Robustez de la estabilidad deecuaciones lineales homogeneas

Jimmy Santamaria

1a Escuela de Sistemas DinamicosLa Paz, Bolivia

Diciembre, 2008

ii

Presentacion y agradecimientos

Estas son las notas de la primera parte del cursillo “Introduccion a los cocicloslineales” dictado en la 1a Escuela de Sistemas Dinamicos en La Paz, Bolivia. Enestas notas se estudia la teorıa de exponentes de Lyapunov de ecuaciones diferencialeslineales homogeneas, en particular, se demuestra el Teorema de Lyapunov sobre larobustez de la estabilidad de una ecuacion de esa naturaleza por perturbados bastantegenerales. Seguimos de manera proxima el desarrolo del mismo tema en [1]. En lasegunda parte del cursillo se introducen algunos resultados y conceptos sobre productode matrices aleatorias. En la parte final del cursillo, se presentan cociclos lineales yestudiamos los resultados fundamentales sobre bases que preservan alguna medida:Teorema Furstenberg-Kesten y el Teorema de Oseledets. La primera parte del cursillosirve para esclarecer la regularidad del Teorema de Oselets y la segunda para presentaralgunos problemas asociados a los exponentes de Lyapunov.

El autor agradece al profesor Bernardo San Martin de la Universidad Catolica delNorte por la invitacion a dictar este cursillo. Tambien agradece al profesor HansNina Hooper de la Universidad Mayor de San Andres por la hospitalidad durante laescuela.

La participacion del autor en la 1a Escuela de Sistemas Dinamicos fue financiada porel proyecto PROSUL-CNPq, Brasil. Este trabajo fue financiado parcialmente por elProyecto Universal “Dinamica Global” del CNPq mientras el autor es posdoctorandoen el Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Brasil.

1

Indice

Presentacion y agradecimientos ii1. Introduccion 2Notacion 22. Estabilidad asintotica 23. Ecuaciones diferenciales lineales 33.1. Ecuaciones lineales con coeficientes contantes 33.2. Sistemas lineales periodicos 44. Exponentes de Lyapunov superiores de una ecuacion lineal 54.1. Estabilidad en la ecuacion lineal homogenea 74.2. Filtraciones 85. Estabilidad asintotica robusta 95.1. Regularidad 116. Teorema de Lyapunov sobre estabilidad robusta 116.1. Consecuencias geometricas de la f-regularidad 136.2. Estimativas exponenciales de la matriz de Cauchy 156.3. Demostracion del teorema de estabilidad robusta 187. La ecuacion adjunta y f-regularidad 198. Problemas 26Apendice A. La forma canonica de Jordan real 28A.1. Exponencial de una matriz en la forma de Jordan real 29A.2. Problemas 30Bibliografıa 30

2

1. Introduccion

En 1892 el matematico ruso Aleksandr Mikhailovich Lyapunov publica su tesisdoctoral “Problema general de la estabilidad del movimiento” donde funda la teorıade exponentes caracterısticos que hoy dıa llevan su nombre. La intencion originalde Lyapunov era determinar criterios suficientes para que la eventual estabilidadasintotica de la singularidad 0 de la ecuacion

x = A(t)x

impliquen la estabilidad asintotica de 0 de la ecuacion nolineal

x = A(t)x + f(t, x),

donde f satisface algunas condiciones que precisaremos despues.

Notacion. En este trabajo 〈 , 〉 denota el producto interno Euclidiano y ‖ ‖ la normainducida por este. El espacio de matrices con entradas reales de tamano n × n sedenota por Mn(R). El subconjunto de Mn(R) de matrices invertibles se denota porGLn(R).

2. Estabilidad asintotica

Sea F : R× Rn → Rn una aplicacion tal que la ecuacion diferencial ordinaria

x = F (t, x) (1)

posee existencia y unicidad de soluciones para cualquier condicion inicial. Esto quieredecir que para cualquier (t0, x0) ∈ R × Rn existe un intervalo abierto I ⊂ R quecontiene a t0 y una funcion ϕ : I → Rn que satisface ϕ(t0) = x0 y ademas

dϕ

dt(t) = F (t, ϕ(t)).

La ecuacion (1) se dice completa cuando sus soluciones estan definidas en todo R. Enestas condiciones denotaremos a la solucion que pasa por (0, x0) por t 7→ ϕ(t; x0).

Los criterios conocidos sobre existencia y unicidad de soluciones de la ecuacion(1) dependen de la regularidad de la aplicacion F , por ejemplo, ambas propiedadesse satisfacen si F es de clase C1, i.e. diferenciable y su derivada es continua. Lacompletitud es un problema de otra naturaleza, ver el problema (1).

Definicion 1. Supongamos que F satisface F (t, 0) = 0 para todo t ∈ R y quela ecuacion (1) es completa. Esto implica en particular que ϕ(t; 0) = 0 para todot ∈ R, es decir 0 ∈ Rn es una singularidad de la ecuacion (1). Diremos que 0 es unasingularidad asintoticamente estable de (1) si existe δ > 0 tal que

limt→+∞

ϕ(t; x0) = 0 para todo x0 ∈ B(0, δ).

3

3. Ecuaciones diferenciales lineales

Se A : R → Mn(R) continua y acotada, donde Mn(R) denota el espacio normadode matrices reales de n× n. La ecuacion

x = A(t)x (2)

se conoce como lineal homogenea.Usando el “metodo de aproximaciones sucesivas” se prueba que para cada (t0, x0)

existe una unica solucion del problema de Cauchy asociado a la ecuacion (2), ver[4, Cap.III]. El conjunto de soluciones A de (2) es un espacio vectorial de dimensionfinita, en efecto, para cada la aplicacion que asocia a x0 la solucion ϕ(t; x0) es un iso-morfismo lineal de Rn sobre A, es decir dimA = n. Una matriz Φ(t) de orden n× ncuyas columnas forman una base del espacio de soluciones de (2) se llama matriz fun-damental de (2). Naturalmente no existe una unica matriz fundamental, sin embargo,estas estan relacionadas de manera simple: si Ψ(t) es otra matriz fundamental de (2)entonces existe una matriz no singular C tal que Ψ(t) = Φ(t)C para todo t ∈ R, y laafirmacion recıproca tambien es verdadera. Otra relacion que merece ser mencionadaes la Formula de Liouville

det Φ(t) = [det Φ(t0)] eR t

t0A(s)ds

,

que es valida no solamente para matrices fundamentales sino para cualquier matrizΦ(t) cuyas columnas sean soluciones de (2).

3.1. Ecuaciones lineales con coeficientes contantes. Lo mencionado hasta ahorase aplica en particular para la ecuacion lineal de coefientes constantes

x = Ax, (3)

donde A ∈ Mn(R). En este caso una matriz fundamental bien conocida esta dadapor la exponencial matricial1, Φ(t) = etA = exp(tA). Es mas,

ϕ(t; x0) = etAx0, para todo x0 ∈ Rn.

Aprovechando la propiedad etP−1AP = P−1etAP se ha construido una rica teorıa de lasecuaciones lineales de coeficientes constantes, pues como veremos el comportamientoasintotico de etJ , donde J es una matriz en la forma de Jordan, es relativamente simplede estudiar en muchas situaciones. De hecho, el “comportamiento topologico” de lassoluciones de (3) esta completamento comprendido para las matrices hiperbolicas2

que conforman un conjunto abierto y denso en Mn(R), es decir la dinamica de (3)se conoce para la “mayorıa” de las ecuaciones posibles, ver Teorema 8 en [4, Cap.IIISec.7].

1Recordemos que por definicion para cualquier matriz B ∈ Mn(R) existe

eB =∞∑

k=0

Bk

k!= I + B +

12B2 +

13!

B3 + · · · ,

por la forma se multiplican matrices se tiene exp diag(B1, . . . , Bk) = diag(eB1 , . . . , eBk).2Por definicion, A es hiperbolica si su espectro no interesecta al eje imaginario.

4

Ejemplo 2. Sean a, b, c ∈ R, consideremos en R3 la siguiente ecuacion diferencial

x =

c 0 00 a −b0 b a

x (4)

Notemos que los autolares de la matriz que define la esta ecuacion son λ, a+ ib, a− ib.Entonces,

ϕ(t; x0) =

ect 0 00 ea cos bt −ea sen bt0 ea sen bt ea cos bt

x0

Por tanto 0 es asintoticamente estable si y solamente si la parte real de sus autovaloreses estrictamente negativa. Es mas, si 0 es una singularidad asintoticamente establede (4) entonces existen L > 0 y λ > 0 tales que para todo x0 se tiene

‖ϕ(x0; t)‖ ≤ Le−λt‖x0‖, para todo t ≥ 0,

es decir que 0 es exponencialmente estable.

Analizando la exponencial de los posibles bloques de Jordan que existen se pruebaque el compartamiento del ejemplo anterior de hecho es general.

Teorema 3. Todos los autovalores de A ∈ Mn(R) tienen parte real negativa si ysolamente si 0 es una singularidad asintoticamente estable de la ecuacion x = Ax.Es mas, cuando los autovalores tienen parte real negativa entonces la singularidad 0es asintoticamente exponencialmente estable.

3.2. Sistemas lineales periodicos. Un ejemplo importante de sistema lineal ho-mogeneo no constante es

x = A(t)x, con A(t + τ) = A(t) (5)

para todo t ∈ R, donde τ > 0. El teorema de Floquet es el resultado fundamentalpara las ecuaciones lienales con coeficientes periodicos, en el se escribe una matrizfundamental de (5) como el producto de una matriz τ−periodica y una matriz (gen-eralmente) no periodica.

