UT5

Universidad acional de La Plata

Facultad de Ciencias aturales y Museo

Ctedra de Matemtica y Elementos de Matemtica

Asignatura: Matemtica

Contenidos de la Unidad Temtica n5

Producto Cartesiano. Relaciones: dominio y codominio.

Relaciones inversas. Funciones o aplicaciones. Funciones

numricas. Funcin lineal. Funcin cuadrtica.

Funciones racionales e irracionales. Funciones

compuestas. Funciones trascendentes: exponencial y

logartmica; circulares y circulares inversas.

Ing. Carlos Alfredo Lpez

Profesor Titular

Ctedra de Matemtica y Elementos de Matemtica Asignatura: Matemtica

Unidad Temtica n 5

Ing. Carlos Alfredo Lpez

RELACIONES Y FUNCIONES

PRODUCTO CARTESIANO.

Llamamos Producto Cartesiano del conjunto A por el conjunto B (en ese orden), al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que se pueden formar, de modo tal que el primer elemento pertenezca a A y el segundo a B. Esta definicin se simboliza:

A x B = { (a,b) / a A b B }

Ejemplo 1: (para conjuntos finitos)

Sean: A = {1,2} B ={1,2,3} A x B = {(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3)}

El nmero de elementos del conjunto Producto Cartesiano es igual al producto de los nmeros de elementos de los conjuntos A y B; en nuestro caso 2 x3 = 6 elementos.

Si ahora construimos el producto B x A, resulta:

B x A = {(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(3,1);(3,2)}

De la comparacin entre A x B y B x A se concluye: "El Producto Cartesiano NO ES CONMUTATIVO".

El Producto Cartesiano A x B resultar el conjunto vaco si y solo si al menos uno de los factores es el vaco, o sea:

A x B = A = v B =

Puede efectuarse una representacin del Producto Cartesiano utilizando el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales descripto en 2.

A x B = {(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3)}

Por los puntos 1 y 2 correspondientes al eje horizontal (conjunto A), trazamos paralelas al eje vertical en el que se representan los elementos del conjunto B y por los puntos 1,2 y 3 correspondientes al conjunto B paralelas al eje horizontal, formando una cuadrcula cuyas intersecciones son los elementos (pares ordenados) del producto cartesiano.

Ejemplo 2: Sean: A = [ 1, 3 [ B = ] 2 , 5 ]

En este caso los conjuntos son intervalos (subconjuntos del conjunto de los nmeros reales) y el Producto Cartesiano que tiene infinitos elementos no puede escribirse por extensin. Sin embargo, como veremos, puede efectuarse la correspondiente representacin cartesiana. En el espacio de dos dimensiones el conjunto A estar representado por una faja vertical que se extiende indefinidamente hacia arriba y hacia abajo (rayada verticalmente en la figura) limitada por dos rectas paralelas al eje vertical que pasan respectivamente por 1 y 3 (extremos del intervalo) del eje horizontal. Por ser A abierto a derecha, para diferenciarlo del extremo cerrado, graficamos mediante lnea de trazos la recta vertical que pasa por 3.

Con similar razonamiento, el conjunto B (rayado horizontalmente), en el espacio bidimensional es una faja horizontal de longitud infinita, limitada superiormente por una recta (extremo cerrado, lnea llena) que pasa por 5 e inferiormente por una recta (extremo abierto, lnea de trazos) que pasa por 2.

El Producto Cartesiano A x B resulta entonces representado por el rectngulo doblemente rayado limitado por las paralelas a los ejes trazadas por los extremos de los intervalos.

Se observa en la figura, que los bordes derecho e inferior del rectngulo doblemente rayado no pertenecen al mismo (lnea de trazos), lo que significa que ningn punto ubicado sobre la paralela al eje vertical trazada por 3

1

1

2

2

3

0A

B

1

2 3 4

5

1

3

4

A

B

2 O O

A x B

pertenece al producto cartesiano: (no existe par (3,b) que pertenezca a dicho producto).

Idntico anlisis justifica que los pares de la forma (a, 2) no pertenecen a A x B.

Ejemplo 3: Sean: A = {-1,1} B = [ 2,4 [

El conjunto A es finito y est formado nicamente por los elementos -1 y 1, en tanto el conjunto B es un intervalo. La representacin del producto cartesiano AxB es la de la figura de la derecha, de la cual puede deducirse fcilmente que los

pares ordenados de A x B son de la forma:

( -1 ; 2 b

RELACIONES.

Resulta frecuente en la vida cotidiana, y tambin en Matemtica establecer relaciones entre los elementos de dos o ms conjuntos o bien entre elementos de un mismo conjunto.

Dar una relacin R es fijar una cierta ley que permita decir para cada par de elementos a y b, si a est relacionado con b o no. Escribimos a R b para indicar (a,b) R. Si por ejemplo R es la relacin "menor o igual" a R b significa a b.

Representacin de Relaciones:

Sean los conjuntos: A = {1,2,3} B = {a,b,c,d} ; una cierta relacin del conjunto A con el conjunto B puede expresarse mediante un diagrama de Venn,

por una tabla de simple entrada (horizontal o vertical),

mediante una tabla a doble entrada o matriz,

1 *

2 *

3 *

* a

* b

* c

* d

A B

A B12

3- a

bc

d2-

AB

1 2 3 -ab c d

2-

AB

1

3

2

a b c d

o por un conjunto de pares ordenados

G = { (1,b); (2,c); (2,d)}

llamado GRFICA de la relacin; esta grfica puede representarse en coordenadas cartesianas ortogonales:

De lo expuesto podemos dar la siguiente Definicin:

Se llama relacin R de A en B a toda terna compuesta por un conjunto A llamado "conjunto de partida", un conjunto B denominado "conjunto de llegada" y el conjunto G llamado "grfica" cuyos elementos son pares ordenados tales que su primera componente pertenece al conjunto A y la segunda a B.

R = (A , B, G )

De la observacin de la representacin cartesiana puede inferirse que el producto cartesiano A x B es una GRFICA; la que corresponde a la relacin ms completa que pueda definirse entre dos conjuntos, ya que todo elemento de A est relacionado con cada uno de los elementos de B.

Por ello, podemos afirmar que la grfica de toda relacin R = (A,B,G) es un subconjunto del producto cartesiano.

R = (A, B, G): G A x B.

DOMINIO e IMAGEN o CODOMINIO.

Sea R una relacin de A en B. Llamamos DOMINIO de R al subconjunto de A formado por aquellos elementos que estn vinculados mediante la relacin dada con uno o ms elementos de B.

Dom R = { a/a A (a,b) R}.

1 2 3A

B

a

b

c

d

A x B

G

Llamamos IMAGEN de R al subconjunto de B formado por aquellos elementos de dicho conjunto vinculados mediante la relacin dada con algn elemento de A.

Im R = { b/b B (a,b) R }.

Tanto el dominio como la imagen de una relacin pueden coincidir eventualmente con los conjuntos de partida A y de llegada B, respectivamente.

Una relacin puede representarse entonces:

Ejemplo:

Si A = {1 ,2,3 } ; B = { a,b,c,d } (ver 4.1)

G = { (1,b);(2,c);(2,d)}.

resulta Dom R = { 1,2 } Im R = { b.c.d }.

RELACION INVERSA.

Llamamos relacin inversa de una relacin dada R a una nueva relacin R-1 cuya grfica se obtiene por permutacin de las componentes de los pares ordenados de la grfica G.

Siendo R = (A, B, G); resultar R-1 = (B, A, G-1)

Ejemplo:

Sea el ejemplo 4.1. con A = {1,2,3} ; B = {a,b,c,d} ; G = {(1,b),(2,c),(2,d)}

G

A x B

B

A

Dom R

Im RG A x B

la grfica de la relacin inversa ser G-1 = {(b,1),(c,2),(d,2)} y su representacin cartesiana:

para R-1, B es el conjunto de partida y A el conjunto de llegada.

COMPOSICION DE RELACIONES.

Sean las relaciones: R1= (A,B,G1) y R2= (B,C,G2); de acuerdo a la definicin de relacin dada, se verifica:

G1 A x B y G2 B x C

resulta posible definir una nueva relacin que vincula elementos de los conjuntos A y C llamada composicin entre R1 y R2, que se escribe R2 oooo R1 y se lee R1 compuesta con R2.

R2 oooo R1 = (A, C, G2 oooo G1)

siendo G2 oooo G1 = {(a,c) / b B : (a,b) G1 (b,c) G2}; que leemos: "la grfica G1 compuesta con G2 es un conjunto de pares ordenados (a,c) tales que, existe b perteneciente a B que vincula un elemento a de A con un elemento c de C, verificndose que (a,b) pertenece a G1 y (b,c) pertenece a G2".

Dicho de otra forma: "existe al menos un elemento b de B que vincula algn elemento a de A con algn elemento c de C".

Ejemplo:

Sean A = {-1,0,1}; B = {1,2,3}; C = {-1,2,7}

G1 AxB est definida por: la imagen de a es su cuadrado

G1 = {(-1,1), (1,1)}

G2 BxC est definida por: la imagen de b es su cuadrado menos dos.

1

2

3

0

A

Ba b c d

A x B

G-1 G-1 B x A

G2 = {(1,-1), (2,2), (3,7)}

en diagramas de Venn G1 y G2 se representan:

G2 oooo G1 = { (-1,-1),(1,-1) }

pudiendo verificarse c = (a2)2 -2 = a4 -2

RELACIONES DEFINIDAS EN A.

Resultan de particular importancia aquellas relaciones en las que son iguales los conjuntos de partida y de llegada. En tal caso escribimos:

R = (A , G)

siendo A el conjunto de partida y de llegada, y G la grfica de la relacin.

