Viga_sobre_lecho_elástico
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1
VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO
Profesor: Ing. Daniel E. Weber
J.T.P.: Ing. Sebastián Romero
Cimentaciones U.T.N. – Facultad Regional Santa Fe – 2009
E-Mail: [email protected]
La viga sobre lecho elástico constituye el caso lim ite de una viga continua sobre apoyos elásticos, cuando la distancia entre l os apoyos tiende a cero
Viga sobre apoyos elásticos
P1 P2q1
q2
Principios
2
Viga sobre lecho elastico
P1 P2q1
q2
Lecho elástico el medio retiene la viga cuando tiend e a levantarseisótopohomogéneoelástico de variación lineal
P1 P2 q1 q2
cm
Kg
cm
cm
Kg
yi
piCK
3
2
=→==
piC
yi ∗= 1
balastodeeCoeficientCK ==
Para una viga de esta clase, puede suponerse que la flecha de la misma es igual al asentamiento que experimenta el terreno situado debajo.
C es la medida de la rigidez elástica del terreno. Coeficiente de Balasto.
3
La teoría de la viga flotante sobre lecho elástico, permite deducir la ecuación general que expresa la presión del suelo en función de las abscisas de cada punto de la viga:
( )xfpi =
Y por lo tanto del asentamiento:
( )xfC1
yi =
Deducción de la fórmula para la deformación:
( )xfy =
La viga tiene un ancho b y está solicitada por una carga continua cualquiera.
La presión del suelo es p = C.y
( ) ( ) dxyCqbdxpqb ⋅⋅−⋅=⋅−⋅
x
y
dx
q
p
x
y
dx
p
P1P2 P3
Viga flotante solicitada por una carga continua
Viga flotante solicitada por una carga discontinua
Un elemento de longitud dx está sometido a una carga
( )dx
xdf'y =
( )IE
M
dx
xfd''y
2
2
⋅−==
( )IE
Q
dx
xfd'''y
3
3
⋅−==
( ) ( )yCqbIE
1IE
j
dx
xfd''''y
4
4
⋅−⋅⋅⋅
=⋅
== [ ] ( )yCqbcm/kgj ⋅−⋅=
4
Deducción de la fórmula para la deformación:
La ecuación diferencial es entonces:
( )yCqIE
b
dx
yd4
4
⋅−⋅⋅
=
Para vigas con cargas aisladas y tramos en los que q = 0. La ecuación anterior se simplifica:
yIEbC
dx
yd4
4
⋅⋅⋅−=
Suponiendo vigas con I constante (momento de inercia):
4a4IEbC ⋅=⋅⋅
Donde: 4IE4
Cba
⋅⋅⋅= Elasticidad del medio
Deducción de la fórmula para la deformación:
La ecuación:
Toma la forma:
yIEbC
dx
yd4
4
⋅⋅⋅−=
Cuya integral es:
( ) ( ) ( ) ( )axseneAaxcoseAaxseneAaxcoseAy ax4
ax3
ax2
ax1
−− +++=
Donde: A1; A2; A3; A4 son constantes que dependen de las condiciones de borde
0ya4dx
yd 44
4
=⋅⋅+
5
Vigas Flotantes con una sola carga en el centro:
Para la figura a) las constantes de la ecuación, quedan determinadas por las condiciones:
Para x = 0 debe ser y’ = 0
Para x = L/2 debe cumplirse M = 0 y Q = 0 o sea que y’’ = y’’’ = 0
Además:
∫ =⋅⋅⋅2/L
0 2P
dxybC
De ellas se obtiene:
LbP
P 00 ⋅⋅χ=
LbP
P 11 ⋅⋅χ=
8LP
M M0⋅⋅χ=
Vigas Flotantes con una sola carga en el centro:
En la siguiente tabla figuran valores para c0; c1; cM en función de l = a.L donde:
4IE4
Cba
⋅⋅⋅=
0,000,100,730,941,00c1
1,711,641,181,011,00c0
0,700,740,921,001,00cM
p3.02.01.00l
Si l>p los dos extremos de la viga se levantan y separan del suelo, fig. b). En ese caso se efectúan los cálculos con:
π=⋅=λ 'La'
Elasticidad del medio
6
Vigas Flotantes con una sola carga en el centro:
Ejemplo:
B = 150 cm
D = 60 cm
L = 6,00 m
P = 100 Tn
C = 5 Kg/cm2
E = 210 t/cm2
Calcular M0; P0 y P1
Vigas Flotantes de longitud infinita sometidas a cargas aisladasiguales y aplicadas a distancias iguales entre si:
El origen del eje de abscisas x, se considera situado en el punto medio de la distancia comprendida entre dos cargas consecutivas.
