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Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com

SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 07

FACULTAD DE :

ESCUELA PROFESIONAL DE :

DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I

ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:

TEMAS: Ecuaciones cuadráticas, discriminante, relación entre los coeficientes y raíces de una ecuación de segundo

grado. Ecuaciones de grado mayor que 2, ecuaciones Bicuadradas, ecuaciones recíprocas, ecuaciones racionales y ecuaciones irracionales

TIEMPO: 08 horas académicas.

COMPETENCIA:

Resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionadas a ecuaciones cuadráticas así como su aplicación en el campo práctico de la vida cotidiana.

CAPACIDADES:

Diferencia una ecuación de una inecuación. Calcula el discriminante de una ecuación Plantea y resuelve problemas de su especialidad, que requieren de las ecuaciones cuadráticas. Grafica e interpreta una función cuadrática y de grado superior.

ACTITUDES:

RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente

en el desarrollo de las clases.

E

V

A

L

U

A

C

I

Ó

N

MOMENTOS O FASES

DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA

MEDIOS Y MATERIALES

TIEMPO

EVALUACIÓN

INDICADORES

INSTRUMENTO

Motivación y exploración

MOTIVACION:

(ANEXO Nº 01)

EXPLORACION: El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas a operaciones con ecuaciones de segundo grado (Lluvia de ideas, Técnica interrogativa) El uso para seguir la

secuencia.

(ANEXO Nº 01)

Material Impreso.

Pizarra

Plumones

acrílicos

Mota

Palabra hablada.

50 min.

Interés por el tema, participación individual y en

grupo.

Observación espontánea. Intervención oral

Problematización

Se plantea las siguientes

interrogantes:

¿Serias capaz de

plantear ejercicios

con ecuaciones de

segundo grado?

¿Qué clase de

ecuaciones

observan en los

ejercicios

planteados?

¿Qué es un

Exposición oral

45 min.

Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con ecuaciones de segundo grado, desarrollan los ejercicios

planteados. Participación activa

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)


discriminante?

¿Existe relación

entre los

coeficientes y las

raíces de la

ecuación de

segundo grado?

Construcción del conocimiento

Se forma 7 grupos.

Modulo de lógica

matemática

- (ANEXO Nº 03)

-

Los estudiantes

plantean sus

ejemplos con

ecuaciones

cuadráticas,

bicuadradas,

racionales e

irracionales.

Se realizan

indicaciones en la

pizarra sobre

conceptos básicos,

dadas en la hoja

técnica.

(ANEXO Nº 04)

Se realiza la

sistematización de

lo aprendido.

Los estudiantes

plantean y

desarrollan un

laboratorio con

ejercicios.

(ANEXO Nº 05)

Papelógrafo. Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva

185 min.

Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera. Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)

Transferencia del conocimiento

L

Los estudiantes

resuelven los

ejercicios

planteados en su

módulo de trabajo.

Los estudiantes

participan

Hoja impresa Folder de trabajo.

120 min.

Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Folder de trabajo.


anotando sus

respuestas en la

pizarra

Los estudiantes

elaboran

ejercicios referidos

a operaciones con

los diferentes tipos

de ecuaciones de

segundo grado

(Hoja de

información ,Grupo

de estudio ,

trabajo en equipo;

exposición del

problema

planteado.(ANEXO

Nº04)

Los alumnos

resuelven en

grupo una ficha de

trabajo:”Leo,

analizo y resuelvo”

( ANEXO Nº 03 )

que les permitirá

descubrir

procedimientos

para reconocer e

interpretar a las

proposiciones.

El docente destaca

los resultados a

través de la

evaluación del

trabajo realizado..

Los alumnos

desarrollan

ejercicios

propuestos del

modulo

correspondiente

Ecuaciones de

segundo grado.

ejercicios planteados. Presentación de trabajo individual o grupal


BIBLIOGRAFÍA Gonzales Caicedo, Walter Orlando y Otros. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú. Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú.

ANEXO Nº 01

Si usted quiere exportar productos agrarios y desea saber que dimensiones debe tener una caja cuyo volumen es 1500cm3, sabiendo que debe tener 5 cm de altura y de ancho cinco cm. más que de largo. Calcular la longitud y la anchura.

SOLUCION:

Sabemos que el volumen se representa por:

V= a.b.c

1500 = 5.x. (x + 5)

Pues, aquí se plantea una ecuación de segundo grado, es decir: Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0. Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = -20 y x2 = 15. La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución es x = 15 cm de largo. La caja mide: 5 x 15 x 20

ANEXO Nº 02

Recuerda: “Cuanto menos habla el hombre de sus virtudes, más lo apreciamos”. Emerson Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.

