República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder popular para la Educación

Universidad Gran Mariscal de Ayacucho

Extensión El Tigre- Estado Anzoátegui

PROBABILIDADES

MATERIA: ESTADÍSTICA

PROFESOR: HAMLET MATA MATA

PARTICIPANTE:

EL TIGRE, ANZOATEGUI

ÍNDICE

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Introducción. Simbología, uniones e intersecciones. ¿Qué son probabilidades? Métodos de medición de Probabilidad. Condiciones importantes. Axiomas y teoremas de la probabilidad. Teorema de la probabilidad. Regla de la adición. Regla de la multiplicación . Distribución binomial. Características de las probabilidades Operaciones con sucesos. Tipos de sucesos. Uso de las probabilidades. ¿Cuáles son los tipos de probabilidades? Probabilidad clásica. Probabilidad de distribución de frecuencias. Probabilidad subjetiva. Probabilidad condicional. Probabilidad compuesta. Técnicas de conteo. Principio fundamental de conteo. La técnica de la multiplicación. La técnica de la permutación. La técnica de la combinación. Diagrama de árbol. Experimento aleatorio. Conteo dependiente. Conteo independienteLe y de Bayes. La Probabilidad Bayesiana o Probabilidad Inversa: Thomas Bayes. Un Modelo Ideal para el Cálculo de la Probabilidad de Acierto de un Juicio. El Cálculo de la Probabilidad Usado Hacia Delante. La Probabilidad Hacia Atrás y el Teorema de Bayes. La Probabilidad Bayesiana y el Método Científico. Probabilidad Bayesiana, Adivinación y Exageración en la Literatura y en la Ciencia Ficción. Conclusión. Cibergrafía.

INTRODUCCIÓN

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En el presente trabajo se desarrollan algunos conceptos básicos de la teoría de la probabilidad haciendo énfasis en la intuición, los aspectos históricos y procurando que las ideas y notaciones utilizadas parezcan más simples y naturales, en contraste con la forma en que tradicionalmente se presentan en los libros de texto usuales.

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodológicas que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos

La teoría matemática de la probabilidad fue iniciada hace aproximadamente tres siglos, estando en ese entonces relacionada únicamente con los juegos de azar. Posteriormente, el cálculo de probabilidades ha encontrado aplicaciones en una amplia variedad de campos.

J. J. Bernoulli fue el primero en estudiar este tema. Al observar los resultados del lanzamiento de una moneda un número grande de veces, notó que el número de águilas y soles tendía a igualarse. Es decir, que la frecuencia de obtener caras se acercaba más al número de soles, cuanto mayor era el número de lanzamientos. Otro tanto le ocurría en el lanzamiento de dados. Repitió una y otra vez este tipo de experimentos con monedas, dados y cartas, y siempre llegaba a la misma conclusión. Imaginó haber encontrado un fenómeno más general y así dio comienzo la teoría de probabilidades. 

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La teoría clásica de la probabilidad fue completada por el matemático Laplace con su "Teoría Analítica de Probabilidades" introduciendo el principio de equiprobabilidad. Laplace, eminente matemático francés de la última mitad del siglo XVIII y principios del XIX, describía la teoría de la probabilidad como “el sentido común reducido al cálculo”. 

Simbología, uniones e intersecciones.

A, B, C…=conjuntos. a ,b ,c…=elementos de conjuntos U=unión de conjuntos n=intersección de conjuntos A"= complemento de un conjunto / =dado que \ diferencia <>=diferente de ( )=Conjunto nulo o vacio R= conjunto de los números reales N= conjunto de los números naturales C= conjunto de los números complejos n!= factorial de un numero entero positivo Q= conjunto de los números fraccionarios I= conjunto de los números irracionales c= subconjuntos { }= llaves. Conjuntos vacíos

1. ¿Qué son probabilidades?

Las probabilidades son una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o

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experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

El objetivo de la probabilidad es medir la certidumbre (o incertidumbre) de que ocurran determinados sucesos.

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

Métodos de medición de Probabilidad

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

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Ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).

Por lo tanto:

 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis.

Por lo tanto:

  (o lo que es lo mismo, 50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (f) (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles.

Por lo tanto:

 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

d) Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotería en la que juegan 100.000 números nos: tan sólo un caso favorable (f), el número que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles (n).

Por lo tanto:

 (o lo que es lo mismo, 0,001%)

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d) Probabilidad al lanzar una moneda, con un águila en una cara y un sol en la otra. Hay dos casos posibles (n) de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo un caso favorable (f) de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda).

Por lo tanto:

(o, lo que es lo mismo, 50 %)

Existe una probabilidad del 50% de obtener un águila al tirar una moneda.

e) Probabilidad de elegir tal o cual fruta. Si en una canasta hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles (n). Para calcular la probabilidad de sacar una manzana los casos favorables (f) son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas.

Por lo tanto:

 (o, lo que es lo mismo, 33,3 %)

   (o, lo que es lo mismo, 66,7 %)

Fíjate bien que 33,3% + 66,7% es igual al 100% porque siempre que saquemos algo de la canasta es seguro que será una fruta.

Condiciones importantes

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

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a) El número de resultados posibles (sucesos o eventos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables dividido por casos posibles" el cociente siempre sería cero.

b) Todos los sucesos o eventos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla.

A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades.

Cuando se realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.

Ejemplo:

Si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%.

Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista.

Axiomas y teoremas de la probabilidad

AXIOMAS

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 1) a probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

 0 £ p(A) ³ 1

2) a probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

p d) = 1

 3) i A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B) Generalizando:

 Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

 p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

  p(f)=0 DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

 TEOREMA 2.