Teorema 4 (Floquet). Si Φ(t) es una matriz fundamental de (5) entonces

Φ(t) = P (t)eBt,

donde B es una matriz real constante y P (t) es una funcion 2τ−periodica. Entonces,la transformacion

x = P (t)y

reduce (5) a la ecuacion

y = By.

La exponencial eBτ es denominada matriz de monodromıa de (5) y los autovaloresde B son llamados exponentes caracterısticos de la ecuacion (5). El siguiente teoremadescribe la estabilidad de los sistemas lineales periodicos.

5

Teorema 5. Todos los exponentes caracterısticos de (5) tienen parte real negativa siy solamente si 0 es una singularidad asintoticamente estable. Es mas, cuando los ex-ponentes caracterısticos de (5) sean negativos 0 es asintoticamente exponencialmenteestable.

4. Exponentes de Lyapunov superiores de una ecuacion lineal

En la seccion anterior vimos que la estabilidad de las ecuaciones lineales de coefi-cientes constantes esta determinada por la parte real de los autovalores de la matrizcorrespondiente. Es mas, en esos casos la estabilidad es exponencial. Entonces parecenatural que para caracterizar la estabilidad en el caso lineal general (2) intententemosestudiar el comportamiento exponencial de la norma de las soluciones.

Definicion 6. El exponente de Lyapunov superior asociado a la ecuacion (2) es unafuncion χ+ : Rn → {−∞} ∪ R definida por

χ+(v) = lim supt→∞

1

tlog ‖ϕ(t; v)‖, si v 6= 0, (6)

χ+(0) = −∞ (7)

Remarca 7. En principio, no sabemos si el limite superior en 6 puede ser +∞, verel problema 8. Sin embargo, en nuestro caso esto no puede suceder debido a queestamos suponiendo que la aplicacion continua A : R → Mn(R) es acotada, ver losproblemas 7 y 9.

Durante el resto del capitulo fijaremos una ecuacion diferencial lineal ordinariahomogenea (2) y los exponentes superiores de Lyapunov a los que nos referiremosestan asociados a esta ecuacion fija.

Proposicion 8. Para cualesquiera v, w ∈ Rn y cualquier c ∈ R \ {0} valen

χ+(cv) = χ+(v), (8)

χ+(v + w) ≤ max{χ+(v), χ+(w)}. (9)

Demostracion. La linealidad en la ecuacion (2) implica que la funcion ϕ(t; · ) : Rn →Rn es lineal para cualquier t fijo.

χ+(cv) = lim supt→∞

1

tlog ‖ϕ(t; cv)‖

= lim supt→∞

1

tlog |c|‖ϕ(t; v)‖

= lim supt→∞

1

tlog |c|+ lim sup

t→∞

1

tlog ‖ϕ(t; v)‖)

= χ+(v)

Para demostrar la segunda parte, notemos que para t fijo se tiene

‖ϕ(t; v + w)‖ ≤ ‖ϕ(t; v)‖+ ‖ϕ(t; w)‖,≤ 2 max {‖ϕ(t; v)‖, ‖ϕ(t; w)‖} ,

6

como log es una funcion creciente se tiene

log ‖ϕ(t; v + w)‖ ≤ log 2 + max {log ‖ϕ(t; v)‖, log ‖ϕ(t; w)‖} ,

por tanto

χ+(v + w) ≤ lim supt→∞

1

tmax {log ‖ϕ(t; v)‖, log ‖ϕ(t; w)‖}

≤ max

{lim sup

t→∞

1

tlog ‖ϕ(t; v)‖, lim sup

t→∞

1

tlog ‖ϕ(t; w)‖

}.

Esta ultima desigualdad demuestra (9). ¤Remarca 9. Existe un estudio abstracto de las implicaciones de considerar una funcionque verifica las propiedades (7), (8) y (9), ver [1, Sec.1.2.]. En efecto, todo loscontenidos de esta seccion a partir de este punto, con excepcion del Teorema 15,dependen solamente de estas tres propiedades que χ+ posee y no de la igualdad quela define (6). Por ejemplo, el siguiente Corolario inmediato de la Proposicion 8.

Corolario 10. Para todo numero real λ el conjunto{v : χ+(v) ≤ λ

}

es un subespacio vectorial de Rn.

Corolario 11. Si χ+(v) 6= χ+(w) entonces χ+(v + w) = max{χ+(v), χ+(w)}.Demostracion. Supongamos que χ+(v) < χ+(w). Entonces,

χ+(w) ≤ χ+(w + v − v)

≤ max{χ+(v + w), χ+(−v)

},

por nuestro supuesto inicial y la ultima desigualdad, es claro que no se puede dar

max{χ+(v + w), χ+(−v)

}= χ+(v).

Por tanto, χ+(w) ≤ χ+(v + w). ¤Corolario 12. Si v1 . . . , vm ∈ Rn \ {0} son tales que los numeros χ+(v1), . . . , χ

+(v1)son distintos, entonces los vectores v1, . . . , vm son linealmente independientes.

Demostracion. Supongamos que v1, . . . , vm son linealmente dependientes, es decir ex-isten c1, . . . , cm ∈ R no todos nulos tales que c1v1 + · · ·+ cmvm = 0. Entonces,

χ+(c1v1 + · · ·+ cmvm) = −∞. (10)

Por otra parte, se sigue del Corolario 11 y de las igualdades (8) y (9) que

χ+(c1v1 + · · ·+ cmvm) = max{χ+(vi) : 0 ≤ i ≤ m y ci 6= 0

},

este ultimo es un numero diferente de −∞. ¤Teorema 13 (Existencia de la filtracion asociada). La aplicacion χ+ : Rn \ {0} → Rasume solamente finitos valores

χ+1 < χ+

2 < · · · < χ+k

7

y los conjuntosVi =

{v ∈ Rn : χ+(v) ≤ χ+

i

}

son subespacios lineales de Rn para i = 1, . . . , k tales que

{0} = V0 $ V1 $ V2 $ · · · $ Vk = Rn. (11)

Ademas, para todo v ∈ Vi \ Vi−1 se tiene χ+(v) = χ+i , i = 1, . . . , k.

Definicion 14. La multiplicidad de χ+i se define por ki = dim Vi − dim Vi−1, i =

1, . . . , k. La siguiente lista de numeros

χ′1 ≤ χ′2 ≤ · · · ≤ χ′n,

donde cada χ+i aparece exactamente ki veces, i = 1, . . . , k, se conoce como el espectro

superior de Lyapunov de la ecuacion lineal homogenea x = A(t)x.

Demostracion del Teorema 13. Del Corolario 12 se sigue que como maximo la funcionχ+ restricta a Rn \ {0} toma como maximo la dimension de Rn, es decir, k ≤ n. Lasotras afirmaciones son consecuencia inmediatas de la definicion de los epacios Vi,i = 1, . . . , k, y los resultados de esta seccion. ¤4.1. Estabilidad en la ecuacion lineal homogenea. En esta subseccion pre-sentaremos una condicion suficiente para que 0 sea una singularidad estable.

Teorema 15. Supongamos que los exponentes superiores de Lyapunov de

x = A(t)x

son todos negativos, entonces 0 es una singularidad asintoticamente exponencialmenteestable.

Demostracion. Sea v ∈ Rn. Por definicion

lim supt→∞

1

tlog ‖ϕ(t; v)‖ = inf

Tsup

{1

Tlog ‖ϕ(t; v)‖ : t ≥ T

}.

Entonces dado ε > 0 existe T0 = T0(v, ε) tal que

1

tlog ‖ϕ(t; v)‖ ≤ χ+(v) + ε, para todo t ≥ T0,

es decir‖ϕ(t; v)‖ ≤ exp[t(χ+(v) + ε)], para todo t ≥ T0,

Es decir que tenemos una cota superior para ‖ϕ(t; v)‖ en el intervalo [T0,∞). Notemosque por continuidad de ϕ( · ; v) y la compacidad de [0, T0], existe una constante Lv,ε

tal que‖ϕ(t; v)‖ ≤ Lv,ε exp[t(χ+(v) + ε)], para todo t ≥ 0.

Mejor aun, por continuidad de ϕ y la compacidad de Sn−1 = {w ∈ Rn : ‖w‖ = 1},existe Cε tal que para todo w ∈ Sn−1 tenemos

‖ϕ(t; w)‖ ≤ Cε exp[t(χ+(v) + ε)], para todo t ≥ 0.

Luego, para todo v ∈ Rn tenemos que para todo t ≥ 0

‖φ(t; v)‖ ≤ Cεe(χ+

k +ε)t‖v‖. (12)

8

Entonces, como el mayor exponente superior de Lyapunov χ+k es estrictamente nega-

tivo existe ε > 0 tal que χ+k + ε < 0. Se sigue de la desigualdad (12) que φ(t; v) → 0

cuando t → +∞ a una tasa exponencial. ¤Remarca 16. La condicion suficiente que acabamos de demostrar no es necesaria comomuestra el Problema 4. De hecho, la existencia de exponentes cero en diferentescontextos de la teorıa ergodica implica problemas de esta naturaleza, es decir, existenvarias opciones para el comportamiento a largo plazo.

4.2. Filtraciones. Un familia de subespacios V = {Vj : j = 0, . . . , k} es una fil-tracion de Rn si satisface (11). Esta nomenclatura justifica el nombre del Teorema13.

Definicion 17. Sea V = {Vj : 0 = 1, . . . , k} una filtracion de Rn. Se dice que una basev es normal para V si cada Vi tiene una base contenida en v para todo i = 1, . . . , k.Una base v = (v1, . . . , n) es una base normal ordenada para V si (v1, . . . , vdim Vj

) esuna base de Vj para todo j = 1, . . . , k.

En la siguiente seccion necesitaremos el siguiente resultado general sobre filtra-ciones.

Proposicion 18. Sean V = {Vj : j = 0, . . . , k} y W = {Wj : j = 0, . . . , s} dos filtra-ciones de Rn. Entonces, existe una base v que es normal para V y W.

