1. 2. 3.IntroduccinLa asignaturaInvestigacinOperativa es una asignatura cuatrimestral dedicada fundamentalmente a la introduccin de losmodelosdeterministas ms elementales dentro de lainvestigacin de operaciones. Esta asignatura se ha impartido en los ltimos aos en el tercer curso de la Licenciatura deAdministracinyDireccindeEmpresas(L.A.D.E.) en la Facultad deCienciasEconmicas y Empresariales de la U.P.V. Esta publicacin recoge losproblemasresueltos propuestos en los exmenes de las distintas convocatorias entre los aos 2005 y 2010. El temario oficial de la asignatura desglosado por temas es el siguiente:Programacin linealentera 1.1 Formulacin de problemas deProgramacinLineal Entera. 1.2Mtodode ramificacin y acotacin (Branch and Bound). 1.3 Otrosmtodosde resolucin. Programacin multiobjetivo y por metas 2.1 Introduccin a la Programacin Multiobjetivo. 2.2 Programacin por metas. 2.3 Programacin por prioridades. Modelos enredes3.1 Conceptos bsicos. 3.2 Problema del rbol de expansin minimal. 3.3 Problema del camino ms corto. 3.4 Problema del camino ms largo. 3.5 Problema del flujo mximo. 3.6 Problema de asignacin. 3.7PlanificacindeProyectos: Mtodos C.P.M. y P.E.R.T.

Referencias Bibliogrficas: EPPEN, G.D. ; GOULD, F. J. ; SCHMIDT, C. P.; MOORE, J. H.; WEATHERFORD, L.R. (2000): Investigacin deOperacionesenla CienciaAdministrativa. Ed. PearsonEducacin.Mxico. HILLIER, F.; LIEBERMAN, G.J. (2008): "Introduccin ala Investigacinde Operaciones", 8edicin. Ed. McGraw-Hill. Mxico. MATHUR, K. ; SOLOW, D. (1998): "Investigacin de Operaciones. Elartede latoma de decisiones". Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. Mxico.RIOS, S. (1988): "Investigacin Operativa. Optimizacin". Ed. Centro de EstudiosRamn Areces.Madrid. TAHA, H.A. (2004): "Investigacin de Operaciones, una Introduccin", 7 edicin. Ed. Prentice Hall. Mxico. WINSTON, W.L. (2004): "Investigacin de Operaciones. Aplicaciones yAlgoritmos", 4 edicin. Ed. Thompson. Madrid. YIH-LONG CHANG. (2003): "WinQSB Versin 2.0". Ed. John Wiley & Sons, Inc.

1. INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Extraordinario Febrero 2005 (10 puntos) Unainmobiliariadesea promocionar unanuevaurbanizacin mediante unacampaa publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anuncios: anuncios entelevisinlocal al medioda (tvm), anuncios entelevisinlocal a lanoche(tvn), anuncios enperidicolocal (per), anuncios en suplemento dominical local (sup) y anuncios enradiolocal por la maana (rad).La empresaha reunidodatossobre la cantidad declientespotenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el coste de cada anuncio en euros. Adems, se ha llevado a cabo una valoracin de lacalidadque tiene cada anuncio de acuerdo al medio en el que se expone, en unaescalade 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla: Anuncios Clientes Coste Calidad Potenciales (euros)exposicintvm tvn per sup rad 1000 2000 1500 2500 300 1500 3000 400 1000 100 65 90 40 60 20 El nmero mximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm, tvn, per, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia depublicidad, decide utilizar al menos 10 anuncios enla televisin, alcanzar por lo menos 50000 clientes potenciales, no gastar ms de 18000 euros en anuncios en televisin y si se hacen anuncios en el peridico entonces no hacer anuncios en la televisin por la noche. Elpresupuestomximo para la campaa publicitaria es de 30000 euros. Modelizar, sin resolver, mediante programacin lineal entera el problema de cmo debe planificar la campaa si se desea maximizar la calidad de la exposicin de todos los anuncios de la campaa publicitaria. 3

