a la cantidad total de dinero que recibe una

persona o una familia en un período de tiempo determinado y cuyo origen se deriva

ya sea por los ingresos del trabajo, por el alquiler de la propiedad, los dividendos

o ganancias del capital, y por las transferencias (prestaciones sociales, bonos, etc.)

que el gobierno les puede dar.

La riqueza: Se refiere al valor monetario neto de los activos que tiene un individuo

o una familia en un momento dado del tiempo, nos referimos a un capital como las

herencias, la propiedad de inmuebles, vehículos, etc.

La riqueza y su manejo es uno de los orígenes más importantes de la desigualdad

social y los principales causantes de las diferencias en la distribución del ingreso.

Las diferencias en la remuneración de los trabajadores es la segunda causa de la

desigualdad en el ingreso. Así, la distribución del ingreso nos permite ubicar las

condiciones de desigualdad y grados de concentración que presenta una sociedad.

Para esto es necesario hacer un análisis cuantitativo, que requiere de la función de

distribución de la población por ingresos. A continuación se presenta dicho cálculo.

27

2.1 Ajuste de los datos empíricos del INEC a una

distribución probabilística.

A partir del análisis descriptivo de los datos de los ingresos de los ecuatorianos

desarrollado en el Capítulo I, postulamos la función de distribución n/m - bipo-

tencial, a la cual los datos empíricos del INEC se ajustarían, que se define como

sigue:

f(z) =a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+m(2.1)

aquí los parámetros n,m determinan la forma de la curva, a establece la escala a

lo largo del eje de ordenadas y b a lo largo de la abscisa.

La forma cualitativa de la función (2.1) para algunos n,m se muestra en la Figura

(2.1)

Figura 2.1: Distribución n/m-bipotencial en diferentes grados.

Para n = 0, esta es una curva monótonamente decreciente. Cuando n > 0, tiene

un máximo cuya magnitud y posición están determinadas por las fórmulas

28

zmax =n

mb, (2.2)

f(zmax) =annmm

b(n+m)n+m(2.3)

mientras más grandes sean n,m, mayor será el máximo. La función (2.1) nos permi-

te investigar diferentes situaciones económicas, incluyendo casos extremos. El valor

zmax es llamado el salario más probable que recibe el mayor número de personas.

Los valores de n,m en principio pueden ser enteros. Para simplificar nos limitamos

a n. Luego todos los cálculos se pueden llevar a cabo hasta el final de la forma ex-

plícita. Normalizaremos la función de distribución por el número total de personas

N :

N =

∫ ∞0

f(z) dz =

∫ ∞0

a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+mdz = a · Anm (2.4)

donde

Anm =n! (m− 2)!

(n+m− 1)!(2.5)

Demostración.

N =

∫ ∞0

f(z) dz

=

∫ ∞0

a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+mdz

=

∫ ∞0

a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+mb d(z/b)

= a

∫ ∞0

(z/b)n

(1 + z/b)n+md(z/b)

utilizamos los siguientes cambios de variable

u = z/b ⇒ du =dz

b

u = t− 1 ⇒ du = dt

Se tiene que

29

N = a

∫ ∞1

(t− 1)n

tn+mdt

= a

∫ ∞1

n∑k=0

(−1)kn!

k!(n− k)!tn−k

tn+mdt

= a

∫ ∞1

n∑k=0

(−1)kn!

k!(n− k)!t−(k+m) dt

= a

n∑k=0

(−1)kn!

k!(n− k)!

∫ ∞1

t−(k+m)dt

= an∑k=0

(−1)kn!

k!(n− k)!

1

(−k −m+ 1) tk+m−1

∣∣∣∣∞1

= a

n∑k=0

(−1)kn!

k!(n− k)!

1

(k +m− 1)

= an∑k=0

(−1)k

(k +m− 1)

n!

k! (n− k)!

= an! (m− 1)!

(m− 1)(n+m− 1)!

= an! (m− 1)(m− 2)!

(m− 1)(n+m− 1)!

= an! (m− 2)!

(n+m− 1)!

= a · Anm

Para simplificar los cálculos futuros se presenta a continuación la tabla de magni-

tudes para 1/Anm, cuyo valor será utilizado para encontrar el valor del parámetro

a.

30

n \m 2 3 4 5 6 7 8

2 3 12 30 60 105 168 252

3 4 20 60 140 280 504 840

4 5 30 105 208 630 1260 2310

5 6 42 168 504 1260 2772 5544

6 7 56 252 840 2310 5544 12012

7 8 72 360 1320 3960 10296 24024

8 9 90 495 1980 6435 18018 45045

9 10 110 660 2860 10010 30030 80080

Tabla 2.1: Magnitudes 1/Anm

Por lo tanto, 1/Anm es un número entero, los valores de 1/Anm se dan en la Tabla

2.1, por lo tanto, de (2.4) se tiene

a =N

Anm(2.6)

Por otro lado, el salario promedio zmedio es igual a los ingresos totales de la población

dividido por su número, para la distribución (2.1) esto da

zmedio =1

N

∫ ∞0

z f(z) dz =a

NbBnm =

bBnm

Anm(2.7)

donde

Bnm =m

n

(n+ 1)

(m− 2)Anm con m > 2 (2.8)

Demostración.

zmedio =1

N

∫ ∞0

z f(z) dz

=1

N

∫ ∞0

za

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+mdz

=a

N

∫ ∞0

z

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+mdz

utilizamos los siguientes cambios de variables

u = z/b ⇒ du =dz

b

u = t− 1 ⇒ du = dt

31

p = n+ 1

Se tiene que

zmedio =a

N

∫ ∞0

un+1

(1 + u)n+mb du

=a

Nb

∫ ∞0

un+1

(1 + u)n+mdu

=a

Nb

∫ ∞1

(t− 1)n+1

tn+m

=a

Nb

∫ ∞1

(t− 1)p

tp+m−1dt

=a

Nb

∫ ∞1

p∑k=0

(−1)kp!

k!(p− k)!tp−k

tp+m−1dt

=a

Nb

∫ ∞1

p∑k=0

(−1)kp!

k!(p− k)!t−(k+m−1) dt

=a

Nb

p∑k=0

(−1)kp!

k!(p− k)!

∫ ∞1

t−(k+m−1) dt

=a

Nb

p∑k=0

(−1)kp!

k!(p− k)!

1

(−k −m+ 2) tk+m−2

∣∣∣∣∞1

=a

Nb

p∑k=0

(−1)k

(k +m− 2)

p!

k! (p− k)!

=a

Nbn+1∑k=0

(−1)k

(k +m− 2)

(n+ 1)!

k! (n− k + 1)!

=a

Nbm

n

(n+ 1)! (m− 3)!

(m+ n− 1)!

=a

Nbm

n

(n+ 1)

(m− 2)

n! (m− 2)!

(m+ n− 1)!con m > 2

=a

Nbm

n

(n+ 1)

(m− 2)Anm con m > 2

=a

NbBnm

=bBnm

Anm

Los valores Bnm se pueden obtener a partir de la Tabla 2.1, por lo tanto, de (2.6)

y (2.7) se tiene

32

zmedio = bm

n

(n+ 1)

(m− 2)

zmedio = zmaxm2

n2

(n+ 1)

(m− 2)

zmediozmax

=m2

n2

(n+ 1)

(m− 2)(2.9)

Los parámetros para la aproximación del histograma de la Figura (1.2) y la Tabla

(1.1) para la distribución (2.1), se seleccionaron manualmente utilizando el método

de pruebas y errores. Heurísticamente se concluye que los mejores resultados se

obtuvieron con los siguientes valores de los parámetros que transmiten con precisión

la normalización:

N = 15′223.470, n = 6, m = 8, zmax = 1.96, b = zmaxm

n,

zmedio = bm

n

(n+ 1)

(m− 2), a =

N

Anm.

(2.10)

Donde, N es el número total de la población, n,m parámetros que determinan la

forma de la curva, zmax = 1.96 es el salario más probable que recibe el mayor número

de personas, que en términos de salarios equivale a 408, 60 dólares, b = 2, 613333

valor que establece la escala a lo largo de la abscisa, zmedio = 4, 065185 es el

salario promedio correspondiente a 847, 47 dólares, según la Tabla 2.1 se tiene

1/A68 = 12012 valor que se utiliza para el cálculo de a, por último a = 12012N

valor que establece la escala a lo largo del eje de ordenadas.

A continuación escribimos la función de distribución probabilística 6/8- bipotencial

con sus respectivos parámetros

f(z) =12012

2, 613333

(z

2, 613333

)6

(1 +

z

2, 613333

)6+8 (2.11)

Para obtener una curva suave en la gráfica de la curva de frecuencias de los datos

empíricos (datos del INEC) se utilizó la función spline del software estadístico R

versión 3.5.2, cuya función utiliza interpolación por splines cúbicos, para compren-

der mejor se explica en breves rasgos el uso de la interpolación.

33

La interpolación parte de valores conocidos de una función f(x) en una serie de

puntos x1, x2, x3, ..., xn, pero no se conoce una función analítica de f(x) para cal-

cular el valor de la función en un punto arbitrario, la idea de la interpolación es

poder estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de una curva o superficie que

une los puntos donde se ha realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se

asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos de

medición, en caso contrario se llamaría extrapolación.

Continuando, en la Figura (2.2) se muestra la curva de la distribución 6/8- bipo-

tencial (2.11) y la curva de frecuencias de los datos empíricos (INEC) . Se puede

ver que la función de distribución (2.11) describe la curva de frecuencias del ingreso

monetario mensual de los ecuatorianos (INEC) muy bien.

Figura 2.2: Datos empíricos del INEC vs. Función 6/8-bipotencial.

34

El valor de b (la escala monetaria) cambiará notablemente con el tiempo, aunque

solo sea por la inflación. Sin embargo, es poco probable que el cambio apenas

afecte fuertemente la forma cualitativa de la curva. El valor de a de acuerdo con

(2.6), depende solo de N , que casi no cambia con el tiempo. Por lo tanto, las

relaciones (2.10) serán satisfechas, solo b cambiará notablemente de un año a otro,

fácilmente determinado por el salario promedio (datos sobre los cuales se publican

regularmente).

2.2 Test de bondad y ajuste de criterios de Kolmo-

górov - Smirnov y criterio de Ji Cuadrado.

Cuando no es posible conocer las distribuciones de las poblaciones de las que se

extraen las muestras o los datos se reportan a escala ordinal se utilizan métodos

denominados métodos no paramétricos o de distribución libre para comparar con

otras distribuciones teóricas.

Para saber si los datos empíricos de los ingresos de los ecuatorianos proporcionados

por el INEC se ajustan a la distribución probabilística (2.11) se utilizará el Test

de Kolmogórov - Smirnov y el Test de bondad y ajuste Ji - Cuadrado, los cuales

consisten en una prueba de hipótesis no paramétrica.

2.2.1. Test de Kolmogórov - Smirnov de ajuste a una ley de

probabilidad

El método de Kolmogórov - Smirnov es un procedimiento utilizado para comprobar

la hipótesis nula de que la población , en este caso, está distribuida según la ley de

probabilidad (2.11).

El estadístico de prueba, que se denota por Dobs, se define por

Dobs = max |F0(x)− Sn(x)|,

donde F0(x) y Sn(x) son las probabilidades acumuladas esperadas y observadas,

respectivamente.

35

Partiendo de los datos de la Tabla 1.1 se obtiene la tabla de frecuencias relativas

acumuladas, adjuntamos también las columnas de la probabilidad teórica acumu-

lada y la diferencia entre las dos:

Grupo (xi) Frecuencia Relativa

Acumulada (Sn(xi))

Probabilidad

Teórica Acumulada

(F0(xi))

|F0(xi)− Sn(xi)|

1 0, 1608 0, 1546 0, 0062

2 0, 4843 0, 4782 0, 0061

3 0, 6896 0, 7098 0, 0202

4 0, 8087 0, 8436 0, 0349

5 0, 8710 0, 9147 0, 0437

6 0, 9108 0, 9524 0, 0416

7 0, 9357 0, 9728 0, 0371

8 0, 9520 0, 9842 0, 0322

9 0, 9626 0, 9907 0, 0281

10 0, 9717 0, 9946 0, 0229

11 0, 9821 0, 9970 0, 0149

12 0, 9908 0, 9985 0, 0077

13 0, 9966 0, 9994 0, 0028

14 1, 0000 1, 0000 0, 0000

Tabla 2.2: Tabla de frecuencias relativas acumuladas observadas y esperadas.

La prueba estadística es la siguiente:

Hipótesis Nula. H0: Los datos del INEC siguen la ley de distribución 6/8 -

bipotencial (2.11).

Hipótesis Alternativa. H1: Los datos no siguen la ley de distribución 6/8 -

bipotencial (2.11).

Estadístico de prueba.: Dobs = max|F0(x)− Sn(x)| = 0, 0437

Región de Rechazo.: En la Tabla B.1 del contraste K-S encontramos que

D0.05(15, 223470) = 0, 3486. Se define la región de rechazo Dobs > 0, 3486.

36

Decisión.: Como Dobs < Dα(n), no se rechaza H0 y concluimos que los datos del

INEC de los ingresos de los ecuatorianos siguen la ley de distribución probabilística

6/8 - bipotencial (2.11).