Ejemplo 1: Si A = { 1,3,5 } G = {(1,3),(3,3),(5,1),(1,5)} podemos representar

-1 *

0 *

1 *

* 1

* 2

* 3

* -1

* 2

* 7

1 *

3 *

5 *

* 1

* 3

* d5

A A

o en un nico diagrama

Ejemplo 2: Dado A = { 1,2,3,4 } y la relacin expresada por x

Ejemplo 1:

Entre los alumnos de la clase establecemos la relacin: " x tiene la misma edad que y ". La relacin as definida es reflexiva, ya que toda persona tiene la misma edad que s misma.

Ejemplo 2:

Sea R = (A,G) con A = {1,2,3} y G = {(1,1),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)} ; la relacin es reflexiva pues se verifica que todo elemento de A est relacionado consigo mismo. En un diagrama de Venn se puede visualizar que si la relacin es reflexiva, en todos los elementos de A deber verificarse la existencia de un lazo.

Nota importante: Para decidir si una relacin es o no reflexiva es imprescindible conocer el conjunto A (no es suficiente visualizar la grfica) pues resulta necesario que todo elemento del conjunto que se estudia est relacionado consigo mismo.

Grficamente:

Una relacin es reflexiva D C siendo D = {(x,x) / x A}; la llamamos diagonal de AxA = A2 constituida por el conjunto de componentes iguales. La reflexividad entonces se traduce en que la diagonal de A2 est contenida en la grfica de la relacin.

b) Propiedad SIMETRICA: Una relacin en A es simtrica cuando se verifica que si un par ordenado pertenece a su grfica, aquel que se obtiene porpermutacin de sus componentes, tambin le pertenece.

En smbolos: R =(A,G) es simtrica [x, y A: (x,y)G (y,x)G]

Desde el punto de vista de su diagrama, la simetra implica que si existe una flecha que vincula dos elementos (por ejemplo de x hacia y), deber existir una flecha de vuelta; dicho de otra forma, el par (y,x) deber pertenecer a la grfica de la relacin.

A2

A

A

D

.

.

.

1

2

3

Ejemplo 1: Volviendo al ejemplo " x tiene la misma edad que y ", esta relacin resulta ser simtrica ya que: " Jorge tiene la misma edad que Juan" entonces, "Juan tiene la misma edad que Jorge".

(Jorge, Juan) G (Juan, Jorge) G.

Ejemplo 2: Sea A = {1,2,3} y G = {(1,1),(2,3),(3,2)}

la relacin es simtrica: (2,3) G (3,2) G ; (1,1) (1,1) G

Grficamente: R es simtrica si su diagrama cartesiano es simtrico respecto de la diagonal de A2.

c) Propiedad TRANSITIVA: Una relacin definida en A es transitiva cuando, si los pares (x,y) e (y,z) pertenecen a su grfica, tambin pertenece el par (x,z).

Simblicamente:

R = (A,G) es transitiva [x,y,z A: (x,y) G (y,z) G (x,z) G]

Ejemplo 1: La relacin " x tiene la misma edad que y establecida en un conjunto de personas es transitiva; en efecto: si "Juan tiene la misma edad que Jorge" y "Jorge tiene la misma edad que Jos", entonces "Juan tiene la misma edad que Jos".

(Juan, Jorge) G (Jorge, Jos) G (Juan, Jos) G.

x

x

y

y

(x,y)

(y,x)

D

A

A

A2

Ejemplo 2: Sea A = {1,2,3} y G = {(1,1),(1,2),(2,3),(1,2)}

la relacin es transitiva ya que:

(1,2) G (2,3) G (1,3) G.

Ejemplo 3:

IMPORTANTE: la propiedad transitiva se verifica an cuando los elementos que intervienen en el estudio no sean distintos; para el conjunto {1,2}, si G = {(1,1) ; (1,2)}, la relacin resulta transitiva ya que:

(1,1) G (1,2) G (1,2) G

Puede justificarse la transitividad para las relaciones establecidas en el conjunto {1,2} que tienen como grficas G1 = {(1,2);(2,1)} ; G2 = {(2,1);(1,2)} y G3 = {(1,1)}.

d) Propiedad ANTISIMETRICA: Una relacin definida en A es antisimtrica si se verifica:

R = (A,G) es antisimtrica [x, y A: (x,y) G (y,x) G x = y ]

Ejemplo 1: La relacin de menor o igual es antisimtrica; en efecto:

( a b b a ) ( a = b ).

Ejemplo 2: La relacin de inclusin entre conjuntos tambin es antisimtrica.

( A B B A ) ( A = B ).

RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Definicin: R = (A,G) es una relacin de equivalencia si y solo si es reflexiva, simtrica y transitiva. Resumiendo: R es de equivalencia si se verifican simultneamente:

1) x A; x R x (reflexividad).

2) x R y y R x (simetra).

3) x R y y R z x R z (transitividad).

Ejemplo 1: Consideremos el ejemplo ya visto " x tiene la misma edad que y " (relacin de igualdad). Esta relacin, como hemos visto es reflexiva, simtrica y transitiva, resultando ser una relacin de equivalencia.

Ejemplo 2: La relacin de paralelismo entre rectas del plano es una relacin de equivalencia; en efecto, se verifica:

1) r : r || r. (reflexividad).

2) r1 ; r2 : r1 || r2 r2 || r1 (simetra).

3) r1 ; r2 ; r3 : r1||r2 r2 || r3 r1 || r3 (transitividad).

RELACIONES DE ORDEN

Definicin: R = (A,G) es una relacin de orden si y solo si es reflexiva, antisimtrica y transitiva.

1) x A : x R x (reflexividad).

2) x R y y R x x = y (antisimtrica).

3) x R y y R z x R z (transitividad).

Ejemplo 1: La relacin de "menor o igual" en un conjunto numrico es de orden. Ejemplo 2: La relacin de inclusin, definida en el conjunto de partes de un conjunto dado, es de orden; en efecto:

1) x P(A) : x x 2) x y y x x = y 3) x y y z x z

FUNCIONES.

Una relacin R = (A,B,G) es una funcin de A en B si y solo si todo elemento de A est relacionado con uno y solo un elemento de B.

Cuando R es una funcin de A en B, se utiliza el smbolo f en lugar de R y se simboliza:

f : A B. (Adems de la letra f, se utilizan para indicar funciones las letras g, h, etc.).

Para que una relacin sea funcional debern cumplirse, de acuerdo a la definicin dos condiciones:

1. EXISTENCIA: Para todo elemento a de A, deber existir un elemento b de B que le corresponda.

2. UNICIDAD: Ese elemento b de B, debe ser nico.

Si se considera una funcin f : A B y se sabe que un par de valores (x,y) satisface esa relacin funcional, se escribe:

y = f(x) que se lee " y igual a f de x.

Ejemplo 1: la relacin representada por el diagrama de Venn

no es funcin ya que el elemento 3 perteneciente a A no est relacionado con elemento alguno del conjunto B (no se verifica la condicin de existencia).

Ejemplo 2:

La relacin representada en el diagrama de Venn de la figura tampoco es una funcin ya que no cumple la segunda condicin: unicidad; (del elemento 5 de A parten dos flechas).

Ejemplo 3: La relacin de la figura es funcin ya que se cumplen las dos condiciones establecidas: existencia y unicidad. Dicho de otro modo, una relacin es funcional si de cada elemento del conjunto A de partida sale una y solo una flecha.

1 *

3 *

5 *

* a

* b

* c

* d

A B

1 *

3 *

5 *

* a

* b

* c

* d

A B

1 *

3 *

5 *

* a

* b

* c

* d

A B

Del anlisis de los ejemplos precedentes, se concluye que para decidir si una relacin establecida entre los elementos de dos conjuntos (iguales o distintos) es una funcin, basta con observar el conjunto de partida.

La observacin de las figuras precedentes nos permite afirmar que si una relacin es funcional, su DOMINIO y el CONJUNTO DE PARTIDA deben coincidir.

REPRESENTACION DE FUNCIONES.

Siendo un caso particular de relaciones, se utilizan los mismos procedimientos para representarlas.

Ejemplo 1: Sean: A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c,d} ; G = {(1,a),(2,a),(3,d),(4,c)}

a cada elemento de A le corresponde una y solo una imagen en B; por lo tanto R= (A,B,G) es una f : A B

La tabla a simple entrada es:

.

.

.

NO ES FUNCION

.

.

.

.

.

.

NO ES FUNCION ES FUNCION

1 *

2 *

3 *

* a

* b

* c

* d

A B

4 *

AB

1 2 3a cd

4a

La tabla de doble entrada:

(si es funcin no debe haber dos cruces en la misma lnea horizontal).

La representacin cartesiana es:

(no debe haber dos puntos en la misma lnea vertical: puede reconocerse si un grfico cartesiano representa una funcin porque una paralela al eje vertical no puede cortarlo en ms de un punto.

FUNCIONES NUMRICAS.

Las funciones de uso ms frecuente son las denominadas funciones numricas, en las que el DOMINIO (coincidente con el conjunto de partida) y el CODOMINIO (que puede coincidir con el conjunto de llegada o ser un subconjunto del mismo) son conjuntos numricos (iguales o distintos); en este tipo de funciones la imagen que corresponde a cada elemento del dominio se determina mediante una frmula.

Ejemplo 1:

La longitud de una circunferencia depende de su radio (la longitud es funcin del radio).

l = 2 pipipipi r o sea l = f(r).

Ejemplo 2:

AB

1

3

2

a b c d

4

1 2 3A

B

a

b

c

d

4

La aceleracin que adquiere un punto material, depende de la fuerza aplicada y de la masa de dicho punto.

o sea a = g(f,m)

Ejemplo 3: El volumen de un paraleleppedo recto rectangular depende de la

longitud de sus aristas.

V = a b h

o sea V = f(a,b,h)

En el ejemplo 1 vemos que a cada valor del radio (variable independiente) le corresponde un solo valor de la longitud l de la circunferencia (variable dependiente), mientras que en el ejemplo 2 la aceleracin es funcin de dos variables independientes (la fuerza y la masa) y en el ejemplo 3 el volumen es una funcin de tres variables independientes. Trabajaremos en lo sucesivo con funciones de una sola variable independiente.

