Viscoelasticidad 1

Viscoelasticidad

Esquema de diferentes comportamientos de los materiales.

La viscoelasticidad es un tipo decomportamiento reológico anelástico quepresentan ciertos materiales que exhiben tantopropiedades viscosas como propiedades elásticascuando se deforman.

En un sólido viscoelástico:• la deformación generalmente depende del tiempo; aún en ausencia de fuerzas, la velocidad de deformación puede

ser diferente de cero;• las tensiones y esfuerzos resistidos dependen tanto de la deformación como de la velocidad de deformación, por

tanto la ecuación constitutiva que relaciona tensiones y deformaciones debe tener la forma:.

Físicamente las propiedades elásticas son el resultado de desplazar ligeramente los átomos de su posición deequilibrio a lo largo de planos cristalográficos, mientras las propiedades viscosas proceden de la difusión de átomoso moléculas en el interior del material.[1]

Viscoelasticidad linealUn material viscoelástico lineal general es un material para el cual existe una relación lineal entre la tensión y susderivadas y la deformación y sus derivadas, en el caso unidimensional la relación más general posible de un materialviscoelástico lineal es:[2]

(1a)En este caso usando transformadas de Laplace y si y , la expresión (1a) puede escribrisesimplemente como:

(1b)Siendo . Cuando , la expresión equivalente a (1a) es más simple:

(1c)

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Aunque esta expresión no se usa porque en la práctica no se conocen materiales que se ajusten bien a este tipo de ley.Así que aquí se restringirá la discusión a .Los dos modelos viscoelásticos más conocidos, el de Maxwell y el de Kelvin-Voigt son casos particulares de (1a)que satisfacen . En ambos , y para el de Kelvin-Voigt y para el de Maxwell.

Creep y relajaciónBajo los mismos supuestos anteriores, pude probarse que un material viscoelástico lineal admite una caracterizaciónmatemática en que la respuesta de creep y de relajación de carga admiten una separación en forma de suma. Losmodelos de viscoelasticidad lineal pueden ser representados por la ecuación de Volterra conectando la tensión y ladeformación mediante una expresión del tipo:

(2a)

o también:(2b)

donde:, es el tiempo.

, es la tensión mecánica., es la deformación o elongación.y , son los módulos elásticos longitudinales para el creep y la relajación., es la función de creep., es la función de relajación.

La viscoelasticidad lineal tiene un rango de aplicación válido sólo para deformaciones muy pequeñas. Para el caso deun material perfectamente elástico tanto la función de creep como la de relajación son idénticamente nulas.

Ecuaciones constitutivas de viscoelasticidad linealExisten diversos modelos constitutivos para materiales viscoelásticos lineales. Esos modelos incluyen el modelo deMaxwell, el modelo de Kelvin-Voigt y el modelo de sólido viscoelástico lineal estándar que combina los dosmodelos anteriores. Todos estos modelos descomponen la tensión y deformación en dos sumandos, uno querepresenta los efectos elásticos y otro que representa los efectos viscosos, siendo estos modelos, interpretables entérminos de muelles y amortiguadores. Cada uno de estos modelos difiere en la disposición de los muelles yamortiguadores.Otra propiedad interesante es que las ecuaciones constitutivas también pueden ser interpretadas en términos decircuitos eléctricos, en los que la tensión mecánica sería el equivalente del voltaje y la velocidad de deformaciónsería equivalente a la intensidad de corriente. El módulo elástico sería equivalente a la capacitancia del circuito (quemide la capacidad de almacenaje de energía) y la viscosidad a la resistencia del circuito (que mide la capacidad dedisipar energía).

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Modelo de Maxwell

Representación esquemática del modelo de Maxwell.

El modelo de Maxwell es un caso particular de la expresión (1a) en el que , también llamado materialviscoelástico de "larga memoria". Una virtud del modelo de Maxwell es que admite una representación intuitiva entérminos de muelles y disipadores (amortiguadores), más concretamente el modelo de Maxwell representa unelemento elástico dispuesto en serie con un amortiguador. La ecuación constitutiva del modelo viene dada por lasiguiente ecuación diferencial de primer orden:

(3a)

.

