VANGUARDIA. VAloRAcIóN DE opcIoNEs Cópula Gausiana ...

94 RiskEspañaPrimavera 2012

VANGUARDIA.VAloRAcIóNDEopcIoNEs

de cópula aparecen en el mercado cuando se dispone de información

cotizada de comportamiento de activos individuales, pero se sabe poco de su relación conjunta. La información de esta distribución conjunta se puede obtener a partir de precios de productos cuyo subyacente es una cesta de esos activos. Sin embargo, como hay mucha información incluida en un solo precio, es necesario formular algunos supuestos sobre la forma de la distribución para poder deducirla del mercado.

Por otro lado, cuando no se dispone de productos dependientes de varios activos, o tales productos no son suficientemente líquidos, es necesario realizar algunos supuestos sobre las relaciones conjuntas mediante parámetros cuyos valores se especifican como entradas (p. ej., la correlación). La sensibilidad a estos parámetros no observados permite estimar el riesgo de modelo y adoptar posiciones conservadoras de cara a su cotización en mercado y posterior gestión. La mayor parte de los supuestos de co-dependencia entre activos puede simplificarse mediante un modelo de cópula. Uno de los contextos más habituales en los que se han utilizado estos modelos es crédito

(por ejemplo, las obligaciones de deuda con garantía). Otra aplicación frecuente aparece en modelos híbridos, que combinan dos clases de activos diferentes respecto a los cuales no se dispone de información de co-dependencia. La aplicación concreta que se aborda en este artículo está relacionada con las opciones quanto de tipo de cambio.

La famosa cópula Gausiana puede ser deducida a partir de la dinámica de dos precios lognormales generados a partir de movimientos brownianos correlacionados. Depende de un solo parámetro: el coeficiente de correlación entre ellos. En este simple modelo, la asimetría de las distribuciones marginales no se tiene en cuenta. Si se añade volatilidad estocástica a la dinámica, la asimetría de las distribuciones marginales afectará a la co-dependencia de manera compleja. Utilizando una expansión asintónica en un régimen de volatilidad estocástica con reversión a la media rápida, es posible aproximar esta interacción entre la asimetría de las distribuciones marginales y la co-dependencia de forma analítica. Esto se denominará cópula Gausiana mejorada. Incorpora dos parámetros para cada subyacente: uno controla el nivel de volatilidad implícita y el otro la pendiente de la volatilidad implícita con respecto al precio de ejercicio.

Este artículo está estructurado como se indica a continuación. En primer lugar, se describe brevemente la cópula Gausiana mejorada. Luego se presenta un procedimiento de calibración para cuadrar la asimetría (el skew) real de mercado para cada subyacente. Esta calibración se realiza con un método convencional de Newton-Raphson cuyos parámetros iniciales se aproximan mediante fórmulas analíticas basadas en expansiones asintónicas. A continuación se presenta la interpretación de la acción de la cópula Gausiana mejorada respecto a la cópula Gausiana convencional. Se continúa con el estudio de un caso real y finalmente se extraen conclusiones.

Cópula Gausiana mejorada a partir de volatilidad estocástica con reversión rápida a la mediaSe explica ahora brevemente cómo se obtiene la cópula Gausiana mejorada a partir de modelos de volatilidad estocástica con velocidad rápida de reversión a la media, a través de una expansión asintónica (véase Fouque y Zhou (2008) y Fouque et al (2011) para más detalle). Considérense los procesos Xt

(1), Xt(2) y Yt, que

siguen la dinámica de la ecuación (1), donde Wt(1), Wt

(2) y Wt(Y) son

movimientos brownianos estándares correlacionados, con correlaciones dadas por la ecuación (2), at

(i)(i = 1,2) son las derivas de Xt

(i), m es el valor medio a largo plazo de Yt, n es un parámetro que controla la volatilidad del proceso Yt y e es una constante pequeña (e << 1) que es la inversa de la velocidad de reversión a la

Cópula Gausiana mejorada: incorporando el efecto skew de asimetría en la co-dependenciaLos modelos de cópula Gausiana se utilizan a menudo en la industria financiera cuando se cotiza información de activos individuales, pero se sabe poco sobre su relación conjunta. Estos modelos pueden deducirse a partir de procesos estocásticos brownianos correlacionados con volatilidad y correlación determinista. Si se introduce volatilidad estocástica, pueden incluirse asimetría (skew) y colas gruesas (smile) en la co-dependencia, pero la solución deja de ser analítica. Alberto Elices y Jean-Pierre Fouque muestran cómo preservar soluciones analíticas mediante una cópula mejorada, deducida a partir de una expansión asintónica de dos procesos correlacionados con volatilidad estocástica, en torno al caso de la cópula Gausiana

