Unos Cuantos Para Todo

Unos cUantos para todo

I. Física cuántica: ¿virtualidad o realidad?

Jairo Giraldo Gallo

suplemento 1:

opÚscULos dIscrEtos

dianney clavijo Grimaldopablo cuartas restrepo

Felipe Valencia HernándezJ.- alexis rodríguez L.

carlos Eduardo MaldonadoKaren Milena Fonseca romero

Monografías Buinaima - 3


Primera parteI. Física cuántica: ¿virtualidad o realidad?Jairo Giraldo Gallo

Suplemento 1: Opúsculos Discretos

dianney clavijo Grimaldopablo cuartas restrepoFelipe Valencia HernándezJ.- alexis rodríguez L.carlos Eduardo MaldonadoKaren Milena Fonseca romero

Ediciones BuinaimaBogotá,d.c., colombia, Julio de 2009

IsBn: 978-958-987-091-4

diseño de portada:Lina Ximena rozo torres

Trama de figuras:Edwin Ferney Bermúdez suárez

diseño y diagramación: andrea Kratzer M.Impresión: Ediciones BEta, carrera 15 no. 47-88

El conocimiento es un bien de la humanidad.Todos los seres humanos deben acceder al saber.

Cultivarlo es responsabilidad de todos.

se permite la reproducción de este material, con fines educativos o pedagógicos, a condición de que no se modifique el contenidoy se citen adecuadamente fuente y autores.

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CONTENIDO

Una nueva guía para perplejosGabriel Restrepo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

DedicatoriaJ. Giraldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I. Física cuántica: ¿virtualidad o realidad?Jairo Giraldo Gallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0. Introducción al ‘Gran Misterio’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231. retrospectiva o un extenso post scriptum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332. conceptos básicos clásicos y cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593. algunos experimentos cruciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4. El principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5. Otra vez la filosofía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6. ¿Entendido? Breve introducción a unos ‘opúsculos discretos’ . . . . . . 217

Suplemento 1: Opúsculos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

nanotecnología y salud: dos caras de un Viaje Fantástico . . . . . . . . . . . 237 Dianney Clavijo Grimaldo

¿de qué está hecho el Universo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Pablo Cuartas Restrepo

La química como un capítulo de la mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . 273 Felipe Valencia Hernández

Una breve mirada a la Física de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 J.- Alexis Rodríguez L.

El problema y el reto de la interpretación en ciencia: david Bohm y la física cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 Carlos Eduardo Maldonado

Unos cuantos misterios en el procesamiento cuántico de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 Karen Milena Fonseca Romero


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I. Física cuántica: ¿virtualidad o realidad?suplemento 1: opúsculos discretos

primera parte de un texto surgido del curso de contextoCUÁNTICA PARA TODOS Y PARA TODOofrecido a estudiantes de todas las facultadesde la Universidad nacional de colombia – sede Bogotá

II. segunda revolución cuánticasuplemento 2: opúsculos continuos(En preparación)

Titular del curso: Jairo Giraldo

presidente de «Buinaima»asociación colombiana pro Enseñanza de la ciencia

profesor titular, departamento de FísicaUniversidad nacional de colombia, sede Bogotá

www.buinaima.org [email protected] [email protected]

Conferencistas invitados:

dianney clavijopablo cuartas, Felipe ValenciaJ.- alexis rodríguezcarlos Eduardo MaldonadoKaren Fonseca


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REsEña DE auTOREs

Jairo Giraldo Gallo, ‘Maestro Universitario’, es profesor titular en dedica-ción exclusiva de la Universidad nacional de colombia y ha sido investigador y profesor visitante en la Universidad nacional autónoma de México y el centro de Investigación y Estudios avanzados (México d.F.). Ha publicado numerosos artículos científicos en distintos campos de la física y varios de carácter divul-gativo. Es presidente y fundador de la asociación colombiana pro Enseñanza de la ciencia – Buinaima; coautor y editor de los libros «nanotecnociencia, nocio-nes preliminares sobre el universo nanoscópico» (2008) y «conformación de un nuevo ethos cultural» (2007), en el que fueron coautores algunos de los autores de los opúsculos. con motivo del año Internacional de la Física (2005), en ho-menaje a albert Einstein escribió «Genio entre genios». Forma parte del comité asesor del programa ondas de colciencias; con el equipo de dirección y asesoría del programa, participó en la elaboración del texto «Xua, teo y sus amigos en la onda de la Investigación», guía para la investigación de niños, niñas y jóvenes a nivel nacional. doctorado en física teórica por la Universidad de Gotenburgo, suecia, cursó el pregrado y la maestría en física en la Universidad nacional – sede Bogotá, departamento de Física, del cual fue también director, director de programas curriculares y coordinador de investigaciones. Fue fundador y director por 6 años del Grupo de Física de la Materia condensada (1999), presi-dente de la sociedad colombiana de Física y director de la revista de la misma en varias oportunidades, la que le confirió la Medalla al Mérito «Darío Rozo» en el año 2003. actualmente dedica gran parte de su tiempo al «proyecto EtHos Buinaima», del que participan 15 instituciones académicas, entre ellas la Uni-versidad nacional de colombia, la academia colombiana de ciencias Exactas, Físicas y naturales y la academia colombiana de pedagogía. recientemente fue nombrado miembro de número de esta última.

Dianney Clavijo Grimaldo, es médica cirujana de la Universidad nacional de colombia, especialista en docencia Universitaria, estudiante de la Maestría en Ingeniería Biomédica de la Universidad nacional. profesora del departamento de Morfología de la Facultad de Medicina de la Universidad nacional de co-lombia y coordinadora de la Unidad de Fisiología de la Fundación Universitaria sanitas. por su labor docente fue candidata a Mejor docente de las Facultades de Medicina de colombia en 1996 y a Maestra de la Medicina en colombia en el año 2000 por la asociación colombiana de Facultades de Medicina (ascoFaME). recibió el premio a la docencia de Excelencia Juan Uricoechea y navarro en el año 2003, el título Honorífico de Profesora Distinguida y de Tutor Par Honorario del colegio Mayor de nuestra señora del rosario y el premio nova et Vetera Experiencias de Innovación pedagógica en el 2005. Investigadora en el área de recubrimientos en nanofase para biomateriales.


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Pablo Cuartas Restrepo, Ingeniero mecánico de la Universidad de antioquia con especialización y maestría en astronomía de la Universidad nacional de Colombia, ha sido director científico y astrónomo del Planetario de Bogotá y jefe de ciencia y tecnología de Maloka. actualmente se desempeña como pro-fesor de la Universidad de antioquia en el pregrado de astronomía. asesor de diferentes entidades gubernamentales como la secretaría de cultura de Bogo-tá, colciencias y la UnEsco. conferencista y divulgador, ha publicado libros y numerosos artículos sobre historia de la ciencia y la astronomía.

Felipe Valencia Hernández es profesor asociado del departamento de Física de la Universidad nacional de colombia, especializado en métodos de estructu-ra electrónica. Físico egresado de la Universidad nacional, realizó estudios de maestría en la Pontificia Universidad Católica de Chile y de doctorado en el en-tonces recién creado Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica (IpIcyt) bajo la supervisión de algunos de los más prestigiosos investigadores latinoamericanos en ciencias de materiales. como investigador postdoctoral perteneció al grupo de física de materiales de la Università degli studi di pado-va. Es autor de varios artículos científicos en el área de física química y ciencia computacional de materiales.

Jairo Alexis Rodríguez López es profesor asociado en dedicación exclusiva del departamento de Física de la Universidad nacional de colombia y fue el segundo doctor en física graduado por ese centro docente, estudios que rea-lizó disfrutando de una beca otorgada por colciencias; lo hizo en el área de partículas elementales y altas energías, campo en el cual se desempeña como investigador, particularmente en fenomenología. Fue becario de la Fundación MaZda para el arte y la ciencia y obtuvo su magister y su título de pregrado en la misma universidad. suele ofrecer cursos en integrales de camino, teoría cuántica de campos y otros relacionados. Es coautor de una treintena de artí-culos publicados en revistas de nivel internacional.

Carlos Eduardo Maldonado es profesor titular de carrera de la Universidad del rosario. Ha sido reconocido con la “distinción al Mérito”, por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú, por sus contribuciones a la filosofía y a la complejidad, 2008. Mención de Honor premio portafolio, 2008, categoría: “Mejor docente Universitario”. profesor distinguido, distinción conferida por la Universidad del rosario, 2009. Filósofo de la Universidad del rosario con tesis laureada, ph.d. en Filosofía por la K.U. Leuven (Bélgica). post-doctorado como Visiting scholar en la Universidad de pittsburgh (EE.UU); postdoctorado como Visiting research professor en la catholic University of america (Washington, d.c.), postdoctorado como academic Visitor – Visiting scholar, Facultad de Fi-losofía, Universidad de cambridge, Inglaterra. Es autor, entre una veintena, de los libros: termodinámica y complejidad, Una introducción para las ciencias sociales y humanas (2005); cts + p: ciencia y tecnología como política pública


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y política social (2005); Biopolítica de la guerra (2003); Filosofía de la sociedad civil (2002); sistemas complejos, evolución tecnológica y retos para la ética (2002); contrapuntos de investigación (2001). Editor y coautor de Visiones so-bre la complejidad (2001), y Racionalidad científica y racionalidad humana. tendiendo puentes entre ciencia y sociedad (2001). compilador y coautor de: Bioética y educación. Investigación, problemas y propuestas (2005a); compleji-dad de las ciencias y ciencias de la complejidad (2005b) y complejidad: ciencia, pensamiento y aplicaciones (2007). coautor de 24 libros, también ha publica-do numerosos artículos en revistas especializadas nacionales e internacionales. director de la revista colombiana de Filosofía de la ciencia, ha sido miembro fundador y presidente de la asociación colombiana de Filosofía de la ciencia. Miembro IEEE Education - society.

Karen Milena Fonseca Romero es profesora asociada de la Universidad na-cional de colombia, en donde imparte con frecuencia los cursos de Mecánica cuántica y Óptica cuántica, y coordinadora del Grupo de Óptica e Información Cuántica, autora de una treintena de artículos científicos y coautora del li-bro «nanotecnociencia, nociones preliminares sobre el universo nanoscópico» (2008). cursó su pregrado en Física en la Universidad nacional de colombia, y su maestría y doctorado en Física en la Universidad de sao paulo, Brasil; realizó una estancia postdoctoral de dos años en la Universidad de augsburg, alema-nia.


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uNa NuEVa GuÍa PaRa PERPLEJOs

Presentación de Unos cuantos para todo

Moisés Maimónides (1135-1204) fue un filósofo, matemático y físico hispano-judío, conocido muy poco en nuestro medio, pero célebre por ser uno de los tempranísimos iniciadores de la cultura moderna en sus albores medievales. Maimónides vivió en una auténtica encrucijada, ya no de un trivium o de una tríada (cruce de tres caminos), sino de un quadrivium (cuatro vías): por tres caminos enfrentados pero complementarios en el tronco, las religiones de los libros: la hebraica que era la de Maimónides, la islámica encarnada en su amigo y maestro averroes, y la católica de la España en trance de reconquista en la natal córdoba, entonces la ciudad más grande de Europa, dominada por los árabes, en un principio tolerantes; por otro camino afluía el pensamiento aristotélico rescatado y reinterpretado por avicena y averroes.

Un encuentro de esta naturaleza significaba una suerte de cataclismo para el pensamiento y para las creencias. Maimónides se podría considerar como un temprano ladino: en el momento en el cual emergía el castellano como ro-mance o lengua del amor, desprendiéndose del latín, alimentado por el cruce lingüístico con el hebreo y el árabe, él era un hombre inserto en el diálogo de muchas fronteras culturales. Maimónides resolvió la tremenda complejidad de su tiempo en el libro Una Guía para Perplejos, en el cual avanzó en la inter-pretación hermenéutica al distinguir entre lenguaje literal y figurado y, lo más importante, introdujo cierto equivalente de la duda metódica y de lo que hoy se llama reflexividad: duda de la creencia, duda de la ciencia, duda de la rela-ción entre ciencia y creencia y duda del pensador que duda. su libro es además uno de los mayores regalos que una maestro haya hecho en todos los tiempos a un discípulo, a quien lo dedica.

siete siglos después, dos pensadores norteamericanos se hallaron ante otra viacrucis intelectual y vital. Henry adams (1838-1918) y charles sanders peirce (1839-1914) poseían un capital cultural valiosísimo: el bisabuelo de adams fue el segundo presidente de los Estados Unidos, su abuelo el quinto, su padre em-bajador por el norte ante Gran Bretaña durante la guerra de secesión. El padre de peirce fue a su vez profesor de astronomía y de matemáticas de la Univer-sidad de Harvard y pionero en la organización de academias de ciencia. ambos gozaron de una educación privilegiada, de niños y jóvenes en las bibliotecas de sus padres, luego el primero derecho y el segundo química en la Universidad de Harvard. adams estudió además en la Universidad de Berlín, la misma que había sido reformada por Guillermo de Humboldt para integrar en la academia la docencia y la investigación. ambos empero pensaban que la educación de su tiempo era decepcionante y requería de reformas fundamentales.


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Uno y otro experimentaron el gran sacudimiento que se produjo entre la pri-mera y la segunda revolución tecnológica, la industrial y la eléctrica, pero más aún, fueron retados por unas contradicciones mucho más profundas que aque-llas que sorteara Maimónides. El modelo de la física de newton se demostraba ya limitado con el desplazamiento del interés por la mecánica y la gravitación, ahora por la segunda ley de la termodinámica y su ley de entropía que argumen-taban la disipación de la energía y la irreversibilidad del tiempo, contrario al modelo eterno de newton, a su determinismo y a su visión de un universo en el cual la energía no constituía problema, porque se la consideraba constante.

pero, además, por otra vía aparecía el paradigma de darwin que, sin entrar en los retos teológicos, expresaba una visión contraria a la de la degradación de energía por la organización creciente de organismos primarios hasta la alta complejidad del ser humano.

para responder a esta perplejidad, adams escribió dos libros fundamentales: el más conocido es La Educación de Henry Adams, exaltado por la Modern Li-brary como el mejor libro de no ficción escrito en inglés en el siglo XX, paralelo al Ulises de Joyce en la ficción. Otro librillo, menos conocido, pero no menos importante, es A Letter to american teachers of history. destinado a que la comunidad académica de científicos sociales, pero también naturales, discutie-ran las implicaciones de estos dos paradigmas para tender puentes, el asunto fracasó por tremenda incomprensión.

semejante incomprensión o quizás peor experimentó charles sander peirce. Vetado el ingreso a la academia por las torpes razones puritanas que exiliaron por mucho tiempo a poe de la comprensión norteamericana, el genial pensador que seguía las huellas de las polémicas entre nominalistas y realistas medieva-les y los rastros de Leibniz, schiller, Hegel, realizó una obra prodigiosa en su descubrimiento de la semiótica, aplicada con enorme creatividad al conjunto de ciencias, saberes y artes, en la dirección del pensamiento complejo que se impondrá sólo desde hace medio siglo, cuando más.

Hoy estamos ante encrucijadas más laberínticas que las de Maimónides y más tupidas que las afrontadas por los dos pioneros norteamericanos del pensamien-to complejo. transitamos no ya por la tercera revolución, la electrónica, sino por una inédita, la digital. El saber crece en magnitud exponencial, lo mismo que los entronques entre disciplinas antes separadas. no obstante, nuestra ig-norancia se ha tornado infinita. Una ventaja es que sabemos de modo aproxi-mado cuánto ignoramos: se dice que la energía y la materia oscura del universo superan la tercera parte de lo que apenas conocemos. otra ventaja, empero, de esta ignorancia es que existen caminos para resolverla. La física cuántica es uno de ellos. de ello forma parte la nanología, este saber complejo de las más pequeñas cosas, infinitesimales. La misma nanología sitúa en el horizonte quizás no más distante de dos décadas la invención de un computador cuántico

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que según me indica Jairo Giraldo Gallo, estaría en condición de almacenar todas las bibliotecas del mundo en algo menos que una falange de la mano. El paradigma cibernético nos enseñó que la evolución es la transformación de energías en información. también nos indicó que el uso de esta información es el control. Quizás una ecuación aún más compleja y grata sería indicar que la dirección es la transformación de energías en información y en sabiduría, algo más allá del control. pero para ello será necesario que las ciencias sociales se pongan a tono con los progresos de las ciencias naturales y de las tecnologías, con la elaboración de unos saberes más dúctiles y abiertos, menos dominados por visiones apocalípticas y nostálgicas. Edgar Morin nos señala allí un camino apropiado, de inmensa creatividad.

por ello hay que agradecer a Buinama y a su presidente, Jairo Giraldo Gallo, la elaboración de esta contemporánea Guía para Perplejos, este mapa de las transformaciones profundas que ocurren en las ciencias naturales. tanto más cuanto en esta bitácora se reúnen, como en Buinaima, el saber de frontera con el empeño pedagógico, ambos expresión de una inmensa confianza en la apro-piación de la ciencia por los colombianos y partiendo de incorporar el humus de colombia, sus mitologías indígenas, lo mismo que ese fascinante despliegue estético que nos caracteriza como aventajados ladinos.

La palabra ladino recibe en el diccionario dos acepciones opuestas, configu-rando una suerte de oxímoron: tonto y astuto. La versión del ladino como tonto es la de un mimetismo camaleónico, signado por el refrán: “si vas a roma, haz lo que vieres”. El significado de astuto revela al ladino como ser calculador en la frontera, una especie de odiseo o de Hermes midiendo fuerzas para ganar ventaja o en la versión criolla son el “vivo” o el “avivato”, frente al ladino como tonto o “bobo”. pero existe en el oxímoron una terceridad que se podría derivar de la sutileza de peirce: el ladino como sabio por su capacidad de múltiples traducciones: de lo local a lo global y de lo universal a la aldea; de los saberes científicos y tecnológicos a las humanidades y a las artes; de las ciencias, artes y humanidades a la educación y a la producción.

Jairo Giraldo Gallo encarna como suerte de arquetipo esta ductilidad y creati-vidad para religar. Fue de hecho ya muy significativo que la Misión de Ciencia y Tecnología se denominara popularmente “Misión de los sabios”. Quizás con una aplicación seria y constante en hacer ciencia y divulgarla, podamos algún día transformar a “bobos” y “vivos” en ciudadanos, para dejar la patria boba en la cual todavía nos hallamos como en noche oscura.

Gabriel Restrepo

Bogotá, Julio 31 de 2009

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DEDICaTORIa

Los autores de estos textos queremos rendir con ellos un homenaje al de-partamento de Física de la Universidad nacional de colombia – sede Bogotá al cumplir los primeros 50 años de labores. En conmemoración a tan histórico acontecimiento para colombia, y en reconocimiento a las personas que en una u otra forma lo hicieron posible, redactamos estas notas. no disponemos de una historia detallada de los pormenores que hicieron posible tan trascen-dental momento para el desarrollo del conocimiento y el avance en ciencia y tecnología en nuestro país. Baste pues, por ahora, con advertir que en los antecedentes de la creación del primer departamento de física en colombia estuvieron astrónomos, geólogos, ingenieros, químicos, farmaceutas, biólogos, matemáticos, etc., y varios destacados humanistas, entre los cuales habría que incluir al Maestro Gerardo Molina, quien intentó, siendo rector del alma Máter, la creación de la Facultad de ciencias en 1946. El departamento nació adscrito a la Facultad de Ingeniería el 2 de noviembre de 1959. con la primera promo-ción de físicos muy avanzada y la creación definitiva de la Facultad de Ciencias en 1965, el departamento de Física fue vinculado a esta última facultad. En septiembre de 1966 se graduaron los primeros ocho físicos, en la Universidad nacional de colombia.

sería muy largo hacer un recuento siquiera somero de los logros y avances en la investigación, la docencia y la extensión en estos 50 años de actividades del primer departamento de física que surgió en colombia. alguien escribirá alguna vez un pormenorizado análisis de la importancia que ha tenido para colombia la fundación del departamento de Física en el desarrollo, no solo de la docencia (los primeros departamentos de física que iniciaron estudios en esta disciplina lo hicieron en lo esencial con egresados de nuestro departamento), de la in-vestigación científica, también tecnológica, y en otras áreas en mayor o menor medida aplicadas y/o básicas.

con gran talento, ingenio y creatividad se ha diseñado un simbólico emblema conmemorativo que nos permitimos reproducir a continuación:

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Los primeros años de la Física en Colombia

¿cómo surgió la idea de la formación de un departamento de Física en la Universidad nacional de colombia?

con la fundación de la sociedad colombiana de Física (scF) en 1955, una de las primeras tareas que se propuso y realizó la comunidad académica agrupada bajo esa sigla, no propiamente integrada mayoritariamente por profesionales de la disciplina, se inició la física en nuestro país y, por ende, empezó el es-tudio de los temas que nos ocupan. Entre los responsables de la creación del departamento de Física recordamos algunos: Mario Laserna, darío rozo, sven Zethelius, por mencionar solo tres entre los más ilustres… la lista es muy larga y sería difícil suministrar los nombres de todas las personas, de tan variadas disciplinas, que contribuyeron a tan importante momento histórico. no podían faltar los de Guillermo castillo torres y Juan Herkrath Müller, quienes por cerca de 40 años, hasta su desaparición física, desde la fundación del departamento y posteriormente de la carrera, estuvieron estrechamente ligados a ambos. El esfuerzo conjunto de recopilación y recuperación de la memoria histórica se está haciendo; nos proponemos dar un reporte de los resultados en la segunda parte de este ensayo.

Mario Laserna tuvo una formación matemático-físico-humanística. nos narra clara Helena sánchez que, faltándole apenas un año para graduarse de aboga-do, se fue a la Universidad de columbia a estudiar matemáticas y física, para lo cual “tuvo que decir a su padre que estudiaría química, con el fin de dirigir los laboratorios Quibi, empresa recién fundada de la familia (sic)”. (http://www.scm.org.co/articulos/8.pdf) Laserna dirigió los destinos de nuestra alma Máter entre 1958 y 1960. El departamento de Física fue creado a mitad de su administración.

En realidad la física en colombia empezó rudimentariamente hace más de dos siglos. Las observaciones y estudios astronómicos se iniciaron desde la colo-nia, con el científico y sacerdote español José Celestino Mutis y el Sabio Caldas. Mutis no solamente trajo a nuestro país la Revolución Copernicana, sino tam-bién la física de newton. Francisco José de caldas hizo muchas investigaciones que caen dentro de esta disciplina. Julio Garavito armero las continuó. Más recientemente, ingenieros de la talla de darío rozo, alumno de Garavito, quien fue también astrónomo y geodesta, hicieron grandes aportes. su contribución a la física fue enorme.

puesto que la historia del departamento, sobre todo en su primer lustro, está tan estrechamente ligada a la de la scF, queremos dedicar unas líneas a recordar los comienzos de ésta última. El presbítero Jesús Emilio ramírez, primer director del Instituto Geofísico de los andes, darío rozo, carlo Fede-rici, Guillermo castillo, sven Zethelius, Hernando Franco, alejandro sandino,

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Gustavo Maldonado, Mario ospina, santiago rubio, Marcel Ewert, por men-cionar solo algunos de los más conocidos e ilustres entre los ya fallecidos, la fundaron el 28 de agosto de 1955. seguramente en aquel feliz momento sus impulsores estaban celebrando alborozados el primer cincuentenario de la teoría de la relatividad. sobra decir que para esa época la física era algo exótico en Colombia. Puede afirmarse que el conocimiento de la física cuán-tica en el país era en ese entonces patrimonio de químicos, farmaceutas, uno que otro ingeniero civil (¿había otros?), algunos matemáticos (había muy po-cos) … y de ingenieros (¿o físicos?) nucleares. En 1956 se crea el Instituto de asuntos nucleares, Ian, “con el objetivo principal de elaborar y desarrollar un programa para fomentar las aplicaciones de la energía atómica para fines pacíficos”.

de la página web de la Universidad nacional hemos tomado esta informa-ción:

“Un año después de fundada (la SCF), se celebró en Cartagena el Primer Seminario Colombiano sobre la Enseñanza de la Física a Nivel Universitario, y de él surgió, como recomendación al Ministerio de Educación Nacional y a las universidades colombianas, la propuesta de crear en el país al menos un departamento de Física y una carrera de Física Industrial. En aquella época la Universidad Nacional de Bogotá era la única que tenía la capacidad de crear un departamento y una carrera de Física; fue así como este grupo de entusiastas de la Física, con los profesores Guillermo Castillo Torres, Hernando Franco Sánchez y Juan Herkrath Müller a la cabeza, preparó la propuesta de creación de un departamento de Física que, además de impartir la enseñanza de la Físi-ca a todos los estudiantes de la Universidad Nacional que la requirieran en sus planes de estudio, se ocupara también de preparar profesores de Física y de realizar investigación en esta área de las ciencias naturales”.

El siguiente gran paso fue la creación, dos años después, del departamento de Física, del que participó, en una u otra forma, el entusiasta grupo de per-sonalidades mencionado.

“Con el apoyo de las directivas de la Facultad de Ingeniería y del Profesor Mario Laserna, quien era en ese entonces el Rector de nuestra Institución, el proyecto fue aprobado y, en consecuencia, nació el Departamento de Física el 2 de noviembre de 1959 adscrito a la Facultad de Ingeniería. El Profesor Gui-llermo Castillo Torres fue designado primer director del Departamento, y tenía la inmensa responsabilidad de organizar y poner en marcha esta nueva unidad. El Profesor Castillo era ingeniero egresado de la Universidad Nacional con una maestría en Física obtenida en los Estados Unidos y fue, sin lugar a dudas, uno de los pioneros de la Física en Colombia”.

“El departamento inició labores con una nómina de docentes conformada por los profesores de Física de las diversas facultades del Alma Máter y un grupo de

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jóvenes profesionales con estudios de posgrado en Física en el exterior, vincu-lados a la Universidad Nacional con el fin de que impulsaran el desarrollo de la investigación en Física. Una de las primeras tareas que abordó el nuevo depar-tamento fue la elaboración del proyecto de creación de la carrera de Física, el cual fue aprobado a finales de 1961. En febrero de 1962 cerca de cuarenta estu-diantes iniciaron sus estudios en Física”.

Volvamos a la scF. Los primeros presidentes de la sociedad fueron: Hernando Franco, Guillermo castillo, Jesús Emilio ramírez, sven Zethelius, Juán Herkrath y otra vez Guillermo castillo. después de pasar por la creación del departa-mento y de la carrera de Física, se llega a la celebración de la primera década de la scF, en acto solemne realizado el 4 de noviembre de 1965 en la sede de la sociedad colombiana de Ingenieros. debe advertirse que para entonces ya existía el centro Latinoamericano de Física, cLaF, creado el 26 de marzo de 1962, durante una reunión en rio de Janeiro, promovida por la UnEsco y por el gobierno brasileño con la participación de veinte países latinoamericanos, entre ellos colombia bajo la representación de Herkrath. al igual que ahora, la scF no tenía sede propia. su sede, durante muchos años, fue precisamente el departamento Física y la carrera a él adscrita, desde la fundación de esta última. según anotaba castillito (como cariñosamente le solíamos llamar) en el discurso de celebración de esa primera década, logros principales de aquella sociedad científica conformada esencialmente por ingenieros, algunos mate-máticos, científicos naturales y, sobre todo, maestros fueron: creación de éste y otros departamentos de física, entre ellos el de la Universidad pedagógica y tenológica de colombia (Uptc) y el de la Universidad de los andes, para en-tonces bajo la rectoría de Laserna; creación de la primera carrera de física, por supuesto la de la Universidad nacional; primeros cursos para profesores de enseñanza secundaria, en la Uptc; relación con importantes sociedades veci-nas, como la argentina, la brasileña, la mexicana, por supuesto el cLaF y la american physical society; también con la national science Foundation y la International Union of pure and applied physics.

La scF y el departamento de Física ya habían organizado para entonces el segundo congreso Latinoamericano de Física, en febrero de 1965, año en que se dio vida también a la revista colombiana de Física (rcF). En acto solemne, en octubre, durante una fría tarde bogotana, se hizo entrega del número 1 de la rcF. contenía, entre otras, una nota de carácter histórico sobre mecánica cuántica escrita por el profesor Michel Valero, de la Universidad del Valle. Ese mismo año se creó la Facultad de ciencias, a la que desde entonces está adscri-to el departamento. En 1965 se estableció también la Medalla al Mérito “darío rozo”, quien murió en 1964.

¿Quién fue darío rozo? Fue alumno, profesor y decano de la Facultad de Inge-niería de la Universidad nacional. profesor honorario y receptor de la “Medalla al Mérito Universitario”. Astrónomo y Geodesta. Escritor y divulgador científico.

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Algunas de sus variadas publicaciones dan idea de la vasta cultura científica de aquel hombre: Teoría de los errores y de los mínimos cuadrados; Catálogo de pares de estrellas por el método de Zinder; Teoría general de la proyección de Gauss; Nuevas ideas sobre la relatividad y la formación de la materia; Nuevos conceptos de la relatividad einsteniana; La electricidad atmosférica y los rayos cósmicos; Historia del átomo nuclear y de los átomos artificiales … En los últi-mos años de su vida se dedicó al estudio de la física. Entidad de la física recoge numerosos ensayos “sobre los fascinantes problemas de la física moderna”, comentaba José Ignacio ruiz, su sucesor en la silla de la academia de ciencias. si se mira con detalle la historia, se verá que rozo fue uno de los que inició la revisión de algunas falsas concepciones de Garavito. (Véase Miguel Antonio Caro y la cultura de su época, de clara Helena sánchez).

En los primeros años de la carrera de Física, los cursos de física moderna, de mecánica cuántica y de física nuclear (prácticamente no existía la física de partículas elementales; el estado sólido desde el punto de vista cuántico apenas se mencionaba) eran ofrecidos por el profesor castillo, por químicos y farmaceutas y por personal del Ian. En Mecánica analítica, los primeros cursos fueron ofrecidos por el profesor Yu takeuchi. destacados ingenieros, entre ellos Gonzálo Jiménez, se dieron a la tarea de preparar otros cursos indispensables en la formación del físico como la óptica y el electromagnetismo. Imposible olvidarse del alto nivel que a este último curso aportó el Gran Maestro José Gra-nés, quien había obtenido una maestría en física en los Estados Unidos después de graduarse como ingeniero en la Universidad de los andes. Lo mismo cabe afirmar de la Física del Estado Sólido, a cuyo desarrollo contribuyó la vincula-ción del profesor Jaime rodríguez Lara, doctorado en Francia, el físico de esa generación, afortunadamente aún entre nosotros, que mayores aportes hizo a tan importante área en esos primeros años.

con la vinculación a la carrera de Física de la denominada ‘Misión técnica alemana’ una década después de fundado el departamento (1969), bajo cuya dirección se iniciaron los estudios de maestría en Física en colombia y la for-mación a nivel de doctorado en Física, de la segunda generación de docentes del departamento, en alemania mediante un convenio, la visión sobre la física en colombia cambió: la mecánica cuántica y sus aplicaciones en la física atómi-ca, nuclear, del estado sólido, la astrofísica y otros campos relacionados empe-zaron a ser importantes. puede decirse que el convenio con la Universidad de Maguncia y la vinculación al departamento de ‘la Misión’, fue el gran legado del profesor Herkrath a la posteridad. Era entonces director del departamento el ingeniero Eduardo silva. silva, Jiménez y otros destacados ingenieros, quienes formaron parte de la primera generación de docentes del departamento contri-buyeron posteriormente a la creación de la Escuela colombiana de Ingeniería ‘Julio Garavito’.

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En cuanto a la física cuántica se refiere, las actividades de los más de 25 grupos de investigación hoy existentes en el departamento hablan por sí solos. Varios libros especializados en las áreas de física atómica, física estadística, teoría de campos y otras más han sido publicados por profesores del departa-mento. sean estas notas divulgativas apenas un comienzo de la gran celebra-ción que el histórico acontecimiento a que hemos hecho referencia merece.

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I. FísIca cUántIca: ¿VIrtUaLIdad o rEaLIdad?

Jairo Giraldo Gallo


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0. INTRODuCCIóN aL ‘GRaN mIsTERIO’

Física cuántica o «Teoría Cuántica» es el nombre que finalmente se le ha dado a la nueva física, ya centenaria. Ella, suponemos, es la teoría científica mejor elaborada, la única capaz de darnos explicaciones cuantitativas, detalla-das y conceptualmente coherentes sobre el comportamiento de la materia, la energía y la información a nivel fundamental o elemental, básico o microscó-pico, como suele denominarse. si todo está hecho de los mismos ingredientes, se espera que finalmente ese comportamiento determine: a) el de la masa-energía organizada en la escala macroscópica, es decir, aquella de la que esta-mos hechos, la emparentada con nuestras percepciones sensoriales; b) el de la materia-radiación en la escala o nivel cósmico, la que corresponde al Universo; c) el de los organismos vivos en toda su complejidad, incluido el ser humano. En otros términos, ella debería podernos explicar el origen del Universo, de la vida y de la inteligencia; debería explicarnos el funcionamiento de todo, incluidos los sistemas neuronales y los procesos mentales, la información en su máxima expresión que conocemos, la conciencia humana.

desafortunadamente el paso de uno a otro nivel no es así de simple. para empezar, la otra gran teoría, relatividad general o «teoría General de Gravita-ción», no encaja dentro del esquema de la primera. Esa conclusión no solo es sorprendente sino también contradictoria, sobre todo si se tiene en cuenta que muchos de los fenómenos que se dan a nivel macroscópico, la superconduc-tividad y el magnetismo entre otros, son manifestaciones de las propiedades cuánticas de la materia. Lo ocurrido durante el big bang (‘gran explosión’) y en la etapa denominada inflacionaria no podría entenderse sin recurrir a la feno-menología cuántica; tampoco el comportamiento de los agujeros negros. para imaginar siquiera cuál será el final del Universo (actual) requeriremos afinar los modelos actuales (cuánticos, por supuesto) de aquel. todavía más, explicar adecuadamente, desde el punto de vista fenomenológico y cuantitativo, la con-ducción de calor, entendido éste como energía, flujo del calórico, para usar una expresión en boga hasta hace apenas 150 años, exige un tratamiento cuántico; lo mismo puede afirmarse para la conducción de electricidad o flujo eléctrico y para otros, supuestamente sencillos, fenómenos cotidianos.

Más complejo, seguramente, es el paso de los procesos atómicos y molecula-res a los microscópicos que se originan en los organismos vivos, incluyendo los virus, aunque nadie hoy suficientemente bien informado recurra a expresiones de antaño como flujo vital. ¿Qué decir de los procesos que surgen en sistemas neuronales? por complicados que sean, abrigamos la esperanza de entenderlos cada vez mejor desde un punto de vista científico. Algunos especulan que en esos procesos mentales hay fenomenología cuántica. Está por fuera del interés de este ensayo pedagógico ahondar en esas especulaciones.


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El propósito del presente ensayo cuántico con opúsculos discretos no es, en modo alguno, hacer claridad sobre el aún oscuro origen de la conciencia, ni siquiera de la vida; tampoco lo es señalar las diferencias (¿contradicciones?) en-tre esas dos grandes teorías del siglo XX, la cuántica y la relativista, la primera de las cuales debe a albert Einstein más de lo que usualmente se menciona; la segunda fue, por mucho tiempo, obra exclusiva del gran genio. Einstein murió frustrado, hasta cierto punto, al no poder darse por satisfecho con lo que él mismo inició y le condujo al premio nobel, negándose a aceptar las consecuen-cias epistemológicas y ontológicas de las contribuciones que hizo a los quanta. no es para menos, como se sugiere a continuación.

La frase lapidaria de uno de los grandes físicos de aquel siglo, richard Fe-ynman, nadie entiende la mecánica cuántica, sigue siendo el gran reto. Eso quiere decir, en otras palabras, que al menos por ahora son permitidas diversas interpretaciones, siendo las predicciones exactamente las mismas en cualquier esquema de pensamiento consistente con sus principios, ellos sí perfectamente establecidos desde hace más de 80 años. Esta conclusión resultó inaceptable para Einstein, quien exigía una interpretación de la realidad acorde con caros principios clásicos, ratificados por su teoría de relatividad, entre ellos el de la relación causa-efecto. El mismo schrödinger, quien con Heisenberg comparte el mérito de gestor principal de la teoría cuántica, declaró que lamentaba haber tenido que ver con el asunto. de Broglie, responsable de la dualidad onda cor-púsculo con su onda piloto (‘ondas de materia’), fue uno de los opositores a la interpretación de Copenhague. con mayor razón puede decirse esto de Bohm y otros famosos. Eso en cuanto a las interpretaciones. En las mediciones y/o predicciones, todos coinciden.

En cambio las aplicaciones de la revolucionaria teoría cuántica son cada vez más amplias, de ahí el título principal de estas notas. La Nanotecnociencia, a la cual nos referiremos más adelante y en uno de los opúsculos, es un claro ejem-plo. La criptografía cuántica, el teletransporte (no me gusta el término tele-portación) cuántico y la computación cuántica pueden denominarse, con razón, la segunda revolución cuántica, aceptando que la primera fue la que condujo a la formulación consistente de sus principios. Empezamos a entender y pro-cesar mejor la información cuántica, prerrequisito para las aplicaciones más impactantes o esperadas (algunas más resultarán inesperadas) de la segunda revolución. ¿nos llevará ese avance a una mayor comprensión de la conciencia y de los diversos procesos que ocurren en el cerebro? ¿nos acercará ese avance a la tercera cultura propuesta por snow? ¿podremos enderezar el rumbo que ha tomado la civilización?

permítaseme una última especulación: si se me preguntara qué cantidad fí-sica (una sola) nos permitiría caracterizar mejor cada uno de los tres últimos siglos, respondería que la materia es el emblema del siglo XIX (hipótesis ató-


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mica), la energía lo es del siglo XX (materializada en forma brutal en la deno-minada bomba atómica) y la información la del presente siglo (por algo suelen denominar a la actual, aunque equívocamente, era de la información o de la informática). no todos están de acuerdo en que la información es algo físico. Lo que sí parece claro es que la información es el inverso de la entropía, o más ri-gurosamente: organización e información van de la mano. Uno de los opúsculos está destinado a suministrar al lector algunos rudimentos sobre la información cuántica, tema al que pretendemos volver en el siguiente ensayo.

Hay algo de lo que no cabe duda alguna: no estamos en condiciones, con nuestra lógica convencional, de entender el extraño comportamiento de los ingredientes cuánticos del Universo. cabría entonces formular otra pregunta: ¿existe algún ingrediente que escape a ese extraño comportamiento? La res-puesta no es aún definitiva.

si no se entiende ese comportamiento a nivel elemental, ¿cuál es entonces el valor predictivo de la ciencia? ¡Es muy grande!, de ello se tiene pleno con-vencimiento.

Hace cuatro años, durante la inauguración de la cátedra Manuel ancízar ti-tulada «albert Einstein, creador de universos», celebración del centenario de sus famosas teorías que nos mostraron otra forma de hacer ciencia, el profesor John Ellis, director del cErn (centre de Etudes et de recherche nucleaire) nos decía algo como esto (la frase literal no la recuerdo): La física es el manual de operación del Universo. suena exagerado, particularmente a la luz de lo anterior, pero...

Un manual que sirvió en cierta medida de inspiración a este ensayo se es-cribió hace ya más de setenta años. Uno de sus autores, albert Einstein, es el personaje más admirado por el autor en el campo científico. A él dediqué una modesta monografía en la cual el lector encontrará algunas de las ideas básicas de la física cuántica aportadas por el que muchos reconocemos como genio entre genios; este fue precisamente el título escogido para aquel ensayo (dis-ponible en la página de «Buinaima»). El de Einstein, escrito con Leopold Infeld en 1938, se denominó: Evolución de la física. sus autores escriben en el tercer párrafo del primer capítulo, primera sección titulada EL GRAN MISTERIO (sic en la edición de salvat, 1986):

«El gran misterio permanece aún sin explicación. Ni siquiera podemos estar seguros de que tenga una solución final. La lectura (del gran libro de la naturale-za) nos ha hecho progresar mucho; nos ha enseñado los rudimentos del lenguaje de la naturaleza; nos ha capacitado para interpretar muchas claves y ha sido una fuente de gozo y satisfacción en el avance a menudo doloroso de la ciencia. A pe-sar del gran número de volúmenes leídos e interpretados, tenemos conciencia de estar lejos de haber alcanzado una solución completa, si en realidad existe.»


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Ese párrafo sigue siendo rigurosamente válido. al gran misterio le han suce-dido los misterios de la física cuántica. Formado en la disciplina científica más exitosa del siglo XX, debo reconocer mi profunda ignorancia e incapacidad para poder entenderlos a cabalidad. La prepotencia con que algunos científicos se expresan contrasta con el punto de vista más modesto de connotados divulga-dores. Dice John Gribbin, astrofísico y gran difusor del conocimiento científico acumulado:

«Si abrimos los brazos todo lo que podemos y consideramos que toda la his-toria del universo es de la punta de un dedo a la otra punta, toda la historia de la civilización humana se eliminaría en un momento si se pasa una lima por una uña. Así de insignificantes somos en el tiempo, y somos igual de insignificantes en el espacio.» http://www.eduardpunset.es/charlascon_detalle.php?id=6

no en balde nos recuerda Einstein: “El eterno misterio del mundo radica en su inteligibilidad… El hecho de que sea comprensible es un milagro”. pero me atrevo a hacer mía la frase suya y de Infeld en el texto citado: la lectura de varios tomos de lo que se conoce hoy sobre el gran misterio ha sido una fuente de gozo y satisfacción también para mí… y de reflexión, precisamente porque el avance en el conocimiento científico (y tecnológico) es a menudo doloroso, como lo reconoce Einstein; algo de aquello, en el campo cuántico, es lo que quisiera compartir con el lector a continuación y en la segunda parte; es tam-bién el ánimo de cada uno de los autores de los opúsculos.

La iniciativa para escribir estas notas, en verdad introductorias, y las que le sucederán surgió básicamente de dos consideraciones. primero, de la necesidad de “explicarle” a la mayoría de los lectores de Nanotecnociencia algo sobre el extraño comportamiento de los entes cuánticos, los mismos que pueblan los objetos nanoscópicos y dan a éstos propiedades muy diferentes a lo que esos mismos constituyentes básicos exhiben a nivel macro. En el camino me encon-tré con una sorprendente realidad: no solamente puede afirmarse que nadie en-tiende la mecánica cuántica (véase la penúltima sección del primer capítulo), sino peor aún, la mayoría la interpreta equivocadamente. al decir la mayoría, debo aclarar que me refiero principalmente a la mayoría que la desconoce, quiero decir, los no científicos… pero también, un poco menos, a los que no son físicos y a los que solamente utilizan sus recetas para ganarse la vida. Esta posición, la cual algunos de mis colegas encontrará demasiado radical, requiere de alguna explicación.

parecería tonto preocuparse porque el hombre y la mujer ajenos a la acade-mia (el hombre de la calle, solían llamarlo a comienzos del siglo pasado), en especial el amplio grupo que se desentiende de las ciencias y las ingenierías, no interpreten adecuadamente una teoría que ni les va ni les viene. soy enfá-tico en afirmar que no lo veo así. Preocupa en grado sumo ver cómo los nuevos impostores, algunos líderes de la nueva era, aprovechan la ingenuidad y la sed


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de explicaciones fáciles de la gente del común en el tema para embaucarlos de nuevo, como siempre se ha hecho a través de la historia con la ignorancia de la gente.

pero no es solamente a la gente del común a quien timan los nuevos impos-tores; es todavía peor: las víctimas, o los engañados por los neoerenses (un ad-jetivo quizá demasiado genérico para designar a las personas de alguna manera adscritas a las distintas agrupaciones de la Nueva Era) suelen ser personas con suficiente bagaje intelectual como para acceder a la explicación científica que el asunto requiere. Ésta es la segunda razón que tuve para haber propuesto a la dirección académica de la Universidad nacional de colombia –sede Bogotá– el curso que hoy se ofrece y para haberme aventurado en la escritura de estas notas. suele asegurarse que la astrología surgió de la ignorancia; me atrevo a afirmar que no fue así, puesto que sus gestores y consumidores eran gente culta en su tiempo; puede decirse que, de alguna manera, en su momento cumplió su cometido en el contexto histórico. después se volvió engaño y negocio lucra-tivo, dependiendo de la habilidad para convencer de unos y de las necesidades sentidas por otros; hoy es necesario practicar el engaño en forma más sofisti-cada... y por desgracia el cuento cuántico da para eso. para decirlo más explí-citamente, en la cacareada Sociedad del Conocimiento no deberían aceptarse explicaciones tan banales como las que proponen los que se hacen pasar por líderes espirituales. digo esto porque personalidades como el dalai Lama, para citar solo un ejemplo, son una excepción a los cada vez más abundantes líderes espirituales de las religiones de garaje.

Lo anterior me lleva a concluir que sí interesa a todos tratar de comprender, al menos captar dónde radica, en primer término, la dificultad para enten-der con nuestra lógica convencional el extraño comportamiento de los entes cuánticos, y en segundo lugar, hasta dónde puede llegar la influencia de unas propiedades que usualmente se consideran del dominio exclusivo de lo dimi-nuto. pero hay algo más: la tecnología hoy, con mayor razón la de mañana, dependen de ese extraño comportamiento. Se afirma, sin exagerar, que más del 50 % del pIB (producto interno bruto) de los países desarrollados proviene de ahí. En ese estimativo se quedan cortos, porque únicamente tienen en cuen-ta la industria optoelectrónica y sus derivados. si se proyectara el efecto que tendrán próximamente los efectos de la segunda revolución cuántica (a la que estará dedicada principalmente la segunda parte del ensayo), el porcentaje crecerá significativamente. La tecnociencia hoy, con mayor razón la del futuro, es poderosísima; la dependencia de la civilización en esos aspectos sigue cre-ciendo. Mas, como dice sagan (El mundo y sus demonios, capítulo 2, «ciencia y Esperanza»):

«Hemos preparado una civilización global en la que los elementos más cruciales –el transporte, las comunicaciones y todas las demás industrias; la agricultura,


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la medicina, la educación, el ocio, la protección del medio ambiente, e incluso la institución democrática clave de las elecciones– dependen profundamente de la ciencia y la tecnología. También hemos dispuesto las cosas de modo que nadie entienda la ciencia y la tecnología. Eso es una garantía de desastre. Podríamos seguir así una temporada pero, antes o después, esta mezcla combustible de ignorancia y poder nos explotará en la cara.»

Hago mías las palabras de sagan, particularmente cuando estimo que una buena proporción de ese 50 % o más del pIB es gastado insensatamente, re-presentado en ganancias de las multinacionales que viven de la guerra y de la expoliación y en el perfeccionamiento de la globalización económica, funda-mentalismo de mercado, sin hacer nada por aliviar sus consecuencias desastro-sas en una mal llamada Sociedad del Conocimiento. La ignorancia, al menos la insensatez, parecen ser la divisa de esta sociedad.

Y ya que hablamos de ese fundamentalismo, de la ignorancia y de una de las consecuencias de ambos, la guerra, refirámonos también a los fundamen-talismos religioso y político, causantes de tantas guerras en la historia lejana y reciente de la humanidad, dando por descontado los innegables intereses económicos que acompañan a los líderes de uno y otro bando. La ignorancia de la mayoría hace a ésta presa fácil de la avaricia desmedida de aquellos. se suele hablar de las nuevas tecnologías de la información y de la comunicación (t.i.c.) como el factor crucial de desarrollo en la era actual. Esto último es parcialmente cierto, pero también es ciertísimo que aquellas, las nuevas t.i.c., dependerán cada vez más fuertemente de los fenómenos cuánticos; servirán para excluir más a los excluidos de siempre y para deteriorar irremediablemen-te el medio ambiente, si no se hace algo de verdad y en serio por remediarlo (para lo cual también requerimos de tIcs). adrede he puesto en minúsculas las siglas de las nuevas tecnologías que nos involucran a todos, querámoslo o no. En «Buinaima» reservamos el acrónimo t·I·c (talento, Ingenio y creatividad) para un programa educativo que parece ir en contravía de la concepción de mercado característica de las t.i.c. no es el lugar apropiado para tratar estos interesantes temas, el del deterioro del medio ambiente y del cambio climático (y el de la inequidad, entre otros), fuertemente entrelazados, por lo que me limito a anunciar al lector un ensayo en preparación de éste y otros autores («proyecto EtHos Buinaima» será el nombre genérico). Baste con decir que estas notas tienen como tercera motivación contribuir a combatir desde la in-teligencia esos fundamentalismos y desenmascarar sus consecuencias, causa y efecto resultantes del talento mal empleado de unos pocos y del analfabetismo tecnocientífico (y de otros analfabetismos) de las mayorías, consumidoras de productos mediáticos y de tecnociencia.

El año 2009, cuando por primera vez estas notas se publican, se ha denomi-nado el Año Internacional de la Astronomía. Es el año de Galileo, celebración del extraordinario invento, el telescopio que lleva su nombre, el que permi-


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tiera a aquel dirigir una mirada cercana a esos objetos lejanos, es decir a los cielos. En estos cuatro siglos ha cambiado radicalmente nuestra visión del Universo; y ello ha ocurrido particularmente durante la última centuria. dos de los opúsculos están dedicados a las revolucionarias ideas cosmológicas de hoy. también ha cambiado nuestra visión del mundo, en general. dice stephen Hawking, otro de los grandes de la física y de la astronomía, además de gran divulgador: “El mundo ha cambiado mucho más en los últimos cien años que en cualquier siglo precedente. La razón de ello no han sido las nuevas doctrinas políticas o económicas, sino los grandes desarrollos auspiciados por los progre-sos en las ciencias básicas”. Quiero complementar esta cita con otra de carlos Eduardo Maldonado, tomada del texto ya referido sobre Nanotecnociencia, comentando precisamente la anterior reflexión de Hawking: “No son pues, las doctrinas éticas ni morales las que han hecho posible la vida hasta hoy. todo lo contrario, es en nombre de determinado dios en contra de otro, que los seres humanos han armado guerras, en nom bre de determinados principios que se han emprendido cruzadas, crímenes, asesinatos y guerras de toda índole. Lo que nos ha hecho posible vivir hasta hoy, por el contrario, es el trabajo de per-sonas como pasteur, Volta, Fleming, y muchos otros. La enseñanza de la ética no garantiza seres humanos auténticos, pero el buen trabajo con ciencia o con música, por ejemplo, sí genera estructuras mentales y espirituales que pueden garantizar y hacer posible la vida. Esta es la otra cara amable del positivismo”. (subrayado por mí).

Hablando de centenarios, es propicia la ocasión para celebrar los doscientos años del nacimiento de otro genio, charles darwin (12 de febrero de 1809), quien tempranamente inició un serio debate en torno a la evolución de las especies. Erwin schrödinger, gestor de una de las formulaciones de la teoría cuántica, escribiría 140 años más tarde (1946) las primeras reflexiones en torno al origen físico de la vida, lo que inspiró a James Watson, según reconoce él mismo, a investigar los genes, dando como resultado el descubrimiento del adn en 1953.

tuve el privilegio de participar con una conferencia sobre Nanología en la Cátedra José Celestino Mutis que se realizó durante el 2º semestre de 2008 en nuestra Alma Mater, la cual versó sobre el tema: Innovación – el desafío para el desarrollo en el Siglo XXI. La cátedra fue creada para conmemorar el bicentenario de la muerte del ilustre científico español. Mutis tuvo una mar-cada influencia en nuestra primera emancipación, de la cual nos aprestamos a celebrar el bicentenario. casi por azar, cuando me preparaba para enviar a imprenta estas notas, tuve la fortuna de recibir de manos de su autor, el amigo, colega y sociólogo Gabriel restrepo, un ensayo todavía inédito titulado: “La obra de un día no es suficiente. Una noche no alcanza”, con dos poemas de Mutis traducidos del latín al español. Una primera ojeada al ensayo despertó en mí el interés (tardío, mea culpa) por el personaje, quien “sentó las bases de la


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revolución científica e ideológica en el Virreinato de la Nueva Granada cuando, en el discurso inaugural de la cátedra de matemáticas del colegio Mayor del rosario, expuso los principios elementales del sistema de copérnico: fue la presentación de una nueva metodología, la del eclecticismo, y de una novedo-sa actitud ante el mundo y la vida, que significaba el abandono del fanatismo y la credulidad, para entrar en los terrenos de la física de newton”. (http://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/mutis.htm) En el ensayo de Restrepo leo: murió en 1808, dos años antes de la emancipación, pero su figura fue deci-siva para la misma (subrayado por mí). Los centenarios y bicentenarios también sirven para recordar que la ciencia no es tan neutral como la suelen presentar. restrepo, generoso y docto autor de la presentación de estas notas (Una nueva guía para perplejos), nos ha abierto caminos antes inexplorados hacia la ter-cera cultura.

Para finalmente tratar de explicar el giro inesperado de unas notas que ini-cialmente se escribieron como apéndice a un libro sobre Nanotecnociencia y como notas de clase a un curso que el autor ofrece para todos y para todas («cuántica para todos y para todo», cptpt) en la sede Bogotá de mi alma Máter, he escrito el capítulo primero. El segundo capítulo, el más largo, de este ensayo intenta explorar lo que consideré más relevante para el lector desprevenido (algunos aspectos clásicos y otros cuánticos) antes de incursionar propiamente en el tema; pueden dejarlo totalmente de lado quienes ya tienen alguna formación en los clásicos asuntos de la física cotidiana y nociones sobre física moderna. así que el asunto a tratar empieza en realidad a partir del ter-cero, con una mirada experimental echa por un teórico. después de referirme a algunos experimentos que considero cruciales para el desarrollo del forma-lismo y el punto de partida básico para éste, se toca tangencialmente el punto crucial, sin recurrir a las matemáticas. El cuarto capítulo es muy conceptual. Está dedicado a profundizar, sin matemáticas, en el principio de superposición, clave del formalismo. Concluyo con algunas reflexiones recogidas aquí y allá, desde cuando intenté un acercamiento clásico al problema, acercamiento que me condujo al actual distanciamiento de quienes todavía buscan interpretacio-nes a lo clásico.

Más valiosos encontrará el lector los opúsculos discretos del suplemento, contribución de algunos conferencistas invitados al curso de contexto que se ha ofrecido sin interrupción desde hace ya dos años. Los títulos de esos opúsculos hablan por sí solos. sus autores me eximieron de tocar temas que considero indispensables y me permitieron presentarlos con la voz autorizada de quien ha investigado sobre ellos.

Espero que la segunda parte, desde ya un compromiso adquirido, me permita enmendar al menos varios de los errores involuntarios cometidos (por prisa o por ignorancia) en esta primera parte.


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sirvan estas notas de sincero homenaje al departamento de Física de la Uni-versidad nacional, con motivo de la celebración de sus primeros 50 años de actividades. sin el apoyo de sus directivas a través de los años y de los colegas y amigos (por más de 40 años, desde cuando ingresé a sus aulas), ni siquiera me hubiera preocupado por los quanta.

Mucho camino nos queda por recorrer, pero recuerde, amigo «buinaima» o amiga «buinaiño»: se hace camino al andar.

Ciudad Universitaria, Agosto de 2009


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CaPÍTuLO PRImERO

RETROsPECTIVa O Un extenso post scriptUm

Los objetos cuánticos se comportan como ondas y como partículas. Eso fue lo que en esencia propuso un aris-tócrata estudiante francés, el prín-cipe Louis Victor pierre raymond de Broglie, en 1923. ¡dio en el blanco! su hipótesis ha sido verificada en diver-sas formas, en los más variados expe-rimentos, realizados desde entonces. Vale la pena aclarar: esos objetos se manifiestan como ondas o como cor-púsculos. pero hay más: los quanta están por todas partes; y sirven, rigu-rosamente hablando, para todo.

Figura 1.1. Louis de Broglie (1892 – 1987).1

Excepto porque durante el siguiente cuarto de siglo se elaboraron diferentes versiones de la misma teoría, poco se ha avanzado desde entonces en su funda-mentación matemática. La vieja teoría cuántica nació en medio de la primera Guerra Mundial; la nueva, en el fragor de las batallas de la segunda; muchos de sus protagonistas principales (planck, Einstein, Bohr, Heisenberg, schrödinger, para mencionar solo unos pocos nombres entre los más selectos) estuvieron involucrados en una u otra forma. Los primeros 30 o 25 años, desde la hipótesis de planck, formulada en 1900, si se arranca en ceros, o desde el postulado de Einstein, enunciado cinco años más tarde, cuando sin decirlo con claridad se asumió que la luz era onda o corpúsculo, dependiendo del aspecto que tuviera que destacarse, hasta cuando se demostró que las diferentes versiones de la teoría eran equivalentes, pueden denominarse la primera revolución cuántica. detalles adicionales sobre su desarrollo a lo largo de esa primera etapa pueden verse a partir del capítulo cuarto, en los opúsculos de diversos autores que me han colaborado en el cptpt y en el próximo ensayo, al que ya se ha hecho referencia. Entre tanto, se quiere dar al lector un bagaje conceptual que le permita entender las dos revoluciones provocadas por esa extraña teoría en menos de un siglo.1 http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1929/broglie-bio.html


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planck había lanzado en 1900 una hipótesis desesperada que consistió en suponer que un cuerpo recibe y da energía en forma discreta. Los paquetitos (quanta) de energía serían extremadamente pequeños, por lo que para la ma-yor parte de los propósitos prácticos el hecho seguiría siendo equivalente a hacerlo en forma continua, como corresponde al comportamiento clásico por todos conocido2. no lo era, para poder restablecer matemáticamente el equi-librio termodinámico, roto por la catástrofe ultravioleta, presente según la teoría clásica en la radiación térmica de un cuerpo negro3. El ajuste de planck fue solo un primer paso, dado tímida y temerosamente, muy a su pesar, con la esperanza de encontrar pronto un mejor raciocinio. Esa esperanza le con-dujo a aceptar 14 años más tarde la interpretación estadística de la entropía propuesta por el vienés Ludwig Boltzmann, herramienta usada a regañadientes en el proceso deductivo de su famosa Ley de Radiación. En 1900, y todavía en 1905 (Boltzmann se suicidó en 1906), la mayor parte de los científicos alemanes estaban muy lejos de aceptar siquiera la hipótesis atómica, empleada por el padre de la física estadística4.

a la postre, la cuantización resultó ser imprescindible, tanto para entender el comportamiento de la materia a escala atómica y subatómica como para arrojar luces sobre nuestro origen en la escala cósmica. simultáneamente se estaba preparando el terreno para una revolución tecnocientífica sin preceden-tes5. Fueron particularmente estas circunstancias las que quise evocar con el título dado a estas notas: Unos cuantos para todo.

1.1 Granos de energía

de allí a suponer que no solo ocurre tal cosa, la de la absorción y emisión discretas, sino que también la energía de la radiación está cuantizada parece haber solamente otro modesto paso, pero no es así. a nadie que hubiera sido

2 El valor de la constante característica, expresado en las unidades más usuales en nuestra esca-la, parece ridículamente minúsculo: h ≈ 10-34 J·s (recuérdese que joule es unidad de energía y trabajo); para efectos de comparación, un foco o bombillo de 100 watts consume en un segundo 100 J, y un fotón de 1015 Hertz (unidad de frecuencia u oscilaciones por segundo) tiene 10-18 J (≈ 10 eV o electrón-voltios, unidad de energía más adecuada en esta escala). La llamada escala de Planck es todavía más diminuta; en notación científica, en las unidades convencionales, la escala de tiempo de planck es aproximadamente 10-43 s. La escala de longitud, ≈ 10-33 cm, es esta cantidad multiplicada por la velocidad de la luz. si se quiere ver a menor escala su cons-tante, teniendo en cuenta que 1 J es 1.6×10-19 eV, h ≈ 10-15 eV·s. ¡aún en la escala del electrón, esa cantidad sigue siendo muy pequeña! Véase más adelante, sección 2.1, para efectos de la notación científica y las unidades utilizadas en este ensayo.

3 a explicar la terminología puesta en bastardilla se volverá en capítulos posteriores o en los opúsculos. En ocasiones utilizaremos ese formato solo para enfatizar.

4 En la primera presentación de su resultado empírico ante la academia de ciencias, 3 meses antes de la histórica presentación que tuvo lugar el 14 de diciembre de aquel mismo año, planck no utilizó la constante h.

5 Véase Nanotecnociencia, J. Giraldo et al. (Ediciones Buinaima, Bogotá, 2007).


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formado en la exitosa escuela de la física de fines del siglo XIX se le habría ocurrido imaginar que las ondas electromagnéticas pudieran perder su carácter hasta ahora peculiar, ser ondas, sinónimo de continuum, para convertirse en corpúsculos de energía, algo discreto, los hoy denominados fotones.

La pugna entre los dos modelos propuestos para la luz, corpuscular y on-dulatorio, se había ganado en varios campos a favor del segundo desde los tiempos de Isaac newton, gracias a los experimentos de su contemporá-neo el holandés christiaan Huygens. Luego, durante el siglo XVIII, mate-máticos de la talla del suizo Leonard Euler y físicos destacados como el norteamericano Benjamin Franklin reforzaron ese punto de vista. a co-mienzos del siglo XIX, el británico thomas Young y el francés augustin Fres-nel dieron el golpe de gracia: no hay duda alguna, ¡la luz es una onda!6

Resultaba pues experimentalmente comprobado, como ocurriría a finales del mismo siglo con el responsable del fluido eléctrico, el electrón, descubierto por J. J. thomson: ¡esto, aunque no puedan verlo directamente, es una partícula!

Esas dos conclusiones experimentalmente incontrovertibles rodarían por tie-rra, si se aceptaba la hipótesis de de Broglie. Lo más osado de este estudiante era sostenerlo ante el exigente jurado de su tesis doctoral, dispuesto a pedir explicaciones satisfactorias, esgrimidas con argumentos tan contundentes como para hacer cambiar de opinión a los ortodoxos físicos, casi todos formados en la más prestigiosa ciencia de los siglos XVIII y XIX.

En efecto, el triunfo de la mecánica newtoniana no arrojaba duda alguna, mientras que la segunda mitad del siglo XIX vio surgir la más hermosa teoría hasta entonces concebida por la física, la electrodinámica clásica. su gestor fue el británico James clerk Maxwell, primer catedrático del entonces recién crea-do laboratorio cavendish, donde más tarde fueron descubiertos los constituyen-tes del átomo: una especie de abdera experimental. Fue en abdera, situada en la costa de Tracia, donde a finales del siglo V antes de nuestra era, los filósofos griegos Leucipo y demócrito enseñaron que toda la materia está constituida por átomos y espacios vacíos. Maxwell, atomista como sus predecesores en abdera, a diferencia de los más destacados físicos alemanes, antiatomistas, fue el gran unificador de los fenómenos eléctricos y magnéticos; pero fue más lejos. El con-junto de la teoría predecía la existencia de ondas electromagnéticas que via-jarían a la velocidad de la luz, la más alta velocidad de propagación aceptada hoy en día, 3×1010 cm/s. Estas ondas se propagarían en un medio muy singular, denominado éter luminífero.

supondrá el lector desprevenido, a partir de la información anterior, que la confirmación de la existencia de esas ondas se hizo en Cavendish. Maxwell era un teórico y, hasta cierto punto, podría decirse que descuidó el laboratorio a

6 Véase la sección 2.6 y el parágrafo 2.8.2.


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su cargo. tal vez esa haya sido una razón histórica para que el gran salto expe-rimental lo dieran los físicos continentales. En 1887, ocho años después de la muerte de Maxwell, el alemán Heinrich rudolf Hertz produjo en su laboratorio esas ondas, posteriormente denominadas ondas de radio (u ondas hertzianas; por algo se miden en hertzios), y las comparó con las de luz: todo cuadró es-pléndidamente. Las suyas, a pesar de tener una longitud de onda λ mayor en varios órdenes de magnitud, correspondientemente una frecuencia ν muchísi-mo menor, tienen una velocidad de propagación que resulta ser exactamente igual a la de la luz visible, de tal suerte que el producto de las dos, λν, da la misma constante c (velocidad de la luz): c =λν.

Figura1.2. a) James clerk Maxwell (1831-1879); b) Heinrich rudolf Hertz (1857-1894); c) diagrama esquemático del aparato ideado por Hertz para generar y captar ondas electromagnéticas.

si algún ajuste adicional había que hacer, afectaría a la décima cifra deci-mal, como supuso Maxwell7.

así pues la luz, una onda muy peculiar, visible en un estrecho espectro de frecuencias, se movería en el éter a una velocidad en números redondos dada por: c = 3×108 m/s. El espectro se extiende, en principio, a todos los valores positivos de frecuencia8.

dijimos que a nadie se le habría ocurrido llevar la contraria ante tan rotundas evidencias... excepto...

romper con puntos de vista varias veces comprobados, tanto en el terreno teórico como en el campo experimental, fue el osado paso que se atrevió a dar

7 Véase el primer capítulo de Nanotecnociencia, principalmente la sección 1.6. puede obtenerse libremente de la página de «Buinaima».

8 Véase la sección 2.8.2.


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el joven Einstein, todavía pendiente de su grado, en 1905. su propuesta parecía volver al pasado, dándole la razón a newton, pero difería radicalmente de este último. para ello concibió dos modelos diametralmente opuestos. El primero se apoyaba en recientes resultados, los del meticuloso experimento de Michelson-Morley, al que se volverá más adelante: a diferencia de otras ondas, la luz no necesita de medio alguno para propagarse; tal vez por eso da igual visualizarla como si estuviera compuesta de partículas, y eso fue lo que hizo en otro escrito de aquel año memorable. Einstein establecía, además, una nueva concepción del espacio y del tiempo: el conjunto espacio-tiempo, en el que ocurren tanto la dilatación de los intervalos temporales como la contracción de los segmen-tos espaciales en la dirección de la velocidad de los cuerpos en movimiento, es inseparable; el tiempo y el espacio forman parte de un mismo ente, en el que evoluciona la materia-energía. partía, así, de una reformulación de la me-cánica; en el nuevo esquema, se ratifica un principio de relatividad que deja intactas las ecuaciones de Maxwell, modifica la segunda ley de la mecánica, en contra de la concepción de newton sobre espacio y tiempo absolutos y de su existencia al margen de la presencia o no de la materia, materia (masa) que es equivalente a energía, y se introduce de paso un postulado que a todas luces, dentro de la lógica del sentido común, parece absurdo: el de la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia. Ese postulado llevaría a la conclusión de que la luz no envejece, una propiedad que bien quisiéramos tener los que de ella vivimos y nos nutrimos, seres vivos de todas las especies posibles9.

En contra de la evidencia experimental aportada por sus predecesores británicos y franceses, Einstein asumió en uno de sus trabajos que la energía de la radiación electromagnética era transportada por corpúsculos que viajan a velocidad c en el vacío. subsistía un pequeño problema adicional: los avances astronómicos habían sido enormes. El efecto doppler, característico de fenómenos ondulatorios, mostraba a todas luces que los cuerpos celestes, emisores de luz, se mueven a diferentes velocidades. En particular, como pudo deducir el astrofísico norteamericano Edwin powell Hubble unos veinte años más tarde, las galaxias se alejan unas de otras a velocidades tanto más grandes cuanto más alejadas se encuentran (Ley de Hubble)10.

9 Hay organismos anaeróbicos, pero sin la luz, en alguno de sus rangos de frecuencia, es inconce-bible cualquier proceso químico, mucho menos biológico o vital.

10 Los artículos que Einstein publicó en 1905 fueron: “sobre el movimiento requerido por la teoría cinética molecular del calor de pequeñas partículas suspendidas en un líquido estacionario”, en el que se explica el movimiento Browniano; “Un punto de vista heurístico sobre la produc-ción y transformación de luz”, en el que se estudia y explica el efecto fotoeléctrico; “sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento”, fundamento a la teoría de la relatividad especial; “¿depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energía?” en el que se analiza la equiva-lencia masa-energía con la fórmula E = mc², siendo E la energía, m la masa y c la velocidad de la luz. Un quinto trabajo publicado fue su tesis de doctorado.


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parecía aceptable, entonces, que si un objeto celeste se aleja se verá más rojo, mientras que por el contrario, si se acerca se verá más azul. Einstein no tuvo inconveniente alguno en asumir que los corpúsculos de la luz proceden-te de una fuente en movimiento cambiarán de color, siguiendo en esencia el comportamiento previsto por el austríaco christian doppler para las ondas de sonido. En el fondo, eso es más o menos equivalente a suponer que cuando la bola roja en movimiento sobre una mesa de billar golpea a una cualquiera de las blancas que se encuentran en reposo, no solo sale cada una de ellas con diferente velocidad (un comportamiento muy diferente al de los extraños cor-púsculos de luz), sino que sus colores también cambiarán: algo insólito.

según Einstein, cada corpúsculo de la luz emitida tendrá ener-gía E = hν, siendo ν la frecuencia de la luz y h la constante de planck11,

pero la frecuencia dependerá de la velocidad con que se mueva el emisor con respecto al observador (recuérdese que c =λν, siendo c constante). El resul-tado luce prácticamente igual a la fórmula de Planck, pero para llegar a él hay que partir de hipótesis más atrevidas que la suya. tanto que ninguno de los físicos del momento tomó en serio a Einstein. de hecho, hay que suponer que un corpúsculo y una onda se comportan en ocasiones de la misma manera, una afirmación que nadie, ni el intrépido Einstein, estaría dispuesto a aceptar. Veinte años después, la explicación de un experimento conceptualmente más sencillo que el de las bolas de billar, el choque entre un fotón de alta energía y un electrón en reposo, el llamado efecto Compton, no dejó lugar a dudas: la luz, un típico fenómeno ondulatorio, está compuesta de corpúsculos que se mueven permanentemente a velocidad c y cuya energía (léase frecuencia de la onda, ν) depende del observador. Lo notable es que el efecto doppler en la luz sí ocurre, comportándose entonces como onda, con consecuencias cosmológi-cas trascendentales, como se discutirá más adelante.

da la impresión, al leer los textos convencionales, que la revolucionaria pro-puesta de Einstein fue motivada por la búsqueda de una posible explicación al denominado efecto fotoeléctrico. Eso no es cierto. Einstein había estado trabajando en la estadística de un gran enjambre de corpúsculos por espacio de varios años, lo que le permitió entender a fondo los conceptos subyacentes en la física estadística de Boltzmann. su familiaridad con el tema le permitió descubrir errores conceptuales o contradicciones en el procedimiento seguido por planck. La explicación del efecto fotoeléctrico, al que se hará referencia más adelante, fue apenas un corolario de su revolucionaria hipótesis. Vale la

11 planck y Einstein son los protagonistas principales del presente capítulo; vale decir, para poder concentrarnos en las implicaciones de sus postulados, no insistiremos en las aplicaciones tan diversas, entre ellas, la física atómica, la física nuclear, la física de partículas, la astrofísica, la física del estado sólido y tantas otras, de indudable manufactura cuántica. a ellas volveremos en los capítulos restantes y, sobre todo, en la segunda parte. Estadísticas cuánticas se suelen llamar a los formalismos que constituyen la esencia de las aplicaciones de la física estadística en diversos campos.


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pena mencionar, de paso, que el efecto Compton ya aludido, descubierto en 1923, fue también una consecuencia lógica de la nueva concepción sobre la luz: un rayo de luz es un enjambre de fotones. cuando alguno de los miembros de ese enjambre golpea una minúscula partícula, el electrón, se recrea el juego de la mesa de billar... pero en condiciones cuántico-relativistas. La denominación dada a los granos de luz, fotones, fue introducida por el químico norteamerica-no George Lewis en 1926. (Véase más adelante).

El joven, ya graduado y en el inicio de su carrera hacia la fama, fue más lejos que planck, aplicando esas ideas a otros campos de la física. descubrió, por ejemplo, que se podía explicar el calor específico del diamante asumiendo que las vibraciones de los átomos en el interior del cristal (sonido) están cuan-tizadas: introdujo así, sin darse cuenta, los fonones, aunque no haya tenido mucho que ver con la fonología. Recuérdese que el calor específico de un cuer-po o sustancia es la cantidad de calor que hay que suministrarle a la unidad de masa para incrementar en una unidad (grado) su temperatura. Esa descomunal contribución de Einstein a la física del estado sólido y de la termodinámica, en su versión microscópica la física estadística, no ha sido aún suficientemen-te valorada. Habría, entonces, no solamente granos de energía presentes en las señales luminosas sino también en las ondas sonoras. ahora sí, después de Einstein: de ahí a cuantizarlo todo, hasta la supuestamente inmaterial infor-mación, en verdad había solo un paso. ¡costosísimo, por cierto, desde el punto de vista conceptual!

de Broglie haría su propuesta igualmente revolucionaria 18 años más tarde, en condiciones similares a las del joven Einstein, para optar al título de doctor. pero en cierto sentido la suya era más atrevida que la de aquel … y habría de llevar las fronteras de la física mucho más lejos. otros jóvenes de entonces (di-rac, pauli y Heisenberg, entre otros), desprovistos de prejuicios, se encargarían de elaborar el formalismo.

(Los átomos y su tamaño, las diversas hipótesis, algunas teorías atómicas y un poco de lo que ocurre en el interior del núcleo atómico, serán discutidos someramente más adelante. algo de esto se encuentra también en el primer capítulo del libro sobre Nanotecnociencia).

1.2 órbitas cuantizadas

Antes de la revolucionaria hipótesis de Planck, justo a finales del siglo XIX, se habían hecho descubrimientos de gran importancia para la física. Mencio-namos dos de enorme relevancia. poco después de realizado el fallido experi-mento de los norteamericanos abraham Michelson y Edward Morley (el primero de ellos, de origen alemán), transcurrida una década desde la producción de ondas electromagnéticas, se dio el descubrimiento del electrón, en 1897; tan


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celebrado acontecimiento correspondió al británico Joseph John thomson12.

poco antes se habían descubierto, la mayor parte de autores suelen decir que por accidente, tanto los rayos X como el fenómeno de la radiactividad; los nombres de röntgen y de Becquerel están ligados, respectivamente, a uno y otro descubrimiento. Eran épocas en que accidentes de ese tipo ocurrían a menudo. contrario a ese procedimiento usual, el descubrimiento de la primera partícula elemental (hasta donde sabemos hoy, lo sigue siendo) fue planeado: había varias pistas.

pasaron desde entonces tres años antes de que se produjera ese aconteci-miento de gran trascendencia para la física al que ya se ha hecho referencia. El peso de lo que se anunció el 14 de diciembre de 1900 marcó un nuevo de-rrotero, inclinando inesperadamente la balanza hacia una nueva forma de ha-cer ciencia. cinco años más tarde, a lo largo de 1905, se sucedieron los cinco famosos artículos de Einstein, cada uno de ellos de singular relevancia. para empezar, tres teorías diferentes surgieron de esas semillas: la relatividad, la teoría cuántica de la luz y una nueva teoría estadística de la materia. algo de eso puede verse en mi breve monografía sobre el genio entre genios. (Esta últi-ma puede obtenerse libremente de la página de «Buinaima»).

Aunque más o menos conocido por la comunidad científica, a nivel popular no se ha hecho justa referencia al artículo de Einstein (y a su tesis doctoral) que predice(n) cómo determinar el tamaño de aquellas discutibles partículas de materia, hipótesis de trabajo de los químicos desde hacía un siglo, inaceptables para Ernest Mach y muchos de sus colegas y compatriotas alemanes: los átomos y las moléculas. su inequívoca existencia, a partir de los experimentos del francés Jean Baptiste perrin en 1908, sirvió de detonante para que se intentara desentrañar el gran misterio de la constitución última de la materia, un proce-so de búsqueda incesante que continúa vigorosamente. (cuando se completan estas notas, a mediados de 2009, se está a punto de poner a funcionar nueva-mente el LHc, por sus siglas en inglés, para reanudar el esperado experimento de producción y posible detección de la partícula divina). paradójicamente ese artículo y su tesis doctoral, los dos trabajos que a la postre incidieron menos en la fama universal de Einstein, fueron los únicos que en aquel momento recibie-ron aceptación de varios, no todos, sus colegas.

correspondió al neozelandés Ernest rutherford abonar el terreno para prepa-rar lo que finalmente sería un modelo cercano al actual sobre los constituyentes últimos de cada substancia. rutherford llegó a cavendish en 1895, justo a tiem-po para participar del trascendental experimento de su provisional o temporal jefe, thomson. Las investigaciones de aquel giraban en torno al extraño fenó-meno de la radiactividad, ya mencionado, para entonces recién descubierto.

12 puede decirse que el experimento fue fallido, en cuanto a lo que se proponía; fue todo un éxito, como inicio del derrumbe del imaginario éter. El famoso experimento de thomson se presenta en el capítulo tercero.


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no es posible en unas pocas páginas relatar detalladamente la historia de aquel periodo decisivo. En resumen, la formación de rutherford al lado de thomson y su familiaridad con los experimentos de sustancias radiactivas, le sirvieron para dar con el blanco perfecto en 1909, el núcleo de los elementos; se había develado nada menos que el interior del átomo. aunque su modelo atómico planetario, electrones orbitando alrededor del núcleo, no cabía en el esquema clásico dominante, le abría espacio a una solución más radical para los serios problemas que la física de entonces afrontaba. ¡nada volvería a ser lo mismo!

Figura 1.3. a) Joseph John thomson (1856 – 1940); b) Ernest rutherford (1871 – 1937); c) niels Bohr (1885 – 1962).

El modelo de rutherford estaba mal, a pesar de lo ingenioso. El danés niels Bohr propuso algo mejor, a la postre también equivocado, pero con ingredientes adecuados para generar las nuevas ideas que la construcción del edificio cuán-tico requería. Los dos modelos eran, a pesar de todo, mucho más realistas que el imaginado por thomson: una especie de jalea con pasas, en donde las pasas serían los electrones y la jalea contendría la carga positiva indispensable para neutralizar el átomo; un modelo infantil para un universo que equivocadamente se supone lleno de lo que en apariencia se deja ver, a pesar de las brillantes es-peculaciones de los primeros atomistas. no, el átomo no solamente es divisible, su interior está prácticamente vacío, como previeron los atomistas, y la materia (hadrónica, hemos de corregir desde ya) se concentra en una pequeñísima re-gión, el núcleo. Las nubes electrónicas son solo eso: insignificantes nubarrones en el universo nuclear; y sin embargo, de ellos depende el comportamiento de la materia que observamos en la tierra, la misma de la que estamos hechos.

pero la historia no termina ahí. después de 100 años de teoría cuántica, después de un siglo de logros inimaginables en la electrónica, en la física del estado sólido y de la materia condensada, en las físicas nuclear y de partícu-las elementales y en la cosmología, ahora resulta que ese universo nuclear (bariónico, como se le denomina hoy, por oposición al leptónico, en el que se


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ubican los electrones) develado por rutherford y enriquecido por quienes le sucedieron es apenas una mínima parte del todo; la mayor parte resultó ser in-visible para los más potentes microscopios y telescopios en más de un 96 %. En efecto, ahora parece claro que la materia oscura, la energía oscura y la energía fantasma o exótica conforman el 96 % de la materia-energía que constituye el Universo. aquella expresión romántica, estamos hechos de la misma materia de que están hechas las galaxias, perdió piso. En menos de 500 años la humanidad dejó de ser el centro del universo creado por una divinidad externa a él. ahora se sabe que cuando la especie humana desaparezca, poco importará al planeta que la generó; recuérdese la frase de Gribbin citada en la introducción; peor aún, el resto del Universo ni siquiera habrá percibido nuestro efímero paso por el cosmos. sirva esta premonición como argumento en contra de quienes, intentando dar una fundamentación científica a la nueva astrología, desde la nueva era, dicen que somos parte del gran átomo universal, un tema al que tangencialmente me referiré posteriormente. dejo este asunto para tratarlo más a fondo en una segunda parte.

El siguiente paso de alto riesgo lo dio Bohr en 1913, intentando ensam-blar distintas piezas de un rompecabezas. su creatividad le llevó a pro-poner que los electrones se sentirían cómodos en algunas órbitas para las cuales sus momentos angulares serían múltiplos de la constante de planck, h-barra. Por simplicidad, en los textos de enseñanza media suele definirse el momento de una fuerza con respecto a un punto como el producto de la fuerza por el brazo. En forma similar, la magnitud del momento angular L es el momento del momentum o cantidad de movimiento lineal p, definido éste último en magnitud como el producto de la masa m por la rapidez v, mv13.

para ilustrar el valor de esa nueva cantidad en un caso trivial, el momento angu-lar, cuando un objeto se mueve en trayectoria circular de radio r, es L = mvr.

como ħ = h/2π y L = nħ, una consecuencia de la cuantización del momento angular es que las órbitas atómicas están cuantizadas, con radios que dependen de n y de ħ: rn ∝ (nħ)2 14. se encuentra que la energía en cada nivel varía en proporción inversa, 1/nħ, correspondiendo el menor valor posible a n = 1. El

13 En términos sencillos, se denomina momento de una cantidad física al producto del brazo o distancia desde el punto de acción a un punto de referencia u origen por la cantidad física en cuestión; la definición rigurosa es un poco más complicada, pues parte de lo que se denomina producto vectorial: el momento o torque de una fuerza es r×F. para precisar aún más el len-guaje, es bueno hacer notar que el término momento cinético, cuando alude a lo que más ex-tensamente se denomina cantidad de movimiento angular, es erróneo o por lo menos equívoco; momentum angular, es la denominación adecuada; momento en la primera parte de la frase es una mala traducción del inglés momentum, pero así lo ha establecido su uso en español. En este ensayo, se acoge por comodidad esa costumbre.

14 El nombre, h-barra, hace alusión precisamente a la división de la constante de planck por el ángulo total de la trayectoria circular, 360°, expresado en radianes. su valor en el sistema MKsa es, como ya se dijo, de 1.05x10-34 J·s.


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resultado más importante de tan atrevida hipótesis es que los electrones sólo podrán emitir radiación al saltar de regreso de una a otra órbita permitida, algo que echa por tierra uno de los dogmas sagrados de la teoría electromagnética clásica. Bueno es tener en cuenta desde ya que el salto no es clásico, es un salto cuántico: no hay posiciones intermedias en la transición, vale decir, no hay propiamente una situación transitoria del electrón en el sentido clásico de la expresión. La pregunta debería ser entonces: ¿qué fue del electrón mientras cruzaba de uno a otro nivel? La respuesta bien podría ser: todavía no lo sabe-mos. o más lacónica: ¡jamás lo sabremos! a lo mejor dejó de ser electrón para convertirse en una remota posibilidad electrónica.

Pero sí hay cosas tangibles que podemos afirmar. La energía irradiada por los átomos al saltar el electrón de una órbita superior a otra de menor energía es precisamente igual a la de los corpúsculos de energía postulados por Eins-tein. Fue el danés quien supo aprovechar a fondo la controvertida hipótesis de aquel. ¡Bohr había logrado que la ficha encajara perfectamente en el tablero del rompecabezas! de paso, Einstein y él abrieron el camino a aplicaciones tan colosales como el rayo láser.

1.3 Los responsables de la confusión iluminante

transcurrieron todavía un par de años antes de que el norteamericano robert Millikan, tratando de mostrar la falsedad de la hipótesis de Einstein, verificara su acierto. Los cinco personajes de esa primera revolución cuántica ya mencio-nados (Bohr, de Broglie, Einstein, planck y rutherford), al igual que Heisenberg, schrödinger, dirac, Born, Jordan, pauli y varios pioneros más, entre los que se cuentan Millikan y otros renombrados físicos de esa etapa, quizá la más revo-lucionaria de la física de todos los tiempos, fueron galardonados con el premio nobel por sus contribuciones al surgimiento de la nueva teoría.

Max Karl Ernst Ludwig planck nació el 23 abril de 1858, en Kiel, schleswig-Holstein, alemania. su atrevida, no por desesperada menos valiosa y revolu-cionaria, propuesta sobre los quanta le llevaría a ganar el premio nobel de física en 1918, un tiempo en apariencia muy extenso para una contribución sin precedentes a la física, pero comprensible precisamente por lo revolucionario de la idea, la de mayor impacto en el desarrollo futuro de la física al lado de la relatividad; él mismo no se aventuró a hacer interpretaciones de su trascenden-tal acertijo, emparentado necesariamente con la hipótesis atómica, repudiada ésta por los más destacados físicos alemanes. La arena del debate de las nue-vas ideas que surgirían habría sido más fácil imaginarla ubicada en Inglaterra o Francia, menos en alemania. no obstante, ocurrió lo impensable.

El siguiente avance público de la teoría cuántica se produjo, como ya lo ad-vertí, cinco años más tarde, mas no en alemania, y estuvo protagonizado por


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albert Einstein, de sangre judía. a diferencia de planck, Einstein era un des-conocido... pero había seguido meticulosamente, desde muy joven, los pasos de aquel y de otro gran físico de su tiempo, Ludwig Boltzmann. Einstein aplicó otra hipótesis cuántica a una intrigante cuestión, el efecto fotoeléctrico, al que nos hemos referido en la monografía divulgativa ya mencionada y se volverá después, al final. otros apuntes históricos encontrará el lector en la monografía Genio entre genios y en diversos libros de carácter histórico-epistémico que menciono enseguida y recopilo al final.

Figura 1.4. planck (1858-1947) y Einstein (1879-1955), los mayores responsables de una revolución todavía en efervescencia. www.cienciaficcion.com/cienciaficcion

Algunos avances significativos ocurrieron en el transcurso de las dos décadas siguientes. pero los resultados teóricos más consistentes de la cocina cuántica surgieron con posterioridad a la hipótesis de de Broglie, en menos de un lustro. ni siquiera los resultados iniciales de Bohr y su explicación de las líneas espec-trales del átomo de hidrógeno pueden verse como el logro de una verdadera teoría física, más bien son el resultado de complejos malabarismos.

En 1916 Einstein había concluido su teoría General de relatividad y prestó nuevamente atención a lo que se estaba cocinando. para entonces, los resulta-dos y las posibles explicaciones de lo que ocurre en el núcleo estaban de moda. Einstein vislumbró la similitud entre las transiciones electrónicas en los átomos y los decaimientos en los núcleos radiactivos. Uno de sus mayores éxitos del momento (1917) fue deducir la fórmula de planck para la radiación del cuerpo negro utilizando solamente ideas cuánticas y sentando los cimientos teóricos de máseres y láseres. Echando mano de las ideas estadísticas de Einstein, Bohr ex-tendió su modelo atómico intentando explicar, no solamente la presencia de las líneas espectrales, sino también su intensidad. ¡no tuvo mayor éxito! Lo intri-gante del asunto es que se puede hacer una buena predicción estadística con su


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modelo, pero no se logra saber la causa última que ocasiona el decaimiento del núcleo o la desexcitación electrónica, también denominada emisión atómica.

En la búsqueda de la explicación a tantos interrogantes surgió una «ruptura con el principio de causalidad» que de ahí en adelante no dejaría en paz a Einstein. Ese largo periodo histórico se ha cubierto profusamente por los histo-riadores de la ciencia. se aconsejan en particular las bien documentadas obras Quantum generations (Generaciones cuánticas) e Historia de la física cuántica, escritas respectivamente por Helge Kragh (2007) y Jesús María sánchez ron (2001). Un ensayo más breve, centrado en uno de los personajes más geniales y controvertidos de esta historia, de gran valor histórico-epistemológico, es el de antonio Fernández-rañada: Ciencia, incertidumbre y conciencia. Heisenberg (2004).

1.4 motivación para un ‘post scriptum’

Sin ser especialmente novedosas, aún incompletas, estas notas difieren de las de otros autores alrededor del tema. antes que nada, es bueno aclarar que se apartan de otras en el orden más que en el contenido. En segundo lugar, son diferentes los propósitos que se han tenido en mente al escribirlas. Los párrafos siguientes intentan reflejarlos. En cuanto a lo primero, se ha hecho caso omiso del orden cronológico, es decir, de la historia de aquel primer cuarto de siglo, para centrar la atención en lo que contemporáneamente debería subrayarse, de acuerdo con lo ocurrido en este último cuarto de siglo ¡Estamos en el perio-do de la segunda revolución cuántica! El lector minucioso podrá ir a los detalles históricos documentados en libros especializados, como los ya citados de Kragh, sánchez ron, Fernández-rañada y otros. añádase a la lista la más importante documentación sobre esa época que se había escrito hasta 1966: The concep-tual development of quantum mechanics, de Max Jammer.

Lamentablemente la mayoría de los textos que se encuentran en el mercado de habla hispana suelen ser o muy formales o muy laxos o muy históricos, sin que logren cometidos conceptuales importantes. En los últimos 25 años las cosas han cambiado también radicalmente. no porque se haya avanzado con nuevas teorías, sino más bien porque finalmente estamos dispuestos a aceptar las más dramáticas consecuencias de la que se cocinó en aquellos primeros 25 años; los experimentos más rigurosos, de imposible realización en aquella primera infancia de la teoría, finalmente han verificado la validez de sus más extrañas predicciones. Queda por ver lo que resulte de la máquina más costosa para examinar lo más pequeño, el denominado LHc o gran colisionador de hadrones, por sus siglas en inglés (large hadron collider, en el cErn). Hablaremos de ello en un opúsculo (y por supuesto en Unos cuantos dos). Al final de este capítulo se recomiendan algunas obras divulgativas, dignas de tenerse en cuenta.


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El presente trabajo es apenas un post scriptum a otro texto escrito a varias manos en 2007, Nanotecnociencia, y por ende no debería tener introducción. a continuación se dan algunas de las razones que se tuvieron para proceder de otra manera... para escribir una larga introducción al post scriptum, o para decirlo en forma tajante: pergeñar una introducción con posterioridad al ensa-yo a varias manos. sigue siendo esto último, no un malogrado epílogo sino un post scriptum, preliminar para más señas; se espera que quienes tengan alguna experiencia en los temas tratados puedan encontrarlo interesante y hasta di-vertido. como ya se advirtió, se tiene en mente escribir, a partir de este primer intento, un libro detallado con un título similar, ligeramente independiente de éste, dirigido a quienes se apasionan por estos asuntos y no tienen una mínima formación en matemáticas o en ciencias. Quizá el presente ensayo alcance a llegar a algunos de mis colegas docentes de distintas disciplinas y de diversos niveles (de quienes espero sus benevolentes observaciones), a los estudiantes de artes, de ciencias humanas y de otras facultades (a quienes desde ya solicito sus valiosas sugerencias); valdría la pena que llegara también a quienes pueden ser fácilmente víctimas de charlatanes que presumen entender la esencia de la teoría cuántica; tal parece ser el caso de quienes desprevenidamente han visto la película What the bleep do we know!15 no sobra repetirlo de nuevo: más que la historia, se han querido destacar los conceptos. aquella nos rodea por doquier y afortunadamente continúa su rumbo, gracias precisamente al esfuer-zo del ser humano por responderse las interminables preguntas que surgen de respuestas siempre incompletas.

Lo que en rigor podría llamarse prolegómenos, texto que empezara como post scriptum, es decir como apéndice, finalmente parte integral del texto que el lector tiene entre sus manos (es probable que en algún cercano futuro circulen de manera simultánea una nueva edición de los dos textos, Nanotec-nociencia y Unos cuantos para todo I y II), surgió de dos actividades comple-mentarias: el curso de «física cuántica para todos y para todo» al que ya se ha hecho referencia, ofrecido como curso de contexto a través de la dirección aca-démica de la Universidad nacional de colombia – sede Bogotá, probablemente curso virtual en el futuro) y un taller anterior para maestros, patrocinado por el Ministerio de Educación nacional dentro de las actividades del denominado «Año de las Competencias Científicas», coincidente con el «Año Mundial de la Física». El taller, realizado a fines de 2005, versó sobre «la nanotecnociencia», y sirvió de tema central y embrión del libro a varias manos con el mismo título.

15 Escribe steven novella, en el comentario publicado en su página web con el título Curanderos cuánticos alrededor de esta película que, dicho sea de paso, ya tiene su segunda y tercera parte(s): “cuando se intenta convencer a los investigadores en astrología, mediums y percep-ción extrasensorial acerca de la aparente imposibilidad de sus afirmaciones, la forma más sofis-ticada que tendrán de defenderse será, casi con toda certeza, la de farfullar algo relacionado con la mecánica cuántica”. (Véase la página theskepticsguide.org) Volveremos a este espinoso asunto en el capítulo sexto.


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El curso de contexto, ofrecido dos años después, fue motivado por el taller pero fue más lejos; la acogida que tuvo le ha dado continuidad y se espera que la siga teniendo, a lo mejor amplificada. Las dos actividades obligaron al autor a diseñar estrategias para comunicar algo que suele mostrarse como inaccesible al no experto: la fenomenología cuántica. se hizo con dos propósitos. El pri-mero, mostrar que los cuantos (léase si se quiere cuanta: plural castellanizado de quanta) tienen que ver con todos y todas... y con todo; el segundo, que la tecnología moderna no puede entenderse al margen de la teoría cuántica. En particular, es necesario subrayar que quienes invocan la nanotecnología sin recurrir a la mecánica cuántica, teoría en abierta contradicción con la lógica clásica, están desconociendo que: a) la nanociencia, como descripción válida de los fenómenos del mundo submicroscópico, empezó a desarrollarse mucho antes que sus aplicaciones, desde hace ya un siglo; b) esas aplicaciones habrían sido impensables sin el nuevo enfoque científico. Las dos características ante-riores, resumidas en el reconocimiento ya centenario de que la ciencia es pre-cursora de la tecnología, no se dieron tan claramente con la tecnología a escala macroscópica de las primera y segunda revoluciones industriales; se dan en la época postcontemporánea. Los dos aspectos, la necesidad de la divulgación en términos sencillos para comprender un inmenso rango de fenómenos que nos circundan e involucran (sin que lo percibamos) y las innumerables aplicaciones que de ella se derivan, justifican el esfuerzo por poner al alcance de todos los hispano-lectores los aspectos sustanciales de la teoría cuántica. La presente es una primera aproximación del autor y otros colegas, no propiamente a la divulgación de dicha teoría, sino más bien a un texto previo a esa cada vez más indispensable divulgación: recuérdese la premonición de sagan citada en la introducción.

La teoría cuántica es sustancial para quienes quieran, no solamente entender algo desde la perspectiva científica de lo que pasa por debajo y por encima de la escala habitual en que nos movemos, sino también para tener una vaga idea de cómo funcionan los dispositivos de uso diario en la tecnología moderna. Las propiedades físicas del adn, punto de partida para la vida misma y su reproduc-ción, no pueden entenderse sin recurrir al formalismo cuántico. preguntas tales como ¿de dónde venimos? o ¿para dónde vamos? tienen que incluir el nuevo paradigma científico; de lo contrario, se empieza por formularlas mal. El MP3, el Mp4, el ipod, aplicaciones de la nanociencia que ya han dado lugar a premios nobel, son consecuencia de esta nueva concepción del mundo y sobre la mate-ria, la energía y la información cuánticas. a lo mejor le interese al lector la nota que para periódico escribí con otro colega con motivo del nobel en física en 2007: http://www.unperiodico.unal.edu.co/ediciones/107/14.html

a la postre, hay mucho más en la teoría cuántica; la denominación dada al curso de contexto lo sugiere. se trata, por un lado, de contrarrestar la opinión, generalizada, de que las llamadas teorías clásicas describen el universo macros-


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cópico y que la teoría cuántica está limitada a los fenómenos microscópicos. En el universo de los fenómenos físicos, nada hay mayor que el Universo mismo. pues bien, en este terreno, el origen de ese universo está asociado a un princi-pio cuántico fundamental: el principio de indeterminación. Lo mismo puede de-cirse de cualquier otro fenómeno. La confusión reinante puede deberse a que la constante fundamental de la teoría, el cuanto (o quantum) de acción, es dema-siado pequeña. nos apartamos también de la opinión de Bohr, en el sentido de que “no importa que tan lejos los fenómenos (cuánticos) trasciendan el alcance de una explicación de la física clásica, la acumulación de toda evidencia debe expresarse en términos clásicos”. (niels Bohr, Escritos Filosóficos). también las Ciencias de la complejidad, la nueva Termodinámica y la Teoría de información (por ende, las nuevas t.i.c., o tecnologías de la información y comunicación, absurdamente puestas como panacea pedagógica; remito una vez más a la pá-gina de «Buinaima») tienen mucho que ver con el paradigma cuántico. a esos temas volveremos en el siguiente ensayo.

se insiste con demasiada frecuencia en que una de las implicaciones más trascendentales del cuanto de acción es la de que la observación afecta toda medida. Por tal razón, a lo mejor un poco ingenuamente, se afirma que si no se requiere invocar los principios cuánticos para todo, es porque, como escribió el británico paul audrian Maurice dirac en el primer capítulo de su monumental obra Principios de mecánica cuántica: “si el objeto considerado es tal que la al-teración límite inevitable se puede despreciar, se dice que el objeto es grande en sentido absoluto; si, en cambio, dicha alteración no es despreciable, el ob-jeto es pequeño en sentido absoluto...”. Más adelante se reafirma esta juiciosa observación, la que conduce al llamado principio de correspondencia. pero...

1.5 una revolución que continúa siendo molesta

por lo dicho atrás, dirac se quedó corto. no solo porque el origen del Uni-verso no es clásico; al menos no podremos imaginarlo sin recurrir a los quanta. Como afirma Ramón Lapiedra en reciente ensayo (Las carencias de la realidad, tusquets, 2008): si hoy no dispusiéramos de tan poderosa herramienta, tendría-mos que inventarla de algún modo. Los fenómenos colectivos, presentes en mu-chas de las aplicaciones de lo que se denomina física de la materia condensada, es decir, de trozos de materia en la que están participando coordinadamente del orden de, para dar una idea, un cuatrillón (la unidad seguida de 24 ceros) de partículas o entes cuánticos concentrados en un volumen no superior a un centímetro cúbico, para todos los efectos un tamaño macroscópico, tampoco tienen una explicación clásica; y si el trozo de materia es mucho menor, hay aún menos razones para esperar que la lógica clásica pueda permitirnos enten-der su comportamiento. algo de esto se discutirá en el último capítulo, en los opúsculos y en el ensayo en preparación (véase también el libro sobre Nanotec-nociencia).