La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestrald, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .

TEOREMA 3.

Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:

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Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B).

 TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

 DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).

 TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN: Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).

Teoría de la probabilidad

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de pcae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q:

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Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

Distribución binomial

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.

2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.

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3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.

Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es: P (x = m) = nCm Pm(1−P)n−m Siendo nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un con junto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = n!/{m!(n−m)!} p^m (1−p)^{n−m}

Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Calculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos? P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 10!/{10!(15−10)!}(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x =m− 1) P(x > m) = P(x =m+ 1) + P(x =m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x =n) P(x < m) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x =m) P(x > m) = P(x = m) + P(x =m+1) + P(x =m+2) +....+ P(x =n)

Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben: a.− al menos 5 b.− mas de 12 a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es P(x < 5) es decir que P(x < 5) = P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)+P(x = 5) P(x < 5) = 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156 + 0,045 = 0,8958 b.− la probabilidad de que aprueben mas de 12 es P(x > 12) es decir que P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15) P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9 La esperanza matemática en una distribución binomial puede

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expresarse como E(x) = ðnp Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente: Var(x) = np(1−p)

2. Características de las probabilidades.

Las características de la probabilidad son:

La probabilidad de un suceso es mayor o igual que cero. La probabilidad del suceso seguro es uno. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de sus probabilidades.

Y sus propiedades, deducidas a raíz de las características son:

La probabilidad del suceso imposible es 0. La probabilidad de un suceso sumada a la de su contrario da 1. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste. La probabilidad de un suceso es un número real menor o igual que 1. La probabilidad de la unión de varios sucesos incompatibles dos a dos es la suma de sus probabilidades. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

Para comprender las propiedades de la probabilidad, debemos establecer algunos conceptos previamente:

Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio.

Suceso: subconjunto del espacio muestral. Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos entre llaves y separados por comas.

Operaciones con sucesos:

Unión: la unión de dos sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos.

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Intersección: es el suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.

Tipos de sucesos:

Suceso Seguro: se tiene la certeza de que se producirá porque contiene todos los resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio muestral).

Suceso Imposible: se tiene la certeza de que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el conjunto vacío).

Suceso Contrario de A: es el que ocurre cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio muestral (A).

Suceso Elemental: es el que tiene un solo resultado, es un conjunto unitario.

Sucesos incompatibles: la intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden los dos sucesos darse al mismo tiempo.

Sucesos Compatibles: la intersección de dos sucesos contiene algún elemento.

3. Uso de las probabilidades.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de

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materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.

Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que producen un efecto dominó en la economía en conjunto.

Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesariamente muy racionales. La teoría de las finanzas surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se calculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y

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la electrónica de consumo, utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de avería. La probabilidad de avería también está estrechamente relacionada con la garantía del producto.

La mayoría de las investigaciones biomédicas utilizan muestras de probabilidad, es decir, aquellas que el investigador pueda especificar la probabilidad de cualquier elemento en la población que investiga. Las muestras de probabilidad permiten usar estadísticas inferenciales, aquellas que permiten hacer inferencias a partir de datos. Por otra parte, las muestras no probabilísticas solo permiten usarse estadísticas descriptivas, aquellas que solo permiten describir, organizar y resumir datos. Se utilizan cuatro tipos de muestras probabilísticas: muestras aleatorias simples, muestras aleatorias estratificadas, muestra por conglomerados y muestras sistemáticas.

4. ¿Cuáles son los tipos de probabilidades? Ejemplos.

Probabilidad clásica: Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

P(A) =  __ x __ (x+z)El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

Ejemplo: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:P(A) = ____9____= 0.375 o 37.5%

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9+15

Probabilidad distribución de frecuencias: También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un número de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

Ejemplo: Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?P(A) = ___9___ = 0.18 o 18%50

Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

Probabilidad subjetiva: la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad es un juicio personal.

El valor de la probabilidad: El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento

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ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

0 <   P(A) < 1

P(A) + P(A´) = 1

Probabilidad condicional:

Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

P (A /B )= P ( A∩B )P (B ) , si B≠0

Ejemplo: Si el evento A (lluvia) = .2 y el evento B (nublado) = .3 , cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

P (A /B )= P ( A∩B )P (B ) =

. 2

. 3=. 67

Probabilidad Compuesta

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.

En la composición existen dos posibilidades: Unión ¿ o Intersección¿ .

Unión de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B ( A ∪ B ) contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

Intersección de A y B

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Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B ( A ∩ B ) está compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

5. Técnicas de conteo. Ejemplos.

Principio fundamental de conteo:

Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol. Éstas nos proporcionan la información de  todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la permutación, y la técnica de la combinación.

La Técnica de la Multiplicación

La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas

En términos de fórmula

Número total de arreglos = m x n

Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:

Número total de arreglos = m x n x o

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Ejemplo:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin).

Número total de arreglos = 3 x 2

La Técnica de la Permutación

La técnica de la permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos.

Ejemplo:

Analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?

Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las siguientes:

T D C D T C C D T

T C D D C T C T D

Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles

La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:

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n P r = n!

(n – r )!

Donde:

nPr es el número de permutaciones posible

n es el número total de objetos

r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6

(n – r )! ( 3 – 3 )! 1

Ejemplo:

Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?

n P r = n! = 8! = 8! = 336

(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!

