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Análisis de Sistemas Discretos Utilizando Variables de Estados

Prof. Marly Fernández

1. Conceptos Básicos.a. Estado.

El conjunto más pequeño de variables, x1(k), x2(k),...,xn(k), tales que el conocimiento de sus valores en un instante inicial ko y el de las entradas u(k), para k≥ko, determinan totalmente el comportamiento futuro del sistema, esdecir para k > ko. b. Variables de Estado. Son las variables que forman el conjunto de estado.c. Vector de Estado.

Es el vector que tiene por componentes las variables de estado:

d. Espacio de Estado.Es el espacio n-dimensional, cuyos ejes de coordenadas son las variables de estado.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)()(

)(

kx

kxkx

k

n

M2

1

x



2. Representación de un sistema lineal a través de variables de estado.

Consideremos un sistema discreto lineal e invariante de entrada-salida única, definido por la siguiente ecuación en diferencias:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)()(

)(

)()(

)(

1

12

1

ky

nkyky

kx

kxkx

kx

nn

MM

)()()()( kuankybkybky n 01 1 =−++−+ K

)()()()( nkuakybnkybnky n +=++−+++ 01 1 K

La ecuación en diferencias, es de orden n, ya que podría escribirse:

Luego existen n variables de estado que, desplazadas en el tiempo, se escriben como:



2. Representación de un sistema lineal a través de variables de estado.En el instante de muestreo siguiente, el valor de las variables de estado sería:

)()(

)()(

)()(

)()(

kykx

kykx

nkykx

nkykx

n

n

=+

+=+

+−=+

+−=+

−

1

11

21

11

1

2

1

L

)(kx2=)(kx3=

)(kxn=)()()()( kxbkxbkxbkua nnn 12110 −−−−= − K

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

ku

akxkx

kxkx

bbbbkxkx

kxkx

n

n

nnnn

n

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

−

−−

−

0

1

2

1

121

1

2

1

0

00

0000

01000010

11

11

LL

L

L

LLLLL

L

L

L

Forma Matricial

Forma Vectorial)()()( kkk HuGxx +=+1



2. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicas.

La salida del sistema puede expresarse como:

[ ] )(

)(

)()(

)( kua

kx

kxkx

bbbky

n

nn 02

1

11 +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−= − ML

Forma Vectorial

)()()( kkk DuCxy +=

Forma Matricial

En forma general, estas ecuaciones representan la ecuación de estado y la ecuación de salida del sistema:

)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kkk DuCxy +=



2. Representación de un sistema lineal a través de variables de estado

∆T

G

Cu(k) +

+

x(k+1)H

x(k) y(k)

u(k) vector de entrada o control (m x 1)y(k) vector de salida (r x 1)x(k) vector de estado (n x 1)G matriz de estado (n x n)H matriz de entrada (n x m)C matriz de salida (r x n)



3. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicasLa función de transferencia pulso de un sistema discreto puede representarsecomo:

i. Forma Canónica Controlable (FCC)

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

k

kxkx

kxkx

aaaakxkx

kxkx

n

n

nnnn

n

u

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

−

−−

−

10

00

0000

01000010

11

11

1

2

1

121

1

2

1

LL

L

L

LLLLL

L

L

L

nn

nn

zazazazbzbzbb

zUzY

−−−

−−−

++++++++

=L

L2

21

1

22

110

1)()(

nn

nn

zazazazczczcb

zUzY

−−−

−−−

+++++++

+=L

L2

21

1

22

11

0 1)()(

[ ] )(

)(

)()(

)( kb

kx

kxkx

ccck

n

nn uy 02

1

11 +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−= − ML



3. Representación en el Espacio de Estado de Sistemas Discretos en Formas canónicas

ii. Forma Canónica Observable (FCO)

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

k

babbab

babbab

kxkx

kxkx

aa

aa

kxkx

kxkx

nn

nn

n

n

n

n

n

n

u

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

−−

−

−

−

011

022

011

0

1

2

1

1

2

1

1

2

1

100000

001000

11

11

LL

L

L

LLLLL

L

L

L

nn

nn

zazazazczczcb

zUzY

−−−

−−−

+++++++

+=L

L2

21

1

22

11

0 1)()(

[ ] )(

)(

)()(

)( kb

kx

kxkx

k

n

uy 02

1

100 +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

L




iii. Forma Canónica Diagonal (FCD)