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pero hay todavía más, como se desprende de cuidadosos experimentos rea-lizados durante las dos últimas décadas: si bien es cierto que la medición o la observación, casi siempre una interacción con el sistema, altera el objeto observado, esa no es la única consecuencia de aceptar los principios cuánticos. aceptarlos y, sobre todo, materializarlos, ha llevado a lo que muchos reconocen como la segunda revolución cuántica. Investigadores de la Universidad de Inns-bruck han conseguido lo que denominan «interaction-free-measurements» (me-didas libres de interacción). parodiando a Einstein, la consecuencia es tajante y, hasta cierto punto, cruel: ¡el sentido común y la sensatez han sido refutados¡ También la noción misma de realidad... a menos que sea redefinida, o estemos dispuestos a aceptar que es un mito más: Einstein se revolcaría en su tumba. Es aquí donde los embaucadores, siempre tan abundantes y acuciosos o astutos, pueden aprovechar la ocasión para hacer de las suyas.

algunas frases del párrafo anterior requieren de una explicación para el lector no familiarizado con estos temas. La propuesta de planck, presentada ante la academia en 1900, más que respuestas claras, creó más confusiones. Él mismo escribiría 20 años después a un amigo: “puedo caracterizar el proce-dimiento entero como un acto de desesperación...”. personalmente planck, no solamente sus contemporáneos, siguió pensando en términos clásicos. Más abierto a nuevas ideas, Einstein vislumbró mejor que aquel el valor intrínseco de la constante de acción, puesto que encajaba muy bien en su espacio tetra-dimensional.

de acuerdo con la teoría de relatividad, observadores que se muevan por el espacio unos con respecto a otros, describen de manera diferente, aunque utili-zando las mismas leyes, los mismos fenómenos, cada uno desde su propio marco de referencia. no estarán de acuerdo, por ejemplo, en la longitud de un metro que, con respecto a otros observadores, se mueva a lo largo de la dirección en que se mide su longitud; tampoco en los intervalos de tiempo de sus diferentes relojes y, por ende, en la edad de sus contemporáneos. pero la contracción de la longitud y la dilatación del intervalo temporal en cierto sentido se compensan: el intervalo espacio-temporal sigue invariante, como lo era antes la longitud de una barra rígida. La acción, una cantidad poco usual en la física newtoniana, envuelve energía y tiempo: resulta ser la misma para todos los observadores. por extraño que suene, la teoría de relatividad es una teoría de invariantes. Esta aclaración permite hacer una afirmación más: están equivocados quienes opinan que las teorías de Einstein les permite relativizar en forma absoluta el conocimiento y sus consecuencias. En otras palabras, el pensamiento complejo a veces no es tan complejo, o mejor, algunos de sus propulsores dejan de utili-zar los criterios de la ciencia para convertirla en otra cosa.

Einstein abonó el terreno para continuar cuantizando cantidades físicas. aun-que sus aportes a la teoría cuántica en aquel cuarto de siglo fueron muchos, podría decirse que más tarde se desentendió del asunto... excepto porque él


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mismo supuso que algunas de las hipótesis eran solo eso: hipótesis de trabajo, ideas momentáneamente útiles a las que después se les podría dar una adecua-da interpretación, cuando la teoría de relatividad y la teoría cuántica encaja-ran perfectamente. transcurridos cien años, su sueño no se ha hecho realidad. Las nuevas generaciones de físicos se han apartado del escepticismo de Einstein con respecto a la teoría cuántica. La interpretación de la teoría se aleja cada vez más de la prevista por aquel.

Hay otros aspectos interesantes, usualmente no discutidos en los cursos de física cuántica para físicos, en su mayoría caracterizados por dejar de lado los aspectos conceptuales, en particular los que tienen que ver con la interpre-tación; o por evadir preguntas que al menos por ahora carecen de respuesta. ¿tiene la física cuántica algo que decir acerca de la conciencia? La vida, ¿es un fenómeno marginal a lo cuántico? aunque someramente, estos y otros aspectos se abordarán a la luz de recientes experimentos más adelante o en el futuro ensayo.

Se quisiera ampliar estos y otros temas que van del arte y la filosofía a otros aspectos quizá más esotéricos, no por ello menos apasionantes para los científicos: la ciencia no puede negarse al diálogo de saberes. Este ejercicio, practicado con los estudiantes del curso Cuántica para todos y para todo (le seguiremos llamando cptpt), procedentes de todas las facultades de la – sede Bogotá, ha sido extremadamente provechoso. su proyección bien podría servir para enfrentar a los charlatanes tipo curanderos cuánticos; de paso, para empezar a mirar con el respeto que se merecen las cosmogonías presentes en nuestras culturas ancestrales, usualmente consideradas ignorantes y por tanto merecedoras de exterminio. ¡Qué ignorantes y atrevidos hemos sido los ufanos herederos de la civilización occidental, herederos también de las tremendas desgracias que ha propiciado su univisión!

1.6 Ciencia, conciencia e información: ¿un nuevo cambio conceptual?

para no desviarnos del objetivo central de estas notas, no abordaremos los temas anteriores en el presente ensayo; quedarán aplazados para la siguien-te oportunidad. recientemente ha surgido un campo revolucionario, conocido usualmente como información cuántica. La denominación es confusa. su impor-tancia es enorme, si se tiene en cuenta que las nuevas t.i.c. echarán mano de sus resultados tan pronto estén disponibles. de hecho, la criptografía cuántica es ya un hecho.

El impacto de las nuevas t.i.c. en la pedagogía es cada día más grande. Y la ignorancia sobre su origen también. El autor y su grupo están trabajando tan-gencialmente en el asunto, sobre todo por las implicaciones epistemológicas,


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ontológicas y gnoseológicas y por su relación con un proyecto más ambicioso de cambio cultural. Le hemos denominado «proyecto EtHos Buinaima». para mayor información sobre sus objetivos, remitimos al lector a nuestra página.

La información cuántica y su trasfondo, procesamiento cuántico de aquella, es parte sustancial de la nueva revolución cuántica. Uno de los opúsculos está orientado a familiarizar al lector con la clave del asunto: el entrelazamiento cuántico.

1.7 algunas recomendaciones

Antes de poner punto final a esta primera parte de una no muy breve in-troducción a un post scriptum, vale la pena recomendar algunos libros que, aunque con propósitos diferentes, han salido al mercado y que pueden ayudar a cubrir parcialmente el vacío que se acaba de mencionar. a las ya clásicas obras populares, puede ahora sumarse en su traducción al español: Alice in Quan-tumland (“alicia en el país de los cuantos, una alegoría de la física cuántica”, por robert Gilmore). a otras dos quizá menos populares pero bien conocidas, El universo elegante (Brian Greene) y El universo en una cáscara de nuez (stephen Hawking), pueden agregarse estas tres más recientes: Biografía del Universo y Así de simple (John Gribbin) y The road to reality (roger penrose; vertida recientemente al español por Debate). a todas ellas deberían de adicionarse al menos otras dos: Física cuántica para filósofos (alberto clemente de la torre) y El burro de Sancho y el gato de Schrödinger (Luis González de alba). Estas últimas tienen la virtud de ofrecer, a costo razonable, una mirada más especí-fica a la fenomenología cuántica en su conjunto; únase a lo anterior el mérito de haber sido escritas originalmente en lengua castellana, la primera por un experto en partículas elementales, la segunda por un aficionado de mi genera-ción, quien participó de las famosas protestas en México durante un mundial de fútbol y fue por la misma razón, en gran medida, víctima sobreviviente de la masacre en tlatelolco ocurrida hace más de 40 años. González de alba es un reportero que, a decir verdad, me deja sorprendido: concluyo que no se nece-sita ser físico para transmitir el encanto y la esencia del mundo cuántico, pero hay que ser un buen divulgador, como él (fue premio nacional de periodismo científico en México en 1997)... y un poco osado (eufemismo de atrevido, en el sentido innovador del término). Hay allí valiosísimas referencias a literatura relevante; de algunas de ellas el autor de este ensayo no tenía conocimiento; están citadas al final.

no está de más mencionar otros textos en español útiles al no experto. El ca-pítulo introductorio al fascículo conmemorativo de la teoría cuántica en Revista Colombiana de Física (Vol. 33, # 1, editado por el autor con motivo de tan ce-lebrado centenario, disponible próximamente en la página www.buinaima.org), escrito por alicia de Mesa, es singularmente provechoso y ameno. El segundo


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es un precioso libro, escrito en forma de diálogo, el cual descubrí hace un par de años, titulado Quantum, el abuelo y la nieta. su autora, alicia capetillo, es ahora una reconocida divulgadora científica española y ha escrito una segunda parte, también en forma de diálogo, la cual aún no he leído: Quantum II. algu-nas otras referencias encontrará el lector en la bibliografía y al final del primer capítulo del libro sobre Nanotecnociencia. He aquí un par más, el primero un gran clásico: Evolución de la física, de albert Einstein y Leopold Infeld, una ex-celente divulgación de la física desde Galileo hasta los años 30, texto ya citado que conserva intacto su encanto original; Del mundo cuántico al Universo en expansión, del brillante físico y divulgador mexicano shahen Hacyan. El último pertenece a la colección La ciencia para todos (# 129), del Fondo de cultura Económica, serie en la cual el lector encontrará muchas otras obras relaciona-das con el tema. En la misma colección, Luis de la peña publicó recientemente, bajo el número 200, otra obra divulgativa que tiene mucho que ver con el tema: Cien años en la vida de la luz.

recientemente llegó a mis manos un ameno y sencillo texto originalmente en francés que fue traducido al español: Física cuántica, de Étienne Klein. consta de dos partes: Una explicación para comprender (fundamentos sin matemá-ticas) y Un ensayo para reflexionar (debate epistemológico). de la segunda parte, puede obtenerse una versión en pdf (también del texto de Einstein). no puedo dejar de referirme, así sea en forma tangencial, al libro de Lapiedra, ya mencionado. Carencias de la realidad no es solo un sugestivo título: su conte-nido es retador, para ir más allá de lo convencional, sin perderse en lo formal y sin caer en lo que desde sokal y Brickmont se denominan Imposturas Intelectua-les. allí se analizan juiciosamente desde el teorema de Bell hasta el origen del Universo. He tomado una parte de su capítulo inicial, combinado con el primer capítulo del clásico de dirac, para la elaboración del capítulo cuarto de este ensayo, el más comprometedor de todos.

1.8 si no siente vértigo, es porque no ha entendido

de acuerdo con los expertos más reconocidos, nadie comprende la mecánica cuántica.

Se dirá que lo mismo ocurre con la relatividad. Puede afirmarse que muy pocos la entendían antes de 1920. Era una época en la cual los físicos estaban todavía muy aturdidos con la nueva concepción del espacio-tiempo, ya no diga-mos curvo, pero incluso la que se deriva de la relatividad especial. a explicar y, de alguna manera, divulgar la teoría de relatividad se han dedicado megatone-ladas de papel. aunque no es trivial, haciendo un esfuerzo uno logra entenderla y hacerla asequible a quienes tengan un interés acompañado de un poco de paciencia. Esto ocurre, afortunadamente cada vez con mayor frecuencia, en círculos de astrónomos aficionados.


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no puede decirse lo mismo de la teoría cuántica. En los últimos años, quizá en la última década, las cosas se han invertido: ahora se escribe más sobre física cuántica, y las referencias tomadas casi al azar en la sección anterior lo atestiguan. pero la confusión sigue al acecho, en forma por demás peligrosa.

El título de esta sección es una cita, casi textual, de uno de los mayores res-ponsables de la teoría cuántica, niels Bohr. como lo señala González de alba en su libro ya citado, “si no sentimos vértigo ante la mecánica cuántica es que no hemos entendido... sentiremos vértigo al conocer”.

El siguiente párrafo es ya famoso en la literatura:

Hubo una época en que los periódicos decían que sólo doce hombres compren-dían la teoría de la relatividad... Seguramente fueron más de doce. Por otra parte, puedo afirmar sin riesgo de equivocarme que nadie entiende la mecáni-ca cuántica. (Richard Feynman, The character of physical law, Cambridge, MIT press, 1965).

Feynman, premio nobel en 1965, murió de cáncer en 1988 y es reconocido como uno de los más profundos expertos en teoría cuántica; su versión de la teoría, elegante, ingeniosa y original, conocida con el nombre de integrales de camino, y los diagramas de Feynman, aplicables en problemas de muchos cuer-pos, cuando los esquemas convencionales no son suficientes, comprueban el éxito de las recetas cuánticas allí donde el sentido común se vuelve impotente. su aporte más valioso al campo se conoce con el nombre de Electrodinámica cuántica. Esta frase suya, tomada casi textualmente, resume la esencia del método (véase capítulo cuarto):

«El electrón hace todo lo que se le antoja... Va hacia adelante y hacia atrás en el tiempo, sigue todas las trayectorias posibles simultáneamente... sume todas las posibilidades de lo que puede hacer el electrón y obtendrá con gran precisión el resultado deseado.»

La misma opinión que Feynman en el primero de los párrafos citados, han expresado con otras palabras muchos de los pioneros en el campo cuántico. Uno de sus fundadores, Erwin schrödinger, conocido por la ecuación que lleva su nombre, llegó a decir esta frase, ya citada atrás: “no me gusta, y siento ha-ber tenido alguna vez algo que ver con ello”. Einstein por su parte diría cosas como ésta: “Miro a la mecánica cuántica con admiración y recelo”; hasta llegó a afirmar, en los calurosos debates con la escuela de Copenhague que “habría preferido ser zapatero remendón antes que físico,” si las cosas fueran como la cuántica sugiere.

Lo anterior no es para desanimar al lector. He aquí una razón más para in-tentar, con estas notas, llegar al lector no experto que quiera conocer la parte conceptual de los fundamentos y prepararlo para que no sienta culpabilidad


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alguna por no entender la teoría cuántica. por el contrario, cuando se sienta aturdido con las consecuencias que pueden derivarse de la teoría, es porque está en el umbral de su aprehensión.

Figura 1.5. a) richard p. Feynman (1918-1988); b) Esquema del método de las integrales de camino: diversas trayectorias seguidas por un electrón cuando va de a a B; la trayec-toria que seguirá, mientras no se le observe es la superposición de todas las posibles, es decir, ninguna.

Hace ya más de tres décadas, cuando en colombia seguramente no había aún muchos expertos en el tema cuántico, el autor trató de seguir uno de los muchos caminos que se han explorado para aprehender clásicamente la feno-menología cuántica. El tema se continúa trabajando aún y cae dentro de lo que se denomina Electrodinámica estocástica, una teoría de variables ocultas de la cual hay muchas variantes. En esencia, el punto de partida es reconocer que existe una radiación de fondo cósmica, lo que ha sido plenamente confirmado, cada vez con mayor precisión. Diseñar instrumentos para su fina detección y descubrir tanto su forma (la típica de un cuerpo negro frío) como su anisotropía fue el mérito principal de los galardonados con el premio nobel en física en su edición 2006: John c.Mather y George F. smoot. después de los experimentos de Alain Aspect (1982) y muchos más, que confirman plenamente la incompa-tibilidad de las variables ocultas con la teoría cuántica y le dan fortaleza a las conclusiones más inesperadas de esta última, no queda alternativa alguna: o se renuncia a completarla, aceptándola tal como es y abandonando el camino de la interpretación provisional, o se encuentra otra teoría que la falsee. ante la imposibilidad, por ahora, de la última opción, el autor ha optado por la prime-ra, aunque no entienda el sentido de sus más polémicas predicciones.

por aquella época, la del experimento de aspect, se escribió una obra di-vulgativa a la que ya he hecho alusión y la cual vale la pena recomendar nue-vamente al lector: En busca del gato de Schrödinger (John Gribbin). declara


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su autor haber sido motivado por los muchos textos de mala calidad que para entonces se encontraban en el mercado, y rescata el valor de otra obra divul-gativa muy difundida, también recomendable: El tao de la física¸ de Fritjot capra, una excelente obra gravemente deformada por charlatanes de todos los colores, recientemente vertida a una nueva edición. para muestra, cito en la dirección de no recomendable para mis posibles lectores (para otros propósitos puede ser de ayuda), la del experto en autosuperación que no por simple coin-cidencia tiene un apellido similar al de capra, deepak chopra. por el contrario, otra obra de Gribbin que vale la pena consultar, recientemente vertida al espa-ñol, es: En busca de SUSY: supersimetria, cuerdas y teoria del todo.

Quizá sea la falta de una adecuada difusión de los conceptos cuánticos lo que ha permitido que se abuse en exceso de sus implicaciones, sobre todo cuando aquellos quedan a la libre interpretación de quienes ignoran su funcionamiento. se espera que estas breves notas ayuden a esa necesaria difusión o por lo menos no contribuyan a confundir aún más a sus posibles lectores.

La superposición de estados no es un asunto solamente probabilístico, como pretendía la interpretación estadística de la teoría, seguida entre otros por Einstein: la superposición es la esencia de las aplicaciones más recientes de aquella. El principio de superposición, sobre el que se ahondará un poco en el capítulo cuarto, está en la fundamentación misma de la mecánica cuántica. El término estado puede envolver algunas sutilezas, pero basta con la noción básica que se utiliza en el lenguaje ordinario para lo que sigue: el estado de un sistema físico se caracteriza por un conjunto de valores de las cantidades físicas (observables) que lo describen. En teoría cuántica, la descripción más sencilla de un estado se da por su energía. Es concebible pensar en sistemas tan sencillos como aquellos que con toda seguridad pueden encontrarse solo en unos pocos estados de energía, ordenados de menor a mayor. El más bajo se denomina estado base; los mayores corresponden a estados excitados.

considérese la situación más sencilla, un sistema de dos niveles, de dos es-tados, por brevedad designados como estado base o fundamental y estado ex-citado. El átomo de dos niveles es de uso frecuente en las aproximaciones a una situación física real. pero hay muchas situaciones físicas en que solo puede haber dos niveles o estados, entre las que destaca el valor posible del espín de partículas elementales como el electrón o compuestas como el protón o por-tadoras como el fotón. Hagamos lo que hagamos, al final tendremos siempre como resultado de una determinación o medición del espín del electrón uno entre dos valores posibles: +½ħ o –½ħ con respecto a una dirección escogida de antemano. Es cara o es sello, como el resultado de observar una moneda después de que es lanzada al aire y cae para decidir o escoger un ganador; o está muerto o está vivo, como le ocurre al gato de la paradoja de schrödinger, al que tendremos que recurrir a menudo.


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pues bien, el principio de superposición establece que, mientras no obser-vemos al sistema, tendremos que describirlo en un estado superpuesto. En el caso del espín electrónico, en la situación más sencilla nos limitaríamos a decir que existe la misma probabilidad de encontrarlo hacia arriba o hacia abajo con respecto a la orientación escogida. En el caso del gato de Schrödinger, diríamos que está mitad vivo y mitad muerto. aquí entra en juego un asunto que, a dife-rencia del caso anterior, es objeto de polémicas que van más allá de la teoría.

pero hay otros aspectos sustanciales en la fundamentación de la teoría cuán-tica. A veces se afirma que el principio de complementariedad es el fundamen-to de la teoría cuántica16. si se me preguntara cuál es la esencia de la nueva teoría para un iniciado, no invocaría ese principio; recurriría precisamente a la famosa relación, completamente universal, de indeterminación. Prefiero esa denominación a la otra, la que usa la palabra incertidumbre, porque el proble-ma central parte de la posibilidad de medir, de determinar de la mejor manera posible, en el sentido positivo, una cierta cantidad17. aunque en principio lo podamos hacer muy bien, clásicamente nunca tendremos la certeza del valor preciso o exacto de una medida, lo que sí puede hacerse cuánticamente. por tal razón, no creo que sea la certeza lo que caracteriza a las teorías clásicas; sería algo así como la arrogante seguridad de la ignorancia; ni es la incerteza el meollo del problema de la aprehensión de la teoría cuántica, ni mucho menos de la solución al problema (los problemas) de interpretación de la misma. Es más, la teoría cuántica hace todo lo contrario en la mayoría de las situaciones en que vale la pena y está permitido determinar una cantidad: nos asegura que hay ciertos valores muy precisos, exactos es la palabra adecuada, que una cierta variable puede tomar. tan precisos, que la física clásica jamás hubiera sospechado que se pudiera lograr un grado tal de exactitud. de ahí su acertado nombre, si se apela a la etimología latina de la palabra cuanto (quantus, quan-ta, quantum como pronombre) y a su generalización, aunque a éste se hubiera llegado por otro camino: cuántica, que cuantifica en grado sumo. (Recuérdese lo de qualia en neurología. Véase, p.e., el libro divulgativo de Llinás, El cerebro y el mito del yo, o http://www.imprint.co.uk/rama/qualia.pdf) pero invaria-blemente un observable está conectado o relacionado con otro, una variable tiene siempre su contraparte en otra variable, la variable conjugada. He ahí el gran dilema: hay que escoger una sola de las dos para poder determinar su valor con absoluta precisión.

Esas dos observaciones, la imposibilidad de describir clásicamente lo que ocurre en el mundo submicroscópico y el problema de la medida y la inter-pretación de un resultado exacto predicho por la teoría cuántica, deberían

16 Véase el capítulo cuarto.17 Véase Mecánica cuántica, presente y futuro, J. Virgilio niño c., Innovación y ciencia, Vol. XII,

no. 4, pg. 38.


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ser suficientes para que se acepte la imperiosa necesidad de acercarse a una comprensión cuántica, la única posible hoy en día, de los nuevos fenómenos que se presentan tanto en la nanoescala como en las escalas inferiores y, en ocasiones, en las superiores. como ya se ha dicho atrás, se quiere compartir con el lector desprevenido este aspecto: esos extraños fenómenos son comunes en sus fundamentos, no solo en el universo de las partículas elementales y de los sistemas submicroscópicos, sino también a escala macroscópica (objetos en nuestra escala) y en ese otro universo que lo incluye todo, el cosmos. a veces pueden pasar desapercibidos o simplemente podemos afirmar que nos tienen sin cuidado. ¿a quién le importa que el sol, nuestra estrella, se esté consumien-do rápidamente, en múltiples procesos nucleares aleatorios, si nuestro tiempo de vida es mucho más fugaz? ¿Qué representan las pocas decenas de años que un simple mortal puede vivir, frente a la decena de miles de millones de años que la estrella tardará en consumirse, en transformarse en un condensado de neutrones inimaginablemente denso, sin vida, es decir, sin brillo? pero para des-cribir la evolución de esa parte del Universo, seguramente sí habrá que tener en cuenta las reacciones nucleares que se dan en el interior del sol, fenómenos puramente cuánticos, pues lo que ocurre en la fusión de dos nucleones o en la fisión del átomo de uranio no puede describirse en el universo clásico. Quisiera agregar que los huecos o agujeros negros pueden tenernos sin cuidado en la tierra, incluso el microagujero que producirán las colisiones en el LHc, pero con toda seguridad otros descomunales afectan la evolución espacio-temporal de la parte del universo donde se encuentran. El fenómeno nuevamente deja de ser clásico.

Hay muchas razones más para querer profundizar o al menos mirar más de-tenidamente lo que en el realismo cuántico ocurre: los estados coherentes que surgen en aplicaciones como el láser de luz o el holograma o en fenómenos como el de la superconductividad, por ejemplo; éste es un fenómeno cuántico macroscópico, aún no suficientemente entendido, con inmensas posibilidades de aplicación en todos los campos; algo similar puede afirmarse de los conden-sados de Bose-Einstein, otro capítulo cercano al del condensado de pares de Cooper (estado superconductor), más inexplorado aún que éste, pero de donde surgirá en algunos años el llamado láser atómico; o de las nuevas posibilidades abiertas por la química cuántica y por la biología molecular en terrenos como las células madre o la clonación; o los más recientes retos de la astrofísica y la cosmología, donde se nos aclara que esos átomos de que estamos hechos y es-tán hechas las estrellas y las galaxias, que creíamos materia prima cósmica re-sidual después de ocurrida la denominada última dispersión, son solo el 4 % del Universo, porque el 96 % restante es materia obscura o energía obscura o fan-tasma; o el ya casi centenario dilema entre la teoría de gravitación y la teoría cuántica, las dos teorías postmodernas enfrentadas, sin posibilidad de concilia-ción por ahora, etcétera, etcétera. Eso sin hacer referencia a las innumerables posibilidades de la espintrónica, la fonónica y otras ónicas aún difusas.


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Las anteriores son razones poderosas para que el tema de los fenómenos cuánticos, usualmente visualizados como propios de la escala atómica o suba-tómica, interesen no solamente a los especialistas y a las personas cultas sino también a los más diversos actores sociales: la tecnología del presente y del futuro depende cada vez más de esos extraños fenómenos cuánticos; la imagen que se tenga del comportamiento de la naturaleza, de su estado actual y de su evolución, también.


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CaPÍTuLO sEGuNDO

CONCEPTOs básICOs CLásICOs y CuáNTICOs

2.1 Conceptos y preconceptos

supone el autor, y en parte puede ser cierto, que el lector tiene algunos preconceptos cuánticos, de la misma manera que maneja otros clásicos. Los preconceptos pueden estar equivocados, pero generalmente ayudan; la cons-trucción de los conceptos es un proceso que prácticamente no termina; el cam-bio conceptual de lo clásico a lo cuántico es arduo y complejo. si la formación en física del lector de este ensayo va más allá de preconceptos clásicos, este capítulo puede dejarlo de lado. Eso le puede ahorrar una buena cantidad de tiempo, aunque yo no siento haber perdido el mío escribiendo el capítulo más largo del ensayo en un tema que solo toca el tópico central tangencialmente.

Gracias a la tecnología desarrollada durante los últimos dos siglos, los pre-conceptos clásicos de la población promedio se han enriquecido. Las nuevas tecnologías, las de las últimas dos o tres décadas, han provisto al promedio de la población de algunas nociones que antes no existían. términos como fotones, optoelectrónica, dispositivos diversos que hacen uso del láser, técnicas espec-troscópicas como los rayos X y la resonancia magnética nuclear (nMr), para no hablar de otras más recientes como la tac (tomografía axial computarizada) o instrumentos tan sofisticados como microscopios electrónicos o atómicos se emplean a menudo, cada vez en ambientes más diversos. Eso no significa que los más, ni siquiera en medios culturales privilegiados, sepan muy bien lo que hay detrás de estos términos, pero usan a diario teléfonos celulares, discos compactos, palms, MP3, MP4, iPOD, computadores portátiles y otros adminícu-los de alta tecnología, incluidas sofisticadas t.i.c. (tecnologías de información y comunicación), que serían impensables sin el dominio logrado y el conocimien-to adquirido sobre fenómenos a nivel submicroscópico. Ello les ha permitido, más allá del confort, tener al menos una vaga idea del uso (y el abuso) de un lenguaje que hasta hace unas pocas décadas era visto como sofisticado o espe-cializado. En el recorrido a lo largo de estas notas se irán precisando un poco la terminología y aclarando los conceptos que son más básicos en uno y otro campo, el clásico y el cuántico.

alguna noción se adquiere, desde la formación media y con la experiencia sensible, sobre espacio y tiempo, masa y carga, movimiento y energía, posi-ción, velocidad o rapidez, aceleraciones, interacciones o fuerzas, vibraciones u oscilaciones y ondas, etcétera. En este capítulo se introducirán o reforzarán


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varias de estas nociones o conceptos para quien lo requiera. Estado, paquete de ondas, colapso de la función de onda, superposición, observable, operador, espín, espacio de Hilbert, no localidad, enmarañamiento o entrelazamiento y muchos más que vendrán más adelante, son conceptos y entidades más comple-jos; se definirán en términos simplificados a su debido tiempo, sin complicacio-nes ni pretensiones mayores, procurando ser precisos. aunque creamos saber qué se entiende por aparato de medida, realidad objetiva y otros términos apa-rentemente comunes, veremos que en el dominio cuántico hay que redefinirlos. no sobra insistir en que la teoría cuántica, probablemente más que cualquier otro campo de la ciencia, es contraintuitiva. sus resultados, precisos, son ines-perados, como lo son las conclusiones que de ellos se derivan.

Hay una premisa fundamental, común a los dos campos, clásico y cuánti-co, que puede servir como punto de partida: el resultado de una medición es siempre un número o un conjunto de números reales. Ello es consecuencia de la cuantificación que se le exige a una ciencia teórico-experimental: eso es la física; se ocupa de predecir el valor de cantidades que se pueden medir o de-terminar, directa o indirectamente o, a partir de observaciones y mediciones cuidadosas, establecer reglas cuantitativas, formular leyes en un lenguaje ma-temático, lo más generales que sea posible, sobre los fenómenos físicos... los de la realidad sensorial (así los sensores sean sofisticados instrumentos), para decirlo de alguna manera. se hace necesario entonces introducir un lenguaje que nos permita precisar de la mejor manera lo que se quiere medir o determi-nar. por ejemplo, cuando nos referimos al todo hay que hacer distinciones como éstas, para no caer en contradicciones: el Universo causal es el trozo de uni-verso al que tenemos acceso a través de observaciones; no se puede hablar de separabilidad, en el sentido exigido por Einstein, en los sistemas cuánticos co-rrelacionados (véase más adelante). a propósito de Universo, surge la siguiente pregunta todavía sin respuesta: cuando se trata de hacer observaciones sobre el ‘Universo’ como un todo, ¿quién es el observador? a ese tipo de preguntas quisiéramos volver en el próximo ensayo.

discutamos el penúltimo asunto, el de la separabilidad o no. En la tradición griega y en la metódica ciencia iniciada con Bacon y Galileo se ha supuesto que para entender el comportamiento de un objeto compuesto, éste se puede dividir en partes y analizar por separado cada una de ellas. Está implícita la hipótesis de que cada una de las partes tiene realidad física en sí misma. nadie la habría puesto en duda, de no ser por las implicaciones de la nueva física. La exigencia explícita de respetar esa realidad está contenida en una famo-sa publicación de Einstein, podolsky y rosen de 1935. pues bien, el problema se trasladó de la filosofía a la física experimental con las también famosas desigualdades de Bell: todos los experimentos realizados desde 1982 (aspect, 1982; volveremos a ello al final del ensayo) muestran el carácter observable y medible de las correlaciones cuánticas, capaces de tomar valores más grandes


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que los límites exigidos por una descripción realista separable de tipo clásico; aquellos han confirmado los valores predichos cuánticamente, valores clásica-mente prohibidos.

Una cantidad física es objeto de predicción y por ende, aunque sea solo en principio, de medición, cuando es observable. Una vez que se conoce su valor, un conjunto de números reales, puede decirse en qué estado se encuentra (o se encontraba, porque puede ocurrir que inmediatamente después de la obser-vación o medición haya cambiado de estado). Los instrumentos con ayuda de los cuales se observa son extensión de los sentidos. Es el cerebro, en últimas, quien interpreta. solía suponerse que de eso puede encargarse a la teoría, pero no es así.

parafraseando a carlos E. Maldonado, complementando una frase suya del capítulo segundo de Nanotecnociencia: los fenómenos mesoescalares no son objeto de representación ni de percepción sensorial directa, como tampoco lo son los fenómenos a escala atómica o subatómica, en el dominio de las par-tículas elementales. Hay un punto más delicado aún, igualmente mencionado atrás: el aparato de medida (ente clásico) influye en el resultado que se obten-ga, independientemente de qué tan preciso sea aquel, o mejor, la influencia es más fuerte en la medida en que se le exija al aparato una mayor precisión, particularmente a escala atómica o subatómica. Ésta es una parte esencial del principio de indeterminación, al cual ya nos hemos referido, enunciado por Werner Heisenberg en 1927. Pero, como también se afirmó arriba, no lo es todo: hoy se podrían hacer observaciones libres de toda interacción.

se suministra a continuación un ejemplo recurrente de aplicación del princi-pio de incertidumbre en el sentido usual cuántico, no sin antes definir algunos conceptos elementales clásicos (o preconceptos) con cierto grado de precisión. a lo largo del capítulo ilustraremos mejor esos y otros preconceptos.

La velocidad, una cantidad clásica vectorial que se suele designar por v, es la evolución con el movimiento de la posición de un objeto: es el cambio de posi-ción en el tiempo. Evidentemente, es una cantidad referida a un determinado observador, es decir, relativa. La tierra se mueve con respecto al sol, pero no podemos decir lo mismo respecto a nosotros, al menos cuando estamos ancla-dos a ella. La posición exacta suele darse por simplicidad, aunque no siempre, por las llamadas coordenadas cartesianas de un punto matemático (x,y,z) y sue-le representarse por el vector (tridimensional) r; en ocasiones es mejor hacerlo mediante las denominadas coordenadas esféricas (r, θ, ϕ), siendo r la magnitud del vector de posición, r, pero no es necesario ahondar en el tema. La medida de la rapidez promedio, magnitud de la velocidad promedio <|v|> (o <v>), es la relación entre el desplazamiento o espacio recorrido (s), denotémoslo por Δs, y el tiempo (t) empleado para recorrerlo, designémoslo por Δt: <v> = Δs/Δt. El espacio recorrido depende del intervalo de tiempo medido. asumimos que


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en t la posición es r, en t1 r1 y así sucesivamente: en t’ es r’. Limitémonos, por simplicidad, al plano XY para ilustrarlo.

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ∆r y el tiempo ∆t empleado en despla-zarse:

.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secan-te (tangente en el límite ∆t g0) que une los puntos p y p1 cuan-do se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

El símbolo Δ a menudo se emplea para indicar que se hace referencia a can-tidades minúsculas. Esto es muy conveniente, porque se pueden, en principio, observar los cambios que se producen de un instante de tiempo al siguiente, sin precisar el lenguaje: aceptemos, sin más, que el tiempo fluye en forma conti-nua; y que la línea (curvada o no) que representa la trayectoria (cuánticamente esta última cantidad no tiene sentido) es una sucesión continua de puntos. si no cambia(n) alguna(s) de las componentes de la posición del objeto, no hay movimiento.

Estas preconcepciones han sido objeto de precisiones, no solo en el terreno de la física, pero por ahora no introduzcamos complicaciones innecesarias. Las unidades para la velocidad en el sistema MKsa (metro·kilogramo·segundo·am-perio) son m/s (metros sobre segundo), o mejor, ms-1.

dinámicamente, más que a la simple velocidad, tiene más sentido referirse a la cantidad de movimiento o momentum, p = mv, donde m es la masa del objeto físico cuyo movimiento se está describiendo matemáticamente. re-cuérdese que la masa de un objeto es la medida de su inercia. no es ni de lejos semejante o equiparable el esfuerzo (rigurosamente impulso) invertido tratando de detener un pesado camión con doble remolque cuando está avan-zando, así sea muy lentamente, que parar una pelota de tenis impulsada con


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la mayor rapidez posible en un juego real; así que la rapidez (o velocidad, si se especifica la dirección del movimiento) no es lo más importante desde el punto de vista dinámico. si se tiene en cuenta que, de acuerdo con la teoría de relatividad, la masa de un objeto crece con su rapidez, hay una razón adi-cional para referirse, no a la velocidad, sino a la cantidad de movimiento (mo-mentum), cuando quiere hablarse de la cantidad física fundamental desde el punto de vista dinámico. El impulso, efecto de una fuerza actuando durante un intervalo de tiempo (FΔt, en magnitud), es su contraparte, pues se manifiesta en un aumento (o disminución) del momentum (FΔt =Δp), de acuerdo con la se-gunda ley de Newton, a la que se volverá en breve. En física clásica afirmamos que el estado de una partícula se describe dando su posición (r) y su cantidad de movimiento (p) o velocidad (v) en cada instante de tiempo. si lo logramos hacer en instantes sucesivos, estamos describiendo lo que se denomina tra-yectoria. para ello requerimos de una cantidad física adicional: es la fuerza, una cantidad vectorial que en español, inglés y otros idiomas indoeuropeos se suele denotar por F.

F también pierde sentido, rigurosamente hablando, cuando pasamos al domi-nio cuántico. pero intentemos dar una noción vaga de ese ente clásico: es de-masiado importante en la fundamentación de la mecánica y del mecanicismo. Una aspiración de la física actual es la unificación de todas las fuerzas, o de to-das las interacciones, para decirlo más precisamente. Interacción es un término más preciso, incluso en la terminología de las ciencias sociales. a propósito, un término como fuerza social no está definido físicamente. Habrá escuchado el lector más informado que hoy en física se habla de solo tres interacciones: fuerte, electrodébil y gravitacional. La electrodébil resultó de la unificación de dos fuerzas o interacciones que antes imaginábamos separadas: la interacción débil y la interacción electromagnética. a su vez la electromagnética es con-secuencia de la unificación de los fenómenos eléctricos y magnéticos. ¡Quién hubiera imaginado hace dos siglos que el magnetismo o los campos magnéticos y la electricidad o los campos eléctricos son resultado de lo mismo: la interac-ción debida a una propiedad intrínseca de cada partícula elemental denomina-da carga! Es más: decimos que esa interacción está mediada por fotones, una entre varias clases de partículas denominadas bosones. pero estamos hilando demasiado fino para la mayoría de los supuestos lectores de este ensayo (a lo mejor el lector promedio del mismo no es el tipo de lector que imaginé al escri-bir estas notas). En uno de los opúsculos se volverá al tema de las interacciones y las partículas elementales. regresando a la vieja terminología de las fuerzas, en la práctica de nuestro mundo cotidiano basta con dos, la gravitacional y la eléctrica. La primera es la más desconocida, aunque sea la más antigua o supuestamente mejor estudiada en la historia de la ciencia moderna: arrancó con ella. así que no nos cuesta mayor esfuerzo imaginar un campo gravitacional (véase la figura 2.1), aunque los gravitones, sus supuestas partículas mediado-ras, no hayan sido detectados.


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Figura 2.1. campo gravitacional debido a la tierra. se ilustran las denominadas líneas de campo. Volveremos a la noción de campo más adelante.

Volvamos a las fuerzas clásicas. El peso es la manifestación de la fuerza gra-vitacional. por eso el peso de un cuerpo, a diferencia de su masa, es diferente en la superficie de la Luna que en la de la Tierra. Las fuerzas en los resortes, en las cuerdas, en los planos inclinados, la denominada fuerza de rozamiento y muchas otras fuerzas empíricas son de origen eléctrico. Lo importante, desde el punto de vista de la mecánica newtoniana, es que toda fuerza (léase toda in-teracción) causa una aceleración. Ésta es el cambio de velocidad, exactamente en la misma forma en que velocidad es el cambio de posición: a es, pues, un vector: vector aceleración. Precisemos un poco más, siguiendo la figura.


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si en el instante t el objeto móvil se encuentra en p y tiene una velocidad v, cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto, como ya dijimos, y en el instante t’ el móvil se encuentra en el punto p’ y tiene una velocidad v’, en general ese objeto habrá cambiado su velocidad tanto en módulo como en dirección en una cantidad dada por el vector diferencia ∆v=v’-v.

Utilicemos la figura para ilus-trar de paso la composición o suma de vectores, un concepto muy importante cuando hable-mos, en el capítulo cuarto, de vector de estado, aunque estos no tienen representación en el espacio que denominamos real. En el esquema lo que se ilus-tra es la diferencia entre los vectores v’ y v. para calcularla gráficamente, se trasladan pa-ralelamente las dos flechas y se une cabeza con cabeza: esto es equivalente a invertir la direc-ción del segundo vector para ob-tener lo que queremos: v’ - v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad ∆v y el intervalo de tiempo ∆t=t’-t, en el que tiene lugar dicho cam-bio: <a> = ∆v/∆t. La aceleración instantánea a se define mediante un proceso de límite que para esta breve introducción no nos interesa precisar. La acelera-ción lleva la dirección del cambio de velocidad. Lo más importante que debe tener en cuenta el lector es que al sumar las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo utilizando la técnica de suma de vectores que hemos indicado, el resultado es una aceleración que va en la dirección del vector fuerza re-sultante o fuerza neta. El resultado preciso está contenido en la denominada segunda ley de Newton. sin que nos molestemos en demostrarlo, en general para un objeto que tiene en cierto momento una cantidad de movimiento p se puede enunciar así de simple: F = dp/dt. Estamos utilizando el símbolo de derivada del cálculo diferencia, una herramienta utilizada por newton, aunque introducida también simultáneamente por Leibnitz.

Hay otra cantidad que depende de la rapidez, o mejor del momentum: es la energía de movimiento, conocida usualmente como energía cinética, expresa-ble en términos newtonianos modernos mediante la fórmula p2/2m (o, si lo pre-fiere, ½mv2; eso no es cierto cuando hay que tener en cuenta la relatividad de Einstein, cuando se reconoce la equivalencia entre masa y energía). para apro-


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vechar una analogía con el concepto de impulso, de gran trascendencia, nótese que la extensión de la fuerza en el espacio, FΔx para el caso unidimensional, conduce al concepto de trabajo y por ende al de aumento (o disminución) de la energía: FΔx es el aumento en la energía de movimiento, si no hay otra fuerza que se oponga a éste y aquella actúa en la dirección x; o de manera general, el trabajo de la fuerza neta (resultante de la composición vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto) es igual al incremento en la energía cinéti-ca; FΔx incrementa además la energía de posición, llamada también potencial, si un campo de fuerza conservativo, por ejemplo el campo gravitacional, o una fuerza elástica (procesos reversibles, caso de un resorte ideal) contrarresta la acción de la fuerza aplicada por un agente distinto al campo o al medio elás-tico. Imagine, para el caso, un montacargas que levanta o descarga pesados bultos a lo largo del eje vertical, y; para elevar un peso mg (m es la masa, y g es el valor de la aceleración de la gravedad en la posición en que se encuen-tra el montacargas; mg es la magnitud de la fuerza gravitacional, denominada peso) a una altura y, el montacargas realiza un trabajo mgy, cantidad que es precisamente la energía potencial almacenada por el cuerpo.

La energía de posición es un término bastante amplio; es energía almacena-da, de ahí el adjetivo de potencial, más general que “de posición”. Un satélite moviéndose alrededor de la tierra tendrá una energía potencial gravitacional (¡cuidado!, ya no es mgh, es proporcional a -1/r, donde r es la distancia del satélite al centro de la tierra). La energía potencial puede estar almacenada en muelles comprimidos o en mecanismos menos fáciles de identificar; en nuestra escala usual, envuelve a menudo energía eléctrica (a veces llamada electroquí-mica) o electromagnética o en últimas se reduce a ella (la del muelle rigurosa-mente es de origen eléctrico o electromagnético); quien esté familiarizado con circuitos eléctricos, puede pensar en un resonador u oscilador eléctrico, en el que se acumula o aprovecha energía electromagnética. Un oscilador mecánico, cuyo ejemplo más sencillo es el péndulo simple o la masa atada a un resorte, sirve también para ilustrar el concepto de transformación permanente de ener-gía de movimiento en energía de posición y viceversa. El movimiento planeta-rio es un típico movimiento de conservación y transformación de energía, de potencial gravitacional en cinética o de movimiento y viceversa: en el apogeo, mayor distancia al centro atractivo, el planeta (o satélite) se mueve con menor rapidez que en el perigeo, por lo que su energía cinética (siempre positiva) es menor justamente en la cantidad en que se ha aumentado la potencial, siempre un número negativo para el caso, haciendo de la suma una constante. para un resorte, caracterizado por una constante elástica k, la energía potencial puede escribirse en primera aproximación como ½kx2, siendo x el desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio del muelle. El módulo al cuadrado (obser-ve que el desplazamiento x podría ser negativo en el caso del resorte, pero x2 siempre será positivo) es característico de muchos términos que expresan la energía; veremos que esa magnitud también caracteriza otra cantidad física fundamental en la nueva física, la probabilidad.


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se suele representar a la energía de movimiento por T (no confundir con temperatura, una cantidad física muy importante a la que prácticamente no nos referiremos a lo largo del ensayo) y a la de posición por U. En los sistemas mecánicos que no disipan energía (no hay cambios de temperatura), decimos que ésta se conserva: E = T + U = constante. son sistemas conservativos. Uno de los casos más sencillos es el de un satélite que se mantiene en una órbita, de-terminada precisamente por la energía E y la forma particular en que se le puso en órbita (condiciones iniciales); ocurre algo parecido con un electrón ligado al protón (átomo de hidrógeno); pero, como veremos, en éste caso no se puede hablar de órbitas; cuando más, de orbitales, solamente para hacer referencia a lo que en un lenguaje riguroso habrá que denominar estado cuántico.

Hay otras formas de energía; el lector habrá oído hablar de energías térmi-ca, nuclear, de radiación y otras más. La energía solar, una energía de radia-ción, proviene de procesos nucleares (de fusión) que se dan en nuestra estrella. La radiación electromagnética se interpretaba antes como energía calórica, y la energía térmica, también asociada al calor, en realidad es energía de mo-vimiento. Baste por ahora con afirmar que a menudo no sabemos a qué nos estamos refiriendo cuando hablamos de energía. Usted puede observar cómo cualquier lego en la materia usa y abusa del término, en ocasiones para engañar incautos.

Las dos cantidades físicas, propiedades físicas de un cuerpo con inercia m (recuerde que en física m es la medida de la inercia de un objeto), que varían al prolongar, respectivamente, la acción de una fuerza en el tiempo y en el espacio, a saber, el momentum y la energía, sobreviven más allá del campo clásico, se asignan como propiedades de entes o sistemas cuánticos para los que el término ‘fuerza’ puede haber perdido significado: las dos son observa-bles cuánticos. Veremos que el hecho de ‘observarlas’, determinarlas, general-mente altera lo que se denomina el estado del sistema, estado del cuerpo de masa m para el caso. nótese que la observación, casi siempre una interacción, resulta en una perturbación, no siempre reducible a ‘fuerza’; con mayor ra-zón puede anticiparse esta conclusión en los experimentos ya citados, medidas libres de interacción. Es entonces de subrayar, en síntesis, que el concepto clásico de fuerza es suplantado en la nueva teoría por el de interacción. Este cambio de terminología es conveniente, porque permite una mayor precisión en el lenguaje.

repitámoslo, a modo de síntesis: hay solo 4 interacciones conocidas, a saber, la gravitacional, la electromagnética, la débil y la fuerte, en orden de intensi-dad creciente. rigurosamente hablando, la segunda y la tercera se resumen en una sola, la interacción electro-débil. Generalizar el concepto de interacción es lo que se hace en la teoría cuántica de campo, sobre lo cual se dirá algo en los capítulos finales. Unificar las interacciones es una centenaria tarea iniciada


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por Borgevsky, continuada por Maxwell, intentada por Einstein y parcialmente realizada por salam, Weinberg y Glashow hace apenas dos décadas. retorna-remos a este importante asunto en la extensión del presente ensayo (y en uno de los opúsculos).

pero volvamos a la velocidad, o mejor a la cantidad de movimiento, para concluir lo que iniciamos varios párrafos atrás. Es natural pensar que deben efectuarse dos medidas consecutivas de la posición, en general de cada una de sus tres componentes, para poder precisar el valor de v y por ende de p. piénsese en el caso más sencillo de movimiento de un cuerpo (masa puntual) en una sola dirección, en línea recta, a lo largo de la recta que se suele desig-nar por el eje X, para ser más exactos. La posición será entonces x, la rapidez simplemente v (podríamos escribirla Vx si quisiéramos precisarlo mejor) y la correspondiente cantidad de movimiento o momentum, p. Las dos variables, x y p, son variables conjugadas. En mecánica clásica, esto quiere decir que la una se obtiene a partir de la otra mediante una operación matemática, una vez se conoce «la ley» o ecuación de movimiento. En la dinámica newtoniana y para el caso unidimensional, esa ley es F = ma (o F = dp/dt, para quienes no se dejen arredrar por el símbolo de derivada), un enunciado preciso de la segunda ley de newton en el caso más sencillo. La ley o ecuación de movimiento permite encontrar la posición en función del tiempo, es decir, predecir la trayectoria de la masa m.

En mecánica cuántica, si dos variables son o están canónicamente conjuga-das, ello implica que la medida de la una afectará a la otra y viceversa. En un lenguaje más abstracto, sobre el que volveremos al final y en el ensayo exten-dido, dos variables conjugadas no conmutan (medir o determinar una de ellas y después la otra es sensible al orden en que se haga) y la diferencia de sus productos (productos de sus respectivos operadores, para ser más exactos), sal-vo porque es un número imaginario, es proporcional a la constante de planck. tal es el caso de la posición y el momentum: xpx – pxx = iħ. (La unidad de raíz imaginaria i es (-1)1/2). aunque no lo podamos demostrar aquí, este resultado es importante porque ilustra la generalización del famoso principio de Heisen-berg, al que nos referiremos enseguida.

determinar en dos instantes sucesivos la posición para poder así determinar la velocidad (o lo que es igual, el momentum) es, en esencia, tomar dos instan-táneas sucesivamente. La diferencia entre las dos posiciones, Δs, y la incerteza con que experimentalmente hemos determinado la cantidad de movimiento estarán relacionadas. La relación de incertidumbre de Heisenberg para este caso suele escribirse:

ΔpΔs ≥ ħ.

Es de subrayar que ésta no es una expresión matemática o estadística, sino una relación natural, con profundo contenido físico, como lo es el enunciado


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de la segunda ley de newton. Un segmento recto en el caso más simple o curvo en el caso general, una sucesión de puntos que se usa clásicamente para re-ferirse al desplazamiento en un tiempo infinitesimal (movimiento) de un ente matemático (abstracto) llamado masa puntual, es sólo una abstracción de la realidad. En física clásica preferimos referirnos al segmento como parte de la trayectoria. En la teoría cuántica no se puede hablar de trayectoria, puesto que no se puede conocer simultáneamente la posición y la velocidad. después se llegará a la conclusión de que la velocidad y la posición, en sí mismas y como determinantes de la trayectoria, tampoco tienen significado. Se volverá a esta discusión más adelante.

resulta así que la sola cuantificación no es suficiente. Determinar cuantitati-vamente una cierta cantidad física es solo el primer paso. En el caso más simple considerado por la teoría clásica, un punto material aislado (algo en verdad inexistente), una partícula u objeto libre, es de subrayar que la nueva teoría permite determinar, en principio con absoluta precisión, la posición de la partí-cula; pero esa determinación exacta de la posición impide saber qué velocidad lleva y, por lo tanto, no sabremos nada acerca de su cantidad de movimiento e ignoramos, por ende, a dónde irá en el instante siguiente: p es cualquiera de los infinitos valores posibles. No nos sirvió de mucho conocer la posición en un cierto instante. En ese sentido, la mecánica cuántica no es predictiva.

por el contrario, en un experimento separado se puede determinar con ab-soluta precisión el momentum y por tanto la velocidad de la partícula libre; y ésta, salvo por el límite impuesto por la teoría de relatividad, podría tomar cualquier valor; pero surge un gran problema cuando se intenta precisar dónde se encuentra el punto material al que se le asigna el momentum p que se acaba de determinar, es decir identificar el valor que toma la variable conjugada a la cantidad de movimiento, la posición: también en principio, de acuerdo con la teoría cuántica, estará en cualquier lugar del universo; ya no se podrá decir dónde porque el principio de indeterminación lo prohíbe. Esa sería razón más que suficiente para afirmar, al contrario de lo que ocurre en el esquema newto-niano, que ese sistema tan simple, un objeto material aislado, no existe más que en la imaginación: nadie habrá visto ni verá jamás un objeto (cuántico) que viaje indefinidamente con velocidad constante, puesto que cada vez que lo ob-serva, lo perturba y altera su velocidad. ¡Con mayor razón puede afirmarse que nunca lo verá en reposo! (pero sí puede predecir cómo evolucionará el sistema, como veremos en los siguientes capítulos).

como sea, la teoría cuántica se limita a imponer unas restricciones; a adver-tirnos que, por ejemplo, si un fotón viaja a velocidad c, la velocidad de la luz, nunca podremos decir dónde se ubica ese fotón, excepto precisamente cuando termina su recorrido porque fue absorbido por algún sistema físico; suponga-mos, para ilustrar, que fue absorbido por un electrón que se encontraba en algún nivel permitido dentro del átomo (se suele decir que el electrón estaba


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ocupando un cierto estado): entonces el electrón cambia de nivel, de estado, e incrementa su valor de energía precisamente en la misma cantidad, la que antes tenía el fotón. corolario: si un fotón viaja exactamente a la velocidad c (está condenado a no moverse a mayor o a menor velocidad), es porque se está asumiendo que es una partícula libre, lo cual es cierto mientras no tenga que manifestarse de alguna manera; y cuánticamente se tiene que renunciar a ubi-carlo, excepto en el caso del colapso, cuando por algún proceso físico se logra saber dónde está, cuando justo es aniquilado. ¡Una especie de tragedia!

A propósito de restricciones, se suele hablar en física de objetos confinados. El más recurrente, por lo sencillo desde el punto de vista conceptual (parecido a, pero bien distinto de, el sistema Luna-tierra), es el electrón en el átomo de hidrógeno. Uno puede concluir que la cantidad de movimiento del electrón le permite estar en una región del tamaño del radio de Bohr, lo que será consis-tente con el principio de indeterminación de Heisenberg.

2.2 Escalas de espacio y tiempo y sistema decimal

Lo primero que se debe tener en cuenta para hacer una descripción física de los fenómenos son las escalas de espacio y de tiempo. En relatividad, aún den-tro de los límites de la relatividad especial, esto no es sencillo. En general, nos limitaremos a los conceptos clásicos, newtonianos, de espacio y de tiempo. Los órdenes de magnitud involucrados entre lo más grande y lo más chico son tan-tos, que es conveniente recurrir a la notación científica y utilizar para ello po-tencias de diez; si positiva, la potencia indica el número de ceros a la derecha después de la unidad; si negativa, réstele uno para obtener el número de ceros antes de la unidad a la izquierda después del punto o coma decimal. así, por ejemplo, 102 = 100 (una centena) mientras que 10-2 = 0.01 (una centésima).

El tiempo más grande del que se tiene noticia es la edad del universo, 1010 años en números redondos, 5X1017s, en segundos, para lucir más exactos y uti-lizar unidades de comparación más convenientes; lo mismo puede decirse de su tamaño, en la escala espacial: 1010 años luz, si se escoge por conveniencia como unidad de longitud la distancia que recorre la luz en un año. En el sistema métrico, la velocidad de la luz es de 3X108 m·s-1 (metros sobre segundo), por lo que puede estimarse el radio del universo actual en unos 1026 m. Es preferible hablar de diámetro, ya que no hay punto alguno que pueda considerarse como centro del universo. Una galaxia se aleja de otra a una velocidad proporcional a la distancia que las separa: es la ley de Hubble. Las que para nosotros están en el confín del Universo se alejan de la Vía Láctea a una velocidad cercana a la de la luz con respecto a la nuestra. nuestra estrella, el sol, es apenas una entre los cientos de miles de millones de estrellas que pueblan nuestra galaxia, Vía Láctea. Con todo y su insignificancia en el conjunto universal, nuestro sistema solar se extiende aproximadamente a unos 1012 m.


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sobra advertir que se ha escogido el metro como unidad de longitud en la llamada escala macro para comparar con nuestro tamaño. El ser humano alcan-za a percibir con sus sentidos, particularmente con el de la vista, desde poco menos de un milímetro hasta unos pocos kilómetros. si vemos con nuestros ojos objetos luminosos a distancias mayores (satélites, planetas, estrellas, incluso galaxias), no podríamos precisar dónde se encuentran, mucho menos visualizar su interior: son como puntos difusos. La unidad usual de tiempo, el segundo, está en el rango del tiempo de duración de nuestras pulsaciones, por lo que es nuestra unidad natural. nuestra vista alcanza a diferenciar dos sucesos sepa-rados temporalmente por algo así como una décima de segundo. obviamente ubicamos en nuestra memoria acontecimientos separados por algunos años, eventualmente varias decenas, nuestro rango de vida.

Los sistemas físicos más chicos son las partículas elementales, entre las cua-les los leptones, por ser más livianos, se supone que son las más diminutas; el más común, el electrón, tendría un radio inferior a 10-18 m. Los diámetros del protón y del neutrón determinan el de los núcleos, en el rango de los femtóme-tros o fermis (1 fm = 10-15 m). Los tiempos característicos de procesos elemen-tales serían los más cortos que cabe imaginar: alrededor de 10-20 s (segundos), aunque algunos pueden ser 10 o más órdenes de magnitud más rápidos, no lo sabemos. algunos procesos químicos ocurren en el rango de los femtosegundos (1 fs = 10-15 s) y hoy es posible rastrearlos con precisión gracias a las espectros-copías láser: estamos en la era de la femtoquímica. compárese ese valor con el de la escala temporal de planck, 10-43 s. (Véase la nota de pie de página 2 en página 34). recuérdese que, en el rango de fenómenos atómicos, el Ångström (1 Å = 10-10 m) es la unidad apropiada; lo mismo puede decirse para expresar las distancias entre un átomo y otro en los enrejados cristalinos. para la física y la química de cientos o miles de átomos, la físico-química de la materia con-densada, el nanómetro (1 nm = 10-9 m) es la unidad preferida. Hasta ahora se empieza a tomar conciencia de la importancia de los fenómenos nanoescalares para las aplicaciones tecnológicas del futuro (nanotecnociencia).

no sobra advertir al lector que utilizar en el lenguaje cuántico el término partícula es una imprecisión. Veremos que un ente cuántico se manifiesta como partícula en ocasiones; en otras, se manifestará como onda. pero no puede decirse que los entes cuánticos sean lo uno o lo otro.

Ya se ha dicho que la velocidad de la luz es la más alta permitida por la física; en el vacío, su valor es una constante fundamental; se suele redondear, como ya se ha dicho, a 3X108 m/s. se ha hecho referencia obligada a otra constan-te fundamental: la constante de planck, h. su valor se da en unidades que, a diferencia de la velocidad, envuelven conceptos más abstractos: unidades de acción. si el lector está familiarizado con las unidades de energía, julios o ergios, entre otras, le será fácil reconocer las unidades en que se expresa la ac-


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ción, aunque su significado por ahora permanezca oscuro: energía por tiempo. El valor de h en el llamado sistema métrico o sistema MKsa (metro-kilogramo-segundo-amperio) es un número extremadamente pequeño (ya se hizo notar en un pié de página del capítulo precedente): h = 6.6X10-34 J·s. Quizá no sobre re-cordar que los julios son n·m, en donde n denota newtons, unidad de fuerza en el sistema que se adoptará a lo largo de estas notas. por completez, recuérdese que la fuerza tiene unidades de masa por aceleración: kg·m·s-2. Veremos que el momentum angular o momento cinético (vuélvase al final de la sección 1.2) también tiene unidades de acción; mas no es acción; son conceptos diferentes, equiparables si se quiere a impulso y momentum.

Para finalizar esta sección, recordemos que a nivel cósmico se habla de uni-dades astronómicas, de años luz, de parsecs y cosas por el estilo. El radio del Universo es de unos diez mil millones de años luz. para expresar la velocidad a que se aleja una galaxia se hace referencia a la fracción de la velocidad de la luz que tiene esa galaxia con respecto a la nuestra: 0.5c, por ejemplo.

sirva esta rápida mirada a las diversas escalas de longitud y tiempo para una reflexión final, antes de continuar con los conceptos que caracterizan los perío-dos clásico y cuántico de la física; asumamos, por comodidad, que la relatividad es el punto culminante de la física clásica y el derrumbe del mecanicismo; de allí surgió la elegante teoría de campos, campos de fuerza; las dos teorías que surgieron después, teoría de relatividad y física cuántica, se combinaron en la teoría cuántica relativista de campos: ella es la herramienta físico-matemática más poderosa de que se dispone hoy en día. ¿será posible describir tan variada gama de fenómenos, en rangos tan amplios de espacio-tiempo, con una sola teoría? Ese ha sido un reto insuperable, por ahora. se dice que ello hubiera sido posible en la llamada era de Planck, a la que nos proponemos regresar en el ensayo futuro.

2.3 alcances y limitaciones de los modelos

por comodidad, limitemos el mundo macroscópico clásico al rango de fenó-menos que podemos visualizar sin instrumentos. descartemos así el mundo ac-cesible mediante microscopios de cualquier tipo y la mayor parte de los eventos astronómicos, al menos los que no se dejan ver sin telescopio.

Las leyes de la naturaleza que rigen los fenómenos descubiertos u observados antes de 1900, en especial de los que para entonces se reconocían como fenó-menos físicos, caen como ya se mencionó dentro de la usualmente denominada física clásica; esto quiere decir que solamente se habían tratado dentro de la física aquellos aspectos de la naturaleza para los que la cuestión de cuál es la constitución última de la materia no es algo a lo que se pudiera dar, desde el punto de vista científico, una respuesta siquiera aproximada, tal como se con-


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cibe la ciencia de hoy; mucho menos cabrían, desde ese punto de vista, pre-guntas científicas sobre su origen y su destino. De todas maneras, las leyes que empezaron a explicar científicamente su comportamiento resultaron ser casi siempre contraintuitivas; contraintuitivo es, sin duda alguna, para ilustrarlo con un ejemplo cotidiano, el principio de inercia. Las leyes del electromagne-tismo son todavía más abstractas, puesto que envuelven el concepto de cam-po, el mismo que condujo directamente a ondas electromagnéticas: la primera gran unificación que se dio en la física.

cuando se aplican las leyes de la física clásica a los sistemas macroscópicos, se pueden describir solamente ciertos rasgos globales del comportamiento del sistema. Los detalles más finos, como acabamos de ver, se ignoran o simplemen-te se dejan de lado. Esos detalles finos, o mejor, imperceptibles a los sentidos sin la ayuda de instrumentos y teorías con alto grado de sofisticación, emergen y dan lugar a un rango de fenómenos en mayor grado contraintuitivos que los considerados clásicamente. En este sentido, es de esperar que las leyes de la física clásica sean leyes aproximadas de la naturaleza; por tanto, deben consi-derarse como el límite de otras leyes más fundamentales, de alguna manera mi-croscópicas en el caso del micromundo (más allá, en el nanomundo y el mundo de las partículas elementales), o cosmológicas en el caso del macrocosmos (el nuestro sería el mesocosmos en esa escala). Es de suponer que éstas nos darán una mejor información. dicho en otras palabras, las teorías clásicas son teorías descriptivas o fenomenológicas. Una teoría fenomenológica intenta describir, concatenar y resumir hechos experimentales dentro de un cierto dominio limi-tado del campo en una disciplina científica. Al dividir por comodidad en rangos y dominios los fenómenos naturales, se renuncia a la posibilidad de abarcarlo todo; sin embargo, una buena teoría fenomenológica debe describir de manera más o menos precisa cualquier fenómeno enmarcado dentro de aquel dominio limitado.

En realidad toda teoría física actual es de alguna manera fenomenológica en dos sentidos: 1) trata de los fenómenos, eventos o hechos que ocurren físi-camente dentro de un cierto rango; 2) no se ha construido la teoría de todo. siempre, hasta el presente, hemos tenido que dejar algo de lado, por simplici-dad o por la imposibilidad física de considerar todos los aspectos simultánea-mente. La gravitación cuántica, por ejemplo, está en pañales. por ahora miro con escepticismo las teorías que pretenden incluir la conciencia en la descrip-ción del mundo físico como un sistema completo.

Las teorías clásicas no poseen validez universal, por muy buenas teorías fe-nomenológicas que sean; no lo dicen todo, ni siquiera acerca de los sistemas macro- o mesoscópicos que describen. a modo de ejemplo, no se puede ex-plicar mediante una teoría fenomenológica por qué los puntos de fusión o de ebullición de una determinada sustancia ocurren a la temperatura a la cual se


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observa que el fenómeno se presenta; por qué las densidades de masa, las resis-tividades eléctricas, las conductividades térmicas, las constantes elásticas de los materiales tienen los valores que tienen. La dilatación de un sólido debida al calor, la tensión superficial en un líquido, la emisión de luz de un cierto color en un gas enrarecido o en un sólido bajo ciertas circunstancias son fenómenos que simplemente se describen, sin explicarlos. El color cobrizo, dorado o plateado de los tres metales nobles, cu, au y ag, respectivamente, el brillo caracterís-tico de ciertas estrellas, el tipo de magnetismo que exhiben ciertos materiales sólidos, el comportamiento ferroeléctrico de otros son propiedades que una teoría fenomenológica no puede aspirar más que a describir hasta cierto punto. La atracción entre los cuerpos debido a su masa, su repulsión electrostática cuando están cargados, etcétera, pueden formularse por medio de leyes que creemos muy precisas, pero el origen mismo del fenómeno se ignora por com-pleto en la teoría clásica. por qué el azufre no conduce la electricidad, por qué el núcleo de uranio se desintegra espontáneamente, por qué el mercurio se vuelve superconductor por debajo de cierta temperatura (4.2 K exactamente), son preguntas sin respuesta en la teoría clásica macroscópica. de hecho, las actuales teorías microscópicas de la superconductividad, como mencionaremos en el texto por venir, no pueden dar aún una respuesta satisfactoria a la última inquietud (el valor de la llamada temperatura crítica, por debajo de la cual el material exhibe ese fenómeno). se podría seguir con muchos ejemplos de la vida cotidiana en los cuales la física clásica tiene poco o nada que decirnos. Hoy se sabe que el Universo se está expandiendo más vertiginosamente de lo que se sospechaba; todavía se ignora el por qué. todo el mundo civilizado, durante el siglo XX y lo que va corrido del XXI, ha utilizado tecnologías basadas en el transistor, el diodo emisor de luz, el láser y gran número de espectroscopias cuyos fundamentos probablemente no entiende, todos ellos fundamentados en la denominada física moderna. pero ésta no puede suministrarnos por ahora mucho de lo que quisiéramos saber. Las aplicaciones de la segunda revolución cuántica exigen refinamientos mayores. La actual teoría de partículas elemen-tales, con todo y ser una teoría cuántica relativista, es una teoría fenomenoló-gica moderna.

a propósito de esa arbitraria denominación, debería tenerse en cuenta que lo moderno es lo de moda. Históricamente se han introducido periodos postmo-dernos o contemporáneos y habrá que referirse, de seguir así, a estilos o formas de pensar post-postmodernos o post-postcontemporáneos. suele considerarse a la física aristotélica una descripción no científica, porque carece del método llamado científico introducido por Roger Bacon y Galileo Galilei. A partir del método matemático-experimental iniciado por los clásicos, Galileo, newton, Faraday, Maxwell... se lograron avances tan formidables que llevaron a pensar, a fines del siglo XIX, que las leyes fundamentales habían sido descubiertas: fue el triunfo de la ciencia moderna representada en la física clásica, un triunfo efímero como todos, puesto en evidencia por lo que actualmente se denomina


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moderno en física. El modelo estándar atómico de mediados del siglo XIX ha sido reemplazado por el modelo estándar de partículas de fines del siglo XX. Es posible que ese modelo estándar cambie nuevamente en esta primera parte del XXI. (recuérdese lo que se espera del LHc e imagínese lo que ocurrirá en la física si no se encuentra la partícula divina).

Hay preguntas más fundamentales que surgieron en el pasado remoto pero que sólo recibieron algún tipo de respuesta durante el último siglo. La res-puesta en muchos casos no es todavía definitiva: no se dispone de una teoría completa para ello. Hay dos teorías físicas muy avanzadas... no se sabe aún qué tan completas puedan ser, pero se puede anticipar que cada una por sí sola no logrará una descripción completa de todo. Una es la teoría general de gra-vitación, llamada comúnmente teoría general de relatividad; otra es la teoría cuántica; en su forma más avanzada, la teoría cuántica relativista. La primera no es de interés para los fenómenos que se van a describir aquí. de la segunda, solo nos interesan en este ensayo preliminar los rudimentos, generalmente en el límite de bajas velocidades. pero para ello es mejor empezar por discutir algunos conceptos clásicos en ese límite. Veamos.

2.4 sistemas físicos y formalismos

En física clásica, el sistema físico es una idealización de la realidad. cuan-do se habla del movimiento de la Luna, se suele decir que es como un punto matemático que se mueve en una trayectoria circular, manteniéndose a una distancia de 384,403 kilómetros de la tierra. puede agregarse que su diámetro es 3,476 kilómetros; que su movimiento es sincrónico: tanto la rotación de la Luna como su órbita alrededor de la tierra duran 27 días, 7 horas y 43 minutos; y que esa rotación síncrona se debe a la distribución asimétrica de su masa. La primera frase es una verdadera abstracción del sistema físico real; en la se-gunda, se suministra información suficiente para cuestionarme sobre la validez de esa abstracción. antes de terminar este párrafo, quiero dejarle al lector no científico una inquietud: ¿será que la Luna va a continuar moviéndose de esa manera? ¿no se estará extrapolando demasiado?

El movimiento de la Luna (y de los planetas) sólo pudo ser entendido de ma-nera global cuando newton incorporó, adicionalmente a sus leyes de movimien-to, una ley de fuerza, la llamada ley del inverso del cuadrado de la distancia. sobre esa ley hablaremos en la siguiente sección.

Una vez que se ha observado que el movimiento de la Luna es circular, pue-den utilizarse las otras leyes para concluir, a partir del resultado, que la Luna se mantiene en su órbita con el periodo de 27.3 días aproximadamente, gracias a que la tierra la atrae con una fuerza proporcional al cuadrado de la distancia, una nueva ley. Eso fue lo que hizo newton, echando mano de las leyes del mo-


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vimiento planetario de Johannes Kepler, deducidas a partir de cuidadosas ob-servaciones del movimiento de los cuerpos celestes. La primera se refiere a la forma de las órbitas: son elípticas; recuérdese que el círculo es una forma par-ticular de elipse. La segunda sostiene que las áreas barridas por el ‘radio’ de la órbita (r, un radio variable para el caso general; o r, un vector de posición cuya variación describe la trayectoria) son tales que áreas barridas en tiempos igua-les son iguales. Más sencillo: la tasa de cambio del área que barre la distancia del cuerpo celeste al Sol es constante. Esa afirmación parece obvia en el caso del movimiento circular: la podemos utilizar para deducir cuál es la rapidez o velocidad promedio en el movimiento circular uniforme de la Luna alrededor de la tierra, si usamos como datos el radio de la órbita lunar y su período. La tercera es más complicada, y fue el triunfo más grande de las observaciones de Kepler, a la vez sustentado en las de sus predecesores, nicolás copérnico y Tycho Brache: afirma que los cuadrados de los períodos son proporcionales al cubo de los semiejes mayores, en este caso el radio mismo: T2 ∝ R3. a partir de la segunda ley de newton sobre el movimiento, es fácil demostrar que la relación exacta es: T2 = 4π2R3/GM, siendo M la masa de la tierra en el caso del movimiento de la Luna, o del sol para el caso de la tierra o cualquiera de los planetas o cuerpos del sistema solar que giran en órbita elíptica alrededor del sol. Las tres leyes de Kepler sobre las órbitas traen pues implícitas la segunda de movimiento y la de gravitación universal.

Veamos ahora cómo usar lo anterior para deducir la ley de fuerzas mencio-nada en un caso muy particular, cuando la órbita es circular. tal es el caso del movimiento de la Luna alrededor de la tierra. pero la ley es completamente general para los cuerpos celestes.

Figura 2.2. Leyes de Kepler. La primera se refiere a las trayectorias (elípticas) de los planetas y la segunda a las áreas barridas en tiempos iguales. La ley de los periodos es consecuencia de la variación de la intensidad de la fuerza atractiva, proporcional al inverso del cuadrado de la distancia.


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si un cuerpo se mueve con velocidad constante, es decir, en línea recta re-corriendo tramos iguales en tiempos iguales, es porque no hay fuerza neta ac-tuando sobre él: es el enunciado de la primera ley de newton, también conocida como ley de inercia, deducida empíricamente por Galileo cincuenta años antes en un proceso de abstracción nuevo para la ciencia. por el contrario, un movi-miento curvilíneo no puede ser uniforme, es decir, no puede ocurrir sin acelera-ción. sin entrar en detalles, es fácil concluir que cuando un cuerpo se mueve en trayectoria circular (r = R) con rapidez constante, experimenta una aceleración centrípeta (hacia el centro de la trayectoria) proporcional al cuadrado de la ra-pidez (magnitud de velocidad, v) e inversa a la curvatura, el radio en este caso: en símbolos, a = v2/R. No es difícil ver, a partir de la definición de rapidez (dis-tancia recorrida/tiempo empleado en recorrer esa distancia), que v está dada por 2πR/T, denotando por T el periodo del movimiento circular, un movimiento periódico porque se repite cada T segundos. En consecuencia, a = v2/R = 4π2R2/T2R ∝ 1/R2. Más exactamente, a = GM/R2, enunciado de la ley de gravitación universal de Newton, lo que es equivalente a afirmar que en magnitud

F = (GM/R2) m,

expresión equivalente a la segunda ley de newton sobre el movimiento. En el último paso, se ha hecho uso explícito de la tercera ley de Kepler. Es eviden-te que en la superficie de la Tierra, a = g, una “constante” cuyo valor exacto depende de la posición, longitud, latitud y altura. suele asignársele el valor de 9.8 m s-2. Para simplificarles la vida, a mis estudiantes de fundamentos de física teórica suelo decirles que redondeen ese valor a 10 m s-2.

Veamos el proceso inverso. si se invoca de nuevo la segunda ley de newton, F = ma, se concluye a partir de Kepler que sobre la Luna actúa una fuerza debida a la tierra cuya magnitud se expresa de esta manera: FTL ∝ ML/R2. recuerde el lector el enunciado simple de la tercera ley de newton: si un cuerpo hace fuerza sobre otro, el segundo a su vez hará una fuerza sobre el primero, igual en magnitud y en dirección opuesta. En símbolos, para el sistema tierra-Luna, la Luna hará una fuerza dada en magnitud por FLT ∝ MT/R2. no exige mayor ra-zonamiento concluir que tienen que estar envueltas, en la expresión definitiva, tanto la masa de la Luna como la de la tierra: FTL = FLT ∝ MTML/R2. salvo por la constante de gravitación universal, G = 6.6×10-11 m3/kg s2, ese fue el resultado arriba anunciado. Este valor es justo el necesario para que podamos movernos en la tierra con la desenvoltura con la cual lo hacemos. En la Luna, g resulta ser un orden de magnitud inferior. Exigirá un fuerte entrenamiento aprender a desenvolverse en esas nuevas condiciones, un entrenamiento que requieren los astronautas y al que se someten algunos excéntricos multimillonarios que piensan viajar al espacio.

aparentemente simple, la generalización del resultado exigió un nivel de abstracción como nunca antes había ocurrido en la historia de la ciencia y la


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introducción (el descubrimiento) del cálculo diferencial. Basta con echar una mirada a Philosophia naturalis principia matemática, la monumental obra de newton impresa por primera vez en 1676 con su debido imprimatur o permiso eclesiástico; y a su historia.

algunos de los lectores dirán: el movimiento de la Luna es demasiado com-plicado; les asiste la razón. ¿por qué no partir del movimiento de una piedra? Veamos qué tan sencillo es este último: si la piedra cae, lo hace también por la atracción gravitacional de la Tierra. Obsérvese que cerca de la superficie de la tierra hay también una gruesa capa de aire, no siempre en reposo, en ocasio-nes capaz de alterar drásticamente el movimiento de una piedra. si la piedra intentara ponerse en órbita, como puede hacerse con un satélite artificial, este efecto sería severo, con toda seguridad, aun a las distancias a que suelen colocarse los satélites artificiales. A propósito, la Universidad Sergio Arboleda consiguió que la nasa le colocara en órbita un pequeño satélite colombiano (Libertad I). El lector puede informarse al respecto en la página http://www.usergioarboleda.edu.co/proyecto_espacial/index.htm

Haciendo caso omiso de la presencia del aire, un estudiante de secundaria pronto aprende a utilizar la ley de caída de una piedra en el vacío para saber a qué altura está un puente que salva un precipicio en un acantilado: cuenta el tiempo (t1) que tarda en escuchar, a partir del momento en que la suelta, el eco del impacto de la piedra contra la superficie, roca pura, en el fondo del preci-picio; si tiene en cuenta el tiempo que le toma a la onda sonora llegar hasta su oído desde el fondo (t2 = h/vs, si vs es la velocidad del sonido), obtendrá el re-sultado utilizando la expresión h = ½gt2. Expresar el resultado en términos del tiempo de caída: t = t1 – t2, le tomará unos pocos segundos. considero innecesa-rio mencionar al lector que g es el valor de la aceleración debida a la gravedad en el puente y sus alrededores; sin ser muy precisos, en un experimento para el cual no se dispone de sofisticadas técnicas de medición del tiempo y en donde hay otros parámetros fuera de control, el estudiante puede confiadamente re-dondear el dato anterior a 10 m/s2. El resultado será relativamente fiable, pero depende de algo que no se ha tenido en cuenta.

se han hecho muchas aproximaciones; se supone que los resultados pueden mejorarse indefinidamente, como imaginaron los físicos hasta antes de 1900. tal vez los cráteres y las montañas que hoy tenemos más o menos bien detecta-das en la Luna no importen mucho para su movimiento alrededor de la tierra: ella arrastra una tenue capa de gases, su propia atmósfera, en su movimiento; esa capa forma parte del sistema bajo estudio, como ocurre con la atmósfera terrestre cuando nuestro planeta gira elípticamente alrededor del sol. La me-cánica newtoniana da por sentado que las simplificaciones hechas en los dos casos son válidas. Pero si la superficie de la piedra es muy rugosa, si hay poros que permiten el flujo de aire a través de la piedra, si no es grande comparada


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con... las suposiciones son muchas, seguramente mayores que en el caso de la Luna en su órbita circular, o de la tierra en su trayectoria elíptica; bueno, todo depende... podríamos seguir añadiendo peros y enmendar posibles fallas del modelo; o por el contrario, usar balines de forma esférica, utilizar bombas de vacío, para simplificar o aproximarse a las condiciones ideales, etcétera, etcétera.

Figura 2.3. Comunicando suficiente impulso, podría aspirarse a poner un objeto mate-rial, por ejemplo una pelota de béisbol, en órbita. En la práctica, muy cerca de la su-perficie de la Tierra esto no funciona, porque hay un fuerte rozamiento con la atmósfera terrestre. para la velocidad que habría que imprimirle, 8 km/s, o más dramático, 29,000 km/hora, la pelota no tardaría en arder en llamas. En la ionosfera el efecto es mucho menor. Por eso se elevan a unos 200 km sobre la superficie de la Tierra los satélites artificiales.

El movimiento de un objeto poroso en la atmósfera terrestre es en verdad lo bastante complejo como para que se pueda describir, sin más, por las leyes de Newton. ¡No funciona! Pertenece más bien a la dinámica de fluidos, un campo bastante complejo de la física aplicada y de la ingeniería. no es que las leyes


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de newton hayan dejado de ser válidas, el problema es que no es posible tener en cuenta la influencia de cada una de las partículas que intervienen en el pro-ceso. pero puede ocurrir que el problema no sea solamente la atmósfera terres-tre. Imaginemos un experimento en que, desde la parte superior de un tubo en el cual se ha hecho alto vacío, se suelta un pequeño objeto: es lo que dicen que imaginó Galileo, para concluir que una piedra, un corcho y una pluma caen con la misma aceleración, la de la gravedad, en una cámara vacía. suponga que ese pequeño objeto es apenas una parte de otro objeto también comparativamente pequeño, el electrón, por ejemplo, de masa mil ochocientas veces menor que el núcleo del átomo de hidrógeno, un protón. ¿Qué habrá más sencillo, más elemental que ese sistema físico? Las apariencias engañan: es inútil intentar describir la caída en el campo gravitacional de la tierra de un electrón des-prendido de un átomo o del átomo completo. Más adelante vamos a examinar por qué. por el contrario, el físico norteamericano robert andrews Millikan, a quien nos referiremos en varias ocasiones, determinó indirectamente la carga del electrón observando, aumentando, el efecto de la viscosidad y de campos eléctricos en pequeñas gotas de aceite ionizadas. Vayamos, pues, a un electrón de verdad, el que está ligado al átomo de hidrógeno.

El sistema físico ahora es cuántico. La solución que se obtiene con la mecá-nica cuántica en el caso más sencillo es exacta, dentro de los límites impuestos por la teoría no relativista. cuando se describe un electrón de un átomo de hidrógeno en su estado más bajo de energía, -13.5 eV, se renuncia a saber dón-de está exactamente; pero es seguro que se le va a encontrar a una distancia de aproximadamente medio ångström (Å) del núcleo del átomo, al menos con un 80 % de exactitud... o de probabilidad: el error sería de 0.01 Å. se puede afirmar con certeza que el radio del átomo de hidrógeno es de 0.51 Å. ¡no hay medida clásica que nos permita ser tan precisos! nótese algo más: no hay para qué pensar en la viscosidad... es un efecto ausente. para todos los propósitos imaginables, la región entre el orbital electrónico y el núcleo atómico está vacía. (pero ¡cuidado!: el vacío está lleno de energía).

En el ejemplo anterior se ha olvidado agregar que, en principio, se puede estar viendo la Luna sin afectar su movimiento; no podría decirse lo mismo del movimiento del electrón en lo que todavía se denomina, equívocamente, órbita. con toda seguridad, si se tuviera con qué rastrear el movimiento del electrón, cualquier cosa podría ocurrir menos que siguiera aferrado de alguna manera a su nivel de energía más bajo. para rastrearlo se requiere de una

18 eV: electrón-voltio. 1 eV = 1.6x10-19 J; el eV está definido operacionalmente como la energía que adquiere un electrón, una carga de 1.6x10-19 coulombios, al atravesar una diferencia de potencial de 1 voltio, es decir, al ser acelerado desde una placa cargada negativamente a otra cargada positivamente, entre las cuales se ha creado un campo eléctrico de 1 N·C-1 si estuvieran separadas por una distancia de un metro (algo insólito); se volverá a esta unidad de energía con frecuencia.


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energía cercana a la que lo mantiene ligado muy cerca del protón. podría ser la energía de un fotón que le permitiera pasar a su primer nivel excitado.

si el lector ha oído hablar de la ley de coulomb, una ley similar a la de newton para la gravitación, estará intrigado de que no hayamos intentado apli-carla para saber dónde encontrar el electrón. La ley de fuerza, la de coulomb, no se ha descartado del todo, pero hay una radical diferencia: el hecho de que la Luna se mueva en una trayectoria muy aproximadamente circular es algo puramente fortuito. Más fortuito lo es el hecho de que el radio de la trayectoria sea muy aproximadamente el dado arriba. podrían ser 200,000 km o 500,000 km; o 500,001 km; o, por qué no, 500,000.005 km; o un número cualquiera, mucho menos interesante: todo depende del valor de su energía total, pero ese valor, de acuerdo con la física clásica, puede ser cualquiera. para el electrón las cosas son diferentes: no podría estar, es prácticamente imposible, a 0.3 Å o a 0.7 Å del núcleo: la probabilidad de encontrarlo a esa distancia del núcleo es ninguna, la probabilidad de que ocupe esa posición es muy baja. Volveremos a los estados permitidos del electrón en el átomo de hidrógeno más adelante.

Hay una situación en la cual se puede obligar al electrón a describir trayec-torias circulares: poniéndolo bajo la acción de un campo magnético uniforme. si se dispara el electrón perpendicularmente a la dirección del campo, expe-rimenta una fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad y del campo: eso es suficiente para que describa una trayectoria circular. La intensidad de la fuerza que experimenta es: F = evB, donde B es la intensidad del campo mag-nético. con perdón del lector menos versado en matemáticas, voy a escribir una expresión más general que envuelve lo que se denomina producto vectorial entre la velocidad y el campo: F = -ev×B. para el caso, la cruz me dice que si el segundo vector (B) va en dirección z y el primero (v) está en el plano XY, digamos que en dirección x, el resultante o tercero, en este caso la dirección de la fuerza o la aceleración, va en dirección y. El signo menos en la expresión para la fuerza ha tenido en cuenta que la carga del electrón es negativa (un feo atributo para una partícula tan fundamental para nuestra vida, error involun-tario debido a Michael Faraday). El efecto es hacer girar el electrón en órbita circular en el plano XY o en trayectoria helicoidal, como de vuelta de tornillo o de tirabuzón, si la velocidad inicial no está en el plano XY. pero ese giro no está libre de pérdidas, particularmente si la aceleración centrípeta (dirigida hacia el centro de la trayectoria y de magnitud v2/r, siendo r el radio de la trayectoria).

pero hay un problema cuando la magnitud de la velocidad del electrón que se mueve en un campo magnético es grande, es decir, cuando es una fracción importante de c, la velocidad de la luz: el electrón sigue las leyes del electro-magnetismo de Maxwell y produce una radiación electromagnética por estar acelerado (sometido a una aceleración centrípeta), es decir, produce luz, luz sincrotrónica. se denomina así, porque el aparato acelerador del electrón o


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de cualquier otra partícula cargada en un campo magnético alterna un campo eléctrico sincrónicamente. cada medio ciclo, es decir, cada media vuelta el campo eléctrico tiene que invertirse, para cambiar la magnitud de la velocidad del electrón. Gracias a ese procedimiento, ésta puede llegar a ser una fracción importante de la velocidad de la luz y, en consecuencia, su masa ha crecido signficativamente. La luz resultante, emitida por el electrón, se conoce con el nombre de radiación sincrotrónica. Hay todavía otro problema, particularmen-te serio para pequeños radios: la órbita circular del electrón, así no se altere en cada ciclo su velocidad, no es cualquiera. Hay unos valores de energía o niveles electrónicos permitidos, conocidos con el nombre de niveles de Landau.

Hablar de esto último está por fuera de las ambiciones de este ensayo. para unas nociones preliminares, como las que aquí se pretende suministrar, se esti-ma conveniente dejar de lado estas complicaciones. no obstante, vamos a men-cionar un aspecto más que resulta de mucha importancia a la hora de discutir el comportamiento como de onda del electrón, inevitable por cierto.

cuando se habla de un fotón, ente cuántico-relativista, se hace referencia a un sistema sencillo cuya posición no puede determinarse, pero cuya velocidad, no cabe duda, se conoce con precisión absoluta: es la máxima permitida y no puede ser menor: c. cuando se describe un rayo de luz de determinada frecuen-cia, se puede dibujar algo parecido a lo que ilustra la figura 2.4: la representa-ción matemática espacial de la intensidad (cuadrado de la amplitud para una función sinusoidal) de una onda monocromática (de un solo color, vale decir, de frecuencia muy bien definida) que rigurosamente se extiende en las dos di-recciones hasta el infinito y que viaja en una de las dos direcciones, positiva o negativa, con velocidad c. si se conoce con precisión la frecuencia, como es el caso que ilustra la figura matemática adjunta, se sabrá que la energía del fotón es exactamente hν, pero eso no puede afirmarlo la teoría clásica. En otras pa-labras, clásicamente es imposible preparar una onda en rigor monocromática. pero aunque parezca paradójico, en principio en un buen laboratorio se pueden obtener fotones con cualquier valor de energía, es decir, con la frecuencia de-seada: basta con tener las herramientas adecuadas.

se volverá al movimiento circular del electrón más adelante, cuando se ha-ble de los experimentos que condujeron a su descubrimiento. El experimento de thomson, un experimento decisivo, demostró que el electrón era una par-tícula; o mejor, arrojó claridad sobre dos cosas: a) los rayos catódicos que se producen en tubos de vacío bajo ciertas circunstancias, un haz coloreado, no son rayos: son corpúsculos; b) esos corpúsculos, extremadamente diminutos, tienen carga. Hasta entonces se supuso que la carga era un fluido eléctrico, un continuum.

El sistema físico es una abstracción de la realidad; el formalismo es una descripción de esa realidad imaginada. rodolfo Llinás, uno de nuestros máxi-


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mos orgullos nacionales en ciencia, lo dice más tajantemente: la realidad es la imagen que el cerebro construye del mundo exterior. La imagen cuántica es la mejor que podemos imaginar, por ahora. ¿Qué nos dice la imagen clásica en los ejemplos anteriores? En el primero, nos permite hablar de órbitas o tra-yectorias circulares para la Luna, mas no para el electrón, al menos no con la precisión que clásicamente podemos imaginar para objetos macroscópicos; en el último, de ondas que se extienden indefinidamente, con una intensidad que, para el caso, es controlable; cuánticamente, la intensidad va a depender del número de fotones de la frecuencia o energía seleccionada.

Figura 2.4. Ilustración espacial de la intensidad de una onda matemática en una dimen-sión. (La intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud, por ende siempre es una cantidad positiva).

En rigor, cuando queramos describir lo que ocurre con el electrón o el fo-tón, tendremos que emplear el formalismo cuántico y hacerlo recurriendo, por ejemplo, a una función de onda apropiada. anticipemos desde ya que hay que renunciar a la posibilidad de interpretar esa onda en el sentido clásico. El for-malismo clásico es a todas luces incompleto; el formalismo cuántico desagrada a muchos, a pesar de su exactitud. Hay más de una imagen o lenguaje para ha-cerlo, como veremos, todas equivalentes. Las de Heisenberg y de schrödinger son las más usuales.

En la de schrödinger, si se tratara de utilizar una función de onda real que describiera a un electrón que viaja por el espacio, un esquema frecuente se ilustra en la figura 2.5. Para lograrlo, hay que apelar a una superposición de ondas de frecuencias en un cierto rango que dé como resultado un paquete de ondas como el mostrado. Volveremos a la superposición de ondas en el capítulo cuarto.


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Figura 2.5. paquete de ondas.

se ha querido advertir al lector, con los ejemplos mencionados, de que los entes cuánticos, el electrón y el fotón, rigurosamente no se comportan ni como partículas ni como ondas. se quisiera suponer que él estará familiarizado con el comportamiento de unas y otras; en las secciones posteriores del presente ca-pítulo se darán breves nociones sobre las segundas, de más difícil aprehensión; es importante apreciar la diferencia radical existente en los conceptos clásicos que se tienen de partícula y de onda. En el caso del electrón ligado al protón en uno de sus niveles energéticos permitidos, órbitas cuánticas si lo prefiere, existe cuánticamente una función de onda que nos permite afirmar con certeza el valor de la energía que tiene, sin que para la posición nos permita hacer más que afirmaciones probabilísticas: para el nivel más bajo, la nube electrónica está concentrada en un cascarón esférico muy delgado (centésimas de Å), si-milar a la de la figura 2.9. En el caso del fotón, ya se ha dicho que no puede asignársele una posición con mayor probabilidad que otra, aunque conozcamos exactamente su energía y su cantidad de movimiento. Es más, eso y su estado de polarización (un término ambiguo en física clásica, de gran importancia cuántica) es lo único que podemos saber de él. Una función de onda compleja, lejanamente parecida a la representación clásica de la figura 2.4, esquematiza mejor la situación. de la teoría de relatividad, combinada con su descripción cuántica, concluimos que no existe algo así como un fotón en reposo, y que en condiciones normales se moverá siempre con la misma velocidad, c con respecto a cualquier observador en el Universo. sobre el concepto de polariza-ción, una clave importante en los experimentos que nos llevarán a redefinir el significado de realidad, observación, etcétera, se volverá en el capítulo cuarto, desde la perspectiva cuántica.


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2.5 Variables cinemáticas y dinámicas

En la física clásica se suele hablar de variables; veremos que en la cuántica casi siempre nos referimos a «observables». La energía es el observable de ma-yor importancia en cualquier sistema físico. La función de onda en el esquema de schrödinger (o el equivalente matricial de Heisenberg) es la variable más importante en física cuántica. como ya se sugirió, se habla de la evolución de la función de onda (o del estado).

El desarrollo de la física newtoniana dependió de la invención de una he-rramienta matemática denominada cálculo diferencial, herramienta que nos permite seguir, paso a paso, la evolución del sistema físico. La teoría cuántica prefiere recurrir a la palabra observable, precisamente porque la «evolución» es todavía más abstracta o compleja que una determinada «situación» o es-tado. Era necesaria otra herramienta para expresar matemáticamente el re-sultado de una medida: el formalismo de los vectores generalizados, útil para representar los estados, y de matrices, arreglos más sofisticados y poderosos que nos permiten determinar con precisión estados propios y valores propios de los observables asociados a un estado. Los últimos son los valores permiti-dos, obtenidos en la medición de un observable, números reales en todo caso. se regresa entonces al concepto de variable, pero desde la perspectiva de un observable.

La variación de la posición en el espacio nos describe una trayectoria, un concepto clásico que habrá que abandonar en el esquema cuántico. podemos observar mecánicamente cómo cambia en el tiempo la posición y determinar la velocidad. Las tres componentes de velocidad, Vx, Vy y Vz, nos sirven para in-troducir un ‘espacio de velocidades’. Ese es un espacio vectorial, como lo es el espacio cartesiano X, Y y Z, pero no hay que confundirlo con otros espacios vec-toriales que se utilizan en la nueva teoría, los llamados espacios de Hilbert.

Volvamos a lo clásico. si la rapidez o magnitud de esa velocidad, de ese vec-tor, es pequeña y hay algún centro atractor, el sistema se mantendrá cerca del origen (o atractor) en ese nuevo espacio vectorial, denominado técnicamente “espacio recíproco”. Ya se ha dicho que el momentum p es una variable más importante que la velocidad v. se suele hablar entonces del espacio recíproco como el espacio de los momentos, una traducción ilegal y ambigua del plural latino momenta, como lo es cuantos a cambio de quanta. (Por simplificar y para jugar con el término, se dejó la palabra cuantos en el título de este ensayo). La variación de las tres cantidades, llámense componentes de velocidad o de cantidad de movimiento, se expresan mediante la ley dinámica bien conocida, escrita aquí en forma matemática precisa con el propósito de retar al lector no familiarizado con el lenguaje técnico, a apropiarse de él, sin complicaciones innecesarias pero con significados precisos: F = ma, o más exactamente


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F = dp/dt.

Esta es la generalización, para un objeto (un sistema sencillo), de la segunda ley de newton, válida aun en el caso en que la masa del objeto cambia (es lo que ocurre a muy altas velocidades). si el lector recuerda que la aceleración promedio (en magnitud) se define simbólicamente como <a> = |Δv|/ Δt, y que p = mv, no tendrá dificultad en aceptar la anterior generalización de la segunda ley de newton, extendida a los casos en los cuales por alguna razón la masa del sistema físico cambia con el tiempo, por ejemplo un cohete que quema com-bustible. de todos modos, aunque no lo vea muy claro, puede seguir adelante sin preocuparse. La generalización no la requerirá para entender los conceptos básicos de la nueva teoría, en donde ni siquiera esa generalización tiene sen-tido.

La magia de newton, más allá de sus famosas tres leyes del movimiento, estuvo en aventurarse a encontrar «leyes de fuerza». La más famosa es la Ley de Gravitación Universal, escrita aquí una vez más, ahora en forma matemática precisa:

F = -GMmr/r3.

Esta es una ley de fuerza central, atractiva (en la dirección –r), cuadrática: la intensidad de la fuerza varía con el inverso del cuadrado de la distancia, y va en la dirección opuesta (atractiva) a la que une los centros de los cuerpos que interactúan o se atraen gravitacionalmente: M, la masa mayor de, por ejemplo, la tierra, y m la pequeña masa, por ejemplo la Luna o cualquier sa-télite artificial. r/r corresponde a lo que suele denominarse un vector unitario: no tiene dimensiones, pero siempre tiene la unidad de magnitud; por eso r/r3 tiene dimensiones de 1/r2, resultado al que ya se había hecho referencia. En coordenadas cartesianas se suele escribir i, j y k para los tres vectores unitarios en direcciones X, Y y Z, respectivamente, de tal suerte que si se toma como referencia el origen, donde se encuentra en el caso mencionado la tierra, se tendrá:

r = xi + yj + zk.

si se quisiera representar la posición y el movimiento de la Luna o de un sa-télite artificial que gira alrededor del centro de la Tierra en trayectoria circular, el esquema sería el representado en la figura 2.7.


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Figura 2.7. Movimiento de la Luna o de un satélite en trayectoria circular alrededor de la tierra.

otra ley de fuerza de mucha utilidad es la llamada Ley de coulomb, a la que se ha hecho referencia atrás. Es el punto de partida de los fenómenos electros-táticos. Basta cambiar la constante G gravitacional por una nueva constante k, eléctrica; y las expresiones o símbolos que se refieren a masa por otros que se refieren a la nueva propiedad física intrínseca de los cuerpos cargados eléctri-camente. En rigor, a excepción de los 3 neutrinos, integrantes con el electrón, el muón y el tauón, de la familia de los leptones, los objetos que con mayor precisión podrían denominarse partículas por estar más cercanos al concepto de masa puntual, tienen todos carga eléctrica; cada uno de los seis quarks tiene carga, en magnitud 1/3 o 2/3 de la carga del electrón o de cualquiera de los leptones cargados. si el sistema físico fuera un protón y un electrón (átomo de hidrógeno; recuérdese, de paso, que el protón, núcleo del hidrógeno, no es, rigurosamente hablando, una partícula elemental), cada una de las partículas interactuantes tendría carga de magnitud e, la una positiva y la otra negativa. como resultado se atraen, en la misma forma que el sistema tierra-Luna. He aquí la expresión correspondiente:

F = -ke2r/r3.


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El mismo esquema de la figura 2.7 valdría, en principio, para representar el movimiento del electrón alrededor del protón, pero hay al menos dos graves problemas, el primero claramente señalado arriba, el segundo sugerido desde el comienzo: 1) en la teoría clásica, una carga acelerada (es el caso del elec-trón, el cual tendría una aceleración centrípeta) radia, es decir, emite energía electromagnética (en el esquema de la figura 2.9 terminaría por caer al centro, donde está el núcleo, en una trayectoria en espiral); 2) el principio de indeter-minación ha prohibido establecer un esquema tan determinista. por eso en la figura 2.9 se indica solamente la región probable de ubicación del electrón.

Figura 2.8. Movimiento de un planeta en trayectoria elíptica alrededor del sol. a la de-recha se muestra el ‘espacio recíproco o de momentos. El radio vector p (o para el caso la velocidad Vp), en general variable en magnitud y dirección, describe una trayectoria circular alrededor del centro c en el espacio recíproco o de momentos; el origen o de los vectores velocidad coincide con c solamente cuando la trayectoria en el espacio de posiciones es circular, pero la curva que describe el vector variable p es circular para la Luna, los planetas o los meteoritos.

La figura 2.8 es una excelente representación de las dos imágenes más usua-les en física clásica: la trayectoria en el espacio directo, o espacio de coorde-nadas, y la del espacio recíproco o espacio de velocidades (o momenta). Fue tomada de una preciosa pieza recuperada de Feynman, denominada La confe-rencia perdida de Feynman (Metamemas 56, tusquets, 1999).

Hay otros detalles que no se han tenido en cuenta, pero que no surten mayor efecto en un primer acercamiento al problema: por simplicidad, se han hecho algunas idealizaciones sobre el protón. La más obvia, se le ha considerado como si fuera un punto fijo de cuyo movimiento no hay que preocuparse. Una forma


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elegante de manejar esa simplificación exagerada es resolver lo que desde la mecánica newtoniana se llama el problema de los dos cuerpos, pero no se va a entrar aquí en los detalles del asunto: baste con decir que el problema se so-luciona describiendo el conjunto protón – electrón en el sistema del centro de masa. otro detalle que se ha pasado por alto es que el protón en realidad está formado por tres quarks; pero eso no va a agregar nada a la descripción exacta del problema atómico. acerquémonos a él desde otro punto de vista.

Figura 2.9. nube electrónica alrededor del núcleo en el átomo de hidrógeno: el electrón está distribuido alrededor del protón con una probabilidad que depende de la densidad de puntos en la nube. La nube electrónica en la región cercana a 0.51 Å da la región de máxima probabilidad de ubicación del electrón en su estado o nivel más bajo de energía.

así como la posición y la cantidad de movimiento son el punto de partida para una descripción dinámica del movimiento, las energías de posición (ener-gía potencial) y de movimiento (energía cinética) lo son para una descripción más sencilla de problemas como los que venimos tratando, pues en la mayoría de ellos, tanto de la mecánica clásica como de la cuántica, puede invocarse el principio de conservación de la energía. En el caso anterior, la energía de


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posición está dada por una variable u observable U y la de movimiento por otra que se suele denotar por T, mientras no dé lugar a confusión con el parámetro que mide la temperatura del sistema. Escribámoslas para el caso del electrón, asumiendo que el protón, por ser mucho más masivo, prácticamente no se mueve:

U = -ke2/r; T = ½mv2.

