Varietats Lineals Colors
Transcript of Varietats Lineals Colors
r P
Q
u��
x
y
z
P
Q
u��
v���
Π
x
y
z
{ }·3
r Q PQ uα= ∈ =���� ��
�
Varietats lineals a l’espai Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner
I Definicions
I.1 Recta
Donats un punt 3P ∈� i un vector no nul
3Vu ∈
�� s’anomena recta que conté el
punt P (o que passa pel punt P ) i té
la direcció del vector u (o vector
director u ) el conjunt:
Equival a dir que PQ i u són linealment
dependents (és a dir { } 1, =uPQrang ). Una recta també s’anomena varietat lineal de dimensió 1.
Qualsevol vector no nul que tingui la mateixa direcció que u també és vector director de la recta. I.2 Pla
Donats un punt 3P ∈� i dos vectors no
nuls u i v de V3 linealment indepen-
dents, s’anomena pla que conté el punt P (o que passa pel punt P ) i té la
direcció dels vectors u i v (o vectors
directors u i v ) el conjunt:
{ }· ·3
Q PQ u vα βΠ = ∈ = +���� �� ��
�
Equival a dir que PQ , u i v són linealment dependents (és a dir
{ } 2,, =vuPQrang ). Un pla també s’anomena varietat lineal de dimensió 2. Qualsevol parella de vectors no nuls linealment independents que siguin combinació
lineal de u i v també són vectors directors del pla.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 2
II Equacions d’una varietat lineal
II.1 Equacions d’un pla
Sigui Π el pla que passa per ( )321
,, pppP = i té vectors directors ( )321 ,, uuuu = i
( )321
,, vvvv = . Equació vectorial: ( , , )x y z P u vα β= + +
�� �� α ∈� , β ∈�
En forma analítica:
( , , )x y z = ( )1 2 3, , ·p p p α+ ( )1 2 3
, ,u u u ( )1 2 3· , ,v v vβ+ α ∈� , β ∈�
Equacions paramètriques: 1 1 1
2 2 2
3 3 3
x p u v
y p u v
z p u v
α β
α β
α β
= + +
= + + = + +
Equació general ( o implícita o cartesiana): 1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
x p u v
y p u v
z p u v
−
− =
−
(*)
Desenvolupant el determinant s’obté una igualtat de la forma:
0Ax By Cz D+ + + =
El vector ( , , )n A B C=
�� té la mateixa
direcció que el producte vectorial dels
vectors directors: ( )·n k u v= ∧�� �� ��
.
Per tant, és ortogonal als vectors directors; s’anomena vector normal associat al pla o vector característic del pla. Pas d’una equació a una altra
De paramètriques a general: Només cal desenvolupar la igualtat (*)
anterior.
De general a paramètriques: Cal resoldre l’equació aïllant-ne les variables.
u��
v���
Π
( , , )n A B C=��
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 3
Exemple: 12 2 6
3 2 6 12 03
24 2
3y z
x y z x
x
y
z
α β
α
β
+ −− + − = ⇔
= + −
=⇔
=
=
És un pla que passa per (4, 0, 0)P = i té vectors directors:
( )2 / 3, 1, 0) , ( 2, 0, 1)u v= = −�� ��
II.2 Equacions d’una recta
Sigui r la recta que passa per ( )321
,, pppP = i té vector director ( )321 ,, uuuu =
Equació vectorial: ( , , )x y z P uα α= + ∈
���
En forma analítica: ( , , )x y z = ( )1 2 3, , ·p p p α+ ( )1 2 3
, ,u u u α ∈�
Equacions paramètriques: 1 1
2 2
3 3
x p u
y p u
z p u
α
α
α
= +
= + = +
Equacions contínues: 31 2
1 2 3
z px p y p
u u u
−− −= = (sempre que els denominadors no
siguin nuls).
Equacions implícites: 1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =
+ + + = (suposant que el sistema sigui
compatible indeterminat). Els punts de la recta són les solucions del sistema, és a dir
els punts en què es tallen els plans representats per les dues equacions.
Observació: El vector ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , ,u A B C A B C= ∧
�� és vector director de la recta.
Pas d’una equació a una altra De contínues a implícites: Només cal separar les dues igualtats i formar un sistema.