Ejemplo 4:

Sea f : Z Z / f(x) = 2x - 1

La expresin simblica precedente se traduce diciendo que se trata de una funcin f en la cual tanto el dominio (conjunto de partida) como el conjunto de llegada es el conjunto Z; la funcin es tal que, a cada elemento x del dominio le corresponde como imagen su valor multiplicado por dos restndole luego uno; dicho de otra forma la funcin f transforma a cada elemento x del dominio Z en su duplo disminuido en una unidad.

Si nos interesa hallar el valor que toma la funcin para x = 2 o sea, si queremos calcular f(2) (se lee f de 2), haremos

f(2) = 22 - 1 = 3.

y decimos que 3 es la imagen de 2 o bien que 2 es la preimagen de 3. Para efectuar la representacin cartesiana de f, observemos primero que su

grfica tiene infinitos elementos (ya que el dominio Z los tiene) y por lo tanto solo podra efectuarse una representacin parcial. Para ello tomamos un par de ejes, ubicando sobre el de abscisa (eje horizontal) los valores que corresponden al conjunto de partida y sobre el de ordenadas los elementos del conjunto de llegada (del cual recordemos, de acuerdo con la convencin que hemos adoptado el

a =fm

ab

h

conjunto codominio o imagen es un subconjunto). Determinamos a continuacin las imgenes de algunos elementos del dominio:

f(-2) = 2(-2) - 1 = -5

f(-1) = 2(-1) - 1 = -3

f(0) = 2(0) - 1 = -1

f(1) = 2(1) - 1 = 1

f(2) = 2(2) - 1 = 3

Observacin: La representacin cartesiana queda as terminada. Se advierte que no corresponde unir entre s los puntos obtenidos, ya que se trata de una funcin de Z en Z, lo que significa que para los reales no enteros la funcin no est definida.

Ejemplo 5:

Sea ahora f: R R / f(x) = 2x 1

observamos que la ley de o frmula que relaciona elementos del dominio con sus imgenes es la misma que en el ejemplo 4, pero en este caso, la funcin es de R en R y su representacin cartesiana es una lnea continua.

f(x) = 2x - 1

o bien y = 2x - 1 Ejemplo 6:

Sea f: N Z /f(x) = x2 - 4

Para los elementos 1,2 y 3 del dominio N, las imgenes resultarn:

f(1) = -3 f(2) = 0 f(3) = 5

Vemos que para x = 2, el valor de la funcin es f(2) = 0; en este caso decimos que x = 2

-

-

-

-

-

-

-

-

IIII x1 2-1-2 0

123

-1-2-3-4-5

-

-

-

-

-

-

-

-

IIII x

y

1 2

123

-1-2-1-2-3-4-5

- - -

-

-

- -

-

I I I I x

y

1 1

2

2 3

3

4 5

-1

-2 -3

-1

es un cero de la funcin.

Ejemplo 7: Sea f: R R / f x

xx( ) =

+

1

2

verificamos que para x = 2, f(2) no existe (ya que no es posible la divisin por cero), resultando entonces que f(x) as definida no es funcin de R en R , como consecuencia de que el elemento 2 perteneciente a R no tiene imagen al aplicar la frmula.

Si queremos hallar el Dominio para el cual tiene validez la formula, el mismo resultar ser aquel conjunto cuyos elementos no anulen el denominador, vale decir, en nuestro caso:

Dom f(x) = R - { 2 }.

Convenimos entonces, que el DOMINIO de una funcin es el subconjunto ms amplio posible de los nmeros reales para el cual tiene sentido aritmtico la frmula utilizada para definirla.

Ejemplo 8:

Una funcin puede expresarse por medio de ms de una frmula; en efecto:

En este caso, las imgenes debern obtenerse, empleando dos frmulas distintas: para x ]-, +1[ la frmula a aplicar es f(x) = x2 , y para x [+1 , +[ aplicaremos f(x) = x, resultando:

f(-3) = (-3)2 = 9

f(-2) = (-2)2 = 4

f(-1) = (-1)2 = 1

f(0) = 0

f(2) = 2

Sea f:R R / f(x)=

x 2 si x

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES.

Hemos visto que para decidir si una relacin de A en B es o no funcin basta con observar que es lo que sucede en el conjunto de partida: " de cada elemento del conjunto de partida debe salir una flecha (existencia) y solo una (unicidad).

Lo que sucede en el conjunto de llegada, permite efectuar una clasificacin de las funciones.

a) FUNCIONES SURYECTIVAS:

Cuando a cada elemento de conjunto de llegada, arriba por lo menos una flecha, decimos que la funcin es SURYECTIVA o SOBREYECTIVA.

En general decimos que una funcin f de A en B es suryectiva si para todo elemento y perteneciente a B (conjunto de llegada), existe al menos un elemento x perteneciente a A (dominio) tal que f(x) = y.

f: A B es suryectiva [ y B; x A / f(x) = y ]

Ejemplo 1: Sean A ={1,2,3} ; B ={a,b} ;

f = {(1,a),(2,a),(3,b)} es una funcin que aplica A sobre B (es suryectiva); ya que todos los elementos del conjunto de llegada tienen preimagen.

Ejemplo 2:

.

.

.

.

ES SURYECTIVA

.

.

.

.

NO ES SURYECTIVA

Sea A = {1,2,3} B = {a,b}

f = {(1,a),(2,a), (3,a)} no es suryectiva, pues el elemento b del conjunto B no tiene preimagen.

b) FUNCIONES INYECTIVAS:

Cuando a cada elemento del conjunto de llegada, arriba a lo sumo una flecha, decimos que la funcin es INYECTIVA.

en estas condiciones, elementos distintos del dominio, tienen distintas imgenes.

Simblicamente:

f: A B es inyectiva [ x1 x2 f(x1) f(x2)]

dicho de otro modo: a imgenes iguales, corresponden preimgenes iguales, lo que se expresa en smbolos:

f: A B es inyectiva [ f(x1)=f(x2) x1 = x2 ]

Ejemplo 1: Sea A = {1,2,3} B = {a,b,c,d} y f : A B / f = {(1,a),(2,c),(3,d)}

como elementos distintos del Dom f = {1,2,3} tienen distintas imgenes, la funcin es inyectiva.

Ejemplo 2: Para los mismos conjuntos A y B del ejemplo anterior, con

f : {(1,a),(2,a),(3,b)} la funcin no es inyectiva: los elementos 1 y 2 del dominio tienen la misma imagen.

.

.

.

.

ES INYECTIVA

.

.

.

.

NO ES INYECTIVA

B B

Prcticamente puede verificarse en su representacin cartesiana que una funcin es inyectiva, cuando cualquier recta paralela al eje horizontal la corta a lo sumo en un punto.

c) FUNCIONES BIYECTIVAS:

Cuando una funcin f: A B es INYECTIVA Y SURYECTIVA, decimos que es BIYECTIVA; en este caso puede expresarse

f : A B

Ejemplo: Sea A = {1,2,3} B = {a,b,c} y f: A B / f : {(1,b),(2,a),(3,c)}

f: A B es SURYECTIVA (todos los elementos de B tienen preimagen); INYECTIVA (elementos distintos del dominio tienen distintas imgenes) y por lo tanto es BIYECTIVA.

Para que se de esta situacin resulta necesario que sean iguales los nmeros de elementos de los conjuntos de partida y de llegada (coincidentes en este caso respectivamente con el dominio y el codominio) y adems que a cada elemento del conjunto de llegada arribe una flecha.

FUNCION INVERSA.

Segn hemos visto, dada una relacin R puede obtenerse siempre su R-1. Como toda funcin es un caso particular de relacin, existir la relacin inversa, pero no siempre esa relacin inversa ser una funcin.

Si recordamos que para pasar de una relacin a su relacin inversa en un diagrama de Venn basta con "dar vuelta las flechas" y en la grfica basta con "permutar el orden de las componentes" de los pares ordenados, estudiaremos que es lo que sucede cuando "damos vuelta" funciones que no son inyectivas o funciones que no son suryectivas.

ES INYECTIVA

x

y

y=f(x)

x

y

NO ES INYECTIVA

y=f(x)

1 *

3 *

* a

* b

* c

AB

4 *

2 *

Si una funcin no es inyectiva:

A = {1,2,3,4}

B = {a,b,c}

f : A B / G = {(1,a),(2,b),(3,b),(4,c)}

al dar vuelta las flechas, la relacin inversa

R = (B,A,G-1)

G-1 = {(a,1),(b,2),(b,3),(c,4)}

no resultar funcin (del elemento b de B parten dos flechas: no se cumple la unicidad).

Si una funcin no es suryectiva:

A = {1,2,3}

B = {a,b,c,d}

f : A B / G = {(1,b),(2,a),(3,d)}


R-1 = (B,A,G-1)

G-1 = [(b,1),(a,2),(d,3)}

no resultar funcin (el elemento c de B no tiene imagen: no se verifica la existencia).

a

b *

c *

*B

* 1

* 3

* 4

* 2

A

1 *

3 *

* a

* b

* c

* d

A B

2 *

a *

c *

* 1

* 2

* 3

AB

d *

b *

En cambio si una funcin es a la vez inyectiva y suryectiva, o sea biyectiva

A = {1,2,3}

B = {a,b,c}

f : A B / G = {(1,c),(2,b),(3,a)}


R-1 = (B,A,G-1)

G-1 = [(a,3),(b,2),(c,1)}

resultar una funcin, que llamamos inversa y simbolizamos:

f-1 : B A.

Concluimos entonces que "la condicin necesaria y suficiente para que una funcin tenga funcin inversa es que sea biyectiva".

Ejemplo 1: Sean A = {1,2,3} B = {2,4,6}

f : A B / f(x) = 2x

La grfica es: G = {(1,2),(2,4),(3,6)}. Los diagramas de Venn y Cartesiano:

1 *

3 *

A

2 *

* a

* b

* c

B

a

b *

c *

*

B* 1

* 2

* 3

A

1 *

3 *

2 *

* 2

* 4

* 6 -

-

-

II x

y

-

-

-

I1 2 3

123456

Determinemos si f, admite funcin inversa:

a) es Inyectiva: elementos distintos del dominio tienen distintas imgenes.

b) es Suryectiva: todos los elementos del conjunto de llegada tienen preimagen.