Estas expresiones, fácilmente aceptables para el movimiento planetario, hasta cierto punto pierden significado bajo el nuevo esquema, pero siguen sien-do representaciones útiles. para que la energía cinética o de movimiento tenga algún sentido, es preferible hablar de un valor esperado (semejante al valor medio) y representarlo por <T>. Hay algo que no tiene duda alguna: la suma de las dos cantidades nos da un observable, una cantidad medible más o menos di-rectamente; explícitamente, la energía total, E = U + T, como veremos, puede tomar un conjunto de valores que son los aceptados (valores propios) en la nue-va teoría, aunque cada una de las partes no toma valores definidos. De hecho U y T representan operadores y su suma, Ĥ = Û + Ť, también. La relación matemá-tica es relativamente sencilla; si cada uno de los estados se representa por Ψn (en el esquema de schrödinger), a cada uno de esos estados le corresponde un valor de energía En, el punto de partida es la ecuación de valores propios

ĤΨn = EnΨn.

La lectura de la expresión anterior es todavía más sencilla: mediante el opera-dor de energía Ĥ obtenemos los posibles valores que puede tomar la energía E.

Este conjunto de ecuaciones en la presente y en situaciones similares se denominan estados estacionarios. Ĥ = Û + Ť se denomina “operador Hamiltonia-no”. La gran hazaña del formalismo cuántico es predecir los valores permitidos para E, En, con absoluta precisión, siempre y cuando el operador que representa la energía potencial lo haga fielmente. no incomodaremos al lector escribiendo el operador que representa la ‘energía cinética’. La potencial sigue siendo una expresión común y corriente.

Hay otra variable dinámica de mucho interés a la que ya se ha hecho refe-rencia: la acción. Su definición, como se ha anticipado, es más abstracta, pero se intentará dar enseguida una vaga noción. así como la energía clásicamente resulta de la acción de una fuerza en el espacio, o mejor, trabajo igual a fuerza por desplazamiento, siempre y cuando la fuerza vaya en la dirección del des-plazamiento y sea siempre de la misma intensidad, acción es cantidad de mo-vimiento por desplazamiento, A = ps, en condiciones equivalentes. recuérdese que las unidades de la acción son las de energía por tiempo; pero también son el producto de masa por velocidad por longitud. Más rigurosamente, el concep-to de acción envuelve una operación matemática denominada integral, la cual se realiza sobre todas las trayectorias posibles, de las cuales para un electrón


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libre se representan unas pocas en la figura 1.5; el cálculo conlleva además otras definiciones, en particular las que provienen de una generalización de la mecánica en la denominada formulación hamiltoniana. se introducen de esta manera las llamadas coordenadas generalizadas y los correspondientes impul-sos o momentos generalizados. La acción es la integral (o sumatoria) sobre una coordenada generalizada (espacio o tiempo o ángulo) de un momentum genera-lizado (cantidad de movimiento lineal o energía o momentum angular, etcéte-ra). Baste con decir, para los propósitos que tenemos en mente, que la acción es el efecto prolongado de las variables dinámicas sobre las correspondientes coordenadas generalizadas (a lo largo de cada una de las trayectorias posibles); sus dimensiones coinciden con las del momentum angular.

Para no ahondar más en un tema que causa dificultades conceptuales aun a los expertos, desde un punto de vista cuántico, cuando se observa un sistema físico por un instante (durante un cierto intervalo de tiempo) en un segmento (intervalo espacial) de su posible ubicación o trayectoria, se modifica su acción; nótese que esa es precisamente la cantidad que aparece en las relaciones de indeterminación, tanto la que envuelve la cantidad de movimiento como la que envuelve la energía,: ΔpΔs ~ ħ, o ΔEΔt ~ ħ. Hay aquí una clave importante para la interpretación de la nueva teoría, como se verá más adelante.

2.6 Oscilaciones y ondas

Es usual que un curso básico de física cuántica empiece hablando de ondas. por esa sola razón, esta sección es muy importante. Las ondas electromagné-ticas se produjeron en el laboratorio gracias a osciladores eléctricos, en reali-dad, oscilaciones en cavidades que contenían campos eléctricos y magnéticos, o más precisamente, mediante cargas y corrientes que variaban en forma sin-usoidal (alterna, si lo prefiere), generando campos electromagnéticos dentro de esas cavidades.

pero empecemos por oscilaciones mecánicas. Hay muchos tipos de oscila-dores, de los cuales el más simple es el denominado oscilador armónico. Mo-vimiento armónico simple es el que ejecuta una masa atada a un resorte en condiciones ideales, después de desplazarlo levemente de su posición de equili-brio. Aunque el caso más sencillo de describir no es el que ilustra la figura 2.10, sí es el más fácil de visualizar. si se atara a la masa una punta con tinta y se apoyara suavemente sobre una hoja de papel dispuesta en forma vertical que se desplaza horizontalmente con velocidad constante mientras el resorte ejecuta una oscilación, el resultado sería el que ilustra la figura 2.11, a condición de que se leyera con el tiempo invertido, hacia atrás en el tiempo. por otra parte, proyectando la sombra del movimiento circular uniforme de un objeto en las direcciones y o x, se obtienen movimientos oscilatorios (armónicos simples).


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Figura 2.10. a) oscilador vertical. b) oscilador horizontal. La característica común es que la fuerza recuperadora es proporcional a la deformación, lo cual es válido en pri-mera aproximación, vale decir, si la deformación es pequeña. En el primer caso, el peso mg es compensado por una deformación inicial; en el segundo, por la fuerza normal. se supone que las fuerzas de roce y de fricción con el aire son pequeñas comparadas con la fuerza elástica debida al resorte.

Figura 2.11.

Una forma más sencilla para describir el movimiento oscilatorio periódico es descomponer el movimiento circular uniforme, como ilustra la figura 2.12. para ello es conveniente introducir el concepto de velocidad angular ω, de tal suerte que el ángulo barrido después de transcurrir un cierto tiempo t es: θ = ωt. Eso quiere decir, si el punto de partida del móvil fue B, que x = R cos(ωt) y y = R sen(ωt).


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Figura 2.12. El movimiento circular uniforme se puede visualizar como la superposición de dos movimientos armónicos simples, uno en dirección x¸ otro en dirección y, desfa-sados en π/2.

a partir de movimientos oscilatorios periódicos se pueden generar ondas en diferentes medios materiales. La clave está en transmitir esos movimientos oscilatorios de un punto a otro en ese medio. Vamos a ilustrar brevemente y en términos generales la propagación de ondas bajo diversas circunstancias.

se suele decir que una onda mecánica es una perturbación que se propaga en un medio material con determinadas propiedades elásticas. al contrario de lo que ocurre con una partícula, a la que clásicamente le podemos asignar posición y velocidad entre otras cantidades físicas, una onda generalmente no está localizada: es un fenómeno que, en términos clásicos, lo asociamos con un continuum, un medio continuo, aunque bien sabemos que ese medio, cual-quiera que sea, está constituido por átomos o moléculas con separaciones que dependen del estado y la composición específica del medio. La propagación de una onda en una cuerda es un claro ejemplo en una dimensión: los puntos en la cuerda están conectados de alguna manera; en el caso sencillo de una cuerda muy delgada, ésta puede visualizarse como una cadena de átomos, aunque para ilustrar el fenómeno también serviría cualquier cadena hecha de eslabones o las espiras entrelazadas que forman un largo resorte. En dos dimensiones, una membrana elástica es el mejor ejemplo de medio portador, aunque el más fácil


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de visualizar sea la superficie del agua contenida dentro de un recipiente sin tapa; una cubeta es la materialización práctica más sencilla en el laboratorio. En tres dimensiones, un sólido cualquiera o una mezcla de gases como el aire pueden servir de medio continuo.

Empecemos con la cuerda. si una parte de ella se agita, desplazándola trans-versalmente, esa agitación se comunica o transmite a otros puntos de la cuer-da, precisamente por la conexión que hay entre los diversos puntos que la conforman. La cuerda está hecha de un material elástico que se puede someter a tensión por sus extremos; es lo que se hace con los instrumentos musicales de cuerda.

Figura 2.13. ondas estacionarias en cuerdas, generadas mediante diapasones de dife-rentes frecuencias. La velocidad de propagación de la onda está determinada por la den-sidad (masa por unidad de longitud) de la cuerda y por la tensión a que está sometida. En la figura a) la cuerda está libre por el extremo derecho.

Mediante un diapasón conectado a un extremo de una cuerda cuyo otro ex-tremo puede estar fijo a un peso que causa una cierta tensión, por medio de una polea, por ejemplo, pueden generarse ondas. acomodando tensiones y lon-gitudes para diapasones de diferentes frecuencias, es posible generar ondas estacionarias muy diversas, como las que se ilustran en la figura 2.13.

Ya que hablamos de diapasones, nótese que a menudo su vibración se acopla a una caja vacía en su interior, buscando que se produzca un interesante fe-nómeno característico de las oscilaciones y las ondas: la resonancia. Es lo que ocurre, por ejemplo, con las vibraciones de los instrumentos de cuerda frotada,


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entre los que destaca el violín, o algunos de percusión como el tambor. En los instrumentos metálicos, de viento o de percusión, el acople es más complejo.

Los medios materiales en que se propagan las ondas mecánicas pueden ser só-lidos, líquidos, gaseosos o plasmas, cuatro estados de la materia. (Hoy se habla de un quinto, el condensado de Bose-Einstein). decimos que una onda se pro-paga, y mecánicamente imaginamos que es la perturbación o agitación lo que se transmite, a una cierta velocidad característica. Ésta depende, en primera instancia, del medio en que se propaga la perturbación, de la tensión a que está sometida la cuerda, por ejemplo, y de su densidad (composición y grosor).

Es fácil observar la propagación de ondas en un trozo de gelatina: distintas texturas dan diferente velocidad de propagación. a lo largo de un tronco de ma-dera suficientemente extenso puede percibirse la propagación de una onda so-nora con una velocidad mayor que en el aire. se esperaría que es más ilustrativo hacer el experimento con una varilla metálica: dando un golpe en un extremo se transmite rápidamente una señal sonora al otro extremo. La velocidad de propagación es demasiado rápida para ser observada a simple vista.

Un largo tubo vacío con superficie de vidrio, preferiblemente de sección circular, nos permite propagar ondas sonoras a través del aire en una dirección muy precisa. podría ponerse a vibrar un diapasón colocado en un extremo del tubo y percibir las ondas en el extremo opuesto, si la longitud del tubo fuera apropiada: son de la misma frecuencia, más intensas que cuando simplemente viajan en el aire debido a un interesante fenómeno llamado resonancia. Esas son ondas longitudinales: a diferencia de la cuerda, en la cual las oscilaciones de las partículas son transversales, las oscilaciones de cada una de las capas de aire se hace en la misma dirección en que avanza la onda sonora. Véase la figura 2.14. Nótese que estamos hablando ya de vibraciones de un oscilador. Los átomos solían visualizarse clásicamente como osciladores. Véase el capítulo quinto.

Figura 2.14. ondas longitudinales que se propagan a lo largo de una columna de aire en un tubo con superficie de vidrio, para localizarlas mejor y evitar su disipación. El diagramador dibujó algunas partículas de aire demasiado grandes, lo que facilita ima-ginar lo que ocurre en otras circunstancias. Las ondas sonoras se generan mediante las vibraciones de un diapasón de la frecuencia que se desee.


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pero también es posible observar ondas de torsión, como las que se muestran en la figura 2.15. Para visualizar mejor lo que ocurre, imagine que se anclan a una varilla metálica transversalmente trocitos rectos de alambre grueso. La torsión de una sección transversal de la varilla se transmite a cada una de las secciones sucesivas: es fácil ver a qué velocidad avanza esa perturbación obser-vando el movimiento torsional de los trozos de alambre, aunque por supuesto ellos van a afectar la velocidad de propagación, dado que modifican drástica-mente la dinámica de cada sección de la cuerda.

Figura 2.15. ondas de torsión.

Hay muchos experimentos sencillos que pueden hacerse con ondas. Igual-mente se encuentran muchos cursos con autocontenido en la red. se recomien-da visitar el sitio:

http://web.educastur.princast.es/ies/juananto/FisyQ/Movond/index.htm

Las ondas sonoras que se producen en los instrumentos de cuerda o de viento se acoplan invariablemente a otro medio para propagarse y llegar al receptor: el aire es el medio de propagación, por excelencia; en él se forman general-mente ondas esféricas, cuya intensidad decae con el cuadrado de la distancia, un fenómeno típico de conservación de energía, acompañado en mayor o menor grado de un fenómeno de origen diferente, en el que igualmente decae la se-ñal: la disipación. La disipación está ligada a otro interesante tema: lo que ocu-rre realmente en el interior de cada una de las partes de materia, los átomos y moléculas; ellos responden permanentemente y dan lugar, entre otras, a un tipo de ondas de trascendental importancia: la llamada radiación electromag-nética. Uno puede imaginar ingenuamente que las ondas electromagnéticas en los átomos, la luz que emiten, son como la que ilustra la figura siguiente, en la cual se indica que a gran distancia esa onda esférica se vuelve plana. Milagro-samente el modelo funciona en ocasiones.

cuando se concluyó que la luz es un fenómeno ondulatorio, se encontró lo que ‘suponemos obvio’: la luz se propaga más rápidamente en el aire que en el vidrio u otro medio material cualquiera; es más fácil correr contra el aire que


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nadar contra el agua. pero, ¿por qué habría de ser ‘obvio’, si acabamos de decir lo contrario sobre las ondas sonoras? a mayor densidad del medio, la velocidad de una onda mecánica como el sonido aumenta. La respuesta es sutil: las ondas de luz son un tipo muy particular de ondas. para empezar, observe que pueden propagarse sin necesidad de medio material alguno: al menos eso ocurre en los espacios intergalácticos donde la densidad de materia es extremadamente baja. por el contrario, las ondas sonoras no pueden propagarse en el vacío. dicho en otras palabras, la luz no es el tipo de onda mecánicamente producida que acabamos de discutir. o mejor: El señor es sutil (Subtle is the Lord, reseña sobre Einstein escrita por abraham pais).Volveremos a este asunto más adelan-te, no sin antes mencionar que para resolver el problema en el pasado se supuso que había un medio extraño, imponderable, al que denominaron éter, hoy en día desechado por la física ortodoxa.

Figura 2.16. onda esférica que se vuelve plana a gran distancia.

La noción de onda es menos intuitiva que la de partícula; en las ondas me-cánicas hay una característica común: las oscilaciones, las cuales se transmiten de uno a otro punto gracias a la elasticidad del medio. se verá que hay compli-caciones aún mayores, y diferencias radicales en su comportamiento, si se le compara con el de partículas. La más importante, para los fenómenos que se van a considerar posteriormente, es el siguiente: las ondas exhiben un fenóme-no peculiar, el de superposición o interferencia, ausente por completo en las partículas clásicas, sean ellas balas de cañón, diminutos proyectiles o, mejor aún, cuerpos tan gigantes como una galaxia (también partículas desde un punto de vista cosmológico).


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Clásicamente, al menos en lo que se refiere a las ondas mecánicas (la luz, como se dijo, es caso aparte), una onda simple resulta de un fenómeno os-cilatorio. En la figura 2.13, cuando se pone a vibrar un diapasón y se le ata al extremo de una cuerda, preferiblemente liviana, se pueden percibir dos ondas: la sonora, que se propaga en el aire, con la frecuencia característica del diapasón y la velocidad propia del sonido en el aire a la temperatura a que se encuentre, y una onda a lo largo de la cuerda; ésta última viajará con una velocidad que depende de la tensión a que esté sometida la cuerda y de su densidad (masa por unidad de longitud). Intuitivamente puede entenderse que a mayor tensión y menor densidad (mayor aceleración y menor inercia), la velocidad de propagación sea mayor. Bajo ciertas condiciones, en la cuerda se forma una onda estacionaria. Es como si partes de la cuerda, separadas por medias longitudes de onda, vibraran al unísono; de hecho, así es. considere-mos un caso más sencillo.

Figura 2.17. Ondas estacionarias en una cuerda fija por sus dos extremos. En el primer caso, L = ½ λ; en el segundo, L = λ; en el tercero, L = (3/2) λ; para el cuarto, L = 2λ.

sujétese una cuerda liviana (de baja densidad) por dos extremos, tensio-nándola, no muy fuertemente para que se pueda observar mejor y para que no


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se rompa. al presionar transversalmente por el centro de la cuerda y liberarla repentinamente, la cuerda va a oscilar: todos los puntos de la cuerda irán de abajo hacia arriba durante medio ciclo y de arriba hacia abajo en el medio ci-clo siguiente. obsérvese que la cuerda tiene media longitud de onda, L = ½ λ. ahora presiónese en sentidos opuestos a (1/4)L y (3/4)L, buscando que el cen-tro permanezca estático: se observa que, mientras la mitad de los puntos de la cuerda se mueven en una dirección, los de la otra mitad se mueven en dirección contraria. se ha logrado formar una onda estacionaria con una longitud de onda λ igual a la longitud de la cuerda. (Véase la figura 2.17).

sin necesidad de hacer la demostración matemática, conviene advertir que la onda en el caso anterior es una superposición de dos ondas: una que viaja hacia la derecha y otra exactamente igual en amplitud y frecuencia que via-ja hacia la izquierda. La amplitud de la onda resultante es el doble de la de cada una de sus componentes, un efecto lineal bastante obvio; la intensidad va a ser el cuádruplo. El fenómeno se denomina superposición de ondas, y vale para todo tipo de ondas que se propaguen en medios lineales. Ya se dijo que la superposición va a ser de gran importancia en la descripción de los fenómenos cuánticos.

de manera similar a la superposición de ondas, en el fondo lo mismo pero de manera más general, funciona el fenómeno conocido como interferencia de ondas. para ilustrarlo, es mejor recurrir a ondas bidimensionales más ex-tensas que las ondas en una cuerda (éstas, al igual que las ondas sonoras en un tubo, son un tipo muy particular de ondas en una dimensión). Las ondas en el agua son convenientes para visualizar lo sustancial en el experimento propuesto.

Si se pulsa, ojalá armónicamente, la superficie del agua, se forman ondas concéntricas o circulares. piénsese en pulsar en fase dos corchos mediante un motor. se formarán dos ondas con frentes circulares que interfieren. con algunas precauciones y trucos, puede observarse que en algunas partes inter-fieren constructivamente y en otras lo hacen destructivamente. El fenómeno se ilustra esquemáticamente en las figuras 2.18, en la primera, para una situación idealizada, a partir de un dibujo hecho por Young para explicar el fenómeno, en la segunda para un caso real: dos puntas que se hacen oscilar vertical y sin-crónicamente, perturbando la superficie del agua. Otra forma de hacerlo, para garantizar que las dos fuentes estén en fase, consiste en utilizar una barra o rodillo para producir ondas planas en la cubeta de ondas. El frente de ondas planas avanza; más adelante, se puede colocar un obstáculo con dos ranuras, dando lugar a dos frentes de onda en fase. Esto es lo que se ilustra en la figura 2.19, pero con ondas de luz. Éstas son más interesantes que las de agua, uti-lizadas en estas notas sobre todo por la facilidad para materializarlas y por la riqueza conceptual que encierran.


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Figura 2.18. patrón de interferencia de ondas en el agua. El primer caso (arriba) re-presenta una situación idealizada, ilustrada originalmente por Young, para las ondas de luz; el segundo (abajo), es una fotografía de ondas en el agua durante un experimento real (laboratorio del pssc, physical sciences study committee, 1964). El primer dibujo puede mirarse a ras, de izquierda a derecha como recomendara Young, para ver mejor el efecto de interferencia. Volveremos a este experimento en el capítulo tercero.

La figura 2.19 es similar a otras que el lector seguramente encuentra en di-versas fuentes, entre otras, algunas de las que se mencionan en la sección 3.4. tiene adicionalmente una representación del cambio semi-cuantitativo de la intensidad en las distintas franjas.

Se pueden apreciar en esta última figura dos fenómenos muy similares, estre-chamente relacionados: interferencia y difracción. La difracción es una especie de interferencia generalizada, aunque no es fácil explicarlo en pocas palabras. Para simplificar, digamos por ahora simplemente que la difracción es la propie-dad de expandirse o ensancharse que tiene la onda. Eso le permite “doblar” esquinas.


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Figura 2.19. ondas de luz esféricas que dan lugar a dos frentes de ondas mediante dos agujeros o dos rendijas verticales formando un patrón de interferencia, con franjas alternas brillantes y oscuras. La figura inferior ilustra la variación de la intensidad, pro-porcional al cuadrado de la amplitud de la onda en cada punto.

agustín Fresnel y thomas Young, independientemente, hicieron experimen-tos que confirmaron plenamente el carácter ondulatorio de la luz, de los rayos de luz. Fresnel, un ingeniero de caminos, elaboró además una teoría matemáti-ca bastante compleja. Se volverá a las ondas de luz al final del capítulo, cuando se haya hecho una introducción a los fenómenos electromagnéticos, que son los que precisamente dan lugar a ese tipo peculiar de ondas.


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2.7 Rangos permitidos para los fenómenos físicos bajo diversos marcos teóricos

La teoría de relatividad debe su nombre a que uno de sus postulados es preci-samente el postulado de relatividad: todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes, o mejor, las leyes de la física deben tener la misma forma en todos los sistemas que se muevan unos respecto de otros con velocidades uniformes. pero su nombre está mal asignado, como el mismo Einstein lo reco-noció: es una teoría de invariantes, de cantidades que no cambian. El segundo postulado afirma que la velocidad de la luz, c, la máxima permitida, es la misma en todo sistema de referencia: es una constante física fundamental. Es, pues, un invariante; todavía más, es una velocidad límite.

de la misma manera, h es una constante física fundamental. también es una cantidad límite, esta vez por debajo. Hay otra muy importante: la carga e, coincidencialmente la carga del electrón. seguramente hay una relación entre las tres, pues es bien conocido ya que los llamados «rayos de luz» o fotones son producidos por la interacción entre partículas cargadas. En otras palabras, una partícula elemental cargada interactúa con otra también cargada enviándole fotones que viajan a la velocidad de la luz, los cuales a su vez son cuantos de energía. La otra le responde en la misma forma. La mínima acción que se puede intercambiar en la interacción es precisamente h. El intercambio de energía durante el intervalo de tiempo que dura la interacción debe satisfacer también la relación de indeterminación ya escrita: ΔEΔt ~ h.

Las dos expresiones anteriores y otras equivalentes establecen un mínimo para la acción que es posible transmitir, por ejemplo, en un proceso de me-dición, un proceso que proviene de una interacción entre el observador y el sistema físico. El inverso de un mínimo es un máximo; alberto de la torre, en el interesante ensayo divulgativo ya mencionado en la introducción, el cual inspiró mucho de estas notas, le denomina inacción. así como la constante de acción ħ establece un límite al mínimo permitido de acción que se transmite, su inverso establece un límite máximo de inacción. La constante de velocidad c estable-ce un límite máximo a la velocidad de propagación de cualquier tipo de señal que se envíe de un emisor a otro sistema que se denomina receptor. Al graficar sobre un plano los diversos eventos que pueden ocurrir en el universo de fenó-menos físicos, estos estarían acotados por el máximo de inacción y el máximo de rapidez, como indica el siguiente diagrama, una simplificación del propuesto por de la torre; llevemos, como hace él, las unidades de inverso de inacción a un supuesto eje horizontal, y las de rapidez al eje vertical. En tal caso, el cajón izquierdo inferior (I,I) incluiría los fenómenos que ocurren a velocidades bajas comparables con la de la luz y cuando el inverso de la acción es muy pequeño comparado con el inverso de la constante de planck; el de la derecha, inferior (d,I) correspondería a los que más nos interesan en este corto ensayo: son fe-nómenos que envuelven también bajas velocidades, pero el inverso de la acción


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es comparable a 1/h (el caso extremo ocurriría precisamente en el extremo derecho del esquema). sin que los otros dos rangos de fenómenos, los de los cajones superiores, nos interesen por ahora, envuelven velocidades compara-bles a la de la luz, en un caso a baja inacción (izquierdo superior, (I,s)), y en el otro, del orden de 1/h (derecho superior, (d,s)). obsérvese que los fenómenos físicos ¡caen en uno u otro rango, pero no por fuera de ellos! Simplifiquemos la nomenclatura, representando: por c, los fenómenos clásicos no relativistas; por Q, los cuánticos a bajas velocidades; por r, los clásicos a altas velocidades y por rQ, los fenómenos cuánticos que envuelven altas velocidades (generalmente, el rango de fenómenos que se estudian en la física de partículas elementales, o física de las altas energías). rigurosamente hablando, la mecánica cuántica relativista debería incluirlos a todos, pero no se han logrado mayores éxitos en ese terreno: por ahora, en rQ están descritos fenómenos que envuelven partículas elementales a velocidades ultrarrelativistas; en Q caerían también los fenómenos clásicos a bajas velocidades, pero no es indispensable hacerlo con aquellos en que h resulta despreciable, o mejor, cuando la inacción, en unidades del inverso de 1/h, es pequeña frente al máximo permitido para esa variable. cuando se quieren describir objetos macroscópicos inmensos que se mueven a altas velocidades, las galaxias lejanas por ejemplo, se dice que la teoría de relatividad, o lo que es lo mismo, la teoría de gravitación se ha gene-ralizado; no voy a ocuparme de ese asunto. Insistamos en que falta mucho para generalizar la teoría de gravitación, es decir, para disponer de una gravitación cuántica consistente. algo similar puede decirse del modelo estándar, la teoría más avanzada y exitosa de las partículas elementales, aunque se han logrado muchos avances en supercuerdas.

c rc rQ

I,s d,s

Mecánica clásica relativista Mecánica cuántica relativista

Mecánica clásica no relativista Mecánica cuántica no relativista

I, I d, I

c Q h-1

Figura 2.20. diagrama de los fenómenos físicos y teorías que los describen. no debe perderse de vista que la frontera entre uno y otro rango de fenómenos es difusa.

si los límites máximos de velocidad (c) y de inacción (h-1) restringen los fe-nómenos dinámicos, por supuesto que el espacio y el tiempo también están restringidos cuando ellos no son absolutos. como ya se advirtió, es impensable concebir distancias mayores que las del radio del universo; o tiempos mayores que la edad del mismo. Se pueden fijar cotas mínimas para distancias y tiem-pos, pensando en las partículas de menor tamaño que se conocen y las de más


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corto tiempo de decaimiento. Esto nos lleva a consideraciones que eludimos, por brevedad y porque no se sabe mucho de las cotas en esta dirección. Inten-taremos regresar a estos problemas en el futuro ensayo.

2.8 La gran síntesis de Newton y de maxwell

La mecánica, la electrodinámica y la física estadística clásicas son el resul-tado de tres siglos de avance espectacular de la ciencia moderna en la descrip-ción de los fenómenos físicos. La última dio una sustentación “microscópica” a los fenómenos termodinámicos, más exactamente, a la termodinámica feno-menológica; gracias a ella se creía que finalmente se había logrado entender lo que era el calor, y se introdujo con rigor una cantidad física no medible direc-tamente pero envuelta en todo tipo de fenómenos físicos: la entropía.

En la tumba de Ludwig Boltzmann, en Viena, hay una lápida que reza: S = -klogW. W se refiere al número de estados accesibles del sistema físico; k es, por supuesto, la famosa constante de Boltzmann; la operación logW ordena to-mar el logaritmo del número de estados; no voy a ahondar en el procedimiento para hacerlo, por razones de espacio y porque el tema podemos evadirlo para simplificar: nos lleva a un campo que cae por fuera de estas notas. pero la en-señanza es muy clara: a medida que aumenta el número de estados accesibles, crece la entropía del sistema. será imperativo ahondar en el asunto si, como lo tengo planeado, acometo la tarea de redactar el segundo ensayo prometido con una orientación más dirigida a resaltar la segunda revolución cuántica, es-pecíficamente, la información vista cuánticamente.

terminemos esta breve referencia a la física estadística con una observación: la relación de Boltzmann sigue siendo válida, hasta donde sabemos, en la teoría cuántica, tomando las debidas precauciones. El denominado operador densidad (un ente cuántico más complejo que el vector de estado) es el protagonista principal.

a continuación se intentará resumir en algo más que unas frases o unas pocas ecuaciones lo que las teorías de newton y de Maxwell nos dicen; la primera, sobre las leyes que rigen el movimiento, descrito clásicamente, en particular la que se refiere a la conservación de la cantidad de movimiento; la segunda sobre las leyes que rigen la interacción entre la materia y la radiación, las lla-madas leyes de la electrodinámica. La primera es pilar fundamental en la física estadística, también en los procesos o interacciones elementales. Las segundas toman una forma matemática que demanda conocimientos de cálculo vecto-rial y no haremos más que enunciarlas cualitativamente. recomiendo al lector leer el capítulo Maxwell y los bichos raros del libro de sagan: El mundo y sus demonios y releer (si ya se hizo una primera incursión) Evolución de la física, referido desde la introducción a este ensayo. Los dos pueden encontrarse en nuestra página web.


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2.8.1 newton y la mecánica

a la ley de gravitación de newton se suman sus tres leyes de la mecánica: el principio de inercia, la ley que rige el cambio de movimiento (la interacción o fuerza es la responsable) y el principio de acción y reacción (interacción entre parejas). a las tres ya se ha hecho referencia; recuérdese que la última simplemente establece cómo, cuando interaccionan dos partes de un sistema físico o dos sistemas físicos cualesquiera, la fuerza que una parte hace sobre la otra es igual y opuesta a la que la segunda hace sobre la primera. téngase en cuenta que eso es cierto, no importa qué tan grande o tan pequeña sea una de las partes. dos partículas elementales interactuando (dos electrones, por ejemplo) tendrán que satisfacer el principio de acción y reacción, aunque su comportamiento antes, durante y después de la interacción deje de ser clásico. de hecho, la satisfacen, pero en tal caso es preferible visualizar lo que ocurre en forma consistente con la nueva teoría válida a nivel elemental, en la que el concepto de fuerza pierde validez, cediendo su lugar, como ya se dijo, a la interacción. La descripción que sigue, aunque parte de la formulación clásica, es un intento en esa dirección.

Escrita en la forma F = dp/dt, el cálculo diferencial nos permite reescribir la ecuación de movimiento para un sistema físico cualquiera de la siguiente manera: dp = Fdt; la fuerza puede estar variando, de hecho lo estará, en cada instante de tiempo; el procedimiento que se sigue, el inverso del cálculo dife-rencial, puede ser complicado para algunos de los lectores, así que es preferi-ble recurrir a un pequeño truco. cuando la fuerza neta sobre una partícula es aproximadamente constante, lo cual puede ser aproximadamente válido duran-te un corto intervalo de tiempo Δt, el cambio en la cantidad de movimiento de la partícula debido a esa fuerza total vendrá dado por: Δp ≈ FΔt. recuérdese que esa última cantidad es el impulso suministrado por la fuerza.

cuando choquen dos electrones, el uno hará sobre el otro una fuerza repul-siva (ley de coulomb) exactamente igual y opuesta a la que hace el segundo, el otro, sobre el primero. simbólicamente puede escribirse: Δp1 = F1Δt; en la misma forma, Δp2 = F2Δt; al sumar las dos expresiones, recordando que F1 = -F2 (principio de acción y reacción) y que el intervalo de tiempo, el tiempo de interacción que se considere (muy pequeño, para el caso), tiene que ser el mis-mo para los dos, se obtiene algo aparentemente muy simple, pero de enorme utilidad y de gran trascendencia:

Δp1 + Δp2 = 0;

¡el resultado es maravilloso! Esta es en esencia la demostración de que la cantidad de movimiento total de dos objetos (o dos partes de un objeto) que interactúen entre sí se conserva:


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p1i + p2i = p1f + p2f,

en donde se han utilizado los subíndices i y f para referirse a cantidades iniciales y finales respectivamente (Δp1 = p1f - p1i; Δp2 = p2f – p2i). Hagamos una pausa para explicar de una vez por todas lo que solemos hacer.

preparando el terreno para la terminología cuántica, se han denominado i y f los estados ‘inicial’ y ‘final’. Esto quiere decir: mentalmente se puede dividir una historia en “cuadros” o fotografías parciales de lo que está ocurriendo y “armar” la historia a partir de esos trozos de información; en cada ‘etapa’ del proceso, en el intervalo de tiempo Δt entre un cuadro y el siguiente, ha ocu-rrido un cambio o una transformación en cada parte del sistema interactuante, los dos electrones para el caso; entre dos cuadros sucesivos hay una parte de la historia, con un comienzo y un final; entre dos trozos de historia sucesivos, se retoma el final para el siguiente cuadro; esto se puede hacer, en principio, clásicamente, tan detallado y tantas veces como se desee. resumamos el re-sultado: bien sea para cada trozo o para la historia completa, mientras lo que se tenga puesto en escena sean los dos electrones interactuando y nada más, el resultado total es el mismo: la suma de las cantidades de movimiento de las dos partes es la misma siempre, no importa dónde se ponga el comienzo y dónde se decida colocar la escena final, si no ha habido otros actores. Tal vez pueda afirmarse, sin exageración alguna, que ese procedimiento es la clave del éxito de la física teórica.

Lo más interesante es que esto se puede hacer, por superposición, para mu-chas otras partes... en últimas, para todo el Universo; recuerde que puede tomar un sistema cualesquiera y dividirlo en dos partes. Hágalo mentalmente ahora para dos trozos de materia que interactúan de alguna manera, no im-porta cómo: no hemos recurrido a la forma específica de la fuerza (léase inte-racción) en la deducción anterior. piense en una reacción química, en la que dos átomos o moléculas se transforman. si se lograra aislar la reacción, lo que mentalmente siempre es posible, no importa si se produce o se absorbe calor durante la reacción, siempre y cuando se incluya el subsistema que absorbe o suministra el calor sobrante o faltante, el principio de conservación arriba expresado sigue siendo válido.

si fuera una granada o el Universo entero que explota en dos fragmentos, la suma de las cantidades de movimiento de los dos fragmentos igualará a la can-tidad de movimiento de la granada completa o del Universo entero... si no ha habido otra fuerza externa que afecte el movimiento de la granada o de cada uno de los dos fragmentos de Universo. por facilidad, imagine la granada sobre una superficie horizontal sin rozamiento: la descripción es muy sencilla en tal caso, si los fragmentos no vuelan por el aire (la gravedad no actuará, pues fue neutralizada por la superficie horizontal): la normal equilibra al peso. En el caso


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más general, el que suele presentarse casi siempre, la tierra atrae a la granada inicial y a los fragmentos finales, pero eso no importa: los fragmentos caerán en tal forma que el denominado centro de masa (c.M.) caiga donde habría caído la granada completa (el c.M. sigue describiendo su trayectoria parabólica). Lo mismo ocurre con tres, mil o un millón de fragmentos. así que puede aplicarle la receta a cada una de las partes en que decida dividir el Universo.

Hay algo más interesante: si se lograra aislar la granada del campo gravita-cional de la tierra, el principio de inercia dice que mantendrá su movimiento. Eso está expresado en la ecuación Δp1 + Δp2 = 0. antes de la explosión habría un solo cuerpo que para mayor facilidad puede suponer en reposo (consecuen-cia del principio de inercia). En tal caso, se dice que se está haciendo la ob-servación en el C.M. o sistema del centro de masa. Al final, habrá dos partes moviéndose en direcciones opuestas, cada una de ellas con la misma cantidad de movimiento en magnitud. El c.M. de los dos fragmentos seguirá en reposo, satisfaciendo el principio de inercia.

Al igual que con la expresión general de Boltzmann, el resultado final de la discusión que acabamos de hacer, la conservación de la cantidad de movimien-to, vale también en el universo cuántico; y vale, por supuesto, en la teoría de relatividad, especial o general. otro tanto puede decirse para la energía. La conservación de la cantidad de movimiento, lineal y angular, y de la energía para un sistema aislado es (son) el (los) dogma(s) central(es) de la física, no solamente de la mecánica. cuando se considera un sistema más complicado que un sistema mecánico, incluyendo los campos electromagnéticos, como se hará en la siguiente sección, o de cualquier otro tipo, los principios de con-servación siguen en pié. Por eso podemos afirmar, ufanos, que la física es una ciencia de principios. pero en el universo cuántico hay otro principio: en general, no se puede observar sin perturbar. Y el observador agrega (o quita) una porción a la cantidad que está observando (llámese momentum, energía, espín…). ponga atención a lo siguiente: el observador generalmente no tiene conciencia. Un imán, por ejemplo, o un microscopio (ente clásico) por el que se hace pasar un fotón (ente cuántico) que luego interactúa con el sistema cuántico bajo estudio. El problema de la medida en mecánica cuántica es uno de los más sutiles.

Un sistema más complicado, a la vez más realista, es un sistema de cargas y corrientes interactuando a través de los campos eléctrico y magnético, campo electromagnético, que ellas mismas modifican. Si pensáramos en dos partícu-las elementales interactuando electromagnéticamente, el universo completo serían las dos partículas y los campos que ellas mismas producen: diremos que la interacción consiste en enviarse fotones todo el tiempo. pero no nos adelan-temos a la gran síntesis, la teoría cuántica de campos.


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2.8.2 maxwell dijo: ¡hágase la luz!

En esta subsección abordaremos la tarea de describir más o menos unificada-mente los fenómenos electromagnéticos y deducir la óptica del electromagne-tismo, la descomunal obra de Maxwell.

al igual que la química, la termodinámica surgió primero como una ciencia empírica. después de la mecánica, el siguiente gran capítulo formal de la física, pieza magistral de la ciencia matemático-experimental, es la electrodinámi-ca. Los fenómenos electromagnéticos son más difíciles de describir en pocas palabras y en términos sencillos que los puramente mecánicos. En últimas sus ingredientes masivos, para no llamarlos materiales, son las partículas cargadas eléctricamente; en movimiento, tales partículas dan lugar a corrientes eléc-tricas. Las cargas, por sí solas, dan lugar a campos eléctricos; en movimiento, generan también campos magnéticos. Los ingredientes no masivos, no por eso inmateriales, son los campos eléctrico y magnético. Lo más grandioso de la noción de campo es esto: ¡un campo magnético cambiante en el tiempo genera un campo eléctrico; un campo eléctrico cambiante en el tiempo genera uno magnético! pero los campos generados son también cambiantes, por lo que el proceso de autogeneración continúa indefinidamente... y se propaga en el es-pacio: eso son las ondas electromagnéticas.

La idea de describir la interacción entre cargas y corrientes en términos de campo se atribuye a Faraday. Esa idea fue muy afortunada; en definitiva, reba-só ampliamente la fenomenología que en su tiempo abarcaban estos fenóme-nos. Lo que empezó siendo una descripción gráfica de las fuerzas entre cargas y corrientes, un artificio matemático, se volvió un ente material, el campo electromagnético, con energía y momentum. Veamos.

En principio, la importancia de los campos radica en la posibilidad de descri-bir matemáticamente la fuerza que experimenta un objeto que posee carga q y tiene masa m, por ende describir su trayectoria recurriendo a la segunda ley de newton F = ma; la expresión correspondiente se denomina fuerza de Lorentz:

F = q (E + v×B).

En palabras, una carga (supuestamente puntual) que se mueve con velocidad v experimenta una fuerza total que es la suma de dos términos: uno que depen-de solo del campo eléctrico, otro que depende del campo magnético pero tam-bién del vector velocidad, en la forma que establece el denominado producto vectorial. resulta así fácil visualizar una descripción, en términos de campos, de la fuerza que una carga puntual puede hacer sobre otra colocada a cierta distancia y de la fuerza que un pequeño imán o un circuito de corriente puede hacer sobre otro imán u otro circuito diminuto cercano, o simplemente sobre una carga en movimiento; en el primer caso, se hablará de un campo eléctrico; en el segundo, de un campo magnético.


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de hecho el lector ya está acostumbrado a la descripción de interacciones en términos de campo: basta con que regrese a la figura 2.1. Allí se ilustra el campo gravitacional producido por la tierra. podríamos escribir: F = mg (muy similar en su forma a qE). pero debe tener cuidado: la magnitud de g, escribá-mosla |g| o simplemente g, ya no es constante. rigurosamente estaría dada por la relación: g = GM/r2, siendo para el caso M la masa de la tierra y r la dis-tancia del objeto de masa m al centro de la tierra, o mejor, la distancia entre los centros de masa de los dos objetos que interactúan gravitacionalmente, a condición de que los dos sean de forma esférica.

Los campos fueron tomando una realidad física a medida que el concepto se aprovechó para avanzar. El paso decisivo lo dio Einstein y está bosquejado en el manual que escribiera con Infeld. para los lectores menos experimentados en este tema, se hace aquí una breve descripción gráfica de los campos en cir-cunstancias muy sencillas, pero se les recomienda bajar de nuestra página (o de algún otro lugar) el manual de Einstein e Infeld y degustarlo en su capítulo tercero: Campo y relatividad.

El campo eléctrico de una carga puntual se representa por una serie de líneas que emergen del punto donde se asume que ella está colocada, supuestamente en reposo: las líneas cruzarán isotrópicamente (distribuidas uniformemente en todas direcciones) la superficie de cualquier esfera imaginaria con centro en donde está la carga; estarán dirigidas hacia afuera si la carga es positiva, hacia dentro en caso contrario.

Figura 2.21. campos eléctricos de cargas puntuales: a) positiva; b) negativa.


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El campo eléctrico del sistema físico conformado por dos cargas iguales y opuestas separadas por una pequeña distancia es el siguiente paso. Una realiza-ción de ese sistema se da en muchas moléculas, las denominadas polares, entre ellas la de H2o. dipolo eléctrico es precisamente el nombre para este sistema. Una corriente a través de un anillo o espira circular da lugar al sistema físico conocido como dipolo magnético. Los dos campos se ilustran en la figura 2.22, en donde se muestran además algunas líneas de campo, eléctrico en el primer caso, magnético para el segundo. nótese la semejanza (y la diferencia) entre los dos dipolos: el primero, un dipolo eléctrico; el segundo, uno magnético.

Figura 2.22. dipolos a) eléctrico y b) magnético.

Una carga eléctrica neta se denomina técnicamente monopolo eléctrico. no existe monopolo magnético, o mejor, no ha podido determinarse su existencia. Históricamente, el estudio del campo magnético se hizo con imanes, lo que oscureció el concepto mismo, particularmente con la introducción de polos magnéticos.

aunque la situación es realmente más compleja, un imán produce un cam-po magnético similar al de un conjunto de espiras circulares, como se ilustra en las figuras 2.24; basta que compare con la figura 2.23b. En la figura de la izquierda se ilustra el efecto del campo resultante sobre un imán diminuto; la figura sugiere la orientación del pequeño imán (imagíneselo a nivel atómico, una molécula de magnetita, si lo prefiere), el cual de paso puede utilizarse para detectar el campo magnético.


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Figura 2.23. campo magnético producido por un imán. La aguja o brújula se orienta en la dirección de las líneas de campo.

Figura 2.24. Un solenoide por el que se hace circular una corriente estacionaria (cons-tante, denominada también corriente directa, c.d.) por medio de una pila o batería o cualquier otro tipo de fuente de c.d. a la derecha se ilustran las líneas de campo, resul-tado de la superposición de varias espiras como la de la figura 2.22b.


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se suele introducir el término momento de dipolo, eléctrico o magnético según el caso, para caracterizar una propiedad intrínseca del dipolo mismo. a nivel atómico, el dipolo eléctrico se visualiza como una deformación del átomo o molécula en la cual el núcleo no está en el centro de la nube electrónica. Una imagen sencilla del dipolo magnético del átomo la suministra el modelo de Bohr: el electrón orbitando alrededor del núcleo produce una corriente eléctrica, el cual produce un campo magnético similar al de la espira de la figura 2.22b. Pero se puede reemplazar el electrón por una esfera macroscópica pequeña girando en círculo: regresamos, pues, de lo micro a lo macro, en contravía de la histo-ria. La materialización de este último sistema la logró Rowland a fines del siglo XIX, a partir de los experimentos de oersted; de ahí se obtuvo un resultado de gran importancia, al que volveremos en la siguiente sección.

Figura 2.25. Experimento de rowland. Una carga eléctrica girando en círculo produce un campo magnético. El campo magnético es similar al de la espira, pero rigurosamente hablando es un campo dependiente del tiempo. o mejor, para adelantarnos a la discu-sión de la sección 4.9, la carga se ve como un campo eléctrico variando en el tiempo que a su vez genera un campo magnético. Ese campo magnético se manifiesta desviando la aguja o brújula colocada en el centro.

El momento de dipolo magnético, o momento magnético, por brevedad, es más importante, porque es proporcional al momento angular. Hablando de car-gas y agujas magnéticas, los casos descritos en las cuatro situaciones anteriores son los sistemas más sencillos que cabe imaginar. Los polos vienen en parejas complementarias. pero no se olvide que no hay monopolo magnético; el polo norte y el polo sur resultaron ser una ficción: lo que hay es una circulación de corriente, como se muestra en la figura 2.22b.


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no está de más representar dos casos igualmente sencillos, cuando las cargas son del mismo signo y cuando los imanes están enfrentados por polos opuestos o de la misma denominación, lo que se indica en la figura 2.26.

Figura 2.26. a) campo eléctrico de dos cargas del mismo signo; b) campos magnéticos cuando dos imanes se acercan, con diferente o la misma polaridad, término ambiguo que dio lugar a equívocos.

otro caso sencillo lo constituyen líneas rectas muy extensas de carga y de corriente, alambres infinitos, para simplificar aún más, vale decir, cuando la longitud de los segmentos rectos considerados es muy grande comparada con la distancia a la cual se quiere examinar el campo. para visualizarlos más fá-cilmente, considérense solo las secciones transversales de esos segmentos o líneas; es como si se estuvieran observando puntos, siempre y cuando el grosor


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de los segmentos sea suficientemente delgado. De nuevo las líneas del campo eléctrico del alambre cargado positivamente divergen en dirección perpendicu-lar a la línea (ya no se trata de un punto); en cambio las del campo magnético del alambre de corriente en dirección hacia el lector son circulares, se cierran sobre sí mismas. Esto se ilustra en la figura 2.27. Si se observan con atención, se verá que las del imán también se cierran sobre sí mismas (la que va sobre el eje se cerrará en el infinito).

Quizá el lector haya oído hablar de condensadores cilíndricos y de cables coaxiales. En uno y otro se encierra el campo (eléctrico o magnético, respecti-vamente) entre dos cilindros concéntricos. Las líneas de campo siguen la misma orientación que tienen en la figura 2.27.

Figura 2.27. sección transversal de los campos de líneas de carga y de corriente. a) campo eléctrico de una línea recta cargada; b) campo magnético de una línea de co-rriente, segmento recto muy extenso, en dirección entrante a la hoja.

Por analogía con los fluidos, las líneas de campo dan lugar a un flujo a través de una sección superficial. En ocasiones, es conveniente pensar en el flujo a través de una superficie cerrada. A diferencia de los flujos de campo, en los fluidos mecánicos (líquidos o gases) esta situación no es tan interesante, por-que el flujo hacia dentro es invariablemente el mismo que el flujo hacia fuera: las líneas de flujo son en principio cerradas. En el caso del campo eléctrico, en cambio, éste puede dar lugar a un flujo neto (es el caso usual cuando hay una carga dentro), lo que no ocurrirá con el campo magnético, precisamente porque sus líneas de campo son cerradas.

por último, considérense dos placas paralelas muy extensas (representadas por planos paralelos), y visualícese un corte transversal. discutiremos breve-


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mente dos situaciones interesantes en que pueden producirse campos eléctrico o magnético muy aproximadamente uniformes. En el primer caso, se trata de placas cargadas, la de la derecha con carga positiva, la de la izquierda con car-ga negativa: es lo que suele denominarse un condensador de placas planas, un dispositivo muy usual en diversos acumuladores y en múltiples circuitos eléctri-cos o electrónicos. El segundo caso es menos realista o frecuente y representa igualmente dos láminas muy extensas que llevan corriente, la inferior en la dirección que se aleja del lector y la superior acercándose hacia él. a diferen-cia de las líneas de campo eléctrico, que empiezan y terminan en las placas, las de campo magnético se cierran sobre sí mismas en el infinito, para el caso ideal considerado, por fuera de las placas en el caso real de placas finitas. Las líneas de campo se ilustran en la figura 2.28. En ambos casos, debería tenerse en cuenta la deformación que tiene lugar en los extremos de las placas, para satisfacer algunas propiedades de los campos que no discutiremos en esta breve síntesis.

Figura 2.28. campos producidos por placas paralelas ilimitadas. se muestra solo una región de las placas. a) campo de placas cargadas con cargas iguales y opuestas. b) cam-po magnético producido por un par de placas que transportan corriente en direcciones opuestas.

Hasta aquí se han hecho suposiciones muy fuertes, no solamente en cuanto a la geometría de los objetos: se ha supuesto, por ejemplo, que las cargas o las corrientes han estado ahí desde siempre. En un caso práctico, de la vida diaria, la fuente de carga sobre las placas del condensador podría ser una fuente de voltaje alterno; lo mismo puede pensarse con la de campo magnético en el lado derecho: corriente alterna que durante medio ciclo va hacia la derecha por la placa inferior, hacia la izquierda en la superior, para luego hacerlo a la inversa. El resultado para el primer caso se esquematiza en la figura 2.29; no hemos dibujado las líneas de campo magnético inducido: ellas son líneas circu-lares, siempre perpendiculares al campo eléctrico, con centro en el centro de


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simetría de la figura, similares a las de la corriente de un alambre muy largo, como el de la figura 2.27b. De hecho, es como si la corriente hubiera continua-do dentro del condensador en la dirección de las líneas de campo eléctrico, en sentido positivo si el campo eléctrico está aumentando, en sentido opuesto si está disminuyendo con el transcurso del tiempo. para el segundo caso (placas que llevan corriente, alternando su sentido), surge un campo eléctrico inducido cuyas líneas de campo son nuevamente perpendiculares, esta vez a las líneas del campo magnético que está oscilando en el tiempo. debe quedar claro que esos campos inducidos no tienen origen en cargas o corrientes eléctricas: su origen es la variación en el tiempo de su contraparte, eléctrica o magnética. a esos campos inducidos, no producidos por cargas o por corrientes eléctricas, volveremos en breve.

2.9 Campos y ondas electromagnéticas

Esta última sección está destinada a examinar lo que ocurre cuando cargas y corrientes cambian con el tiempo. Es lo que se conoce con el nombre de elec-trodinámica.

Figura 2.29. Una fuente de corriente alterna produce entre las placas paralelas un campo oscilante. Ese campo eléctrico variando en el tiempo, al igual que ocurre en el experimento de rowland, produce un campo magnético. no se ilustran las líneas de campo magnético, pero se puede entender fácilmente que ellas son líneas circulares, siempre perpendiculares al campo eléctrico, con centro en el centro de simetría de la fi-gura, similares a las de la corriente de un alambre muy largo, como el de la figura 2.27b. obsérvese que alrededor de los segmentos rectos que llevan la carga (corriente) de la fuente a las placas hay también líneas de campo cerradas, aproximadamente circulares cerca de cada segmento.


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Figura 2.30. Inducción electromagnética. al acercar un imán a un circuito (bobina) como el de la figura, se genera una corriente en cierta dirección; al alejarlo, la corriente va en dirección contraria: es una corriente inducida. Mientras no haya movimiento relativo entre el imán y la bobina, no habrá corriente inducida. (Imagen tomada de http://www.rena.edu.ve/terceraEtapa/Fisica/corrientesInducidas.html) La imagen inferior muestra con mayor detalle lo que se suele hacer en la práctica, utilizando un solenoide.

La historia de la electricidad y el magnetismo es muy rica e ilustrativa. no nos detendremos en ella, por estar fuera del propósito de estas notas. pero vale la pena rescatar los fenómenos fundamentales que encierra y que pa-


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saron desapercibidos durante muchos siglos. Uno de ellos es el resultado del experimento de rowland ya mencionado. nos limitaremos a destacar el hecho subrayado por Einstein e Infeld, a saber: del movimiento en trayectoria circu-lar de la carga surge un campo eléctrico variable en el tiempo que produce un campo magnético. pero lo contrario también ocurre: si se dispone de un campo magnético variable en el tiempo, seguramente debe surgir un campo eléctri-co. Históricamente las cosas ocurrieron a la inversa: Faraday descubrió la ley que lleva su nombre, según la cual un imán o cualquier otra fuente de campo magnético en movimiento puede generar, bajo condiciones adecuadas, una co-rriente eléctrica, por ende, un campo eléctrico, responsable este último de la corriente generada. El experimento más elemental seguramente es conocido por el lector: al acercar un imán a un circuito como el que ilustra la figura 2.30, no alimentado por ninguna fuente o batería, surge una corriente en cierta di-rección la cual se puede detectar mediante un galvanómetro; por el contrario, al alejar el imán, aparece una corriente en dirección contraria.

después de muchos experimentos similares, en los que Faraday acercaba el circuito al imán, utilizaba un solenoide como el de la figura 2.24, hacía variar la corriente que producía un campo magnético, etcétera, llegó a la conclusión que resume su más importante contribución al campo: cuando un campo magnético varía en el tiempo de alguna manera, da lugar a un campo eléctrico inducido.

La predicción exacta de la forma en que varían espacial y temporalmente los campos eléctrico y magnético en diversas geometrías bajo ciertas circunstan-cias y condiciones, su relación con las cargas y las corrientes que los producen, la generación de nuevas corrientes y por ende la nueva distribución de esas cargas dando lugar a nuevas formas de los campos, constituyen el gran triunfo de la electrodinámica, como se conoce la teoría que sintetiza la descripción de todos estos fenómenos electromagnéticos. su enunciado son cuatro ecuaciones que llevan el nombre de Maxwell, quien con su gran ingenio logró tan brillante síntesis. combinándolas, surge la maravillosa predicción a que hemos hecho re-ferencia: los campos electromagnéticos se propagan en el vacío a una velocidad que es precisamente la velocidad de la luz.

En palabras, se puede dar una somera idea de las consecuencias de aque-lla síntesis, ejemplificada en lo que hemos dicho e ilustrado desde la sección anterior: 1) una forma de generar campos eléctricos es mediante cargas; ellos obedecen a la ley del inverso del cuadrado de la distancia en la forma que indica la ley de coulomb; las líneas de campo se originan en cargas positivas o parecen provenir del infinito; y se sumen en cargas negativas o parecen prose-guir al infinito; 2) otra forma de generar campos eléctricos es mediante campos magnéticos que varían en el tiempo, bien sea moviendo imanes o mediante corrientes alternas; las líneas de campo eléctrico así generadas son cerradas, lo que puede dar lugar a corrientes inducidas, si se colocan conductores allí don-


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de surgen esos campos; 3) a su vez, los campos magnéticos son producidos, en primera instancia, por corrientes, es decir, cargas en movimiento; las líneas de campo magnético son siempre cerradas; 4) pero al igual que los campos eléctri-cos inducidos mediante campos magnéticos que varían en el tiempo, los campos eléctricos que varían en el tiempo dan lugar a campos magnéticos inducidos.

a diferencia de los campos eléctricos inducidos, dando lugar a las corrientes inducidas que a nivel experimental estudió tempranamente Faraday, los cam-pos magnéticos inducidos por campos eléctricos variables en el tiempo fueron predichos por Maxwell teóricamente y luego verificados experimentalmente por él mismo y posteriormente por rowland. Ése fue quizá el mayor mérito del pri-mero; fue, de paso, lo que le condujo a la unificación del electromagnetismo y de la óptica, dos campos hasta entonces totalmente separados. Fue así como apareció por primera vez en la historia de la física una constante fundamental: la velocidad de la luz. Formado en la escuela newtoniana, Maxwell no tuvo más remedio que apelar a un medio físico ya previsto por otros, el éter luminífero, para dar cabida a su constante: sus ondas, incluida la luz visible, se moverían a velocidad c en ese tenue medio material; en cualquier otro sistema, por ejemplo la tierra, la cual para entonces era bien sabido que se mueve alrede-dor del sol, esas ondas se moverían con otra velocidad, resultado de la adición de velocidades de la mecánica galileana y newtoniana; las ondas de luz y la tierra misma se moverían también en ese medio, el omnipresente éter. Las contradicciones no tardaron en presentarse, pero aquí no se hará más que una mención circunstancial a esos problemas, resultado del experimento negativo de Michelson y Morley.

Volvamos a los campos, campos en el vacío, para mayor facilidad. cada vez que un campo eléctrico cambia produce un campo magnético igualmente varia-ble, el cual a su vez va a generar un campo eléctrico cuya variación provocará un campo magnético y así sucesivamente: esa es la razón para que se produz-can las ondas electromagnéticas: campos entrelazados que se propagan, aún en el vacío, o mejor, sobre todo en el vacío, haciendo que nos llegue valiosa información del interior de las estrellas, del confín del Universo. En la materia, esos campos producen efectos sobre las cargas que hay en sus ingredientes fun-damentales y se generan nuevos campos que se superponen con los iniciales. Los campos resultantes satisfacen las ecuaciones de Maxwell, cuya elegante formulación matemática el lector puede consultar en los textos (hemos hecho alusión a una sencilla presentación de sagan) y de cuya aplicación cotidiana está inundado el mundo de las comunicaciones.

no valdría la pena el esfuerzo anterior hacia la visualización de los campos electromagnéticos para lo que nos incumbe, el mundo microscópico, si no tu-viéramos en cuenta la producción de esos campos en el interior mismo de la materia, en los átomos y, por qué no, en los núcleos. Ilustrémoslo con un ejem-


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plo dinámico de singular trascendencia para el universo cuántico. surgirán de paso nuevas contradicciones del enfoque mecanicista de la física.

Figura 2.29. propagación de una onda electromagnética plana. obsérvese que los tres vectores, a saber, E, B y c, son perpendiculares entre sí. se dice que esta onda tiene polarización lineal en dirección y.

recuérdese que un movimiento circular, en un plano XY, puede verse como la suma o superposición de dos movimientos oscilatorios, uno en dirección x, el otro en dirección y. En la imagen clásica del átomo más sencillo, el de hidró-geno, el electrón estaría revoloteando alrededor del protón, en un movimiento circular. Visto de canto, desde el eje Y o desde el eje X, es como si el electrón estuviera oscilando, a lo largo de X o de Y respectivamente, con una amplitud a igual al radio de la supuesta órbita. En esas condiciones, se tiene un dipolo eléctrico que oscila, dando lugar así a ondas electromagnéticas.

si los físicos hubieran adivinado más temprano que las corrientes son cargas eléctricas (elementales) en movimiento y que el magnetismo es producido por el movimiento de esas cargas, habrían podido dar un soporte fundamental a la hipótesis atómica. Fue el haber pasado por alto esta hipótesis lo que hizo que llegaran la mayoría de los físicos más prominentes del siglo XIX a los albores


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del siglo XX menospreciando la hipótesis atómica. Seguramente esta reflexión sirva para elevar aún más la imagen del joven Einstein. de sus cinco históricas contribuciones, publicadas todas ellas, a excepción de su tesis doctoral, en 1905, la que llamó más la atención inicialmente fue la que se refiere al tamaño de los átomos y a su movimiento browniano. pero volvamos a una imagen más reciente, a saber, la del electrón circulando como se ilustra en la figura.

Figura 2.30. Un punto de partida de toda teoría clásica. Una carga girando en círculo produce ondas electromagnéticas. Estas ondas pueden visualizarse como el resultado de osciladores cruzados (vertical y horizontal).

En términos clásicos, se diría que el electrón está radiando, generando cam-pos que se propagan, lo cual significa que estaría perdiendo energía. En condi-ciones estacionarias el electrón no radía, lo que llevó a descartar el modelo de Rutherford. Que eso no sea lo que se observe significa, de paso, el colapso del edificio clásico: los electrones no pueden estar siempre radiando si no tienen una fuente que los esté alimentando permanentemente. Ese fue el derrumbe de la pieza más monumental de la teoría clásica, al tenerse que concluir que la radiación atómica ocurre de otra manera, no predicha por el electromagne-tismo de Maxwell. de eso diremos algo en el capítulo cuarto y nos ocuparemos más a fondo en la segunda parte.


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Figura 2.31. campo variable de un dipolo eléctrico. a grandes distancias, las ondas elec-tromagnéticas forman ondas planas, como sugiere la figura 2.16. (Tomado de Panofsky y phillips: Classical Electricity and Magnetism, addisson Wesley 1958).

a pesar de lo anterior, una antena es la materialización de la oscilación dipo-lar, componente a lo largo del eje X o del eje Y que acabamos de describir; para ese caso, las leyes de la electrodinámica funcionan inequívocamente. Es así como se generaron ondas electromagnéticas para la comunicación desde finales del siglo XIX, el mismo tipo de ondas en esencia que nos llega de los átomos que constituyen la materia estelar.

Es suficiente por ahora con lo que acabamos de hacer para adentrarnos en la descripción del rango de fenómenos que puede describir la teoría de la casilla inferior derecha. Faltaría agregar algunas nociones elementales adicionales so-bre el comportamiento de las ondas clásicas, a las que ya nos hemos referido en la sección 6. Lo haremos cuando sea necesario.


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CaPÍTuLO TERCERO

aLGuNOs ExPERImENTOs CRuCIaLEs

tan importante para la electrónica del siglo XX fue el descubrimiento del electrón hecho por J.J. thomson (1897), más exactamente el establecimiento de su carácter corpuscular, como lo fue la verificación experimental 30 años después (1927) del comportamiento como de onda que a menudo exhiben los electrones. La primera dio lugar a la electrónica de los tubos de vacío, la se-gunda a la de semiconductores. En el presente siglo la nanoelectrónica sigue haciendo de esta partícula y de su compañero inseparable, el fotón, los prota-gonistas principales.

En esos 30 años ocurrieron cambios en la física como en ningún otro perío-do de la historia. La triunfante electrodinámica clásica enfrentó dos tipos de problemas que no pudo resolver. En primer lugar, fracasó estrepitosamente al predecir resultados absurdos en contra de la evidente estabilidad de átomos y moléculas; en cuanto a la energía de oscilación del campo electromagnético en el vacío, daba un valor infinito para el calor específico correspondiente a esta energía que no corresponde a lo observado. tampoco fue capaz de explicar el origen de las líneas espectrales, las cuales para el caso del hidrógeno están contenidas en una ley empírica en verdad simple llamada ley de combinación de ritz de la espectroscopía, según la cual todas las frecuencias observadas pueden expresarse como diferencias entre ciertos términos.

Un ejemplo más de la limitación de la física clásica lo constituyó el compor-tamiento ambivalente de la luz. se tenían, por un lado, los fenómenos de inter-ferencias y de difracción, que sólo pueden ser explicados mediante una teoría ondulatoria; por el otro, se habían observado fenómenos tales como la emisión fotoeléctrica y la dispersión (scattering) de electrones libres, que indican que la luz está compuesta por pequeñas partículas, cada una con una energía y un momentum muy bien definidos, valores que dependen solo de la frecuencia de la luz y aparecen con una existencia tan real como la de los recién descubiertos electrones. Ese comportamiento corpuscular de lo que se suponía eran ondas lo demostraron inequívocamente compton y Millikan. por otra parte, no se obser-va nunca una fracción de fotón.

para agravar la situación, otros experimentos demostraron que ese extraño comportamiento no era exclusivo de la luz, sino que era completamente gene-ral. todas las partículas materiales exhiben propiedades ondulatorias que se ponen de manifiesto en condiciones adecuadas. Aquí el problema no consiste solo en una imprecisión del modelo clásico y de sus leyes del movimiento, sino en una insuficiencia de los conceptos para proporcionar una descripción ade-


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cuada de los fenómenos. La imagen mecanicista del mundo resulta insuficiente para describir la realidad.

Las características ondulatorias del electrón, verificadas mediante técnicas diferentes y de manera independiente por clinton davisson y Lester Germer, en Estados Unidos y por George paget thomson (hijo de J.J. thomson) y alexander reid, en Inglaterra, no solo fueron la comprobación experimental de la hipó-tesis de ondas de materia formulada por de Broglie, sino que establecieron claramente su comportamiento ambiguo, a la vez corpuscular y ondulatorio, extendido después a todo sistema físico. Los resultados de esos experimentos dieron origen al principio de complementariedad.

En orden cronológico, antes de observar el comportamiento ondulatorio, se obtuvo un resultado experimental intrigante al que nos referiremos en la sec-ción 3.3. El experimento se conoce con el apellido de sus realizadores, otto stern y Walther Gerlach, llevado a cabo en 1922. El experimento pone de ma-nifiesto una propiedad intrínseca del electrón y de toda partícula elemental, por tanto de cualquier sistema compuesto, como lo son átomos y moléculas, propiedad que está ausente en el mundo de los objetos clásicos: el espín. En el caso de los electrones, el resultado es maravilloso, pues ilustra cómo esa nueva cantidad, el espín, solo puede tomar dos valores y nada más, otra vez un aspecto (espectro) discreto o cuántico, como la energía, de un sistema ele-mental. Las aplicaciones en la electrónica del futuro todavía se cocinan en el laboratorio, para dar lugar a la espintrónica.

demos ahora una ojeada al carácter ondulatorio del electrón. davisson y thomson hijo compartieron el premio nobel en 1937 “por su descubrimiento experimental de la difracción de electrones por cristales”, 40 años después de descubierto el corpúsculo cargado. padre e hijo habían descubierto, cada uno de ellos, un aspecto o característica con la que se manifiesta esta partícula, una materialización de su existencia dual. cuando el experimento de difracción de electrones se montó, ya era claro que también los rayos X, en general los rayos de luz visibles e invisibles, exhiben un comportamiento dual.

Las manifestaciones ondulatorias del electrón, por otra parte, sugirieron el diseño de microscopios electrónicos y sirvieron de fundamento al intento ini-cial, exitoso al cabo de cinco años, de construir un primer prototipo. algu-nos detalles de interés sobre la evolución histórica del principio de dualidad onda-corpúsculo pueden verse en el libro de Gribbin, En busca del gato... Una descripción conceptual de éste y temas similares se encuentra en un libro más reciente del mismo autor, (En busca de SUSY: Supersimetria cuerdas y la teoria del todo, Crítica, 2001) y en otras de las referencias suministradas al final. para una discusión epistemológica más profunda, véase la colección de trabajos presentados durante el congreso 100 Años de Teoría Cuántica. Historia, física y filosofía, organizado por la Universidad complutense, recopilados en el libro:


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Física Cuántica y Realidad. (c. Mataix y a. rivadulla, editores, Facultad de Fi-losofía, Editorial complutense, s.a., Madrid, 2002).

si los electrones se comportasen como ondas al pasar por las rendijas, el patrón esperado en la pantalla se-ría similar al de la superposición de dos franjas luminosas, cada una de ellas imagen de una de las rendijas. Fue en 1961 cuando claus Jönsson, en tübingen, alemania, llevó a cabo el experimento en el mundo real con electrones y comprobó (una vez más) que nuestra realidad es dual.

desde el punto de vista conceptual, es más esclarecedor discutir un sencillo experimento de interferencia que los experimentos de difracción realizados desde 1923 pero interpretados correctamente sólo hasta 1927. sobre éste úl-timo aspecto, se recomienda leer los comentarios hechos por Gribbin en el primer libro de él citado (pgs.74 y siguientes). por otra parte, el experimento de interferencia más famoso suele denominarse de las dos ranuras o rendijas. En el caso de los electrones, el experimento solo pudo materializarse 35 años más tarde (1961); aún hoy en día se considera de difícil realización. por sor-prendente que parezca, el artículo en que fue descrito originalmente, quizá por estar escrito en alemán, pasó desapercibido para los lectores de habla inglesa (y española), hasta cuando fue publicado en inglés por el American Journal of Physics 13 años después (1974)19.

La discusión del ‘experimento de las dos rendijas’ que presentamos en la sección 3.4 sigue básicamente el esquema de una de las conferencias públicas conceptualmente más ricas de Feynman: Comportamiento cuántico, capítulo 37 del volumen I de sus ‘Lectures’, reproducido en el capítulo 1 del volumen III.

Es ilustrativo y a la vez divertido consultar el último capítulo del best-seller ‘de arquímedes a Einstein’, escrito por Manuel Lozano Leiva con motivo de la publicación a fines de 2002 de los resultados de la encuesta sobre los diez experimentos más bellos de la física. El primer lugar lo ocupó precisamente el realizado por Jönsson (véase el recuadro anterior), sin que la mayoría de los en-cuestados supieran siquiera que el experimento hubiera sido realizado, mucho menos conocieran el nombre del protagonista principal. aprovecho esta cita para promocionar también el experimento de Young, otro de los seleccionados por la muestra de la encuesta, al que nos referimos en el capítulo anterior, y el cual seguirá siendo crucial para una mejor comprensión de los resultados de

19 Véase, por ejemplo, la versión electrónica del interesante artículo The double slit experiment, http://physicsworld.com/cws/article/print/9745, del editor de Physics World, peter rodgers.


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este capítulo. Los experimentos famosos invariablemente tienen un nombre, el de su gestor (o gestores), asociado a ellos: arquímedes, Eratóstenes, Galileo, newton, cavendish, Young, Foucault, Millikan, rutherford… para mencionar so-lamente los de la lista, aunque no debió dejarse por fuera el de Michelson y Morley ya citado. pero el experimento de las dos ranuras se llama simplemente así, sin hacer referencia a su protagonista principal. Es evidente que el expe-rimento de Jönssen no era conocido por Feynman, quien escribe en su Lecture (la última en Seis piezas fáciles): “Habría que decir antes de seguir que ustedes no deberían tratar de montar este experimento... Este experimento nunca ha sido realizado exactamente así. La dificultad está en que el aparato tendría que construirse a una escala imposiblemente pequeña para mostrar los efectos en los que estamos interesados. Estamos realizando un «experimento mental», que hemos escogido porque es fácil de imaginar. sabemos los resultados que se obtendrían porque se han realizado muchos experimentos en los que la escala y las proporciones han sido escogidas para mostrar los efectos que vamos a des-cribir”. Confieso sin rubor que estuve engañado por esta percepción equivoca-da, aprendida de Feynman, durante varios años. Más recientemente se publicó en Investigación y Ciencia (Julio de 2007; Scientific American en español) un artículo que promete al lector poder realizar un borrador cuántico doméstico (tal es el título del artículo escrito por Hillmer y Kwiat, de la Universidad de Illinois). así que este tipo de experimentos ya no debe intimidar a quienes se propongan verificar la realidad cuántica.

por otra parte, el experimento de stern-Gerlach tiene una doble importan-cia conceptual adicional que no suele destacarse: a) aunque los electrones se comportan en dicho experimento como corpúsculos, el observable de interés, el espín, exhibe un comportamiento cuántico que no tiene análogo clásico; b) por ser un sistema de dos estados, su descripción matemática es muy sencilla, de hecho es el sistema ideal para discutir lo que se denomina principio de su-perposición, tema central de este y el siguiente capítulo.

El procedimiento (descripción experimental) que adoptaremos en el presen-te capítulo nos servirá de fundamento para la formulación teórica que haremos en el próximo. Empezaremos con el histórico experimento de 1897, el cual puso en evidencia que el fluido eléctrico no es un fluido en el sentido clásico anterior al novecientos. no obstante, si las ondas de materia pueden imaginarse como un continuum, hasta cierto punto la imagen de fluido podría seguírsele asignan-do a los electrones.

3.1 Descubrimiento del electrón

A finales del siglo XIX tuvo lugar una gran controversia sobre la naturaleza de las descargas eléctricas en gases rarificados, en particular sobre las que los experimentalistas dieron en llamar rayos catódicos. Interesantes per se,


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su estudio llevó a thomson padre a un problema más básico: la naturaleza de la electricidad. El resultado fue triplemente gratificante, porque: 1) puso de relieve la divisibilidad del átomo; 2) llevó al descubrimiento de la primera par-tícula elemental que se conoce, la única que ha permanecido estable por más de cien años y la más liviana de todas, a excepción del neutrino; 3) dilucidó el carácter de la electricidad, finalmente corpuscular o granular, de acuerdo con los resultados del experimento de thomson, al contrario de todas las concep-ciones precedentes que la imaginaron como un continuum20.

El rayo, fenómeno complejo y sistema que sirvió de punto de partida para lo que sigue, tal como lo concibieron o imaginaron destacados científicos a fines del siglo XIX, podría ser una forma de radiación producida por las vibraciones del éter, en cuyo caso sería similar en su naturaleza a las ondas de luz y a las recién descubiertas ondas de radio; o bien podría ser un haz de partículas dimi-nutas. La mayoría de los físicos alemanes se inclinaban por lo primero, mientras que sus colegas franceses y británicos favorecían la segunda opinión. Un factor adicional de confusión lo introdujeron los rayos X, descubiertos por Wilhelm röntgen, quien por ese descubrimiento recibiera el primer premio nobel en Fí-sica en 1901. En realidad, la historia de tales rayos se remonta dos siglos atrás. rigurosamente hablando, podría rastrearse su origen al de la descarga eléctrica conocida precisamente por ese nombre desde muy antiguo y sistemáticamente estudiada por primera vez por Benjamín Franklin. pero la naturaleza del rayo que se asocia con el trueno, una corriente de electricidad, había sido puesta en evidencia en experimentos realizados en 1752, sugeridos precisamente por el científico y político norteamericano. (Véase: El Rayo, mito, ciencia y tecnología H. torres, Unibiblos, 2002).

En 1709 Francis Hauksbee, conocido por sus observaciones sobre la repulsión eléctrica, reportó que cuando se extrae aire de una vasija de cristal hasta cuando la presión se reduce a 1/60 la presión del aire normal y se conecta la vasija con una fuente de electricidad de fricción, aparece una extraña luz en el interior del recipiente. destellos similares fueron reportados y asociados al vacío parcial que se produce en la superficie superior de columnas de mercurio en los barómetros. En 1748 el médico naturalista William Watson describía la luz surgida en un tubo de 81 centímetros en el que se había provocado el vacío, como “un arco de llama lamiente”. Michael Faraday habla también en sus notas de tales rayos. pero al igual que sus contemporáneos no acertó a comprender la naturaleza de esa luz: era demasiado temprano para realizar los experimentos que la minuciosa observación (indirecta) de tan diminutas partículas requería.

20 Hasta hace unos cuarenta años se creía que la carga se presentaba siempre en múltiplos enteros de la carga del electrón. desde que Gell-Mann propuso su modelo, se asume que algunas partí-culas elementales exhiben carga fraccionaria, 1/3 o 2/3 de la carga del electrón: éstas son los quarks, de los cuales hay seis tipos, o mejor, tres colores en dos diferentes sabores. Véase el opúsculo: Una breve mirada a la Física de Partículas.


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La explicación hoy en día es muy sencilla: cuando una corriente eléctrica fluye a través de un gas, los electrones que forman parte de la corriente (un enjambre de electrones libres) golpean contra los electrones de los átomos presentes en el gas (electrones ligados) aumentando su energía, la que torna a desprenderse en forma de luz si las condiciones son favorables. La experiencia que realizaron Franck y Hertz en 1914 lo confirman. Ese fue uno de los expe-rimentos claves que ayudaron a establecer la teoría atómica moderna, pues muestra que los átomos absorben energía en pequeñas porciones o cuantos de energía, verificándose los postulados de Bohr con electrones como proyectiles. Las pantallas fluorescentes y las señales de neón se basan en el mismo principio y la coloración está determinada por la frecuencia de la luz (fotones) que más favorablemente emiten los átomos del gas (en realidad, los electrones ligados, al pasar de uno a otro nivel de energía).

Era necesario eliminar al máximo permitido por la tecnología de la época el gas residual, antes de poder detectar al responsable del efecto; era indispen-sable disponer de bombas de aire eficaces. En 1885 Johan Heinrich Geissler inventó una que reducía la presión a una diezmilésima de su valor a nivel del mar. Julius Plücker, catedrático de filosofía natural en la Universidad de Bonn, realizó las primeras observaciones bajo estas nuevas condiciones. Utilizando la terminología de Faraday, se denomina ánodo a la placa unida a la fuente de electricidad positiva y cátodo a la otra. resumiendo las observaciones, diríase que algo salía del cátodo, viajaba a través del espacio casi vacío del tubo, gol-peaba el cristal y era recogido por fin en el ánodo. Fue Eugen Goldstein quien bautizó esa extraña sustancia con el nombre de rayos catódicos.

pero los rayos catódicos no eran rayos, no formaban parte de la luz, un efec-to secundario. Ya Perrin, antes mencionado por la verificación que hizo de las predicciones de Einstein en torno a los átomos en 1908, desde 1895, en su tesis doctoral, había demostrado que los rayos depositaban carga eléctrica negati-va en un colector de carga. para entonces thomson había entrado en escena, pero sus primeras determinaciones de la velocidad de las partículas estaban erradas. El hábil experimentalista Hertz había descartado que las partículas estuvieran cargadas: los campos eléctricos que aplicó para desviarlas no eran suficientemente intensos, lo que le impidió culminar exitosamente el estudio emprendido; téngase presente además que el alemán estaba influenciado por la posición filosófica de Ernst Mach, su compatriota. Thomson, libre de ese las-tre, aunque no muy hábil con sus manos, de acuerdo con el testimonio de sus auxiliares, sabía cómo planear el siguiente paso para poder avanzar; y lo hizo acertadamente.

El premio nobel steven Weinberg hizo de un curso básico ofrecido en Harvard hace 4 décadas un excelente libro: Partículas subatómicas. El más brillante y extenso capítulo se denomina precisamente El descubrimiento del electrón. Vale la pena consultarlo. algunos datos interesantes aquí reproducidos fueron


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tomados de su libro. En todo caso, los aspectos centrales del experimento de thomson, realizado para determinar la relación entre la masa y la carga de las partículas responsables de los rayos, pueden verse en cualquier texto de física y se resumen en una ecuación que sirve de paso para aplicar los conceptos de campo eléctrico y campo magnético, novedosos para quienes no tienen expe-riencia previa en cursos de física. no se discuten los detalles por brevedad y porque el tubo de rayos catódicos por él utilizado, del cual se ilustra un prototi-po en la figura 3.1, forma parte de la anterior generación de televisores domés-ticos. sinteticémoslo de esta manera: el electrón es previamente acelerado a través de una diferencia de potencial V negativa entre cátodo y ánodo, ganando así una energía cinética ½mv2 = eV. al entrar con rapidez v en una región donde existe un campo eléctrico o un campo magnético (aproximadamente uniforme) es desviado de su trayectoria horizontal una pequeña distancia δ (δe o δb según el caso).

Lo esencial del experimento de thomson se resume en la expresión que ob-tuvo para la relación entre la masa y la carga del electrón, m/e, a partir de las desviaciones experimentadas por esa partícula indivisible (rigurosamente a-tómica) en campos eléctrico E y magnético B, desviaciones fácilmente eva-luables a partir de la fuerza de Lorentz discutida en la sección 2.8.2, aplicada al electrón en el estricto sentido newtoniano. Simbolizando por ℓ la longitud de la región de desviación y por L la de la región de proyección (llamada también de deriva), se encuentra:

F = q(E + v×B)

Figura 3.1. Vista esquemática de un tubo de rayos catódicos similar al utilizado por thomson para establecer experimentalmente la relación entre la masa y la carga del electrón. En la parte superior se reproducen las figuras del capítulo anterior que ilustran campos eléctricos y magnéticos como los utilizados por thomson en su experimento para desviar los electrones.


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m/e = E ℓ L/v2δe

o

m/e = B ℓ L/vδb,

según el caso. La rapidez de los electrones depende solamente de la energía eléctrica suministrada a los electrones al acelerarlos en el campo eléctrico existente entre el cátodo y el ánodo, dependiente de la diferencia de potencial aplicado entre los dos. thomson la obtuvo tomando la relación entre las dos expresiones anteriores:

v = Eδb/Bδe

puesto que la rapidez es la misma en ambos casos. Es notable que el orden de magnitud de la velocidad de los electrones así acelerados es una fracción im-portante de la velocidad de la luz, del orden de 108 m/s. Esto permite no tener en cuenta la atracción que de todos modos ejercerá el campo gravitacional de la tierra sobre la diminuta masa de los electrones, del orden de 10-31 kg: el tiempo que tardan en cruzar la región de desviación es del orden de 10-9 s, lo cual se traduce en caída gravitacional insignificante, despreciable para los cálculos.

‘Jugando’ con voltajes y campos de variadas intensidades, thomson pudo finalmente controlar y medir las desviaciones y probar al mundo científico de su época que el responsable principal de los rayos catódicos era(n) unas minús-culas partículas, mucho más diminutas que el supuesto indivisible átomo, pre-sentes por doquier, con manifestaciones visuales impresionantes en las auroras boreales y australes y en todo tipo de descargas eléctricas fuertes. En otras pa-labras, los tales rayos catódicos que finalmente se dejaron desviar por campos eléctricos y magnéticos suficientemente intensos son los mismos que producen esos campos, en condiciones usuales menos extremas. Esas partículas iban a ser los actores principales en la electrónica de los tubos de vacío de la primera mitad del siglo XX. poco después, acompañados de los huecos o agujeros (‘ho-les’) que dejan al ser desprendidos por campos internos en semiconductores dopados, huecos viajeros cargados positivamente, pues son carencia de carga negativa, darían igualmente lugar a la electrónica del silicio y otros materiales de banda prohibida (semiconductores).

Estas últimas expresiones, tan en boga en la electrónica contemporánea, no tendrían sentido clásicamente. no solo eso, el electrón tiene mucho más para ofrecernos que simplemente producir las corrientes que circulan en diodos y transistores. Este ente cuántico por excelencia habría de revelarnos otras pistas sobre el extraño comportamiento de la materia a nivel submicroscópico. refe-rimos al lector a la excelente obra de Eugenio Ley Koo, El electrón centenario (serie ciencia para todos # 165, FcE), en donde se hace un meritorio recuento del siglo del electrón (siglo XX). recomendamos esa obra porque, además de


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bien escrita, en lenguaje ameno y sencillo, suple la información sustancial so-bre tan imprescindible partícula elemental y su singular papel en las revolucio-nes tecnocientíficas de los siglos XX y XXI, a las cuales es obligado dedicar varios capítulos; la referencia al texto de Ley Koo, de fácil adquisición en lengua his-pana, y el ensayo anterior (Nanotecnociencia) nos permite no entrar en detalles por ahora, pero prometemos hacerlo en la segunda parte de este ensayo.

3.2 Fotones y electrones

Figura 3.2. Efecto fotoeléctrico. Los fotones incidentes sobre el cátodo desprenden fotoelectrones.

La primera aplicación de la hipótesis de Einstein sobre los granos de energía en la radiación permitió la explicación del efecto fotoeléctrico. Esta expli-cación no fue muy aceptada al comienzo, a pesar de que permitía entender también la desesperada solución dada por planck al problema de la radiación de cuerpo negro. El fenómeno fue tratado someramente en el libro Genio entre genios, al cual remitimos al lector.

dejando de lado la denominada radiación de cuerpo negro, un efecto macros-cópico a la postre difícil de entender en los cursos básicos, el efecto fotoeléctri-co puede considerarse el fenómeno más fundamental para el surgimiento de la nueva física. no le dedicaremos más tinta, salvo para ilustrar conceptualmente lo que ocurre sin entrar en detalles: la luz incidente desprende del metal elec-trones (se denominan fotoelectrones) que pueden considerarse libres, salvo porque los separa del vacío una energía negativa, de amarre; los fotoelectrones absorben de los fotones incidentes esa energía que requieren y un poco más,


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por lo que van a tener una energía residual en forma de energía cinética o de movimiento; el voltaje aplicado entre cátodo y ánodo (colector) disminuye esta energía, logrando detener algunos; qué tantos, depende del voltaje aplicado. La relación es rigurosamente lineal con la frecuencia de los fotones incidentes, lo que verifica la famosa aserción de Einstein, E = hν para la energía de los gra-nos de energía incidentes.

Los fotomultiplicadores constituyen quizá una de las aplicaciones más impor-tantes del efecto fotoeléctrico. Ilustrar su funcionamiento ayuda a comprender mejor aquel y nos convence mucho más del comportamiento dual de la luz. En esencia, se produce un efecto en cascada de la emisión de fotoelectrones, lo que permite amplificar corrientes en varios órdenes de magnitud y, al mismo tiempo, detectar el paso de fotones individuales. Mayores detalles pueden ver-se en el ya varias veces referido libro sobre Einstein.

Figura 3.3. Esquema de un fotomultiplicador. (La imagen superior ha sido puesta en dominio público por su autor J. Krieger, dentro del proyecto wikipedia. La inferior, re-producida de Genio entre genios).


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3.3 Dispersión de fotones

Menos de treinta años después del hallazgo del electrón, se realizó otro ex-perimento tan crucial como el que puso en evidencia esas partículas de carga elemental: el mismo que reveló el comportamiento ondulatorio de la materia corpuscular. antes de aquel acontecimiento, arthur compton se había encar-gado de mostrar experimentalmente que los granos de luz eran reales, no un simple modelo teórico para explicar los resultados de algunos experimentos, entre ellos el efecto fotoeléctrico. Venía trabajando con rayos X desde 1913 y le tomó 10 años más llegar a tan importante conclusión.

En 1909, cuando su fama le permitió dejar el cargo de empleado de paten-tes para convertirse en profesor adjunto en Zürich, Einstein afirmó: “En mi opinión, la fase siguiente en el desarrollo de la física teórica nos llevará a una teoría de la luz que podrá considerarse como una especie de fusión entre la teoría ondulatoria y la corpuscular”. En los años siguientes, concentrado en su teoría general de gravitación, despreocupado en gran medida por lo que a su lado estaba pasando con ese otro universo que él mismo ayudó a crear, el de los quanta, Einstein daba indicios de ducho detective a los nuevos físicos, pistas que les llevaría ineludiblemente a fusionar los dos puntos de vista, el ondula-torio y el corpuscular. a continuación se verá cómo se procedió en el caso de la luz, y cómo de paso se preparó el terreno para hacerlo en el caso del electrón y de todo lo demás.

si m representa la masa en reposo de una partícula, su energía en reposo es la famosa expresión de Einstein Eo = mc2. para escribir la energía total E de la partícula en movimiento, libre de campos o de cualquier tipo de interacción, hay que tener en cuenta que esa masa crece en la forma prevista por la relativi-dad: m/(1-v2/c2)1/2. si se adopta para la masa total (acrecentada por la rapidez) el símbolo M, podemos escribir E = Mc2; otra forma de hacerlo es separar las dos formas de energía, la de reposo y la de movimiento, para lo cual se recurre a la cantidad de movimiento de la partícula, p = Mv, y a su energía, E = hν; el resultado, no solamente sencillo sino extremadamente útil para la fusión de los dos puntos de vista, es:

E2 = m2c4 + p2c2.

Esa fórmula encierra sutilmente el teorema de pitágoras, si se visualiza uno de los catetos (de longitud invariable mc2; recuerde que m es la masa en repo-so) como la medida de la energía en reposo de la partícula; el otro (de longitud pc) representa su energía debida al movimiento. pero hay mucho más que eso. puesto que las partículas de luz no tienen masa en reposo, se encuentra para ellas una relación de gran importancia para dar el paso siguiente: E = pc, o más nítidamente: p = E/c. Las partículas de luz tienen energía y, por ende, cantidad de movimiento.


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Las relaciones anteriores son no solamente útiles sino conceptualmente muy importantes. Ya se sabía, desde cuando se formularon adecuadamente las leyes de la electrodinámica, que la luz transporta energía y transporta cantidad de movimiento, como ocurre con cualquier otro tipo de movimiento ondulatorio. ahora estamos diciendo algo que no tiene duda: cada uno de los granos de luz lleva energía y momentum, el problema era saber cuánto de lo uno y de lo otro. con la hipótesis de planck y su extensión hecha por Einstein, resulta que E = hν. La descripción ondulatoria de la luz permite reescribir la expresión anterior, p = E/c, en términos de su longitud de onda:

p = h/λ = ħk,

(k = 2π/λ) una clave de trascendental importancia para dar los pasos siguientes en el desarrollo de la nueva física. El primero le correspondió a compton, como ya dijimos; el segundo a de Broglie.

después de realizar una serie de experimentos a comienzos de los años 20, compton había llegado a la conclusión, en 1923, de que la interacción entre rayos X y electrones solo podía explicarse si los rayos X, ondas de luz no visible, se trataban también como partículas. dicho en términos sencillos: los granos de rayos X en su interacción con electrones muy levemente ligados a la materia, como es el caso de electrones metálicos, cambian su frecuencia, reduciéndose o disminuyendo ésta en dicho proceso, alargando su longitud de onda, preser-vando su velocidad c = λν.

Era obvio que el haz incidente tenía que perder energía, pero ello hubiera podido significar una disminución en la intensidad; por el contrario, el resul-tado experimental mostraba claramente un aumento en la longitud de onda del haz emergente. La clave está en la fórmula anterior, p = h/λ, y en suponer que el electrón, prácticamente libre como puede estarlo un boliche sobre una superficie plana sin roce, es golpeado por un grano de luz. al perder algo de su cantidad de movimiento, después de habérsela comunicado al electrón, el cual saldrá despedido en alguna dirección oblicua con respecto a la del grano de luz incidente, con velocidad comparable a la velocidad de la luz, aumenta su longitud de onda, lo que está de acuerdo con el resultado experimental. Los cálculos cuidadosos revelaron lo certero del razonamiento. al año siguiente Einstein afirmaría perplejo: “resultan entonces dos teorías de la luz, ambas indispensables... sin ninguna relación lógica”.

La explicación del efecto compton fue, quizá, el mayor triunfo en la direc-ción de encontrarle asidero experimental a la audaz propuesta de Einstein.

Dedicaremos unas cuantas líneas al efecto confirmado, más bien que descu-bierto, por compton. El lector puede reforzar el concepto con las imágenes que se muestran, por ejemplo, en virtual:


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http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000440/lecciones/naturaleza_corpuscular_radiacion/efectocompton.htm

Figura 3.4. Esquema de la dispersión de un fotón por un electrón, en el denominado efecto Compton. a la izquierda se ilustran los valores iniciales de energía y momentum de las dos partículas: E1 = ħω1, p1 = ħk1; la energía inicial del electrón es Eo = mc2, siendo m su masa en reposo; su cantidad de movimiento inicial es cero. a la derecha se esquematizan esos valores después de la dispersión: E2 = ħω2, p2 = ħk2; la cantidad de movimiento del electrón es p = Mv, con M = m/(1-v2/c2)1/2; su energía final es E = Mc2.

Entender lo que ocurre es muy fácil si se adopta el esquema corpuscular para la luz: uno entre el enjambre de fotones que constituye la radiación inciden-te es dispersado por uno de los muchos electrones cuasi-libres que hay en un metal. La energía del fotón incidente debe ser elevada, de ahí la necesidad de utilizar cálculos relativistas, bosquejados en la leyenda de la figura 3.4: ha de pertenecer a la región ultravioleta del espectro, por lo menos estar en la región de los rayos X. El fotón dispersado tiene una frecuencia menor, debido a que transfirió parte de su energía y de su cantidad de movimiento al electrón.

3.4 Difracción de electrones

pero las pistas y los razonamientos en la dirección de la dualidad venían de tiempo atrás. William H. Bragg, quien conjuntamente con su hijo fuera galar-donado con el premio nobel en física en 1915, decía en 1912 comentando las ideas contradictorias que se tejían alrededor de los rayox X: “El problema está, no en decidir entre dos teorías sobre los rayos X, sino en encontrar... una teoría que tenga la capacidad de ambas”.

Establecido experimentalmente el carácter dual de la luz, no parecía difícil hacer lo mismo con el electrón, cuyas supuestas órbitas ya habían sido cuan-tizadas por Bohr. La tarea meticulosa correspondió a de Broglie. acogiendo la idea de la dualidad onda-partícula, la desarrolló matemáticamente para el caso particular del electrón, describiendo de paso no solo el comportamiento de


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ondas de materia sino también sugiriendo las formas bajo las cuales podrían ser observadas. su hermano Maurice, reconocido físico experimental, fue su gran auxiliar en la tarea. aprovechando el laboratorio montado en parís por este último, Louis Victor pierre raymond, su nombre de pila completo, desarrolló no solo algunos experimentos sino también los primeros trabajos teóricos con el fin de demostrar su hipótesis y los publicó en 1923. Puestas en orden sus ideas, las presentó en forma más completa para optar al título de doctor; el examen tuvo lugar en la sorbona en noviembre de 1924 y la tesis correspondiente fue publicada en 1925.

de Broglie fue más allá que todos sus predecesores y postuló que la misma dualidad partícula-onda que aquejaba a la luz se halla presente cuando se trata de electrones, protones y otras partículas de pequeña masa. supuso que a toda partícula de masa M (relativista) debe asociarse una onda, cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su cantidad de movimiento p = Mv. como en todos los efectos cuánticos, la constante de proporcionalidad es la constante de planck; así, pues:

λ = h/p,

la misma fórmula para fotones, pero aplicada ahora a toda partícula mate-rial. Era el origen de la onda piloto o, en otras palabras, el nacimiento de ondas de materia: la superposición, o mejor, la interferencia y la difracción, no son propiedades exclusivas de las ondas, si es que alguna vez supimos qué era una onda.

cómo llegó de Broglie a postular su famoso resultado, es algo que vale la pena resaltarse: es el método de ensayo y error que a menudo sigue la ciencia. Estableció comparaciones, en ocasiones exitosas, a veces demasiado ingenuas. Lo que para Bohr eran órbitas estables, para de Broglie resultaron ser ondas es-tacionarias. razona de Broglie, en su tesis: “Los únicos fenómenos que implican números enteros en física son los de interferencia y los relativos a los modos normales de vibración... Este hecho me llevó a pensar que los electrones no podían continuar siendo entendidos simplemente como corpúsculos, sino que había que asignarles algún tipo de periodicidad”.

Modos normales de vibración son los que ocurren en cualquier tipo de oscila-dor clásico. Los instrumentos musicales se construyen para que puedan dar lu-gar a distintos modos normales, pudiéndose generar con ellos una combinación melódica de frecuencias y tonalidades. Una cuerda fija por los dos extremos (recuérdese la figura 2.17), solo permite la formación de ciertas frecuencias, armónicos, a partir de un modo fundamental. Lo mismo ocurre con los tubos de un órgano. Este comportamiento se discutió en la sección 2.6. La analogía con los instrumentos musicales para el caso de los electrones ligados al núcleo la tomó de Broglie muy en serio, y propuso que las órbitas debían de permitir el


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acomodo preciso de ciertas longitudes de onda para ser estables. si esta com-paración permite entender o no la cuantificación de los estados de energía, no es seguro; pero esa imagen ayudó a una mejor comprensión del mundo de los quanta o cuantos.

Figura 3.5. Órbitas estacionarias.

Figura 3.6. Órbitas estacionarias vistas como modos normales de ondas de materia.


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Figura 3.7. onda piloto.

tomo textualmente una frase de Lozano Leyva para relatar una anécdota ci-tada por doquier. “cuando de Broglie presentó su tesis, en 1924, el tribunal de la Universidad de parís se quedó boquiabierto. El presidente, nada menos que el insigne Paul Langevin, le envió una copia a Einstein porque no confiaba del todo en tan extravagante hipótesis, y nadie mejor a quien consultar que el gran pope (sic) de la física. La respuesta de Einstein fue contundente: «creo que la hipótesis de de Broglie es el primer débil rayo de luz sobre el peor de nuestros enigmas en física»”.

¿cómo pudo someterse la hipótesis ondulatoria del físico francés a la prueba experimental? Einstein mismo había encontrado una primera prueba, pues la idea de de Broglie se ajustaba muy bien a su modelo para explicar los valores experimentales del calor especifico de los sólidos: ¡Las vibraciones en los só-lidos están cuantizadas! así que Einstein no solo captó la trascendencia de la hipótesis de de Broglie, sino que pasó la noticia de su descubrimiento a Born, en Göttingen. no olvidemos que Heisenberg para entonces alternaba su tiempo entre Göttingen y copenhague. Lo más importante para ese momento histó-rico fue que James Frank, director del departamento de física experimental en Göttingen, sabía de los experimentos realizados por el grupo de davisson. a Frank no le quedaba duda de que los experimentos de davisson «¡ya habían


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establecido la existencia del efecto esperado!» (citado por Max Jammer). con Germer como nuevo colaborador, davisson volvió a sus experimentos. pero fue gracias a un accidente que descubrieron la difracción de electrones en 1927. Cuando estudiaban la forma en que se reflejaban los electrones después de chocar con un blanco de níquel metálico dentro de un tubo al vacío, el tubo se dañó y rápidamente se depositó una capa de óxido sobre el níquel. para salvar su muestra, los físicos americanos la recalentaron, con lo cual, sin saberlo, formaron superficies cristalinas. Al observar luego los electrones, hallaron para su sorpresa que el haz de electrones no sólo se reflejaba sino que también ¡se difractaba! Y la difracción es uno de esos fenómenos típicamente ondulatorios, como bien lo sabían los físicos desde muchas décadas atrás. ¿Entonces…?

Figura 3.8. Electrones difractados por una hoja de aluminio (detalle).

El experimento de Davisson fue confirmado por George Thomson —hijo único de sir J. J. Thomson— en el caso de electrones, por Stern para haces molecu-lares y por otros investigadores para neutrones y otras partículas. En todos los casos, la ecuación de de Broglie se cumple con alta precisión, con lo cual la mecánica ondulatoria de Schrödinger, como siguiente paso, pudo finalmente abrirse camino.


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Figura 3.9. comparación de los patrones de difracción de rayos X y de electrones al atravesar una delgada lámina de aluminio.

Figura 3.9. Esquema del experimento de thomson, mediante el cual, haciendo incidir electrones sobre una fina lámina de oro, se obtiene un patrón de difracción, caracterís-tico del comportamiento ondulatorio.


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3.5 Experimento de stern-Gerlach

El experimento imaginario que acaba de ilustrarse permite entender el sig-nificado que suele asignársele a la llamada función de onda. Es, en esencia, la materialización de ese ente matemático en términos probabilísticos. En otras palabras, sirve de fundamento a la mecánica ondulatoria, formulada por schrö-dinger en 1926. con el surgimiento de la denominada nanotecnología (insisto en que el nombre adecuado debería ser nanotecnociencia) se han podido hacer experimentos más persuasivos para los no expertos de los efectos ondulatorios que exhiben los electrones y, en general, los objetos materiales (masivos) en el mundo cuántico. Uno de ellos fue realizado en 1983, aprovechado la versatili-dad de uno de los microscopios electrónicos más poderosos con que se cuenta hoy, el denominado microscopio de tunelamiento y barrido, en inglés denomi-nado ‘scanning tunneling microscope’ y reconocido por sus siglas en ese idioma: el stM. sin entrar a discutir el funcionamiento de dicho aparato (lo hemos he-cho en el libro de Nanotecnociencia), enfatizando que para el modo de imagen (el otro modo se denomina de manipulación) se amplifica una corriente elec-trónica que se produce por el denominado efecto túnel (véase capítulo cuarto) y se barre (‘escanea’) sobre la superficie que se observa, de ahí el nombre. El sorprendente y hermoso resultado se ilustra en la figura 3.11.

