Vector (física)En física, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación) para quedar definido.[1] [2] [3] [4]

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional.

Ejemplos

La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.

La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera.

El desplazamiento de un objeto.

Contenido[ocultar]

1 Conceptos fundamentales o 1.1 Magnitudes escalares y vectoriales o 1.2 Notación o 1.3 Clasificación de vectores o 1.4 Componentes de un vector

2 Operaciones con vectores o 2.1 Suma de vectores

2.1.1 Método del paralelogramo 2.1.2 Método del triángulo 2.1.3 Método analítico para la suma y diferencia de vectores

o 2.2 Producto de un vector por un escalar o 2.3 Producto escalar o 2.4 Producto vectorial o 2.5 Derivada de un vector o 2.6 Ángulo entre dos vectores

3 Cambio de base vectorial 4 Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales 5 Véase también 6 Referencia

o 6.1 Bibliografía 7 Enlaces externos

[editar] Conceptos fundamentales

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, las componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

[editar] Magnitudes escalares y vectoriales

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores cartesianos.

Representación de los vectores.

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.[5] [6]

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección.[1] [2] [3]

[editar] Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar). Ejemplos:

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando

entre barras la notación correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y

... o ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan

los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la

unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

[editar] Clasificación de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular. Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de

acción. Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo unidad. Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio

(paralelos). Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria. Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción. Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en

un mismo plano).

[editar] Componentes de un vector

Componentes del vector.

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

[editar] Operaciones con vectores

[editar] Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo.

Método del triángulo.

[editar] Método del paralelogramo

Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

[editar] Método del triángulo

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.

[editar] Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando las componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo θ que forman entre sí, el módulo de es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

[editar] Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

[editar] Producto escalarArtículo principal: Producto escalar

[editar] Producto vectorialArtículo principal: Producto vectorial

[editar] Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una

partícula y la función representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

[editar] Ángulo entre dos vectores

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

[editar] Cambio de base vectorial

Cambio de base vectorial.

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial asociada definida por los

versores ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z

′), con una base vectorial asociada definida por los versores . Las componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Cambio de base vectorial.

Ejemplo

En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:

siendo

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

[editar] Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n -tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

Vectores en el Plano  

Concepto de vector y sus operaciones geométricamente. Operación con vectores utilizando sus coordenadas. Producto escalar de dos vectores y sus propiedades. Módulo de un vector y el ángulo de dos vectores a través del producto escalar.

Vectores en un Plano.

1. Sistema de Referencia en el Plano.-

“Se denomina Sistema de Referencia a todo aquello que nos permite describir y especificar con precisión a las magnitudes Vectoriales”.

Sin embargo en la física existe diversos Sistemas de Referencia como ser :

Sistema de Referencia Cartesiano.

Sistema de Referencia Polar.

Sistema de Referencia Geográfico.

Sistemas de Referencia Cartesiano.-

El Sistema de Referencia artesiano puede ser: Unidimensional, Bidimensional o Tridimensional.

El Sistema de Referencia Cartesiano en una Dimensión, esta constituido por una recta (horizontal o vertical) , la cual es dividida en dos segmentos por un punto denominado Origen de Coordenadas, la recta se la conoce como el eje “x”, considerándose el eje “+ x” a partir del origen a la derecha, y el segmento ubicado a la izquierda del origen recibe la denominación del eje “- x”.

-x O + x (u)

El Sistema de Referencia Cartesiano en dos Dimensiones, más conocido como Sistema Cartesiano en el Plano, esta compuesta por dos rectas que se cortan de manera perpendicular en un punto llamado “origen de coordenadas”.

Este sistema consta de dos rectas una horizontal conocida como el eje “x” y una recta vertical conocida como el eje “y”, siendo los sentidos positivos y negativos de las mencionadas rectas.

+ y (u)

-x 0 + x (u)

- y

El Sistema de Referencia Cartesiano en Tres Dimensiones, constituido por tres rectas que se cruzan perpendicularmente en el origen de coordenadas. Las rectas son conocidas como los ejes “x”,”y” y ”z”, como se muestra en la figura.

+ y (u)

+ x (u)

+ z (u)

Sistema de Referencia Polar.-

Toma en Cuenta un origen a partir del cual se traza al vector y una recta de referencia horizontal a partir del cual se miden los ángulos hasta encontrar el vector , la recta parte del origen mencionado.

Ejemplo:

A = 10 [m] + 30°

A = 10[m] - 330°

30°

Sistema de Referencia Geográfico.-

Este sistema toma en cuenta los cuatro puntos cardinales

N (y)

27°

O E (x)

S

Componentes Rectangulares de un Vector.

El método geométrico de suma de vectores no es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta precisión o en los problemas tridimensionales.

En esta sección se describe un método para sumar vectores que hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular , a estas proyecciones se las llama componentes de un vector cualquier vector se puede describir completamente por sus componentes.

Ejemplo:

Transformación de Coordenadas.