2.2.2. Test de bondad y ajuste: Ji-Cuadrado

El test de bondad y ajuste Ji - Cuadrado tiene por objetivo determinar si un

conjunto de datos sigue una distribución probabilística, comparando las frecuencias

observadas con las frecuencias teóricas del modelo probabilístico a través de un

estadístico de prueba que sigue una ley χ2.

Disponemos de un conjunto de 15′223.470 observaciones, que se supone siguen la

ley de distribución probabilística 6/8 - bipotencial (2.11) y están agrupadas en 14

grupos.

El estadístico de prueba, que se denota por χ2obs, se define por

χ2obs =

k∑i=1

(ni − ei)2

ei

que sigue aproximadamente una distribución χ2 con [(k-1)] grados de libertad.

A continuación se presentan las frecuencias observadas graduadas en escala de

millones y las frecuencias esperadas obtenidas mediante las probabilidades teóricas

de la función de distribución probabilística (2.11).

La prueba de hipótesis es la siguiente:

Hipótesis Nula. H0: Los datos del INEC siguen la ley de distribución 6/8 -

bipotencial (2.11).

Hipótesis Alternativa. H1: Los datos no siguen la ley de distribución 6/8 -

bipotencial (2.11).

37

Grupo (xi) Frecuencia

Observada

(ni)

Probabilidad

Teórica (pi)

Frecuencia

Esperada

(ei)

(ni−ei)2ei

1 2, 447618 0, 154600 2, 353548 0, 003760

2 4, 925043 0, 323600 4, 926315 0, 000000

3 3, 125973 0, 231600 3, 525756 0, 045331

4 1, 813223 0, 133800 2, 036900 0, 024563

5 0, 947854 0, 071100 1, 082389 0, 016722

6 0, 605287 0, 037700 0, 573925 0, 001714

7 0, 379378 0, 020400 0, 310559 0, 015250

8 0, 247704 0, 011400 0, 173548 0, 031687

9 0, 162629 0, 006500 0, 098953 0, 040976

10 0, 138041 0, 003900 0, 059372 0, 104240

11 0, 157530 0, 002400 0, 036536 0, 400683

12 0, 132698 0, 001500 0, 022835 0, 528563

13 0, 088636 0, 000900 0, 013701 0, 409838

14 0, 051856 0, 000600 0, 009134 0, 199819

Total 15, 22347015, 22347015, 223470 1.0000001.0000001.000000 15, 22347015, 22347015, 223470 1, 8231441, 8231441, 823144

Tabla 2.3: Tabla de frecuencias observadas y esperadas.

Estadístico de prueba.: χ2obs = 1, 823144

Región de Rechazo.: En la Tabla B.2 de puntos porcentuales de la distribución

Ji - Cuadrado, encontramos que con un nivel significación de 0, 05, el estadístico

de prueba es χ20,05(13) = 22, 36. Se define la región de rechazo χ2

obs > 22, 36.

Decisión.: Como χ2obs < χ2

α(k − 1), no se rechaza H0 y concluimos que los datos

de los ingresos de los ecuatorianos proporcionados por el INEC siguen la ley de

distribución probabilística 6/8 - bipotencial (2.11).

38

CAPÍTULO III

ALGUNOS CÁLCULOS CLÁSICOS PARA UNA

PENSIÓN DE JUBILACIÓN. VALORES DE UNA

ANUALIDAD DE SEGURO

Cada uno de nosotros hace planes y tiene expectativas acerca del curso que seguirá

su vida. Sin embargo, la experiencia nos enseña que los planes no se desarrollan

con certeza y algunas veces las expectativas no se realizan. Ocasionalmente, los

planes se frustran porque intervienen circunstancias fortuitas. Las Matemáticas

Actuariales cuantifica en términos monetarios el riesgo de eventos aleatorios que

dificultan la realización de los planes razonables de los individuos y permite resarcir

las pérdidas.

Este capítulo desarrollará un conjunto de ideas para describir y utilizar la distribu-

ción del tiempo transcurrido hasta el fallecimiento, y la función correspondiente de

la edad de fallecimiento. Se demostrará cómo la distribución de la variable aleatoria,

edad al fallecimiento, puede resumirse mediante una tabla de mortalidad. Dichas

tablas son muy útiles en varios campos de la ciencia. Consecuentemente se ha desa-

rrollado una profusa notación y nomenclatura entre las diversas profesiones que las

utilizan. En este proyecto de investigación las tablas de mortalidad se utilizarán

para construir modelos para sistemas de pensiones. Una tabla de mortalidad es

un componente indispensable de muchos modelos de la ciencia actuarial. De hecho

algunos académicos sitúan la fecha de inicio de la ciencia actuarial en 1693. En

ese año Edmund Halley publicó “Una estimación de los grados de mortalidad de

la humanidad, tomadas de varias tablas de nacimiento y funerales de la ciudad de

Breslau". La tabla de mortalidad, llamada tabla de Breslau, contenida en el estudio

de Halley continúa teniendo interés debido a su notación e ideas sorprendentemente

modernas ([1]).

39

3.1 Tablas de mortalidad

Las tablas de mortalidad que se publican contienen usualmente tabulaciones, por

edades individuales, de las funciones básicas lx, dx, qx y posiblemente funciones

derivadas adicionales. Antes de presentar dicha tabla, examinaremos una interpre-

tación de estas funciones.

3.1.1. Relaciones entre las funciones de la tabla de mortali-

dad

Valores de supervivencia:

lx+1 = lx − dx (3.1)

lx es el número de supervivientes hasta la edad de x años.

dx es el número de fallecidos durante un año ya cumplidos x años.

dx en función de los coeficientes de mortalidad qx:

dx = lx · qx (3.2)

La probabilidad de sobrevivir por lo menos un año más teniendo la edad de x años

es:

Px =lx+1

lx(3.3)

La probabilidad de sobrevivir hasta una edad de x+ n años, donde n son los años

siguientes:

nPx =lx+n

lx(3.4)

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: La probabilidad de que un hombre de 40 años de edad sobreviva hasta

los 50 años se estima con:

10P40 =l50

l40

=79519

87779= 0, 9059.

La probabilidad de fallecer durante un año para una persona de edad x es:

qx = 1− Px = 1− lx+1

lx=lx − lx+1

lx=dxlx

(3.5)

40

y para una edad de x hasta x+ n es:

nqx = 1− nPx = 1− lx+n

lx=lx − lx+n

lx=

1

lx

x+n−1∑j=x

dj (3.6)

La probabilidad de fallecer durante 2 años cumplidos x años es:

2qx =dx + dx+1

lx

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: La probabilidad de fallecer durante 2 años cumplidos 50 años es:

2q50 =1121 + 1193

79519= 0, 165.

La probabilidad de sobrevivir n años y de fallecer en el año siguiente es:

n|qx =dx+n

lx(3.7)

La probabilidad de fallecer a una edad entre x+ n y x+ n+m es:

n|mqx =lx+n − lx+n+m

lx(3.8)

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Para un hombre de 50 años, la probabilidad de fallecer a los 60 años de

edad es:

10|q50 =d60

l50

=1870

79519= 0, 02352

y la probabilidad de fallecer a una edad de 60 hasta sus 70 años se estima mediante:

10|10q50 =l60 − l70

l50

=65130− 43405

79519= 0, 27321.

La tabla citada fue construida bajo estimaciones de probabilidades de muerte, dada

la sobrevivencia de varias edades, derivadas de la población total del Ecuador.

Edad x Hombres Mujeres

lx qx dx lx qx dx

14 95438 0, 00068107 65 96407 0, 00037 36

15 95373 0, 000817842 78 96371 0, 00042 40

16 95295 0, 001017892 97 96331 0, 00047 45

17 95198 0, 001239522 118 96286 0, 00053 51

18 95080 0, 001493479 142 96235 0, 00059 57

41

Edad x Hombres Mujeres

lx qx dx lx qx dx

19 94938 0, 001727443 164 96178 0, 00064 62

20 94774 0, 001962564 186 96116 0, 00069 66

21 94588 0, 002167294 205 96050 0, 00072 69

22 94383 0, 002341523 221 95981 0, 00074 71

23 94162 0, 002495699 235 95910 0, 00076 73

24 93927 0, 002629702 247 95837 0, 00078 75

25 93680 0, 002775406 260 95762 0, 00080 77

26 93420 0, 002932991 274 95685 0, 00084 80

27 93146 0, 003113392 290 95605 0, 00088 84

28 92856 0, 003338503 310 95521 0, 00093 89

29 92546 0, 003565794 330 95432 0, 00100 95

30 92216 0, 003817125 352 95337 0, 00106 101

31 91864 0, 004049464 372 95236 0, 00113 108

32 91492 0, 004251738 389 95128 0, 00122 116

33 91103 0, 004456494 406 95012 0, 00132 125

34 90697 0, 004652855 422 94887 0, 00142 135

35 90275 0, 004873996 440 94752 0, 00155 147

36 89835 0, 005142762 462 94605 0, 00168 159

37 89373 0, 005505018 492 94446 0, 00182 172

38 88881 0, 005951778 529 94274 0, 00196 185

39 88352 0, 006485422 573 94089 0, 00212 199

40 87779 0, 007085977 622 93890 0, 00228 214

41 87157 0, 007698751 671 93676 0, 00247 231

42 86486 0, 008313484 719 93445 0, 00266 249

43 85767 0, 008884536 762 93196 0, 00290 270

44 85005 0, 009422975 801 92926 0, 00314 292

45 84204 0, 009975773 840 92634 0, 00341 316

46 83364 0, 010568111 881 92318 0, 00369 341

47 82483 0, 011262927 929 91977 0, 00399 367

42

Edad x Hombres Mujeres

lx qx dx lx qx dx

48 81554 0, 012077887 985 91610 0, 00430 394

49 80569 0, 013032308 1050 91216 0, 00465 424

50 79519 0, 01409726 1121 90792 0, 00506 459

51 78398 0, 015217225 1193 90333 0, 00554 500

52 77205 0, 016371997 1264 89833 0, 00610 548

53 75941 0, 017539932 1332 89285 0, 00673 601

54 74609 0, 018724283 1397 88684 0, 00740 656

55 73212 0, 019969404 1462 88028 0, 00805 709

56 71750 0, 021351916 1532 87319 0, 00866 756

57 70218 0, 022928594 1610 86563 0, 00918 795

58 68608 0, 024705574 1695 85768 0, 00969 831

59 66913 0, 026646541 1783 84937 0, 01023 869

60 65130 0, 028711807 1870 84068 0, 01093 919

61 63260 0, 030809358 1949 83149 0, 01193 992

62 61311 0, 03296309 2021 82157 0, 01318 1083

63 59290 0, 035233598 2089 81074 0, 01467 1189

64 57201 0, 037639202 2153 79885 0, 01634 1305

65 55048 0, 040273943 2217 78580 0, 01820 1430

66 52831 0, 043099695 2277 77150 0, 02023 1561

67 50554 0, 046148673 2333 75589 0, 02249 1700

68 48221 0, 049459779 2385 73889 0, 02497 1845

69 45836 0, 053036914 2431 72044 0, 02777 2001

70 43405 0, 056905886 2470 70043 0, 03068 2149

71 40935 0, 061072432 2500 67894 0, 03405 2312

72 38435 0, 065591258 2521 65582 0, 03772 2474

73 35914 0, 070446066 2530 63108 0, 04175 2635

74 33384 0, 075694944 2527 60473 0, 04620 2794

75 30857 0, 081278154 2508 57679 0, 05102 2943

76 28349 0, 087375216 2477 54736 0, 05645 3090

43

Edad x Hombres Mujeres

lx qx dx lx qx dx

77 25872 0, 093923933 2430 51646 0, 06231 3218

78 23442 0, 100972613 2367 48428 0, 06878 3331

79 21075 0, 10856465 2288 45097 0, 07590 3423

80 18787 0, 116729653 2193 41674 0, 08367 3487

81 16594 0, 125467036 2082 38187 0, 09220 3521

82 14512 0, 134853914 1957 34666 0, 10154 3520

83 12555 0, 144962166 1820 31146 0, 11176 3481

84 10735 0, 155752212 1672 27665 0, 12290 3400

85 9063 0, 167383868 1517 24265 0, 13505 3277

86 7546 0, 199973496 1509 20988 0, 19997 4197

87 6037 0, 399867484 2414 16791 0, 39998 6716

88 3623 0, 600055203 2174 10075 0, 60000 6045

89 1449 0, 799861974 1159 4030 0, 80000 3224

90 290 1 290 806 1, 00000 806

Tabla 3.1: Tabla de mortalidad del Ecuador para hombres

y mujeres

3.2 Funciones de conmutación

Para resumir y simplificar los cálculos de seguros individuales se introducen las

funciones de conmutación (valores de conmutación). Para el primer grupo intervie-

nen el número de sobrevivientes, para el segundo grupo intervienen el número de

fallecidos. Sus valores se calculan en base a la tabla de mortalidad y en definitiva

sirven para el cálculo de tarifas o primas y reservas de los seguros individuales, y

también para obtener el grado de los balances de los seguros grupales.

El factor de descuento es:

vn =1

(1 + i)n(3.9)

donde i es la tasa efectiva (anual) a interés compuesto, n es el plazo (generalmente

44

en años) al que se aplica el descuento.

3.2.1. Seguro personal de sobrevivencia (Dx)

En este caso se trata de verificar que una persona cumpla con la condición de

sobrevivir n años luego de la firma del contrato. Es decir, la suma asegurada se

paga al cumplirse el plazo estipulado.