Figura 3.10. Micrografía de tunelamiento y barrido, lograda con el stM, mostrando las ondas electrónicas que aparecen cuando 48 átomos de Fe se sitúan formando un círculo sobre una superficie de cobre. En realidad, lo que se está midiendo con el experimento es la amplitud de probabilidad (siguiente capítulo). para más detalles, véase el libro ya referido sobre Nanotecnociencia. (Figura tomada de la página de IBM; se muestra y explica en muchos textos de física general).


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Hay otro experimento cuyos resultados pueden formularse recurriendo a lo que se denomina combinación, mezcla o superposición de estados; sirve para ilustrar la naturalidad de la formulación matricial de la mecánica cuántica, la otra formulación equivalente de la física cuántica, a partir de uno de los aspec-tos más cruciales de ella: el principio de superposición. se trata del experimen-to de stern y Gerlach, el cual llevó además al concepto de momentum angular intrínseco, característica interna de toda partícula (al igual que su masa en reposo y su carga), a la postre de todo sistema físico. La formulación matricial fue resultado del trabajo conjunto de Jordan, Born y Heisenberg (el trabajo de los tres hombres), al que se unieron pauli y dirac. sin entrar en detalles, el aspecto principal de todo el trabajo de tanto talento junto fue dar con la no conmutatividad de las llamadas variables canónicamente conjugadas y explotar ese hecho algebráicamente.

El experimento al que nos estamos refiriendo fue diseñado y realizado por los físicos alemanes otto stern y Walther Gerlach, en 1922. stern participó después en los experimentos que exhibieron claramente por primera vez la difracción de átomos y moléculas y fue galardonado con el premio nobel en 1943. El ex-perimento de stern y Gerlach muestra claramente cómo la medición u obser-vación de ciertas variables afecta los valores del observable y cómo en general los estados cuánticos hay que describirlos por medio de números complejos. El experimento permitió formular el principio de superposición, tema del próximo capítulo, uno de los principios más fundamentales de la teoría cuántica, y puso de relieve las peculiaridades de una nueva cantidad, por ellos descubierta: el espín del electrón.

La particularidad del espín es la de poderse alinear con la dirección de un campo magnético externo, algo similar a lo que ocurre con las limaduras de hierro. si se piensa en cada pequeña limadura como si fuera un imán diminuto, al que se le asignan polos norte y sur, como es usual, la analogía es más direc-ta: espín hacia arriba es la orientación del momentum angular intrínseco en la dirección del campo; espín hacia abajo lo es en dirección opuesta. si se com-para esta situación con la orientación de las dos caras de una moneda, puede construirse una imagen mental más sencilla: cara o sello (colombia), águila o sol (México), cara o ceca (argentina), etcétera, según el país, son los resultados posibles del lanzamiento de la moneda; aunque no conduce a valores positivos o negativos, característicos de la orientación del momentum angular intrínseco con respecto a un eje, sólo hay dos resultados posibles. nótese que, a diferen-cia de la moneda, en el caso de la partícula con espín la orientación del eje es arbitraria, puesto que el experimentador puede orientar el campo magnético externo a voluntad, lo que no puede hacerse con el campo gravitacional de la tierra si el experimento de la moneda se hace en las condiciones usuales.

El espín tiene la particularidad de acoplarse a las propiedades de rotación del medio. suele asociarse con una rotación interna. pero imaginarlo como de-


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bido a una rotación de la partícula sobre sí misma es inconsistente: es inconsis-tente con el principio de incertidumbre, pues la incerteza en una vuelta para el ángulo de giro llevaría a una incerteza en la velocidad de rotación cercana a esa velocidad; en consecuencia, su valor no podría ser tan preciso (nadie duda que es en magnitud ½ħ); es inconsistente con la relatividad, pues exigiría una velo-cidad de rotación mayor a la que podría físicamente aceptarse; por último, es inconsistente con el concepto de partícula puntual que tenemos del electrón. para salir del paso, simplemente aceptemos que es un efecto relativista, como lo demostró dirac. Más adelante se volverá a las propiedades muy peculiares de esta nueva cantidad física característica del submundo cuántico. a continua-ción se bosqueja el experimento que condujo a precisar sus propiedades.

El experimento de stern-Gerlach consistió en enviar un haz de partículas de plata a través de un campo magnético inhomogéneo. La variación espacial de la componente del campo magnético se denomina gradiente (rigurosamente componente del gradiente, pues esa cantidad es un vector) en la dirección escogida. El campo magnético se hace crecer en intensidad en la dirección perpendicular a la que se envía el haz, y obliga a desviar partículas que tengan momento magnético (véase sección 2.8.2). El gradiente de la componente del campo fuerza a las partículas de espín positivo +½ħ a ser desviadas hacia aba-jo y a las partículas de espín opuesto –½ħ a ser desviadas hacia arriba, en la dirección contraria, pudiéndose así determinar el momento magnético de las partículas.

En el caso clásico, se espera que una partícula cualquiera entre en el campo magnético con su momento magnético orientado al azar. El efecto del cam-po haría que fueran desviadas dependiendo del grado de deflexión del ángulo inicial entre el momento magnético y el campo magnético al que se somete el haz. Ese efecto se puede graduar mediante la variación de la intensidad del campo en la dirección escogida. En consecuencia, algunas serían desviadas fuertemente, otras de manera más débil y en principio se encontrarían cubrien-do todo el espectro de intensidades posibles.

El resultado del experimento revela que esto no es así y se observa que las partículas son desviadas o bien hacia arriba o bien hacia abajo, con igual pro-babilidad, pero ambos grupos con la misma componente de momentum angular (magnitud ½ħ siempre), proporcional éste al momento magnético. Las partí-culas exhiben o bien espín (momentum angular intrínseco solamente, dadas las condiciones del experimento) –½ ħ o +½ħ, en el sentido del gradiente del campo, sin valores intermedios.

El experimento de los pequeños imanes se hizo con átomos de plata, asu-miendo que tanto el momentum angular nuclear, despreciable para el caso, como el de los 46 electrones internos, los cuales se anulan exactamente, no hay que tenerlos en cuenta. Queda así un electrón periférico, responsable de los


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resultados que se observan. El experimento se bosqueja en la figura 3.11; por supuesto que hoy en día podría hacerse con electrones individuales. Los deta-lles del sistema físico se dejan de lado, para concentrar la atención del lector solamente en los resultados. La disposición de los imanes que hacen desviar los átomos o electrones hacia un lado o hacia el otro (hacia arriba o hacia abajo), debido a la variación espacial del campo magnético que producen, es tal que las probabilidades de orientación final en cualquiera de las dos direcciones son iguales. Lo que sería de esperar clásicamente es que se tenga una distribución continua de valores, digamos entre –½ o +½ (por simplicidad, se suele prescin-dir de la constante ħ). sin embargo, en el experimento se detectan dos haces finamente diferenciados de igual intensidad, con la misma desviación en mag-nitud pero en sentido contrario.

El resultado del experimento es contundente: el momentum angular intrínse-co del electrón en el sentido del campo puede tomar solamente dos valores; se le asigna valor negativo cuando coincide con la dirección del campo y positivo en dirección contraria. La figura para ilustrar este experimento fue tomado de la página:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/sternGerlach/sternGerla-ch.html

Una página similar de gran utilidad es la de la Universidad de toronto:

www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/sternGerlach/stern-Gerlach.html

Figura 3.11. Esquema del montaje del experimento de stern-Gerlach.


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cuando se realizó el experimento, ya se había detectado que los valores de la componente z de los momenta angulares orbitales de los átomos eran valores discretos, dados por mh, donde m es un entero, positivo o negativo. Más tarde se observó que a estos valores enteros había que agregar un valor semientero.

no podemos cambiar el valor del espín del electrón, pero sí su orientación, esto es, podemos cambiar la dirección de la flecha que lo representa. Si elegi-mos una dirección cualquiera, arbitraria, y decidimos medir el espín del elec-trón en esta dirección, lo que medimos es la proyección de la flecha espín en la dirección elegida, y esperamos como resultado algún valor entre el máximo, +½, y el mínimo, –½. para ello vamos a describir varios experimentos que se han realizado, arrojando siempre los mismos resultados.

3.6 secuencia de experimentosde stern-Gerlach

El resultado de cualquier medida del momentum angular intrínseco del elec-trón, no importa lo que hagamos, es como ya se dijo +½ o –½, en las unidades que se convino utilizar. recuérdese: lo que permite medir el aparato de stern-Gerlach (sG) es la componente del momentum angular de espín en la dirección de un campo magnético inhomogéneo producido por unos imanes; se escoge que los imanes y el campo vayan en la dirección perpendicular a la dirección de propagación del haz: para ello basta orientar el gradiente del campo que generan los imanes en la dirección que se desee; ese gradiente o inhomogenei-dad de la componente del campo ocasiona, desde el punto de vista clásico, una fuerza deflectora. Marquemos el eje de propagación del haz con la dirección y. La dirección de inhomogeneidad del campo coincide con la orientación del campo de los imanes utilizados en el experimento, esquematizado en la figura 3.11. puede ser z o x, dependiendo de la dirección en que se oriente el sG. Escribiremos (sG)z o (sG)x según el caso.

precisemos la nomenclatura: denominemos por S el valor del momentum angular intrínseco del electrón (es un vector) y Sz + o Sz- (Sx+ o Sx- respectivamen-te) los valores posibles que tome su componente z (o x). (La componente Sy no puede observarse en este experimento). así, podremos incluso hacer combina-ciones y sobre todo mediciones sucesivas. Eso es lo que se hará; empecemos. de acuerdo con los resultados del experimento que acabamos de describir, ten-dremos; Sx+ = Sz+ = +½; Sx- = Sz- = –½.

En un primer experimento, supóngase que se selecciona uno de los dos haces en que se divide el haz inicial, digamos el haz de electrones con el valor de es-pín en la dirección z+, es decir el valor de espín de los electrones que conforman


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el haz seleccionado es ½ en dirección z positiva. si ese haz puro lo obligamos a pasar por un segundo sG orientado en la dirección z+, no debería ocurrir nada extraño: el valor que se determine será nuevamente +½. Ese es ciertamente el resultado, esquematizado en la figura 3.12a.

¿Qué ocurrirá si en vez de orientar el segundo sG en dirección z+ lo orien-tamos en dirección x+? El resultado es sencillo, pero sorprendente: el haz se separa en dos nuevos haces, iguales en intensidad, con valores de espín +½ y –½, pero esta vez en dirección x, positiva y negativa; en otras palabras, el haz original Sz+ se ha convertido en dos haces Sx+ y Sx-, con igual intensidad. El esquema se muestra en la figura 3.12b. Si tomáramos un tercer SG para medir el valor de espín de cualquiera de los dos haces resultantes, comprobamos que los electrones de cada uno de los haces tienen el valor de espín que esperamos: +½ y –½. La figura 3.12c resume el resultado.

primera secuencia

segunda secuencia

tercera secuencia

Figura 3.12. secuencias de experimentos de stern-Gerlach (sG). La imagen es esencial-mente la misma utilizada en el clásico texto de sakurai.


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Hasta aquí el lector no tendrá mayor problema: supondrá que, así como hay una componente de espín en dirección z, habrá una componente de espín en dirección x. Ya se ha dicho que el valor va a ser +½ o –½ siempre, por lo que podrá concluir que ahora la descripción de los haces resultantes es la siguiente: para el primero, los electrones tienen tanto una componente Sz+ = +½ como una componente Sx+ = +½; para el segundo, Sz+ = +½ y Sx- = –½. Esta hipótesis, plausible, puede comprobarse o negarse con un tercer experimento para el cual nuestro tercer sG se orienta en dirección z. El resultado es negativo, como indica la figura 3.12f: en la dirección z obtenemos otra vez dos haces de igual intensidad, uno con Sz+ y otro con Sz-, como si al electrón se le hubiera olvidado la preparación que se le hizo de un estado puro Sz en el primer sG antes de hacerlo pasar por el segundo sG.

Examinemos esto con mayor detalle. En física lo que estamos haciendo se denomina colimar o seleccionar partículas, y consiste en la preparación de ha-ces o racimos de partículas con las mismas propiedades iniciales. cuando salen del horno, los electrones salen aleatoriamente, con las orientaciones de sus dipolos magnéticos intrínsecos completamente al azar. El primer sG nos separa los electrones que tienen espín Sz+ de los que tienen espín Sz-. El segundo sG nos permite separar los electrones que tienen espín Sx+ de los que tienen espín Sx-; hasta ahora se ha asumido que las medidas en z y en x son independientes. si esta suposición es correcta, cuando regresemos a observar la componente Sz la debemos encontrar en el valor anterior. pues bien, no es así.

El resultado del experimento anterior plantea algunos interrogantes. Una forma sencilla de responderse a la mayor inquietud consiste en reconocer que la fuerza ejercida por el campo magnético sobre el momento magnético (diga-mos más bien que la interacción entre el campo magnético del sG y el momento de dipolo magnético del electrón) lo modifica a tal punto que la preparación previa se echa a perder. En realidad, lo único que se puede afirmar es que en el segundo experimento se han preparado las condiciones para observar com-ponentes de espín en la dirección x positiva o negativa. El resultado de la ob-servación deja a las partículas observadas en un estado de espín determinado,

sea este Sx+ o Sx-. Eso significa, de paso, que cuando queramos determinar la componente Sz el sistema ha olvidado por completo su estado anterior. Estamos en presencia de dos observables no compatibles, para los cuales vale el princi-pio de indeterminación.

para resumir y sacar conclusiones, examínese la siguiente situación en la que participa un solo electrón, ilustrada en la figura 3.13. Hágase abstracción del movimiento del electrón y considérese solamente el valor del espín. supóngase que en un experimento previo se ha determinado que éste apunta en dirección horizontal positiva, +½ (figura 3.13a). Cuando se le mida su espín con un apa-rato que detecta la proyección del espín en dirección vertical, del resultado


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del experimento anterior es claro que el resultado tiene que ser, con igual probabilidad, +½ o –½ en dirección vertical, no cero, como diría la expectativa clásica. En otras palabras, después de analizar un gran número de situaciones con la misma condición inicial (espín en dirección horizontal +½), el aparato de detección vertical de espín ha registrado 50 % hacia arriba y 50 % hacia abajo. ahora bien, nada impide orientar el aparato un ángulo de por ejemplo 45º con respecto a la orientación inicial del espín. La situación se ilustra en la figura 3.13B. Los cálculos cuánticos dirán, y los experimentos confirmarán, que aproximadamente 85 % de las veces se obtendrá +½ y 15 % de las veces –½ en dirección vertical. por último, supóngase que la orientación del aparato coinci-de con la del espín, como ilustra la figura 3.13c. En este caso, se obtendrá con toda seguridad el valor +½.

Figura 3.13. aparato stern-Gerlach vertical fijo que examina electrones preparados inicialmente en distintos estados de espín. a) preparación inicial con espín horizontal. b) preparación inicial con espín oblicuo. c) preparación inicial con espín vertical.


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Como conclusión de los dos casos anteriormente examinados, puede afirmar-se que: no es posible, a partir de una sola medida, saber con precisión cuál era el estado previo del electrón; qué resultado se obtendrá, es algo que solo puede predecirse con cierto grado de probabilidad; hay solo un caso en que es posible predecir el valor exacto de la medición: si la orientación del espín coincide con o es opuesta a la del aparato y en una medida mediante un experimento previo se ha determinado que esa era la dirección del espín; por otra parte, si al medir nos da todas las veces (100 %) una cierta dirección para el espín, concluimos que antes de la medida ese era el estado de espín del electrón.

3.7 De vuelta al gran misterio

resumo a continuación el capítulo de Feynman al que ya aludí, histórico por su sencillez y por la profundidad del contenido. El tema, aparentemente expuesto minuciosamente por primera vez en sus famosas «Lectures on phy-sics», es la magistral ilustración de la diferencia radical entre ‘los dos mundos’, clásico y cuántico. cuando lo presentó en 1961, seguramente era solo un ex-perimento pensado. dejó de serlo poco después. Hoy en día el experimento se hace, con restricciones, en un buen laboratorio de física. En la revista Investi-gación y Ciencia ya referido sugieren cómo hacerlo en casa. La conferencia de Feynman se denomina Comportamiento cuántico y corresponde al no. 37 del primer tomo de las “lecturas”. Igualmente se recomienda al lector el resumen que de dicha conferencia presenta Gribbin en su famoso libro sobre el gato de Schrödinger.

3.7.1 introducción al mundo cuántico

nos dice Feynman: “La «mecánica cuántica» es la descripción del comporta-miento de la materia en todos sus detalles y, en particular, de lo que sucede a escala atómica. Las cosas a una escala muy pequeña no se comportan como nada de lo que ustedes tengan experiencia directa. no se comportan como ondas, no se comportan como partículas, no se comportan como nubes, o como bolas de billar, o como pesos colgados de muelles, o como nada que ustedes hayan visto alguna vez”. después de examinar lo que se pensaba sobre la luz, partícu-las en el siglo XVII, ondas durante los siglos XVIII y XIX, nuevamente partículas desde 1905; de recordarnos que el electrón, partícula descubierta por thomson padre, con propiedades ondulatorias en ocasiones, como lo comprobó, entre otros, thomson hijo, agrega: “Hay, no obstante, una feliz circunstancia: los electrones se comportan exactamente igual que la luz. (subrayado por mí). El comportamiento cuántico de los objetos atómicos (electrones, protones, neu-trones, fotones y demás) es el mismo para todos; todos son «partículas-ondas», o como quiera que ustedes prefieran llamarlos. (A mis estudiantes les suelo de-cir: partondas u ondículas, como lo prefieran). así que lo que aprendamos sobre


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las propiedades de los electrones (que utilizaremos como ejemplo) se aplicará también a todas las «partículas», incluyendo los fotones en la luz”.

Los experimentos que propone a continuación establecen claramente la dife-rencia entre el comportamiento de corpúsculos y de ondas en la fenomenología clásica. Veámoslo, en forma resumida, ligeramente modificada. Para mayores detalles, se aconseja ir a la fuente original.

3.7.2 Un experimento con balas

Figura 3.14. reproducción del experimento con balas propuesto por Feynman.

para facilitar el relato de este experimento pensado, se me ocurre hacer re-ferencia a los perdigones que utilizaban las escopetas de cacería antiguas, más bien que a las balas de una ametralladora. La dispersión de esas municiones de forma esférica era enorme. Imaginemos, pues, una lluvia continua de perdigo-nes, supuestamente indestructibles para poder comparar posteriormente con la lluvia de electrones que salen de un metal al calentarlo. En frente, como muestra la figura, hay una pared. Conviene imaginar que el cañón de la escope-ta no está firme y los proyectiles salen en cualquier dirección hacia adelante. En frente hay un par de agujeros, los únicos espacios por donde pueden atra-vesar las balas. La forma de los agujeros, por extraño que parezca, no importa mucho, pero sí su tamaño. Esto es particularmente cierto en el caso del cañón de electrones (figura 3.16). En la primera parte del experimento con balas se cubre el agujero inferior; la distribución estadística de los perdigones es más o menos como la que se muestra en la parte superior de la figura 3.14b; si, por el contrario, se impide el paso por el agujero superior, lo que se observa es la distribución de la parte inferior, reflejo especular fiel de la anterior.


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Vamos a repetir el experimento con los dos agujeros abiertos. El resultado depende de la separación entre los agujeros. supongamos que esta separación es pequeña, suficiente como para que los dos máximos de cada agujero por separado se puedan superponer dando lugar a un máximo en el centro; si la separación fuera muy grande, los dos máximos al superponerse darían lugar a dos máximos separados. cito a Feynman, para las condiciones consideradas en su conferencia: “Las probabilidades simplemente se suman. El efecto cuando ambos agujeros están abiertos es la suma de los efectos con cada agujero abier-to por separado. Llamaremos a este resultado una observación de «ausencia de interferencia», por una razón que verán más adelante. Hasta aquí lo relativo a las balas. Ellas llegan en porciones, y su probabilidad de llegada no muestra interferencia”.

3.7.3 Un experimento con ondas

Figura 3.15. Esquema del experimento con ondas en un cubilete de agua.

Imaginar u observar lo que ocurre con ondas es muy simple, si se recurre como ejemplo a ondas en un cubilete de agua. El experimento ha sido discutido en la sección 2.6. El recipiente puede ser, para efectos prácticos, un molde rectangular que termina suavemente en los bordes, para evitar reflexiones in-deseables. como «fuente de ondas» puede usarse una barra plana que se hace oscilar en forma armónica verticalmente por medio de un motor, produciendo ondas planas; o para comparar más fácilmente con el experimento de las balas, una punta que produce ondas circulares a cierta frecuencia. a la derecha de la fuente tenemos de nuevo un obstáculo con dos ‘agujeros’, más bien ranuras


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verticales. cada ranura actúa como una fuente de ondas de agua circulares. Esta vez, más que la distribución de probabilidad, nos interesa la intensidad de la onda; la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la am-plitud, o perturbación máxima, para el caso la altura de la columna de agua a partir del nivel de referencia o superficie horizontal. Sorprenderá al lector que el resultado de este experimento, realizado de acuerdo con el montaje de la figura 3.15, sea el mismo que el de la figura 2.9. Para su tranquilidad, examine de nuevo la figura 2.10 y compare resultados. La conclusión a que debe llegar es que lo único importante cuando se trata de ondas es el hecho de que haya dos fuentes sincronizadas, sean primarias, como en 2.9, o secundarias, como en 2.10.

sin entrar en detalles, en todos los casos el resultado es como el que se muestra en la figura 3.15, si la ranura es menor que la longitud de onda de la onda generada, o si la fuente (caso de la figura 2.9) se puede considerar pe-queña comparada con su longitud de onda. de nuevo, si una de los ranuras se obstruye (una de las fuentes, en 2.9), la intensidad de la onda resultante se va desvaneciendo hacia los lados. pero si las dos ranuras permiten el paso de las ondas simultáneamente, se presenta un fenómeno característico de las ondas: ¡habrá interferencias, constructivas y destructivas!

Para mayor claridad, se sugiere mirar con atención la figura 2.10, donde se ilustran los resultados con ondas de luz; en los dos casos, ondas de luz y ondas de agua, se ha supuesto que la distancia entre las ranuras, caso de la luz, o en-tre las fuentes primarias, ondas de agua, es comparable a la longitud de onda. En cada caso, la intensidad resultante se puede escribir como

I12 = I1 + I2 + 2 (I1I2)1/2 cos δ.

El ultimo término se suele llamar término de interferencia, y δ es la diferen-cia de fase con que llegan las dos señales desde los dos agujeros: en el centro, la diferencia es nula, de ahí el máximo de interferencia que se observa. obser-ve que cos δ toma todos los valores posibles entre -1 y +1, como corresponde a las funciones seno y coseno.

3.7.4 Un experimento con electrones

tomemos textualmente de Feynman: “Imaginemos ahora un experimento si-milar con electrones. Se muestra esquemáticamente en la figura 3.16. Tenemos un cañón de electrones que consiste en un filamento de tungsteno calentado mediante una corriente eléctrica, rodeado por una caja metálica con un agu-jero. Si el filamento está a un voltaje negativo con respecto a la caja, los elec-trones emitidos por el filamento serán acelerados hacia las paredes y algunos pasarán a través del agujero. todos los electrones que salgan del cañón tendrán (aproximadamente) la misma energía. Frente al cañón hay de nuevo una pared


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(simplemente una placa metálica delgada) con dos agujeros. detrás de la pared hay otra placa que servirá de «pantalla». delante de la pantalla colocamos un detector móvil. El detector podría ser un contador geiger o, quizá mejor, un multiplicador electrónico, que está conectado a un altavoz”.

Figura 3.16. Experimento con electrones (reproducción del texto de Feynman).

para la fecha en que Feynman elaboró su conferencia, probablemente este experimento no se había realizado, pero sí otros equivalentes (recuérdese, no obstante, lo dicho sobre el experimento de Jönssen); lo más interesante es que, a pesar de ser entonces un experimento pensado, nadie tuviera duda alguna sobre el resultado. Un experimento como éste, con las adecuaciones apropia-das, se ha realizado múltiples veces desde entonces. El resultado es siempre el mismo: los electrones, cuando pasan simultáneamente por los dos agujeros, ¡dan señales de interferencia!

Innecesario (¿?) decir que cuando los electrones pasan solamente por un agu-jero se comportan como los proyectiles del primer experimento. La distribución de probabilidades para uno u otro agujero es la misma y sigue la distribución de corpúsculos «normales». pero cuando pasan simultáneamente por los dos, sin que sepamos por cuál de los agujeros pasó cada electrón, la distribución de pro-babilidades no es la suma de probabilidades: p12 ≠ P1 + p2. En algunos puntos el resultado es prácticamente cero; en algunos puntos el resultado es mayor que la suma de los dos por separado, algo en verdad sorprendente. Efectivamente, ¡hay un término de interferencia! En lenguaje matemático, todo el misterio desaparece cuando se recurre al término de interferencia de la expresión de intensidades para ondas.


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dice Feynman: “creemos entender lo que pasa con las ondas: el frente de ondas se divide, de tal manera que una parte atraviesa la ranura 1 y otra atra-viesa la ranura 2. ¿Estará pasando lo mismo con los electrones? La respuesta es ¡no! Los electrones atraviesan enteros, no se dividen en una parte que va por la ranura 1 y otra que va por la ranura 2. Lo único que se está haciendo, desde el punto de vista de la observación de los electrones, es detectar los electro-nes cuando llegan a la pared. no hemos seguido sus trayectorias. Intentemos hacerlo”.

3.7.5 observando las partículas

Feynman describe un experimento pensado, mediante el cual podemos obser-var el paso de los electrones. tal vez para el caso de los electrones la propuesta de Feynman es difícil de realizar, aunque se pueden hacer modificaciones que materialicen dicho experimento mediante «transistores de un solo electrón», como los que se describen en el capítulo séptimo de Nanotecnociencia. podría-mos recurrir, para simplificar las cosas, a un experimento con átomos: haciendo pasar átomos en vez de electrones, el resultado es esencialmente el mismo: ¡hay interferencia cuando no se observa el paso de ellos! con fotones, el expe-rimento es sencillo de hacer, como sugieren en el artículo ya citado de Hillmer y Kwiat.

¿Qué ocurre cuando se espía el paso de electrones o de átomos a través de las ranuras, de tal manera que podemos decir por dónde pasa cada uno de ellos? El espionaje se puede hacer colocando una fuente de luz, imagínensela muy tenue, entre la placa que contiene los agujeros por donde cruzan y la placa o pared donde se detectan. Los átomos, con mayor facilidad que los electrones, dispersan la luz de la fuente luminosa, permitiendo determinar por dónde pasó cada uno de ellos. ¡El misterio desaparece! Los electrones o los átomos se com-portan ahora como los proyectiles del primer experimento: en otras palabras, mediante la observación ¡se ha destruido el patrón de interferencia! El resulta-do se muestra en la figura 3.17.

Los electrones (también los átomos) son muy sensibles y alteran sus trayec-torias cuando se observan, lo que no ocurre con las balas. ¿Qué ocurre si se disminuye la intensidad de nuestra fuente de luz todavía más, gradualmente? puede suceder que algunos de los electrones o átomos no sean observados al cruzar: nos hemos quedado sin saber por dónde pasaron, solamente supimos, por el detector en la pantalla, que llegaron a ésta. para las partículas que no pudieron ser observadas, el resultado es el mismo que para el de la figura 3.16: exhiben un patrón de interferencia, como las ondas.

Los argumentos de Feynman nos llevan a descartar teorías extrañas sobre el comportamiento de los electrones cuando los observamos. no hay electrones que se dividan; tampoco los hay que puedan pasar a través de ambos agujeros.


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“cuando los observamos, los electrones atraviesan (los agujeros) simplemente como esperaríamos que los atravesasen. Ya estén los agujeros abiertos o cerra-dos, aquellos electrones que vemos pasar a través del agujero 1 se distribuyen de la misma forma independientemente de que el agujero 2 esté abierto o cerrado.

Figura 3.17. observando (espiando) el paso de los electrones.

¿no hay alguna forma de que podamos ver los electrones sin perturbarlos? aprendimos en un capítulo anterior que el momento transportado por un «fo-tón» es inversamente proporcional a su longitud de onda (p = h/λ). ciertamente el empujón dado al electrón cuando el fotón es dispersado hacia nuestros ojos depende del momento que transporta el fotón. ¡ajá! si sólo queríamos pertur-bar ligeramente a los electrones no deberíamos haber disminuido la intensidad de la luz, sino que deberíamos haber disminuido su frecuencia (que es lo mismo que incrementar su longitud de onda). Utilicemos luz de un color más rojo. po-dríamos entonces utilizar luz infrarroja, o radio ondas (como el radar), y «ver» dónde fue el electrón con ayuda de algún equipo que pueda «ver» luz de estas longitudes de onda más largas. si utilizamos luz «más suave» quizá podamos evitar el perturbar tanto a los electrones. Intentemos el experimento con ondas más largas. seguiremos repitiendo nuestro experimento cada vez con luz de una mayor longitud de onda. al principio, parece que nada cambia. Los resultados son los mismos. Luego sucede algo terrible. recordarán ustedes que cuando discutimos el microscopio señalamos que, debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, hay una limitación a lo próximos que dos puntos pueden estar y seguir viéndose como dos puntos separados. Esta distancia es del orden de la longitud de onda de la luz. por ello, ahora, al hacer la longitud de onda más larga que la distancia entre nuestros agujeros, vemos un gran destello borroso cuando la


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luz es dispersada por los electrones. ¡Ya no podemos decir por qué agujero pasó el electrón! ¡simplemente sabemos que fue a alguna parte! Y es solamente con luz de este color cuando encontramos que los empujones dados a los electrones son suficientemente pequeños para que P’12 empiece a parecerse a P’12, que empezamos a obtener algún efecto de interferencia. Y es sólo con longitudes de onda mucho más largas que la separación de los dos agujeros (cuando no tenemos ninguna posibilidad de decir dónde fue el electrón) cuando la pertur-bación debida a la luz se hace suficientemente pequeña para que obtengamos de nuevo la curva P12 mostrada en la figura 6.3”.

3.8 Conclusión: comportamiento dual de la materia

recordemos ahora lo que ya sabemos acerca de la luz: aunque nos la imagi-nábamos como una onda, en realidad está compuesta de corpúsculos o granos de luz, cuantos de luz denominados fotones. como se mencionó en el capítulo octavo, hoy en día es posible controlar el flujo de fotones, para poder manipular fotones individuales. En el experimento de detección mediante luz, podríamos imaginar que utilizamos fotones individuales: en tal caso, habrá circunstancias afortunadas en que el fotón y el electrón (o átomo) se crucen: habrá, pues, dispersión de un fotón por una partícula. si eso ocurre, la partícula habrá sido «observada»: su comportamiento es como de partícula. caso contrario, su com-portamiento es como de onda.

El experimento con electrones o con átomos se puede realizar con sumo cuidado: enviando, por ejemplo, un electrón o un átomo cada vez; con la pe-riodicidad que se desee: digamos que uno cada cierto número de segundos, o de minutos, de tal suerte que el anterior ya fue detectado cuando el siguiente se envió; es decir, podemos estar seguros de que no hay una interferencia directa entre la trayectoria del uno y el siguiente. Lo mismo puede hacerse, en princi-pio, en un experimento con luz. Los resultados serán esencialmente los mismos. Esto quiere decir que si se presenta una interferencia, es la interferencia del electrón consigo mismo.

cuando se hable de la descripción del electrón mediante una función de onda apropiada, se concluirá que la función de onda lleva la siguiente información: nos da la probabilidad de que el electrón se deposite en uno u otro lugar sobre la pantalla; la distribución de probabilidad es lo que se ha representado en las figuras 3.14 y 3.16. Se volverá a la discusión del significado de esta afirmación en el capítulo cuarto.

La difracción de rayos X abrió un campo extraordinariamente rico al estudio de los sólidos cristalinos. El experimento es muy fácil de entender cualitativa-mente: basta considerar planos cristalinos adyacentes a los que llega una onda plana de rayos X, como ilustra la figura 3.18. Hay interferencia constructiva,


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en este caso una ‘reflexión’ o ‘dispersión’ coherente, cuando el ángulo θ que forma el rayo incidente con el plano cristalino es tal que para una separación d entre planos cristalinos adyacentes se cumple la relación

2d sen θ = nλ.

Figura 3.18. Esquema de la difracción de rayos X por un enrejado cristalino.

aquí λ es la longitud de onda de los rayos X empleados, con longitudes en la región de unos pocos ångströms, y n el orden de interferencia. su pequeña longitud de onda garantiza que la relación anterior pueda satisfacerse para n pequeño: n = 1, 2, etc.

El experimento puede ser realizado con igual éxito difractando electrones. Los espectros que se obtienen son muy similares. El resultado comparativo de los dos experimentos se muestra en la figura 3.9.

En conclusión:

1. Los componentes elementales del Universo, partículas elementales y partí-culas mediadoras, exhiben características de corpúsculo y de onda.

2. Los agregados de partículas, sean estos quarks, núcleos, átomos o molécu-las, presentan comportamiento ondulatorio y corpuscular.

3. Esta dualidad onda-corpúsculo no se puede poner de manifiesto en un mismo experimento: o preparamos mediciones mediante aparatos para observar o


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poner en evidencia una naturaleza o la otra. ambos caracteres son comple-mentarios.

4. Es imposible saber cómo se está comportando un sistema cuántico a menos que lo observemos; pero el proceso de observación lo altera en una forma que no podemos anticipar.

5. Mientras no lo observemos, un sistema evoluciona normalmente, en una for-ma prevista por un ente matemático que nos permite hacer predicciones.

sobre el ente matemático que nos permite hacer predicciones hablaremos en el siguiente capítulo.

Hay algo maravilloso en todo este proceso experimental que hemos estado analizando a lo largo de este capítulo: la última palabra la tiene el experimen-to. La mejor ciencia que podemos construir es aquella que nos permite hacer predicciones en concordancia con los experimentos. Lo demás es especulación. Pero hay una confianza plena en los resultados cuando los fundamentos son firmes. El caso más destacado en la historia de la ciencia reciente, la del siglo XX, lo constituye precisamente el experimento de interferencia de electrones a través de dos ranuras. Hacerlo en el laboratorio tomó más de tres décadas, pero los resultados eran completamente previsibles.

El experimento de difracción de rayos X ocurre en un arreglo cristalino en donde la separación entre los átomos es una fracción de nanómetro. cuando se hicieron los experimentos de difracción de electrones primero y luego de átomos, las condiciones fueron las mismas. El experimento de las dos rendijas es otra cosa.

como hemos insistido desde el comienzo del capítulo, los resultados del ex-perimento de las dos rendijas es conocido prácticamente por todos los que se han acercado al más elemental curso de física moderna, así no lo hayan tomado. con razón fue escogido como el experimento más bello en la historia de la física, una ciencia experimental por excelencia, teórico-experimental para ser precisos, la prueba está en que nadie dudaba del resultado cuando el experimento pudiera materializarse. El experimento lo realizó, no lo olvide, amigo lector, claus Jönssen en la Universidad de tubinga, alemania, en 1961, cuando ya el experimento había sido inmortalizado. publicado, al igual que los 5 trabajos de Einstein que lo inmortalizaron en aquel memorable 1905, en Zeitschrift für Physik, a diferencia de los de este último, el reporte sobre el experimento pasó desapercibido para la comunidad científica universal por más de una década. posteriormente fue publicado en una revista de carácter pedagógico. como un homenaje tardío al pionero en la realización de este has-ta hace relativamente poco dificilísimo experimento, quisiéramos denominarlo como se lo merece: El experimento de Jönssen, el más bello en la historia de la física hasta la fecha.


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Figura 3.19. Experimento de Jönssen: un experimento real de interferencia de electro-nes a través de dos ranuras.


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CaPÍTuLO CuaRTO

EL PRINCIPIO DE suPERPOsICIóN

4.1 Tres formulaciones de la realidad cuántica

“(In the thirties) Dick Feynman told me about his ‘sum over histories’ version of quantum mechanics. ‘The electron does anything it likes’, he said. ‘It goes in any direction at any speed, forward or backward in time, however it likes, and then you add up the amplitudes and it gives you the wave-function.’ I said to him, You’re crazy’. But he wasn’t”. (Freeman J. Dyson, en: Some strangeness in the proportion, editado por Harry Woolf, Addison Wesley, 1980. Citado en: Quantum Field Theory, de Lewis H. Ryder, Cambridge, 1985).

La formulación en términos de integrales de camino, debida a richard Feyn-man, es una de las más interesantes versiones de la física cuántica y la menos referida en los textos básicos. La figura 2.1 da una idea del procedimiento. Más adelante lo ilustraré con un ejemplo tomado de sus clásicas lectures. su último libro divulgativo, escrito con ayuda de ralph Leighton pocos años antes de su muerte, una recopilación de las conferencias Alix Mautner, titulado QED. The strange theory of light and matter (1985), es en verdad una introducción para legos a la suma sobre trayectorias. alix era una especialista en literatura inglesa, amiga personal de Feynman, quien como él murió de cáncer, unos años antes, en 1982. dos aspectos quisiera destacar, antes de entrar en el tema de este capítulo, el cual no se refiere más que tangencialmente a su muy original formulación.

1) Los fundamentos de QED pueden rastrearse al primer tomo de las lectures, de cuyo capítulo 37 tomé una buena porción para elaborar el anterior; en particular, el capítulo 26 (Optics: the principle of least time) contiene en germen muchas de las técnicas que varios años atrás desarrolló y le llevaron a merecer el premio nobel21. tengo por seguro que ese y otros capítulos de la segunda parte de aquel tomo son la semilla de su libro divulgativo sobre electrodinámica cuántica.

2) si algo me animó a no desmayar en el intento de escribir estas notas (Unos cuantos para todo y el que se encuentra en preparación) fue imaginar el

21 QED son las iniciales de Quantum Electrodynamics. Incidentalmente, son también las que se utilizan al terminar una demostración y el actor principal ‘exclama’: quod est demostrandum (lo que se quería demostrar). Feynman era un insuperable actor cuando enseñaba física, sobre todo a sus estudiantes de los primeros cursos: era todo un espectáculo, dicen quienes tuvieron el privilegio de asistir a esas conferencias divulgativas. a quienes quieran conocer esta y otras facetas de Feynman les recomiendo el libro: Los caminos de Feynman, de Jesús navarro Faus (Madrid, 2007).


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ambiente en el cual Feynman pronunció en UCLA sus conferencias Mautner. El tema era tremendamente difícil: nada más ni nada menos que explicar a personas más relacionadas con las humanidades que con las ciencias su ge-nialísima versión de la interacción entre la materia y la radiación. Esa y otras experiencias personales me hicieron examinar la posibilidad de presentar, en un ambiente académico, los principios básicos cuánticos a un público más general. De aquella reflexión concluí que no solamente en el aula de clase, limitada a un grupo de estudiantes, quizá en forma más amplia a través de unas notas como éstas, podría transmitirse el mensaje esencial de la Física cuántica. Mucho camino me queda por recorrer para acercarme al estilo de Dick, como le decían con aprecio sus estudiantes. Muestra de ese aprecio fue la gran pancarta, visible a varios kilómetros de distancia, que el día de su muerte (16 de febrero de 1988) exhibieron sus estudiantes con la leyenda: Te queremos, Dick22.

La teoría cuántica moderna fue elaborada en dos años de oro que fueron cru-ciales para la historia de la física. nos referimos al periodo 1925-1926, durante el cual Werner Heisenberg, Erwin schrödinger y Max Born formularon la esencia de la teoría. salvo el de thomson, los experimentos que hemos denominado cruciales guardan algo en común: ponen en pié de igualdad al electrón y al fo-tón. El experimento de thomson, o mejor, el descubrimiento del electrón hecho por thomson, siguió una línea de razonamiento totalmente clásica. Lo conside-ramos crucial porque abrió el camino a la exploración del interior del átomo. algo de eso hemos presentado en el contexto histórico. Los otros experimentos mostraron cuán diferente del comportamiento clásico es el cuántico. La nueva mecánica del átomo exige ir más allá de la genial intuición de Bohr. Haremos un esfuerzo adicional por presentar la novedosa imagen en el próximo capítulo.

cuando inició el siglo XX había por lo menos tres resultados experimentales que se referían a la luz y que no podían explicarse clásicamente. Uno de ellos era el espectro de radiación del cuerpo negro; otro, el efecto fotoeléctrico; uno más, conocido desde mucho antes, eran las líneas espectrales (disconti-

22 Es una lástima que en los ambientes universitarios no se use a menudo el estilo informal de Feynman para enseñar los conceptos fundamentales sin recurrir a esquemas predeterminados. permítaseme resumir una pequeña anécdota personal: en 1972, diez años después que lo hiciera su autor original, tuve oportunidad de utilizar las conferencias del primer tomo para cursos de honor en la Universidad de los andes, en Bogotá. El entusiasmo por esas Lectures creció a tal punto que se ofreció en uno de los denominados cursos de verano de aquel tiempo a unos pocos (quizá 7) entusiastas estudiantes de matemáticas y de ingeniería. Varios de ellos se desempeñan actualmente como profesores en universidades de Estados Unidos o en colombia, lo cual me hace sentir muy contento, no solo por sus éxitos, también por haber sido su lecturer. La histo-ria no tendría interés de no ser por la posición radical de Feynman en contra de los currícula todavía vigentes en los cursos de física general. se quiere enseñar física como si continuáramos en los siglo XVII y XVIII. algo diferente, con buenos resultados, he intentado en un curso deno-minado fundamentos de física teórica. Las notas estarán disponibles en nuestra página, dentro de algunos meses a partir de la impresión de estas.


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nuas) de los elementos. La hipótesis de planck surgió como una explicación desesperada pero exitosa o acertada del primero. La hipótesis de Einstein no solo logró explicar consistentemente el segundo sino que permitió a su autor una deducción formal del espectro en coincidencia con los experimentos; pero fue a partir de las hipótesis de la cuantización de la energía de la radiación y del momentum angular, como Bohr explicó cualitativa y cuantitativamente las líneas espectrales del átomo de hidrógeno. surgió así la denominada antigua teoría cuántica. Visto en perspectiva, el gran problema no era la explicación del espectro de radiación del cuerpo negro, o más general, el espectro de absorción y/o de emisión de un cuerpo macroscópico. Este es un problema derivado, pues lograr dicha explicación significaba desentrañar los misterios del comportamiento de la materia a nivel elemental. El problema fundamental radicaba en entender la estrecha relación entre la materia minúscula y la ra-diación. develado uno de los secretos, el hecho de que la materia está hecha de átomos y moléculas, a su vez integrados por partículas cargadas, inestables en condiciones clásicas, el asunto era entender qué es lo que pasa al interior de estos ingredientes básicos de la materia. de esa exploración surgieron otras partículas, neutras y cargadas, que forman con el electrón lo que se supone es la ‘tabla definitiva’ de las partículas elementales: seis quarks, seis leptones y unas partículas mediadoras (bosones intermediarios) de las interacciones fun-damentales entre los dos grupos.

Uno de los grandes problemas que surgió inicialmente, de aceptarse las hipó-tesis de Bohr, era explicar cómo pasarían los electrones de un orbital permitido a otro igualmente aceptable o posible, de acuerdo con la regla de cuantización del momentum angular. La solución al problema fue algo que en el esquema clá-sico suena totalmente absurdo: mediante un salto cuántico. Ese salto cuántico significa, en forma llana y lisa, carencia de realidad clásica durante el mismo. Eso fue lo que estuvieron dispuestos a aceptar, con distinto énfasis, los tres protagonistas ya mencionados y los que después se acogieron a la denominada interpretación de Copenhague. Dicha interpretación se afianzó con la famosa 5ª conferencia solvay, en 1927 (en homenaje a Ernest solvay, patrocinador de la serie, la primera de ellas realizada en 1911). participaron de aquella 29 re-nombrados físicos, entre ellos Bohr, Born, de Broglie, compton, curie (Marie), dirac, Einstein, Heisenberg, pauli, planck y schrödinger. Fue una semana de ar-duas discusiones de la que surgieron los acuerdos básicos sobre los fundamentos de la nueva teoría y de la cual salieron fortalecidos los radicales. Muy a pesar de los ‘conservadores’ o disidentes, Einstein entre ellos, todos los experimen-tos realizados desde entonces han servido para fortalecer las ideas básicas que triunfaron en esa conferencia.

con posterioridad a aquellos años de oro, la mecánica cuántica vio cómo su campo se ensanchaba, primero con una versión no consistente con la interpre-tación estadística aceptada (propuesta por Born) de la misma, debida a dirac,


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Jordan, pauli y Heisenberg y después con una prolongación posterior de ésta iniciada por dirac y por Heisenberg, versión preliminar de la electrodinámica cuántica, no exenta de problemas. Fue necesario encontrar una ecuación rela-tivista, debida a dirac, la cual dio lugar a la llamada teoría cuántica relativista de campos.

La ecuación de dirac es de primer orden tanto en sus derivadas espaciales como temporales; la función de onda, conocida como espinor de Dirac, tiene cuatro componentes (recuérdese que el espacio-tiempo es tetradimensional), lo cual permite acomodar el espín del electrón en un contexto relativista; dicho en términos matemáticos, característicos de la física hecha por dirac, es un sistema de cuatro ecuaciones con derivadas parciales de primer orden. “Es más importante poner belleza en las ecuaciones que hacerlas coincidir con los expe-rimentos”, afirmaba. Esa creencia firme en las matemáticas le llevó a solucio-nar un problema de interpretación muy complicado en su ecuación, referente a estados de energía negativa. Esos estados estarían en principio ocupados, por lo que el principio de exclusión de pauli impediría transiciones entre ellos, a menos que los electrones en esos estados absorbieran fotones. En esencia, esos fotones darían lugar a un par electrón-antielectrón: la antimateria había sido descubierta matemáticamente. En 1932, el físico norteamericano carl david anderson, quien trabajaba con Millikan, en un intento por averiguar si los rayos cósmicos eran radiación electromagnética o partículas, encontró la partícula propuesta por dirac, a la que él mismo bautizó con el nombre de positrón.

Feynman, digno discípulo de John a. Wheeler, fue todavía más lejos. En 1938 los dos se encontraron en la Universidad de princeton: Wheeler como profesor, con escasos 27 años, Feynman como su ayudante, con solo 21. La II Guerra Mundial se interpuso, como había ocurrido también con la I, lo que hizo retra-sar el trabajo. Finalmente, en 1948, con Julian schwinger y sin-Itirotomonaga maduró la actual teoría de la electrodinámica cuántica, considerada la teoría física más exitosa de todos los tiempos. para dar una idea de su impresionante precisión, transcribimos los siguientes datos: en el modelo inicial de dirac, el valor del momento magnético del electrón, en unidades de Bohr, es exacta-mente 1. Los experimentos de 1948 mostraron que el número real era 1.00118, debido a su interacción con la luz. Los primeros cálculos de schwinger arrojaron un resultado muy cercano: 1.00116. Refinamientos posteriores de los experi-mentos y de la teoría llevan la precisión mucho más lejos: 1.00115965221 para el valor experimental, 1.00115965246 para el teórico. dice Feynman en su QED que tal precisión es algo así como esto: si se midiese la distancia de Los ángeles a nueva York con semejante exactitud (lo cual obviamente es imposible), el valor diferiría del correcto en el espesor de un cabello humano. con semejante acuerdo entre las predicciones teóricas y los resultados experimentales, es im-posible dudar de la validez de la imagen que sobre el mundo y sus fenómenos proyecta el modelo, por disparatado que parezca. no es, pues, exageración la


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frase atribuida a él con que inicié este capítulo: los electrones viajando hacia atrás en el tiempo son los positrones.

4.2 Fotones y electrones

Volvamos a los comienzos. La palabra espectro daría lugar a una denomina-ción general de todo lo que fuera susceptible de observación o de medida en el mundo cuántico. si bien el término originalmente hacía referencia a la energía del sistema, un espectro continúo para la radiación del cuerpo negro, un es-pectro discreto en el caso de las frecuencias observadas para, por ejemplo, el átomo de hidrógeno, en adelante se llamaría espectro al conjunto de valores que pudiera tomar cualquier cantidad física. así, por ejemplo, los dos únicos valores posibles, ½ o -½ en unidades de ħ para cualquiera de las tres direccio-nes posibles, x, y o z, conforman el espectro del espín electrónico.

Los fenómenos de difracción observados para los electrones al atravesar cris-tales, representados de manera más sencilla por experimentos gedanken (pen-sados) de interferencia a través de dos ranuras, sugirieron asignar a un sistema físico submicroscópico, para su adecuada descripción, una función de onda, en analogía con el comportamiento clásico ondulatorio: un continuum. Los niveles de energía permitidos para los electrones en los átomos o los valores posibles del espín o en general del momentum angular (valores discretos), en cambio, llevan implícita la sugerencia de representar el sistema mediante un vector con tantas componentes como valores permitidos tuviera su espectro. Esta suge-rencia es más bien una imposición cuando se acepta que el estado del sistema, mientras no se le observe, puede ser una combinación de los estados posibles (superposición). a ello volveremos a lo largo de este capítulo.

cómo ir de lo continuo a lo discreto y viceversa, es algo que ha intrigado a los físicos, no solo desde los orígenes de la física cuántica. Las paradojas de los eleáticos surgieron de estas consideraciones. Leucipo y demócrito ya habían postulado la existencia de partes minúsculas de la materia, de ahí el nombre de átomo. aristóteles y su prestigio echaron por la borda esta discontinuidad de la materia. Uno de los méritos de thomson fue encontrar la primera par-tícula indivisible o elemental, el electrón, a-tómica en el sentido estricto del término: el átomo dejó de serlo. solo el lenguaje común permite el uso del calificativo subatómico. a pesar de los avances logrados por los nuevos atomis-tas, los del siglo XIX, y a pesar de los recientes descubrimientos, a fines de ese siglo resucitó el positivismo más recalcitrante que negaba la existencia de las partes atómicas. su fundamento principal era matemático: las ecuaciones de la física clásica son ecuaciones diferenciales que entronizan lo continuo. Esa impresión seguramente se había fortalecido con los éxitos alcanzados por sir William Hamilton en la primera mitad del siglo XIX (había nacido en dublín en 1805), en su intento por unificar las leyes de la óptica y de la dinámica. Pero


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sus trabajos no fueron examinados minuciosamente a lo largo de ese siglo. Los estudios de Hamilton implicaban que, de la misma forma en que los rayos de luz pueden sustituirse por ondas, las trayectorias de partículas debían sustituirse por movimientos ondulatorios mecánicos. dice Gribbin en su ya varias veces citado libro sobre El gato…: “sir William Hamilton es el olvidado fundador de la mecánica cuántica. si hubiera vivido en la época apropiada, seguro que se hubiera dado cuenta de la conexión existente entre la mecánica matricial y la mecánica ondulatoria”. La electrodinámica de Maxwell (y otros) siguió otro rumbo. sería interesante para la epistemología investigar por qué la electrodi-námica fue más bien la continuación del mecanicismo. Feynman habría de darle un nuevo enfoque.

Los griegos describían la luz como rayos que emanaban de los cuerpos (emi-sor) y llegaban al detector (nuestro ojo, por ejemplo). Uno de los principios del comportamiento de la luz que fueron descubiertos desde muy temprano se parece al principio de inercia: la luz va en línea recta si no hay algo en su camino que obstaculice ese camino corto. En aquel no parece estar el principio de interferencia que se atribuye a las ondas. sin embargo, los rayos de luz no se obstaculizan uno al otro, a diferencia de lo que ocurre con los objetos masivos. Ese fue uno de los argumentos de Huyghens a favor de la imagen como de onda de la luz en contra del punto de vista corpuscular de newton. Esa lucha entre el punto de vista corpuscular y el ondulatorio llevó a uno de mis maestros más admirados a escribir el libro La gramática de una controversia científica: el de-bate alrededor de la teoría de Newton sobre los colores de la luz (José Granes, Ediciones Unibiblos, Bogotá, 2005).

La teoría de la luz vista como rayos evolucionó y fue sintetizada magistral-mente por Fermat en su famoso principio del tiempo mínimo, poco utilizado hoy en los cursos de física básica. Si ustedes examinan las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz, verán que obedecen fielmente el principio de Fermat, o mejor, se obtienen invocando ese principio, el cual afirma que la luz va del emisor al receptor ‘empleando el menor tiempo posible’. La trayectoria más corta indudablemente es la línea recta, siempre y cuando la rapidez con que se desplace el rayo sea la misma. Pero en la reflexión hay una condición adicional que debe cumplirse para que el fenómeno ocurra: debe pasar por alguna parte sobre la superficie del espejo. (Véase la figura 4.1a). En el fenómeno de la re-fracción, debe además cambiarse de medio. a partir de esas condiciones, por un procedimiento más elegante, aunque más complejo que las simples fórmulas de reflexión y refracción, pueden describirse las lentes y los espejos cóncavos y convexos y, por ende, la combinación que se quiera de ellos. En dos palabras, toda la óptica geométrica.

pero hay otra forma de ver el problema. Vamos a examinarlo a lo Feynman para el caso de la reflexión sobre una superficie especular plana. Para ello vamos a suponer que la luz no está conformada por rayos, sino por granos de


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energía que llegan a todas partes sobre la superficie del espejo: los fotones. Eso permite construirse una imagen un poco extraña (compleja) de los fenómenos más simples, con una ganancia adicional: o bien surge espontáneamente ante nuestros ojos el comportamiento dual de cada uno de los ingredientes de la naturaleza o bien nos acostumbramos a ese extraño comportamiento.

Inicialmente asumiremos que la luz es un chorro de fotones. al salir en todas direcciones desde la fuente emisora, llegarán a todos los puntos accesibles so-bre la superficie especular. De allí van a rebotar en alguna forma. nos interesan solamente los que van a llegar al detector.

asignemos vectores (léase probabilidades con diferente orientación) a los fotones procedentes de distintas partes sobre la superficie del espejo. La am-plitud es aproximadamente la misma para todos, pero la orientación varía en una forma que depende del tiempo que tardaría en llegar un fotón yendo en línea recta desde el punto donde fue emitido (a) a un punto sobre el espejo y de éste al punto donde se detectará (B). Hay una serie de puntos, los que están cerca al que cumple la condición de Fermat, que tienen aproximadamente la misma orientación. otros puntos, a lado y lado, se desvían poco a poco, cada vez más, de la orientación central o principal. sin importar los detalles, al colocar los pequeños vectores uno tras otro, se obtiene una figura como la que ilustra el esquema inferior derecho, figura 4.1d.

Hasta aquí, aunque seguramente no es fácil, no hay mayor problema. ahora vamos a suponer que, como realmente ocurre, los fotones llegan individual-mente. Entender el resultado exige un cambio en nuestra forma de pensar. para ayudarle a digerir este sapo o como quiera llamarlo, le diré que no es seguro que un fotón producido en a llegue a B: la probabilidad de que un fotón indivi-dual se cree en a y se aniquile en B es muy baja. pero el número de fotones que puede producir una fuente en cada segundo es enorme. Ya hemos dado ante-riormente un número y le invitamos a recordarlo, por lo que la probabilidad de que el evento (emisión en a, recepción en B) ocurra no es nula.

regresemos al espectro de un observable cualquiera. La generalización a una situación física arbitraria (léase permitida) a la que pudiera someterse un sistema físico fue más o menos inmediata. A la gran dificultad conceptual que tuvieron que superar los reconocidos líderes de la teoría en los años dorados se sumaba otra, proveniente de las dos posibilidades que acabamos de descri-bir para la posible descripción de los estados de un sistema, la continua y la discreta, o si se quiere, la predominancia del punto de vista corpuscular o del punto de vista ondulatorio que quisieran darle: ello hizo que no surgiera un solo formalismo, sino dos; la demostración de que los dos eran equivalentes vino varios años después. surgió después una técnica poderosísima para evaluar las distintas posibilidades en las condiciones más diversas, la conocida con el nombre de diagramas de Feynman.


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ESPEJO

SP

ÁNGULO DE INCIDENCIA ANGULO DE REFLEXIÓN

PANTALLA

Q

SP

Q

A B D G H K M

A B C D E F G H I J K L M

a)

b)

c)

d) Ilustración detallada de la superposición o composición sobre múltiples trayectorias.

Figura 4.1. Los caminos de la luz. a) Camino esperado para la reflexión, de acuerdo a la ley de la reflexión o su equivalente, el principio de Fermat. b) Distintas trayectorias que pueden seguir los fotones para ir de a a B. El punto de vista cuántico, en el esquema de suma de caminos de Feynman, establece que la luz se refleja con cierta amplitud (para el caso prácticamente igual) desde cualquier parte del espejo. c) La tira formada por pequeños espejos ayuda a entender las distintas contribuciones, dada esquemáticamene por cada uno de los pequeños vectores en la siguiente figura. d) Suma de probabilidades, vectores de estado, de los muchos caminos posibles para obtener la amplitud de proba-bilidad. El resultado (llámese magnitud de probabilidad o intensidad) no difiere mucho si se toma la región que más contribuye (oblicua), donde los ángulos de incidencia y reflexión son prácticamente iguales, o se toma el más riguroso, dado por la línea que une los centros de las dos figuras helicoidales simétricas.


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Vamos a dejar de lado la formulación en términos de integrales de camino, conceptualmente más elaborada, para concentrarnos en los dos formalismos equivalentes en términos de vectores de estado y en términos de funciones de onda que ya hemos mencionado. describiremos la esencia de cada uno de los dos procedimientos sin hacer mayor referencia al formalismo, sin apelar a las ecuaciones, ni a los operadores ni a las matrices que los representan, sin complicarnos con las matemáticas más allá de lo básico. aunque básico, no está desprovisto de dificultad, la cual se puede superar si se pone el empeño sufi-ciente. Para lograrlo, consideramos suficientes las nociones básicas de álgebra (álgebra lineal elemental) que seguramente maneja el autor desde su forma-ción básica media. si no las tiene o las ha olvidado, no es para desanimarse: un alto porcentaje de la discusión conceptual que se sigue es independiente de todo formalismo.

resumamos los resultados esenciales de los experimentos descritos en el capítulo precedente y sumémoslos a lo que hemos aprendido sobre el compor-tamiento de la luz; cuidémonos de afirmar a priori que la luz es una onda y que los electrones son corpúsculos; tratémoslos en pié de igualdad, como entes cuánticos, cuya realidad está determinada por la observación.

del experimento de thomson concluimos que los objetos por él observados tienen una propiedad intrínseca manifiesta en su carga e, la cual creemos en-tender clásicamente; del experimento de stern-Gerlach se concluye que hay otra propiedad intrínseca de esos (y otros) objetos denominada el espín que no tiene contraparte clásica; hay otras propiedades intrínsecas, como la masa, que todavía no entendemos (quizá la partícula divina nos la ayude a entender); de los experimentos con las ranuras se concluye que unos y otros, fotones y elec-trones y en general todas las partículas, producen fenómenos de interferencia. como se verá, estos fenómenos son el punto de partida de las dos formulaciones a que hemos hecho referencia (en realidad más de tres, como hemos ilustrado con la formulación de Feynman; hay otras menos populares).

Más adelante insistiremos en lo que esta última afirmación significa. Agre-guemos, para completar, que los fotones tienen carga cero y masa en reposo cero pero también tienen espín. al igual que para los electrones, esta última propiedad es muy importante. Una de las propiedades más intrigantes de la luz es lo que tradicionalmente se denomina polarización, originada en realidad en el espín entero del fotón. a ella tendremos que volver reiteradamente en este capítulo.

4.3 El antagonismo entre dos concepciones del mundo

Si se le define con rigor, el mecanicismo es la descripción del mundo recu-rriendo al esquema de Galileo y newton. si bien sus procedimientos son dia-


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metralmente opuestos a los exigidos por la nueva teoría, no es fácil incursionar en el nuevo terreno de juego, un nuevo esquema de pensamiento, sin haber pasado por el campo del mecanicismo. Lo mismo se puede afirmar del electro-magnetismo. Mecanicista en su nacimiento, dejaría de serlo, sin darse cuenta, en el momento en que se acepta la realidad del campo, una realidad que se vio torpedeada por la supuesta presencia del éter. La incompatibilidad entre los dos esquemas fue claramente expuesta en uno de los libros que más suelo reco-mendar a mis estudiantes: La evolución de la física, de Einstein e Infeld. salvo para unos pocos herejes, el experimento Michelson-Morley puso fin al etéreo medio en que se propagarían las ondas electromagnéticas y dieron pié al genio de Einstein para establecer dos teorías sobre la luz diametralmente opuestas. desafortunadamente el apego a la realidad del campo fue demasiado fuerte en el padre de la relatividad y de los fotones y el salto a la discontinuidad cuán-tica no pudo darlo finalmente, a pesar de su hipótesis sobre aquellos granos de energía que le valieron el premio nobel.

Quizá lo más admirable de schrödinger y Bohr fue su disposición a aceptar la nueva realidad, a pesar de pertenecer a una generación anterior. Habrá notado el lector que los más atrevidos pensadores cuánticos nacieron con el siglo o poco después. En lo que sigue utilizaremos el esquema de pensamiento propuesto por Dirac para afirmar la convicción de que es necesario un rompi-miento integral con el pasado clásico. Lo único que puede salvarse de la física clásica es la nueva concepción del espacio-tiempo descubierta por Einstein, su principio (relación) de equivalencia entre materia y energía y, por supuesto, la idea más feliz de su vida (véase Genio entre genios). planck, nacido a mediados del siglo XIX, a pesar de ser considerado el gran padre de la cuantización, tuvo dificultades no solamente para aceptar ese concepto, tan extraño al modo de pensar en que fue formado, sino también para renunciar al nuevo punto de vista sobre el espacio-tiempo y la materia-energía propuesto por Einstein. no obs-tante, lo aceptó, convirtiéndose en uno de sus mayores admiradores. dejemos a un lado estas consideraciones de carácter histórico para pasar a las implica-ciones epistemológicas del conflicto entre los dos puntos de vista.

Empiezo por citar a dirac en su apreciación del momento cumbre, al escribir en el primer párrafo de sus Principios…: “Las ideas fundamentales y las leyes que rigen su aplicación (se refiere a la física clásica) constituyen un esquema tan sencillo y elegante, que parece imposible modificarlo seriamente sin destruir todas sus atractivas características. sin embargo, se ha conseguido construir un nuevo esquema, llamado mecánica cuántica, más adecuado para la descripción de los fenómenos de escala atómica, y que es en ciertos aspectos más elegan-te y satisfactorio que el esquema clásico. Esto ha sido posible gracias a que los cambios introducidos por la nueva teoría son de carácter muy profundo…” traducido a la época actual, la de la segunda revolución cuántica, quisiera ver esta apreciación equiparable al cambio radical de pensamiento que significó


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pasar del sistema tolemaico al copernicano, o todavía más, el kepleriano. Era imposible rescatar el viejo esquema. para ser menos injusto con un sistema que nos permitió más de una revolución industrial, me limito a comparar la ima-gen aristotélica con la galileana (nadie querrá recuperar la física aristotélica… aunque no estemos muy dispuestos a renegar de la de Galileo) y retomo nue-vamente a dirac: “La necesidad de exigir un camino distinto al de la mecánica clásica viene exigida por los hechos experimentales”. Esos hechos, sintetizados por él, han sido en su mayoría relatados en las páginas precedentes. nuevos hechos experimentales, particularmente los que se refieren a la paradoja EPR y al teorema de Bell (en particular, el bello experimento de alan aspect), a los cuales nos referiremos en forma más detallada en el próximo ensayo, dan la razón a Dirac. Él va todavía más allá al afirmar que “la necesidad de apartarse de las ideas clásicas al intentar dar una explicación de la estructura elemental de la materia se deriva no sólo de los hechos establecidos experimentalmente, sino también de razones filosóficas generales”. Mientras grande y pequeño sean conceptos meramente relativos, afirma, no conduce a nada explicar lo grande en función de lo pequeño. Por ese camino le da un sustento filosófico al princi-pio de indeterminación.

no parece haber mayor oposición al principio de indeterminación. tampoco al principio de exclusión. Mas cuando se llega al principio de superposición, la discusión se torna más candente. con todo y lo sencillo de su enunciado, sus consecuencias siguen causando escozor. pero dejemos que los hechos experi-mentales hablen por sí solos. consideremos uno de los más fundamentales, ya discutido en el capítulo precedente.

4.4 Polarización de fotones

de polarización de fotones nos habla dirac desde el primer capítulo de sus Principia. No he modificado el título de la sección correspondiente de su libro para advertir al lector que gran parte del material de esta sección fue tomado de allí. a pesar de que el fenómeno de polarización es común a las ondas trans-versales, cuando se habla de la polarización de la luz el fenómeno debería de causar asombro. En efecto, se dirá, la luz no es una onda cualquiera. desde el primer capítulo nos hemos referido a los fotones que la componen. Veremos que hay muchas otras sutilezas que deberían de tenerse en cuenta cuando se trata de la luz.

Nos hemos referido brevemente a las ondas polarizadas al final del capítulo segundo. La propagación de ondas sonoras en el aire se debe a compresiones y expansiones sucesivas de capas de aire, lo cual implica que los desplazamientos oscilatorios que permiten la propagación del sonido en ese medio son longitu-dinales. Este tipo de ondas no presenta el fenómeno de la polarización, carac-terístico de las ondas transversales. Estas últimas pueden visualizarse como la


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superposición de dos tipos de oscilaciones, en X y en Y, si la propagación se da a lo largo del eje Z. El movimiento circular lo discutimos como la superposición de dos movimientos armónicos simples. Este simple hecho viene en nuestra ayuda cuando se trata de entender el fenómeno de la polarización de la luz (creíamos entenderlo), uno de los comportamientos más intrigantes, todavía más cuando se reconoce su carácter dual onda-corpúsculo.

Volvamos al experimento de fotoelectrones. cuando se utiliza luz de pola-rización rectilínea para expulsarlos, surge una dirección privilegiada para la emisión electrónica. por tanto, las propiedades de polarización de la luz están íntimamente relacionadas con sus propiedades corpusculares; en otras pala-bras, son los fotones los que están polarizados. así, pues, llegamos fácilmente a la conclusión de que un haz de luz polarizada rectilíneamente en una cierta dirección está constituido por fotones, cada uno de los cuales está polarizado rectilíneamente en dicha dirección; así mismo, un haz de luz polarizada circu-larmente estará constituido por fotones, cada uno de los cuales tiene una pola-rización circular. Una polarización circular, como hemos dicho, no es más que la combinación de las oscilaciones vertical y horizontal con una diferencia en fase de π/2 (la pequeña diferencia entre la función seno y la función coseno, o entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, y si lo quiere ver de otra manera, la vertical y la horizontal: una plomada ingrávida).

digamos, pues, para empezar, que cada fotón se encuentra en un cierto es-tado, llamado estado de polarización. El problema a resolver es cómo adaptar estas ideas a los fenómenos conocidos de la separación de la luz en compo-nentes polarizadas y de la recombinación de estas componentes. Elijamos un caso concreto. supongamos que tenemos un haz de luz que atraviesa un cristal de turmalina. Este material tiene la propiedad de dejar pasar únicamente luz polarizada según un plano perpendicular al denominado eje óptico. (La imagen de ondas de torsión, figura 2.15, puede ser útil).

La electrodinámica clásica explica lo que ocurre para cualquier polarización del haz incidente. si dicho haz está polarizado según un plano perpendicular al eje óptico, todo él atravesará el cristal; si lo está según un plano paralelo al eje, no lo atravesará en absoluto; mientras que si está polarizado según una dirección que forma un ángulo α con el eje, atravesará una fracción sen2α de él. Insistiremos desde ya en que esta expresión contiene el módulo al cuadrado de algo que denominaremos función de onda o vector de estado a su debido tiempo. La discusión detallada la haremos en la sección 4.8 .para entender mejor el siguiente parágrafo, véanse las figuras 4.6 a 4.8.

dirac se pregunta cómo interpretar estos resultados sobre la base fotónica, es decir, de corpúsculo. “Un haz polarizado rectilíneamente en una cierta di-rección debe imaginarse constituido por fotones cada uno de ellos polarizado en esa dirección. Esta imagen no presenta ninguna dificultad en los casos en


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que el haz incidente está polarizado según un plano perpendicular o paralelo al eje óptico. no tenemos más que suponer que cada fotón polarizado en direc-ción perpendicular al eje atraviesa el cristal sin obstáculo y sin sufrir cambio alguno, mientras que si está polarizado en dirección paralela es frenado y ab-sorbido. La dificultad aparece, en cambio, en el caso de polarización oblicua y no es evidente lo que le debe ocurrir a uno de tales fotones cuando alcanza la turmalina. La pregunta de qué le ocurre a un determinado fotón bajo unas condiciones definidas no tiene un significado demasiado preciso. para precisarlo debemos imaginar algún experimento que tenga relación con ella y preguntar-nos cuál será el resultado del mismo. Sólo tienen significado real las preguntas sobre los resultados de experimentos y son éstas las únicas preguntas que debe contestar la física teórica”. (subrayado por mí).

En años recientes se ha podido repetir una y otra vez el experimento consis-tente en utilizar un haz incidente constituido por un único fotón y observar qué es lo que aparece al otro lado del cristal. En total acuerdo con las predicciones de la física cuántica, el resultado del experimento es que al otro lado unas ve-ces aparece un fotón entero de energía igual a la del fotón incidente, y otras no aparece nada. cuando aparece un fotón entero, está polarizado perpendi-cularmente al eje óptico. En ningún caso se detecta al otro lado una fracción de fotón. si se repite el experimento un gran número de veces, se detecta un fotón por el otro lado en una proporción sen2α del número total de veces. pode-mos asegurar que el fotón tiene una probabilidad sen2α de pasar a través de la turmalina y aparecer por el otro lado polarizado según un plano perpendicular al eje, y una probabilidad cos2α de ser absorbido. Estos son los mismos valores de probabilidad que conducen a los resultados clásicos en el caso de un haz incidente con un gran número de fotones.

para ilustrarlo de una manera conveniente y utilizar el resultado en otros ex-perimentos pensados que le tenemos preparados al lector, vamos a reemplazar la turmalina por un espejo semiplateado 50 %. Eso quiere decir que el dispositi-vo clásico que utilicemos (la medida cuántica es eso: interacción entre el ente cuántico y un dispositivo clásico) obliga al fotón a seguir uno de los dos caminos ilustrados en la figura 4.2, con igual probabilidad.

Los resultados experimentales son contundentes: se mantiene en todos los casos la individualidad del fotón, lo cual sólo es posible si abandonamos el de-terminismo de la teoría clásica. así, pues, el resultado del experimento no está determinado por condiciones controlables por el experimentador, como ocurre de acuerdo con las ideas clásicas. Lo máximo que podemos aspirar a predecir es un conjunto de resultados posibles, y la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos. El análisis ulterior sobre el resultado de un experimento con un único fotón polarizado oblicuamente que incide sobre un cristal de turmalina o un fotón que llega a un espejo semiplateado contesta a todas las preguntas que se


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pueden formular en forma legítima sobre lo que le ocurre a un fotón bajo esas condiciones. preguntas tales como qué es lo que decide si el fotón atraviesa o no el cristal, si es absorbido o reflejado, y cómo cambia su dirección de polari-zación cuando lo atraviesa o su estado de traslación si se refleja, no pueden ser investigadas mediante experimentos y deben considerarse fuera del dominio de la ciencia. no obstante para relacionar los resultados de este experimento con los de otros experimentos que se pueden realizar con fotones o electrones y englobarlos todos dentro de un esquema general, es necesaria una descripción ulterior. “no debe considerarse dicha descripción como un intento de responder a problemas que están fuera del dominio de la ciencia, sino como una ayuda para la formulación de leyes que expresen de forma concisa los resultados de un gran número de experimentos,” nos previene dirac.

Figura 4.2. Estados de traslación de fotones.

Lo que nos llevará al enunciado del principio de superposición, tan funda-mental para la física cuántica, es la situación que cabe concebir del resultado experimental, el mismo que se obtiene con un haz de fotones: un fotón polari-zado según un plano oblicuo al eje óptico puede suponerse que está en parte en


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el estado de polarización paralelo al eje y en parte en el estado de polarización perpendicular al eje. El estado de polarización oblicua puede imaginarse como el resultado de un cierto proceso de superposición aplicado a los dos estados de polarización paralela y perpendicular. se ve pues que la relación entre los diversos estados de polarización es la misma que la que se obtiene de la óptica clásica para haces polarizados; pero a diferencia de aquella, ahora no se aplica a los haces sino a los estados de polarización de cada fotón particular. “Esta relación nos permite resolver o expresar cualquier estado de polarización como una superposición de un par arbitrario de estados de polarización perpendicula-res entre sí”. Lo mismo puede aplicarse a los estados de traslación.

¿cuál es el resultado de la observación a que sometemos al fotón en el caso que se está analizando? observamos (medimos) si está polarizado bien paralela o bien perpendicularmente al eje óptico. observamos (medimos) si pasa o no por el espejo semiplateado. El efecto de la medida es obligar al fotón a que esté enteramente en el estado de polarización paralela o enteramente en el estado de polarización perpendicular; a que atraviese o a que se refleje. Para ello, el fotón salta bruscamente de una combinación de dichos estados a estar enteramente en uno u otro de los estados permitidos. Es imposible predecir a cuál de los dos estados pasará; lo único que se puede hacer es establecer una ley que nos dé cada una de las dos probabilidades. En presencia del cristal o del espejo, si salta al estado de polarización perpendicular en el primer caso o no se refleja en el segundo, atravesará el cristal o el espejo. Si no atraviesa, fue absorbido en el primer caso, reflejado en el segundo. Si atraviesa, preservó su estado de polarización o de traslación. de esto depende de que aparezca o no al otro lado.

4.5 Interferencia de posibilidades

Vamos a llevar más lejos el ejemplo de la superposición. nos valdremos, como en el caso anterior, de fotones, pero no nos preocuparemos esta vez por el efecto de la polarización: nos concentraremos en los estados de trasla-ción. Es más, podemos asumir que la polarización de cada fotón es cualquiera; solo nos interesan su posición en el espacio y su cantidad de movimiento. así que estamos utilizando partículas, hasta donde nuestra imagen de partículas se pueda acomodar a la descripción de esos granos de energía. cuando se dis-cutió el postulado de de Broglie en el capítulo cuarto, se utilizó la relación de energía general de Einstein para una partícula cualquiera y su postulado de la energía para los fotones, E = hν, se obtuvo, en primer lugar, una relación entre la longitud de onda λ y la magnitud de la cantidad de movimiento p: λ = h/p o viceversa, p = h/λ para cualquier partícula, siendo λ la longitud de onda asocia-da a lo que de Broglie denominó onda piloto. conviene escribir las relaciones anteriores mediante otras equivalentes utilizando ħ. Ellas son: E = ħω y p = ħk. k es el vector que hemos denominado precisamente vector de onda.


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Estas cantidades tocan directamente con el principio de Heisenberg, el cual analizaremos en el parágrafo 7 en mayor extensión. supondremos que cada fotón se ha obtenido de un haz que es rigurosamente monocromático. Eso es lo que se logra con un dispositivo láser. La sigla, ya castellanizada, viene del efecto de fondo que permite su producción: light amplification by stimulated emmission of radiation. La emisión estimulada es el fenómeno fundamental, algo previsto por Einstein, utilizado por él para obtener sus famosos ‘coeficien-tes de emisión’. En los átomos hay una emisión espontánea, al lado de la cual hay otra estimulada. cuando se combinan adecuadamente las dos, utilizando un conjunto de átomos idénticos adecuadamente dispuestos, el resultado es el rayo láser; advirtamos que la palabra rayo aquí no tiene diferencia alguna con los antiguos rayos de luz de los griegos, salvo que ahora esos corpúsculos tienen una cantidad de movimiento perfectamente definida: mediante espejos dispuestos apropiadamente se logra orientarlos todos en la misma dirección y sentido, es decir, todos llevan exactamente la misma cantidad de movimiento. a eso se le denomina, en términos modernos, luz coherente. de acuerdo con la relación de Einstein, extendida a todo tipo de partículas, sean fermiones o bo-sones, por la relación de de Broglie, esto quiere decir que cada partícula tiene la misma frecuencia y el mismo vector de onda. Expresado en otra forma, cada una tiene la misma energía y la misma cantidad de movimiento. Es así como ha podido avanzarse considerablemente en la construcción del láser atómico: un haz de átomos preparados coherentemente. La preparación adecuada de un haz de átomos coherentes tuvo que esperar medio siglo más, hasta cuando se logró la materialización del condensado de Bose-Einstein pero ya es posible hacerlo (los dos temas, el condensado y el láser de átomos, tuvimos que apla-zarlos hasta la próxima entrega). para el experimento pensado que describimos en esta sección, seguiremos utilizando un láser de fotones.

La posición de cada uno de los fotones no la conoceremos, pero con un arre-glo experimental adecuado, como el de la figura 4.2, podemos estar seguros de la trayectoria que sigue cada fotón. cuando dispongamos de una información como la anterior sobre la trayectoria y el momento de cada fotón, diremos que éste se encuentra, como hemos dicho, en un estado de traslación definido. Eso es todo lo que se necesita para la materialización del experimento pensado propuesto por dirac y por penrose (véase The road to reality, capítulo 29) y establecer las conclusiones a que llegaremos al final de esta sección y las si-guientes.

supongamos, pues, que se ha hecho incidir un haz de luz sobre un espejo semiplateado, como en la figura 4.2, mediante el cual el haz se ha dividido en dos componentes que se hacen interferir más adelante. (no es nuestro interés, de momento). asumiremos que la intensidad es tal que cada vez pasa solamen-te un fotón. como siempre, el fotón no puede dividirse en dos, así que de las dos trayectorias posibles (estados de traslación) él tendrá que escoger necesa-


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riamente una. pero interviene aquí en el resultado la presencia o ausencia del observador. Mientras no lo observemos, su estado de traslación es la superpo-sición de las dos posibilidades. con espejos adecuados, la posibilidad de cada trayectoria puede ser exactamente la misma, como ocurrió con los estados de polarización.

aprovechamos esta circunstancia y el efecto de tunelamiento descrito en el capítulo quinto para subrayar la equivalencia entre lo que estamos discutiendo para fotones y lo que puede ocurrir con electrones (Figura 4.3).

Figura 4.3. Dos caminos posibles para la trayectoria de partículas que interfieren. Aun-que el experimento se hace usualmente con fotones, recurriendo al efecto de tunela-miento puede hacerse con cualquier tipo de partículas. (Compárense las figuras 4.2 y 4.3).

El efecto túnel, al cual ya hemos hecho referencia (vuélvase a la figura 3.10), es uno de los fenómenos de mayor aplicación en la física de semiconductores. Tunelar cuánticamente no es hacer un boquete para pasar al otro lado. Es pasar como si nada. de hecho, el fotón puede atravesar el espejo sin romperlo ni mancharlo o ser reflejado. Lo mismo puede hacer un fotón frente a la deno-


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minada barrera de potencial. Veámoslo de una manera más realista. cuando dos metales se acercan demasiado, pero sin permitir que hagan contacto, los electrones usualmente no pasan del uno al otro… a menos que lo hagan por tu-nelamiento. Entre los dos metales, dependiendo de la distancia que los separe, existe una barrera de potencial que los electrones clásicamente sólo podrán franquear si se les suministra suficiente energía. Se puede entender fácilmente examinando el salto con garrocha. El nivel de partida y el de llegada puede ser el mismo, pero el deportista tiene que dar un salto, para lo cual requiere proveerse de la energía suficiente. Un deportista cuántico, como el electrón, puede tomar prestada energía de la nada para pasar por encima del obstáculo. En cierto sentido, lo mismo hace el fotón al atravesar el espejo. solo que en ese caso el recubrimiento se puede acomodar muy fácilmente para que la pro-babilidad de pasar sea exactamente la misma que la de reflejarse. Volveremos a estas situaciones en la segunda parte.

así, pues, el experimento que estamos describiendo se puede realizar con electrones o con fotones. Escojamos éstos (figura 4.2). Examinemos lo que ocu-rre cuando determinamos la procedencia de un fotón. El resultado de tal de-terminación ha de ser o bien que encontremos el fotón o que no encontremos nada. así pues, el fotón debe cambiar bruscamente de estar parcialmente en uno de los haces y parcialmente en el otro a estar totalmente en uno de ellos. Este cambio brusco es debido a la alteración del estado de traslación del fotón que necesariamente lleva consigo toda observación. Es imposible predecir en cuál de los dos haces encontraremos el fotón antes de haberlo observado. Úni-camente podemos calcular la probabilidad de cada resultado basándonos en la preparación cuidadosa de cada haz.

transcribo de los Principia de dirac: “se podría llevar a cabo la observa-ción sin destruir el haz componente, por ejemplo, reflejándolo sobre un espejo móvil y observando su retroceso. pero después de tal observación, no sería posible llevar a cabo ningún efecto de interferencia entre las dos componen-tes. por el contrario, mientras el fotón está parcialmente en cada uno de los haces, pueden producirse interferencias al superponerse ambos haces; dicha posibilidad desaparece cuando, mediante una observación, obligamos al fotón a estar enteramente en uno de los haces. En el último caso el otro haz ya no interviene para nada en la descripción del fotón, de manera que debe consi-derársele íntegramente en el primero de ellos como en el caso ordinario, a efectos de cualquier experimento que pueda realizarse a continuación con él. de este modo la mecánica cuántica permite reconciliar las teorías ondulatoria y corpuscular de la luz. El punto fundamental es la asociación de cada estado de traslación de un fotón a una de las funciones de onda de la óptica ondulatoria ordinaria. La naturaleza de esta asociación no puede imaginarse sobre la base de la mecánica clásica; es algo completamente nuevo. sería totalmente inco-rrecto imaginar que el fotón y su onda asociada están en interacción y suponer


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que dicha interacción es análoga a las que se dan en mecánica clásica entre partículas y ondas. La interpretación de dicha asociación sólo puede ser de na-turaleza estadística, en la que la función de onda nos da información acerca de la probabilidad de encontrar el fotón en cualquier lugar determinado al realizar una observación de su posición”.

concluye dirac: “La asociación de partículas y ondas que acabamos de expo-ner no se limita al caso de la luz; según la nueva teoría es de validez general. todo tipo de partículas tiene una onda asociada en esta forma, y recíprocamen-te, a todo movimiento ondulatorio se le asocian partículas. por tanto, todas las partículas son susceptibles de experimentar fenómenos de interferencias y todas las ondas tienen su energía en forma de cuantos”.

La discusión anterior se aplica a todo tipo de partículas. La conclusión a que llegamos está expresada por Feynman en su lecture 37 ya citada, o en palabras de dirac, tomadas de sus Principia:

“La razón de que estos fenómenos generales no sean más manifiestos se debe a la ley de proporcionalidad entre la masa o la energía y la frecuencia de las ondas, con un coeficiente de proporcionalidad tal, que para ondas de frecuencias ordinarias el cuanto asociado es extremadamente pequeño, mientras que para partículas como los electrones, o incluso la luz, la frecuencia de la onda asociada es tan grande que no es fácil verificar con ellas fenómenos de interferencias”.

El resultado es uno de los de mayor aplicación en todos los campos de la fí-sica, particularmente en el estado sólido. Es ilustrativo visualizarlo desde otro punto de vista, desde el ya varias veces mencionado principio de indetermina-ción. pero antes hablemos de la descripción de un estado cuántico.

4.6 Funciones de onda y vectores de estado

todo sistema físico descriptible a través de la física cuántica es un sistema cuántico. Después de reconocer que la física clásica no es suficiente para la des-cripción de esta clase de sistemas, que en principio lo son todos, la pregunta es entonces cómo podemos lograrlo. nos hemos referido a diversos esquemas para hacerlo, sin habernos comprometido con ninguno de ellos y sin siquiera haber mencionado sus características principales, salvo decir que uno de los enfoques recibe el nombre de mecánica matricial y otro el de mecánica ondulatoria. El procedimiento propuesto por Feynman es quizá el más general, pero es en la práctica el de más difícil aplicación, excepto cuando se domina la técnica ge-nialmente concebida por él mismo de los diagramas que llevan su nombre. sin pretender el desarrollo formal de los otros dos esquemas que se utilizan para la mayor parte de las aplicaciones simples, quisiera presentar lo que considero esencial, casi común, en ambos. seguiremos pues un enfoque que mezcla los dos procedimientos, con énfasis en el de las funciones de onda, considerado


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menos abstracto. no obstante, como hemos querido ilustrar siguiendo el proce-dimiento adoptado por dirac en sus Principia, introducir los términos estado y vector de estado tiene grandes ventajas.

Empecemos por reafirmar que todo sistema cuántico, en un estado determi-nado, tiene asociado un objeto matemático que recibe el nombre de función de onda o vector de estado del sistema para ese estado. En el primer esquema ese estado se suele representar casi que unánimemente por la letra griega ψ. a diferencia de las ondas en la física clásica, la función de onda de la física cuántica es rigurosamente un objeto matemático desprovisto de sentido físico en sí mismo. Igual afirmación puede hacerse del vector de estado: no conserva más que una analogía matemática con los vectores en los espacios de 1, 2 o más dimensiones. rigurosamente se denominan vectores en el espacio de Hilbert. Veremos que en la nomenclatura de dirac ese ente matemático se representa de manera más abstracta, lo cual a la postre tiene grandes ventajas. adelan-tándonos al final de este capítulo, diremos que Dirac propuso el nombre de ket para combinarlo posteriormente con lo que en términos de la función de onda se denomina su complejo conjugado, el bra en la nomenclatura de dirac. El lector desprovisto de herramientas matemáticas estará a lo mejor aturdido con estas denominaciones. todavía más podría estarlo con la siguiente represen-tación: cada uno de estos entes se representa en símbolos convencionales por |> y <|, respectivamente. como ese simbolismo no le dice mucho, le sugiero la receta empleada por su autor: descomponiendo la palabra de origen inglés bracket en dos, olvidándonos de la letra en medio, podemos representarla por: <|-|> si decidimos descomponerla en sílabas. El guión también tiene su sig-nificado físico: allí se suele colocar lo que matemáticamente se denomina un operador, ente matemático que representa lo que finalmente se puede saber sobre un sistema físico después de realizar una medición: un observable. se nos ocurre que una buena representación sería o. siendo más osados, <| o |> es el tipo de resultados que obtendremos de nuestras predicciones para comparar con los experimentos. Mas no le complicaremos la vida a los/las lectores(as) de unas notas incluyentes, es decir, para todas y todos.

así, pues, en este ensayo el lector puede pasar por alto cuál puede ser la naturaleza de esos objetos matemáticos. Específicamente, no estamos intere-sados en la forma en que schrödinger llegó a formular la ecuación que lleva su nombre, ni siquiera nos molestaremos por ahora en escribirla. Es interesante mencionar que se inspiró en la formulación Hamiltoniana de la óptica, lo que motivó el comentario hecho por Gribbin y transcrito al comienzo de este capí-tulo. tampoco haremos lo propio con la formulación debida a Heisenberg. En su caso, fue de gran ayuda el conocimiento que tenía dirac sobre el álgebra de matrices, por aquel desconocida cuando se enfrentó al problema de números semienteros de momentum angular que finalmente resolvió como preámbulo a la formulación matricial. también puede pasar por alto el problema que afron-


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tan los físicos, a saber, asociar en cada caso una función de onda o un vector de estado particular a cierto sistema físico que se encuentre en una situación determinada, o una matriz a un operador que representa a un observable, etc. Es suficiente con que el lector sepa que, de acuerdo con la mecánica cuántica, todo aquello que se pueda llegar a saber sobre un sistema cuántico en cualquier estado físico está contenido en su función de onda o en su vector de estado.

La pregunta que surge entonces es: ¿qué es lo que podemos llegar a conocer sobre un sistema cuántico? La respuesta es otra vez muy sencilla en la receta cuántica: por lo que se refiere al estado del sistema, que es lo que nos interesa, podemos predecir su evolución futura si conocemos el estado inicial. pero para que podamos hacer una predicción tan ambiciosa es necesario, mas no suficien-te, que durante esta evolución no se realice ninguna medida sobre el sistema, o mejor, en modo alguno se le observe.

Por lo que se refiere al conocimiento de los valores posibles de las magnitu-des físicas u observables, tan sólo podemos predecir la probabilidad de obtener uno cualquiera de esos valores cuando observemos. solo para ciertos estados cuánticos particulares se pueden hacer predicciones seguras, con probabilidad del 100 % (la unidad), para el valor que tomarán determinados observables o magnitudes del sistema cuando se realiza la medida. En general, de un sistema cuántico, tan sólo podemos aspirar a conocer el espectro de sus diferentes ob-servables y la probabilidad de obtener uno u otro de los diferentes valores de ese espectro, siguiendo un proceso de medida adecuado. Utilizando la teoría cuántica, con todo y ser lo mejo de que disponemos, no podemos saber nada más sobre el sistema cuántico (exceptuando la capacidad de predecir la evolu-ción de su estado, descrito por ψ o |>, en ausencia de medida, como ya se an-ticipó). Fuera de los estados particulares citados, sobre los cuales volveremos, es imposible predecir con certeza cuál de los valores del espectro de la mag-nitud del sistema en un cierto estado obtendremos con ocasión de una medida particular de la magnitud: únicamente podremos establecer su probabilidad, como lo hemos reiterado. de acuerdo con la teoría, esta imposibilidad general de predecir con certeza el resultado de una medida es constitutiva de la propia realidad cuántica y no la consecuencia de algún déficit o falla provisional en el conocimiento del sistema. dicho de otra manera, en general, en la realidad del mundo cuántico no existen los antecedentes cuyo conocimiento previo pueda permitimos hacer predicciones certeras de los resultados de medida. no se olvide que, de acuerdo con la teoría, eso es cierto aunque conozcamos perfec-tamente la función de onda o el vector de estado del sistema cuántico, ente matemático que contiene todo lo que se puede llegar a saber sobre el sistema. a pesar de esa limitante por principio, en la práctica solo en unos contados casos se conoce ψ o |> completamente, de tal suerte que las limitaciones im-puestas en la certeza de las predicciones son aún más rigurosas. Volveremos a este problema en la siguiente sección.


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Antes de poner punto final a esta observación fundamental, conviene com-parar con lo que se puede hacer desde un punto de vista clásico en condiciones ideales. El punto de vista mecanicista o determinista de partida permite hacer predicciones que, salvo errores de medida, están garantizados y son avalados por la experiencia. por supuesto, generalmente ocurre que no disponemos de toda la información o ella no es tan precisa como se requiere, por lo que te-nemos que complementarla con estrategias que ponen un límite a la exactitud con que quisiéramos determinar una cierta magnitud. teniendo en cuenta esa limitante, la física clásica renuncia al conocimiento pleno y, a partir de en-tonces, se limita a hacer predicciones estadísticas de lo que puede pasar, en forma similar a como opera la cuántica. La dificultad viene impuesta, pues, por razones prácticas, no de principio. En la física cuántica, en cambio, hay razones ontológicas, es decir, que forman parte de la naturaleza del fenómeno mismo. pero es necesario advertir que esa no predictibilidad de los resultados de me-dida en física cuántica convive con la evolución determinista de la función de onda, a condición de que no se hagan mediciones.

pero nos hemos referido a unos estados particulares del sistema cuántico para los cuales sí cabe hacer predicciones exactas con respecto a los resultado de medida o determinación de una magnitud u observable. precisemos esta afirmación. Designemos por O un observable del sistema. El observable puede tomar ciertos valores que hemos denominado su espectro, m, los cuales me permiten identificar la función de onda, ψm, o el vector de estado, |m>. En la terminología cuántica reciben el nombre de funciones propias o vectores pro-pios, por lo que a cada uno de los valores del observable se le denomina valor propio. si el sistema se encuentra en un estado particular determinado por ψm o |m>, cuando el experimentador observe el sistema en condiciones apropiadas encontrará para el observable o el valor numerado m (nos estamos limitando, por facilidad, a un espectro discreto; tampoco consideraremos aquí sistemas degenerados, en los que la medida m le corresponde a diferentes estados pro-pios).

Mas en general el sistema cuántico no se encontrará en ese estado particular sino en lo que se denomina un estado superpuesto; en tal caso, el resultado de la medición es uno de los posibles valores del espectro. para ilustrar, supónga-se que se quiere observar el valor de la polarización de un fotón, como en el ejemplo de la sección 4.2. si el fotón está polarizado según la dirección perpen-dicular al eje óptico del polarizador que se utilice, con toda seguridad el fotón será detectado. por el contrario, si el fotón está polarizado en la dirección pa-ralela, no podrá ser detectado. ahora bien, si el eje del polarizador es oblicuo a la dirección de la polarización, en ocasiones será detectado mientras que en otras no lo será, dependiendo del ángulo de inclinación. La teoría predice la probabilidad con que puede ser detectado si se conoce, para el caso, el ángulo de incidencia, tal como ocurre en la teoría óptica clásica. se ha tomado este


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ejemplo sencillo de sistema cuántico (fotón polarizado), por su obvio parentes-co con el caso clásico: la única diferencia radica en que lo que se observa en la situación clásica normal es un resultado estadístico. En la situación cuántica se habla de un ente cuántico concreto que se está observando. por eso decimos que la función de onda mezclada colapsa a un estado particular con la obser-vación. En otras palabras, el proceso de medida produce un salto en el estado del sistema que se mide, salvo cuando el estado original es un estado propio determinado por ψ o |>.

En síntesis: cuando se tiene un sistema cuántico que se encuentra en un estado, descrito por ψ o |>, cualquiera, y se determina el valor de cierto ob-servable, o, se obtiene cierto resultado om, lo cual significa que el estado del sistema ha experimenta un salto instantáneo desde el estado original ψ o |> al estado propio de o ψm o |m>con valor propio om. En particular si ψ o |> coinci-de con algún estado propio, ψm o |m> de o, de valor propio om, la probabilidad de obtener este valor valdrá uno; es decir, obtendremos el valor om con certeza y ese estado ψm o |m> no será perturbado por la medida.

¿Qué ocurre mientras tanto, en ausencia de medida? Hemos dicho que la función de onda evoluciona de acuerdo a una cierta ecuación que entra a reem-plazar la determinista ecuación de movimiento. En el lenguaje de la función de onda, una tal ecuación es la famosa ecuación de Schrödinger, o la ecuación de dirac en el caso más complejo relativista. no nos ocuparemos ni de una ni de otra, pero vamos a precisar qué es lo que ocurre con la evolución: a diferencia de lo que podría pensarse, estamos hablando de una evolución en el sentido determinista del término, matemáticamente denominada evolución unitaria. todo lo que se requiere, aparte de una descripción completa del sistema que se va a estudiar, o mejor de sus interrelaciones, es conocer su estado inicial. Un estado estacionario es el más frecuente en los sistemas estables. Las transicio-nes entre los estados van a estar determinados por la evolución de ψ o |>.

4.7 Incertidumbre y superposición

Hemos hablado ampliamente de observables, de magnitudes físicas y de su medida o determinación. si la cantidad que nos interesa, como ocurre a me-nudo, es la energía del sistema, existe para ello un operador, denominado el operador Hamiltoniano, que nos permite encontrar con gran exactitud los po-sibles valores que la energía del sistema puede tomar. asociada con la energía están las transiciones entre unos y otros estados de energía. se habla así de los tiempos de vida media de los estados.

¿Qué otra cantidad se puede encontrar, aparte de la energía del sistema? La respuesta pasa por la solución de un problema matemático que no podemos abordar, por estar más allá del propósito de estas notas, resumido en lo que se


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denominan reglas de conmutatividad de los operadores. digamos escuetamente que, como ocurre con las matrices, A×B ≠ B×A, en general. Si los operadores son conmutables, las magnitudes o cantidades que con ellos se pueden deter-minar, pueden serlo simultáneamente. Lo mismo ocurre con la medida o deter-minación de cantidades físicas. pero hay parejas de magnitudes de un mismo sistema cuántico que son incompatibles entre sí, en el sentido de que ambas magnitudes no pueden medirse simultáneamente con precisión arbitraria para un mismo estado del sistema. Esta limitación de la teoría no es circunstancial ni provisional, por el contrario, supone la teoría que responde a la propia natu-raleza de la realidad cuántica. Una vez más, este hecho se separa radicalmente de lo que ocurre en física clásica, donde no hay ninguna dificultad anticipada por principio para que todas las magnitudes de un sistema físico puedan medir-se en forma simultánea y podamos hablar así de los valores obtenidos al mismo tiempo para todas ellas.

El ejemplo más recurrido de observables incompatibles de un sistema cuán-tico son la posición y el momentum. no es posible hacer un par de medidas simultáneas sobre un mismo estado de un sistema cuántico que nos suministre información simultánea y precisa sobre la posición y la velocidad (o, por ende, el momentum) del sistema en un instante dado. podemos, eso sí, determinar la posición tan exactamente como podamos refinar los aparatos y renunciar a conocer la velocidad; podemos, a continuación, medir la velocidad con todas las cifras decimales que un sofisticado velocímetro nos lo permita y obtener efectivamente un valor para la misma; pero en esta segunda medida habremos perturbado inevitablemente la partícula en los términos del capítulo anterior y las secciones precedentes de éste; en otras palabras, la medida habrá inducido un colapso del estado previo a la medida, es decir, este estado habrá saltado a un estado propio del observable medido, la velocidad, de tal suerte que, debido a esa perturbación, ya no sabremos cuál es ahora su posición.

no necesitamos ir muy lejos para encontrarle asidero a lo que acabamos de decir. Basta con regresarnos al final del capítulo anterior o retomar lo que dice Feynman en su lecture 37:

«En nuestro experimento encontramos que es imposible disponer la luz de tal modo que uno pueda decir por qué agujero pasó el electrón y al mismo tiempo no se perturbe la figura. Heisenberg sugirió que las entonces nuevas leyes de la na-turaleza sólo podrían ser consistentes si hubiera alguna limitación básica a nues-tras capacidades experimentales que hasta entonces no se había reconocido. Él propuso, como un principio general, su principio de incertidumbre, que podemos establecer en términos de nuestro experimento de la siguiente forma: ‘Es impo-sible diseñar un aparato para determinar por qué agujero pasó el electrón y que no perturbe al mismo tiempo los electrones lo suficiente para destruir la figura de interferencia’. Si un aparato es capaz de determinar por qué agujero pasó el electrón, no puede ser tan delicado que no perturbe la figura de una forma esencial. Nadie ha encontrado nunca (ni siquiera imaginado) una forma de evitar


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el principio de incertidumbre. Por ello debemos suponer que describe una carac-terística básica de la naturaleza. La teoría completa de la mecánica cuántica que utilizamos ahora para describir los átomos y, de hecho, toda la materia, depende de la corrección del principio de incertidumbre. Puesto que la mecánica cuántica es una teoría tan acertada, nuestra creencia en el principio de incertidumbre se ve reforzada. Pero si se descubriera alguna vez una forma de ‘batir’ al principio de incertidumbre, la mecánica cuántica daría resultados inconsistentes y tendría que ser descartada como una teoría válida de la naturaleza.»