Este modelo predice que en un material puesto bajo deformación constante, las tensiones gradualmente se relajaránhasta hacerse cero. Igualmente predice que si el material se pone a tensión constante la deformación tendrá doscomponentes, un primer componente elástico que aparece instantáneamente y una deformación a largo plazo de tipoviscoso que crecerá con el tiempo mientras sigan existiendo fuerzas. Alternativamente la ecuación constitutiva deeste modelo puede escribirse como:

. Integrando por partes el último término se puede obtener reescribir la expresión anterior en términos de la función derelajación y la velocidad de deformación:

(3b)

.

Para obtener la de función de creep se integra directamente (3a), e integrando por partes se obtiene:(3c).

Y no es posible encontrar una función ordinaria para expresar lo anteior en la forma (2a).El modelo de Maxwell predice que la tensión decaerá exponencialmente con el tiempo en un polimero sometido adeformación constante, lo cual se ajusta bastante bien a lo observado experimentalmente para muchos polímeros. Sinembargo, una limitación importante es que no predice el comportamiento de "creep" de muchos polímeros de manerademasiado fidedigna ya que en este caso predice un aumento lineal de la deformación con el tiempo si la tensión esconstante, sin embargo la mayor parte de los polímeros muestran una tasa de deformación decreciente con el tiempo.Las principales aplicaciones de este modelo son la modelización de los polímeros termoplásticos cerca de sutemperatura de fusión, la del hormigón fresco y la de numerosos metales cerca de su punto de fusión.

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Modelo de Kelvin-Voigt

Representación esquemática del modelo deKelvin-Voigt.

El modelo de Kelvin-Voigt o modelo de Voigt es un caso particular de la expresión (1a) en el que ,también llamado material viscoelástico de "corta memoria". Al igual que el modelo anterior admite unareprsensentación simple en términos de muelles y amortiguadores: el modelo es representable por un amortiguadornewtoniano y un muello que sigue la ley de Hooke conectado en paralelo al amortiguador, tal como muestra lafigura. La ecuación constitutiva del modelo puede expresarse como ecuación diferencial de primer orden:

(4a)

Este modelo representa un sólido que sufre deformación viscoplástica reversible. Bajo la aplicación de una tensiónconstante el material se deforma a un ritmo progresivamente más lento, llegando asintóticamente a un estadocuasiestacionario. Cuando se eliminan las fuerzas exteriores que generan las tensiones, el material se relaja hasta suestado no deformado original. En una situación de tensión constante (creep), el modelo es bastante realista y prdicedeformaciones que tienden al límite σ/E para tiempos grandes.En este caso la función de relajación viene dada por la delta de Dirac (de ahí el nombre de "corta memoria") yaque:

(4b)Para obtener la función de creep se busca la transformada de Laplace de (4a) de donde es fácil aislar latransformada de la deformación y aplicando la transformada inversa se llega fácilmente a que:

Integrando por partes esta úlitma expresión se llega a una expresión que contiene la función de creep o fluencialenta:

(4c)

Este modelo se usa para explicar el comportamiento de "creep" de los polímeros. Aunque, al igual que el modelo deMaxwell, el modelo de Kelvin-Voigt tiene limitaciones empíricas. Aunque modela muy bien el "creep" con respectoa la relajación el modelo generalmente se ajusta menos al comportamiento de los materiales viscoelásticos. Lasaplicaciones principales del modelo son la modelización de polímeros orgánicos, goma, caucho y madera cuando lacarga no es muy elevada.

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Modelo estándar de sólido viscoelástico

Representación esquemática del modelo estándar desólido viscoelástico.

