Si se tuvieran los valores de una funcin entonces su valor promedio se encontrara, sumando

todos los valores y dividiendo dentro de , ahora para una funcin continua en un intervalo

cerrado puede existir un nmero infinito de valores para considerar.

El concepto del valor promedio de una funcin en un intervalo es solamente uno de los muchos

usos prcticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. El concepto del

valor promedio de una funcin en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prcticos de

las integrales definidas para representar procesos de suma.

Se puede tomar una muestra de ellos. Hacemos una particin en el

intervalo en subdivisiones de la misma longitud , evaluamos en un

punto de cada subintervalo. El promedio de los valores de la muestra es:

=

=

=

Y sumando todas las partes se tiene

y con eso se llega a la integral de Riemann y se concluye que el promedio de una funcion viene

dado por :

Contenido

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1 Valor promedio de una funcin peridica

2 Ejemplo 1

3 Ejemplo 2

4 Busca mas temas

Valor promedio de una funcin peridica

A diferencia que una funcin normal , una funcin peridica tiene que cada tiempo se

repite la funcin, entonces para calcular su valor promedio de un punto a un punto se

calcula:

Ejemplo 1

Encontrar el valor promedio de la funcin:

Primero es encontrar el periodo de la funcin

El valor promedio de una funcin se calcula como :

entonces

Ejemplo 2

Encuentre el valor promedio de la funcin

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Teorema del valor medio En clculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teora del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemticos consideran que este teorema es el ms importante de clculo (ver tambin el teorema fundamental del clculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemticos; ms bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

ndice

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1 Enunciado para una variable

o 1.1 Demostracin

o 1.2 Forma integral del Teorema del valor medio

2 Enunciado para varias variables

3 Generalizaciones

4 Vase tambin

5 Referencias

6 Enlaces externos

Enunciado para una variable[editar]

Para una funcin que cumpla la hiptesis de ser definida y continua [a, b] y derivable en el intervalo abierto

(a, b) entonces existe al menos algn punto c en el intervalo (a, b) en que la pendiente de la curva es igual

que la pendiente media de la curva en el intervalo cerrado [a, b].

En esencia el teorema dice que dada cualquier funcin f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algn punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formul Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalizacin del teorema de Rolle que dice que si una funcin es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo en otras palabras, f(a) = f(b) entonces existe al menos algn punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.

Demostracin[editar]

Primero se consideran dos puntos y pertenecientes al grfico de la funcin. La ecuacin de la recta que pasa por estos dos puntos es:

Se define una funcin auxiliar:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Adems g satisface las condiciones del Teorema de Rolle en [a,b] ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

y as

que es lo que se quera demostrar.

Forma integral del Teorema del valor medio[editar]

Para una funcin continua en el cerrado , existe un valor en dicho intervalo, tal que

1

Demostracin Dado que la funcin es continua en el cerrado , posee un valor mximo

en dicho intervalo para algn , que llamaremos y tambin un valor

mnimo en el mismo intervalo: , para algn . Es

decir y . Si consideramos las

reas de los rectngulos con base y altura tendremos la siguiente desigualdad:

Lo que implica:

De donde se deduce que debe existir algn para el cual la funcin alcanza el

valor de la integral , es decir:

El teorema no especifca como determinar , pero resulta que coincide con el valor

medio (promedio) de la funcin en el intervalo .

Enunciado para varias variables[editar]

Sea un conjunto abierto y convexo y una funcin real diferenciable sobre ese abierto. Entonces se tiene que:

2

Donde , es la aplicacin lineal que representa

el jacobiano (gradiente), y .

Generalizaciones[editar]

No existe un anlogo estricto del teorema de valor medio para aplicaciones . En este caso, slo es posible establecer la siguiente desigualdad en trminos de lanorma:

Teorema del valor medio de Cauchy

Se ha propuesto fusionar este artculo o seccin con teorema del valor

medio, pero otros wikipedistas no estn de acuerdo.

Por favor, lee la pgina de discusin de ambos artculos y aporta tus razones antes

de proceder en uno u otro sentido.

En anlisis matemtico, y ms concretamente en clculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalizacin del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hpital, fuerte ayuda para el clculo de lmites con

indeterminaciones .

ndice

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1 Enunciado

2 Demostracin

3 Consecuencias

4 Referencias

Enunciado[editar]

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Sean y continuas en y derivables en . Entonces existe al menos un

punto tal que:

En el caso de que g(a) g(b) y adems g(c) 0, entonces podemos escribir:

Augustin Louis Cauchy

Ntese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresin se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Demostracin[editar]

Sea G(x) una funcin definida como:

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede

observar por simple inspeccin que G(a)=0 y G(b)=0.

Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0.

As, derivando G(x) se obtiene:

y sabiendo que G'(c) es 0

de donde se deduce que

Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresin anterior puede ser escrita

como:

Q.E.D.

Consecuencias[editar]

El teorema de Cauchy es usado para la demostracin de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hpital:

muy usada en anlisis matemtico, para el clculo de lmites de la forma

de .