Al símbolo de conmutación Dx se le define en forma técnica como el número de

sobrevivientes descontados a una determinada tasa de interés anual por un tiempo

equivalente a su edad. Está dado por:

Dx = lx · vx (3.10)

3.2.2. Seguro de pensiones (Nx)

No todos los seguros son pagados en una sola ocasión, algunos de ellos pueden ser

cobrados en forma de pagos periódicos. Este es el caso de las anualidades o rentas.

En este caso se considera el caso anual.

Se representan por una serie de cobros anuales que efectúa una persona de edad

actual x que ha contratado un seguro para una cobertura futura en donde pueda

percibir una pensión. Generalmente se emplea para pensiones de jubilación. La

renta puede ser hasta el último año de vida o puede ser temporal.

Es el valor único o prima que debe pagar hoy una persona de edad x que desea

percibir una renta anual mientras viva. Se debe tener en cuenta que el valor actual

en todos los casos, es la suma de los valores actuales individuales de la cuota anual

trasladados desde el momento de su pago hasta el momento inicial de su operación

que se da en una edad x. Está dado por:

Nx =w∑j=x

Dj (3.11)

45

donde w es el límite de edad en la tabla de mortalidad (en nuestro caso los 90 años)

Nw = Dw, Nw−1 = Nw +Dw−1

Nx = Nx+1 +Dx, Nx+n =w∑

j=x+n

Dj

La suma de los valores de conmutación Dx para intervalos de edad de x hasta x+ t

puede representarse también mediante Nx:

x+t∑j=x

Dj = Nx −Nx+t+1 (3.12)

3.2.3. Seguros de fallecimientos por n años

Los representantes más importantes de las funciones de conmutación del segundo

grupo son las funciones Cx, Mx y Rx.

Son aquellos que se pagan al fallecer el titular de un seguro de muerte. La entidad

aseguradora garantiza a una persona de edad actual x el pago de una cantidad en

caso de que el fallecimiento de esta última ocurra dentro o en el curso de un plazo

previamente establecido.

La función Cx representa al descuento de fallecidos a la edad de x hasta x+ 1:

Cx = dx · vx+1 (3.13)

donde dx es el número de fallecidos en la edad de x hasta x + 1 en la tabla de

mortalidad, v es el factor de descuento a una tasa definida. Es necesario aclarar

que solo se utiliza este símbolo cuando se trata del cálculo de un año. Cuando se

tienen tiempos mayores a un año se trabaja con el símbolo Mx.

De la definición tendremos:

Cx = dx · vx+1

= (lx − lx+1) · vx+1

= lx · vx · v − lx+1 · vx+1

= v ·Dx −Dx+1 (3.14)

46

Para el valor x = w, se tiene:

Cw = v ·Dw

La suma de los valores Cx es:

Mx =w∑j=x

Cj (3.15)

Por recursión, tendremos:

Mw = Cw; Mw−1 = Mw + Cw−1; Mx = Mx+1 + Cx

Mx en función de Nx y con ayuda de (3.14) tiene la forma:

Mx = Cx + Cx+1 + ...+ Cw

= (v ·Dx −Dx+1) + (v ·Dx+1 −Dx+2) + ...+ (v ·Dw−1 −Dw) + v ·Dw

= (v ·Dx + v ·Dx+1 + ...+ v ·Dw−1 + v ·Dw)− (Dx+1 +Dx+2 + ...+Dw)

= v ·Nx −Nx+1

La función de conmutación Rx se define como:

Rx =w∑j=x

Mj (3.16)

Si se considera que a cada de lx personas se le paga 1 dólar, entonces Dx vendría a

ser el valor actual de la suma lx, pagable dentro de x años. Y Nx vendría a ser el

valor actual de la sucesión de pagos en dólares lx, lx+1, lx+2, ..., lw.

3.2.4. Tablas de Conmutación

Edad x Hombres

Dx Nx Cx Mx

14 28559, 48 333295, 17 17, 84 1039, 70

15 26183, 52 304735, 68 19, 65 1021, 85

16 24001, 93 278552, 16 22, 41 1002, 21

17 21997, 70 254550, 24 25, 02 979, 79

18 20156, 36 232552, 53 27, 62 954, 78

19 18464, 46 212396, 17 29, 26 927, 16

20 16910, 61 193931, 71 30, 45 897, 90

47

Edad x Hombres

Dx Nx Cx Mx

21 15483, 87 177021, 10 30, 79 867, 45

22 14174, 60 161537, 22 30, 45 836, 66

23 12973, 77 147362, 62 29, 71 806, 21

24 11872, 84 134388, 85 28, 64 776, 51

25 10863, 87 122516, 02 27, 66 747, 87

26 9939, 19 111652, 15 26, 74 720, 20

27 9091, 78 101712, 96 25, 97 693, 46

28 8315, 11 92621, 18 25, 47 667, 49

29 7603, 07 84306, 07 24, 87 642, 02

30 6950, 42 76703, 00 24, 34 617, 15

31 6352, 20 69752, 58 23, 60 592, 81

32 5804, 10 63400, 38 22, 64 569, 21

33 5302, 23 57596, 28 21, 68 546, 57

34 4842, 75 52294, 05 20, 67 524, 89

35 4422, 22 47451, 30 19, 77 504, 22

36 4037, 31 43029, 08 19, 05 484, 45

37 3684, 90 38991, 78 18, 61 465, 40

38 3362, 03 35306, 87 18, 36 446, 79

39 3066, 08 31944, 84 18, 24 428, 43

40 2794, 67 28878, 77 18, 17 410, 19

41 2545, 75 26084, 09 17, 98 392, 02

42 2317, 57 23538, 34 17, 68 374, 04

43 2108, 53 21220, 77 17, 19 356, 36

44 1917, 25 19112, 24 16, 57 339, 17

45 1742, 37 17194, 99 15, 95 322, 60

46 1582, 56 15452, 62 15, 34 306, 65

47 1436, 54 13870, 06 14, 84 291, 31

48 1303, 09 12433, 52 14, 44 276, 47

49 1181, 05 11130, 43 14, 12 262, 03

48

Edad x Hombres

Dx Nx Cx Mx

50 1069, 41 9949, 38 13, 83 247, 91

51 967, 28 8879, 96 13, 50 234, 08

52 873, 91 7912, 68 13, 13 220, 57

53 788, 63 7038, 77 12, 69 207, 44

54 710, 82 6250, 14 12, 21 194, 75

55 639, 92 5539, 32 11, 72 182, 54

56 575, 36 4899, 40 11, 27 170, 82

57 516, 58 4324, 04 10, 87 159, 55

58 463, 06 3807, 46 10, 50 148, 68

59 414, 33 3344, 40 10, 13 138, 19

60 369, 99 2930, 07 9, 75 128, 06

61 329, 70 2560, 08 9, 32 118, 31

62 293, 15 2230, 38 8, 87 108, 99

63 260, 08 1937, 23 8, 41 100, 13

64 230, 20 1677, 15 7, 95 91, 72

65 203, 24 1446, 95 7, 51 83, 77

66 178, 95 1243, 70 7, 08 76, 26

67 157, 10 1064, 75 6, 65 69, 19

68 137, 48 907, 65 6, 24 62, 54

69 119, 89 770, 17 5, 83 56, 30

70 104, 16 650, 28 5, 44 50, 46

71 90, 12 546, 12 5, 05 45, 03

72 77, 63 456, 00 4, 67 39, 98

73 66, 55 378, 38 4, 30 35, 31

74 56, 75 311, 83 3, 94 31, 00

75 48, 12 255, 08 3, 59 27, 06

76 40, 56 206, 95 3, 25 23, 47

77 33, 96 166, 39 2, 93 20, 22

78 28, 23 132, 43 2, 62 17, 30

49

Edad x Hombres

Dx Nx Cx Mx

79 23, 28 104, 20 2, 32 14, 68

80 19, 04 80, 91 2, 04 12, 36

81 15, 43 61, 87 1, 78 10, 32

82 12, 38 46, 44 1, 53 8, 55

83 9, 83 34, 06 1, 31 7, 01

84 7, 71 24, 23 1, 10 5, 71

85 5, 97 16, 52 0, 92 4, 61

86 4, 56 10, 55 0, 84 3, 69

87 3, 35 5, 99 1, 23 2, 85

88 1, 84 2, 64 1, 01 1, 62

89 0, 68 0, 80 0, 50 0, 61

90 0, 12 0, 12 0, 11 0, 11

Tabla 3.2: Tabla de conmutación para hombres con una

tasa i = 9 %

Edad x Mujeres

Dx Nx Cx Mx

14 52057, 16 1106750, 57 18, 60 4398, 05

15 49796, 87 1054693, 40 19, 78 4379, 45

16 47632, 72 1004896, 54 21, 29 4359, 67

17 45560, 26 957263, 81 23, 09 4338, 37

18 43575, 24 911703, 55 24, 70 4315, 28

19 41674, 10 868128, 31 25, 71 4290, 58

20 39853, 81 826454, 21 26, 19 4264, 88

21 38111, 43 786600, 40 26, 20 4238, 69

22 36444, 07 748488, 96 25, 80 4212, 49

23 34848, 91 712044, 89 25, 38 4186, 69

24 33322, 86 677195, 98 24, 95 4161, 31

25 31862, 95 643873, 12 24, 52 4136, 35

50

Edad x Mujeres

Dx Nx Cx Mx

26 30466, 34 612010, 18 24, 38 4111, 84

27 29130, 02 581543, 83 24, 49 4087, 46

28 27851, 12 552413, 82 24, 83 4062, 97

29 26626, 96 524562, 69 25, 37 4038, 14

30 25454, 98 497935, 73 25, 81 4012, 77

31 24333, 03 472480, 75 26, 41 3986, 97

32 23258, 79 448147, 72 27, 14 3960, 56

33 22230, 07 424888, 94 27, 99 3933, 42

34 21244, 81 402658, 86 28, 92 3905, 43

35 20301, 04 381414, 05 30, 14 3876, 51

36 19396, 69 361113, 02 31, 20 3846, 37

37 18530, 23 341716, 33 32, 29 3815, 17

38 17699, 98 323186, 10 33, 24 3782, 88

39 16904, 55 305486, 11 34, 21 3749, 64

40 16142, 39 288581, 56 35, 21 3715, 43

41 15412, 05 272439, 18 36, 37 3680, 22

42 14712, 01 257027, 13 37, 51 3643, 85

43 14040, 96 242315, 12 38, 93 3606, 34

44 13397, 40 228274, 16 40, 29 3567, 41

45 12780, 19 214876, 77 41, 72 3527, 12

46 12188, 13 202096, 57 43, 08 3485, 41

47 11620, 20 189908, 45 44, 37 3442, 32

48 11075, 44 178288, 25 45, 58 3397, 95

49 10552, 92 167212, 81 46, 94 3352, 37

50 10051, 55 156659, 88 48, 63 3305, 43

51 9570, 08 146608, 33 50, 69 3256, 80

52 9107, 28 137038, 25 53, 16 3206, 11

53 8661, 94 127930, 97 55, 79 3152, 95

54 8233, 14 119269, 03 58, 28 3097, 15

51

Edad x Mujeres

Dx Nx Cx Mx

55 7820, 33 111035, 89 60, 27 3038, 88

56 7423, 29 103215, 56 61, 50 2978, 60

57 7042, 13 95792, 27 61, 89 2917, 10

58 6676, 99 88750, 15 61, 91 2855, 21

59 6327, 55 82073, 16 61, 95 2793, 30

60 5993, 12 75745, 61 62, 69 2731, 35

61 5672, 35 69752, 48 64, 76 2668, 66

62 5363, 33 64080, 13 67, 66 2603, 90

63 5064, 72 58716, 80 71, 08 2536, 24

64 4775, 54 53652, 08 74, 65 2465, 17

65 4495, 24 48876, 54 78, 28 2390, 51

66 4223, 39 44381, 30 81, 77 2312, 23

67 3959, 74 40157, 91 85, 22 2230, 46

68 3704, 01 36198, 17 88, 51 2145, 24

69 3456, 00 32494, 16 91, 86 2056, 73

70 3215, 32 29038, 16 94, 40 1964, 87

71 2982, 46 25822, 84 97, 19 1870, 47

72 2756, 84 22840, 37 99, 52 1773, 28

73 2538, 61 20083, 53 101, 43 1673, 76

74 2327, 86 17544, 93 102, 92 1572, 33

75 2124, 69 15217, 07 103, 74 1469, 41

76 1929, 46 13092, 38 104, 23 1365, 67

77 1742, 14 11162, 92 103, 88 1261, 44

78 1563, 24 9420, 79 102, 89 1157, 56

79 1393, 03 7857, 55 101, 18 1054, 67

80 1231, 86 6464, 52 98, 64 953, 49

81 1080, 18 5232, 65 95, 31 854, 85

82 938, 36 4152, 47 91, 18 759, 54

83 806, 77 3214, 12 86, 29 668, 36

52

Edad x Mujeres

Dx Nx Cx Mx

84 685, 74 2407, 35 80, 65 582, 08

85 575, 57 1721, 60 74, 38 501, 43

86 476, 40 1146, 04 91, 16 427, 05

87 364, 72 669, 64 139, 60 335, 88

88 209, 42 304, 92 120, 24 196, 29

89 80, 16 95, 50 61, 37 76, 05

90 15, 34 15, 34 14, 68 14, 68

Tabla 3.3: Tabla de conmutación para mujeres con una

tasa i = 4, 5 %

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Para los hombres con edad de 40 años, con una tasa i = 9 %, tenemos

D40 = 2794, 671 y N40 = 28878, 765.