Además: ∫ =⋅⋅⋅2/L
0 2P
dxybC
De ellas se obtiene:Lb
PP 00 ⋅
⋅χ=
LbP
P 11 ⋅⋅χ=
0M0
LPM
χ⋅−=
Para x = 0 y x = L/2 debe ser y’ = 0
1M
1
LPM
χ⋅=
7
16,0
46,0
1,90
0,27
4.0
56,430,725,124,224cM0
18,613,512,512,112,0cM1
2,321,351,081,011,00c1
0,000,610,920,991,00c0
3/2 pppp3.02.01.00l
Calcular con los datos del problema anterior.
Vigas Flotantes de longitud infinita sometidas a cargas aisladasiguales y aplicadas a distancias iguales entre si:
Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada:
El origen del eje de abscisas x, se hace coincidir con el punto de aplicación de la carga.
Una vez establecidas las constantes A1; .....; A4 las funciones y = f(x), y’ e y’’ permiten establecer las siguientes fórmulas:
( ) ( )axe
axsenaxcosb2Pa
p+⋅
⋅⋅=
( ) ( )axe
axsenaxcosa4
PM
−⋅⋅
=
( )axe
axcos2P
Q ⋅=
Estas ecuaciones representan las líneas de influencia de los valores de p, M y Q en el punto 0.
8
Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada:
Estas líneas de influencia se hallan en la Tabla 1. En función de sus ordenadas h pueden calcularse p0; M0 y Q0, con las ecuaciones:
piiPb2
ap η⋅⋅
⋅⋅= ∑
∑ η⋅⋅⋅
= MiiPa40
1M
∑ η⋅⋅= QiiP21
Q
Para el caso de dos cargas, se toma el origen de x, en el punto de aplicación de la primer carga.
( )2M21M1 PPa40
1M η⋅+η⋅⋅
⋅=
Ejemplo:
B = 150 cm
D = 60 cm
a = 0,0043 cm-1
P1 = 100 Tn
P2 = 50 Tn
Distancia entre cargas = 2,33 m
Calcular M; Q y p en el punto de aplicación de la carga P1
Viga Flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada:
Tabla 1 – Vigas Continuas, Pórticos, Placas y Vigas Flotantes sobre LechoElástico – Ing. J. Hahn
9
Viga Flotante de longitud finita:
Para el caso de vigas flotantes de sección prismática y longitud finita, los coeficientes para el cálculo de M, Q y p han sido determinados.
Estos valores figuran en las tablas 6 a 16 en función de las longitudes elásticas l = a.L comprendidas entre l = 0 y l = 8
Ejemplo:
Una viga flotante de 10 m de longitud está solicitada por dos cargas aisladas. Se supone a = 0,002 cm-1
De aquí resulta l = 0,002 . 1000 = 2
Se utiliza la tabla 7
Las curvas para momentos se determinaron por separado para P1 = 100 Tn y P2 = 20 Tn.
Por ejemplo para el punto 1 de aplicación de P1 se tiene:
Tm6,84m10T100100
46,8M1 =⋅⋅=
Viga Flotante de longitud finita:
Los coeficientes h de P1 se leen en la columna xi/L = 3/10 = 0,3 y los de P2
en la columna xi/L = 8/10 = 0,8
Suponiendo que el ancho de la viga flotante es b = 2 m, las presiones del suelo, en los puntos A y 1 de la viga serán:
LbPP 22P11P
A ⋅⋅η+⋅η=σ
( ) 2A m/T41,9
m10m2T2074,0T10003,2 =
⋅⋅−+⋅=σ
21 m/T01,8
m10m2T2026,0T10055,1 =
⋅⋅+⋅=σ
10
Viga Flotante de longitud finita:
Una viga flotante de 10 m de longitud está solicitada por dos cargas P = 80 T situadas cada una a 2 m de su respectivo extremo. Son C = 1 kg/cm3 y a = 0,002 cm-1, b = 1,5 m: (utilizar la tabla 20)
