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MECÁNICA DE
FLUIDOS II
13
UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRION FACULTAD DE INGENIERIAEscuela de formac!" #rofeso"al de "$e"era c%l
5.2. SOLUCIÓN DE BAKHMETEFF-VEN TE CHOW
En 1912 Bakhmeteff, inspirado en general por los trabajos de Bresse y Tolkmitt propone
una metodología que permite integrar la ecuacin para canales en forma cualquiera,
introduciendo la llamada funcin de flujo !ariado" En a#os posteriores, se contin$a con la idea de
Bakhmeteff, eliminando algunas de las limitaciones del m%todo y tratando de lograr un
procedimiento de c&lculo m&s directo y seguro, entre los cuales se pueden citar los trabajos de
'ononobe (19)*+, ee (19-.+, /on 0eggern (19+, 3ho4 (19+"
5na de las hiptesis fundamentales del m%todo es la suposicin de que los llamados
e6ponentes hidr&ulicos se mantienen constantes en el tramo considerado"
A. Desarrollo del método.
'uchos in!estigadores han sugerido procedimientos para refinar el trabajo originalmente
desarrollado por Bakhmeteff7 /en Te 3ho4 en particular, con base en el estudio de muchos de
los trabajos e6puestos anteriormente, desarroll un m%todo que permite e6tender y consolidar la
solucin de Bakhmeteff, manteniendo la misma forma de la funcin de flujo !ariado"
El procedimiento que se presenta a continuacin es !&lido principalmente para cualquier
tipo de seccin trans!ersal en canales prism&ticos"
1. Planteo de la ecuación:
8e la ecuacin din&mica del flujo gradualmente !ariado
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dy
dx=
S0∗1−
S E
S0
1−Q
2T
g A3
a cual puede e6presarse como
dx=
1
S0
∗1−Q
2T
g A3
1−S E
S0
dy …5.18
2. Transformación de la ecuación en términos de y , yn , y c , N , M :
8e la ecuacin de 'anning
Q=1
n∗ A R
2 /3S1/2
0e define como el factor de conduccin :, a
K =1
n∗ A R2
/3
…5.19
uego Q= K S1 /2
→ K 2=
Q2
S …5.20
Bakhmeteff asumi empíricamente que
K 2=(
1
n
∗ A R2/3)
2
=Cy N
…5.21
8onde
3 ; coeficiente de proporcionalidad
< ; e6ponente hidr&ulico para c&lculos de flujo uniforme que depende de la forma de laseccin y del tirante"
a ecuacin ("21+ es m&s apro6imada para unas secciones que para otras, pero en lacomprobacin de la misma, reali=ada con secciones de las m&s !ariadas formas, se ha obtenidoun grado de aceptacin notable"
8e las ecuaciones ("2+ y ("21+, se tiene
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K 2=
Q2
S =Cy
N
8onde
S=S E ; pendiente de la línea de energía, es decir
S E= Q
2
Cy N
…5.22
En el caso de un flujo uniforme y= yn Y S E=S
0,
luego
S0=
Q2
C yn
N …5.23
8i!idiendo ("22+ entre ("2)+, se tiene
S E
S0
=
Q2
Cy N
Q2
C yn N
S E
S0
=( y n
y
) N
…5.24
0e define como factor de seccin >, a
Z = A √ Y
Z = A √ A /T → Z 2=
A3
T …5.25
8e la ecuacin general para el flujo crítico, se tiene
Q2
g =
Ac3
T =Z c
2
Es decir
Z c2=
Q2
g …5.26
8i!idiendo ("2?+ entre ("2+, resulta
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Z c2
Z 2=
Q2
g
A3
T
8e donde
Z c
Z ¿¿
Q2
T
g A3=¿
@or otra parte, de la ecuacin ("2+, desde que el factor de seccin > es una funcin del tirante,se puede suponer que
Z 2=
A3
T =C y
M …5.28
8onde
3 ; coeficiente de proporcionalidad