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Para el intervalo de edad 40 – 50 años en hombres tendremos:

50∑40

Dj = N40 −N51 = 28878, 765− 8879, 962 = 19998, 803

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Según las tablas anteriores, para un hombre de 40 años, i = 9 %, se tiene

C40 = 18, 168, M40 = 410, 186.

3.3 Valor de una anualidad de seguro

El valor actual de una anualidad, compuesta de los pagos S, S, ..., S se halla con la

suma:

A = S · v + S · v2 + ...+ S · vn (3.17)

Y la anualidad del seguro con la probabilidad nPx de sobrevivir n años teniendo

una edad de x años es:

A = nPx · S · vn + 2Px · S · v2 + ... (3.18)

53

El valor actual de la anualidad del seguro con pagos S = 1 se representa con nEx

y es:

nEx = nPx · vn =lx+n

lx· vn o (3.19)

nEx =lx+n · vx+n

lx · vx=Dx+n

Dx

(3.20)

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: si un hombre de 40 años de edad contrajo un seguro de sobrevivencia

hasta los 50 años, entonces el valor actual de un pago de 1000 dólares con i = 9 %

es:

10E40 = 1000 · D50

D40

= 1000 · 1069, 41

2794, 67= 382, 66 (3.21)

Comprobación.-

Número de asegurados = 1000

Pago a un asegurado = 382,66

Suma total de pagos = 382660,00

Intereses a los 10 años = (1, 09)10

Suma total con intereses = 382660, 00× (1, 09)10 = 905895, 38

Número de sobrevivientes hasta los 50 años = 906

Pago total = 906 x 1000 = 906000.

3.4 Anualidades posnumerando (pago al final del

periodo)

El valor de la anualidad para una persona de edad x con un pago S = 1 sería:

ax =lx+1

lx· v +

lx+2

lx· v2 + ...+

lwlx· vw−x o

ax =

w−x∑j=1

lx+j · vx+j

lx · vx=Nx+1

Dx

(3.22)

Demostración.-

54

ax =lx+1

lx· v +

lx+2

lx· v2 + ...+

lwlx· vw−x

= (lx+1 · v + lx+2 · v2 + ...+ lw · vw−x) ·1

lx

= (lx+1 · v + lx+2 · v2 + ...+ lw · vw−x) ·vx

lx · vx

= (lx+1 · vx+1 + lx+2 · vx+2 + ...+ lw · vw) · 1

lx · vx

=

w−x∑j=1

lx+j · vx+j

lx · vx

=

w−x∑j=1

Dx+j

Dx

=

w∑j=x+1

Dj

Dx

=Nx+1

Dx

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: El valor de un pago vitalicio de $1000 a final de cada año, para un hombre

de 60 años con una tasa del i = 9 % es:

a60 = 1000 · N61

D60

= 1000 · 2560, 80

369, 99= 6919, 32

Para una pensión pagable ya cumplida la edad L se tiene:

(L)ax =lL+1

lx· vL+1 + ...+

lwlx· vw−x

(L)ax =NL+1

Dx

(3.23)

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: el valor de por vida de una pensión a pagarse desde los 60 años, para un

hombre que hizo el contrato a los 40 años, sería:

(60)a40 = 1000 · 2560, 08

2794, 67= 916, 06

El valor de todos los pagos de una pensión postnumerando sería:

nax =Nx+n+1

Dx

(3.24)

55

donde n es el periodo o intervalo entre la firma del contrato hasta el inicio del pago

de la pensión.

Ejemplo: para un hombre de 40 años de edad, el valor de la anualidad, pagada,

por ejemplo, a partir de los 50 años, es decir, con n = 10 viene a ser:

10a40 = 1000 · N50+1

D40

= 1000 · 8879, 96

2794, 67= 3177, 46

En las fórmulas anteriores se ha supuesto que las pensiones son vitalicias, pero en

la práctica se pagan solo para un periodo definido de un plazo k, como anualidades

definidas. Para este caso se tienen las fórmulas de anualidades postnumerando:

Inmediata:

ax,k =Nx+1 −Nx+k+1

Dx

(3.25)

Con pago a iniciarse desde una edad de L años:

(L)ax,k =NL+1 −NL+k+1

Dx

(3.26)

Pospuesta por n años:

nax,k =Nx+n+1 −Nx+n+k+1

Dx

(3.27)

Ejemplo: el valor de una pensión de $1000, 00 para un hombre de 60 años, pagadera

por 10 años, acorde a la fórmula (3.25), sería:

a60,10 = 1000 · N61 −N71

D60

= 1000 · 2560, 08− 546, 12

369, 99= 5443, 78

y la vitalicia en las mismas condiciones sería de $6919.32. Si la pensión se estable-

ciera para un hombre de 40 años, entonces tendríamos una anualidad pospuesta

por 20 años, lo que acorde con (3.27) nos daría el valor

20a40,10 =N61 −N71

D40

=2560, 08− 546, 12

2794, 67= 720, 64

56

3.5 Anualidades prenumerando (pago al inicio del

periodo)

Las fórmulas (3.22) - (3.27) representan pagos de pensiones al final de cada año. En

la práctica también se consideran las pensiones con pagos al inicio de cada periodo

(prenumerando). Para las pensiones vitalicias se tienen los siguientes valores de las

anualidades prenumerando:

Inmediata:

ax =Nx

Dx

(3.28)

Con pago desde una edad L:

(L)ax =NL

Dx

(3.29)

Pospuesta por n años:

nax =Nx+n

Dx

(3.30)

Pasando a las anualidades definidas, con pagos durante k años, las anualidad pre-

numerando serán:

Inmediata:

ax,k =Nx −Nx+k

Dx

(3.31)

Con pago desde una edad L:

(L)ax,k =NL −NL+k

Dx

(3.32)

Pospuesta por x+ n años:

nax,k =Nx+n −Nx+n+k

Dx

(3.33)

Ejemplos: analizando los ejemplos anteriores, pero para el caso en que los pa-

gos se hagan al inicio del periodo anual (prenumerando), tendremos los siguientes

57

resultados:

a60 = 1000 · N60

D60

= 1000 · 2930, 07

369, 99= 7919, 32

(60)a40 = 1000 · N60

D40

= 1000 · 2930, 07

2794, 67= 1048, 45

10a40 = 1000 · N50

D40

= 1000 · 9949, 38

2794, 67= 3560, 12

a60,10 = 1000 · N60 −N70

D60

= 1000 · 2930, 07− 650, 28

369, 99= 6161, 76

20a40,10 =N60 −N70

D40

=2930, 07− 650, 28

2744, 67= 815, 76

3.6 Valor de las anualidades con pagos m veces al

año

Hemos analizado pensiones que se pagan por una sola vez cada año. Pasamos a

ver aquellas que se pagan m veces al año (m = 12, mensual; m = 4, trimestral;

etc.). Representaremos mediante ax(m) a las postnumerando y mediante ax(m) a las

prenumerando. Es evidente que se cumplen las relaciones:

ax < ax(m) < ax(m) < ax (3.34)

nax < nax(m) < nax(m) < nax (3.35)

En la práctica las aseguradoras (bajo tasas de interés no muy altas) consideran las

equivalencias:

ax ≈ ax(m) ax ≈ ax(m) (3.36)

Ejemplo: $1000 se pueden pagar de 4 formas: al inicio del año, diferido (al inicio

o al final de cada mes), al final del año. Sin embargo, a lo largo de un año, se

diferencian en poco, por ejemplo, al 3 %, respectivamente se tiene: $1000, $987,

$984, $971. Pero a una tasa del 20 %, la situación cambia a $1000, $921, $907,

$833.

58

Para hacer m pagos durante el año, las fórmulas se aproximan, ya sea al inicio o al

final del periodo:

a) Pensión vitalicia postnumerando:

Inmediata:

ax(m) =Nx+1

Dx

+m− 1

2m(3.37)

Pago desde la edad L:

(L)ax(m) =NL+1 +

m− 1

2m·DL

Dx

(3.38)

Pensión pospuesta por n años:

nax(m) =Nx+n+1 +

m− 1

2m·Dx+n

Dx

(3.39)

b) Pensión ordinaria postnumerando:

Inmediata:

ax,k(m) =Nx+1 −Nx+k+1 +

m− 1

2m· (Dx −Dx+k)

Dx

(3.40)

Pago desde la edad L:

(L)ax,k(m) =NL+1 −NL+k+1 +

m− 1

2m· (DL −DL+k)

Dx

(3.41)

Pensión pospuesta por n años:

nax,k(m) =Nx+n+1 −Nx+n+k+1 +

m− 1

2m· (Dx+n −Dx+n+k)

Dx

(3.42)

En forma análoga podemos obtener un sistema de fórmulas para las anualidades

pagables al inicio de los correspondientes periodos.

a) Pensión vitalicia prenumerando:

Inmediata:

ax(m) =Nx

Dx

+m− 1

2m(3.43)

59

Pago desde la edad L:

(L)ax(m) =NL −

m− 1

2m·DL

Dx

(3.44)

Pensión pospuesta por n años:

nax(m) =Nx+n −

m− 1

2m·Dx+n

Dx

(3.45)

b) Pensión ordinaria prenumerando:

Inmediata:

ax,k(m) =Nx −Nx+k −

m− 1

2m· (Dx −Dx+k)

Dx

(3.46)

Pago desde la edad L:

(L)ax,k(m) =NL −NL+k −

m− 1

2m· (DL −DL+k)

Dx

(3.47)

Pensión pospuesta por n años:

nax,k(m) =Nx+n −Nx+n+k +

m− 1

2m· (Dx+n −Dx+n+k)

Dx

(3.48)

Ejemplos:

Valores de algunas anualidades

Tipo de

Anualidad

Postnumerando Prenumerando

Anual Mensual Anual Mensual

Pensión inmediata, x = 60 6919 7378 7919 7461

Pensión desde 60 años, x = 40 916 977 1048 988

Asegurada para 10 años, x = 40 3177 3353 3560 3385

Tabla 3.4: Valores de Algunas Anualidades.

Valores de algunas anualidades para distintos plazos y distintas tasas de interés

60

%Plazos

Pensión vitalicia A 25 años A 10 años

9 % 9304 9065 6564

15 % 6670 6618 5467

30 % 4087 4084 3857

Tabla 3.5: Valores de Algunas Anualidades para distintos plazos.

61

CAPÍTULO IV

EL NUEVO MODELO DISTRIBUTIVO

La ley actual contiene muchos tipos de pensiones diferentes (vejez, discapacidad,

pérdida del jefe del hogar) y una gran cantidad de casos especiales, necesitamos

combinarlos tanto como sea posible para que el sistema de pensiones sea tan simple

que un trabajador del fondo de pensiones pueda calcular fácilmente una pensión y

pueda explicarle al pensionado, y que un ciudadano de educación secundaría pueda

entender fácilmente esta explicación.

También es evidente que el sistema debe tener en cuenta las posibilidades de la

economía del país, es decir, aumentar o disminuir automáticamente las pensiones

durante los altibajos económicos. Para ello, es necesario incluir parámetros de ges-

tión, determinados por ingresos mensuales o trimestrales para el fondo de pensiones.

Los parámetros pueden ser dos o tres pero no más, de lo contrario el sistema se

volvería insuficientemente transparente.

Por otro lado, el sistema debe coordinarse con otras leyes, principalmente con el

código de la familia y el matrimonio, pues la familia es la base fundamental de

la sociedad. Una situación típica es cuando una esposa se queda en casa con los

hijos y no trabaja durante mucho tiempo, ella pierde su experiencia laboral, y su

progreso en la carrera profesional se detiene, lo que conduce a una pérdida en los

salarios y reduce significativamente su pensión pero no afecta a la pensión de su

esposo, lo que se propone es que la esposa reciba la misma pensión o un recargo en

su pensión por la crianza de sus hijos. Además el sistema de pensiones del estado

debe estar dirigido a personas con ingresos bajos y medianos: los que reciben un

salario elevado son menos proclives a la iniciativa y ellos mismos también pueden

asegurarse una vejez.

Por lo tanto, el sistema propuesto es muy relevante. Contiene un ajuste automático

en caso de una fuerte inflación e incluso colapso, también proporciona una confi-

guración manual con solo uno o dos parámetros de control, así se convierte en un

62

sistema fácil y se lo puede aplicar rápidamente.

El objetivo del presente capítulo es el desarrollo de un sistema flexible de pensiones

y métodos adecuados de cálculo que permitan determinar rápidamente los principa-

les parámetros de la fórmula del cálculo de la pensión. Además permite construir un

sistema de pensiones más equitativo y duradero que aliviará las tensiones sociales

en la sociedad.

4.1 Cálculo actuarial y fórmulas de las pensiones.

La esperanza de vida promedio de un pensionado después de alcanzar la edad

de jubilación (65 años) según [6] en el 2010 fue de T = 19, 2 años. Sin tomar

en cuenta las condiciones profesionales y considerando a hombres y mujeres por

separado presentamos la cantidad de jubilados por sexo NH , NM y la esperanza de

vida promedio al momento de la jubilación TH , TM , así como el número total de

jubilados N .