Demostracion. Aplicaremos induccion en la dimension de Rn. Es claro que esta afir-macion en verdadera si n = 1. Sea n ≥ 2 y supongamos que la afirmacion es verdaderapara cualesquiera dos filtraciones de Rm con 1 ≤ m < n. Dadas las filtraciones V yW de Rn, supondremos que k > 1 y s > 1, de no ser ası la afirmacion es inmediata.Consideraremos las doos posibilidades:

Vk−1 + Ws−1 $ Rn: Sea l = dim(Vs−1 + Vk−1). Usando la hipotesis de induccionencontramos una base normal v = (v1, . . . , vl) para las filtraciones

{V1, . . . , Vk−1, Vs−1 + Vk−1} y {W1, . . . , Wk−1, Vs−1 + Vk−1}de Vs−1 + Vk−1. Cualquier base de Rn que contenga a v1, . . . , vl es normal para V yW .

Vk−1 + Vs−1 = Rn: Supongamos que Vk−1 ∩ Vs−1 6= ∅, porque si Vk−1 y Vs−1

son complementares, entonces la union de dos bases normales para las filtraciones{V1, . . . , Vk−1} y {W1, . . . , Wk−1} es base normal de V y W . Sea l = dim(Vk−1∩Vs−1).Definamos las secuencias finitas de conjuntos no decrecientes

V ′ = {Vi ∩Ws−1 : 1 ≤ i ≤ k − 1} y W ′ = {Wi ∩ Vk−1 : 1 ≤ i ≤ s− 1} .

Ciertamente, ambas inducen dos filtraciones de Vk−1 ∩ Vs−1. Por la hipotesis deinduccion existe una base (v1, . . . , vl) normal a ambas. A partir de esta base comple-tamos una base normal

(v1, . . . , vl, vl+1, . . . vdim Vk−1) para {V1, . . . , Vk−1} ,

similarmente completamos a una base normal

(v1, . . . , vl, wl+1, . . . wdim Ws−1) para {W1, . . . , Ws−1}

9

Entonces,

v = (v1, . . . , vl, vl+1, . . . , vdim Vk−1, wl, wl+1, . . . , wdim Ws−1)

es una base normal para V y W . ¤

5. Estabilidad asintotica robusta

Decimos que 0 es una singularidad robustamente estable de la ecuacion

x = A(t)x (13)

si 0 es una singularidad asintoticamente estable de la ecuacion nolineal

x = A(t)x + f(t, x), (14)

para toda f : R×H → Rn continua tal que:

(1) H ⊂ Rn es una vecindad abierta de 0.(2) f(t, 0) = 0 para todo t ∈ R.(3) Existen K, γ > 0 tales que

‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ K‖u− v‖1+γ para todo (t, x) ∈ R×H.

Esto significa que la perturbacion f(t, x) es pequena en H.

En lo sucesivo diremos que (13) es robustamente estable si 0 es una singularidadrobustamente estable de (13).

Notemos que si (13) es robustamente estable en particular 0 es una singularidadasintoticamente estable de (13). En la seccion anterior vimos una condicion suficienteque 0 sea estable para (13), pero no es suficiente para la estabilidad robusta comomuestra el siguiente Ejemplo 19. El ejemplo es ligeramente diferente al tipo de sis-temas que estuvimos estudiando, fijaremos un tiempo t0 > positivo y estudiaremos elsistema en el intervalo de tiempo [t0,∞). Veremos que existen punto arbitrariamentea 0 evolucion comenzando en el tiempo t0 no converge a 0.

Ejemplo 19. En R2 consideramos la ecuacion lineal homogena no autonoma[xy

]= A(t)

[xy

], (15)

con

A(t) =

[−15− 14(sen log t + cos log t) 00 −15 + 14(sen log t + cos log t)

].

Siendo A(t) diagonal, es decir son dos ecuaciones en R independientes, la solucion deesta ecuacion se obtiene facilmente:

x(t) = c1 exp(−15t− 14t sen log t),

y(t) = c2 exp(−15t + 14t sen log t),

donde c1, c2 son constantes. Por tanto, para todo v ∈ R2 \ 0 se tiene

χ+(v) = lim supt→∞

1

t‖(x(t), y(t))‖ = −15 + 14 < 0.

10

Por el Teorema 15 concluımos que 0 es una singularidad asintoticamente estable dela ecuacion lineal (15). Consideremos ahora la ecuacion

[xy

]= A(t)

[xy

]+

[0x4

], (16)

cuyas soluciones son de la forma

x(t) = c1e−15t−14t sen log t,

y(t) = c2e−15t+14t sen log t + |c1|e−15t+14t sen log t

∫ t

t0

e−70τ sen log τ−45τ dτ,

donde al variar c1, c2 determinamos todas las soluciones de (16). La solucion ideticamente0 corresponde a c1 = c2 = 0.

Fijamos ε > 0, para todo k ∈ N definimos

tk := exp

(2kπ − 1

2π

)y t′k := exp

(2kπ − 1

2π − ε

).

Como 0 < t′k < tk y nuestro integrando es positivo tenemos∫ tk

t0

e−70τ sen log τ−45τ dτ >

∫ tk

t′k

e−70τ sen log τ−45τ dτ. (17)

Por otra parte, si 0 < ε < π/4 entonces para todo τ ∈ [t′k, tk] se tiene

70τ cos ε ≤ −70τ sen log τ.

Esto implica que∫ tk

t′k

e−70τ sen log τ−45τ dτ ≥∫ tk

t′k

e70τ cos ε−45τ dτ. (18)

Sea r = 70 cos ε− 45, entonces∫ tk

t′k

e70τ cos ε−45τ dτ =1

r(ertk − ert′k) =

1

rertk (1− exp[r(t′k − tk)]) . (19)

Notemos que si ε > 0 es suficientemente pequeno para que r > 1 entonces

limk→∞

tk = ∞ y limk→∞

(t′k − tk) = −∞.

Entonces, si k es suficientemente grande concluımos de (19) que∫ tk

t′k

e70τ cos ε−45τ dτ >ertk

r. (20)

Combinando las desigualdades (17), (18) y (20) concluımos que

e−15t+14tk sen log tk

∫ tk

t0

e−70τ sen log τ−45τ dτ >1

rertk−15tk+14tk sen log tk =

1

rertk−15tk+14tk .

11

Tomando c2 = 0 y c1 suficientemente pequeno encontramos soluciones (x(t), y(t)) quepasan por puntos arbitrariamente cercanos a (0, 0) tales que

lim supt→∞

1

t‖(x(t), y(t))‖ ≥ r − 15 + 14 > 0.

5.1. Regularidad. El Ejemplo 19 muestra que los exponentes superiores sean neg-ativos solamente garantiza la estabilidad de la ecuacion lineal homogenea pero no essuficiente para garantizar la estabilidad robusta. Sin embargo, A.M. Lyapunov intro-dujo la condicion adicional que garantizara la estabilidad robusta. Antes, necesitamosintroducir una notacion:

Definicion 20. Denotamos por ‖v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vm‖ al volumen m-dimensional delparalelepıpedo generado por los vectores v1, . . . , vm ∈ Rn.

Observe que la notacion es consistente con la norma de vectores.

Definicion 21. Diremos que el exponente superior de Lyapunov χ+ asociado a unaecuacion x = A(t)x es f-regular3 si para cualesquiera vectores v1, . . . , vm linealmenteindependientes se tiene

limt→∞

1

tlog ‖ϕ(t; v1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; vm)‖ = χ+(v1) + · · ·+ χ+(vm). (21)

Remarca 22. En particular, cuando χ+ es f-regular los lımites superiores que la definenen realidad son limites. Pues de (21) en particular se sigue que para todo v ∈ Rn\{0}se verifica

χ+(v) = limt→∞

1

tlog ‖ϕ(t; v)‖.

6. Teorema de Lyapunov sobre estabilidad robusta

Ahora estamos en condiciones de enunciar el resultado principal de estas notas.

Teorema 23 (Lyapunov). Para que una ecuacion diferencial lineal homogenea searobustamente estable es suficiente que el exponente superior asociado sea f-regular yque los elementos del espectro de Lyapunov sean negativos.

Un camino posible para demostrar el Teorema 23 es caracterizar sus soluciones poralguna expresion donde aparezcan explıcitamente las soluciones del sistema lineal (13).Existe un candidato proveniente del metodo denominado “variacion de constantes” enlos cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias: En lo sucesivo denotamos por V (t)a la matriz fundamental de (13) tal que V (0) = id. Entonces, la ecuacion diferencialperturbada (14) es equivalente a la ecuacion integral

u(t) = V (t)u0 +

∫ t

0

V (t)V (s)−1f(s, u(s)) ds. (22)

Observemos que algun conocimiento asintotico de V (s)−1 puede ayudar al es-tudio de las soluciones de la ecuacion (22). Naturalmente, quisieramos que esteconocimiento sea consecuencia de la f-regularidad del exponente superior asociado

3El nombre es una adaptacion del nombre en ingles “forward regular”.

12

a la ecuacion diferencial lineal (13). Recordemos que si B ∈ GLn(R) entonces suscolumnas forman una base v de Rn y las filas de B−1 “conforman” la base dual de v

de (Rn)∗, en efecto B−1B = id. Esto sugiere que las columnas de (V (s)−1)T

puedenprovenir de alguna ecuacion diferencial en (Rn)∗, que a partir de ahora identificamos

con Rn usando el producto interno Euclidiano. En efecto, (V (s)−1)T

es una matrizfundamental de la ecuacion diferencial

w = −A(t)Tw. (23)

Que por razones “obvias”, la llamamos ecuacion adjunta a (14). Notemos que (23) esuna ecuacion diferencial ordinaria lineal homogenea. Denotamos a la solucion de (23)que pasa por w en el tiempo 0 por ψ(t; w), desde ahora ϕ(t; v) denota exclusivamentea la solucion de (13) tal que ϕ(0; v) = v. Tambien, la ecuacion (23) tiene un exponentede Lyapunov superior que denotamos por χ+ definido por

χ+(w) = lim supt→∞

1

tlog ‖ψ(t; w)‖.