Exemple: 432
3+=
−=
−z
yx
3 2 9
3
3( 3) 22 3
3( 4)4
3
0
3 12 0
x y
x y
y y z
x
y zz
y
−= − − = −
⇒ ⇔ ⇔ = − +
− − + =
+ ++
==
−
D’implícites a paramètriques: Cal resoldre el sistema format per les dues equacions.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 4
Exemple:
1
1 0 1 0
5 27 0 6 2 28 0 28 6
2
x y z
x y z x y z y
x y z y z yz
α
= + −− − + = − − + = =
⇔ ⇔ ⇔ − − − + = − − + = − + =
−
13 2
14 3
x
y
z
α
α
α
= −
=
−
⇔ =
En forma contínua: 13 14
2 3
x zy
− −= =
− −
III Paral·lelisme i incidència de varietats lineals � Es diu que dues rectes r i s són paral·leles si els seus vectors directors són
linealment dependents (és a dir si el conjunt format pels dos vectors té rang 1). El vector director de l’una també ho és de l’altra. Es representa: r s�
� Es diu que dos plans Π i 'Π són paral·lels si els vectors directors d’un són combinació lineal dels vectors directors de l’altre (és a dir si el conjunt format pels quatre vectors té rang 2). Els vectors directors de l’un també ho són de l’altre. Es representa: 'Π Π
� Es diu que una recta r és paral·lela a un pla Π si el vector director de la recta és combinació lineal dels vectors directors del pla. (és a dir si el conjunt format pels tres vectors té rang 2). Es representa: r Π
� Es diu que dues varietats lineals són incidents si tenen punts en comú. Si tots els punt d’una són de l’altra i viceversa es diuen coincidents (en aquest cas són paral·leles). Els punts comuns a totes dues formen la intersecció de les dues varietats.
� Si una recta és paral·lela i incident a un pla es diu que està continguda en el pla.
IV Rectes i plans especials
IV.1 Plans
Paral·lel al pla YZ
Equació: x k= Vector normal: (1, 0, 0)n =
��
Paral·lel al pla XZ
Equació: y k= Vector normal: (0, 1, 0)n =
��
Paral·lel al pla XY
Equació: z k=
Vector normal: (0, 0, 1)n =
��
x
y
z
k
x
y
z
k
x
y
z
k k
O O O
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 5
IV.2 Rectes
Paral·lel a l’eix OX
Equació: 0By Cz D+ + = Vector normal: (0, , )n B C=
��
Paral·lel a l’eix OY
Equació: 0Ax Cz D+ + = Vector normal: ( , 0, )n A C=
��
Paral·lel a l’eix OZ
Equació: 0Ax By D+ + =
Vector normal: ( , , 0)n A B=
��
x
y
z
x
y
z
x
y
z
O O
O
Paral·lela a l’eix OZ
Equacions: x a
y b
=
=
Vector director:
(0, 0, 1)u =��
Paral·lela a l’eix OY
Equacions: x a
z c
=
=
Vector director:
(0, 1, 0)u =��
Paral·lela a l’eix OX
Equacions: y b
z c
=
=
Vector director:
(1, 0, 0)u =��
x
y
z
a
b
x
y
z
a
c
x
y
z
b
c
O
O O
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 6
V Posició relativa de varietats lineals
V.1 Dos plans
Sigui 1Π el pla que passa per P i té vectors directors
1u i 1v , i
2Π el pla que passa
per Q i té vectors directors 2u i
2v . Suposem que les equacions generals respectives són: 0: 11111 =+++Π DzCyBxA i 0: 22222 =+++Π DzCyBxA Considerem les matrius de coeficients i l’ampliada del sistema format per les dues
equacions:
=
222
111
CBA
CBAM i
=
2
1
222
111'
D
D
CBA
CBAM
P
Q
1 2Π = Π
1u��
1v��
2u���
2v���
Plans coincidents
{ } 2,,, 2211 =vuvurang i { } 2,, 11 =PQvurang
és a dir: ( )1 1det , , 0u v PQ =�� �� ����
' 1rang M rang M= =
(Coeficients proporcionals. Sist. comp. indet. biparamètric)
Plans paral·lels diferents
{ } 2,,, 2211 =vuvurang i
{ } 3,, 11 =PQvurang
és a dir: ( ) 0,,det 11 ≠PQvu
1 , ' 2rang M rang M= =
(Sist. incompatible)
P
Q
1u��
1v��
2u���
2v���
1Π
2Π
1 2 1 2iΠ Π Π ≠ Π�
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 7
V.2 Recta i pla
Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i Π el pla que passa pel
punt Q i té vectors directors v i w .
Suposem que
=+++
=+++
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAr i 0:
3333=+++Π DzCyBxA
Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres
equacions:
=
333
222
111
CBA
CBA
CBA
M i
=
3333
2
1
222
111
'
DCBA
D
D
CBA
CBA
M
Plans secants
{ } 3,,, 2211 =vuvurang
' 2rang M rang M= =
(Sist. comp. indet. uniperamètric: es tallen en una
recta)
1Π
2Π
1u��
1v��
2v���
2u���
Q
P
1 2Π Π ≠ ∅∩
P
Q u��
v��
w���
r
Π
Recta continguda en el pla
{ } { } 2,,,, == wvPQrangwvurang
és a dir: ( ) ( ) 0,,det,,det == wvPQwvu
' 2rang M rang M= =
(Sist. comp. indet. uniparamètric) r ⊂ Π
P u��
v��
w���
Q
r
Π
Recta exterior i paral·lela al pla
{ } 2,, =wvurang i
{ } 3,, =wvPQrang
és a dir: ( ) 0,,det =wvu i
( ) 0,,det ≠wvPQ
2 ' 3irang M rang M= =
(Sist. incompatible) r i rΠ Π = ∅� ∩
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 8
V.3 Dues rectes
Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i s la recta que passa per
Q i té vector director v .