? ? ? ? ? 2. - + + + + - ? + - ? + - ? + - ? - s.a Solucin: Definimos lasvariablesde decisin siguientes: x1 = nmero de anuncios a emitir en tvm x2 = nmero de anuncios a emitir en tvn x3 = nmero de anuncios a emitir en per x4 = nmero de anuncios a emitir en sup x5 = nmero de anuncios a emitir en rad ?1 si se hacen anuncios per y = ? ?0 en caso contrario La modelizacin queda como sigue: Max ( 65x1 + 90 x2 + 40 x3 + 60 x4 + 20 x5 ) ? x1 = 15 ? x4 = 4 ? x5 = 30 ? x1 + x2 = 10 ?1000 x1 + 2000 x2 + 1500 x3 + 2500 x4 + 300 x5 = 50000 s.a ?1500 x1 + 3000 x2 = 18000 ?1500 x1 + 3000 x2 + 400 x3 + 1000 x4 + 100 x5 = 30000 ? x3 = 25 y ? x2 = 10 (1- y ) ? xi = 0 y enteras i = 1,...,5 ? y = 0 , 1 (10 Puntos) Resolver el problema siguiente. Min L ( y1 , y2 , y4 , y3 ) ? x1 + 2 x2 - y1 + y1 = 8 (1) ? x1 - x2 - y2 + y2 = -1 (2) ? x1 + x2 - y3 + y3 = 4 (3) ? x2 - y4 + y4 = 2 (4) ? yi = 0, yi+ = 0 i = 1,? , 5 ? ? x1 = 0, x2 = 0 4

? ?? 1 1 ? ? ? ? + ? ? - s.a ?? 1 1 ? 1 1 2 ? 2 ? ? ? - + ? ? ? ? - + ? ? ? - s.a ?? 1 1 ? 2 2 4 4 ? 4 Solucin: - P1 = Min ( y1 ) ? x1 + 2 x2 - y+ + y- = 8 (1) ? s.a ? x1 = 0, x2 = 0 ? - + ? y1 = 0, y1 = 0Solucionesptimas:Valorptimo: 0 + P2 = Min ( y2 ) ? x1 + 2 x2 - y+ + y- = 8 (1) ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? ? y- = 0, y+ = 0 ? ? x1 - x2 - y2 + y- = -1 (2) ? y2 = 0, y+ = 0 Soluciones ptimas: ? A ? B Valor ptimo: 0 + P3 = Min ( y4 ) ? x1 + 2 x2 - y+ + y- = 8 (1) ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? y1 = 0, y1 = 0 ? x1 - x2 - y+ + y- = -1 (2) ? y2 = 0, y2 = 0 ? ? x2 - y+ + y- = 2 (4) ? y4 = 0, y+ = 0 Solucin ptima: (2,3) Valor ptimo: 1 5

? ? ? - + ? ? ? - + ? ? ? - ? ? ? ? - + ?? 1 1 2 2 ? 4 4 4 3 3 ? + P4 = Min ( y3 ) s.a ? x1 + 2 x2 - y+ + y- = 8 ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? y1 = 0, y1 = 0 ? x1 - x2 - y+ + y- = -1 ? ? y2 = 0, y2 = 0 ? ? x2 - y+ + y- = 2 ? y4 = 0, y+ = 1 ? ? x1 + x2 - y+ + y- = 4 ? y3 = 0, y3 = 0 (1) (2) (4) (3) Solucin ptima: (2,3) Valor ptimo: 1 Conclusin: la solucin ptima es (2,3). En las metas 1 y 2 no hay ni exceso ni + - + - defecto ( y1 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y2 = 0) . Enla meta3 y en la 4 hay un exceso + - + - de 1 ( y3 = 1, y3 = 0, y4 = 1, y4 = 0) . 3. La directora de un centro educativo debe asignar ladocenciade 5 asignaturas, A1, A2, A3, A4 y A5 a 4 profesores, P1, P2, P3 y P4 teniendo en cuenta las valoraciones de lasencuestashechas por losalumnosy unas restricciones impuestas por un nuevo reglamento. En base a las encuestas de aos anteriores, se tienen las siguientes valoraciones promedios (escala: 0 mala, 5 excelente): 6

