Uso de la Teoría de Juegos al proceso enseñanza ...
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Uso de la Teoría de Juegos al proceso enseñanza – aprendizaje para lograr una mejor comprensión de los conceptos de la teoría de probabilidades. TRABAJO DE DIPLOMA Autor: Antón Luisovich Rivero Rivero. Tutor: Dr. Uvedel Bernabé Del Pino Paz. 2008 Año 50 de la Revolución FACULTAD MATEMATICA – FISICA - COMPUTACION
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Uso de la Teoría de Juegos al procesoenseñanza – aprendizaje para lograr unamejor comprensión de los conceptos de la
teoría de probabilidades.
TRABAJO DE DIPLOMA
Autor: Antón Luisovich Rivero Rivero.
Tutor: Dr. Uvedel Bernabé Del Pino Paz.
2008
Año 50 de la Revolución
FACULTAD
MATEMATICA – FISICA - COMPUTACION
Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central “MartaAbreu” de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad deLicenciatura en Matemáticas, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución,para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además nopodrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.
Antón L Rivero Rivero_____________________
Firma del autor
Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdosde la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener untrabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
________________ _________________________ Firma del tutor Firma del jefe del Seminario
Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto,
y pensar lo que nadie más ha pensado.
Albert Szent-Györgi (1893-1986)
A mi mamá, mi papá y mi hermana.
AGRADECIMIENTOS• A mi mamá por su gran ayuda, comprensión, por haber aguantado tanto,
enseñarme el valor del estudio y la felicidad de ser su hijo.• A mi papá y abuela por haber tenido la paciencia de esperar por este día
y no haberme hecho caso nunca.• A mi hermana que supo enderezar mi camino, por aconsejarme y saber
tanto de amor.• A mis abuelos Rudolf y Valentina, a mi tía Verónica, mi tío Zhenia y mi
primita “Nasti” que hace mucho que no los veo, pero sé que siempre estoycon ellos.
• A mi sobrino David al que quiero mucho y a Carlos mi cuñado por suschistes.
• Al DoTTa por haberme quitado tantas horas de estrés.• A la Srta. M por haberme dado la felicidad de haberla conocido y por sus
interminables pláticas.• A Alejandro mi inseparable amigo, a Freddy, Darien, Yunior y Julio por
haber compartido muchas aventuras y las que faltan.• A mi tutor por haberme aceptado como su tesiante y haber aprendido
muchos los dos acerca de esta maravillosa teoría.• A Luis Peña Catalán por sugerirme el tema y ver lo maravilloso de este.• A Redamy por haberme prestado su ayuda desde tan lejos.• A Sarahí, Nena y Dania por la ayuda prestada en todo momento.
A todos muchas gracias
ÍNDICEINTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………1CAPÍTULO 1. Teoría de los juegos. Sus antecedentes y características……4
1.1 Objetivos de la teoría de juegos ...81.2 Aplicaciones .91.3 Conceptos fundamentales ...12
1.3.1 Estrategias.Tipos de Estrategia……………………………………..………...12 1.3.2 Resultados de los juegos……………………………………………………...14 1.3.3 Jugada………………………………………………………………………....14 1.3.4 Ganancia…………………………………………………………………….....15 1.3.5 Racionalidad…………………………………………………………………...15 1.3.6 Formas normal y extensa………………………………………………...……15 1.3.7 Información completa………………………………………………………....16 1.3.8 La elección con riesgo……………………………………………………...…16 1.3.9 Elección con certeza………………………………………………………..…17 1.3.10 Incertidumbre …………………………………………………………............17 1.4 Teoría de Juegos y el teorema del punto fijo………………………………………18 1.5 Tipos de juegos…………………………………………………………………….19 1.5.1 Juegos individuales……………………………………………………………..20 1.5.2 Juegos de dos jugadores…………………………...……………………………20 1.5.3 Juegos en forma de árbol………………………………………………...…….20 1.5.4 Juegos en forma estratégica………………………………………...…….…....21 1.5.4.1 Equilibrio de Nash………………………………………………………..…22 1.5.4.2 Importancia y límites del equilibrio de Nash………………………….……24 1.5.4.3 Estrategia MAXIMIN………………………………………………….…...25 1.5.5 Juegos en forma gráfica…………………………………………………....…29 1.5.6 Juegos en forma coalicional ………………….…………………………….…..29 1.6 Juegos bipersonales de suma nula………………………………….………….........34 1.7. Juegos bipersonales de suma no nula …………………………………………...…37 1.8. Modelos más importantes………………………………………………………....38
CAPÍTULO 2. La Teoría de Juegos en la enseñanza ..........................................462.1 Algunas consideraciones previas ... .. ..462.2 Dos tipos de juegos .................................................................................... 492.3 Relación entre juego y matemáticas .......................................................... 512.4 Efectos que pueden producir los juegos..................................................... 532.5 Los juegos y la enseñanza ......................................................................... 57
2.5.1 Matemáticas con sabor a juego....................................................... 632.5.2 Tipos de Juegos en la Enseñanza................................................... 64
CAPÍTULO 3. Uso de la teoría de juego en el proceso de aprendizaje de lateoría de probabilidades ............................................................................................ 69
3.1 Juegos por puntos...................................................................................... 703.2 Juegos por estrategias ............................................................................... 71
3.2.1 Tipos de juegos de estrategia ……………..………………………….723.3 Aplicación de un juego por puntos a la asignatura Probabilidades .....7Error!Bookmark not defined.3.4 Juego Batalla – tierra - aire - tierra ........................................................... 78
CONCLUSIONES.......................................................................................................... 81
RECOMENDACIONES................................................. 8Error! Bookmark not defined.BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................. 83
ANEXOS ........................................................................................................................ 89
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Introducción
La teoría de juegos en la actualidad es ampliamente usada en diversas ramas del saber
humano. Entre esta amplia gama de usos está incluida la actividad docente.
Con el fin de conocer la esencia, origen, desarrollo y las principales aplicaciones de la
teoría de juegos se realiza el presente trabajo.
La teoría de juegos surge con el simple hecho de que un individuo se relacione con
otro u otros. Hoy en día está presente cotidianamente esta teoría, en cualquier momento
puede tener que usarse, por ejemplo:
• Cuando un estudiante se inscribe en un nuevo semestre en la universidad y tiene
que decidir entre asignaturas optativas.
• Cuando la directiva de un banco tiene que tomar la decisión sobre el monto que
va a cobrar en un cliente moroso.
• Cuando la dirección de una empresa tiene que decidir entre perforar o no un
nuevo pozo petrolero.
Actualmente la teoría de juegos se ocupa sobre todo lo relacionado en la toma de
decisiones entre diferentes alternativas cuando los hombres tienen que decidir frente a
oponentes inteligentes.
Problema.
Los estudiantes de Matemática y Computación tienen dificultades en la comprensión y
consolidación de los principales conceptos y reglas de la teoría de probabilidades. Junto a
estas dificultades está la falta de motivación de los estudiantes por esta disciplina.
Interrogantes
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• ¿Cómo incrementar la motivación por la teoría de probabilidades?
• ¿La teoría de juegos puede ser un factor que ayude a incrementar la comprensión
de las probabilidades?
• ¿Es posible elaborar y aplicar en nuestras aulas juegos que motiven a los
estudiantes por esta disciplina?
Objeto de estudio
El objeto de estudio es la aplicación de la Teoría de Juegos en el proceso enseñanza-
aprendizaje dentro de la Educación Superior. En particular, los métodos que permiten
facilitar la comprensión de diversos conceptos de la teoría de probabilidades.
Hipótesis
El uso de juegos docentes en las Probabilidades permite incrementar la motivación,
comprensión y profundización de los estudiantes por esta disciplina.
Delimitados el objeto de estudio y la hipótesis se procede a definir los objetivos
(general y específico) y las tareas científicas.
Objetivo general de investigación:
Desarrollar juegos docentes fundamentados por la Teoría de Juegos que permitan
mejorar el proceso enseñanza – aprendizaje de la disciplina Probabilidades.
Objetivos específicos:
• Realizar entrevistas a especialistas en la materia de los juegos al azar.
• Observar las aplicaciones de la teoría de los juegos y ver si tiene aplicación dentro
de nuestro sistema docente o aulas universitarias.
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• Observar los métodos de la teoría de juegos con el propósito de elaborar juegos
docentes que incrementen la motivación de los estudiantes.
Tareas científicas a acometer.
• Recopilación bibliográfica preliminar, definición, aprobación del tema y
elaboración del plan de trabajo.
• Estudio bibliográfico y análisis del estado de la temática.
• Redacción de la primera versión del Capitulo I.
• Redacción de la primera versión del Capitulo II.
• Elaborar juegos utilizando la Teoría de Juegos.
• Redacción de la primera versión del Capitulo III.
• Redacción de la primera versión de las Conclusiones y Recomendaciones del
trabajo.
• Análisis del contexto global de la tesis y redacción definitiva de la misma.
Aportes científicos relevantes.
• Implementación de juegos docentes de dos tipos: por puntos y por estrategias para
aplicarlos al proceso de enseñanza- aprendizaje.
• Adaptación de actuales conceptos de la Teoría de Juegos a la Educación Superior.
• Incremento de la motivación de los estudiantes.
• Facilitar la comprensión y profundización de los principales conceptos de la teoría
de probabilidades.
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1. Teoría de los juegos. Sus antecedentes y características
La teoría de juegos describe las situaciones envueltas en conflictos en los cuales el
beneficio es afectado por las acciones y contra-reacciones de oponentes inteligentes. Ella
fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar
Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro The Theory of
Games and Economic Behavior , abrió un insospechadamente amplio campo de estudio
en el que actualmente trabajan miles de especialistas de todo el mundo. Anteriormente los
economistas Cournot y Edgeworth habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se
sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos
(1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la
aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia
de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.
Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de
Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este
planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no
pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.
En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el
planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima
en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus
resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y
dos jugadores.
En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce
and Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que
permitió establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin Nash (1950)
quien definió el equilibrio que lleva su nombre, lo que permitió extender la teoría de
juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero. Durante esa época, el
Departamento de Defensa de los EE.UU. fue el que financió las investigaciones en el
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tema, debido a que la mayor parte de las aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se
concentraban en temas de estrategia militar.
John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de
juegos. A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso
por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde
entonces se llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre
todos los especialistas.
A principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosos John Nash
rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se había auto-impuesto. En
el frente no cooperativo, estos parecen haber pensado que en estrategias la idea de
equilibrio, introducida por Cournot en 1832, no era en sí misma una noción adecuada
para construir sobre ella una teoría (de aquí que se restringieran a juegos de suma cero).
Sin embargo, la formulación general de Nash de la idea de equilibrio hizo ver claramente
que una restricción así es innecesaria. Hoy día, la noción de equilibrio de Nash, la cual no
es otra cosa que cuando la elección estratégica de cada jugador es la respuesta óptima a
las elecciones estratégicas de los otros jugadores. Es tal vez, el más importante de los
instrumentos que los especialistas en Teoría de Juegos tienen a disposición. Nash también
hizo contribuciones al planteamiento cooperativo de Von Neumann y Morgenstern.
El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores
siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una
disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una
solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del
problema, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los
matemáticos Brouwer y Kakutani.
Nash no aceptó la idea de que la Teoría de Juegos debe considerar indeterminados
problemas de negociación entre dos personas y procedió a ofrecer argumentos para
determinarlos. Sus ideas sobre este tema fueron generalmente incomprendidas y, tal vez
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como consecuencia de ello, los años que la Teoría de Juegos pasó en el olvido se gastaron
principalmente desarrollando el planteamiento cooperativa de Von Neumann y
Morgenstern en direcciones que finalmente resultaron improductivas.
En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos
problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de
Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en
llamar "el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un
marco no cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia
paranoica que lo dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo
científico durante dos décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su salud
mental y pudo volver a la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones,
consiguiendo en 1994 el Premio Nóbel de Economía compartido con John C. Harsanyi y
Reinhart Selten por sus pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no
cooperativos.
En los 60 y 70 Harsanyi (1967) extendió la teoría de juegos de información
incompleta, es decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características
del juego: por ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa.
Ante la multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones
razonables a juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el
subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de
juegos de información imperfecta.
La última aportación importante a la teoría de juegos es de Robert J. Aumann y
Thomas C. Schelling, por la que han obtenido el premio Nóbel de economía en el año
2005.
En The Strategy of Conflict, Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias sociales.
Sus estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del empeoramiento
de sus propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia puede ser más útil
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que la habilidad para resistir un ataque .Esto trajo luz para explicar la carrera
armamentista entre Estados Unidos y Rusia.
Además, Schelling analizó metódicamente situaciones cotidianas en las que dos
individuos o grupos interactúan. Con modelos simples, logró explicar numerosos casos
de interacción entre personas. Schelling también mostró como se puede mejorar una
situación a largo plazo creando un clima de confianza que permita una situación de
cooperación en vez de una situación de conflicto.
Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de los juegos con sucesos
repetidos. Aumann observó que la cooperación suele ser “una solución de equilibrio” en
juegos repetitivos a largo plazo entre agentes que en el corto plazo tienen grandes
conflictos de intereses. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender los
requisitos para una cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación
cuando hay muchos participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la
interacción. La profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos,
como la guerra de precios y las guerras comerciales.
El mérito de Aumann se basa en el uso de la matemática para el desarrollo de
hipótesis, mientras que Schelling se caracteriza por introducir ideas originales con un
pequeño instrumental matemático. Aumann y Schelling han enriquecido la teoría de
juegos con desarrollos formales y aplicaciones a las ciencias sociales.
¿Qué es la teoría de juegos?
Los juegos de sociedad constituyen un ejemplo tipo y depurado de las elecciones
conscientes interactivas; tal teoría se denominó teoría de juegos, nombre que se ha
mantenido a pesar de que se aborda todo tipo de situaciones, a tal punto que para algunos,
la teoría de juegos tiene por meta dar cuenta del conjunto de temas tratados por las
ciencias humanas, o al menos los que tienen que ver con comportamientos racionales
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¿Qué es un juego?
Un juego es:
• Cualquier situación de interacción o interdependencia estratégica:
• Cualquier situación en que individuos (u organizaciones) se relacionan
conscientes de que los resultados obtenidos por todos y cada uno dependen no
solo de sus propias decisiones sino de las decisiones de todos.
• Juegos de diversión (póquer, ajedrez,)
• Guerras, divorcios, relaciones con hijos, pareja.
• En economía: Oligopolio, Asignación de recursos como subastas, negociaciones,
incentivos al esfuerzo, relaciones comerciales.
1.1 Objetivos de la teoría de juegos.
El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta
racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las
acciones de jugadores interdependientes.
Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El Ajedrez y
el Póker son buenos ejemplos, pero también lo son el duopolio y el oligopolio en los
negocios. La extensión con que un jugador alcanza sus objetivos en un juego depende del
azar, de sus recursos físicos y mentales y de los de sus rivales, de las reglas del juego y de
los cursos de acciones que siguen los jugadores individuales, es decir, sus estrategias.
Una estrategia es una especificación de la acción que ha de emprender un jugador en cada
contingencia posible del juego.
Igualmente, en una gran variedad de juegos, el resultado es una variable aleatoria cuya
distribución de probabilidades debe ser establecida para que pueda ser posible una
solución para el juego. A este respecto, debe observarse que las decisiones de los
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jugadores interdependientes no se toman en un vacío y que los pagos resultantes de estas
decisiones dependen de las acciones emprendidas por todos los jugadores. Esta
interdependencia implica que puede ser inapropiado suponer que los pagos están siendo
generados por un proceso probabilista invariante que no es afectado por el curso de
acción que uno escoja. En otras palabras, la acción que emprende un jugador puede dictar
los actos de otros jugadores o influir en la probabilidad de que se comporten en una
forma particular. Esta potencialidad de posibles efectos en los resultados es la que
distingue la toma de decisiones en conflictos y la toma de decisiones en un medio
incierto. La clase más sencilla de modelo de juego rigurosamente adversario, en el que
los resultados posibles son calificados en orden opuesto por los jugadores.
Entre esta clase, él más común es el juego de suma constante, en el que la suma de las
ganancias de los jugadores es igual, cualesquiera que sea su distribución entre ellos. Un
caso especial, y el único que consideraremos, de juegos de suma constante se llama juego
de suma cero de dos personas.
1.2 Aplicaciones.
El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta
racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las
acciones de jugadores interdependientes.
Un juego es cualquier situación en la cual compiten dos o más jugadores. El Ajedrez es
un muy buen ejemplo.
Se supone que, en un juego, todos los jugadores son racionales, inteligentes y están
bien informados. En particular, se supone que cada jugador conoce todo el conjunto de
estrategias existentes, no solo para él, sino también para sus rivales, y que cada jugador
conoce los resultados de todas las combinaciones posibles de las estrategias.
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La teoría de juegos está básicamente ligada a las matemáticas, ya que es
principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, aunque los analistas de juegos
utilizan asiduamente otras áreas de esta ciencia, en particular las probabilidades, la
estadística y la programación lineal en conjunto con la teoría de juegos. Pero la mayoría
de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras materias.
Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, como las ciencias políticas o la
estrategia militar, que fomentó algunos de los primeros desarrollos de esta teoría. La
biología evolutiva, donde se ha utilizado ampliamente para comprender y predecir ciertos
resultados de la evolución, como el concepto de estrategia evolutiva estable introducido
por John Maynard Smith en su ensayo "Teoría de Juegos y la Evolución de la Lucha", así
como en su libro "Evolución y Teoría de Juegos" o la psicología, donde puede utilizarse
para analizar juegos de simple diversión o aspectos más importantes de la vida y la
sociedad también son claros ejemplos de aplicaciones.
Pero sin duda, su principal aplicación la encontramos en las ciencias económicas
porque intenta encontrar estrategias racionales en situaciones donde el resultado depende
no solamente de la estrategia de un participante y de las condiciones del mercado, sino
también de las estrategias elegidas por otros jugadores, con objetivos distintos o
coincidentes.
No debería sorprender que la Teoría de Juegos haya encontrado aplicaciones directas
en economía. Esta triste ciencia se supone que se ocupa de la distribución de recursos
escasos. Si los recursos son escasos es porque hay más gente que los quiere de la que
puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para
un juego. Además, los economistas neoclásicos adoptaron el supuesto de que la gente
actuará racionalmente en este juego. En un sentido, por tanto, la economía neoclásica no
es sino una rama de la Teoría de Juegos.
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Sin embargo, aunque los economistas pueden haber sido desde siempre especialistas
camuflados en Teoría de Juegos, no podían progresar por el hecho de no tener acceso a
los instrumentos proporcionados por Von Neumann y Morgenstern.
En esta ciencia se ha evolucionado notablemente, ya que a partir de los instrumentos
proporcionados por Von Neumann y Morgenstern se comenzó a progresar en el
conocimiento de la competencia imperfecta, porque hasta entonces solo tenían
explicación “juegos” particularmente simples, como el monopolio o la competencia
perfecta, ya que el monopolio puede ser tratado como un juego con un único jugador, y la
competencia perfecta puede ser entendida teniendo en cuenta un número infinito de
jugadores, de manera que cada agente individual no puede tener un efecto sobre
agregados de mercado si actúa individualmente.
La Teoría de Juegos no ha tenido el mismo impacto en la ciencia política que en
economía. Tal vez esto se deba a que la gente se conduce menos racionalmente cuando lo
que está en juego son ideas que cuando lo que está en juego es su dinero. Sin embargo, se
ha convertido en un instrumento importante para clarificar la lógica subyacente de un
cierto número de problemas más paradigmáticos.
Los especialistas en Teoría de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por
qué incluso el individuo más egoísta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con
sus vecinos en una relación a largo plazo redundará en su propio interés ilustrado.
Con este fin estudian los equilibrios de juegos con repetición (juegos que los mismos
jugadores juegan una y otra vez). Pocas cosas han descubierto en esta área hasta el
presente que hubieran sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos años
articuló los mecanismos esenciales. Estas ideas, sin embargo, están ahora firmemente
basadas en modelos formales. Para avanzar más, habrá que esperar progresos en el
problema de la selección de equilibrios en juegos con múltiples equilibrios. Cuando estos
progresos se den, sospecho que la filosofía social sin Teoría de Juegos será algo
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inconcebible y que David Hume será universalmente considerado como su verdadero
fundador.
La teoría de juegos ha venido desempeñando, en los últimos tiempos, un papel cada
vez mayor en los campos de lógica y ciencias informáticas. Varias teorías de lógica se
basan en la semántica propia a los juegos, e informáticos ya han utilizado juegos para
representar computaciones.
El dilema del prisionero, tal y como fue popularizado por el matemático Albert W.
Tucker, proporciona un ejemplo de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real.
1.3 Conceptos fundamentales.
En la teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el
que toman parte n individuos o grupos (conocidos como los jugadores). Hay ciertas
reglas del juego que dan las condiciones para que este comience, o sea, se supone un
consenso mínimo de los participantes, las posibles jugadas legales durante las distintas
fases del juego, el número total de jugadas que constituye una partida completa y los
posibles resultados cuando la partida finaliza.
1.3.1 Estrategias. Tipos de estrategias.
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su
elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones
completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explica antes de que comience
el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del
juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir
movimientos aleatorios.
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Una estrategia es la lista de opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento
del juego. Una estrategia, teniendo en cuenta todas las posibles jugadas, es un plan que no
se puede alterar, pase lo que pase en la partida.
Una buena estrategia debe ser:
capaz de alcanzar el objetivo deseado
debe realizar una buena conexión entre el entorno y los recursos de una
organización y competencia; debe ser factible y apropiada
capaz de proporcionar a la organización una ventaja competitiva; debería ser
única y mantenible en el tiempo.
dinámica, flexible y capaz de adaptarse a las situaciones cambiantes.
suficiente por sí misma
Estrategias reactivas: son las que se adoptan en los juegos con repetición y se definen en
función de las decisiones previas de otros jugadores.
El ejemplo más conocido es la estrategia OJO POR OJO (en inglés TIT FOR TAT). Se
definió como una estrategia colaboradora, dispuesta siempre a pactar, pero justiciera. Si
la otra parte le traicionaba una vez, devolvía exactamente la misma medida, otra traición,
pero sólo una vez. Era por tanto capaz de perdonar. Generaba confianza, era justiciera,
pero no rencorosa y obtenía buenos resultados (o no peores) cualquiera que fuese su
oponente.
Otra posible estrategia reactiva es la TORITO (también llamada "GALLITO" en inglés
"BULLY"). Esta estrategia consiste en hacer lo contrario que haga el oponente: "Si el
otro jugador es leal en una jugada, yo le traicionaré en la siguiente; si el otro jugador me
ha traicionado, yo le seré leal a la siguiente oportunidad".
Estrategia analítica: es un modo de identificar y moverse hacia estados futuros
deseados. Es el proceso de desarrollo e implementación de planes para alcanzar
propósitos y objetivos. La planificación estratégica se aplica sobre todo a asuntos
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militares (donde se llama estrategia militar) y en actividades de negocios. Dentro de los
negocios se usa para proporcionar una dirección general a una compañía (llamada
dirección estratégica) en estrategias financieras, estrategias de desarrollo de recursos
humanos u organizativas, en desarrollos de tecnología de la información y crear
estrategias de marketing para enumerar tan solo algunas aplicaciones. Pero también
puede ser utilizada en una amplia variedad de actividades desde las campañas electorales
a competiciones deportivas y juegos de estrategia como el ajedrez. También se considera
la planificación estratégica de una forma genérica de modo que su contenido puede ser
aplicado a cualquiera de estas áreas.
Estrategia dominante: es aquella elección que realiza el jugador independientemente de
lo que haga el otro. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de
estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede
predecir el resultado del juego.
Estrategia mixta: Es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez,
según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene
tales elementos de azar.
1.3.2 Resultados de los juegos.
El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina
resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado
que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel
que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún
jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de
estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las
otras.
1.3.3 Jugada.
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Una jugada o movimiento es cómo progresa el juego de una fase a otra, comenzando
con la posición inicial hasta el último movimiento. Las jugadas pueden ser alternativas
entre los distintos jugadores de una manera determinada o pueden ser simultáneas, y son
el producto de una decisión personal o del azar; en este segundo caso, un cierto objeto
como un dado, una tarjeta con instrucciones o una ruleta genera una determinada jugada,
cuya probabilidad se puede calcular.
1.3.4 Ganancia.
La ganancia o resultado, designa lo que sucede cuando una partida termina. En algunos
juegos, como el ajedrez o las damas, el resultado puede ser tan sencillo como declarar un
ganador o un perdedor. En el póquer y otros juegos con apuestas, la ganancia suele ser
dinero, cuya cantidad viene determinada por el dinero que cada jugador apuesta y por el
número de veces que un cierto jugador gana durante el curso de la partida.
1.3.5 Racionalidad.
Racionalizabilidad: es la forma que se comporta alguien bayesiano-racional cuando ha
de tomar una decisión en situaciones donde el resultado de la decisión a tomar depende
de sucesos inciertos para quien ha de tomarla. El o ella actúan como si dispusiera de una
medida de probabilidad subjetiva a los sucesos de los que no está seguro.
1.3.6 Formas normal y extensa.
Una de las diferencias más importantes al estudiar los juegos es que están dados en
forma normal o extensa. Se dice que un juego está en su forma extensa si es definido por
un conjunto de reglas que fijan las posibles jugadas en todo momento, incluyendo que
jugador tiene que mover, la probabilidad de cada opción si las jugadas se han de hacer de
forma aleatoria y el conjunto de resultados finales que relaciona una ganancia o resultado
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particular con cada una de las posibles maneras de terminar el juego. Además se asume
que cada jugador tiene un conjunto de preferencias para cada jugada, en anticipación de
los posibles resultados, para procurarse la máxima ganancia o las mínimas pérdidas. Un
juego en su forma extensa contiene, no solo una lista de reglas que controlan la actividad
de cada jugador, sino también la pauta de preferencias de cada uno de ellos. Algunos
ejemplos son juegos muy conocidos como las damas, tres en raya y cualquier juego de
azar con cartas o fichas como el gin rummy, el tute que se juega con baraja española, y el
dominó.
Debido a la enorme cantidad de estrategias que aparecen incluso en el más sencillo de
los juegos en forma extensa, la teoría de juegos utiliza las llamadas formas normalizadas
de los juegos con las que se pueden llevar a cabo cálculos completos. Se dice que un
juego está en su forma normal si la lista de todas las posibles ganancias o resultados de
cada jugador, con todas las posibles combinaciones de estrategias, viene dada para
cualquier secuencia de decisiones en el juego. Este tipo teórico de juego podría ser
jugado por cualquier observador neutral y no depende de la elección de estrategia por
parte del jugador.
1.3.7 Información completa.
Se dice que en un juego se tiene toda la información si cada uno de los jugadores que
toma parte conoce todas las posibles jugadas. Las damas y el ajedrez son dos juegos que
ofrecen total información, mientras que el póquer, el bridge y el mus son juegos donde
los jugadores solo disponen de parte de la información.
1.3.8 La elección con riesgo.
Una decisión es tomada con riesgo cuando cada elección conduce a un conjunto de
posibles resultados, cada uno de los cuales ocurre con una probabilidad conocida por el
que toma la decisión. E1 problema de la elección con riesgo surgió con el análisis de las
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juegos equitativos. Las elecciones de un individuo dependen de sus preferencias, en cuyo
caso no se impone otro criterio que el de máximo beneficio.
1.3.9 Elección con certeza.
Tomamos una decisión con certeza cuando se sabe que toda acción ejecutada conduce
a un determinado y específico resultado. Las principales decisiones en el terreno de la
economía, de la psicología, de 1as ciencias experimentales y de los negocios tienen por
base el conocimiento cierto de 1os hechos.
Tomar una decisión con certeza quiere decir, en síntesis, lo siguiente:
Dado un conjunto de posibles alternativas representadas cada una por una variable,
elegir aquella que conduce a un óptimo. Hasta hace muy poco la técnica se reducía a la
obtención de rnáximos y mínimos de funciones clásicas no lineales y al cálculo de
variaciones.
1.3.10 Incertidumbre.
El término incertidumbre se entiende como duda, ambigüedad, cuestionable,
problemático, no seguro.
La incertidumbre puede manifestarse de diversas formas y ser provocada por diferentes
causas, que se relacionan como sigue:
• Información o conocimiento impreciso.
• Información incompleta.
• Conceptos o palabras inexactas.
• Agregación de la información desde múltiples fuentes.
• Relación de causa y efecto no absoluta.
25
La primera de estas causas se refiere al hecho de tener que hacer inferencias a partir,
por ejemplo, de datos de los cuales no estamos completamente seguros.
La segunda causa es motivada porque simplemente no se tiene toda la información o
resulta muy costosa obtenerla o considerarla. La incompletitud de la información puede
ser provocada por no tener acceso a todos los datos relativos a las variables del problema
o por que sea muy voluminosa la cantidad de datos a considerar y en la práctica no se
pueden usar todos.
La tercera causa se refiere a conceptos imprecisos, no claros que han sufrido algún
cambio.
1.4 Teoría de Juegos y el teorema del punto fijo.
El teorema del punto fijo es establecido en 1910 por el matemático Jan Brower. Este
teorema comprueba que toda función continua y acotada que solo toma valores finitos
admite al menos un punto fijo.