Los dos úlitmos modelos expuestos tienen limitaciones en cierto modo complementarias. Por esa razón se consideraque un modelo que combine características de ambos puede ser un modelo razonable de sólido viscoelástico. Laecuación constitutiva de este modelo viene dada por la siguiene ecueción diferencial:

(5a)

Usando transformadas de Laplace, despejando la transformada de la tensión y antitransformando se obtiene unaecuación de tipo Volterra como en los casos anteriores, que tiene la forma:

Una integración por partes del último término permite escribir en términos de la función de relajación y lavelocidad de deformación:

(5b)

Modelo de Burgers

Representación esquemática del modelo viscoelásticode Burgers.

El modelo de Burgers combina características de los modelos de Maxwell y Kevin-Voigt. La ecuación constitutivase puede escribir como de manera compacta como ecuación diferencial de segundo orden:

(6a)

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Donde , usando la transformda de Laplace se puede integrar de manera mecánica la ecuación anterior(suponiendo que inicialmente tanto la tensión, como la deformación y sus tasas de cambio son nulas): De donde seobtiene, integrando por partes, la función de relajación:

(6b)Y también mediante la transformada de Laplace se obtiene la expresión:

Donde:Que, integrada por partes, permite obtener la función de creep:

(6c)

Modelo de Weichert

Esquematización del modelo de Maxwell-Weichert

El modelo de Wiechert o Maxwell-Weichert(a veces también modelo generalizado deMaxwell) es es una generalización delmodelo viscolástico estándar (y por tantotambién del modelo de Maxwell simple).Este modelo toma en cuanta que la relaciónno ocurre según un único ritmocaracterístico, sino según una distribuciónde escalas de tiempo. Esto sucede porqueexisten segmentos moleculares de diferenteslongitudes, contribuyendo los más cortosmenos que los más largos, de ahí ladiversidad de escalas de tiempo. El modelode Weichert modeliza esto mediante tantosconjuntos de muelle-amortiguador comosean necesarios para aproximar ladistribución de escalas de tiempo. La figura de la derecha representa un posible modelo de Wiechert[3] .

Este modelo encuentra aplicación en metales y aleaciones metálicas a temperaturas más bajas que un cuarto de sutemperatura absoluta de fusión (expresada en [ºK]).

Viscoelasticidad no linealLa viscosidad no lineal ocurre cuando las funciones de creep y de relajación de carga no se pueden separar. Estoocurre en deformaciones grandes, si el material cambia sus propiedades durante la deformación, si los tiempos de ladeformación son lo suficientemente largos o si interviene algún otro tipo de relajación.Existe una pléyade de modelos no lineales, dependientes de unas pocas constantes características del material cuyosvalores pueden ajustarse al resultado de los experimentos.[4] . Entre ellos pueden citarse:

• Modelo de Eyring: • Modelo de Ostwald-de Waele:

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• Modelo de Briant:

• Modelo de Powell-Eyring:

• Modelo de Robertson-Stiff: • Modelo de Shangraw-Grim-Mattocks: • Modelo de Sisko:

• Modelo de Williamson:

• Modelo de Carreau: En estos modelos las constantes toman valores positivos y deben determinarse por comparación con experimentos,ya que no parecen tener un significado teórico profundo. De hecho estos modelos son esencialmente empíricos y noexisten razones teóricas que los sustentes a parte de que se ajustan experimentalmente a diversos materiales. Sólounos pocos de estos modelos admiten generalizaciones tridimensionales consistentes.

Referencias[1] Meyers and Chawla (1999), Mechanical Behavior of Materials, 98-103.[2] A. M. Freudenthal et Geiringer, 1958[3] Roylance, David (2001); "Engineering Viscoelasticity", 14-15[4] Aleksey D. Drozdov: Finite elasticity and viscoelasticity: a course in the nonlinear mechanics of Solids (http:/ / books. google. es/

books?id=LJR9Br5CKn0C& printsec=frontcover#v=onepage& q& f=false)

Bibliografía• Freudenthal, A. M. y Geiringer, H: "The mathematical theories of inelastic continuum", Handbuch der Physik -

Encyclopedia of Physics, VII, Elasticity and Plasticity. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1958.

Véase también• Viscoelasticidad de polímeros

Fuentes y contribuyentes del artículo 8

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