a) a) ? ? A1 A2 A3 A4 A5 P1 P2 P3 P4 2.7 2 3.2 2.6 2.2 3.6 3.8 2.5 3.4 3.4 2.3 1.8 2.8 2.8 1.9 4.2 3.6 3.6 2.6 3.5 El nuevo reglamento dice que elprofesorP3 no puede impartir las asignaturas A1 y A2. Las asignaturas no se pueden compartir y se han de impartir todas. Ningn profesor puede quedar sin asignaturas. Al profesor P1 solamente se le debe asignar una asignatura. (5 puntos) Modelizar como un problema de programacin lineal entera con elobjetivode obtener la asignacin que maximice la valoracin media total. b) (5 puntos) Indicar a qu tabla habra que aplicar el mtodo hngaro para determinar la asignacin ptima. Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: ?1 xij = ? ?0 si al profesor i se le asigna la asignatura j en caso contrario con i=1,,4 y j=1,,5 La modelizacin queda como sigue: Max ( 2.7x11 + 2.2x12 + ... + 3.6x15 + 2 x21 + 3.6x22 + ... + 3.6x25 + ... + 3.5x45 ) ? x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1 ?1 = xi1 + xi 2 + xi 3 + xi 4 + xi 5 = 2 i = 2, 3, 4 ? x1 j + x2 j + x3 j + x4 j = 1 j = 1,...,5 s.a ? ? x31 = 0 ? x32 = 0 ? xij = 0, 1 i = 1,..., 4 j = 1,..., 5 b) Aplicaremos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla: 7

4. a) A1 A2 A3 A4 A5 F F P1 P2 P2 P3 P3 P4 P4 -2.7 -2 -2 M M -2.6 -2.6 -2.2 -3.6 -3.6 M M -2.5 -2.5 -3.4 -3.4 -3.4 -2.3 -2.3 -1.8 -1.8 -2.8 -2.8 -2.8 -1.9 -1.9 -4.2 -4.2 -3.6 -3.6 -3.6 -2.6 -2.6 -3.5 -3.5 M M 0 M 0 M 0 M M 0 M 0 M 0 Con M positivo suficientemente grande. La siguienteredrepresenta unproyectodonde el valor de cada arco indica la duracin de cada actividad en das: 3 5 3 4 4 7 2 t(1,3) 5 7 1 4 2 8 5 5 8 t(8,9) 9 t(1,6) 8 6 7 5 (4 puntos) Determinar para quvaloresde t(1,3), t(1,6) y t(8,9) se cumplen las tres condiciones siguientes: La duracin prevista del proyecto es de 23 das. La actividad (2,6) escrtica. El margen de la actividad (3,4) es 4. b) (6 puntos) Hallar el (los) camino(s) crtico(s) del proyecto y la tabla de actividades paralos valoresobtenidos en a) 8

Solucin: a) Dado que la actividad (2,6) es crtica y P (6 ) = Max {12, t (1, 6)} , se tiene que P ( 6) = 12 y en consecuencia t (1, 6) = 12. Como la duracin prevista del proyecto (d.p.p.) es de 23 das y la actividad (2,6) es crtica, se sabe que: 23=12+7+ t (8,9). Luego t (8,9) = 4. Dado que el margen de la actividad (3,4) es M (3, 4) = Q ( 4) - P (3) - t (3, 4) , se tiene que 4 = 16 - P (3) - 3 y por tanto P (3) = 9 . Como P (3) = Max {9, t (1,3)} = 9 entonces t (1,3) = 9. 3 9 3 4 12 5 7 20 10 16 21 t(1,3) 5 4 7 2 0 4 4 8 13 5 19 t(8,9)=4 23 1 0 t(1,6) 2 4 8 5 6 14 12 7 8 5 19 9 23 12 b) Si t (1, 6) < 12 , el camino crtico es (1,2,6,8,9). Si t (1, 6) = 12 los caminos crticos son (1,2,6,8,9) y (1,6,8,9). La tabla de actividades correspondiente a este proyecto es: 9

(i,j) (1,2) (1,3) (1,6) (2,3) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (4,7) (5,7) (5,8) (6,8) (6,9) (7,9) (8,9) t(i,j) 4 t(1,3) t(1,6) 5 8 8 3 4 5 7 5 7 5 2 4 CMT(i,j) 0 0 0 4 4 4 9 9 12 13 13 12 12 20 19 FMT*(i,j) 4 10 12 10 14 12 16 14 21 21 19 19 23 23 23 M(i,j) 0* 10- t(1,3) 12- t(1,6) 1 2 0* 4 1 4 1 1 0* 6 1 0* Donde: t (i, j ) es la duracin de la actividad (i, j ) CMT (i, j ) es el comienzo ms temprano de la actividad (i, j ) FMT * (i, j ) es el final ms tardo de la actividad (i, j ) M (i, j ) es el margen de la actividad (i, j ) 10