ANEXO Nº 03

USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA

ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO

1. CONCEPTO: Denominada también ECUACIÓN CUADRÁTICA, es aquella ecuación polinomial de una incógnita de la forma general:


ax2 + bx + c = 0; a 0

2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0 ...... (1)

Multiplicando por 4a la ecuación (1), tenemos:

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx = -4ac

Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac Luego:

(2ax + b)2 = b2 – 4ac Extrayendo raíz cuadrada, se tiene:

ac4bbax2 2

2ax + b = ac4b2

Despejando la incógnita x, resulta:

a2

ac4bbx

2

Que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.

3. DISCRIMINANTE O VARIANTE Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general: b2 – 4ac, y se

le simboliza por la letra griega mayúscula « »; es decir:

ac4b2

4. RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

De la solución general, se obtienen:

a2

bx1 ó

a2

bx2

Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial:

ax2 + bx + c = 0; a 0 Se reemplazan directamente los valores de los parámetros a, b y c. Pero. Si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de éstos.

5. DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES Tenemos: ax2 + bx + c = 0 La naturaleza de las raíces de la ecuación:

ax2 + bc + c; a, b, c R y a 0

Viene caracterizada por el valor que asume el discriminante , es decir:


CASO 1:

Si > 0, las raíces serán reales y diferentes. Ejemplo: Resolver: 3x2 – 5x +1 = 0

Solución: Cálculo del discriminante:

= (-5)2 – 4(3)(1) = 13 donde: > 0 Luego, reemplazando en la solución general:

X = )3(2

13)5(

De aquí: x1 = 6

135 ó x2 =

6

135

Las raíces son reales y diferentes.

CASO 2:

Si > 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.

Ejemplo: Resolver: 4x2 – 12x + 9 = 0 Solución:

Análogamente: = (-12)2 – 4(4)(9)=0

En la solución general: x = )4(2

0)12(

De aquí: x1 = x2 = 2

3

CASO 3:

Si <0, las raíces serán imaginarias y conjugadas. Ejemplo: Resolver: x2 – 2x + 2=0 Solución:

De igual manera: = (-2)2 – 4(1)(2)=-4

Donde: < 0, y en la solución general:

X = )1(2

4)2(

De aquí x1 = 1 + i ó x2 = 1 - i Las cuales son imaginarias y conjugadas.

6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES Sean las funciones:

y = f(x) = ax2 + bx + c; a 0


y = g(x) = 0

Si: f(x) = g(x)...... ( ) Se obtiene la ecuación cuadrática:

ax2 + bx + c = 0; a 0

De la igualdad de funciones ( ), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones, como se muestra en la figura:

Donde y1 = y2 = 0 y x1 x2 Siendo las abcisas de los puntos de intersección (x1; 0) y (x2, 0) de las gráficas

de f y g, las raíces de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0 Ejemplo Resolver gráficamente: 2x2 – x – 15 = 0 Solución: Tenemos la gráfica de la función cuadrática

y = f(x) = 2x2 – x – 15

Las abcisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación. Observar que; para:

Y

y =f(x)

y = g(x)

X

(x1,y1) (x2,y2)

Y

y =f(x)

F

P Q X

(-5/2,0) (3,0)


)0;3(Q

0;2

5P

:puntoslosgeneranSe

0Fy3x

02

5y

2

5x

)3(

7. INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES.

En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0 sabemos que la naturaleza de

sus raíces viene dada por el valor del discriminante « ». Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:

CARACTERISTICAS DEL DESCRIMINANTE

COEFICIENTE PRINCIPAL

REPRESENTACIÓN GEOMETRICA

NATURALEZA DE LAS RAICES

> 0

a > 0 X1 X2 LOS RAÍCES SON

REALES Y DIFERENTES

X1 X2

a < 0 X1 X2

= 0

a > 0 X1 = X

2 LAS RAÍCES SON REALES E IGUALES X1 = X2 O UNA RAÍZ

REAL DOBLE a < 0

X1 = X2

< 0

a > 0 LAS RAÍCES SON

IMAGINARIAS Y CONJUGADAS

a < 0

OBSERVACION: Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales:

ax2 + bx + c = 0; a 0

Si su discriminante es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados. Ejemplo: Resolver: 2x2 – x – 6 = 0 • Cálculo del discriminante:

= (-1)2 – 4(2)(-6)= 49 (cuadrado perfecto) Luego reemplazando en la solución general:

X = ;)2(2

49)1( de la cual se obtienen:

X1 = 2 ó x2 = -3/2 Las cuales son números racionales.


8. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA (Teoremas de Viéte) Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:

ax2 + bx + c = 0; a 0 Entonces, se verifica las siguientes propiedades: TEOREMA 1: Suma de Raíces

x1 + x2 = -a

b

TEOREMA 2: Producto de Raíces

x1 • x2 = a

c

TEOREMA 3: Diferencia de Raíces

X1 – x2 = a

Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos). Ejemplo: Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática: 2x2 + 6x + 3 = 0 Se cumplen las relaciones de Viéte:

• x1 + x2 = –2

6= –3

• x1 • x2 = 2

3

Tenemos: = (6)2 – 4(2)(3)=12; entonces:

• x1 – x2 = 32

32

2

12

OBSERVACION: Propiedades auxiliares.

TEOREMA 4: (X1 + X2)2 + (X1 – X2)

2 = 2(X12 + X2

2) TEOREMA 5: (X1 + X2)

2 – (X1 – X2)2 = 4X1X2

9. FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS

RAÍCES (Teorema Recíproco de Viéte). Demostración Inductiva: Sean x1 y x2 las raíces de cierta ecuación cuadrática de incógnita x; es decir:

x = x1 ó x = x2 Por transposición de términos, se tienen:

x – x1 = 0 ó x – x2 = 0 Los cuales se obtienen a partir de:

(x – x1) (x – x2) =0 Efectuando: x2 – (x1 + x2)x +x1 x2 = 0 Llamando

a: x1 + x2 = S y: x1 • x2 = P

Se obtiene: x2 – Sx + P = 0 ....... ( )


(A esta ecuación se le denomina canónica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad). Ejemplo:

Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean 10

293 ó

10

293

Solución: Tenemos: • Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y

P por separado:

S = 5

3

10

6

10

293

10

293

P = 5

1

100

20

100

293

10

293

10

29322

Aplicando la fórmula “ ”, se tiene:

X2 - 05

1x

5

3

Que expresa con coeficientes enteros, resulta: 5x2 – 3x – 1 = 0

Ejemplo:

Construir una ecuación cuadrática que acepte como raíces a:

2

i3 ó (-1 + 2i)

Solución: Calculando S y P se tienen:

S = 2

i3+(-1+2i)=

2

i51

P = 2

i3•(-1 + 2i) =

2

i55

La ecuación formada, será:

x2 - 02

i55x

2

i51

La cual reduce a: 2x2 – (1 + 5i)x – 5 + 5i = 0

Siendo: i = 1 , la unidad imaginaria.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación:

x2 – 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:

Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x2

2 + 1) SOLUCIÓN: En la Ecuación: x2 – 3x + 1 = 0 Por propiedades: (I) x1 + x2 = 3 (II) x1 . x2 = 1


Elevando (I) al cubo

(x1+x2)3=33 x1

3+x23+3(x1 . x2)(x1+x2)=27

x13 + x2

3+3(1)(3) = 27 x1

3 + x23 = 18

En: Q = x1 (x1

2 + 1) +x2 (x22 + 1)

Q = (x13 + x1) + (x2

3 + x2) Q = (x1

3 + x23) + (x1+ x2)

Q = 18 +3 Q = 21

2. Calcular las raíces de: 33 x16x72 =2

SOLUCIÓN: Elevando al cubo:

333 x16x72 =23

72–x–16+x-3 3333 x16x72x16•x72 =8

56 - 3 3 )x16)(x72( • 2 = 8

48 = 6 3 2xx881152

Elevando al cubo: 512 = 1152 – 88x + x2 0 = x2 – 88x + 640

Luego:(x - 80) (x - 8) = 08x

80x

2

1

3. Resolver x en la ecuación:

cbax

1

c

1

ba

1

x

1

SOLUCIÓN: Transponiendo se tiene:

x

1

cbax

1

c

1

ba

1

Efectuando miembro a miembro:

)cbax(x

cbaxx

)ba(c

bac

)cbax(x

)cba(

)ba(c

cba

Simplificando:

)cbax(x

1

)ba(c

1

Entonces: x(x+a+b+c) = -c(a+b) x2 + (a+b+c)x + c(a+b)=0 Factorizando: (x+a+b)(x+c)=0 Luego:

x + a + b = 0 v x +c = 0

x1 = -a – b x2 = -c


ANEXO Nº04

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº07

I. RESOLVER CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROBLEMAS:

1. Resolver la ecuación: 2235x12x27x12x 22 . Indicando una raíz.

2. Calcular m, si las raíces de la ecuación: (m+1)x2 – 2mx + (m-3) = 0. Son iguales.

3. En la ecuación: bc

a1

b

xa

c

xa

bc

)a2x(x 2

Una de las raíces es.