Aplicamos el Teorema 13 para encontrar la filtracion

{0} = W0 $ W1 $ W2 $ · · · $ Ws = Rn

asociada al exponente superior χ+ inducido por la ecuacion diferencial (14).

Lema 24. Sean v, w ∈ Rn, entonces para todo t ∈ R se tiene

〈ϕ(t; v), ψ(t; w)〉 = 〈v, w〉Demostracion. Es inmediato de

ddt〈ϕ(t; v), ψ(t; w)〉 = 〈A(t)ϕ(t; v), ψ(t; w)〉+ 〈ϕ(t; v),−A(t)Tψ(t; w)〉

= 〈A(t)ϕ(t; v), ψ(t; w)〉 − 〈A(t)ϕ(t; v), ψ(t; w)〉 = 0,

y 〈ϕ(0; v), ψ(0; w)〉 = 〈v, w〉. ¤Proposicion 25. Sean v1, . . . , vn y w1, . . . , wn bases duales de Rn. Entonces,

χ+(vi) + χ+(wi) ≥ 0,

para todo i = 1, . . . , n.

Demostracion. Por hipotesis 〈vi, wj〉 = δij, en particular 〈vi, wi〉 = 1 para cualquier ifijo. Por el Lema 24 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene

‖ϕ(t; vi)‖ ‖ψ(t; wi)‖ ≥ 1

para toto t ∈ R, de donde resulta la proposicion usando la definicion de χ+ y χ+. ¤Proposicion 26. Existe una base v normal para la filtracion V = {V1, . . . , Vk} aso-ciada a χ+, tal que su base dual es normal para la filtracion W = {W1, . . . , Ws}asociada a χ+.

Demostracion. Definimos la filtracion W⊥ :={W⊥

s , . . . , W⊥1 ,W⊥

0

}de Rn. Sea v una

base de Rn normal para V yW⊥, su existencia esta garantizada por la Proposicion 18.Podemos ordenar v para que v = {v1, . . . , vn} sea una base normal ordenada paraW⊥. Entonces la base w = {w1, . . . , wn} de Rn dual a v es normal para W . En

13

efecto, fijemos j entre 1 y s, sea l = dim W⊥j . Como v es ordenada para W⊥,

tenemos W⊥j = Span {v1, . . . , vl}, luego Wj = Span {wl+1 . . . , wn}. ¤

6.1. Consecuencias geometricas de la f-regularidad. Veremos que la propiedadade f-regularidad implica que las filtraciones asociadas a los exponentes superiores χ+ yχ+ estan adaptadas una a la otra, ver el Corolario 30. Es mas, la regularidad implicaque la filtracion y los valores del exponente superior χ+ determinan a la filtracion ylos valores del exponente superior χ+, ver los Corolarios 28 y 30. El siguiente resul-tado es fundamental para la prueba del Teorema de Robustez de Lyapunov, por sucaracter tecnico posponemos su demostracion para la ultima seccion.

Teorema 27 (Lyapunov). Si el exponente superior χ+ asociado a la ecuacion (13)es f-regular, entonces existen bases duales v = {v1, . . . , vn} y w = {w1, . . . , wn} talesque

χ+(vi) + χ+(wi) = 0,

para todo i = 1, . . . , n.

Corolario 28. Supongamos que el exponente superior χ+ asociado a la ecuacion (13)es f-regular. Si el espectro superior de Lyapunov de la ecuacion (13) esta dado por

χ′1 ≤ χ′2 ≤ · · · ≤ χ′n,

entonces el espectro superior de Lyapunov de la ecuacion (23) es

−χ′n ≤ −χ′n−1 ≤ · · · ≤ −χ′1.

Para la demostracion del Corolario 28 necesitamos del siguiente hecho general.

Lema 29. Si a1 ≤ · · · ≤ an y b1 ≥ · · · ≥ bn, entonces

min{a1 + bσ(1), . . . , an + bσ(n)

} ≤ min {a1 + b1, . . . , an + bn} ,

max{a1 + bσ(1), . . . , an + bσ(n)

} ≥ max {a1 + b1, . . . , an + bn} ,

para cualquier permutacion σ del conjunto {1, . . . , n}.Demostracion. Fijamos j ∈ {1, . . . , n}. Para cualquier permutacion σ del conjunto{1, . . . , n} existe k ≤ j tal que j ≤ σ(k). De no ser ası tenemos que σ(1), . . . , σ(j) < j,lo que claramente es una contradiccion. Entonces,

min{a1 + bσ(1), . . . , an + bσ(n)

} ≤ aj + bσ(k) ≤ aj + bj.

Como esto es valido para cualquier j, sigue la primera parte del Lema. Observemosque hasta ahora no hicimos uso del orden para los a′is que se usa para deducir lasegunda desigualdad de la primera. En efecto

max{a1 + bσ(1), . . . , an + bσ(n)

}= −min

{−a1 − bσ(1), . . . ,−an − bσ(n)

}

= −min{−b1 − aσ−1(1), . . . ,−bn − bσ−1(n)

}

≥ −min {−b1 − a1, . . . ,−bn − an}= max {a1 + b1, . . . , an + bn} .

¤

14

Demostracion del Corolario 28. Sea µ1 ≥ · · · ≥ µn el espectro superior de Lyapunovde la ecuacion diferencial (23). Primeramente, demostraremos que χ′i + µi ≥ 0 parai = 1, . . . , n, esta parte es independiente de la f-regularidad.

Usando la Proposicion (26) encontramos una base ordenada v normal para la fil-tracion inducida por el exponete superior de la ecuacion (13) tal que su base dualw es normal para la filtracion del exponente superior asociada a la ecuacion difer-encial (14). Supondremos que v es ordenada, i.e. χ+(vi) = χ′i para i = 1, . . . , n.Como w es base normal para la filtracion inducida por χ+ existe una permutacion σtal que µσ(i) = χ+(wi) para i = 1, . . . , n. Por la Proposicion 25 y la primera de lasdesigualdades del Lemma 29 tenemos

0 ≤ min1≤i≤n

{χ+(vi) + χ+(wi)

}= min

1≤i≤n

{χ′i + µσ(i)

} ≤ min1≤i≤n

{χ′i + µi} .

Para la segunda parte, usamos el Teorema 27 para encontrar bases duales v ={v1, . . . , vn} y w = {w1, . . . , wn} de Rn tales que

χ+(vi) + χ+(wi) = 0, i = 1, . . . , n. (24)

Nuevamente, supondremos que v es ordenada. Sea σ la permutacion de {1, . . . , n}tal que los numeros bσ(i) = χ+(wi) satisfacen b1 ≥ . . . ≥ bn. Como w1, . . . , wn sonlinealmente independientes entonces

µi ≤ bi, i = 1, . . . , n. (25)

En efecto, si existe i tal que bi < µi, entonces el espacio Span{wσ−1(i), . . . , wσ−1(n)

}tiene dimension n−i+1 con exponentes estrictamente menores a µi, lo que contradicela definicion del espectro superior. De manera similar,

χ′i ≤ χ+(vi), i = 1, . . . , n. (26)

Usando sucesivamente las desigualdades (25), la segunda desigualdad del Lema 29,las desigualdades (26) y las igualdades (24) tenemos

max1≤i≤n

{χ′i + µi} ≤ max1≤i≤n

{χ′i + bi} ≤ max1≤i≤n

{χ′i + bσ(i)

} ≤ max1≤i≤n

{χ+(vi) + χ+(wi)

}= 0.

Es decir que χ′i + µi ≤ 0 para i = 1, . . . , n. ¤Corolario 30. Si el exponente superior χ+ asociado a la ecuacion (13) es f-regular,entonces la filtracion inducida por el exponente superior χ+ asociado a la ecuacionadjunta (23) es

{0} = V ⊥k $ V ⊥

k−1 $ · · · $ V ⊥1 $ V ⊥

0 = Rn,

donde {Vj : j = 0, . . . , k} es la filtracion inducida por el exponente superior χ+ aso-ciado a la ecuacion (13).

Demostracion. Sea v = {v1, . . . , vn} la base normal ordenada para la filtracion V ={V1, . . . , Vk} asociada a χ+, tal que su base dual w = {w1, . . . , wn} es normal para lafiltracion asociada a χ+, cuya existencia es garantizada por la Proposicion 26. Porotra parte, por el Corolario 28 los unicos valores que toma χ+ son −χ+

k < . . . < −χ+1 ,

luego la filtracion {Wj : j = 0, . . . , k} asociada a χ+ esta dada por

Wj ={w ∈ Rn : χ+(w) ≤ −χ+

k−j+1

}, j = 1, . . . , k,

15

Fijamos j ∈ {1, . . . , k}, demostraremos que Wj = V ⊥k−j. Sea l = dim Vk−j, entonces

{v1, . . . , vl} es base de Vk−j y por la Proposicion 25 y la definicion de Vk−j tenemos

χ+(wi) ≥ −χ+(vi) ≥ −χ+k−j > −χ+

k−j+1 1 ≤ i ≤ l,

es decir que w1, . . . , wl no pertenecen a Wj. Por el Corolario 28 tenemos que dim Wj =n− l = n−dim Vk−j, como w es normal para la filtracion W entonces necesariamenteWj = Span {wl+1, . . . , wn} = V ⊥

k−j. ¤Una consecuencia inmediata del Corolario 30 es:

Corolario 31. Supongamos el exponente superior χ+ asociado a la ecuacion (13) esf - regular. Entonces, para cada base {v1, . . . , vn} normal ordenada para la filtracion Vinducida por χ+ se tiene que la base dual ordenada inversamente {wn, . . . , w1} es unabase normal ordenada de la filtracion inducida por el exponente superior χ+ asociadaa la ecuacion adjunta (23).