Teorema: Sea F una función continua en [a; b] acotada, entonces la ecuación x=F(x)
tiene al menos una solución en el intervalo [a; b]. Esta solución se le denomina punto
fijo.
Von Newmann es el primero en establecer un nexo entre la noción de equilibrio y la
del punto fijo de una función, tal como se emplea en matemáticas; realmente de la misma
manera que un punto fijo x de una función f permanece constante mientras se le aplica la
función (el punto fijo es tal que (f(x) = x); un equilibrio “no se mueve”, es fijo, cuando
está sometido a distintas “fuerzas” de las cuales él es la resultante. De tal manera en una
situación de “juego” dónde los individuos toman decisiones, anticipándose a las de otros
agentes, hay equilibrio si sus anticipaciones son confirmadas en el momento en el cual las
decisiones de cada uno las conocen todos; ahora este equilibrio puede ser considerado
como un punto fijo de la función que hace corresponder las selecciones antes que las
26
decisiones “de los otros” sean conocidas a las selecciones -eventuales- después de que
estas han sido anunciadas.
Mediante el empleo de esta especie de analogía John Nash prueba en 1950, que todo
juego no cooperativo, es decir, aquél en el cual cada uno sólo se preocupa por sus propias
ganancias, admite al menos un equilibrio. Además, su demostración se apoya de manera
decisiva en el teorema del punto fijo
El procedimiento de Nash fue retomado y adaptado por los micro economistas que se
preguntaban sobre los equilibrios de sus modelos; en la medida en que el teorema del
punto fijo permite generalmente responder a una cuestión como aquella, se puede decir
que la microeconomía actual se construye de tal manera que se cumplan las hipótesis de
aquel teorema y se asegure en consecuencia la existencia de equilibrios. Esta explicación
vale particularmente para el modelo de Arrow-Debreu, que es el modelo básico para la
microeconomía.
1.5 Tipos de juegos.
Los juegos se clasifican en muchas categorías, ellas determinan qué métodos
particulares se pueden aplicar para resolverlos. De hecho, también cómo se define
“resolución” en una categoría particular.
En general, se pueden considerar seis clases de juegos:
1.5.1 Juegos individuales
1.5.2 Juegos de dos jugadores.
1.5.3 Juegos en forma extensiva (árbol).
1.5.4 Juegos en forma estratégica (normal).
1.5.5 Juegos en forma gráfica.
1.5.6 Juegos en forma de coalición.
27
Las tres clases de juegos que se ubican antes de la última se analizan en la teoría de
juegos no cooperativos y la última corresponde a los juegos cooperativos.
1.5.1 Juegos individuales.
Los juegos como los solitarios son juegos individuales donde no existe realmente un
conflicto de intereses. El único interés que interviene es el del propio jugador. En los
solitarios, sólo entra en juego el azar al barajar y al repartir las cartas. Los juegos
individuales, aunque pueden ser complicados e interesantes desde el punto de vista de la
probabilidad, no lo son desde la perspectiva de la teoría de juegos, pues no hay adversario
que tome decisiones estratégicas independientes que el jugador deba combatir.
1.5.2 Juegos de dos jugadores.
Los juegos de dos jugadores, o duales, incluyen la mayor parte de los juegos más
conocidos, como el ajedrez, las damas o juegos con dos parejas como el bridge y el
dominó. Los juegos con dos jugadores han sido estudiados ampliamente. La mayor
dificultad para extender los resultados de la teoría con dos jugadores a n jugadores es
predecir las relaciones entre los diversos jugadores. En casi todos los juegos para dos
personas, las decisiones y posibles resultados son bastante bien conocidos. Sin embargo,
cuando hay tres o más jugadores, aparecen interesantes, aunque complicadas,
oportunidades de coalición, cooperación y confabulación.
1.5.3 Juegos en forma de árbol.
En la Figura 1 se tienen dos jugadores 1 y 2 que participan en el siguiente juego: En
primer lugar el jugador 1 decide ir a la izquierda I ó a la derecha D. Entonces el jugador 2
decide ir a la derecha ó a la izquierda
28
Figura 1 Juego en forma extensiva
Analicemos como deben jugar 1 y 2.
El jugador 2, teniendo en cuenta los pagos que recibiría al terminar el juego, debe
elegir la siguiente estrategia: si el jugador 1 elige I, ir a la derecha eligiendo d1; y si el
jugador 1 elige D; elegir i2: Esta estrategia se denotará d1 i2: El jugador 1 conoce el árbol
y los pagos, luego puede anticipar la conducta del jugador 2 y debe elegir D.
El par de estrategias (D; d1 i2) da lugar a un escenario en el que el jugador 1 recibe 4 y
el jugador 2 recibe 8.
¿Puede alguno de los jugadores mejorar sus pagos?
1.5.4 Juegos en forma estratégica.
En el ejemplo que estamos analizando, el jugador 1 tiene dos estrategias I y D;
mientras que el jugador 2 tiene cuatro estrategias dadas por:
i1 i2, i1 d2, d1 i2, d1 d2
Podemos representar los pagos en la siguiente matriz, cuyas entradas son los vectores
de pagos,
29
i1 i2 i1 d2 d1 i2 d1 d2
I (5; 1) (5; 1) (3; 2) (3; 2)
D (4; 8) (6; 3) (4; 8) (6; 3)
Las matrices de pago para los jugadores 1 y 2 respectivamente,
El par de estrategias (D; d1 i2) es un equilibrio de Nash porque ninguna desviación
unilateral de los jugadores permite mejorar sus pagos, dados por (4; 8)
Definición 1: Sea N = {1,2,…., n} un conjunto de jugadores. Un juego estratégico de n
personas se representa por = {(Xi) i N, (Ki) i N,}, donde Xi es el espacio de estrategias
del jugador i, y ki:Ni∈
∏ xi ℜ→ es la función de pagos del jugador i.
Cada combinación estratégica x Ni∈
∏ Xi se denomina un escenario ó resultado del
juego. Dados un escenario x = (x1,;: : : ; xn) y una estrategia y Xi del jugador i, se denota
por (x-i; y) el escenario obtenido de x reemplazando su i-ésima componente xi por y.
Usándose esta notación se define el concepto más importante de la teoría de juegos no
cooperativos.
1.5.4.1 Equilibrio de Nash.
A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de
estrategias, que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por
las ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas
puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin
embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son
30
comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumento
de ganancias para unos y una baja para otros.
Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los
participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se puede
calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las salidas y las
combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le acuerda un estatuto
privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a
uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nash estableció un importante
resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se habla entonces de la
existencia de equilibrios de Nash.
Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que
está en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un
cambio unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y
sin que ello tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde.
En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial,
en tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada
cual para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se
pueda mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de
varios jugadores.
El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de
alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una
combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que
puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede
considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador
interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.
31
Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite
un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la
“solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por
una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash.
Definición 2: Un escenario x* = (x1*; : : : ; xn
*) es un equilibrio de Nash del juego =
{(Xi) i N, (Ki) i N,}, si para todo jugador i N, y para toda estrategia xi Xi se cumple
Ki(x-i*, xi) Ki (xi
*)
Definición 3 (Equilibrio de Nash): Todo juego no cooperativo, tiene como mínimo un
punto de equilibrio en estrategias combinadas denominadas equilibrio Nash.
1.5.4.2 Importancia y límites del equilibrio de Nash.
El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de
alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una
combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que
puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede
considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador
interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.
Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite
un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la
“solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por
una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash, como se
constata en este ejemplo de dos que han propuesto diferentes normas para e cambio de
una propuesta dentro de la economía. En efecto, la pareja de estrategias:
(A adopta la norma A, B adopta la norma A)
32
es un equilibrio de Nash del modelo en tanto A evidentemente no tiene interés de cambiar
de estrategia habida cuenta la elección de B; este tampoco ya que la coexistencia de dos
normas diferentes es el caso más desfavorable para las dos empresas.
Ahora, la pareja de estrategias:
(A adopta la norma B, B adopta la norma B)
es de igual manera un equilibrio de Nash, como se puede verificar de manera inmediata.
Ninguno de estos dos equilibrios aparece como una solución evidente porque A prefiere
la primera ya que impone su norma y B la segunda, por iguala motivo. Se deduce la
posibilidad de que cada uno escoja producir según su propia norma, pensando que el otro
lo seguirá, con el resultado de una salida que no es de equilibrio, pues es mala para todos.
1.5.4.3 Estrategia maximin.
En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental el supuesto de racionalidad de los
agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se comporta racionalmente, podría
tener sentido que adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que se maximiza
la ganancia mínima que puede obtenerse.
Se considera un juego de suma cero cuando lo que gana un jugador coincide con lo que
pierde el otro. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos
como A, B, y C (se supone que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios
o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según las
estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada
matriz de pagos, en la que para cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos
jugadores suman diez.
33
Matriz de Pagos
Estrategias del otro jugador
A B C
A 9 | 1 1 | 9 2 | 8
B 6 | 4 5 | 5 4 | 6Mi
Estrategia C 7 | 3 8 | 2 3 | 7
Por ejemplo, si el lector juega la tarjeta C y el otro jugador juega la tarjeta B, entonces
el lector recibe ocho monedas y el otro jugador recibe dos.
Para descubrir qué estrategia es más conveniente para el lector, se analiza la matriz que
indica sus pagos. Se ignora cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro
jugador. Una forma de analizar el juego para tomar por el lector la decisión consiste en
mirar cuál es el mínimo resultado que puede obtener con cada una de sus cartas. En la
siguiente tabla se ha añade una columna indicando los resultados mínimos.
Matriz de Pagos
Estrategias del otro jugador
A B C Mínimos
A 9 1 2 1
B 6 5 4 4Estrategias
del lector C 7 8 3 3
En efecto,
• Si el lector elige la tarjeta A, puede obtener 9, 1 ó 2, luego como mínimo obtiene
1.
• Si el lector elige la tarjeta B, puede obtener 6, 5 ó 4, luego como mínimo obtiene
4.
• Si el lector elige la tarjeta C, puede obtener 7, 8 ó 3, luego como mínimo obtiene
3.
34
De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiere el lector es 4, ya que es el
máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que
esa estrategia le garantiza que como mínimo obtendrá 4.
¿Podemos prever la estrategia del otro jugador? Supongamos que el otro jugador
quiere elegir también su estrategia MAXIMIN. Mostramos ahora sólo los pagos
asignados al otro jugador en los que destacamos el pago mínimo que puede obtener para
cada una de sus estrategias. Subrayamos el máximo de los mínimos y su estrategia
maximin.
Matriz de pagos al otro jugador
Estrategias del otro jugador
A B C
A 1 9 8
B 4 5 6Mi
Estrategia C 3 2 7
mínimos 1 2 6
En efecto,
• Si él elige A, su peor resultado sería si yo elijo A con lo que yo obtendría 9 y él 1.
• Si él elige B, su peor resultado sería si yo elijo C con lo que yo obtendría 8 y él 2.
• Si él elige C, su peor resultado sería si yo elijo B con lo que yo obtendría 4 y él 6.
Su estrategia MAXIMIN consiste por tanto en jugar la carta C con lo que se garantiza
que, al menos, obtendrá 6.
Éste es un juego con solución estable. Ninguno de los jugadores siente la tentación de
cambiar de estrategia. Supongamos que se empieza a repetir el juego una y otra vez. Yo jugaré
siempre mi estrategia maximin (B) y el otro jugará siempre su estrategia maximin (C). Cada uno
35
sabe lo que jugará el otro la siguiente vez. Ninguno estará tentado de cambiar su estrategia ya
que el que decida cambiar su estrategia perderá. Se llama punto de silla al resultado en el
que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores. No todos los juegos tienen un
punto de silla, una solución estable.
No todos los juegos tienen un punto de silla, una solución estable. La estabilidad del
juego anterior desaparece simplemente trastocando el orden de las casillas BB y BC:
Matriz de mis pagos
Estrategias del otro jugador
A B C
A 9 1 2
B 6 4 5Mi
Estrategia C 7 8 3
Matriz de pagos del otro jugador
Estrategias del otro jugador
A B C
A 1 9 8
B 4 6 5Mi
Estrategia C 3 2 7
En esta nueva tabla mi estrategia maximin sigue siendo la B y la estrategia maximin
del otro jugador sigue siendo la C. Pero la solución ahora ya no es estable. Si jugamos
repetidas veces y yo repito la estrategia maximín, B, el otro estará tentado de cambiar su
estrategia, pasando de la C a la B con lo que obtendrá un pago mayor, 6 en vez de 5.
Claro que si el otro empieza a elegir sistemáticamente la estrategia B yo preferiré
cambiar mi estrategia a la C para así obtener 8. Entonces el querrá volver a su estrategia
C y así sucesivamente.
36
1.5.5 Juegos en forma gráfica.
Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no
cooperativo. Este consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un conjunto
U = {1; 2;:::; u} de escenarios, una familia de grafos dirigidos Di = (U; Ai) para cada
jugador i N, y una familia de funciones de pago Ki: U ℜ→ , i N.
El modelo se completa definiendo el conjunto de movimientos que un jugador puede
realizar para cambiar (unilateralmente) de escenario y así obtener los grafos dirigidos Di.
Dado que en el juego el objetivo es aumentar los pagos que recibe el jugador, se tienen
las siguientes definiciones:
Dado un escenario g y un jugador i, el conjunto de los escenarios que el jugador puede
alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si(g). Si además, i recibe un pago
estrictamente mayor, los escenarios de mejora unilateral para i son:
Si+(g) = {q Si(g) : Ki(q) Ki(g)}
Se introduce a continuación los conceptos de estabilidad y equilibrio.
Definición: a) Un escenario g U es estable Nash para el jugador i si Si+(g) = .
b) Un escenario g U es secuencialmente estable para el jugador i si para cualquier g1
Si*(g) existe al menos un escenario gx-i SN
+(g1) con Ki Ki(g).
Definición: Un equilibrio de Nash es un escenario que es estable Nash para todos los
jugadores. Un equilibrio secuencial es un escenario que es secuencialmente estable para
todos los jugadores.
1.5.6 Juegos en forma coalicional.
37
Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse
cumplir. La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles.
La plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.
Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo antes de los pagos,
la problemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la
posibilidad de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea
estable y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para
que ninguno de ellos esté interesado en romper la coalición.
Juego 1: Se comienza con el ejemplo más sencillo. Sean tres jugadores, Ana, Benito y
Carmen, tienen que repartirse entre sí cien pesos. El sistema de reparto tiene que ser
adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro
posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de
repartir los pagos entre los tres jugadores.
1. Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33.
2. Benito puede proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50.
3. Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede
proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66.
4. A Benito es posible que se le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.
El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna
coalición estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta
alternativa que mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.
Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta
de coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que
ninguno de los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper
el acuerdo.
38
Juego 2: Se modifica ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" se considera que
hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las
posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.
En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0.
Ese reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana
estarán a favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella
obtenga menos de 100 pesos y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición
vencedora.
Definición: Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que
puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las
decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una
coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.
En el Juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del
juego para Ana es cien pesos, para Benito y Carmen cero pesos.
Juego 3: Se tiene un ejemplo de un país suramericano. Se supone que en un municipio
donde cinco partidos políticos se han presentado a las elecciones: el Partido Austero
(PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el Partido Democrático (PD)
y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido el siguiente número de
concejales:
Partidos Concejales
PA 11
PB 8
PC 5
PD 2
PE 1
39
Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme
una coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520
millones de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las
responsabilidades del ayuntamiento a los diferentes partidos. En las negociaciones se
debe acordar el reparto del presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Se
supone que no hay simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y
responsabilidades son valorados exclusivamente según el presupuesto económico que
controlan. Se supone, para simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles
las traiciones internas.
Análisis del juego 3. Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora
debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego 2, no hay ningún jugador
imprescindible para ganar. Si se utiliza la definición anterior, el valor del juego para
todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición
vencedora.
Definición 6: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una
propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El
criterio consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de
coaliciones potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no
redundante.
Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para que esa
coalición resulte vencedora.
Propuesta arbitral de Shapley para el juego 3.
Como hay cinco partidos políticos, las posibles coaliciones son 31. De ellas, 16 son
vencedoras. Las coaliciones perdedoras están en rojo. En las coaliciones vencedoras se
han marcado en azul los jugadores redundantes.
40
ABCDE
ABCD
ABCE
ABDE
ACDE
BCDE
ABC
ABD
ACD
BCD
ABE
ACE
BCE
ADE
BDE
CDE
AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE A
B
C
D
E
Por tanto:
• A no es redundante en 10 coaliciones vencedoras.
• B no es redundante en 6 coaliciones vencedoras.
• C no es redundante en 6 coaliciones vencedoras.
• D no es redundante en 2 coaliciones vencedoras.
• E no es redundante en 2 coaliciones vencedoras.
Si se formara un "gobierno de concentración", una coalición de todos los partidos,
podríamos repartir el presupuesto de 520 millones de euros en proporción al valor de
Shapley obteniendo los siguientes valores para cada uno de los partidos:
A= 200; B= 120; C= 120; D= 40; E= 40
En cualquier coalición formada por menos de cinco partidos, ninguno de los
coaligados debería aceptar un presupuesto inferior al indicado. Sea cual sea la coalición
vencedora que se forme, el presupuesto puede ser repartido conforme al criterio del valor
de Shapley.
41
Obsérvese que la propuesta de arbitraje de Shapley no conduce a una solución única ni
absolutamente estable. Sigue habiendo varias soluciones posibles. Pero en cualquier
coalición que se forme, si el reparto se hace conforme al criterio de Shapley, no habrá una
coalición alternativa más estable que ofrezca a los jugadores un pago superior.
1.6. Juegos bipersonales de suma nula.
En los juegos de suma nula o cero el beneficio total para todos los jugadores, en cada
combinación de estrategias, siempre suma cero, es decir, un jugador se beneficia
solamente a expensas de otros. El póker o el ajedrez son ejemplos de juegos de suma
cero, porque un jugador gana exactamente la cantidad que pierde su oponente. Por tanto,
un juego en forma estratégica = {(Xi) i N∈ , (Ki) i N∈ ,}, es un juego de suma cero si
∑∈
=Ni
iK 0 .
Un juego de dos personas se denota con (X, Y, K, L); donde las estrategias son
X={1;2;:::m} e Y ={1;2;:::n}, Entonces este juego bipersonal se puede representar
mediante una matriz m×n cuyas entradas son vectores de ℜ2 ,
K(1, 1), L(1, 1) --- K(1, n), L(1, n)
--- --- ---
K(i, 1), L(i, 1) --- K(i, n), L(i, n)
--- --- ---
K(m, 1), L(m, 1) --- K(m, n), L(m, n)
Las filas (columnas) corresponden a las m (n) estrategias del jugador 1 (2). En el caso
bipersonal sea de suma nula, tenemos L = -K, y se representa con la matriz
(K (i, j)).
m
n
42
A continuación un ejemplo de un juego bipersonal de suma nula para introducir los
principales conceptos.
El jugador I elige una carta de un mazo de tres cartas numeradas 1, 2, 3. El jugador II
intenta adivinar la carta que ha elegido el jugador I. Después de cada conjetura el jugador
I informa al II diciéndole alto, bajo ó correcto, dependiendo de la conjetura de I. El juego
termina cuando el jugador II acierta la carta y paga al jugador I una cantidad igual al
número de tentativas que ha hecho. En el siguiente juego I y II intercambian sus papeles.
Las estrategias del jugador I son X = { , , }, donde ¿ es elegir la carta 1, ¿ es elegir la
carta 2 y ¿ es elegir la carta 3.
Las estrategias del jugador II (excluyendo algunas tontas) son Y = {a; b; c; d; e}, dadas
por:
a: Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo decir bajo,
decir 3.
b: Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 3 en la siguiente ronda. Si dice alto, decir 2.
c: Decir 2, si el oponente dice bajo, decir 3; si dice alto, decir 1.
d: Decir 3, si el oponente dice alto, decir 1 en la siguiente ronda. Si después dice bajo,
decir 2.
e: Decir 3, si el oponente dice alto, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo dice alto,
decir 1.
La matriz de pagos de este juego es:
43
a b c d e
1 1 2 2 3
2 3 1 3 2
3 2 2 1 1
Definición: un par de estrategias (i*; j*) para una matriz de pagos K = {K(i; j)} es un
punto de silla si K(i; j*) K(i*; j*) K(i*; j), ∀ i, ∀ j.
Si existe, un punto de silla K (i*; j*) es el pago seguro que tiene el jugador I contra la
elección racional del jugador II (que busca minimizar el pago a I). En general, una matriz
no tiene puntos de silla y si existe alguno, no necesariamente es único. Si K (i*; j*) es un
punto de silla, entonces se verifica:
K(i*; j*) = maxi minj K(i; j) = mini maxi K(i; j)
El juego de adivinar la carta numerada no tiene punto de silla porque:
maxi minj K(i; j) = 1
mini maxi K(i; j) = 2
Cuando un juego no tenga puntos de silla, es posible elegir estrategias mixtas,
obteniendo un nuevo juego, denominado extensión mixta. Las estrategias mixtas
consisten en una combinación de varias estrategias escogidas al azar, una cada vez, según
determinadas probabilidades.
Para un juego m×n matricial A = (aij), el conjunto de estrategias mixtas para el jugador
I es:
44
Cada categoría mixta x = (x1,x2,…,xm) m consiste en jugar la estrategia de la fila i
con probabilidad xi: De manera análoga, las estrategias mixtas para el jugador II son:
Definición: Sea A un juego matricial n×m. Entonces, la extensión mixta de A es el juego
infinito ( m, n, K, L); definido mediante:
L(x, y) = -K(x, y)
Teorema (von Neumann): Sea A un juego matricial n×m. Entonces, existen un par de
estrategias mixtas (x*, y*) m n tales que:
K(x*; y*) = max m min n K(x; y) = min n max m K(x; y)
La existencia de estrategias mixtas óptimas no nos da un método para calcularlas. El
teorema minimax. También puede probarse usando programación lineal, lo que permite
obtener un algoritmo eficiente mediante el método del simplex.
1.7. Juegos bipersonales de suma no nula
En los juegos de suma no cero la ganancia de un jugador no necesariamente se
corresponde con la perdida del otro. La mayoría de ejemplos reales en negocios y política
corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de
suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor a laque tendría si no
45
se hubiera dado el negocio. El dilema del prisionero es un claro ejemplo de juego de
suma no cero.
1.8. Modelos más importantes.
Dilema del Prisionero.
El Dilema del Prisionero (Prisoner's dilemma) es un modelo de conflictos muy
frecuentes en la sociedad que ha sido profundamente estudiado por la Teoría de Juegos.
El planteamiento:
Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no
pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del
banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Sólo tiene pruebas
y puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos
años de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si
proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco, pero ellos han prometido
no delatarse.
Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de
pagos. La estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar
pruebas para acusar al compañero. Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa.
Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que
es condenado el preso X o Y respectivamente según las estrategias que hayan elegido
cada uno de ellos.
Para que una matriz de pagos represente un”dilema del prisionero” deben concurrir las
siguientes circunstancias:
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a) Confesar uno sólo debe ser mejor para él que no confesar mutuamente.
b) No confesar mutuamente debe ser e su vez mejor que confesar ambos.
c) Cuando cada uno elige una estrategia diferente, confesar y no confesar, la ganancia
media entre estas dos estrategias no puede ser mejor que las estrategias de confesar
ambos.
El Razonamiento de los sospechosos:
Consideremos al prisionero X. Supongamos que cree que el prisionero Y respeta sus
promesas anteriores y no confiesa. Si el prisionero X confiesa, se reduciría su pena a un
año, lo que es preferible a la opción de no confesar, que acarrea un de condena (dado que
el otro prisionero no confiesa). Si por el contrario, cree que el prisionero Y va a confesar,
no importando sus promesas anteriores, confesar le da 5 años de cárcel, lo que es mejor
que cargar con todas las culpas y 10 años de cárcel al no confesar.
Por lo tanto, no importando lo que haga el prisionero Y, el prisionero X está mejor
confesando: es su estrategia dominante. Lo mismo ocurre con el prisionero Y, por lo que
el único equilibrio en estrategias dominantes es aquel en que ambos prisioneros
confiesan. Es notable que a pesar que cooperando les hubiera ido mejor, ambos confiesan
y terminan peor.
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El dilema del prisionero es un juego de enorme importancia. Proporciona una
explicación para las dificultades para establecer la cooperación entre agentes económicos.
Tiene aplicaciones en pesquería, donde la falta de respeto a los compromisos de restringir
la pesca puede llevar a sobreexplotación del recurso. El dilema del prisionero también es
relevante en la formación de carteles (acuerdos entre firmas) para subir los precios, ya
que las firmas se ven tentadas a vender más de lo acordado a los altos precios que
resultan de los carteles, lo que reduce los precios. El dilema del prisionero muestra las
dificultades para establecer la colaboración en cualquier situación en la que hacer trampa
beneficia a las partes.
El Análisis del dilema:
1) La toma de decisión no es unilateral sino que se basa en el cálculo de las intenciones
del otro participante. En este tipo de situaciones, es mandatorio tomar en cuenta la
reacción del contendor.
2) El máximo beneficio del dúo es pasar sólo dos años presos lo que exige que ambos
permanezcan callados. Pero la mutua desconfianza, no los deja tomar esta decisión. Esta
opción les resulta irracional.
3) La solución no maximizadora ambos confiesan luce la más racional, pero al actuar
racionalmente, salen perjudicados: 5 años presos.
Implicaciones del dilema:
1) En la teoría económica neoclásica sólo importa mi estrategia frente al mercado, sin
tomar en cuenta la interacción con los participantes. Mientras que en la teoría de juego, es
esencial el elemento de interacción directa entre los participantes.
2) La teoría económica se basa en el comportamiento racional de los agentes, no obstante,
no siempre las interacciones con otros agentes se presta para que actuemos
racionalmente.
48
3) A veces actuando de modo irracional es cuando obtenemos el máximo beneficio. Esto
parece estar en concordancia con algunas experiencias de mercado, donde al invertir
racionalmente, salimos…. un poco magullados.
4) La teoría de juegos presenta un marco teórico útil a la hora de decidir sobre
inversiones y/ó especulación.
La aplicación de la estrategia maximín conduce en este juego a un resultado
subóptimo. Al no conocer la decisión del otro preso, la estrategia más segura es
traicionar. Si ambos traicionan, el resultado para ambos es peor que si ambos hubieran
elegido la lealtad. Este resultado es un punto de equilibrio de Nash.
El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito, es un juego de suma no nula,
bipersonal, biestratégico y simétrico. Fue formalizado y analizado por primera vez por A.
W. Tucker en 1950. Es posiblemente el juego más conocido y estudiado en la teoría de
juegos. En base a él se han elaborado multitud de variaciones, muchas de ellas basadas en
la repetición del juego y en el diseño de estrategias reactivas.
Modelo Halcón Paloma.
En el lenguaje ordinario entendemos por "halcón" a los políticos partidarios de
estrategias más agresivas mientras que identificamos como "paloma" a los más pacifistas.
El modelo Halcón-Paloma sirve para analizar situaciones de conflicto entre estrategias
agresivas y conciliadoras. Este modelo es conocido en la literatura anglosajona como el
" hawk-dove" o el " chicken " y en español es conocido también como "gallina".
Dos vehículos se dirigen uno contra otro en la misma línea recta y a gran velocidad. El
que frene o se desvíe ha perdido. Pero si ninguno de los dos frena o se desvía. Este sería
un modelo halcón paloma.
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También se ha utilizado este modelo abundantemente para representar una guerra fría
entre dos superpotencias. La estrategia Halcón consiste en este caso en proceder a una
escalada armamentística y bélica. Si un jugador mantiene la estrategia Halcón y el otro
elige la estrategia Paloma, el Halcón gana y la Paloma pierde. Pero la situación peor para
ambos es cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia Halcón. El resultado puede
modelarse con la siguiente matriz de pagos:
Matriz de Pagos
Podemos observar las sutiles pero importantes diferencias de este modelo con el
Dilema del Prisionero. En principio la matriz es muy parecida, simplemente se han
trocado las posiciones de los pagos 3º y 4º, pero la solución y el análisis son ahora muy
diferentes.
Aquí hay dos resultados que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas
por cada jugador son diferentes; es decir, cuando uno elige halcón y el otro paloma. Por
el contrario, en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que
ambos jugadores traicionan.
Otra notable diferencia de este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el
orden en que los jugadores eligen sus estrategias. Como tantas veces en la vida real, el
primero que juega, gana. El primero elegirá y manifestará la estrategia Halcón con lo que
el segundo en elegir se verá obligado a elegir la estrategia Paloma, la menos mala.
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Modelo La Guerra de los Sexos
El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la
teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana.
Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles
estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".
Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente:
1. (Lo más preferido) EL y ELLA eligen Fútbol.
2. EL y ELLA eligen Discoteca.
3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4. (Lo menos preferido) El elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:
1. (Lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.
2. EL y ELLA eligen Fútbol.
3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4. (Lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
La matriz de pagos es la siguiente, donde los pagos representan el orden de
preferencias:
Matriz de Pagos
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Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de
utilidad. Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar
decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores.
Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es
posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te
pago la entrada").