Las relaciones de equilibrio de las variables anteriormente mencionadas son las

siguientes

NH +NM = N (4.1)

THNH + TMNM

N= T (4.2)

NM −NH = ν (4.3)

TM − TH = ϑ (4.4)

Luego, despejando NM de (4.1) y reemplazando en (4.3) se tiene

NM −NH = ν

N −NH −NH = ν

−2NH = ν −N

63

NH =N − ν

2(4.5)

ahora despejando NH de (4.1) y reemplazando en (4.3) se tiene

NM −NH = ν

NM −N +NM = ν

2NM = N + ν

NM =N + ν

2(4.6)

Por otro lado, despejando TM de (4.4) y reemplazando en (4.2) se tiene

THNH + TMNM

N= T

THNH + (ϑ+ TH)NM = T N

TH(NH +NM) + ϑNM = T N

TH N + ϑ

(N + ν

2

)= T N

TH = T − ϑ(N + ν

2N

)(4.7)

Ahora despejando TH de (4.4) y reemplazando en (4.2) se tiene

THNH + TMNM

N= T

(TM − ϑ)NH + TMNM = T ·N

TM(NH +NM)− ϑNH = T ·N

TM N − ϑ(N − ν

2

)= T ·N

TM = T + ϑ

(N − ν

2N

)(4.8)

De acuerdo con los datos oficiales del Instituto Ecuatoriano de Seguridad Social

(IESS) el número total de jubilados en el 2010 fue de N = 297.533 personas, de los

cuales 131.183 son hombres y 166.350 son mujeres ([2]). Luego, de (4.3) se tiene

que ν = 35.167 personas.

Por otro lado, según [4] en el 2010 la esperanza de vida promedio fue de 72, 2

años para los hombres y 77, 8 años para las mujeres, teniendo en cuenta que en ese

64

periodo de tiempo las mujeres se jubilaban 5 años antes que los hombres y haciendo

uso de (4.4) se tiene

ϑ = TM − TH

ϑ = 77, 8− 72, 2 + 5

ϑ = 10, 6 anos

Sustituyendo estos valores en (4.7) y (4.8) tenemos

TH = 19, 2− 10, 6

(297.533 + 35.167

2(297.533)

)TM = 19, 2 + 10, 6

(297.533− 35.167

2(297.533)

)TH = 19, 2− 5, 93 TM = 19, 2 + 4, 67

TH = 13, 27 anos TM = 23, 87 anos

Es decir, la esperanza de vida promedio al jubilarse para los hombres es de 13, 27

años y 23, 87 años para las mujeres. El hecho de que la esperanza de vida de la

mujer es mayor que la del hombre es muy bien conocida, pero la cifra resultante

para TM es muy grande, de hecho supera a la esperanza de vida promedio (19, 2

años) esto se debe a que están incluidas todas las clases de pensionistas (vejez,

discapacidad, viudedad y orfandad).

Tomando ahora en cuenta solo los pensionistas que se jubilaron por vejez, es decir,

que alcanzaron la edad de jubilación, se obtiene de manera similar las estimaciones

para (4.7) y (4.8). Según datos oficiales de [2] el número de jubilados por vejez en el

2010 fue de 185.813 personas de los cuales 109.120 fueron hombres y 76.693 fueron

mujeres. Luego, se tiene TH = 7, 2 años y TM = 17, 8 años, a partir de estos datos

podemos estimar la esperanza de vida promedio para los jubilados por vejez, esto

es:

T =(7, 2)(109.120) + (17, 8)(76.693)

185.813

T = 11, 58 anos

Los datos que se tomarán como referencia para evaluar el sistema de pensiones

propuesto son los siguientes:

Un hombre trabaja antes de la jubilación un promedio de 40 años, y vive con

una pensión un promedio de 7, 2 años. Estas cifras se refieren a profesiones

65

que no implican alto riesgo. Para profesiones con beneficios de pensión, la

duración del trabajo se reduce en 5-20 años, dependiendo de la categoría

de beneficios, y la duración de vida en la jubilación es aproximadamente la

misma.

Una mujer trabaja antes de la jubilación un promedio de 30 años, y vive con

una pensión un promedio de 17, 8 años, además hay que tomar en cuenta

que la mayoría de mujeres después del trabajo se dedican a la crianza de los

hijos y al cuidado del hogar. Para profesiones con condiciones preferenciales

de pensión, las cifras cambian de la misma manera que las anteriores.

A nivel nacional (sin tomar en cuenta el género) en promedio, un ciudadano

antes de la jubilación trabaja en profesiones que no implican alto riesgo du-

rante 35 años y vive con una pensión un promedio de 11, 58 años.

Por el momento solo se va a tomar en cuenta a los pensionistas que alcanzaron

la edad de jubilación, es decir, se jubilaron por vejez y trabajaron en profesiones

generales, en otras palabras, profesiones que no implicaban trabajos de alto riesgo.

4.1.1. Pensión promedio

La pensión promedio sirve de base para el cálculo del derecho a la pensión en

el Sistema de Seguridad Social y viene dado como un factor determinante para

garantizar el derecho fundamental a la pensión y a la Seguridad Social.

La primera relación que obtenemos para el cálculo de la pensión es la relación

entre la esperanza de vida promedio después del registro de jubilación y el tiempo

promedio de trabajo:

k =T

t(4.9)

la aportación total a la seguridad social y los gastos de administración del fondo

de pensiones nos da la segunda relación:

k P = (1− µ) q (4.10)

Permite determinar la pensión promedio P , si se establece una tasa de aportación

q. Por el contrario, si es necesario ajustar la pensión promedio P a lo especificado

66

en la ley, muestra la tasa de aportación q necesaria.

En la Tabla 4.1 se muestra la distribución de fondos según el Instituto Ecuatoriano

de seguridad social (IESS), la cual sirve como referencia para el cálculo de la pensión

promedio.

Privado (%) Público (%)Concepto

Personal Patronal Total Personal Patronal Total

Seguro de pensiones 5, 86 0, 1 5, 96 5, 86 0, 1 5, 96

Seguro de salud 0, 88 9, 06 9, 94 2, 88 7, 06 9, 94

Seguro de riesgos del trabajo 0 0, 2 0, 2 0 0, 2 0, 2

Seguro de cesantía 2 1 3 2 1 3

Seguro social campesino 0, 35 0, 35 0, 7 0, 35 0, 35 0, 7

Gastos de administración 0, 36 0, 44 0, 8 0, 36 0, 44 0, 8

Total aportes 9, 45 11, 15 20, 6 11, 45 9, 15 20, 6

Tabla 4.1: Distribución de fondos [16].

4.1.2. Pensión laboral

La pensión laboral es la remuneración mensual que un ciudadano recibe al finalizar

la actividad laboral ya sea que ha alcanzado la edad de jubilación, por discapacidad,

por viudedad u orfandad.

Por simplicidad, supongamos que un ciudadano trabajó durante toda su vida en

la industria η donde se establece su periodo laboral t, la esperanza de vida T y

la tasa de aportación q al fondo de pensiones (durante la vida de una persona el

porcentaje de aportación puede ir variando debido a la ley que rija ese momento).

La pensión laboral está determinada por la contribución total al fondo de pensiones

durante todo el periodo que trabajó (J meses). Para determinar esto para cada mes,

se determinan los ingresos individuales mensuales zj normalizados con el salario

promedio en el país y las contribuciones de pensiones qj en el mismo mes, la suma

se hace sobre todos los meses que el ciudadano aportó:

67

J∑j=1

qj zj (4.11)

El fondo de pensiones está obligado a distribuir el monto total (4.11) aportado por

el ciudadano para el tiempo de vida esperado y pagarle una pensión mensual de

por vida, esto da:

P =(1− µ)

12T

J∑j=1

qj zj (4.12)

Que la llamaremos pensión básica. Hay que tomar en cuenta que los pensionistas

pueden morir antes o después del tiempo de vida esperado y algunos no sobrevivirán

hasta llegar a la jubilación. La parte de los que murieron antes pagaría a los que

vivieron más del tiempo esperado.

La pensión (4.12) no se deprecia por la inflación y esta es su principal ventaja, pues

los aportes se hicieron en relación al salario individual recibido mientras trabajaba

y no cuando va a recibir la pensión.

La ecuación (4.12) es simple y no tiene en cuenta tres circunstancias:

Una persona puede cambiar de profesión de una general a una de altos riesgos,

entonces, T debería ser sustituida.

La ecuación otorga el monto total de las contribuciones realizadas por el

trabajador, pero es necesario redistribuir el dinero para las pensiones sociales

(seguro de salud, seguro social campesino, entre otros).

Requiere una redistribución del dinero de los más ricos a los más pobres.

Consideremos ahora la redistribución, para esto presentamos tres aproximaciones

adecuadas.

p = αP (4.13)

p =αP√

1 + 2P/β(4.14)

p =αP

(1 + P/β)(4.15)

68

Los parámetros α y β se seleccionan cuidadosamente para obtener los valores de

pensión requeridos. obviamente debemos elegir 0 < α < 1, de modo que solo una

parte de la pensión básica P esté incluida en la pensión laboral p y el resto se destina

a la redistribución de fondos. El valor de β se puede elegir, de modo que la asíntota

horizontal pmax = αβ de la ecuación (4.15) sea igual a la pensión máxima que se

establece en la ley del fondo de pensiones, de lo contrario, el fondo de pensiones no

soportará pagos extra altos a empleados privados.

Los valores de los parámetros que serán considerados para el cálculo de las pensiones

son los siguientes:

El instituto Ecuatoriano de Seguridad Social (IESS) es el encargado de la

redistribución de aportaciones tanto personal como patronal, según la Tabla

4.1 el aporte total que un ciudadano debe hacer es del 20, 6 % de sus ingresos

mensuales, es decir, q = 0, 206.

El porcentaje asignado para los gastos de administración del fondo de pen-

siones es de 0, 8 %, por lo tanto, tomaremos µ = 0, 008. En estos gastos se

incluye gastos de edificio, honorarios de auditoría y contabilidad, nómina de

personal, entre otros.

Para la redistribución de fondos, según Tabla 4.1 se considera seguro de salud

(9, 94 %), seguro de riesgo del trabajo (0, 2 %), seguro de cesantía (3 %) y

seguro social campesino (0, 7 %), dando un total de 13, 84 %, este es el monto

que se debe descontar de la pensión básica, por esta razón, se tomará α =

1− 0, 1384 = 0, 8616.

Para los pensionistas jubilados por vejez, el valor de pensión máxima general

para el año 2011 fue de 1.452 dólares que equivale al 190, 22 % del ingreso

promedio en el país (763, 30 dólares). Como se mencionó anteriormente el

parámetro β se lo elige de modo que pmax = αβ, por lo que, β = 2, 205.

69

4.2 Variantes de la pensión laboral y aplicación de

la distribución por ingresos n/m - bipotencial

La pensión laboral p de un ciudadano viene dada en función de la pensión básica

P la cual se obtiene mediante la contribución total al fondo de pensiones durante

todo el periodo de trabajo de un ciudadano. En el apartado (4.1.2) se proponen

tres opciones para el cálculo de la pensión laboral y a continuación presentamos su

variación.

Se propone el cálculo de la pensión laboral utilizando la relación de salarios in-

dividuales dado por la función de distribución probabilística (2.11) y el salario

promedio nacional dado por la ecuación (2.7). Los resultados no dependerán de los

multiplicadores a y b de la función n/m - bipotencial los cuales podrían variar en

gran medida con la inflación, solo quedará la dependencia de los exponentes n y m

que describen la forma de la función y son parámetros que varían muy poco con

el tiempo, un cambio notable en estos parámetros significaría que el país tuvo una

reestructuración económica significativa. Por lo tanto, continuaremos considerán-

dolos como constantes y como se mencionó anteriormente se podrá usar la función

de distribución probabilística durante los próximos años.

Se presenta a continuación las fórmulas análogas de la pensión laboral de las fór-

mulas (4.13), (4.14) y (4.15) calculadas sobre el salario promedio.

p = α zmedio (4.16)

p =α zmedio√

1 + 2 zmedio/β(4.17)

p =α zmedio

(1 + zmedio/β)(4.18)

donde el salario promedio está dado por

zmedio =

∫ ∞0

z f(z) dz (4.19)

70

El promedio de las pensiones individuales se encuentra en los salarios individuales,

luego

p =

∫ ∞0

p(z) f(z) dz (4.20)

Es importante analizar cuanto difiere la pensión laboral promedio p de la pensión

laboral individual p, para esto introduciremos la siguiente relación:

l =p

p(4.21)

Analicemos la relación l para las ecuaciones (4.16), (4.17) y (4.18)

Si se elige la ley de pensión laboral (4.16), entonces para cualquier función de

distribución f(z), se cumple l1 = 1.

Demostración.

La pensión promedio p está dada por (4.20), luego

p =

∫ ∞0

p(z) f(z) dz

=

∫ ∞0

α z f(z) dz

= α

∫ ∞0

z f(z) dz (4.22)

Por otro lado, la pensión laboral individual de cada ciudadano está dada por la

ecuación (4.16), luego

p = α zmedio

= α

∫ ∞0

z f(z) dz (4.23)

Por consiguiente, de (4.22) y (4.23) se sigue que l1 = 1.

Por lo tanto, para la ley de pensión laboral (4.16), la pensión laboral individual

se calcula con precisión por el salario promedio. Esto simplifica enormemente la

gestión del Fondo de Pensiones.