En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora. Si en los arreglos se permite la repetición, la fórmula de permutaciones es la siguiente:

n Pr = nr

Para ilustrar el punto, queremos saber ¿cuántas series de 2 letras se pueden formar con las letras A, B, C, si se permite la repetición? Las permutaciones son las siguientes:

AA, AB, AC, BA, CA, BB, BC, CB, CC

Usando la fórmula:

n Pr = nr = 3P2 = 32 = 9

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La Técnica de la Combinación

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

n C r = n!

r! (n – r )!

Ejemplo:

En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

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n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )! 3! ( 7 – 3 )! 3! 4!

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:

1.- Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de dos puertas, y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrece el vendedor?

2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.

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6. Experimento aleatorio. Ejemplos.

Un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iníciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. 

Experimento aleatorio es aquel cuyo resultado es incierto en el marco de distintas posibilidades y se puede repetir un número de veces arbitrario, manteniendo las mismas condiciones exteriores que caracterizan a dicho experimento.

El Lanzamiento de una moneda E1 La tirada de un dado E2 La tirada un dardo La extracción al azar de una muestra de N objetos de una población Toda medición Longitud Un ángulo Un tiempo Una magnitud física

En un experimento aleatorio existen influencias que no son consideradas en su descripción, es decir, en la enumeración de la condiciones que lo caracterizan y que conducen a que el resultado de este sea incierto en el marco de distintas posibilidades.

Los experimentos aleatorios pueden repetirse un número de veces arbitrario. Esta condición permite el estudio de aquellas regularidades, que solo pueden reconocerse mediante un número elevado de repeticiones del experimento aleatorio correspondiente.

El estudio de las regularidades que se presentan en los fenómenos aleatorios es el objetivo principal de la Teoría de probabilidades.

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Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

* Es posible conocer previamente todos los posibles resultados (espacio muestral) asociados al experimento.

* Es imposible predecir el resultado del mismo antes de realizarlo.

* Es posible repetirlo bajo las mismas condiciones iníciales un número ilimitado de veces.

Ejemplo:

Estudiamos el experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de un dado, y consideramos los sucesos A ="que salga par"= {2, 4, 6}, B ="que sea múltiplo de tres"= {3, 6}.

El suceso "que salga par y múltiplo de tres" se puede expresar como A ∩

B = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6}. De la misma manera, el suceso "que salga par o múltiplo de tres" se puede expresar como A∪B = {2, 4, 6} ∪{3, 6} = {2, 3, 4, 6}.

7. Conteo dependiente. Ejemplos.

Es cuando la probabilidad de un evento puede ser afectada por la ocurrencia de otro.

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Sean A y B dos eventos estadísticamente dependientes, entonces, la probabilidad condicional de A dado B, denotado por P(A / B), es la

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probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió(A / B) = P(A ∩B) P(B)P(A/B) = probabilidad de que ocurra el evento A, dado que el evento B ya ocurrió(A∩B) = probabilidad de que ocurra A y BP(B) = probabilidad de que ocurra el primer evento B.

La probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurrió el evento B (el evento A depende del evento B), denotado P(A|B), es:

Hay que notar que esta propiedad no es conmutativa, situación que sí ocurre con la probabilidad de unión o la intersección de eventos, por lo que no hay que confundir P(A|B) y P(B|A).

Ejemplos:

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

8. Conteo independiente. Ejemplos.

Se define como la probabilidad de que dos o más eventos se presenten juntos o en sucesión, es decir la P(A y B) La probabilidad de que dos o más eventos independiente se presenten juntos o en sucesión es el producto de sus probabilidades marginales (A∩B) = P(A) P(B)

Sean A y B dos eventos independientes, entonces, la probabilidad de que suceda A dado que se sabe que el evento B ocurrió, se denomina probabilidad condicional de A dado B, denotada por P (A/B).P(A/B) = P(A)

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Al lazar dos dados los resultados son independientes. Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Si A y B son independientes, entonces

P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A) [3.4]

De la definición de probabilidad condicional se derivó la ecuación [3.5]

 [3.5]

Sustituyendo [3.4] en [3.5] se tiene:

Por otra parte, si  , entonces

y 

De donde A es independiente de B y B es independiente de A.

Ejemplo: En una escuela el 20% de los alumnos tiene problemas visuales, el 8% tiene problemas auditivos y el 4% tienen tanto problemas visuales como auditivos, Sean: V los que tienen problemas visuales y VC los que no lo tienen. A los que tienen problemas auditivos y AC los que no los tienen.

a. ¿Son los dos eventos de tener problemas visuales y auditivos, eventos independientes?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño tenga problemas auditivos si sabemos que tiene problemas visuales?

c. Complete la siguiente tabla

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d.

V VC Total

A 0.04 0.08

AC

Total 0.20 1.00

e. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño no tenga problemas auditivos si tiene problemas visuales?

Solución:

a. P(V)P(A) = (0.2)(0.08) = 0.016 y P(VÇ A) = 0.04. Como P(VÇ A) ¹ P(V)P(A), se concluye que V y A no son independientes.

b.

c. Por diferencias podemos completar la tabla, ya que P(VC) = 1 – 0.20 = 0.80 y P(AC) = 1 – 0.08 = 0.92, por lo tanto:

d.

V VC Total

A 0.04 0.04 0.08

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AC 0.16 0.76 0.92

Total 0.20 0.80 1.00

e.

  

9. Ley de Bayes.

La Probabilidad Bayesiana O Probabilidad Inversa: Thomas Bayes.