Uno puede hacerse una idea intuitiva de lo que ocurre aquí viendo que, si queremos saber dónde está un electrón, debemos hacer que interaccione con algo finalmente macroscópico (al final de la medida, deberemos constatar algún registro perceptible directamente con nuestros sentidos) que se halle en el lu-gar donde lo vamos a localizar, lo cual necesariamente modificará la velocidad que llevaba el electrón. se podría argumentar que todo eso ya ocurre a la hora de determinar la posición de una partícula macroscópica. no obstante, la dife-rencia con el caso cuántico es que en aquel caso, al tratarse de un objeto ma-croscópico, se puede reducir la reacción del aparato que mide su localización a fin de producir una perturbación mínima de la velocidad del objetó medido, una perturbación que caiga por debajo de la sensibilidad de nuestros aparatos de medida, o de forma alternativa una perturbación controlable y por tanto conocida. En un caso y otro, caemos en el tipo de descripción que da la física clásica de un proceso de medida. pero en el caso de una partícula microscópi-ca –microscópica en el sentido de venir descrita por la mecánica cuántica– es justamente el carácter no despreciable y no controlable de aquellas perturba-ciones lo que hace inaplicable la descripción clásica. Hay que darse cuenta de que, a la hora de interaccionar con un electrón para saber dónde se encuentra, el agente más exiguo que podemos utilizar a fin de perturbarlo mínimamente siempre será otra partícula microscópica, esto es, un agente comparable al objeto cuya posición queremos determinar, al cual perturbará de manera no despreciable.

La imposibilidad de determinar, en general, de manera exacta la posición de un electrón en un instante determinado fue un problema analizado por Heisen-berg en 1927, formulando el resultado como el principio de incertidumbre. Este principio empieza por reconocer que es imposible especificar con exactitud y al mismo tiempo la posición y el momentum lineal de una partícula; o lo que es lo mismo, no se puede medir la posición de una partícula sin causar una perturbación en su velocidad. Este principio, que parece desafiar notablemen-te nuestro conocimiento diario, tuvo en 1928 una notable aplicación. George Gamow estaba intentando explicar la desintegración radiactiva en la que se producía la emisión de partículas alfa, algo muy conocido entonces, pero tam-bién inexplicable. Gamow descubrió que si aplicaba al problema el principio de incertidumbre podía resolverlo, y explicar cosas como la radiactividad o enten-der de dónde sale la energía de las estrellas. Gamow bautizó a su explicación


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con el nombre de efecto túnel, y fue en gran medida lo que analizamos en el parágrafo 5.

Figura 4.4. Variación del experimento pensado sobre la Paradoja del gato de Schrödin-ger, propuesto por penrose y analizado por Lapiedra.

Las consecuencias derivadas del principio de incertidumbre no se limitan sólo al efecto túnel de Gamow: son fundamentales para entender la visión de la teo-ría cuántica actual. El mundo cuántico, el mundo de los átomos y las partículas elementales, no se rige por las normas de nuestro mundo macroscópico. Es un universo de probabilidades, donde la observación perturba al objeto observado, tal y como schrödinger formuló en su famosa paradoja sobre el gato; un univer-so donde las partículas pueden estar muy probablemente en un sitio dado en un momento determinado... o no, y entonces ocurrirán cosas extraordinarias. toda nuestras teorías sobre los enlaces químicos se fundamentan en pensar que los electrones no son bolitas girando en torno al núcleo atómico, sino en pensar que están difuminados en torno al núcleo, que están localizados muy probablemente en ciertas regiones del espacio, parecidas a lo que los químicos suelen llamar orbitales.


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a la hora de razonar por qué la posición y la velocidad de una partícula microscópica son incompatibles en el sentido estricto, podría quedar la sos-pecha de que es imposible que haya dos observables conmutables (léase no afectados por el principio de Heisenberg) en el formalismo cuántico. Al fin y al cabo, al medir o determinar uno de ellos, parecería que siempre habremos de perturbar el sistema cuántico de manera incontrolable, hagamos lo que ha-gamos: siempre asistiremos al colapso correspondiente de la función de onda. como consecuencia, cuando vayamos a medir el segundo lo haremos sobre un estado diferente del estado inicial, por lo que resultaría que nunca podríamos hablar de la medida de dos observables diferentes para un mismo estado del sistema. El resultado es otro: hay, en efecto, observables compatibles en mecá-nica cuántica. cuando eso ocurre, los dos observables tienen un estado propio común, ψm o |m>. Imaginemos un sistema cuántico en un estado cualquiera y dos observables del mismo, con valor propio m para el primero de los dos. supongamos que determinamos el primero de ellos: obtendremos justamente m como resultado de la medida. Eso quiere decir, de acuerdo con lo anterior, que se ha producido un colapso de la función de onda ψ o del vector de estado |>, previo a la medida, que salta al estado propio caracterizado por ψm o |m>. ahora, midamos enseguida la segunda de las dos magnitudes consideradas. por hipótesis, el estado en que ahora se encuentra el sistema después del colapso está caracterizado por ψm o |m>, también un estado propio del segundo obser-vable. En consecuencia, la segunda medida no perturba en absoluto ese estado sobre el cual se realiza, el cual continuará siendo ψm o |m>. así, la medida del segunda observable y la antigua medida del primero hacen ambas referencia al mismo estado ψm o |m>. de esta manera, hemos conseguido medir para un mismo estado los dos observables, que resultan ser así dos observables compa-tibles. Más rigurosamente hablando, se pueden encontrar tres o más observa-bles compatibles, como ocurre con la energía, el momentum angular total y su proyección en una cierta dirección z, por ejemplo, en la solución del problema del electrón en el átomo de hidrógeno.

El asunto de fondo es si los dos o más observables poseen o no un sistema co-mún de estados propios. si la respuesta es negativa, cuando el experimentador en mecánica cuántica considera conjuntamente dos observables incompatibles, ha de escoger cuál de los dos quiere medir, porque ambos no son medibles simultáneamente con certeza. sin embargo, esta imposibilidad puede ser tra-tada en la práctica en tal forma que el experimentador puede tener acceso a la medida conjunta de ambas magnitudes, siempre y cuando esté dispuesto a con-tentarse con cierto grado de error inevitable para las dos medidas. así, entre más dispuesto esté a ser impreciso en la medida de una de las dos magnitudes, más podrá aspirar a ser preciso en la medida de la otra. En el límite, si quiere conocer de manera rigurosamente exacta el resultado de una de las medidas, entonces tendrá que renunciar a conocer siquiera algo del resultado de la otra. se recobra así en este límite el caso de dos observables incompatibles, tal como se ha expuesto desde el comienzo.


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Encuentro útil sintetizar la discusión para el caso más representativo de la posición y la cantidad de movimiento en la forma en que lo hace Lapiedra en Las carencias de la realidad: “Esta manera de formular la incompatibilidad de dos magnitudes –reemplazándola por una mutua determinación aproximada de ambas– da lugar a la relación de incertidumbre de Heisenberg. La imposibilidad de conocer conjuntamente la posición y la velocidad de una partícula microscó-pica con una precisión arbitraria tiene una consecuencia de largo alcance sobre la naturaleza de estas partículas: las partículas cuánticas, a diferencia de las partículas clásicas, no tienen una trayectoria. si la tuvieran, a partir de dos posiciones muy próximas sobre esa trayectoria, se podría calcular enseguida la velocidad instantánea correspondiente, con lo cual conoceríamos simultánea-mente la posición y la velocidad de la partícula cuántica, lo cual es imposible según acabamos de decir. Como siempre en mecánica cuántica, no se ha de ver esta falta de trayectoria como una dificultad meramente práctica de reunir los datos necesarios para reproducirla, sino como una afirmación, digamos, ontológica: sencillamente, la trayectoria no existe, con lo que es difícil que podamos reproducirla”.

como queda dicho, la discusión del problema de la compatibilidad o no de observables en la física cuántica es la esencia del principio de incertidumbre. Éste es uno de los fundamentos de la nueva teoría. como este problema tiene que ver con la predictibilidad de la misma, en la medida en que el principio de superposición es también un principio fundamental, los dos están estrecha-mente relacionados. Vamos a dedicar unos comentarios a este último, antes de pasar a su formulación precisa.

Insistamos en lo que constituye la esencia de la física cuántica, vista desde los estados propios y los observables, lo que conduce a valores muy precisos que dan lugar al espectro del sistema bajo estudio.

cuando el estado no es propio, el sistema está en una mezcla de estados. para el caso de los fotones polarizados a que nos referimos en el parágrafo 4 o los dos rayos de luz en que se divide un haz en un espejo semiplateado, el fotón está parcialmente en cada uno de dos estados de polarización o en cada uno de los dos haces en que se separa el rayo incidente. Es natural pensar que esta nueva descripción no ofrezca ventajas frente al esquema en que los haces están descritos por ondas de forma vagamente definida. ¿Cuál es, pues, la ventaja de separarnos de una descripción clásica, aparentemente más sencilla? La nueva imagen no parece muy útil.

como se desprende de una ya centenaria discusión sobre los conceptos, pro-veer una imagen no es el principal objetivo de la ciencia, más bien es formular las leyes que rigen los fenómenos y la aplicación de esas leyes al descubrimien-to de nuevos fenómenos. En el rango de los fenómenos microscópicos, es decir, cuánticos, no deberíamos aspirar a tener una imagen, dado que ese rango está


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por fuera del alcance de nuestros sentidos. por el otro, ciertamente en ocasio-nes una descripción tan vaga como la provista por los rayos de luz puede ser suficiente. No lo es cuando queremos precisar lo que ocurre, por ejemplo, al in-terior de los átomos, o para el comportamiento de las partículas elementales.

Se puede generalizar el significado de la palabra imagen de modo que incluya cualquier forma de considerar las leyes fundamentales y que haga evidente su coherencia. con esta generalización se puede aspirar a adquirir gradualmente una imagen de los fenómenos atómicos y subatómicos, al irnos familiarizando con las leyes de la física cuántica. diremos, además, que en la gran mayoría de los experimentos realizados con sistemas cuánticos, las condiciones son de-masiado complejas para que podamos aspirar a que sean aplicables las teorías elementales: es necesario disponer de un esquema más elaborado, como el de que ofrece el formalismo cuántico, el cual en principio bien podría aplicarse a los casos sencillos. podría insistirse en que, al apartarnos del determinismo de la teoría clásica, hemos introducido una enorme complicación en la descripción de los fenómenos naturales no deseable en absoluto. Esta complicación es in-negable, pero queda compensada por la gran simplificación que nos ofrece el principio general de superposición de los estados que vamos a discutir.

para empezar, el estado de un sistema cuántico tiene que caracterizarse por menos datos o por datos más imprecisos que un conjunto completo de valores numéricos de todas las coordenadas y velocidades en un instante de tiempo particular. cuando el sistema está constituido por un único fotón, el estado estará completamente especificado dando un estado de traslación en el senti-do del parágrafo 5 y un estado de polarización en el sentido del parágrafo 4. El estado puede definirse por tantas condiciones, restricciones o datos como sea posible teóricamente sin que se contradigan mutuamente. En la práctica, estas condiciones se pueden imponer mediante una preparación adecuada del sistema, consistente, por ejemplo, en hacerle pasar a través de una serie de aparatos, tales como rendijas, filtros, polarímetros, campos, etc., y dejando el sistema inalterado después de la preparación. a diferencia de la física clásica, la palabra ‘estado’ se emplea indistintamente para designar la situación en un instante particular (después de la preparación) y el estado durante todo el tiempo posterior a la preparación. Para diferenciar ambos significados llamare-mos a este último ‘estado de movimiento’ o mejor, evolución del sistema.

El principio general de superposición de la mecánica cuántica se aplica a los estados de todo sistema dinámico con cualquiera de los dos significados ante-riores. según dicho principio, existe una relación peculiar entre los estados, de forma que el sistema puede estar en un estado bien definido o puede consi-derarse que está parcialmente en cada uno de una serie de estados. El estado original debe concebirse como el resultado de una superposición de esta serie de estados, lo que es inconcebible desde el punto de vista clásico. Es evidente


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que existen infinitas maneras de realizar dicha superposición para un mismo estado dado.

Lo inverso también vale: todo conjunto de dos o más estados puede super-ponerse para dar lugar a un nuevo estado. El procedimiento de expresar un estado como el resultado de una superposición de un conjunto de otros estados es un procedimiento matemático que está siempre permitido, garantizado por el método de descomposición de una onda en sus denominadas componentes de Fourier, independientemente de toda referencia a las condiciones físicas. En las secciones anteriores se han dado ejemplos del principio de superposición aplicado a sistemas constituidos por un único fotón o un único electrón. En el parágrafo 4 se consideraron estados que sólo difieren en la polarización, y en el parágrafo 5 estados que difieren únicamente respecto a la traslación como. La relación entre los estados de cualquier sistema que implica el principio de superposición es de tal naturaleza que no es posible expresarla mediante los conceptos físicos habituales. desde el punto de vista clásico, no es posible imaginar que un sistema esté parcialmente en cada uno de dos estados dados, y que esto sea equivalente a estar completamente en otro estado distinto. como se ve, esto es una idea completamente nueva frente a la cual no queda otra alternativa que irse acostumbrando, y sobre cuya base se puede construir una teoría matemática exacta sin tener que recurrir a ninguna imagen clásica precisa.

Hasta cierto punto, un estado formado por superposición de otros dos tendrá propiedades que serán intermedias entre las de ambos sistemas de partida, aproximándose en mayor o menor grado a las de cada uno, según se le haya atribuido un ‘peso’ mayor o menor en el proceso de superposición. El nue-vo estado estará completamente determinado por los dos estados de partida, cuando se conozcan sus pesos relativos en el proceso de superposición (y una diferencia de fase a la que no haremos referencia adicional, para simplificar); el significado preciso de pesos (y fases) en general nos lo proporcionará la teo-ría matemática. En el caso de la polarización de fotones, sus significados son los que nos dan la óptica clásica; así por ejemplo, cuando se superponen dos estados polarizados según direcciones perpendiculares con igual peso, el estado resultante puede estar polarizado circularmente en todas direcciones, rectilí-neamente, o elípticamente, según la diferencia de fase.

La naturaleza no clásica del proceso de superposición se pone claramente de manifiesto al considerar dos estados A y B, tales que exista una observación que aplicada al sistema en el estado A dé siempre el resultado particular a y aplicada al sistema en el estado B dé siempre el mismo resultado particular b distinto de a. ¿cuál será el resultado de la observación aplicada al sistema en el estado resultante de la superposición? La respuesta es que unas veces obten-dremos el resultado a y otras el b, según una ley probabilística que depende


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únicamente de los pesos relativos de A y B en el proceso de superposición. En ningún caso obtendremos un resultado distinto de a o b. El carácter intermedio del estado formado por la superposición reside en el hecho de que la proba-bilidad de obtener un resultado particular en una observación es intermedia entre las probabilidades correspondientes a los estados de partida, y no en que el mismo resultado sea intermedio entre los resultados correspondientes a dichos estados.

Vemos, pues, que un abandono tan radical de las ideas clásicas, como el afir-mar la existencia de relaciones de superposición entre los estados, sólo ha sido posible al tener en cuenta explícitamente la importancia de la alteración que acompaña a toda observación y la incertidumbre consiguiente en el resultado. cuando se lleva a cabo una observación de un sistema atómico, en general no está determinado el resultado, es decir, que si repetimos el experimento varias veces bajo idénticas condiciones, podemos obtener diversos resultados. sin em-bargo, es una ley de la naturaleza el hecho de que si repetimos el experimento un gran número de veces, cada resultado particular aparece en una fracción bien definida del número total de veces, y por tanto, existe una probabilidad determinada de obtenerlo. Esta probabilidad es lo que la teoría nos permite calcular. Únicamente está determinado el resultado del experimento en ciertos casos especiales, cuando la probabilidad de obtener un resultado es la unidad.

La hipótesis de que existan relaciones de superposición entre los estados nos lleva a establecer una teoría matemática en la cual las ecuaciones que definen el estado son lineales. como consecuencia de ello, se suelen establecer ana-logías con sistemas de la mecánica clásica, tales como cuerdas y membranas vibrantes, cuyas ecuaciones son también lineales y que, por lo tanto, gozan de un principio de superposición. Estas analogías han dado lugar al nombre de ‘mecánica ondulatoria’ con el que se denomina a veces la física cuántica. pero es importante recordar que la superposición que aparece con el formalismo cuántico es de una naturaleza esencialmente distinta de las que encontramos en la teoría clásica, como lo demuestra el hecho de que el principio cuántico de superposición exige que los resultados de una observación estén indetermi-nados para un estado mezclado, a fin de poder dar una interpretación física razonable. por esa razón, las analogías pueden prestarse a equívocos y se deben usar con cautela.

4.8 Formulación matemática del principio de superposición

Las situaciones que hemos descrito en los parágrafos y capítulos anteriores nos han llevado a la conclusión de que el antiguo esquema mecanicista no sirve para describir los nuevos fenómenos que se presentan, especialmente en las denominadas escala atómica y subatómica, que son los que más interesan para


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una mejor comprensión a nivel microscópico de lo que denominamos realidad. Es importante destacar que la formulación de esas nuevas reglas de comporta-miento observadas exige un nuevo enfoque matemático, pues el que existía ya no es suficiente. Fue así como surgieron nuevos formalismos, nuevos axiomas y nuevas reglas. En particular, se encontró que muchos de los principios y postu-lados para el nuevo marco conceptual resultan totalmente ininteligibles desde el punto de vista clásico.

Un resultado de fundamental importancia que se ha destacado a lo largo del presente capítulo, pero también con una buena parte de la discusión hecha en el capítulo anterior, es el que apunta a los estados superpuestos. así como los números pueden sumarse para dar lugar a nuevos números, los objetos mate-máticos que representan los diversos estados de un mismo sistema cuántico, los que hemos denominado funciones de onda o vectores de estado del sistema, designados en un caso por ψ y en otro por |>, se pueden sumar adecuadamente o superponer dando lugar a nuevos objetos de la misma clase, a nuevas funcio-nes de onda o nuevos vectores de estado del sistema. puesto que lo importante es una amplitud de probabilidad que se obtiene como la magnitud (positiva) de una cierta cantidad, del conocimiento que tenemos de los números complejos sabemos que esas funciones de onda o los vectores de estado pueden ser com-plejos.

Una clase de vectores muy particular y sencillo es el que resulta de com-binar adecuadamente los números reales con los números imaginarios. Ese es precisamente el plano complejo, en donde una cantidad muy general tiene una componente (vectorial) real y otra componente (vectorial) imaginaria, para formar el vector complejo z = x + iy, siendo i la raíz imaginaria (raíz de -1). Esta es solo una simple ilustración para mostrar cómo puede ampliarse indefini-damente el rango de funciones para describir las múltiples posibilidades que se presentan a nivel del comportamiento de los entes cuánticos. La magnitud de z precisamente se calcula a partir del procedimiento que se utiliza hoy en día para la función de onda; |z|2 = z· z* = x2 – y2, donde z*= x – iy, tiene la forma de la buscada amplitud de probabilidad.

recordemos también cómo se estimó al comienzo de este capítulo el valor de la intensidad de la luz que pasa de un punto a a otro punto B por superposición de pequeños vectores que representaban la contribución de distintos caminos posibles seguidos por los rayos de luz. El procedimiento de los rayos de luz es arcaico, si se quiere, pero da un resultado que en el esquema de las integrales de camino viene a ser una muy útil primera aproximación.

pasemos directamente a la gran síntesis hecha por schrödinger, Heisenberg, dirac y compañía para encontrar esos entes matemáticos que estamos buscando y sus propiedades. La superposición puede hacerse multiplicando las distintas componentes con diferentes coeficientes numéricos multiplicativos, en general


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con valores (números) complejos que expresen su contribución al resultado final de la suma ponderada. Esta suma ponderada se llama técnicamente una superposición lineal de las diversas funciones de onda permitidas.

retomemos directamente a dirac: “Empezaremos a construir el esquema considerando las relaciones matemáticas entre los estados de un sistema di-námico en un instante de tiempo que se derivan de la formulación matemática del principio de superposición. La superposición es un cierto proceso aditivo, e implica que los estados puedan sumarse de algún modo para dar nuevos es-tados. por lo tanto, los estados tienen que estar asociados con cantidades ma-temáticas que puedan sumarse entre sí para dar cantidades de la misma clase. Las cantidades matemáticas más sencillas que disfrutan de esta propiedad son los vectores. Los vectores ordinarios definidos en un espacio de un número finito de dimensiones no son suficientemente generales para la mayoría de los sistemas dinámicos de la mecánica cuántica. nos vemos obligados a generalizar los vectores a un espacio de infinitas dimensiones, con lo que el tratamiento matemático se hace complicado por razones de convergencia. sin embargo, de momento únicamente vamos a considerar propiedades que puedan ser deduci-das sobre la base de un conjunto sencillo de axiomas, y dejaremos a un lado las cuestiones de convergencia y los temas relacionados con ella hasta que nos veamos obligados a tenerlos en cuenta. Es conveniente designar con un nombre especial a los vectores que se asocian a los estados de un sistema en mecánica cuántica, tanto si forman parte de un espacio de un número finito de dimensio-nes como de un espacio de infinitas dimensiones. Las denominaremos vectores ket, o simplemente kets, y los representaremos con el símbolo especial |>. si queremos especificar un ket particular mediante una letra, por ejemplo la A, la colocaremos entre los dos signos así |A>. La conveniencia de esta notación aparecerá clara cuando hayamos desarrollado todo el esquema. Los vectores ket se pueden multiplicar por números complejos y pueden también sumarse entre ellos para dar nuevos kets; por ejemplo, de los dos kets |A> y |B> pode-mos formar

c1|A> + c2|B>= |R>,

en donde c1 y c2 son números complejos arbitrarios”. para los propósitos de este ensayo, ésta es la relación general más importante.

si el lector quiere ir más lejos en la descripción matemática puede seguir a dirac: “también es posible efectuar con ellos operaciones lineales más genera-les, como sumar una serie infinita de kets, o si tenemos un ket |x> que dependa de un parámetro x que puede tomar todos los valores de un cierto intervalo, integrar respecto a x para obtener un nuevo ket

∫|x> dx = |Q>.


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todo vector ket que se pueda expresar linealmente en función de los otros, se dice que es dependiente de ellos. se dice que un conjunto de kets es inde-pendiente, si ninguno de ellos se puede expresar linealmente en función de los otros. ahora hacemos la hipótesis de que a cada estado de un sistema dinámico, en un instante particular le corresponde un ket, siendo la correspondencia tal que si un estado está definido como superposición de otros dos, su correspon-diente ket puede expresarse linealmente en función de los kets correspondien-tes a dichos estados y recíprocamente. por tanto, el estado r resulta de una superposición de los estados a y B si los correspondientes kets están ligados por las relaciones anteriores.

La hipótesis anterior nos lleva a introducir ciertas propiedades del proceso de superposición, que de hecho son necesarias para que sea apropiada la pa-labra ‘superposición’. cuando se superponen dos o más estados, no importa el orden en que entran en el proceso de superposición, y así dicho proceso es simétrico respecto a los estados que se superponen. además, de la primera relación deducimos que (exceptuando el caso en que c1 o c2 sean nulos) si el es-tado r puede formarse por superposición de los estados a y B, el estado a puede formarse por superposición de B y r, y el B por superposición de a y r. Las rela-ciones de superposición son, pues, simétricas respecto a los tres estados a, B y r. cuando un estado está formado por la superposición de otros dos se dice que es dependiente de ellos. Más en general, se dice que un estado es dependiente de un conjunto finito o infinito de otros estados, si su correspondiente ket es dependiente de los kets que corresponden a dichos estados.

se dice que un conjunto de estados es independiente si ninguno de los esta-dos es dependiente de los otros. para proseguir con la formulación matemática del principio de superposición tenemos que introducir una nueva hipótesis, y afirmar que por superposición de un estado consigo mismo no podemos cons-truir ningún estado nuevo, sino que siempre obtenemos el mismo estado. si el estado original correspondía al ket |a>, al superponerle consigo mismo el estado resultante corresponde a

c1|A> + c2|A>=(c1 + c2) |A>,

donde c1 y c2 son números complejos. puede ocurrir que c1 + c2 = 0, en cuyo caso el resultado de la superposición no representa nada en absoluto, pues las dos componentes se han eliminado mutuamente por un efecto de interferen-cia. nuestra nueva hipótesis exige que, salvo en este caso particular, el estado resultante sea el mismo que el original, y por tanto, (c1 + c2) |A> tiene que corresponder al mismo estado al que corresponde |A>. pero c1 + c2 es un núme-ro complejo arbitrario, de donde deducimos que si multiplicamos el ket que corresponde a un estado por un número complejo arbitrario distinto de cero, el ket resultante corresponderá al mismo estado.


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así, pues, un estado viene caracterizado por la dirección de un ket, inde-pendientemente de la longitud que le atribuyamos. Los estados de un sistema dinámico están en correspondencia biyectiva con las posibles direcciones de los vectores ket, considerando como una sola las direcciones de |a> y de - |A>. Esta hipótesis nos muestra claramente la diferencia fundamental entre la su-perposición que se da en mecánica cuántica y cualquier otra superposición clá-sica. En un sistema clásico para el que sea válido un principio de superposición, como por ejemplo una membrana vibrante, cuando se superpone un estado consigo mismo el resultado es un estado diferente, cuya amplitud de oscilación es distinta. no existe ninguna característica física en los estados de un sistema cuántico que corresponda a la amplitud de las oscilaciones clásicas, más que la relación entre las amplitudes en los distintos puntos de la membrana. ade-más, si bien existe un estado clásico de amplitud nula en todos los puntos de la membrana, que es el estado de reposo, no hay ninguno correspondiente a éste en un sistema cuántico, pues el ket nulo no corresponde a ningún estado de existencia.

dados dos estados que correspondan a dos kets |a> y |B>, el estado más general que se puede formar por superposición de ambos corresponde a un ket |R> que viene determinado dando dos números complejos: los coeficien-tes c1 y c2 atrás utilizados. Si multiplicamos los dos coeficientes por un mismo factor (también complejo), el ket |r> quedará multiplicado por dicho factor y el estado correspondiente será el mismo de antes. por lo tanto, únicamente interviene en la determinación del estado R el cociente entre ambos coeficien-tes. así pues, dicho estado queda determinado por un número complejo, o lo que es lo mismo, por dos parámetros reales. por lo tanto, dados dos estados, por superposición de ambos podemos formar una doble infinidad de estados. Este resultado viene confirmado por los ejemplos explicados en los parágrafos 4 y 5. En el ejemplo del parágrafo 4 existen dos únicos estados de polarización de un fotón independientes, pudiéndose elegir como tales dos estados de po-larización rectilínea según direcciones paralela y perpendicular a una dada; por superposición de ambos se puede formar una doble infinidad de estados de polarización, a saber, todos los estados de polarización elíptica, para cuya especificación en el caso general son necesarios dos parámetros. Asimismo, en el ejemplo del parágrafo 5, por superposición de dos estados de traslación de un fotón dados, podemos obtener una doble infinidad de nuevos estados de traslación, pues el estado general así formado depende de dos parámetros, que pueden ser, por ejemplo, la relación de amplitudes de las dos funciones de onda que deben sumarse y su diferencia de fase relativa. Esta confirmación muestra la necesidad de tomar coeficientes complejos en las ecuaciones. Si únicamente admitiéramos coeficientes reales, puesto que una vez conocido A> y B> únicamente interviene el cociente de ambos coeficientes para especificar la dirección del ket |R> resultante, solamente podríamos construir una simple infinidad de estados por superposición de |A> y |B>”.


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así, pues, la física cuántica se apoya en un formalismo matemático riguroso en extremo. Este procedimiento ilustra muy bien lo que dice Klein (texto ci-tado) en su parágrafo: La quintaesencia del formalismo. “En realidad la física cuántica es un formalismo y nada más que esto. de allí la importancia que revis-te hacer sentir su perfume. En consecuencia, todo el asunto consistirá en saber a qué se aplica ese formalismo y cuál es la realidad de la que nos habla”. Más que irse lanza en ristre contra vulgarizaciones (en el caso de What the bleep… bien puede hablarse de malinterpretaciones o verdaderas deformaciones), de-bemos hacer esfuerzos por poner claros y visibles los límites entre la física cuántica y la charlatanería. como señala el mismo Klein, muchas obras recu-rren a los conocimientos de segunda mano para otorgarles a sus concepciones aproximativas sobre la naturaleza de las cosas el prestigio de una teoría física. “La argumentación de esas obras se nutre con alusiones furtivas y deferentes a las pretendidas enseñanzas de la física cuántica. En las proximidades de esta última se buscan garantías de todo género, e incluso bendiciones. por ejemplo, aquí y allá se pretende hacer creer que la no separabilidad, la cual prohíbe que se pueda dividir mediante el pensamiento al objeto de la descripción cuántica, implica la transmisión instantánea de energía o de señales a distancia, lo que se ha demostrado falso”. La no separabilidad y el entrelazamiento son temas que esperamos tratar con mayor detalle en la continuación de este ensayo.

4.9 aplicación del principio de superposición a los estados de espín

no considero innecesario repetir que los estados de la física clásica para un objeto o una partícula material en un comienzo se describen dando la posición y el momentum de la partícula. , los estados de un sistema cuántico quedan determinados por los elementos o vectores del espacio vectorial apropiado o por la función de onda, dependiente en general de la posición y del tiempo. Esta dependencia física es clara en la medida en que las nuevas cantidades físi-cas que reemplazan a las cantidades dinámicas, es decir, los observables, sean dependientes de la posición y del tiempo. no debe olvidarse, sin embargo, que los nuevos entes matemáticos son en general entidades complejas. Los cursos introductorios de mecánica cuántica parten de la ecuación de schrödinger no relativista, la cual a su vez utiliza la cantidad que es casi siempre, al menos en primera instancia, de mayor interés, a saber, la energía del sistema. cuando la energía se mantiene, se habla de un estado estacionario. tanto en la formula-ción de schrödinger como en la de Heisenberg, ese caso es formalmente muy sencillo, aunque los cálculos en ocasiones pueden ser engorrosos. El paso de un estado a otro es uno de los de mayor aplicación, como lo son el denominado problema de dispersión (scattering), los métodos de perturbación y, a nivel más general, distintas aproximaciones para múltiples campos de la física.


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En todo lo anterior, el punto de partida es la energía. El problema se vuel-ve más complicado conceptualmente hablando cuando el observable no tiene análogo clásico, como es el caso precisamente del espín. Es muy ilustrativo recurrir de nuevo a la analogía, para lo cual emplearemos, al igual que muchos autores, los estados de polarización de las ondas monocromáticas. Este es el esquema que sigue el texto de J.J. sakurai (Modern Quantum Mechanics, 1994) por ejemplo, y que nosotros retomamos, siguiendo un poco el enfoque adopta-do en un texto inédito (Introducción al formalismo de la Mecánica Cuántica no relativista, María carolina spinel Gómez, Universidad nacional, Bogotá, 2006).

recuérdese que luz monocromática es aquella de frecuencia perfectamente definida (equivalente a dar con precisión el momentum de una partícula cuán-tica). como el estado de polarización de una onda de luz monocromática está caracterizado por la dirección en que oscila el campo eléctrico (véase figura 2.29), consideraremos solamente expresiones para las ondas que lo describen. Imaginemos una onda de luz monocromática que se propaga en la dirección y. cuánticamente estamos hablando de fotones con energía ε = ħω y cantidad de movimiento p = ħk, estando k en la dirección y. Esta dirección se escoge para efectos de comparación con el experimento de stern-Gerlach. Un haz de luz po-larizado linealmente con un vector de polarización en la dirección x, tiene una dependencia espacio temporal del campo eléctrico oscilante en la dirección x, para dirección de propagación y, dada por

Ex = Eocos(ky-ωt).

En la misma forma, si la luz está polarizada en dirección z se escribe:

Ez = Eocos(ky-ωt).

La forma más sencilla de obtener luz polarizada linealmente en una cierta dirección es haciendo pasar luz no polarizada a través de un filtro polarizador en dirección perpendicular a la dirección de propagación. La componente pa-ralela a la dirección del filtro es absorbida, pasando solamente la componente perpendicular a la dirección del filtro. Para la figura adjunta (4.3), en el filtro de la izquierda se absorbe la componente en dirección x.

Un experimento elemental para comprobar la orientación de la polarización resultante es colocar otro filtro perpendicular al anterior, en este caso en la dirección z. El resultado es que no se recibe ninguna señal luminosa, lo cual indica que la polarización es z. Eso es precisamente lo que ocurre en la parte derecha de la figura 4.5.

La situación se torna más interesante cuando se inserta un polarizador obli-cuo entre los dos polarizadores cruzados. asumamos que la orientación de este tercer polarizador intermedio es de 45º (la misma orientación oblicua con res-pecto a los otros dos). Esto es lo que se ilustra en la figura 4.6. El resultado,


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probablemente sorprendente, es que donde antes no había luz emergente ahora aparece un haz luminoso. En otras palabras, el polarizador intermedio destruye la polarización escogida para el nuevo haz, el que proviene del primer polari-zador. o mejor: el haz emergente del primer polarizador tiene componentes en las direcciones ew y ev (véase figura 4.7), que son las que puede seleccionar el polarizador intermedio. La selección de este segundo polarizador destruye la información o selección previa. no debería sorprendernos el resultado, pues en esencia es idéntico a lo que se observó con los arreglos de aparatos sG en el capítulo anterior.

z

y

x ez

Filtro zFiltro x

No hay luz emergente

Figura 4.5. Luz polarizada linealmente en la dirección z es suprimida por un filtro cuyo eje está orientado en la dirección z.

Figura 4.6. Luz polarizada linealmente en la dirección x, al pasar por un filtro oblicuo, ya no es suprimida por un filtro cuyo eje está orientado en la dirección x.

Examinemos cómo describir cualitativamente el comportamiento del filtro inclinado 45º dentro del marco de la electrodinámica. para ello, echamos mano de la figura 4.7. La técnica es empleada en los cursos de física básica recu-


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rriendo al principio de superposición aplicado a las ondas electromagnéticas descritas al comienzo de esta sección.

Evitamos entrar en los detalles técnicos y destacamos únicamente el resul-tado más relevante:

zy

ew

x�

x

x

ev

Figura 4.7. Orientación de los ejes en el filtro oblicuo. Hacemos coincidir el nuevo eje x’ con ew, etc.

Figura 4.8. analogía entre los estados de espín y los estados de polarización.


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ez = (ew – ev)/√2.

con todo y lo simple de la situación discutida, hay sutilezas que deben de tenerse en cuenta. Una de ellas se refiere al peso o contribución de los estados que entran en la superposición, en este caso 2. El peso ha sido el mismo y el factor 1/√2 es consecuencia de ello. El otro se refiere a la fase, un concepto al cual nos referimos al final del capítulo segundo. Esa diferencia de fase es la que introduce el signo negativo en la expresión anterior. cuando se traslada el cálculo anterior, con las precauciones del caso, a los estados de espín, se en-cuentra que (véase figura 4.8):

|Sz+> = (|Sx+> - |Sx-> )/ √2.

debe agregarse que, puesto que los observables Sx y Sz no son compatibles, no es posible preparar un sistema en estado de espín para el cual las componen-tes x y z estén perfectamente definidas.


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CaPÍTuLO quINTO

OTRa VEz La FILOsOFÍa

5.1 una vieja discusión: ‘¿Existe el mundo externo?’

si le formuláramos una pregunta así a un caminante cualquiera (esta expre-sión es un poco más romántica que la acostumbrada hombre de la calle), a lo mejor nos diría que no entiende la pregunta, tan ingenua parece de nuestra parte. Quizá si se le explica que el indagador es un filósofo solipsista y la per-sona resulta ser un individuo culto y amable, trate de convencerlo de que esa doctrina filosófica, consistente esencialmente en creer que ‘lo único de lo que uno puede estar seguro es de la existencia de su propia mente, y la realidad que aparentemente le rodea es incognoscible y puede no ser más que parte de los estados mentales del propio yo’, está pasada de moda. pero resulta que tratar de responder a una pregunta tan simple marca una línea divisoria entre dos corrientes de pensamiento irreconciliables, aunque no existe propiamente hablando una línea divisoria y las posiciones individuales forman lo que en tér-minos cuánticos podríamos denominar un espectro continuo.

para no alargar demasiado esta introducción a un interminable tema, re-cordemos que durante el siglo XIX se mantuvo una fuerte rivalidad entre los dos grupos antagónicos, con puntos de vista epistemológicos diferentes: el del positivismo lógico y el del realismo abstracto. La puja continúa en el siglo XXI y no creo que tenga solución definitiva.

El positivismo lógico puede describirse concisamente, con base en los crite-rios del filósofo escocés David Hume, de la siguiente manera: Una proposición es epistemológicamente o cognoscitivamente significativa siempre y cuando sea o evidente por sí misma o pueda, por lo menos en teoría, ser verificada de modo empírico. no hay necesidad de invocar un orden subyacente. Esto para los positivistas elimina la necesidad de invocar a neptuno, Buinaima, o cualquier otra divinidad que pueda ‘dar certeza a la existencia’, a ‘la esencia del ser’.

En cuanto al realismo abstracto, el punto de vista filosófico que asume de entrada es que existe un mundo real que revela sus secretos más profundos solamente de una manera indirecta. se asume que existe un orden subyacente que es posible conocer, analizando sus manifestaciones de una manera lógica.

nos hemos referido atrás a la pugna más famosa, protagonizada entre los seguidores de las dos escuelas durante las últimas décadas del siglo XIX y la pri-mera del siglo XX, personalizadas por Ludwig Boltzmann y Ernst Mach. Einstein se inscribió en la línea de Maxwell y Boltzmann. Éstos creían firmemente en la


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naturaleza atómica de la materia y filosóficamente eran realistas, mientras que Mach y otros notables físicos del momento, positivistas radicales, no aceptaban el atomismo por estar por fuera de cualquier comprobación experimental.

puesto que el inacabable debate se sigue repitiendo, vale la pena recordar la esencia del mismo en aquella época: Boltzmann (y sus seguidores) creía en la naturaleza atómica de la materia porque, según él, nuestra inteligencia percibe los efectos de esas pequeñas piezas de materia a escala macroscópica. debido a esta experiencia macroscópica, adquirida a través de nuestros sentidos, él pensaba que la mente humana tenía un conocimiento trascendente acerca de la materia a escala microscópica. también creía, y en esto coincidía con Mach, que todas las hipótesis científicas deberían ser verificables para que tuvieran sentido. Es decir, afirmaba que es nuestro deber poner a prueba constantemen-te los paradigmas existentes. Llevado más lejos por Einstein, los postulados científicos no solamente deben ser verificados sino que debe adoptarse el mé-todo de la falsasión, consistente en reconocer que un solo resultado negativo echa por tierra la teoría más exitosa. La postura de Mach y su escuela era la de que los átomos son un artificio matemático, una herramienta útil para la descripción de los fenómenos termodinámicos; mas su existencia no podía ser verificada de manera empírica. Como lo mencionábamos en el capítulo prime-ro, la controversia se resolvió a favor de Boltzmann, Einstein y sus seguidores, precisamente a partir de Einstein mismo, con los experimentos realizados por perrin en 1908.

En la primera mitad del siglo XX, los más interesantes y profundos debates entre las dos escuelas están representados por los puntos de vista de Einstein y Bohr sobre la interpretación de la mecánica cuántica. se puede decir que la interpretación de Copenhague es opuesta al punto de vista filosófico de la teoría general de la relatividad, pieza maestra de Einstein. La paradoja Epr, a la que nos referiremos más detalladamente en la continuación de este ensayo, sigue arrojando mucha tinta. sin embargo, el problema principal argumentado por Einstein se resolvió a favor de Bohr con el experimento de aspect. pero las discusiones sobre la interpretación continúan vivas.

5.2 ¿será cuestión de interpretación?

«creo poco en lo que veo, y en lo que no veo, nada»Exclamación de Juán sáyago, personaje central en Tiempo de Morir.

corto- y largometraje basados en un guión de Gabriel García Márquez.

¿Qué puede decirse de la realidad que no se observa? La pregunta es más fundamental y actual que la formulada al comienzo de la sección anterior.

La respuesta, como hemos sugerido, divide la filosofía y todo lo que con ella se relacione en dos grandes sistemas de pensamiento. ¿Qué más puede guardar


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relación con la disciplina filosófica que los problemas de interpretación plan-teados por la física cuántica? realismo y positivismo entran otra vez en escena. tratemos de caracterizar mejor las dos corrientes.

Ver, tocar, oler, oír, degustar el mundo externo y sus partes suena tan na-tural que negar la existencia de ese mundo externo parece una necedad. su percepción por medio de los sentidos parece demostrada. ¿Existen los colores? La respuesta a esa pregunta desde la física debe ser cautelosa. para el menos experimentado de los lectores de este ensayo en la explicación que da la física a los fenómenos naturales, ya está claro que los colores no son más que agre-gados de nuestro cerebro a los efectos causados por distintas componentes de la radiación electromagnética en nuestra retina; las vibraciones causadas por la luz, o mejor, las excitaciones debidas a la absorción de ciertos fotones en unas células fotosensibles, denominadas conos y bastoncillos, son el fenómeno físico que interpretan las neuronas y transmiten de alguna manera, mediante complejas señales eléctricas, al cerebro. Lo mismo puede decirse de las demás percepciones. En palabras de Bertrand russell, lo que percibimos solo demues-tra la existencia de los datos sensoriales.

Para solo dejar planteada una discusión que puede prolongarse indefinida-mente, tomo lo que concluye de la torre en su ensayo Física cuántica para filo-sofos, después de reconocer que para cada individuo (con conciencia, acla-ro) hay dos mundos, interno y externo. En este último está, nos dice, lo que denominamos mente; prefiero hablar de cerebro y de procesos mentales, pues el cerebro es el órgano que ejerce las funciones mentales, por complejas que ellas sean. recuérdese, a este propósito, el ensayo de rodolfo Llinás titulado El cerebro y el mito del yo. “La realidad es la imagen que el cerebro construye del mundo exterior”, nos dice. al igual que él, los neurólogos suelen hablarnos de estados mentales, y esta designación guarda analogía, aunque lejana, con los estados de un sistema cuántico. Escribe de la torre en un recuadro: “Los datos sensoriales, cuya existencia es incuestionable, no son prueba suficiente de la existencia del mundo externo”. Luego analiza, obviamente, la coherencia que existe entre los datos sensoriales de diferentes individuos, hasta llegar al lenguaje, compleja herramienta de la civilización que no solo permite comuni-carnos. ante la correlación o acuerdo existente, nos dice, podemos tomar dos posturas: a) constatarla y dejarla como un hecho primario que no requiere más explicación; b) intentar explicarla apelando a algún principio o teoría que la demuestre. “La postura filosófica llamada ‘realismo’ toma la segunda opción, postulando la existencia –objetiva e independiente de los observadores– del mundo externo, que es el origen de los datos sensoriales de todos los indivi-duos. de esta manera se explica la coherencia entre los datos sensoriales de diferentes individuos, porque todos son generados por la misma realidad”. Lle-ga así al postulado realista, económico y eficiente por su simplicidad, y porque explica algo de enorme complejidad como son las coincidencias y diferencias entre datos sensoriales de muchos individuos.


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“En el realismo se postula la existencia del mundo externo objetivo e inde-pendiente de la observación, generador de los datos sensoriales. dicho postulado explica las correlaciones entre los datos sensoriales de diferentes individuos”.

porque voy a utilizarle luego y para asegurarme de que se está hablando de lo mismo, transcribo lo que Klein en su Física cuántica nos afirma sobre el realis-mo: “presenta a la ciencia como una exploración de la realidad, es decir, como una revelación de lo que existe independientemente de nosotros”. (subrayado por mí). “El objeto se entrega al sujeto”, dicen los realistas. En cuanto a la físi-ca, “debe revelar los planes del Viejo”, en palabras de un realista desbordado, albert Einstein.

En cuanto al positivismo, Klein resume: “plantea que la previsión acertada de lo que se observará es la esencia misma de la ciencia, y que ‘todo lo demás’ no es sino estremecimiento de estetas, juegos de lenguaje y palabras al viento. Esta concepción, que arguye que la palabra realidad no tiene sentido en sí misma, se niega a abordar las discusiones ontológicas aduciendo que resultarán inevita-blemente estériles. para un positivista, la ciencia se reduce exclusivamente a su eficacia y no tiene por qué reivindicar un alcance cognoscitivo más profundo. Este punto de vista se aproxima bastante al que sustenta la escuela de copenhague”. Es, pues, evidente su relevancia para una discusión sobre la interpretación de la física cuántica.

El éxito logrado por las ciencias exactas y naturales es el responsable del posi-tivismo. dicho de otra manera, es la cumbre del mecanicismo. Fue comte quien propuso depurar la filosofía de toda metafísica, limitándola a frases positivas de demostrada validez. durante el siglo XX su aporte principal lo recibió del «círculo de Viena», formalizando y complementando la idea con un riguroso análisis lógi-co. El neo-positivismo ha sido de innegable influencia en el pensamiento global del mundo contemporáneo. Las reglas de oro del positivismo están bien resumi-das en estas frases: “limitarse a emplear frases con sentido”; “callar sobre lo que no se puede afirmar” (Wittgenstein). En el resumen hecho por de la Torre:

“El positivismo impone la limitación de formular exclusivamente frases con sen-tido, que son aquellas para las cuales existe un procedimiento que las verifique o refute. Afirmar o negar la existencia del mundo externo es una pseudofrase”.

Como anota este autor, la misma frase que define el positivismo sería una frase sin sentido. ¿cuál es el criterio para decidir si una frase tiene o no sentido? Los criterios pueden ser demasiado exigentes, limitando enormemente las posi-bilidades de las ciencias que, como la historia y las ciencias sociales, no pueden reproducir las condiciones experimentales de las ciencias naturales.


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Es fácil encontrarle componentes subjetivas al positivismo. La más obvia es la imperiosa necesidad de reconocer que detrás de toda observación existe un cerebro. por ende, da lugar a un acto subjetivo implicado en el proceso mental con que termina. Esta componente subjetiva no puede eliminarse sin caer inde-fectiblemente en una frase sin sentido. para el positivista consecuente, todas las frases que participan en la construcción científica, en vez de hacer alusión a alguna propiedad del sistema en estudio, se refieren a conceptos que algún ce-rebro, aunque sea hipotético, tiene del sistema. de tal manera que, como anota de la torre, el subjetivismo presente en el positivismo puede extremarse hasta la frontera con el solipsismo. “Un convencido positivista debe concluir que no tie-ne sentido afirmar la existencia objetiva del cuerpo de otro individuo, y mucho menos aun de su mente, ya que ‘los experimentos’ sólo confirman la existencia de sus datos sensoriales privados. rápidamente llegaría a la conclusión de que, excepto su mente, no tiene sentido decir que existe todo el resto. El solipsista dice: «mi mente existe y niego que todo el resto exista». El positivista dice: «mi mente existe y no tiene sentido decir que todo el resto exista». La diferencia es ínfima, si no nula”.

aunque la interpretación positivista es la que prima a la hora de tomar par-tido frente a los desafíos de la mecánica cuántica, por ende la componente subjetiva tiene tremendas repercusiones en las posibles interpretaciones de la física cuántica, vale la pena señalar que el esquema es más apropiado para la interpretación de la física clásica. El sutil análisis hecho por un realista consu-mado, albert Einstein, en su una vez más referido ensayo con Leopold Infeld, nos llevaría a concluir que entre las dos posiciones en el terreno clásico se puede llegar a un acuerdo. El realista asignará un contenido objetivo a todas las referencias experimentales subjetivas que haga el positivista, a la vez que éste interpretará todas las frases sin sentido de aquél en el resultado posible de una observación. La condición impuesta por el positivista se puede satisfacer cuando todos los observables posibles pueden medirse con la precisión que el más exigente realista obtenga. debo advertir al lector que en ese análisis, a saber, el examen de las contradicciones en que el mecanicismo fortalecido por la electrodinámica pre-relativista cae, Einstein deja de ser realista.

para no dar la sensación de que se debe tomar partido por uno de dos bandos enemigos irreconciliables, me permito hacer un resumen de las opciones que los dos autores arriba citados, Klein y de la torre, particularmente el primero, y otros nos ofrecen y agregar que se encuentran en el mercado desde las posi-ciones más pragmáticas hasta las más idealistas que jamás hubiéramos podido imaginar, como consecuencia de los extraños postulados en que se fundamenta la física cuántica.

La primera opción es la adoptada, seguramente, por todos los que forzosa-mente tienen que trabajar con el formalismo pero dependen de la práctica ex-perimental o viceversa. Es el agnosticismo práctico, denominado filosófico por


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Klein: una cortés indiferencia. La mayoría de los físicos que conozco se man-tiene al margen de los debates filosóficos que el problema de la interpretación genera. supongo que la exigencia de una rápida especialización en el tema que va a ser su objeto de investigación obliga al físico a adoptar una actitud prag-mática. contraria a la imagen que tiene el hombre de la calle (ya no le podre-mos decir caminante), ser físico no permite saber cuáles son las actividades en que participa el sujeto. Es posible que su campo de acción sea la telemedicina o más bien sirva de asesor en una multinacional, o a lo mejor se desempeñe a la perfección en las dos actividades. pero el pragmatismo frente a la interpreta-ción no es el distintivo solo de los físicos: conozco muchos ingenieros que se han dedicado a lo que se denomina, equívocamente insisto, nanotecnología sin que se hayan preocupado por los procesos cuánticos con que necesariamente tienen que convivir. Es posible que sus nociones sobre física moderna no hayan ido más allá de las aburridas horas en que les hablaron de la radiación del cuerpo negro y las piruetas hechas por planck para resolver un problema inexistente, pues la catástrofe ultravioleta sencillamente no ocurre.

Una segunda opción es el positivismo metodológico. a pesar de las cada vez mayores subdivisiones y los diversos campos en que los físicos están inmersos (hoy se habla, por ejemplo, de econofísica, sociofísica y muchos otros campos inter- y transdisciplinarios), distinguiremos, por brevedad, dos clases de físicos: los teó-ricos y los experimentales. se dice que el último físico teórico-experimental fue Enrico Fermi, quien seguramente adoptó el punto de vista que aquí se quiere destacar. toda vez que la física se subdivide en una multitud de especialidades, es simplista reducir la dicotomía a cálculos y experimentos cuando la realidad oculta una gran diversidad de perfiles, incluidos los de aquellos que se dedi-can bien a la física aplicada (teóricos y experimentales) o física fundamental (ciencia básica, con la misma clasificación). Una tercera gama de profesiona-les se dedica a lo que se reconoce ampliamente como simulación en física, la cual a su vez envuelve tan variados fenómenos como los del medio ambiente y tan diversas disciplinas como las ciencias de la complejidad, por mencionar algunas.

Uno puede verse tentado a clasificar a los físicos de una manera mucho más básica, a través de una línea de pensamiento no manifiesta. En la práctica, en esta comunidad coexisten, de manera aparentemente pacífica, las dos líneas de pensamiento radicalmente opuestas a las que ya aludimos en el parágrafo precedente: el positivismo y el realismo. así, pues, no están los realistas de un lado y los positivistas del otro, siendo la mayor parte de ellos ambas cosas a la vez. “casi todos ellos comulgan con las dos iglesias. del realismo conservan la idea según la cual los objetos que considera la física, o sea los átomos y otras partículas, son cosas ‘que existen realmente’. del positivismo conservan el mé-todo, negándose a utilizar un concepto a menos que éste posea una definición operatoria precisa”. de ahí el acertado nombre de positivismo metodológico.


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Para expresarlo en palabras de Klein: “Esa doble vereda filosófica, por más heterogénea que pueda parecer, no genera problemas psicológicos particulares. Ello quizá se deba a que se experimenta a la manera de una secuencia. cuando hablan de su disciplina y de lo que ésta pretende describir, los físicos casi siempre son realistas. Sin mencionar siquiera las dificultades que ahora plantea el estatus de la medición en la física, ellos manifiestan que, en efecto, las teorías dan cuenta del mundo tal como éste es, es decir, como constituido por una miríada de partí-culas que existen objetivamente y que interactúan unas con otras. sin embargo, en el ejercicio de su profesión, los físicos son sobre todo positivistas, de manera más o menos radical. de este modo, cuando hacen sus cálculos, lo único que les preocupa es la calidad de las predicciones a las que esos cálculos conducirán. En esos momentos, rechazan cualquier cuestionamiento acerca de la ontología de los objetos matemáticos, la cual, por otra parte, no sería bien recibida (sólo lo-graría parasitar al pensamiento). Los físicos se concentran sobre todo en las reglas operatorias y ponen en práctica cierta indiferencia respecto de todo aquello que es accesorio a esas reglas. Esto no tiene graves consecuencias, pues en la enorme mayoría de los casos los resultados de la física cuántica son independientes de la interpretación que se les adjudique. por otra parte, en modo alguno es necesario optar explícitamente por una interpretación. Felizmente...”.

para de la torre, este procedimiento hasta cierto punto pragmático es “inta-chable e ineludible para toda ciencia teórico-experimental como lo es la física”. cada vez más las denominadas ciencias básicas o ciencias naturales entran en un terreno en el cual se comparten metodologías, técnicas y procedimientos. Hoy en día se hacen cálculos de primeros principios (supuestamente entre los más rigurosos y detallados) en proteínas y otros sistemas que bien pueden conside-rarse biológicos y se simulan con las mismas herramientas de cálculo procesos de evolución estelar. Es de señalar que en todos estos casos, hasta tanto no haya una confrontación entre el modelo y el resultado experimental, la predicción está en camino de convertirse en una verdad científica.

de tal manera que todo físico practica, alternativamente, los dos tipos de ac-tividad: por un lado, hace un trabajo puramente operatorio, mientras que por el otro, reflexiona sobre los fundamentos y las consecuencias de su disciplina. La gran diferencia entre el positivismo metodológico a que nos estamos refiriendo y el positivismo filosófico del que hablábamos antes radica en que el experimento, en el primer caso, es el único camino hacia la confirmación o refutación de un comportamiento objetivo del sistema bajo estudio; para el segundo, el experi-mento es la única posibilidad de la existencia. «seamos realistas. adoptemos un método positivista.»

otra opción la constituye lo que Klein denomina el malestar constructivo. “para cierto número de físicos, la situación embarazosa en la que nos colocan la reducción del paquete de ondas, el problema de la medición, la renuncia al


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determinismo estricto, la pérdida de la objetividad fuerte, constituye el síntoma de que la teoría cuántica es sólo una teoría aproximativa, incapaz de garantizar la coherencia de sus reglas. según esos físicos, la única solución consiste en modi-ficar la teoría cuántica en sí. Sus eventuales contraproposiciones deben aceptar un terrible desafío: desempeñarse tan bien como lo haría un formalismo que, desde el punto de vista de los resultados que permite obtener, funciona perfectamente, pero con fundamentos y con conceptos diferentes de los que utiliza ese formalismo. Esto no constituye una apuesta insignificante, sobre todo después de que se ha demostrado experimentalmente la contravención de las desigualdades de Bell. En efecto, la consecuencia de esa contravención es que ya no podemos esperar remplazar a la física cuántica por una teoría con variables ocultas locales. toda con-traproposición deberá ser no local si quiere ser creíble. Es el caso de la teoría de david Bohm, que constituye el arquetipo de las teorías llamadas ‘con variables ocultas no locales’, y que gracias a ciertas modificaciones de la teoría cuántica permite re-cuperar la objetividad fuerte de la física clásica y un determinismo estricto. como lo señaló ya Louis de Broglie, david Bohm admite que las partículas son genuinos corpúsculos cuyo movimiento es guiado por una onda. Esta onda guía desempeña el papel de un campo de información que le impone al corpúsculo una trayecto-ria, un poco a la manera en que un mensaje por radio le da a un avión la orden de cambiar de dirección. En esta teoría, la posición del corpúsculo siempre está bien definida, si bien no siempre es conocida. Además, el azar no interviene. Las leyes deterministas se introducen para explicar la forma en que las ondas dirigen a los corpúsculos. por ejemplo, en el experimento de las dos ranuras, la onda que supuestamente ha de dirigir al electrón explora todos los trayectos posibles. de esta manera, ella difiere según estén abiertas las dos ranuras o sólo una de ellas (es en este sentido en el que la teoría es no local). de acuerdo con ciertas hipótesis que están de por medio, entonces se pone de manifiesto que la formación de las franjas de interferencia tiene lugar, efectivamente, en el primer caso, no en el segundo. Se evitan así las dificultades metafísicas asociadas a la superposición cuántica, lo que no impide que muchos físicos hagan alarde de escepticismo en relación con esta teoría, la cual también implica dificultades”.

El autor de estas notas padeció del malestar constructivo por algunos años. reportes intrascendentes fueron publicados en algunos números de la revista colombiana de Física. posteriormente, debo reconocer que practiqué el positi-vismo metodológico sin mayor problema, haciendo cálculos teóricos en algunos campos que caen en la física aplicada. con el interés que despertó en mí la segunda revolución cuántica, particularmente desde el punto de vista peda-gógico, estoy abierto a diversas interpretaciones, aunque algunas de ellas no dejan de maravillarme, por lo ingenuas, aunque sea imposible descartarlas en un marco lógico.

dentro del último grupo es indispensable referirse a la exótica versión de los universos paralelos. Ella ha sido desarrollada por un grupo muy restringido


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de físicos, debiéndose la primera versión explícita al físico Hugh Everett, de la Universidad de princeton, quien la expuso en 1957. animado por John Wheeler, quien de alguna manera había trasegado con anterioridad en esos mundos, del lado de Feynman, Everett desarrolló su propia versión como tesis doctoral. La imposición del colapso mágico que un neo-positivista está dispuesto a aceptar, conduce a imaginar al Universo entero en un estado de funciones de onda super-puestas. pero, ¿quién observa el Universo?

La interpretación de Everett consiste en admitir que las funciones de onda superpuestas de ese Universo como un todo, las realidades alternativas que in-teraccionan para producir intereferencias medibles en el nivel cuántico, no se colapsan. todas ellas son igualmente reales, y existen en una parte concreta (la que les corresponde) del superespacio (y del supertiempo). John Gribbin, en su búsqueda del gato de Schrödinger, dedica una buena porción del libro a estas osadas interpretaciones. La importancia del trabajo de Everett, nos dice, está en que fundamentó su teoría con una rigurosa base matemática utilizando las reglas ya establecidas de la teoría cuántica.

“En el transcurso de una medición que se efectúa en un estado superpuesto del tipo (a + b), no habría reducción del paquete de ondas con una sola posibi-lidad (sea a, sea b), sino la división del conjunto que constituye el aparato de medición y el objeto medido en dos conjuntos (la creación, de hecho, de dos universos paralelos): en uno de ellos se lleva a cabo el estado a, y en el otro se realiza el estado b. de esta manera, todos los resultados posibles de una medi-ción se realizarían simultáneamente al precio de una duplicación concomitante del Universo”, una explicación para legos aportada por Klein.

otras lecturas de la física cuántica se han intentado desde los años treinta. Eugene Wigner (1902-1994), premio nobel de física en 1963 por su contribución a la teoría del núcleo atómico y de las partículas elementales, quien con Jordan extendió la segunda cuantización a los fermiones, pretendió alguna vez (1962) que la reducción del paquete de ondas en el transcurso de una medición forzaba a admitir la influencia activa de la conciencia sobre la realidad física. Wigner dio lugar, con su hipótesis, a una interpretación de la reducción del paquete de ondas donde interviene la conciencia del observador. tal vez estas extravagantes ideas hayan hecho escribir a John s. Bell (Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica, alianza Universidad, 1990):

“¿Dónde se ha de encontrar al medidor? … ¿Qué cualifica exactamente a cier-tos sistemas para desempeñar este papel? ¿Estaba la función de onda esperando para saltar desde hace miles de millones de años hasta que apareciera un org-nismo viviente monocelular? ¿O tuvo que esperar algo más hasta la aparición de un medidor cualificado, un doctor en física? Si la teoría sólo ha de aplicarse a operaciones idealizadas de laboratorio, ¿no hemos forzosamente de admitir que procesos más o menos del tipo de medida ocurren más o menos siempre, más o menos en todas partes?”


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5.3 Física y filosofía

tal es el título de una colección de ensayos escritos por Werner Heisenberg. He encontrado ese mismo título en otros ensayos y juzgado que éste no podía ser la excepción.

nos dice dirac en la introducción a sus Principia: “La necesidad de apartarse de las ideas clásicas al intentar dar una explicación de la estructura elemental de la materia se deriva no sólo de los hechos establecidos experimentalmente, sino también de razones filosóficas generales. En una interpretación clásica de la constitución de la materia, se supondría que ésta está compuesta por un gran número de pequeñas partes, y se postularían leyes del comportamiento de di-chas partes, de las cuales se pudieran deducir las leyes de la materia agrupada. sin embargo, no sería una explicación completa, pues habría quedado sin con-siderar la estructura y estabilidad de las partes constituyentes. para responder a esta cuestión se haría necesario postular que cada una de las partes constitu-yentes está a su vez compuesta de pequeñas partes, en razón de las cuales debe explicarse su comportamiento. Evidentemente no hay límite para este proceso, de tal forma que es imposible llegar por este procedimiento a la estructura ele-mental de la materia. Mientras grande y pequeño sean conceptos meramente relativos, no conduce a nada explicar lo grande en función de lo pequeño. por tanto, es necesario que modifiquemos las ideas clásicas de forma que el tamaño adquiera un carácter absoluto. En este punto es importante recordar que a la ciencia solamente le incumben los objetos observables y que únicamente pode-mos observar un objeto si interacciona con alguna influencia externa”.

Así, pues, de acuerdo con Dirac hay razones filosóficas generales para apar-tarse de las ideas clásicas. pero antes ha expuesto sobre los fallos de la mecá-nica clásica (léase mecanicismo), los cuales “no radican simplemente en una inexactitud de sus leyes de movimiento, sino en una insuficiencia de sus con-ceptos para proporcionarnos una descripción de los fenómenos atómicos”. Las cursivas están en el escrito original.

si se mira con atención el ensayo de Einstein e Infeld, Evolución de la fí-sica, se encontrarán razones filosóficas, no solamente las procedentes de la experiencia, para apartarse del mecanicismo. también la electrodinámica clá-sica afronta serios problemas al recurrir a una substancia imponderable para la propagación de sus ondas. sin embargo, hay que empezar por reconocerle a la teoría de Maxwell, a partir de la sugerencia de líneas de fuerza de Faraday, un cambio epistemológico muy profundo que preparó el terreno para los que vendrían en la siguiente mitad de siglo.

Hoy tenemos la fortuna de asistir a lo que hemos denominado la segunda revolución cuántica. Esta fue una de las motivaciones para el presente ensayo. Pero al lado de ese gran pretexto, nos movieron a estas reflexiones el impacto


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cada vez más profundo y de doble carácter que causa la física cuántica en la ge-neración de conocimiento y en la aplicación del conocimiento mismo. En otros ensayos he sostenido, matriculándome en la línea de pensamiento de Bertrand russell y de John dewey, que sabiduría es el uso adecuado del conocimiento.

ante la imposibilidad de abordar en esta primera parte los aspectos más rele-vantes de la segunda revolución cuántica y cubrir uno de los temas que ha sido de mi particular interés durante las últimas décadas (la física del estado sólido, particularmente en nanoestructuras, aunque algo de esto último se hizo en reciente monografía), me comprometí a un segundo volumen. En ese volumen encontrarán muchas de mis reflexiones sobre el papel de la física en la época actual. Yo incorporo ese ejercicio a la relación entre física y filosofía. Digamos, con snow, que tenemos la oportunidad de acercarnos a la tercera cultura.

Entre tanto, permítaseme rescatar para el lector las reflexiones que los edi-tores de la colección world perspectives (Harper and Brothers publishers, new York), de cuyo consejo editorial formaban parte en su momento niels Bohr, Robert Oppenheimer y otras prominentes figuras hacían con tan importante colección, dirigida por ruth nanda anshen. Escribió ella, con motivo de la pu-blicación del ensayo de Heisenberg (1958):

«Es bien conocido el hecho de que la Física ha abierto nuevos y vastos hori-zontes. Ello no ha sido posible, como lo muestra esta obra, sin modificar fun-damentales conceptos científicos y filosóficos — pilares de la cultura y de la civilización.

Sostiene la tesis de esta colección que el hombre, a pesar de su aparente cauti-verio moral y espiritual, se halla en camino de desarrollar una nueva conciencia de sí mismo, la cual puede elevar, finalmente, a la raza humana por encima y más allá del miedo, la ignorancia y la soledad que la acosan en nuestros días. A esta naciente conciencia, a este concepto del hombre nacido de un universo percibido a través de una novísima visión de la realidad, se halla dedicada pers-pectivas del mundo.

Únicamente aquellos conductores espirituales e intelectuales de nuestra épo-ca que poseen una capacidad creadora en esta dilatación de los horizontes del hombre han sido invitados a participar en esta Serie: son aquéllos que abrigan la certeza de que más allá de las divisiones que separan a los hombres existe una primordial fuerza unitiva, puesto que todos estamos unidos por una común conciencia de lo humano, más fundamental que cualquier unidad de dogma; son aquéllos que reconocen que la fuerza centrifuga que ha dispersado y atomizado a la humanidad debe ser reemplazada por una estructura integral y un sistema capaces de conferir sentido y finalidad a la existencia; aquellos pensadores, en fin, que comprenden que la ciencia misma, cuando no se hallainhibida por las limitaciones de su propia metodología, cuando es pura y humilde, concede al hombre una ilimitada jerarquía de todavía no soñadas consecuencias que pueden derivar de la misma.


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Se propone esta Serie reexaminar todos aquellos aspectos del esfuerzo huma-no de los cuales el especialista había aprendido a pensar que podía prescindir impunemente. Interpreta acontecimientos actuales y pasados que inciden sobre la vida humana en una época que, como la nuestra, tiende cada vez más a la universalidad, y encara lo que el hombre puede conseguir todavía, cuando un impulso interior invencible lo alienta a la búsqueda de lo que hay en él de más alto.

El conocimiento, como se demuestra en estos libros, no consiste ya en una mera manipulación del hombre y la naturaleza como fuerzas antagónicas, ni en la reducción de los hechos a un mero orden estadístico, sino que es un medio de liberar a la humanidad del poder destructor del medio, señalando el camino hacia la rehabilitación de la voluntad humana y el renacimiento de la fe y de la confianza en la persona humana. Las obras publicadas intentan mostrar, asimis-mo, que la demanda de esquemas, sistemas y autoridades se va haciendo menos insistente a medida que aumenta en Oriente y Occidente el anhelo de recupe-rar la dignidad, la integridad y la autodeterminación: derechos inalienables del hombre, que ahora podrá orientar el cambio mediante el designio consciente, y a la luz de la experiencia racional.

Estamos en el umbral de una era del mundo en la cual la vida humana se empeña en realizar formas nuevas. Reconocida la falsedad de la división entre hombres y naturaleza, tiempo y espacio, libertad y seguridad, nos enfrentamos con una imagen nueva del hombre en su unidad orgánica, y una visión nueva de la historia que le atribuye una riqueza y variedad de contenido, y una magnitud de alcances sin precedentes hasta ahora. Al vincular la sabiduría acumulada por el espíritu del hombre, a la realidad de la Edad Mundial, articulando su pensamien-to con sus creencias, perspectivas del mundo trata de estimular un renacimiento de esperanza en la sociedad, y de altivez en la decisión del hombre para determinar su destino.»

probablemente el lector no ignore el papel que jugó oppenheimer en el Pro-yecto Manhattan y el desempeñado por Heisenberg en la contraparte alemana. niels Bohr, entre tanto, estaba entre la espada y la pared. tangencialmente he tocado el tema en Genio entre genios. La generación de post-guerra debió ser una generación antibelicista. Hoy, como ayer, soplan vientos de cambio, sobre todo en las mentes más preclaras.

Quede lo anterior solamente como constancia histórica y continuemos con lo que el común de la gente entiende por física y filosofía. tras su resonante triunfo, Bohr y Heisenberg, también schrödinger aunque en menor medida, se propusieron explicar a los filósofos los cambios conceptuales que su enfoque demandaba. no comparto la opinión expresada por Juan arana en la colección de conferencias ya referida (Física cuántica y realidad, 2002: “causalidad y objetividad. Schrödinger y el trasfondo filosófico de la física cuántica”), en el sentido de que “la formación filosófica de Bohr, Heisenberg, Pauli, etc., era bastante somera”. En el caso de Heisenberg, en particular, la afirmación es incorrecta.


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Entre los grandes pioneros de la física cuántica, indiscutiblemente fue Hei-senberg quien más se adentró en la filosofía. Ello puede percibirse sin duda alguna a través de sus escritos. dejemos que sea el mismo Heisenberg quien nos exprese sus opiniones, tomadas de sus históricas notas (por brevedad me abstengo de citar la página). En el segundo capítulo (La historia de la teoría cuántica) leemos:

«Bohr consideraba que las dos imágenes —ondulatoria y corpuscular— eran dos descripciones complementarias de la misma realidad. Cualquiera de esas descripciones sólo podía ser parcialmente verdad; debía haber limitaciones en el empleo del concepto de partícula, tanto como en el del concepto de onda; de otro modo era imposible evitar contradicciones. Tomando en cuenta estas limitaciones que pueden expresarse con las relaciones de incertidumbre, las con-tradicciones desaparecen.

De esta manera, desde la primavera de 1927 tenemos una interpretación co-herente de la teoría cuántica, que suele designarse frecuentemente ‘interpreta-ción de Copenhague’. Esta interpretación recibió su prueba crucial en el otoño de 1927, en la conferencia de Solvay, en Bruselas. Una y otra vez, aquellos expe-rimentos que siempre habían conducido a las peores paradojas eran examinados cuidadosamente, especialmente por Einstein. Se idearon nuevos experimentos ideales para descubrir cualquier posible incoherencia de la teoría, pero ésta era consistente y se ajustaba a los experimentos, según lo que se podía ver.»

obviamente el asunto se toca a fondo en el que lleva por título La interpre-tación de copenhague de la teoría cuántica:

«La interpretación de Copenhague parte de una paradoja. Todo experimento de física, refiérase a fenómenos de la vida diaria o a acontecimientos atómicos, debe ser descripto en términos de la física clásica, con los cuales se forma el lenguaje usado para describir la organización de nuestras experiencias y para expresar sus resultados. No podemos, ni debemos reemplazar estos conceptos por otros. Sin embargo, su aplicación está restringida por las relaciones de incer-tidumbre. Debemos tener siempre presente esta limitación de los conceptos clá-sicos mientras los usamos, pero no podemos ni debemos tratar de mejorarlos.

Para comprender mejor esta paradoja, es conveniente comparar los proce-dimientos de interpretación teórica de una experiencia de física clásica y de otro de teoría cuántica. En la mecánica newtoniana, por ejemplo, podemos comenzar el estudio del movimiento de un planeta midiendo su velocidad y posición. Se traducen los resultados de la observación al lenguaje matemático, deduciendo números para las coordenadas y las cantidades de movimiento del planeta, a partir de los datos observados. Se emplean, entonces, las ecuaciones del movimiento, para deducir de aquellos valores de las coordenadas y canti-dades de movimiento correspondientes a un instante dado, los valores de las coordenadas o cualquier otra propiedad del sistema en un momento posterior. De esta manera, el astrónomo puede pronosticar las propiedades del sistema correspondientes a cualquier instante futuro, por ejemplo, la hora exacta de un eclipse de luna.


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En la teoría cuántica el procedimiento es ligeramente distinto. Podemos in-teresarnos, por ejemplo, en el movimiento de un electrón en una cámara de niebla y podernos determinar, mediante algún tipo de observación, la posición y velocidad iniciales del electrón. Pero esta determinación no habrá de ser pre-cisa; contendrá, por lo menos, las inexactitudes derivadas de las relaciones de incertidumbre, y probablemente otros errores mayores debidos a dificultades propias del experimento. Son las primeras inexactitudes las que nos permiten traducir los resultados de la observación al lenguaje matemático de la teoría cuántica. Se escribe una función de probabilidad que representa la situación experimental en el momento de la medición, incluyendo también los probables errores de medida.

Esta función de probabilidad representa una mezcla de dos cosas: en parte, un hecho, y en parte, nuestro conocimiento de un hecho. Representa un hecho en la medida en que asigna a la situación inicial la probabilidad uno (es decir, certidumbre completa) en el momento inicial: el electrón que se mueve con la velocidad observada, en la posición observada; ‘observada’ significa observada dentro de la precisión del experimento. Representa nuestro conocimiento de un hecho, en la medida en que otro observador podría quizá conocer la posición del electrón con más exactitud. El error de la experiencia no representa, por lo menos hasta cierto punto, una propiedad del electrón sino una deficiencia, en nuestro conocimiento del electrón. Esta deficiencia de conocimiento también está contenida en la función de probabilidad.

En una investigación cuidadosa de física clásica, también deben considerarse los errores de observación. Como resultado, se obtendrá una distribución proba-bilística de los valores iniciales de las coordenadas y velocidades, de manera si-milar a la función de probabilidad de la teoría cuántica. Sólo que en física clásica faltará la incertidumbre necesaria, debida al principio de indeterminación.

Cuando se ha determinado, en física cuántica, la función de probabilidad, me-diante la observación en el momento inicial, puede calcularse según las leyes de la teoría cuántica la función de probabilidad para un instante posterior, y puede determinarse, por lo tanto, la probabilidad de que una cantidad medida arroje un resultado establecido. Podemos pronosticar, por ejemplo, la probabilidad de encontrar el electrón en un instante dado en un determinado punto de la cámara de niebla. Debe hacerse notar, sin embargo, que la función de probabilidad no representa por sí misma una serie de acontecimientos en el trascurso del tiem-po. Representa una tendencia hacia acontecimientos, y nuestro conocimiento de ellos. La probabilidad puede relacionarse con la realidad sólo si se cumple con una condición esencial: siempre que se efectúe una nueva medición para determinar una determinada propiedad del sistema. Sólo entonces la función de probabilidad nos permite calcular el probable resultado de la nueva medida. El resultado de la medición será establecido, otra vez, en términos de la física clásica.

Por lo tanto, la interpretación teórica de un experimento requiere tres etapas distintas: 1) la traducción de la situación experimental inicial en una función de probabilidad; 2) seguir esta función en el curso del tiempo; 3) el establecimiento de una nueva medición que habrá de hacerse, cuyo resultado puede ser calcu-lado mediante aquella función. Para el primer paso, es condición necesaria el


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cumplimiento de las relaciones de incertidumbre. El segundo paso no puede ser descripto mediante conceptos clásicos; no existe descripción de lo que le sucede al sistema entre la observación inicial y la medición siguiente. Sólo en el tercer paso volvemos de lo que está “en potencia” a lo que está “en acto”.

Vista así, la interpretación de copenhague recoge simplemente lo que dirac propone: un nuevo cambio conceptual, como lo requirieron otros momentos históricos que vivió la física en el pasado. terminemos este capítulo con una reflexión final de Heisenberg al finalizar el mismo ensayo:

«Se ha afirmado, al comenzar, que la interpretación de Copenhague parte de una paradoja: describimos nuestras experiencias en los términos de la física clásica y al mismo tiempo sabemos, desde el principio, que estos conceptos no se ajustan con precisión a la naturaleza. La tensión entre estos dos puntos de partida es la raíz del carácter estadístico de la teoría cuántica. Se ha sugerido alguna vez, por lo tanto, que debiéramos dejar totalmente de lado los conceptos clásicos, y que un cambio radical en los términos e ideas usados para describir los experimentos podría conducirnos nuevamente a una descripción completamente objetiva de la naturaleza.

No obstante, esta sugestión se apoya en un mal entendido. Los conceptos de la física clásica son simplemente un refinamiento de los términos de la vida diaria, y constituyen una parte esencial del lenguaje en que se apoya toda la ciencia natural. Nuestra situación actual, en ciencia, es tal que empleamos los concep-tos clásicos para la descripción de los experimentos, y el problema de la física cuántica era el de encontrar una interpretación teóri ca de sus resultados sobre esta base. Es inútil discutir qué podríamos hacer si fuéramos seres distintos. A esta altura debemos comprender, como lo ha expresado Weizsäcker, que “la Naturaleza es anterior al hombre, pero el hombre es anterior a la ciencia natu-ral”. La primera parte de la sentencia justifica a la física clásica, con su ideal de completa objetividad. La segunda, nos dice por qué no podemos escapar a la paradoja de la teoría cuántica, o sea su necesidad de usar conceptos clásicos.

Por lo tanto, la parte de materia o radiación que forma parte del fenómeno es el ‘objeto’ natural en el tratamiento teórico, y debe separarse, en este aspecto, de los instrumentos utilizados para estudiarlo. Esto introduce nuevamente un elemento subjetivo en la descripción de los acontecimientos atómicos, ya que el instrumento de medición ha sido construido por el observador; y debemos recordar que lo que observamos no es la naturaleza en sí misma, sino la natura-leza presentada a nuestro método de investigación. Nuestro trabajo científico en física consiste en hacer preguntas acerca de la naturaleza con el lenguaje que tenemos, y en tratar de obtener respuestas de la experimentación, con los métodos que están a nuestra disposición. De este modo, la teoría cuántica nos recuerda, como dice Bohr, la vieja sabiduría que aconseja no olvidar, al buscar la armonía de la vida, que en el drama de la existencia somos al mismo tiempo actores y espectadores. Es comprensible que en nuestra relación científica con la naturaleza nuestra propia actividad se torne muy importante cuando debemos tratar con porciones del mundo en las cuales sólo podemos penetrar por medio de los más elaborados instrumentos.»


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CaPÍTuLO sExTO

¿ENTENDIDO?

breve introducción a unos Opúsculos Discretos

¿de dónde venimos? ¿para dónde vamos? ¿por qué estamos aquí? ¿para qué lo estamos? ¿cómo es el Universo? ¿de qué está hecho? ¿cómo empezó? ¿cuándo terminará?

Estas y otras preguntas caen o han caído dentro de lo trascendente. a di-ferencia de los átomos en un gas, las galaxias se mueven sistemáticamente, siguiendo la empírica Ley de Hubble. Esta observación y otras similares, las es-peculaciones que ellas generaron, las preguntas aparentemente sin respuesta que principalmente a comienzos del siglo pasado surgieron permitieron cons-truir lo que hoy creemos es, más que una base sólida, un punto de partida más conveniente que las que dieron lugar a la física y a la astronomía clásicas.

En efecto, existen dos teorías lo suficientemente sólidas como para que des-de el punto de vista científico podamos afirmar que se ha logrado dar respuesta parcial a las más sencillas de las preguntas anteriores. Las primeras son, hasta cierto punto, antropocéntricas. Gracias a los descubrimientos científicos alre-dedor de estos temas, hemos aprendido a ser humildes y reconocer que nues-tra grandiosa civilización, o mejor, lo logrado en unas pocas decenas de miles de años de evolución biológica y cultural desde el homo sapiens no significan mucho en la escala cósmica. no obstante unos pocos millones de años permi-tieron la evolución de la inteligencia a niveles que no hemos podido examinar tan profundamente.

La pregunta ¿cómo surgió la vida? tiene una respuesta fácil para los creacio-nistas. Los evolucionistas, seguramente la mayoría de ellos inscritos en uno u otro de los muchos credos religiosos, tienen ahora una respuesta parcial. Más importante para los creyentes de los más diversos dogmas, una vez reconocida la posibilidad de vida artificial, con todo y las polémicas que genera, es la que se refiere a la vida inteligente. Hermosamente expuesta por Douglas Hofs-tadter, autor del amirable best seller titulado Gödel, Escher, Bach, en su más reciente Yo soy un extraño bucle, la utiliza de subtítulo a esta última: ¿Por qué un fragmento de materia es capaz de pensar en sí mismo?

Yo quisiera formular una pregunta sin respuesta; a lo mejor la tenga en un futuro cercano. ¿por qué el ser humano, con su inteligencia superior, ha hecho de este paraíso un lugar de contienda e inseguridad? El mundo cuántico abre la puerta a un mundo de infinitas posibilidades. Creo firmemente que ellas


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están abiertas para que formas de negociación basadas en la convivencia con equidad puedan surgir.

como lo advertí en la introducción, no era el propósito del presente ensayo cuántico con opúsculos discretos hacer claridad sobre el aún oscuro origen de la conciencia, ni siquiera de la vida; tampoco lo fue señalar las diferencias (¿contradicciones?) entre las dos grandes teorías del siglo XX, la cuántica y la relativista. observábamos que las aplicaciones de la teoría cuántica son cada vez más amplias, lo cual sugirió parcialmente el título principal de estas notas. La otra parte provino del mal uso (léase el abuso) que de la física cuántica hacen personas que no tienen, al parecer, una pizca de formación científica. La presentación de las aplicaciones, particularmente en un campo tan popular (no por ello entre los menos conocido) como el de la física del estado sólido, o de la materia condensada, para decirlo en forma más amplia, se quedó para la continuación de estas notas. salvaron la notable ausencia tres de los opúsculos discretos que encontrarán a continuación. Un cometido central era explicar las nociones más elementales de la teoría. para muchos probablemente la situa-ción siga siendo la misma: ‘no la entiendo pero hay que creer en ella’.

nada está más por fuera del campo de La ciencia (con mayúscula) que la autoridad. La ciencia encuentra sus métodos para imponer su razón. En oca-siones, esta razón todavía no existe y se apela a ser razonable. Matricularse taxativamente en un campo, el positivismo lógico o el racionalismo empírico, incluso en una cualquiera de sus variantes, puede ser peligroso. Hace mucho renuncié a hablar del método. por eso hablar de ‘el método del método’ o de ‘la naturaleza de la naturaleza’ me suena a colección de muñecas rusas. Los métodos científicos en plural nos permiten el diálogo de saberes (o los diálo-gos, porque seguramente hay muchos). En el mismo sentido, prefiero la hete-rarquía a la jerarquía. El Método convierte la ciencia (ésta sí con minúscula) en religión (con minúscula). En la introducción sugerimos el término religiones de garaje para designar los movimientos New Age (una amalgama), o Nueva Era. Universidades de garaje hay muchas. El término, aplicable a ciertos centros educativos de educación superior, lo tomé prestado de un colega y gran amigo (buinaima, por cierto) Fernando Urbina rangel, quien lo utilizó en el capítulo que él escribió para nuestro libro Conformación de un nuevo ethos cultural, al destacar que una detallada investigación adelantada en la Universidad de Harvard, la más prestigiosa a nivel mundial, revela que la coca es un alimento superior al trigo, al fríjol o la cebada. “no fue precisamente un estudio realiza-do en una de estas «universidades de garaje» que proliferan de modo vergon-zoso en todos los rincones de Bogotá”. pero la coca, asimilada torpemente con la cocaína, se muestra en propagandas oficiales como la mata que mata. En el mismo orden de ideas podría decirse lo mismo de una buena proporción de los resultados de la ciencia. Visto de esa manera, habría que prohibir la ecuación E = mc2, porque de ahí sale la descomunal energía que mata con las bombas


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nucleares, por ejemplo. aquí sí vergonzosamente los países no se han puesto de acuerdo para prohibir ese tipo de armas.

Urbina, miembro del consejo Editorial de «Buinaima», accedió a escribir unos párrafos sobre el presente ensayo aún sin conocerlo. con esta aclaración quiero advertir que lo eximo de toda responsabilidad por el interés que mani-festó en él, toda vez que tan solo conoció la introducción. no tuvo la oportu-nidad de leer más que la mínima parte del texto previo a su publicación, pues estábamos con las prisas de entregarlo oportunamente a la imprenta antes de que vencieran los términos (convencionales fechas que nos amargan el rato). por las mismas premuras, éste capítulo, destinado entre otras cosas a explorar qué tanto se puede avanzar en la vulgarización de la fenomenología cuántica sin correr el riesgo de tergiversar los fundamentos, va a ser el más corto.

La comparación viene a cuento porque en la película What the bleep do we know (ya mencionada desde la introducción) se asesoran de un nutrido grupo de autoridades académicas para convencer a los espectadores de la seriedad de sus argumentos.

La relación entre ciencia y religión ha sido examinada en diferentes ensa-yos, desde diferentes perspectivas. La separación también. En Ciencia versus Religión, un falso conflicto (stephen Jay Gould, drakontos Bolsillo, 2007; en inglés Rock of ages, 1999) puede encontrar el lector una línea de pensamiento, expresada por un agnóstico, similar a la del dalai Lama, un indiscutible líder espiritual, en El universo en un átomo, cómo la ciencia y la espiritualidad pueden salvar el mundo (debolsillo, random House, 2006). son temas ‘com-pletamente distintos e igualmente vitales’. Encuentro sabia la estrategia de la ‘separación respetuosa y de principio’ propuesta por Gould y muchos otros. para no comprometer los propósitos de esta primera parte, no voy a exten-derme demasiado en el asunto, pero es necesario mencionarlo. Me parece de mayor importancia el tema de ciencia y sociedad, pero prefiero otro espacio para un examen más minucioso.

He procurado brindar argumentos a mis lectores profanos, los que no tienen las herramientas matemáticas que exige la ‘nueva física’, para que, armados de un método como el provisto por la física clásica sin matemáticas, puedan replicar a quienes, pergeñando unas ecuaciones, diferenciales o no, traten de convertirlos a la religión mecanicista. Al final de este breve capítulo aportaré los argumentos de un escéptico para que, cuando alguien farfulle algo desde la curación cuántica, no caigan fácilmente en el esquema de los neoerenses. El materialismo del siglo XIX adolece de un defecto: no conoció el poder de la energía. El del siglo XX adolece de otro: no parece conocer el poder de la infor-mación. no es para preocuparse: ese poder todavía no se conoce plenamente. Hay otros puntos de vista que, por el contrario, se aventuran a especular desde la información cuántica. Es muy temprano para examinar sus argumentos. Qui-


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zá hayamos avanzado un poco más cuando la segunda parte de este ensayo vea la luz pública, seguramente a comienzos del año que viene… algo así como para cuando estemos celebrando de verdad (no anticipadamente) en varios países latinoamericanos las efemérides patrias.

adrede he puesto cursiva en las efemérides. no estoy en contra de estas celebraciones, pero sé muy bien que se intentarán aprovechar para que nada cambie, para que todo siga igual. Estoy hablando ahora de ciencia y sociedad, por extraño que parezca. por supuesto que para que todo siga igual habrá que aprovechar las más altas tecnologías. Hoy se habla de las nuevas t.i.c. En «Bui-naima» preferimos hablar de los viejos t·I·c, para buscar el cambio: ‘para ge-nerar nuevas formas de pensar y de actuar’. Las nuevas son aquellas que cada día se renuevan: las tecnologías de la información y de la comunicación. Los viejos (término masculino, por la extraña norma de que la mezcla de género da masculino), las herramientas que se podrían renovar también todos los días: el talento, el ingenio y la creatividad, un acrónimo nemotécnico. tal vez no se haya presentado antes una mejor ocasión para pensar en renovarlos que la ofrecida por una incursión en el maravilloso mundo abierto por la fenomenolo-gía cuántica; para encontrar nuevas formas de pensar y de actuar que nos per-mitan hacer de este mundo un lugar en donde todas las especies vivas, no solo el género humano, encuentren su lugar apropiado. Entonces no tendríamos que preocuparnos tanto por adecuar la atmósfera de Marte para que pudiéramos vivir allí sino mucho más por preservar nuestra nave espacial llamada tierra. tal vez estemos más cerca de la teoría de todo que hace 100 años, cuando se formuló la primera hipótesis (desesperada, a lo planck, en 1900; más sustenta-da, a lo Einstein, en 1905). Con unas breves reflexiones alrededor de ese tema volveré para terminar mi contribución a esta parte de un ensayo.

no obstante los buenos deseos, la física cuántica plantea problemas gigantes-cos que es preciso no subvalorar a quien, como yo, quiere explicársela al gran público. Uno de ellos es de orden práctico (aunque de origen teórico): puesto que la física cuántica se ha edificado a partir de una supuesta ruptura con los conceptos familiares (clásicos y preclásicos), ha tenido que ingeniarse o crear otros que escapan al lenguaje ordinario, los cuales se encuentran tan alejados de la experiencia corriente que con ellos se pierde toda intuición sensible y casi todo contacto con la realidad clásica. En otros términos, la física cuántica ha abierto una brecha enorme entre lo concreto y lo abstracto. pero hay una buena noticia: ha acercado más dos términos aparentemente antagónicos como materia y energía, puesto que ahora los fotones, por ejemplo, se comportan lo mismo que los electrones. Veremos que la segunda revolución va a tener que acercar más otros conceptos por ahora vagos. Uno de esos vagos conceptos, un concepto que hasta ahora empieza a matematizarse, a materializarse si se quiere, es la información. He preferido subrayar el término y no cursivarlo para destacar la importancia que habrá de tener en un futuro cercano un nuevo concepto y un nuevo enfoque de la información.


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dada la importancia del tema, no podía faltar. afortunadamente una de las autoras de los opúsculos (otra vez, como casi siempre ocurre, hubo una mayoría masculina entre los seis autores y conferencistas del cptpt, a los cuales me referiré enseguida) me evitó hablar de un tema en el cual me encuentro en la infancia. El tema también está en su infancia, así que no me siento mal a mis 63 por ser todavía un neófito en el asunto.

destacaba también en la introducción cómo líderes espirituales de la talla de su santidad dalai Lama se han interesado profundamente por el tema cuántico. otros líderes espirituales, de los que abundan tanto en estos tiempos de globa-lización, recurren al cuento cuántico. Es interesante señalar que el destacado lama actual, a pesar de que otro tipo de fundamentalismo le ha negado la po-sibilidad de vivir en su patria, se ha preocupado por obtener, al menos, infor-mación científica (las cursivas no son peyorativas) de primera mano. destacados físicos actuales y otros fallecidos, entre los cuales sobresale david Bohm, por su estatura de humanista, no solamente un gran científico, fueron los maestros en sus fundamentos cuánticos. (No pudiendo ser exhaustivo, prefiero no mencionar a los primeros; también ha habido biólogos de primera línea entre sus asesores o tutores, no solamente sabios budistas).

cuando se habla de las interpretaciones de la mecánica cuántica, es imposible no referirse a Bohm. Vino en mi ayuda uno de los autores de los opúsculos, esta vez un filósofo archiconocido, quien se encargó de resaltar la contribución de Bohm a la interpretación de la mecánica cuántica. Yo no habría podido hacerlo, pues renuncié (por ahora) a las variables ocultas, locales y no locales, después de un frustrante trasegar por la electrodinámica estocástica. El camino no está agotado, como lo señala Maldonado. Es desfortunado que algunos movimientos neoerenses recurran a Bohm y a muchos otros físicos reconocidos para farfullar sus explicaciones.

Para continuar en orden inverso con los opúsculos, uno de ellos se refiere a un tema muy de moda. nadie mejor que un físico de las altas energías para hablar-nos de un campo que nos trae todavía muchas sorpresas, entre ellas dirimir ex-perimentalmente si existe o no la partícula divina (el bosón de Higgs). Mesurado en su contribución, hasta cierto punto, prefirió no referirse in extenso al asunto; para el siguiente ensayo es probable que tengamos algún asidero experimental proveniente del LHc o un nuevo modelo estándar.

Hace mucho, prácticamente desde los albores de la mecánica cuántica, se afirma que la química es un capítulo de la física. Más especulativo que práctico, después de 3 semestres infructuosos tratando de entender los enlaces desde la química preferí ingresar al departamento vecino. creo que fue una buena deci-sión. por más que le intenté desde cuando aún no existían los supercomputado-res, o precisamente por eso, la teoría del funcional de densidad se quedó para mí en eso: solo teoría. convertida hoy en una maravillosa herramienta de cálcu-


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lo desde primeros principios, se utiliza también para hacer detallados cálculos de dinámica molecular. pero hay otros esquemas. Es imposible un acercamiento al problema sin un complejo andamiaje matemático y técnico, este último en el sentido del software. Uno de mis más brillantes estudiantes, hoy colega (y por supuesto amigo), me evitó el engorroso trabajo de hablar de la química desde la física.

sería imperdonable no referirse a esa parte del Universo que todavía no sa-bemos qué es, pues según cálculos recientes es más del 95 %. nadie mejor para hacerlo que un astrónomo con larga trayectoria en el terreno de la divulgación de la astronomía, tierra nada firme.

por último, pero indudablemente lo más importante, está el campo de la salud. a pesar de que he incursionado en el tema de las nanopartículas desde hace muchos años (el borrador de mi primera publicación en nanopartículas me-tálicas, por supuesto cálculos teóricos, tiene justo 25 años cuando estas notas se publiquen), no podría hablar con propiedad de sus aplicaciones en el campo de la medicina: la nanomedicina. Una brillante médica y destacada docente nos pone al tanto de los recientes avances, mostrándonos de paso que no se requie-re ser físico(a), ni siquiera haber incursionado demasiado en la disciplina, para hablar de estos temas, siempre y cuando se aborden con seriedad.

si han leído las reseñas hechas al comienzo del ensayo sobre los autores de los opúsculos, estarán de acuerdo conmigo en que dimos en el blanco. recorridos en orden inverso a como se presentan a continuación (Suplemento 1, lo cual puede interpretarse en el sentido de que vendrá al menos otro), los opúsculos discretos son lo más valioso del texto que el lector tiene entre sus manos. Lo expreso con claridad solo al final, para que, a lo mejor, con un poco de paciencia, el lector haya llegado hasta aquí antes de pasar a la segunda parte (un salto clásico, no cuántico). para terminar, permítame el lector hacer el cierre con algunos temas que definitivamente no son de mi especialidad. Así que, parodiando a Feynman, a Bohr y a otros descomunales artífices de la nueva fantasía, he decidido poner punto (seguido, supuestamente) a este monólogo que aspiro a convertir en diá-logo, con el consabido: ¿entendido?

Ciencia, religión y sociedad

aclarado que este tema no es mi especialidad, me he tomado la libertad de citar a diversos autores que, en ocasiones en forma controvertible, a veces por la autoridad de sus palabras y la armonía (dícese sabiduría o belleza y verdad) con que construyeron, en mi criterio, las frases citadas, me eximen de escribir el texto equivalente.

todo acontece como si la teoría cuántica casi se hubiese liberado del lenguaje gracias a la íntegra formalización de su contenido. ahora bien, el objetivo de


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la vulgarización se cifra justamente en decirlo todo con palabras. se presenta así un conflicto de naturaleza. Espero no haber abusado del lector ajeno a las matemáticas transcribiendo unas ecuaciones que, deseo y confío, sean de utili-dad y no se hayan convertido en intimidación. algunas de las imágenes provistas quizá hayan venido en su ayuda.

“La antinomia que hace prácticamente imposible transmitir por medio de imágenes o del lenguaje lo que es la física cuántica no es fácil de superar. En primer lugar, porque debido a ella toda metáfora verbal que abrigara la inten-ción de ser pedagógica correría el riesgo de llevar a contrasentidos o a malen-tendidos, en tanto que cualquier simplificación excesiva no haría sino secundar un error craso. En segundo lugar, porque nos lleva a toparnos con los límites propios del arte de explicar: explicarle cualquier cosa a alguna persona, las más de las veces consiste en relacionar esa cosa con las nociones ya conocidas por esa persona, es decir, con las nociones que le son familiares. pero, ¿cómo hacer para explicar precisamente lo que no tiene relación alguna con lo que resulta familiar, sea lo que sea esto? si bien el físico paul Langevin (1872-1946) pretendía que “lo concreto es lo abstracto a lo que el uso ha tornado familiar”, forzoso es reconocer que ciertas familiarizaciones toman tiempo...

Y ello sin contar con que la dificultad que existe para explicar lo que es la física cuántica y aquello de lo que verdaderamente trata casi no contribuye en nada a solucionar los problemas de quienes desean darla a conocer. Las ambigüedades que persisten por lo que se refiere a su interpretación impiden referirse a ella con autoritarismo, a base de fórmulas perentorias (“La física cuántica afirma que...”, “tal premio nobel ha declarado que...”). ahora bien, al parecer, un mensaje con matices y abierto siempre resulta menos fácil de transmitir que una hermosa conclusión que se tiene a sí misma por definitiva.

¿son ésas las razones que explican que las ciencias hayan podido descuidar a tal punto el compartir su saber y sus cuestionamientos, contentándose con afirmar su profesionalismo? Lo que sucede con la física cuántica es que ésta siempre se presenta como la víctima de un mal extraño. se la menciona con frecuencia, pero pocas veces se la explica. se hace referencia a ella, pero se la cita en mucho menor medida. Muchas obras recurren a los conocimientos de segunda mano para otorgarles a sus concepciones aproximativas sobre la ‘naturaleza de las cosas’ el prestigio de una teoría física. La argumentación de esas obras se nutre con alusiones furtivas y diferentes a las pretendidas enseñanzas de la física cuántica. En las proximidades de esta última se buscan garantías de todo género, e incluso bendiciones. por ejemplo, aquí y allá se pretende hacer creer que la no separabilidad, la cual prohíbe que se pueda dividir mediante el pensamiento al objeto de la descripción cuántica, implica la transmisión instantánea de energía o de señales a distancia, lo que se ha demostrado falso.


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contrasentidos semejantes, más o menos graves, también se encuentran en relación con otras nociones, sirviendo de alimento a diversas corrientes de pensamiento, como es el caso de la Nueva Era. La boga en constante ascenso de ese movimiento no puede menos que provocar la reacción de los científicos, pues se apoya explícitamente en una terminología que ha tomado prestada de la ciencia. ¿Qué es la New Age? Un breñal en el que se enzarzan todo género de discursos sobre las religiones, el alma y las ciencias. Hasta ahí, nada hay que censurar a quienquiera que sienta inclinación por las cuestiones del intelecto y se preocupe por establecer conexiones entre las esferas en las que la mente desempeñe un papel. sin embargo, en la orilla de algunos de los senderos de ese breñal, distinguimos a la cibernética planetaria entrelazándose con la física de las partículas, la no separabilidad cuántica, la cosmología, el caos, las neu-rociencias, y encontramos que todas estas disciplinas han sido bautizadas a la ligera como ‘nuevas ciencias’. El todo germina y pulula sobre el telón de fondo de la crisis ecológica y de interrogantes sobre el futuro de la humanidad. Ese ‘hiper-mercado espiritual’, como lo llama el filósofo Michel Lacroix, se encuentra invadido de artículos de importación, algunos de los cuales se pretende que han nacido de la ciencia. a golpes de esparadrapo sincrético y de pegamento scotch concep-tual, algunos escribas de la Nueva Era edifican una clase de holismo a base de no separabilidad, de materia-energía, de dualidad onda-corpúsculo, de espacio-tiempo... Como es evidente, el todo se presenta como una conclusión científica ineluctable, cuando no es sino una mixtura de vulgatas y de conclusiones comodín, e incluso una simple hibridación de vocablos disparatados.

El espectáculo que ofrecen semejantes amalgamas constituye un motivo de in-quietud. ¿acaso no son cuestionables los efectos nocivos de cierta vulgarización que difunde un vocabulario en lugar de conceptos, una vulgata en lugar de un saber, imágenes a cambio de ideas, y metáforas en lugar de explicaciones? sin influir en las ideologías que la rechazan o, lo que es peor, la disfrazan para luego apropiársela, la ciencia se encuentra de ahora en adelante sin salida: si ella se desmarca tajantemente de sus contrahechuras, entonces se la acusa de dogmatis-mo; si no lo hace así, entonces corre el riesgo de permitir que se destruyan sus raíces mismas.