El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de
coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no
sea óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximín el pago que
recibirán (3\3) es subóptimo. Esa solución, no es un punto de equilibrio de Nash ya que
los jugadores están tentados de cambiar su elección: cuando ELLA llegue a la discoteca y
observe que ÉL se ha ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de estrategia para obtener
un pago mayor.
El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son
intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante
modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más
al mundo real. Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el orden de preferencias de ÉL
se invierten. EL prefiere ir solo al Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz
de pagos queda como sigue:
Matriz de Pagos
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Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las preferencias de ÉL, el problema de
coordinación desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la estrategia Fútbol, sea
cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Fútbol
también, ya que prefiere estar con ÉL aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea
en la Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores coincide. El resultado,
marcado con un asterisco, es un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un punto
de equilibrio de Nash. Obsérvese que esta solución conduce a una situación estable de
dominación social del jugador que podríamos calificar como el más egoísta.
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2. La Teoría de Juegos en la enseñanza.
El profesor de matemáticas sabe, por experiencia, que su trabajo es difícil de realizar.
También conoce, y de forma muy directa, que sus alumnos tienen dificultades para
aprender. Además, es consciente de que la sociedad desea que la escuela proporcione la
mejor formación matemática posible, es más, a la sociedad le gustaría que el aprendizaje
se realice de manera placentera o, cuando menos, no traumática.
Ante esta situación no resulta extraño que se celebren múltiples encuentros y debates,
tanto a nivel nacional como internacional, acerca de qué métodos y qué recursos son
necesarios para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
En este capítulo se recogen algunas reflexiones acerca de la utilización de juegos
educativos como recurso didáctico para la clase de matemáticas. En una primera parte se
hace referencia a los efectos que producen en los alumnos y en la segunda parte aparecen
tipos de juegos didácticos en la enseñanza de las matemáticas así como su utilización en
esta.
2.1 Algunas consideraciones previas.
Es un hecho constatable que hay personas de todas las edades pasando ratos muy
agradables participando en los llamados juegos de sociedad. También son muchas las
personas que aceptan gustosamente la resolución de actividades relacionadas con lo que
se conoce como 'matemática recreativa'. De otra parte, es un hecho comprobado la
existencia de una correlación entre las actitudes y el rendimiento en matemáticas.
De la unión de esos dos hechos y estando de acuerdo con Donovan Jonson:”El
desarrollo de actitudes positivas hacia las matemáticas es una tarea prioritaria del
profesor de matemáticas”, se podría deducir que la utilización de juegos favorecerá el
aprendizaje de las matemáticas.
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Seguidamente veremos la veracidad de tal aseveración, pero antes sería conveniente
llegar a una clarificación sobre lo que entendemos por juego. Para Martin Gadner
aparecen dificultades en llegar a una definición precisa: La idea de "juego" conlleva
muchos significados, enlazados entre sí un poco a la manera en que lo están los miembros
de una familia humana, significados que han ido concatenándose al tiempo que
evolucionaba el lenguaje. Se puede decir que los “juegos matemáticos” o las
“matemáticas recreativas” son matemáticas -no importa de qué tipo- cargadas de una
fuerte componente lúdica; pero poco se aclara así, porque las ideas de “juego”,
“recreación” y “lúdico” son aproximadamente iguales.
Más rigurosa es la definición que da Fetcher (1971) de juego, en la que se recogen las
características de los juegos bipersonales o multipersonales, pero en la que quedan fuera
los juegos individuales, los llamados juegos solitarios, que son muy abundantes y de gran
importancia en la Matemática, como refleja la abundante literatura existente sobre los
mismos.
Posteriormente, Bright, Harvey y Wheeler (1985) estudian la definición de Inbar y
Stoll (1970), y analizan los siguientes puntos de vista:
a) todas las alternativas posibles para un jugador en cualquier momento del juego pueden,
teóricamente, ser examinados por ese jugador;
b) Cada vez que se juega un juego, la secuencia de movimientos de un jugador y las de su
oponente son claramente diferentes y desconocidas de antemano para todos los
jugadores;
c) para que sea un juego la actividad debe finalizar tras un número finito de movimientos.
De esta manera complementan la definición de Inbar y Stoll y adoptan la siguiente
definición para los juegos de reglas:
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1. A un juego se dedica libremente.
2. Un juego es un desafío contra una tarea o un oponente.
3. Un juego se controla por un conjunto definido de reglas. Estas reglas abarcan todas las
maneras de jugar al juego.
4. Un juego representa una situación arbitraria claramente delimitada en el tiempo y en el
espacio desde la actividad de la vida real.
5. Socialmente las situaciones de los juegos son consideradas como de mínima
importancia.
6. El juego tiene una clara delimitación en el espacio y en el tiempo. El estado exacto
alcanzado durante el juego no es conocido a priori al comienzo del juego.
El juego, se define de acuerdo a las siguientes características:
1. Hay un conjunto de jugadores (dos o más).
2. Hay un conjunto de reglas que proporcionan pautas de comportamiento para los
jugadores.
3. El conjunto de posibles resultados está especificado o determinado.
4. Hay un conflicto de intereses entre los jugadores.
5. Cada jugador tiene una cierta capacidad de actuación (un conjunto de recursos) y un
modelo de preferencias entre las metas.
6. Hay un sistema de información.
7. Un juego termina después de un número finito de movimientos en el espacio-tiempo.
En adelante, esta es la definición de juego que utilizaremos puesto que, a nuestro
entender, es una definición formal tanto desde la psicología como desde la sociología.
De entre todos los juegos que se enmarcan en la definición anterior vamos a tratar de
aquellos que tienen unos objetivos instructivos o educativos, y a los que llamamos juegos
educativos.
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Por último, si los objetivos de un juego educativo corresponden a alguno de los
propósitos de la educación matemática se le llaman juegos educativos matemáticos o
juegos matemáticos. A partir de este punto llamaremos simplemente juegos a los juegos
educativos matemáticos.
2.2 Dos tipos de juegos.
Aunque no se pretende dar una clasificación de juegos, en nuestro trabajo sí ha
resultado útil distinguir los juegos por dos características diferenciadas:
1. Hay juegos cuya práctica exige a los jugadores que utilicen conceptos ó algoritmos
incluidos en los programas de matemáticas. Así, un jugador consume su turno haciendo
una multiplicación, o encontrando la solución de una ecuación, o calculando el área de
una figura plana, entre otras opciones. Es por ello, que a estos juegos se le denomina
juegos de conocimiento. Existen publicados o comercializados muchos juegos de este
tipo y su utilización puede efectuarse en diferentes etapas de aprendizaje. Se distinguen
tres niveles de aplicación de este tipo de juegos:
PRE-INSTRUCCIONAL. A través de estos juegos el alumno puede llegar a descubrir un
concepto o a establecer la justificación de un algoritmo. De este modo, el juego es el
único vehículo para el aprendizaje.
CO-INSTRUCCIONAL. El juego puede ser una más de las diferentes actividades que el
profesor utiliza para la enseñanza de un bloque temático. En este caso, el juego acompaña
a otros recursos del aprendizaje.
POST-INSTRUCCIONAL. Los alumnos ya han recibido enseñanza sobre un tema, y
mediante el juego se hacen actividades para reforzar lo que han aprendido. Por tanto, el
juego sirve para consolidar el aprendizaje.
57
2. Hay otros juegos cuya práctica exige poner en práctica habilidades, razonamientos o
destrezas directamente relacionadas con el modo en el que habitualmente proceden las
Matemáticas. Por ello, les llamamos juegos de estrategia. Hay unos que son personales o
solitarios (como el juego de la Bastilla), y en los que el jugador tiene que encontrar la
forma de resolverlo; otros son multipersonales (entre los que abundan los bipersonales,
como el tres en raya o el Nim), y en los que la tarea consiste en descubrir la existencia de
una estrategia que le permita ganar siempre a sus oponentes.
Este tipo de juegos es, sin duda, el que más interés ha despertado en los matemáticos
de todos los tiempos, habiéndose llegado a resultados importantes como es el caso del
teorema de E. Zermelo. De la búsqueda de soluciones de juegos han surgido ramas como
la teoría de grafos o la probabilidad.
Es más, hay una parte de la Matemática actual que se denomina Teoría de Juegos.
Desde el punto de vista de la enseñanza matemática señalemos que la búsqueda de
soluciones de juegos sirve para uno o más de los siguientes objetivos:
• Utilizar diferentes técnicas heurísticas, que ayudaran a la resolución de
problemas.
• Potenciar actitudes como las de auto-confianza, auto-disciplina o perseverancia en
la búsqueda de soluciones.
• Desarrollar habilidades como las de observación y comunicación.
• Apreciar la potencia y belleza de la argumentación matemática.
Además, algunos juegos permiten reforzar y desarrollar el conocimiento matemático
puesto que necesitan resolverse acudiendo a diferentes ramas de la Matemática. Por citar
algún caso digamos que es necesaria la aritmética. Para trabajar con cuadrados mágicos o
resolver problemas de pesadas; o que los juegos de adivinación se basan en la teoría
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elemental de números; o que otros juegos se resuelvan por medio de resultados
geométricos, topológicos, de teoría de grafos, de combinatoria, de probabilidad, de teoría
de grupos, entre otras.
2.3 Relación entre juego y matemáticas.
“… ¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta
capciosa que admite múltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemática
desde fuera, esta mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para
los más de entre los matemáticos, la matemática nunca deja totalmente de ser un juego,
aunque además de ello pueda ser otras muchas cosas.
El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maña físicas, el juego que tiene bien
definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy
frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes
a las que presenta el desarrollo matemático. Las diferentes partes de la matemática tienen
sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento
mutuo a través de las definiciones de la teoría. Las reglas válidas de manejo de estas
piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de razonamiento
admitidos como válidos en el campo. Cuando la teoría es elemental, estos no son muchos
ni muy complicados y se adquieren bien pronto, lo cual no quiere decir que el juego sea
trivial. Elemental quiere decir cerca de los elementos iniciales y no necesariamente
simples. Existen problemas elementales desproporcionadamente complicados con
respecto a su enunciado. Un ejemplo lo constituye el problema de averiguar el mínimo de
las figuras en las que una aguja unitaria puede ser invertida en el plano por movimientos
continuos. Cuando la teoría no es elemental es generalmente porque las reglas usuales del
juego se han desarrollado extraordinariamente en número y en complejidad y es necesario
un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. Son herramientas
muy poderosas que se han ido elaborando, cada vez más sofisticadas, a lo largo de los
siglos. Tal es, por ejemplo, la teoría de la medida e integral de Lebesgue en el análisis
superior.
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La matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de
estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las
reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa
a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar
sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar
más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente
debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna
idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear
alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema.
Por esto no es de extrañar en absoluto que muchos de los grandes matemáticos de
todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos, participando muy
activamente en ellos, y que muchas de sus elucubraciones, precisamente por esa peculiar
interrelación de juego y matemática, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado
lugar a nuevos campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática
profundamente seria…"
Nunca son los hombres más ingeniosos que en la invención de los juegos... Sería
deseable que se hiciese un curso entero de juegos tratados matemáticamente. Este párrafo
extraído de una carta escrita en 1715 por Leibnitz (1646-1716), es una buena muestra del
interés que siempre han demostrado los matemáticos por los juegos.
En realidad, analizar un juego y buscar su solución es una actividad que se asemeja
mucho a la manera en que trabajan los matemáticos. Es más, muchas personas piensan
que la Matemática es una disciplina que exige una tremenda seriedad, y, sin embargo, la
mayor parte de los matemáticos consideran que, además de otras cosas, la Matemática es
un apasionante juego, con muchas ramificaciones y con numerosas aplicaciones a otras
disciplinas.
Es ilustrativo en este sentido la opinión del gran matemático francés Jean Dieudonne
(1984), que expresa el quehacer matemático en los siguientes términos: cita nueve
60
décimas partes de las matemáticas, aparte de las que tienen su origen en necesidades de
orden práctico, consisten en la resolución de adivinanzas. En conclusión, se dice que los
problemas matemáticos poseen siempre un origen doble: por un lado están los problemas
surgidos de problemas técnicos y que se le plantean al matemático, quien los resuelve lo
mejor que puede o no los resuelve en absoluto; por otro lado se tienen los problemas de
pura curiosidad, los acertijos. Se puede concluir que hay una estrecha relación entre el
juego y las Matemáticas. Winter y Ziegler (1983) han establecido de manera esquemática
la correspondencia que hay entre los juegos de reglas y el pensamiento matemático las
cuales aparecen el la siguiente tabla:
Juegos Pensamiento matemático
Reglas del juego
Reglas de construcciones, reglas
lógicas.
Instrucciones, operaciones.
Situaciones iniciales Axiomas, definiciones, “lo
dado”.
Jugadas Construcciones, deducciones
Figuras de juegos Medios, expresiones, términos
Estrategia de juego
Utilización hábil de las reglas,
reducción de ejercicios cono-
cidos a fórmulas.
Situaciones resultantes
Nuevos teoremas, nuevos cono-
cimientos.
2.4 Efectos que pueden producir los juegos.
Una primera impresión que se ha recogido al practicar juegos con alumnos de
diferentes edades ha sido la de expectación inicial (por lo novedoso) y satisfacción
posterior (por el aspecto recreativo).
61
La matemática es, en gran parte, juego, y el juego puede, en muchas ocasiones,
analizarse mediante instrumento matemáticos. Pero, por supuesto, existen diferencias
substanciales entre la práctica del juego y la de la matemática. Generalmente las reglas
del juego no requieren introducciones largas, complicadas, ni tediosas. En el juego se
busca la diversión y la posibilidad de entrar en acción rápidamente. Muchos problemas
matemáticos, incluso algunos muy profundos, permiten también una introducción sencilla
y una posibilidad de acción con instrumentos bien ingenuos, pero la matemática no es
sólo diversión, sino ciencia e instrumento de exploración de su realidad propia mental y
externa y así ha de plantearse, no las preguntas que quiere, sino las que su realidad le
plantea de modo natural. Por eso muchas de sus cuestiones espontáneas le estimulan a
crear instrumentos sutiles cuya adquisición no es tarea liviana. Sin embargo, es claro que,
especialmente en la tarea de iniciar a los más jóvenes en la labor matemática, el sabor a
juego puede impregnar de tal modo el trabajo, que lo haga mucho más motivado,
estimulante, incluso agradable y, para algunos, aún apasionante. De hecho, como
veremos, han sido numerosos los intentos de presentar sistemáticamente los principios
matemáticos que rigen muchos de los juegos de todas las épocas, a fin de poner más en
claro las conexiones entre juegos y matemáticas. Desafortunadamente para el desarrollo
científico en nuestro país, la aportación cubana en este campo ha sido casi nula o nula.
