Variables acotadas

• Sea: (P) Min cTx /

Ax = b

x 0, x u

donde c Rn, b Rm y A es una matriz de rango completo mxn con n>m.

• En una iteración cualquiera del simplex, sean 1..m los índices de las variables básicas:

x1+ 1jxj = b’1

....................

xm+ mjxj = b’m

• Supongamos s / c’s< 0 entra la columna s a la base y se elige un pivote

1= min {b’i/is, i/ is>0} xs entra como variable básica de valor 1

• Si 1 us la variable s respeta la cota superior• Además para que todas las restantes variables

básicas respeten su cota superior debe ser:

u1 x1= b’1 - 1jxj = b’1 - 1sxs - ....................

um xm= b’m - msxs -

como

ui - b’i - isxs i=1..m,

jjsj

ijx 1,

jjsj

ijxm

,

mhx jjsj

ij

h

..10,

• Si is 0 la desigualdad s.c. siempre

• Si is <0 2= min {(ui - b’i )/-is, i/ -is>0}

• Para conservar las variables positivas y por debajo de la cota superior (factibilidad), se debe elegir el pivote en la columna s /:

xs= min {1, 2, us}

• Para conservar la propiedad del simplex que una variable no básica siempre tiene valor nulo, se realizan cambios de variable en aquellas variables que alcancen su cota superior.

Algoritmo simplex modificado (variables acotadas):

1. Si ninguna variable alcanza su cota superior se sigue con el algoritmo de simplex.

2. Si xs es candidata a entrar y pivoteo en fila h y xs llega al tope complementar la variable y no entra a la base.

3. Si xs es candidata a entrar y alguna de las otras variables básicas llega al tope esta última es la que sale de la base, se complementa la variable que sale y se pivotea (variable no básica cuyo valor es la cota superior)

Nota: si una variable no está en la base, puede estar simple (valor 0) o complementada (valor = cota superior)

EJEMPLO:

Min - x - y /

2x - 3y 2

2x + y 11

-x + y 3

0 x 4

0 y 5

Cálculo de cotas a las holguras:

0 u = 2 - 2x + 3y 17

0 v = 11-2x – y 11

0 w = 3 + x - y 7

2 -3 1 0 0 2

2 1 0 1 0 11

-1 1 0 0 1 3

-1 -1 0 0 0 0

1 -3/2 1/2 0 0 1

0 4 -1 1 0 9

0 -1/2 1/2 0 1 4

0 -5/2 1/2 0 0 -1

x y u v w

1=1

2=2

2/3 1 -1/3 0 0 2

-8/3 0 1/3 1 0 1

1/3 0 1/3 0 1 5

5/3 0 -1/3 0 0 -6

-2 1 0 1 0 3

-8 0 1 3 0 3

3 0 0 -1 1 4

-1 0 0 1 0 -7

1=3

2=1

1 1/2 0 -1/2 0 1

0 4 1 -1 0 11

0 -3/2 0 1/2 1 1

0 1/2 0 1/2 0 -8

Análisis de sensibilidad

Sea: (P) Min z(x) = cTx /

Ax = b

x 0

En el análisis de sensibilidad, dado un cuadro

óptimo de simplex, se consideran pequeñas

variaciones en los parámetros del problema o

modificaciones al planteo (agregado de

variables y restricciones) y se estudia cómo

cambia la solución óptima.

a) Interpretación de las variables duales :

Sea (x, ) una solución óptima,

z(x) = cTx = bT ,

Fijando el valor de las variables y considerando pequeñas variaciones en los términos independientes b:

jjb

z

b) Introducción de una nueva variable xn+1

c) Introducción de una restricción de desigualdad

d) Introducción de una restricción adiccional de igualdad

e) Rangos de costosEn vectores no básicos

En vectores básicos

f) Rango en términos independientes

g) Cambios en los coeficientes de la matriz A