UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estad stica...
Transcript of UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estad stica...
UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1
Probabilitat i Estadıstica, Groups 1 a 4
Examen Final
Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees
Nom i Cognom ................................................., Grup .....
NIA .............................
Nom i Cognoms ............................... 1 Test D
Llegiu aquestes instruccions:
1. NO GIREU AQUEST FULL FINS QUE EL PROFESSOR HO INDIQUI.
2. Poseu les vostres dades (nom, cognom, etc. en aquest full i tambe el vostre primer cognom i signatura al peu depagina de cada un dels fulls adjunts.
3. Temps maxim per fer aquest examen: 1 hora i 15 minuts.
4. Sota cap concepte, NO des-grapeu el quadarnet.
5. Aquest examen consta d’una sola part, de 24 preguntes test de resposta multiple. Cada pregunta te tres respostespossibles, solament una es correcta. Marqueu amb una X la casella de la resposta que cregueu que es la correcta.Si voleu rectificar, marqueu amb NO la casella que havıeu assenyalat, i poseu una X a la nova casella que assenyaleucom a correcta. Tota pregunta amb mes d’una casella assenyalada sera considerada no contestada. A l’hora dedecidir entre respondre la pregunta o deixar-la en blanc (no contestada), tingueu en compte que la puntuacio del’examen s’efectuara de la forma seguent:
Resposta correcta: +1.0
Resposta incorrecta: −0.5
Pregunta no contestada: 0.0.
6. Full de Lectura Optica que s’acompanya. Poseu les vostres dades personals i del tipus de test La respostavalida es la que passeu al Full de Lectura Optica.
Nom i Cognoms ............................... 2 Test D
Nom i Cognoms ............................... 3 Test D
1. Si X es una variable aleatoria, i V (.) denota variancia, aleshores una d’aquestes igualtats sempre es certa
© V (3X − 6) = 3V (X − 6)
© V (3X − 6) = 9V (X − 10)
© V (3X − 6) = 9V (X)− 6
2. Reordenem a l’atzar els numeros 1,2,3,4,5,6. La probabilitat que el numero de 6 xifres acabi amb 12 es
© factorial(4)/factorial(6) = 0.03333
© 0.3333
© 2*factorial(4)/factorial(6) = 0.06666
3. Suposeu una variable aleatoria X amb E(X) = 0; aleshores, necessesariament
© Var(X) = (E(X))2
© Var(X) = 0
© Var(X) = E(X2)
4. Suposeu dues variables aleatories X i Y amb distribucio conjunta normal bivariant. La correlacio entre les variablesX i Y es 0, els valors esperats de X i Y son 0 i les variancies de X i de Y son 1. El valor esperat de Y quanX = 1 sera:
© 1
© 0
© 0.5
5. Si X ∼ N (1, 2) (2 es la variancia) i Y = 3(X +X), aleshores la distribucio de Y es
© N(3, 18)
© N(6, 72)
© N(6, 36)
6. En la tirada de 6 monedes (no trucades), el nombre de cares segueix una distribucio
© de Poisson
© de Bernoulli
© simetrica
7. Si la distribucio de massa de probabilitat conjunta de X i Y es
YpX,Y 1 -1
X 1 3/12 3/12-1 3/12 3/12
Aleshores, X i Y son variables
© incorrelacionades pero no independents
© incorrelacionades i independents
© independents pero correlacionades
8. Suposeu X1, X2 dues variables incorrelacionades amb la mateixa variancia, σ2. Aleshores, Cov(X1, 2X1 −X2) es
© −σ2
© 0
© 2σ2
Nom i Cognoms ............................... 4 Test D
9. Suposeu dues distribucions binomials X ∼ B(n1, p) i Y ∼ B(n2, p), amb 0 < p < 1. Suposeu que n1 < n2.Aleshores,
© La variancia de Y es mes gran que la de X
© La variancia de X es mes gran que la de Y
© Les dues variancies son iguals
10. De dues variables aleatories X i Y ens diuen que E(XY ) = E(X)E(Y ); aleshores, necessariament,
© aquesta afirmacio no pot ser certa
© les variables X i Y estan incorrelacionades
© les variables X i Y son independents
11. Suposem que X es una variable aleatoria contınua amb funcio de densitat de probabilitat f(x) i E(X) = 0.Aleshores
© f ′(x) = F (x), on F (x) es la funcio acumulada de distribucio
© f(x) pot pendre valors mes gran que 1
©∫ +∞−∞ fX(x)dx = 0
12. Si X es binomial amb parametres n = 3 i p = 0.5, aleshores la probabilitat que X sigui different de 1 es:
© 0.375
© 0.625
© 0.5
13. Marca la correcta:
© ρXY = ρ(2X + 3, Y + 1)
© σXY = cov (2X + 3, Y + 1)
© ρXY = ρ(2X + 3,−Y + 1)
14. Si X i Y son variables aleatories amb correlacio negativa, aleshores
© V ar(X − Y ) = V ar(X)− V ar(Y )
© V ar(X − Y ) > V ar(X) + V ar(Y )
© V ar(X − Y ) = V ar(X) + V ar(Y )