1. a) INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Junio 2005 Unaempresadejuguetesest considerando la puesta en marcha de tres nuevos modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusin en la prxima campaa deNavidad. La preparacin de instalaciones para la fabricacin de estos modelos costara 25000 , 35000 y 30000 respectivamente, y la ganancia unitaria sera de 10 , 15 y 13 respectivamente. Laempresadispone de tresplantasdeproduccinpara la elaboracin de estos modelos, pero para evitargastosslo en una de ellas se produciran los juguetes, dependiendo la eleccin de la maximizacin de las ganancias. El nmero de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es: juguete 1 juguete 2 juguete 3 planta 1 planta 2 planta 3 5 4 3 4 2 3 6 2 2 Las plantas disponen al da 500, 600 y 630 horas deproduccinrespectivamente. Lagerenciaha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes. (8 puntos) Modelizar el problema utilizando programacin lineal entera para maximizar el beneficio total. b) (2 puntos) La empresa decide producir nicamente el juguete tipo 3, pero debe tener en cuenta que si produce ms de 50 unidades de este tipo de juguete entonces: el coste de preparacin de instalaciones del juguete tipo 3 es de 40000 debe producir en la planta 3 Modelizar el problema, aadiendo estainformacin, utilizando programacin lineal entera. 11

a) ? ? ? 1 2 3 ? i ? ? ? ? ? 1 2 3 ? Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: xi = nmero de juguetes producidos diariamente del tipo i i=1,2,3 ?1 yi = ? ?0 si se pone en marcha el juguete tipo i en caso contrario i = 1, 2, 3 ?1 z j = ? ?0 si se produce en la planta j en caso contrario j = 1, 2, 3 La modelizacin queda como sigue: Max(10 x1 - 25000 y1 + 15x2 - 35000 y2 + 13x3 - 30000 y3 ) ? y1 + y2 + y3 = 1 ? xi = Myi i = 1, 2, 3 ?5 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 500 + M (1 - z1 ) ?4 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 600 + M (1 - z2 ) s.a ?3x1 + 3x2 + 2 x3 = 630 + M (1 - z3 ) ? z + z + z = 1 ? xi = 0 y enteras i =1, 2, 3 ? y = 0, 1 i =1, 2, 3 ? z j = 0, 1 j =1, 2, 3 Con M positivo suficientemente grande. ?1 b) Definimos la variable de decisin siguiente: p = ? ?0 La modelizacin queda como sigue: Max (13x3 - 30000(1 - p) - 40000 p ) ?51 p = x3 = 50 (1 - p ) + Mp ? p = z3 ?6 x3 = 500 + M (1 - z1 ) ?2 x3 = 600 + M (1 - z2 ) s.a ?2 x3 = 630 + M (1 - z3 ) ? z + z + z = 1 ? x3 = 0 y entera ? ? p = 0, 1 ? zi = 0, 1 i =1,2,3 Con M positivo suficientemente grande. 12 si x3 = 51 en caso contrario

? ? ? ? ? ? ? - (5) (6) (2) (1) (3) (4) ?? 1 1 ? i? 2. En unaindustriapanadera se quiere introducir la elaboracin de dos nuevos tipos de pan: integral y de centeno, ya que se tiene asegurada laventade su produccin. Estos panes se elaboran principalmente a base de tres ingredientes: salvado integral, harina de trigo y harina de centeno. Para elaborar 1 kg de pan integral se necesitan 350 g de salvado integral y 150 g de harina de trigo y para la elaboracin de 1 kg de pan de centeno se necesitan se necesitan 250 g de harina de trigo y 250 g de harina de centeno. La disponibilidad diaria de salvado integral es de 210 kg, 115 kg de harina de trigo y 100 kg de harina de centeno. El beneficio que deja cada kg de pan integral es de 0.40 y 0.60 cada kg de pan de centeno. Calcular la elaboracin diaria de pan integral y de centeno, si se han puesto las siguientes metas por orden de prioridad: Prioridad 1. Se desea obtener un beneficio de al menos 240 diarios. Prioridad 2. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan integral sea al menos el doble que la de centeno. Prioridad 3. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan de centeno no sea inferior a 300 kg. Qu metas de las propuestas se han cumplido? Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: x1 = kg de pan integral elaborado diariamente x2 = kg de pan de centeno elaborado diariamente La modelizacin queda como sigue: - - - Min L( y1 , y2 , y3 ) ?0.35 x1 = 210 ? ?0.25 x2 = 100 ?0.15x1 + 0.25x2 = 115 ? ?0.4 x1 + 0.6 x2 - y+ + y- = 240 s.a ? + - ?x1 - 2 x2 - y2 + y2 = 0 ? + - ?x2 - y3 + y3 = 300 ?x1 = 0, x2 = 0 ? yi = 0, y+ = 0 i = 1, 2,3 13