Es indiscutible que el descubrimiento de la constante de planck ha desembo-cado en un pensamiento revolucionario, aportando una nueva mirada a la repre-sentación y a la explicación de los fenómenos físicos. Hace poco hemos celebrado su primer centenario. (Esta frase la actualicé, pues fue escrita en 1999). Un siglo no habrá bastado para garantizar el enlace de la física cuántica con la cultura con-temporánea. ¿a qué responde que el desarrollo explosivo de la investigación apenas haya logrado esclarecer al público sobre la naturaleza real de las ciencias? ¿cómo explicar que el llamado hombre “de la calle” sepa hoy más acerca de los arcanos de los temas astrales que sobre la moderna clasificación de las partículas elemen-tales, lo que comparativamente es mucho más sencillo?


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Vemos que, para todos los ‘comunistas’ del saber, hay pan en la mesa y un enor-me desafío que aceptar. por lo que corresponde a la física cuántica, que ya ha sido la sede de las más grandes sorpresas, esos “comunistas” no tienen necesidad alguna de envolver en el esoterismo sus explicaciones ni de uncirlas a lo paranormal.

se trata simplemente de mostrar a las inteligencias ávidas de ejercitarse en la variedad que la física cuántica constituye un hermoso estadio; a fe mía, muy bien situado”.

Hasta aquí los extraordinarios (así los valoro) párrafos finales del breve en-sayo de Klein titulado: LA FÍSICA CUÁNTICA, Una explicación para comprender, Un ensayo para reflexionar, ensayo que no he dudado en suministrar a mis es-tudiantes como una primera aproximación al cptpt.

continúo transcribiendo los prometidos párrafos de steven novella en su Skeptic’s guide to the universe, página publicada el 11 de mayo de 2006:

“Hace aproximadamente 100 años, la radioactividad era algo nuevo y fan-tástico, y como pasa con todos los descubrimientos novedosos, los charlatanes estuvieron allí. durante los 50 años siguientes, hasta que la Fda lo prohibió, los tónicos radioactivos se hicieron populares; los musculados pregonaban y ensal-zaban los efectos energizantes de estas pociones (mientras que en realidad se iban matando poquito a poco con radiación venenosa). después de Hiroshima, los verdaderos efectos de la radiación se hicieron demasiado familiares para el público. de modo que la radiación fue arrinconada y los vendedores ambulantes buscaron otros misterios científicos que usar en sus brebajes.

Hoy en día, el campeón sin competencia de la infraciencia es la mecánica cuántica, la rama de la física que estudia la energía y la materia a niveles ató-micos y subatómicos y reconoce que estos existen fundamentalmente en paque-tes discretos, o cuantos. algunos gurús como deepak chopra, autor de Sanación Cuántica, usan la palabra ‘quantum’ para dar a su filosofía una apariencia cientí-fica. Fritjof Capra, en su libro El Tao de la Física, compara la teoría cuántica con las filosofías orientales y con la idea de que todas las cosas están interconecta-das místicamente. cuando se intenta convencer a los investigadores en astrolo-gía, médiums y percepción extrasensorial acerca de la aparente imposibilidad de sus afirmaciones, la forma más sofisticada que tendrán de defenderse será, casi con toda certeza, la de farfullar algo relacionado con la mecánica cuántica.

sin lugar a duda, el más descarado abuso de la teoría cuántica para dar so-porte al disparate es la película What the Bleep Do We Know!, producida por los seguidores de JZ Knight, la mujer californiana que ha timado a millones de personas ‘canalizando’ al supuesto espíritu de 35.000 años de un neandertal llamado ramtha. En esta película amanda, que es interpretada por Marlee Mat-lin, ‘se encuentra a sí misma en una fantástica experiencia similar a alicia en


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el país de las Maravillas’ donde revela el incierto mundo del campo cuántico que hay escondido bajo lo que nosotros consideramos nuestra realidad normal y consciente.

no hay duda de que la mecánica cuántica es extremadamente rara; incluso es bien conocido los problemas que Einstein tuvo antes de aceptar sus implica-ciones, pero después de casi un siglo de experimentación, no existe evidencia alguna de que la teoría cuántica pueda ser empleada para justificar violaciones aparentes en el resto de los libros de texto sobre física.

Un error de concepto común en el que se incurre es el de que la teoría cuánti-ca demuestra que el observador, en cierto sentido, crea o al menos determina la realidad. Esto se basa en las observaciones que sostienen que las partículas fun-damentales, como los electrones y fotones, existen como probabilidad de onda hasta que un experimentador intenta medir su posibilidad, momento en el cual la probabilidad de onda colapsa en una partícula discreta (y de ahí la llamada dualidad onda/partícula de la materia). sin embargo, no es la mente del ob-servador la que causa ese colapso, tal y como algunos espiritualistas han querido hacer creer. simplemente sucede que no se puede medir nada relacionado con una partícula a no ser que se interactúe con ella de algún modo. El estado de onda cuántica de la materia es muy frágil, y colapsa en cuanto interactúa con su entorno, algo que sucede por ejemplo cuando un fotón interactúa con la pe-lícula que se emplea para registrar su posición. El observador es secundario.

otro error común es la noción de no localidad, o entrelazamiento cuántico. algunos experimentos han demostrado una fantasmagórica cualidad de las par-tículas cuánticas: las así llamadas partículas entrelazadas pueden afectarse la una a la otra instantáneamente a cualquier distancia, incluso aunque se encuentren separadas a años luz. crea dos partículas entrelazadas con espines opuestos, cambia el espín de una de ellas y el de la otra también cambiará, no importa lo lejos que estén. sin embargo, hasta el momento parece imposible emplear esta extraña propiedad para transferir información violando de este modo la limitación de la velocidad de la luz. además, este entrelazamiento se rompe rápidamente en cuanto una de las dos partículas interactúa con otras (un efecto llamado decoherencia).

(si tienes problemas para seguir este texto, entonces ya tienes alguna idea de por qué resulta tan fácil explotar la teoría cuántica para engatusar y con-fundir).

de modo que los efectos cuánticos parecen ser muy frágiles y solo están pre-sentes bajo condiciones experimentales construidas muy cuidadosamente. no están presentes en el mundo macroscópico el mundo de los objetos físicos y las criaturas vivientes (aunque sí hay estados macroscópicos coherentes, como es el caso del estado superconductor, nota de este traductor). no pueden emplearse


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para explicar la percepción extrasensorial o el modo en que los mundos dis-tantes afectan a la personalidad de alguien, pero logran que los mercaderes de disparates parezcan un poquito más inteligentes, al menos hasta que cambien a la siguiente teoría científica difícil de entender”.

agrego ahora un par de párrafos tomados del libro referido de dalai Lama:

“Una de las características más extraordinarias y fascinantes de la física mo-derna es la forma en que el universo microscópico de la mecánica cuántica desa-fía nuestro entendimiento racional del mundo. El hecho de que la luz pueda ser percibida como una partícula tanto como una onda, que el principio de la incerti-dumbre afirme que nunca podemos saber al mismo tiempo qué hace un electrón y dónde se encuentre, y la noción cuántica de la superposición sugieren una manera de comprender el mundo enteramente distinta a la de la física clásica, según la cual los objetos se comportan de un modo determinista y previsible”. El papa del budismo entra después a considerar la famosa paradoja de la gata (sic) de schrödinger, tema al cual volveremos en la segunda parte y del cual han sacado conclusiones equivocadas hasta algunos de los más destacados teóricos (véase el segundo capítulo de Las carencias de la realidad, de ramón Lapiedra).

Es para reflexionar la siguiente anécdota narrada por el Lama. Empieza pre-guntándose: “aparte de inducir a una interpretación errónea de la realidad ¿qué hay de malo en creer en la existencia intrínseca e independiente de las cosas?” En cierta ocasión, nos dice planteó esa pregunta a david Bohm: “desde la perspecti-va de la ciencia moderna, aparte del problema de una interpretación equivocada ¿qué tiene de malo la creencia en la existencia independiente de las cosas? su respuesta fue reveladora. Me dijo que, si examinamos las diversas ideologías que tienden a dividir la humanidad, como el racismo, el nacionalismo extremista o la lucha de clases marxista, vemos que uno de los factores clave de su origen es la tendencia de percibir las cosas como intrínsecamente divididas y desconectadas. de este error de concepto surge la creencia de que cada una de dichas subdivi-siones es esencialmente independiente y existente en sí misma”. aclaro que uno de los propósitos de Marx era precisamente terminar con la lucha de clases y, por ende, con el racismo, el nacionalismo extremista y otros fundamentalismos.

Ligeramente en la misma dirección pero con formato y contenido totalmen-te descabellado, esta cita tomada de Newsweek por Gould en su obra citada (pg.210). Lamentablemente no hace referencia a la fecha de la publicación, pero se observa que pertenece a las postrimerías del siglo XX. ¿tal vez cuando la fa-mosa Teoría del diseño inteligente, o más bien ‘la saga de los intentos realizados por los creacionistas para prohibir la enseñanza de la evolución’ (algo que segura-mente sólo pudo ocurrir para esa época en los Estados Unidos de norteamérica), estaba de moda?:

«Tómese el difícil concepto de Jesús quien es a la vez completamente divino y completamente humano. Resulta que esta dualidad tiene un equivalente en la


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física cuántica. En los primeros años de este siglo, los físicos descubrieron que las entidades que se pensaba que eran partículas, como los electrones, pueden actuar asimismo como ondas… La interpretación ortodoxa de esta extraña situa-ción es que la luz es, simultáneamente (sic), onda y partícula… Lo mismo ocurre con Jesús, sugiere el físico F. Russell Stannar de la Open University de Inglaterra. No hay que considerar a Jesús como realmente Dios en un disfraz humano, ni como realmente humano pero que actuaba como divinidad, dice Stannard: “Era plenamente las dos cosas”.»

Otra reflexión significativa no tan descabellada surge del siguiente párrafo, tomado de Una teoría de todo, recopilación hecha por el controvertido filósofo estadounidense Kenneth Earl Wilber Jr. (Ken Wilber):

“Los griegos tenían una hermosa palabra –Kosmos– para referirse a la tota-lidad ordenada de la existencia, una totalidad que incluía los reinos físicos, emocionales, mentales y espirituales. desde su punto de vista, la realidad úl-tima, pues, no era tanto el cosmos (la dimensión estrictamente física) como el Kosmos (que incluye las dimensiones físicas, emocionales, mentales y espiri-tuales). El Kosmos no se refería sólo a la materia inanimada e insensible, sino a la totalidad viva compuesta por la materia, el cuerpo, la mente, el alma y el espíritu. ¡si debe existir una auténtica toE (theory of everything), ésa no debe centrarse exclusivamente en el cosmos sino en el Kosmos! Lo que ocurre es que la modernidad ha acabado reduciendo el Kosmos al cosmos, la totalidad com-puesta de materia-cuerpo-mente-alma-y-espíritu a la materia hasta el punto de que, en el mundo insípido y anodino del materialismo científico, nos conforma-mos con la idea de que una teoría que unifique la dimensión física realmente es una toE… según se dice, la nueva física nos revela la mente de dios y tal vez sea así… (sic) pero sólo cuando dios esté pensando en la mera materia. pre-guntémonos, pues —sin negar por ello, en modo alguno, la importancia de una física unificada— si acaso podemos disponer de una teoría que no se limite al cosmos sino que tenga realmente en cuenta al Kosmos. ¿acaso puede haber una auténtica toE?, ¿es legítimo preguntarse estas cosas? Y, en tal caso ¿por dónde tendríamos que comenzar?

Una verdadera ‘visión integral’ –una auténtica toE– debería incluir la mate-ria, el cuerpo, la mente, el alma y el espíritu tal y como se nos presentan en su despliegue a través del yo, la cultura y la naturaleza. debería tratarse de una visión comprehensiva, equilibrada e inclusiva, una visión que abrazase la cien-cia, el arte y la moral, una visión que englobase todas las disciplinas (desde la física hasta la espiritualidad, la biología, la estética, la sociología y la oración contemplativa) y se expresase a través de una política integral, una medicina integral, una espiritualidad integral…”

aunque con frecuencia se lo describe como un escritor new age, su obra es duramente crítica con estos movimientos. practicante de distintas técnicas budistas de meditación (en especial zazen) e incluso reconociendo su posición


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filosófica ampliamente influenciada por Nāgārjuna, al igual que el Lama, Wilber no se identifica como budista. Es controvertible su visión integral hecha a par-tir de disciplinas integrales, pues por ese camino llegaríamos efectivamente a encontrar el Universo en un solo átomo, como titula el Lama su libro. sin iden-tificarme del todo con el pensamiento de uno y otro, sí creo en la búsqueda del conocimiento integral. de hecho, hemos acuñado las siglas c.i. (conocimiento integral) por contraposición al CI (coeficiente intelectual), prueba de la cual hemos abjurado, al menos en la forma en que se practica hoy en día. nos ale-jaríamos demasiado del propósito de estas notas, pero caminando en la misma dirección de la integralidad quiero hacer referencia a un reciente fascículo de la Revista Internacional Magisterio titulado “cerebro, corazón y mente”. En conversaciones con carlos Eduardo Vasco Uribe, llegábamos a la conclusión de que el título es equivocado: cerebro, corazón y mano sería más equilibrado. por lo demás, el fascículo de la revista, como casi todos, está muy bien logrado.

He pensado seriamente en escribir una continuación al ensayo escrito a va-rias manos sobre Nanotecnociencia. si lo logro, probablemente su título sea algo así como éste: El universo nano, ¿infierno o paraíso? tengo razones para preocuparme. también para ser optimista. algunas de ellas fueron expuestas en la introducción a ese ensayo previo. también, o por la misma razón, los argumentos en el sentido de que, a pesar de estar en la infancia, la revolución que causará la mal denominada nanotecnología será muy superior a la suma de las revoluciones tecnocientíficas anteriores. Aquí sí que vale la pena hablar del binomio ciencia y sociedad. preferiría referirme a un trinomio sobre el cual se hicieron profundas reflexiones hace 15 años y de las cuales, al parecer, poco quedó en la práctica, salvo el evidente aumento del número de grupos de in-vestigación en colombia. de unas pocas decenas, quizá una centena, se pasó a varios miles en el mismo período. Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo se denominó a la que los medios reconocieron en su época de máxima vigencia como la Misión de los diez sabios. pero esos asuntos han sido y serán tema, como ya lo he dicho, de otros espacios.

Volviendo a la unidad propuesta cerebro-corazón-y-mano, el cerebro puede guiar a lo que entendemos simbólicamente por corazón y por mano. La mano es la acción y el corazón son los sentimientos. para decirlo con otras palabras, recurro a Federico schiller, en una frase que ya referí al comienzo de una de mis contribuciones a Conformación de un nuevo ethos: “Que los sentimientos sean razonables y la razón sea sensible”. o mejor: que una frase como ésta sea Preludio a unos opúsculos continuos.


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234

235

sUpLEMEnto 1:

opÚscULos dIscrEtos


236

Suplemento 1: Opúsculos discretos

237

NaNOTECNOLOGÍa y saLuD: Las DOs CaRas DE uN VIaJE FaNTásTICO

Dianney Clavijo Grimaldo. [email protected]

Coordinadora, Departamento de Fisiología, Facultad de Medicina, Fundación Universitaria Sanitas.

Profesora, Departamento de Morfología, Facultad de Medicina, Universidad Nacional de Colombia

Introducción

En 1966 se estrenó el Viaje Fantástico (Fantastic Voyage), dirigida por ri-chard Fleischer, guión de Harry Kleiner, sobre la adaptación de david duncan de una historia de Jay Lewis Bixby y otto Klement. La película muestra cómo, para salvar la vida de un importante científico herido en un atentado, un agente de la cIa y un equipo médico son miniaturizados e inyectados en el cuerpo del hombre cuya vida está amenazada por un coágulo a nivel cerebral. deben repa-rar el daño en 60 minutos, lapso en el cual recuperarían su tamaño normal, ya que el científico herido es el único que conoce el secreto que evita que los ob-jetos miniaturizados recuperen su tamaño normal pasado ese plazo y antes que las defensas naturales del cuerpo los ataquen. Esta historia de ficción, a pesar de sus incoherencias científicas, se ha considerado “fuente de inspiración” en la nanotecnología, especialmente en cuanto a las posibilidades de aplicación en el campo médico.

La nanotecnociencia es la ciencia involucrada en el diseño de materiales funcionales, dispositivos y sistemas por medio del control de la materia a es-cala nanométrica. recuérdese que 1 nm = 10 -9 m.1-3 La nanomedicina es la aplicación de la nanotecnología a la medicina con el objeto de realizar control sobre estructuras biológicas (desde células hasta genes), con el fin de mantener y establecer la salud.3 Incluye el diseño y aplicación de nanosistemas para el diagnóstico, tratamiento, monitorización y control de diversas funciones bioló-gicas, así como el diseño de biomateriales que contribuyan a la regeneración de de tejidos y órganos (Figura 1).4

En dimensiones nanométricas las propiedades físicas, químicas y biológicas de los materiales cambian drásticamente, con relación a las propiedades del mismo material en escalas mayores; esto permite la interacción a nivel celular y molecular con alto grado de especificidad. ¡Los sistemas que actualmente se investigan para ser utilizados en nanomedicina generalmente tienen un tamaño entre 1 a 100 nm, es decir, una célula promedio es gigante si se le compara con ellos! (Figura 2).


238

son numerosos los nanosistemas con aplicaciones biológicas y médicas: na-nopartículas, nanotubos, dendrímeros, nanocápsulas, nanoesferas, nanoliposo-mas, nanoemulsiones, nanofases, puntos cuánticos, entre muchos otros. Estos nanosistemas, así como otros no mencionados, generalmente se están dise-ñando con funciones “múltiples”: en un mismo sistema se combina un agente que permite identificar y ubicar células y tejidos lesionados utilizando diver-sas imágenes médicas (resonancia Magnética, por ejemplo), un acarreador que transporte el medicamento y un agente que se una a ligandos presentes en las células blanco (Figura 3). Esta combinación permite no sólo el diagnóstico opor-tuno (incluso antes de que se presenten signos o síntomas en un paciente), sino facilitar que el medicamento se una específicamente a las células enfermas sin producir efectos nocivos en las células vecinas sanas. Incluso podrían añadirse sensores que midieran cambios en el metabolismo celular para indicar que tan efectivo es el tratamiento aplicado.5-8

Figura 1.

Figura 2.


239

Figura 3.

Las ventajas de un diagnóstico temprano y oportuno

La posibilidad de un diagnóstico temprano abre la esperanza de que la nano-medicina se convierta en una herramienta fundamental en la batalla contra el cáncer. cuando un paciente consulta con signos y síntomas de cáncer, general-mente la enfermedad se ha extendido demasiado, dificultando la posible cura-ción. Los signos o síntomas pueden deberse a que el tumor primario perturba la función del órgano donde se desarrolla y/o comprime órganos y estructuras vecinas o a que existen siembras del tumor en órganos diferentes a donde se inició la lesión neoplásica (metástasis). Lo ideal es diseñar sistemas que detec-ten los cambios moleculares que presenta una célula alterada, para poder ata-carla antes de que se conviertan en una masa tumoral que puede dar siembras a muchas partes del cuerpo (Figura 4).

Figura 4.


240

Hay avances significativos en el diagnóstico de lesiones cancerosas, con el uso de nanopartículas superparamagnéticas Ultrapequeñas de Óxido de Hierro para mejorar la sensibilidad de las imágenes de resonancia Magnética (Figura 5). La detección adecuada de siembras tumorales a ganglios linfáticos no sólo reduce el tiempo y complicaciones quirúrgicas para el paciente, sino que es esencial para determinar el tratamiento a seguir.9-10 Los nanodispositivos utili-zados como agentes de contraste en imagenología médica (especialmente en resonancia nuclear Magnética, Ecografía y tomografía) tienen claras ventajas sobre los agentes tradicionales, especialmente por la posibilidad de unirse a células específicas.

Figura 5.

otro ejemplo de la importancia del diagnóstico temprano se tiene con la aterosclerosis. En esta enfermedad los vasos sanguíneos se lesionan y se genera una placa que altera de manera notable la irrigación (suministro de sangre) a los diversos órganos. Las consecuencias más temidas de este trastorno son la enfermedad coronaria, el infarto del miocardio y los accidentes cerebrovascu-lares, que ocupan en nuestro país los primeros lugares de morbilidad y morta-lidad por causas no relacionadas con la violencia. La detección a nivel celular y molecular de estas lesiones en la pared de los vasos sería posible gracias a la utilización de nanopartículas que se liguen específicamente a factores locales producidos por activación de la placa aterosclerótica. cuando la lesión fuera localizada, la nanopartícula liberaría medicamentos para inhibir los cambios y la proliferación celular que lleva a la estenosis del vaso sanguíneo afectado por la placa. también existe la posibilidad de que una vez se detecte la activación de la placa, el nanosistema (una nanoburbuja, por ejemplo) libere genes que permitan marcar el sitio de trabajo (gracias a la incorporación del gen de pro-teína Fluorescente Verde, por ejemplo), modificar el comportamiento de las células y hacer que este vaso sanguíneo se autorepare (Figura 6).11-12


241

Figura 6.

pero, ¿que podría hacerse si el diagnóstico no es “tan temprano” y se está ante la presencia de una enfermedad coronaria avanzada, con obstrucción se-vera de los vasos? si la situación no es atendida y hay una alteración en el ba-lance entre el consumo y el aporte de oxígeno a las células miocárdicas, estas podrían morir por necrosis (infarto cardiaco). En estos pacientes, además de mostrar la imagen del territorio cardiaco afectado, las nanopartículas podrían incorporar genes con diversos factores de crecimiento para generar nuevos va-sos sanguíneos que distribuyeran oxígeno y nutrientes a las células afectadas (Figura 7).11-12

Figura 7.


242

Incluso si el paciente requiere la colocación de un stent coronario (disposi-tivo cilíndrico que se coloca en el interior de una arteria coronaria obstruida para mantenerla permeable), alternativa terapéutica ante la cirugía de bypass (cirugía de revascularización cardíaca o de “corazón abierto”) en pacientes seleccionados, se encuentran en investigación cubiertas nanotexturizadas que promueven la adherencia de células especializadas de las paredes de los va-sos sanguíneos, tales como las células musculares lisas y endoteliales al stent, disminuyendo las probabilidades de re-estenosis y trombosis.13 Finalmente, en ensayos animales se han utilizado soluciones nanohemostáticas, cuyo uso es prometedor, ya que disminuyen notablemente el tiempo de sangrado, preservan la integridad de células cercanas y favorecen el proceso de regeneración.5,14

¿se acabarán las inyecciones?

debido a su naturaleza peptídica o proteínica, muchos medicamentos (como la insulina, algunas vacunas y medicamentos contra el cáncer) son administra-dos generalmente por vía subcutánea, intramuscular o intravenosa (Figura 8). La nanotecnología avanza en la posibilidad de administrarlos por vía oral.

Figura 8.

por medio de nanoesferas (sistemas gel y coloidales que contienen una sus-tancia activa, adsorbida en la superficie o disuelta en el interior de la partícula) y nanocápsulas (sistemas vesiculares en donde la sustancia activa está confina-da en un núcleo lipídico o acuoso y rodeada por una membrana polimérica de una o múltiples capas), péptidos y proteínas podrán ser administrados por vía oral, con especificidad (si se añaden moléculas que se unan a ligandos celulares específicos) y reducción de los efectos secundarios (Figura 9).15


243

Figura 9.

La nanotecnología permitiría la administración de medicamentos por otras vías, además de la vía oral. Las nanoemulsiones, por ejemplo, pueden utilizar-se como medio para la administración de vacunas por vía mucosa (p.e., nasal, ocular…), al ser más estables, estas vacunas podrían mantenerse a temperatura ambiental, sin necesidad de ser almacenadas en frío.16 de la misma manera se ha evaluado la efectividad de nanoliposomas administrados por vía respiratoria (inhalados) para el manejo de cáncer avanzado de pulmón.17

aumentan las posibilidades de mejorar la respuesta del tejido óseo ante implantes

En nuestro país las lesiones óseas ocupan un lugar importante en las estadís-ticas de morbilidad, afectando de manera importante la calidad de vida y con un alto costo económico y social. Las enfermedades crónicas no transmisibles, dentro de las cuales se encuentran los trastornos degenerativos osteoarticula-res, ocupan el primer lugar dentro de las causas de enfermedad y muerte den-tro de la población colombiana. El incremento en las lesiones óseas y dentales que requieren reemplazos ortopédicos o dispositivos de fijación ha llevado a que cada vez sea más frecuente el uso de biomateriales. sin embargo, en los usados tradicionalmente presentan varios efectos, tanto del implante sobre el huésped, como del huésped sobre el implante, los cuales llevan finalmente al aflojamiento, alteraciones de las propiedades mecánicas del biomaterial, aumento en las probabilidades de remoción y a un incremento en el número de procedimientos por paciente.18 En las pasadas cuatro décadas, varios bioma-teriales han sido sido desarrollados, pasando desde materiales no bioactivos ni bioreabsorbiles (como los metales), a materiales ya sea bioactivos o bioreab-


244

sorbibles (como cerámicas y polímeros), materiales bioactivos y reabsorbibles (biomateriales compuestos o en multifase) hasta los compuestos utilizados en ingeniería de tejidos, que pretenden biomimetizar el hueso. En este panorama, la nanotecnología es una alternativa que ha acelerado el desarrollo de nuevos materiales o la modificación de los convencionales.

considerando que aunque las células óseas tienen tamaño micrométrico, las interacciones de las mismas con la matriz extracelular (MEc) del tejido, entidad naturalmente nanoestructurada, influencian el crecimiento, movilidad y funcionamiento celular, los Materiales nanoestructurados, por su capacidad de mimetizar el medio ambiente celular e interactuar con las estructuras na-turales, son vistos como una solución potencial ante las complicaciones que se presentan en los reemplazos ortopédicos o por el uso de dispositivos de fijación ósea. Las superficies nanoestructuradas permiten una rápida adsorción de pro-teínas desde el plasma (p.ej. fibronectina y vitronectina) que son reconocidas por moléculas de adhesión (Integrinas) producidas por los osteoblastos (células “formadoras” de hueso). Este “reconocimiento” celular, controlado por las in-teracciones proteínicas iniciales, es crucial en la adhesión de los osteoblastos al biomaterial y, por lo tanto, para la neoformación de tejido óseo sobre el mismo19-21

aunque la respuesta de las células óseas hacia un implante varia de acuerdo a las características fisicoquímicas del biomaterial, aquellas variables relacio-nadas con la topografía de la superficie son cruciales en la respuesta célula-biomaterial ya que modifican la adhesión, proliferación y diferenciación celular y el direccionamiento a las células por rutas específicas. Las técnicas que se han utilizado para modificar la nanotopografía de la superficie de un biomaterial para favorecer la osteointegración son la reducción del tamaño de grano, la formación de poros y el recubrimiento del biomaterial21-25:

- Reducción del tamaño de grano: La respuesta biológica se modifica de mane-ra importante cuando se compara la adhesión celular sobre materiales con-vencionales (tamaño de grano en dimensiones micrométricas) con aquellos en los cuales el grano tiene dimensiones nanométricas. Los biomateriales en nanofase, especialmente aquellos cuyo tamaño de grano es menor a 100 nm, modifican la actividad metabólica de los osteoblastos, lo cual se ve reflejado en un incremento en la síntesis de proteínas intracelulares y de la MEc, de las enzimas necesarias para la mineralización y en el depósito de calcio y fosfatos (Fig 10).

La explicación de porque es el tamaño de grano, y no las características quí-micas, el que afecta la regeneración ósea, no es conocida, pero es necesario considerar que cuando un material es reducido a esta escala sus propiedades (mecánicas, eléctricas, térmicas, etc.). cambian drásticamente y, que desde el punto de vista de las posibilidades de interacción biológica, la reducción


245

en el tamaño, incrementa el porcentaje de átomos disponibles para interac-tuar a nivel molecular y celular (una partícula de 30 nm de diámetro tiene menos del 10 por ciento de átomos disponibles, mientras que si el diámetro es de 3 nm, este porcentaje se incrementa al 50 por ciento). La presencia de un gran número de “fronteras” (límites), producidas por la presencia de los nanogranos, si se compara con el material convencional, incrementa la superficie para la adsorción de proteínas, que como se mencionó, es clave para la adhesión osteoblástica.

resultados de estudios que comparan biomateriales en forma convencional y en nanofase25

Material convencional Material en nanofase resultados

Ha (179 nm) Ha (67 nm) adsorción de Vitronectina adhesión osteoblástica Adhesión fibroblástica

Óxido de Zn (4,9 µm) Óxido de Zn (23 nm)

adhesión osteoblástica (146%) síntesis de colágeno y el depósito

de calcio

titanio (4,1 µm) titanio (32 nm)

adhesión osteoblástica (200%) síntesis de colágeno y el depósito

de calcio

acido poliláctico (pLa) pLa/cnt(80%/20%)

proliferación osteoblástica (46%) contenido de ca++ (307% )

Figura 10.

- Formación de poros: Los materiales porosos tienen una distribución hete-rogénea de sus átomos en las tres dimensiones, llamándose poro al área sin o con pocos átomos. cuando los materiales tienen poros con un tama-ño entre 1 y 100 nm se denominan nanoporosos. Generalmente materiales inorgánicos, como cerámicas y metales, y orgánicos, como polímeros, son utilizados para diseñar materiales nanoporosos. Uno de los objetivos de los biomateriales nanoporosos es mimetizar una MEc organizada que permita la migración adecuada de capilares y células óseas. Una interfase mayor de 30 micras inhibe la formación ósea en el interior de la estructura del poro (“bone ingrowth”). por otra parte, los cambios en la topografía del biomate-rial mediante la formación de poros favorece la adhesión de los osteoblastos tanto a corto término (primeras horas de contacto con el biomaterial) como a largo plazo, además de promover la formación de una MEc en la interfase célula-material con inmovilización de moléculas de adhesión celular, fenó-meno crucial para asegurar la osteointegración.


246

- Nanorecubrimientos depositados sobre la superficie de biomateriales: en este sentido se han utilizado cubiertas de hidroxiapatita nanocristalina, nanotubos, nanofibras, nanofases y películas delgadas, mostrando en todas ellas un incremento en la adhesión celular y en la formación de hidroxia-patita. Los cambios en las características de la superficie, producidas por el recubrimiento, modulan la expresión en el tejido óseo de moléculas de adhesión celular, como las integrinas, lo cual puede explicar las diferencias de la respuesta de los osteoblastos cuando el mismo material es utilizado de manera tradicional y no es nanorecubierto. aunque los estudios in vitro no incluyen, obviamente, todas las variables que se dan en un organismo vivo, son una base fundamental para estudios posteriores.

de esta manera, los materiales en nanofase se convierten en una verdadera promesa para los implantes de uso ortopédico: sus ventajas mecánicas y su capacidad de incrementar la regeneración ósea les ofrecen ventajas inimagina-bles con el uso de materiales convencionales 25-27.

¿Modificaremos el comportamiento de las células?

a pesar de que las células sintetizan muchos tipos de sustancias, la mayor parte del “trabajo” celular está encaminado a la síntesis de proteínas, ya que éstas no sólo determinan las propiedades de una célula en particular (lo que hace a una célula diferente de otra, a pesar de que todas las células de nuestro organismo contengan la misma información genética), sino que forman parte de la estructura de las mismas (siendo el constituyente que permite el ensamblaje de ciertos organelos), funcionan como mensajeros que permiten la comunica-ción intra e inter celulares, como enzimas (regulando las reacciones químicas), como señalizadotes, transportadores, receptores y canales de sustancias en la membrana plasmática, etc. (Figura 11). El proceso de síntesis de proteínas y la respuesta celular relacionada es dinámico: las proteínas presentan una gran variabilidad que depende, entre otras cosas, del tejido donde se esté produ-ciendo, el individuo en sí, su edad, las condiciones ambientales a las que ha estado expuesto y la presencia de ciertas enfermedades.

así como hace algunos años el estudio de nuestros genes (“fragmento” de DNA que codifica para una proteína determinada) o Genómica era el centro la investigación, la proteómica constituye uno de los desafíos más importantes en la actualidad, ya que conociendo la función de una proteína determinada se establece la conexión entre los genes y su comportamiento biológico. de esta manera, la investigación en esta área ha permitido avances en el desarrollo de modelos que expliquen el complejo funcionamiento de los entes biológicos, el mecanismo por el cual se desarrollan ciertas patologías, las interacciones proteína-proteína y proteína-medicamento, entre otros.


247

DNARNA

Replicación Transcripción

RNA mensajero PROTEÍNA

Traducción

ModificaciónPost-

traduccional

Degradación

Transporte a uncompartimento

celular específico

D. Clavijo G.

Figura 11.

a pesar de los avances, existen muchos interrogantes con relación a si en una enfermedad, los cambios en expresión génica son causa o consecuencia de las alteraciones moleculares.28 si en una enfermedad hay producción de proteínas particulares (ya sea por alteración de las que normalmente se producen o por generación de nuevas proteínas), “silenciando” el rna mensajero (rnam), se impedirá la traducción de la proteína responsable (Figura 12).

DNARNA

Replicación Transcripción

RNA mensajero(RNAm)

PROTEÍNA

D. Clavijo G.

Silenciamiento de un RNAm

específico

Figura 12.


248

La introducción de sirna (rna pequeños de interferencia) para producir el si-lenciamiento de RNAm que debían traducirse para formar proteínas específicas, ha producido un gran impacto en la investigación de tratamientos para diversas enfermedades; sin embargo, la llegada de un sirna a una célula determinada no es fácil, debido a que cuando son inyectados y circulan por el torrente san-guíneo, son destruidos por el sistema inmunitario. Es en este punto donde la nanotecnología promete ser gran utilidad: no sólo se pueden “cubrir” los sirna con nanopartículas que los mantengan “ocultos” de nuestras defensas natura-les, sino que además se pueden unir a las nanopartículas sustancias que permi-tan el reconocimiento celular específico, evitando la inhibición o influencia en otras células y en genes que comparten homología parcial pero que no sean el blanco original (Figura 13). se han realizado exitosos ensayos en ratones con nanopartículas multifuncionales a las que se incorporan sustancias de reconoci-miento celular y sirna como agente antitumoral. El uso de nanopartículas abre la posibilidad para que los sirna sean utilizados como parte del tratamiento, no sólo en cáncer, sino también en enfermedades degenerativas e infecciones, como el sIda.29-32

Figura 13.

Otra forma de modificar el “comportamiento” celular es la realización de “intervenciones quirúrgicas” a nivel de los organelos o del material genético. El progreso de la nanotecnología ha permitido el desarrollo del “instrumental” necesario para “extirpar” mitocondrias o secciones del citoesqueleto defectuo-


249

sas. Utilizando sistemas láser, por ejemplo, es posible no sólo la manipulación de células individuales sino también la inactivación de regiones genómicas es-pecíficas en los cromosomas. Esto se realiza utilizando pulsos de algunos nano-julios (nanojoules) durante femtosegundos (1 femtosegundo=10-15 segundo).33

Nanotecnología y biosensores

Un biosensor es un sistema de medición que consta básicamente de un ele-mento de reconocimiento (también llamado bio-receptor) y un transductor. La interacción entre el elemento a reconocer con su receptor se diseña para pro-ducir un efecto en el transductor que convierte la información en un efecto medible, por ejemplo, una señal eléctrica (Figura 14). de acuerdo al tipo de bio-receptor utilizado, se habla de diferentes tipos de reconocimiento: “basado en enzimas”, “basado en anticuerpos”, “basado en aptámeros”, “basado en análogos sintéticos de DNA” etc. Los biosensores son altamente específicos, por lo que han permitido llegar a mediciones confiables de moléculas de importan-cia en la valoración clínica de los pacientes (ej. glucosa) y el diagnóstico tem-prano de los agentes responsables de una determinada infección y de ciertas enfermedades congénitas (ej. fibrosis quística).

Interfase

Biosensor

Señal eléctrica,química, térmica,

óptica…

AmplificaciónFiltrado

Inte

rfas

e

Transductor

Resultado

D. Clavijo G.

Bio-receptorElemento

a reconocer

��

�

Figura 14.

Los biosensores tradicionales necesitan una “muestra” biológica para hacer el reconocimiento de un elemento específico, por ejemplo una gota de sangre


250

para determinar los niveles de glucosa o una biopsia de tejido para censar la presencia de marcadores tumorales. La nanotecnología hace posible el uso de sensores in vivo: nanodispositivos incorporados en células específicas que además pueden ser capaces de trasmitir eventos de reconocimiento a sistemas externos de captura de datos, para un monitoreo continuo y en tiempo-real. de esta manera de no sólo es posible medir una sustancia determinada sino incluso la actividad metabólica de la célula en sí: es decir no sólo determinar el nivel de glucosa sino como está realizando a nivel intracelular la ruta metabólica y la homeostasis de la misma. con nanobiosensores es posible detectar dna es-pecíficos de un agente infeccioso particular, lo cual permitiría la instauración oportuna y precisa de la terapia antimicrobiana, e incluso se estudia la posibi-lidad de ser utilizados en terapia génica para modificar el “comportamiento” de parásitos. La integración de estos avances en la biotecnología permitirá el desarrollo de nanosistemas de gran sensibilidad y especificidad a nivel de com-partimentos subcelulares y a nivel molecular.34-35

Hasta el momento se han mencionado sólo algunas de las posibilidades de la nanotecnología, sin embargo, existe la “otra cara” de este “viaje fantástico”: la capacidad de los nanosistemas de imitar los sistemas moleculares y celulares puede llevar a riesgos que están en estudio o se desconocen. La misma tecnolo-gía que hace posible el uso de nanopartículas para la terapia génica en cáncer de pulmón, utilizando genes de supresión tumoral, podría, en manos equivoca-das ser utilizada como una temible arma biológica, que alteraría el desarrollo de procesos celulares específicos. Investigaciones muestran que la inhalación de nanopartículas se asocia con paso de las mismas a vasos sanguíneos, hígado, corazón, bazo y cerebro y a desarrollo de patologías pulmonares y cardiacas. Las nanopartículas que alcanzan el sistema nervioso producen alteraciones en el control autonómico, generando alteraciones en el ritmo cardiaco. Es por esto, y por los potenciales efectos que aun desconocemos, que es necesario insistir en que, a la par de los adelantos científicos y tecnológicos, debe avanzarse en los principios éticos que guiarán la utilización de este conocimiento.2,5,36-39

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¿DE quÉ EsTá HECHO EL uNIVERsO?

Pablo Cuartas RestrepoDepartamento de Física

Universidad de [email protected]

(…) Inclinándome a menudo de un modo o de otro para ver si podía distinguir algo del interior, pero no pude por la gran oscuridad que allí había. Y después de permanecer así un rato, de pronto surgieron en mi dos sentimientos, temor y deseo, temor de la amenazante caverna oscura y deseo de ver si había dentro algo milagroso.

LEONARDO DA VINCI

modelo Estándar de la Cosmología

según la cosmología moderna, basada en la teoría General de la relatividad de Einstein, el universo se debe entender como el espacio-tiempo en expansión, dentro del cual materia y energía interactúan, se transforman y se mueven.

La geometría de ese espacio-tiempo está determinada por su contenido de materia y energía, de tal manera que ésta influye en la forma misma del uni-verso. aunque no es tan sencillo de visualizar, más aún cuando nuestros cuerpos tridimensionales no nos permiten abstraernos para imaginarnos una geometría tetradimensional (4 dimensiones), si es posible expresarlo a través de ecuacio-nes. Galileo mencionaba que todo aquello que no pudiera expresarse matemá-ticamente no podía existir en realidad. desde la perspectiva matemática es posible expresar el espacio-tiempo y la materia-energía a través de las llama-das Ecuaciones de campo de Einstein:

aunque parecen algo complejas, y de hecho lo son (son doce ecuaciones di-ferenciales no lineales acopladas, ¡que difícil!), en realidad su contenido físico es sencillo. a la izquierda del igual los términos representan a la geometría en cuatro dimensiones del universo, a la derecha del igual los términos represen-tan el contenido de materia y energía del universo. Vistas así, las ecuaciones de campo de Einstein simplemente me hablan de qué hay en el universo y cómo ese contenido afecta la geometría del mismo, al mismo tiempo esa geometría determina las leyes de movimiento de la materia, la dinámica. En palabras del gran cosmólogo John archibald Wheeler (Julio 9, 1911 – abril 13, 2008): “La geometría del universo le dice a la materia como moverse, mientras la materia del universo le dice al espacio como curvarse”.


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Basados en esas ecuaciones, los cosmólogos estudian la dinámica del univer-so a gran escala, desde su inicio en el Big Bang, pasando por las posibilidades de forma, curvatura y evolución temporal del espacio-tiempo y de la materia-energía dentro de él. dependiendo de las soluciones dadas a las ecuaciones, se pueden tener “diferentes” universos. si el parámetro que se tiene en cuenta es la curvatura, el universo puede tener tres formas: curvado positivamente, como una esfera; plano, o sea curvatura cero o curvado negativamente, como una silla de montar. debemos recordar que todas estas geometrías posibles se dan en cuatro dimensiones. ¿cómo es una esfera en cuatro dimensiones?, mejor ni lo pienses, no podrás imaginártela.

Vemos entonces que la materia cumple un papel fundamental en la forma del universo y en su evolución en el tiempo. se sabe desde hace algo más de 70 años, y gracias a los estudios de Edwin Hubble, que nuestro universo se ex-pande, esto quiere decir literalmente que el espacio-tiempo es cada vez más grande, y que la materia dentro del universo se separa, por lo menos es lo que se ve entre las galaxias. ¿Qué podría detener dicha expansión? si lo pensamos un poco, llegaremos a la conclusión de que sólo la atracción gravitacional entre ellas podría detener la expansión. Pero para generar suficiente gravedad como para detener el universo en expansión, se necesita ¡mucha materia!

a la cantidad mínima de materia necesaria para detener la expansión se le conoce como densidad crítica, esto por que representa la cantidad de materia por centímetro cúbico que debería contener el universo para que su atracción mutua frenara la expansión.

si la cantidad de materia es mayor a la crítica, entonces su atracción mutua frenaría el flujo en caída libre de las galaxias y estas empezarían a acercarse unas a otras hasta colisionar y la materia se reuniría de nuevo en un punto infinitamente denso al igual que al principio; a este evento se le conoce cosmo-lógicamente como un Big Crunch.

si la densidad crítica de materia se encuentra justo en el límite, entonces en el futuro dinámico del universo se vislumbra una desaceleración de la expan-sión, hasta el punto de detenerse completamente, sin que ésto signifique una contracción. Es como si infláramos un globo hasta que la capacidad de nuestros pulmones no da más y el globo alcanza su máximo tamaño.

Finalmente, si la cantidad de materia del universo es menor a la crítica, entonces la expansión del universo no se detendrá y seguirá creciendo eterna-mente hasta que las galaxias estén tan alejadas unas de otras que no podamos ver a ninguna de ellas en el cielo y las estrellas entre ellas se separen hasta dejar de iluminar la noche. El extremo de este escenario es conocido como Big Rip, aquí la materia se separa hasta que ni siquiera los mismos átomos podrán mantenerse unidos y las partículas fundamentales que los conforman termina-rán evaporándose en un mar de radiación en expansión eterna.


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La cosmología moderna entonces trata de explicar el principio y el futuro del universo basada en su contenido y en su dinámica dictada por las ecuaciones de campo. Los cosmólogos plantean una ecuación conocida como Ecuación de parámetros, en ella se totaliza el contenido del universo, en materia y energía, y en todo aquello que intervenga en su forma y su dinámica.

1 = Ωk + Ωm + ΩΛ

Los términos en esta ecuación representan la totalidad del universo, por eso su suma es igual a uno. El primer término Ωk representa el aporte de la curvatu-ra del universo que determina la concentración localizada de materia. El segun-do término Ωm representa el contenido de materia del universo. Finalmente ΩΛ representa algo a lo que Einstein llamó su pero error en la vida, los cosmólogos lo conocen como la constante cosmológica esta constante que hacía parte de las ecuaciones de Einstein del lado izquierdo, ósea del lado de la geometría, le aseguraba al conservador físico alemán que su universo era estático y eterno, obviamente con el descubrimiento de la expansión del universo la constante cosmológica dejó de tener sentido en las ecuaciones. En las últimas décadas los cosmólogos entendieron que tal vez no era tan descabellada la idea de una constante cosmológica, sólo que esta vez la pusieron del lado derecho de la ecuación, como parte del contenido de materia-energía del universo, de tal forma que determina la dinámica de expansión del mismo a tal grado que ac-tualmente se cree que es responsable de la expansión acelerada que se supone estamos experimentando a esta altura de la historia cósmica.

de acuerdo con las investigaciones y observaciones realizadas durante los años 90´s y lo que llevamos de este milenio terrestre, los valores de los pará-metros cosmológicos, que es como se conoce a estos términos son:

- Ωk = 0 Basados en observaciones del satélite W - Map

- Ωm = 0,27 Basados en la observación de las estructuras a gran escala de universo, los cúmulos de galaxias

- ΩΛ = 0,73 Basados en la observación de supernovas tipo Ia

El satélite W-Map (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), fue lanzado en el año 2001 con el propósito de hacer un nuevo mapa de la radiación cósmica de fondo. Esta radiación de microondas que inunda el espacio, es el eco del Big Bang. se trata de la radiación electromagnética producida en los primeros segundos de vida del universo, que después de estar viajando y expandiéndose durante 13,700 millones de años, podemos observar como un mar de microondas a una temperatura de 2,75 grados Kelvin, apenas por encima del cero absoluto. El W-Map se ha dedicado a medir pequeñas diferencias de temperatura en la radiación de fondo; estas diferencias llamadas anisotropías, generaron las con-centraciones originales de materia que desencadenaron la formación de estruc-


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turas en el universo, es decir, galaxias. Lo que ha descubierto el W-Map es que la materia apenas se concentra en ciertos lugares del universo, por lo que la mayor parte del espacio-tiempo está literalmente vació, esto hace que su geometría sea prácticamente plana y que no se observe curvatura a gran escala.

otro estudio importante de las estructuras de materia en el universo, en especial las mayores estructuras que se mantienen unidas por la gravedad, los cúmulos de galaxias, nos ha mostrado que el contenido total de materia del uni-verso apenas alcanza el 27 por ciento, más aun, de este porcentaje, apenas un 4 por ciento es materia común, materia que emite radiación electromagnética que puede ser detectada.

El 73 por ciento del valor de la constante cosmológica es uno de los misterios más grandes de la cosmología moderna. Este parámetro cuya naturaleza física es desconocida, domina la dinámica de expansión del universo, de hecho está acelerando la expansión en un modelo al que se conoce como inflacionario y que no sucedía en el universo desde los principios de su historia, unos 10-35 segundos después del Big Bang. Esta observación de la aceleración de la expansión está basada en la observación de la débil luz que nos llega desde las explosiones de supernova que suceden en galaxias a millones de años luz de distancia. anali-zando la forma en que la luz de estas explosiones llegó hasta la tierra, después de viajar durante miles de millones de años, los cosmólogos pueden obtener información sobre la velocidad de expansión del universo.

¿qué es la materia?

nuestra búsqueda de los orígenes de la materia se inicia con las teorías grie-gas de la composición de las cosas. Demócrito, filósofo griego que vivió en el siglo IV a. c. propuso que, si se dividía la materia en trozos cada vez más pe-queños, debería llegarse a una porción que ya no podría dividirse más. a esta porción mínima e indivisible, base de toda la materia, la llamó átomo.

Estas ideas de demócrito no fueron muy populares en su tiempo. Había para la época alguien que era más famoso y por ende más escuchado. su nombre era Aristóteles, y su filosofía y su ciencia nos han alcanzado después de 2,300 años. aristóteles, así como la mayoría de sus contemporáneos, consideraba que todo cuanto existía estaba hecho de cuatro elementos, aire, agua, tierra y Fuego, que se combinaban en diferentes proporciones para dar origen a todo lo que existe.

sabemos que los cuatro elementos fueron aceptados durante más de dos milenios como la naturaleza de las cosas. En el mundo cristiano, la teoría de Aristóteles fue adoptada por los alquimistas, precursores de los científicos, que desarrollaron su actividad durante toda la Edad Media. tuvieron que pasar vein-te siglos para que un químico inglés llamado John dalton retomara las ideas de demócrito y publicase, en 1808, su famosa teoría atómica:


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“La materia no es continua, sino que está formada por partículas indivisibles, llamadas átomos, entre las cuales no hay nada (está el vacío). Los átomos se pueden unir para crear combinaciones de átomos que forman los compuestos químicos”.

Las ideas de Dalton fueron perfeccionadas por otros científicos. En 1897, el británico Joseph John thomson descubrió unas partículas con propiedades sor-prendentes: prácticamente no tenían masa y tenían carga eléctrica negativa. Las llamó electrones. thomson consideró el átomo de dalton como una gran esfera con carga eléctrica positiva, en la cual se distribuían los electrones como pequeños granitos, de forma similar a las semillas en una sandía.

Un poco después en la historia, en 1911, el físico británico Ernest rutherford descubrió que el interior de los átomos estaba prácticamente vacío, a excep-ción de la zona central ocupada por un pequeño núcleo en el que se concentra-ba casi toda la masa del átomo y que, además, tenía carga eléctrica positiva. por su trabajo rutherford ganó el premio nobel de Química en 1908.

Estos modelos atómicos, aunque basados en la experimentación, no cumplían a cabalidad con algunos principios físicos que habían sido aceptados durante mucho tiempo, y se debían principalmente al trabajo de James Maxwell y su teoría electromagnética. aunque fue fundamental la demostración de la dis-continuidad de la materia y del vacío dentro del átomo, el modelo presentaba deficiencias.

según la teoría electromagnética de Maxwell, al ser el electrón una partícula cargada en movimiento debería emitir radiación constante y por tanto, perder energía. Esto debía hacer que el radio de su órbita disminuyera y el electrón terminara por caer en el núcleo; el átomo sería inestable.

aunque se conocían modelos alternativos de la materia, como las ideas de Max planck, todavía no eran bien comprendidas y no se habían tenido en cuen-ta. Ya se conocían los espectros atómicos y las fórmulas de la serie de Balmer (1885) y la serie de paschen (1908-1909) que mostraban claramente el carácter cuantizado de la energía de los electrones y de los valores posibles para el radio orbital del electrón, que tampoco tuvo en cuenta rutherford al deducir una continuidad geométrica y una consiguiente continuidad de energía. además, como no se conocían los neutrones, todos los cálculos se encontraban incom-pletos.

El modelo atómico de rutherford llevaba a unas conclusiones que se contra-decían claramente con los datos experimentales. para evitar esto, niels Bohr planteó unos postulados que no estaban demostrados en principio, pero que después llevabarían a unas conclusiones que sí eran coherentes con los datos experimentales; es decir, la justificación experimental de este modelo era a posteriori.


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Bohr planteó algunos postulados y estableció, por así decirlo, nuestro modelo moderno de cómo se compone la materia:

1. El electrón gira alrededor del núcleo en órbitas circulares sin emitir energía radiante.

2. sólo son posibles aquellas órbitas en las que el electrón tiene un momento angular que es múltiplo entero de h /(2π). El segundo postulado indica que el electrón no puede estar a cualquier distancia del núcleo, sino que sólo hay unas pocas órbitas posibles, las cuales vienen definidas por los valores permitidos para un parámetro que se denomina número cuántico, n.

3. La energía liberada cuando el electrón regresa desde una órbita de mayor energía a otra de menor energía se emite en forma de fotón, cuya frecuencia viene dada por la ecuación de planck:

Ea - Eb = h · ν

así, cuando el átomo absorbe (o emite) un fotón, el electrón pasa a una órbita de mayor (o menor) energía, y la diferencia entre ambas órbitas se co-rresponderá con una línea del espectro electromagnético.

¿todo esto para qué? para entender que la materia común del universo está compuesta de átomos, que estos átomos emiten radiación y que esta radiación es detectable como un espectro electromagnético.

Hoy sabemos que el átomo es divisible, puesto que está formado por partí-culas más pequeñas, llamadas partículas subatómicas. Estas pueden ser de tres tipos: protones, neutrones y Electrones. Los protones y los neutrones están en el núcleo y los electrones están en continuo movimiento formando una “nube” alrededor del núcleo.

si nos adentramos aun más en las partículas que componen la materia de la que están hechas las cosas, tenemos que recurrir a una rama de la física llamada física cuántica. de acuerdo con el modelo estándar de partículas, le materia se compone de tres familias de quarks y leptones. Los quarks más esta-bles conocidos como UP y DOWN, se confinan en tríos para formar protones (2 Up y 1 doWn) y neutrones (1 doWn y 2 Up), la fuerza que los mantiene unidos dentro de los nucleones se conoce como Fuerza nuclear Fuerte, y es de hecho, la más fuerte de la cuatro fuerzas fundamentales del universo, las otras tres son el electromagnetismo, la fuerza nuclear débil y la gravedad. El electromagne-tismo hace que el más conocido de los leptones, el electrón, interactúe con el núcleo atómico de tal manera que sea posible la estructura del átomo, como ya lo hemos visto y se conforme la materia tal y como la conocemos, en una colec-ción de elementos de diferentes características determinadas por sus partículas subatómicas, pero que finalmente tan solo son combinaciones diferentes de lo mismo: quarks y electrones.


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¿qué más hay?

El satélite W-Map (Wilkinson Microwave anisotropy probe) de la nasa ha es-tado estudiando la estructura fundamental del universo haciendo mediciones de la radiación cósmica de Fondo. Basados en esas observaciones, W-Map ha revelado de que esta hecho el universo.

La materia común, los átomos, apenas alcanzan a ser el 4% del contenido del universo. sabemos que estos son los bloques de los que está hecha la materia visible. pero, ¿qué compone el otro 96%? El 96% restante se compone de una combinación de lo que los cosmólogos modernos han llamado Materia oscura y Energía oscura.

Figura 1.porcentajes de componentes del Universo.

Que ha observado el W-Map. de acuerdo con sus observaciones, nuestro uni-verso tiene 13.700 millones de años con un margen de error de aproximadamente 1%. sus mediciones de la radiación cósmica de Fondo nos permiten calcular que inició su viaje liberada de la materia unos 380,000 años después del Big Bang.

El contenido del universo es entonces como sigue: 4% átomos, 22% Materia oscura, 74% Energía oscura.

Los datos no nos dan mucha idea acerca de lo que es la energía oscura. pare-ce ser más una “constante cosmológica” que un campo de energía con presión negativa, denominada “quintaesencia”.


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¿qué es la materia Oscura? más de lo que nuestros ojos pueden ver

Hacia donde se mire en el Universo, se observan galaxias, cada una de ellas conteniendo miles de millones de estrellas. sorprendentemente, la materia que podemos ver ¡alcanza sólo el ~4% de la masa del universo! ¿donde está el otro ~96%? Los cosmólogos piensan que parte de esa masa perdida está hecha de Materia Oscura – materia que no puede verse.

desde hace unos treinta años, tanto la teoría como la observación nos han indicado que al menos un 85% de la masa del universo es oscura. Es invisible no porque esté lejos, de hecho se encuentra homogéneamente distribuida por todo el universo. no se ve por que no emite ningún tipo de radiación.

su composición sigue siendo un misterio cosmológico, pero su efecto sobre la materia visible es evidente. a través del estudio del movimiento de las estrellas alrededor del núcleo de las galaxias, y el movimiento mismo de las galaxias dentro de sus grupos y cúmulos, se puede percibir el efecto gravitacional que ésta ejerce y cómo determina las órbitas, velocidades y la estructura misma de las galaxias.

La evidencia más fuerte de su existencia proviene del estudio de los movi-mientos orbitales de las estrellas alrededor del centro de las galaxias. Utilizan-do las leyes de newton es posible determinar la masa del sol y de sus planetas. En un sistema planetario como el nuestro es fácil calcular las velocidades orbi-tales de los planetas, de acuerdo con las leyes de Kepler, los planetas más cer-canos al sol se mueven más rápido, así por ejemplo, mientras la tierra orbita el sol a una velocidad promedio de 30 Km/s, Júpiter, que se encuentra cinco veces más lejos apenas se mueve a 13 km/s. Esta órbita Kepleriana es característica de los sistemas orbitales donde la masa se encuentra concentrada dentro de la órbita.

otra cosa sucedería si nuestro sistema planetario tuviera una masa impor-tante distribuida uniformemente, formando un halo más allá de la órbita de los planetas. si esto fuera así, entonces la velocidad de los planetas exteriores no disminuiría de acuerdo con las leyes de Kepler. nuestro sistema solar no posee dicho halo, pero es evidente que las galaxias sí lo tienen. Los astrónomos han descubierto que las estrellas situadas al borde de los discos galácticos, que deberían moverse más lentamente debido a su distancia al centro, tienen velocidades comparables a las estrellas cercanas al núcleo galáctico. si segui-mos confiando en las leyes de Newton, entonces la única explicación para este comportamiento es que las galaxias están rodeadas de un halo de materia que acelera las estrellas desde afuera de sus órbitas, las galaxias están inmersas en este halo no detectado de materia no visible, materia oscura.


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Las primeras claves de su existencia fueron recogidas por el astrónomo ho-landés Jan oort, estudiando el movimiento de las estrellas de nuestra galaxia. descubrió que las velocidades de las estrellas eran mucho mayores a las espe-radas teniendo en cuenta tan sólo la materia visible.

En 1933 Fritz Zwicky, “el loco Zwicky”, descubrió que el mismo comporta-miento se observaba en galaxias dentro del cúmulo de coma. Las galaxias se movían más rápido de lo que deberían si se consideraba sólo la materia visible en él. Zwicky no era muy popular entre sus colegas debido a su facilidad de producir ideas descabelladas y su fama de ir en contra de cualquier propuesta hecha por otro astrónomo. sin embargo, muchos de los términos astrofísicos actuales se los debemos al loco Zwicky; él acuñó palabras como Supernova, Galaxia enana, y Materia Oscura.

debido a su mala fama entre sus colegas, el tema de la materia oscura fue olvidado hasta la década de los años 70´s. En 1973 dos astrónomos de prince-ton, Jeremiah ostriker y James peebles, calcularon que la estructura espiral de la Vía Láctea sería inestable si la materia se concentrara en su disco. sus cálculos demostraban que el halo galáctico debería contener tanta masa como el disco.

Lo resultados de ostriker y peebles inspiraron a una joven astrónoma llamada Vera rubin, quien tuvo que sufrir la discriminación de género por parte de sus colegas MacHo´s (veremos que esta sigla está muy relacionada con el tema). cuando presentó su solicitud para doctorado a princeton, le respondieron que puesto que princeton no recibía mujeres, era biológicamente imposible docto-rarse en princeton para ella. Finalmente se doctoró en la universidad de Geor-ges en 1954 bajo la tutela del gran George Gamow, quien la animó a seguir sus inclinaciones y no trabajar en lo mismo de sus compañeros MacHo´s. Mientras sus colegas se dedicaban a lo de moda, los quasars, Vera se decidió por un pro-blema no resuelto en dinámica galáctica.

Vera descubrió que la curva de velocidad de rotación de las galaxias espira-les no seguía un patrón kepleriano (recordemos que esto lo habíamos discutido antes). su grupo se investigación encontró que las estrellas exteriores del disco galáctico se movían tan rápido, incluso más, que las del centro del disco.

rubin había encontrado algo tan fascinante, que muchos MacHo´s, sobre todo astrónomos de radio, decidieron cambiar su objeto de estudio y termina-ron confirmando los hallazgos de Vera. Finalmente descubrieron que todas las galaxias poseen materia oscura, no sólo las espirales. de hecho, en los años ochenta se hicieron cálculos de que entre el 70% y el 90% de la materia en las galaxias elípticas es materia oscura.

La cosmología moderna se ha centrado en el estudio de las estructuras a gran escala en el universo. Las galaxias se reúnen para formar cúmulos y supercúmu-


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los de ellas, moviéndose en una danza gravitacional gobernada por la materia oscura. al menos unas nueve décimas partes de la materia que rodea los cúmu-los y supercúmulos y que mantiene a las galaxias unidas en grupos, a pesar de la expansión del universo, es materia oscura.

Pero ¿finalmente que es? …Partículas de materia que no pueden ser detecta-das por medio de la radiación que emiten. La materia oscura no es visible en ninguna parte del espectro electromagnético con los medios técnicos actuales. su existencia puede inferirse a partir de los efectos gravitacionales que causa en materia visible como estrellas o galaxias, así como en las anisotropías del fondo cósmico de microondas.

Figura 2. Mapa en 3d de la distribución de la Materia oscura en el Universo. proyecto cosMos (cosmic Evolution survey).

Las evidencias cercanas… nuestro sol debería desplazarse a una velocidad teórica de 60 km/s para mantenerse en órbita alrededor del centro de la ga-laxia. Las observaciones muestran que el sol se desplaza a una velocidad de 225 km/s! Utilizando esta velocidad para calcular la masa de la galaxia se en-cuentra que la masa es 10 veces mayor a la teórica (estrellas visibles, el gas y el polvo que esta contiene).

otra forma de medir la cantidad de masa en una galaxia es a través de lentes gravitacionales. Una galaxia masiva actua como lente, magnificando la luz de las galaxias que se encuentran detrás de ella. Las galaxias lensadas se observan como trazas delgadas. Estas galaxias en realidad se encuentran detrás del grupo de galaxias de enfrente y aparecen distorsionadas.


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Los resultados por este método confirman que la cantidad de materia visible equivale apenas a un pequeño porcentaje de la masa que poseen las galaxias en realidad.

Figura 3. nasa, Esa, richard Ellis (caltech) and Jean-paul Kneib (observatoire Midi-pyrenees, France).

La materia oscura es crucial para el modelo del Big Bang que corresponde a la relatividad general. En particular, las medidas de las anisotropías del fondo cósmico de microondas, que se refieren a las pequeñas diferencias de tempe-ratura que dieron origen más tarde a las estructuras, galaxias y cúmulos de galaxias.

Las observaciones sugieren que la formación de estructuras en el Universo procede jerárquicamente, con las estructuras más pequeñas colapsando pri-mero y seguidas de galaxias y después de cúmulos de galaxias. según se co-lapsan las estructuras en la evolución del Universo, empiezan a “encenderse” ya que la materia bariónca se calienta a través del colapso gravitacional. La materia barionica ordinaria tendría una temperatura demasiado alta y dema-siada presión liberada desde el Big Bang para colapsar y formar estructuras más pequeñas, como estrellas. La materia oscura actúa como un compactador de estructuras. Este modelo no sólo se corresponde con investigaciones estadís-ticas de la estructura visible en el Universo sino también se corresponden de forma precisa con las predicciones de materia oscura de la radiación de fondo de microondas.


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pero, ¿de qué se trata? ¿Qué compone la materia oscura? de acuerdo con los teóricos, podrían ser objetos de materia bariónica, materia de la que estamos hechos nosotros, o sea átomos, que no emite casi nada de radiación, por lo que no es detectable con nuestros instrumentos, que incluiría:

- Enanas Marrones, estrellas que no alcanzaron la masa suficiente para iniciar la fusión del hidrógeno; son muy frías y tenues, por lo que son muy difíciles de detectar.

- Enanas Blancas, son remanentes de estrellas como el sol, cuyo núcleo colap-só después de terminado su periodo de fusión. son muy pequeñas y débiles.

- Agujeros Negros Supermasivos, estos agujeros deben contener mucha de la masa perdida del universo.

Quizás la materia oscura esté hecha de estos pequeños y densos objetos for-mados por elementos pesados, tales objetos son conocidos como “MacHo’s”, del inglés “Massive Compact Halo Objects“. se ha trabajado en su detección usando telescopios espaciales, sólo se ha tenido éxito en observaciones muy lejanas: Lentes gravitacionales observados por el telescopio Espacial Hubble cuando se toman objetos distantes. De estas imágenes los científicos pueden inferir la presencia de materia oscura.

Los cosmólogos creen que hay dos clases de materia oscura: la bariónica, “materia normal” compuesta por bariones: protones, neutrones o electrones MacHo’s y una misteriosa forma de materia compuesta por unas desconocidas partículas subatómicas no-bariónicas llamadas WIMp’s (del inglés Weakly Inte-racting Massive Particles) además de neutrinos. a los MacHo´s se les conoce como Materia oscura Fría, a los WIMp´s como Materia oscura caliente.

materia Oscura Fría

La materia oscura fría se refiere a materia bariónica a partir de la cual se formaron las estructuras a gran escala del universo. con materia oscura fría la materia colapsa empezando por pequeñas escalas (menores que galaxias), y luego a escalas cada vez mayores, en una formación “de abajo arriba”. según este modelo, en la época actual la materia aún está colapsando en las escalas de cúmulos.

durante más de una década la materia oscura fría fue la favorita, y las simu-laciones computacionales la favorecían. sin embargo, en los últimos años del siglo XX, a medida que las simulaciones computacionales se hacían más detalla-das, la materia oscura fría comenzó a tener problemas explicando la estructura a escalas subgalácticas.


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Las restricciones de la núcleo síntesis del Big Bang, el momento de lo for-mación de los elementos, hacen poco probable que los bariones proporcionen suficiente materia oscura para explicar la dinámica de los cúmulos de galaxias. Y los bariones no bastarán ciertamente para cerrar el universo. Hay que buscar más materia oscura en otro lugar. ¿serán partículas tan extrañas como las su-persimétricas?

materia Oscura Caliente

Esta materia, que no interactúa con la materia bariónica, estaría constituida por partículas que viajan a velocidades relativistas conocidas como WIMps, en inglés: Weakly Interacting Massive Particles, con nombres tan exóticos como: axiones, neutrinos masivos, y photinos. teóricamente, debieron ser creados durante el Big Bang, pero no han sido detectados. se están llevando a cabo experimentos en aceleradores para detectarlos.

Los candidatos más probables para la materia oscura caliente son los neutri-nos, partículas de muy baja interacción, difíciles de detectar, muy pequeños con una masa indeterminada y viajan a velocidades relativistas, por lo que su energía cinética es altísima, lo que los caracteriza como partículas “calientes”. Los neutrinos tienen una masa mínima, no tienen carga eléctrica y por lo tanto prácticamente no interaccionan con la materia, lo cual los hace increíblemente difíciles de detectar. Los neutrinos producidos artificialmente en aceleradores de partículas, son enviados a detectores a kilómetros de distancia. Los detec-tores se usan para observar cambios en la naturaleza cuántica del neutrino para probar que poseen masa. Los detectores se localizan bajo tierra para eliminar la detección de otro tipo de partículas.

La materia oscura caliente, sin embargo, no puede explicar cómo se for-maron las galaxias individuales a partir del Big Bang. El fondo de radiación de microondas, tal como ha sido medido por el satélite coBE es uniforme y no puede explicarse como las partículas de movimiento rápido se agregarían desde este estado inicial. El problema de estas partículas es que se mueven rápido y de forma homogénea por todo el universo, suavizan la densidad a gran escala de las estructuras del universo, pero no pueden explicar la acumulación de materia a pequeña escala. Es necesario otro tipo de materia para explicar la estructura a pequeña escala del universo.

aceleradores de partículas como Fermilab en chicago, están siendo usados para descubrir la existencia de los WIMps. El cdMsE, Cryogenic Dark Matter Search Experiment, espera detectar WIMps. El experimento está localizado en una mina en soudan, Minnesota, que es usada como laboratorio de ciencias bajo tierra.


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Figura 4. FermiLab en chicago.

Figura 5. El cdMsE Cryogenic Dark Matter Search Experiment.

Materia partículas representativas

Masa típica de las partículas

(electron volts)

número de partículas en el universo

porcentaje de la masa en el

universoEvidencia

Materia bariónica

protones, electrones, neutrones

106 – 109 1078 5%

observación directa,

abundancia de elementos letes

gravitacional

Materia oscura

caliente

neutrinos <1 1087 0.3%

Mediciones de neutrinos,

inferencia de la estructura del

universo

Materia oscura fría

partículas supersimétricas desconocidas

como el neutralino?

1011 1077 25%

no hay evidencia directa, se

infiere de la dinámica de

galaxias

Figura 6. tabla de porcentajes y componentes del Universo.


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Finalmente, hemos aprendido que la mayor parte de la materia del universo observable, todavía no ha sido observada. su búsqueda se ha convertido en el objetivo de la astrofísica moderna, en la piedra filosofal de la ciencia del siglo XXI.

Puede ser que no logremos descubrir finalmente de qué se trata, por qué el universo es como lo observamos, pero creo que esa definitivamente es la tarea de la ciencia, tratar de hacerlo, sólo por el reto. t.H. Huxley decía:

“Lo conocido es finito, lo desconocido infinito, desde el punto de vista intelec-tual estamos en una pequeña isla en medio de un óceano ilimitado de inexplica-bilidad. Nuestra tarea en cada generación es recuperar un poco más de tierra”.

no hay mayor reto para la ciencia moderna que el encontrar y descifrar que es la materia oscura, vencer por fin a la oscuridad y encontrar la luz en el fondo de la caverna.

Volviendo al Origen del universo

¿alguna vez se han preguntado cual fue el momento y el lugar donde surgió todo lo que vemos, lo que sentimos y percibimos como aquello que existe?

pues ese lugar está en todas partes. aunque suena un poco raro, el universo y todo lo que existe, a lo que los griegos llamaban cosMos, surgió de un pequeño punto al que los cosmólogos llaman una singularidad.

Esta singularidad es el origen del espacio y del tiempo, Fred Hoyle un astro-físico inglés del siglo XX, burlándose de quienes lo proponían, lo llamó el Big Bang, la gran explosión. según los modelos teóricos basados en la relatividad general de Einstein, el universo surgió de un punto infinitamente denso e infini-tamente pequeño que contenía toda la materia y la energía, así como el espa-cio y el tiempo. todavía no se sabe muy bien cómo sucedió, pero este pequeño punto depronto empezó a expandirse con una energía sin igual y ha estado haciéndolo desde entonces, hace unos 13.700 millones de años.

¿cómo es que todo lo que existe podía estar comprimido en algo tan peque-ño? ¿cómo fue que todo empezó? Estas preguntas siguen siendo un misterio. Lo que sí sabemos es lo que sucedió unos 10-43 segundos después de que la singula-ridad empezó su expansión; a este tiempo se le llama la Era de Planck, y es el límite de las teorías físicas que conocemos, la relatividad general y la mecánica cuántica.

a medida que el universo recién nacido se expandía, su temperatura, que era de unos 1032 grados Kelvin en el momento de iniciar su expansión, empezó a bajar y su densidad a disminuir. digamos que sucedían muchas cosas con el espacio-tiempo que se expandía en ese momento, pero vamos a interesarnos


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principalmente por lo que le sucedía a la energía y como se transformó en ma-teria.

aproximadamente 10-35 segundos después de la Era de planck el Universo se expandió exponencialmente durante un período llamado inflación. Al terminar la inflación, unos 10-32 segundos después, se libraba una batalla por la super-vivencia entre la materia y la antimateria, el contenido del universo era bási-camente rayos gamma, la radiación de más alta energía. Estos fotones de alta energía colisionaban unos con otros produciendo pares de partículas de materia y antimateria, y generaban toda una gama de partículas elementales que se aniquilaban y producían más fotones. El número de partículas de materia debió exceder el de antimateria en un factor de solo ¡1.000000001!

cuando el 99.9999999 % de los pares se habían aniquilado, lo que quedó fue suficiente para formar galaxias, estrellas, planetas y personas.

Los primeros componentes materiales del Universo surgieron como un plasma de quarks y gluones, las partículas que están en la actualidad dentro de los pro-tones en los núcleos de los átomos. con el crecimiento en tamaño del Universo, unos 10-8 segundos después, la temperatura descendió, hasta que los quarks y los gluones se combinaron en nuevas partículas llamadas hadrones: el protón y el neutrón.

Más tarde, un poco más frío y menos denso el universo, los protones y los neutrones se combinaron para formar los primeros núcleos de deuterio (Hi-drógeno pesado) y de Helio, en un proceso llamado nucleosíntesis primordial. Entre 10-4 segundos y 1 segundo, los electrones sobrevivientes a la aniquilación entre materia y antimateria se liberaron, algunos cientos de miles de años des-pués formarían átomos al ligarse alrededor de los núcleos desnudos.

pasados unos 380.000 años, los electrones y los núcleos se combinaron para formar los átomos, principalmente de Hidrógeno, el elemento más abundante del universo. al disminuir la densidad, la radiación se liberó de sus colisiones permanentes con las partículas, ahora organizadas dentro de los átomos, y continuó por el espacio prácticamente sin obstáculos. Ésta es la radiación cós-mica de Fondo, que podemos detectar miles de millones de años después como microondas que inundan el universo entero.

La historia primordial del universo es muy interesante durante sus primeros tres minutos, época en que sucedió todo lo que acabamos de contar. Las estruc-turas a gran escala que vemos en el universo actual se formaron mucho tiempo después. se cree que las primeras galaxias nacieron unos mil millones de años después del Big Bang, y dentro de ellas las primeras estrellas empezaron a bri-llar y a formar elementos pesados como el carbono, el oxígeno o el nitrógeno, fundamentales para la vida.


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nuestro sol y sus planetas se formaron hace unos cinco mil millones de años, después de que la primera generación de estrellas hubiera devuelto material rico en elementos pesados al medio interestelar. El sol es una estrella de se-gunda generación.

ahora, volviendo al tema de la formación del universo y las partículas ele-mentales, los científicos modernos, especialmente los cosmólogos y los físicos teóricos, han diseñado la forma de reproducir instantes en la vida del universo tan energéticos como sus tres primeros minutos. para esto utilizan unos inmen-sos equipos con la más alta tecnología llamados aceleradores de partículas.

En un acelerador de partículas, algunas de estas partículas elementales como los electrones, los protones y los núcleos de átomos, se aceleran dentro de un túnel repleto de inmensos imanes que generan grandes campos magnéticos y se hacen chocar unas con otras. El resultado de estas colisiones es la liberación de grandes cantidades de energía y la formación instantánea de nuevas partículas, algunas de ellas muy importantes para probar nuestras teorías sobre la compo-sición y la formación del universo.

Un nuevo acelerador de partículas, en este caso hadrones (protones), ha sido puesto en funcionamiento en el laboratorio cErn en Ginebra, suiza. su obje-tivo es explorar la naturaleza fundamental de la materia y las fuerzas básicas que dan forma al universo. El experimento, conocido como atLas, es realizado por más de 1900 científicos de 35 países diferentes. ATLAS observará colisiones dramáticas entre pares de protones acelerados hasta tener energías de 14 teV (tera electrón Voltio), esta energía equivale a que los protones alcanzan hasta un ¡99% de la velocidad de la luz!

Los protones son acelerados hasta tener estas energías por el Gran colisiona-dor de Hadrones (LHc por sus siglas en inglés). Es un túnel en forma de anillo de 27 kilómetros de largo, lleno de imanes superconductores que dirigen un rayo de protones a largo del anillo y los hacen circular repetidas veces antes de ha-cerlos chocar. El detector de las colisiones, atLas, mide 46 metros de largo y 25 metros de altura y es el más elaborado detector de partículas jamás diseñado. Las colisiones de protones en su centro liberarán escombros llenos de nuevas partículas y podremos entender nuevos procesos que se dan en el interior de la materia.

El detector dibuja las trayectorias de las partículas cargadas eléctricamente que resultan de la colisión y mide la energía de las partículas cargadas y de las neutras (que no tienen ninguna carga eléctrica). La curva que describen las partículas dentro del campo magnético del detector permiten a los científicos calcular su momento lineal, que equivale a medir su energía, y su carga eléc-trica. En el atLas se producen un promedio de 1000 colisiones cada segundo, tan sólo un par de ellas poseen características como para hacer nuevos descu-brimientos.


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El atLas posee cuatro inmensos componentes. El primero es el detector in-terno, que mide la velocidad de cada partícula cargada. El segundo, el calorí-metro, mide la energía transportada por cada partícula. El espectrómetro de muones es el tercero, identifica y mide la velocidad de los muones, que son unas partículas elementales muy importantes en el modelo estándar de par-tículas, y que viven muy poco antes de desaparecer, y finalmente el sistema magnético que desvía las partículas cargadas para medir su velocidad.

El atLas llevará la física experimental a un nuevo territorio. Lo más exci-tante es la posibilidad de encontrar sorpresas desconocidas, nuevos procesos y nuevas partículas que pueden cambiar nuestro conocimiento sobre la materia y la energía. El atLas nos enseñará sobre las fuerzas básicas que le han dado forma a nuestro universo desde el principio del tiempo y que determinarán su destino. algunas de las posibilidades son nuevas dimensiones espaciales, micro agujeros negros y evidencias para la teoría de cuerdas.

otra posibilidad que se vislumbra con el colisionador es recrear las con-diciones del universo justo después del Big Bang, para entender por qué el universo es como es. atLas podrá investigar por qué la materia del universo es mayoritariamente materia oscura, las nuevas partículas descubiertas por el colisionador podrían dar razón de este tipo de materia. podrá explicar por qué las partículas elementales tienen la masa que tienen y no otra. dos de los más grandes misterios de la física moderna son: cómo las partículas obtienen su masa y como se relacionan la masa y la energía. para explicarlo, la teoría predice la existencia de una nueva partícula, llamada por los físicos la partícula de Higgs. si el boson de Higgs existe, el atLas podrá encontrarlo y resolverá el problema de las masas.

Finalmente lo que buscamos es darle respuesta a las grandes preguntas ¿Qué somos? ¿de dónde venimos? La especie humana trata de darle explicación a su propia existencia, y el Gran colisionador de Hadrones nos acercará como nunca antes a la idea original del universo.


273

La quÍmICa COmO uN CaPÍTuLO DE La mECáNICa CuáNTICa

Felipe Valencia HernándezDepartamento de Física

Universidad Nacional, Sede Bogotá[email protected]

Life is a partial, continuous, progressive, multiform and conditionally interac-tive self-realization of the potentialities of atomic electron states.

John Desmond Bernal. The origin of life, 1967

Introducción

La mecánica cuántica, poco a poco, ha ido ganando un sitio importante en la mentalidad colectiva. ochenta años después de los primeros trabajos de Bohr, Einstein, dirac y compañía, la mecánica cuántica sigue considerándose, entre los físicos, como uno de los pilares fundamentales para la comprensión científica del universo, al tiempo que muchos de los conceptos fundamentales y consecuencias empíricas de la mecánica cuántica han transcendido al domi-nio público a través de la ciencia ficción, de las secciones “científicas” de los diarios y noticieros, y de obras de divulgación de diversa calidad. El tránsito de dichas nociones del lenguaje de los científicos físicos al lenguaje del ciudadano común se ha prestado, de forma casi inevitable, para la divulgación de todo tipo de supercherías psedo-científicas. En efecto la mecánica cuántica desafía, en muchos puntos, el “sentido común” tradicional, al reemplazar los ideales de certeza y determinismo de la física del siglo XVII, por una visión fundamental-mente probabilística de la naturaleza. Los desafíos a los conceptos clásicos de determinismo, localidad y no-contextualidad de las mediciones interpretados equivocadamente, pueden llevar a pseudo-teorías como las de la conciencia universal cuántica, la curación cuántica y otras similares, divulgadas por me-dios escritos y audiovisuales con éxito editorial relativamente alto.

Incluso al interior de la comunidad académica, se puede dedicar una gran cantidad de tiempo a la discusión de los aspectos más bizarros de la teoría y a la especulación sobre las aplicaciones más sofisticadas de sus resultados, descuidando a veces el hecho fundamental de que la mecánica cuántica es la teoría que puede explicar algunos de los fenómenos más cotidianos, regulares y prosaicos, esto es: la multitud de procesos químicos que dan forma al mundo a nuestro alrededor y determinan su evolución diaria. En efecto, en el siglo XIX la química y la física se veían como dos ramas separadas de la ciencia -una separación que, desgraciadamente, aparece todavía en muchísimos libros de texto-, cada una con leyes y métodos completamente diferentes. La física es-


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taba restringida a la mecánica: el estudio del movimiento de los cuerpos y las fuerzas que los producen; es decir, a los fenómenos naturales que no implica-ban transformaciones de las sustancias. El estudio de los cambios apreciables de la materia (cambios de color, olor, sabor, consistencia, etc.). les concernía definitivamente a los químicos.

Las investigaciones acerca de los fenómenos eléctricos revelaron demasiados puntos de contacto entre los procesos físicos y químicos como para mantener la separación entre las dos ciencias. por ejemplo: el paso de una corriente eléc-trica puede producir transformaciones químicas importantes en un material y el contacto entre diferentes especies químicas puede producir una diferencia de potencial eléctrico. se retomaron entonces las antiguas concepciones atomísti-cas, con la esperanza de describir las transformaciones químicas en términos de las interacciones mecánicas que tendrían lugar en la escala microscópica de los “constituyentes últimos” de la materia. por supuesto, los intentos por entender incluso las leyes químicas más básicas usando mecánica clásica fallaron dramá-ticamente, haciendo evidente la necesidad de nuevas teorías físicas.

no es de extrañar, entonces, que entre los primeros logros de la mecánica cuántica se cuenten tantos resultados relacionados con la química, como la explicación de la estabilidad de la materia, la estructura de la tabla periódica de los elementos y la formación de diferentes tipos de enlaces. difícilmente se puede enseñar química moderna sin utilizar términos cuyo significado sólo es comprensible usando física cuántica. En definitiva, el desarrollo de técni-cas mecanocuánticas para resolver problemas de la química, ha dado origen a nuevas ramas de la física y la química que se unen en lo que se suele llamar “química cuántica”, “física química” o “química física”.

En éste apéndice discutiremos brevemente los conceptos fundamentales de la química cuántica (es decir, de la aplicación de la física cuántica para enten-der fenómenos químicos), dedicándonos, en especial a la discusión de los con-ceptos básicos de la teoría de enlaces y transiciones. aunque no pretende ser un capítulo formal de química física, usaremos algunos conceptos matemáticos relativamente sofisticados. Algunos de dichos conceptos son presentados de forma suficientemente detallada, incluyendo ejemplos sencillos. Sin embargo, los detalles son demasiado complejos para pretender que el texto sea comple-tamente autocontenido, y para comprenderlo satisfactoriamente es necesario estar familiarizado con las ideas básicas de probabilidad, cálculo diferencial, vectores y matrices.

El problema de la estabilidad de los átomos

Empezaremos nuestra discusión examinando como la física clásica falla rotun-damente al intentar explicar el comportamiento de la materia a nivel atómico.


275

para ello revisaremos las conclusiones que podemos extraer cuando aplicamos los conceptos de la física clásica (mecánica newtoniana y electrodinámica clá-sica) al problema del más simple de los átomos (el átomo de hidrógeno). En particular, veremos que la física clásica no puede siquiera explicar la estabili-dad del átomo, un problema grave, cuya solución requiere la introducción de la maquinaria de la mecánica cuántica.

Descripción clásica del átomo de hidrógeno

Los átomos están compuestos por cargas negativas y positivas cuyos centros, de acuerdo con los experimentos de dispersión de rutherford, están separados por una distancia mucho mayor que sus dimensiones. Las partículas cargadas positivamente son los protones, y las partículas que llevan la carga negativa son los electrones. La interacción entre dichas partículas es de tipo eléctrico y sigue una ley de fuerzas análoga a la interacción gravitacional entre el sol y la tierra. La masa de un protón es mil veces más grande que la de un electrón.

si consideramos el átomo más pequeño, hidrógeno, consistente de un único protón y un electrón es, entonces, razonable imaginar que el electrón gira alre-dedor del núcleo de forma similar a como la tierra gira alrededor del sol.

Figura 1. Modelo planetario del átomo de hidrógeno: el electrón se mueve alrededor del núcleo, siguiendo órbitas análogas a las de un planeta alrededor del sol.

La trayectoria del electrón estaría dada por la ecuación de movimiento de newton:


276

[1]

donde la fuerza eléctrica está dada por:

[2]

donde K es la constante de coulomb, e es la carga del electrón, r es la distan-cia entre el núcleo y el electrón, el vector unitario indica que la fuerza es a lo largo de la dirección que une las dos partículas y el signo (-) indica que es atractiva.

Este es un problema convencional de mecánica clásica, equivalente el pro-blema del movimiento de un planeta bajo la acción del la gravedad solar. Las posibles trayectorias son secciones cónicas con una excentricidad, , dada por los valores de la energía, E, y el momento angular, l:

[3]

dónde la energía está dada por la suma de la energía potencial eléctrica y la energía cinética:

[4]

y la magnitud del momento angular es:

[5]

si la energía es positiva, y las órbitas son hipérbolas. si la energía to-tal es igual a cero, y las órbitas son elipses. para valores negativos de la energía, y las órbitas son elípticas. El valor de la excentricidad definida anteriormente nunca será menor que cero, ya que la energía necesariamente es mayor que , cuándo la energía toma justamente éste último valor, las trayectorias son circulares uniformes.

solamente las trayectorias elípticas y circulares podrían describir adecua-damente un electrón ligado al núcleo, puesto que las trayectorias elípticas e hiperbólicas no están acotadas. La energía y el momento angular pueden tomar un número infinito no numerable de valores, variando de manera continua y


277

a cada par de valores E,l, le correspondería una órbita diferente. así que en principio, en la descripción clásica, hay un número infinito no numerable de posibles estados electrónicos.

Esta descripción clásica tendría muchas dificultades para describir la físi-ca atómica fundamental, aun suponiendo que la solución propuesta anterior-mente fuera la solución completa del problema. Las cosas se ponen realmente complicadas, sin embargo, cuándo recordamos que según las leyes de la elec-trodinámica clásica, toda partícula cargada que se acelera emite radiación electromagnética con una potencia dada por la formula de Larmor:

[6]

por el principio de conservación de energía, la energía mecánica del sistema debe disminuir exactamente en la misma cantidad. Ésta pérdida de energía mecánica correspondería a un frenado del electrón, cuya órbita se acercaría cada vez más al núcleo, haciendo colapsar el átomo.

podemos estimar el tiempo que tardaría en colapsar el átomo suponiendo que la órbita del electrón sea circular y que la pérdida de energía por radiación no es tan rápida como para alterar la órbita en un sólo período de rotación. con estas condiciones, la aceleración estaría dada por:

[7]

dónde ahora r es constante. Entonces, la potencia radiada sería:

[8]

la energía cinética total en una órbita circular está dada (ver cualquier texto de mecánica newtoniana) por:

[9]

así que el tiempo típico que tardaría el electrón en perder toda su energía ci-nética sería del orden de


278

[10]

dónde es la energía de enlace del electrón en la correspondiente órbita. Usando los números correspondientes a la órbita de menor energía en el modelo de Bohr (ver siguiente sección), y , tendríamos . por supuesto, la rata de pérdida de energía cam-biaría a medida que cambia la órbita, pero a pesar de dichas consideraciones el valor obtenido nos permite concluir que el átomo colapsaría en unos pocos nano-segundos. Un tiempo de vida tan pequeño para los átomos, haría imposi-ble la existencia de la materia tal como la conocemos.

Como nota final, vale la pena mencionar que el colapso del átomo vendría acompañado por una emisión de radiación con frecuencias dadas por las velo-cidades angulares en cada instante. puesto que la velocidad angular variaría continuamente, el “espectro” de radiación consistiría en una mancha continua con luz emitida en todo un rango de frecuencia. Experimentalmente, los áto-mos emiten sólo en ciertas frecuencias discretas.

modelo de bohr

El fracaso de la descripción clásica del átomo hizo evidente la necesidad de revisar las leyes que regirían el comportamiento de la materia en la escala atómica. siguiendo un camino similar al tomado por planck para explicar la radiación del cuerpo negro y por Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico, Bohr construyó un modelo que conserva parte de los resultados clásicos, pero con nuevas suposiciones completamente no-clásicas. En particular, Bohr consi-dera que el átomo tiene una estructura como la propuesta por rutherford (bajo cuya supervisión trabajó durante varios años), pero que las órbitas electrónicas cumplen con los siguientes tres postulados:

1. Los electrones pueden ocupar únicamente órbitas circulares, con valores discretos de la distancia entre el electrón y el núcleo, y determinados valo-res de energía.

2. cuando el electrón se encuentra en una de dichas órbitas, no emite ni absor-be radiación.

3. El electrón puede ganar o perder energía únicamente pasando de una órbita discreta a otra y la frecuencia de la luz emitida o absorbida está dada por la diferencia de energía entre las órbitas inicial y final ù=EE h21 � .

El primer postulado es equivalente a la discretización del momento angular de las órbitas, es decir, a suponer que


279

[11]

donde n es un número entero. con un poco de álgebra se puede mostrar que para una órbita circular bajo la acción de la fuerza eléctrica, se puede escri-bir:

[12]

y

[13]

Donde hemos definido el radio de Bohr, , como el radio de la ór-bita más pequeña posible, y la energía de Rydberg, como la energía correspondiente a dicha órbita.

Figura 2. dependencia de los radios y las energías en las órbitas de Bohr para diferentes valores de n

El segundo postulado corresponde simplemente a la ley de conservación de energía, con la suposición de Einstein y planck que la energía asociada a un quantum de luz de frecuencia es , de forma que para cada transición entre órbitas se tiene .


280

Usando ésta suposición, la frecuencia de la luz emitida por un átomo de hi-drógeno cuando el electrón pasa de una órbita a otra, sería:

[14]

o, en términos de la longitud de onda de la luz emitida, :

[15]

ésta última expresión corresponde a la fórmula de Rydberg que describe las diferentes frecuencias en el espectro de emisión del hidrógeno. La fórmula era conocida experimentalmente desde finales del siglo XIX y, sin embargo, no tenía ninguna explicación teórica anterior al modelo de Bohr.

Entonces, a diferencia de los modelos atómicos clásicos, la teoría de Bohr permite describir el espectro de emisión del átomo de hidrógeno en concordan-cia con los resultados experimentales. sin embargo, el problema fundamental de la estabilidad de la materia no queda resuelto: no hay realmente una expli-cación del porqué los electrones en las órbitas de Bohr no emitirían radiación. Este problema se puede resolver satisfactoriamente en la teoría cuántica con-vencional del átomo.

mecánica cuántica grosso modo

al enfrentar un dilema fundamental como el planteado en los apartados an-teriores, tenemos la opción de seguir construyendo teorías ad-hoc, cubriendo los problemas con diferentes retazos. sin embargo, es mejor opción buscar una teoría en que estas dificultades desaparezcan de manera natural y que se pueda aplicar a un conjunto amplio de problemas. La mecánica cuántica nos ayudará a entender no sólo la estabilidad del átomo de hidrógeno, sino de todos los demás elementos químicos, la forma en que se combinan y enlazan y las propiedades físico-químicas de la materia. pero antes de revisar cómo la mecánica cuántica resuelve estos problemas, necesitaremos comprender los elementos básicos de la teoría y los ajustes que se requieren en nuestra forma de abordar los pro-blemas.

En nuestra revisión ignoraremos los efectos relativistas. dichos efectos des-empeñan un papel importante en la descripción precisa de la estructura elec-trónica de los átomos y las moléculas, pero su introducción no es necesaria


281

para entender la fenomenología básica y los conceptos generales que queremos presentar en éste capítulo.

estado de un sistema

cualquier rama de la ciencia que estudie la evolución temporal de algún sistema (llámese mecánica, cinética o dinámica), hablará de los cambios del “estado del sistema”. El concepto mismo de “estado”, sin embargo, está lejos de tener una definición única.

considere, por ejemplo, un contenedor lleno de gas de argón. para la mecá-nica de newton, hablar del estado del sistema implica hablar de las posiciones de todas las partículas involucradas en el gas (en este caso, todos los átomos de argón, típicamente del orden de 10^22), y la dinámica del sistema es la descripción de la variación temporal de todas esas posiciones (es decir, la des-cripción de todas las trayectorias). para la teoría cinética de gases, en cambio, conocer el estado del sistema implica “solamente” conocer su presión, volumen y temperatura en cada momento. para alguna rama de la econometría, quizá el “estado” haría referencia al precio por gramo del gas contenido.

Lo que es común a cualquiera de estas definiciones es que el estado del siste-ma se considera determinado por un conjunto de variables que pueden ser me-didas en un instante dado del tiempo. ¿Exactamente cuáles variables? todas las que sean relevantes para el estudio en cuestión y cuyos valores no puedan ser inferidos a partir de los valores de otras variables. La descripción matemática del estado corresponderá, entonces, al objeto geométrico que contiene dichos valores. así, la descripción newtoniana del estado de movimiento de una par-tícula, necesita tres funciones del tiempo que den las coordenadas espaciales (x(t), y(t), z(t)), y la descripción termodinámica de un gas, estará representada por la tripleta de valores (P,V,T).

La mecánica cuántica usa el mismo concepto para la descripción de los es-tados de un sistema. a diferencia de los casos clásicos, sin embargo, el cono-cimiento completo del estado de un sistema no implica el conocimiento de los valores de un conjunto de observables. En mecánica cuántica, sólo tienen sentido las probabilidades de que la medición de un determinado observable produzca un valor determinado. Conocer el estado de un sistema significa, en-tonces, conocer las probabilidades para cada uno de los posibles valores de todos los observables relevantes. La descripción matemática correspondiente debe ser, entonces, diferente.

cada observable puede tomar, al ser medido, un cierto conjunto de valores, sea éste un conjunto discreto o continuo. para algunos estados, el valor de un observable está completamente bien determinado, es decir, la probabilidad de obtener un valor particular es exactamente igual a uno, y la probabilidad de obtener cualquier otro valor es nula. dichos estados se conocen como esta-


282

dos propios, o eigen-estados, del observable correspondiente. En general, sin embargo, el sistema se encuentra en una superposición de estados cada uno correspondiente a un valor diferente del observable considerado. si conside-ramos, entonces, un cierto observable A, que puede tomar diferentes valores

en diferentes estados propios , el estado general del sistema debe poder representarse como una superposición de estos diferentes estados:

[16]

donde hemos representado la superposición como una sumatoria sobre los dis-tintos estados posibles. para que la anterior expresión tenga sentido, las ope-raciones de suma de diferentes estados (o, mejor, de los objetos matemáticos que usaremos para representarlos) y la multiplicación por un número deben estar bien definidas, requisitos que coinciden con las propiedades de un espa-cio vectorial. El objeto matemático que describe el estado de un sistema se conoce, entonces como vector de estado o ket de estado.

al medir un observable, obtendremos alguno de los posibles valores. si re-petimos la medición, obtendremos siempre el mismo valor, lo cual quiere decir que el estado del sistema después de la medición es alguno de los estados pro-pios del observable medido. El proceso mismo de medición consiste en algún tipo de interacción entre un objeto macroscópico y el sistema cuántico, que usualmente se representa esquemáticamente como en la figura 3.

Figura 3. representación pictórica del proceso de medición. después de medir, el estado del sistema es uno de los estados propios del observable medido. La probabilidad de pasar a cada uno de dichos estados, está dada por los coeficientes de la superposición.

Los coeficientes en la superposición [16] contienen la información acer-ca de las probabilidades de obtener cada posible valor . para una mezcla clásica de diferentes estados, los coeficientes deberían ser justamente dichas probabilidades. sin embargo, la existencia de correlaciones no-clásicas entre las probabilidades para objetos cuánticos, obliga a usar una relación diferente entre los coeficientes y las probabilidades: los son números complejos y la probabilidad de obtener un valor en la medición del observable A está de-terminada por el cuadrado de su valor absoluto:


283

[17]

la sumatoria de los valores absolutos al cuadrado en el denominador garantiza que la suma de todas las probabilidades sea exactamente igual a uno. Es siem-pre posible tomar como representación del estado un vector normalizado, para el cual la suma de los cuadrados de los coeficientes es exactamente igual a uno. se puede escribir, entonces:

[18]

Figura 4. Representación gráfica sencilla de las proyecciones de un vector de estado a lo largo de diferentes estados propios de un observable a.

Los diferentes vectores propios de un observable pueden considerarse, en general, como vectores perpendiculares entre sí, de forma que podemos trazar una analogía entre la superposición [16] y la descomposición de la posición de un objeto en el espacio tridimensional en sus componentes cartesianas. Los co-eficientes corresponden, entonces a las componentes del vector de estado a lo largo de cada uno de los vectores propios . nuestro espacio vectorial debe tener un producto interno definido entre cualesquier dos vectores y , que denotaremos , y cuyo valor corresponde a la componente de uno de los vectores a lo largo del otro. podemos escribir, entonces:


284

[19]

para que una representación del tipo [16] se pueda considerar completa, es necesario que podamos calcular las probabilidades de encontrar cualquier valor para todos los demás observables relevantes para el sistema. Esto quiere decir que para cualquier otro observable B, que toma los posibles valores en estados propios , debe ser posible escribir:

[20],

es decir, debemos poder escribir cada uno de los estados propios del observa-ble B como una superposición de estados propios del observable A. Esta condi-ción no tiene porque cumplirse en general si hemos considerado únicamente un observable en la descripción de nuestro estado. como dijimos anteriormente, una descripción apropiada del estado debe incluir todas las propiedades del sis-tema que sean independientes (los distintos grados de libertad). En mecánica cuántica, éste requisito se satisface al escoger como base para la representa-ción un conjunto de estados que sean estados propios de todos los observables independientes que puedan tener estados propios simultáneos. si {A,B,...} son un conjunto de observables tales que es posible construir estados con valores completamente determinados de cada uno de ellos, y si no existen otros obser-vables independientes de ellos que cumplan éste requisito, se dice que {A,B,...} es un conjunto completo de observables compatibles y será posible escribir cualquier estado del sistema como una superposición de estados propios simul-táneos de éstos observables:

[21]

donde cada vector representa un estado propio del observable A correspondiente al valor , que a su vez es un vector propio del observable B correspondiente al valor , y así para los demás observables del conjunto. La existencia de un conjunto completo de observables compatibles y la posibilidad de expresar los estados propios de cualquier observable fuera del conjunto en términos de los vectores propios simultáneos asociados, son postulados de la teoría. se pueden usar diferentes conjuntos de observables, pero el número de estados propios simultáneos diferentes siempre será el mismo. Este número determina la dimensión del espacio. si, por ejemplo, cada observable en el conjunto puede tomar solamente un número finito de valores, etc,n,n BA , la dimensión del espacio será .

Los diferentes valores posibles para cada observable en el conjunto escogido como base para nuestra representación se conocen también como números


285

cuánticos y se dice que cada observable independiente en el sistema tiene asociado un conjunto de números cuánticos.

Representación de los observables

En el álgebra de la mecánica cuántica, es necesario tener también una repre-sentación para los observables.

puesto que los estados están representados por vectores en un cierto espa-cio, tiene sentido suponer que los observables estén representados por opera-dores en el mismo espacio1. puesto que el estado del sistema lo representamos como una superposición del tipo [21], necesitamos una representación de los observables que permita conocer el efecto sobre un vector cualquiera a partir de su efecto sobre los vectores usados en la superposición. Exigimos, entonces, que los observables sean representados por operadores lineales, de forma que si O es el operador que representa al observable O, su acción sobre un estado cualquiera se pueda escribir como:

[22]

además, queremos que la acción del operador O sobre los estados propios del observable O no afecte el estado del sistema, es decir, que la transforma-ción del vector correspondiente a un estado propio produzca un vector paralelo al mismo:

que se cumple trivialmente si hacemos que los vectores propios del operador Osean los estados propios del observable O:

[23]

donde estamos, además, asociando los valores propios del operador con los po-sibles valores que toma el observable representado. puesto que estos posibles valores son números reales, los operadores que representan observables físicos deben tener solamente valores propios reales, una propiedad que se conoce como Hermiticidad.

si el espacio de los estados, d, es de dimensión finita, cada observable estará descrito por una matriz d*d.

