vibraciones_forzadas

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTALESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS

VIBRACIONES

INTRODUCCION

Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor deuna posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en máquinas y estructuras sonindeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que lasacompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posiblemediante un diseño apropiado. El análisis de vibraciones se ha vuelto cada vez másimportante en los últimos años debido a la tendencia actual para producir máquinas de másalta velocidad y estructuras más ligeras. Hay razones para esperar que esta tendenciacontinúe y que una incluso mayor necesidad de análisis de vibraciones genere en el futuro .Elanálisis de vibraciones es un tema muy amplio al cual se han dedicado textos completos. Enconsecuencia, este estudio de limitará a los tipos más simples de vibraciones, a saber, lasvibraciones de un cuerpo o un sistema de cuerpos con un grado de libertad.

Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante describe comouna vibración forzada. Cuando es posible ignorar los efectos de la fricción se afirma que lasvibraciones son no amortiguadas. Sin embargo, todas las vibraciones son en realidadamortiguadas hasta cierto grado. Si una vibración libre sólo se amortigua de manera ligera,su amplitud decrece de manera lenta hasta que, después de cierto tiempo, el movimiento seinterrumpe. Pero si el amortiguamiento es suficientemente largo para evitar cualquiervibración verdadera, en ese caso el sistema recupera lentamente su posición original. Unavibración forzada amortiguada se mantiene siempre y cuando se aplique la fuerza periódicaque la produce. Sin embargo, la amplitud de la vibración se ve afectada por la magnitud de lasfuerzas de amortiguamiento



OBJETIVO GENERAL

Aprender y conocer los conceptos acerca sobre las vibraciones mecánicas como son lavibraciones forzadas y amortiguadas y como poder aplicarlos en la vida cotidiana.

OBBJETIVOS ESPECÍFICO

Conocer los conceptos de amortiguaciones; Aprender sobre lasfórmulaspara poder realizar los ejercicios; Poder aplicar los conceptos y las formulas en la vida cotidiana


Una vibración forzada ocurre con la aplicación de fuerzas externas al sistema, quele imponen una respuesta. Las vibraciones forzadas pueden ser periódicas o no. Elmovimiento periódico se repite a sí mismo en todas sus características despuésde un determinado intervalo de tiempo, denominado período. El período esentonces el intervalo mínimo de tiempo para el cual la vibración se repite a símisma. En los movimientos aperiódicos no existen esos intervalos regulares. Si laexcitación que actúa sobre el sistema es periódica y continua, la oscilación es unestado estacionario, en el que el desplazamiento, la velocidad y la aceleraciónvibratorias del sistema son cantidades periódicas continuas.

Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden ser amortiguadas, que es eltérmino usado para indicar que se produce una disipación de energía en el medio.La vibración forzada amortiguada es un movimiento forzado exteriormente entanto que se disipa su energía. Cuando parte del movimiento desaparece despuésde un período de tiempo, se conoce a esa parte como transitoria. La parte quepermanece después que ha desaparecido la transitoria, se llama vibración deestado estacionario.



Consideremos el movimiento en la dirección del eje x de un sistema masa-resorte,en un medio de constante de amortiguamiento c y sometido a la acción de unafuerza externa armónicamente variable.

F (t) = Pm.senωt, como podría ser la causada por fuerzas enrotación que no están equilibradas.

Pm: es la amplitud de fuerza (valor máximo de la fuerza externa) y: es el valor de la frecuencia angular con la que varía en el tiempo esta

fuerza, en radianes/s.

Por la segundaLey de Newton, entonces:

ma + cv + kx= Pm.sen ωt

Donde ma es la fuerza de inercia, cv la fuerza amortiguadora, kx la fuerza elásticadel Resorte y F0sen ωt la fuerza externa. Matemáticamente, la solución de laecuación se compone de la suma de una solución de estado transitorio y de otrade estado estacionario.

La solución general de la ecuación se obtiene al agregar una solución particular de ésta a lafunción complementaria o solución general de la ecuación homogénea.



El interés en esta sección se centra en la vibración de estado estable representada por unasolución particular de la ecuación anterior de la forma.

