Vector gradiente y derivadas direccionales de una función ... · hormiga se alejará de la fuente...

MotivaciónEjemplos. Definición del vector gradiente

Derivada direccional y su relación con el vector gradientePropiedades. Aplicaciones

Vector gradiente y derivadas direccionales deuna función escalar

Jesús Adrián Espínola-Rocha 1

1Universidad Autónoma Metropolitana - Azcapotzalco.

19 de mayo de 2014

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1 Motivación

2 Ejemplos. Definición del vector gradiente

3 Derivada direccional y su relación con el vector gradiente

4 Propiedades. Aplicaciones

Motivación

¿Dónde aparece vector gradiente?

En el cerro, en el Ajusco, al llover, el agua cae por ríos.En un comal camina un hormiga. Se prende el comal. Lahormiga se alejará de la fuente de calor lo más rápidoposible.También hay un flujo de calor en dicho comal hacia lasorillasEn la superficie terrestre tenemos el aire a diferentespresiones. Hay movimiento: vientos.

Todos ellos siguen la dirección opuesta del vector gradiente.Gradiente de temperatura. Gradiente de presión.

Motivación

Ejemplo

Altura de una montaña o cerro: H = f (x , y) = 3− (x2 + y2).El agua cae hacia afuera, alejándose del centro.

Definición del vector gradiente en un punto (x0, y0)

Definición. ∇f (x0, y0) = ( ∂f∂x (x0, y0), ∂f

∂y (x0, y0))

Hagámos una cuenta. Para la funciónH = f (x , y) = 3− (x2 + y2): ∇f (x0, y0) = (−2x0,−2y0).

cDGotas caen dirección opuesta al gradiente: −∇f (x0, y0):dirección del descenso más pronunciado.

T = f (x , y): hormiga se aleja del fuego.El calor fluye alejándose de la fuente de calor, temperaturamenor.P = f (x , y). Los vientos soplan hacia lugares de menorpresión

Todos en dirección −∇f (x0, y0)

Derivada direccional: Dvf (x0, y0)

f (x , y): Función de dos variables.v = (v1, v2): Vector unitario: |v | = 1. Define dirección y unidad.

Dvf (x0, y0) = ∇f (x0, y0) · v

z = f (x , y), gráfica de f con plano tangente en (x0, y0, f (x0, y0)).

_..'r'

rf ~ - L.. V\ \ \ \ ,

_..'r'

rf ~ - L.. V\ \ \ \ ,

(x , y) = (x0 + tv1, x0 + tv2) en recta con dirección v = (v1,v2).G(t) = f (x , y) = f (x0 + tv1, x0 + tv2)Definición. Derivada direccional.

Dvf (x0, y0) = G′(0)

No siempre calculamos límites. ¿Fórmula?JAER

Dvf (x0, y0) = G′(0) = limt→0

f (x0 + tv1, x0 + tv2)− f (x0, y0)

≈ f (x0 + tv1, x0 + tv2)− f (x0, y0)

tPlano tangente:f (x , y) ≈ zT = f (x0, y0) + ∂f

∂x (x0, y0)(x − x0) + ∂f∂y (x0, y0)(y − y0).

Dvf (x0, y0) = G′(0) ≈∂f∂x (x0, y0)tv1 + ∂f

∂y (x0, y0)tv2)

=∂f∂x

(x0, y0)v1 +∂f∂y

(x0, y0)v2

Dvf (x0, y0) = ∇f (x0, y0) · v

Propiedades

Propiedades del vector gradiente.Ecuación de la gráfica, z = f (x , y). Fijar (x0, y0). Entonces∇f (x0, y0) es fijo y define una dirección.

Dvf (x0, y0) = |∇f (x0, y0)| cos θ, (|v | = 1).

Dirección de máximo ascenso: Dvf (x0, y0) = |∇f (x0, y0)|⇒ cos θ = 1⇒ θ = 0⇒, dirección de máximo ascenso.De igual modo, θ = π, dirección de máximo descenso.Curvas de nivel perpendiculares a ∇f (x0, y0).

Propiedades

Dvf (x0, y0) = |∇f (x0, y0)| cos θ, (|v | = 1).

Propiedades

Dvf (x0, y0) = |∇f (x0, y0)| cos θ, (|v | = 1).

Aplicaciones

Aplicaciones.

Para subir un cerro con máximo ascenso: dirección de∇f (x0, y0).Para bajar con máximo descenso: −∇f (x0, y0):

HormigaFlujo del calorVientos.

Carreteras y veredas: No máximo ascenso. No máximodescenso.

Aplicaciones

Aplicaciones.

Aplicaciones

Aplicaciones.

Aplicaciones

Aplicaciones.

Aplicaciones

Aplicaciones.

Aplicaciones

Aplicaciones.

Ejemplo. Paso de montaña.

También se le llama "Silla de montar". Altura del cerro:H = f (x , y) = x2 − y2.

Gradiente en un punto (x0, y0): ∇f (x0, y0) =

(2x0,−2y0

∇f : Dirección de ascenso más pronunciado.−∇f : Dirección de descenso más pronunciado.¿Cómo lo sabe uno?

Vector gradiente perpendicular a curvas de nivel.

En una curva de nivel: v = vector tangente, y ademásDvf (x0, y0) = 0. Entonces:

∇f (x0, y0) · v = 0.

Vector gradiente perpendicular a curvas de nivel.

Otra forma de deducir el mismo resultado:Dos puntos cercanos en curva de nivel:

f (x0 + ∆x , y0 + ∆y) = c; f (x0, y0) = cEntonces:f (x0 + ∆x , y0 + ∆y)− f (x0, y0) = 0Aproximar con plano tangente:zT − f (x0, y0) ≈ 0

∂f∂x (x0, y0)∆x + ∂f

∂y (x0, y0)∆y ≈ 0

Vector gradiente perpendicular a curvas de nivel.∂f∂x (x0, y0)∆x + ∂f

∂y (x0, y0)∆y ≈ 0

∇f (x0, y0) · (∆x ,∆y) ≈ 0,∇f (x0, y0) · (vector secante) ≈ 0,En el límite sobre la curva de nivel:(x0 + ∆x , y0 + ∆y)→ (x0, y0)∇f (x0, y0) · (vector tangente) = 0,

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