1 Esta suposición es más difícil de racionalizar que la construcción de los vectores de estado. El lector interesado deberá remitirse a la literatura especializada.


286

Una de las cantidades importantes que podemos calcular teniendo la repre-sentación del observable, es el valor esperado que es el análogo cuántico del valor promedio de una variable:

[24]

En general, los valores esperados se comportan de una manera más cercana a la intuición clásica que los vectores de estado y los observables mismos, ya que su variación temporal depende (de acuerdo al teorema de Ehrenfest) también de cantidades promediadas.

Evolución temporal de los sistemas,estados estacionarios

La evolución en el tiempo de un sistema cuántico está determinada por la energía del sistema. La ecuación de schröedinger

[25]

donde el operador Hamiltoniano, H , representa la energía del sistema., rige dicha evolución. La deducción, el significado físico y los métodos de solución de la de la ecuación de shcrödinger trascienden los objetivos de este apéndice. sin embargo, podemos discutir la solución en el caso particular en que el estado inicial del sistema sea un estado propio del operador de Hamilton. En particu-lar, si el Hamiltoniano no varía en función del tiempo, es fácil comprobar que el vector de estado:

[26]

donde

[27]

es solución de la ecuación de schröedinger, ya que tendríamos

[28].

Las probabilidades de que al medir un observable cualquiera, A, se obtenga un valor particular, a, estarían dadas por:


287

[29],

es decir que no dependen del tiempo. puesto que todas las probabilidades son constantes en el tiempo, podemos considerar que el estado del sistema es el mismo siempre. por lo tanto, si un sistema se encuentra en un estado propio del Hamiltoniano (un estado con un valor de energía bien determinado), no va-ría en el tiempo, y pueden considerarse estados estacionarios. La ecuación que nos dice cuáles son los estados propios de la energía se conoce como ecuación de schröedinger independiente del tiempo:

[30]

ejemplo: espín del electrón2

En el caso del electrón, aún cuándo no se considera ningún tipo de desplazamiento espacial, existe un momento angular intrínseco diferente de cero. aún más, éste momento intrínseco constituye una variable independiente, un grado de libertad interno. a dicha variable se le da el nombre de espín, y muchas veces se emplea la analogía con el movimiento de rotación de la tierra alrededor de su propio eje3,

ya que dicha rotación también produce un momento angular diferente al de la traslación de la tierra alrededor del sol. Este momento angular de espín del electrón produce un dipolo magnético que puede interactuar con campos mag-néticos externos.

ahora bien, la descripción mecanocuántica del espín del electrón nos dice que si no consideramos otros grados de libertad -como los desplazamientos- la magnitud del momento angular al cuadrado, 2s , y una de las componentes del momento angular, por ejemplo zs , forman un sistema completo de observa-bles compatibles. Entonces, cualquier vector de estado puede describirse como superposición de los estados propios simultáneos de estos operadores. El ob-servable 2s puede tomar únicamente el valor , mientras que los posibles valores para la componente z del momento intrínseco son y , lo cual quiere decir que cuando medimos el momento intrínseco en una dirección, obtenemos solamente dos posibles resultados, que podemos interpretar como que el espín esté totalmente orientado “hacia arriba” o totalmente orientado “hacia abajo”. denotemos los estados propios correspondientes como:

2 Esta sección está escrita para lectores con un nivel intermedio de formación en álgebra lineal, pero que se enfrentan por primera vez con los conceptos de la mecánica cuántica.

3 sin embargo, el espín del electrón no corresponde a la rotación rígida del electrón. En particular la relación entre el momento dipolar magnético y el momento angular es incompatible con las leyes clásicas de la electrodinámica. El lector interesado debe remitirse a la literatura corres-pondiente.


288

: para el estado con

: para el estado con

ambos estados son estados propios del observable 2s con valor propio . El estado del sistema será en general una superposición de estos dos estados:

[31]

así que el espacio de estados es bidimensional. Las probabilidades de encontrar la componente z del espín hacia arriba o hacia abajo estarían dadas (asumiendo que el vector [31] está normalizado) por:

( ) | |2�� c=P y

Los otros observables relevantes para el sistema corresponden a las otras dos componentes del espín, xs y ys , que también pueden tomar valores o

. para conocer dichas probabilidades basta con conocer la descomposi-ción de los vectores propios correspondientes en términos de los vectores que escogimos como base. por ejemplo, para xs tenemos que:

representa al estado con

representa al estado con

y por lo tanto, la probabilidad de obtener un valor de para la componente x del espín en el estado [31] es:

y de forma similar se pueden encontrar todas las demás probabilidades.

Finalmente, consideremos la evolución temporal del espín de un electrón en presencia de un campo magnético uniforme en dirección z. La energía total corresponde a la energía de interacción entre un dipolo magnético y un campo externo, así que el operador de Hamilton tiene la forma:

donde 0B es la magnitud del campo magnético y es el llamado factor gi-romagnético del electrón, que relaciona el dipolo magnético con el momento


289

angular. En éste caso, los estados propios de energía son los mismos estados propios del observable zs . Los posibles valores de energía (valores propios del Hamiltoniano) serían entonces:

El lector puede comprobar que si el vector de estado en el instante inicial es de la forma [31], el vector:

es la solución de la ecuación de schröedinger [25]. para éste estado, las pro-babilidades de encontrar el sistema con espín hacía arriba o hacia abajo no varían, pero si lo hacen las probabilidades, por ejemplo, de encontrar el espín hacia la derecha o hacia la izquierda. supongamos, por ejemplo, que en el tiempo inicial el estado es el estado propio de xs con espín hacia la derecha,

, en un tiempo cualquiera las probabilidades de encontrar espín hacia la de-recha o hacia la izquierda son:

y

es decir, las probabilidades oscilarían en función del tiempo.

La función de onda

si aplicamos los conceptos desarrollados en la sección anterior al caso en que el observable que nos interesa es la posición del objeto en el espacio tridimen-sional, escribiríamos para el estado de un sistema:

[32]


290

donde los vectores corresponden a estados del sistema con una posición bien determinada4, , y la sumatoria ahora corre sobre todo el espacio tridimensional (es decir, corresponde a una integral en tres dimensiones). pues-to que estamos sumando sobre variables continuas, es conveniente cambiar la notación y considerar los coeficientes de la superposición [32], como una función de las posición:

[33]

de forma que podemos reescribir la superposición [32] como:

[34]

siguiendo las normas establecidas en las secciones anteriores, y suponiendo que la función de onda está normalizada, la probabilidad de encontrar una partícula en la región del espacio comprendida entre x y x+dx, y y y+dy, y z y z+dz, está dada por:

[35]

y la función

[36]

se conoce como densidad de probabilidad.

Una imagen que puede ayudarnos a entender el significado de estas pro-babilidades, y que se usa con frecuencia en química física, es la de una nube de probabilidad. si la partícula descrita por la función de onda [33] estuviera distribuida de forma continua en el espacio formando una nube, la densidad de probabilidad [36] representaría la densidad de la nube en cada punto del espacio. como el electrón tiene una carga eléctrica negativa, a la densidad de probabilidad [36] le podemos asociar una densidad de carga electrónica.

El valor esperado de un observable puede calcularse en términos de la fun-ción de onda y de la representación que tenga dicho operador en el espacio de las posiciones:

4 Estrictamente hablando, y en contraste con las suposiciones de nuestra sección anterior, los vectores no son estados posibles del sistema, ya que un estado con valor completamente deter-minado del sistema no cumpliría con el principio de incertidumbre de Heisemberg. Baste decir que las herramientas del análisis funcional permiten extender la notación y los conceptos usados anteriormente a este caso.


291

[37]

en particular, si la representación del operador es simplemente una función de las coordenadas, el valor esperado toma una forma sencilla en términos de la densidad de probabilidad que corresponde con el valor promedio de una pro-piedad en un medio continuo:

[38]

por supuesto, una partícula cuántica descrita con una cierta función de onda no es realmente un medio continúo distribuido en el espacio. El punto de quie-bre más evidente de la analogía se encuentra cuando pensamos en el proceso de medición de la posición del objeto: para cada región del espacio tenemos una cierta probabilidad de localizar la partícula en dicha región, que depende de la densidad de probabilidad y del volumen, si el resultado de la medición es que la partícula se encuentra en esa región, la probabilidad de encontrarla en cualquier otra parte se anula. En cambio si el objeto estuviera distribuido en el espacio con la misma densidad, la medición nos diría qué porción del material se encuentra en una cierta región del espacio. sin embargo, puesto que muchos observables relevantes para la química dependen de la densidad de probabilidad, hablaremos con frecuencia de las nubes de electrones sin insistir demasiado en los límites de esta analogía.

Descripción cuántica del átomo de hidrógeno

a partir de nuestra discusión sobre la evolución temporal del estado de un sistema, es fácil intuir que la solución al problema de la estabilidad de los átomos estará relacionada con el hecho de que los electrones ocupen estados estacionarios. tenemos, entonces que discutir las propiedades de las soluciones a la ecuación de schröedinger independiente del tiempo correspondiente al electrón interactuando con el protón:

nuevamente, la energía total es la suma de la energía cinética y la energía electrostática así que el operador Hamiltoniano tiene la forma:

[39]

donde hemos escrito la energía cinética en términos del momento lineal p, . Las técnicas matemáticas necesarias para solucionar ésta ecua-

ción de schröedinger exceden, con mucho, el nivel deseado en esta introduc-


292

ción. Baste decir que el problema matemático correspondiente es bien conocido y que las soluciones se pueden obtener con relativa facilidad. En particular, la energía solamente puede tomar valores discretos, que coinciden con los valores encontrados en el modelo de Bohr:

[40]

cada valor del número n define un nivel de energía. por otra parte, tanto la energía potencial electrostática como la energía cinética son independien-tes de la orientación del sistema. Es, entonces, posible realizar una rotación arbitraria del sistema con respecto a cualquier eje sin cambiar la ecuación de movimiento correspondiente. tanto en mecánica clásica como en mecánica cuántica, la simetría del sistema bajo rotaciones implica la conservación del momento angular orbital . La forma en que expresamos éste principio de conservación, sin embargo, es diferente en el caso clásico y en el cuántico.

para un sistema clásico, tendríamos que las tres componentes del momento angular son constantes en el tiempo. En mecánica cuántica, tene-mos que es posible encontrar estados estacionarios que al mismo tiempo sean estados propios del momento angular. de acuerdo con las reglas mecanocuánti-cas del momento angular, ningún estado puede tener simultáneamente valores bien definidos5 de dos componentes del momento angular (existe un principio de incertidumbre para las componentes del momento angular). Es posible, en cambio, tener estados con valores bien definidos de la magnitud del momento y de una de sus componentes. El principio de conservación del momento angular aplicado al problema del átomo de hidrógeno nos dice, entonces, que es posible tener estados estacionarios que sean al mismo tiempo estados propios de la magnitud del momento angular6 y de una de sus componentes (convencional-mente se “escoge” la componente zL 7). por lo tanto debe ser posible rotular los distintos estados propios de energía usando tanto el número cuántico n definido en la expresión [40], como dos números cuánticos adicionales asociados con el momento angular.

debemos recordar además que el electrón tiene un grado adicional de li-bertad interno correspondiente a su espín. En la descripción no-relativista que estamos usando, el espín no interacciona con los otros grados de libertad, así que cada estado estacionario puede ser además un estado propio del espín. En

5 Es un buen momento para recordar que nuestra caracterización para un estado propio de un observable nos dice que en dichos estados el valor del observable está completamente bien definido.

6 En realidad el álgebra cuántica nos indica que debemos usar no la magnitud del momento angular, sino el operador magnitud al cuadrado:


293

definitiva los estados estacionarios, serán al mismo tiempo estados propios de la energía, la magnitud del momento angular, la componente z del momento angular y la componente z del espín (recordemos que la magnitud del espín tiene un único valor posible), con las relaciones de valores propios correspondientes:

[41]

Los números cuánticos asociados con el momento angular solamente pueden tomar ciertos valores: para la magnitud del momento angular orbital se tiene

, para la componente z del momento angular orbital se debe cumplir , y para el espín como dijimos anteriormente, tene-mos que . La energía, en la aproximación que estamos estudian-do, depende únicamente del número n que se conoce como número cuántico principal. puesto que los estados con el mismo n y diferentes l,m y s, tienen todos la misma energía, se dice que son estados degenerados.

se acostumbra denotar los estados estacionarios usando una nota-ción abreviada que indica únicamente el valor del número cuántico principal y la magnitud del momento angular, utilizando el número n correspondiente se-guido de una letra que indica el valor de l así: s para l=0, p para l=1, d para l=2, f para l=3. así, por ejemplo, los estados se rotularían como estados 1s y los estados como estados 2p. Hay (2l+1) diferentes posibles valores de m para cada l así que, por ejemplo, hay sólo dos estados 1s diferentes (uno para cada valor del espín) y seis diferentes estados 2p (tres diferentes valores de m y dos diferentes valores de espín).

La expresión [40] implica la existencia de un estado con el mínimo valor posible para la energía, correspondiente a n=1, E=-13.6eV, el cual se conoce como estado base y es el que ocupará el electrón si el átomo no está sometido a acciones externas. Los estados correspondientes a mayores energías se lla-man estados excitados, y el electrón ocupará éstos estados solamente si una

7 puesto que el sistema es invariante bajo rotaciones, llamar z a un eje en particular es comple-tamente arbitrario.


294

excitación externa, por ejemplo la absorción de un fotón, lo obliga a tener una mayor energía. Esta clasificación de estado base y estados excitados se aplica a todos los sistemas atómicos y químicos.

orbitales atómicos

Las funciones de onda, , asociadas a los estados estacionarios definidos en la sección anterior se conocen como orbitales atómicos. El valor de las funciones de onda en cada punto depende tanto de la distancia al núcleo cómo de su orientación en el espacio. Mientras que las funciones que determinan el comportamiento con la distancia cambian con el número cuántico principal, n, y el número cuántico l, la dependencia con las variables angulares es igual para todos los estados con los mismos valores de momento angular l y m, indepen-diente del valor de n.

Figura 5. parte radial de la dependencia de la densidad electrónica correspondiente a diferentes orbitales del átomo de hidrógeno, con los valores escritos en términos del radio de Bohr.

En las figuras 5 y 6 podemos ver algunos orbitales atómicos para el átomo de hidrógeno, con diferentes valores de n, l y m. En cada caso, la densidad electrónica toma valores grandes para distancias correspondientes a los radios de las órbitas de Bohr, y disminuye rápidamente con la distancia para valores mayores, la probabilidad de encontrar un electrón cerca a los radios de Bohr es grande mientras que la probabilidad de encontrarlo muy alejado del núcleo es muy pequeña.

En los orbitales s (l=0) cuyas funciones de onda tienen formas esféricas la probabilidad de encontrar un electrón en puntos del espacio que estén a la mis-ma distancia del núcleo es la misma, para los diferentes valores de n se tienen diferentes regiones del espacio en las que se acumula la probabilidad de densi-


295

dad. Los orbitales tipo p (l=1) tienen lóbulos que se extienden a lo largo de una línea, la probabilidad de encontrar el electrón a una cierta distancia del núcleo es mayor para los puntos cercanos a dicho eje. Los lóbulos de las funciones tipo d se extienden a lo largo de dos ejes perpendiculares y su estructura puede o no ser simétrica. La existencia de lóbulos que apuntan en diferentes direcciones depende del momento angular l, mientras que el número de lóbulos a lo largo de cada dirección depende del número cuántico principal.

Figura 6. representación de las nubes electrónicas correspondientes a algunos orbitales atómicos. El color indica el signo de la función y la densidad de los puntos representa la magnitud. Las imágenes están cortadas por un plano con respecto al cuál la función es simétrica.

estabilidad del átomo

nuestra principal objeción al modelo de Bohr es que no provee una explica-ción sobre por qué los electrones dejan de emitir radiación en ciertas órbitas. por ahora, hemos planteado el problema en términos de las ecuaciones cuánti-cas para los estados electrónicos, enfocándonos en los posibles estados estacio-narios. sin embargo, decir que los electrones no emiten radiación simplemente por estar en uno de éstos estados no parece mucho más satisfactorio que decir


296

que no emiten radiación por estar en una órbita de Bohr. En efecto, hasta ahora simplemente omitimos en la energía del sistema cualquier posible efecto de la radiación emitida, de la misma forma en que omitimos inicialmente dichos efectos en nuestro análisis clásico.

consideremos, entonces, la forma en que emitiría radiación un electrón que ocupa un orbital atómico cualquiera. puesto que nuestra descripción del elec-trón no involucra ahora su posición en función del tiempo, no nos es posible hablar de la aceleración de la partícula. sin embargo, así como es posible aso-ciar una densidad de carga eléctrica a la densidad de probabilidad, es también posible asociar una densidad de corriente en términos de la cual discutir la ra-diación. La relación entre la densidad de probabilidad y densidad de corriente de probabilidad está dada por la ecuación de continuidad, que es simplemente una manifestación de la conservación de la probabilidad en el espacio. si un cierto volumen del espacio, con una densidad de probabilidad ñ es atravesado por una corriente I (ver figura 7), la diferencia entre la corriente que sale y la corriente que entra debe ser igual al aumento en la probabilidad en ese volu-men por unidad de tiempo.

Figura 7. condicion de continuidad: En cada región del espacio, la diferencia de pro-babilidades en el tiempo t y en un tiempo posterior t+Δt, debe ser igual a la diferencia entre la corriente que entra y la que sale.

para los estados estacionarios la densidad de probabilidad no varía en el tiempo, así que la corriente que sale y la corriente que entra en cada región del espacio son iguales. El momento angular correspondiente a la corriente es el momento angular del estado estacionario, que tiene un valor definido por los números cuánticos l y m. Estas características definirían una corriente esta-cionaria que circula en un anillo, un tipo de sistema que no emite radiación ni siquiera en el caso clásico.


297

Entonces, podemos entender la ausencia de radiación del electrón en un orbital atómico considerando que la imagen que corresponde, en términos elec-trodinámicos, no es la de una carga acelerada en una trayectoria circular, sino la de diferentes anillos de corriente constante.

por supuesto, el electrón puede ocupar estados que no sean estacionarios. En dichos estados emitirá radiación perdiendo energía, en un proceso que conti-nuará hasta que el estado del sistema sea nuevamente un estado estacionario. En ningún caso, sin embargo, la energía puede ser menor que la energía del estado base, lo que garantiza la estabilidad del átomo contra el colapso por radiación.

cuando un electrón que se encuentra en un estado estacionario de energía mayor a la del estado base -estado excitado- es alterado por un campo externo (por ejemplo, por el campo de punto cero o la radiación térmica de fondo), emitirá radiación hasta que su energía corresponda con la de un estado esta-cionario más bajo. por esta razón el átomo solo emite radiación en cuantos de energía correspondientes a la diferencia de energía entre dos niveles. Un razo-namiento análogo se puede aplicar a los procesos de absorción.

átomos de muchos electrones

antes de poder estudiar la formación de moléculas y sus propiedades físico-químicas, debemos extender los conceptos que hemos revisado en la sección anterior a los demás elementos de la tabla periódica. Encontraremos que una buena parte de las propiedades físico químicas de cada de átomo puede enten-derse a partir de las propiedades de orbitales atómicos análogos a los corres-pondientes para el átomo de hidrógeno. sin embargo, necesitaremos entender exactamente el significado de dichos orbitales cuándo nos referimos a sistemas con más de un electrón.

Función de onda para varios electrones

para poder considerar sistemas con más de un electrón debemos extender nuestra idea de la función de onda. si en el sistema hay más de un electrón (como sucede en casi todos los casos), necesitamos conocer la probabilidad de que cada uno de ellos se encuentre en una determinada posición, así que la fun-ción de onda correspondiente deber ser una función de todas las coordenadas de todos los electrones en el sistema.

por ejemplo, si tenemos dos electrones, 1e y 2e , necesitamos conocer la probabilidad, ,de que 1e se encuentre en una cierta posición

y tenga un valor de espín 1s y 2e en la posición con espín 2s . ahora bien, la probabilidad de que dos eventos independientes sucedan es simplemente el producto de las probabilidades de ocurrencia de


298

cada uno8, así que si los dos electrones fueran independientes, deberíamos tener que:

[42]

donde y son las probabilidades de que 1e se encuentre en la posición 1r

y con un valor de espín 1s y de que 2e se encuentre en la posición 2r

con un espín 2s , respectivamente. En tal caso, es de esperar que la función de onda pueda escribirse también como el producto de las funciones de onda de cada electrón:

[43]

donde hemos extendido, por conveniencia, nuestra notación de las funciones de onda como funciones únicamente de las posiciones a funciones que dependen de la posición y el espín. sin embargo, la simple prescripción de la expresión [43] es inapropiada para una función de onda que describa electrones. cuándo consideramos dos o más electrones, es imposible diferenciar uno de otro: todos ellos son indistinguibles. podemos conocer las probabilidades de encontrar un electrón en una cierta posición y otro en otra, pero no podemos saber cuál de los dos electrones estaríamos midiendo en cada caso. En términos de la proba-bilidad conjunta [42] esto quiere decir que el papel de los índices que hemos usado para rotular cada electrón no puede ser definitivo: si los intercambiamos, no debemos observar ningún cambio.

[44]

Ya que la probabilidad depende del valor absoluto de la función de onda, la anterior condición implica que al intercambiar los índices, la función de onda cambia a lo más en el signo. Las leyes de la mecánica cuántica nos dicen que para los electrones, la función de onda solamente puede ser antisimétrica, con respecto a las coordenadas, es decir que debemos tener:

[45]

podemos construir una función de onda apropiada a partir de la suposición sencilla que hicimos en [43], simplemente tomando:

[46]

8 por ejemplo, la probabilidad de que al lanzar un dado de seis caras salga la cara uno es de 1/6 (si los dados no están cargados), y la probabilidad de que caiga la cara dos es también de 1/6. La probabilidad de que al lanzar dos dados caiga la cara uno en el primero y la cara dos en el segundo es de 1/6*1/6=1/36.


299

donde hemos dividido por la raíz cuadrada de dos para mantener la normali-zación. se dice que la función de onda [46] es la versión antisimetrizada de la función de onda [43], y tiene algún sentido decir que un electrón ocupa un estado y el otro un estado , aún cuando no tenga sentido decir cuál electrón ocupa cada estado. si , la función de onda se anu-la, así que no es posible construir una función de onda apropiada para dos elec-trones partiendo del mismo estado para cada uno. Entonces, si la dependencia con la posición es la misma para y , la única forma de tener una función de onda válida es que las partes de espín sean diferentes. Esta condición se sue-le enunciar como principio de exclusión de Pauli: dos electrones con el mismo espín no pueden ocupar el mismo orbital.

si evaluamos el cuadrado de la norma de la función de onda para conocer la probabilidad conjunta [42], obtenemos dos términos que corresponden a la probabilidad de que alguno de los electrones este en la posición 1r

con espín 1s y el otro esté en la posición 2r

con espín 2s :

que dan cuenta de la indistinguibilidad de dos eventos en cualquier teoría pro-babilística y términos adicionales que corresponden a las interferencias propias de la mecánica cuántica. Los términos de interferencia contienen productos del estilo . si las funciones son tales que es despreciable en las zonas en que es grande y viceversa, los términos de interferencia prácticamente se anulan. Esta condición corresponde a electrones que ocupan regiones bien separadas del espacio.

para una función de onda del estilo [46], la probabilidad de encontrar algún electrón en una determinada posición r y con espín s , es decir, la densidad de electrones con espín s toma una forma particularmente sencilla: es simplemen-te la suma de las probabilidades correspondientes para los estados y

[47]

métodos de campo efectivo y más allá

si los electrones no son independientes, como es el caso de los electrones que forman un átomo o una molécula, la función de onda tendrá una forma mucho más compleja. de hecho, el problema de dos o más electrones con interacciones es formidable y no conocemos la solución analítica exacta en el caso general. para una gran cantidad de sistemas atómicos y moleculares, existen métodos que permiten aproximar las interacciones con los demás elec-trones usando algún tipo de fuerza efectiva total, permitiendo la separación del


300

sistema de muchos electrones en muchos sistemas independientes de un solo electrón, sometidos a una fuerza efectiva debida a todos los demás. Este tipo de aproximaciones se conocen con el nombre genérico de métodos de campo efectivo.

La energía total para un átomo contiene la energía cinética de todos los elec-trones, la energía de interacción electrostática de cada electrón con el núcleo y la energía de interacción electrostática entre los electrones. La aproximación más conocida que permite reducir el problema a uno de muchos electrones independientes es la de Hatree-Fock, en ella se supone que la versión antisi-metrizada de un producto de funciones de onda de un sólo electrón (la versión para N electrones de la función de onda [46]) es una buena aproximación para la función de onda real, y se optimizan los orbitales de forma que la energía total tome el mínimo valor posible9. El proceso de optimización obliga a que los orbitales obedezcan un conjunto de ecuaciones de schrödinger similares a la ecuación para el átomo de hidrógeno, donde la energía de para cada orbital está dada por un Hamiltoniano que contiene un potencial efectivo, que a su vez depende de los orbitales. Las ecuaciones de schrödinger asumen, entonces, una forma que debemos resolver de forma autoconsistente: a partir de unas orbi-tales de prueba se evalúa el potencial efectivo, con éste Hamiltoniano efectivo se resuelve nuevamente la ecuación para los orbitales y se continúa el proceso hasta que el potencial en sucesivas iteraciones sea el mismo.

Entonces, en la aproximación de Hartree-Fock, los orbitales obedecen ecua-ciones de schröedinger de la forma:

[48]

donde representa la interacción con el núcleo y es el potencial efectivo que reemplaza las interacciones con los demás electrones. La energía total de un sistema descrito por la función de onda antisimetrizada construida con un conjunto de orbitales, toma la forma sencilla:

[49]

y la densidad electrónica está dada por la versión para N orbitales de la ecua-ción [47]:

[50]

9 Este proceso de minimización variacional corresponde a las propiedades que deben cumplir los estados estacionarios de un sistema.


301

El de menor energía posible (el estado base) se consigue tomando los n or-bitales correspondientes a los menores valores de . como no hemos conside-rado la posibilidad de que la energía dependa del espín, tendremos para cada

dos orbitales diferentes con la misma dependencia espacial y distinto valor de espín.

En la mayoría de los casos prácticos es necesario ir más allá de la aproxi-mación de Hartree-Fock, lo cual se puede lograr por diferentes caminos. Una posibilidad es suponer que la función de onda sea la superposición de funciones antisimetrizadas correspondientes a distintos orbitales, dando origen a los mé-todos conocidos como de interacción de configuraciones. también es posible suponer que la densidad y la energía satisfacen las ecuaciones [49] y [50], pero que la función de onda no es necesariamente de la forma [46], lo que permite más libertad en la escogencia del potencial efectivo. Esta última posibilidad da origen a los métodos del funcional de la densidad en la versión de Kohn y sham.

En lo que resta de éste capítulo, supondremos que el problema electrónico se redujo a un conjunto de ecuaciones del estilo [48]-[50].

La tabla periódica

para los sistemas atómicos el potencial efectivo resulta tener también si-metría esférica, así que podemos rotular los orbitales de acuerdo a los mismo números cuánticos que usamos para el caso del átomo de hidrógeno. Los orbitales para un átomo con Z electrones tienen el mismo tipo de distribu-ción angular que sus contrapartes en el hidrógeno aunque la dependencia de la función de onda con la distancia será diferente para cada átomo. de hecho, la forma de los orbitales será muy parecida a la de los orbitales del átomo de hidrógeno pero en general estarán más comprimidos para mayores números Z debido al aumento de la atracción electrostática del núcleo.

En contraste con el caso del átomo de hidrógeno, la energía de cada orbital (los en la ecuación de schrödinger efectiva) depende tanto de n como de l. cada par de valores n,l definen una capa de electrones. La forma en que la energía varía con el número de capa y el momento angular se puede intuir a partir de la información en la figura 5. La energía de interacción con el núcleo es negativa, y será mayor para mayores valores promedio de la distancia al nú-cleo. para estados con diferente n la distancia promedio al núcleo es más gran-de para el que tenga mayor valor de n, para estados con el mismo n los estados de menor momento angular tienen menor probabilidad de estar en regiones cercanas al núcleo. Esto nos sugiere que la energía de cada orbital aumenta con n y l. debido a la simetría de rotación, no esperamos que las energías dependan del número m.


302

El comportamiento de la energía para cada orbital se ilustra en la figura 8. para cada conjunto de números n,l,m tenemos dos estados posibles correspon-dientes a los distintos valores del espín así que a cada orbital representado en el diagrama de la figura 8 como un círculo, le corresponden dos estados elec-trónicos posibles.

Figura 8. Esquema del comportamiento de la energía correspondiente a cada orbital atómico. El número de círculos en cada orbital corresponde a los posibles valores del número cuántico m.

recordemos que el estado base se consigue utilizando para la construcción de la función de onda los Z estados con menor energía. Los orbitales que usa-mos en la construcción del estado base se consideran ocupados y la estructura electrónica de un átomo en el estado base se puede describir, entonces, en términos del número de electrones en cada uno de los orbitales disponibles. por ejemplo, para el átomo de helio (Z=2), el estado base se construiría usando dos orbitales 1s, para el litio(Z=3) necesitamos dos orbitales 1s y un orbital 2s, y para el carbono(Z=6) dos orbitales 1s, dos orbitales 2s y dos orbitales 2p. La correspondiente notación química convencional sería para el estado base del Helio, para el estado base del Litio y para el carbono.

Las densidades electrónicas correspondientes a los orbitales con menor ener-gía (valores bajos de n y l) están concentradas en las regiones cercanas al


303

núcleo (figura 5), así que la densidad electrónica [50] en la región “exterior” del átomo está determinada por el comportamiento de los últimos orbitales ocupados. cuando consideremos dos o más átomos vecinos, su interacción de-penderá, mayormente, del comportamiento de los electrones en las regiones alejadas del núcleo, así que una buena parte de las propiedades químicas de un elemento puede entenderse en términos de los últimos orbitales ocupados.

El ordenamiento de energías ilustrado en la figura 8, y el hecho de que cada orbital puede contribuir máximo dos estados para la formación del estado base, hace que cada cierto número de electrones se repita la simetría de los últimos orbitales. por ejemplo: helio (Z=2), neón (Z=10), argón (Z=18), kriptón (Z=36), xenón (Z=54) y radón (Z=86) tienen todos los orbitales s y p de la última capa electrónica ocupados, así que la última parte de su estructura electrónica es del tipo ns2 np6 (excepto, por supuesto, para el helio cuya estado base es sim-plemente 1s2 ), éstos átomos tienen una densidad electrónica perfectamente esférica y un espín total nulo. a ésta estructura corresponde una muy baja reac-tividad química, y por ello los elementos correspondientes (gases nobles) son básicamente inertes. En cambio, en el estado base del hidrógeno (Z=1), litio (Z=3), sodio (Z=11), potasio (Z=19), rubidio (Z=37), cesio (Z=55) y del francio (Z=87) el último orbital ocupado es un orbital ns ocupado por un sólo elec-trón, ésta estructura electrónica se refleja en una alta reactividad química, en particular en una facilidad para formar enlaces iónicos transfiriendo parte de su carga electrónica a otro sistema. de la misma forma se pueden explicar la preferencia por captar carga de los halógenos (F, cl, Br, I, at), la tendencia a formar enlaces covalentes entre los elementos de los grupos V a VII, y las demás propiedades de los elementos que se representan en la tabla periódica.

mecánica cuántica para las moléculas

La materia se forma mediante la agregación de diferentes átomos que forman moléculas, cúmulos, y finalmente material en bulto. Estas diferentes manifes-taciones de la materia consisten en diferentes núcleos atómicos y un número determinado de electrones que interactúan entre sí. En principio, para resolver el problema mecano-cuántico asociado, es necesario considerar simultánea-mente todos los grados de libertad: encontrar la función de onda que contiene la información de todas las coordenadas electrónicas, todas las coordenadas nucleares, y todos los momentos angulares de espín. como discutiremos más adelante, dentro de ciertos límites es posible separar las variables nucleares y electrónicas. de ésta forma es posible estudiar el proceso de formación, y pre-decir las propiedades físico químicas de los agregados resultantes, a partir del comportamiento del sub-sistema electrónico.

El punto clave será, entonces, solucionar el problema mecano-cuántico de muchos electrones que interactúan con muchos centros atómicos. Este pro-


304

blema es básicamente el mismo que discutimos para los átomos de muchos electrones: los electrones son partículas indistinguibles y la función de onda debe cumplir con el requisito de antisimetrización. por supuesto, la existencia de más de un centro atómico rompe la simetría esférica y cabe esperar que el sistema de los electrones en una molécula sea más difícil de estudiar que un sistema con el mismo número de electrones en un átomo.

como hemos dicho anteriormente, en general no tendremos una solución exacta para el problema de muchos electrones, sino diferentes soluciones aproximadas. En nuestro estudio sobre la formación de moléculas discutiremos con algún detalle la aproximación más sencilla al problema (la combinación lineal de orbitales atómicos) y la elemental pero poderosa teoría de los enlaces que se deriva de ella (la teoría de valencia), para discutir luego algunos méto-dos de análisis más sofisticados.

En varios de los siguientes apartados haremos uso tanto de la reducción del problema electrónico a un problema efectivo de electrones independientes, como del hecho de que los núcleos atómicos se mueven mucho más despacio que los electrones. El lector debe saber, sin embargo, que ninguna de de estas dos aproximaciones es imprescindible en principio, y que existen técnicas para estudiar los sistemas cuando las aproximaciones resultan inconvenientes.

Aproximación de Born-oppenheimer y superficies de potencial

debemos encontrar una solución apropiada para el problema de muchos nú-cleos y muchos electrones que interactúan formando un agregado. El conjunto estará descrito por una función de onda que depende tanto de las coordenadas nucleares ( IR

) como de las coordenadas electrónicas ( ir

)10:

[51]

donde N es el número de núcleos y M el número de electrones11. En particular, nos interesa conocer cómo se comporta la función de onda del sistema durante los procesos relevantes para la química: la formación y rompimiento de molé-culas, las vibraciones de los núcleos, los cambios de estructura, la interacción con otras moléculas y con diferentes tipos de radiación, etc.

Las masas de los núcleos son mucho más grandes que las de los electrones (de hecho, la masa de un sólo protón es aproximadamente 1836 veces más grande

10 por simplicidad omitiremos la dependencia con los espines en tanto no sea necesario conside-rarlas explícitamente.

11 para una molécula neutra, el número de electrones será igual a la suma de los números atómicos de los átomos que la conforman: M=Z1 +Z2+...+ZN


305

que la del electrón), una condición que para un problema clásico implicaría que los movimientos de los núcleos son mucho más lentos que los movimientos de los electrones. Esta conclusión es razonable también en mecánica cuántica; de he-cho, los resultados experimentales muestran que los tiempos típicos asociados, por ejemplo, a las vibraciones moleculares son del orden de los picosegundos (10^-12 segundos) mientras que los tiempos para las transiciones electrónicas son del orden de los femtosegundos (10^-15 segundos). Esto significa que duran-te la evolución temporal del sistema, los electrones tienen suficiente tiempo para “adaptarse” a los cambios de configuración de los núcleos. Es, entonces, razonable suponer que la parte de la función de onda que describe el compor-tamiento de los electrones depende en cada momento únicamente de la “posi-ción” instantánea de los núcleos. para resolver problema electrónico, bastaría entonces considerar funciones de onda en las que las coordenadas nucleares aparecen solamente como parámetros y no como variables dinámicas.

En particular los estados electrónicos estacionarios serían solución de una ecuación de schröedinger del estilo:

[52]

donde eH es el operador de energía solamente de los electrones más la interac-ción entre núcleos12, entonces eH incluye la energía cinética de los electrones ( eT ), la interacción de los electrones con los núcleos ( ) que, evidente-mente, es diferente para cada configuración de los núcleos, la interacción en-tre núcleos y la interacción entre electrones ( ):

[53]

puesto que la interacción con los núcleos depende de las posiciones nuclea-res, tendríamos diferentes hamiltonianos, energías y funciones de onda elec-trónicas para cada configuración. Puesto que hemos encontrado ya la parte de la función de onda que depende de los electrones, la parte restante debe depender solamente de las coordenadas nucleares:

[54]

para los estados estacionarios, la ecuación de schröedinger para la parte puramente nuclear de la función de onda se puede encontrar considerando

12 La energía de interacción entre núcleos aparecería como una constante aditiva cuándo consi-deramos que las coordenadas nucleares están fijas. Éste término, sin embargo, se incluye en el Hamiltoniano “electrónico” por conveniencia.


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nuevamente todos los términos en el operador de energía y sumando sobre las coordenadas electrónicas:

[55]

donde nT es la energía cinética de los núcleos y E es la energía total del siste-ma. El conjunto de ecuaciones [52]-[55] corresponde al esquema propuesto por Born y oppenheimer en 1927, y es la base para la descripción que presentare-mos en éste capítulo13.

resumiendo, el método de de Born-oppenheimer nos sugiere aprovechar la diferencia de escalas temporales entre los movimientos de los electrones y los de los núcleos, y resolver el problema electrónico asumiendo que los núcleos están congelados en ciertas posiciones. de ésta forma, podemos encontrar las diferentes posibles energías del sistema electrónico, que dependen a su vez de las posiciones nucleares. El problema de los núcleos se resuelve consideran-do la acción promedio de los electrones sobre los núcleos, que aparece en la ecuación de shröedinger correspondiente a través de la energía electrónica. En efecto, la energía potencial que aparece en la ecuación para las coordenadas nucleares [55] es la energía del sistema electrónica14. Este potencial depende no solamente de las coordenadas, sino de cuál estado estemos considerando para el sistema electrónico: habrá una función para el estado base, y otras para los diferentes estados excitados. si dibujamos cada una de éstas funcio-nes de energía potencial en el espacio de 3n+1 dimensiones correspondiente, obtenemos una superficie de potencial, que determina el comportamiento del sistema.

Dinámica molecular

El hecho de que los núcleos atómicos sean mucho más masivos que los elec-trones tiene otra consecuencia práctica importante: las longitudes de onda de de-Broglie asociadas a los movimientos de un núcleo pueden ser significa-tivamente menores a las distancias entre núcleos. Las posiciones nucleares, entonces, pueden estar relativamente bien determinadas (la probabilidad de encontrar un núcleo en un punto del espacio es grande solamente en regiones pequeñas comparadas con el tamaño de la molécula). Bajo éstas condiciones,

13 sin embargo, la descripción de muchísimos fenómenos químicos interesantes implica ir más allá de la aproximación de Born-oppenheimer. En particular, cuando las energías para estados electrónicos diferentes están muy cerca, la aproximación pierde validez. sugerimos al lector interesado remitirse a la literatura especializada.

14 o la energía electrónica más la de interacción entre núcleos, si no incluimos el último término He.


307

tiene sentido estudiar el comportamiento de los núcleos considerando solamen-te el valor promedio de las posiciones y de los momentos lineales. El teorema de Ehrenfest nos permite estudiar éste comportamiento usando las leyes de la mecánica clásica y encontrar las “trayectorias” de los núcleos usando las ecua-ciones de newton correspondientes a un sistema de N partículas con fuerzas que se derivan de un potencial:

[56]

donde aIk y RIk son las componentes k de la aceleración y la posición del I-ésimo núcleo.

El conjunto de ecuaciones [56] puede resolverse numéricamente para en-contrar las posiciones y velocidades de cada núcleo en el sistema en función del tiempo. por supuesto es necesario conocer la energía electrónica en cada instante. Este procedimiento se conoce como dinámica molecular y nos permi-te conocer muchísimos aspectos del comportamiento de un sistema molecular, incluyendo la geometría de equilibrio, las frecuencias de vibración molecular y las rutas de transición en reacciones químicas.

La dinámica del sistema dependerá, por supuesto, del estado electrónico considerado. La mayoría de los conceptos que discutiremos en éste capítulo corresponden a propiedades que dependen del estado base del sistema (es de-cir a procesos que ocurren suficientemente lento como para que los electrones permanezcan en el estado base y en ausencia de radiación).

estructura de las moléculas

si sabemos que un número N de átomos de distintas especies conforman una molécula ¿cómo podemos conocer su estructura geométrica usando la mecánica cuántica?. Las herramientas presentadas en los anteriores apartados son sufi-cientes, en principio, para responder la pregunta. En efecto, al problema se re-duce a uno de mecánica clásica: encontrar el punto (o los puntos) de equilibrio para un sistema de N centros atómicos que interactúan mediante las fuerzas determinadas por la estructura electrónica (eq. 56 ). todo lo que necesitamos hacer es encontrar la energía total del sistema para diferentes configuraciones geométricas; los puntos de equilibrio serán los puntos en que todas las fuerzas se anulen, es decir los mínimos de la energía. El mínimo global de la energía corresponderá a la configuración más estable (y, en consecuencia, la forma más abundante de la molécula en la naturaleza) y los diferentes mínimos locales a diferentes formas alotrópicas.


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Figura 9. Energía como función de los parámetros geométricos para diferentes mole-culas. (a) Un dímero de argón. (b) Molécula de hidrógeno. (c) Molécula de agua. Los datos corresponden a calculos realizados con métodos convencionales de la química cuántica.

sin embargo, aún olvidándonos de las complicaciones asociadas al estudio de las energías electrónicas, resulta que la búsqueda de puntos de equilibrio es un asunto altamente no trivial. Consideremos, por ejemplo, las superficies de potencial ilustradas en la figura 9. Aunque la densidad de puntos calcula-dos por unidad de distancia es aproximadamente la misma en los tres casos, las curvas (a) y (b) aparecen mucho mejor resueltas que la superficie (c). Podemos intuir, entonces, que la descripción de la superficie de potencial de una molécula se hace mucho más difícil cuando aumenta el número de átomos involucrados.

En efecto, el espacio de todas las posibles configuraciones geométricas de un sistema de N átomos tiene 3N dimensiones (correspondientes a las 3 coor-denadas cartesianas de cada átomo). como esperamos que la energía total de la molécula no cambie si trasladamos el centro de masa o hacemos una rota-ción rígida, podemos olvidarnos hasta de 6 de las variables. aún así, 3N-6 es


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un número grande de coordenadas para cualquier molécula de tamaño medio. suponiendo que bastaran n puntos para hacer un muestreo razonable de la va-riación de la energía con cada variable, necesitaríamos del orden de n3N-6 puntos para estudiar la superficie de energía, un número que crece muy rápido con el tamaño de la molécula. tomando, por ejemplo, n=10, el número de puntos necesarios para hacer un mapa de un sector del espacio de configuración (el conjunto de todas las posibles configuraciones geométricas) para una molécula pequeña como la de benceno (N=12) sería de 109 (mil millones de puntos), si para encontrar la energía de cada punto necesitáramos 1ms (una milésima de segundo, muchísimo menos de lo que en realidad tarda un cálculo de mecánica cuántica en la supercomputadora más rápida), el tiempo de cálculo necesario sería de más de 12 años. El lector puede imaginarse, entonces, qué tan factible es estudiar directamente la topografía de la superficie de potencial para la ti-mina (N=15), un fullereno (N=60), o una cadena de arn (N>1000000).

Es necesario, entonces, utilizar el conocimiento químico acumulado para restringir la búsqueda de los mínimos a regiones pequeñas del espacio de confi-guración. Una vez identificadas las estructuras estables, es posible caracterizar los enlaces con mayor profundidad estudiando las fuerzas que aparecen al va-riar las coordenadas, las vibraciones asociadas al sistema, la redistribución de carga electrónica, etc.

molécula di-atómica de hidrógeno

como ejemplo más elemental, consideremos una molécula de hidrógeno sim-plemente ionizada. El sistema tiene dos núcleos de hidrógeno (dos protones) y un electrón compartido por los dos núcleos.

siguiendo el esquema de Born y oppenheimer, necesitamos resolver el pro-blema electrónico para cualquier distancia dada, R, entre los dos núcleos. Bus-camos, entonces, las soluciones de la ecuación de schröedinger electrónica con un operador de energía que contiene la energía cinética del electrón, la interacción electrostática con cada uno de los dos núcleos y la energía de inte-racción entre núcleos:

[57]

aunque es posible encontrar la solución exacta del problema de un sólo elec-trón interactuando con dos núcleos, consideraremos por ahora una solución aproximada que contiene muchos de los elementos físicos y químicos relevantes y que nos permite introducir el método de combinación lineal de orbitales atómicos (LCAO, por la sigla en inglés). Este tipo de solución corresponde a los métodos propuestos por Heitler, London y otros durante las primeras dos décadas del siglo XX.


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Figura 10. diagrama esquemático de una molecula de hidrógeno simplemente ionizada, y definición de variables geométricas usadas en el texto.

cuando los átomos están bien separados, el comportamiento de la función de onda en cercanías de cada uno de los núcleos debería coincidir básicamente con alguno de los orbitales atómicos correspondientes. Es decir, que para átomos bien separados, debemos esperar que la función de onda sea una combinación de orbitales correspondientes a cada uno de los átomos:

[58]

donde y son orbitales atómicos centrados en los diferentes núcleos. Los dos núcleos son iguales, así que no hay ninguna razón para que la densidad elec-trónica sea diferente en la cercanía de un átomo de cómo es en la cercanía del otro. concluimos, entonces, que y deben ser orbitales del mismo tipo (mismos números cuánticos) y que 1c y 2c pueden diferir a lo más en el signo. tenemos entonces que para los átomos bien separados, las funciones de onda posibles son de la forma:

[59]

aunque estas funciones de onda no puede ser la solución exacta del problema cuántico con el hamiltoniano [53], podemos suponer que sean buenas aproxi-maciones a las funciones de onda reales para todas las distancias interatómicas relevantes. Los valores esperados de la energía para los estados descritos por las funciones de onda [59] son:

[60]

donde el denominador en la anterior expresión es necesario puesto que la fun-ción no está normalizada. En la expresión anterior, aparecerán integrales con los orbitales centrados en el mismo núcleo y en núcleos diferentes. Estas integrales son de la forma:

ésta última integral se conoce como integral de superposición o traslape y su valor nos dice cuán extensa es la región del espacio en que los dos orbitales centrados en diferentes núcleos son razonablemente grandes simultáneamen-te. En términos de estas integrales, podemos escribir la energía como:

[61]

En éste ejemplo, las superficies de potencial pueden visualizarse fácilmente, puesto que de las 6 coordenadas cartesianas correspondientes a los dos nú-cleos, sólo nos interesa la distancia interatómica y la gráfica se puede hacer en dos dimensiones. La figura 11 ilustra las superficies de potencial correspondien-tes para esta molécula, es decir el comportamiento de las energías electrónicas para diferentes distancias interatómicas, tomando como base para la combi-nación orbitales tipo 1s. para el estado la energía tiene un valor mínimo cerca a 2.5a0, mientras que para el estado no hay un mínimo en la energía. recordando que éstas curvas de energía representan el potencial efectivo para el movimiento de los núcleos, podemos concluir que cuando el electrón se en-cuentra en el estado es posible encontrar un punto de equilibrio y se forma una molécula estable, mientras que si el electrón se excita hasta el estado la molécula se rompe. por esta razón el estado se conoce como enlazante y el estado como antienlazante.

Observando la figura 12 podemos entender mejor porqué uno de los dos esta-dos produce una molécula estable y el otro no. para el estado la densidad electrónica se acumula en la región interatómica, compensando la repulsión entre los núcleos con la atracción que cada núcleo siente hacia el electrón. para el orbital , la carga se acumula lejos de la región internuclear y no hay, entonces, un mecanismo para compensar la repulsión entre los núcleos.


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donde el denominador en la anterior expresión es necesario puesto que la fun-ción no está normalizada. En la expresión anterior, aparecerán integrales con los orbitales centrados en el mismo núcleo y en núcleos diferentes. Estas integrales son de la forma:

ésta última integral se conoce como integral de superposición o traslape y su valor nos dice cuán extensa es la región del espacio en que los dos orbitales centrados en diferentes núcleos son razonablemente grandes simultáneamen-te. En términos de estas integrales, podemos escribir la energía como:

[61]

En éste ejemplo, las superficies de potencial pueden visualizarse fácilmente, puesto que de las 6 coordenadas cartesianas correspondientes a los dos nú-cleos, sólo nos interesa la distancia interatómica y la gráfica se puede hacer en dos dimensiones. La figura 11 ilustra las superficies de potencial correspondien-tes para esta molécula, es decir el comportamiento de las energías electrónicas para diferentes distancias interatómicas, tomando como base para la combi-nación orbitales tipo 1s. para el estado la energía tiene un valor mínimo cerca a 2.5a0, mientras que para el estado no hay un mínimo en la energía. recordando que éstas curvas de energía representan el potencial efectivo para el movimiento de los núcleos, podemos concluir que cuando el electrón se en-cuentra en el estado es posible encontrar un punto de equilibrio y se forma una molécula estable, mientras que si el electrón se excita hasta el estado la molécula se rompe. por esta razón el estado se conoce como enlazante y el estado como antienlazante.

Observando la figura 12 podemos entender mejor porqué uno de los dos esta-dos produce una molécula estable y el otro no. para el estado la densidad electrónica se acumula en la región interatómica, compensando la repulsión entre los núcleos con la atracción que cada núcleo siente hacia el electrón. para el orbital , la carga se acumula lejos de la región internuclear y no hay, entonces, un mecanismo para compensar la repulsión entre los núcleos.


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Figura 11. comportamiento de la energía con la distancia (en bohrs) entre núcleos para los orbitales enlazantes y antienlazantes de la molécula de hidrógeno ionizada.

si la molécula está en su posición de equilibrio, para romperla será necesario proporcionarle una cantidad de energía igual a la diferencia entre la energía mínima y la energía correspondiente al sistema totalmente separado ( �®R ). Este valor se conoce como energía de enlace. para que la energía de enlace tenga un valor no nulo, es necesario que el valor de la integral de superposición sea diferente de cero.

Figura 12. Mapa de contorno de la densidad electrónica correspondiente a los estados enlazante (arriba) y antienlazante (abajo) de la molécula de H2, para diferentes separa-ciones entre los núcleos. Las zonas oscuras corresponden a la mayor densidad electróni-ca. Las distancias están en términos del radio de Bohr.


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orbitales moleculares

por supuesto en la formación de los enlaces de una molécula cualquiera par-ticipan varios electrones y no uno sólo como en el caso del H2

+. Igual que en el caso de un átomo de muchos electrones, es posible construir una aproxima-ción razonable de la función de onda a partir de la versión antisimetrizada de un producto de funciones de onda de un solo electrón, usando algún método de campo efectivo. así como anteriormente llamamos orbitales atómicos a las funciones de onda de electrón independiente que usamos para construir la fun-ción de onda de un átomo de muchos electrones, llamaremos ahora orbitales moleculares a las funciones correspondientes que usaremos para el caso de una molécula. así como, gracias a la simetría esférica, es posible rotular los orbita-les atómicos usando los números cuánticos n,l,m, será también posible rotular los orbitales moleculares de acuerdo a las simetrías de la molécula. puesto que diferentes moléculas tienen diferentes simetrías, los números cuánticos aso-ciados a los orbitales moleculares son los mismos únicamente dentro de ciertas familias de moléculas.

si en la molécula hay N electrones, necesitaremos al menos N/2 orbitales (recordemos que a cada orbital le podemos asociar dos diferentes valores de spin) para construir la función de onda del estado base -y algunos más si que-remos analizar los estados excitados-. Igual que lo hicimos para el caso de los átomos, llamaremos ocupados a los orbitales que son necesarios para construir la función de onda en un estado electrónico particular.

de entre los diferentes orbitales moleculares merecen particular atención los llamados orbitales de frontera, que son el orbital con mayor energía ocu-pado en el estado base (HOMO por las siglas en inglés de Highest occupied Molecular orbital) y el orbital vacio de menor energía (LUMO por las siglas de Lowest Un-occupied Molecular orbital). si una molécula se ioniza ganando un electrón, es razonable suponer que una aproximación a la nueva función de onda puede construirse añadiendo el LUMo a la lista de orbitales ocupados. Igualmente, si la molécula pierde un electrón, la ocupación del HoMo debería disminuir. con estas dos suposiciones, es posible asociar las energías del HoMo y LUMO con los potenciales de ionización y las afinidades electrónicas de una molécula. del mismo modo, las densidades electrónicas se relacionan con los sitios preferenciales para las interacciones nucleofílicas (atracción de una car-gas positivas) o electrofílicas (atracción de cargas negativas). aunque la des-cripción de la reactividad de una molécula basada en los orbitales de frontera está en uno de los niveles más bajos en la jerarquía de aproximaciones, puede proporcionar información cualitativamente correcta en una cantidad de casos sorprendentemente alta.


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Figura 13. Representación gráfica, usando superficies de iso-probabilidad, de los orbi-tales moleculares de frontera para la molécula de agua, calculados usando un método convencional de química cuántica. Las esferas rojas y azules representan los átomos de oxígeno e hidrógeno, respectivamente. La superficie para el HOMO corresponde a un valor de probabilidad diez veces superior a la usada para el LUMo.

Una representación gráfica conveniente (no la única, por supuesto) de los orbitales moleculares se puede obtener dibujando superficies en el espacio tri-dimensional en las que el valor de la densidad de probabilidad asociada es cons-tante (superficies de iso-probabilidad), como se ilustra en la figura 13.

Figura 14. Superficies de iso-probabilidad para los orbitales de frontera del hidrógeno. Esta vez hemos dibujado las superficies como mallas para poder ver los átomos. La superficie para el HOMO corresponde a un valor de densidad cinco veces superior a la usada para el LUMo.

combinación lineal de orbitales atómicos y teoría de valencia

En la figura 14 se muestran los orbitales HOMO y LUMO calculados para la molécula de hidrógeno usando un método avanzado de química cuántica. El pa-


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recido con las densidades electrónicas de la Figura 12 es asombroso, a pesar de la diferencia entre las aproximaciones utilizadas. aún más, aunque los valores numéricos son sustancialmente diferentes, las superficies de potencial de las figuras 9 (b) y 11 describen comportamientos similares. La idea, entonces, de que los orbitales moleculares de la molécula de hidrógeno se pueden construir a partir de la simple combinación de orbitales atómicos resulta tentadora. En efecto, la aproximación LCAO incluye suficientes elementos de la física molecu-lar como para esperar una correcta descripción cualitativa de la formación de enlaces, no solamente en la molécula de hidrógeno sino en una gran variedad de entornos químicos.

El uso de la simple combinación de orbitales atómicos para describir los or-bitales moleculares es la pieza clave de la teoría de enlaces de valencia. Los orbitales de valencia (orbitales atómicos ocupados por un solo electrón) de cada átomo se combinan para formar los orbitales del enlace, y se asume que los orbitales llenos no intervienen en el proceso. Extrapolando los resultados obtenidos para el hidrógeno ionizado, la condición necesaria para tener un en-lace es que la combinación maximice el traslape entre los orbitales atómicos. Se definen los enlaces como simples, dobles o triples, de acuerdo a la cantidad de orbitales moleculares que contribuyen a su formación.

con esta simple receta es fácil entender porque los átomos alcalinos forman enlaces no-direccionales. Los orbitales de valencia en éstos casos son todos tipo s y tienen, entonces, simetría esférica: es posible construir combinaciones que maximizan el traslape con átomos ubicados en cualquier dirección. por otra parte, la baja reactividad de los gases nobles se debe a que no hay orbitales de valencia: todas las capas electrónicas están llenas. aunque el modelo explica razonablemente éstos dos casos extremos, para entender la formación de enla-ces entre elementos de las demás columnas de la tabla periódica, es necesario hacer varios ajustes, entre ellos la introducción del concepto de hibridación de orbitales, que discutiremos a continuación.

Hibridación

¿Qué nos puede decir la teoría de valencia sobre los enlaces posibles en áto-mos como el carbono? tomemos la estructura electrónica del estado base del carbono, tal como aparece en cualquier tabla periódica: 1s22s22p2. Los últimos orbitales atómicos son un orbital tipo s completamente lleno, y dos orbitales tipo p ocupados por un electrón cada uno16. de acuerdo con las prescripciones sencillas de la teoría de valencia planteadas anteriormente, el carbono podría formar solamente dos enlaces, mutuamente ortogonales. resulta, sin embar-go, que el carbono no solamente puede participar en más de dos enlaces, sino

16 Las reglas de Hund nos dicen que cuando una capa l no está completa, la energía se minimiza distribuyendo los electrones entre los orbitales, lm, disponibles.


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que las moléculas con enlaces de carbono perpendiculares son relativamente escasas. para describir éste fenómeno, la teoría de valencia introduce el con-cepto de hibridación: durante la formación de enlaces, los orbitales atómicos del carbono se modifican, un electrón de la capa 2s es promovido a la capa superior, y los orbitales tipo s y p se mezclan formando híbridos. Hay tres tipos posibles de orbitales híbridos conocidos como sp, sp2 y sp3. En la hibridación sp, se forman dos orbital híbridos antiparalelos, cada uno ocupado por un electrón. En la sp2 se forman tres orbitales híbridos coplanares que forman ángulos de 120o. Los híbridos sp3 son cuatro y están orientados formando un tetraedro. Es posible, entonces, entender los diferentes enlaces tradicionales del carbono usando la teoría de valencia y los orbitales híbridos. por ejemplo, para describir los enlaces en el grafito usaríamos una hibridación tipo sp2, mientras que para formar los enlaces tetraedrales del diamante es necesario considerar híbridos tipo sp3.

Figura 15. posibles orbitales híbridos para el carbono, representados como nubes de probabilidad.

En cualquier caso, la teoría de valencia se basa en suposiciones extrema-damente simples, y no es sorprendente que tenga dificultades para describir la formación de muchas moléculas. Es posible extender la teoría un poco aña-diendo diferentes tipos de hibridación o incluyendo conceptos como los de re-sonancia e hiperconjugación. Estas extensiones son consideradas herramientas importantes en el estudio de los enlaces químicos y ameritarían un capítulo aparte. sin embargo, para nosotros en este punto resulta mejor desarrollar teorías que no dependan de la aproximación Lcao. discutiremos a continuación


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algunas formas de describir los enlaces basadas en la densidad electrónica, que puede ser calculada con diferentes niveles de aproximación.

La densidad electrónica y la densidad de enlace

La densidad electrónica, que en una aproximación de campo efectivo estaría dada por la ecuación 50, es la probabilidad por unidad de volumen de encon-trar un electrón en una cierta región del espacio. Está demostrado que para un sistema electrónico cuyo estado base17 no sea degenerado (es decir, hay una sola función de onda con el valor mínimo de energía), el valor esperado de cualquier observable es un funcional de la densidad. Esto quiere decir que, en principio, es posible conocer el valor medio de cualquier observable conociendo únicamente la densidad electrónica. teniendo en cuenta que una buena parte de los sistemas químicos de interés cumple con la condición de tener un estado base no degenerado, y que la densidad es una función de las tres coordenadas espaciales únicamente, es comprensible que la química cuántica contemporá-nea le dedique bastante atención al cálculo de la densidad y de sus propiedades topológicas.

Figura 16. densidad de diferencia de carga (densidad de enlace) para un enlace co-valente y un enlace iónico. La nube roja representa aumento de la densidad y la azúl disminución.

La primera pregunta que podemos contestar teniendo la densidad electróni-ca es cómo se redistribuye, espacialmente, la población electrónica. Una buena parte de la energía de un enlace corresponde al valor clásico de la interacción electrostática entre los núcleos mediada por la nube electrónica. Los núcleos tienen cargas positivas y por lo tanto se repelen, mientras que son atraídos hacia las regiones con mayor concentración de densidad electrónica. si se esta-blece un balance entre éstas dos fuerzas para una densidad electrónica dada,

17 teoremas de Hohenberg y Kohn.


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se puede formar un enlace. si medimos la diferencia entre la densidad electró-nica de la molécula y las densidades electrónicas para los átomos aislados, es posible, entonces, tener una imagen del enlace. a ésta diferencia se le conoce como densidad de diferencia de carga o densidad de enlace.

En la figura 16 mostramos superficie de densidad de enlace constante para dos moléculas simples, el hidrógeno y el fluoruro de litio. Las diferencias entre las dos moléculas son evidentes. En efecto, representan tipos diferentes de enlaces, uno covalente y otro iónico. Mientras que para el hidrógeno (enlace covalente) hay una acumulación de probabilidad en la región de enlace, que atrae a los dos núcleos positivos; para al fluoruro de litio (enlace iónico) la den-sidad se acumula alrededor del átomo de flúor formando una región con carga negativa que atrae al núcleo de litio18.

Figura 17. Mapas de contorno para la densidad de enlace de átomos alcalinos sobre grafito.

La densidad de enlace puede usarse para distinguir y clasificar enlaces en ambientes químicos más complejos que los que permite la teoría elemental de valencia. considere, por ejemplo, la interacción entre un átomo alcalino y una superficie de grafito. La sabiduría química básica indica que los enlaces son fun-damentalmente iónicos. cabría esperar que las energías de enlace se ordenaran de acuerdo al potencial de ionización, que es mayor para el litio, intermedio para el sodio y menor para el potasio. no obstante, la del sodio tiene un valor menor que para litio y potasio, en lugar de un valor intermedio, lo que ocasionó cierta controversia sobre la posibilidad de contribuciones covalentes importan-tes en el sistema. Las densidades de enlace ilustradas en la figura 17 nos ayudan

18 nótese que la densidad de enlace del hidrógeno concuerda bastante bien con la que cabe espe-rar de la teoría de valencia, mientras que el enlace LiF dificilmente puede entenderse a partir del máximo traslape de orbitales atómicos. de hecho, la teoría de valencia funciona razonable-mente bien para describir las contribuciones covalentes en la mayoría de los enlaces, pero no las contribuciones iónicas.


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a dilucidar la cuestión. Los enlaces son, en efecto, iónicos: una buena parte de la densidad electrónica del átomo alcalino se transfiere al sustrato. El litio, teniendo un radio atómico menor, puede acercarse mucho más a la superficie maximizando la interacción con la densidad electrónica del sustrato.

si bien la densidad de enlace es una herramienta útil y poderosa para el análisis de los enlaces, es difícil definir a partir de ella conceptos importantes como los del orden (cuando un enlace es simple, doble o triple). Entre las mu-chas herramientas basadas en la densidad electrónica que permiten profundi-zar el estudio de los enlaces, vale la pena mencionar la función de localización electrónica (ELF, por las siglas en inglés de Electron Localization Function). La ELF está relacionada con la distribución de pares electrónicos y un mapa típico luce bastante complejo, incluso para moléculas sencillas (ver la figura 18). Es posible medir el orden de un enlace contando el número de bases atractoras en la ELF19.

Figura 18. Mapa de contorno de la ELF para una cadena de cubanos unidos por alquinos. En el mapa de colores, el azul represente el valor 0.0, el verde corresponde a 0.5 (com-pleta delocalización) y el rojo a 1.0 (localización completa).

¿Qué son los átomos cuándo forman parte de una molécula?

La noción clásica de “átomo” implica entidades bien definidas que pueden combinarse con otras sin perder su identidad, aportando sus propiedades (masa, volumen, energía, propiedades eléctricas y magnéticas, etc.). al compuesto re-sultante. ahora bien, en cada molécula hay un número determinado de núcleos, con una cargas positivas bien definidas, localizados en diminutas regiones del espacio, y que no cambian significativamente durante una transformación quí-mica. Estos núcleos, entonces, se asemejan a las entidades atómicas ideales. El número y tipo de núcleos presentes en una molécula determina su composi-

19 En la siguiente sección discutiremos brevemente las contribuciones de Bader a la teoría del orden de los enlaces. Entre los diversos métodos que no discutiremos, merece al menos una mención la teoría de los orbitales de Wannier, el lector interesado puede profundizar sobre éstos temas en las lecturas sugeridas.


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ción química y es de acuerdo a ellos que establecemos una nomenclatura. sin embargo, hemos aprendido a lo largo de éste capítulo que son los electrones quienes determinan la mayoría de las propiedades químicas de un compuesto. Mientras que es posible hablar del número de electrones de un átomo aislado, en una molécula los electrones, siendo indistinguibles, pertenecen al conjun-to y no a un núcleo en particular. Considere, por ejemplo, la figura 19 en que presentamos la densidad electrónica para una molécula de metano: ¿es posible decir todavía que el carbono tiene 6 electrones y cada hidrógeno 1?. aún más, los electrones se localizan en una región mucho más extensa del espacio, y su distribución de probabilidad depende fuertemente de la estructura de la molécula y de la interacción con moléculas vecinas. La identidad de un átomo aislado, considerado como un sistema con un núcleo y N electrones se pierde entonces cuando se combina con otro.

Figura 19. Superficies de iso-densidad electrónica para el metano (C2H4), para diferen-tes valores de densidad: (a) 0.01, (b) 0.05 (c) 0.1 y (d) 0.2 unidades atómicas.

sin embargo, es un hecho que la adición de un átomo particular, o de ciertos grupos de átomos, a una molécula, produce en muchos casos resultados quí-micos predecibles que son, en buena medida, independientes de la estructura detallada. Este hecho fundamental está en la base de nuestra comprensión básica de los procesos químicos. podemos intuir de antemano, por ejemplo, buena parte de las propiedades químicas del compuesto resultante de combinar un metal cualquiera con oxígeno, o de la adición de un átomo alcalino en una estructura de carbono. aún más, cada vez que usamos el término funcionaliza-


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ción, y lo usamos a menudo en química, estamos reconociendo que el resultado químico de la adición de ciertos grupos de átomos es comprensible a partir de propiedades particulares de dicho grupo. Esto quiere decir que en muchos cier-tos átomos y grupos de átomos pueden adicionar sus propiedades a un conjunto diverso de moléculas. Debe ser posible, entonces, encontrar una definición de entidades atómicas que sirva para describir éstos procesos. por otra parte, no siempre que añadimos oxígeno a un sistema podemos hablar de oxidación, y tampoco es posible funcionalizar cualquier sistema, así que nuestra de átomo en una molécula necesariamente dependerá del entorno químico.

Hemos planteado dos problemas diferentes: cómo repartir de forma apro-piada la densidad electrónica entre los diferentes núcleos en una molécula; y: cómo definir entidades atómicas que cumplan con la propiedad de aditividad observada en la química de grupos funcionales. resulta que la solución a los dos problemas es la misma. Una vez que se define adecuadamente la partición de la densidad electrónica en una molécula las regiones espaciales resultantes se comportan como entidades atómicas bien definidas.

La respuesta correcta al problema de la partición de la carga fue desarrolla-da por richard Bader en los tempranos 60’s. aunque la teoría es altamente no trivial, la lógica básica puede intuirse observando la figura 20 en la que mostra-mos el comportamiento de la densidad electrónica para el fluoruro de litio a lo largo del diferentes líneas que comienzan en el núcleo de litio. cada una de las curvas en la figura muestra máximos en la vecindad de los núcleos. Puesto que las núcleos atraen a los electrones, ésta característica no resulta sorprendente. Los diferentes puntos mínimos a lo largo de cada línea definen una curva que envuelve al núcleo y parece, entonces, razonable usar ésta como frontera del sistema atómico. La extensión de éste razonamiento al espacio tridimensional corresponde, entonces, a la prescripción de Bader: un átomo en una molécula es la región alrededor de un núcleo limitada por la superficie formada por los puntos mínimos de la densidad electrónica a lo largo de cada posible dirección. puede mostrarse que dichas regiones son disyuntas y ocupan todo el volumen de la molécula.

Así como la derivada en los puntos mínimos de la figura 20 es cero, para las superficies extremas que separan las regiones atómicas la derivada de la den-sidad en la dirección perpendicular a la superficie debe anularse, es decir que el flujo del gradiente de la densidad por dichas superficies es cero. Schwinger y Feynman mostraron en los 50’s que solamente los sistemas abiertos limitados por superficies de flujo nulo pueden considerarse sistemas adecuadamente de-finidos. Las regiones así definidas pueden tratarse, en buena parte, como siste-mas aislados. Entonces, si al combinar un átomo o grupo de átomos con otros la densidad electrónica no cambia fuertemente, podemos esperar una cierta aditividad en las propiedades. Es claro, entonces, que la definición adecuada de


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un átomo en una molécula corresponde con la partición correcta de la densidad electrónica. Cuando consideramos los átomos así definidos podemos observar una correlación entre la función química que cumplen y su forma, como se ilus-tra en la figura 21: hay características comunes entre los distintos donantes y aceptores de electrones, mientras que la forma asociada a una misma especie atómica cambia cuando el enlace químico es diferente.

Figura 20. densidad eléctronica a lo largo de diferentes lineas que parten del litio. En el recuadro se muestra la ubicación de los puntos mínimos que aparecen en las curvas.

La teoría de Bader nos permite, además, estudiar el orden de los enlaces de una forma que coincide con la intuición química tradicional. cuando se estudia la variación espacial de la densidad electrónica aparecen líneas de máxima densidad que salen de un punto extremo a otro de los puntos extremos (puntos de mínima o máxima densidad). El número de estas líneas de máxima densidad que unen un par de núcleos define el orden del enlace.

Hasta ahora nos hemos concentrado en la estructura de las moléculas, y en la descripción mecano-cuántica de los enlaces. aunque quedan muchísimas cosas por discutir sobre estos temas, es también cierto que el mundo sería muy abu-rrido si todas las moléculas permanecieran inalteradas. por lo tanto, debemos cerrar esta sección para dedicar algo de espacio a la descripción de los cambios en la conformación de la materia, es decir, a las reacciones químicas.


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Figura 21. Formas de los átomos, calculadas con la teoría de Bader, en diferentes mo-léculas sencillas. Estas representaciones corresponden a las superfices de iso-densidad para 0.001 unidades atómicas encerradas en los volúmenes atómicos de Bader.

Reacciones y transiciones químicas

La química es, fundamentalmente, la ciencia de las transformaciones de la materia. Estudia cómo el contacto y la interacción entre diferentes sustancias, o los cambios en el entorno, modifican las propiedades de las mismas. En efec-to, desde un punto de vista histórico, los conceptos de átomo y molécula que ahora consideramos bien establecidos, y que hemos estado discutiendo hasta ahora, se introdujeron como herramientas para comprender las regularidades observadas en dichos procesos de cambio. comprender, entonces, desde un punto de vista microscópico la estructura, forma y propiedades electrónicas de los pequeños agregados atómicos, no es sino el primer paso para poder enten-der los fenómenos químicos reales.

durante una reacción química diferentes moléculas (reactivos) interactúan, se reacomodan, se rompen y se recombinan para formar moléculas diferentes (productos). como estudiosos de la química nos interesa conocer la rapidez con la que ocurren las reacciones, los diferentes productos posibles, la canti-dad de cada producto, y la forma en que las condiciones externas afectan la reacción.


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El proceso real involucra una cantidad inmensa de materia: el número de en-tidades microscópicas en cualquier volumen macroscópico de sustancia es del orden del número de avogadro (~6x1023), e incluso en el pequeño volumen de aire contenido en la aguja de una jeringa hay más de mil millones de moléculas. considerando cuán difícil puede ser encontrar la solución mecano-cuántica del problema para un número pequeño de átomos, la pretensión de estudiar un proceso químico usando la mecánica cuántica parece completamente ridícula.

En efecto, incluso si pudiéramos estudiar las trayectorias de cada núcleo durante una transformación química siguiendo el esquema de dinámica mole-cular mencionado anteriormente, el problema de mecánica clásica asociado resultaría imposible. Escribir las coordenadas y velocidades de cada partícula en un tiempo dado, usando la más rápida supercomputadora, tardaría miles, billones o billones de años. Es obvio, entonces, que debemos enfocar el asunto de una forma diferente.

ahora bien, cuándo decimos que las moléculas son las unidades constitutivas de las sustancias queremos decir también que las posibles transformaciones químicas de la materia pueden relacionarse con las transformaciones en las moléculas que la constituyen. El objetivo de la química cuántica es, entonces, estudiar todos los procesos que pueden ocurrir a nivel molecular durante una reacción química y usar el conocimiento así obtenido para comprender el pro-ceso macroscópico observado. Esto implica caracterizar, en el espacio de con-figuración de los átomos involucrados en un proceso microscópico, los caminos que conducen desde los productos hasta los reactivos. Este no es un objetivo modesto. anteriormente discutimos cuán complicado resulta en general encon-trar la estructura más estable de una molécula. Es obvio que el problema de encontrar y estudiar los caminos posibles en el espacio de configuración será al menos igual de complicado. En los siguientes apartados discutiremos los dos métodos más comunes para estudiar los procesos microscópicos relacionados con una reacción química.

rutas de transición

Figura 22. representación pictórica de la combinación de hidrógeno y nitrógeno para formar amoníaco.


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consideremos, como ejemplo de una reacción química, la simple combina-ción de hidrógeno y nitrógeno para formar amoníaco. La figura 22 muestra una versión extremadamente simplificada (en realidad más una caricatura) del pro-ceso desde un punto de vista microscópico. En realidad no conocemos ni las po-siciones y velocidades iniciales, ni las finales. Solamente sabemos que antes de la reacción tenemos tres moléculas de hidrógeno y una de nitrógeno y después tenemos dos moléculas de amoníaco. podemos olvidarnos por un momento del problema de las condiciones iniciales: antes de la reacción la interacción entre las moléculas es mucho más pequeña que durante la transición. Lo que que-remos saber ahora es cómo ocurre la transformación, como primer paso para entender la probabilidad de ocurrencia de ésta transformación en particular y la forma en que se modificaría cuando cambia el entorno.

Figura 23. En un espacio de configuración de más de una dimension, los caminos que llevan desde un punto A hasta un punto B son infinitos, cada uno de ellos implica un gasto diferente de energía. En la figura, el camino azúl representa el de menor energía. El punto de mayor energía sobre tal camino (t) es el estado de transición.

podemos intuir que en algún paso intermedio de la reacción las moléculas originales se rompieron para que los átomos se reacomodaran. sin embargo, hay muchísimos caminos posibles. por ejemplo: se rompen primero las molé-culas de hidrógeno, se forman los enlaces nH3 y finalmente se rompe el enlace entre los nitrógenos; ó: se rompen todas las moléculas y luego se forman los dos amoníacos; ó: se forma una molécula n2H4, se rompe la molécula de hidrógeno restante y se adhiere al n2H4 para formar n2H6 y luego se rompe el enlace entre


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los nitrógenos ó, en realidad, un número infinito de posibles caminos (ver figura 23). Los principios básicos de la termodinámica nos dicen que de entre todos los caminos el más probable (y por lo tanto el que ocurre con mayor frecuencia) es el que implica un menor incremento de la energía en los puntos intermedios, el camino de mínima energía (MEP, por las siglas en inglés de Minimum Energy path). El estado con mayor energía sobre el MEp en general corresponde a un punto inestable en la superficie de potencial y se conoce como estado de tran-sición. La búsqueda de dicho punto es el objetivo de la teoría de los estados de transición. Una vez identificada la ruta de transición se pueden caracterizar los estados intermedios con una coordenada medida sobre la ruta conocida como coordenada de transición. La diferencia de energía entre el punto inicial y el punto de transición se conoce como barrera de potencial pues es la energía que debe suministrársele al sistema para que la reacción sea posible.

En muchos casos las energías asociadas a los movimientos de los núcleos son significativamente menores a las energías de excitación electrónica. Esto quie-re decir que muchas de las reacciones químicas satisfacen las condiciones de la aproximación de Born-Oppenheimer y, entonces, la superficie de potencial que necesitamos mapear es la correspondiente al estado base de los electrones. El problema de encontrar el estado y la ruta de transición es todavía formidable pero existen diversos métodos de aproximación que funcionan razonablemente bien.

como hemos dicho ya, una reacción química real puede involucrar muchas distintas transformaciones microscópicas. si conocemos las barreras de poten-cial de cada uno de los procesos podemos saber con qué probabilidad ocurre cada una de ellos y usar ésta información en modelos fenomenológicos de la cinética de reacción.

Dinámica molecular

para poder encontrar los estados de transición es necesario tener una buena idea de cuáles son los estados iniciales y finales en cada posible proceso mi-croscópico. En muchos casos, sin embargo, queremos saber qué sucede durante la interacción de moléculas para las que no conocemos el estado final de la reacción. puede tratarse, por ejemplo, de la búsqueda por conocer los pasos intermedios de una reacción encadenada, o del estudio de transformaciones químicas que no se han realizado en el laboratorio (la química cuántica no es solamente una herramienta para entender lo que ya está hecho, también es ca-paz de proponer nuevas formas de hacer las cosas). En éste caso, por supuesto, no tiene sentido hacer una búsqueda de los estados de transición.

supongamos, por ejemplo, que partimos de un grupo de moléculas en el punto A del espacio de configuración (figura 23 ) relativamente bien caracteri-zado, pero que no sabemos mucho de la química en otras regiones del espacio.


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Una forma de aprender sobre los alrededores es dejar que el sistema “vague libremente” explorando distintas regiones. La dinámica molecular hace jus-tamente eso: partiendo de una configuración inicial de moléculas intenta res-ponder cuáles son los posibles productos químicos y los caminos de transición correspondientes.

Figura 24. Instantaneas de una simulación de dinámica molecular cuántica para la des-composición términa del benzeno, para una temperatura de 1800K.

aún restringiendo las posibles geometrías iniciales las posibles velocidades iniciales del sistema son nuevamente infinitas. Así pues, aunque hayamos cal-culado las trayectorias usando mecánica clásica, que es completamente deter-minista, los resultados deben interpretarse probabilísticamente. En la mayoría de los casos, entonces, las diferentes trayectorias, puntos de transición y pro-ductos finales encontrados en una simulación de dinámica molecular deben analizarse en términos de las barreras de potencial asociadas. La figura 24, por ejemplo, muestra uno, no el único posible, de los procesos microscópicos que ocurren durante la desintegración térmica del benceno. cambiando las condiciones iniciales en la dinámica será posible identificar diferentes meca-nismos.

modelado multi-escala

Los dos métodos descritos anteriormente nos permiten caracterizar diferen-tes procesos microscópicos asociados con una reacción química real. Hemos in-sistido en que los procesos reales involucran muchísimas moléculas. añadamos ahora que también involucran tiempos muy largos. Mientras las simulaciones de dinámica molecular cuántica se extienden unos pocos pico-segundos, las transformaciones químicas pueden tomar horas, días y años. ¿cómo franquea-mos el abismo que lleva del estudio de unos pocos átomos durante unos pocos pico-segundos a trillones y cuatrillones de átomos que interactúan durante ho-ras? Una respuesta posible, y la más usual, es usar un esquema de modelado multi-escala: hay una forma adecuada de tratar el problema en cada escala de tamaño y tiempo. Los procesos microscópicos de transformación de las molécu-las que ocurren en pico-segundos se pueden estudiar mecano-cuánticamente. La información que ganamos de los fenómenos microscópicos nos sirve para construir modelos de dinámica clásica en una escala superior de tamaños y tiempos (millones de átomos en tiempos de milisegundos). Lo que aprendamos


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en este paso podemos usarlo en modelos fenomenológicos de las reacciones donde las masas, volúmenes, energías, etc., son considerados como variables continuas. todas estas etapas requieren una gran cantidad de tiempo y esfuerzo (años enteros para tener la descripción completa de un fenómeno como el rom-pimiento de hidrocarburos en una superficie metálica). Los resultados finales, sin embargo, ameritan el esfuerzo y este tipo de aproximación ha permitido en años recientes entender los mecanismos responsables de una buena cantidad de fenómenos químicos industriales.

Comentarios finales

En este capítulo pasamos revista a los conceptos y técnicas básicas de la me-cánica cuántica que nos permiten tratar con los problemas convencionales de la química. si bien es posible, en principio, estudiar cualquier proceso químico haciendo uso de dichas técnicas, y una buena parte del trabajo contemporáneo en química teórica consiste en la simple utilización extensiva de los conceptos discutidos aquí, es también cierto que los fenómenos más interesantes presen-tan grandes desafíos para los investigadores. En efecto, a lo largo del texto hemos insistido en las dificultades inherentes tanto a la solución del problema mecano-cuántico de los electrones como a la búsqueda de puntos y trayectorias en el espacio de configuración. El grado de dificultad crece rápidamente con el número de partículas involucradas y, sin importar cuán avanzados sean los computadores de que dispongamos, inevitablemente hay límites que no pode-mos superar. si pensamos en problemas tan importantes como los involucrados en la química de los seres vivos, o en las reacciones químicas industriales, la barrera aparece mucho más pronto de lo que quisiéramos. Es por esta razón que el campo de la química cuántica se encuentra en constante proceso de actualización. aún mientras escribimos estas líneas, en algún lugar del mundo alguien está ensayando nuevos métodos y aproximaciones. Estas necesidades, por supuesto, son las que hacen interesante un campo de investigación: si todo estuviera resuelto ¿dónde estaría la diversión?.

Referencias y lecturas sugeridas

Una revisión bibliográfica justa que incluya todos los textos importantes re-lacionados con los temas tratados en el apéndice ocuparía, probablemente, tanto espacio como el capítulo entero. Las lecturas sugeridas a continuación corresponden fundamentalmente al gusto particular del autor, pero el lector interesado puede encontrar aún más referencias en dichos textos.

mecánica clásica elemental

d. Kleppner y r. Kolenkow, An Introduction To Mechanics, McGraw-Hill (1973).


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Fundamentos de mecánica cuántica

J.J. sakurai, Modern Quantum Mechanics, addison Wesley (1993).

M. Mizushima, Quantum mechanics of atomic spectra and atomic structure, W. a. Benjamin (1970).

textos básicos de química cuántica

r. F. W. Bader, atoms in Molecules - a Quantum theory, oxford University press (1990).

G. schatz y M. a. ratner, Quantum Mechanics in Chemistry, dover publications (2002).

p. atkins y r. Friedman, Molecular Quantum Mechanics, oxford University press (2005).

software, etc.

Todos los datos y gráficas presentadas en el texto fueron obtenidos usando he-rramientas de software libre, incluyendo:

QUantUM-EsprEsso (http://www.quantum-espresso.org/).

MoLEKEL (http://molekel.cscs.ch/wiki/pmwiki.php/Main/Homepage).

GaMEss (http://www.msg.ameslab.gov/GaMEss/).

GnUpLot (http://www.gnuplot.info/).

GOPENMOL (http://www.csc.fi/english/pages/g0penMol).

XcrYsdEn (http://www.xcrysden.org/)

para la escritura del texto original usamos exclusivamente el opEnoFFIcE (www.openoffice.org)


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uNa bREVE mIRaDa a La FÍsICa DE PaRTÍCuLas

J.-Alexis Rodríguez L.Grupo de Fenomenologia de Partículas Elementales

Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia – Sede Bogotá

[email protected]

Introducción

para explicar cuál es la base de las teorías modernas de partículas elemen-tales brevemente resumimos el desarrollo del marco teórico para los consti-tuyentes de la materia y las fuerzas que los mantienen unidos. de hecho, el camino que llevo al hoy conocido Modelo Estándar de partículas Elementales fue trazado por una serie de premios nobel [1] durante el siglo XX, empezando en 1965 por tomonoga, schwinger y Feynman por el desarrollo de la electrodi-námica cuántica, seguido por el de Glashow, Weinberg y salam, quienes esta-blecieron el modelo electrodébil, hasta el obtenido por rubia y Van der Meer en 1984 por el descubrimiento de los bosones de la interacción débil, el otor-gado en el 1999 a G. t’Hooft y M. Veltman, en el 2002 a r. davies y M. Kos-hiba por sus tecnicas de detección de neutrinos, en el 2004 a david J. Gross H.david politzer y Frank Wilczek por sus descubrimientos en el marco de la cro-modinámica cuántica y finalmente en el 2008a Yoichiro Nambu, Makoto Kobayashi y toshihide Maskawa por sus aportes relacionados con la ruptura de la simetría.

Constituyentes de la materia

La teoría que describe la dinámica de las partículas más elementales del universo se conoce como Modelo Estándar de partículas [2], cuyo contenido de partículas fundamentales se presenta en la tabla 1. En la tabla se encuentran diferenciados dos grandes grupos, un grupo encabezado por partículas de es-pín semientero llamadas fermiones y el otro grupo partículas de espín entero llamados bosones. Las partículas fermionicas son las que conforman la materia como tal y las bosonicas son las llamadas partículas intermediarias. además, entre las fermionicas se distinguen dos subgrupos: los quarks y los leptones. Los quarks presentan entre otras propiedades la del sabor y la del color, esta última puede tomar tres valores diferentes: azul, verde y amarillo. todas las partículas compuestas por quarks son neutras de color, es decir la combinación del numero cuántico de color es cero o blanco y sus combinaciones se conocen como hadrones y se pueden combinar en: quark-antiquark llamados mesones y combinaciones de tres quarks llamados bariones20.

20 recientemente se ha descubierto una combinacion de cinco quarks llamada pentaquark, mas informacion en http://www.jlab.org/news/articles/2003/five_quark.html


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Tabla 1.

Los datos que aparecen en la tabla 1 son datos experimentales, lo cual indica que la existencia de cada una de ellas ha sido corroborada en el laboratorio, la tabla muestra en cada casilla el nombre de la partícula, y algunos números que caracterizan su identidad entre ellos su masa, carga, sabor e interacción. Las unidades para la masa están en eV/c2 que corresponde a utilizar unidades de energía para la masa usando la famosa relación de Einstein E=mc2. para usar este patron de referencia vale la pena mencionar que la masa de un proton es aproximadamente 1 Giga-eV/c2.

La idea que los bosones sean partículas intermediarias de espín entero es uno de los puntos fundamentales de la descripción de las partículas elementales. La interacción entre dos partículas puede ser entendida de dos formas: bien como el efecto del campo de fuerza generado por una de las partículas sobre la otra, como por ejemplo el campo de coulomb o eléctrico generado por una carga fuente actuando sobre otra carga de prueba; o equivalentemente este fenóme-no ocurre debido al intercambio de un portador de la fuerza: un fotón, en el caso electromagnético. El fotón es el quantum del campo electromagnético y


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no es mas que una onda electromagnética con la energía cuantizada siguiendo las ideas de planck [3]. El rango y la dependencia de la fuerza con respecto a los espines y posiciones relativas de las mismas esta relacionada con las propie-dades de este quantum (fotón) y su relación se puede establecer en un marco matemático bien definido.

sabemos que la mecánica newtoniana es el marco matemático para describir los movimientos terrestres y celestes; de igual forma, la mecánica cuántica [4] es el lenguaje para describir el movimiento de moléculas, átomos, electrones, neutrones, protones a nivel molecular, atómico, subatómico e incluso subnu-clear. si además de lo anterior, quisiéramos describir la creación y aniquilación de partículas, como sucede en las transiciones espontáneas de un átomo, nece-sitamos extender nuestro marco conceptual a un nivel más alto llamado teoría de campo cuántico. En esta teoría de campos cuánticos empleamos campos para describir a los portadores de la interacción y las partículas materiales; el éxito de la teoría radica en la manera en que pueden interactuar estos campos cuánticos en un sistema físico determinado y estas formas están relacionadas con las simetrías de la naturaleza [5]. La figura 1 ilustra la idea del intercambio de un portador o intermediario de la fuerza de una manera pictórica y en la tabla 2 se presenta un resumen de las interacciones fundamentales y sus prin-cipales características.

Figura 1. Una representación pictórica de la idea de la acción de una partícula inter-mediaria como la portadora de una fuerza que sienten las partículas involucradas en la interacción.


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Tabla 2. Interacciones fundamentales.

simetrías

Uno de los puntos conceptuales importantes para el entendimiento de las partículas elementales y sus interacciones es el de las simetrías o Invariancias. La idea de las simetrías en física se puede entender de una forma básica de la siguiente manera: las leyes de la física deben tener la misma forma no importa cual punto en el universo se escoja como el origen de nuestro sistema de co-ordenadas o lo que es lo mismo, no importa el lugar que se escoja como punto de referencia para realizar mediciones. Esto significa que la física no cambia bajo una variación del origen del sistema de coordenadas, lo que se expresa diciendo que el sistema físico es invariante bajo una transformación de coorde-nadas dada por translaciones espaciales. Lo anterior dio a la física el principio según el cual las invariancias o simetrías de un sistema físico determinan la forma de las interacciones. Este principio da una nueva forma de aproximarse a la naturaleza, esto es a traves de las simetrias del sistema. como ejemplo tomemos la gravitación. newton por su parte dedujo su ley de gravitación uni-versal observando el movimiento de los astros. En contraste, Einstein planteo posteriormente la teoría de la relatividad general postulando que la descripción del movimiento debería ser la misma para dos observadores empleando dos sis-temas de coordenadas diferentes, los cuales están relacionados por una trans-formación general. En particular esta transformación puede ir cambiando en los diversos puntos del espacio-tiempo. El límite no-relativista de la teoría de Einstein, o sea cuando los objetos se mueven mucho mas lento que la velocidad de la luz, se reduce a la teoría de newton. de esta forma usando el principio de


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invariancia de Einstein es posible obtener en algún limite las leyes de Gravita-ción de newton. de igual forma, los físicos actuales se orientan por el siguiente principio: “obteniendo los principios de invariancia o simetrías del sistema físi-co en cuestión es posible obtener información sobre la dinámica del mismo”, un profundo principio planteado en el famoso teorema de Emily noether [2].

En física de partículas el principio de invariancia que resulta ser relevante es el llamado principio de invariancia gauge local [5]. a grandes rasgos la idea es una generalización de la idea que aparece en electrostática: el campo eléctrico y por tanto la fuerza electrostática depende únicamente de la diferencia de po-tencial eléctrico y no de los valores del potencial en cada punto, de esta forma es posible colocar el cero de la escala del potencial eléctrico tan lejos como la fuerza lo requiera. Esta idea de reescalamiento de potenciales escalares es extendida en forma no trivial para las interacciones fundamentales electromag-netica, debil y fuerte.

La teoría de campos cuánticos que presenta simetrías de gauge local es el marco conceptual aceptado para describir las partículas y sus interacciones, sin embargo en un principio (años 50) no fueron muy usadas porque presentaban resultados infinitos cuando se intentaba predecir la dinamica de las partículas. Las dificultades provenían esencialmente de la estructura no trivial del vacío en la teoría cuántica de campo. Esto se puede visualizar pensando en los efec-tos que tiene un medio sobre las propiedades de una partícula, por ejemplo el transporte de un electrón en un sólido puede ser descrito mas fácilmente ima-ginando que su masa ha cambiado a una cierta masa efectiva debido a sus inte-racciones con la red del sólido. otro ejemplo, es la polarización de las cargas en un medio dieléctrico causado por una partícula cargada que a su vez causa un cambio en la carga efectiva de la partícula. En las teorías de campo cuánti-co, el vacío actúa como un medio no trivial, el problema se encuentra cuando se tratan de calcular los cambios de la carga por efecto de la polarización del vacío pues se obtiene un resultado infinito!

Los fisicos Tomonaga, Schwinger y Feynman usaron el marco de las teorías de campo cuántico con la simetria de gauge del campo electromagnético para la descripción de la dinámica del electrón y el fotón dando lugar a la teoría conocida como Electrodinámica cuántica o QEd y mostraron que se obtenían predicciones sobre las propiedades de las partículas que podían ser medibles, efectos tan pequeños como el corrimiento de los niveles de energía de un áto-mo de Hidrogeno debido a los efectos de la polarización del vacío. todo esto efectuado de una manera consistente matemáticamente condujo a decir que la teoría de la electrodinamica cuántica es una teoría renormalizable que es lo mismo que decir que cuando se calculan procesos fisicos en QED se obtienen re-sultados finitos. Un punto importante en la prueba de renormalizabilidad de la electrodinamica cuántica fue el principio de invariancia gauge local, expresado en las identidades de Ward [5].


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El mejor ejemplo para ver el poder de predicción de estas teorías es la medi-da del radio giromagnetico del electrón. Usando las ecuaciones de la mecánica cuántica con el requerimiento de invariancia para dos observadores moviendo-se con velocidad relativa constante uno respecto al otro, o también llamada ecuación de dirac., se determina que este radio giromagnético debe ser igual a 2; al medirlo experimentalmente se encuentra que es cercano a 2 pero difiere de 2 en una cantidad significativa. Usando la Electrodinamica cuántica se pue-den calcular las correcciones al valor del radio giromagnetico que provienen de considerar efectos de interacción de el electrón mientras emite un fotón y lo reabsorbe de nuevo (figura 2), de una manera sistemática. Las mediciones experimentales concuerdan con las predichas de esta manera hasta en 11 cifras significativas! esto hace de la QED una de las teorías de la física con mayor po-der de predicción existente.

En resumen, las interacciones electromagnéticas entre el electrón y el fotón se pueden describir exitosamente en términos de una teoría de campo cuántico que posee un inmenso poder predictivo debido a la propiedad de renormaliza-bilidad, la cual a su vez se debe a su invariancia bajo un conjunto de transfor-maciones locales gauge que en lenguaje matemático corresponde a un grupo de transformaciones conmutativas notado por U(1)- electromagnético [5].

Camino a la Unificación

Lo anterior nos situa en el punto histórico de 1968 cuando los físicos de altas energías plantean una descripción unificada de las interacciones electromagné-tica y débil en términos de intercambio de los bosones: fotón, WG, y Z. El mode-lo fue planteado por Glashow, Weinberg y salam quienes obtuvieron el premio nobel en 1979 por este trabajo [1,2,4,5]. Tal como la unificación de la electri-cidad y el magnetismo por Maxwell había predicho la velocidad de la luz (c) en términos de las constante dieléctrica y la permeabilidad magnética del vacío [4], esta nueva unificación predecía los valores de las masas de los bosones W y Z en términos de las razones de las dos constantes de acoplamiento de la interacción, llamado sen(Ø) de Weinberg, estas intensidades de acoplamiento son el análogo de la carga eléctrica para la electrodinámica cuántica. además predice la existencia de interacciones entre partículas con bosones intermedia-rios cargados con los WG y una interacción neutra diferente de la interacción electromagnética a través del boson Z. Finalmente los físicos experimentales en el acelerador Ua1 del cErn (centro Europeo para la Investigación nuclear) rubia y Meer consiguieron el premio nobel en 1984 por corroborar la existencia de los bosones W y Z en una serie de brillantes experimentos que encontraron los bosones W y Z con una masa diferente de cero y sus valores se encuentran en la tabla 1.

El modelo propuesto por Glashow, Weinberg y salam [2,6] se ubica de nuevo en el contexto de las teorías de campos cuánticos utilizando una invariancia


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bajo transformaciones locales gauge mas complicada sugerida como un paso más allá de la electrodinámica cuántica. sin embargo debido a las nuevas ca-racterísticas de la interacción, como la masa de los bosones intermediarios, la teoría se torna no renormalizable o lo que es equivalente cuando se calculan correcciones a las relaciones entre las masas de los bosones W, Z y el parámetro senØW se encuentran resultados infinitos y por tanto pierde predictibilidad la teoría. recordemos que la electrodinámica cuántica tiene un boson intermedia-rio de masa cero (el fotón) y para este caso ya se había mostrado que era posi-ble hacer renormalizable la teoría, la pregunta era si esta misma prescripción hecha para QEd serviría para simetrías gauges mas complicadas y con bosones intermediarios con masa diferente de cero.

por la misma época p. Higgs y otros propusieron una forma de escribir teorías de campos cuánticos con bosones masivos como el W y el Z donde la masa de los bosones no rompiera la invariancia de gauge de la teoría propuesta. Este procedimiento se conoce como Mecanismo Higgs y necesita de la existencia de una nueva partícula de naturaleza bosonica llamada bosón de Higgs. Es aquí cuando entran los ganadores del nobel del año 1999 ya que ellos mostraron que la teoría de campo cuántico con campos cuánticos no masivos para el W y le Z era renormalizable y la invariancia de la teoría bajo un grupo complejo de transformaciones no-conmutativas era esencial para ello. Y luego mostraron que una teoría de campos cuánticos con bosones masivos W y Z podría ser re-normalizable si estos bosones adquieren masa vía el mecanismo propuesto por P. Higgs y afirmaron que renormalizable significa que los coeficientes de correc-ciones infinitas podrían desaparecer idénticamente haciendo que la teoría re-cupere su capacidad de predicción dando así un sustento matemático al modelo propuesto por Galshow, Weinberg y salam. ademas t’Hootf y Veltman desarro-llaron nuevos métodos de calculo para las correcciones de orden superior para las propiedades de las partículas, los cuales mantenían la invariancia de gauge propuesta en el modelo. Este trabajo abrió las puertas para hacer predicciones muy precisas de las propiedades de las partículas a partir del modelo electro-débil y de esta forma poder predecir a niveles muy exactos las propiedades de las partículas elementales. Veltman llevo el programa de calculo a varios or-denes de correcciones y mostró que eran finitos, de hecho realizó un programa en computador para hacer estos complejos cálculos analíticos específicos en la física teórica de altas energías. con el trabajo de Veltman y t’Hooft [1,6] no solo se doto de un fundamento matemático a la teoría electrodebil sino que se convenció a la comunidad de física de altas energías que esta es una forma consistente de describir las interacciones electrodébiles.

sin embargo en todo este rompecabezas falta una pieza importante y es la partícula introducida en el mecanismo Higgs, el llamado bosón Higgs. se espera que la caza del Higgs termine con el arribo al ámbito experimental del colisio-nador Large Hadron collider (LHc) en el cErn.


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Referencias

La pagina de los premios nobel es http://www.nobel.se/physics/laurates/

Una pagina web divulgativa sobre el tema se encuentra en http://pdg.lbl.gov bajo el titulo de la aventura de las partículas.

Un buen curso de fisica sobre todos estos topicos disponibles en la red es: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

Las ideas de planck en 1900 condujeron al nacimiento de la Mecánica cuántica la cual celebro 100 años durante el 2000. Vease d. Kleppner, r. Jackiw, One hundred yeras of quantum physics, disponible por red en el servidor de pre-prints http://xxx.lanl.gov/quant-ph/0008092

Vease Michio Kaku, Quantum Field Theory, oxford University press (1993) y ref-erencias allí incluidas. del servidor de los alamos (http://arxiv.org) el libro Fields por W. siegel con el número hep-th/9912205.

reportes sobre el modelo estándar de partículas se encuentran en el servidor de preprints http://arxiv.org/hep-ph/ algunos son: s. F. novaes, Standard Model: an introduction, hep-ph/0001203; c. Quigg, The state of the Stan-dard Model, hep-ph/0001145; s. Bethke, Standard Model physics at LEP, hep-ex/0001023.


