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VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOINTERS SIMPLEINTERS COMPUESTOIng. Pedro Walter Gamarra LeivaPor su naturaleza el inters puede ser dividido en dos grandes rubros:Inters simpleInters compuestoEn el siguiente esquema se muestra lo mencionado:

Qu es el inters simple?El inters simple es aquel que se calcula sobre un capital inicial que permanece invariable en el tiempo ya que los intereses se manejan por separado y siempre son de la misma cuanta.

INTERS COMPUESTOEl inters compuesto por el contrario, a pesar de poderse calcular a una tasa constante de inters durante el plazo de la operacin origina que el capital inicial se incremente peridicamente, ya que se integra automticamente al capital invertido para formar un nuevo capital.

Lo anterior significa, que cuando los intereses de una operacin financiera se pagan peridicamente, se trata de Inters Simple, y slo en el caso de que el pago de intereses no se efecten a su vencimiento y que se integren al capital inicial para acrecentamiento, se trata de Inters Compuesto.Elementos de transacciones que implican interesesMuchos tipos de transacciones tienen que ver con intereses (por ejemplo, pedir dineroprestado, invertir dinero o comprar maquinaria a crdito), pero ciertos elementos son comunes a todos estos tipos de transacciones. Esos elementos son los siguientes:

La cantidad inicial de dinero que se invierte o se solicita en prstamo en una transaccin se llama capital (C o P, por la inicial del trmino principal en ingls).La tasa de inters (i) mide el costo o precio del dinero y se expresa como un porcentaje durante un periodo.Un periodo llamado periodo de capitalizacin (n) determina la frecuencia con la que se calcula el inters. (Observe que, aunque la duracin de un periodo de capitalizacin puede variar, las tasas de inters se establecen en trminos de una tasa porcentual anual. Hablaremos sobre este aspecto del inters, un tanto confuso, en el captulo 3).Un periodo especificado determina la duracin de la transaccin y, por ende, establece un cierto nmero de periodos de capitalizacin (N).Un plan de ingresos o egresos (An) nos da un patrn especfico de flujo de efectivo en un periodo determinado. (Por ejemplo, podramos tener una serie de pagos mensuales iguales que liquiden el prstamo.)Una cantidad futura de dinero (F) es el resultado de los efectos acumulativos de la tasa de inters a lo largo de varios periodos de capitalizacin.Mtodos para calcular interesesInters simpleEl primer esquema considera el inters generado slo sobre el capital inicial durante cada periodo de capitalizacin. En otras palabras, en el marco del inters simple, el inters generado durante cada periodo de capitalizacin no genera intereses adicionales en los periodos restantes, aunque usted no lo retire.

En general, para un depsito de P dlares con una tasa de inters simple de i por Nperiodos, el inters total obtenido I seraI = (iP)N. La cantidad total disponible al fi nal de N periodos, F, seraF= P+ I = P(1 + iN). El inters simple comnmente se usa en prstamos o bonos suplementarios

Inters compuestoEn el esquema de inters compuesto, el inters generado en cada periodo se calcula con base en la cantidad total al final del periodo anterior. Esta cantidad total incluye el capital original ms el inters acumulado que se ha dejado en la cuenta.

En este caso, usted est incrementando la cantidad del depsito mediante la cantidad del inters ganado. En general, si usted depositara (invirtiera) P dlares a una tasa de inters i, tendra P + iP = P(1 + i) dlares al final de un periodo de capitalizacin. Si la cantidad entera (capital e inters) se reinvirtiera a la misma tasa i por otro periodo, usted tendra, al final del segundo periodo,P(1 + i) = i[P (1 + i)] = P(1 + i) (1 + i) = P(1 + i) 2.A continuacin, vemos que el saldo despus del tercer periodo esP(1 + i)2 + i[P (1 + i)2 ] = P(1 + i)3Este proceso de generacin de intereses se repite y, despus de N periodos, el valor acumulado total (saldo) F se habr incrementado a F = P(1 + i)N

PROBLEMA DE INTERS SIMPLE E INTERS COMPUESTOSuponga que usted deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga intereses a una tasa del 8% anual. Suponga que no retira el inters generado al final de cada periodo (ao), sino que deja que se acumule.

a) Cunto tendra al final del tercer ao con un inters simple? b) Cunto tendra al final del tercer ao con un inters compuesto?Inters simple contra inters compuestoANLISIS DEL PROBLEMA - INTERES SIMPLEDados: P = $1,000, N = 3 aos e i = 8% anual.Determine: F.METODOLOGAUtilice las ecuaciones del inters simple respectivo para calcular el total de la cantidad acumulada en cada esquema.SOLUCINa) Inters simple: Utilizando la ecuacin calculamos F como:

F = $1,000[1(0.08)3] = $1,240.