Un Modelo Ideal para el Cálculo de la Probabilidad de Acierto de un Juicio:

Nuevamente en la Inglaterra del siglo XVIII, se observa que un ministro presbiteriano, quien además era matemático y un amplio conocedor de la lógica aristotélica, miembro distinguido de la Royal Society de Londres, llamado Thomas Bayes (1702−1761), analizó la manera de aplicar la probabilidad no como un patrón de medida ideal para determinar la frecuencia de ocurrencia posible de un evento aleatorio, sino como un procedimiento para calcular el grado de acierto de un juicio, de una afirmación o de una creencia subjetiva referentes a la realidad y que se sustentan sobre una información cuantificable previamente conocida.

En efecto, en la época de Bayes lo más común era que con fundamento en el modelo ideal de la probabilidad frecuentista se plantearan problemas del tipo: «si tenemos un número X de balotas negras y un número Y de balotas blancas colocadas en una urna, ¿Cuál es la

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probabilidad de extraer de la urna una balota blanca?» En este tipo de problema la probabilidad siempre se calcula «hacia delante», partiendo desde las causas conocidas (el número exacto de balotas blancas y negras colocadas en la urna) hacia la probabilidad de ocurrencia del efecto aleatorio o incierto buscado (extraer una sola balota blanca).

Pero Bayes comenzó a analizar otro tipo de complejos problemas como el siguiente: «conociendo que quedan 5 balotas en una urna que es impenetrable a nuestra vista, ¿Cuál es la probabilidad de adivinar la exacta proporción existente en esa urna entre las balotas blancas y las balotas negras que aún quedan en su interior, teniendo en cuenta que de esa urna ante nuestros ojos ya han sido extraídas previamente 3 balotas blancas y 5 balotas negras?» En este tipo de problema la probabilidad se calcula «hacia atrás», partiendo desde los efectos conocidos (la extracción de 3 balotas blancas y 5 balotas negras) hacia la probabilidad de acertarle a la exacta distribución que tienen las balotas desconocidas que aún quedan en la urna y que representan la causa incierta o aleatoria estudiada (¿cuántas balotas de la urna son blancas y cuántas son negras?).

Este último tipo de problemas se resuelve mediante lo que actualmente se conoce como la «Probabilidad Inversa», la cual no busca determinar la posible frecuencia de ocurrencia objetiva de un evento, sino que busca valorar el grado de certeza de una creencia subjetiva referente a la forma como se comporta la realidad circundante.

Bayes en una obra titulada Essay towards solving a problem in the doctrine of chances, publicada póstumamente en 1764, concluyó que el ser humano en la mayoría de los casos sólo puede conocer fenómenos o efectos ya ocurridos en la Naturaleza, y sobre esa información es que se sustentan los juicios y las creencias que el ser humano usa para adecuar pragmáticamente su actuación a su entorno, y por lo tanto una forma de saber si esos juicios y esas creencias humanas son acertadas o erróneas

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a la luz de las matemáticas es aplicar el cálculo de la probabilidad «hacia atrás», para conocer así la exacta conformación de la causa que generó los efectos observados, conocimiento que permite validar o descartar matemáticamente el grado de acierto atribuido al juicio o la creencia que el ser humano se ha formado sobre la realidad con base en unos cuantos efectos observados. En otras palabras, mientras la probabilidad frecuentista de Pascal, Fermat y Bernoulli se basa en el «método deductivo», porque siempre el observador por anticipado conoce la «regla general» que rige la conformación o la estructura interna de una causa cierta (por ejemplo, conoce el número de lados de un dado, el número exacto de balotas colocadas en una urna, el número exacto de cartas en un mazo, etc.) y a partir de ese conocimiento previo calcula las probabilidades de ocurrencia de los posibles efectos aleatorios entendidos como «casos particulares» generados por la causa ya conocida, en contraste la probabilidad inversa se basa en el «método inductivo», porque siempre en estos últimos problemas el observador conoce únicamente unos «casos particulares» ya ocurridos como efectos aleatorios, y a partir de estos casos particulares calcula la probabilidad de que la causa que los generó se rija por una determinada «regla general» en su conformación que es inferida por la mente humana y valorada matemáticamente.

Como al aplicar la probabilidad inversa generalmente sólo se conocen con exactitud algunos de los casos particulares ocurridos, pero no se llega a conocer del todo la conformación exacta de la causa que los generó, entonces el resultado obtenido al aplicar este cálculo siempre es similar a una «creencia subjetiva» o a una «hipótesis provisional» sobre la forma como transcurre el orden natural; creencia o hipótesis que siempre está sujeta a verificación o modificación permanente a medida que se tiene conocimiento de la ocurrencia de más casos particulares generados por la desconocida causa que la mente humana intenta explicar.

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Bayes en su obra propuso una fórmula para aplicar la probabilidad inversa, conocida como el «Teorema de Bayes», la cual en últimas es una fórmula de inferencia matemática que se basa en la relación binomial entre unos valores a favor y unos valores en contra de la ocurrencia de un determinado evento, valores que son operados dentro de una «Probabilidad Condicional» y una «Probabilidad Marginal», de tal forma que al final se llega a un valor que indica el grado de certeza atribuible a la creencia de que el fenómeno A está conformado de cierto modo dada la presencia del fenómeno aleatorio B que ha sido observado.