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EL PRObLEma y EL RETO DE La INTERPRETaCIóN EN CIENCIa: DaVID bOHm y La FÍsICa CuáNTICa

Carlos Eduardo MaldonadoProfesor Titular

Universidad del [email protected]

Introducción

Hay dos circunstancias verdaderamente difíciles en ciencia. Una hace refe-rencia a las circunstancias biográficas del hombre (o mujer) de ciencia. En la biografía resaltan, particularmente en el mundo contemporáneo aspectos tales como el manejo de situaciones afectivas y emocionales, pero también la de situaciones políticas y sociales del entorno del científico. Una de las condicio-nes necesarias para el triunfo de alguien en ciencia tiene que ver con un tema altamente complicado: el papel y la importancia del azar. pues bien, nada más difícil que el azar –las circunstancias podría decirse en un lenguaje más clásico; aquel por ejemplo que se remonta a la vieja idea de Unamuno de acuerdo con la cual somos nosotros mismos y nuestras circunstancias. En un lenguaje más técnico, la filosofía fenomenológica y el existencialismo lo denominan “factici-dad”. En particular cuando el azar tiene que ver con las circunstancias políticas del pensador, del investigador o del descubridor. pues bien, d. Bohm no tuvo dificultades serias en el plano emocional y afectivo. Todo lo contrario, su esposa Saral influyó positivamente –a partir de 1959– en el desarrollo de su obra y de su pensamiento. Las dificultades de Bohm tuvieron que ver con el plano político – para lo cual baste recordar que no solamente le tocó vivir en plena cacería de brujas del Macartismo, sino, además, consiguientemente, se opuso al mismo o, por decir lo menos, no participó en el juego de lo que representó el entonces director del FBI Hoover y el senador J. Mcarthur. sin embargo, no es sobre este plano que quiero concentrarme aquí.

antes bien, quisiera enfocar la mirada en la segunda circunstancia difícil en ciencia. se trata del hecho de que en ciencia en general –independientemente de la tradición disciplinar-, la formación desde la base (pregrado) hasta los más altos niveles (doctorado) y más allá (estancias de investigación), se concentra en la formación y refinamiento de habilidades, pericias de diverso tipo y com-petencias. De manera tradicional el científico se convierte en un trabajador altamente especializado en el manejo de ciertas técnicas y fuertemente disci-plinado (en la doble acepción de la palabra que hace referencia a la disciplina de investigación, y a la predictibilidad de muchos de sus comportamientos).

El gran escándalo en ciencia –en el sentido más amplio e incluyente de la palabra- consiste, siempre la interpretación – de los datos, de los experimen-


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tos, de los textos, de los hechos. De manera habitual, el científico se atreve a hacer interpretaciones tan sólo al cabo, es decir, una vez que se ha consagrado en un campo; entonces habla de política, de filosofía, de cultura, de historia y de sociedad. Es como si la comunidad científica y académica (en ese orden) tan sólo se lo permitieran porque ha logrado consagrarse como una autoridad en un dominio determinado.

La excepción a este estado de cosas sucede cuando el científico lo hace un poco más temprano, y cuando sus interpretaciones –como corresponde, por lo demás– no se ajustan al modelo estándar de una ciencia o disciplina.

Pues bien, David Bohm es esa clase de científico en la que se reúnen los rasgos y situaciones anteriormente mencionados. de allí su importancia, su sig-nificado, su atractivo y su dificultad.

El debate en Copenhague

La historia es conocida. En la famosa conferencia de tolmo, Italia, 1927, estaba reunida toda la crema de la física cuántica: Max planck, albert Einstein, niels Bohr, Max Born, Louis-Victor de Broglie, Erwin schrödinger, Werner Hei-senberg, paul dirac, además, claro, de profesores, asistentes e investigadores. La física cuántica ya había alcanzado la mayoría de edad y muchos de ellos ya habían conseguido el premio nobel.

El auditorio estaba lleno, y el turno de hablar era del profesor Bohr. En la pri-mera fila de los asistentes se encontraba, entre otros, Einstein. Ya era famosa la discusión entre ambos acerca de la interpretación de y las implicaciones acerca de la teoría cuántica. Bohr pronunció pocas palabras. sencillamente tomó la tiza y expuso en el tablero una larga serie de explicaciones y una ecuación. se trataba de la explicación de acuerdo con la cual prevalecería la interpretación de copenhague: la realidad carecía de sustento material.

durante unos largos minutos se hizo un largo silencio. todos esperaban algu-na reacción de parte de Einstein. si no, Bohr habría triunfado y así, el modelo indeterminista de la realidad. comentarios en voz baja, cuchicheos, miradas cruzadas, todas, ulteriormente dirigidas al profesor Einstein. Entonces, luego de unos minutos Einstein levantó la mano y exclamó: “profesor Bohr: hay un error en su ecuación”. se puso de pie, se dirigió al tablero y señaló el error. Las voces, carraspeos, comentarios tenues y demás murmuraciones fueron en aumento.

Einstein había logrado finalmente demostrar que Bohr estaba equivocado, pero no por ello había logrado demostrar que la suya era la posición verdadera. resumiendo, la conferencia de tolmo terminó con la sensación de que Einstein no había logrado establecer si el universo era finalmente estable, necesario y


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sujeto a principios y reglas –en síntesis, determinista-, pero que, al parecer, Bohr no tenía la razón al sostener de manera contundente que su interpretación de la teoría cuántica era la definitiva. Las consecuencias del triunfo definitivo de alguno de los dos habrían tenido implicaciones enormes en la historia sub-siguiente de la humanidad. sin embargo, el asunto quedaba, por lo pronto sin dirimir.

La dificultad consiste esencialmente en lo siguiente: La única posibilidad que tenemos de tener información acerca del universo cuántico es haciendo medi-ciones acerca de sus fenómenos y comportamientos, pero éstos a su vez alteran la historia y el comportamiento mismo del fenómeno observado. pues bien, la respuesta de Bohr consistió en haber formulado el principio de complementa-riedad. La complementariedad designa la idea de que cualquier conocimiento destruye alguna propiedad del fenómeno cuántico observado. En consecuencia, la interpretación de Bohr afirma el indeterminismo de la física cuántica, con lo cual la complementariedad y el indeterminismo resultan como hechos fun-damentales de la naturaleza con los cuales estamos obligados a trabajar – y a vivir.

como quiera que sea, la interpretación de copenhague ha permanecido durante mucho tiempo como la interpretación estándar o clásica del modelo cuántico. Esta sostiene que no afirmamos mucho (demasiado) acerca de la rea-lidad, sino, tan sólo acerca de nuestra comprensión, visión o interpretación de la realidad. por otros caminos, esta concepción se asimilará íntegramente en toda la filosofía que constituye al pensamiento o al enfoque sistémico.

La interpretación de copenhague –denominada así por deuda con n. Bohr, científico danés que trabajó toda su vida en esta ciudad–, sostiene simple y llanamente que la teoría cuántica debe ser interpretada en forma única y ex-clusiva como una teoría que busca hacer predicciones acerca de nuestras ex-periencias, con lo cual, el problema referente a la realidad en términos de las probabilidades cuánticas son probabilidades de qué, es respondido en términos del papel que el observador, o la conciencia, desempeña en la formulación misma de la teoría.

Esencialmente, la interpretación de Copenhague afirma que la realidad es relativa al observador, y que es el observador, específicamente mediante la me-dición y la experimentación, quien introduce en el mundo la flecha del tiempo; esto es, la distinción entre el pasado y el futuro. Más exactamente, la obser-vación o la medición ponen de manifiesto que una cosa es el fenómeno antes de la observación y otra perfectamente distinta después de la observación. El ejemplo más conspicuo al respecto es el experimento (mental) del gato de schrödinger. sencillamente, la incertidumbre el mundo es de orden eminente-mente epistemológico.


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En contraste, d. Bohm aporta una solución o una alternativa a las interpre-taciones de copenhague. La solución aportada por Bohm se sitúa en la vía de una filosofía realista –por así llamarla-. Su interpretación ha sido denominada por diversos autores como no-relativista, y por otros más, como mecánica en el sentido de que presupone y afirma la existencia de un mundo físico, al cual agrega justamente el mundo de los estados cuánticos. sólo que en la evolu-ción del pensamiento de Bohm, la realidad no debe ser asimilada en sentido ingenuo o empírico, puesto que a ella le subyace un estrato, por así decirlo, más fundamental. con ello Bohm dirige la mirada hacia el universo cuántico y sub-cuántico.

Bohm estuvo en el centro de su época. primero, participó en el proyecto Manhattan por invitación del propio oppenheimer. obtuvo su doctorado de la Universidad de california, Berkeley bajo la dirección del propio oppenheimer. Fue víctima de las persecuciones del macartismo en plena guerra fría y la Uni-versidad de princeton le revocó o no le renovó su contrato. después de un periplo por varios países se convierte en profesor del Birkbeck college en la University of London y sería elegido Fellow de la royal society en 1990.

El nombre de Bohm se encuentra entre lo que podría llamarse la segun-da generación de la física cuántica, después del grupo confomado por planck, Einstein, Bohr, Born, dirac, y los demás. Hizo notables contribuciones a la física del plasma y la mecánica cuántica. Fallece en Londres en 1992. Interlocutor de Einstein y de Feynman, comete el atrevimiento de proponer una interpretación fuerte por vía ontológica de la física cuántica, lo que le valdría el rechazo de buena parte de la comunidad científica de su época. Sólo, irónicamente, de manera póstuma, al cabo de un par de lustros, sus ideas parecen haber vuelto a ser consideradas con seriedad. El triunfo póstumo, digamos, de Bohm avanza por uno de los caminos más difíciles de la teoría cuántica, de la filosofía y la cosmología, a saber: la idea de una pluralidad de mundo, y de un orden im-plícito en el universo en el que el tiempo y el espacio no son importantes, y en donde el pasado, el presente y el futuro confluyen simultáneamente en los pliegues del universo.

El problema: la naturaleza de la realidad

En términos generales, acaso bastante filosóficos, es conocida la famosa ex-presión de Einstein acerca de la naturaleza de la realidad. sin embargo, es pre-ciso presentar, aunque de manera sintética, el cuadro completo. a la expresión de Einstein: “Dios no juega a los dados” se afirma que Bohr respondió: “¡No le digas a dios qué es lo que tiene que hacer!”.

como es sabido, todo se funda en el dúplice problema del comportamiento de los fotones como partículas y/o como ondas, y del problema de la medición


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del par de fotones según si atraviesan una pared con un orificio o con dos orifi-cios, o también, con el famoso experimento de la doble pared.

Confirmando, por otros caminos, lo establecido por la psicología del siglo XIX –notablemente a partir de los experimentos clásicos de Wundt–, la física cuánti-ca pone de manifiesto que la observación de un fenómeno modifica el compor-tamiento del fenómeno, pero, aún más sorprendentemente, el comportamiento mismo parece no depender, en modo alguno, del papel y la importancia del observador; por ejemplo, de los experimentos realizados.

como es sabido, una de los criterios en el famoso y sumamente difícil pro-blema de la demarcación –es decir, la distinción entre la ciencia y la pseudo-ciencia– consiste en la reproducibilidad de los experimentos. pues bien, los experimentos realizados con fotones –haces de luz- plantea el problema de la dirección misma de los fotones.

así las cosas, la naturaleza parece ser bastante más caprichosa, impredeci-ble, inmanejable e inexplicable que lo que la mecánica clásica permitía pen-sarlo. como consecuencia, parecerían emerger dos cuadros completamente distintos del universo, uno válido para la escala macroscópica y que viene a explicarse, ulteriormente, por la teoría de la relatividad, y otro muy distinto, el de la escala microscópica que explica la teoría cuántica. pues bien, la com-prensión popular del mundo que incluye elementos generales de la física del universo macroscópico y microscópico se funda en este dualismo.

En otras palabras, mientras que el universo macroscópico parece ser del or-den determinista, el microcópico pareciera estar marcado por el indeterminis-mo y el azar. A fin de precisar esta idea, vale la pena recordar el estado general de las interpretaciones de la realidad.

La física cuántica posee diversas interpretaciones. Estas interpretaciones se expresan o se condensan en diversos modelos. Las modelos más destacados son: la suma de historias, la interpretación transaccional, la interpretación de his-torias consistentes, la interpretación de conjunto, la interpretación de copen-hague, la decoherencia, las variables ocultas, la interpretación de la pluralidad de mundos, la lógica cuántica.

Interpretaciones de la física cuántica

La suma de historias, la interpretación transaccional, la interpretación de historias consistentes, la interpretación de conjunto, la interpretación de Copenhague, la decoherencia cuántica, las variables ocultas, la interpreta-ción de la pluralidad de mundos, la lógica cuántica.

Tabla I.


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La física cuántica ha contribuido como pocas otras ciencias y disciplinas –ex-ceptuando quizás, parcialmente, a la cosmología y a ese conjunto que se de-nomina las ciencias de la complejidad (observando que la teoría cuántica está implicada necesariamente en ambas)- al problema fundamental acerca de la naturaleza de la realidad. así por ejemplo, en torno al debate sobre si existe una única realidad, sustancial y subsistente por sí misma independiente del su-jeto, o si la realidad es relativa al observador, o incluso también si no existe una única realidad sino una pluralidad, siendo entonces el problema el de si existe alguna conexión (“comunicación”) entre ellas o no, y si existe cómo es. con seguridad los problemas y retos más apasionantes en ciencia, como también en filosofía, en arte y en literatura, por no mencionar incluso a la religión y la poesía, por ejemplo, se encuentran en este punto. sin ambages, el tema apa-sionante de la cosmología encuentra sus raíces en la física cuántica y no puede ser resuelto, en absoluto, sin ella.

Hasta el desarrollo de la teoría cuántica incluyendo, desde luego, a la mecá-nica cuántica, la idea tradicional de realidad era de tipo objetivo, sustantiva y compacta o unificada – precisamente en la acepción más clásica de la palabra; ya sea en filosofía, ciencia o incluso religión (particularmente en Occidente). En contraste, con absoluta seguridad, la teoría cuántica representó la más grande de las crisis del concepto de realidad y de naturaleza en la historia de la hu-manidad occidental. con ello, en rigor, el cisma profundo en toda la tradición que se funda en platón y aristóteles, es, puntualmente dicho, el resultado de la incorporación de la incertidumbre y la idea de que la realidad carece de un sustrato propio al margen e independientemente del sujeto. Incluso la obra de Bohm se sitúa en esta dirección.

El problema se funda en la física cuántica

Mientras que Einstein se acercó a la física cuántica con dudas y buscó revelar su incompletud demostrando su inconsistencia, Bohr aceptó plenamente las ideas de la física cuántica y exploró sus consecuencias con respecto a nuestro modo de pensar con respecto al universo físico. Ambos científicos representan los dos extremos de una ciencia o metafísica de la realidad. La de Einstein es conocida como la de un realismo extremo u objetivo, en tanto que la de Bohr se eleva como la voz más clara y contundente de la llamada Escuela de copen-hague.

En 1935 Einstein, podolski y rosen (dos asistentes suyos) publican un artículo referido a un experimento mental fundado en la crisis realista que implica la dualidad onda-partícula. Básicamente, el artículo21 plantea cualquier atributo

21 El título es: “can quantum, mechanical description of physical reality be considered comple-te?”, en Physical Review, no. 47 (1935), págs. 777-780.


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de un sistema físico que pueda ser predicho con precisión sin alterar, por obra de la medición desde luego, dicho sistema puede ser considerado como un elemento de (la) realidad física. de manera concluyente, digamos, el artículo plantea la hipótesis de localidad, de acuerdo con la cual lo que sucede en un lugar no puede influir de manera inmediata en lo que sucede en otro lugar dis-tante. Esta idea sería designada por todo el mundo como la paradoja Epr.

Más exactamente, la paradoja Epr (Einstein, podolski, rosen) hace referen-cia a la existencia de unos vínculos “fantasma” entre las partículas de suerte que estas se entrelazan de forma que es perfectamente sorpresiva. pues bien, llevar a cabo una prueba experimental del llamado experimento Epr es extre-madamente difícil. El tema se conocería luego, gracias particularmente a los trabajos de Bell, como el entrelazamiento (entanglement), seguramente el más apasionante de todos los temas en la física cuántica. Bell, quien tuvo en cuenta los trabajos de Bohm, y en particular el de 1952, planteó que no había ninguna paradoja. El tema debe quedar aquí, sin embargo de lado, y hace referencia al fenómeno apasionante del entrelazamiento (entanglement) que habremos de considerar posteriormente de cara al desarrollo último de las ideas de Bohm.

como quiera que sea, el experimento Epr es exactamente un experimento mental, y su mérito es el de poner de manifiesta una paradoja, a saber: que la medición simultánea de dos partículas por separado pone de manifiesto víncu-los sorpresivos como si pudieran comunicarse. La paradoja hace referencia a que esa clase de comunicación es definitivamente contraintuitiva. Sin embargo, por otra parte, el experimento Epr permite avanzar con respecto a la indeter-minación considerada por Heisenberg, para quien la ubicación y el momentum de cada partícula y de ambas entre sí están marcadas esencialmente por un halo de indeterminismo – epistemológico.

Antirrealistas

Niels Bohr, Werner Heisenberg, Max Born, Wolfgang Pauli, Pascual Jordan, etc.

(Es decir, la Escuela de Copenhague)

Realistas

a) Albert Einstein

b) Louis de Broglie (y su escuela) – David Bohm

Tabla 2. Líneas de interpretación de la física cuántica.

El aporte de bohm

david Bohm publica uno de los libros más importante sobre física cuántica en 1951, Quantum Theory (reeditado en dover en 1989). Y más tarde en 1957


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publica Causality and chance in modern physics. En el primero, Bohm presenta y discute a la teoría cuántica en sentido clásico sin aportar de manera definitiva ni muy radical su propia interpretación, aun cuando introduce ya en ese libro la más importante de toda su interpretación, a saber: la idea de variables ocul-tas. En el libro de 1957 Bohm discute de manera radical el problema del azar –chance- en el cuerpo de la teoría cuántica. Ya había sido víctima de la perse-cución del macartismo, había emprendido el periplo internacional mencionado al comienzo, y su vida se mueve en el avatar de la oportunidad y el sentido de necesidad de la existencia.

El modelo de Bohm se funda en tres asunciones básicas: primero, en contras-te con la teoría de la relatividad de Einstein, afirma la existencia de acciones instantáneas a distancia. con ello, sostiene que existen relaciones mayores o mejores que las de la velocidad de la luz; segundo, sostiene que la distribución de probabilidad existe efectivamente en la naturaleza misma y no es simple y llanamente, como lo afirma la interpretación de Copenhague, una construcción mental por parte de los científicos; en tercer lugar, Bohm sostiene la existencia de un mundo clásico de partículas y/o de campos clásica.

En rigor, Bohm disuelve o resuelve (como se prefiera) la paradoja EPR, puesto que la paradoja surge de la asunción implícita de que lo que sucede en un tiem-po y lugar es independiente de lo que un observador científico, que actúa en el mismo tiempo pero a una distancia considerable, decide medir. El problema es que el observador está limitado por la velocidad de la luz, con lo cual, a los ojos de Einstein, la acción a distancia es físicamente imposible. En contraste, Bohm introduce la acción local a distancia. para Bohm la colección entera de partículas actúa como una entidad singular compleja. Bohm sienta así las bases para la comprensión contemporánea del átomo, tomando una distancia grande no solamente con los modelos clásicos de rutherford y danton, sino también con el modelo clásico nuclear de Bohr.

Gráfico 1. Modelos de átomo.

El modelo de Bohm constituye una alternativa, si se quiere, a un modelo puramente aleatorio de la realidad. podría establecerse, así, un nexo con la


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ciencia del caos en cuanto que ésta es una ciencia determinista. otra cosa es el caos indeterminista, que es un tema difícil sobre el cual, por lo demás, estaba trabajando I. prigogine en el momento de su fallecimiento.

Bohr, y posteriormente J. von Neumann, tuvieron una fuerte influencia para la posibilidad de asumir un modelo realista de la física cuántica, prefiriendo por una aproximación esencialmente probabilística, en la que las probabilidades re-miten, siempre, ulteriormente, al papel del observador – del científico, o de la comunidad científica. Digámoslo claramente: se trató de una postura mediante la cual la interpretación de Bohm fue silenciada y dejada de lado. La ironía es que la historia habría de darle, ulteriormente, la voz y voto a la interpretación de Bohm.

La interpretación de Bohm es además causal; mejor aún, causal y realista (en rigor ambos conceptos se implican recíprocamente a la luz de la tradición cien-tífico-filosófica). La partícula y la onda son actuales, existen simultáneamente. La onda es una especie de “onda piloto” que guía a la partícula por medio de una “fuerza cuántica” puntual, la cual es generada por un “potencial cuánti-co”. cada partícula existe en todo momento –en todos los tiempos- y sigue una trayectoria precisa completamente determinada por el potencial cuántico me-diante las ondas piloto que genera. En síntesis, en la interpretación bohmiana, el indeterminismo y la aleatoriedad desaparecen del universo (cuántico).

En otras palabras, el principio de incertidumbre antes que ontológico, es epistémico. Limita tan sólo lo que podemos conocer, no las propiedades de las partículas. En cada momento, cada partícula posee una posición precisa y un momento preciso. Estos valores precisos, sostiene Bohm, son incognoscibles: son variables ocultas.

El mérito principal de la teoría de las variables ocultas –desarrolladas igual-mente por otros teóricos, pero cuyo padre es básicamente d. Bohm–, consiste en que en ella es posible reproducir los resultados convencionales de la física cuántica. sin embargo, la principal crítica que se le hace a esta teoría consiste en que el aparato matemático es altamente complicado, a diferencia de los modelos convencionales cuya matemática es, comparativamente, más sencilla. En cuanto a la base experimental de la teoría – no existe ningún rechazo de la misma, pero tampoco ninguna comprobación definitiva.

El nivel de la realidad en el que las partículas parecen estar separadas lo de-nomina Bohm el orden explicado. En contraste, el nivel en el que la separación desaparece y todas las cosas parecen convertirse en parte de una totalidad sin soluciones de continuidad es llamado por Bohm el orden implicado – o también orden implícito. Es claro que éste es un nivel de mayor profundidad de la rea-lidad.


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En rigor, las ondas piloto fueron formuladas por primera vez por L. de Broglie pero fueron abandonadas por la comunidad científica debido a las dificultades que planteaba la no-localidad. por decir lo menos, podemos sostener que la época no estaba aún preparada para la no-localidad – una idea enojosa entre los primeros teóricos cuánticos. pues bien, Bohm redescubre, por sí mismo, la idea de las ondas piloto.

Cuando la ciencia y la filosofía vuelven a encontrarse

Como en el caso de Bohm, cuando el científico se adentra, con seguridad y propiedad en los dominios de la interpretación, se convierte, además, en filósofo: la interpretación es, manifiestamente, uno de los modos de vida de la racionalidad filosófica. Pues bien, David Bohm es habitualmente conocido como científico –físico con aportes fundamentales a la física cuántica– y como filósofo de la ciencia. La filosofía de la ciencia tiene aún una deuda con Bohm, quien fue desplazado del foco debido a la influencia poderosa de K. Popper.

La noción de variables ocultas de Bohm quiere restablecer la idea de rea-lidad, si bien no en el sentido de Einstein, sino más próximo al de de Broglie, mientras avanza en el esclarecimiento de la naturaleza de la realidad. Este trabajo lo lleva a cabo Bohm fundamentalmente en dos libros: La totalidad y el orden implicado, publicado por primera vez en 1980, y El universo indiviso (The Undivided Universe), publicado originalmente en 1993 en colaboración con B. J. Hiley.

La posición filosófica de Bohm emerge, de manera puntual, a partir del pro-blema de cómo interpretar el indeterminismo de los comportamientos cuánti-cos. Fundándose en los trabajos de Bohr, Bohm avanza en la dirección de una indivisibilidad de los procesos cuánticos, que es, justamente, la contribución de las variables ocultas.

pues bien, el merito de Bohm radica en haber conducido la mirada hacia el nivel subcuántico (adelantándose así en varios lustros a las investigaciones so-bre el nivel subcuántico que incluye temas como las teorías brana y M-brana, la muy discutida teoría de cuerdas, presentadas de forma comprensiva y unificada en 1999 por B. Greene en El universo elegante). Es en el nivel subcuántico en donde debemos poder explorar un orden implícito (“implicado”), en el que el tiempo y el espacio no existen, y en donde el pasado, el presente y el futuro existen simultáneamente, y en donde no existe una distinción –propia del uni-verso macroscópico, entre materia y conciencia-. El concepto en el que descan-sa, ulteriormente, ese orden implicado es el de holograma.

“We proposed that a new notion of order is involved here, which we called implicate order (from a Latin root meaning ‘to enfold’ or ‘to fold inward’). In terms of the implicate order one may say that everything is enfolded into


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everything. This contrasts with the explicate order now dominant in physics in which things are unfolded in the sense that each thing lies only in its own particular region of space (and time) and outside the regions belonging to other things” (1980, 177).

Y agrega inmediatamente, en referencia al holograma:

“The value of the hologram in this context is that it may help to bring this new notion of order to our attention in a sensibly perceptible way; but of course, the hologram is only an instrument whose function is to make a static record (or ‘snapshot’) of this order. The actual order itself which has thus been recorded is in the complex movement of electromagnetic fields, in the form of light waves. Such movement of light waves is present everywhere and in principle enfolds the entire universe of space (and time) in each region (as can be demonstrated in any such region by placing one´s eye or a telescope there, which will ‘unfold’ this content)” (ibidem).

Elaborar interpretaciones acerca de la realidad como un todo, e introducir nuevos modos o modelos de significación es propio de la filosofía – en tanto que, por vía de contraste, llevar a cabo modelos de explicación rigurosos sobre niveles, escalas, dimensiones o sistemas de la realidad es propio de la actividad científica.

pues bien, como sucede por lo demás en numerosos casos en ciencia, d. Bohm se nutre de la ciencia –la física cuántica en su caso-, avanza hacia nive-les de explicación filosófica –en su caso, a través de la puerta de las variables ocultas-, y vuelve a la ciencia –siempre, en su caso, la física-, para afirmar un orden físico en el universo en el que, literalmente, la teoría de la relatividad y la teoría cántica son sencillamente indicadores del mismo. Mientras que la ma-yoría de las miradas se han concentrado en las diferencias entre ambas teorías, Bohm llama la atención acerca de lo común que tienen ambas: se trata de una totalidad no-rota (unbroken wholeness).

“The notion of unbroken wholeness is, however, still of limited application in the theory of relativity, because the basic concept is that of a point event which is distinct and separate from all other point events. In quantum theory however there is a much more thoroughgoing kind of unbroken wholeness. Thus even in the conventional interpretations, one talks of indivisible quantum processes that link different systems in an unanalysable way. In principle, these principles should extent to the whole universe, but for practical purposes their effects can be neglected on the large scale, so that in some suitable classical approxima-tion we can use a simplified picture of the world as made up of separate parts in interaction. But in our interpretation there is also the fact that because the quantum potential represents active information, there is a nonlocal connection which can, in principle, make even distant objects into a single system which has an objective quality of unbroken wholeness” (1993, 352).

Dicho de manera rápida pero puntual: lo propio de la razón filosófica consis-te en poner el dedo en paradojas, aporías, contradicciones y antinomias que,


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eventualmente, pueden tener una solución. pero cuando la tienen esa solución no es filosófica; es, además y principalmente, científica. Ambos caracteres se aprecian tanto en la obra como en la vida misma de d. Bohm.

La idea del orden implicado (o implícito) puede ser comprendida que una conexión existente entre todas las partes del universo, que no es directamente accesible desde el mundo macroscópico –debido fundamentalmente a que en este mundo reina la flecha del tiempo (en perspectiva de complejidad diríamos mejor la doble flecha del tiempo, la de la termodinámica y la de la evolución)–. asimismo, puede ser entendida en el sentido de que el universo contiene, ins-crita en todas y cada una de sus partes, información codificada sobre lo que está sucediendo en las otras partes22.

Los cálculos requeridos por el universo para levar a cabo dichas conexiones son de una complejidad impresionante. de acuerdo con la crítica que se ha hecho de este concepto, implica, además, la idea de una cierta predestinación. sin embargo, la mejor comprensión de la misma es, simple y llanamente, como la de una “totalidad fluida”.

Recapitulando: física cuántica, incertidumbre y complejidad

En vista de los comportamientos sorpresivos a la luz del modelo mecanicista clásico de los fenómenos cuánticos, Heisenberg introduce el concepto de “in-certidumbre” con lo cual, como lo señala con acierto d. Lindley (2008), se de-safiaron siglos de comprensión científica del mundo y de la realidad. En Marzo 1927, con veinticinco años de edad, Heisenberg oscilaba entre los conceptos de “inexactitud” e “indeterminación”. Finalmente opta por el de “incertidumbre”, bajo la presión de su mentor n. Bohr. En rigor, Heisenberg no introduce la incer-tidumbre en la ciencia, sino, más radicalmente, cambió la propia naturaleza y el sentido de la ciencia. La incertidumbre ya era conocida en ciencia; quizás el mejor caso más próximo a Heisenberg era el de los movimientos brownianos.

pero, ¿cuál es el punto básico de discusiones en el marco de las interpreta-ciones de la física cuántica acerca de los fenómenos microscópicos y, ulterior-mente, de la realidad? El tema de debate no era –y no sigue siendo- otro que el del papel de la causalidad – la vieja idea o creencia introducida por los griegos alrededor del siglo V a.n.e. y sistematizada por aristóteles. Esta idea, con ab-soluta seguridad, constituye el punto arquimédico de toda la civilización o la cultura occidental.

22 Uno de los seguidores de d. Bohm, r. sheldrake profesor en la Universidad de cambridge, habría extrapolado las ideas de Bohm con el desarrollo de la teoría de los campos mórficos y la reso-nancia mórfica. Numerosas críticas se han hecho al modelo de Sheldrake. Y no es enteramente cierto que exista una línea de continuidad necesaria en la que la responsabilidad de los campos mórficos sea enteramente de Bohm.


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Los primeros experimentos de la física cuántica ponen, muy pronto, el dedo en la llaga, por así decirlo: se trata de los saltos cuánticos – de las partículas, y con ellos, de la dualidad onda-partícula. ante este estado de cosas, el problema más difícil no era el de las ecuaciones y en general la del aparato matemático de la física cuántica. por el contrario, el problema y el reto mayor provenían de las interpretaciones de las ecuaciones o de la matemática que soporta y descri-be a los comportamientos cuánticos. ante este escenario, Bohr introduce una filosofía –y finalmente, todo un aparato lógico y semántico- de la complemen-tariedad. de esta suerte, incertidumbre y complementariedad quieren arrojar nuevas y mejores luces sobre los temas que, por ejemplo, buscaba explicar schrödinger.

El núcleo del debate acerca de la interpretación de copenhague tiene que ver con la distinción entre el mundo cuántico microscópico y el aparato (o apa-ratos) macroscópicos que empleamos para llevar a cabo mediciones. El encan-to, la fuerza o el prestigio de Bohr no debe ocultar el hecho de que, de todos los físicos fundadores de la teoría cuántica y de la mecánica cuántica, Bohr es quien, precediendo por lo demás a Bohm, lleva a cabo un trabajo de filosofía alrededor de las ideas de la teoría cuántica. al respecto cabe hacer mención de dos textos: Atomic Physics and Human Knowledge de n. Bohr, publicado originalmente en 1961, y el libro Physics and Philosophy, de W. Heisenberg, de 1958.

En una explicación reciente acerca del trabajo de Bohm, dos autores sostie-nen que “la ‘interpretación causal’ de Bohm es una propuesta que introduce la no-linealidad en la teoría cuántica” (Briggs y peat, 1994: 183). si lo es, se trata, en verdad, de una de las tareas más difíciles que cabe pensar en ciencia en general, a saber: cómo convertir un fenómeno lineal, secuencial y mecánico, en uno no-lineal, no determinista y complejo. Buena parte de la discusión más reciente en ciencia pivota actualmente a este problema, y hay que decir que aunque el tema se dice fácilmente, es extremadamente difícil introducirle no-linealidad a un sistema, un fenómeno o un comportamiento lineal.

Las discusiones más actuales sobre las contribuciones, el significado, la in-vestigación y la importancia de la teoría cuántica –más allá incluso de sus apli-caciones y contribuciones recientes y crecientes al mundo contemporáneo vía la ingeniería y la tecnología- apuntan a temas como la cosmología, el funcio-namiento del cerebro, la comprensión de la vida, en fin, los problemas más acuciantes relativos al medioambiente, la salud y las comunicaciones. pues bien, en todos ellos el tema de la incertidumbre, de la no-linealidad y de la existencia de mundos paralelos parecen ser temas transversales.

Bohm apuntó, como muy pocos científicos en la historia de la humanidad al esfuerzo por superar la principal enfermedad de occidente: el dualismo. La vi-sión de Bohm es no-dualista y sin embargo, no por ello no es sistémica –lo cual,


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hay que decirlo es otro mérito. Y sin embargo, tampoco alcanza a ser compleja en el sentido de las ciencias de la complejidad. no obstante, es importante ob-servar cómo conoce e incorpora en su propio modelo –la interpretación causal de la teoría cuántica- trabajos de prigogine (en particular el libro Order out of Chaos, que es el título en inglés del clásico escrito conjuntamente con I. stengers de La nueva alianza) y el libro pionero de Mandelbrot de la Geometría fractal de la naturaleza (Bohm y peat, 1988).

sin embargo, en lo que sí es claro y directo Bohm es en la necesidad de in-tegrar ciencia y arte – en el marco, precisamente, de un universo no-dividido. Esta idea encuentra, por otros caminos un puente de comunicación con la obra de un importante científico, también físico, pero con trabajo en termodinámica del no-equilibrio, E. tiezzi. para tiezzi como para Bohm, no es evidente, en manera alguna, que la verdad tenga que triunfar siempre sobre la belleza y a costa o a pesar de la belleza – una idea de claro cuño platónico-aristotélico. con Bohm podemos pensar la idea de un mundo que sea hermoso, y en el que, por consiguiente, la verdad se asimile a la belleza (Bohm y peat, 1988). Exac-tamente en esto consiste su idea de la realidad como un gran holograma, una idea que demanda aún una consideración más cuidadosa.

Conclusión: ¿qué es interpretar, en ciencia?

K. popper sostenía que los dos problemas más difíciles en ciencia son el problema de la inducción y el criterio de demarcación. El problema de la in-ducción se origina a partir de la obra de d. Hume y tiene que ver con el tema –ciertamente difícil- de la generación de conclusiones a partir de observaciones particulares. así, por ejemplo, cuántas o cuáles observaciones particulares son necesarias o suficientes para poder elaborar una conclusión general de suerte que ésta tenga un fundamento empírico suficiente. Por su parte, el problema de la demarcación hacer referencia al o los criterios que permiten distinguir claramente la ciencia de la pseudo-ciencia.

pues bien, el mismo popper sostuvo que él había resuelto el problema de la inducción. tenía razón. La respuesta de popper es elegante por lo sencilla: toda inducción es en realidad una deducción. En cuanto al problema de la demarca-ción – quedaba y queda aún sin resolver.

Quiero sostener, en esta misma línea de pensamiento, que otro problema difícil en ciencia es el del reto y el problema de la interpretación. nada más escandaloso y complicado, nada más sensible y retador que atreverse a in-terpretar los datos y fenómenos; en fin, nada más amenazante y desafiante que proponer alternativas de interpretación a las interpretaciones clásicas y en boga. Exactamente esto es lo que conduce, en la filosofía de la ciencia, de popper a Kuhn y nos sitúa exactamente en el debate entre ciencia normal y ciencia revolucionaria.


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La historia de la ciencia y de la filosofía, en fin, en términos generales, la his-toria entera de la cultura humana, contiene numerosos casos que ilustran este reto y problema. no otra cosa fue lo que le sucedió, en la historia reciente, a G. Bruno y a Galileo Galilei frente al poder de la iglesia católica; no otra cosa es lo que sucede en el debate Leibniz-Wolf acerca del descubrimiento del cál-culo infinitesimal; no otra cosa, en fin, es lo que sucede, a propósito del propio Popper, en el debate acerca del estatuto científico y epistemológico de la física cuántica, del marxismo, la teoría de la evolución o el psicoanálisis.

Existen tres formas de interpretación en ciencia, así:

a) Exégesis. desarrollada ya en la Edad Media, consiste en el instrumento de-dicado a la interpretación rigurosa de las fuentes –clásicas- y en determinar si lo que, en general X dice de Y que Z es, es cierto con respecto a Y y a Z. La exégesis fue una herramienta de la lógica y la retórica medieval, y pos-teriormente es enseñada y practicada, con especial énfasis, en el estudio, formación y aplicación de derecho y de los abogados y juristas. En el detalle, la exégesis discute asuntos de puntuación y sentido, y en la espíritu, consiste en el esclarecimiento del significado y la verdad o falsedad de una interpre-tación apegada a un texto – usualmente escrito.

b) Hermenéutica. desarrollada inicialmente por el idealismo alemán en el siglo XIX, en particular por schleiermacher, en el marco del debate entre el cato-licismo y el protestantismo en su interpretación de la Biblia, pero con ella y desde ella, también en general referida al sentido mismo de la filosofía como ciencia universal, la hermenéutica termina a cabo convertida incluso en una herramienta de interpretación con finalidades de-constructivas de los grandes meta-relatos occidentales por parte de autores como J. derrida y G. Vattimo, sin desconocer, desde luego las contribuciones de un autor como H.-G. Gadamer. En términos generales puede decirse que existe una hermenéutica blanda y una fuerte. aquella consiste en el estudio y descifra-miento de lo que un autor o un texto quiso decir verdaderamente aunque sólo lo haya insinuado, mientras que ésta es el trabajo creativo consistente en hacerle decir a un autor o a un texto aquello que no dice o dijo pero que podría legítimamente desprenderse de su texto mismo.

En general, la exégesis y la hermenéutica constituyen herramientas o instru-mentos –por ejemplo lógicos- en los trabajos de interpretación y de formación de rigor académico.

c) Filosofía. Un tercer acto o proceso de interpretación es la filosofía misma, ya sin actitud ni espíritu de herramienta o instrumento. El acto de interpre-tación es ya la obra de la propia razón filosofante, que se atreve a adoptar el estado normal de la ciencia –dicho en general- de una manera libre y crítica pero, con un cuidadoso trabajo, formula alternativas de explicación; que


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son, ulteriormente, alternativas de acción y/o de experimentación. tal es, exactamente, la actitud de d. Bohm.

dicho de manera general: La ciencia por sí misma no basta –tanto como que la ciencia, abandonada a sí misma, resulta peligrosa – política, social, económi-ca, militarmente. La buena ciencia va acompañada –y debe ir acompañada- de una reflexión acerca de la misma. El título genérico de esta reflexión es: filo-sofía. digamos que la verdadera buena gran ciencia usualmente ha ido acom-pañada de la filosofía. Y que, correspondientemente, los buenos científicos han sido, además, filósofos. Es más, los grandes científicos se encuentran siempre en la historia de la filosofía aun cuando lo contrario no siempre sucede: que los grandes filósofos se encuentren en la historia de la ciencia.

El interés de una interpretación es directamente proporcional al tipo de ac-tividad teórica que ella permite orientar de manera eficiente. Es cierto, en términos generales y a priori, que en principio frente a cualquier fenómeno determinado caben diversas interpretaciones. Las posibilidades de triunfo de una interpretación dependen de dos planos distintos, aunque paralelos:

i) de un lado, en dependencia de si la nueva interpretación radical amplía los horizontes de la comprensión, posee una heurística especializada e ilumina campos no previstos o bien si los campos iluminados aparecen con nuevas luces y matices de significación que implican una ampliación del mundo en el que vivimos. puede ser posible, como es efectivamente el caso de la mecánica Bohmiana, gracias al experimento de Bell, que un experimente consolide una interpretación o que incluso demande una distinta a las tradicionales. Esta primera posibilidad concierne al plano interno de un modelo o de una teoría.

ii) al mismo tiempo, sin embargo, en el plano externo a la ciencia, hay que decir que una interpretación puede triunfar sobre otras en dependencia de factores como poder, intereses, pero también, y muy importante, en depen-dencia del tiempo.

El lugar de d. Bohm en la historia de la ciencia tanto como en la historia de la filosofía comienza a decantarse cada vez más. Tanto más cuanto que se trata de un científico y un filósofo – con todo y que a numerosos científicos ponen nerviosos sus posiciones filosóficas.

Las interpretaciones son, hay que saberlo, un sistema abierto y vivo, cuando no se funda en criterios como autoridad, poder o interés. sólo el tiempo esta-blece el valor de verdad o el grado de belleza de una interpretación. Y la cien-cia, como la vida, se juzga a largo plazo, algo que el senador Mcarthur nunca supo en su cacería de brujas.

Quizás las tres aristas más destacadas en la teoría cuántica sean el de la pluralidad de mundos y la existencia de universos paralelos, el de la unifica-


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ción posible a escalas y en dimensiones microscópicas –en rigor cuánticas y subcuánticas- del cuadro entero de la realidad y la naturaleza, y el fenómeno del entrelazamiento. Las tres se encuentran estrechamente conectadas entre sí y se implican recíprocamente. si ello es así, entonces la obra de d. Bohm merece, por así decirlo, una segunda consideración. Y su obra, finalmente, no es otra cosa que un acto auténtico y radical de interpretación: quizás el más difícil y arriesgado de todas las empresas en ciencia en el sentido más amplio e incluyente del término. En términos personales, el precio puede ser el del ostracismo y el exilio, como fue el caso de Bohm, y en términos teóricos e históricos, el silenciamiento durante un buen período de tiempo. no obstante, contra estos riesgos y costos, el rédito último no es nimio, a saber: contribuir a un mayor esclarecimiento acerca del mundo en el que vivimos y de lo que somos y podemos ser en él.

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uNOs CuaNTOs mIsTERIOs EN EL PROCEsamIENTO CuáNTICO DE La INFORmaCIóN

Karen Milena Fonseca RomeroGrupo de Óptica e Información Cuánticas

Departamento de FísicaUniversidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá

[email protected]

Los misterios de la mecánica cuántica

desde su introducción a comienzos del siglo pasado, la mecánica cuántica ha sido una fuente tanto de encendidas disputas, relacionadas con su interpreta-ción, como de desarrollo de nuevas tecnologías, incluyendo los semiconducto-res y el láser, que han cambiado profundamente nuestra sociedad, tanto que estamos rodeados de celulares, televisores, tocadores de cds y dVds, lectores láser de códigos de barras, láseres para depilación y blanqueamiento dental, y muchos otros adminículos electrónicos hijos de esta teoría física. El funciona-miento de estos dispositivos dependen, de modo general, de las propiedades cuánticas de un numeroso grupo de partículas (~1023), o de trozos relativamente grandes de materia (con una longitud típica del orden de 10−4m). decimos que se trata de efectos de muchas partículas. En el presente la mecánica cuántica vuelve a ser la base de un nuevo proceso de cambio, esta vez relacionado con el comportamiento cuántico de los sistemas nanoscópicos o mesoscópicos, trozos relativamente pequeños de materia (~ 10−9m) o de un número pequeño de cuan-tos de radiación (1 − 10), que está dando lugar a lo que se ha dado en llamar la nanotecnología. Esperamos que dispositivos que emplean estos efectos de sistemas únicos o pocas partículas, que se investigan actualmente en muchos laboratorios de alta tecnología alrededor del mundo, comiencen a comerciali-zarse masivamente en algunos años.

aunque la mecánica cuántica describe los sistemas físicos grandes y pe-queños, por regla general, es demasiado complicada para describir sistemas macroscópicos, además de que los efectos cuánticos generalmente tienden a volverse más y más pequeños en sistemas mayores. otro efecto que tiende a borrar los efectos cuánticos es la temperatura: si se aumenta, el resultado es una disminución de los efectos cuánticos. La temperatura ambiente, digamos alrededor de los 30 grados centígrados, está unos trescientos grados arriba de la menor temperatura posible, el cero absoluto. así, para muchos propósitos la temperatura ambiente es alta.

Las primeras formulaciones de la mecánica cuántica, que fueron la ondula-toria de schrödinger y la matricial de Heisenberg, lucen bien distintas. sin em-bargo, como schrödinger más tarde demostró, son equivalentes. comencemos


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con la mecánica matricial. La posición de un objeto se puede dar mediante tres números como una inspección a un Gps revela: la longitud, la latitud y la altu-ra. La mecánica matricial relaciona cada uno de estos números con un arreglo infinito de números (llamado matriz) como el que mostramos a continuación.

0 1 0 0 ...1 0 2 0 ...0 2 0 3 ...0 0 3 0 ...... ... ... ... ...

En el lugar donde aparecen los puntos suspensivos aparece una cantidad infi-nita de números. preguntamos, con razón, si la mecánica cuántica se aplica, en principio a todos los fenómenos naturales, entonces debe ser capaz de decirme la posición de un carro, por ejemplo. La mecánica matricial se inventa otro arreglo infinito de números, como el siguiente 0, 0.7, 0, 0.7, 0, 0, · · · y con estos dos arreglos infinitos y un poco de matemáticas me da el número deseado. creo que el punto más importante no es que el procedimiento sea complicado, de hecho hay otros fenómenos que requieren matemáticas complicadas, sino que no hay una relación directa entre la posición de un objeto y su represen-tación matemática; ahora hay una nueva capa de abstracción que separa las dos cosas. recordando el mito de la caverna de platón, podríamos decir que la posición de un objeto no es más que la sombra del objeto “real”, que sería este conjunto matemático de infinitos números.

Otro punto de vista, muy diferente del anterior, diría que los arreglos infini-tos de números, carecen en sí de cualquier significado y que solamente sirven como un medio para encontrar la posición del objeto, que sería real cuando se mide (es decir, que si no se mide ¡no es real!). En otro opúsculo se cuestiona el concepto de realidad y la relación entre la descripción matemática de la reali-dad y la realidad misma. Las imágenes que aquí presentamos y que esperamos que ayuden a “visualizar” algunos conceptos cuánticos, no sustituyen el forma-lismo matemático, y ni siquiera dan cuenta de él totalmente. Es más, debemos prevenir al lector, porque extrapoladas a situaciones diferentes a las situacio-nes que consideramos podrían llevar a conclusiones erróneas. Muchos físicos traducen sus experimentos (reales o mentales) a las matemáticas cuánticas, las cuales manipulan hasta obtener las respuestas deseadas que vuelven a traducir a sus experimentos. desde este punto de vista sobran las imágenes mentales: solamente las reglas de traducción y las matemáticas cuánticas son importan-tes. Discusiones filosóficas aparte, se ha instaurado la abstracción matemática de la representación de la realidad física. Vamos a la mecánica de schrödinger, cuyo mote de ondulatoria, viene del hecho de que es descrita como un fenó-meno de ondas, no muy diferente a las ondas en el agua, o las ondas sonoras,


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o aún las ondas de luz. sin embargo, esto llevó a preguntarse qué es lo que on-dula en la mecánica cuántica. Esto ya había pasado anteriormente. cuando se describen las ondas en el agua, sabemos que lo que ondula es el agua. cuando hablamos de ondas sonoras, en el aire, por ejemplo, sabemos que lo que ondula es el aire, que ocurren cambios de presión. con las ondas electromagnéticas, la respuesta no es tan clara, aquí los que ondulan son los campos eléctricos y los campos magnéticos, los cuales pueden medirse: no vemos las ondula-ciones directamente, sino a través de aparatos diseñados especialmente para ese propósito, el de medir tales campos. Los aparatos de medición mejoran y extienden nuestros sentidos: los telescopios y los microscopios nos permiten, respectivamente, mirar objetos lejanos o muy pequeños, y los medidores de campos eléctricos y magnéticos nos permiten “ver” los campos electromagné-ticos. de hecho, cuando vemos, en el sentido usual de la palabra, detectamos campos electromagnéticos que ondulan 1015 veces en un segundo, aunque, por supuesto, somos incapaces de observar las ondulaciones. Lo que detectamos es el cuadrado de los campos; sabemos si un campo es más o menos intenso, si lo distinguimos bien o si apenas lo vemos. Entonces, ¿qué es lo que ondula en la mecánica cuántica? como el plato de abstracción ya estaba servido, fue posible dar la respuesta “lo que ondula en la mecánica cuántica es una función matemática compleja, esto es, con parte real y parte imaginaria”. por analogía con las ondas electromagnéticas la gente se preguntó si era posible construir un aparato que midiese la función de onda, y la respuesta fue negativa. Los lecto-res que hayan visto funciones de onda medidas experimentalmente, se pregun-tarán si se trata de una errata. Más adelante esclarecemos qué significa medir una función de onda. por el momento recordamos que la función de onda, que es lo que ondula en la mecánica cuántica, no es medible experimentalmente sino que se interpretó directamente a través del cuadrado de su norma, que corresponde a la suma de la parte real al cuadrado y de la parte imaginaria al cuadrado, de modo que tenemos algo que es igual o mayor que cero. Estos números no negativos se entienden como probabilidades. La siguiente gráfica muestra un ejemplo de las probabilidades.

La gráfica, correspondiente, digamos a un electrón, se lee como sigue. La escala de la distancia son los angstroms. El electrón tiene una probabilidad de 40% de encontrarse entre 0 y 2 Å, una probabilidad de 30% de encontrarse entre


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2 y 5 Å y una probabilidad de 30% de encontrarse entre 7 y 10 Å. dicho de otra manera, si midiésemos la posición de ese electrón, cuatro de cada diez veces lo encontraríamos entre 0 y 2 Å, tres de cada diez entre 2 y 5 Å y tres de cada diez entre 7 y 10 Å. ¿Esto quiere decir que hemos perdido la relación entre causa y efecto? La mecánica clásica es en la práctica no determinista, por cuenta de la sensibilidad a las condiciones iniciales, el caos. sin embargo, el caos es una pre-ocupación más o menos reciente, y en la mente de mucha gente de la época, la mecánica clásica era una teoría completamente determinista. El sueño de que con suficiente poder de cálculo se podría hallar el pasado y el presente de todo el universo aún no estaba muerto cuando Max Born introdujo el concepto de probabilidad de manera fundamental, como ingrediente indispensable de la física. La entronización del concepto de probabilidad llevó a nadie menos que Einstein a protestar diciendo que dios no juega a los dados, y a niels Bohr a replicarle que quien era él para dictarle a dios lo que tenía que hacer. Más adelante volvemos al tema de la medición. además de lo que ocurre durante el proceso de medición, los dos ingredientes novedosos más relevantes que entran en la descripción de la física de los sistemas mesoscópicos y nanoscópicos, y que son la marca distintiva de la mecánica cuántica, son la superposición de estados y el enredamiento (entanglement en inglés) [1]. parodiando a richard Feynman, un famoso físico del siglo pasado, diremos que los misterios de la me-cánica cuántica son la superposición de estados, la medición y el enredamiento. El primero, la superposición de estados, desde el punto de vista de nuestra experiencia cotidiana es absurdo, como se muestra fácilmente. En efecto, to-dos sabemos que es posible tener gatos vivos y tener gatos muertos. como la naturaleza debe ser descrita por la Mecánica cuántica, existen estados cuánti-cos una de cuyas características es que corresponden a un gato vivo, y también existen estados cuánticos caracterizados por corresponder a un gato muerto. El principio de superposición de la mecánica cuántica afirma que si ciertos estados pueden ser materializados, también lo será una combinación de ambos23. pero ¿cómo entender una combinación de estados correspondientes a un gato vivo y estados correspondientes al mismo gato pero muerto? Es decir, ¿cómo entender la predicción de la mecánica cuántica de la existencia de estados en que el gato se encuentra vivo y, al mismo tiempo, se encuentra muerto? Más aún, ¿por qué no observamos en nuestra diaria experiencia estados de este tipo? El problema para entender por qué estos estados de gato simultáneamente vivo y muerto no son observados, se ha puesto en términos menos dramáticos, como se describe a continuación. Los campos electromagnéticos interactúan con la materia y son capaces de mover cargas eléctricas. por su parte las cargas eléctricas producen campos electromagnéticos. La luz que llega a nuestros ojos y que le permiten

23 a menos que exista una regla de superselección. por ejemplo, no es posible preparar y medir estados que correspondan a tener una carga igual a la del electrón y una carga igual dos veces la del electrón. otro ejemplo es la imposibilidad de preparar estados que sean una combinación lineal de estados de un fotón y de un electrón [9].


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leer estas líneas son campos electromagnéticos. Los campos electromagnéti-cos, como todos los demás sistemas físicos, se describen a través de los estados cuánticos en los que se pueden encontrar. Unos estados particulares de los cam-pos electromagnéticos son los llamados estados coherentes. La luz producida por los láseres es de este tipo: estados coherentes. tales estados se caracteri-zan por dos números reales. para hacer una analogía podemos decir que uno de estos números corresponde a la calle y el otro a la carrera. Así, figurativamente hablando, uno de tales estados correspondería a la calle 45 con carrera 30. si otro de tales estados correspondiera, y de nuevo estamos hablando de manera figurada, a la calle 45 con carrera 29, estaría –en términos de nuestra expe-riencia de todos los días– cerca del primer estado. En cambio, si estuviese en la autopista a Medellín con carrera 100, p. ej., se encontraría muy lejos del pri-mer estado. de hecho, en vez de las calles tenemos la “cuadratura X” y en vez de las carreras tenemos “la cuadratura Y”. Es posible que uno de tales estados esté caracterizado por los números (0,1) y otro por los números, (0,-1). Una manera de decir que tan diferentes son los estados correspondientes es encon-trar la distancia entre las parejas de números. En este caso la diferencia es 2. Entre más grandes sean estas distancias más se diferenciarán estos estados. si los estados son muy diferentes podemos pensar que uno de ellos representa un gato vivo, y el otro representa un gato muerto.

así los físicos tenían dos retos: producir un estado que sea una superposición de dos estados coherentes razonablemente diferentes y segundo, entender por qué en nuestra vida diaria nunca vemos este tipo de estados. Estos estados se han producido experimentalmente [2] y se ha visto como evolucionan hacia los estados que se observan en la vida diaria, que no presentan estas superposicio-nes. Al proceso por el cual una superposición de estados, que figurativamente corresponden a un gato vivo y a un gato muerto, evoluciona a un estado ya sea de gato vivo o de gato muerto, se le conoce con el nombre técnico de deco-herencia. Este proceso, la decoherencia, es más rápido entre más diferentes sean los estados de la superposición. En particular para los sistemas de la vida diaria los estados que podemos reconocer como diferentes son, desde el punto de vista de los estados cuánticos, tan diferentes que si se llegaran a producir superposiciones de estos estados el proceso de decoherencia tomaría un tiempo muy, muy pequeño, de suerte que para todos los propósitos prácticos es como si estos estados nunca ocurrieran. Un análisis teórico del experimento [2] puede consultarse en [3]. El segundo misterio de la mecánica cuántica del que habla-remos es el problema de la medición. para ilustrar el problema emplearemos los sistemas cuánticos más simples, los llamados sistemas de dos niveles, como el espín del electrón. El electrón se comporta como si estuviese girando en sentido horario o en sentido antihorario alrededor de un cierto eje. Una manera de cuantificar este movimiento giratorio es midiendo el momentum angular (de espín) del electrón. Ud. probablemente ha visto competencias de patinaje ar-tístico, en las que las patinadoras comienzan a girar con los brazos extendidos.


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Una vez giran a cierta velocidad las patinadoras encogen los brazos, con lo que consiguen aumentar su velocidad de giro. En ambos casos el momento angular de la patinadora es igual. así, en la vida cotidiana, el momento angular tiene que ver con dos cosas: la velocidad de giro y la distancia al eje de giro. cuando la patinadora tiene los brazos extendidos la distancia al eje de giro es mayor, cuando los tiene encogidos es menor y, para que el momento angular sea el mismo, la velocidad de giro debe aumentar. En el caso del momento angular de espín del electrón aunque podemos imaginar una bolita girando, si trabajamos los detalles matemáticos, vemos que este no es un buen modelo. de nuevo nos encontramos con la abstracción: no tenemos algo parecido a una patinadora gi-rando, pero no solamente existe el momento angular de espín del electrón, sino que lo podemos medir. cuando la medición se realiza se obtienen únicamente dos valores: ħ/2 en sentido horario y ħ/2 en sentido antihorario (o simplemente -ħ/2), en donde ħ es una constante característica de la mecánica cuántica que tiene el valor de 1,6 × 10−34 Julios-segundos (J·s). para tener una idea de que tan pequeña es esta constante tomemos el ejemplo de un trompo pequeño. digamos que este trompo tenga una masa de unos 50 gramos, que tenga un radio de un centímetro y que dé unas cinco vueltas cada segundo. El momen-tum angular de este trompo será de unos 10−4 J·s, es decir treinta órdenes de magnitud más grande. para obtener este número empleando el momentum angular de espín de los electrones necesitaríamos que 1030 electrones giraran todos alrededor del mismo eje en el mismo sentido de rotación. Este número es mayor que el número de electrones presentes en el trompo. Más sorprendente resulta el hecho de que no importa alrededor de cual eje escojamos para hacer las mediciones de momentum angular del electrón. En cualquiera que sea el eje que escojamos el resultado siempre será +ħ/2 o -ħ/2!

Figura 1. Un estado cuántico.

designemos el primer resultado por 1 y el segundo por 0. para poder discri-minar todos los ejes empleemos la tierra como analogía. recordemos que para designar cualquier lugar del planeta tendremos que especificar su latitud y su longitud. (Estamos ignorando la altura sobre el nivel del mar). La latitud es la distancia en grados desde la línea del ecuador: cero grados para un punto en el ecuador, +90 grados para el polo norte y -90 grados para el polo sur. La longitud


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es la distancia en grados desde el meridiano de Greenwich y podemos tomarlo entre 0 y 360 grados. Bogotá, por ejemplo corresponde a una latitud de +4 gra-dos y a una longitud de +75 grados. Los ejes sobre los cuales se pueden medir las rotaciones se pueden especificar también dando su latitud y su longitud.

si escogemos un eje, digamos el correspondiente al polo norte, es decir la-titud +90 y encontramos el resultado 1, y volvemos a medir, inmediatamente después, sobre el mismo eje volveremos a obtener 1. si por el contrario la segunda medida la hacemos sobre el eje de latitud cero y longitud cero, el resultado será 1 la mitad de las veces que realicemos la medición y 0 la otra mitad de las veces.

Figura 2. polo norte. Figura 3. polo sur.

si quisiéramos saber de qué depende que obtengamos 0 o 1, la respuesta sería algo así como: depende del azar, no existe ninguna razón por la cual sea cero o sea uno, no hay ningún mecanismo que nos permita saber, por adelantado, cual de los dos resultados se obtendrá. Fue esta característica la que perturbó pro-fundamente a Einstein, y la que hizo que él supusiera que la mecánica cuántica no es más que un paso intermedio, que la teoría final no tendría esta indeseable característica. supongamos que hicimos una primera medición del momentum angular de espín alrededor del polo norte con resultado 1, luego una medición sobre el eje de latitud cero y longitud cero obteniendo 0 por ejemplo. Final-mente, volvemos a medir sobre el eje correspondiente al polo norte. podríamos esperar que se obtuviera de nuevo el resultado 1, como en la primera medición. sin embargo, ¡podríamos obtener el resultado 0! si volviéramos a efectuar la misma secuencia de medidas, escogiendo aquellas situaciones en las que los dos primeros resultados, correspondientes al polo norte y al eje 0 latitud 0 longi-tud, hubiesen sido 1 y 0 respectivamente, ¡obtendríamos el resultado 1 la mitad de las veces y el resultado 0 la otra mitad de la veces! ciertas variables físicas, por ejemplo la posición y la velocidad no se pueden medir simultáneamente con precisión absoluta. a dos variables que no se pueden medir con precisión absoluta se les llama variables no compatibles: entre mejor se mida el valor de una de una ellas, la medición de la otra va a ser mucho peor. Este hecho, conocido bajo el nombre de principio de incertidumbre de Heisenberg, no es un problema de los aparatos de medición, en el sentido de que se supone que


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se tienen aparatos perfectos, sino un problema de principio24. El momentum angular alrededor del polo norte y el momentum angular alrededor del eje de latitud cero y de longitud cero son variables no compatibles. cuando medimos el momentum angular alrededor del eje de longitud y latitud cero, perdemos toda la certidumbre que teníamos sobre el valor del momentum angular al-rededor del polo norte. Es por esta razón que la segunda vez que se mide el momentum angular sobre el polo norte, la mitad de las veces se obtiene uno de los resultados posibles y la otra mitad de las veces el otro resultado.

Mencionemos que el grado de no compatibilidad puede ser diferente. por ejemplo, si el segundo eje hubiese tenido latitud 45 grados (y cualquier lon-gitud), al medir el momentum angular sobre el polo norte la segunda vez, el resultado 1 se hubiese hallado con 85 veces de cada 100 mediciones y el re-sultado 0 únicamente con 15 veces de cada 100. resaltemos que para poder saber realmente con qué probabilidad se producen los resultados mencionados anteriormente es necesario repetir la misma situación, la misma secuencia de medidas, muchas veces. Desde un punto de vista más filosófico podemos pre-guntarnos ¿cúal es el valor del momentum angular justo después de que se ha medido el momentum angular alrededor de otro eje, por ejemplo aquél de longitud cero y latitud cero? La respuesta tradicional que ofrece la mecánica cuántica es que no es posible adjudicarle un valor al momentum angular alrede-dor del polo norte a menos que se haya medido (y no se haya hecho la medición de una variable no compatible).

Hemos señalado que es posible medir la función de onda. aunque esto es cierto, es necesario decir que las mediciones cuánticas no son como las clá-sicas. si queremos medir la longitud de una mesa, podemos tomar un metro y ponerlo sobre la mesa y mirar los números del metro correspondientes al comienzo y el final de la mesa: la diferencia entre estos dos números corres-ponde a la longitud de la mesa. si queremos podemos repetir la medición. En el caso cuántico si queremos hacer una segunda medida tenemos que volver a preparar el sistema físico en el mismo estado. para medir la función de onda tenemos que realizar diferentes tipos de medidas sobre el mismo sistema físico preparado muchísimas veces en el mismo estado. cada tipo de medida se reali-za muchas veces. sin embargo, no es el mismo sistema físico el que se prepara, sino que otro sistema físico usualmente se prepara en el mismo estado. sería como medir una segunda mesa, idéntica a la primera, que se pone en el mismo sitio de la primera.

El tercer misterio de la mecánica cuántica del cual hablaremos tiene que ver con la identidad individual de los sistemas físicos. La mecánica cuántica

24 Bueno, de cierto modo sí existe un problema con los aparatos de medida, pero solamente en el sentido de que los sistemas más pequeños que pueden actuar como sistemas de medición son “del mismo tamaño” de los sistemas que son medidos.


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permite la existencia de estados en que los que las propiedades medidas de un sistema cuántico están relacionadas con de las propiedades medidas del otro. cuando esto ocurre para sistemas clásicos, decimos que los sistemas es-tán correlacionados. Es fácil ver que hay correlaciones en nuestra vida diaria. por ejemplo, las horas en que estamos dormidos están correlacionadas con las horas en las que no comemos, los días en que comemos platos especiales están correlacionados con los días en los cuales recibimos dinero, etc. La diferencia entre las correlaciones clásicas y aquellas permitidas por la mecánica cuántica consiste en que estas últimas no satisfacen las desigualdades de Bell [4]. Más adelante nos referiremos a estas desigualdades y al teorema con el mismo nom-bre. Grosso modo, podemos decir que a las correlaciones más fuertes que las correlaciones clásicas las denominamos enredamiento. supongamos que tene-mos un cristal no lineal. Este es un tipo de cristal tal que, si dirigimos un haz de luz de cierta frecuencia hacia él, la mayoría de la luz que sale será de la misma frecuencia. también observaremos luz de una frecuencia más baja. si miramos atentamente, descubrimos que para cada rayo de luz que sale del cristal existe un rayo compañero, también de frecuencia más baja del original, de suerte que la suma de las frecuencias de los rayos compañeros de luz es igual a la frecuencia de la luz que incide en el cristal. En particular, tenemos un par de rayos de luz, de salida, cuya frecuencia es igual a la mitad de la frecuencia de la luz incidente. Una de las propiedades de la luz, y en general de las radiacio-nes electromagnéticas es la polarización. Las señales de televisión que llegan directamente a nuestros hogares vienen polarizadas. La polarización funciona de manera semejante al espín de los electrones. Medir la polarización vertical corresponde a medir el momentum angular de espín en, digamos, la dirección del polo norte.

Medir la polarización horizontal corresponde a medir el momentum angular de espín en la dirección latitud cero y, digamos, longitud cero. para valores adecuados de la intensidad de la luz incidente, podemos asegurarnos de medir un sólo fotón en cada uno de los dos rayos de salida. aunque en el experimento real, si el fotón del primer rayo está polarizado en la dirección vertical, el fotón del segundo rayo estará polarizado en la dirección horizontal, para propósitos de la discusión, supondremos que siempre que uno de ellos está polarizado verticalmente, el otro también lo estará. El fenómenos físico es el mismo que en el experimento real, pero la dirección de las mediciones a las que aludimos enseguida es diferente. Los polarizadores actúan de la siguiente manera. Un medidor de polarización vertical corresponde a una medición de momentum angular alrededor del polo norte. Los resultados posibles puede describirse de nuevo por medio de uno o cero. si el resultado es uno, el fotón pasará. si el resultado es cero, el fotón será absorbido por el polarizador. si colocamos un polarizador en la dirección del polo norte para cada uno de los dos rayos de salida que nos interesan, cada vez que salga un fotón del primer rayo, también saldrá un fotón del segundo rayo. cada vez que un fotón sea bloqueado por el


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primer polarizador, el fotón compañero será bloqueado por el segundo polari-zador. si anotamos los resultados del primer polarizador veremos una secuencia aleatoria de ceros y unos, siendo que para secuencias muy largas el número de ceros es aproximadamente igual al número de unos, como corresponde al hecho de que la probabilidad de que se tenga cada uno de los resultados es del 50%. si anotamos los resultados del segundo polarizador, también tendremos una lista aleatoria de ceros y unos, solamente que la lista es la misma que hicimos para el primer polarizador. se trata de correlaciones perfectas.

Tabla 1.

supongamos que nunca comemos palomitas de maíz, con excepción de aque-llos días en que vamos a cine. Hagamos una lista de los días que comemos pa-lomitas de maíz y otra de los días que vamos a cine. ambas listas coincidirán. tenemos una correlación perfecta. Es decir que hasta aquí no tenemos algo que sea específico de la mecánica cuántica. Las características cuánticas aparecen cuando se comparan los resultados de polarizadores en cada uno de los rayos, siendo que los polarizadores no están sobre el mismo eje, sino sobre ejes dife-rentes. por ejemplo, supongamos que los polarizadores pueden situarse sobre el polo norte, sobre el eje con latitud -30 grados y longitud cero o sobre el eje con latitud -30 y longitud 180 grados. obsérvese que estos tres ejes están en el mismo plano y que hay una separación angular de 120 grados entre dos ejes cualesquiera. si se siguen las reglas de la mecánica cuántica veremos que: si el polarizador de cada uno de los rayos está en el mismo eje los dos rayos pasan por el polarizador, o ambos son detenidos por el polarizador. si no prestamos atención a las direcciones en la cual están los polarizadores la mitad de las ve-ces un rayo pasará y el otro no y la otra mitad de las veces ambos rayos pasarán o ambos rayos serán detenidos por los polarizadores.

El análisis clásico de este montaje fue realizado por el físico david Mermin, quien la denominó la máquina de realidad local. Llamaremos a cada uno de los ejes a través de números: 1, 2 y 3. Enumeramos enseguida las posibilidades para cada uno de los rayos. La letra p corresponde a un rayo que pasa y la letra


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d a un rayo detenido por el polarizador. Los números romanos corresponden a cada 9 una de las posibilidades. En lenguaje más técnico, este número es una variable oculta, una variable clásica de la cual dependen los resultados, y que caracteriza a ambos rayos. observemos que trivialmente se cumple la primera propiedad: si los dos ejes son iguales entonces ambos rayos pasan o ambos rayos son detenidos por los polarizadores respectivos. para ver si se cumple la segun-da propiedad vamos a contar todas las posibilidades para ambos rayos, como se muestra en la tabla 2.

La manera como se generó esta tabla fue consignando el paso o no del rayo dependiendo del valor de la variable oculta, a la cual le hemos dado el nom-bre de “tipo”. La primera columna contiene el eje a lo largo del cual tenemos el polarizador para el primer fotón y la segunda contiene el eje a lo largo del cual tenemos el polarizador del segundo fotón. Así, en la tercera fila tenemos que se empleó el polarizador en el eje 1 para uno de los rayos y el polarizador en el eje 3 para el otro rayo. Las columnas tercera a última contienen los re-sultados correspondientes a tener la variable oculta fija. La columna “tipo d” corresponde a la variable oculta del tipo d, que nos dice que si el eje es el 1, el rayo pasa (p); y que si el eje es el 2 o el 3, el rayo se detiene (d), como se puede ver en la tabla 1. En la fila 3, columna “tipo d”, tendremos entonces la pareja de letras pd, correspondientes la primera al eje 1 del polarizador para el primer fotón y la segunda al eje 2 del polarizador para el segundo fotón. todas las demás entradas de la tabla se construyen de la misma manera. El número que aparece en la última fila corresponde al conteo de las veces en las cuales ambos rayos pasen o ambos sean detenidos sin tener en cuenta los ejes de los polarizadores. por ejemplo, si tomamos la columna correspondiente a la variable oculta tomando el valor “tipo d”, en cuatro oportunidades ambos rayos pasan y en una ambos son detenidos. Es decir, en cinco ocasiones ambos pasan o ambos son detenidos y en cuatro uno pasa y el otro es detenido. observemos que sin importar el valor de la variable oculta, el número de veces que se tiene el mismo comportamiento para ambos rayos (ambos pasan o ambos son dete-nidos) es mayor que el número de veces en que uno de los rayos pasa y el otro es detenido por el polarizador. así, ¡no se puede reproducir el comportamiento cuántico!

La suposición que se hizo, para generar la tabla 2, de la existencia de una variable oculta, es del tipo que Einstein hubiese preferido. Este tipo de teoría debería ser local, causal y real. La localidad está asegurada porque el hecho de que un rayo pase por un polarizador no afecta lo que pase con el otro rayo, no hay una comunicación entre los dos polarizadores. La causalidad asegura que el hecho de que un rayo pase o no pase está completamente determinado. si no hubiese causalidad, los polarizadores podrían dejar pasar el rayo o detenerlo a su voluntad. La realidad permite identificar a la variable oculta con alguna propiedad real que se transmite a los polarizadores. recordemos que el rayo


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pasa o no, dependiendo del eje del polarizador y del valor de la variable oculta. resulta que el modelo que se acaba de analizar no es el único posible. Enton-ces, ¿es posible imaginarse un modelo clásico (local) que pueda reproducir las predicciones de la mecánica cuántica? no. como demostró John Bell, sin impor-tar cual modelo clásico nos imaginemos, siempre que respete la causalidad y la localidad, esta teoría será incapaz de imitar las predicciones de la mecánica cuántica. Esta notable demostración se conoce como el teorema de Bell. John Bell y otros físicos después de él desarrollaron una serie de desigualdades que son satisfechas por las teorías clásicas locales y que son violadas por la mecáni-ca cuántica. todas estas desigualdades son llamadas desigualdades de Bell.

Tabla 2.

Los computadores y la información [5]

suponga que Ud. recibe un mensaje de texto en su celular. Ese mensaje contiene alguna información (que, claro está, puede no ser de su interés), que está codificada en las palabras que aparecen en la pantalla de su celular, y en secuencias de ceros y unos en la memoria de su celular. para que las palabras se desplieguen es necesario diseñar una pantalla, empleando, por ejemplo, un conjunto de polarizadores de luz, que dejan pasar luz polarizada en cierta dirección como describimos anteriormente. La ubicación de los polarizadores impide que la luz pase, a menos que se pongan cristales líquidos entre los po-larizadores. con un campo eléctrico se controla el cristal líquido, permitiendo o no el paso de la luz. Los ceros y unos deben ser representadas físicamente, por ejemplo por medio del voltaje en un condensador: si el voltaje es mayor que cierto valor, digamos 3.0 V, tendremos un uno, y si es menor que otro cierto valor, digamos 0.5, tendremos un cero. Antes de estar codificado en la memo-ria de su celular, su mensaje de texto estaba correspondía a variaciones de la corriente eléctrica en la antena de su celular y previamente en las variaciones


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de los campos electromagnéticos producidos por la antena transmisora de la empresa de teléfonos a la que está suscrito. Vemos que en todos los instantes la información que Ud. recibió se encuentra almacenada en uno o más siste-mas físicos: luz que pasa o que queda bloqueada, voltajes en condensadores, corrientes eléctricas, campos electromagnéticos, etc. Esta observación hizo exclamar al físico rolf William Landauer: “La información es física”.

La física se encarga de interpretar la naturaleza empleando modelos, más precisamente modelos matemáticos, que con el paso de los siglos se han tor-nando más y más abstractos. Las predicciones de los modelos matemáticos se comprueban, o se muestra que son falsos, en condiciones controladas. Entre más fenómenos explique, se considera que el modelo es mejor. aunque no exis-te ninguna teoría física que explique todos los fenómenos físicos conocidos, hay teorías que se aplican a una gran variedad de fenómenos y cuyas predicciones se han verificado con una precisión increíble. Pero, ¿hay alguna razón para que la naturaleza se deje describir bien por matemáticas abstractas, para que la abstracción se haya entronizado en la física? Hay quien dice que la razón estaría en nuestro cerebro y sus perjuicios a favor de la organización y quien sostiene que el universo no es más que la concreción de una (utópica) teoría matemática y que la tarea de la física no es otra que la de descubrir tal teoría. sea como fuere, si la información es física como afirma Landauer, entonces ¿el concepto de información, o cuando menos su manipulación, depende de la descripción matemática del mundo? si en el futuro tenemos teorías aún más abstractas, ¿cambiará el concepto de información? puede suceder que las diferencias sean meramente de detalles, pero que no haya diferencias cualitativas. teniendo en cuenta las extrañezas de la mecánica cuántica, no nos asombraría que pudiera haber diferencias cualitativas. Y si existieran diferencias cuánticas, ¿podrían emplearse a nuestro favor, o son especulaciones teóricas que no se pueden em-plear? En particular, si estas diferencias cualitativas existieran, ¿se podrían usar en los computadores y celulares?

Hemos hecho una rápida revisión de la superposición, medición y enreda-miento, conceptos claves en la mecánica cuántica. Hemos visto que hay mu-chos sistemas en los cuales es necesario tener en cuenta los efectos cuánticos. En general, a medida que tratamos con sistemas más pequeños, los efectos cuánticos son más importantes. Uno de los sectores tecnológicos en donde se ha producido, continua y sistemáticamente, una miniaturización, es en el de los chips semiconductores. La necesidad de considerar aspectos cuánticos en los microprocesadores es evidente. desde que comenzaron a producirse el número de transistores que se pueden colocar en cada chip se dobla cada 18 o 24 meses.

aunque los primeros transistores tenían un área del orden de un centímetro cuadrado, un microprocesador moderno puede tener hasta unos cincuenta mi-


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llones de transistores por centímetro cuadrado. Existen varios límites que van a dar fin a este crecimiento. Uno es que en unos 20 años, de seguir esta tenden-cia se tendrán transistores del tamaño de un átomo, de modo que pasaremos de depender de efectos cuánticos de muchas partículas a efectos cuánticos de sistemas únicos. cuando lleguemos a este punto, ¿podremos continuar usando nuestros computadores de igual manera que lo hemos hecho hasta ahora? con respecto a los computadores, podemos distinguir entre los propósitos para los cuales se usan y la manera como funcionan. El objetivo inicial de los compu-tadores, por ejemplo el de charles Babbage, a quien se considera el padre de la computación, era el de servir como calculadoras mecánicas. Hoy en día, además de los cálculos numéricos y simbólicos que son capaces de realizar, los computadores también se utilizan para comunicarse, transmitir datos, escuchar música y ver películas, entre otras cosas. En lenguaje un poco más técnico, podemos decir que los computadores almacenan, procesan y transmiten infor-mación. En cuanto al funcionamiento, los computadores que tenemos en casa funcionan con base en secuencias de ceros y unos.

tanto los números como las letras del alfabeto español deben escribirse como secuencias de ceros y unos. Los computadores también necesitan instruc-ciones que les digan qué operaciones realizar con los números y con las letras y que les permita comunicarse con otros dispositivos, como impresoras. también las instrucciones se deben escribir como secuencias de ceros y unos. así, es ne-cesario realizar una codificación de manera que letras, números e instrucciones correspondan a diferentes secuencias de ceros y unos. a una variable que puede tomar los valores cero o uno se le conoce como bitio. como se ha comentado anteriormente, estas variables deben ser representadas físicamente, por ejem-plo por medio del voltaje en un condensador: si el voltaje es alto tendremos un uno, y si es bajo tendremos un cero.

La información, palabra que viene del latín informatio, que significa no-ticia, ha venido cobrando tanta importancia que hemos acuñado el término sociedad de la información. desde el punto de vista teórico, existen dos tipos importantes de problemas: la solución de problemas matemáticos, por medio de una serie bien definida de pasos –conocida como algoritmo; y la codificación, transmisión y decodificación segura de mensajes. Los matemáticos han estu-diado estos problemas desde comienzos del siglo pasado. Uno de los avances importantes fue la concepción de un computador universal, ideal, abstracto, capaz de simular el comportamiento de cualquier otro computador: la máquina de turing, denominada así en reconocimiento a alan turing, su inventor. así, desde los años 30 del siglo XX, cuando ya se había inventado la mecánica cuán-tica, se desligaron los problemas de la computación de las implementaciones físicas particulares de los computadores, pues se consideraba que la capacidad de cálculo es independiente de la realización física particular. dicho de otra manera, los matemáticos conjeturaron que las extrañas características de la


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mecánica cuántica no eran suficientes para producir diferencias cualitativas en el concepto de información, o en su manipulación. sin embargo, como ya hemos señalado, ya en los años sesenta del siglo pasado, rolf Landauer, famoso entre la comunidad de físicos por sus estudios en transporte de electrones, insistía en que la computación es física, y que no es posible hablar de los límites de la computación sin decir qué implementación física se emplea. Mientras algunas personas pensaban que la mecánica cuántica ni agregaba ni quitaba nada, sien-do una implementación más de una máquina de turing, otras personas estaban preocupadas porque, debido a la existencia de variables no compatibles, la mecánica cuántica podría resultar menos capaz que la clásica para procesar información. Es decir, que a medida que hiciéramos computadores con chips que integraran más transistores en un área menor y nos defrontáramos con los efectos cuánticos, perderíamos, inevitablemente, capacidad de cálculo.

En 1980 Paul Benioff parecía haber solucionado definitivamente el problema cuando demostró que es posible usar la mecánica cuántica para simular un com-putador clásico. así, la conjetura de los matemáticos parecía completamente justificada.

La mecánica cuántica y la información [8]

de esta manera, la teoría de la información parecía completa. desde un punto de vista un poco más moderno podemos decir que los problemas funda-mentales de la teoría de la información serían la identificación de un recurso físico y de una tarea de procesamiento de información, y la definición de un criterio de éxito. por ejemplo, las cadenas de ceros y unos pueden considerarse como un recurso físico que, en implementaciones particulares, podría corres-ponder a voltajes en sendos condensadores. Una tarea es la factorización de un número entero, y el criterio de éxito puede ser la multiplicación de los números hallados comprobando que su resultado es el número dado. de cualquier forma, algunas cosas deben cambiarse cuando se emplea la mecánica cuántica. supon-gamos que tenemos dos estados cuánticos; por ejemplo: uno que corresponda a un momentum angular de +ħ/2 alrededor del polo norte y otro que corres-ponda a un momentum angular de -ħ/2 alrededor del polo norte. Al primero lo podemos llamar el estado uno y al segundo el estado cero. a diferencia del caso clásico, es posible tener, no solamente el estado cero y el estado uno, sino infinitas superposiciones de los estados cero y uno, en los cuales se tie-nen, simultáneamente, el estado cero y el estado uno. Estos estados se pueden representar como los puntos de la superficie de una esfera, en la que el polo norte corresponde a los estados 1 y 0 respectivamente. sin embargo, es como si tuviéramos infinitos estados pero inaccesibles, ya que como lo mencionamos antes, cuando hagamos mediciones solamente podremos detectar dos resulta-dos posibles. Uno de los trabajos informáticos corrientes en los computadores clásicos es la copia de un bitio en otro bitio. supongamos que tenemos un bitio


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a que queremos copiar en un segundo bitio, el bitio B. Inicialmente el bitio B, en donde copiaremos el bitio a, tiene un cierto valor, por ejemplo el cero. El bitio a puede tener un cero o un uno. si es cero, el bitio B se deja igual. si es uno, el bitio B se hace igual a uno.

Tabla 3.

Esperamos que sea posible entonces tener un bitio cuántico en un estado desconocido y poder copiarlo en otro bitio cuántico. Veamos que podemos es-cribir la misma tabla anterior en términos de los estados cuánticos. La tabla 4 muestra que la mecánica cuántica permite realizar las mismas copias que se pueden hacer con los bitios clásicos. Sin embargo, hay infinitos estados de un bitio cuántico que también deberían poderse copiar, como se muestra en la tabla 5.

Tabla 4.

Tabla 5.


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Lo que sucede, si se cumplen las relaciones de la tabla 4, es que la tabla 5, no se puede cumplir. de hecho no se puede separar el estado del bitio a del estado del bitio B. tenemos un ejemplo de enredamiento. En vez de tener la tabla 5 tenemos latabla 6.

Este es un resultado sorprendente es que la mecánica cuántica, pues lo que implica es que esta teoría prohibe la copia de un estado desconocido. Este resultado fue tan inesperado que se le acuñó el nombre de principio de no-clonación. Esto significa, entre otras cosas, que no se pueden hacer copias de respaldo de un estado cuántico. La copiadora cuántica no existe.

david deutsch se preguntó si hay alguna cosa que la mecánica cuántica pueda realizar que no sea posible con la mecánica clásica. supongamos que queremos calcular el cuadrado de una serie de números. La mecánica clásica nos dice que debemos hacerlo secuencialmente. si empleamos la mecánica cuántica podría-mos preparar un estado que corresponda a la superposición de la lista de nú-meros de los cuales queremos el cuadrado. cuando corramos el programa que calcula cuadrados tendremos la superposición de los cuadrados de los números dados. Es decir, la mecánica cuántica permite realizar procesamiento paralelo. El problema reside en la medición: no podemos leer todas las respuestas. Una vez que leamos una (haciendo una medición) echaremos a perder las otras. pa-rece que, de nuevo, tenemos muchos estados pero casi todos inaccesibles.

¿Hay alguna manera mediante la cual se pueda aprovechar el procesamiento paralelo intrínseco de la mecánica cuántica? Que tal si tenemos dos posibilida-des, a las cuales llamamos 0 y 1. para cada uno de estos valores tenemos un valor, que también puede ser 0 o 1. si queremos calcular el valor para ambas posibilidades, tendremos que hacer los cálculos dos veces. sin embargo es posi-ble aprovechar el paralelismo cuántico para correr el programa una única vez, y hacer una única medición para determinar si el valor correspondiente a ambas posibilidades es el mismo o es diferente! Este fue el primer algoritmo cuántico y muestra que es posible realizar el mismo cálculo en la mitad del tiempo que usando la mecánica clásica.

Tabla 6.


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así, después de todo hay cosas que la mecánica cuántica puede hacer mejor que la clásica, en términos de computación; después de todo, la realización fí-sica sí importa. La realización de un algoritmo en la mitad del tiempo es banal, pero el problema de deutsch puede generalizarse para n posibilidades diferen-tes y en este caso el algoritmo cuántico corre 2n veces más rápido, exponen-cialmente más rápido. para 10 posibilidades el algoritmo cuántico correrá mil veces más rápido y para 20 posibilidades correrá un millón de veces más rápido! Así, actualmente se considera que la máquina de Turing es un concepto insufi-ciente para la descripción de cualquier máquina de cálculo: cuando la mecánica cuántica y los algoritmos cuánticos se emplean es necesario formular una nueva máquina de cálculo ideal, a la cual se le ha dado el nombre de máquina de turing cuántica. siempre que se empleen los estados cuánticos y los algoritmos cuánticos no importa el sistema físico empleado para la implementación del computador cuántico. de hecho, ha habido un gran número de sistemas físicos que se han propuesto como candidatos para la realización de un computador cuántico, entre los cuales podemos mencionar moléculas en un medio líqui-do que se manipulan mediante la llamada resonancia magnética nuclear, los átomos neutros atravesando cavidades de microondas, los iones atrapados por campos de radiofrecuencia, circuitos superconductores y espines electrónicos en puntos cuánticos. Vale la pena enfatizar que muchos de los sistemas físicos propuestos corresponden a aquellos que la nanotecnología es capaz de proveer, de modo que el desarrollo de nuevos nanosistemas es fundamental para el de-sarrollo de un posible computador cuántico.

aunque una máquina de turing usual, la que no hace uso de la mecánica cuántica, es capaz de simular un computador cuántico, no lo puede hacer de manera eficiente, es decir, necesita muchísimos más pasos para ejecutar la misma tarea. Una primera conclusión que podemos sacar es que la mecánica cuántica posee algo más, lo que nos permite realizar algunas tareas de manera más eficiente. Para poner las cosas en perspectiva es bueno adoptar el punto de vista de la ciencia informática, para la cual es necesario averiguar cuál es el mínimo necesario de recursos que se requieren para realizar una tarea infor-mática cumpliendo con cierto criterio de éxito. En los computadores clásicos, entre los recursos físicos tenemos las cadenas de bits, las cadenas de ceros y unos que se guardan en sistemas físicos como corrientes, voltajes o direccio-nes de magnetismo permanente. Entre las tareas informáticas, podemos tener la compresión de un archivo que queremos enviar por correo electrónico y su posterior descompresión por parte del receptor del mensaje. como criterio de éxito, podríamos usar la comparación entre el archivo original y el archivo descomprimido. si los computadores cuánticos son capaces de realizar algo más que sus contrapartidas clásicas, las preguntas que surgen de manera natural son: ¿qué recursos físicos nuevos brinda la mecánica cuántica? ¿cuáles son los tipos de tareas en las cuales los computadores cuánticos sean mejores que los computadores clásicos? teniendo en cuenta la discusión precedente, podemos


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decir que ahora tendremos como nuevos recursos físicos los bits cuánticos, incluyendo aquellos estados que corresponden a superposiciones y aquellos es-tados enredados. Entonces debemos aprender a explotar las superposiciones y el enredamiento para realizar tareas informáticas.

a pesar de la potencia provista por el manejo cuántico de la información, también debemos ser conscientes de sus límites. Una pregunta obvia es ¿cuán-tos bits clásicos se pueden guardar en un bitio cuántico. como vimos anterior-mente las superposiciones de cero y uno se encuentran en la superficie de una esfera, la cual posee un infinito número de puntos, por lo cual nos podemos imaginar que se podría guardar un infinito número de bits clásicos. Sin embar-go, la pregunta que tiene sentido es ¿cuántos bits clásicos se pueden almace-nar en un bitio cuántico de forma que la información pueda recuperarse?, en donde establecemos un criterio de éxito para la tarea de almacenamiento de información en un bitio cuántico. Ya que al medir solamente existen dos posi-bles resultados, en un bitio cuántico se puede almacenar únicamente un bitio clásico! Hasta ahora hemos visto que la mecánica cuántica permite realizar tareas de manera más eficiente que la mecánica clásica, que también posee limitaciones y que permite el uso de recursos no disponibles clásicamente como la superposición y el enredamiento. El paso siguiente es aprender a manipular los recursos disponible y descubrir qué tareas informáticas se tornan viables y como se pueden ejecutar. Una de las tareas posibles que más ha llamado la atención es la teletransportación cuántica [6]. Lo primero que debemos señalar son las diferencias con los episodios de star trek. En ellos, los pasajeros son primeramente leídos y “destruidos” de posición original y luego son “recrea-dos” en la estación de teletransportación, sin que hayan tenido que pasar por los sitios intermedios.

La interpretación más fiel a la serie de cine y televisión es que se “destruye” la materia inicial del pasajero y que luego se recrea en la estación. también se puede imaginar que se tiene materia tanto del lado del pasajero como del lado de la estación, y que cuando se desaparece al pasajero lo que se hace es medir toda la información posible del mismo. sin embargo esto es imposible porque, como ya lo mencionamos, la mecánica cuántica implica que la posición y la velocidad, por ejemplo de uno de los átomos que forman parte del ser a ser te-letransportado, no se pueden conocer simultáneamente: entre mejor conozca-mos el valor de la velocidad peor conoceremos el valor de la posición. así, sería imposible recabar toda la información necesaria para poder reconstruirlo. Más aún si solamente se recolecta la información del pasajero, al final del proceso lo que tendríamos es al pasajero y a una copia del mismo en la estación, y como ya mencionamos, no se pueden hacer copias de los estados cuánticos. a pesar de esto, la teletransportación sí es posible, pero en el siguiente sentido. para continuar con la semejanza con la serie de televisión, consideramos la tele-transportación de una persona aunque esto es imposible en el presente y proba-


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blemente lo sea en el futuro también. consideramos una estación de partida y otra de llegada. En la primera necesitamos dos cámaras: una en donde se sitúa el pasajero y otra, la cámara auxiliar, en donde tenemos la materia que sería necesaria para “construir” una copia del pasajero. En la estación de llegada te-nemos una sola cámara, la cámara de llegada, que contiene también el mismo tipo y cantidad de materia. El estado de la materia de la cámara auxiliar no es arbitrario: debe estar enredado con el estado de la cámara de llegada. Ense-guida se hace una medición del estado conjunto de pasajero y materia auxiliar. dado el enredamiento entre materia auxiliar y materia de llegada, esta medi-ción conjunta hace que el estado de la materia de llegada cambie. además, la medición produce una cantidad de información, que para un ser humano sería una cantidad absurdamente grande, que podría ser de alrededor de 1030 bits de información. Los datos medidos deben enviarse, a través de un canal clásico, por ejemplo ondas de radio, a la estación de llegada (esto implica que la tele-transportación cuántica no puede ser más rápida que la velocidad de la luz). Las mejores fibras ópticas imaginables necesitarían de un millón de siglos para enviar la información correspondiente a una persona. por último, en la estación de llegada se procesan los datos y se realiza una serie de transformaciones del estado de la materia de la cámara de llegada, al final de las cuales se tiene reconstruido al pasajero. Enfatizamos que lo que se transporta es el estado cuántico, no la materia. Hasta la fecha se han realizado varios experimentos en los que se ha teletransportado el estado de fotones y átomos.

otra de las tareas que se pueden llevar a cabo con recursos cuánticos es la criptografía. El escenario típico corresponde a un emisor, al que típicamente se le denomina alicia, que quiere enviar un mensaje a un receptor, Boris, en com-pleto secreto. antes de la segunda guerra mundial este tipo de comunicación secreta estaba básicamente restringida a aplicaciones militares y a las comu-nicaciones entre jefes de estado, pero actualmente ocurre todos los días cuan-do hacemos transacciones bancarias por internet o en un cajero automático, o cuando enviamos un correo electrónico con cifrado, etc. antes de los trabajos de claude shannon, el padre de la ciencia de la información, la criptografía era un arte; después se tornó en una ciencia altamente matemática. Versiones sofisticadas de los primeros sistemas de criptografía, que corresponden a per-mutaciones y substituciones, aún se emplean. Un ejemplo de permutación es el uso de la cítala griega, un cilindro alrededor del cual se enrolla una cinta de papel sobre la cual se escribe el mensaje. La cinta se envía y solamente puede ser leída al colocarla sobre otro cilindro del mismo tamaño. El ejemplo más sim-ple de substituciones es el método del césar, en el cual cada letra se substituía por otra, típicamente tres letras más adelante: la a se substituye por la d, la B por la E, etc. Este tipo de cifrado se puede quebrar teniendo en cuenta que las letras tienen ciertas frecuencias, por ejemplo que el símbolo que más aparece en un mensaje en español es la letra “e”. así, en el texto cifrado, en español, el símbolo que aparezca más veces corresponde muy probablemente a esa letra.


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Entre los métodos de cifrado que corresponden a sofisticaciones del método del césar es la clave de uso único, o método de Vernam, una clave en la cual la substitución es diferente para cada una de las letras del mensaje, es decir en la cual la clave tiene la misma longitud del mensaje. si la clave es aleatoria, y se usa una sola vez, no se puede descifrar. El problema es como producir, enviar y compartir una clave aleatoria de manera segura, empleando un ca-nal de comunicación potencialmente inseguro. En mecánica cuántica tenemos un recurso, el enredamiento, que podemos aprovechar para que alicia y Boris puedan establecer una clave secreta y puedan detectar cualquier intruso que quiera conocer la clave [7]. supongamos que alicia y Boris comparten fotones enredados. Ellos pueden hacer mediciones a lo largo de dos ejes diferentes, digamos que uno es el correspondiente al polo norte y el otro correspondiente a longitud cero y latitud cero. para fotones el primer eje de medición puede dar lugar a dos resultados posibles: polarización vertical o polarización horizontal, en tanto que el segundo eje da lugar a otros dos resultados posibles: polariza-ción circular derecha o polarización circular izquierda. para producir una clave secreta alicia primero produce pares de fotones enredados, guarda uno de los fotones y le envía el otro a Boris. después ella escoge de manera aleatoria el eje de medición y registra el tipo de medición y el resultado encontrado. Boris también mide su fotón usando uno de los dos ejes escogidos y registra los ejes y los resultados obtenidos. después ambos comparten los ejes que emplearon, usando un canal clásico, por ejemplo el teléfono o el correo electrónico, y mantienen los datos únicamente de aquellos casos en los cuales escogieron el mismo eje de medición. Ellos convierten los datos a una cadena de bits asignan-do el valor cero a los resultados polarización horizontal y polarización circular izquierda, y asignando el valor uno a los otros dos resultados posibles. ¿Qué pasaría si hubiese un intruso? no podemos detectar si hay un intruso en el canal clásico (si alguien chuza nuestro teléfono o si nuestros correos electrónicos son interceptados). pero alice y Boris también se comunican a través de un canal cuántico (como una fibra óptica) para compartir los fotones enredados. Si el intruso escoge el eje de medición equivocado entonces producirá errores, es decir que las mediciones de alicia y Boris no estarán perfectamente correlacio-nadas. para detectar estos errores es necesario que alicia y Boris compartan algunos bits, hagan un análisis de los errores. si consideran que no hubo intruso entonces escogen un subconjunto aleatorio de los bits restantes como clave. En caso contrario hacen un nuevo intento para generar una clave. Vale la pena recordar que los mensajes clásicos, aquellos de los teléfonos celulares y los correos electrónicos, pueden copiarse. Los mensajes cuánticos no pueden ser copiados pues, como vimos anteriormente, no hay (y nunca habrá) copiadoras cuánticas. no solamente se han realizado experimentos de criptografía cuánti-ca sino que ya existen equipos comerciales que la emplean.

El procesador de información de nuestro tiempo es, por excelencia, el com-putador. ¿Es posible fabricar computadores cuánticos? aún no estamos seguros,


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pero muchos laboratorios y universidades del mundo están trabajando en ello. El computador cuántico más grande del cual conocemos todos los detalles tiene doce bitios cuánticos [10], claramente muy pocos bitios. peor aún, el diseño, basado en la resonancia magnética nuclear de estado líquido, no es escalable, es decir que no se puede adaptar para fabricar computadores cuánticos con un mayor número de bitios cuánticos. Esto se debe a que la computación cuántica en estos dispositivos depende del diseño y fabricación de moléculas con núcleos con espín 1/2, que puedan leerse de manera separada, lo cual es muy difícil. se han fabricado computadores cuánticos de dos bitios cuánticos en sistemas ópti-cos y en iones fríos atrapados, y más recientemente en superconductores [11].

Este último se considera un hito en la búsqueda de un computador cuántico debido a que se trata de un sistema de estado sólido, que se puede fabricar con la misma tecnología empleada para los chips de los computadores que tenemos en casa. Hay una forma de computación cuántica, la computación cuántica adiabática, cuyos límites no se conocen bien, pero que se cree que es buena para problemas de optimización, en los cuales se busca el mejor camino, el mejor proceso, el proceso más barato, etc. Una compañía canadiense, que informó a comienzos de 2007 que tenía un computador cuántico adiabático de 16 bitios cuánticos, alega estar construyendo otro de 128 bitios cuánticos. Ha sido muy criticada por la comunidad académica porque no se conocen los de-talles de su funcionamiento, pero su computador cuántico sería el más grande construido hasta la fecha. Queremos terminar este opúsculo de la misma forma en que lo comenzamos, haciendo comentarios sobre los efectos cuánticos en-volviendo muchas partículas o excitaciones. En particular queremos llamar la atención sobre el hecho de que recién comenzamos a conocer un nuevo tipo de efectos cuánticos de muchas partículas. Uno en particular es la producción de un estado enredado macroscópico. En el año 2005 se reportó la producción de un estado cuántico enredado correspondiente a un millón de átomos. también se han anunciado experimentos en los cuales se transfiere el estado cuántico de la luz a un conjunto de un millón de átomos, y de este conjunto de átomos, de vuelta a la luz. Esperamos que muchos experimentos excitantes ocurran en las próximas dos décadas y que se desarrolle una nueva tecnología basada en los misterios cuánticos.

En [12] encontrará el interesado algunos textos básicos y clásicos.

Referencias

[1] E. schrödinger, naturwissenschaften, die gegenwärtige situation in der Quantenmechanik, 23, 807, 823, 844 (1935).

[2] M. Brune, E. Hagley, J. dreyer, X. Maitre, a. Maali, c. Wunderlich,


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J. M. raimond y s. Haroche, observing the progressive decoherence of the me-ter in a quantum measurement, phys. rev. Lett. 77, 4887 (1996).

[3] K. M. Fonseca romero, M. c. nemes, J. G. peixoto de Faria, a. n. salgueiro y a. F. r. de toledo piza, decoherence of Mesoscopic states, phys. rev. a. 58, 3205 (1998).

[4] J. s. Bell, on the Einstein-podolsky-rosen paradox, physics (Long Island city, n.Y)., 1, 195 (1964).

[5] a. Galindo y M. a. Martin-delgado, Information and computation: classical and Quantum aspects, rev. Mod. phys. 74, 347 (2002).

[6] c. H. Bennett, G. Brassard, c. crépeau, r. Jozsa, a. peres y W. K. Wootters, teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein- pol-doky-rosen channels, phys. rev. Lett. 70, (1993).

[7] C. H. Bennett, G. Brassard y A. K. Ekert, Quantum Cryptography, Scientific american. 267, 50 (1992).

[8] M. a. nielsen e I. L. chuang, Quantum computation and quantum informa-tion, cambridge, new York (2000).

[9] c cisneros, r p Martinez-y-romero, H n nunez-Yepe y a L salas-Brito. Limi-tations on the superposition principle: super selection rules in non-relativis-tic quantum mechanics. European Journal of physics 19, 237 (1998).

[10] http://www.sciencedaily.com/releases/2006/05/060508164700.htm

[11] http://www.sciencedaily.com/releases/2009/06/090628171949.htm

[12] G. albert et al., Quantum Information, springer Verlag, 2004; a. Yu. Kitaev, a. H. shen y M.n. Vyalyi, classical and quantum computation, american Ma-thematical society, providence, 2002; d. Bouwmeester, a. Ekert, a. Zeilinger (Eds.), the physics of quantum information, springer Verlag, 2000; H.-K. Lo, s. popescu, t. spiller, Introduction to quantum computation and information, World Scientific, 2000.

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