2p m/T83,10m10m5,1T8003,2
Lb
Pp =
⋅⋅=
⋅⋅η
=
Tm88,32m10T80100
11,4LPM M =⋅⋅=⋅⋅η=
Viga Flotante de longitud finita:
Datos:
L = 5,00 m
b = 2,00 m
P = 60 Tn
h = 0,50 m
C = K = 5 kg/cm3
E = 210 Tn/cm2
Calcular M; p; y (en el centro y extremos de la viga)
C = K
P
4IE4
Cba
⋅⋅⋅=
12hb
I3⋅= La ⋅=λ
11
Viga Flotante de longitud infinita por un solo lado:
Cuando en el origen A de la viga actúa una carga aislada PA o un Momento MA, las ecuaciones de las curvas M, Q y p son:
Caso a (carga PA): ( )AMAax
Pa1
Pe
axsena1
M ⋅η⋅=⋅⋅=
( ) ( )AQAax
PPe
axsenaxcosQ ⋅η−=⋅−−=
( )APAax
Pba
Pe
axcos2ba
p ⋅η⋅=⋅⋅⋅=
Caso b (momento MA): ( ) ( )AMAax
MMe
axsenaxcosM ⋅η=⋅+=
( )AQAax
MaMe
axsen2aQ ⋅η⋅−=⋅⋅⋅−=
( ) ( )[ ]AP
2
Aax
2
Mba
Me
axsenaxcos2ba
p ⋅η⋅−=⋅−⋅⋅−=
Viga Flotante de longitud infinita por un solo lado:
En la tabla 5 figuran ya determinados en función de a.x, los valores de los coeficientes h. La flecha yA y el ángulo de giro aA, en el punto A se deducen:
Caso a (carga PA): AA PbCa2
y ⋅⋅⋅=
A
2
A PbC
a2 ⋅⋅
⋅−=α
Caso b (momento MA): A
2
A MbC
a2y ⋅
⋅⋅−=
A
3
A MbC
a4 ⋅⋅
⋅−=α
12
Viga de Fundación Elástica (T.P. N° 11):
Determinar el asentamiento diferencial máximo que se produce en la fundación de tres columnas de un edificio cuyas dimensiones se indican en la figura:
1,00 3,00 6,00 0,50
Sección I II III IV V
C1=70Tn C2=80Tn C2=130Tn
E = 210.000 Kg/cm2
C = 5000 Tn/m3
b = 1,50 m
h = 1,10 m
VIGA INFINITA 2,33 m
Calculo de la presión reactiva y descensoP1 P2
b
x
P1 [kg] = 100000 Para P1 en x = 0 a ∗ x = 0,00000 ea∗x
= 1,00000 sen (ax)= 0,0000P2 [kg] = 50000 cos (ax)= 1,000b [cm] = 150d [cm] = 60 1,000
E [kg/cm2] = 210000
K [kg/cm3] = 5,17 Para P2 en x = 233 a ∗ x = 1,00 ea∗x
= 2,72355 sen (ax)= 0,842516
I [cm4] = 2700000 cos (ax)= 0,538671
0,5071270,004300161
[Kg/cm2]
px=0 (P1)= 1,433387 1,796841
px=0 (P2)= 0,363455 yo [cm] = po / K = 0,347552
=∗∗
∗= 4
4 IE
bKa
( )eax
axaxsen
b
aPp
cos
2
+∗∗∗=
=+=eax
Paxaxsen cos
1η
=+=eax
Paxaxsen cos
2η
( ) ( ) ( )2120100 212
PPPP PPb
appp ηη ∗+∗∗=+=
( ) ( ) =+= 20100 PP ppp
E [kg/cm2]
K [kg/cm 3]
Ejemplo 1:
13
Calculo del momento
ηM(P1)=1
ηM(P2)= -0,11156
5489440,00 [Kgcm]
Calculo del esfuerzo de corte
ηQ(P1)= 1
ηQ(P2)= 0,1977824
-54944,6 [Kg]
2,33
Po [Kg/cm2] = 1,79684143 P1 [Kg] = 100000 P2 [Kg] = 50000
yo [cm] = 0,347551534po
Mo [Kgcm] = 5489440,00 yo
Qo [Kg] = -54944,5604Mo Qo
( )eax
axsenax
a
PM
−∗∗
= cos
4
( )eax
Maxsenax −= cosη
( ) ( ) ( ) =∗+∗∗∗
=+= 2120100 214
1PMPMPP PP
aMMM ηη
eax
axPQ
cos
2∗−=
eax
Qaxcos=η
( ) ( ) ( ) =∗+∗∗−=+= 2120100 212
1PQPQPP PPQQQ ηη
Ejemplo 2:
0,22 0,220,200,13 0,13
1,726
0,826 0,45 0,45
0,500,30
0,05
0,15
0,90
φφφφ 12mm.
φφφφ 16mm. φφφφ 16mm. φφφφ 16mm.
φφφφ 12mm.
φφφφ 12mm.
1c/1m. a cada lado alternados cada 50 cm
Estribo φ 8mm
Estribo φ 6mm
0,30
0,052
0,052
0,196
0,13
0,06 0,0350,035
0,023
Estribo φ 6mm
0,036
0,036
φφφφ 16mm.