Los modelos

risk.net/risk-magazine 95

media (cuanto menor es e, más rápida es la reversión a la media):

dXt1( ) = αt

1( ) − 12 f1

2 Yt( )( )dt + f1 Yt( )dWt1( )

dXt2( ) = αt

2( ) − 12 f2

2 Yt( )( )dt + f2 Yt( )dWt2( )

dYt = 1ε m −Yt( )dt + ν 2

εdWt

Y( )

(1)

d Wt1( ),Wt

2( )( ) = ρdt d Wt1( ),Wt

Y( )( ) = ρ1Ydtd Wt

2( ),WtY( )( ) = ρ2Y dt

(2)

Los procesos Xt(1) y Xt

(2) representan dos subyacentes lognormales correlacionados. Las funciones fi(Yt) son las volatilidades de los subyacentes. Dependen de un factor común de volatilidad, Yt, que sigue un proceso Orstein-Uhlenbeck. Las correlaciones riY controlan la pendiente de la asimetría de cada subyacente y el parámetro n (vol-vol) controla la convexidad de la sonrisa. Las características adicionales del modelo vienen dadas por las ecuaciones (3) y (4):

f1 y( ) = σ1g y( ) f2 y( ) = σ2g y( ) (3)

g2 ≡ g y( )2 1ν 2π

exp −y −m( )2

2ν2⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟dy =1

−∞

∞⌠

⌡

⎮⎮⎮

(4)

Las funciones de volatilidad fi(y) tienen una dinámica común, la función g(y), pero diferentes niveles de volatilidad si. La condición 〈g〉 = 1 es una normalización de la función g(y) con respecto a la distribución de probabilidad normal estacionaria N(m, n2) del proceso Ornstein-Uhlenbeck (véase el punto 3.3.3 de Fouque et al (2011) para más detalle).

Nuestro objetivo es deducir las distribuciones de probabilidad de transición conjuntas y marginales ue, ue

1 y ue2 desde un punto

inicial (x1, x2, y) hasta el punto final fijo (x1, x2, v) para los subyacentes y la varianza. Estas distribuciones de probabilidad de transición definidas por la dinámica de la ecuación (1) vienen dadas por la ecuación (5), donde Xt = (Xt

(1)Xt(2)):

uε = P XT1( ) ∈ dξ1,XT

2( ) ∈ dξ2 Xt = x1, x2( ),Yt = y( )v1ε = P XT

1( ) ∈ dξ1 Xt1( ) = x1,Yt = y( )

v2ε = P XT

2( ) ∈ dξ2 Xt2( ) = x2,Yt = y( )

(5)

La ecuación progresiva ( forward) de Kolmogorov asociada a la densidad de probabilidad de transición viene dada más abajo por (6), donde el operador Le viene dado por (7) en términos de L0 (el generador infinitesimal del proceso Yt), L1 (los términos de correlación cruzada de los procesos Xt

(1) y Xt(2) con Yt) y L2 (el

generador infinitesimal de la evolución conjunta de Xt(1) y Xt

(2)). Estos operadores vienen dados por las ecuaciones (8)–(10). La condición final para la función de densidad de probabilidad conjunta ue es un producto de funciones delta de Dirac d(x; x) con el impulso centrado en x = x:

Lεuε t, x1, x2,y( ) = 0uε T , x1, x2,y( ) = δ ξ1;x1( )δ ξ2;x2( )δ v;y( )

(6)

Lε =

1εL0 +

1ε

L1 +L2

(7)

L0 = m − y( ) ∂

∂y+ ν2

∂2

∂y2 (8)

L1 = ν 2ρ1Y f1 y( )∂2

∂x1∂y+ ν 2ρ2Y f2 y( ) ∂2

∂x2∂y (9)

L2 = ∂∂t +

12 f1

2 y( ) ∂2∂x12 + 1

2 f22 y( ) ∂2

∂x22 +ρf1 y( ) f2 y( ) ∂2

∂x1∂x2

+ αt1( ) − 1

2 f12 y( )( ) ∂

∂x1+ αt

2( ) − 12 f2

2 y( )( ) ∂∂x2

(10)

La solución (6) se expande en potencias de √e como se indica en la ecuación (11):

uε = u0 + εu1 +εu2 +ε

3/2u3 +L (11)

La aproximación de la solución viene dada por los dos primeros términos: ue ~ u0 + √eu1. El método de mejora se obtiene sustituyendo (11) en la ecuación (6), agrupando los términos del mismo orden (términos multiplicadores de 1/e, 1/√e, 1, √e etc.) e igualándolos a cero con objeto de obtener ecuaciones para u0, u1 etc. (para una presentación detallada de este cálculo, véase Fouque et al, 2011):

uε t,x1, x2;T ,ξ1,ξ2( ) ~ 1

Wu0 1+ tanh

εu1u0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ (12)