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? - + ?? 1 1 ? 2 2 ? El conjunto X de soluciones factibles del problema es: - P1 = Min ( y1 ) s.a ?0.35 x1 = 210 ? ?0.25 x2 = 100 ?0.15 x1 + 0.25 x2 = 115 ? + - ?0.4 x1 + 0.6 x2 - y1 + y1 = 240 ? x1 = 0, x2 = 0 ? - + ? y1 = 0, y1 = 0 (1) (2) (3) (4) - P2 = Min ( y2 ) Soluciones ptimas: Valor ptimo: 0 ? A s.a ?0.35 x1 = 210 ? ?0.25 x2 = 100 ?0.15x1 + 0.25x2 = 115 ? ?0.4 x1 + 0.6 x2 - y+ + y- = 240 ? ?x1 = 0, x2 = 0 ? y1 = 0, y1 = 0 ? ?x1 - 2 x2 - y+ + y- = 0 ? y2 = 0, y2 = 0 14 (1) (2) (3) (4) (5)

? ? ? ? ? - + ? ? ? - + ? ? ? ? ? - + ?? 1 1 ? 2 2 ? - P3 = Min ( y3 ) Soluciones ptimas: Valor ptimo: 0 ? B s.a ?0.35 x1 = 210 ? ?0.25 x2 = 100 ?0.15 x1 + 0.25 x2 = 115 ? ?0.4 x1 + 0.6 x2 - y+ + y- = 240 ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? y1 = 0, y1 = 0 ? ? x1 - 2 x2 - y+ + y- = 0 ? y2 = 0, y2 = 0 ? + - ? x2 - y3 + y3 = 300 ? y3 = 0, y3 = 0 (1) (2) (3) (4) (5) (6) Solucin ptima: (418.182, 209.091) Valor ptimo: 90.909 La solucin ptima consiste en elaborar diariamente 418.182 kg de pan integral y 209.091 kg de pan de centeno. El beneficio diario es 292.73 + - ( y1 = 52.7274, y1 = 0), la produccin de pan integral es exactamente el doble que + - la produccin de pan de centeno ( y2 = 0, y2 = 0), y la produccin de este ltimo - + es aproximadamente 209kg diarios ( y3 = 90.909, y3 = 0). Se cumplen, por lo tanto, la 1 y la 2 meta y no la 3. 15

3. a) a) Se considera el siguiente grafo: 3 2 5 9 1 a 7 1 4 4 2 7 1 4 3 2 6 6 4 (5 puntos) Si los valores de cada arco representan distancias, hallar razonadamente cmo debe ser a para que la ruta ms corta del nodo 1 al 7 pase obligatoriamente por el nodo 2. Indicar esta ruta ms corta. b) (5 puntos) Si a = 5 y los valores de los arcos representan capacidades de flujo, calcular el valor del flujo mximo del nodo 1 al 7. Solucin: Los caminos del nodo 1 al nodo 7 pasan bien por el nodo 2, por el 3 o por el 4. Aplicando el mtodo de la ruta ms corta, calculamos los caminos ms cortos desde cada uno de estos nodos al nodo 7. En el siguiente grafo se observa que el camino ms corto del nodo 2 al nodo 7 es (2,4,6,7) cuyo valor es 8. 3 2 0 5 3 9 1 4 2 4 1 7 8 1 2 6 3 3 4 6 2 16