Por lo tanto la funcin es biyectiva y admite funcin inversa.

Cuando la ley que vincula los elementos de A y B est dada por una frmula, la frmula que corresponde a la funcin inversa se obtiene intercambiando las variables y luego despejando y; en nuestro caso tenemos:

y = 2x

Intercambiando variables: x = 2y

Despejamos y

f-1 = B A / con B ={2,4,6} A ={1,2,3}

G-1 = {(2,1),(4,2),(6,3)}

Los diagramas de Venn y Cartesiano:

y =x

2y =

x

2

* 1

* 2

* 3

2 *

6 *

2 *4

-

-

-

II x

y

I1 2 3

123

4 5 6III

Ejemplo 2: Sea ahora, con la misma frmula del ejemplo anterior:

f : R R / f(x) = 2x.

La representacin cartesiana es

y siendo y = 2x la ley que permite obtener f; para obtener f-1 permutamos las variables x=2y y despejamos y

Siendo f-1 : R R /

Importante: Teniendo en cuenta que la funcin inversa se obtiene permutando los pares ordenados de la grfica, la representacin cartesiana correspondiente es una simetra respecto de la bisectriz del 1 y 3 cuadrantes; en efecto:

En f estn los pares (-1,-2) ; (0,0) ; (1,2)

En f-1 estn los pares (-2,-1) ; (0,0) ; (2,1)

x y-10

-2021

-

-

-

-

-

IIII x

y

(1,2)

y =x

2

y =x

2

x y-1

0-2

02 1

-

-

-

-

IIII x

y

y =x

2

-

-

-

II x

y

(1,2)(2,1)

y=2xy=x

y=x/2

-

III

Ejemplo 3: Determinar si la funcin

f : R - {0} R / admite funcin inversa.

Para que f tenga funcin inversa, segn hemos visto, debe ser biyectiva, o sea, inyectiva y suryectiva.

a) Verifiquemos si es inyectiva:

y se cumple:

f(x1) = f(x2) x1 = x2

b) Verifiquemos si es suryectiva. Para que esto suceda, todo elemento del conjunto de llegada debe tener preimagen; esto no sucede con el cero.

cociente que no puede efectuarse si y = 0; en consecuencia la funcin dada no es suryectiva.

Si queremos que f sea una funcin suryectiva, debemos restringir el conjunto de llegada, limitndolo a R - {0} y de este modo todo elemento del conjunto de llegada tendr preimagen. De la observacin del diagrama cartesiano de la funcin se ve que si se hubiera dado como conjunto de partida al conjunto R en lugar de R - {0} la relacin dada no hubiera sido funcional ya que el elemento 0 de R no tendra imagen.

Ejemplo 4: Sea la funcin hallar el dominio.

Recordemos que segn hemos visto, el dominio de una funcin es el subconjunto ms amplio posible de los nmeros reales, para el cual tiene sentido aritmtico la frmula utilizada para definirla.

f(x)= 1x

f x f xx x

( ) ( )1 21 2

1 1= =

1 1

1 2x x= =x x1 2

yx

=

1 xy

=

1

f A B f x x

x : / ( ) : =

2

3

Si observamos la frmula de nuestro ejemplo, surge inmediatamente que no existir imagen si el denominador del segundo miembro se anula, es decir si x - 3 = 0; resultar necesario entonces que

x - 3 0 o sea x 3

Concluimos que el dominio A deber ser: A = R - {3}

Ejemplo 5: Sea la funcin f A B f x

xx: / ( ) =

2

3; hallar el dominio.

Para que exista imagen, la cantidad subradical deber ser mayor o igual a cero, y adems debe ser x 3 a efectos de que no se anule el denominador;

a) se verifica anulando el numerador, o sea cuando x = 2.

b) implica que numerador y denominador debern ser ambos positivos o negativos, lo que se expresa:

b1) (x-2) > 0 (x-3) > 0 x > 2 x > 3

que puede graficarse:

x ] 3 , + [

b2) (x-2) < 0 (x-3) < 0 x < 2 x < 3

cuya grfica es:

x ] -, 2 [

x

xx

2

30 3

x

x

=

2

3 0

IooI1 2 3 40 x

y

o II1 2 3 40 x

y

o

x

x

>

2

3 0

Solucin:

x ]-, 2[ {2} ]3 , +[ = ]-, 2] ]3, +[

O lo que es igual: Dom f = R - ]2 , 3]

Ejemplo 6: Sean A = R - {3} y B = R - {1} y la funcin definida por:

a) Determinar si f admite funcin inversa.

b) Si a) resulta afirmativa, hallar una frmula que defina la funcin inversa.

a1) Verificamos si f es inyectiva, o sea si

[ f(x1) = f(x2) ] [ x1 = x2 ]

del antecedente de la implicacin anterior, resulta operando:

(x1 - 2) (x2 - 3) = (x2 - 2) (x1 - 3)

x1x2 - 3x1 -2x2 +6 = x2x1 -3x2 - 2x1 + 6

3x2 - x2 = 3x1 - x1

x2 = x1

lo que significa que la funcin es inyectiva.

a2) Verificamos si f es suryectiva.

Recordamos que para que una funcin sea suryectiva todos los elementos del conjunto de llegada deben tener preimagen; hallemos la preimagen de:

oI II-1 0 1 2 3 4 x

y

Dom f Dom f

f A B f xx

x: / ( ) =

2

3

f x( )=1

f x x

x ( ) = =

1

2

3 x x = 2 3

Si resulta que no existe valor de x que satisfaga esta igualdad (no existe preimagen de f(x) = 1); para cualquier otro valor de R que demos a f(x) existir un valor de x que le corresponda

(la preimagen de 2 es 4, o bien, para x = 4 resulta f(x) = 2 ).

En consecuencia, si el conjunto de llegada es R -{1}, todos sus elementos tendrn preimagen ; en estas condiciones, la funcin resulta suryectiva. Siendo inyectiva y suryectiva, la funcin es biyectiva y por lo tanto admite funcin inversa, cuya frmula se obtiene de:

o sea

1) intercambiando las variables:

2) despejando y: x(y - 3) = y - 2

x.y - 3x = y - 2

x.y - y = 3x - 2

y.(x - 1) = 3x - 2

o sea, f-1 :

Con frecuencia, en lugar de comenzar por determinar si f es biyectiva, el problema se encara definiendo la relacin inversa de la funcin dada y estudiando luego si la relacin as obtenida es una funcin; para nuestro ejemplo, estando definida

x f x

x ( ) = =

2

2

3

x x ( ) = 2 3 2

x x = 2 6 2

x = 4

f x x

x ( ) =

2

3 y

x

x =

2

3

x y

y =

2

3

y x

x =

3 2

1

(R R f x

x

( =

1 3

3 2

1

1

)

) /

La relacin inversa ser una R-1 = (R-{1}; R-{3}; G-1)

en la que G-1 estar dada por la frmula

En esta frmula, para todo valor del dominio R - {1}, obtendremos imagen y adems esa imagen ser nica por provenir de un cociente; concluimos entonces que la relacin inversa de la funcin dada es su funcin inversa.

Ejemplo 7: Sea f : { (x,y) / y = -3x + 5 x [1,3]}

siendo el Dom f = [1,3]; para x = 1 resulta f(x) = 2 y para x = 3 resulta f(x) =-4 lo que nos permite afirmar que Im f = [-4,2]

La funcin es inyectiva en [1,3] y por lo tanto puede obtenerse su funcin inversa de la siguiente manera:

a) intercambiando variables: x = -3y + 5

b) despejando y, se obtiene

La representacin de

verificndose:

Dom f = [1,3] = Im f-1 ; Im f = [-4,2]= Dom f-1

Como puede apreciarse en la figura la representacin de f--1 puede hacerse confeccionando una tabla de valores para la frmula que la define, o bien, como ya hemos expresado, efectuando una simetra con la funcin dada f, respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante (recta a 45).

y x

x =

3 2

1

y x = + 1

3

5

3

-

-

-

-

-

-

-

IIII xI I III1 2 3 4 5-1-2-3-4

123

-1-2-3-4

0

y=x

f(x)

f-1(x)

(3,-4)

(2,1)

(1,2)(-4,3)

COMPOSICIN DE FUNCIONES.

Los conceptos desarrollados al definir Composicin de Relaciones pueden aplicarse aqu, dado que una funcin, como sabemos es un caso particular de relacin.

Ejemplo 1: Supongamos tener los conjuntos.

A = {1,2,3} B = {2,4,6} C = {3,6,8,9} y las relaciones

R1 = (A,B,G1) / G1 = {1,2),(2,4),(3,6)}

R2 = (B,C,G2) / G2 = {2,3),(4,6),(6,9)}

En diagramas de Venn

observando G1 y G2 podemos deducir que tanto R1 como R2 son funciones y por lo tanto pueden simbolizarse:

f : A B / G1 = {1,2),(2,4),(3,6)}

g : B C / G2 = {2,3),(4,6),(6,9)}

o bien expresarse cada una mediante su correspondiente frmula:

Componer f con g significa aplicar primero la funcin f y luego la funcin g. Dadas entonces, dos funciones

f : A B y g : B C

se denomina funcin compuesta de f con g a la funcin de A en C definida mediante:

f : A B / f (x ) 2 x

f : B C / f (x )3

2x

=

=

1 *

2 *

3 *

* 2 ** 4

*

* 6 *

* 3

* 6

* 8* 9

g oooo f = g [f(x)]

que se lee: "f compuesta con g es igual a g de f de x", siendo en nuestro caso:

(g oooo f)(1) = g[f(1)] = g(2) = 3 (g oooo f)(2) = g[f(2)] = g(4) = 6 (g oooo f)(3) = g[f(3)] = g(6) = 9

y en general:

Ejemplo 2: Sean f: R R / f(x) = 2x + 1

g : R R / g(x) = 3x - 5

Hallar g oooo f y f oooo g.