El resultado final es que la aproximación de ue al orden √e es independiente de y y viene dada por la ecuación (12), donde la constante W normaliza la densidad para que su integral en todo el dominio sea igual a 1 y la función tanh garantiza la positividad de la densidad (véase Fouque y Zhou (2008) para más detalle). Los componentes u0 y √eu1 vienen dados por las ecuaciones (13) y (14), donde A = 2ps1s2(T – t)√1

_–_r_

2_:

u0 =

1Aexp −1

2 1−ρ2( )ξ1− %x1( )2

σ12 T−t( )

− 2ρ ξ1− %x1( ) ξ2− %x2( )σ1σ2 T−t( ) + ξ2− %x2( )2

σ22 T−t( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(13)

εu1 = − T − t( ) R1 ∂3u0∂x13 −

∂2u0∂x12( ) + R2{ ∂3u0

∂x23 −

∂2u0∂x22( )

+R12∂3u0∂x1∂x2

2 + R21∂3u0∂x12∂x2

− Q12 +Q21( ) ∂2u0∂x1∂x2}

(14)

El término de orden cero u0(t, x1, x2; T, x1, x2) en (13) es una distribución binormal que depende de la volatilidad si, la correlación r y las medias x~i dadas por la ecuación (15):

%xi = xi + αs

i( ) ds − 12σ i2 T − t( )

t

T⌠

⌡⎮

(15)

lo cual demuestra que el valor esperado del punto final es el punto inicial más la integral de la deriva, as

(i), menos la corrección de convexidad de un proceso lognormal convencional con volatilidad constante si.

El componente de primer orden √eu1 en la ecuación (14) se expresa en términos de derivadas parciales del componente de orden cero, donde las constantes R1, R2 se calibran a mercado y R12, R21, Q12 y Q21 vienen dadas por la ecuación (16):



R12 =σ2σ1( )

2R1 + 2

σ1σ2( )R2ρ

R21 =σ1σ2( )

2R2 + 2

σ2σ1( )R1ρ

Q12 =σ2σ1( )

2R1

Q21 =σ1σ2( )

2R2

(16)

donde se han utilizado las ecuaciones (3) y (4). Las mismas técnicas aplicadas a las funciones de densidad de transición marginales ve

i dan lugar a las ecuaciones (17) y (18):

viε t, x1;T ,ξi( ) ~ 1

Wipi 1+ tanh − T − t( ) Ri

pi∂3pi∂xi3 −

∂2pi∂xi2

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(17)

pi t, xi ,T ,ξi( ) = 1σ i 2π T − t( )

exp −ξi − %xi( )2

2σ i2 T − t( )

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

(18)

donde la aproximación de orden cero es la función de densidad normal convencional dada por (18), x~i viene dada nuevamente por la ecuación (15), y Wi son las constantes de normalización para que la integral en todo el dominio de las densidades marginales sea igual a 1.

La función de cópula mejorada viene dada por la razón (cociente) de la densidad conjunta y el producto de las dos densidades marginales como se expresa por la ecuación (19), donde las variables zi están relacionadas con xi a través de la función cuantil dada por la ecuación (20):

fcop z1,z2( ) =

uε t, x1, x2;T ,ξ1,ξ2( )v1ε t, x1,T ,ξ1( )v2ε t, x2,T ,ξ2( )

(19)

zi = P XT

i( ) ≤ ξ1 Xt = x1, x2( ),Yt = y( )

(20)

Las variables zi, en el intervalo [0, 1], son las funciones de probabilidades acumuladas (CDF) marginales de xi. En Fouque y Zhou (2008) se demuestra que fcop es efectivamente una función de cópula. A primera vista puede parecer que la función de cópula mejorada puede proporcionar más flexibilidad que la cópula Gausiana, pues depende de los parámetros Ri y si además de la correlación r. Ciertamente no es así, porque los parámetros Ri y si se calibran a mercado para ajustar el efecto de asimetría de la distribución en la co-dependencia (véase más abajo). Una vez que estos parámetros se calibran a mercado, el único parámetro que queda libre es la correlación r.