Suposem que
=+++
=+++
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAr i
=+++
=+++
0
0:
4444
3333
DzCyBxA
DzCyBxAs
Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les quatre
equacions:
=
444
333
222
111
CBA
CBA
CBA
CBA
M i
=
4444
3333
2222
1111
'
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
M
P
u��
v��
w���
r
Π
Recta i pla secants
{ } 3,, =wvurang
és a dir: ( ) 0,,det ≠wvu
' 3rang M rang M= =
(Sist. comp. det.: es tallen en un punt) r Π ≠ ∅∩
Rectes coincidents
{ } 1,, =PQvurang
' 2rang M rang M= =
(Sist. comp. indet. uniparamètric)
r = s
P
Q
u��
v��
Rectes paral·leles diferents
{ } 1, =vurang
{ } 2, =PQurang
2, ' 3rang M rang M= =
(Sist. incompatible)
r
s P
Q
u��
v��
r s i r s = ∅� ∩
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 9 V.4 Tres plans
Considerem el plans: 0: 11111 =+++Π DzCyBxA 0: 22222 =+++Π DzCyBxA 0:
33333=+++Π DzCyBxA
Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres
equacions:
=
333
222
111
CBA
CBA
CBA
M
=
3
2
1
333
222
111
'
D
D
D
CBA
CBA
CBA
M
i les matrius:
=
2222
1111
1DCBA
DCBAN
=
3333
1111
2DCBA
DCBAN
=
3333
2222
3DCBA
DCBAN
=
222
111
1CBA
CBAH
=
333
111
2CBA
CBAH
=
333
222
3CBA
CBAH
1 2 3Π = Π = Π
Rectes secants
{ } 2, =vurang i { } 2,, =PQvurang
' 3rang M rang M= =
(Sist. comp. det.: es tallen en un punt) Els vectors directors de les rectes són vectors directors del pla que les conté.
r
s
P
Q
u��
v��
r � s i r s ≠ ∅∩
Rectes que es creuen
{ } 3,, =PQvurang
és a dir: ( ) 0,,det ≠PQvu
3, ' 4rang M rang M= =
(Sist. incompatible)
r
s
P
Q
u��
v��
r s i r s = ∅� ∩
Plans coincidents
' 1rang M rang M= = (Sist. comp. indet. biparamètric)
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 10
1 2Π = Π
3Π
Dos plans coincidents i un altre paral·lel i diferent
1 ' 2rang M i rang M= =
11rang N =
(Sist. incompatible)
3Π
2Π
1Π
Tres plans paral·lels i diferents
1 ' 2rang M i rang M= =
1 2 32rang N rang N rang N= = =
(Sist. incompatible)
1 2Π = Π
3Π Dos plans coincidents i l’altre
secant
' 2rang M rang M= =
11rang N =
(Sistema comp. indet. uniparamètric: es tallen en una recta)
3Π
2Π
1Π
Tres plans secants amb una recta en comú
' 2rang M rang M= =
1 2 32rang N rang N rang N= = =
(Sist. comp. indet. uniparamètric)
3Π
2Π
1Π
Dos plans paral·lels diferents i l’altre secant a tots dos
2 ' 3rang M i rang M= =
11rang H =
(Sist. incompatible)
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 11
VI Exemples de discussió de posició relativa de rectes i plans de l'espai
1. Posició relativa dels plans 1: 2 3 4 5 0x y zΠ + + − = i
2: 4 8 0x ay z bΠ + + + = segons
els valors de a i b .
Siguin
=
84
432
aM i
−=
baM
84
5432'
a) Òbviament, si 6≠a serà 2'== MrangMrang i el sistema format per les dues
equacions serà compatible indeterminat uniparamètric: els plans seran secants i es tallaran en una recta.
b) Si 6=a i 10−≠b serà 1=Mrang i 2'=Mrang i el sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.
c) Si 6=a i 10−=b serà 1'== MrangMrang i el sistema serà compatible
indeterminat biparamètric: els plans seran paral·lels coincidents.
2. Posició relativa del pla : ( 1) 3a x y zΠ + + + = i la recta 2 4
:2 2
x y azr
x ay z a
+ + =
+ + = segons
els valors de a .