En su tiempo Thomas Bayes tal vez no fue consciente de los grandes alcances de su teoría, pero con posterioridad se ha estudiado la utilidad de la probabilidad inversa en el avance del conocimiento humano, pues se ha concluido que el moderno «método científico experimental», basado en el ensayo y el error, en últimas es una forma de proponer hipótesis provisionales o creencias subjetivas sobre la forma como transcurre el orden natural con fundamento en la observación de unos cuantos casos aleatorios, imágenes mentales que tienen determinada probabilidad de ser válidas, lo cual se puede calcular mediante los procedimientos propios de la probabilidad inversa o probabilidad bayesiana. De otro lado, la probabilidad inversa y la forma de realizar inferencias acertadas mediante los procedimientos propuestos por Bayes también están vinculados a lo que actualmente se conoce como la «Ingeniería Inversa», es decir, la posibilidad de descubrir mediante el cálculo y la probabilidad cómo es que funciona un mecanismo o un sistema complejo del cual sólo se conocen los resultados particulares que finalmente produce, tema íntimamente vinculado al campo de la tecnología y la informática.

El Cálculo de la Probabilidad Usado Hacia Delante:

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En la época de Thomas Bayes todos los nuevos investigadores valoraban bastante el poder de la «Razón» para descubrir hasta los últimos secretos del universo determinista esbozado por Newton. Si la Razón debía prevalecer sobre las caóticas percepciones que a menudo son captadas por los cinco sentidos y que a veces engañan al intelecto humano, entonces era fundamental fortalecer los juicios mentales mediante los cuales el ser humano va indagando y descubriendo las leyes y causas de la realidad circundante. Bayes lo sabía muy bien, y por eso trató de vincular la exactitud de las matemáticas a las dos formas fundamentales de juicio que el ser humano se puede formar en su mente sobre la realidad según lo planteado en la filosofía de Aristóteles: el juicio deductivo y el juicio inductivo.

Ciertamente, cuando alguien ya conoce la regla general que rige a un determinado fenómeno, entonces a partir de esa regla fácilmente puede deducir cuáles casos particulares son causados por esa regla y cuáles no. Pero el camino se hace más difícil cuando sólo se conocen una serie de casos particulares dispersos y aislados entre sí, respecto de los cuales aún es necesario descubrir el nexo o la causa común que los entrelaza, para así poder llegar inductivamente a la regla general que los rige. Por ejemplo, cuando Aristóteles en su historia de los animales señaló que un animal rumiante es aquel que «come hierba, carece de incisivos superiores y tiene cuatro estómagos», estaba formulando una regla general a partir de la cual mediante juicios deductivos puede establecer cuándo un determinado animal observado en la Naturaleza pertenece a  la categoría de los rumiantes por reunir esas características mencionadas. Pero antes de que Aristóteles tuviera en su mente esta regla general para identificar a los animales rumiantes, lo único que poseía era un cúmulo de observaciones sobre una serie de animales individuales (cabras, bueyes, vacas, camellos, etc.) que en su forma y apariencia parecen diferentes, y por tanto no hay duda de que el estagirita a partir de estas observaciones primero necesitó realizar una

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serie de juicios inductivos para lograr encontrar el nexo o la causa común que une a todas esas especies distintas, llegando así a la regla general que permite clasificarlos a todos ellos dentro de la categoría de rumiantes.

En el mundo ideal de las matemáticas también ocurren los dos tipos de juicios, pues existen diferentes leyes, teoremas, operaciones y ecuaciones que actúan como reglas generales a partir de las cuales es posible «deducir» unos resultados específicos, y del mismo modo existen teoremas, operaciones y ecuaciones que permiten analizar diferentes resultados que parecen dispersos hasta que de forma «inductiva» se encuentra el nexo común que los entrelaza. Bayes descubrió que lo mismo estaba ocurriendo con el naciente campo de la Teoría de la Probabilidad.

El modelo de la Teoría de la Probabilidad que fue desarrollado mediante los aportes de Cardano, Fermat, Pascal, Huygens o Bernoulli, generalmente funciona de forma «deductiva», porque los problemas a los que es aplicable ese modelo de la probabilidad generalmente se basan en suministrar en primer lugar la «regla general» que rige el posible comportamiento de los resultados aleatorios. Por ejemplo, como se observa en la anterior gráfica, si hay una urna y se afirma que en su interior contiene 7 balotas negras y 5 balotas blancas, esa simple información matemática actúa como una «regla general» que permite realizar varios juicios deductivos sobre los posibles resultados particulares que se pueden esperar que ocurran si las referidas balotas son extraídas aleatoriamente de la urna. Así, el analista ya sabe que en la urna hay un total de 12 balotas que por igual pueden ser extraídas porque son equiprobables, y sabe que la probabilidad de que en primer lugar sea extraída una balota blanca es de 5/12, mientras que la probabilidad de que en primer lugar sea extraída una balota negra es de 7/12. Si un jugador acepta una apuesta y para ganarla necesita que se

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extraigan de la referida urna 2 balotas blancas, sin que la primera balota extraída sea reintegrada a la urna, entonces como él ya conoce cuál es la distribución exacta entre las balotas blancas y las negras, puede calcular cuáles son sus probabilidades para ganar o perder. Así, en la extracción consecutiva y aleatoria de 2 balotas pueden ocurrir las siguientes cuatro combinaciones posibles entre los colores contrarios: Blanca−Blanca, Negra−Negra, Blanca−Negra, Negra−Blanca (que son resultantes de la sumatoria de las combinaciones: 2C0+2C1+2C2 = 1+2+1 = 4 según el Triángulo de Pascal).