Corolario 32. Supongamos el exponente superior χ+ asociado a la ecuacion (13) esf - regular. Si v = {v1, . . . , vn} es una base normal para la filtracion inducida por elexponente superior χ+ asociado a la ecuacion lineal no homogenea (13) entonces

χ+(vi) + χ+(wi) = 0

para i = 1, . . . , n, donde {w1, . . . , wn} es la base dual a v.

Demostracion. No perdemos generalidad al suponer que v es ordenada para la fil-tracion V = {Vj : j = 1, . . . , k} inducida por χ+, entonces por el Corolario 30 y elCorolario 31 su base dual ordenada inversamente {wn, . . . , w1} es una base normalordenada para la filtracion inducida por χ+:

{0} = V ⊥k $ V ⊥

k−1 $ · · · $ V ⊥1 $ V ⊥

0 = Rn.

Fijamos i ∈ {1, . . . , n}, entonces existe j ∈ {1, . . . , k} tal que vi ∈ Vj \ Vj−1, enparticular χ+(vi) = χ+

j . Notemos:

• vi /∈ Vj−1 implica que wi ∈ V ⊥j−1 porque Vj−1 tiene una base contenida en v y

wi es ortogonal a todo vj con j 6= i.• vi ∈ Vj implica que wi /∈ V ⊥

j porque wi no es ortogonal con vi.

En la nomenclatura de la demostracion del Corolario 30 tenemos que wi ∈ Wk−j+1 \Wk−j, en particular, χ+(wi) = −χ+

k−(k−j+1)+1 = −χ+j . ¤

6.2. Estimativas exponenciales de la matriz de Cauchy. Sea V (t) una matrizfundamental de la ecuacion diferencial lineal (13), entonces para cualquier v ∈ Rn lafuncion

t 7→ V (t)V (s)−1v,

es la solucion de la ecuacion (13) que pasa por v en el tiempo s.

Definicion 33. La matriz de Cauchy (o familia de evolucion) de la ecuacion diferen-cial (13) se define por

{U(t, s) = V (t)V (s)−1, 0 ≤ s ≤ t

}.

16

Remarca 34. Notemos la buena definicion de la familia de Cauchy, si V (t), fuese otramatriz fundamental de la ecuacion (13), entonces existe una matriz no singular C tal

que V (t) = V (t)C para todo t, luego

V (t)V (s)−1 = V (t)C(V (s)C)−1 = V (t)V (s)−1.

En terminos de la definicion recientemente introducida, tenemos que la ecuaciondiferencial perturbada (14) es equivalente a la ecuacion integral:

u(t) = V (t)u0 +

∫ t

0

U(t, s)f(s, u(s)) ds,

donde V (t) es la matriz fundamental de (13) tal que V (0) = id.

Teorema 35 (Malkin). Supongamos que la matriz de Cauchy de (13) satisface

‖U(t, s)‖ ≤ Deα(t−s)+βs, (27)

para cualesquiera 0 ≤ s ≤ t, para algunas constantes D, α y β tales que

γα + β < 0. (28)

Entonces, 0 es una singularidad exponencialmente asintoticamente estable para laecuacion perturbada (14).

Demostracion. Notemos que la desigualdad (27) implica que 1 ≤ Deβs para todos ≥ 0, luego β ≥ 0, entonces de la desigualdad (28) se concluye que necesariamenteα < 0. Definimos el subespacio vectorial de funciones continuas con decrecimientoexponencial determinado por α:

E ={

u : [0,∞)C0→ Rn/existe C ≥ 0 tal que ‖u(t)‖ ≤ Ceαt para todo t ≥ 0

},

y una norma ‖ ‖R : E → R+ dada por

‖u‖R = sup{‖u(t)‖e−αt : t ≥ 0

}= inf

{C ≥ 0 : ‖u(t)‖ ≤ Ceαt para t ≥ 0

},

que hace de E un espacio de Banach. En particular, se satisface

‖u(t)‖ ≤ ‖u‖R eαt, para todo t ≥ 0. (29)

Sea ε > 0 suficientemente pequeno para que B(0, ε) ⊂ H ⊂ Rn. En lo sucesivoconsideraremos funciones en el conjunto cerrado

Bε := {u ∈ E : ‖u‖R ≤ ε} .

Observemos que si u ∈ Bε entonces u(t) ∈ H para todo t ≥ 0. Esta propiedad sera

importante para demostrar que la funcion no lineal J : Bε → E dada por

(J(u))(t) =

∫ t

0

U(t, s)f(s, u(s)) ds,

esta bien definida. De hecho, probaremos un hecho mas general que nos serviradespues. Sean u1, u2 ∈ Bε, entonces usando sucesivamente la desigualdad (27),

17

la propiedad (3) que satisface la perturbacion f de la ecuacion diferencial pertur-bada (14), la desigualdad (29) y la desigualdad (28) se tiene

‖(J(u1)− J(u1))(t)‖ ≤∫ t

0

‖U(t, s)‖ ‖f(s, u1(s))− f(s, u2(s))‖ ds

≤∫ t

0

Deα(t−s)+βsK‖u1(s)− u2(s)‖1+γ ds

= DK

∫ t

0

eα(t−s)+βs‖u1 − u2‖1+γR eαs(1+γ) ds

= DK

(∫ ∞

0

e(αγ+β)s ds

)‖u1 − u2‖1+γ

R eαt.

Es decir, existe una constante D que es independiente de ε tal que para cualesquiera

u1, u2 ∈ Bε se tiene J(u1)− J(u2) ∈ E y es mas

‖J(u1)− J(u2)‖R ≤ D‖u1 − u2‖1+γR . (30)

En particular, tomando u2 ≡ 0, mostramos que J esta bien definida.Sea V (t) la matriz fundamental de la ecuacion lineal (13) tal que V (0) = id,

entonces tomando s = 0 en la desigualdad (27) y usando la definicion de la matriz deCauchy se tiene

‖V (t)‖ ≤ Deαt para todo t ≥ 0. (31)

En particular, se sigue la buena definicion de la aplicacion no lineal J : Bε → E dadapor

(J(u))(t) = V (t)u0 +

∫ t

0

U(t, s)f(s, u(s)) ds,

donde u0 ∈ B(0, ε2) es fijo. Para terminar con la demostracion del Teorema de Malkines suficiente probar que J tiene un punto fijo en E. De hecho, mostraremos que existeε tal que J(Bε) ⊂ Bε y que J restringida a este Bε es una contraccion, luego por elTeorema de puntos fijos para contracciones [3, p.198] la aplicacion J tiene un puntofijo en Bε. Comencemos, usando las desigualdad (30) y la desigualdad (31) parau ∈ Bε y u0 ∈ B(0, ε2):

‖J(u)‖R ≤ D‖u0‖+ D‖u‖1+γR

≤ Dε2 + Dε1+γ

= (Dε + Dεγ)ε.

Por otra parte, si u1, u2 ∈ Bε usamos la desigualdad (30)

‖J(u1)− J(u2)‖R ≤ D‖u1 − u2‖1+γR

≤ D(‖u1‖R + ‖u2‖R)γ ‖u1 − u2‖R

≤ D(2ε)γ ‖u1 − u2‖R.

Para terminar la demostracion es suficiente escoger ε tal que

max{

Dε + Dεγ, D(2ε)γ}

< 1

18

para probar que toda solucion de la ecuacion diferencial (14) que pasa por algun puntoen B(0, ε2) en el tiempo 0 converge exponencialmente para 0 ∈ Rn cuanto t →∞. ¤

6.3. Demostracion del teorema de estabilidad robusta. En esta subseccionmostraremos que el Corolario 32 y el Teorema 35 implican el Teorema de estabilidadrobusta de Lyapunov.

Demostracion del Teorema 23. Sean v = {v1, . . . , vn} y w = {w1, . . . , wn} basesduales de Rn tal que v es normal a la filtracion inducida por el exponente superiorχ+ asociado a la ecuacion (13). Entonces por el Corolario 32 se tiene que

χ+(vk) + χ+(wk) = 0 para k = 1, . . . , n. (32)

Sea V (t) la matriz fundamental de (13) tal que sus columnas son ϕ(t; v1), . . . , ϕ(t; vn),

entonces por el Lema 24 las columnas de (V (t)−1)T

son ψ(t; w1), . . . , ψ(t; wn).Por definicion para cada ε > 0 existe Dε > 0 tal que

‖ϕ(t; vk)‖ ≤ Dεe(χ+(vk)+ε)t y ‖ψ(t; vk)‖ ≤ Dεe

(eχ+(wk)+ε)t (33)

para todo t ≥ 0 y todo k = 1, . . . , n. Denotemos por ϕi(t; vj), ψi(t; wj) a la coordenadai-esima de ϕ(t; vj),ψ(t; wj) respectivamente. Entonces, la entrada ij-esima del la

matriz producto V (t)V (s)−1 es

(V (t)V (s)−1)ij =n∑

k=1

ϕi(t; vk)ψj(t; wk).

Usando las desigualdades (33)

|(V (t)V (s)−1)ij| ≤n∑

k=1

|ϕi(t; vk)| |ψj(t; wk)|

≤n∑

k=1

‖ϕ(t; vk)‖ ‖ψ(t; wk)‖

≤n∑

k=1

Dεe(χ+(vk)+ε)t+(eχ+(wk)+ε)s

=n∑

k=1

Dεe(χ+(vk)+ε)(t−s)+(χ+(vk)+eχ+(wk)+2ε)s

Luego, usando las igualdades (32)

|(V (t)V (s)−1)ij| ≤n∑

k=1

Dεe(χ+(vk)+ε)(t−s)+2εs.

