Valor Absoluto
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Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático
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VALOR ABSOLUTO
¿Qué tienen en
común los
números –2 y +2?
Es obvio que son
distintos, pero
acaso ¿no están
ambos a la misma
distancia de 0?
En pocas palabras, –2 está a la misma
distancia a la izquierda de 0, que +2 a la
derecha de 0.
El VALOR ABSOLUTO de un número
representa la distancia del punto a al
origen.
"2" está a 2 unidades de cero,
y "-2" también está a 2 unidades de cero.
Así que el valor absoluto de 2 es 2,
y el valor absoluto de -2 también es 2
Esto es:
|–2| = 2 ; |2| = 2
Para cada número real “x”, la
interpretación de |x| es la distancia (sin
importar la dirección) a la que se
encuentra x del origen.
Definición Si: x R
x ; si x 0x
x ; si x 0
Ejemplos:
|7| = 7
|–3| = –(–3) = 3
2 3 2 3
3 π π 3
Propiedades:
P1.
2x x ; x
P2.
x 0 ; x
P3.
22 2x x x ; x
P4.
x x ; x
P5. x.y x . y ; x, y
P6.xx
; x, y y 0y y
ECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO:
Si a 0 x a x a x a
Ejemplos:
|x| = 2 x = 2 x = –2
|x - 3| = 5 x - 3 = 5 x - 3 = –5
x = 8 x = –2
Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático
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Resuelve las siguientes ecuaciones:
1. |5 – x| = 7
2. |x – 1| = 3
3. |x 3| 2
4. |2x 6| 4
5. |3x 6| |5x 10| 16
6. 1
2x 1
7. |x2| – |x| – 42 = 0
8. |x2 + x – 12| = 3 – x
9. |2x + 3| = |x – 1|
10. ||x – 5| + 3| = 2
INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO:
Propiedades :
P1.Si x a a 0 a x a
P2.Si x a x a x a
Resuelve las siguientes inecuaciones:
11. |3x – 5| < 7
12. |4x – 3| > 5
13. |x2 – 9| 7
14. |2x – 7| –2
15. |2x 4| |5x 10| 14
16. 1 1
3x 2x 52 3
17. |x2 – 6x + 8| 4 – x
18. |4 – x| > |2 + 3x|
19. |x2 – 2x – 5| < |x2 + 4x – 7|
20. 2
2
|x 4| 5
|x 5x 6| 2
Propiedades Auxiliares:
P1. Si x y x y x y 0
P2. Si x y x y x y 0
… PARA LA CASA
Resuelve el siguiente grupo de
ecuaciones e inecuaciones:
01. |3x – 4| = 0
A. 0 B. 3/4
C. 4/3 D. 1
02. |4 – x| = 3
A. {1, 7} B. {–1, –7}
C. {–1, 7} D. {1, –7}
03. |2x – 3| = 7
A. {2, 5} B. {–2, –5}
C. {2, –5} D. {–2, 5}
04. |3x – 2| = 1
A. {1/3, 1} B. {–1, 1/3}
C. {–1/3, 1} D. {–1, –1/3}
05. |x – 3| < 1
A. x ]–, 2[ B. x [2, 4]
Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático
3
C. x ]2, 4[ D. x ]4, +[
06. |3x – 6| < 9
A. x ]1, 5[ B. x [1, 5]
C. x ]–5, 1[ D. x ]–1, 5[
07. |x – 4| 1
A. x ]3, 5[
B. x ]–, 3] [5, +[
C. x ]3, 5]
D. x ]–, 3[ [5, +[
08. |x + 2| 3
A. [–5, 1[ B. [–5, 1]
C. ]0, 5] D. [1, 5]
09. |1 – 5x| < 1
A. [0, 2/5] B. [0, 1]
C. ]0, 5[ D. [0, 1[
10. 1
0|x 3|
A. R B. R – {0}
C. R – {3} D. [–3, 3]
11. |3x + 4| 3x + 8
A. [–2, +[ B. ]–8/3, +[
C. [2, +[ D. R
12. |x + 6| 10x
A. [–2/3, +[ B. [–11/6, +[
C. [6/11, +[ D. [2/3, +[
13. |2x + 3| < x + 1
A. [–1, +[ B. ]–2, –4/3 [
C. ]–1, +[ D. ]–4/3, +[
14. |2x + 6| 2x + 1
A. R B. R–
C. { } D. R+
15. |2x + 6| –4
A. { } B. R–
C. R D. R+
16. |2x + 6| = 2x + 6
A. [–3, +[ B. [3, +[
C. [2, +[ D. [–2, +[
17. |2x + 1| = |x|
A. {–1} B. {1, 1/2}
C. {–1/3} D. {–1, –1/3}
18. |2x + 4| = |x – 10|
A. {–2} B. {–14, 2}
C. {–14} D. {–14, –2}
19. |3x + 4| > 2x + 10
A. [–6, +[ B. ]–, –14/5[
C. [6, +[ D. [–14/5, +[
20. Si : |x2 + 4| + 3 x2 + 1 + |x – 5|,
el menor valor positivo que satisface la
inecuación es :
A. –2 B. –1
C. 1 D. 2
21. Si: |x – 4|2 – 5|x – 4| + 6 = 0, halla
la suma de los posibles valores de “x” que
satisface la ecuación.
A. 13 B. 16
C. 11 D. 5
22. Si: |x – 2| + x2 = 4, halla la suma de
los posibles valores de “x” que satisface la
ecuación.
A. 2 B. –2
C. –1 D. 1
23. Las soluciones de la ecuación :
|18 – 3x – x2| = 3 – x son:
A. –5 y 3 B. –5, –7 y 3
Profesor: Javier Trigoso T. Razonamiento Matemático
4
C. –7 y –5 D. –5, –6 y 3
24. La solución de la inecuación :
|x + 2 – x2| |x2 – 3x + 4|, es:
A. 1 x 3 B. – < x 1
C. –3 x D. – x 3
25. Resolver :
1 1 13x 2x x 1
2 3 6
A. {1, –1} B. {0, 1/3}
C. {–1, 1} D. {–1/3, 0}
26. Resolver la ecuación mostrada :
1 17x 1 x 1 4
4 4
e indica la suma de sus raíces.
A. 3 B. –1
C. 2 D. 0
27. Resuelve la ecuación :
2
3 3 5 51 1
xx x x
e indica la menor solución :
A. 4 B. –4
C. 1 D. –1
28. Después de resolver la inecuación :
x 1 x 1 3x 13 2,5
2 4 3
indica la suma de los valores enteros que
admite “x”.
A. –2 B. –1
C. 0 D. 1
29. Luego de resolver la inecuación:
2
6x1 1
x 2 x 3 x 5 x 6
indica un intervalo solución :
A. ]–3, 0[ B. ]2, 3[
C. ]–3, 3[ D. ]–2, 0[
30. Resolver :
|x3 – 7x + 6| 19x – x3 – 18, es:
A. ]–, –3[ ]–3, 1]
B. ]–3, 1] [3, +[
C. ]–, 1] [3, +[
D. ]–, –1] [1, +[
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