' ; e6ponente hidr&ulico para c&lculos de flujo crítico que depende de la forma de laseccin y del tirante"
En caso de flujo crítico, se tiene
Z c2=C yc
M …5.29
8i!idiendo ("29+ entre ("2*+, resulta
(Z c
Z )2
=( y c
y ) M
…5.30
Agualando ("2.+ y (")+, se obtiene
Q2
T
g A3=( y c
y ) M
…5.31
0ustituyendo (")1+ y ("2-+ en ("1*+, resulta
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dx=
1
S0
[1−( y c
y ) M
1−( y n
y ) N
]dy …5.32
3. Integración por sustitución:
y
y n
=u→dy= y ndu …5.33
uego
y n
y =
1
u …5.34
y c
y =
y c
yn
. yn
y =
y c
yn
. 1
u …5.35
0ustituyendo ("))+, (")-+ y (")+ en (")2+, se obtiene
dx= 1
S0 [ 1−( y c
yn )
M 1
u M
1− 1
u N ] yn du
dx= y n
S0 [ [
u M −
(
y c
yn
)
M
]u
N − M
u N −1
]du
dx= y n
S0
[ u M −( y c
yn )
M
u
N − M
u N −1
]du
8escomponiendo la fraccin en una suma algebraica de fracciones, adem&s sumando y
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restando 1 al numerador del primer sumando, se tiene
dx= y n
S0 [ u
M −1+1
u N −1
−( y c
yn )
M u
N − M
u N −1 ]du
dx= y n
S0 [1+ 1
u N −1
−( y c
yn )
M u
N − M
u N −1 ]du
3ambiando el signo de los denominadores, las fracciones cambian de signo
dx= y n
S0
[1−
1
1
−u
N +
(
y c
yn
)
M u
N − M
1
−u
N
]du …5.36
Esta ecuacin puede integrarse para toda la longitud 6 del perfil del flujo" 8ebido a que elcambio de tirante en un flujo gradualmente !ariado generalmente es peque#o, los e6ponenteshidr&ulicos ' y < se pueden suponer dentro de los límites de integracin"
3uando los e6ponentes hidr&ulicos son notablemente dependientes de y en los tirantesdel tramo dado, %ste deber& subdi!idirse en otros tramos para reali=ar la integracin7 entonces,en cada tramo, los e6ponentes se pueden considerar constantes" Antegrando la ecuacinanterior, se tiene
x= y n
S0 [u−∫
0
u du
1−u N +(
y c
y n ) M
∫0
u u N − M
1−u N
du ]+cte…5.37
a primera integral de la ecuacin (").+ depende solo de u y < y se designa por
F (u , N )=∫0
udu
1−u N
…5.38
a cual se conoce como funcin de flujo !ariado de Bakhmeteff" os !alores obtenidospara diferentes !alores de u y < se encuentran en la tabla 1 del ap%ndice (CA8D5A3 8E
3<E0 '&6imo /illn+, %sta fue preparada por Bakhmeteff en los a#os 191-191"
3ho4 pudo transformar la segunda integral de la ecuacin (").+
∫0
uu
N − M
1−u N
du …5.39
En la forma de la funcin de flujo !ariado, con el siguiente artificio
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u N =v
J
J ¿
N
¿¿ ( N − M ) …5.40¿¿¿¿
u N − M =v
¿
a¿v=u N / J
→u=vJ / N
→¿
b¿J = N
N − M +1→
J
N ( N − M +1 )=1… .5.41
0ustituyendo ("-+ y ("-1+ en (")9+, se tiene
J ¿
N
¿¿ ( N − M )¿¿¿J ¿
N
¿¿ ( N − M )+ J
N −1
¿¿¿¿¿¿v¿
¿
∫0
uu
N − M
1−u N
du=∫0
V
¿
@ero
J
N ( N − M )+
J
N −1=
J
N ( N − M +1)−1=1−1=0
uego
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v0
1−vJ dv=
J
N ∫0
V dv
1−vJ =¿
J
N F (v , J ) …5.42
∫0
uu
N − M
1−u N du=
J
N ∫0
V
¿
8onde
F (v , J )=∫0
V dv
1−vJ
es la misma funcin de flujo !ariado de Bakhmeteff e6cepto que las !ariables u y < sereempla=an por ! y F, respecti!amente"
0ustituyendo (")*+ y ("-2+ en (").+, y usando la notacin para las funciones de flujo !ariado,se tiene
x= y n
S0 [u− F (u , N )+( y c
yn )
M J
N F (v . J )]+cte…5.43