Entonces existe Dε > 0 tal que

‖V (t)V (s)−1‖ ≤ Dεe(χ+

1 +ε)(t−s)+2εs. (34)

19

Finalmente, el Teorema 23 sigue del Teorema de Malkin (Teorema 35), tomandoε > 0 suficientemente pequeno para que α = χ+

1 + ε y β = 2ε satisfagan γα + β =γχ+

1 + (γ + 2)ε < 0. ¤

7. La ecuacion adjunta y f-regularidad

En esta seccion demostraremos el Teorema 27. Nuestra estrategia es la siguiente:

(1) Mostraremos que existen transformaciones dependiendo del tiempo que trans-forman la ecuacion diferencial lineal homogenea (13) en una ecuacion linealtal que la matriz que la define es triangular superior para todo tiempo.

(2) Exhibiremos soluciones explıcitas para ecuaciones diferenciales lineales trian-gulares superiores.

(3) Demostraremos el Teorema 27 para ecuaciones lineales triangulares superiores.(4) Mostraremos que el caso triangular superior es suficiente para demostrar el

caso general debido a las que las transformaciones usadas en el paso (1) sonortogonales.

Lema 36. Para cualquier base {α1, . . . , αn} de Rn existe una funcion diferenciablet 7→ U(t) tal que el cambio de variable z(t) = U(t)−1x(t) transforma la ecuaciondiferencial lineal (13) en la ecuacion

z = B(t)z, (35)

tal que para todo t ≥ 0 la matriz U(t) es ortogonal y la matriz B(t) es triangularsuperior. Ademas, si B(t) = (bij(t)) tenemos

(1) sup {|bij| : t ≥ 0, i 6= j} < ∞;(2) para k = 1, . . . , n,

bkk(t) =d

dtlog

‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αk−1) ∧ ϕ(t; αk)‖‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αk−1)‖

donde ϕ(t; αi) es la solucion de la ecuacion (13) que pasa por αi ∈ Rn cuandot = 0.

Demostracion. Comenzaremos analizando el cambio de variable x(t) = U(t)z(t) dondet 7→ U(t) es una funcion diferenciable que escogeremos despues. Entonces, de laecuacion (13)

A(t)U(t)z(t) = A(t)x(t) = x(t) = U(t)z(t) + U(t)z(t),

de donde

U(t)z(t) = A(t)U(t)z(t)− U(t)z(t).

Es decir que la ecuacion diferencial (13) es equivalente a la ecuacion (35) con

B(t) = U(t)−1A(t)U(t)− U(t)−1U(t). (36)

Ahora, para definir la funcion t 7→ U(t), para cada t ≥ 0 aplicamos el proceso deGram-Schmidt a la base ϕ(t; α1), . . . , ϕ(t; αn) de Rn obteniendo una base ortonormal

20

u1(t), . . . , un(t). Recordemos este procedimiento:

u1(t) =ϕ(t; α1)

‖ϕ(t; α1)‖u2(t) =

ϕ(t; α2)− 〈ϕ(t; α2), u1(t)〉u1(t)

‖ϕ(t; α2)− 〈ϕ(t; α2), u1(t)〉u1(t)‖...

un(t) =ϕ(t; αn)−∑n−1

i=1 〈ϕ(t; αi), ui(t)〉ui(t)

‖ϕ(t; αn)−∑n−1i=1 〈ϕ(t; αi), ui(t)〉ui(t)‖

(37)

Sea U(t) la matriz tal que sus columnas son u1(t), . . . , un(t). Entonces, claramentet 7→ U(t) es diferenciable y para todo t ≥ 0 la matriz U(t) es ortogonal. El procesoexhibido en la ecuaciones (37) significa que estamos obteniendo u1(t), . . . , un(t) de labase ϕ(t; α1), . . . , ϕ(t; αn) por una transformacion lineal invertible de tal forma queuk(t) depende linealmente solamente de ϕ(t; α1), . . . , ϕ(t; αk) para k = 1, . . . , n. Esdecir, que si denotamos por V (t) a la matriz cuyas columnas son ϕ(t; α1), . . . , ϕ(t; αn),tenemos que U(t) es igual a V (t) por una matriz triangular superior, luego para cadat ≥ 0 la matriz

Z(t) = U(t)−1V (t) (38)

es triangular superior, t 7→ Z(t) es diferenciable y las columnas de Z(t) forman unabase del espacio de soluciones de la ecuacion diferencial (35).

Que B(t) es triangular se sigue inmediatamente de

Z(t)Z(t)−1 = [−U(t)−1U(t)U(t)−1V (t) + U(t)−1V (t)]Z(t)−1

= [−U(t)−1U(t)U(t)−1V (t) + U(t)−1A(t)V (t)]V (t)−1U(t)

= −U(t)−1U(t) + U(t)−1A(t)U(t)

= B(t).

Para demostrar la afirmacion (1) del lema comenzamos explotando que U(t) es

ortogonal, i.e. U(t)−1 = U(t)T

B(t) + B(t)T = [U(t)−1A(t)U(t)− U(t)−1U(t)] + [U(t)−1A(t)U(t)− U(t)−1U(t)]T

= U(t)TA(t)U(t)− U(t)TU(t) + U(t)TA(t)TU(t)− U(t)TU(t)

= U(t)T[A(t) + A(t)T]U(T )− d

dt[U(t)TU(t)]

= U(t)T[A(t) + A(t)T]U(T )− d

dtid

= U(t)T[A(t) + A(t)T]U(T ).

Como B(t) es triangular superior se tiene que si i 6= j para todo t ≥ 0

|Bij(t)| ≤ ‖U(t)T‖(‖A(t)‖+ ‖A(t)T‖)‖U(t)‖ ≤ 2 sup {‖A(t)‖ : t ≥ 0} < ∞.

La igualdad B(t) = Z(t)Z(t)−1 y que Z(t) = (zij(t)) es triangular implican

bkk(t) =zkk(t)

zkk(t)=

d

dtlog zkk(t). (39)

21

Denotemos por zi(t), i = 1, . . . , n, a las columnas de Z(t). La igualdad (38) significaque z1(t), . . . , zn(t) se obtiene de ϕ1(t; α1), . . . , ϕn(t; α1) por una transformacion or-togonal, por tanto para todo t ≥ 0 y todo k = 1, . . . , n se tiene

‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αk)‖ = ‖z1(t) ∧ · · · ∧ zk(t)‖. (40)

Por la forma triangular de Z(t) tenemos que para k = 1, . . . , n

‖z1(t) ∧ · · · ∧ zk(t)‖ = zkk ‖z1(t) ∧ · · · ∧ zk−1(t)‖ (41)

Combinando la igualdades (40) y (41) concluimos que para k = 1, . . . , n

‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αk)‖‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αk−1)‖ =

‖z1(t) ∧ · · · ∧ zk(t)‖‖z1(t) ∧ · · · ∧ zk−1(t)‖ = zkk(t).

Esto ultimo combinado con (39) implican la ultima afirmacion del lema. ¤

Un sistemas de ecuaciones algebraicas lineales tal que su matriz asociada es trian-gular posee soluciones explıcitas. El siguiente Lema es el procedimiento analogo paraecuaciones diferenciales lineales triangulares.

Lema 37. Sea t 7→ B(t) continua tal que B(t) = (bij(t)) es triangular superior paratodo t ≥ 0. Sean Dij ∈ R ∪ {+∞} constantes, 1 ≤ i < j ≤ n. Definimos la funcionmatricial t 7→ Z(t), con Z(t) = (zij(t)) de la siguiente manera:

zij(t) = 0, cuando j < i;

zij(t) = exp

(∫ t

0

bii(τ) dτ

), cuando j = i;

zij(t) =

∫ t

Dij

j∑

k=i+1

bik(s)zkj(s) exp

(∫ t

s

bii(τ) dτ

)ds, cuando j > i.

(42)

Entonces, las columnas de Z(t) forman un base del espacio de soluciones de laecuacion diferencial lineal z = B(t)z.

Remarca 38. En caso que Dij = ∞ estamos suponemos que la integral correspondienteque aparece en el enunciado del Lema 37 es impropia convergente.

Demostracion del Lema 37. Derivando para cada i = 1, . . . , n, se verifica zii(t) =bii(t)zii(t). Por otra parte si j > i tenemos derivando

zij(t) = =

j∑

k=i+1

bik(t)zkj(t) +

∫ t

Dij

j∑

k=i+1

bik(s)zkj(s) exp

(∫ t

s

bii(τ) dτ

)bii(t) ds

=

j∑

k=i+1

bik(t)zkj(t) + bii(t)zij(t)

=

j∑

k=i

bik(t)zkj(t)

22

Esto muestra que Z(t) = B(t)Z(t), por tanto las columnas de Z(t) son soluciones dela ecuacion z = B(t)z. Como Z(t) es triangular tenemos para todo t ≥ 0

det Z(t) = exp

(n∑

i=1

∫ t

0

bii(τ) dτ

)6= 0.

Luego las columnas de Z(t) forman una base de Rn para todo t ≥ 0. ¤Lema 39. Sea t 7→ B(t) continua tal que B(t) = (bij(t)) es triangular superior paratodo t ≥ 0 y tal que

M = sup {|bij| : t ≥ 0, i 6= j} < ∞. (43)

Si para todo j = 1, . . . , n

limt→∞

1

t

∫ t

0

bjj(τ) dτ = Bj (44)

Entonces, existen bases duales h = {h1, . . . , hn} y g = {g1, . . . , gn} de Rn tales que

χ+B(hj) = Bj,

χ+B(gj) = −Bj,

para j = 1, . . . , n. Donde χ+B, χ+

B denotan respectivamente los exponentes superiores

asociados a la ecuacion z = B(t)z y la ecuacion adjunta u = −B(t)Tu.

