Wiki Mecánica Estadística

ndice general

1 Ecuacin de KardarParisiZhang 11.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Ruido gaussiano 22.1 Ruido Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Ruido blanco Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Bao trmico 33.1 Justicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Camino libre medio 44.1 Clculo del camino libre medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.4 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Coeciente de difusin 5

6 Colectividad cannica 66.1 Planteamiento fsico del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.2 El factor de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.3 La funcin de particin cannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 Colectividad estadstica 87.1 Principales colectivados o ensambles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2 Propiedades deseables de un ensamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.5 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8 Colectividad macrocannica 10

i

ii NDICE GENERAL

8.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.2 Funcin de particin macrocannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.3 Funciones de particin macrocannicas especifcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.4 Derivacin de las funciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.5 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

9 Colectividad microcannica 129.1 Formulacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.2 Conexin con la termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

10 Constante de acoplamiento 1410.1 Constante de estructura na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410.3 Referencias y vnculos externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

11 Constante de Boltzmann 1511.1 Importancia en la denicin estadstica de entropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.5 Otras lecturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12 Densidad de estados 1712.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

13 Desorden templado y desorden recocido 18

14 Distribucin de Boltzmann 1914.1 Distribucin de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

15 Econofsica 2015.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

16 Ecuacin de Langevin 2116.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

17 Energa interna 2217.1 El enfoque termodinmico: la ecuacin fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

NDICE GENERAL iii

17.2 Algunas variaciones de la energa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.2.1 Variacin sin cambio de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.2.2 Energa cintica media de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.2.3 Variacin con modicacin de la composicin qumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.2.4 Variacin nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

17.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

18 Entropa topolgica en fsica 2518.1 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

18.1.1 Introduccin a la cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.1.2 Clculos para estados especcos ordenados topolgicamente . . . . . . . . . . . . . . . . 25

19 Ergodicidad 2619.1 Denicin de sistema ergdico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619.2 Ergodicidad y teorema ergdico de Birkho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

20 Espacio fsico 2720.1 Espacio fsico en mecnica clsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2720.2 Espacio fsico en mecnica cuntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

20.2.1 Cuantizacin a partir del espacio fsico clsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820.3 Espacio fsico en mecnica estadstica y termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

20.5.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

21 Espectro de la energa 29

22 Estadstica de Bose-Einstein 3022.1 Formulacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.2 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3122.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

23 Estadstica de Fermi-Dirac 3223.1 Formulacin matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.2 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.3 Interpretacin fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323.5 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3323.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

24 Estadstica de Maxwell-Boltzmann 3424.1 Lmites de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

iv NDICE GENERAL

24.2 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3524.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

25 Exponente crtico 3625.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3625.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

26 Factor de Boltzmann 3726.1 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

27 Fsica de polmeros 3827.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3827.2 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

27.2.1 Cadenas ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3827.2.2 Cadenas reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

27.3 Efectos de la temperatura y el disolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.4 Interaccin de volumen excluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.5 Flexibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.6 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3927.8 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

28 Fsica estadstica 4128.1 Ejemplos de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4128.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4128.3 Aplicacin en otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4228.4 Relacin estadstica-termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4228.5 Postulado fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

28.5.1 La entropa como desorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4228.6 Procedimientos de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4328.7 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4328.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4328.9 Otras lecturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

29 Frustracin (fsica) 44

30 Funcin de distribucin radial 4530.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4630.2 Relaciones que involucran g(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

30.2.1 Factor de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4630.2.2 Ecuacin de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4730.2.3 Potencial de fuerza media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4730.2.4 Ecuacin de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

NDICE GENERAL v

30.2.5 Ecuacin de estado para la presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4730.2.6 Propiedades termodinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

30.3 Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4830.4 Obtencin experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4830.5 Funciones de correlacin de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4830.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

30.6.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4930.7 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

31 Funcin de particin (mecnica estadstica) 5031.1 Funcin de particin cannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

31.1.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5031.1.2 Origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5031.1.3 Derivacin de las funciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5031.1.4 Funciones de particin de subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

31.2 Funcin de particin macrocannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5131.2.1 Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5131.2.2 Funciones de particin macrocannicas especifcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5131.2.3 Derivacin de las funciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

31.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

32 Gas de Bose 5332.1 Aproximacin de ThomasFermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5332.2 Inclusin del estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5432.3 Termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5532.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5532.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


33 Gas de Fermi 5733.1 Temperatura de Fermi. Energa de Fermi. Supercie de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5733.2 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5733.3 Gas de Fermi completamente degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5833.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5933.5 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5933.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

34 Gas de fotones 6034.1 Termodinmica de un gas de fotones en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6034.2 Transformaciones isotrmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6134.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6134.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

vi NDICE GENERAL

34.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

35 Hiptesis de ergodicidad 6235.0.1 Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

35.1 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6235.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

36 Inversin de poblacin 6336.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6336.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

37 Longitud de onda trmica de De Broglie 6437.1 Partculas con masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6437.2 Partculas sin masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6437.3 Denicin general de la longitud de onda trmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6537.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


38 Microestado (mecnica estadstica) 6638.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

38.1.1 N espines 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6638.1.2 Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


39 Modelo de Ising 6739.1 Descripcin matemtica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

39.1.1 Descripcin cualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6739.1.2 El hamiltoniano del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6739.1.3 La funcin de particin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

39.2 La fsica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6839.2.1 La magnetizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6839.2.2 La energa NO lo es todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6839.2.3 Energa vs. entropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