Para las leyes de pensiones (4.17) y (4.18) el valor de l depende del parámetro

β, pero no depende de α, se dejará expresado en términos del parámetro β, de la

71

variable z y de la función de distribución probabilística f(z). El cálculo de l se hizo

por integración numérica para la distribución (2.11) y el valor de β seleccionado en

el apartado (4.1.2).

Luego, la relación l2 para la ley de pensión (4.17) es:

l2 =p

p

=

∫ ∞0

p(z) f(z) dz

α zmedio√1 + 2 zmedio/β

=

∫ ∞0

α z√1 + 2 z/β

f(z) dz

α

∫ ∞0

z f(z) dz√1 + 2/β

∫ ∞0

z f(z) dz

=

∫ ∞0

z f(z)√1 + 2z/β

dz

√1 + 2/β

∫ ∞0

z f(z) dz∫ ∞0

z f(z) dz

(4.24)

el valor obtenido por integración numérica es l2 = 0, 95085.

Por otro lado, la relación l3 para la ley de pensión (4.18) es:

l3 =p

p

=

∫ ∞0

p(z) f(z) dz

α zmedio(1 + zmedio/β)

=

∫ ∞0

α z

(1 + z/β)f(z) dz

α

∫ ∞0

z f(z) dz(1 + 1/β

∫ ∞0

z f(z) dz

)

72

=

∫ ∞0

z f(z)

(1 + z/β)dz

(1 + 1/β

∫ ∞0

z f(z) dz

)∫ ∞

0

z f(z) dz

(4.25)

el valor obtenido por integración numérica es l3 = 0, 92979.

En el Capítulo V analizaremos estos valores los cuales nos darán la pauta para

elegir la ley de pensión más adecuada.

4.3 Algunos tipos de pensiones

Para asegurar una vida digna a la mayor parte de la población es necesario evaluar

las necesidades y situaciones de los grupos vulnerables que, por lo general, no se

encuentran en las mismas condiciones que el resto de ciudadanos y requieren una

atención especial. Es por ello que a continuación se mencionan algunos tipos de

pensiones de jubilación para dichos grupos.

4.3.1. Discapacidad

La discapacidad debería dar el derecho a una jubilación anticipada, pero para que

esta funcione bien, necesitamos introducir una escala de invalidez más detallada,

alrededor de seis grupos en lugar de los cuatro actuales (30 %− 49 %, 50 %− 74 %,

75 %− 84 %, 85 %− 100 %), el grupo 0 correspondería a la salud normal y el sexto

al grupo que ha perdido casi completamente la capacidad para trabajar.

La discapacidad general ocurre debido a una enfermedad o lesión, en la cual el

ciudadano mismo es el culpable (hacer deportes extremo sin la seguridad adecuada,

violar las reglas de seguridad de la empresa, entre otras), la parte de la pensión

laboral debe seguir siendo determinada por una de las leyes de pensión (4.16), (4.17)

o (4.18), y para el tiempo de vida calculado para la pensión se deben considera Tη

como sigue:

Tη = T0 + 60− T (4.26)

73

Donde T es la edad de jubilación real, T0 tiempo de vida estimado para ciudadanos

sanos (T0 = 11, 58).

La discapacidad profesional ocurre cuando una enfermedad o lesión es causada

por una falla en la empresa (protección laboral inadecuada, instalaciones en mal

estado y demás). El valor de la pensión se calcula tomando en cuenta el tiempo que

trabajó sin tener una discapacidad (J meses) y el plazo estándar de 40 años para

una persona sana, por lo tanto, para el caso de la pensión (4.16) se tendría que:

p = αP480

[min(J, 480)](4.27)

La elección de un mínimo es necesario en caso de que la discapacidad se obtenga en

los ancianos, cuando una persona ha trabajado más de 40 años. Si la incapacidad

se produjo antes de la edad de jubilación, la pensión (4.27) no proporcionaría una

vida digna en la jubilación, así que, el monto restante debe ser cubierto por la

empresa más no por el fondo de pensiones.

4.3.2. Viudedad

Por lo general una mujer pasa varios años de su vida en la crianza de los niños,

esto reduce significativamente su experiencia laboral y el crecimiento salarial, por

lo tanto, su cuenta personal en el fondo de pensiones es mucho menor que la su

esposo.

La esposa de un trabajador con salario promedio por lo general deja su trabajo y

solo se dedica a la limpieza del hogar y crianza de los hijos, entonces, de acuerdo

a las leyes actuales se convierte en dependiente y solo puede reclamar una pensión

social exigua por la pérdida de su esposo que era el sostén familiar.

Sin embargo, de acuerdo al Código Civil Art. 139, todos los bienes adquiridos en

matrimonio (a excepción de los regalos y herencias) son propiedad conjunta de am-

bos cónyuges. Ahora, una cuenta de pensión personal es un derecho de propiedad,

por lo que debe pertenecer por igual a los cónyuges, lo que se propone es que la

mitad de las contribuciones de pensión de cada cónyuge lleguen a su cuenta per-

sonal y la otra mitad al otro cónyuge. Luego durante el matrimonio, los cónyuges

74

ganan el mismo incremento en la pensión, incluso si uno de ellos no trabaja y se

ocupa del hogar.

Esta regla no se aplicaría en dos casos, en primer lugar, si se celebra un contrato

matrimonial en el que estipulan otras condiciones con respecto a las pensiones o

los bienes, y en segundo lugar, si el matrimonio no está formalizado. Por lo tanto,

no es necesario asignar una pensión especial a uno de los cónyuges con motivo de

la muerte del segundo cónyuge (sostén familiar).

4.3.3. Orfandad

Los niños es uno de los grupos más vulnerables y es imprescindible asegurarles una

vida digna en la sociedad. En caso de muerte de cada no de los padres, es necesario

asignar una pensión a los niños antes de que alcancen la mayoría de edad (18 años).

Se propone un método totalmente justo para determinar el tamaño de la pensión.

Supongamos que el padre fallecido tuvo n hijos menores de edad y logró obtener

un trabajo que le otorgó la pensión p, si él recibiera la pensión y gastara en él y en

los hijos, entonces todos deberían recibir p/(n+ 1), por lo tanto, cada niño tendría

que compartir:p

n+ 1(4.28)

En caso de fallecimiento de ambos padres, se otorga la mano de obra de cada uno

ppadre + pmadren+ 1

(4.29)

Cuando uno de los hijos alcanza la mayoría de edad, el pago de su pensión cesa y

el número de niños menores de edad disminuye, por lo tanto, las pensiones a los

otros hijos se incrementan correspondientemente.

75

CAPÍTULO V

RESULTADOS DEL MODELO DE PENSIONES

Un sistema de pensiones es un compromiso entre los deseos de los ciudadanos y las

capacidades de la economía del país.

Ahora, todos los ciudadanos saben que de su salario un cierto porcentaje se destina

al fondo de pensiones para toda su vida. El monto de las pensiones del modelo

propuesto depende del porcentaje aportado al fondo de pensiones y del salario

promedio en el país. Por lo tanto, el monto de las pensiones no puede designarse

en montos monetarios absolutos, deben establecerse en cuotas del salario promedio

en ese momento. Entonces, aumentarán automáticamente con el fortalecimiento de

la economía (o la disminución de la crisis).

En el presente capítulo se exhiben los valores de las pensiones para las diferen-

tes leyes de pensiones expuestas en el Capítulo IV considerando los parámetros

establecidos en el mismo.

5.1 Valores de las pensiones

Para tener un concepto claro sobre el cálculo de los valores de las pensiones, en

primer lugar, se realizará una recopilación de todos los parámetros y sus valores.

En promedio, para pensionistas que alcanzaron la edad de jubilación, su tiem-

po laboral estimado es de 35 años (J = 420 meses) y su esperanza de vida al

momento de la jubilación es de T = 11, 58 años.

El aporte total que un ciudadano hace al fondo de pensiones es del 20, 6 %

de sus ingresos mensuales (q = 0, 206).

El porcentaje asignado para los gastos de administración del fondo de pen-

siones es de 0, 8 %, es decir, µ = 0, 008.

76

Para la redistribución de fondos se considera un total de 13, 84 %, dando así

α = 0, 8616.

Para la ley de pensiones (4.15) se introdujo una pensión máxima de 1.452

dólares, mediante el parámetro β = 2, 205.

La función de distribución probabilística utilizada para el cálculo del salario

promedio (4.19) en el país es la función dada en (2.11).

El salario promedio del país calculado mediante (4.19) es de 635, 60 dólares.

Se presenta a continuación la tabla de valores de las pensiones de las tres leyes de

pensiones propuestas en el Capítulo IV, cuyo método de cálculo fue implementado

en el software estadístico R v3.5.2.

Salario promedio

mensual (dólares)

Leyes de pensiones (dólares)

(3.16) (3.17) (3.18)

50, 00 26, 61 26, 04 26, 03

55, 00 29, 27 28, 58 28, 58

60, 00 31, 93 31, 12 31, 11

65, 00 34, 59 33, 64 33, 63

70, 00 37, 25 36, 15 36, 14

75, 00 39, 91 38, 65 38, 64

80, 00 42, 57 41, 15 41, 12

85, 00 45, 23 43, 63 43, 60

90, 00 47, 89 46, 10 46, 07

100, 00 53, 22 51, 02 50, 97

150, 00 79, 82 75, 02 74, 87

200, 00 106, 43 98, 13 97, 81

250, 00 133, 04 120, 43 119, 84

300, 00 159, 65 141, 98 141, 01

350, 00 186, 26 162, 83 161, 37

400, 00 212, 86 183, 03 180, 96

450, 00 239, 47 202, 64 199, 84

77

Salario promedio

mensual (dólares)

Leyes de pensiones (dólares)

(3.16) (3.17) (3.18)

500, 00 266, 08 221, 68 218, 04

550, 00 292, 69 240, 20 235, 59

600, 00 319, 30 258, 23 252, 52

650, 00 345, 91 275, 81 268, 88

700, 00 372, 51 292, 95 284, 69

750, 00 399, 12 309, 68 299, 97

800, 00 425, 73 326, 03 314, 76

850, 00 452, 34 342, 01 329, 07

900, 00 478, 95 357, 66 342, 93

950, 00 505, 55 372, 97 356, 36

1000, 00 532, 16 387, 97 369, 38

1200, 00 638, 59 445, 18 417, 70

1400, 00 745, 03 498, 46 460, 75

1600, 00 851, 46 548, 45 499, 35

1800, 00 957, 89 595, 60 534, 16

2000, 00 1064, 32 640, 32 565, 71

2200, 00 1170, 76 682, 90 594, 43

2400, 00 1277, 19 723, 60 620, 69

2600, 00 1383, 62 762, 62 644, 80

2800, 00 1490, 05 800, 14 667, 00

3000, 00 1596, 49 836, 30 687, 52

3200, 00 1702, 92 871, 23 706, 53

3400, 00 1809, 35 905, 04 724, 21

3600, 00 1915, 78 937, 82 740, 68

3800, 00 2022, 22 969, 65 756, 06

4000, 00 2128, 65 1000, 61 770, 46

4200, 00 2235, 08 1030, 76 783, 98

4400, 00 2341, 51 1060, 15 796, 68

78

Salario promedio

mensual (dólares)

Leyes de pensiones (dólares)

(3.16) (3.17) (3.18)

4600, 00 2447, 95 1088, 84 808, 64

4800, 00 2554, 38 1116, 87 819, 93

5000, 00 2660, 81 1144, 29 830, 59

5500, 00 2926, 89 1210, 36 854, 85

6000, 00 3192, 97 1273, 28 876, 18

6500, 00 3459, 06 1333, 45 895, 07

7000, 00 3725, 14 1391, 19 911, 92

7500, 00 3991, 22 1446, 76 927, 05

8000, 00 4257, 30 1500, 38 940, 71

8500, 00 4523, 38 1552, 24 953, 10

9000, 00 4789, 46 1602, 49 964, 39

9500, 00 5055, 54 1651, 28 974, 72

10000, 00 5321, 62 1698, 71 984, 20

11000, 00 5853, 79 1789, 93 1001, 04

12000, 00 6385, 95 1876, 85 1015, 51

13000, 00 6918, 11 1960, 01 1028, 08

14000, 00 7450, 27 2039, 86 1039, 11

15000, 00 7982, 43 2116, 75 1048, 87

16000, 00 8514, 60 2190, 99 1057, 55

17000, 00 9046, 76 2262, 83 1065, 33

18000, 00 9578, 92 2332, 49 1072, 35

19000, 00 10111, 08 2400, 15 1078, 70

20000, 00 10643, 25 2465, 98 1084, 49

Tabla 5.1: Valores de pensiones

Para un mejor análisis se presenta en cuatro perspectivas el gráfico correspondiente

a las tres leyes de pensiones respecto al salario promedio mensual de un ciudadano.

79

Figura 5.1: Leyes de pensiones vs Salario promedio mensual

Se puede ver que para ganancias muy pequeñas las tres leyes de pensiones no tienen

una diferencia significativa en cuanto a valores, que es para la población con bajos

ingresos y desde ingresos de $ 1.600 empieza a diferir significativamente. La ley

de pensión lineal (4.16) aumenta en gran medida dependiendo de los ingresos de

cada ciudadano, por el contrario las leyes de pensiones (4.17) y (4.18) crecen más

lentamente y solo para los ciudadanos con altos ingresos (mayor que 2.800 dólares)

son significativamente diferentes, incluso se puede observar que hasta con salarios

muy elevados (mayor de 5.000 dólares) la ley de pensión (4.18) no sobrepasa la

pensión máxima de 1.452 dólares fijados en la ley.