Científicos y profesores se han tomado demasiado en serio su ciencia y su enseñanza y
han considerado ligero cualquier intento de mezclar placer con deber. Sería deseable que
nuestros profesores, con una visión más abierta y más responsable, aprendieran a
aprovechar los estímulos y motivaciones que este espíritu de juego puede ser capaz de
infundir en sus estudiantes.
Además de facilitar el aprendizaje de la matemática, el juego, debido a su carácter
motivador, es uno de los recursos didácticos más interesantes que puede romper la
aversión que los alumnos tienen hacia la matemática. Estas impresiones, que son
comunes a todos los profesores que han practicado juegos con sus alumnos, coinciden
con las opiniones de Martin Gadner (1975), uno de los mayores especialistas en la
recopilación y estudio de juegos matemáticos, quien señala “Siempre ha creído que el
mejor camino para hacer las Matemáticas interesante a alumnos y profesores es acercarse
62
a ellas en son de juego. En niveles superiores, especialmente cuando se aplican a
problemas prácticos, las matemáticas pueden y deben de ser mortalmente serias. Pero en
niveles inferiores no es posible motivar a ningún alumno a aprender la teoría superior de
grupos, por ejemplo, diciéndole que la encontrará hermosa, estimulante o incluso útil si
algún día llega a ser un físico especializado en partículas. El mejor método para mantener
despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático, una chanza,
una paradoja, un trabalenguas o cualquiera de esas mil cosas que los profesores aburridos
suelen rehuir porque piensan que son frivolidades”.
Pero es conveniente consultar más escritos para obtener observaciones más precisas a
fin de obtener una información más precisa de la efectividad del juego educativo en la
enseñanza. Algunos resultados de interés son los siguientes:
1. Generalmente los estudiantes adquieren por lo menos iguales conocimientos y
destrezas que las que obtendrían en otras situaciones de aprendizaje.
2. La información es aprendida más deprisa que en otras metodologías, aunque la
cantidad aprendida no es significativamente mayor que con otros métodos.
3. La resolución del problema conlleva el uso de enseñanza de alto nivel taxonómico. La
utilización de juegos, junto a otros recursos, proporcionaría de forma satisfactoria una
preparación para la resolución de problemas, aunque falta determinar si este alto nivel es
recordado con el paso del tiempo.
4. Los estudiantes estarán motivados para participar en la actividad, pero su interés por la
materia puede que no se mejore.
5. Los juegos y simulaciones producen en los estudiantes una tendencia creciente a asistir
regularmente al aula.
63
6. Los juegos fomentan los procesos de socialización, incluyendo el fomento de
amistades interraciales y de grupos descohesionados.
7. Los juegos han de utilizarse relativamente cercanos al momento del aprendizaje, sobre
todo si el juego corresponde a un nivel taxonómico alto.
8. Los juegos mantienen las habilidades matemáticas durante largo tiempo.
9. La utilización de la fantasía, el estímulo o la curiosidad puede incrementar la
efectividad de los juegos.
10. Algunos resultados observados al utilizar juegos educativos con alumnos de bajo
rendimiento escolar:
• El uso de juegos matemáticos es una estrategia exitosa para la enseñanza.
• Los juegos de estrategia producen una sustancial mejora en actitud. Esto se debe
más al tipo de actividad que a las características de los juegos particulares usados.
• Los alumnos de pequeña capacidad académica mejoran con frecuencia el
rendimiento a causa de un mayor interés.
• Los estudiantes aprenden habilidades y conceptos tan bien o mejor que alumnos
que siguieron las actividades convencionales de lápiz y papel.
• Los juegos que requieren la participación de varios jugadores en cada juego
parecen ser más efectivos que aquéllos que permiten algunos estudiantes
simplemente como observadores.
• Algunos juegos particulares pueden ser más productivos que otros con estudiantes
particulares.
64
• Una combinación de actividades, implicando tanto juegos como trabajos de papel
y lápiz, debería ser el más beneficioso.
11. Hay que seguir investigando otros campos en los que los juegos educativos puedan
ser utilizados con efectividad.
En los anexos se encuentra una experiencia de la aplicación de los juegos en la
enseñanza de las matemáticas. (Anexo1)
2.5 Los juegos y la enseñanza.
La utilización de juegos educativos en el aula parece que tiene efectos beneficiosos. Al
poner en práctica esta actividad es conveniente hacerlo de la manera que resulte más
eficaz. Sea cua1 fuere su nivel de conocimientos, el empleo cuidadosamente planificado
de rompecabezas y juegos matemáticos puede contribuir a clarificar las ideas del
programa y a desarrollar el pensamiento lógico.
¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué
forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han
hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho
recelo de su empleo en la enseñanza. "El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo
que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. Para lo que
se pretende, es una miserable pérdida de tiempo".
A nuestro entender, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el
juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente. ¿Por
qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada
día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de
65
diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza,
el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros
alumnos variarían favorablemente.
Pero es que además sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a
la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la historia
misma de la matemática y de los juegos, y por otras razones que señalaré a continuación,
el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia
para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente.
En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en
embutir en la mente del estudiante un amasijo de información que, pensamos, le va a ser
muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en
ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas,
físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el
estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de
aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas
más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia.
Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que existen
muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden
ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos
matemáticos de apariencia más seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo
psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.
Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida
para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco
difiere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su
mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mucho más sencilla
tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema de Pitágoras. Estos
bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde a absurdas preguntas
66
iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas que hacían
de la matemática una madeja problemática cada vez más absurda y complicada.
Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas desde
un principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del
peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la
ciencia en general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como
corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.
Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones
matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras
charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del
enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera
tomadura de pelo. En otros casos la solución de la impresión de haber llegado por
revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda
conducir a un método. Pero, como veremos, hay juegos que, de forma natural, resultan
asequibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución
sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas.
Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las
matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la
resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer
un hueco en su mente en el que quepan unos cuántos teoremas y propiedades relativas a
entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la
resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues
ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los
matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de
donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de
herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de
estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas
que constituyen los juegos matemáticos.
67
Es claro que un educador no puede basar su enseñanza en la exclusiva utilización de
juegos. Tampoco se llegan a aprender matemáticas significativas utilizando
exclusivamente libros de las llamadas matemáticas recreativa. Lo que parece más
conveniente es mantener un equilibrio entre la matemática lúdica (que mantiene el
interés) y la matemática seria (los juegos tienen una base científica).
Para el profesor que decida practicar juegos con sus alumnos, nos permitimos hacerles
algunas consideraciones sobre el modo en que hay que proceder, y que hemos obtenido al
observar diferentes situaciones que se han presentado a lo largo de la experimentación. Se
escriben de forma esquemática:
1. Es necesario que el profesor practique el juego antes de presentarlo a sus alumnos. Y
ello por razones como las siguientes:
• La eficacia de una actividad depende, en buena medida, del entusiasmo con que la
realice el profesor. Y, por tanto, si un juego agrada personalmente a un profesor,
este lo presentara de manera que sus alumnos también disfruten.
• El profesor podrá observar, y corregir si fuese necesario, aspectos tales como si
hay lagunas o errores en las reglas, si hay jugadas que tienen dificultades, si el
juego puede llevar a situaciones monótonas, si la duración es excesiva.
• De su propia experiencia sacará la información sobre los procesos que llevan a la
solución, sobre las posibles 'vías muertas', los bloqueos que se puedan producir ...
Así tendrá más posibilidades de prestar ayuda a sus alumnos en el momento
oportuno y en el modo más efectivo.
2. El juego hay que proponerlo a los alumnos en el momento preciso. Es decir, que hay
que determinar si el juego corresponde al nivel pre, co y post-instruccional. Y en el
último caso hay que practicarlo relativamente próximo al momento en que se introdujo la
instrucción.
68
3. El juego ha de utilizarse para el fin adecuado. Los alumnos deben conocer que el juego
sirve para potenciar su aprendizaje y, por tanto, no ha de practicarse para cubrir tiempos
muertos. Además, el profesor distingue si hay que emplear un juego de conocimiento o
de estrategia, buscando, en cada caso, que se adapte a los objetivos educativos previstos.
4. El juego hay que practicarlo en la forma correcta. Antes de iniciar el juego hay que
dedicar alguna sesión para que los alumnos conozcan el material, para que se entiendan a
fondo las reglas, para que todos conozcan la forma en que se gana o se pierde. Después es
bueno que se comience practicando alguna jugada sencilla; o que se utilicen reglas
sencillas, o que se hagan jugadas para practicar, entre otras.
5. Todos los alumnos han de participar en el juego, que sea una actividad igual para
todos, aunque en el desarrollo del mismo pueda haber grupos de alumnos que lo
practiquen con diferentes grados de dificultad.
6. Arbitrar medidas para que la solución de juegos de estrategia lo puedan alcanzar todos,
que no se haga pública la solución para que a ningún alumno (con las ayudas necesarias),
se le quite el placer de descubrir el resultado con sus propios medios. En ese sentido
puede resultar interesante que el profesor tenga previsto pedir al alumno que ha
encontrado la solución que trate de extender sus resultados a situaciones más complejas.
7. El profesor puede recurrir a los juegos comercializados o publicados para ponerlos a
sus alumnos. Para hacer la elección más conveniente, el profesor debe hacer preguntas
como las siguientes:
¿Sirve el juego para los objetivos propuestos?,
¿Qué conocimientos necesita el alumno para practicar el juego?,
¿Qué habilidades se requieren para practicar el juego?,
¿El juego es atractivo teniendo en cuenta la edad y maduración de los alumnos?,
¿Los alumnos tienen limitaciones físicas para practicar el juego?,
69
¿Hay problemas de costos o de espacio para la práctica del juego?,
¿Existe algún compañero que haya experimentado el juego en situaciones similares a las
de mis alumnos?
8. Si el profesor decide elaborar un juego para que lo practiquen sus alumnos es
conveniente recordar que hay muchos juegos, educativos ó no, que ya han sido
inventados, que llevan mucho tiempo practicándose y que suelen ser conocidos por los
alumnos. Por ello, es bueno buscar un juego entre los existentes, para después modificar
las reglas y/o los materiales y adaptarlos a los intereses pedagógicos. Después de elaborar
el material y las reglas es bueno hacerse preguntas como las del apartado anterior y
probar su funcionamiento con un pequeño grupo de alumnos que permita hacer las
correcciones precisas que permitan su correcto funcionamiento ante toda la clase.
"…La matemática es un instrumento esencial del conocimiento científico. Por su
carácter abstracto y forma, su aprendizaje resulta difícil para una parte importante de los
estudiantes y de todos es conocido que la matemática es una de las áreas que más incide
en el fracaso escolar en todos los niveles de enseñanza; es el área que arroja los
resultados más negativos en las evaluaciones escolares.
Los juegos y las matemáticas tienen muchos rasgos en común en lo que se refiere a su
finalidad educativa. Las matemáticas dotan a los individuos de un conjunto de
instrumentos que potencian y enriquecen sus estructuras mentales, y los posibilitan para
explorar y actuar en la realidad. Los juegos enseñan a los estudiantes a dar los primeros
pasos en el desarrollo de técnicas intelectuales, potencian el pensamiento lógico,
desarrollan hábitos de razonamiento, enseñan a pensar con espíritu crítico; los juegos, por
la actividad mental que generan, son un buen punto de partida para la enseñanza de la
matemática, y crean la base para una posterior formalización del pensamiento
matemático. El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática.
Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y
contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a
través del juego y de la belleza?
70
2.5.1 Matemáticas con sabor a juego.
Por otra parte resulta igualmente fácil señalar problemas y resultados profundos de la
matemática que resuman sabor a juego. Citaré unos pocos entresacados de la matemática
más o menos contemporánea.
El teorema de Ramsey, en su forma más elemental, afirma que si tenemos 6 puntos
sobre una circunferencia, los unimos dos a dos, y coloreamos arbitrariamente los
segmentos que resultan de rojo o de verde, entonces necesariamente hay al final un
triángulo con tales segmentos por los lados que tiene sus tres lados del mismo color.
El lema de Sperner, importante en la teoría del punto fijo, afirma que si en un triángulo
ABC se efectúa una triangulación (Una partición en un número finito de triángulos tales
que cada dos de ellos tienen en común un lado, un vértice, o nada) y se nombran los
vértices de los triángulos de la triangulación con A, B, C, de modo que en el lado AB no
haya más que las letras A ó B, en el AC nada más que A ó C y en BC nada más que B ó
C, entonces necesariamente hay un triángulo de la triangulación que se llama ABC.
El teorema de Helly afirma que si en un plano hay un número cualquiera de conjuntos
convexos y compactos tales que cada tres tienen un punto en común, entonces todos ellos
tienen al menos un punto en común.
El problema de Lebesgue, aún sin resolver, pregunta por el mínimo del área de
aquellas figuras capaces de cubrir cualquier conjunto del plano de diámetro menor o igual
que 1.
El siguiente problema de la aguja en un convexo tridimensional está también aún
abierto: ¿Cuál es el cuerpo convexo de volumen mínimo capaz de albergar una aguja de
longitud 1 paralela a cada dirección dada? Se sospecha, por analogía con el caso
bidimensional, que es el tetraedro regular de altura 1, pero no hay demostración de ello.
71
En el desarrollo normal del estudiante el juego es de vital importancia. Según Turner, a
través del juego se aprende mucho más que por medio de cualquier otra vía, puesto que
el estudiante se compromete personalmente; así mismo el conocimiento que adquiere es
muy valioso toda vez que se obtiene a partir de su propia experiencia. El estudiante
aprende a ser creativo, constructivo e independiente. El juego es un medio de
autoexpresión para el estudiante; le permite descargar tensión y dar salida a su
destructividad de modo aceptable. Por medio del juego los estudiantes pueden explorar,
experimentar y probar ideas. Cuando un estudiante juega, aprende acerca de la gente y
cómo vivir con ella. Cuanto más se compromete un estudiante con actividades
estimulantes, mayor será su desarrollo mental y físico.
El juego expande el pensamiento y la acción creativa. Los estudiantes que juegan
desarrollan:
• · Mayor curiosidad y descubrimiento
• · Un propósito e iniciativa
• · Una calidad mejorada de concentración
• · El desarrollo del habla y la confianza
• · Una habilidad creciente en manipulación, lectura y números.
En la vida del estudiante estas cualidades son claves para el éxito, porque un adulto
poseedor de ideas originales, que tiene habilidad de relacionarse con otros y expresarse
bien, es una persona con gran posibilidad de triunfar: Su tiempo libre será creativo y
satisfactorio, pondrá interés y sabrá apreciar la belleza en todo lo que le rodea y tendrá
una comprensión más íntima de sí mismo, un conocimiento de sus habilidades y
confianza en sus decisiones.
2.5.2 Tipos de Juegos en la Enseñanza.
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Juegos Creativos.