CalibraciónEl procedimiento de calibración requiere hallar los parámetros si (nivel de volatilidad implícita) y Ri (pendiente de volatilidad implícita) para cada subyacente. Estos valores junto a la correlación r (que no es calibrada sino introducida por el operador) permitirán calcular las densidades conjuntas y marginales y, por consiguiente, la función de cópula. El método propuesto es una calibración exacta a dos opciones vanilla para cada subyacente utilizando un simple algoritmo de Newton-Raphson. Estas opciones se valoran por integración numérica del pago vanilla con respecto a la función de densidad marginal mejorada dada por la ecuación (17). Para que el algoritmo converja, se calculan valores iniciales suficientemente próximos a

la solución. Estos valores se calculan mediante aproximaciones de precio basadas en expansiones asintónicas similares a las descritas más arriba para la cópula mejorada. Omitimos aquí la derivación de la expresión de estos valores iniciales pero puede consultarse en Elices y Fouque (2010). Siguiendo Fouque et al (2011), las volatilidades implícitas resultan ser, para el primer orden de aproximación, una función afín del índice log-moneyness-to-maturity tal como sigue:

σ iimp K( ) ~ a ln K

FiT

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

T − t

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+b

(21)

Aquí, FiT = Si0exp(∫ Ttas

(i)ds) es el forward (valor estimado futuro) del subyacente i en el tiempo T. A efectos de valoración, se utiliza la medida de riesgo neutro en la que as

(i) = (rs − qs(i)), donde rs es la

tasa libre de riesgo doméstica de la moneda utilizada como numerario y qs

(i) es la tasa continua de dividendos (o la tasa libre de riesgo extranjera si se considera un par de divisas) para el subyacente i. En consecuencia, hasta el primer orden, la volatilidad implícita se comporta como una línea recta, donde a es la pendiente y b es el punto de corte con el eje de abscisas, y la variable independiente es el índice log-moneyness-to-maturity, ln(K/FiT)/(T−t). Los parámetros a y b se calculan mediante una regresión lineal de la volatilidad con respecto al índice log-moneyness-to-maturity:

Ri = −ab

3 σ i = b −ab2

2 (22)

En el capítulo cinco de Fouque et al (2011) se muestra que los parámetros del modelo Ri y si vienen dados, en términos de la pendiente calibrada a y del punto de corte con el eje de abscisas b, por la ecuación (22).

Interpretación de la cópula mejoradaEn este apartado se interpreta la calibración y el efecto de la cópula Gausiana mejorada en comparación con la cópula Gausiana convencional. En términos de valoración, la interpretación se lleva a cabo aplicando la cópula Gausiana mejorada a la valoración de opciones quanto sobre divisa, en el que el subyacente es el precio de una onza de oro en dólares por unidad de euro. La ecuación (23) muestra la función de pago de esta opción, donde ST es el precio del oro en dólares, XT es el precio del tipo de cambio en dólares por euro, DFT

USD es el factor de descuento de la curva del dólar y K es el precio de ejercicio. Si se elige la cuenta corriente del dólar como numerario, tanto ST como XT estarán denominados (cotizados) en la moneda del numerario (el dólar) y sus derivas se calcularán simplemente como la diferencia entre su tasa de interés doméstica (dólar) y la tasa de interés extranjera (euro) al vencimiento (aunque ST es una materia prima, se modeliza como un subyacente de tipo de cambio). Como se trata de una opción quanto, K−1(ST − K)+ se pagará en euros pero debería descontarse con el numerario en dólares. Por consiguiente, debe primero convertirse a dólares, multiplicando por el tipo de cambio euro/dólar XT. El precio spot del oro en dólares es S0 = 981.3 y el precio de contado del tipo de cambio euro/dólar es X0 = 1.422 (datos de mercado del 17 de marzo de 2009):

p = EST −K( )+

KXTDFT

USD⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(23)


El valor esperado dado por la ecuación (23) se calcula mediante la doble integral dada por la ecuación (24), donde x1 = ln(ST), x2 = ln(XT) y f joint es la función de densidad de probabilidad conjunta de ambos subyacentes dada por la ecuación (25) (véase el capítulo 2 de Meucci, 2005). La función fcop es la función de cópula definida en la ecuación (19), las variables zi vienen dadas por la ecuación (20) y fi

marg son las distribuciones marginales empíricas. Estas últimas se obtienen mediante la ecuación (26) (véase Gatheral, 2006, para ver de dónde viene esta ecuación), donde Pi(K, T, si

impl) es el precio obtenido con Black-Scholes de una opción de venta sobre el subyacente i con precio de ejercicio K y vencimiento T, y si

impl(K, T) es la volatilidad implícita interpolada para el nivel de precio de ejercicio K del subyacente i al vencimiento T:

p = DFTUSD eξ1 −K( )

+

Keξ2 f joint

R2

⌠

⌡

⎮⎮

ξ1,ξ2( )dξ1dξ2

(24)

f joint ξ1,ξ2( ) = fcop z1,z2( ) f1marg ξ1( ) f2marg ξ2( ) (25)

fimarg ξi( ) = 1

DFTUSD

d2Pi eξi ,T ,σ i

impl eξi ,T( )( )dK 2

(26)