Siguin
+
=
21
21
111
a
a
a
M i
+
=
aa
a
a
M
221
421
3111
'
3Π
2Π 1
Π
Plans secants per parelles sense punts en comú
2 ' 3rang M i rang M= =
1 2 32rang H rang H rang H= = =
(Sist. incompatible: es tallen dos a dos en tres rectes paral·leles)
3Π
2Π
1Π
Plans secants amb un únic punt en comú
' 3rang M rang M= =
(Sist. compat. Determinat)
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 12
)2)(3(623 −+−=+−−= aaaaaaM s'anul·la per a 3,2,0 −=== aaa
a) Si 3,2,0 −≠≠≠ aaa serà 3'== MrangMrang i el sistema format per les tres
equacions serà compatible determinat: la recta i el pla seran secants i es tallaran en un punt.
b) Si 0=a serà
=
201
021
111
M ,
=
0201
4021
3111
'M i 3',2 == MrangMrang (es pot
comprovar esglaonant les matrius o per menors). El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.
c) Si 2=a serà
=
221
221
113
M ,
=
4221
4221
3113
'M . En aquest cas les equacions
implícites de r no defineixen cap recta (representen dos plans coincidents).
d) Si 3−=a serà
−
−
−
=
231
321
112
M ,
−−
−
−
=
6231
4321
3112
'M
i 3',2 == MrangMrang El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.
3. Posició relativa de les rectes 2 1
:2
x zr
y z
− =
− = i
1:
2 2
x y zs
x y z a
+ + =
− + = segons els valors
de a .
Siguin
−
−
−
=
221
111
110
201
M i
−
−
−
=
a
M
221
1111
2110
1201
'
164' += aM s'anul·la si 4−=a .
a) Si 4−≠a serà 3=Mrang i 4'=Mrang i el sistema format per les quatre equacions
serà incompatible: les dues rectes es creuaran.
b) Si 4a = − serà
−
−
−
=
221
111
110
201
M ,
−−
−
−
=
4221
1111
2110
1201
'M i 3'== MrangMrang
El sistema serà compatible determinat: les dues rectes seran secants i es tallaran
en un punt.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 13
4. Posició relativa dels tres plans: 1: 2x ky z kΠ + + = + ,
2: 2( 1)x y kz kΠ + + = − + i
3: kx y z kΠ + + = segons els valors de k .
Siguin
=
11
11
11
k
k
k
M i
+−
+
=
kk
kk
kk
M
11
)1(211
211
'
23
3 +−= kkM . Aplicant la regla de Ruffini comprovem que s'anul·la per a 1=k i
2−=k
a) Si 1≠k i 2−≠k serà 3'== MrangMrang i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú.
b) Si 1=k serà
=
111
111
111
M ,
−=
1111
4111
3111
'M i 2',1 == MrangMrang . El
sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.
c) Si 2−=k serà
−
−
−
=
112
211
121
M ,
−−
−
−
=
2112
2211
0121
'M
i 2'== MrangMrang .
El sistema és compatible indeterminat uniparamàtric: els tres plans són secants i es tallen en una recta.
5. Posició relativa segons els valors de k dels plans 1: 4 0kx y zΠ + + − = ,
2: 1 0x y zΠ + + + = i
3: 1 0x ky zΠ − + − = .
Siguin
−
=
11
111
11
k
k
M i
−−
−
=
111
1111
411
'
k
k
M
12 −= kM s'anul·la per a 1=k i 1−=k
a) Si 1≠k i 1−≠k serà 3'== MrangMrang i el sistema format per les tres equacions
serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú.
b) Si 1=k serà
−
=
111
111
111
M ,
−−
−
=
1111
1111
4111
'M i 3',2 == MrangMrang . El
sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 14
r
1111
111=
rang i 2
1111
4111=
−rang , els plans
1Π i 2Π seran paral·lels
diferents i 3
Π els tallarà.
c) Si 1−=k serà
−
=
111
111
111
M ,
−
−−
=
1111
1111
4111
'M i 3',2 == MrangMrang . El
sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que
1111
111=
rang i 2
1111
1111=
−rang , els plans
2Π i 3
Π seran paral·lels
diferents i 1Π els tallarà.
Observació: Per a calcular la intersecció de dues varietats lineals es resol el sistema format per les seves equacions generals (plans) i implícites (rectes).
Cas particular (mètode alternatiu) Per a calcular la intersecció d’una recta donada en forma paramètrica:
+=
+=
+=
33
22
11
:
upz
upy
upx
r
α
α
α
i un pla donat en forma general: 0=+++ DCzByAx es pot
resoldre l’equació:
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0A p u B p u C p u Dα α α+ + + + + + =
i el valor de α calculat se substitueix a les equacions paramètriques de la recta. El punt ),,( zyx obtingut així és la intersecció de la recta i el pla.