Ao tras ao, el inters se acumula de la siguiente manera:

Inters CompuestoInters compuesto: Si aplicamos la ecuacin respectiva a nuestro caso de tres aos con una tasa de inters del 8%, obtenemosF = $1,000(10.08)3 = $1,259.71.El inters total generado es $259.71, que es $19.71 ms que el acumulado con el mtodo de inters simple. Podemos seguir el proceso de acumulacin de intereses con ms precisin de la siguiente manera:

COMENTARIOS:Al final del primer ao, usted tendra $1,000 ms $80 de intereses, lo que dara un total de $1,080. De hecho, al principio del segundo ao, usted estara depositando $1,080, en vez de $1,000. As, al final del segundo ao, el inters ganado sera 0.08($1,080) = $86.40 y el saldo sera $1,080 + $86.40 = $1,166.40. sta es la cantidad equivalente que usted estara depositando al principio del tercer ao, y el inters generado en ese periodo sera 0.08($1,166.40) = $93.31. Con un capital inicial de $1,166.40 ms el inters de $93.31, el saldo total sera $1,259.71 al final del tercer ao.Equivalencia econmicaEl comentario de que el dinero tiene un valor en el tiempo nos lleva a una pregunta importante:

Si recibir $100 hoy no es lo mismo que recibir $100 en el futuro, cmo medimos y comparamos flujos de efectivo diversos? Cmo sabemos, por ejemplo, si es preferible tener $20,000 hoy y $50,000 dentro de 10 aos, que tener $8,000 cada ao durante los siguientes 10 aos? (Vase la figura siguiente.) En esta seccin describiremos las tcnicas analticas bsicas para hacer estas comparaciones. Luego, utilizaremos estas tcnicas para desarrollar una serie de frmulas que puedan simplificar enormemente nuestros clculos.Definicin y clculos simples

Equivalencia EconmicaExiste equivalencia econmica entre flujos de efectivo que tienen el mismo efecto econmico y podran, por lo tanto, cambiarse uno por otro en el mercado financiero (cuya existencia suponemos). La equivalencia econmica se refiere al hecho de que cualquier flujo de efectivo, ya sea un solo pago o una serie de pagos, puede convertirse en un flujo de efectivo equivalente en cualquier momento. Lo que es importante recordar sobre el valor presente de los flujos de efectivo futuros es que la suma actual es equivalente en valor a los flujos de efectivo futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el valor presente hoy, podra transformarlo en los futuros flujos de efectivo simplemente invirtindolo a la tasa de inters vigente, tambin conocida como tasa de descuento. Este proceso se muestra en la siguiente figura:

COMENTARIO: Uso del inters compuesto para establecer la equivalencia econmicaLos clculos de equivalencia requieren una base de tiempo comn para su comparacinAs como debemos convertir las fracciones a denominadores comunes para sumarlas, debemos convertir los flujos de efectivo a una base comn para comparar sus valores. Un aspecto de esta base es la eleccin de un solo punto en el tiempo en el cual efectuar nuestros clculos.Cuando se elige un punto en el tiempo en el que se comparan los valores de flujos de efectivo alternativos, normalmente utilizamos el tiempo presente, lo que nos da lo que llamamos el valor presente de los flujos de efectivo, o un punto en el futuro lo que resulta en su valor futuro. La eleccin del punto en el tiempo a menudo depende de las circunstancias que rodean una decisin en particular, aunque tambin puede hacerse a conveniencia. Por ejemplo, si se conoce el valor presente para las primeras dos de tres opciones, calcular el valor presente de la tercera nos permitir comparar las tres.Clculo del valor equivalente en n = 3

Frmulas de inters para flujos de efectivo nicosFactor de cantidad compuestaDada una suma presente P invertida por N periodos de capitalizacin a una tasa de inters i, qu suma se habr acumulado al trmino de los N periodos? Probablemente not de inmediato que esta descripcin encaja en el caso que encontramos al principio cuando describamos los intereses compuestos. Para despejar F (la cantidad futura), utilizamos la ecuacin:F = P(1 + i)N.A causa de su origen en los clculos de inters compuesto, el factor (1 + i)N se conoce como factor de cantidad compuesta. Al igual que el concepto de equivalencia, este factor es uno de los fundamentos del anlisis de ingeniera econmica. Dado este factor, se pueden obtener todas las dems frmulas de inters importantes.El proceso para determinar F a menudo se conoce como proceso de capitalizacin.Proceso de capitalizacin: Determine F, dados P, i, y N

Notacin con factoresA medida que continuemos desarrollando frmulas de inters en lo que resta de este captulo, expresaremos los factores de inters compuesto resultantes en una notacin convencional que pueda sustituirse en una frmula que indique con precisin qu factor de la tabla usar para resolver una ecuacin. Por ejemplo, en el caso anterior, la frmula obtenida como ecuacin es F=P(1+i)N. Para especificar cmo usar las tablas de inters, tambin podemos expresar ese factor en una notacin funcional como (F/P, i, N), que se lee como Encontrar F, dados P, i y N . Este factor se conoce como el factor de cantidad compuesta para pagos nicos. Cuando incorporamos el factor de la tabla a la frmula, sta se expresa de la siguiente manera:F = P(1 + i)N = P(F/P, i, N).Factor del valor presenteEncontrar el valor presente de una cantidad futura es simplemente lo contrario a calcular el inters compuesto, y se conoce como el proceso de descuento. En la ecuacin siguiente, podemos ver que si necesitamos encontrar una suma presente P, dada la cantidad futura F, simplemente despejamos P.

Proceso de descuento: Determine P, dados F, i y N