4. Formar la ecuación de 2do. Grado cuyas raíces son:

m33

33x;

m33

33x 21

5. Indicar una de las raíces de x luego de resolver la ecuación: 9mx2 + 12(m+1)x + 8 = m3

6. Indicar la suma de las raíces que admite la ecuación: 2

5

x2

x6

x6

x2

7. Hallar m en: x2 + 2(m–1)x + (m-1)2 = 0 m>1 Si: 11

58

x

x

x

x

1

2

2

1 (x1 y x2 raíces

de la ecuación). 8. Siendo x1; x2 las raíces de la ecuación: x2 + 5x + 7 = 0. Determinar: E

= 32

21

22

31

xxxx

9. Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean 5 veces las raíces de la ecuación: 3x2–x+1 = 0

10. Si una de las raíces de x2 + ax + b = 0 es el cubo de la otra hallar: b[(b-1)2+4a2]

11. Determine p+1 tal que la ecuación en x, 2px2 +4px+5p=3x2+x+8 el producto de sus raíces sea igual a 2 veces su sumas.

12. Sea la ecuación ax2 – 8x + 6=0 encontrar el valor de “a” para que su

conjunto solución sea {00

3; rr }

13. Escr ib i r una ecuación de segundo grado cuyas soluc iones son: 3 y −2.

14. La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Hal la dichos números.

15. Dent ro de 11 años la edad de Pedro será la mi tad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

II. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

16. 25x2 - 1 = 0

17. x3 + 10x2 + 25x = 0

18. x3 + x2 - 6x = 0

19. x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)

20. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 21. x2 = 81 22. 14x2 - 28 = 0 23. (x + 6)(x - 6) = 13 24. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 25. (x + 11)(x - 11) = 23


26. x2 = 7x 27. 21x2 + 100 = - 5 28. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 29. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 30. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES RACIONALES

31. Desarrollar:

Solución:

2

1 x

12x 12x2x

Luego: La soluc ión es:

A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios

32. 4x

1

2x

1

2x

12

33. 6

13x1

x

3

34. Hal la un número entero sabiendo que la suma con su

inverso es 26/5.

35. 09

28

4

322

2

x

x; Solución: x1=5, x2=-5, x3= 4, x4=-4

36. 32 33

xx

x

x ; Solución: x1= i, x2= -i,

IV. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar: ax4 + bx 2 + c = 0 Para resolver ecuaciones bicuadradas , efectuamos el cambio x 2 = t , x 4 = t 2 ; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógni ta t : at 2 + bt + c = 0 Por cada valor posit ivo de t habrá dos valores de x:

Ejemplo: Solución:


Sea: Tenemos:

Entonces:

Luego:

OBSERVACIÓN: El mismo procedimiento podemos ut i l izar para resolver las ecuaciones del t ipo: ax6 + bx3 + c = 0 ax8 + bx4 + c = 0 ax1 0 + bx5 + c = 0


37. 06x7x 36

38. x4 − 10x2 + 9 = 0

39. 036x13x 34

40. x4 − 61x2 + 900 = 0 41. x4 − 25x2 + 144 = 0 42. x4 − 16x2 − 225 = 0

V. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

IRRACIONALES Para la resoluc ión de ecuaciones i r rac ionales se debe tener en cuenta lo s iguiente: 1º Se aís la un radical en uno de los dos miembros, pasando al ot ro miembro e l resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se e levan a l cuadrado los dos miembros. 3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenid as ver i f ican la ecuación inicial . Hay que tener en cuenta que a l e levar a l cuadrado una ecuación se obt iene otra que t iene las mismas soluc iones que la dada y, además las de la ecuación que se obt iene cambiando e l s igno de uno de los miembros de la ecuación. 5º Si la ecuación t iene var ios radicales, se repi ten las dos pr imeras fases del proceso hasta e l iminar los todos.

Ejemplo: Desarro l lar 1x3x2

Solución: 1º Ais lamos e l radical :


1x3x2

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

)1()32( 2 xx

1x2x3x2 2

3ºResolvemos la ecuación:

04x4x 2

Es decir :

0)2(x

4ºComprobamos:

1232.2

Luego: La ecuación t iene por soluc ión x = 2 .


43. 24xx

44. 1x3x2

45. x214x5

46. x2111x3

47. 64x1x2

48. 21311 x ; Solución: x= 2601

49. 11213 xx ; Solución: x1=1, x2= 5,

50. 4

144

x

xxx

; Solución: x= 5

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