Calculemos, antes de generalizar, por ejemplo g oooo f y f oooo g para x = 5

(g oooo f)(5) = g[f(5)] = g(11) = 28 (f oooo g)(5) = f[g(5)] = f(10) = 21

Observamos que la composicin de funciones NO ES CONMUTATIVA.

Generalizando entonces:

g oooo f = g[f(x)] = g(2x + 1) = 3(2x + 1) - 5 = 6x - 2 f oooo g = f[g(x)] = f(3x - 5) = 2(3x - 5) + 1 = 6x - 9

FUNCIONES POLINOMICAS.

Una funcin del tipo: 01

1

1 ...)(/: axaxaxaxfRRfn

n

n

n ++++=

en las que los segundos miembros de las frmulas correspondientes son polinomios en una variable, se denominan funciones polinmicas.

g f(x) g(2x)3

2(2x) 3x= = =

Ejemplo 1: Sea f : R R / f(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12

para efectuar la representacin cartesiana, confeccionamos una tabla a simple entrada o cuadro de valores.

Resulta importante conocer cuales son los ceros de la funcin (abscisas de los puntos en que la curva corta al eje x); recordemos que por ser el polinomio de grado 3 deber n existir tres ceros "reales o no"; en nuestro caso los pares son (-3,0) ; (1,0) y (4,0). Interesa adems identificar el punto (puede haber ms de uno) en que la curva corta al eje de las ordenadas, o sea el par (0,f(0)); para nuestro ejemplo el par es (0,12).

Conocidos los ceros de la funcin, la misma puede expresarse:

f : R R /f(x) = (x + 3) (x - 1) (x - 4).

Ejemplo 2: Sea f: R R / f(x) = x3 - 4x2 - 3x + 18

II II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--1-2-3-4 1 2 3 4 5

10203040

y

x

x f(x)-3-2-101234

-360161812406

II II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--1-2-3-4 1 2 3 4 5

10203040

y

x

x f(x)-4-3-2-1012345

-4001820120

-10-12032

Los puntos (-2,0) y (3,0) son las intersecciones de la curva que representa la funcin con el eje de abscisas y el par (0,18) es la interseccin con el eje de ordenadas.

La curva resulta tangente al eje horizontal en el punto (3,0) debido a que 3 es una raz de multiplicidad par (raz doble). Conocidas las races, la funcin puede expresarse:

f : R R / f(x) = (x + 2) (x - 3)2

Ejemplo 3:

Sea f: R R / f(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8

Puede demostrarse que por ser 2 una raz triple (multiplicidad triple) la curva es tangente al eje de abscisas en (2,0) y adems en ese punto lo corta, la funcin puede expresarse:

f : R R / f(x) = (x - 2)3

LA FUNCION LINEAL.

Sea f: R R / f(x) = a1x + a0 con a1 0 como el polinomio del segundo miembro de la frmula que define la funcin es de primer grado, a esta funcin se la denomina funcin lineal. El lugar geomtrico correspondiente es una recta.

III II II

-

-

-

-

-

-

-

--1-2 1 2 3 4 5

10203040

y

x

x f(x)-101234

-27-8-1018

Ejemplo 1: Sea f: R R / f(x) = 2x 2 o bien f: R R / f(x) = 2(x - 1)

La interseccin de la recta con el eje de abscisas se denomina abscisa al origen y es para nuestro ejemplo la primera componente del par (1,0). La interseccin con el eje de ordenadas se denomina ordenada al origen: en nuestro caso la segunda componente del par (0,-2). La ordenada al origen es el trmino independiente a0 de la frmula que define la funcin. Salvo en el caso en que la recta pase por el origen (ejemplo siguiente), para trazar la es suficiente conocer la abscisa y a la ordenada al origen.

Ejemplo 2: Sea f: R R / f(x) = 2x

II II-

-

-

-

-

-

-1 1 2 3

1234

y

x

-1-2

x f(x)

01

02

-1 -2

II II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1234

y

x

-1-2-3-4-5-6

x f(x)-3-2-10123

-8-6-4-2024

LA FUNCIN CUADRTICA.

Si f: R R / f(x) = a2x2 + a1x + a0 con a2 = 0

la funcin se denomina funcin cuadrtica: siendo su lugar geomtrico una parbola.

Ejemplo 1: Sea f: R R / f(x) = x2 - x - 6

Los ceros de la funcin son -2 y 3 y resultando la interseccin con el eje de abscisas los pares (-2,0) y (3,0) y la interseccin con el eje de ordenadas, el par (0,-6).

Observando el cuadro de valores vemos que existen elementos pertenecientes al dominio de la funcin que tienen la misma imagen, o sea, existen pares ordenados que pertenecen al lugar geomtrico con la misma segunda componente: (-3,6) y (4,6); (-2,0) y (3,0); (-1,4) y (2,4); (0,-6) y (1,-6); esto significa que la parbola presenta un eje de simetra (en nuestro caso una recta paralela al eje vertical). Para ubicar la posicin del eje de simetra, se toma cualquier conjunto de pares ordenados de igual segunda componente y se efecta la semisuma de las primeras componentes: se halla de esta forma el punto medio.

Por ejemplo para los pares (-3,6) y (4,6)

el eje de simetra resulta ser el conjunto de puntos {(x,y) / x = } que corresponde a una recta paralela al eje vertical, que pasa por el punto de abscisa . La interseccin de la parbola con el eje de simetra se denomina vrtice; en nuestro caso la abscisa es x = y la correspondiente ordenada ser:

x = +

=

3 4

2

1

2

II II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1234

y

x

-1-2-3-4-5-6

-

-56

x f(x)-3-2-10123

60-4-6-6-40

4 6

f(1/2)= 4

25

El vrtice es entonces el punto )4

25;

2

1(

la parbola es cncava hacia las y positivas, debido a que el coeficiente principal es positivo.

Por ser los ceros de la funcin -2 y 3, la misma puede expresarse:

f : R R / f(x) = (x + 2) (x - 3)

dichos ceros fueros obtenidos del cuadro de valores confeccionado para dibujar la parbola; otro mtodo til consiste en hallar las races de la ecuacin de 2do. grado (polinomio de 2do. grado igualado a cero) y escribir luego la denominada forma factorial

f(x) = a2 (x - x1) (x - x2)

donde x1 y x2 son las races de la ecuacin.

Ejemplo 2: Sea f: R R / f(x) = -x2 + 2x

los ceros de la funcin son 0 y 2 y por lo tanto la curva intercepta al eje de abscisas en (0,0) y (2,0) y al eje de ordenadas en (0,0). El eje de simetra se obtiene, como en el ejemplo anterior, tomando un conjunto de pares ordenados de igual segunda componente y realizando la semisuma de las primeras componentes: para el conjunto {(-2,-8);(4,-8)} obtenemos

El vrtice es el punto (1,f(1)) o sea V = (1,1), La parbola es cncava hacia abajo y ello se debe a que el coeficiente del trmino cuadrtico es negativo.

Puede escribirse, conociendo las races:

I II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-

-1-2-3-4 1 2 3 4

12

y

x

-1-2-3-4-5-6

-

-

-7-8

x f(x)-2-10123

8-301

-30

4 -8

x = +

= 2 4

2 1

f : R R / f(x) = -x (x - 2).

Ejemplo 3: Sea f: R R / f(x) = x2 - x + 2

Obtencin del eje de simetra:

de {(-2,8);(3,8)}

4

7)2/1( =f

Resultando el V =

4

7;

2

1

no existen ceros reales de la funcin; geomtricamente ello implica que la parbola no corta al eje de abscisas; adems es cncava hacia arriba ya que el coeficiente principal de la frmula que define la funcin es positivo.

FUNCIONES RACIONALES.

Sea

el segundo miembro de la frmula que define la funcin est formado por:

El dominio de la funcin R A es el conjunto de los reales, excluidas las races de Q(x) cuyo conjunto denominamos A.

II II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1234

y

x

-5678

x f(x)-2-10123

8422

84

x = +

= 2 3

2

1

2

f R A R f x P x

Q x : / ( )

( )

( ) = Q x ( ) 0

Q x b x b x b x bnn

n

n( ) ....= + + + +

1

1

1

1

0

P x a x a x a x ann

n

n( ) ....= + + + +

1

1

1

1

0

Ejemplo 1:

Sea

si el numerador y el denominador tienen factores comunes; en nuestro caso:

x2 - 4x + 3 = (x - 1) (x - 3)

podemos escribir: f : R - {1} R / f(x) = x - 3

La recta presenta un orificio en (1,-2) ya que x = 1 no pertenece al dominio de la funcin.

Ejemplo 2:

Sea

cuya frmula puede factorearse de modo tal que sea

resultando f : R - {1,3} R / f(x) = x2

II II II I II

-

-

-

-

-

-

-

-1-2-3-4 1 2 3 4 5

1234

y

x

-56789

o

o

x f(x)

-10123

10no existe4

4 16

-3-2

94

no existe

III I II

-

-

-

-

-

-

-1 1 2 3 4 5

12

y

x

-1-2-3-4

x f(x)-10123

-4-3no existe

0-1

4 1

f R R f x x x

x : / ( ) =

+

1

4 3

1

2

f R R f x x x x

x x : , / ( )

( )( )

( )( ) =

1 3

1 3

1 3

2

f R R f x x x x

x x : , / ( ) =

+

+ 1 3

4

4 3

4 3 2

2

la parbola tiene dos orificios en (1,1) y en (3,9), ya que los elementos 1 y 3 no pertenecen al dominio de la funcin.

Ejemplo 3:

Sea

o sea

los puntos de abscisas -2 y 2 no pertenecen al lugar geomtrico ya que -2 y 2 no pertenecen al dominio de la funcin.

FUNCIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES Y ESTRICTAMENTE DECRECIENTES.

Decimos que f es una funcin estrictamente creciente si

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

y que una funcin es creciente si

x1 < x2 f(x1) f(x2)

Con idntico razonamiento f ser una funcin estrictamente decreciente si

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

y que una funcin es decreciente si

y

xII I I I III-1-2-3 0 1 2 3-4

-

-

-

-

-

-

-

o

x f(x)

-4-202

no existe

4

-8-6

no existe

-1/6-1/4-1/2

1/2

1/6

f R R f x x

x : , / ( ) =

2 2

2

4 2

f R R f x x

x x : , / ( )

( )( ) =

+ 2 2

2

2 2

f R R f x x

: , / ( ) ( )

= +

2 2 1

2

x1 < x2 f(x1) f(x2)

FUNCIONES PARES E IMPARES.

Una funcin es par si y solo si:

x Dom f: f(x) = f(-x)

grficamente este hecho se traduce en que la representacin cartesiana resulta simtrica con respecto al eje de ordenadas.

Ejemplo :

f : R R / f(x) = x2

es una funcin par.

Una funcin es impar si y solo si x Dom f: f(x) = -f(-x)

Ejemplo:

f : R R / f(x) = x3

es una funcin impar.

FUNCION IDENTIDAD.

Si A es un conjunto cualquiera, se denomina funcin identidad a aquella que hace corresponder a cada elemento de A consigo mismo.

f : A A / f(x) = x

Si A = N la funcin tiene como lugar geomtrico un conjunto de puntos del primer cuadrante.

y

x

II

y

xx-x

II

y

x

f(x)f(-x)

x-x

..

Si A = Z la funcin tiene como Si A = R la representacin cartesiana es representacin cartesiana es la bisectriz del primer y tercer

cuadrante.

FUNCION CONSTANTE.

Se denomina as a una funcin tal que si su dominio es A, el conjunto imagen posee un nico elemento

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Sea f: R R / f(x) = k

La grfica es G = {(x,y) / f(x) = k} = {(x,k) / x R}

FUNCION SIGNO.

Designamos con este nombre a la funcin:

f: R R / f(x)

1 si x 0

0 si x 0

1 si x 0

=

<

=

>

x

(x,k)k

x

y

y

x1

1

2

2

3

3

-1-2

y

x1

1

2

2

3

3

-1-2

y

x

1 *

3 *

2 *

* 1

* 3

* 2

A A

la representacin cartesiana contiene los pares:

(x,-1) si x < 0 ; (0,0) si x = 0 ; y (x,1) si x > 0

FUNCIN PARTE ENTERA.

Se denomina parte entera de cualquier nmero real x al mayor nmero entero menor o igual que x.

En smbolos: [x] = mayor n Z / n x.

Resulta entonces que x / x [n,n+1[ : [x} = n

Ejemplo: x [ 1 , 2 [ : [x] = 1 x [ 2 , 3 [ : [x] = 2 x [ -1 , 0 [ : [x] = -1 x [ -2 ,-1 [ : [x] = -2

siendo la representacin cartesiana:

FUNCIN VALOR ABSOLUTO.

Extendiendo la definicin que dimos para el Valor Absoluto de un nmero entero, en el conjunto de los nmeros reales podemos definir una funcin que tiene por dominio al conjunto R y hace corresponder a cada nmero real consigo mismo si x 0 y con su opuesto si x < 0.

I II II I I

-

-

-

-

-

-

-1-2-3-4 1 2 3

123

y

x

-1

-3oo

o

o

o

o

x

y

O

O

1

-1

En smbolos: f : R R / f(x) =x

De la definicin de valor absoluto puede deducirse que el lugar geomtrico que corresponde a f(x) = x se obtiene de la representacin cartesiana de la funcin identidad f(x) = x efectuando una reflexin respecto del eje x de los puntos de ordenada negativa.

del mismo modo la representacin de: f : R R / f(x) = x2 - 2 se obtiene a partir de la representacin de y = x2 - 2

conservando la parte de la curva que corresponde a y 0 y reflejando sobre el eje x la parte en que x < 0.

I II II I I-

-

-

-1-2-3 1 2 3

12

y

xI

-

-

-

-

-

I II II I I-

-

-

-

-1-2-3 1 2 3

12

y

x

-1-2

I

-

-

-

IIII x

y

1 2

123

-1-2

y=I x I

x f(x)-2-1012

21012

-

-

-

-

-

IIII x

y

1 2

123

-1-2-1-2

y=xx f(x)-2-1012

-2-1012

x x si x 0

-x si x < 0 =

FUNCIN FACTORIAL.

Es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros naturales N y se define diciendo que cada nmero natural n tiene como imagen el producto:

f(n) = 1 2 3 ... (n-1) n

se simboliza: f (x) = x! y se lee: factorial de x

LA FUNCIN EXPONENCIAL y su inversa: LA FUNCIN LOGARITMICA.

Se denomina funcin exponencial a

f : R R+ / f(x) = ax con a R+ - {1}.

Si a = 1, la funcin exponencial se reduce, cualquiera sea x a la funcin constante.

f(x) = 1x = 1

En las condiciones definidas, la funcin exponencial har corresponder a cada x del dominio una potencia de base a positiva y exponente igual a x.

Por ejemplo: para x f( ) a a

para x 0 f(0) a 1

para x f( ) a1

a

1

a

12

12

0

12

12

12

12

12

= = =

= = =

= = = =

-

-

-

-

-

-

I III x

yx f(x)12

12

3 64 24

como a debe pertenecer a R+ - {1}, pueden diferenciarse los dos siguientes casos:

1) Si a > 1, es decir si a ] 1,+ [, la funcin exponencial resultante es estrictamente creciente y la curva exponencial es:

resultando asinttica respecto al eje x.

2) Si a > 1, es decir si a ] 0 , 1 [ , la funcin exponencial resultante es estrictamente decreciente y tendr el aspecto:

tanto en uno como en otro caso se verifica (es asinttica al eje x) que la funcin exponencial no tiene ceros.

La funcin exponencial ms utilizada es la que tiene como base al nmero irracional e = 2,7182818284..., denominndosela funcin exponencial natural.

y = ex

Segn puede demostrarse fcilmente, la funcin exponencial definida de R R+ es biyectiva, o sea admite funcin inversa de R+ R cuya frmula obtendremos de:

f(x) = y = ax Intercambiando variables:

x = ay

observamos que y es el exponente al que hay que elevar a para obtener x; despejamos y escribiendo:

a x y log xy a= =

y

x

- 1

y

x

- 1

y = ax

para a > 1

y = ax

para a < 1

Podemos entonces dar la siguiente

DEFINICIN:

Decimos que y es el logaritmo en base a de x, si y solo si, y es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x. Aplicando estrictamente la definicin precedente, resolveremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Calcular x si:

Ejemplo 3: Hallar la base de los logaritmos si:

Si la base de los logaritmos es el nmero 10, los llamaremos logaritmos decimales (H.BRIGS,1.560 - 1.631) y en la notacin omitiremos escribir la base: log x se sobreentiende log10 x

log

log

log

3

4

9

x = 2 3 = x o sea x = 9

x = -2 4 = x o sea x =1

4=

1

16

x = 9 = x o sea 9 = 81 9 = 9 3 = 27

2

-2

2

32

332

log 1000 = 3 a = 1000 o sea a = 10

log 64 = 3 a = 64 o sea a = 4

log 9 = a = 9 o sea a = 9 = 27

a

3

a

3

a2

332 3

lo g 5 n o tien e so lu c i n p o rq u e x : 1 5

lo g 1 tien e in fin ita s so lu c io n es x : 1

lo g (-4 ) n o tien e so lu c i n ya q u e x : 2

lo g 0 n o tien e so lu c i n ya q u e x : 2

lo g 2 n o tien e so lu c i n ya q u e x : 0

1

x

1

x

2

x

2

x

0

x

=

1

4

0

2

l o g 8 = 3 y a q u e 2 = 8

l o g 1 2 5 = 3 y a q u e 5 = 1 2 5

l o g 6 4 = 6 y a q u e 2 = 6 4

l o g 1 0 0 0 = 3 y a q u e 1 0 = 1 0 0 0

l o g 4 = y a q u e 2 = 2 = 2 = 4

2

3

5

3

2

6

1 0

3

21

224 41 24

24

Otro nmero que se utiliza como base logartmica es el nmero irracional e = 2,7182818; los logaritmos expresados en esa base se denominan logaritmos naturales o neperianos. (J.Neper, 1550-1671):

ln x se sobreentiende loge x

Siendo la funcin logartmica la funcin inversa de la funcin exponencial, para graficarla, como hemos visto, basta efectuar la simetra respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante; para los dos casos que pueden presentarse, a > 1 o a < 1 se dan las siguientes representaciones:

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.

De la definicin y la observacin de las grficas anteriores, que corresponden a los dos aspectos de curvas logartmicas que pueden presentarse, inferimos las siguientes propiedades:

1) Solo tienen logaritmos los nmeros reales positivos o dicho de otra manera, el dominio de la funcin logartmica es el conjunto de los reales positivos.

2) El logaritmo de la base, cualquiera sea esta es el nmero 1. 3) El logaritmo de uno, cualquiera sea la base es cero. 4) Los logaritmos de los nmeros mayores que uno son positivos si la base a

]1,+[ y son negativos si a ]0,1[. 5) Los logaritmos de los nmeros menores que uno son negativos si la base a

]1,+[ y son positivos si a ]0,1[. 6) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los

factores; en efecto:

( de la definicin de logaritmos: loga u es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener u ).

y s i v = a l o g va

y

x

f: R->R+/ y=ax

f: R+->R / y=logax

f: R->R / y=xPara a ]1,+[ y

x

f: R->R+/ y=ax

f: R+->R / y=logax

f: R->R / y=xPara a

S i u = a l o g ua

Efectuando el producto

y siendo el segundo miembro un producto de potencias de igual base:

resultando entonces:

y de acuerdo a la definicin de logaritmo:

7) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.