Ahora las probabilidades de ocurrencia de cada una de esas cuatro combinaciones de colores se calculan teniendo en cuenta que siempre hay que restar de la urna la balota del color que previamente ha sido sacada antes de que se extraiga la segunda balota, es decir, se debe tener en cuenta que en este caso la probabilidad está «condicionada» porque la extracción de la primera balota modifica las probabilidades futuras de aparición de las balotas blancas y negras para la segunda extracción: por ejemplo, si en el primer intento se extrajera una balota negra, entonces para la segunda extracción se alteran todas las probabilidades, porque ahora el número de balotas en la urna se ha reducido a 11, y las probabilidades de que sea extraída una balota blanca son de 5/11 mientras que las probabilidades de que sea extraída una balota negra son de 6/11. De este modo, las probabilidades de triunfo del jugador son las siguientes, teniendo en cuenta las combinaciones que se pueden dar entre los colores de las balotas al ser extraídas aleatoriamente durante 2 ocasiones consecutivas.

En conclusión, en este caso el cálculo de la probabilidad funciona deductivamente «hacia delante», y así, a partir de conocer la proporción existente entre las balotas blancas y negras que hay en la urna, se obtiene el número de posibles combinaciones que pueden ocurrir entre esos dos colores cuando dos balotas son extraídas consecutivamente de

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forma aleatoria sin reemplazo, y por tanto se deduce que el jugador sólo tiene un 15,15% de probabilidades para lograr la combinación Blanca−Blanca que es la única que lo favorece, mientras que en su contra hay un 84,85% de probabilidades para que aparezcan otras combinaciones que no le favorecen (Negra−Negra, Blanca−Negra, Negra−Blanca).

Este es un claro ejemplo de cómo conociendo la «regla» que rige la cantidad de balotas existentes en la urna y la proporción entre las blancas y las negras, se puede calcular deductivamente la probabilidad de que ocurran ciertos resultados particulares que son «efectos» condicionados por dicha regla.

La Probabilidad Hacia Atrás y el Teorema de Bayes:

Bayes se interesó por otro tipo de problemas en los cuales la probabilidad debe operar de forma «inductiva», es decir, debe operar hacia atrás, porque son casos en los que el analista sólo conoce la ocurrencia de unos cuantos datos, hechos o resultados aleatorios aislados («efectos» o «hechos observables»), pero desconoce con total exactitud la regla general («causa») que los entrelaza y condiciona, por lo cual debe limitarse a formular simples hipótesis sobre la causa más probable.

En este tipo de casos el analista debe operar «inductivamente», y a partir de unos datos o hechos conocidos debe elaborar hipótesis que pretenden acertarle a la causa o las causas que los generaron. Ante este tipo de problemas de «probabilidad inversa» o «probabilidad inductiva», Bayes decidió proponer una fórmula general que permite valorar la probabilidad de que una hipótesis sea la causa válida para la observación de un resultado particular presuntamente generado bajo la influencia de esa causa: 

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P(H\D) =P(D\H) × P(H)

P(D)

Esta fórmula general tiene la siguiente explicación: a−) La expresión H representa una «Hipótesis», y la expresión D representa un «Dato» o hecho analizado; b−) La expresión P(H) representa la denominada «Probabilidad Previa» (Prior Probability) de H, es decir, la probabilidad de que la hipótesis H sea correcta aún antes de que se observe la ocurrencia del dato D analizado; c−) La expresión P(D\H), en la que el operador «back−slash» ( \ ) separa los términos, representa la denominada «Probabilidad Condicional» existente para que sea observado el dato D dado que la hipótesis H es correcta; d−) La expresión P(D) es la «Probabilidad Marginal» de que el dato D pueda ocurrir independientemente de que la hipótesis H sea correcta o incorrecta; y, e−) La expresión P(H\D) representa la denominada «Probabilidad Posterior», es decir, la probabilidad de que la hipótesis H sea correcta dada la ocurrencia del dato D a partir de la información disponible.

En el caso del cálculo de P(D), es decir, la «Probabilidad Marginal» de que el dato D pueda ocurrir independientemente de que la hipótesis H sea correcta o incorrecta, es necesario tener en cuenta el valor de todas las posibles hipótesis H que también podrían ser el origen del dato D, y por eso Bayes concluyó que cuando para explicar la ocurrencia de un hecho o el origen de un dato observado hay varias hipótesis posibles H1, H2, H3, …, etc., entonces esta Probabilidad Marginal se calcula teniendo en cuenta el valor de la Probabilidad Condicional P(D\H) del dato D, el cual debe ser multiplicado por el valor de la Probabilidad Previa P(H) de cada posible hipótesis H que pueda ser el origen del dato D analizado, y los productos así obtenidos se integran en una sumatoria, todo lo cual se resume en la siguiente fórmula:

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P(D) = P(D\H1) × P(H1) + P(D\H2) × P(H2) + … + P(D\Hn) × P(Hn)

Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la información que tenemos de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe mediante el “teorema de probabilidad total” el cual es:

P( Z )=[P (A )×P (Z /A )]+ [P (B )×P (Z /B ) ]

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

P (A /Z )= P ( A )×P (Z /A )[P (A )×P (Z /A )]+ [P (B )×P (Z /B ) ]

Ejemplo

Hay un colegio cuyo número de estudiantes está formado en un 60% por niños y en un 40% por niñas. A la hora del deporte las niñas del colegio en igual número se visten unas con falda y otras con pantalón corto deportivo. Todos los niños del colegio visten pantalón corto para deportes. Un observador a la distancia ve que a la puerta del colegio se asoma fugazmente una pequeña silueta oscura de alguien que viste con pantalón corto (D), pero no alcanza a distinguir muy bien si se trata de una niña o de un niño de los que allí estudian. El observador puede por igual lanzar la hipótesis de que la silueta con pantalón corto (D) que vio es la de una niña (H1) o la de un niño (H2). Aplicando el Teorema de Bayes puede obtener más seguridad matemática sobre la posible validez de cualquiera de las dos hipótesis. Así, supongamos que primero se plantea que la silueta con pantalón corto observada (D) fue la de una niña (H1), ¿Cuál es su probabilidad de validez? En este caso el evento D es una silueta que viste pantalón corto deportivo, mientras que la