3.1 De Sistema Cartesiano a Sistema Polar.

3.2 De Sistema Polar a Sistema Cartesiano.

4. Suma de Vectores.

El manejo de las diferentes magnitudes vectoriales en el Estudio de la mecánica Clásica requiere permanentemente la suma de dichas magnitudes, por ello resulta de especial interés la suma vectorial como una herramienta de trabajo para resolver problemas.

4.1 Método Gráfico (método del polígono)

Se colocan los vectores sumandos uno a continuación del otro, de tal manera que coincidan cabeza con cola. El vector resultante se obtiene uniendo la primera cola con la ultima cabeza, quedando cabeza con cabeza .

Ejemplo:

R = A + B + C + D

A D

C

B

4.2 Método Analítico (Descomposición Vectorial )

Para sumar vectores analíticamente se procede como en la SUMA ALGEBRAICA, es decir con todas sus propiedades y particularmente con el primer caso de factorización (factor común)

El vector resultante se obtiene mediante la suma algebraica de los módulos y además respetando las operaciones y los respectivos signos de cada vector.

Sistema de Referencia Cartesiano

Vectores

El estudio de los vectores es importante en cualquier curso de física. Muchas de las magnitudes físicas tienen las propiedades de los vectores y algunas de las relaciones entre esas magnitudes  ( leyes de la física) adoptan la forma más simple si se expresan en forma vectorial.

En los siguientes apartados repasaremos los conceptos y aplicaciones más relevantes del análisis vectorial de cara a un primer curso universitario de física.

1)       Magnitudes escalares y vectoriales.

Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas  en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Un ejemplo de magnitud escalar es la masa. Para determinar la masa de una partícula es suficiente con dar el valor y la unidad en que se mide (Ejemplo: 5 Kg).

Un ejemplo de magnitud vectorial es la fuerza. Para determinar la fuerza que actúa sobre una partícula además de dar el valor y la unidad es necesario también dar la dirección y el sentido de la misma.

(Ejemplo se ha ejercido una fuerza de 5 Newton en la dirección vertical y sentido ascendente)

2)       Vector.

Una magnitud vectorial se suele representar mediante un vector. Desde el punto de vista geométrico un vector es un segmento orientado cuya longitud es igual o proporcional al valor de la magnitud, y su dirección y sentido coincide con la de la misma.  Así

una fuerza  de 4 N en la dirección EO, sentido hacia el O se representa por una flecha cuya longitud (módulo) es de 4  orientada en la dirección y sentido indicado.

= 4

E

O

Para ello tenemos previamente que definir la unidad de vector (vector

unitario) en ese sentido:  

En la figura se representa una fuerza de módulo 4 unidades de dirección Este Oeste y sentido hacia el oeste.

Notación: Cuando nos refiramos a un vector  pondremos la flechita sobre el símbolo. Si nos referimos a su módulo lo pondremos sin flechita o con el símbolo de vector entre barras.

Así en el caso del ejemplo F=4 o   .=4

3)       Igualdad de vectores. Suma de vectores.

Dos vectores son iguales si lo son sus módulos sus direcciones y sus sentidos.

        

        

       

En física hay muchas circustancias en las que hay que sumar

magnitudes vectoriales. Por ejemplo cuando dos fuerzas  y actúan sobre un cuerpo en el mismo punto O.

 

El sistema de dos fuerzas  y es equivalente a una única fuerza  

actuando sobre el mismo punto.  Para conocer el módulo dirección y

sentido de dicha fuerza tenemos que construir un paralelogramo a partir de los vectores que se suman.

= y

Más adelante veremos que el módulo del vector suma  se puede obtener analíticamente mediante la expresión

                                                           

Siendo el ángulo que forma el ángulo que forman los vectores  y

Un caso particular interesante es cuando los dos vectores son paralelos. En ese caso la expresión anterior se convierte en el conocido Teorema de Pitágoras.

Vector nulo:

Es aquel cuyo modulo es cero ( El origen y el extremo coinciden)

Vector opuesto:

El vector opuesto a un vector  es otro vector (- ) de igual módulo y dirección y sentido opuesto

Se verifica que +(- )=

        

Diferencia de vectores: El la suma con el opuesto.

                   - = +(-  )

                  

Propiedades de la suma de vectores:

Propiedad asociativa: ( + )+ = +( + )

Propiedad comutativa: + = +

Elemento neutro:

Elemento opuesto: -

4. Producto de un vector por un número

Dado un vector el resultado de   multplicarlo por un escalar   es

otro vector = cuya dirección es  la misma que  la de , su módulo es b=a y su sentido es   el mismo si >0 y contrario si <0.

2

- 2

        

4) Componentes cartesianas de un vector

a) Vectores en el Plano

En ocasiones es conveniente descomponer un vector en suma de otros situados  sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianos.  Por ejemplo cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo que    solo se puede mover en la horizontal,  es conveniente descomponer esa fuerza en una componente horizontal que actúa en la dirección del movimiento y tiene un efecto directo sobre éste y otra vertical que no interviene directamente sobre el movimiento sino de forma indirecta al “aligerar “ el roce con el suelo. De ahí la conveniencia de la descomposición.

