Upn Proceso de Markov
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ANALISIS DE MARKOV
CONCEPTO
El análisis de Markov es una técnica que maneja las probabilidades de ocurrencias futuras mediante el análisis de las probabilidad conocidas en el presente.
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ANALISIS DE MARKOV
APLICACIONES
La técnica tiene diversas aplicaciones en los negocios, incluyendo análisis de la participación en el mercado, predicción de deudas incobrables, predicción de la matrícula universitaria y determinación de si una máquina se descompondrá en el futuro.
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ANALISIS DE MARKOV
APLICACIONES
El análisis de Markov hace la suposición de que el sistema comienza en un estado o una condición inicial. Por ejemplo, dos fabricantes competidores pueden tener respectivamente 40% y 60% de las ventas del mercado. Tal vez en dos meses las participaciones del mercado de las dos empresas cambiarían a 45% y 55% del mercado, respectivamente.
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ANALISIS DE MARKOV
CARACTERISTICAS
Predecir los estados futuros implica conocer las posibilidades o probabilidades de cambio del sistema de un estado a otro. Para un problema en particular, tales probabilidades se pueden recolectar y colocar en una matriz o tabla.
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ANALISIS DE MARKOV
CARACTERISTICAS
Esta matriz se denomina matriz de probabilidades de transición, y muestra la probabilidad de que el sistema cambie de un periodo al siguiente. Este es el proceso de Markov que nos permite predecir los estados o las condiciones futuras.
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• Las probabilidades de transición Pij se pueden representar en una matriz cuadrada llamada Matriz de Probabilidad de Transición de la cadena.
6
Matriz de Probabilidad de Transición:
KKK
K
PP
PP
PPP
0
1110
00100
P
Desde el estado i
Hasta el estado j
Pij
PROCESO DE MARKOV
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• Las propiedades de la matriz de transición de probabilidad son:
• PROPIEDAD 1
Como cada elemento de la matriz representa una probabilidad, ésta debe tener un valor entre 0 y 1.
7
Matriz de Probabilidad de Transición:
....,2,1,0,;10 jiPP ijij
PROCESO DE MARKOV
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• PROPIEDAD 2
• Esto significa que, para cada estado (fila en la matriz), la suma de todas las probabilidades de transición será 1.
• Por ello se dice que la matriz es de tipo estocástica.
8
Matriz de Probabilidad de Transición:
0
....,2,1,0;1j
ij iparaP
PROCESO DE MARKOV
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MATRIZ DE TRANSICIÓN: EJEMPLO
.
Tiempo n+1
Estado 0 Estado 1 Estado 2 Estado 3
Estado 0 0,20 0,65 0,15 0
Tiempo n
Estado 1 0 0,60 0 0,40
Estado 2 0,15 0,15 0,30 0,40
Estado 3 0 0 0 1
PROCESO DE MARKOV
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• Es posible representar un proceso de Markov por un grafo.
• Cada nodo representa a un elemento del espacio muestral.
• Cada arco dirigido representa a la probabilidad de transición Pij ( desde i a j) asociada al par de estados que conecta (i , j)
10
0
1
2
P00 P01
P10
P02
P20P22
P11
P21
P12
PROCESO DE MARKOV
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• ¿Cuál será la matriz de transición para este grafo?
11
0
1
2
0.5 0.2
0.6
0.3
0.10.4
0.1
0.5
0.2
PROCESO DE MARKOV
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• La matriz respectiva será:
12
0
1
2
0.5 0.2
0.6
0.3
0.10.4
0.1
0.5
0.3
PROCESO DE MARKOV
4.05.01.0
3.01.06.0
3.02.05.0
P
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• Otro ejemplo de representar una matriz de transición; en forma GRÁFICA y en forma MATRICIAL
13
2/14/14/1
4/304/1
4/14/30
P0
1
2
1/4
3/4
1/4
1/41/4
3/4
1/2
PROCESO DE MARKOV
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14
PROCESO DE MARKOV El diagrama transición de
estados :
Matriz de Probabilidad de transición entre estados:
210.97
30.95
4 5
0.05 0.93
0.07
1
0.03
1 2 3 4 5
1 0 0.97 0 0.03 0
2 0 0 0.95
0.05
0
3 0 0 0 0.07
0.93
4 0 0 0 1 0
5 0 0 0 0 1
1
P =
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EJEMPLO 1: UN MODELO PARA EL DESPLAZAMIENTO POBLACIONAL
Para efectos de una investigación, en un determinado país, una familia puede clasificarse como habitante de zona urbana, rural o suburbana. Se ha estimado que durante un año cualquiera, el 15% de todas las familias urbanas se cambian a zona suburbana y el 5% a zona rural. El 6% de las familias suburbanas pasan a zona urbana y el 4% a zona rural. El 4% de las familias rurales pasan a zona urbana y el 6% a zona suburbana.
PROCESO DE MARKOV
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Tendremos la siguiente matriz de transición
Urb. Surb. Rur.
900060040
040900060
050150800
,,,
,,,
,,,
P
PROCESO DE MARKOV
EJEMPLO 1: UN MODELO PARA EL DESPLAZAMIENTO POBLACIONAL
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Urb Surb. Rural
0,15 0,04
0,05
0,04
0,06 0,06
0,80,90
0,90
PROCESO DE MARKOV
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