La interpretación de la cópula mejorada se llevará a cabo en un escenario en el que ambos subyacentes (precio oro/dólar y euro/dólar) tienen asimetría negativa (volatilidad implícita más elevada para precios de ejercicio más bajos tal y como se muestra en el gráfico izquierdo de la figura 1). Las superficies de volatilidad de los subyacentes están generadas con un modelo de Heston y calibradas a opciones de compra y venta para una delta del 25%.1 El caso de asimetría positiva sería simétrico al considerado. La figura 1 presenta el escenario de asimetría negativa generado por el precio en dólares del oro. Los parámetros calibrados son s1 = 0.0892, R1 = 1.31 × 10−4. El gráfico izquierdo de la figura 1 muestra la volatilidad implícita de la asimetría original generada por el modelo de Heston (etiquetada como ‘Original’) y la asimetría calibrada de la cópula mejorada (etiquetada como

‘PerCop’) frente al índice log-moneyness-to-maturity, ln(K/FT)/T, donde FT es el forward (valor estimado futuro) del subyacente a vencimiento T. El gráfico del centro muestra las funciones de densidad de probabilidad marginal mejoradas dadas por la ecuación (17) utilizando los parámetros calibrados (etiquetados como ‘Mejorados’) y la aproximación de orden cero de la ecuación (18) (etiquetada como ‘Lognormal’), mostrada también a efectos de comparación. El gráfico de la derecha muestra la función de densidad marginal empírica obtenida de la ecuación (26) partiendo de la superficie de volatilidad generada por el modelo de Heston. Véase que las funciones de densidad marginal están expresadas en términos del logaritmo del subyacente. Puede apreciarse que el ajuste de asimetría proporcionado por la función de densidad marginal mejorada es muy razonable. Es evidente interpretar por el gráfico del centro de la figura 1 que el escenario de asimetría negativa hace más gruesa la cola izquierda (valores subyacentes inferiores) y empuja el punto de densidad máxima de la distribución hacia la derecha (valores subyacentes más elevados). Ocurre lo contrario con un escenario de asimetría positiva.

Los gráficos de contorno de la figura 2 son gráficos bidimensionales que representan una función tridimensional. Los ejes horizontal y vertical muestran las variables independientes (los logaritmos de los subyacentes) y el valor de la función está representado por una escala de color dada por la barra que figura junto a cada gráfico. Las líneas que aparecen en los gráficos unen puntos de la misma altura. Las líneas que aparecen próximas entre sí indican una evolución más abrupta de la función. Cuando la función está en el intervalo [0, 0.5], los niveles de la línea de contorno están espaciados en escala logarítmica (lineal en los exponentes).

Los gráficos de la izquierda de la figura 2 muestran la función de densidad de probabilidad conjunta mejorada (numerador de la función de cópula mejorada) de ambos subyacentes dada por la ecuación (12) (los ejes de abscisas contienen el logaritmo de cada subyacente). Los gráficos del centro de la figura 2 presentan la función de cópula dada por la ecuación (19) (los ejes muestran la CDF o función de densidad acumulada contenida en el intervalo [0, 1] para cada subyacente). Por último, los gráficos de la derecha de la figura 2 muestran la razón (PC/GC) entre la función mejorada (PC) y la función de cópula Gausiana (GC). Estos gráficos podrían replicarse utilizando los parámetros calibrados

−0,10 −0,05 0 0,05 0,100,075

0,080

0,085

0,090

0,095

0,100

0,105

Índice log-moneyness-to-maturity

Vola

tilid

ad

1año ITM1: PerCop (cópula mejorada) calibrada al primer subyacente

OriginariaPerCop

6,0 6,5 7,0 7,50

1

2

3

4

5

1año ITM1: Denominador de cópula PDF 1

Logaritmo del precio spot del primer subyacente

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

MejoradaLognormal

6,0 6,5 7,0 7,50

1

2

3

4

5

1año ITM1: Función de densidad de probabilidad de la primera variable

Logaritmo del precio spot del primer subyacente

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

1VolatilidadimplícitadeunescenariodeasimetríanegativageneradoconelmodeloHestoncomparadoconlacalibración(gráficoizquierdo),lacorrespondientepDF(funcióndedensidaddeprobabilidad)mejorada(gráficocentral)ypDFempíricadeHeston(gráficoderecho).parámetroscalibrados:s1=0.0892,R1=1.31⋅10–4

1 Desde la perspectiva del mercado de divisas, una opción de compra con delta 25% (25% delta call) significa que el precio de ejercicio es tal que la opción de compra tiene una delta igual a 0.25



dados en la figura 1 y calculando Rij y Qij según la ecuación (16). Los gráficos superiores de la figura 2 corresponden a un escenario de correlación positiva igual a 0,6 y los gráficos inferiores a un escenario de correlación negativa igual a –0,6.