En el siguiente grafo se observa que el camino ms corto del nodo 3 al nodo 7 es (3,6,7) cuyo valor es 10. 5 6 2 9 7 6 10 3 0 4 6 4 En el siguiente grafo se observa que el camino ms corto del nodo 4 al nodo 7 es (4,6,7) cuyo valor es 7. 4 5 3 2 9 4 0 7 7 1 2 6 3 2 4 6 1 Luego necesariamente la ruta ms corta del nodo 1 al nodo 7 debe ser alguna de las siguientes: (1,2,4,6,7) cuyo valor es a+8. (1,3,6,7) cuyo valor es 14. (1,4,6,7) cuyo valor es 14. Para que la ruta ms corta pase obligatoriamente por el nodo 2 se debe cumplir que a + 8 < 14. Luego a < 6, y la ruta ms corta es (1,2,4,6,7). Si a = 6 las 3 rutas anteriores tienen el mismo valor. 17

b) Partimos del flujo nulo: 3,0 2 5 5,0 7,0 1,0 4,0 2,0 9,0 1 4,0 3 2,0 4 1,0 6 6,0 7 4,0 Consideramos la cadena de crecimiento del origen aldestino(1,2,5,7). ? f (1, 2,5, 7 ) = min {5,3,9} = 3 y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 3. 3,3 2 1,0 5 9,3 1 5,3 7,0 4 4,0 2,0 7 1,0 4,0 3 2,0 6 6,0 4,0 Consideramos la cadena de crecimiento (1,2,4,5,7). ? f (1, 2, 4,5, 7 ) = min {5 - 3,1, 4,9 - 3} = 1 y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 4. 18

3,3 2 1,1 5 9,4 1 5,4 7,0 4 4,1 2,0 7 1,0 4,0 3 2,0 6 6,0 4,0 Consideramos la cadena de crecimiento (1,3,6,7). ? f (1,3, 6, 7 ) = min {4, 4, 6} = 4 y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 8. 3,3 2 1,1 5 9,4 1 5,4 7,0 4 4,1 2,0 7 1,0 4,4 3 2,0 6 6,4 4,4 Consideramos la cadena de crecimiento (1,4,5,7). ? f (1, 4,5, 7 ) = min {7, 4 - 1,9 - 4} = 3 y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 11. 19

3,3 2 1,1 5 9,7 1 5,4 7,3 4 4,4 2,0 7 1,0 4,4 3 2,0 6 6,4 4,4 Consideramos la cadena de crecimiento (1,4,6,7). ? f (1, 4, 6, 7 ) = min {7 - 3,1,6 - 4} = 1 y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 12. 3,3 2 1,1 5 9,7 1 5,4 7,4 4 4,4 2,0 7 1,1 4,4 3 2,0 6 6,5 4,4 No existe ninguna cadena de crecimiento del nodo 1 al nodo 7. Luego este flujo es un flujo mximo, cuyo valor es V f = 12 . 4. Se considera un proyecto formado por 11 actividades. La tabla siguiente recoge dichas actividades, su duracin en das y las relaciones de precedencia entre las mismas: 20

Actividad Duracin Precedentes Inmediatas A B C D E F G H I J K 2 2 6 TD 1 2 4 TH 2 2 3 -- -- A A B B D, E D, E F, H G, I, C F, H a) (3 puntos) Elaborar un grafo que represente a dicho proyecto. b) (5 puntos) Sabiendo que las actividades crticas del proyecto son A, C, D, G, H, I y J calcular la duracin prevista del proyecto, los caminos crticos y las duraciones de las actividades D y H. c) (2 puntos) Calcular el margen de las actividades no crticas. Solucin: a) La siguiente red representa a este proyecto: C 1 A 2 E D 4 G H 6 I J 7 B K 3 F 21 5

b) 2 C (6) 6 J J (2) A (2) D (TD) G (4) 1 4 H (TH) I (2) 7 E (1) B (2) K (3) 3 F (2) 5 Si A, C, D, G, H, I, y J son crticas entonces: Caminos crticos: (1,2,6,7), (1,2,4,6,7) y (1,2,4,5,6,7) Duracin prevista del proyecto (d.p.p.): Valor del camino (1,2,6,7) = 2 + 6 + 2 = 10 das. Duracin de la actividad D: 2 + TD + 4 + 2 = 10 ? TD = 2 das. Duracin de la actividad H: 2 + TD + TH + 2 + 2 = 2 + 2 + TH + 2 + 2 = 10 ? TH = 2 das c) 2 2 C (6) 6 J 8 J (2) A (2) 2 D (2) 8 1 0 0 4 4 4 H (2) G (4) I (2) 7 10 10 B (2) 3 2 E (1) F (2) 5 6 K (3) 3 22 6