¿Cuál de las opciones (4.16), (4.17) o (4.18) es preferible? Para la población con

80

bajos salarios las tres opciones prácticamente brindan las mismas pensiones. Los

ciudadanos con altos ingresos preferirán la dependencia lineal (4.16) pues a mayores

ingresos mayor pensión de jubilación, esto traería un beneficio para el gobierno

ya que los oligarcas legalizarían sus ingresos y el gobierno tendría mayor control

sobre ellos, puesto que, muchos de los empresarios con sueldos exagerados están

acostumbrados a disfrazar las utilidades que deberían ser repartidas entre todos

los trabajadores. Además la forma lineal (4.16) es mucho más fácil de explicar a la

población con educación media y baja, y este es un factor muy importante.

Por otro lado, las leyes de pensiones (4.17) y (4.18) proveen de más incentivos a los

empresarios con altos ingresos a ocultar los mismos y asegurase ellos mismos una

vejez. No obstante, hay que tomar en consideración la economía del país y estas

dos leyes de pensiones tienen más probabilidades de redistribuir los fondos de los

ciudadanos de mayores ingresos a los ciudadanos de bajos ingresos, lo que ayuda a

reducir el porcentaje de acumulación de pensiones.

Como se muestra en la Figura 6.1 la curva (4.17) se encuentra por debajo de la curva

(4.16) y la curva (4.18) aun más, relacionando este análisis con los resultados del

factor l dado por (4.21), cuyos valores fueron l1 = 1, l2 = 0, 95085 y l3 = 0, 92979,

luego, el valor de las pensiones se calcula con precisión por el salario promedio

en (4.16), los valores de l2 y l3 no tienen una diferencia significativa en relación

a la unidad, por lo tanto, se puede elegir la ley de pensión (4.18) la cual cumple

con la redistribución de fondos de los más ricos a los más pobres y no sobrepasa la

pensión máxima de 1.452 dólares fijados en la ley aún con ingresos muy altos, como

se mencionó anteriormente, sino se fija un techo máximo de pensión es posible que

el fondo de pensiones no soporte pagos extra altos a funcionarios privados.

Según [17] en 2012, Deloitte (empresa que otorga servicios de auditoría, consultoría,

asesoría financiera, administración de riesgos y servicios fiscales) realizó un estudio

del mercado laboral ecuatoriano en el que se analizó la dispersión entre el salario

básico unificado (SBU) y los salarios ejecutivos. El promedio del sueldo de un

gerente general en Ecuador es de aproximadamente $ 20.000 mensuales, que equivale

a 63 veces el SBU. Mientras que para un vicepresidente-director cuyo promedio es

$ 14.000 mensuales, representa 44 veces el SBU. El sueldo básico unificado en el país

81

en ese periodo fue de $ 340. Sin embargo en los grandes empresarios y su entorno,

los ingresos pueden superar decenas de cientos de veces el salario promedio. Este

grupo de personas en la función (2.11) forman una cola distante llamada “oligarch"

(de la palabra oligarquía) de este modo se propone dos extensiones de la función

de distribución probabilística (2.1) para el tratamiento de este grupo que puede ser

desarrollado en futuros trabajos de investigación.

Para ingresos extra altos se tiene:

f(z) =a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+m

[1 +

(c zb

)k](5.1)

f(z) =a

b

(z/b)n

(1 + z/b)n+m

[1 +

(c zb

)]k(5.2)

Donde los valores de los parámetros a, b, n y m pueden ser los mismos de la función

(2.11) con k > 0 y c� 0.

Para la función de distribución probabilística (5.1) el número total de personas y

el salario promedio está dado por:

N =

∫ ∞0

f(z) dz = a (Anm + ck An+k,m−k) (5.3)

zmedio =1

N

∫ ∞0

z f(z) dz = ab (Bnm + ck Bn+k,m−k) (5.4)

De manera similar se puede obtener estas relaciones para la función de distribución

(5.2).

El número de personas con ingresos superiores a z está determinado por la integral

de la función de distribución (5.1) o (5.2) como sigue:

N(z) =

∫ ∞z

f(ξ) d(ξ) (5.5)

El modelo de pensiones basado en (5.1) o (5.2) puede ser desarrollado análogamente

como los anteriores capítulos.

82

CAPÍTULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 Conclusiones

Mediante el análisis estadístico realizado al conjunto de datos de los ingresos

mensuales de los ecuatorianos proporcionados por el INEC y el método de

pruebas y errores, se determinó que la mejor aproximación para los datos

se obtuvieron con la función de distribución probabilística 6/8− bipotencial

definida como:

f(z) =12012

2, 613333

(z

2, 613333

)6

(1 +

z

2, 613333

)6+8

Además, el Test de Kolmogórov - Smirnov de ajuste a una ley de probabilidad

y el criterio de Ji Cuadrado corroboran que los datos empíricos de los ingresos

de los ecuatorianos proporcionados por el INEC se ajustan a la distribución

probabilística (2.11).

El nuevo modelo de pensiones propuesto contiene un ajuste automático en

caso de una fuerte inflación en la economía del país, aun que es poco probable

que los parámetros a (escala de número de personas), b (escala monetaria), n

y m (forma de curva) cambien notablemente con el tiempo, pues significaría

que el país tuvo una reestructuración económica a gran escala, por ende, se

puede decir que el sistema es estable a largo plazo.

El nuevo sistema propone un método totalmente justo para proveer a las

personas que pertenecen a los grupos más vulnerables (discapacitados, viu-

das/os y huérfanos) un nivel de vida digno, tomando en cuenta siempre las

posibilidades de la economía del país.

83

En la tabla de valores de las pensiones se puede ver que para ganancias muy

pequeñas las tres leyes de pensiones no tienen una diferencia significativa en

cuanto a valores, sin embargo, para ciudadanos con ingresos altos las leyes

de pensiones (4.16), (4.17) y (4.18) empiezan a diferir significativamente pero

las dos últimas leyes brindan más probabilidades de redistribuir los fondos de

los ciudadanos de mayores ingresos a los de menores ingresos. Por otro lado,

se mencionó también que es indispensable fijar una pensión máxima, de otro

modo, el fondo de pensiones no soportará pagos extra altos a funcionarios

privados con ingresos sumamente altos, así que, la ley de pensión que mejor

cumple los lineamientos mencionados es la ley (4.18).

6.2 Recomendaciones

Habido casos en que los afiliados al fondo de pensiones realizaban aporta-

ciones sumamente altas los últimos meses antes de su jubilación, ajustando

sus aportes mensuales a unos más elevados, con el afán de que su pensión de

jubilación sea mayor. En el presente proyecto de investigación se trabajó con

la media de los ingresos mensuales de los ecuatorianos y para un resultado

más cercano a la realidad se recomienda trabajar con la mediana, pues esta

no está sesgada por valores atípicos.

Si bien es cierto que se desarrolló un sistema flexible de pensiones con mé-

todos adecuados de cálculo que permiten la determinación operativa de los

parámetros básicos de las fórmulas de las pensiones, hay que tomar en cuenta

que para hacer posible la implementación de este sistema es necesario coor-

dinar con especialistas tales como abogados y economistas que trabajen en

la parte legal.

El presente trabajo puede servir, por analogía, de base para desarrollar un

sistema de seguro de salud.

En la actualidad se debate el tema sobre el aumento de la edad de jubilación

como medida para mejorar la sostenibilidad del Fondo de Pensiones del IESS.

Frente a esta realidad exponemos el análisis demográfico que debe ser tomado

84

en cuenta, basado en proyecciones de la población a nivel nacional por sexo

y grupos de edad proporcionados por [11].

Figura 6.1: Pirámide poblacional nacional 2019

Para el año 2019 se evidencia una fuerte participación de la población joven

pues el 54, 99 % de la población tiene menos de 25 − 29 años de edad, los

menores de 15− 19 años representan el 38, 36 % de la población y los adultos

mayores a 60− 64 años de edad el 10, 65 % de la población.

La edad de jubilación actual es de 60 años (con 360 aportaciones o más)

aumentar la edad de jubilación a 65 años implicaría que la tasa de jóvenes

desempleados aumente pues habría menos plazas de trabajo disponibles. En

países europeos esta medida fue factible no precisamente porque la esperanza

85

de vida aumentó sino porque existe una mayor población envejecida respecto

a la población joven y necesitan que esta población siga generando ingresos

al país. En Ecuador una mejor opción sería que los jóvenes empiecen su

experiencia laboral temprano esto involucraría que aumente más rápido el

número de afiliados que aporten al Fondo de Pensiones que el número de

jubilados, así el Fondo de Pensiones podría financiar las pensiones de los

jubilados.

86

APÉNDICE A

CÁLCULOS REALIZADOS EN EL CAPÍTULO I

En el presente apéndice se exponen los cálculos de los resultados que serán utilizados

en el Capítulo I, partiendo de las definiciones expuestas en la sección 1.4.

En la Tabla A.1 se presenta un resumen de los cálculos que serán utilizados más

adelante.

Grupo Total de

personas

(f)

Marca

de clase

(X)

fXfXfX f(X − X)2f(X − X)2f(X − X)2

1 2.447.618 132 323.085.576 975478798858, 62

2 4.925.043 396 1.950.317.028 664440938049, 75

3 3.125.973 660 2.063.142.180 33358142820, 92

4 1.813.223 924 1.675.418.052 46824450428, 26

5 947.854 1.188 1.126.050.552 170962979449, 67

6 605.287 1.452 878.876.724 287090692473, 91

7 379.378 1.716 651.012.648 344336244441, 32

8 247.704 1.980 490.453.920 366689671640, 03

9 162.629 2.244 364.939.476 356558692240, 39

10 138.041 2.508 346.206.828 420192863051, 18

11 157.530 2.904 457.467.120 721895141827, 12

12 132.698 3.564 472.935.672 1040871146949, 91

13 88.636 4.620 409.498.320 1318382519294, 33

14 51.856 7.920 410.699.520 2655977598958, 17

Total 15’223.470 11.620.103.616 9403059880483,59

Tabla A.1: Cálculos preliminares.

En primer lugar calcularemos las medidas de tendencia central las cuales permitirán

identificar los valores entorno a los cuales se agrupan la mayoría de los datos.

87

Para encontrar la media aritmética de datos agrupados haremos uso de la ecuación

(1.2) y la sumatoria de la columna tres de la tabla A.1 como sigue:

X =

14∑j=1

fjXj

N=

11.620.103.616

15′223.470= 763, 30 (A.1)

Por otro lado, la mediana es aquel valor que corresponde a la mitad de la frecuencia

total, es decir, que deja la mitad de las frecuencias por arriba y la mitad por debajo.

Puesto queN/2 = 15′223.470/2 = 7′611.735, está claro que la mediana se encuentra

en el Grupo 3, que será, por tanto, la clase mediana. Entonces

L1 = límite inferior de la clase mediana = 528

N = Número total de datos = 15′223.470∑f = suma de todas las clases inferiores a la clase mediana = 7′372.661

fmediana = frecuencia absoluta de la clase mediana = 3′125.973

c = tamaño del intervalo de la clase mediana = 264

aplicando la ecuación (1.6) se tiene

Me = 528 +

15′223.470

2− 7′372.661

3′125.973

(264) = 548, 19 (A.2)

Seguidamente, presentamos el cálculo de la moda, cuyo valor se presenta con la

mayor frecuencia absoluta. Se tiene que la clase modal es el Grupo 2, ya que tiene

la mayor frecuencia (f2 = 4′925.043). Siendo así

L1 = límite inferior de la clase modal = 264

d1 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase

anterior = 2′477.425

d2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase

siguiente = 1′799.070

c = tamaño del intervalo de la clase modal = 264

aplicando la ecuación (1.7) se tiene que

Mo = 264 +

(2′477.425

2′477.425 + 1′799.070

)(264) = 416, 94 (A.3)

88

Para comprender mejor el comportamiento de los datos y su variabilidad respecto

a la media aritmética procedemos a calcular la desviación típica y la varianza

mediante la ecuación (1.9), tomando en consideración los cálculos previos de la

Tabla A.1 como sigue:

σ =

√∑f(X − X)2

N=

√9”403.059′880.483, 59

15′223.470= 785, 92 (A.4)

σ2 =

∑f(X − X)2

N=

9”403.059′880.483, 59

15.223.470= 617.668, 63 (A.5)

Luego, para clasificar el tipo de distribución con la que se está trabajando es ne-

cesario determinar las medidas de forma como la asimetría y curtosis mediante las

ecuaciones (1.10) y (1.11). Para facilidad de cálculos se reemplazará directamente

las cantidades correspondientes en la ecuación respectiva.

As =

14∑i=1

f(Xi − X)3

Nσ3=

30”002.956′220.600.200, 00

(15′223.470)(485′437.544, 02)= 4.06 (A.6)

Ap =

14∑i=1

f(Xi − X)4

Nσ4− 3 =

170.680.298.268.115.000.000, 00

(15′223.470)(381.514′588.371, 90)= 26, 39 (A.7)

Para el cálculo de los deciles se utilizará la fórmula de los percentiles dada por

(1.8), además se presenta una tabla resumen utilizada para dichos cálculos.