X

La fuerza queda como suma  de sus componentes vectoriales ,   

= +

Los vectores    se pueden poner en función de los vectores

unitarios y (horizontal y vertical resp.) de la siguiente forma: =ax

 ; =ay donde los escalares ax , ay  , módulos de las componentes vectoriales se denominan componentes escalares o componentes cartesianas de . El vector  puede ponerse como

= ax  +ay o tambien =( ax , ay)

         Nótese que ax , ay  son las proyecciones del segmento a (módulo del vector ) sobre los ejes coordenados.

ax = a cos  y ay = acos= a sen

donde , son los ángulos que forma el vector con los ejes X e Y respectivamente

Ejercicio:

a) Se cumple que cos2+cos2=1.

b) Se cumple que el módulo del vector en función de las componentes es   a2= ax

2+ ay2

B) Vectores en el espacio            

Todo lo anterior se puede generalizar al caso de vectores en el espacio tridimensional. Para ello tomemos un sistema de coordenadas basados en tres ejes perpendiculares tal como indica la figura.

X

ax

ay

az

Z

Y

El vector se puede poner en función de sus componentes como

= ax  +ay + az      o  tambien =( ax , ay,  az  )

Las componentes ax , ay,  az son las proyecciones ortogonales del segmento a sobre los ejes  y por lo tanto

ax = acos    ay =a cos   az= a cos

Donde , , son los ángulos que forma el vector    con los ejes Z, X,Y respectivamente.

         Para éstos se cumple que cos2 + cos2 + cos2=1

         El módulo del vector queda en función de las componentes de la forma

a2= ax2+ ay

2+ az

2

Al igual que en el caso del plano dejamos estos dos últimos resultados como ejercicio.

5)Expresión de las operaciones suma de vectores y  producto de un vector por un número en función de las componentes

         Por razonamientos geométricos y a  partir de las definiciones de dichas operaciones se puede demostrar fácilmente que si :

=( ax , ay,  az  )  y =(bx, by , bz)  y es un número real entonces:

=( ax,  ay ,  az  )  y + =( ax+bx, ay+by, az+bz)

Dejamos al alumno la justificación  de estas expresiones.

Ejercicio:

         Dados los vectores  y  Calcular:

a)     2 -3

b)     modulo de ambos vectores

c)     Vector unitario en la dirección de

d)     Vector de módulo 10 en la dirección de  y de sentido opuesto al mismo.

6) Producto escalar.

Ciertas operaciones entre magnitudes vectoriales dan como resultado un número (escalar). Por ejemplo el trabajo es una magnitud escalar y se obtiene de operar dos magnitudes vectoriales: la fuerza y el desplazamiento   sobre la trayectoria. Por ello es conveniente definir una nueva operación entre vectores cuyo resultado es un escalar.

En la figura una fuerza  arrastra horizontalmente un bloque. El

desplazamiento viene dado por el vector

Fx

Fx

        

En cursos anteriores de física se ha visto que la parte de la fuerza que contribuye al trabajo es la componente de la misma en la dirección del movimiento es decir, en nuestro caso, F x .  

=Fx. S=Fcos.S

Esta expresión nos sugiere definir la siguiente operación entre las

magnitudes vectoriales  y  

         =

llamada producto escalar, que consiste en multiplicar los módulos de las magnitudes que interviene y a la vez por el coseno del ángulo que forma dichos vectores. El producto escalar se utiliza mucho en física en las circustancias en las que hay que realizar proyecciones de un vector sobre una dirección determinada .

         Definición.-En el caso general sean dos vectores  y  que forman entre sí un ángulo - Se define como producto escalar de ambos al número que se obtiene a partir de la expresión:

  =a b cos

Ejercicios:

Demostrar que   = = =1 y que = = =0

Justificar que el producto escalar tiene  la propiedad comutativa

Justificar que si el producto escalar es cero, los dos vectores son perpendiculares, o bien alguno de ellos tiene de  módulo cero.

6.1 Expresión cartesiana del producto escalar.

Sean los vectores  =( ax , ay,  az  )  y =(bx, by , bz)

              Es fácil demostrar (Poner el desarrollo en función de los vectores unitarios y aplicar los resultados del ejercicio anterior) que

  = axbx, +ayby+azbz

                  

Ejercicios:

Dados los vectores  de módulo 10 y  de módulo 5, formando un

ángulo de 60º, calcular   y   

Dados los vectores  y   calcular   y   

6.2 Utilidades.

Citamos aquí algunas apñicaciones interesantes del producto escalar.

Ángulo que forman dos vectores   y

     De la definición de producto escalar, despejando obtenemos

Proyección del vector  sobre la dirección de

La proyección de le vector  sobre la dirección de es el segmento marcado en azul en la figura.

=acos = =

Siendo  un vector unitario en la dirección y sentido de  

Ejercicios.-

1) Considera un tríángulo cuyos lados son los vectores  y  y  el vector

suma = y (diagonal del paralelogramo). Multiplicando escalarmente la

igualdad = +  obtener la expresión del teorema del coseno

2) Dados los vectores  y  . Determinar el ángulo que forman entre ellos y los ángulos que forma el primero con los ejes de coordenadas. Determinar la proyección del primero sobre el segundo.