VII Feix de plans
Donada la recta 1 1 1 1
2 2 2 2
0:
0
A x B y C z Dr
A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
(equacions implícites), s’anomena feix de plans determinat per r (o pels plans que la defineixen) el conjunt de tots els plans que contenen r . La recta es diu eix del feix. L’equació del feix és:
( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 20A x B y C z D A x B y C z Dα β+ + + + + + + =
Donant valors a α i β s’obtenen les equacions dels plans del feix.
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 15
VIII Perpendicularitat de varietats lineals
VIII.1 Rectes perpendiculars
Es diu que les rectes :( , , )r x y z P uα= +��
i
:( , , )s x y z Q vβ= +��
són perpendiculars si els
seus vectors directors són ortogonals: · 0u v =�� ��
Poden ser secants o creuar-se. Es denota: r s⊥
VIII.2 Recta i pla perpendiculars
Es diu que la recta uPzyxr α+=),,(: i el pla 0: =+++Π DCzByAx són perpendiculars si el
vector director de la recta és vector normal al pla. Es denota: r ⊥ Π
Observació: Si una recta és perpendicular a un pla, també ho serà a totes les rectes contingudes en el pla.
VIII.3 Plans perpendiculars Es diu que els plans 0: 11111 =+++Π DzCyBxA i
0: 22222 =+++Π DzCyBxA són perpendiculars si els vectors normals respectius són ortogonals:
1 2· 0n n =
��� ���
Es denota:
1 2Π ⊥ Π
r
s
u��
v��
r s⊥
r
u��
Π
r ⊥ Π
1 2Π ⊥Π
1Π
2Π
( )1 1 1, ,A B C
( )2 2 2, ,A B C
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 16
IX Condicions de paral·lelisme i de perpendicularitat
Considerem les rectes r , de vector director ),,(321
uuuu = i s , de vector director
),,( 321 vvvv = i els plans 0: 11111 =+++Π DzCyBxA i 0: 22222 =+++Π DzCyBxA
Paral·lels Perpendiculars
r i s
u��
i v��
lin. dep., és a dir:
u k v=�� ��
u v⊥�� ��
és a dir:
· 0u v =�� ��
1 1 2 2 3 30u v u v u v+ + =
r i 1
Π
( )1 1 1, ,u A B C⊥
�� és a dir:
1 2 30Au Bu C u+ + =
u��
i ( )1 1 1, ,A B C lin. dep.:
u��
( )1 1 1· , ,k A B C=
1Π i
2Π
( )1 1 1
, ,A B C i ( )2 2 2, ,A B C
lin. dep., és a dir: ( )1 1 1
, ,A B C ( )2 2 2· , ,k A B C=
( )1 1 1
, ,A B C ( )2 2 2, ,A B C⊥ ,
és a dir:
1 2 1 2 1 20A A B B C C+ + =
X Projeccions ortogonals
� S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre el pla Π la intersecció 'P del pla amb la recta r perpendicular a Π que passa per P (Fig. 1)
� S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre la recta r la intersecció 'P
de la recta amb el pla Π perpendicular a r que passa per P (Fig. 2) � S’anomena projecció ortogonal de la recta r sobre el pla Π la recta s ,
intersecció del pla amb el pla 'Π perpendicular a Π que conté r (Fig. 3)
P
'P
Π
r
P’ Π
P
r
r
s
Π
'Π
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 17
r
s
v��
u��
v��
v��
α
1Π
2Π
1n��
2n���
α
·cos , 0
2·
u v
u v
πα α= ≤ ≤
�� ��
�� ��
XI Angles entre varietats lineals
XI.1 Angle entre dues rectes Donades les rectes r i s de vectors
directors respectius u i v , s’anomena angle entre r i s el nombre α que compleix: Les rectes poden ser secants o creuar-se.
0
2
r s
r s
α
πα
⇔ =
⊥ ⇔ =
XI.2 Angle entre una recta i un pla
Donada la recta r , de vector director u i el
pla Π , de vector normal n , s’anomena angle
entre r i Π el nombre α que compleix:
0
2
r
r
α
πα
Π ⇔ =
⊥ Π ⇔ =
XI.3 Angle entre dos plans
Donats els plans 1Π i
2Π de vectors
normals respectius 1n i
2n , s’anomena angle entre
1Π i 2Π el nombre α que
compleix:
1 2
1 2
·cos , 0
2·
n n
n n
πα α= ≤ ≤
��� ���
��� ���
r
n��
Π
u��
α
·sin , 0
2·
u n
u n
πα α= ≤ ≤
�� ��
�� ��
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 18
P
Q
d(P, Q)
P
'P
Π
( , )d P Π
1 2
1 2
0
2
α
πα
Π Π ⇔ =
Π ⊥ Π ⇔ =
XII Distàncies entre varietats lineals
XII.1 Distància entre dos punts
La distància entre els punts ( )321
,, pppP = i ( )321
,, qqqQ = és el nombre:
En general es definex la distància entre dues varietats lineals com la mínima distància que hi ha entre els punts d’una i els punts de l’altra.