Al sustituir Xpart por xen la ecuación, se obtiene.

Si se hace sucesivamente igual a 0 y a π/2, se escribe.

Si ambos miembros de las ecuaciones se elevan al cuadrado y se suman, se obtiene.

Al resolver la ecuación para y dividiendo la ecuación miembro a miembro, se obtiene,respectivamente.

Como donde es la frecuencia circular de la vibración libre no amortiguada, yde acuerdo con, , donde es el coeficiente de amortiguamiento crítico delsistema, se escribe.

…………………(*)



………………………………….(**)

La expresión dada en la ecuación (*) se conoce como factor de amplificación y seha expresado en función de la razón de frecuencias para valores diferentes del

factor de amortiguamiento c/cc.



EJERCICIOS DESARROLLADOS

Un bloque de 20kg estásometido a la acción de la fuerza armónica F=(90 cos 6t) N,donde t está en segundos. Escriba la ecuación que describe el movimiento deestado estable.

Fk = 400 N/m c = 125 N.s/m

solución



2. En el sistema que se muestra la masa (m) esta inicialmente en reposo con elresorte sin estirar en t=0 se aplica una fuerza 60sen (10t) si la masa w = 20kg yK=15N/m y B=12Nseg/m determine la ecuación del movimiento en función deltiempo

Solución:− ´ − = ´´− ` − = X´´ X´´ + ` + = … .´´ + 2 ´ + = …= ; = ; = ; = =10

= ( ) ( ) Amplitud = tan ( )3) Determinar la ecuación diferencial de movimiento para el sistema vibratorioamortiguado que se muestra. ¿Qué tipo de movimiento ocurre? Considere

K = 100 N/m,

C = 200 N.seg/m, m = 25 kg.



Solución

.200 :

N Sc

m chef. De amortiguamiento viscoso.

250m kg

K = 100 N/m.

Diagrama del sistema.

.

C x.

C x

- Aplicando ecuación del movimiento de manera que el peso del cuerpo seequilibra con la deflexión estática del resorte

...

3 2kx c x m x

.. . 32 0

25

fxm x c x x

... 2 3

0......................(1)25

c x fxx x

m



Reemplazando los datos en (1).

.. .2 200 3 1000

25 25

x xx x x

Deduciremos que:

16 2 8n n

2 3 3k kj f mm

1003

25f

3.46 /f rod s

2 2 2 20 8 3.46 0n f



EJERCICIOS PROPUESTOS

1) La suspensión de un automóvil puede aproximarse mediante el sistemasimplificado resorte-amortiguador que se muestra. a) Escriba la ecuacióndiferencial que define al desplazamiento vertical de la masa m cuando elsistema se mueve a una velocidad v sobre un camino con una seccióntransversal senoidal de amplitud m y longitud de onda L. b) Derive unaexpresión para la amplitud del desplazamiento vertical de la masa m

2) Una masa de 2 Kg , pende en un plano vertical de 2 resortes y unamortiguador , según de muestra en la figura. Si se desplaza la masa 5mmm. Por debajo de su posición de equilibrio y y se suelta dándole unavelocidad hacia arriba de 250 mm/seg. cuando t= 0. Determinar la ecuacióndiferencial que rige el movimiento , el periodo de la vibración resultante y laposición de la masa en función del tiempo



3) Un bloque de 4 kg se deja caer desde una altura de 800 mm sobre unbloque B de 9 kg que está en reposo. El bloque B está soportado por unresorte de constante k = 1.500 N/m y se encuentra unido a un amortiguadorcon coeficiente c= 230 N s/m. Si se sabe que no hay rebote, determine lamáxima distancia que se moverán los bloques después del impacto.

4) Un elemento de máquina de 1.100 lb se sostiene mediante dos resortes,cada uno de constante igual a 3.000 lb/ft. Una fuerza periódica de 30 lb deamplitud se aplica al elemento con una frecuencia de 2.8 Hz. Si elcoeficiente de amortiguamiento es de 110 lb s/ft, determine la amplitud dela vibración de estado estable del elemento.

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