El gráfico superior izquierdo de la figura 2 muestra una forma ovalada con pendiente positiva que corresponde a la densidad de una distribución binormal con correlación positiva. Sin embargo, la densidad máxima (color rojo) no se alcanza en el centro de la forma ovalada (como ocurriría en el caso de una distribución binormal) sino que se encuentra desplazada en la dirección de la diagonal hacia el extremo superior derecho (valores más elevados de ambos subyacentes). Esto sucede porque ambos subyacentes tienen asimetría negativa y el punto de máxima densidad se ve empujado hacia valores más altos de los subyacentes. Por otro lado, las colas izquierdas de ambos subyacentes se hacen más gruesas (más densidad se desplaza a valores inferiores de los subyacentes). En el caso del escenario de correlación negativa (gráfico inferior izquierdo de la figura 2), la forma ovalada tiene pendiente negativa (en la dirección de la antidiagonal). Sin embargo, el efecto de asimetría negativa (mayor volatilidad para precios de ejercicio más bajos) de ambos subyacentes sigue desplazando la densidad máxima hacia valores más elevados de los subyacentes (en la dirección de la diagonal hacia el extremo superior derecho) y engrosando las colas para valores bajos de los subyacentes.

Los gráficos del centro de la figura 2 muestran la función de cópula para ambos escenarios de correlación. Cuando la función de cópula es igual a uno, la función de densidad de probabilidad

conjunta es producto de las dos marginales, indicando independencia o no co-dependencia. Cuando la función de cópula es mayor que uno, la densidad se incrementa, indicando que hay más co-dependencia (ocurre lo contrario con una función de cópula menor que uno). Véase que en los gráficos centrales de la figura 2 hay varias líneas de contorno muy próximas al nivel uno. Estas líneas sólidas de color cian (azul verdoso) paralelas a la dirección de la diagonal (gráfico superior central) y a la dirección de la antidiagonal (gráfico inferior central) indican el lugar en el que la función de cópula es igual a uno.

El gráfico superior central de la figura 2 muestra cómo la función de cópula incrementa la densidad de probabilidad a lo largo de la diagonal principal (colores azul y rojo) porque la correlación es positiva (los valores de cópula menores que uno están en los extremos de la antidiagonal del gráfico). En el gráfico superior central puede verse que hay una densidad ligeramente superior para los valores subyacentes bajos (extremo inferior izquierdo) que en el extremo opuesto debido al efecto de asimetría negativa. El gráfico inferior central de la figura 2 muestra que la cópula es mayor que uno en la dirección de la antidiagonal porque los subyacentes están negativamente correlacionados. En este gráfico puede verse con más claridad cómo el efecto de asimetría negativa empuja la función de cópula hacia valores inferiores de los subyacentes (véase el color cian del lado inferior izquierdo del gráfico central inferior, donde la cópula vuelve al nivel igual a uno).

Los gráficos de la derecha de la figura 2 muestran la razón entre las cópulas mejorada y Gausiana (PC/GC) para facilitar la

Logaritmo primer subyacente

Loga

ritm

o se

gund

o su

byac

ente

1año ITM21: Numerador de la cópula: PDF conjunta

−0,4 −0,2 0 0,2

−0,5

−0,4

−0,3

−0,2

−0,1

0

0,1

0,2

0,3

0

5

10

15

20

25

30

CDF primer subyacente

CDF

segu

ndo

suby

acen

te

1año ITM21: Función de cópula

0,2 0,4 0,6 0,8

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,5

1,0

1,5

2,0


CD

F se

gund

o su

byac

ente

1año ITM21: Razón PC/GC

0,2 0,4 0,6 0,8

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

Logaritmo primer subyacente

Loga

ritm

o se

gund

o su

byac

ente

1año ITM25: Numerador de la cópula: PDF conjunta

−0,4 −0,2 0 0,2

−0,5

−0,4

−0,3

−0,2

−0,1

0

0,1

0,2

0,3

5

10

15

20

25

30

35

40


CD

F se

gund

o su

byac

ente

1año ITM25: Función de cópula

0,2 0,4 0,6 0,8

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

CDF primer subyacenteCD

F se

gund

o su

byac

ente

1año ITM25: Razón PC/GC

0,2 0,4 0,6 0,8

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1

2

3

4

5

2Numeradordelacópula(gráficosizquierdos),funcióndecópula(gráficoscentrales)yrazónpc/Gcdecópulamejorada/Gausiana(gráficosderechos)consubyacentespositivamentecorrelacionados(gráficossuperiores)ynegativamentecorrelacionados(gráficosinferiores)