XII.2 Distància d’un punt a un pla
La distància del punt ( )321
,, pppP = al pla 0: =+++Π DCzByAx és la que hi ha entre el punt P
i la seva projecció ortogonal 'P sobre el pla.
( , ) 0P d P∈Π ⇔ Π =
XII.3 Distància d’un punt a una recta La distància del punt P a la recta
uQzyxr α+=),,(: és la que hi ha entre el punt P i la seva projecció ortogonal 'P sobre la recta.
( , ) 0P r d P r∈ ⇔ =
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 3 3( , )d P Q PQ q p q p q p= = − + − + −
����
1 2 3
2 2 2( , )
A p B p C p Dd P
A B C
+ + +Π =
+ +
( , )P Q u
d P ru
∧=
����� ��
��u��
P
Q
P’
r
d (P, r)
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 19
Π
'Π
P
'P
( , )d r s
Q
r
s
Π
'Π
P
'P
( ), 'd Π Π
XII.4 Distància entre dos plans La distància entre els plans paral· lels
0: =+++Π DCzByAx i 0':' =+++Π DCzByAx
és la que hi ha entre un punt qualsevol de Π i 'Π
Per a aplicar aquesta fórmula cal que les equacions dels plans tinguin els mateixos coeficients , iA B C
XII.5 Distància entre dues rectes � Si les rectes r i s són secants, la distància entre elles és 0),( =srd . � Si les rectes són paral·leles, la distància entre elles és la que hi ha entre un punt qualsevol d’una i l’altra. � Si r i s es creuen, la distància ente elles és la que hi ha entre el pla Π que conté r i és paral· lel a s i el pla
'Π que conté s i és paral·lel a r .
Si uPzyxr α+=),,(: i : ( , , )s x y z Q vβ= +��
i no són paral·leles (vectors directors linealment independents) la distància és: En aquest cas, la distància entre les rectes és la que hi ha entre els punts d’intersecció de cada una amb la recta perpendicular i secant a totes dues. XII.6 Distància d’una recta a un pla
� Si la recta i el pla són secants o la recta està continguda en el pla, la distància és 0. � Si la recta és paral· lela al pla, la distància serà la que hi ha entre un punt qualsevol de la recta i el pla.
2 2 2
'( , ' )
D Dd
A B C
−Π Π =
+ +
( )det , ,( , )
PQ u vd r s
u v=
∧
���� �� ��
�� ��
P r
Π P’
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 20
: 0Ax By Cz DΠ + + + =
XIII Alguns exemples de determinació de rectes i plans
XIII.1 Nocions prèvies
A) Intersecció de dues rectes
♦ Si les rectes estan donades de forma implícita, cal resoldre el sistema format per les quatre equacions.
♦ Si les rectes estan donades de forma paramètrica (o vectorial) s'igualen yx, i z i es
calculen els paràmetres resolent el sistema:
+=
+=
+=
33
22
11
:
upz
upy
upx
r
α
α
α
+=
+=
+=
33
22
11
:
vqz
vqy
vqx
s
β
β
β
+=+
+=+
+=+
3333
2222
1111
vqup
vqup
vqup
βα
βα
βα
B) Intersecció d'una recta i un pla
♦ Si la recta està en forma implícita i el pla en forma general, es resol el sistema format per les tres equacions.
♦ Si la recta està donada en forma paramètrica (o vectorial) i el pla en forma general, se substitueixen les expressions de yx, i z de l'equació de la recta en l'equació del pla i es calcula el paràmetre:
+=
+=
+=
33
22
11
:
upz
upy
upx
r
α
α
α
C) Intersecció de dos plans
Les equacions generals dels dos plans ja són les equacions implícites de la recta intersecció (sempre que no siguin paral·lels).
D) Càlcul del vector director d'una recta donada de forma implícita
Sigui
=+++
=+++
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAr Un vector director pot ser:
( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , ,u A B C A B C= ∧
��
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0A p u B p u C p u Dα α α+ + + + + + =
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 21 També es pot resoldre el sistema format per les dues equacions (que és compatible indeterminat uniparamètric). La solució ens dóna l'expressió paramètrica de la recta i, per tant, un vector director.
