UZ - TC II - Ejercicios Anlisis t
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Pág. 1.
EJERCICIOS: Análisis de circuitos en el dominio del tiempo 1. Régimen transitorio y permanente. En cada uno de los siguientes circuitos el interruptor ha
estado abierto largo tiempo. Se cierra en t = 0. Determinar VC(t) o IL
(t), dibujar la onda correspondiente e identificar las componentes forzada y natural.
2. Leyes de Kirchhoff. Plantear una ecuación diferencial para el voltaje v2
Vg R1 R2
C1 C2+v2(t)-
+
(t).
3. Principio de superposición. Encontrar el voltaje v(t) en el condensador mediante la aplicación
del principio de superposición, considerando que v(0) = V0 y que V1 e I2
V1
R1C
R2
I2+ v(t) -
+
son constantes.
4. Régimen transitorio y permanente. En el siguiente circuito, el voltaje aplicado cambia de 1 V
a 2 V en t = 0. Hallar las expresiones de VC e I para t ≥ 0. Considerar que la tensión de 1 V lleva aplicada largo tiempo antes de t = 0.
Ejercicios de Teoría de Circuitos II Ingeniería de Telecomunicación
Pág. 2
5. Régimen transitorio y permanente. En los circuitos siguientes el interruptor ha estado largo tiempo abierto y se cierra en t = 0. Obtener la variable V0(t) o I0(t) cuando VS
(t) = 10u(t). Dibujar la onda correspondiente e identificar las componentes forzada y natural.
6. Respuesta a un pulso de corriente. Encontrar la expresión de v(t) si Ig = I[u(t) – u(t–T)].
Datos: I = 10, T = 1, R1 = 3 Ω, R2 = 2 Ω, L = 5 H, iL
IgR1 R2
L
+v(t)-
i(t)(0) = 0.
7. Condiciones iniciales y respuesta de un circuito de segundo orden. El circuito está en régimen permanente con el interruptor cerrado, que se abre en t = 0. Datos: I(t) = 20 A, R1 = R2 = 9 Ω, R3 = 6 Ω, C1 = C2 = 1/18 F.
a. Determinar el voltaje en ambos condensadores en t = 0. b. Determinar la corriente en ambos condensadores en t = 0. c. Determinar el voltaje v(t) en el condensador C2 para t > 0. Indicar el valor de la respuesta
natural y forzada del voltaje v(t).
I(t)
R1
R2
C1 C2 R3
t>0
+
v(t)
-
8. Condiciones iniciales y respuesta de un circuito de primer orden. En el circuito de la figura,
en t < 0 el conmutador está en A; en t = 0 pasa a B y en t = 5 s cambia a C y permanece en dicha posición. Considerar que el voltaje aplicado no es sinusoidal (como indica la figura) sino constante.
a. Calcular la corriente en la bobina iLb. Calcular la corriente en la bobina i
(0) y el voltaje V(0). L
c. Calcular i(t) y V(t) en 0 ≤ t ≤ 5.
L
(t) y V(t) en t > 5.
Ejercicios de Teoría de Circuitos II Ingeniería de Telecomunicación
Pág. 3
9. Respuesta de un circuito de segundo orden. El circuito está en estado permanente en t = 0–
y el interruptor se abre en t = 0. Datos: V1(t) = 16 V, R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω, L = 5 H, C=1/80 F. a. Determinar la corriente iL(0) y el voltaje vCb. Calcular la corriente en la bobina i
(0). L(t) y el voltaje en el condensador vC
(t) en t > 0.
+R1 R2
t>0
V1
L
i(t)
C
10. Respesta de un circuito de segundo orden. Hallar la forma analítica de la componente
natural del voltaje en el condensador en los casos siguientes: a) R2 = 6 Ω. b) R2 = 5 Ω. c) R2 = 1 Ω. Datos: R1 = 4 Ω, L = 1 H, C = ¼ F.
Vg
R1
R2
L
C+
11. Encontrar la ecuación que satisface la intensidad iL2
16 .gV V=(t) que circula por la bobina L2 en los
siguientes casos: a) b) 232 6 .tgV e V−= + Suponer nula la corriente inicial en
ambas bobinas. Datos: R1 = 8 Ω, R2 = 4 Ω, L1 = 2 H, L2 = 1 H.