Siendo

por ser un cociente de potencias de igual base; aplicando la definicin de logaritmo al primero y tercer miembro de la doble igualdad anterior, resulta:

8) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia.

En efecto siendo: elevando a la potencia n ambos miembros, obtenemos:

por ser el segundo miembro una potencia de potencia

resultando, como consecuencia de aplicar la definicin de logaritmo:

u

v= a log

u

v= log u - log v(log u - log v) a a a

a a

u v = a log (u v) = log u + log v ( log u + log v)

a a aa a

u v = a ( l o g u + l o g v ) a a

a a = alog u log v ( log u + log v) a a a a

u v a alo g u lo g v a a =

x = a log x a

x = a n log x

a

n

x = a n n log x a

log x = n log x an

a

u = a v = a

u

v =

a

a = a

log u log v

log u

log v

(log u - log v)

a a

a

a

a a

COROLARIO: el logaritmo de una raz, es igual al logaritmo del radicando dividido por el ndice de la raz.

Siendo ; aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia, resulta:

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS (tambin llamadas funciones circulares)

Si hacemos coincidir el lado inicial de un ngulo con el semieje positivo de las abscisas y el lado final est ubicado en el primer cuadrante, eligiendo dos puntos P(x,y) y P1(x1,y1) sobre este ltimo lado , pueden definirse los segmentos OP = y OP1 = 1 llamados radios vectores de los puntos P y P1 respectivamente.

Puede establecerse, de acuerdo a la figura, las siguientes relaciones de proporcionalidad.

a) y

y

= constante

b) x

= x

= constante

c) y

x =

y

x = constante

1

1

1

1

1

1

=

las cuales nos permiten afirmar que las razones entre ordenada y radio vector, entre abcisa y radio vector y entre ordenada y abscisa correspondiente a un punto del lado final de un ngulo, no dependen de la posicin del punto sobre dicho lado.

x = x n 1

n

log x = log x

n a

n a

x

y

x1

y1

P(x,y)

P1(x1,y1)

Si ahora consideramos dos ngulos y , observamos que para el mismo radio vector, las razones que habamos establecido dejan de ser constantes. Deducimos que dichas razones dependen o son funciones del ngulo que se considere.

Definimos, entonces, las siguientes funciones:

a) funcin seno de : sen = y

b) funcin coseno de : cos = x

c) funcin tangente de : tg = yx

d) funcin cotangente de : cotg = xy

e) funcin secante de : sec = x

f) funcin cosecante de : cosec = y

Las seis funciones que hemos definido reciben el nombre de funciones trigonomtricas y el signo que les corresponde en cada caso, depende del cuadrante en que est ubicado el lado final del ngulo; dicho de otra manera, depende del signo de la abscisa y/o de la ordenada que correspondan ya que por definicin al radio vector lo consideramos siempre positivo.

x

y

x1

y1

P(x,y)

P1(x1,y1)

Los signos de las funciones trigonomtricas en los cuatro cuadrantes, se resumen en el siguiente cuadro:

sen. y cosecante

cos. y secante tg. y cotangente

1 cuadrante + + +

2 cuadrante + - -

3 cuadrante - - +

4 cuadrante - + -

DOMINIO E IMAGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

a) Dominio de la funcin seno:

Siendo sen = y con siempre positivo, el cociente del

segundo miembro existir para todo ngulo; ello implica que la funcin seno tiene como dominio al conjunto de todos los ngulos. Asimismo, teniendo en cuenta que la ordenada y puede adoptar valores positivos nulos o negativos segn el cuadrante al cual pertenezca el lado final del ngulo, y que en todos los casos se verifica: y ; expresin que equivale (recordar la definicin de valor absoluto) a:.

-1 y 1

o bien

-1 sen 1

resultando la Imagen de la funcin: { }1 z 1- R z/z = sen Im

Idntico razonamiento, permite obtener los dominios e imgenes de todas las funciones trigonomtricas, los que se expresan en el cuadro:

DOMINIO

IMAGEN

ysen =

Todos los ngulos

{ } [ ]1,111/ = zRzz

cos

=

x

Todos los ngulos

{ } [ ]1,111/ = zRzz

tgy

x =

Todos los ngulos excepto aquellos de x = 0

Reales

cot gx

y =

Todos los ngulos excepto aquellos de y = 0

Reales

x

=sec

Todos los ngulos excepto aquellos de x = 0

R z z R z

R

=

=

{ }/[ , ]

1 1

1 1

yec

=cos

Todos los ngulos excepto aquellos de y = 0

R z z R z

R

=

=

{ }/[ , ]

1 1

1 1

RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

a) El coseno, la cotangente y la cosecante son, respectivamente las COFUNCIONES del seno, tangente y secante. b) La cosecante, la secante y la cotangente, son respectivamente las RECIPROCAS (cuidado ! ! !: NO SON las funciones inversas) de las funciones seno, coseno y tangente. c) El cociente entre el seno y el coseno de un mismo ngulo es igual a la funcin tangente.

sen y

x

y

xtg

cos

/

/= = =

d) Se verifica la llamada relacin de Pitagrica de la Trigonometra:

sen2 2 1 + =cos

ACTIVIDAD: verifIcar la expresin precedente teniendo en cuenta las definiciones dadas.

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN FUNCION DE UNA CUALQUIERA DE ELLAS CONOCIDA.

En un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales dibujamos, con centro en el origen, una circunferencia de radio = 1 que, en adelante, denominaremos circunferencia trigonomtrica. En ella, un ngulo cualquiera del primer cuadrante queda definido si se conoce la posicin de un punto P(x,y) de la circunferencia tal que

(0 x ) y (0 x ).

En estas condiciones, el valor de la funcin sen

y y

= = =

11

queda representado por el valor numrico de la ordenada del punto P.

Si nos interesa, conocido sen hallar los valores de las dems funciones del mismo ngulo observamos que siendo = 1, el cateto opuesto al ngulo valdr y = sen ; resultando el cateto adyacente x por aplicacin del Teorema de Pitgoras igual a 1 2 sen ; aplicando entonces las definiciones correspondientes, resultar :

sen

1 Sen2

1

P (x, y)

x

y

seny

sen

xsen

tgy sen

senpara sen

gx

y

sen

senpara sen

x senpara sen

ecy sen

para sen

= =

= =

= =

= =

= =

= =

cos

;

cot

sec ;

cos ;

1

11

10

1

11

10

2

2

2

2

Siguiendo idntico razonamiento:

cuando se conoce cos cuando se conoce tg ,

ACTIVIDAD: construir el siguiente cuadro:

EN FUNCIN DE :

sen cos tg

sen

cos

tg

1- cos2

cos

1

x

y

1

tg

x

y

1 + tg 2

Para la cotangente hacemos uso de cot gtg

=

1 y

utilizamos las frmulas deducidas para la tangente; similar razonamiento empleamos para obtener el valor de las dems funciones trigonomtricas en funcin de la secante y de la cosecante; hacemos uso para ello del concepto de funciones trigonomtricas recprocas.

Ejemplo:

Calcular todas las funciones trigonomtricas de un ngulo = 30, sabiendo que sen 30 = 1/2

( )

230cos

33

2

3

230sec

33

330cot

3

3

3

1

2/3

2/1

30sen1

30sen30tg

2

32/1130sen130cos

2

130sen

2

22

=

==

==

===

=

===

=

ec

g

Actividad : Obtener los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo de 30 cuando se conocen el coseno o la tangente.

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE 0, 30, 45, 60 Y 90.

Pueden obtenerse fcilmente realizando algunas consideraciones geomtricas:

a) = 0.

seny

x

tgy

x x

gtg

no existe

ecsen

no existe

00

0

0 1

00

0

01

0

1

0

01

0

1

11

01

0

1

0

cos

cot

sec cos

cos

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

b) = 30.

Dibujamos los tringulos POM y MOQ, resultando :

$ $ $ P O Q= = = 60 , lo que implica que

el tringulo POQ es equiltero

con: PQ = ; PM = MQ = /2

( ) 2

32/

22==OM ;

en estas condiciones obtenemos:

x

y

x= = 1

x

y

P(x,y)

Q(x,-y)

30

30

M

( )

( )

( )230cos

33/23

230sec

33

330cot

3

3

3

1

2/3

2/30tg

2

32/330cos

2

12/30sen

=

==

==

====

===

===

ec

g

x

y

x

y

c) = 45. El tringulo POM es issceles

(x = y) Por el Teorema de Pitgoras:

2 2 2= +x y y siendo x = y

2 22= x

x = = 2

2

2

que para = 1 se escribe:

x y= =2

2

resultando:

sen 452

2

cos

cosec 45 = 2

45 = 2

2 sec 45 = 2

tg 45 = 1 cotg 45 = 1

=

d) = 60.

para obtener los lados

OM y PM ; comparar con

la figura que corresponde

a = 30.