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

k

kxkx

kxkx

pp

pp

kxkx

kxkx

n

n

n

n

n

n

u

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

−−−

11

11

000000

000000

11

11

1

2

1

1

2

1

1

2

1

LL

L

L

LLLLL

L

L

L

nn

nn

zazazazczczcb

zUzY

−−−

−−−

+++++++

+=L

L2

21

1

22

11

0 1)()(

[ ] )(

)(

)()(

)( kb

kx

kxkx

AAAk

n

n uy 02

1

21 +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

L

n

n

pzA

pzA

pzAb

zUzY

−++

−+

−+= L

2

2

1

10)(

)(




iv. Forma Canónica de Jordan (FCJ)

nn

nn

zazazazczczcb

zUzY

−−−

−−−

+++++++

+=L

L2

21

1

22

11

0 1)()(

[ ] )(

)(

)()(

)( kb

kx

kxkx

AAAk

n

n uy 02

1

21 +

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M

L

n

n

m

mmmm pz

Apz

Apz

ApzA

pzAb

zUzY

−++

−+

−++

−+

−+=

+

+− LL

1

1

11

1

2

1

10 )()()(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)()(

)()(

k

kx

kxkx

kxkx

p

pp

pp

kxkx

kxkx

n

m

m

n

m

n

n

u

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++−

1

11

00

00000

000000000

0001000001

11

11

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

M

M

M

M

LL

MMMMMMMM

LLL

LL

MMMMMMMM

LL

LL

L



4.Solución de las ecuaciones de estado lineal e invariante en el tiempo discretas.

4.1 Método Recurrente.Dada la siguiente ecuación de estado y de salida:

Se puede encontrar la solución de estas por una evaluación consecutiva dandovalores a k :


k x(k+1)0 x(1)1 x(2)2 x(3)� � �

)()( kk HuGx +

)()( 00 HuGx +

)()()()()( 10011 2 HuGHuxGHuGx ++=+

)()()()()()( 210022 23 HuGHuHuGxGHuGx +++=+

Esta serie puede escribirse como:Con esto la ecuación de salida es:

∑−

=

−−+=1

0

10k

j

jkk jk )()()( HuGxGx [1]

)()()()( kjkk

j

jkk DuHuGCxCGy ++= ∑−

=

−−1

0

10 [2]



4. Solución de las ecuaciones de estado lineal e invariante en el tiempodiscretas. 4.1 Método Recurrente.Matriz de Trasición de Estado.La solución de la ecuación de estado homogénea se puede escribir como:

)(kΦ es una matriz única, conocida como matriz de transición de estadoque tiene las siguientes propiedades:

)()()()()()(

kkkkk

k

k

GΦΦGΦΦGΦIΦ

=+===−= −−

1 0 1

Las ecuaciones [1] y [2], escritas en función de la matriz de transiciónde estado serán:

∑−

=−−+=

1

010

k

jjjkkk )()()()()( HuΦxΦx

)()()()()()( kjjkkkk

jDuHuΦCxCΦy +−−+= ∑

−

=

1

010

)()()()()( 0 1 xΦxGxx kkkk =⇒=+



4. Solución de las ecuaciones de estado lineal e invariante en el tiempodiscretas. 4.2 Método de la transformada Z.

Dada la siguiente ecuación de estado y de salida:

Se toma la transformada Z en ambas ecuaciones y luego se procede a antitransformar en Z para obtener la solución. La ecuación de estado será:

Así la ecuación de salida está dada por:

En este caso definiremos la matriz de transición de estado como:

[ ]zzZk 11 −−− −== )()( GIGΦ k

[ ] [ ] )()()()()()( kzzZzzZk DuHuGICxGICy +−+−= −−−− 1111 0


[ ] [ ])()()()()()()()()()(

)()()()(

zzZzzZkzzzzz

zzzzz

HUGIxGIxHUGIxGIX

HUGXxX

1111

11

00

0

−−−−

−−

−+−=

−+−=

+=−



5. Matriz de Función de Transferencia Pulso. Dada la siguiente ecuación de estado y de salida:

Se toma la transformada Z en ambas ecuaciones y haciendo condiciones inicialesnulas, X(0)=0:

F(z) es la matriz de función de transferencia pulso y se pude calcular como:

La ecuación característica del sistema se puede escribir:


[ ] )()()()()()(

zzzzzz

UDHGICYHUGIX

+−=

−=−

−

1

1

[ ] )()()()( zz

zz FDHGIC

UY

=+−= −1

DGI

HGICF +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=zzadjz )()(

0=− GIz



6. Discretización de las Ecuaciones de Estado en tiempo continuo.Sea el sistema en tiempo continuo LTI,representado por las siguientes ecuaciones de estado:

Las ecuaciones discretas son:

Finalmente:

)()()( ktt BuAxx +=&

)()()( ttt DuCxy +=

)()()()()( kTTkTTTkT uθxΦx +=+)()()( kTkTkT DuCxy +=

[ ] TtsT =−− −= 11 )()( AIΦ L

ττ

ττ

d

dTTT

T

B

Bθ

∫∫Φ=

−Φ=

0

0

)(

)()(

TeT AG =)(

( )( ) BAI

BH1A

A

−−=

= ∫T

T

e

deT 0

λλ)(

)()()( kkk HuGxx +=+1)()()( kTkTkT DuCxy +=

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