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VIBRACIONES

1.- Una masa de 8 kg se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento,

segn se indica en la figura. Los dos resortes estn sometidos a traccin en todo

momento y las poleas son pequeas y exentas de rozamiento si se desplaza la masa2 mm hacia la derecha de su posicin de equilibrio y se suelta con una velocidad de

800 mm por segundo hacia la derecha cuando t=0 determinar:

a)

La ecuacin diferencial que rige el movimiento.

b) El periodo.

Solucin:

= 022 + 33 = 04 + 9 = 0En una posicin cualquiera

22 + 2 33 + 3=

22 22 33 33 =

4 4 + 9 9 =

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+ 4+ 9= 0

+4+ 9

= 0+ = 0

= 4+ 9 = 700=2= 2700= 0.2375

2.- El pndulo mostrado consiste en un disco homogneo de M en kg, unido a una

barra esbelta de m en kg. Cul es la frecuencia natural de las pequeas vibraciones

del pndulo?

DESARROLLO

Podemos escribir la energa cintica de la barra y del disco

T =12 Ivariaddt +12 Iiddt

T =12 [(13 mL) + (12 MR+L + RM)] d/dt

Donde:

m=masa de la varilla

M=masa del disco

L=longitud de la barra

R=radio de la esfera

Ahora calculamos la energa potencial de la barra y la esfera

V = mgLcos2 MgRcos

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= gcos2 + 2Ahora si sumamos la energa cintica y potencial ser constante (por ley de

conservacin de la energa)

T + V =12 [(13 mL) + 12 mR+L + RM] d/dt + [ gcos2 + 2]= cteSi derivamos la ecuacin anterior respecto al tiempo tenemos

12 [(13 ) + (12 + + )] / d/dt+ + 2 = 0Dndole la forma de la ecuacin general

ddt

+ w

= 0

ddtddt+ g2 +212 13 mL + 12 MR+ L + RM = 0Por tratarse de oscilaciones pequeas sen = , as hallamos la frecuencia naturalcircular

w = g2 + 212 13 mL + 12 MR+ L + RMAhora para la frecuencia aplicamos la relacin entre la frecuencia natural circular

(w) y la frecuencia natural f f = w2

f = 212 13 mL + 12 MR+ L + RMg2 + 2

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f = 212 13 mL + 12 MR+ L + RMg2 + 2

f = 212 13 0.20.06 + 12 10.05+0.05 + 0.0619.812 0.20.06+ 210.05 f = 1.4Hz

3.- Hallar el periodo del sistema si = 5 = 10si la masa del bloque es 1 kg.

Solucin

Resortes paralelos = + = 10 + 10 = 20 /Resortes en Serie:

Donde:

m=0.2kg

M=1kg

L=0.06mR=0.05m

g=9.81m/s2

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1= 1+ 1= 120+151=1 + 420 = 520= 4 /

Ecuacin de reposo = 0 = 1Aplicando la Segunda Ley de Newton =

+ + =

+ = 2Reemplazando la ecuacin (1) en (2) + = =

+ = 0 Ecuacin Diferencial HomogneaMultiplicando (1/M) + = 0 Ecuacin NormalizadaResolviendo la ecuacin diferencial homognea, tenemos+ 0 + = 0+ 0 + = 0

+ 0 + = 0

+ 0 + = 0

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+ = 0Como = Entonces

= = 4 /1 = 2 3Reemplazando (3) en la ecuacin del periodo=2=22 = 3.14

4.- Una varilla delgada de 1 m de longitud est suspendida de un alambre como se

muestra en la figura, el alambre de cual est suspendida tiene un momento

rotacional de 0.2 N*m provocando un desplazamiento angular de 0.1 rad. Si la masade la varilla es de 0.5kg Calcular la frecuencia de las oscilaciones torsionales?

Hallando la constante de torsin = 0.2 = 0.1 = 2

Aplicando la segunda Ley de Newton

= = = 12 2 = 1 24

48 =

+48 = 0

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+ = 0Como = 48Entonces = 6.928 Periodo

=

Frecuencia = = 1.10 5.- En la Fig. la barra esbelta homognea tiene L pies de longitud y pesa w lb. La

resistencia aerodinmica y la friccin en el soporte ejercen un momento resistente

sobre la barra de magnitud y (/) pie-lb, donde (/es la velocidad angularde la barra en s.

(a)Cules son el periodo y la frecuencia natural de las pequeas vibraciones de la

barra?

(b)Cunto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibracin disminuya a lamitad de su valor inicial?

Solucin

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Parte a)

= . 2 =13

De la ecuacin anterior la ecuacin(lineal izada) de movimiento es

+ 3 + 32 = 0.Esto es de la forma de la ecuacin de un sistema con amortiguamiento donde

=32 Y la frecuencia del amortiguamiento es

= 32Suponemos que

> , por lo que el movimiento es subcritico o sobre amortiguado

= =32 32

Ahora la frecuencia y el periodo

=2= 12 32 32

=2= 232 32

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Parte b)

Nos piden la amplitud en la mitad de su valor inicial, dado que la amplitud es

proporcional a

hacemos.

= = 0.5ln = ln0.5

32 = ln0.5

= ln0.5 32 = ln0.5 23

PARTE a)

Para la frecuencia natural

=

2= 12 32 32

=2= 12 332.224 30.521032.24 = 0.55

Para el periodo

=2= 232 32

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=2= 2

332.224 321032.2 4= 1.8

PARTE b)

El tiempo que pasa antes de que la amplitud de la vibracin disminuya a la

mitad de su valor inicial

= ln0.5 2

3

= ln0.5 210/32.2430.5 = 4.59