Varilla apoyada sobre un cuadrado con

contacto rugoso

De Laplace

Contenido

1 Enunciado2 Solucin

2.1 Diagrama de slido libre2.2 Condicin de equilibrio

1 Enunciado

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada delado a y espesor y peso despreciables (slido "0"). sta sehalla contenida en un plano vertical OX1Y1, con uno desus lados en contacto con el eje horizontal OX1 (slido"1"). Dicho contacto es rugoso, con un coeficiente derozamiento esttico . Al mismo tiempo, sobre el vrticeA de la placa se apoya una varilla pesada y homognea,de peso P y longitud 2a (slido "2"), con un contacto liso. La varilla se mantienesiempre en el plano vertical OX1Y1, y puede girar libremente alrededor de suextremo articulado sin rozamiento en el punto O del eje horizontal fijo. Se pide:

Fragmentar el sistema de slidos y representar sus correspondientes"diagramas de slido libre".

1.

El rango de valores del parmetro para el que es posible el equilibrioesttico del sistema, y las reacciones vinculares ejercidas sobre la varilla endicha situacin.

2.

2 Solucin

2.1 Diagrama de slido libre

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Los contactos en A y O son lisos, mientras que elcontacto de la base de la placa con el suelo esrugoso. Este ltimo es un contacto distribuido, esdecir, hay una distribucin de fuerzas paralelasactuando sobre la base de la placa. Este sistemapuede reducirse en su centro(punto B en la figura),donde se sita su resultante (fuerza ). Adems, elcarcter rugoso del contacto hace que aparezca unafuerza proporcional a la resultante del sistema de

fuerzas paralelas. La fuerza de reaccin vincular es la suma de estas dosfuerzas. La figura de la izquierda muestra las fuerzas que actan sobre los slidos"2" y "0". Para que el equilibrio pueda producirse el punto B debe estar dentro de labase de la placa.

En el dibujo, la direccin de la fuerza en la articulacin se determina aplicandoel teorema de las tres fuerzas al slido "2".

2.2 Condicin de equilibrio

Los vectores de posicin de los puntos relevantes en el problema son

A partir de la figura, las expresiones de las diferentes fuerzas que actan sobrecada slido son

Podemos determinar imponiendo que el momento total sobre el slido "2" esnulo. Calculando este momento en O evitamos tener que detallar la fuerza .Tenemos

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Ahora podemos calcular imponiendo que la suma de fuerzas sobre la varilla seanula

Ahora aplicamos que la suma de fuerzas sobre la placa tambin debe ser cero en elequilibrio

El mdulo de la fuerza de rozamiento es . Por tanto, para que el equilibriosea posible debe cumplirse

Si es mayor que ese valor lmite, la placa desliza hacia la derecha.

Pero el equilibrio tambin puede romperse por el vuelco de la placa. Paraestudiarlo examinamos la condicin de que el momento resultante de las fuerzasaplicadas sobre la placa sea nulo. Escogemos el punto O para calcular el momento

Para que la placa no vuelque el punto B debe estar dentro de su base, es decir,debe cumplirse

La primera condicin se cumple siempre, pues es siempre menor que uno.Esto quiere decir que el punto B nunca va a salirse de la base hacia el punto O, esdecir, el bloque nunca va a volcar hacia la izquierda.

En la grfica hemos representado las distintas funciones que aparecen en loscriterios de estabilidad. Entre = 0 y = / 4 se cumple la condicin de equilibriofrente a vuelco independientemente del coeficiente de rozamiento, pues la funcin

es mayor que 1 (lnea roja). Si > / 4 la placa vuelca hacia laderecha. Por otro lado, la lnea morada corresponde a un valor del coeficiente derozamiento de = 0.2. Los valores de para los cuales la tan es menor que corresponden a situaciones de equilibrio frente a deslizamiento, mientras quevalores de para los cuales la tangente es mayor que suponen que la varilla

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desliza.

Supongamos que en un experimentosituamos la varilla y la placa de modoque el ngulo sea casi cero. En esascondiciones se cumplen lascondiciones de equilibrio frente adeslizamiento ( , la lneaazul por debajo de la morada) yvuelco ( , lalnea roja por encima de 1). Ahoravamos aumentando el ngulo. Llegaun momento en que tan > (la lneaazul se pone por encima de la morada). En ese instante se incumple la condicin deequilibrio frente a deslizamiento, pero no frente a vuelco, por lo que la placadeslizara hacia la derecha.

Si = 1.5, por ejemplo, al ir aumentando el ngulo se incumple antes la condicinde equilibrio frente a vuelco que frente a deslizamiento, pues la lnea roja pasa pordebajo del 1 antes de que la lnea azul se ponga por encima del valor de . En esecaso la placa volcara cuando > / 4.

Un caso lmite ocurre cuando = 1, pues las dos condiciones de equilibrio seincumplen a la vez. Ocurre que en un caso real siempre habr algn factor que sedesve de este modelo ideal (la placa no es completamente cuadrada, el valor de no es exactamente 1, etc).

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