Vg
R1 L1
R2 L2
i2(t)+
12. Respuesta de un circuito de 2.º orden con excitación del mismo tipo que su respuesta
natural. Calcular iL(t) y vC(t) en t > 0 si Ia(t) = 8e–tu(t) A, vC
(0) = 0 V, iL(0) = 2 A. Señalar de qué caso de amortiguamiento se trata. Datos: R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω, L = 4 H, C = 1/4 F.
Ejercicios de Teoría de Circuitos II Ingeniería de Telecomunicación
Pág. 4
Ia
R1 L
C+
v(t)
-
R2
i(t)
13. Determinación de condiciones iniciales y finales. Si en t = 0– el circuito de la figura ha
alcanzado el régimen permanente y en t = 0 el interruptor cambia a la posición inferior, determinar V(0–), V(0+), [dV(t)/dt](0+
) y V(∞).
14. Calcular iL(t) en t > 0 si el circuito está en estado estacionario cuando t = 0–. Datos: v1(t) =
29cos(2t) V, v2
(t) = 10 V, R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, L = 1 H, C = 1/4 F.
v1
v2
R1
R2
L
C
iL(t)
t>0
t<0+
+
15. En el circuito de la figura, tenemos un generador de corriente continua que suministra I amperios.
a. Se cierra el interruptor en el instante t = 0. b. El condensador C se encuentra inicialmente (es decir, en t ≤ 0) descargado: ¿cuál es su
voltaje inicial vCc. Hacer la transformación de fuente y la agrupación de resistencias adecuadas para
convertir el circuito dato en otro equivalente de tipo RC serie con generador de tensión.
(0)?
d. Indicar el valor de la constante de tiempo τ que rige el proceso de carga del circuito RC serie equivalente obtenido.
e. Obtener el voltaje en el condensador, vC(t), en t ≥ 0. Comprobar que el voltaje en t = 0 coincide con el obtenido en el apartado a). ¿Cuál es el valor final (cuando t → ∞) de vC
f. Obtener la corriente en el condensador, i(t)?
C
g. Se abre de nuevo el interruptor en el instante t = t
(0), en t ≥ 0. ¿Cuál es su valor final? En función de esto, indicar si el condensador se comporta como un circuito abierto o como un cortocircuito.
1
h. ¿Cuál es el voltaje inicial en el condensador en t = t
segundos, de forma que el condensador C se descarga a través de las resistencias R2 y R3.
1
i. Obtener el voltaje v?
C(t) en t ≥ t1. ¿Cuál es su valor final? ¿Cuál es el valor de la constante de tiempo durante el proceso de descarga?
Ejercicios de Teoría de Circuitos II Ingeniería de Telecomunicación
Pág. 5
I R1 R2 R3
C
Soluciones
Para t ≥0: PROBLEMA 1
Circuito 1 [ ]
21
20
21
20
2121
20
)()/exp()(
)||()/exp(1)(
RRRVtvt
RRRVtv
RRCtRR
RVtv
CFCN
C
+=−
+−=
=−−+
=
τ
ττ
Circuito 2 [ ]
1
0
1
0
211
0
)()/exp()(
)||/()/exp(1)(
RVtit
RVti
RRLtRVti
CFCN
L
=−−=
=−−=
τ
ττ
Circuito 3 [ ]
21
20
21
10
211221
0
)()/exp()(
)||()/exp()(
RRRV
tvtRR
RVtv
RRCtRRRR
Vtv
CFCN
C
+=−
+=
=−++
=
τ
ττ
Circuito 4
1
0
1
0 )(0)()(RVtiti
RVti CFCNL ===
22
22 vdt
dvCRVg +=
PROBLEMA 2
PROBLEMA 3
( ) 0)()/exp()( 212210221 ≥+=−+−+−= tRRCtRIVVIRVtv ττ
PROBLEMA 4
[ ] 03/)10·2exp()(,)10·2exp(2)( 66 ≥−=−−= tttittv CC
Ejercicios de Teoría de Circuitos II Ingeniería de Telecomunicación
Pág. 6
PROBLEMA 5
Circuito 1 [ ] msttvC 1,0)5,0||26,0(1,0)/exp(18)( =+×=−−= ττ Circuito 2 [ ] ( )
Ω=Ω==
=+=−−++
=
kRkRR
msRRRLtRRR
RRV
ti sL
12,6
2,0||/)/exp(1111
1)(
231
213321
1
1
ττ
Circuito 3 [ ]
Ω=Ω=Ω=
=+=−−++
=
kRkRkR
msCRRRtRRR
RVtv so
5,3,,8
4,0)](||[)/exp(1)(
231
321321
2 ττ
Circuito 4 ( )
Ω=Ω=Ω=
=+=++−
=
kRkRkR
msRRRLRRR
tVti sL
20,10,6
4,0||/)/exp()(
321
321321
ττ
PROBLEMA 6
( )[ ][ ] ( )[ ] ( )
( )[ ][ ] ( )[ ] )1(1exp112)1()(exp112
)(/exp1/exp)()(/exp1)(21
21
21
21
−−−+−−−−=
−−−+
+−−−−+
=
tututut
TtutTRR
RIRTtututRR
RIRtv τττ
a.