a ecuacin ("-)+ proporciona la distancia 6 que e6iste entre la seccin considerada y un puntoarbitrario" 0i se aplica esta ecuacin entre dos secciones consecuti!as 1 y 2 de característicasconocidas, es decir, colocando los límites de integracin, la distancia que e6iste entre estasdos secciones es
= x2− x1= y n
S0 {(u2−u1 )−[ F (u2 , N )− F (u1 , N ) ]+( y c
yn )
M J
N [ F ( v2 . J )− F ( v1 . J )]}…100
8onde
= x2− x
1 ; distancia entre las secciones consecuti!as 1 y 2 de características
conocidas"
u= y yn
; relacin entre el tirante de una seccin cualquiera, y el tirante normal"
yn ; tirante normal"
yc ; tirante crítico"
S0 ; pendiente del fondo"
' y < ; e6ponentes hidr&ulicos, son funcin de la geometría de la seccin y del tirante
de agua" as ecuaciones para su c&lculo son "-9 y "2, para secciones trape=oidales sededucir&n en la siguiente seccin"
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F (u , N )=∫0
udu
1−u N ; funcin del flujo !ariado, calculado por Bakhmeteff, cuyos
!alores se muestran en la tabla 1 del ap%ndice"
/ y F ; !ariables introducidas por /en Te 3ho4, siendo
v=u N / J
J = N
N − M +1
F (v , J )=∫0
V dv
1−vJ ; funcin del flujo !ariado, se calcula con la misma tabla de
Bakhmeteff entrando con los !alores de ! y F en lugar de u y <"
Nota. a ecuacin "-- resulta $til cuando se trabaja con un solo tramo, pero si se trabaja con 2o m&s tramos es mejor utili=ar la ecuacin "-)"
B. !lculo de las e"presiones de los e"ponentes #idr!ulicos N $ %.
&. !lculo del e"ponente #idr!ulico N:
8e la ecuacin ("21+, se tiene
1
n2∗ A
2 R
4 /3=Cy N
…5.45
Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, resulta"
ln( 1n2)+2!nA+4
3 !nR=!nC + N!ny …5.46
8eri!ando con respecto y, se obtiene
2 1
A
dA
dy + 4
3
1
R
dR
dy = N
1
y …5.47
@ero
dA
dy =T
dem&s
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dR
dy =
d
dy ( A
" )=− A "−2 d#
dy+ #
−1 dA
dy =
T
"−
A
"2
d#
dy
0ustituyendo !alores en ("-.+, se tiene
2T
" =
+4
3 .
"
A ( T
"−
A
"2
d#
dy )= N
y
N = 2 y
3 A [3T +2T −2 A
"
d#
dy ]
N =2 y
3 A [5T −2 A
"
d#
dy ]…5.48
@ara una seccin trape=oidal se cumple que
A= (b+Zy ) y
T =b+2Zy
"=b+2√ 1+Z 2
y → d#
dy=2√ 1+Z
2
3on esto, la ecuacin ("-*+, toma la forma
N = 2 y
3 (b+Zy ) y [5 (b+2Zy )− 2 (b+Zy ) y
b+2√ 1+Z 2 y
2√ 1+Z 2]
N =10
3 [ b+2Zy
b+Zy ]−8
3 [ √ 1+Z 2 y
b+2√ 1+Z 2 ]
8i!idiendo ambos miembros de las fracciones entre b, se obtiene
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N =10
3
[
1+2Z ( y
b)
1+Z ( y
b)
]−
8
3
[
√ 1+Z 2( y
b )1+2√ 1+Z
2
( y
b
) ]…5.49
Esta ecuacin indica que < no es constante sino que !aría con el tirante" @or eso el !alor y que se
usa en la ecuacin "-9 es promedio del tramo, es decir y=´ y= y $− y %
2 "
8onde
y$=t$&ante a! $n$c$'de! t&a('
y% =t$&ante a! %$na!de! t&a('
En la tabla "1 se muestran los !alores de < para secciones rectangulares (>;+ ytrape=oidales7 la figura "1 permite calcular estos !alores para secciones rectangulares,trape=oidales y circulares"
Tabla "1" /alores de < para canales trape=oidales
Figura 5.1. Curvas de valores de N
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'. !lculo del e"ponente #idr!ulico %:
8e la ecuacin ("2*+, se tiene
A3
T =C y
M …5.50
Tomando logaritmos naturales ambos miembros, se obtiene
3 !nA−!nT =!nC + M!ny
8eri!ando respecto a y, se tiene
3
A
dA
dy +
1
T
dT