Demostracion. Sea Z(t) la matriz del Lema 37 tal que sus columnas zj(t), j = 1, . . . , n,son soluciones de la ecuacion diferencial z = B(t)z. Primeramente, demostraremosque existen constantes Dij que aparecen en estas soluciones de tal forma que

lim supt→∞

1

tlog ‖zj(t)‖ = Bj (45)

para j = 1, . . . , n. Fijamos j ∈ {1, . . . , n}, notemos que

limt→∞

1

tlog |zjj(t)| = lim

t→∞1

tlog exp

(∫ t

0

bjj(τ) dτ

)= Bj. (46)

Como zij ≡ 0 para i > j, para probar la igualdad (45) es suficiente encontrar con-stantes Dij de tal forma que

lim supt→∞

1

tlog |zij(t)| ≤ Bj (47)

para i ∈ {1, . . . , j − 1}. Realizaremos este procedimiento recurrentemente. Fijamosi ∈ {1, . . . , j − 1} y suponemos que

lim supt→∞

1

tlog |zkj(t)| ≤ Bj (48)

para todo i > k ≥ j (de hecho para k = j esto es siempre verdad por la igual-dad (46)). Demostraremos que podemos escoger Dij de manera que se verifica (47).Comenzaremos dando algunas estimativas provenientes de los anteriores limites. Seaε > 0. De (46) y (48) concluımos que existe K1 > 0 tal que

|zkj(s)| ≤ K1e(Bj+ε)s, s ≥ 0 y j ≤ k < i. (49)

23

De (44) en la hipotesis del Lema concluımos que existe K2 > 0 tal que

exp

(−

∫ s

0

bii(τ) dτ

)≤ K2e

(−Bi+ε)s, s ≥ 0 y 1 ≤ i ≤ n. (50)

Por otra parte por la tercera expresion de (42) tenemos

zij(t) = exp

(∫ t

0

bii(τ) dτ

) ∫ t

Dij

j∑

k=i+1

bik(s)zkj(s) exp

(−

∫ s

0

bii(τ) dτ

)ds.

De esta expresion, usando (43), (49) y (50), tenemos

|zij(t)| ≤ exp

(∫ t

0

bii(τ) dτ

) ∣∣∣∣∣∫ t

Dij

j∑

k=i+1

MK1e(Bj+ε)sK2e

(−Bi+ε)s ds

∣∣∣∣∣ .

Luego, tomando K = nMK1K2 y usando (44) tenemos

lim supt→∞

1

tlog |zij(t)| ≤ Bi + lim sup

t→∞

1

tlog

∣∣∣∣∣∫ t

Dij

Ke(Bj−Bi+2ε)s ds

∣∣∣∣∣ . (51)

Si Bj −Bi ≥ 0 definimos Dij := 0, entonces

∫ t

0

Ke(Bj−Bi+2ε)s ds =K(e(Bj−Bi+2ε)t − 1)

Bj −Bi + 2ε. (52)

Si Bj −Bi < 0 definimos Dij := +∞, entonces para ε > 0 suficientemente pequeno

∣∣∣∣∫ t

+∞Ke(Bj−Bi+2ε)s ds

∣∣∣∣ =Ke(Bj−Bi+2ε)t

|Bj −Bi + 2ε| . (53)

Entonces de (51) y dependiendo del caso de (52) o (53) tenemos que para ε > 0suficientemente pequeno

lim supt→∞

1

tlog |zij(t)| ≤ Bi + Bj −Bi + 2ε = Bj + 2ε.

Como ε es arbitrariamente pequeno, obetenemos (47). Con esto concluımos la de-mostracion de (45) para j = 1, . . . , n. Si definimos hj = zj(0) para todo j, entoncespor el Lema 37 tenemos que h = {h1, . . . , hn} es una base de Rn. Ademas, ahorahabrıamos demostrado que

χ+B(hj) = Bj, j = 1, . . . , n.

De manera similar al Lema 37 existe una matriz triangular inferior W (t) tal que

W (t) = −B(t)TW (t).

24

Las entradas de la matriz W (t) = (wij(t)) se definen de la siguiente forma

wij(t) = 0, cuando j > i;

wij(t) = exp

(−

∫ t

0

bii(τ) dτ

), cuando j = i;

wij(t) = −∫ t

Dji

i−1∑

k=j

bki(s)wkj(s) exp

(−

∫ t

s

bii(τ) dτ

)ds, cuando j < i.

(54)

Donde las constantes Dji son las constantes que elegimos anteriormente en esta de-mostracion. Denotemos por w1(t), . . . , wn(t) a las columnas de W (t). Por argumentossimilares a lo que usamos anteriormente, si definimos gj = wj(0) para j = 1, . . . , n.Tenemos la base g = {g1, . . . , gn} de Rn tal que

χ+B + (gj) = −Bj, j = 1, . . . , n.

Notemos que χ+B(hi)+χ+

B(gi) = 0 para todo i. Por tanto para concluir la demostraciondel Lema es suficiente demostrar que las bases h y g son duales.

Como Z(t) es una matriz triagular superior y W (t) es una matriz triangular inferior,entonces claramente 〈hi, gj〉 = 〈zi(0), wj(0)〉 = 0 cuando i < j. Ademas, tenemos

〈hi, gi〉 = exp

(∫ 0

0

bii(τ)dτ

)exp

(−

∫ 0

0

bii(τ)dτ

)= 1,

para i = 1, . . . , n.Fijemos i > j, entonces tenemos para todo t ≥ 0

〈zi(t), wj(t)〉 =i∑

k=j

zki(t)wkj(t). (55)

Entonces, por (47) y su analogo para las soluciones wj, tenemos

lim supt→∞

1

tlog |〈zi(t), wj(t)〉| ≤ max

j≤k≤ilim sup

t→∞

1

tlog |zki(t)wkj(t)|

= maxj≤k≤i

(lim sup

t→∞

1

tlog |zki|+ lim sup

t→∞

1

tlog |wkj|

)

≤ maxj≤k≤i

(Bi −Bj)

= Bi −Bj.

Si Bi−Bj < 0, entonces lim supt→∞

1

tlog |〈zi(t), wj(t)〉| < 0, por tanto necesariamente

limt→∞

|〈zi(t), wj(t)〉| = 0. Entonces, por el Lema 24 concluımos

〈hi, gj〉 = 〈zi(0), wj(0)〉 = limt→∞

〈zi(t), wj(t)〉 = 0.

Si Bi − Bj ≥ 0 entonces Dji = 0. Ademas, para todo k tenemos Bi − Bk ≥ 0 oBk −Bj ≥ 0, luego Dki = 0 o Djk = 0. De (55) tomando t = 0 tenemos

〈hi, gj〉 = zji(0)wjj(0) + zii(0)wij(0) +i−1∑

k=j+1

zki(0)wkj(0). (56)

25

Como i > j y Dij = 0 tenemos zij(0) = wij(0) = 0. Es mas, para cada k tal quej + 1 ≤ k ≤ i− 1 tenemos Dki = 0 o Djk = 0, por tanto concluımos que zki(0) = 0 owkj(0) = 0. Por tanto, todos los terminos del lado derecho de (56) son cero. Ası, eneste caso tambien 〈hi, gj〉 = 0. Esto demuestra el lema. ¤

Demostracion del Teorema 27. Sea {α1, . . . , αn} una base de Rn. Entonces, real-izamos el cambio de variable usando la aplicacion t 7→ U(t) del Lema 36. Notemosque por las conclusiones del Lema 36 tenemos

1

t

∫ t

0

bjj(τ) dτ =1

t

∫ t

0

d

dτlog

‖ϕ(τ ; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(τ ; αj−1) ∧ ϕ(τ ; αj)‖‖ϕ(τ ; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(τ ; αj−1)‖

=1

tlog

‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αj−1) ∧ ϕ(t; αj)‖‖ϕ(t; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(t; αj−1)‖

‖ϕ(0; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(0; αj−1) ∧ ϕ(0; αj)‖‖ϕ(0; α1) ∧ · · · ∧ ϕ(0; αj−1)‖

.

Entonces, por la f -regularidad del expoentente superior χ+ asociado a (13) tenemos

limt→∞

1

t

∫ t

0

bjj(τ) dτ = (χ+(α1) + · · ·+ χ+(αj))− (χ+(α1) + · · ·+ χ+(αj−1)) = χ+(αj),

para todo j ∈ {1, . . . , n}. Es mas, todas las hipotesis del Lema 37 se satisfacen.Sean h = {h1, . . . , hn} y g = {g1, . . . , gn} las bases duales obtenidas por el Lema 37,entonces definimos

vi = U(0)hj wj = U(0)gj, j = 1, . . . n.

En la prueba del Lema 37 bases h y g se obtuvieron de soluciones z1(t), . . . , zn(t)

y w1(t), . . . , wn(t) de las ecuaciones z = B(t)z y u = −B(t)Tu respectivamente.Ademas,

χ+B(hj) = χ+

B(zj(0)) = lim supt→∞

1

tlog ‖zj(t)‖ = Bj,

χ+B(hj) = χ+

B(wj(0)) = lim supt→∞

1

tlog ‖wj(t)‖ = −Bj,

para j = 1, . . . , n. Ahora demostraremos que las bases v = {v1, . . . , vn} y w ={w1, . . . , wn} satisfacen las conclusiones del Teorema 27. Comencemos observandoque v y w son bases duales porque se obtienen de bases duales por una transformacionortogonal U(0). Por la unicidad de soluciones, tenemos

ϕ(t; vi) = U(t)z(t) i = 1, . . . , n, t ≥ 0.