89

k Intervalo hnk

100Lk−1 Nk−1 nk Amplitud (A)

10 Menos de 264 1522347 0 0 2447618 264

20 De 264 a menos de 528 3044694 264 2447618 4925043 264

30 De 264 a menos de 528 4567041 264 2447618 4925043 264

40 De 264 a menos de 528 6089388 264 2447618 4925043 264

50 De 528 a menos de 792 7611735 528 7372661 3125973 264

60 De 528 a menos de 792 9134082 528 7372661 3125973 264

70 De 792 a menos de 1056 10656429 792 10498634 1813223 264

80 De 792 a menos de 1056 12178776 792 10498634 1813223 264

90 De 1320 a menos de 1584 13701123 1320 13259711 605287 264

100 De 5280 en adelante 15223470 5280 15171614 51856 5280

Tabla A.2: Valores correspondientes para cálculo de deciles

P10 = 0 +1522347− 0

2447618(264) = 164, 20

P20 = 264 +3044694− 24476188

4925043(264) = 296, 01

P30 = 264 +4567041− 2447618

4925043(264) = 377, 61

P40 = 264 +6089388− 2447618

4925043(264) = 459, 21

P50 = 528 +7611735− 7372661

3125973(264) = 548, 19

P60 = 528 +9134082− 7372661

3125973(264) = 676, 76

P70 = 792 +10656429− 10498634

1813223(264) = 814, 97

P80 = 792 +12178776− 10498634

1813223(264) = 1.036, 62

P90 = 1320 +13701123− 13259711

605287(264) = 1.512, 52

P100 = 5280 +15223470− 15171614

51856(5280) = 10.560, 00

90

APÉNDICE B

TABLAS ESTADÍSTICAS

Tabla B.1: Test de Kolmogórov-Smirnov

Nivel de probabilidad α

n 0, 20 0, 10 0, 05 0, 02 0, 01 0, 005 0, 002 0, 001

1 0, 90000 0, 95000 0, 97500 0, 99000 0, 99500 0, 99750 0, 99900 0, 99950

2 0, 68337 0, 77639 0, 84189 0, 90000 0, 92929 0, 95000 0, 96838 0, 97764

3 0, 56481 0, 63604 0, 70760 0, 78456 0, 82900 0, 86428 0, 90000 0, 92065

4 0, 49265 0, 56522 0, 62394 0, 68887 0, 73424 0, 77639 0, 82217 0, 85047

5 0, 44698 0, 50945 0, 56328 0, 62718 0, 66853 0, 70543 0, 75000 0, 78137

6 0, 41037 0, 46799 0, 51926 0, 57741 0, 61661 0, 65287 0, 69571 0, 72479

7 0, 38148 0, 43607 0, 48342 0, 53844 0, 57581 0, 60975 0, 65071 0, 67930

8 0, 35831 0, 40962 0, 45427 0, 50654 0, 54179 0, 57429 0, 61368 0, 64098

9 0, 33910 0, 38746 0, 43001 0, 47960 0, 51332 0, 54443 0, 58210 0, 60846

10 0, 32260 0, 36866 0, 40925 0, 45562 0, 48893 0, 51872 0, 55500 0, 58042

11 0, 30829 0, 35242 0, 39122 0, 43670 0, 46770 0, 49539 0, 53135 0− 55588

12 0, 29577 0, 33815 0, 37543 0, 41918 0, 44905 0, 47672 0, 51047 0, 53422

13 0, 28470 0, 32549 0, 36143 0, 40362 0, 43247 0, 45921 0, 49189 0, 51490

14 0, 27481 0, 31417 0, 34890 0, 38970 0, 41762 0, 44352 0, 47520 0, 49753

15 0, 26589 0, 30397 0, 33750 0, 37713 0, 40420 0, 42934 0, 45611 0, 48182

16 0, 25778 0, 29472 0, 32733 0, 36571 0, 39201 0, 41644 0, 44637 0, 46750

17 0, 25039 0, 28627 0, 31796 0, 35528 0, 38086 0, 40464 0, 43380 0, 45540

18 0, 24360 0, 27851 0, 30936 0, 34569 0, 37062 0, 39380 0, 42224 0, 44234

19 0, 23735 0, 27136 0, 30143 0, 33685 0, 36117 0, 38379 0, 41156 0, 43119

20 0, 23156 0, 26473 0, 29408 0, 32866 0, 35241 0, 37451 0, 40165 0, 42085

21 0, 22517 0, 25858 0, 28724 0, 32104 0, 34426 0, 36588 0, 39243 0, 41122

22 0, 22115 0, 25283 0, 28087 0, 31394 0, 33666 0, 35782 0, 38382 0, 40223

23 0, 21646 0, 24746 0, 27490 0, 30728 0, 32954 0, 35027 0, 37575 0, 39380

91

Nivel de probabilidad α

n 0, 20 0, 10 0, 05 0, 02 0, 01 0, 005 0, 002 0, 001

24 0, 21205 0, 24242 0, 26931 0, 30104 0, 32286 0, 34318 0, 36787 0, 38588

25 0, 20790 0, 23768 0, 26404 0, 29518 0, 31657 0, 33651 0, 36104 0, 37743

26 0, 20399 0, 23320 0, 25908 0, 28962 0, 30963 0, 33022 0, 35431 0, 37139

27 0, 20030 0, 22898 0, 25438 0, 28438 0, 30502 0, 32425 0, 34794 0, 36473

28 0, 19680 0, 22497 0, 24993 0, 27942 0, 29971 0, 31862 0, 34190 0, 35842

29 0, 19348 0, 22117 0, 24571 0, 27471 0, 29466 0, 31327 0, 33617 0, 35242

30 0, 19032 0, 21756 0, 24170 0, 27023 0, 28986 0, 30818 0, 33072 0, 34672

31 0, 18732 0, 21412 0, 23788 0, 26596 0, 28529 0, 30333 0, 32553 0, 34129

32 0, 18445 0, 21085 0, 23424 0, 26189 0, 28094 0, 29870 0, 32058 0, 33611

33 0, 18171 0, 20771 0, 23076 0, 25801 0, 27577 0, 29428 0, 31584 0, 33115

34 0, 17909 0, 21472 0, 22743 0, 25429 0, 27271 0, 29005 0, 31131 0, 32641

35 0, 17659 0, 20185 0, 22425 0, 25073 0, 26897 0, 28600 0, 30597 0, 32187

36 0, 17418 0, 19910 0, 22119 0, 24732 0, 26532 0, 28211 0, 30281 0, 31751

37 0, 17188 0, 19646 0, 21826 0, 24404 0, 26180 0, 27838 0, 29882 0, 31333

38 0, 16966 0, 19392 0, 21544 0, 24089 0, 25843 0, 27483 0, 29498 0, 30931

39 0, 16753 0, 19148 0, 21273 0, 23785 0, 25518 0, 27135 0, 29125 0, 30544

40 0, 16547 0, 18913 0, 21012 0, 23494 0, 25205 0, 26803 0, 28772 0, 30171

41 0, 16349 0, 18687 0, 20760 0, 23213 0, 24904 0, 26482 0, 28429 0, 29811

42 0, 16158 0, 18468 0, 20517 0, 22941 0, 24613 0, 26173 0, 28097 0, 29465

43 0, 15974 0, 18257 0, 20283 0, 22679 0, 24332 0, 25875 0, 27778 0, 29130

44 0, 15795 0, 18051 0, 20056 0, 22426 0, 24060 0, 25587 0, 27468 0, 28806

45 0, 15623 0, 17856 0, 19837 0, 22181 0, 23798 0, 25308 0, 27169 0, 28493

46 0, 15457 0, 17665 0, 19625 0, 21944 0, 23544 0, 25038 0, 26880 0, 28190

47 0, 15295 0, 17481 0, 19420 0, 21715 0, 23298 0, 24776 0, 26600 0, 27896

48 0, 15139 0, 17301 0, 19221 0, 21493 0, 23059 0, 24523 0, 26328 0, 27611

49 0, 14987 0, 17128 0, 19028 0, 21281 0, 22832 0, 24281 0, 26069 0, 27339

50 0, 14840 0, 16959 0, 18841 0, 21068 0, 22604 0, 24039 0, 25809 0, 27067

n > 501, 07√

n

1, 22√n

1, 36√n

1, 52√n

1, 63√n

1, 73√n

1, 85√n

1, 95√n

92

Tabla B.2: Distribución Ji - Cuadrado χ2

Nivel de probabilidad α

g.l. 0, 995 0, 990 0, 975 0, 950 0, 900 0, 75 0, 050 0, 025 0, 010 0, 005

1 0, 000 0, 000 0, 001 0, 004 0, 016 0, 102 3, 841 5, 024 6, 635 7, 879

2 0, 01 0, 02 0, 05 0, 10 0, 21 0, 58 5, 99 7, 38 9, 21 10, 60

3 0, 07 0, 11 0, 22 0, 35 0, 58 1, 21 7, 81 9, 35 11, 34 12, 84

4 0, 21 0, 30 0, 48 0, 71 1, 06 1, 92 9, 49 11, 14 13, 28 14, 86

5 0, 41 0, 55 0, 8 1, 15 1, 61 2, 67 11, 07 12, 83 15, 09 16, 75

6 0, 68 0, 87 1, 24 1, 64 2, 20 3, 45 12, 59 14, 45 16, 81 18, 55

7 0, 99 1, 24 1, 69 2, 17 2, 83 4, 25 14, 07 16, 01 18, 48 20, 28

8 1, 34 1, 65 2, 18 2, 73 3, 49 5, 07 15, 51 17, 53 20, 09 21, 95

9 1, 73 2, 09 2, 70 3, 33 4, 17 5, 90 16, 92 19, 02 21, 67 23, 59

10 2, 16 2, 56 3, 25 3, 94 4, 87 6, 74 18, 31 20, 48 23, 21 25, 19

11 2, 60 3, 05 3, 82 4, 57 5, 58 7, 58 19, 68 21, 92 24, 72 26, 76

12 3, 07 3, 57 4, 40 5, 23 6, 30 8, 44 21, 03 23, 34 26, 22 28, 30

13 3, 57 4, 11 5, 01 5, 89 7, 04 9, 30 22, 36 24, 74 27, 69 29, 82

14 4, 07 4, 66 5, 63 6, 57 7, 79 10, 17 23, 68 26, 12 29, 14 31, 32

15 4, 60 5, 23 6, 26 7, 26 8, 55 11, 04 25, 00 27, 49 30, 58 32, 80

16 5, 14 5, 81 6, 91 7, 96 9, 31 11, 91 26, 30 28, 85 32, 00 34, 27

17 5, 70 6, 41 7, 56 8, 67 10, 09 12, 79 27, 59 30, 19 33, 41 35, 72

18 6, 26 7, 01 8, 23 9, 39 10, 86 13, 68 28, 87 31, 53 34, 81 37, 16

19 6, 84 7, 63 8, 91 10, 12 11, 65 14, 56 30, 14 32, 85 36, 19 38, 58

20 7, 43 8, 26 9, 59 10, 85 12, 44 15, 45 31, 41 34, 17 37, 57 40, 00

21 8, 03 8, 90 10, 28 11, 59 13, 24 16, 34 32, 67 35, 48 38, 93 41, 40

22 8, 64 9, 54 10, 98 12, 34 14, 04 17, 24 33, 92 36, 78 40, 29 42, 80

23 9, 26 10, 20 11, 69 13, 09 14, 85 18, 14 35, 17 38, 08 41, 64 44, 18

24 9, 89 10, 86 12, 40 13, 85 15, 66 19, 04 36, 42 39, 36 42, 98 45, 56

25 10, 52 11, 52 13, 12 14, 61 16, 47 19, 94 37, 65 40, 65 44, 31 46, 93

26 11, 16 12, 20 13, 84 15, 38 17, 29 20, 84 38, 89 41, 92 45, 64 48, 29

27 11, 81 12, 88 14, 57 16, 15 18, 11 21, 75 40, 11 43, 19 46, 96 49, 64

93

Nivel de probabilidad α

g.l. 0, 995 0, 990 0, 975 0, 950 0, 900 0, 75 0, 050 0, 025 0, 010 0, 005

28 12, 46 13, 56 15, 31 16, 93 18, 94 22, 66 41, 34 44, 46 48, 28 50, 99

29 13, 12 14, 26 16, 05 17, 71 19, 77 23, 57 42, 56 45, 72 49, 59 52, 34

30 13, 79 14, 95 16, 79 18, 49 20, 60 24, 48 43, 77 46, 98 50, 89 53, 67

40 20, 71 22, 16 24, 43 26, 51 29, 05 33, 66 55, 76 59, 34 63, 69 66, 77

50 27, 99 29, 71 32, 36 34, 76 37, 69 42, 94 67, 50 71, 42 76, 15 79, 49

60 35, 53 37, 48 40, 48 43, 19 46, 46 52, 29 79, 08 83, 30 88, 38 91, 95

70 43, 28 45, 44 48, 76 51, 74 55, 33 61, 70 90, 53 95, 02 100, 43 104, 21

80 51, 17 53, 54 57, 15 60, 39 64, 28 71, 14 101, 88 106, 63 112, 33 116, 32

90 59, 20 61, 75 65, 65 69, 13 73, 29 80, 62 113, 15 118, 14 124, 12 128, 30

100 67, 33 70, 06 74, 22 77, 93 82, 36 90, 13 124, 34 129, 56 135, 81 140, 17

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