La mejor forma de aprender es hacer. De esta manera el aprendizaje se convierte en
una actividad donde el estudiante se compromete y a través de esta experiencia y
observación su comprensión es más completa. Este hacer es lo que agrega valor al juego
creativo y es el estudiante quien debe descubrir por sí mismo si su actividad tendrá valor.
Es importante proporcionarle ambientes u oportunidades para expresarse creativamente,
donde descubra y desarrolla cualquier campo de su interés o habilidad.
Juegos Educativos.
Los estudiantes que juegan son estudiantes que aprenden. Como en los juegos
creativos, es necesario brindarles a los estudiantes actividades que sean muy amplias y
abiertas para estimular sus aptitudes y para darle el valor y reconocimiento de cada
experiencia. Debe permitirse el desarrollo de las habilidades de lenguaje y expresión,
discriminación entre semejanzas y diferencias, comprensión de los conceptos, y muchas
habilidades más. Por ejemplo, estas actividades a menudo involucran vocabulario. El
estudiante al escuchar una palabra debe decirla con claridad, comprender su significado y
utilizarla en el contexto correcto. Cuanto más participa en estas actividades, mejor
preparado estará para abordar actividades educativas tales como la lectura, la expresión
escrita, el número, entre otras.
Juegos de Computador.
Los juegos de video aparecieron a mediados de los años 70. Se hicieron muy populares
rápidamente, puesto que al hombre siempre le han gustado los juegos: implican retos y,
en general, son divertidos.
73
Tipos de juegos de computador.
Existen muchos tipos de juegos, algunos fáciles y otros más complicados. Algunos
pueden ser jugados variando los niveles de dificultad, iniciando en el nivel elemental y
progresando a los más avanzados. Ciertos juegos están diseñados para una persona,
contra otro persona, contra el computador o pueden ser jugados por dos o más personas
compitiendo entre sí. A continuación se describen diferentes tipos de juegos de
computador y sus respectivas características.
Juegos de aventura
Estos juegos describen experiencias emocionantes y peligrosas, poco usuales y
memorables. Los jugadores recorren mundos fantásticos llenos de misterios intentando
resolver los acertijos. Comenzaron con juegos de texto tales como "Zork" y actualmente
uno de los juegos más populares que haya sido vendido es "Myst". Ted Friedman se
refiere a estos juegos como "cinema interactivo" donde el jugador se introduce en el
mundo del juego como protagonista del mismo. De hecho, el juego posee una estructura
narrativa que el jugador debe seguir de principio a fin. Con el fin de no cansar y aburrir al
participante y de tornar interactivo el juego, éste contiene una serie de acertijos y
problemas que deben ser resueltos para poder progresar a través de la narrativa. Entre
algunos juegos desarrollados por la computación cubana están los “famosos” Fortaleza I
y Fortaleza II
Juegos de estrategia
En estos juegos es necesario poseer la destreza de crear esquemas, planear y dirigir
operaciones militares, saber manejar recursos y desarrollar planes de largo alcance para
crear imperios o tener éxito en campañas de batalla. Entre esta clasificación se encuentra
"Civilization", "Command & Conquer" y "WarCraft II".
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Juegos de acertijos y rompecabezas
Esta categoría de juegos incluye aquellos que proporcionan preguntas o problemas
para resolver. Estos juegos prueban la habilidad y la destreza del jugador. Están
diseñados para retar la mente con lógica, la palabra, formas e inclusive sonidos. Las
series de "The Incredible Machine" y "Dr.Brain" son clásicos de este grupo y también
hay juegos tradicionales como son las versiones electrónicas de "Scrabble".
Juegos de Acción.
Son juegos de mucha acción y movimiento, combates, batallas y guerra. Requieren
mucha rapidez. Entre ellos se encuentran juegos tradicionales de video como "Sonic the
Hedgehog" y juegos de disparar y matar como Wolfenstein 3D y sus descendientes
(Doom y Doom II, Quake y Quake II de id software y Hexen y Heretic, de Raven
software). Estos juegos son extremadamente populares entre niños y adultos. Pueden
llevarse a cabo en cualquier escenario incluyendo campos de batalla militares,
simulaciones de vuelos, el espacio, el interior de la tierra o ambiente medievales. Algunos
necesitan de estrategias mientras que otros son simplemente matanzas sin pensar. Los
otros tipos de juegos pueden ser "rediseñados" por niños cambiándolos para cumplir con
las características de esta categoría de acción. Por ejemplo, en vez de ganar una carrera
de autos, se estrellan la mayor cantidad posible en determinado tiempo. También se
puede crear una ciudad con "Sim City" y después observar cuánto se puede destruir de la
ciudad con un buldózer antes de que se terminen los recursos (dinero).
Juegos de deportes
Este tipo de juegos se basa en los deportes tradicionales tales como béisbol, fútbol
americano, fútbol, golf, baloncesto, hockey o carreras de automóviles. Hay muchos
ejemplos como "Jack Nicklaus 4" (golf), FIFA 97, "Hardball" (béisbol), "Unnecessary
Roughness" (fútbol americano), "NHL Powerplay" (hockey) y "NASCAR Racing"
(carreras de autos).
75
Juegos de rol: RPG (Role Playing Games)
Este tipo de juego quizás es diferente de cualquier juego mencionado anteriormente.
De alguna forma podría verse como una historia, mas no un juego, debido a la falta de
tablero, la falta de dados y el hecho de no existir una forma fija de ganar. Se trata de
historias más que de reglas. De hecho tienen más en común con los juegos infantiles de
imaginación que con otros de tipo tradicional. El juego de roles en vivo nació del juego
de rol tradicional de los años setenta. Actualmente, los juegos de rol se enfocan en narrar
historias de maneras únicas en vez de saquear a los castillos.
Juegos de rol de Middle Earth
"El señor de los anillos" es un libro clásico de fantasía pura escrita por J.R.R. Tolkien.
Hay mucho detalle en la creación de sus mundos y en sus historias. Este proporciona un
ambiente excelente para juegos de rol.
76
3. Uso de la teoría de juego en el proceso de aprendizaje de la
teoría de probabilidades.
El programa de la disciplina Probabilidades y Estadística (Plan D) expresa: El objeto
de estudio de esta disciplina es “las leyes que rigen los fenómenos aleatorios” y
conocidas éstas, dominar la naturaleza y tomar las mejores decisiones para transformarla.
Todo ello se materializa con el empleo de la teoría de la probabilidad, la cual brinda la
plataforma teórico-conceptual para el análisis bajo incertidumbre que permite desde la
perspectiva de la inferencia y la modelación estadísticas y otras áreas más específicas, dar
respuesta a las cuestiones sustantivas de interés, mismas que son de las más comunes que
se le presenta a un profesional con las características de nuestras condiciones de
desarrollo y metas a alcanzar por nuestra sociedad para el bienestar de todos en
consecuencia con la construcción de una sociedad más justa, el socialismo.
Para alcanzar este objeto de estudio se requiere que en la asignatura Probabilidades, los
estudiantes alcancen una alta motivación junto a una adecuada comprensión que permita
un conocimiento más profundo de la teoría de probabilidades.
Sin embargo, durante años los estudiantes tienen dificultades para aprender de forma
consciente los conceptos y leyes de la teoría de probabilidades. Para contribuir a superar
esta dificultad, se propone incluir la teoría de juegos en el proceso de enseñanza
aprendizaje de esta materia.
Entre los juegos que pueden ser utilizados, se encuentran los juegos por puntos y los
juegos por estrategia.
Por lo tanto, en este tercer capitulo se estudian los juegos por puntos y los juegos por
estrategias. Después se confeccionan dos juegos, uno de cada tipo, para ser empleado en
el proceso de aprendizaje de la teoría de probabilidades.
77
El primero de ellos es un juego por puntos, el cual ayuda a incrementar los
conocimientos fundamentales de la teoría de probabilidades. El segundo es un encuentro
entre dos equipos, formados por los estudiantes de la clase, los cuales tienen que aplicar
los conocimientos adquiridos sobre las leyes fundamentales de la teoría de
probabilidades. Este es un juego de estrategia.
Estos juegos han sido elaborados con la colaboración del colectivo de profesores de la
asignatura Probabilidades. El primer juego es una propuesta para ser realizado
individualmente por los estudiantes. No ha sido aplicado aun. El segundo juego parte de
las experiencias alcanzadas en la asignatura Probabilidades de Licenciatura en
Computación.
3.1 Juegos por puntos.
Juegos por puntos, son aquellos juegos en los cuales el jugador va acumulando puntos
cada vez que logra una acción positiva y pasa de nivel. Cada incremento de nivel exige
una mayor velocidad y complejidad del juego.
Los juegos por puntos ayudan a desarrollar habilidades y desde el punto de vista
psicológico ayuda a la rapidez de reacción, al pensamiento ordenado y lógico, la toma de
decisiones.
Algunos juegos por puntos que están dentro de nuestro alcance son: Tetris, Winlines,
Pinball y Same. A manera de ejemplo se explica el Tetris.
Un ejemplo: Tetris
Uno de los juegos clásicos de computador es el Tetris, un juego geométrico abstracto
diseñado por el matemático ruso Alexey Pajitnov. El principio del juego es el siguiente:
el jugador se le presenta una pieza del juego que está cayendo y está compuesto por
cuatro cuadrados colocados en uno de seis patrones escogido aleatoriamente. Esta pieza
78
puede ser rotada y movida horizontalmente a medida que cae hacia la parte inferior de la
pantalla. El objetivo es colocar las piezas de tal manera que llenen una fila horizontal.
Cuando se completa una fila, esta desaparece generando así más espacio para futuras
capas de piezas. El juego termina cuando las piezas se acumulan hasta la parte superior
de la pantalla. En cada nivel del juego aumenta la velocidad a la que caen las piezas
exigiendo así mayor rapidez a la hora de la toma de decisiones por parte del jugador.
Este juego que ha sido denominado el Cubo de Rubik de software, cautiva a miles de
jugadores cuyos maestros afirman "no pueden concentrase en matemáticas". Thornburg
afirma que se maravilla de observar estudiantes de secundaria luchar en clase de
matemáticas y luego constantemente obtienen los mejores puntajes en Tetris, un
rompecabezas matemático altamente lógico y espacial. "Al hablar con estos estudiantes
jugadores es interesante observar la profundidad de su habilidad de resolución de
problemas y pensamiento lógico. Estas estrategias deben ser recordadas y utilizadas muy
rápidamente. Esta elaboración y prueba de hipótesis es un componente crítico del
pensamiento matemático y es muy común entre los jugadores de Tetris".
3.2 Juegos por estrategias.
En los juegos de estrategia se pone el acento en la planificación y despliegue de
estrategias para vencer. Los jugadores pueden representar el papel de empresario, jefe de
estado mayor, manager etc. Algunos juegos representan batallas reales o ficticias; en
otros el objetivo es controlar un país o un negocio. Se pueden dividir en juegos de
miniaturas (descendientes del ajedrez), juegos de cartas (descendientes del póker) y
videojuegos.
Los juegos de estrategias ayudan al desarrollo de conceptos como estrategia, táctica,
planificación, orden lógico de ideas (en este caso de jugadas), obstrucción, ataque,
defensa, contraataque, dominio de territorio, ventaja en espacio, ventaja material, ventaja
de tiempo, utilización óptima de los recursos y otros más. Desarrolla desde el punto de
vista psicológico el pensamiento táctico, pensamiento lógico, la toma de decisiones, la
perseverancia, la imaginación, entre otras; desde el punto de vista técnico la ejecución de
79
maniobras mediante planes previos utilizando elementos de la combinación traspolados al
juego en cuestión.
3.2.1 Tipos de juegos de estrategia.
Construcción de imperios
Juego de estrategia de acción
Juego de estrategia en tiempo real
Juego de estrategia persistente online
Juego de estrategia por turnos
3.3 Aplicación de un juego por puntos a la asignatura
Probabilidades.
Para facilitar la compresión e incrementar la motivación por la teoría de probabilidades
se propone en el presente trabajo el uso de la teoría de juegos. En particular, en este
epígrafe se presenta el juego por puntos: “Cómo voy aprendiendo las probabilidades”.
La versión presentada consta de seis niveles de preguntas. Este número de niveles
puede ser incrementado en dependencia del tipo de curso impartido. El total de puntos
alcanzables es 850. En la siguiente tabla se observa la distribución de los puntos por
niveles:
Niveles Número de preguntas Total de puntos
1 10 50
2 8 80
3 8 120
4 8 160
5 8 200
6 8 240
80
Juego “Como voy aprendiendo las probabilidades”.
Nivel 1 Pregunta 1 5 puntosExplique la diferencia entre posibilidady realidad.
Nivel 1 Pregunta 2 5 puntos¿Qué es un experimento aleatorio?
Nivel 1 Pregunta 3 5 puntos¿Cómo se define el espacio muestral?
Nivel 1 Pregunta 4 5 puntosExplique la diferencia entre suceso ysuceso elemental
Nivel 1 Pregunta 5 5 puntos¿Qué es un suceso seguro?
Nivel 1 Pregunta 6 5 puntos¿Cuándo un suceso es imposible?
Nivel 1 Pregunta 7 5 puntos¿Qué es la suma de sucesos?
Nivel 1 Pregunta 8 5 puntos¿Qué es el producto de sucesos?
Nivel 1 Pregunta 9 5 puntos¿Cuándo dos sucesos son excluyentes?
Nivel 1 Pregunta 10 5 puntos¿Cómo se define la diferencia entresucesos?
Nivel 2 Pregunta 1 10 puntosExplique la definición clásica deprobabilidad.
Nivel 2 Pregunta 2 10 puntosExplique la diferencia entre ladefinición clásica y la definiciónestadística de probabilidad.
Nivel 2 Pregunta 3 10 puntosExplique la definición geométrica de laprobabilidad.
Nivel 2 Pregunta 4 10 puntos¿Cuándo un conjunto de sucesos es unasigma algebra de sucesos?
81
Nivel 2 Pregunta 5 10 puntosEn los lanzamientos de una moneda dedos caras: (Estrella, Escudo), (que nocae de canto), ¿Puede definirse unasigma algebra de sucesos? Explique.
7
Nivel 2 Pregunta 6 10 puntosExplicar la definición axiomática de laprobabilidad.
Nivel 2 Pregunta 7 10 puntosDefina que es un espacio probabilístico.Dé un ejemplo.
Nivel 2 Pregunta 8 10puntosDefina probabilidad condicional asícomo su fórmula para calcularla.
Nivel 3 Pregunta 1 15 puntos¿Cuándo dos eventos son indepen-dientes?
Nivel 3 Pregunta 2 15 puntosDiga las propiedades de la probabilidadcondicional.
Nivel 3 Pregunta 3 15 puntos¿Qué expresa la fórmula de Bayes?
Nivel 3 Pregunta 4 15 puntos¿Cuál es el significado de laprobabilidad total?