M(i,j)=FMT*(i,j)-CMT(i,j)-t(i,j)=Q(j)-P(i)-t(i,j) M(1,3)=3-0-2=1 da M(3,4)=4-2-1=1 da M(3,5)=6-2-2=2 das M(5,7)=10-6-3=1 da 23

1. xi = ? ?1 ?0 INVESTIGACION OPERATIVA (3 LADE) Septiembre 2005 (10 puntos) Unauniversidadse encuentra en unprocesode formar una comisin. Diez personas han sido nominadas: A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. El reglamento obliga a que sean incluidos en dicha comisin al menos unamujer, unhombre, un estudiante, un administrativo y un profesor. Adems, el nmero demujeresdebe ser igual que el de hombres y el nmero de profesores no debe de ser inferior al de administrativos. La mezcla de los nominados en las siguientes categoras es como sigue: Categora Mujeres Hombres Estudiantes Administrativos Profesores Personas A, B, C, D, E F, G, H, I, J A, B, C, J E, F D, G, H, I Modelizar sin resolver como un problema de programacin lineal entera, si se trata de que la comisin sea lo ms reducida posible. Solucin: Definimos las variables de decisin siguientes: si se incluye lapersonai en la comisin en caso contrario La modelizacin queda como sigue: 24 i = A, B, C, D, E, F, G, H, I, J

? s.a ? E ? 2. ? Min( xA + xB + xC + xD + xE + xF + xG + xH + xI + xJ ) ? xA + xB + xC + xD + xE = 1 ? xF + xG + xH + xI + xJ = 1 ? xA + xB + xC + xJ = 1 ? x + xF = 1 ? xD + xG + xH + xI = 1 ? xA + xB + xC + xD + xE = xF + xG + xH + xI + xJ ? xD + xG + xH + xI = xE + xF ? xi = 0, 1 i=A, B, C , D, E, F , G, H , I , J El director depersonaldeuna empresadebe asignar 5 tareas (T1, T2, T3, T4 y T5) a 4 empleados (E1, E2, E3 y E4) teniendo en cuenta las valoraciones hechas en base a experiencias anteriores que muestran la siguiente tabla (puntuacin: 0 mala, 10 excelente, -- imposibilidad): T1 T2 T3 T4 T5 E1 E2 E3 E4 6 2 5 2 8 3 6 3 9 -- 8 7 3 4 9 8 7 -- 6 6 Adems, hay que tener en cuenta las siguientes restricciones: los empleados no pueden quedarse sin tarea, al empleado E2 slo se le puede asignar una tarea, y las tareas no se pueden compartir. a) (5 puntos) Modelizar como un problema de programacin lineal entera. b) (5 puntos) Encontrar una solucin ptima aplicando el Mtodo Hngaro. Solucin: a) Definimos las variables de decisin siguientes: ?1 xij = ? ?0 si se asigna al empleado Ei la tarea Tj en caso contrario i = 1, 2, 3, 4, 5; j=1, 2, 3, 4 La modelizacin queda como sigue: 25

? ? ? Max (6 x11 + 8 x12 + 9 x13 + 3x14 + 7 x15 + 2 x21 + 3x22 + 4 x24 + +5x31 + 6 x32 + 8 x33 + 9 x34 + 6 x35 + 2 x41 + 3x42 + 7 x43 + 8 x44 + 6 x45 ) ?1 = xi1 + xi 2 + xi3 + xi 4 + xi 5 = 2 i = 1,3, 4 ? x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1 s.a ? x1 j + x2 j + x3 j + x4 j = 1 j = 1,...,5 ? ? x23 = x25 = 0 ? xij = 0,1 i = 1, 2,3, 4 j = 1,...,5 b) Aplicamos el Mtodo Hngaro a la siguiente tabla: T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2 E1 E1 E2 E3 E3 E4 E4 -6 -6 -2 -5 -5 -2 -2 -8 -8 -3 -6 -6 -3 -3 -9 -9 M -8 -8 -7 -7 -3 -3 -4 -9 -9 -8 -8 -7 -7 M -6 -6 -6 -6 M 0 M M 0 M 0 M 0 M M 0 M 0 ? +6 ? +8 ? +9 ? +9 ? +7 Con M positivo suficientemente grande. T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2 E1 E1 0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 M 0 M 0 E2 E3 E3 E4 E4 4 1 1 4 4 5 2 2 5 5 M 1 1 2 2 5 0 0 1 1 M 1 1 1 1 M M 0 M 0 M M 0 M 0 ? -4 ? -1 Con M positivo suficientemente grande. 26