comparación. Nuevamente, se han trazado varias líneas de contorno en torno al nivel uno para crear una línea sólida que ayude a identificar este nivel. El gráfico superior derecho de la figura 2 (correlación positiva) muestra que el efecto de la cópula mejorada es el de incrementar la densidad de las colas izquierdas (niveles inferiores) de ambos subyacentes. La cola izquierda de la variable horizontal experimenta el mayor incremento (véase el color rojo en el lado superior izquierdo del gráfico) en el caso de valores más elevados de la variable vertical (donde hay menos co-dependencia). A medida que la variable vertical desciende, la razón (cociente) disminuye, pero es mayor que uno. Un efecto similar ocurre en la cola izquierda de la variable vertical (lado inferior derecho del gráfico): la razón muestra valores mayores (color rojo) para niveles elevados de la variable horizontal donde el grado de co-dependencia es menor. Véase que el valor mayor para la razón (color rojo) se sitúa en los extremos de la dirección antidiagonal (donde la co-dependencia es la más pequeña).

El gráfico inferior derecho de la figura 2 corresponde al escenario de correlación negativa. Nuevamente, la razón que se da en las colas izquierdas de ambos subyacentes se incrementa. Véase que el ángulo inferior izquierdo del gráfico tiene el color rojo asociado a una razón (cociente) mayor, precisamente donde la co-dependencia es menor. En el caso de valores más elevados de la co-dependencia (la antidiagonal), las densidades se desplazan hacia las colas izquierdas de ambos subyacentes (hacia el extremo inferior izquierdo del gráfico).

Con respecto a la valoración de la opción quanto sobre divisa descrita al principio de este apartado, la cópula mejorada (en comparación con la cópula Gausiana) proporciona correcciones de prima positivas para casi todos los escenarios cuando la correlación varía de –0,6 a 0,6 para este escenario donde ambos subyacentes tienen asimetrías negativas. Esto no resulta chocante, puesto que la distribución conjunta de la figura 2 (gráficos de la izquierda) está deformada hacia el lado superior derecho (la dirección en la que aumenta el pago de la opción) y las colas de la distribución no impactan en el pago pues es una opción de compra (la cola izquierda no interviene). Para otras configuraciones de asimetría, las correcciones de prima dadas por la cópula mejorada podrían no ser tan claras.

Estudio de un caso real: opciones quanto sobre divisaEn este apartado se comparan la cópula mejorada, la cópula Gausiana y un método Monte Carlo con volatilidad local y correlación instantánea constante para un conjunto de escenarios construidos sobre la base de un escenario real de mercado para la misma opción de compra de divisa considerada anteriormente sobre el precio del oro en dólares que se abona con un pago quanto en euros. El modelo de volatilidad local replica las superficies de volatilidad implícita de cada subyacente (como lo hace la cópula Gausiana). La correlación instantánea r dada por la ecuación (2) que fue utilizada en el método Monte Carlo es igual a la correlación introducida en el modelo para la cópula Gausiana. Este escenario corresponde a un precio del oro en dólares con una elevada asimetría negativa (un risk reversal en torno al 10%) y una asimetría positiva muy suave en el tipo de cambio euro/dólar (casi una sonrisa). Se consideran cinco correlaciones (0.6, 0.3, 0, –0.3, –0.6), dos vencimientos (uno y dos años) y cinco niveles de moneyness (0.70, 0.85, at-the-money, 1.15 y 1.20) con precios de ejercicio K = (656.46, 797.13, 937.79, 1,078.47, 1,125.36). El precio spot del oro en dólares y el contado del tipo euro/dólar son S0 = 937.79 y X0 = 1.4029 respectivamente.

Para más detalles sobre los parámetros de calibración y las distribuciones resultantes de la cópula mejorada y los subyacentes, véase Elices y Fouque (2010).

El cuadro A muestra la diferencia en puntos básicos entre la cópula mejorada y la Gausiana al variar el nivel de moneyness, el vencimiento y la correlación. Con objeto de comparar adecuadamente las cópulas mejorada y Gausiana, las correlaciones que figuran en las columnas del cuadro A se refieren a las introducidas en la cópula Gausiana. Las correlaciones utilizadas para la cópula mejorada son implícitas para que el forward (valor estimado futuro) quanto, E(STXT), sea igual para ambas cópulas, mejorada y Gausiana. El grupo superior de columnas muestra diferentes niveles de moneyness para un vencimiento de un año, y el grupo inferior para dos años. Las diferencias aumentan con el vencimiento y pueden superar los 40 pb del nominal. Puesto que el efecto general de la asimetría del precio en dólares del oro es mover la distribución conjunta hacia valores más elevados del eje horizontal (en esta dirección el pago es más alto), las correcciones dadas por la cópula mejorada son positivas en casi todos los casos. El hecho de que la cola izquierda se engrose no tiene un gran impacto ya que el pago en la cola izquierda es cero (la opción considerada es una opción de compra).