Exemple:
5 3
2 3 5 2
2 3 5 2 3 5 3 53 5:
4 2 4 11 5 3 1111
y zx
x y z
x y z x y z zzr yy
x y z y z
zz αα
− +=+ − =
+ − = + − = − + − +⇔ ⇔ ⇔ = ⇔=
− + = − + = = =
32 2
11 11
3 5
11 11
x
y
z
α
α
α
= −
⇔ = − +
=
Vector director: 2 5
, , 111 11
u
= −
� o bé: ( 2, 5, 11)v = −
�
Noteu que 3 1 1 2 2 3
(2, 3, 1) (1, 4, 2) , , (2, 5, 11)4 2 2 1 1 4
− − − ∧ − = = − −
− − n’és també
vector director
XIII.2 Determinació de rectes
1 Recta r que passa per dos punts P i Q
El vector PQ és vector director de la recta. Si ),,(
321pppP = i ),,(
321qqqQ = , l'equació vectorial de la
recta r és:
1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )x y z p p p q p q p q pα= + − − −
i la contínua: 31 2
1 1 2 2 3 3
z px p y p
q p q p q p
−− −= =
− − − (sempre que els denominadors no siguin
nuls.)
2 Recta s que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r
� Si u és vector director de la recta r , l'equació
vectorial de la recta és: ( , , )x y z P uα= +��
.
� Si ),,(321
pppP = i r està donada en forma implícita:
=+++
=+++
0''''
0:
DzCyBxA
DCzByAxr
P
Q
r
P
Q
u��
u��
r
s
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 22 les equacions de la recta seran:
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) 0:
'( ) '( ) '( ) 0
A x p B y p C z ps
A x p B y p C z p
− + − + − =
− + − + − =
També es pot considerar com a vector director de la recta s el vector:
( , , ) ( ', ', ')v A B C A B C= ∧��
3 Recta r que passa per un punt P i és perpendicular a un pla Π
Si ),,(321
pppP = i 0: =+++Π DCzByAx ,
el vector ),,( CBAu = (normal al pla) és vector director de la recta r i la seva equació vectorial és: ( , , ) ( , , )x y z P A B Cα= +
i la contínua: 31 2z px p y p
A B C
−− −= =
(sempre que els denominadors no siguin nuls)
4 Recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans Π i 'Π
♦ Si els plans són paral·lels, hi ha una infinitat de rectes possibles; només cal prendre com a vector director qualsevol vector ortogonal al vector normal a Π (o a 'Π ).
♦ Si les equacions dels plans són:
0: =+++Π DCzByAx 0'''':' =+++Π DzCyBxA
i no són paral·lels, aquestes representen una
recta s en forma implícita; la recta r és paral·lela a s i es calcula com a l'apartat XIII.2-2.
P
( , , )u A B C=��
r Π
P
r
Π
'Π
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 23
5 Recta r que passa pel punt P i és perpendicular a dues rectes s i t
♦ Si s i t són paral·leles, hi ha una infinitat de solu-cions possibles; només cal prendre com a vector direc-tor de r qualsevol vector ortogonal al vector director de s (o de t ).
♦ Si s i t no són paral·leles i tenen vectors directors res-
pectius v i w , el vector
u v w= ∧�� �� ���
és vector director de la recta r i la seva equació vectorial serà:
( , , )x y z P uα= +�
6 Recta r que talla perpendicularment dues rectes s i t
♦ Si s i t són paral·leles hi ha una infinitat de rectes possi-bles.
♦ Si s passa pel punt P i té
vector director v ; i t passa pel punt Q i té vector direc-
tor w (i s i t no són paral-leles), es calcula el vector
wvu ∧= (ortogonal a tots dos). La recta r serà la intersecció del pla Π que passa per P i té vectors
directors v i u i el pla 'Π que passa per Q i té vectors
directors w i u .
P
Q
Q'
r
s
t
v��
w���
u v w= ∧�� �� ���
u v w= ∧�� �� ���
P
s
r
t
v��
w���
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 24
7 Recta r que passa pel punt P i talla dues rectes que es creuen s i t
És la intersecció del pla Π que conté P i la recta s amb el pla 'Π que conté P i la recta t . Vegeu a l'apartat XIII.3-6 com es calculen aquests plans.
XIII.3 Determinació de plans
1 Pla Π que passa per tres punts ,P Q i R
♦ Si els tres punts estan alineats, hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.)
♦ Si els tres punts no estan alineats, els vectors
PQ i PR són vectors directors del pla Π . Si ),,(
321pppP = , ),,(
321qqqQ = i ),,(
321rrrR = ,
l'equació general del pla serà:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
0
x p q p r p
y p q p r p
z p q p r p
− − −
− − − =
− − −
P
Q
R
Π
t
s
P
s
r
Π
'Π
P
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 25
2 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla 'Π
♦ Si el pla 'Π té vectors directors u i
v l'equació vectorial del pla Π és:
( , , )x y z P u vα β= + +�� ��
♦ Si ),,(
321pppP = i l'equació del
pla 'Π és 0=+++ DCzByAx , l'e-quació del pla Π serà:
1 2 3( ) ( ) ( ) 0A x p B y p C z p− + − + − =
3 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel a dues rectes r i s
♦ Si r i s són paral·leles hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.)