3. + - - - + - + - + - ? + + - ? 1 - ? i T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2 E1 E1 E2 E3 E3 E4 E4 0 0 0 1 1 3 4 0 0 1 2 2 4 5 0 0 M 1 1 1 2 6 6 1 0 0 0 1 0 0 M 1 1 0 1 M 0 M M 0 M 0 M 0 M M 0 M 0 Con M positivo suficientemente grande. Asignacin ptima: E1 ? T2 y T3, E2 ? T1, E3? T4, E4 ? T5. Valor ptimo: 8+9+2+9+6 = 34 puntos. (10 puntos) Resuelve: Min L( y1 , y2 , y3 , y4 ) s.a ? x1 + x2 = 100 ? ?20 x1 + 8 x2 - y1 + y1 = 1600 ? ? x1 - x2 - y2 + y2 = 0 ? ? x2 - y3 + y3 = 45 ? y3 - y4 + y4 = 15 ? x = 0, x2 = 0 ? yi = 0, y + = 0 i = 1,..., 4 (1) (2) (3) (4) (5) Solucin: El conjunto X de soluciones factibles del problema es: 27

? ? ? s.a ?? 1 1 ? ? ? ? + ? s.a ?? 1 1 2 ? + P1 = Min ( y1 ) ? x1 + x2 = 100 (1) ? ?20 x1 + 8 x2 - y+ + y- = 1600 (2) ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? - + ? y1 = 0, y1 = 0 Soluciones ptimas: Valor ptimo: 0 - P2 = Min ( y2 ) ?x1 + x2 = 100 (1) ? ?20 x1 + 8x2 - y+ + y- = 1600 (2) ? ?x1 = 0, x2 = 0 ? - + ? y1 = 0, y1 = 0 ? ?x1 - x2 - y2 + y- = 0 (3) ? - + ? y2 = 0, y2 = 0 Soluciones ptimas: Valor ptimo: 0 28 ? A ? B

? ? ? - ? + ? ? - + ? ? ? ?? 1 1 1 2 3 3 ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - ? ? + + ? ? - (2) (1) (4) (5) (3) ?? 1 1 1 2 2 ? 3 4 ? 4 - P3 = Min ( y3 ) s.a ? x1 + x2 = 100 ? ?20 x1 + 8x2 - y+ + y- = 1600 ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? y1 = 0, y+ = 0 ? ? x1 - x2 - y2 + y- = 0 ? y2 = 0, y2 = 0 ? x2 - y+ + y- = 45 ? - + ? y3 = 0, y3 = 0 (1) (2) (3) (4) Soluciones ptimas: ? C Valor ptimo: 0 - P4 = Min ( y4 ) ? x1 + x2 = 100 ? ?20 x1 + 8x2 - y+ + y- = 1600 ? ? x1 = 0, x2 = 0 ? y1 = 0, y+ = 0 ? ? x1 - x2 - y+ + y- = 0 s.a ? - + ? y2 = 0, y2 = 0 ? + - ? x2 - y3 + y3 = 45 ? y3 = 0, y+ = 0 ? y3 - y4 + y- = 15 ? y4 = 0, y+ = 0 Solucin ptima: (50, 50) Valor ptimo: 10 Solucin ptima: + - + - x1 = 50, x2 = 50, y1 = 0, y1 = 200, y2 = 0, y2 = 0, + - + - y3 = 5, y3 = 0, y4 = 0, y4 = 10 29

4. i) ii) iii) (10 puntos) En la siguiente tabla se muestran el conjunto de actividades que componen un proyecto, as como su duracin en das y las relaciones de precedencia entre las mismas. Actividad Duracin Precedentes Inmediatas A B C D E F G H I J 3 2 6 2 3 3 5 1 1.5 2 - A A C A B C C F, H I a) Construir un grafo asociado al proyecto y hallar la duracin prevista del proyecto. b) Elaborar la tabla de actividades del proyecto. c) Responder a las siguientes preguntas. Qu ocurre con la duracin del proyecto si la actividad I se retrasa 2 das? Cuntos das se puede retrasar la actividad D sin que afecte a la duracin prevista del proyecto? Qu duracin debera tener la actividad B para que fuese una actividad crtica, si la duracin de las dems actividades se mantiene fija? 30

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