dy =
M
y
M = y
A (3 dA
dy +
A
T
dT
dy )…5.51
@ara una seccin trape=oidal, se cumple que
A= (b+Zy ) y → dA
dy =b+2Zy
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T =b+2Zy →dT
dy =2Z
0ustituyendo estos !alores en la ecuacin ("1+, se tiene
M = y
(b+Zy ) y (3(b+2Zy)+(b+Zy ) yb+2Zy
(2Z ))
M =3(b+2 Zy)2−2Zy (b+Zy )
(b+2Zy ) (b+Zy )
8i!idiendo ambos miembros de la fraccin entre bG, se tiene
M =3[1+2Z (
y
b )]
2
−2Z ( y
b)[1+Z (
y
b)]
[1+2Z ( y
b )][1+Z (
y
b)]
…5.52
Esta ecuacin indica que si >; (seccin rectangular+ entonces ';), pero, para una seccintrape=oidal ' !aría con el tirante"
En la tabla "2 se muestran !alores de ' para secciones trape=oidales y la figura "2 permitecalcular estos !alores para secciones trape=oidales y circulares"
Tabla "2" /alores de ' para canales trape=oidales
Higura "2" 3ur!as de !alores de '
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. Procedimiento de c!lculo.
@ara determinar el perfil, el canal se di!ide en un n$mero de tramos, de tal forma que encada tramo de las secciones 1 y 2 consideradas deben estar a una distancia tal que lose6ponentes hidr&ulicos ' y < se mantengan constantes"
a longitud de cada tramo se calcula de la ecuacin (1+ a partir de los tirantesconocidos o supuestos en los e6tremos del tramo"
El procedimiento de c&lculo para este m%todo es como sigue
1" Adentificar el tramo donde se reali=an los c&lculos, siendo el y inicial (yi+ el tirante de laseccin de control, y el final (yf+, el tirante hasta donde se desea calcular la cur!a deremanso"
2" 3alcular el tirante promedio yp de los tirantes e6tremos
y#= y $− y%
2
I con el !alor ypJb, calcular el e6ponente hidr&ulico ', el cual se puede calcular por
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medio de la ecuacin
M =
3[1+2Z ( y
b )]
2
−2Z ( y
b)[1+Z (
y
b)]
[1+2Z ( y
b )][
1+Z ( yb)]
…5.52
a tabla "2, o el monograma de la figura "2, de igual manera calcular el e6ponentehidr&ulico <, con la ecuacin"
N =10
3 [1+2Z ( y
b)
1+Z ( y
b) ]−8
3 [ √ 1+Z 2( y
b )1+2√ 1+Z
2( y
b ) ]…5.49
tabla "1 o el monograma de la figura "1
)" 3alcular el tirante normal y el tirante crítico en el tramo a partir deQ , S
0 y n
"
-" 3alcular F"
J = N
N − M +1
8onde < y ', son e6ponentes hidr&ulicos, calculados en 2"
" 8efinir el n$mero de di!isiones n que tendr& el tramo y calcular el incrementoΔ
y ) y=
y $− y %
n
a primera di!isin tendr& como tirante y1 al tirante inicial, y como tirante y2, al tirantey1 m&s el Δy"as di!isiones subsiguientes, tendr&n como y1, al y2 de la di!isin anterior, y como y2,al nue!o tirante y1 m&s el incremento Δy"
?" 3alcular los !alores de u y !, para los tirantes y1, y2"
u= y
yn
v=u N
J
." 3alcular las funciones de flujo !ariado de bakhmeteff H(u, <+ y H(!, F+ para los tirantesy1, y2, con ayuda de la tabla 1 del ane6o"
*" plicar la ecuacin (1+ para obtener la longitud del tramo que separa las dossecciones e6tremas"
= x2− x1= y n
S0 {(u2−u1 )−[ F (u2 , N )− F (u1 , N ) ]+( y c
yn )
M J
N [ F ( v2. J )− F ( v1 . J )]}…100
9" Depetir los c&lculos para la siguiente di!isin, hasta completar con todas las di!isiones
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del tramo"1" cumular las longitudes calculadas en cada di!isin"