VECTORES EN EL PLANO PEDRO GODOY G. 2012. SANTIAGO MIAMI MADRID A B C Un avión puede volar de...
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VECTORES EN EL PLANO
PEDRO GODOY G.
2012
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SANTIAGO
MIAMI
MADRID
A
B C
Un avión puede volar de Santiago a Madrid haciendo una escala técnica en Miami, sin embargo, se puede ahorrar combustible y
contaminar menos la atmosfera, si el viaje se hace directamente, sin escalas, de Santiago a Madrid.
u
v
w��������������
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AB v����������������������������
BC u����������������������������
AC w����������������������������
Asi tenemos que
v u w ������������� �
Def: Un vector es un segmento dirigido que tiene un origen y un extremo.
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Características del vector
El MODULO de un vector, es la longitud de este, lo representamos como
o vAB����������������������������
DIRECCION : es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son paralelos tienen la misma dirección.
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SENTIDO es el que va del origen al extremo, lo representamos por la punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos.
Vectores equipolentes:Vectores equipolentes:
Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido, y elSon aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido, y elmismo módulo.mismo módulo.
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Vector libre: Es el conjunto formado por un vector y todos los vectores equipolentes a el.
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Suma geométrica de un vector:
Para sumar dos vectores u y v podemos hacerlo de dos maneras
1.- Desde un punto cualquiera del plano colocamos un vector equipolente a udel extremo de este colocamos otro vector que sea equipolente a v de maneraque coincidan el extremo del primero con el origen del segundo. La suma es el vector que tienen como origen el origen del primero y como extremo el extremodel segundo.
uv
u+v
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2.- Ley del paralelogramo: Formamos un paralelogramo con dos vectores equipolentes a los dados de forma que coincidan los orígenes y la suma es la diagonal del paralelogramo tomando como origen de los vectores equipolentes elegidos
u
u v
v
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OBS: Si a es un vector cualesquiera entonces –a es un vector con la misma dirección, el mismo módulo pero no el mismosentido.
a-a
a
ka
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Resumiendo, multiplicar un vector por un número k equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de k, e
invertir su sentido si k es negativo.El número k por el que se multiplica un vector recibe el nombre de
escalar.
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Propiedad conmutativa
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Propiedad distributiva
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Dados los vectores a y b es posible obtener gráficamente lo siguiente
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EJERCICIO: Dados los vectores
Aplicando la regla del paralelogramo dibuja en tu cuaderno los vectores
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Base:Dos vectores cualesquiera del plano con distinta direcciónforman una base porque nos permiten expresar cualquier otroVector como combinación lineal de ellos
a
b
v
De este modo se verifica que v = xa + yb
A los números (x, y) se les llama coordenadas de v respecto de la base
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Obs: Se le llama base canónica a dos vectores perpendiculares y modulo unidad
Se anotan por {i , j } siendo i y j los vectores citados.
Sistema de referencia en el plano.Es el conjunto formado por:- Un punto fijo O, llamado origen.Tomando la base canónica B= {i , j} como base habitual, un sistema de referencia queda expresado en la forma siguiente
, ,P O i j
Dado un sistema de referencia , a cada punto P del plano se le asocia un vector OP que recibe el nombre de vector de posición
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Es decir, las coordenadas de i son (1, 0)las coordenadas de j son (0, 1)
Podemos, por tanto, expresar i y j en función de sus coordenadas.I =(1, 0)j = (0. 1)
En el caso de v y w será: v = 3i +4j = (3, 4); w =9i +5j = (9, 5)
En general, si v =xi + yj, podemos poner v = (x, y) donde x e y son las coordenadas del vector.
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OBS. Si A (a,b) y B(c,d) son dos puntos del plano, entonces el vector asociado es
( , )AB c a d b ��������������
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Operaciones con vectores expresados en coordenadas de una base canónica.
Suma:
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),( 11 yxu ),( 22 yxv
),( 2121 yyxxvu
Vemos que las coordenadas de u+v se obtienen sumando las coordenadas de u y vEn general, si
y
entonces,
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PRODUCTO
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Si a es un vector cualquiera, y k es real
Si k > 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma dirección, y sentido
Si k < 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma dirección, y cambia de sentido
a
kaK>0 b
kb K<0
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Sea v = xi + yj y u = ai + bj entonces el producto
v u = (xi + yj )(ai + bj )=xaii+xbij+ yaji + ybjj
Pero ii = 1, ij = ji=o y jj= 1
Tenemos que v u= (x,y)(a,b)= xa + yb
Ejemplo : v u = (2,3) (4,5)= 8 + 15 = 23
Obs : v u = u v
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OBS: Si u v = 0 entonces u y v son vectores perpendiculares
u
v
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VECTOR UNITARIO
a
Luego se cumple la relación aaa ˆ
O bien
a
aa ˆ
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Proyección de vector sobre otroProyección de vector sobre otro
Al proyectar el vector sobre la dirección del
Vector ; obtenemos:
v
u
Proyección de sobre :
medida del segmento
v u
ABAB Vector proyección de sobre = v u AB
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'
) u sobre v de (cos
vu
proyecciónuvuvu
'
) v sobre u de (cos
uv
proyecciónvvuvu
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' = y ' = .u
u v u vv v
u u
����������������������������
' = y ' = .u v u v
u u vv v
����������������������������
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a b
c d ad bc
Operaciones básicas de determinantesOperaciones básicas de determinantes
a b c
x y z
p q r
a b
x y
p q
+ + +- - -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ayr bzp cxq pyc qza rxb
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VECTORES EN EL ESPACIO
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( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)x y z x y z
i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
k=(0,0,1)
donde
(x,y,z)=xi+yj+zk
luego
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Modulo de un vector
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