PROBLEMA 7 2 3 3
1 1 2 11 2 3 1 2 3
(0) 112,5 ; (0) 45R R Rv IR V v IR VR R R R R R
+= = = =
+ + + +
b. 1 2 21 2 1
1 3
(0) (0) (0)(0) 7,5 ; (0) (0) 0v v vi A i iR R−
= = = − =
c. 6
2 2
2
( ) ( ) 54 9 V( ) 0
t tN
F
v t v t e ev t
− − = = −
=
a. PROBLEMA 8
(0) 0, (0) 0Li V= =
b. ( ) ( ) 3
3
( ) 1 exp / 5 1 exp 4 / 0,25
( ) 40
gL
g
Vi t t t L R s
RV t V V
τ τ= − − = − − = =
= =
c.
[ ] ( )
[ ]
( )
13
1 1 11 1 2 3
1 2 3
2
( ) ( ) ( ) ( ) (5) ( ) exp /
( ) 9 ; (5) 5 1 exp( 20) 5
0,1 ; 5||
( )( ) ( ) 72 48exp /
L LF LN L L L
gL L
LL
i t i t i t i i i tV Ri A i AR R R RL s t t
R R Rdi tV t R i t L t
dt
τ
τ
τ
−
− − −
′= + = ∞ + − ∞ −
∞ = = = − −+ +
′= = = −+
′= + = + −
Ejercicios de Teoría de Circuitos II Ingeniería de Telecomunicación
Pág. 7
a.
PROBLEMA 9 1
1
(0) 8 ; (0) 0L CVi A v VR
= = =
b. 8 2
8 2
( ) 2 2 8
( ) 80 80
t tL
t tC
i t e e Av t e e V
− −
− −
= − +
= −
PROBLEMA 10
( )[ ]
2 51 2
31 2
1 2
( )
( )
( ) cos(2 ) (2 )
t tna
tnb
tnc
v t k e k e Vv t k k t e V
v t k t k sen t e V
− −
−
−
= +
= +
= +
PROBLEMA 11
==+++=
==++=−−
−−
.3/5 -17/3 A 4)2()(
3/2 -8/3 Amp. 2)(
218
22
12
218
22
12
kkeketktikkekekti
ttb
tta
PROBLEMA 12
0),exp(4)()(2)(
)(1)()(1)()(
2
2
2212
2
>−−=++
+=++
+
tttidt
tdidt
tid
tILCdt
tdILRti
LCdttdi
LRR
dttid
LLL
aa
LLL
La raíz del polinomio o ecuación característica del primer miembro es λ = –1 (doble). La respuesta natural será:
)exp()()( tcbttiLN −+= Sin embargo, λ = –1que coincide con el exponente de la excitación. ¿Qué ocurre al ensayar, para la respuesta forzada, )exp()( tatiLF −= ? Son necesarios más parámetros.
0)exp()()()()( 2 >−++=+= ttcbtattititi LFLNL . Resulta:
0)exp()2102()()()( 2 >−++−=+= tttttititi LFLNL El voltaje en el condensador:
[ ] 0)exp()248(()()()()( 221 >−−=−+−−= tttttitIR
dttdiLtiRtv La
LLC
PROBLEMA 13
V(0–) = 0, V(0+) = 0, [dV/dt](0+) = 1, V(∞) = 0.
3 3 74 4 43
4
( ) exp( 2 ) exp( 5 ) cos(2 ) sen(2 )exp( 2 ) exp( 5 ) 1,90cos(2 1,17)
Li t t t t tt t t
−
−
= − + − + +
= − + − + −
PROBLEMA 14