Nivel 3 Pregunta 5 15 puntosDefina la probabilidad del producto desucesos, así como la fórmula de adiciónde probabilidad.
Nivel 3 Pregunta 6 15 puntosUsando un ejemplo, ilustre la definiciónde variable aleatoria.
Nivel 3 Pregunta 7 15 puntosDefina qué es función de probabilidad.
Nivel 3 Pregunta 8 15 puntosExprese cómo se calcula la función dedistribución desde la función dedensidad.
Nivel 4 Pregunta 1 20 puntosDiga las propiedades de la función dedistribución así como la de la densidad.
Nivel 4 Pregunta 2 20 puntos¿Cómo se define el esquema distribu-ción binomial?
Nivel 4 Pregunta 3 20 puntos¿Cuándo se tiene el esquema Poisson?
Nivel 4 Pregunta 4 20 puntos¿Cuándo surge la variable aleatoria quetiene distribución hipergeométrica?
82
Nivel 4 Pregunta 5 20 puntos¿Cuándo se presenta la variablealeatoria con distribución geométrica?
Nivel 4 Pregunta 6 20 puntos¿Cuándo una variable aleatoria tienedistribución binomial negativa?
Nivel 4 Pregunta 7 20 puntosLa variable aleatoria con distribuciónuniforme surge con eventos que serepiten a intervalos constantes. Escribasu función de densidad.
Nivel 4 Pregunta 8 20 puntosDefina la distribución exponencial nega-tiva.
Nivel 5 Pregunta 1 25 puntos¿Cuándo una variable aleatoria tienedistribución normal?
Nivel 5 Pregunta 2 25 puntos¿Qué se considera un vector aleatorio?
Nivel 5 Pregunta 3 25 puntos¿Qué importancia tiene laestandarización en la distribuciónnormal? ¿Cómo se calcula?
Nivel 5 Pregunta 4 25 puntos¿Cómo se calcula la distribución de lasuma y el cociente de variablesaleatorias?
Nivel 5 Pregunta 5 25 puntosDefina función de distribución conjuntay explique sus propiedades.
Nivel 5 Pregunta 6 25 puntosDefina función de densidad condicionaly función de densidad marginal.Exprese las fórmulas para calcularlas.
Nivel 5 Pregunta 7 25 puntos¿Cuales son las funciones de argumentoaleatorio?
Nivel 5 Pregunta 8 25 puntosDefina valor esperado de una variablealeatoria. Explique sus propiedades.
Nivel 6 Pregunta 1 30 puntosDefina mediana y moda de una variablealeatoria. Explique las formas decalcular estas características numéricas.
Nivel 6 Pregunta 2 30 puntosDefina varianza de una variablealeatoria y exprese sus propiedades.
83
Nivel 6 Pregunta 3 30 puntosDefina desviación típica así como sus
propiedades.
Nivel 6 Pregunta 4 30 puntosDefina coeficiente de correlación linealentre variables aleatorias y escriba sufórmula.
Nivel 6 Pregunta 5 30 puntos¿Cómo se puede conocer si existe unafuerte, débil y ninguna correlaciónlineal entre variables aleatorias?
Nivel 6 Pregunta 6 30 puntosDescriba el uso del momento de orden kcon respecto al origen.
Nivel 6 Pregunta 7 30 puntosDefina momento central de orden k.
Nivel 6 Pregunta 8 30 puntosDefina covarianza entre variablesaleatorias. Explique sus propiedades.
84
Las reglas que explican el desarrollo del juego son las siguientes:
1.-Se dividirá al grupo en 2 subgrupos a partes iguales, en caso de que el grupo terminara
en impar se le daría al subgrupo con menor cantidad de estudiantes una oportunidad mas
para que así no halla desigualdad
2.- Si algún estudiante de cualquier subgrupo no responde bien la pregunta hecha se le
pasara al otro subgrupo y si responde bien se le darán los puntos correspondientes a esa
pregunta a ese subgrupo.
3.- Cada jugador (estudiante) solo tendrá derecho a responder una vez en cada nivel.
4.- Solo tendrá derecho a responder de nuevo cuando una pregunta es respondida mal por
el bando contrario.
5.- Se pasara al siguiente nivel cuando sean respondidas correctamente todas las
preguntas o cuando no queden preguntas en ese nivel (a responder).
6. Cuando se pase una pregunta mal respondida por un subgrupo al otro subgrupo
entonces se perderían los puntos de esa pregunta para ambos subgrupos.
7.- Se jugara por turnos, o sea, un estudiante del 1er subgrupo y después le tocara a uno
del 2do subgrupo.
8.- El profesor anotara las preguntas en que hubo error y será el árbitro o jurado a decidir
si la pregunta es bien respondida. Proclamará el ganador del juego, que será el que
acumule más puntos.
9.- En caso de empate el ganador se determinara por el nivel de complejidad donde se
halla equivocado el subgrupo, o sea, si el subgrupo #1 se equivoca en el nivel 1 y el
subgrupo #2 se equivoca en el nivel 2 el ganador será el subgrupo #1.
85
10.- La velocidad de pensamiento de la respuesta variara de un nivel a otro, o sea, si en el
primer nivel se consta de 70 segundos para dar la respuesta en el segundo nivel se
constara de 60 segundos para dar la respuesta y así sucesivamente se le restara 10
segundos por cada nivel que se vaya venciendo.
3.4 Juego “Batalla – tierra - aire - tierra”.
Después de haber concluido las clases prácticas dedicadas a las variables aleatorias
discretas, se presente este juego didáctico con los siguientes objetivos:
1. Incrementar la motivación de los estudiantes por la teoría de probabilidades.
2. Desarrollar habilidades relacionadas con las aplicaciones prácticas de las
probabilidades.
3. Consolidar conocimientos relacionados con las variables aleatorias discretas y sus
características numéricas.
La primera vez que se desarrolló este juego fue con un grupo de 22 estudiantes. Los 22
estudiantes se dividieron en dos equipos: El equipo A y el equipo B.
Cada equipo ocupa 5 mesas, en cada una de ellas hay 2 estudiantes. Cada equipo
cuenta además con un jefe.
El jefe es responsable de ubicar sus estudiantes por mesas. El es el encargado de
adquirir y ubicar las armas por cada mesa.
Para la adquisición de armas dispone de $1000 pesos. El catálogo de armas es el
siguiente:
86
Precio unidades Probabilidad
versus cohete
Probabilidad
versus avión.
Probabilidad
versus mesa.
Cohete anti-misil. $50 2 0,7 0,5 No es efectivo
Cohete anti-aéreo $40 2 0,3 0,6 No es efectivo
Cohete tierra-tierra $100 1 No es efectivo No es efectivo 0,6
Avión reconocimiento $20 1 Reconoce Reconoce Reconoce
Avión bombardero $50 1 No es efectivo No es efectivo 0,3
Cañón anti-aéreo X $30 2 0,1 0,4 No es efectivo
Cañón anti-aéreo Y $20 2 No es efectivo 0,3 No es efectivo
Una vez adquirido los medios, estos son distribuidos por las diferentes mesas.
La batalla se desarrolla de la siguiente manera:
Por una razón práctica, en cada acción un equipo ataca una sola mesa del equipo
contrario y a su vez tiene una mesa que defenderse del equipo atacante.
Los responsables de cada equipo deciden que mesa van atacar, y que medio es
utilizado para ese ataque. El solo puede atacar con un solo medio de la mesa involucrada
en el ataque. La comunicación de cada jefe es hecha de forma escrita al profesor, el cual
le da lectura y genera los números aleatorios que sean necesarios.
Para conocer el resultado de la acción, se genera un número aleatorio entre 0 y 1. Si el
número generado es menor que la probabilidad de impacto del arma en cuestión, se
considera efectivo el disparo, caso contrario no.
Primero se genera el número aleatorio del atacante y después el número aleatorio del
defensor.
Por ejemplo: El responsable del A puede decir un avión de reconocimiento que tengo
en la mesa 3 va a reconocer la mesa 3 del equipo contrario.
87
El responsable del B puede decir que un avión de reconocimiento que tengo en la mesa
5 va a reconocer la mesa 1 del equipo A.
El responsable de la mesa 3 decide hacer fuego con un cañón anti-aéreo X contra ese
avión de reconocimiento. El atacante no se le genera número aleatorio, porque ese avión
no ataca, solo reconoce. El defensor genera un número aleatorio. Si ese número es menor
o igual a 0,4 el avión es abatido, caso contrario, el avión no es abatido y recibe la
información de todas las armas existente en esa mesa.
El ganador es aquel que destruya todas las armas del equipo contrario. En aquellas
situaciones donde el final del juego está dado por razones de tiempo, el ganador es el
equipo que en ese momento tenga más armamento en dinero.
Experiencias alcanzadas con el desarrollo del juego Batalla tierra aire - tierra .
El juego se ha realizado dos veces, en la primera oportunidad el número de estudiantes
de la asignatura Probabilidades en Computación fue de 44 estudiantes. El deseo de ganar
de cada equipo fue muy grande. El juego se explicó con tres días de antelación. Se
designaron con tiempo los responsables y los supuestos $1000 para adquirir los medios.
Resultó muy interesante el trabajo de optimización de esos medios para aumentar la
probabilidad de victoria del equipo. El día de la competencia tuvo buena organización y
en ninguno de los casos hubo destrucción total. Es decir, el equipo victorioso se decidió
por tener más armamento en dinero.
El incremento de la motivación por la disciplina creció y además hubo mucha
preocupación por varios conceptos que tienen especial importancia en situaciones como
estas, entre ellos: variables aleatorias, esperanza matemática, varianza, coeficiente de
variabilidad.
88
Conclusiones
Después de haber realizado una exhaustiva investigación en un tema específico de la
Teoría de Juegos así como haberle hallado una aplicación dentro de la Educación
Superior o dentro del proceso enseñanza – aprendizaje se ha llegado a las siguientes
conclusiones:
• El uso de juegos docentes en disciplinas de la matemática facilita la comprensión
y profundización de conceptos abstractos.
• Comprensión de las reglas del cálculo de las probabilidades.
• Desarrollo de hábitos de estudio.
• El uso de la Teoría de Juegos permite incrementar la motivación de los
estudiantes por la asignatura Probabilidades.
• La preparación y desarrollo de los estudiantes durante los juegos docentes
contribuyó a la comprensión de los principales conceptos.
89
Recomendaciones
La culminación de un trabajo científico conduce a una serie de ideas que pueden marcar
pautas para futuros trabajo de investigación, a partir de las conclusiones enunciadas se
considera oportuno realizar las siguientes recomendaciones:
• Aplicar los juegos docentes a otras disciplinas del plan de estudio.
• Desarrollar un software que permita un uso mayor de los juegos desarrollados
aquí.
• Insertar dentro del plan de estudios de Licenciatura en Matemática, la disciplina
Teoría de Juegos.
• Aplicar la Teoría de Juegos a diversos campos de la economía y los servicios.
• Analizar la posibilidad de incluir dentro del Moodle el juego por puntos para que
el alumno se autoevalúe.
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96
Anexo 1
Datos de la experiencia:
1. Se recogen opiniones de 58 profesores de 29 centros de E.G.B. de Zaragoza (22
pertenecientes a la capital y a 7 núcleos rurales cercanos a la capital).
2. Los profesores han llevado los juegos a 2.612 alumnos.
3. De los profesores 33 ejercen su profesión en centros públicos y 25 en centros
concertados.
4. En primero de E.G.B. trabajan 5 profesores, 6 en segundo, 8 en tercero, 5 en cuarto, 6
en quinto, 4 en sexto, 8 en séptimo, 9 en octavo y 7 no contestan.
5. Se han utilizado juegos de conocimiento en los siguientes temas: operaciones
elementales sistema métrico decimal, múltiplos y divisores y figuras geométricas planas.
Además se han empleado juegos de estrategia.
6. Los juegos de conocimiento en su mayor parte estaban constituidos por barajas con
cartas especiales y reglas de juegos tradicionales. Los juegos de estrategia utilizados se
hicieron a base de tableros y fichas.
Características del profesorado:
1. SEXO: femenino. 62%, masculino. 38 %
2. EDAD: El núcleo más numeroso de profesores tienen entre 35 y 44 años (57 %),
mientras que hay un 22% de profesores, que tienen entre 45 y 54 años, y tan solo un 10%
tienen de 25 a 34 años.
3. AÑOS DE DOCENCIA. Como dato significativo hay que reseñar que el 88 % de los
profesores llevan 10 o más años dedicados a la enseñanza.
4. Los profesores manifiestan que a nivel personal las Matemáticas les agradan mucho al
67 %, y bastante al 28 %.
5. Los juegos fueron utilizados de manera regular aproximadamente una sesión semanal
por el 28 % de los participantes, mientras que un 69% utilizaron los juegos de forma
menos regular.
97
Lo que opinan después de aplicar los juegos a sus alumnos:
1. El 57 % de los profesores opinan que la utilización del juego es una actividad que
resulta amena para sus alumnos. Y el 43 % opinan que resulta muy amena.
2. El 84% opinan que los juegos son útiles para la preparación de sus alumnos. Muy
útiles los consideran el 16 %.
3. Los juegos resultan poco difíciles de practicar en opinión del 67 % de los profesores,
mientras que son difíciles en opinión del 33 % de los profesores.
4. En opinión del 83 % de los profesores los juegos resultan importantes para la
preparación de sus alumnos. Además, son muy importantes para el 10 % de los
profesores.
Mejoras que pueden producirse en la práctica docente:
Se pregunta a los profesores participantes acerca de las mejoras que para su práctica
docente puede aportar la utilización de juegos educativos y se obtienen las siguientes
respuestas:
1. El 88 % de los profesores opinan que se mejorara la motivación de los alumnos.
2. El profesor podrá construir nuevos recursos didácticos en opinión del 83 % de los
encuestados.
3. Los juegos permitirán utilizar otros métodos de enseñanza en opinión del 50% de los
profesores.
4. Las relaciones con otros compañeros se verán mejoradas para el 29 % de los
profesores.
5. El 28 % de los profesores piensa que los juegos le permiten mejorar su actuación
didáctica.
6. Para el 26 % de los encuestados los juegos permitirán mejorar la organización del
trabajo dentro del aula.
7. Utilizando juegos se mejoran las relaciones con los alumnos en opinión del 24 % de
estos profesores.
98
8. Un 21 % de los encuestados opinan que los juegos les ayudaran a mejorar la
programación de la asignatura.
9. Se mejoraran los conocimientos matemáticos utilizando juegos en opinión del 21 % de
estos profesores.
10. Los juegos permiten una atención individual al alumno en opinión del 19 % de estos
profesores.
11. No son significativos los porcentajes concedidos a aspectos tales como actividades de
evaluación, actividades de recuperación, la disciplina en el aula, el trabajo
interdisciplinario y la seguridad en la práctica docente.