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hipótesis H1 es suponer que corresponde a una niña y la hipótesis H2 es suponer que corresponde a un niño. Primero se clarifican los siguientes valores:

a−) El valor P(H1), es decir, la Probabilidad Previa de que la hipótesis H1 (es una niña) sea cierta aún antes de que se observe la silueta D, se calcula asumiendo que como el evento observado es aleatorio, entonces por igual la silueta puede corresponder a una niña (H1) o a un niño(H2), y como el porcentaje entre niños y niñas del colegio es de 60% a 40%, entonces se concluye que la Probabilidad Previa para que la silueta de una niña se asome a la puerta del colegio es de 40/100 = 0,4;

b−) El valor P(H2), es decir, la Probabilidad Previa de que sea cierta la hipótesis H2 (es un niño) aún antes de la observación de la silueta D, se calcula teniendo en cuenta también lo afirmado en el punto anterior, y por tanto, teniendo en cuenta el porcentaje de niños del colegio, su valor es de 60/100 = 0,6;

c−) El valor P(D\H1), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta que usaba pantalón corto sea de una niña (H1) partiendo del supuesto que es cierta esa hipótesis, se calcula teniendo en cuenta que las niñas del colegio en igual número visten con pantalón corto deportivo o con falda, y por tanto eso equivale a que si todas las niñas del colegio son tomadas como una unidad (1), entonces la mitad de esa unidad usa pantalón corto (1/2) y la otra mitad usa falda (1/2), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta D sea H1 es de 1/2 = 0,5;

d−) El valor P(D\H2), es decir, la Probabilidad Condicional de que la silueta que usaba pantalón corto sea de un niño (H2) partiendo del supuesto que es cierta esa hipótesis, se calcula teniendo en cuenta que todos los niños del colegio usan pantalón corto, por lo tanto, si todos los niños son tomados como una unidad (1), entonces la Probabilidad Condicional de que la silueta D sea H2 es de 1; 

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e−) El valor P(D), es decir, la Probabilidad Marginal de que el hecho D (la observación de la silueta con pantalón corto) pueda ocurrir aleatoriamente bajo todas las hipótesis posibles (H1 o H2), se calcula como:

P(D) = P(D\H1)×P(H1) + P(D\H2)×P(H2) = (0,5×0,4)+(1×0,6) = 0,2+0,6 = 0,8.

Con toda esta información se puede aplicar la fórmula de Bayes, teniendo en cuenta que la hipótesis analizada es H1 (es la silueta de una niña), y al sustituir los términos se obtiene:

P(H1\D) =P(D\H1) × P(H1)

=0,5 × 0,4

=0,2

= 0,25P(D) 0,8 0,8

Es decir, existe una probabilidad del 0,25 o del 25% (porque: 0,25×100 = 25%) para creer que la silueta que usaba pantalón corto deportivo era de una niña. Si ahora aplicamos la misma fórmula de Bayes pero teniendo en cuenta los valores obtenido para la hipótesis H2 (es la silueta de un niño), al sustituir los términos se obtiene:

P(H2\D) =P(D\H2) × P(H2)

=1 × 0,6

=0,6

= 0,75P(D) 0,8 0,8

Es decir, existe una probabilidad el 0,75 o del 75% (porque: 0,75×100 = 75%) para creer que la silueta que usaba pantalón corto era de un niño. A la luz de las matemáticas es más acertado creer que la silueta observada correspondió a un niño que a una niña, ya que las probabilidades a favor de esa hipótesis son mayores: 75% > 25%.

Por supuesto, esta es sólo la creencia subjetiva en una hipótesis que ha sido fundamentada mediante las matemáticas, la cual podría ser corroborada o descartada si se obtienen nuevos o más datos sobre el asunto: por ejemplo, si al terminar clases aparecen unos estudiantes del colegio portando un pequeño maniquí que viste pantalón corto, el

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observador podría especular como nueva hipótesis que la silueta vista en la puerta del colegio también podría corresponder a ese maniquí y no a un niño o una niña; o si luego una niña del colegio se acerca al observador y afirma que ella estuvo asomada en la puerta durante la hora en que él realizó la observación, entonces con base en esta nueva información él puede descartar la validez dada a la hipótesis de que la silueta era de un niño, etc.

La Probabilidad Bayesiana y el Método Científico:

La Probabilidad Frecuentista trabaja «hacia delante», partiendo de la causa conocida hacia los efectos posibles, y se caracteriza porque es aplicable a fenómenos aleatorios que se pueden ensayar una y otra vez para ir registrando los resultados obtenidos, resultados que luego son analizados en términos de tendencias, frecuencias, periodicidades, regresiones, etc. La probabilidad inversa de Bayes, o Probabilidad Bayesiana, siempre trabaja «hacia atrás», partiendo de los efectos analizados hacia las posibles causas que los expliquen, y se caracteriza porque generalmente no se basa en fenómenos aleatorios que el experimentador pueda ensayar una y otra vez. 