15. Suposeu una variable aleatoria X amb funcio de massa de probabilitat.
X -1 -2 1 2 apX 1/10 2/10 1/10 2/10 4/10
Si E(X) = 40, aleshores el valor de a es
© 100
© 20
© 200
16. Suposeu un telefon on el temps d’espera X en minuts per una trucada segeuix distribucio exponencial ambparametre λ = 4; es a dir, f(x) = 4e−4x, x > 0. Aleshores, el nombre esperat de trucades en un minut es:
© 0.25
© 0.5
© 4
Nom i Cognoms ............................... 5 Test D
17. En sintaxis de R, definim un dau de deu cares: dau = 1:10. Despres simulem tirades independents del dau:monte = sample(dau, 1000 , replace = "T"). Finalment, calculem el promitg de les 1000 tirades del dau:m = mean(monte) . En aquest cas, m segueix distribucio:
© uniforme de 1 a 1000
© normal amb mitjana 5.5 i variancia 8.25/1000
© normal amb mitjana 5.5 i variancia 8.25
18. Sigui A i B una particio de l’espai mostral Ω amb P (A) = 0.8. Sigui C un esdeveniment tal que P (C | A) = 0.1i P (C | B) = 0.9. Aleshores P (A | C) es igual a
© no es pot calcular amb aquestes dades
© 0.3076923
© 0.969697
19. Sigui A i B i C una particio de l’espai mostral Ω. Aleshores el complementari de A ∪B es
© C
© A ∩B© Ac ∪Bc (aquı ()c denota complementari)
20. Si A,B,C son tres esdeveniments d’un experiment aleatori i A ⊂ B, aleshores A ∩ (B ∪ C) es
© A ∩ C© A
© B
21. Dema es 22 de desembre i, com cada any, se celebra a Espana el sorteig de “La Grossa”. Des del 2011 hi haen el bombo 100.000 numeros, del 00000 al 99999. En Josep va comprar un decim del numero 11111 a unaadministracio de Loterias y Apuestas del Estado del seu barri. La Josefina, molt mes curosa, va anar a Madridi a la famosa administracio de Loterias y Apuestas del Estado de Dona Manolita (veure foto adjunta de la cua,d’hores, que va haver de fer) va comprar un decim de cada un dels numeros seguents: 45077 i 12514. En Josep ila Josefina no tenen altres numeros que els esmentats. En aquest escenari
© Aquest any la probabilitat que el “El Gordo” sigui el numero 11111 es mes petita que la del 12514
© La probabilitat que a la Josefina li toqui “El Gordo” es exactament el doble que la probabilitat que “El Gordo”toqui a en Josep
© cap de les anteriors
22. Un casino estableix el joc seguent: tirada repetida d’una moneda (no trucada) fins que surt cara i pagar al jugadoramb euros dues vegades el numero de tirades necessaries per aconseguir la cara. Per exemple, si la cara apareix ala primera tirada, el jugador cobra 2(= 2× 1) euros. Si el preu d’entrada a una jugada es de 4 euros, aleshores:
© el casino te quany esperat de dos euros per jugada
© el casino te perdua esperada d’un euro per jugada
© aquest es el joc de la Paradoxa de Sant Petersburg, en el que no podem calcular guany esperat
23. Si A ∩B = ∅, P (A) > 0, i P (B) > 0; aleshores,
© A ⊂ B© A i B son complementaris
© A i B no son independents
24. Si A,B son esdeveniments d’un experiment aleatori i P (A) = P (B) = 0.6, aleshores, necessariament
© A i B son independents
© A ∩B 6= ∅© A = B
Nom i Cognoms ............................... 6 Test D
Nom i Cognoms ............................... 7 Test D
Nom i Cognoms ............................... 8 Test D