♦ Si r i s no són paral·leles i tenen vectors directors
respectius u i v , l'equa-ció vectorial del pla serà:
( , , )x y z P u vα β= + +�� ��
4 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla determinat per dues rectes paral· leles r i s
♦ Si sr = , hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.)
♦ Si r passa per Q i té vector
director u , i s passa per R i té
vector director v (i sr ≠ ), els
vectors QR i u (o QR i v ) són vectors directors del pla, i la seva equació vectorial és:
v��
u��
v��
u��
P
Q
Π
'Π
( , , )n A B C=��
( , , )n A B C=��
P
Q Q'
r
s
u��
u��
v��
v��
Π
P
Q
R
r
s
Π
u��
u��
QR����
v��
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 26
( , , )x y z P u QRα β= + +�� ����
5 Pla Π que conté el punt P i és perpendicular a la recta r
♦ Si ),,(321
pppP = i la recta r té vector
director ),,( cbau = , aquest vector serà nor-mal al pla i l'equació general de Π serà:
1 2 3( ) ( ) ( ) 0a x p b y p c z p− + − + − =
♦ Si la recta r ve donada de forma implícita:
=+++
=+++
0''''
0:
DzCyBxA
DCzByAxr els vectors
( , , )u A B C=��
i ( ', ', ')v A B C=��
seran
vectors directors del pla Π .
6 Pla Π que conté el punt P i la recta r
♦ Si el punt P pertany a la recta r hi ha una
infinitat de plans possibles (tot un feix.)
♦ Si r passa per Q i té vector director u (i
P no pertany a r ), els vectors u i PQ són vectors directors del pla i la seva equació vectorial serà:
( , , )x y z P u PQα β= + +�� �����
♦ Si la recta ve donada de forma implícita:
=+++
=+++
0''''
0:
DzCyBxA
DCzByAxr el pla buscat
serà del feix que té per eix la recta r :
( ) '( ' ' ' ') 0k Ax By Cz D k A x B y C z D+ + + + + + + =
i es calcula substituint yx , i z per les coordenades de P i calculant k i 'k .
P Q
r
Π
u��
Q u��
r
P
Π
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 27
7 Pla que conté una recta r i és paral·lel a una altra recta s
♦ Si les rectes són paral·leles hi ha una infinitat de solucions (tot el feix de plans que té per eix la recta r ).
♦ Si les dues rectes no són paral·leles, els seus vectors
directors respectius, u i v són vectors directors el pla. Si P és un punt de la recta r , l'equació del pla serà:
( , , )x y z P u vα β= + +� �
Si ),,( 321 pppP = i ( , , )u v A B C∧ =� �
, l'equació del pla serà:
1 2 3( ) ( ) ( ) 0A x p B y p C z p− + − + − =
8 Pla que conté el punt P i és perpendicular als plans 1
Π i 2
Π
♦ Si els plans són paral·lels hi ha una infinitat de solucions.
♦ Suposem que els plans no són paral·lels i que les seves equa-cions són:
0: 11111 =+++Π DzCyBxA
0: 22222 =+++Π DzCyBxA
Si ),,( 321 pppP = i
1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )A B C A B C A B C∧ =
l'equació del pla serà:
1 2 3( ) ( ) ( ) 0A x p B y p C z p− + − + − =
P
Q s
r u��
v��
v��
Π
2Π
r
P
1Π
Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 28
9 Pla que està a una distància d del pla Π
Si 0: =+++Π DCzByAx , el pla buscat tindrà per
equació: ' 0Ax By Cz D+ + + = on 'D es calcula
re-solent l'equació:
2 2 2
'D Dd
A B C
−=
+ +
Hi haurà dues solucions
Simètric d'un punt P respecte d'un pla Π
Suposem que 0: =+++Π DCzByAx . 1) Es busca la recta que passa per P i és
perpendicular a Π : : ( , , ) ( , , )r x y z P A B Cα= +
2) Es calcula la intersecció de la recta amb el
pla: Q r= Π∩
3) El simètric serà el punt ' 2P P PQ= +����
Simètric d'un punt P respecte d'una recta r
Suposem que
( ) ( )1 2 3 1 2 3: ( , , ) , , , ,r x y z p p p k u u u= + .
1) Es busca el pla que passa per ( )1 2 3
, ,P p p p=
i és perpendicular a r :
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3: 0u x p u x p u x pΠ − + − + − =
2) Es calcula la intersecció de la recta amb el pla: Q r= Π∩
3) El simètric serà el punt ' 2P P PQ= +����
d
1Π
Π
d
2Π
Q
r P
P'
Π
P
Q
P'
Π
r