26

Luego tenemos

χ+(vi) = lim supt→∞

1

tlog ‖ϕ(t; vi)‖

= lim supt→∞

1

tlog ‖U(t)zi(t)‖

= lim supt→∞

1

tlog ‖zi(t)‖ (57)

= χ+B(zi(0))

= −Bi

La igualdad (57) es consecuencia de que U(t) es ortogonal para todo t. En efecto,como ‖U(t)‖ = 1 para todo tiempo tenemos

lim supt→∞

1

tlog ‖U(t)zi(t)‖ ≤ lim sup

t→∞

1

tlog ‖U(t)‖ ‖zi(t)‖ = lim sup

t→∞

1

tlog ‖zi(t)‖.

Por otra parte tambien tenemos ‖U(t)−1‖ = ‖U(t)T‖ = 1, luego

lim supt→∞

1

tlog ‖zi(t)‖ ≤ lim sup

t→∞

1

tlog ‖U(t)−1U(t)zi(t)‖ = lim sup

t→∞

1

tlog ‖U(t)zi(t)‖.

Finalmente, de manera analoga tenemos que χ+(wi) = −Bi para todo i. Es decir queχ+(vi) + χ+(wi) = 0 para i ∈ {1, . . . , n}. ¤

8. Problemas

1. Demuestre que la ecuacion diferencial x = ex sen t no es completa.Observe que el lado derecho depende de manera C∞ respecto a (t, x), en particular, la completitud de una ecuacion nodepende de la regularidad de las funciones involucradas, a diferencia del problema existencia y unicidad de soluciones.

2. Sean A,B ∈ Mn(R). Demuestre que et(A+B) = etAetB para todo t ∈ R si ysolamente si AB = BA.

3. Demuestre el Teorema 3.Sugerencia: Utilice la forma de Jordan real de A.

4. Demuestre que para la ecuacion diferencial lineal

x = − 1

1 + |t|x

se tiene χ+(v) = 0 para todo v 6= 0. Demuestre que 0 es asintoticamente estable.

5. Demostrar el Teorema 5 del Teorema 3 y del Teorema 4.

6. Encontrar una funcion matricial continua t 7→ A(t) tal que

t 7→ exp

(∫ t

0

A(s) ds

)

no es una solucion de la ecuacion x = A(t)x. ¿Cuando es una solucion en el casomatricial?

7. Demostrar las siguientes formas de la desigualdad de Gronwall:

27

(1) Sean β, u funciones continuas definidas en el intervalo [a, +∞). Si u es difer-enciable y se satisface la desigualdad

u′(t) ≤ β(t)u(t),

para todo t ≥ a, entonces

u(t) ≤ u(a) exp

(∫ t

a

β(s) ds

),

para todo t ≥ 0.Sugerencia: Defina v(t) = exp(

R ta β(s) ds) y estudie la monoticidad de la funcion diferenciable u/v.

(2) Sean α, β, u funciones continuas definidas en el intervalo [a, +∞).(a) Si α y β son funciones no negativas y se satisface la desigualdad

u(t) ≤ α(t) +

∫ t

a

β(s)u(s) ds, t ≥ 0,

entonces

u(t) ≤ α(t) +

∫ t

a

α(s)β(s) exp

(∫ t

s

β(r) dr

)ds, t ≥ 0.

(b) Si ademas, la funcion α es constante, entonces

u(t) ≤ α exp

(∫ t

a

β(s)ds

), t ≥ 0.

8. Demostrar que el limite superior (6) asociado a la ecuacion x′ = t2x es +∞.

9. Usar la desigualdad de Gronwall (Problema 7) para demostrar que el limite superioren (6) no puede ser +∞.

10. Supongamos que el expoente superior de la ecuacion diferencial x = A(t)x esf regular. Sean v, w ∈ Rn y denotemos por α(t) el angulo entre ϕ(t; v) y ϕ(t; w).Demuestre que el comportamiento de α(t) es subexponencial, i.e. demuestre

limt→∞

1

tlog |α(t)| = 0.

11. Demuestre que el exponente superior asociado a la ecuacion lineal x = Ax, conA ∈ Mn(R), es f-regular.

12. Relaciones los exponentes caracterısticos de una ecuacion lineal periodica con suespectro de Laypunov.

13. Demuestre que el origen es una singularidad asintoticamente estable para el sigu-iente sistema

x = −2y + x2 sen t

y = x− 3y

14. Demostrar que el espacio E definido en la demostracion del Teorema 35 es deBanach.

28

Apendice A. La forma canonica de Jordan real

Una matriz J ∈ Mn(R) esta en la forma de Jordan real si

A = diag(J1, . . . Jk)

donde cada bloque de Jordan Ji es de alguna de las siguientes formas

[λ] donde λ ∈ R, (58)

λ 1 0 · · · 0

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . 10 · · · · · · 0 λ

, donde λ ∈ R, (59)

[a −bb a

], donde a, b ∈ R, (60)

a −bb a

1 00 1

0 00 0

· · · 0 00 0

0 00 0

. . . . . . . . ....

.... . . . . . . . .

0 00 0

.... . . . . .

1 00 1

0 00 0

· · · · · · 0 00 0

a −bb a

, donde a, b ∈ R, (61)

Para una demostracion del siguiente Teorema se puede consultar [2, Cap.3].

Teorema 40. Si A ∈ Mn(R) entonces existe una matriz P ∈ GLn(R), i.e. P esinvertible con entradas reales, tal que A = P−1JP , donde J ∈ Mn(R) esta en laforma de Jordan Real. Ademas, la matriz J es unica salvo el orden de los bloques deJordan.

Corolario 41. Toda matriz A ∈ Mn(R) se puede escribir en la forma A = S + N ,donde N es una matriz nilpotente4 y SN = NS. Ademas, S y N que satisface estaspropiedades son unica.

4Una matriz N es nilpotente si existe m tal que Am = 0.

29

A.1. Exponencial de una matriz en la forma de Jordan real. Comenzaremoscalculando la exponencial de cierto tipo de matrices de 2× 2 que pueden aparecer enlas formas de Jordan reales. Consideremos el subespacio vectorial

A =

{[a −bb a

]: a, b ∈ R

}

de M2(R). Definimos la aplicacion T : C→ A por

T (a + ib) =

[a −bb a

],

entonces T es una aplicacion lineal inyectiva de espacios vectoriales reales de di-mension finita, en particular es continua y su inversa es continua. Es mas es unisomorfismo de cuerpos, donde la multiplicacion en la estructura de cuerpo de A esel producto de matrices. Por tanto para calcular

exp

[a −bb a

]=

∞∑

k=0

1

k!

[a −bb a

]k

,

podemos calcular

T−1(exp

[a −bb a

]) =

∞∑

k=0

1

k!T−1(

[a −bb a

]k

)

=∞∑

k=0

1

k!(a + ib)k

= exp(a + ib)

= ea(cos b + i sen b).

Por tanto,

exp

[a −bb a

]= ea

[cos b − sen bsen b cos b

].

Para calcular la exponecial de una matriz diagonal por bloques es suficiente calcularla exponencial de cada bloque. En particular, esto se aplica a las matrices en la formade Jordan real. Ya conocemos las exponenciales de bloques de Jordan de la forma(58) y (60). Consideremos, un bloque de la forma (59), notemos que

λ 1 0 · · · 0

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . 10 · · · · · · 0 λ

=

λ 0 0 · · · 0

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . .0 · · · · · · 0 λ

+

0 1 0 · · · 0

0. . . . . . . . .

......

. . . . . . . . . 0...

. . . . . . 10 · · · · · · 0 0

= D + N

ademas, D y N conmutan, i.e. DN=ND, y la segunda matriz es nilpotente, i.e.existe m tal que Nm = 0. Que D,N conmuten implica que exp(t(D + N)) =exp(tD) exp(tN), ver Problema 2. Es simple ver quien es exp(tD). Por otra parte,

30

el comportamiento de las potencias de N es bastante regular. Combinando estoselementos concluimos

exp(t(D + N)) = etλ

1 t 12!t2 · · · 1

(n−1)!tn−1

0 1 t. . .

......

. . . 1. . . 1

2!t2

.... . . . . . t

0 · · · · · · 0 1

De igual manera se puede encontrar explıcitamente la exponencial de una matrizque este en la forma (61) como se hizo en este caso anterior. En este caso desco-ponemos a la matriz como la suma de una matriz diagonal por bloques de 2 × 2 yuna matriz nilpotente.

A.2. Problemas.

A.1. Demuestre la afirmacion sobre del Corolario 41 suponiendo el Teorema 40.

A.2. Supongamos que J esta en la forma canonica de Jordan. Determine el espectroJ . Relacione la multiplicidad geometrica de un autovalor con el numero de bloquesde Jordan asociados a ese autovalor. Relacione la multiplicidad algebraica de unautovalor de J con la dimension de los bloques de Jordan correspondientes.

A.3. ¿Cuantas formas “esencialmente diferentes” de Jordan existen en M3(R)?

A.4. Demuestre que una matriz en nilpotente si y solamente si su espectro es {0}.A.5. Demuestre que det(exp(A)) = exp(tr(A)) para toda A ∈ Mn(R).

Bibliografıa

[1] L. Barreira and Y. Pesin, Lyapunov exponents and smooth ergodic theory, vol. 23 of Univ.Lecture Series, Amer. Math. Soc., 2002.

[2] R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990.[3] E. Lima, Espacos metricos, Coleao Projeto Euclides, CNPq, 1983.[4] J. Sotomayor, Licoes de equacoes diferenciais ordinarias, Coleao Projeto Euclides, CNPq,

1979.

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