o

P

M

45 =1 y = 2

2

x = 2

2

32

2

```

o

P

M

30

60

sen 60 = 3

2 cosec 60 =

2

3

60 = 1

2 sec 60 = 2

tg 60 = 3 cotg 60 = 3

3

3

cos

e) = 90.

sen 90 = y

= = 1

cos 90 = x

= 0

= 0

tg 90 = y

x =

0 = no existe

cotg 90 = x

y =

0 = 0

sec 90 = 1

0= no existe

cosec 90 = 1

Las deducciones precedentes pueden resumirse en el siguiente

cuadro:

0 30 45 60 90

Sen 0 2 2/

3 2/ 1

Cos 1 3 2/ 2 2/

1 2/ 0

Tg 0 3 3/ 1 3 no existe

Cotg no existe 3 1 3 3/ 0

Sec 1 3/2 2 no existe

Cosec no existe 2 2 3/2 1

x

= y = 1

REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE.

Las calculadoras electrnicas modernas permiten prescindir de esta operacin previo al clculo de la funcin trigonomtrica de un ngulo ya que dan el valor con su signo; si necesitamos efectuar la reduccin se procede de la siguiente manera:

a) Angulos del 2 cuadrante:

Restamos de 180 el valor del ngulo dado y le anteponemos el signo correspondiente.

Ejemplo: Calcular sen 135.

1) Restamos de 180 : 180 - 135 = 45. 2) Calculamos sen 45 y le anteponemos el signo que

corresponde a la funcin en el segundo cuadrante (positivo para el seno). sen 135 = sen 45 = 2 2/

b) Angulos del 3 cuadrante.

Restamos 180 al ngulo dado, calculamos la funcin para el ngulo del primer cuadrante y le anteponemos el signo que corresponde al tercer cuadrante.

Ejemplo: Calcular sen 240 .

1) Restamos 240 - 180 = 60. 2) sen 240 = -sen 60 = 3 2/ (la funcin seno es negativa en el tercer cuadrante).

c) Angulos del 4 cuadrante.

Procediendo con igual criterio que en a) y b), restamos de 360 el ngulo dado.

o

y

x

o

y

x

o

y

x

Ejemplo: sen 300 = - sen 60 = 3 2/ .

d) Angulos de ms de un giro.

Son de la forma pi= + con k Z2k ; .

Para calcular las funciones trigonomtricas de estos ngulos, bastar con restar al ngulo dado tantos giros como sea necesario para obtener un ngulo de mdulo menor que 2pi reduciendo luego al primer cuadrante, si fuera necesario.

Ejemplo 1: sen 420 = sen (420 - 1 giro) = sen (420 - 360) = sen

60 = 3 2/ .

Ejemplo 2: sen 930 = sen ( 930 - 2 giros) = sen ( 930 - 720 ) = =sen 210 = -sen 30 = -1/2.

PERIODICIDAD DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

Hemos visto en que dibujando una circunferencia de radio unitario, denominada circunferencia trigonomtrica, una lnea permite defi nir las distintas funciones trigonomtricas:

fig.1. fig.2. fig.3

Cuando el lado terminal OP del ngulo efecta un giro completo, el punto P vuelve a ocupar la posicin sobre el plano; esto significa que la ordenada de P (fig.1) por ejemplo no es slo el seno del ngulo sino adems de todos los ngulos pi+ 2k con k Z; .

o

y

xo

y

xo

y

x

PPP

Sen

Cos

Tg

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 25 50 75 100

125

150

175

200

225

250

275

300

325

350se

n(x)

Podemos escribir entonces:

sen = sen ( + 2 k pi) ; k Z y con anlogo razonamiento:

cos = cos ( + 2 k pi) ; k Z

Las funciones que tienen la propiedad de repetir sus valores a intervalos iguales reciben el nombre de FUNCIONES PERIODICAS, denominndose perodo al intervalo para el cual se repiten dichos valores. Las funciones seno y coseno son peridicas y de perodo 2pi. En cambio para la tangente y su recproca la cotangente, los valores de la funcin se repiten cuando avanzamos (sentido antihorario) o retrocedemos un ngulo ; resultando:

tg = tg ( + k pi) ; k Z

y cotg = cotg ( + k pi) ; k Z

Decimos que la tangente y su recproca, la cotangente, son peridicas y de perodo pi.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

Para efectuar la representacin cartesiana, utilizaremos los ngulos expresados en radianes (ver frmulas de conversin), aplicando los conceptos de Dominio e Imagen de las funciones trigonomtricas

a) Grfica de la funcin: y = sen x.

Dom sen x = R ; Im sen x = [ -1,1] Periodicidad : 2 pi.

Recordando que: pi r = 180

se obtiene una curva llamada SINUSOIDE.

-

La periodicidad de la funcin trigonomtrica permite extender la grfica, repitindola a lo largo del eje de las abscisas. Con igual criterio construimos las grficas de las dems funciones:

b) Grfica de la funcin: y = cos x

Dom cos x = R; Im cos x = [ -1,1] Periodicidad : 2 pi.

la curva se denomina COSINUSOIDE

c) Grfica de la funcin: y = tg x

Dom tg x = { x R x = ( pi/2 + n pi n Z } Im tg x = R Periodicidad : pi.

-

-

I I I IIo

90 180 270 360

-1 ,5-1

-0 ,50

0 ,51

1 ,5

0 40 80 120

160

200

240

280

320

360

d) Grfica de la funcin: y = cotg x

Dom cotg x = { x R x n pi n Z } Im cotg x = R Periodicidad : pi.

e) Grfica de la funcin: y = sec x

Dom sec x = { x R x ( pi/2 + n pi n Z } Im sec x = ]-,-1] [1,+[ = R - ]-1,1[

Periodicidad : 2 pi. (igual al perodo de su funcin recproca).

-

-

I I I IIo

90 180 270 360

-

-

I I I IIo

90 180 270 360

1

-1

f) Grfica de la funcin: y = cosec x

Dom cosec x = { x R x n pi n Z } Im cosec x = ]-,-1] [1,+[ = R - ]-1,1[ Periodicidad : 2 pi.

ALGUNAS FORMULAS IMPORTANTES.

Las igualdades que se satisfacen cualquiera sea el valor que signemos al o a los ngulos que es ellas intervienen, reciben el nombre de identidades trigonomtricas; sin demostrar daremos un listado de aquellas que entendemos resultan de necesario conocimiento.

( )( )( )( )

( )

( )

tgtg

tgtgtg

tgtg

tgtgtg

sen

sensen

sensen

sensen

sensensen

sensensen

sen

+

=

+=+

=

=

+=

=+

=

+=+

=+

1)9

1)8

cos2cos)7

cos22)6

coscoscos)5

coscoscos)4

coscos)3

coscos)2

1cos)1

22

22

-

-

I I I IIo

90 180 270 360

1

-1

10 . ) tg 2 =2 tg

1 - tg

1 1 . ) co s = 1 + co s 2

co s 2

= 1 + co s

2

12 . ) sen = 1 - co s 2

sen 2

= 1 - co s

2

13 . ) sen = co s (9 0 - )

1 4 . ) co s = sen (9 0 - )

1 5 . ) tg = co tg (9 0 - )

1 6 . ) co tg = tg (9 0 - )

1 7 . ) S um ando 2 . y 3 .

s en ( + ) + sen ( ) = 2 sen co s

y h ac iendo ( + ) = p ; ( ) = q se lleg a a :

sen p + sen q = 2 sen p + q

2 co s

p - q

2

18 . ) sen p - sen q = 2 sen p - q

2 co s

p + q

2

19 . ) co s p

2

2

2

+ co s q = 2 sen p + q

2 co s

p - q

2

2 0 . ) co s p + co s q = 2 sen p - q

2 sen

p - q

2

2 1 . ) S = p (p - a ) (p - b ) (p - c )

co n p =a + b + c

2 sem ip erm etro d e u n trin gu lo .

F rm u la d e H E R O N

FUNCIONES INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

Las funciones trigonomtricas, como hemos visto, tienen la propiedad de ser peridicas, lo que significa que existen elementos distintos del Dominio con la misma imagen (a partir de un ngulo cualquiera, sumando o restando el periodo, el valor de la funcin se repite). En estas condiciones, las funciones trigonomtricas definidas no son inyectivas, por lo tanto no son biyectivas y no admiten funcin inversa.

A efectos de que se cumpla la condicin de inyectividad puede restringirse el dominio; por ejemplo a partir de la funcin

[ ] senxxfRf = )(/1:1: definamos

[ ] senxxff =

)(/1:1

2;

2:

pipi

Hemos obtenido una funcin biyectiva que tiene funcin inversa: la funcin arco seno (forma abreviada de "arco cuyo seno es x) que se escribe: y = arc sen x

IMPORTANTE: En algunos textos, como as tambin en las calculadoras

electrnicas para la funcin inversa se utiliza y = sen-1 x en lugar de y = arc sen x ; no debe confundirse con la funcin recproca:

y = sen x = 1

sen x = cosec x

-1

pi/2 cuya representacin grfica resulta:

-

-

Io

1

-1

I

La expresin de las frmulas o ley que corresponde a la

funcin inversa se obtiene, como hemos visto:

a) intercambiando variables:

de y = sen x x = sen y

que se lee " x es igual a seno de y " o lo que es equivalente " y es el arco cuyo seno vale x ".

b) despejando y

y = arc sen x

El dominio de la funcin arco sen es el intervalo [-1,1] y la grfica se obtiene, como hemos visto, a partir de la funcin

por simetra respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrantes.

Ejemplos:

y = sen x, de domini o - pi pi

2 2 ,

arc sen 0 = 0 ; arc sen 1=2

arc sen (-1) =2

; arc sen 2

=4

pi

pi pi2

-

-

Io

1

-1

I

-

-

II

y =sen x

y= arc sen x

1-1

y=x

pi/2

pi/2

-pi/2

-pi/2

A partir de cada una de las otras funciones trigonomtricas, pueden definirse, previa restriccin adecuada del dominio sus correspondientes funciones inversas.

Para el coseno debe restringirse el dominio entre 0 y pi:

resultando como funcin inversa la funcin arco coseno:

siendo la representacin cartesiana:

NOTA: En las calculadoras, se usa cos-1 x en lugar de arc cos x;

no confundir con:

xx

x seccos

1cos 1 ==

De manera similar definimos la funcin arco tg x, restringiendo el dominio de

=

2;

2tg

pipiaxy

f : 0 , -1 , 1 / f(x) = cos xpi

f : -1,1 , / f (x) = arc cos x-1 -1 0 pi

-

-

Io

1

-1

-

II

y = cos x

y = arc cos x

1-1

y = x

I

-

pi/2

pi/2

pi

pi

La funcin tangente se define entonces (para que admita inversa):

tgxxfRf =

)(/

2;

2:

pipi

y su funcin inversa:

xarctgxfRf =

)(/

2:

2: 11

pipi

-

-

-

Io

-

II

y = tg x

y = arc tg x

y = x

-

I

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