Se valoraron los mismos escenarios con un método Monte Carlo con volatilidad local y correlación instantánea constante y se procedió a la comparación con la cópula Gausiana.2 La correlación instantánea constante introducida para el método Monte Carlo es la misma que la correlación introducida para la cópula Gausiana. La diferencia máxima no supera los 17 pb. Esto significa que el método Monte Carlo con volatilidad local es bastante equivalente a la cópula Gausiana.

ConclusiónEl método de la cópula mejorada de Fouque y Zhou (2008) se ha aplicado con éxito en la valoración de derivados que dependen de dos subyacentes para los que no se dispone de información previa sobre su co-dependencia. La aplicación de esta cópula mejorada permite introducir la información de asimetría (efecto skew) de los subyacentes en la co-dependencia mediante algunos parámetros intuitivos y fáciles de interpretar (volatilidad y asimetría para cada


A.DiferenciadecópulamejoradamenoscópulaGausianaenpuntosbásicosvariandoniveldemoneyness,correlaciónyvencimientoparaescenariosdemercado

Esce—corr +0,6 +0,3 +0,0 –0,3 –0,6

0,71año 17,35 25,74 29,65 31,55 27,49

0,851año 9,11 20,06 27,36 29,45 15,19

ATM1año 24,39 23,69 29,08 31,05 23,84

1,151año 32,70 25,30 27,92 29,07 27,27

1,21año 32,04 24,55 26,51 27,23 25,75

0,72años –7,16 11,00 24,76 33,31 8,85

0,852años –0,93 13,83 29,87 36,32 7,12

ATM2años 21,28 21,66 34,77 40,00 22,56

1,152años 37,22 27,95 37,33 41,31 33,18

1,22años 39,76 29,17 37,46 40,87 34,32

2 Esta no es una comparación totalmente justa, ya que las correlaciones terminales utilizadas por la cópula no son iguales a las correlaciones instantáneas introducidas en Monte Carlo. Sin embargo, en esta situación el impacto no es significativo

subyacente y correlación entre ambos subyacentes). Estos parámetros se calibran utilizando un ajuste exacto mediante un algoritmo de búsqueda Newton-Raphson para el que se proporcionan valores iniciales aproximados.

El efecto de la cópula mejorada se interpreta comparándola con la cópula Gausiana en términos de la dirección de la asimetría (negativa y positiva) y la correlación de cada subyacente. Se proporcionan criterios intuitivos para predecir cualitativamente los efectos de la cópula mejorada en la valoración de un derivado.

Asimismo, se analiza un caso práctico real del mercado con opciones quanto sobre divisa respecto a una tercera moneda. Se ha visto que el impacto sobre el precio que tiene considerar la asimetría en la co-dependencia es moderado pero no insignificante (supera 40 pb del importe del nocional en algunos casos). Esto despierta una moderada inquietud sobre el riesgo de modelo de las opciones quanto en presencia de asimetría o skew en la distribución.

Asimismo, los casos analizados se han comparado con un modelo de volatilidad local Monte Carlo que replica las superficies de volatilidad implícita de ambos subyacentes y una correlación instantánea constante igual a la correlación utilizada en la cópula Gausiana. La conclusión es que este método es bastante equivalente a la cópula Gausiana. Esto significa que el modelo convencional de volatilidad local no incorpora el efecto de asimetría en la co-dependencia y un posible riesgo de modelo podría no ser identificado. n

AlbertoElicesesDirectordeRentaVariabledelequipodeValidacióndeModelosdelÁreadeMetodologíadelaDirecciónGeneraldeRiesgosdesantander(BoadilladelMonte,Madrid,España).Jean-pierreFouqueesprofesordelDepartamentodeEstadísticayprobabilidadAplicadaydirectordelCenter for Research in Financial Mathematics and StatisticsdelaUniversidaddecalifornia(santaBárbara).Emails:[email protected],[email protected]



Elices A y J-P Fouque, 2010Perturbed copula: Introducing the skew effect in the co-dependenceDocumento de trabajo, disponible en http://arxiv1.library.cornell.edu/abs/1003.0041

Fouque J-P, G Papanicolaou, R Sircar y K Sølna, 2011Multiscale stochastic volatility for equity, interest rate, and credit derivativesCambridge University Press

Fouque J-P y X Zhou, 2008Perturbed Gaussian copulaAdvances in Econometrics 22, pp. 103–121

Dupire B, 1994Pricing with a smileRisk julio, pp. 18–20, disponible en www.risk.net/1530409

Gatheral J, 2006The volatility surface: a practitioner’s guideJohn Wiley and Sons

Meucci A, 2005Risk and asset allocationSpringer Finance

Referencias

VANGUARDIA. VAloRAcIóN DE opcIoNEs Cópula Gausiana ...

Documents

Transcript of VANGUARDIA. VAloRAcIóN DE opcIoNEs Cópula Gausiana ...