Platea Transformador
14
CALCULO DE REACCIÓN EN VIGA SOBRE LECHO E LÁSTICO
Cb [t/m3] = 6500 0,500875
b [m] = 2 L [m]= 10,00
Eb [t/m2] = 3400000
I [m4] = 0,01519 4,00 L/10= 1,00
L´ = λλλλ /a = 10,00
1,00 P1 [ton]= 70,00 P2 [ton]= 80,00
λλλλ =a∗∗∗∗L= 5,009 X0/L= 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
λλλλ >ππππ la viga se despega del suelo
XP1/L= 0,10 ηηηηP1 = 5,32 4,06 2,52 1,19 0,33 -0,08 -0,22 -0,2 -0,13 -0,05 0,04de tabla viga finita para λ=5
18,62 14,21 8,82 4,165 1,155 -0,28 -0,77 -0,7 -0,455 -0,175 0,14
XP2/L= 0,40 ηηηηP2 = -0,57 0,33 1,27 2,16 2,62 2,16 1,35 0,64 0,14 -0,22 -0,51de tabla viga finita para λ=5
-2,28 1,32 5,08 8,64 10,48 8,64 5,4 2,56 0,56 -0,88 -2,04
16,34 15,53 13,9 12,805 11,635 8,36 4,63 1,86 0,105 -1,055 -1,9
Reacción por tramo [ton] 31,87 29,43 26,705 24,44 19,995 12,99 6,49 1,965 -0,95 -2,955 149,98
Verificación [ton] 31,87 61,3 88,005 112,445 132,44 145,43 151,92 153,885 152,935 149,98 #¡REF!
=∗= ∗ 11
PLb
Ppo η
=∗= ∗ 22
PLb
Pop η
∑ =0P
XP1 [m] =
== ∗∗∗
44 IbE
bb ca
XP2[m] =
CALCULO DE MOMENTOS EN VIGA SOBRE LECHO ELÁS TICO
Cb [t/m3] = 6500 0,500875
b [m] = 2 L [m]= 10,00
Eb [t/m2] = 3400000
I [m4] = 0,0151875 4,00 L/10= 1,00
L´ = λλλλ /a = 10,00
1,00 P1 [ton]= 70,00 P2 [ton]= 80,00
0,10,4
λλλλ =a∗∗∗∗L= 5,009 X0/L= 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
λλλλ >ππππ la viga se despega del suelo
XP1/L= 0,10 100ηηηηMP1 = 0 4,06 -1,05 -2,02 -1,77 -1,14 -0,57 -0,21 -0,04 0,01 0de tabla viga finita para λ=5
0 56,84 -14,7 -28,28 -24,78 -15,96 -7,98 -2,94 -0,56 0,14 0
XP2/L= 0,40 100ηηηηMP2 = 0 -0,14 0,07 1,53 5,12 1,24 -0,51 -0,9 -0,62 -0,21 0de tabla viga finita para λ=5
0 -2,24 1,12 24,48 81,92 19,84 -8,16 -14,4 -9,92 -3,36 0
0 54,6 -13,58 -3,8 57,14 3,88 -16,14 -17,34 -10,48 -3,22 0
=∗∗∗∗=100
111 bLPMo Mη
∑ =0M
XP1 [m] =
== ∗∗∗
44 IbE
bb ca
XP2[m] =
XP1 / L =
XP2 / L =
=∗∗∗∗=100
122 bLPMo Mη
15
CALCULO DEL CORTE EN VIGA SOBRE LECHO E LÁSTICO
Cb [t/m3] = 6500 0,500875 0,1 0,4
b [m] = 2 L [m]= 10,00
Eb [t/m2] = 3400000
I [m4] = 0,0151875 4,00 1,00
L´ = λλλλ /a = 10,00 P2 [ton]= 80,00
1,00 P1 [ton] = 70,00
λλλλ =a∗∗∗∗L= 5,009 X0/L= 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
λλλλ >ππππ la viga se despega del suelo
XP1/L= 0,10 ηηηηQP1 = 0 -0,529 -0,199 -0,017 0,055 0,064 0,047 0,026 0,009 0 0de tabla viga finita para λ=5
0 -74,06 -27,86 -2,38 7,7 8,96 6,58 3,64 1,26 0 0
XP2/L= 0,40 ηηηηQP2 = 0 -0,012 0,068 0,24 -0,515 -0,27 -0,093 0,004 0,041 0,036 0de tabla viga finita para λ=5
0 -1,92 10,88 38,4 -82,4 -43,2 -14,88 0,64 6,56 5,76 0
-156,32 0 -75,98 -16,98 36,02 -74,7 -34,24 -8,3 4,28 7,82 5,76 0
== ∗∗ bPQoQ 11η
∑ =0Q
XP1 [m] =
== ∗∗∗
44 IbE
bb ca
XP2[m] =
XP1 / L = XP2 / L =
L/10 =
== ∗∗ bPQoQ 22η