Algunos estudiosos del tema afirman que la Probabilidad Bayesiana surgió inicialmente como un procedimiento de «resultados subjetivos», consistente en calcular el valor matemático atribuible a una inferencia inductiva, la cual se basa en suponer que el hecho D analizado tiene origen en la hipótesis H. Cuando se le da un valor a esa inferencia, sólo queda captar más o nueva información sobre el hecho D analizado, la cual permite confirmar o descartar la creencia de que su causa es la hipótesis H propuesta, es decir, el único resultado que se obtiene es «mental» o «subjetivo», y consiste en fortalecer matemáticamente la convicción sobre la certeza de la hipótesis propuesta para explicar el fenómeno analizado.

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Por eso, mientras en la Probabilidad Frecuentista es necesario que los fenómenos aleatorios se den en la realidad, o que se repitan una y otra vez los ensayos, o que un fenómeno condicione aleatoriamente la probabilidad de aparición de otro, en el caso de la Probabilidad Bayesiana no sería necesario todo lo anterior, simplemente porque la relación entre el fenómeno D analizado y la hipótesis H que lo explica no es una vinculación física, mecánica, espacial ni temporal, sino que es una vinculación «lógica» o «matemática», es decir, ocurre entre valores, opiniones, juicios e inferencias sobre la realidad, o lo que es lo mismo, la Probabilidad Bayesiana sólo serviría para revisar el valor matemático que el ser humano le atribuye a sus propias creencias subjetivas usadas por su inteligencia proactiva para tratar de explicar la realidad y así aprender a convalidar o descartar esas creencias a medida que se amplían los horizontes de su conocimiento siempre limitado. El ser humano al usar la Probabilidad Bayesiana se conformaría con saber que algunas de sus creencias a la luz de las matemáticas son más probables que otras que son usadas para dar una posible explicación de la realidad, sin que luego sea necesario realizar una minuciosa comprobación objetiva de la realidad circundante hasta verificar si efectivamente estaba o no en lo cierto, tal y como ocurre en los ejemplos antes mencionados, en los que el observador se conformaría con creer que el billete de $100 procede de la 2ª urna y no de la 1ª, o que la silueta que vio fue la de un niño y no la de una niña, sin que sea necesario estudiar a fondo la realidad del asunto para encontrar otras pruebas que confirmen o descarten esas creencias.

En cambio, hay otros estudiosos del tema que afirman que la Probabilidad Bayesiana sí sirve para producir «resultados objetivos», resultados externos a la mente humana en el mundo circundante, ya que cuando en repetidas ocasiones se confirma que una hipótesis H es la causa más probable de un hecho D, entonces esa hipótesis eventualmente puede ser considerada como si fuera una «regla

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general», a partir de la cual luego se pueden realizar deducciones para el estudio de los casos particulares regidos por tal regla. La Probabilidad Bayesiana sería el mejor complemento de la Probabilidad Frecuentista para proyectar el comportamiento de la realidad, cada una aplicada a dos tipos de problemas diferentes, la una usada en el campo inductivo para calcular posibles causas a partir de efectos conocidos, la otra usada en el terreno deductivo para calcular posibles efectos a partir de causas conocidas. Precisamente, el método científico del ensayo y del error, que se consolidó para estudiar el universo newtoniano determinista, implícitamente usa la Probabilidad Bayesiana para descubrir las desconocidas causas que rigen los fenómenos, y cada hipótesis comprobada que se convierte en una regla general o en una ley de la Naturaleza, suministra temporalmente una imagen ideal sobre la marcha del universo, imagen la cual eventualmente puede ser descartada a medida que se conoce más o nueva información sobre el fenómeno D analizado.

Probabilidad Bayesiana, Adivinación y Exageración en la Literatura y en la Ciencia Ficción:

Los campos más conocidos en los que se han usado sorprendentes ejemplos de inferencias inductivas similares a las analizadas en la Probabilidad Inversa o Probabilidad Bayesiana son la literatura y la ciencia ficción, campos en los cuales generalmente la Probabilidad Bayesiana termina representada como si fuera una especie de «adivinación», distorsión introducida por la tendencia a la exageración que suele caracterizar al ingenio humano.

En efecto, aún antes de que Bayes formulara su teorema, se sabe que François Marie Arouet, mejor conocido como Voltaire(1694−1778), gran filósofo crítico, escritor satírico, ensayista original, historiador, literato, poeta, panfletista, humanista y pensador político de la Francia prerrevolucionaria, vivió unos años exiliado en Inglaterra por haber

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ofendido a un aristócrata francés, y allí, al lado de los discípulos de Newton y de otros seguidores de la naciente francmasonería, se inició en las teorías que hablaban de un universo determinista y mecanicista que en su totalidad podía llegar a ser conocido por los pensadores libres.

Gracias a esa influencia procedente de hombres de ciencia, en 1747 Voltaire publicó una corta novela titulada Zadig, en la cual narra las vivencias de un hombre sabio que es capaz de ver el mundo determinista más claramente que los demás, porque siempre a partir de las dispersas huellas que dejan los fenómenos de la Naturaleza es capaz de encontrarles sus causas unificadoras más probables, mediante inferencias inductivas que son muy certeras y muy similares a las usadas en el campo de la Probabilidad Bayesiana.

CONCLUSIÓN

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Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

CIBERGRAFIA

es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

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www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm

monografias.interbusca.com/.../propiedades-de-la-probabilidad.html

www.ingenieria.peru-v.com/probabilidades/probabilidades.htm

www.monografias.com › Matematicas

http://www.mitecnologico.com/Main/TecnicasDeConteo

html.rincondelvago.com/probabilidades_1.html

es.wikipedia.org/wiki/Fenómeno_aleatorio

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