39.3 Solucin al modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6839.4 Interpretacin de los resultados: la transicin de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6839.5 Variantes al modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

39.5.1 Modelo de Ising en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6939.5.2 Modelo en 3 o ms dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6939.5.3 Modelo de Ising en otro tipo de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6939.5.4 Modelo de Ising con campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

39.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

NDICE GENERAL vii

39.7 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6939.8 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

40 Modelo de transicin hlice-ovillo 7040.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

41 Modelo de Zimm-Bragg 7141.1 Modelos de transicin hlice-ovillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7141.2 Zimm-Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7141.3 Mecnica estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7141.4 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7241.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

42 Monoatmico 7342.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7342.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

42.2.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

43 Movimiento browniano 7443.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7443.2 Metfora intuitiva del movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7543.3 Modelos matemticos para la descripcin del movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . 7543.4 La caracterizacin de Lvy del movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7643.5 Movimiento browniano en una variedad de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7643.6 El movimiento browniano en la literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7643.7 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7643.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7643.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

44 Ordenacin topolgica 7844.1 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7844.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7844.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7944.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

45 Ecuacin de Ornstein-Zernike 8045.1 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8045.2 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8045.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8145.4 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

46 Aproximacin de Percus-Yevick 8246.1 Obtencin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8246.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

viii NDICE GENERAL

46.3 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

47 Principio de mximo de entropa 8347.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8347.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8347.3 Colectividad microcannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8347.4 Colectividad cannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8347.5 Colectividad macrocannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8447.6 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8547.7 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

48 Punto jo infrarrojo 8648.1 Fsica estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8648.2 Fsica de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8648.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

49 Relacin de Einstein (teora cintica) 8849.1 Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

49.1.1 Ecuacin de movilidad elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8849.1.2 Ecuacin de Stokes-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8849.1.3 Semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

49.2 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

50 Simetra temporal 9050.1 Efecto de la inversin temporal sobre algunas variables de la fsica clsica . . . . . . . . . . . . . . 90

50.1.1 Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9050.1.2 Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


51 Sistema de partculas (fsica) 9251.1 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9251.2 Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

51.2.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

52 Statistical Energy Analysis 9352.1 Hiptesis de la SEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

52.1.1 Subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

53 Teorema de equiparticin 9453.1 Concepto bsico y ejemplos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

53.1.1 Energa de traslacin y gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9553.1.2 Energa rotacional y rodado de molculas en solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9553.1.3 Energa potencial y osciladores armnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

NDICE GENERAL ix

53.1.4 Calor especco de slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9653.1.5 Sedimentacin de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

53.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9753.3 Formulacin general del teorema de equiparticin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

53.3.1 Relacin con el teorema de virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9953.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

53.4.1 Ley de los gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9953.4.2 Gases diatmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10053.4.3 Gases ideales extremadamente relativsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10053.4.4 Gases no ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10153.4.5 Osciladores no armnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10153.4.6 Movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10253.4.7 Fsica estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10353.4.8 Formacin de una estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

53.5 Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10353.5.1 Energa cintica y la distribucin de MaxwellBoltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10353.5.2 Energas cuadrticas y la funcin de particin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10453.5.3 Demostraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

53.6 Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10553.6.1 Requerimientos de ergodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10553.6.2 Falla debido a efectos cunticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

53.7 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10753.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10753.9 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10953.10Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

54 Teorema de Mermin-Wagner 11054.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11054.2 Transicin de KosterlitzThouless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11054.3 Modelo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11054.4 Generalizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11154.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

55 Teorema de virial 11355.1 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11355.2 Deniciones del virial y su derivada temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11355.3 Conexin con la energa potencial entre partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11455.4 Caso especial de fuerzas dependientes de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11455.5 Promedio temporal y el teorema del virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11555.6 Extensiones del teorema de virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11555.7 Inclusin de campos electromagnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11555.8 Demostracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

x NDICE GENERAL

55.9 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11655.10Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

55.10.1 Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

56 Teora ergdica 11756.1 Teorema ergdico de Birkho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11756.2 Referencias histricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11756.3 Referencias actuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

57 Teora cintica 11957.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11957.2 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12057.3 Presin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12057.4 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12157.5 Velocidad promedio de las molculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12157.6 Simplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12157.7 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12157.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12257.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

58 Teora de campo efectivo 12358.1 El grupo de renormalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12358.2 Ejemplos de teoras de campo efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

58.2.1 Teora del decaimiento beta de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12358.2.2 Teora BCS de la superconductividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12458.2.3 Teoras de campo efectivo en gravitacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12458.2.4 Otros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

58.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12458.4 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

59 Teora de las colisiones 12659.1 Constante de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12659.2 Puntos de vista cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

59.2.1 Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12659.2.2 Validez de la teora y factor estrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

59.3 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12759.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12859.5 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

60 Tiempo local (matemtica) 12960.1 Denicin formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12960.2 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12960.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

NDICE GENERAL xi

61 Transformacin de Jordan-Wigner 13061.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

62 Transicin de fase 13162.1 Ejemplos de transiciones de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13162.2 Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13162.3 Relacin con el tamao del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13162.4 Clasicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13162.5 Punto crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13262.6 Vase tambin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13262.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

63 Truco de las rplicas 13363.1 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

63.1.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13463.1.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13763.1.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Captulo 1

Ecuacin de KardarParisiZhang

La ecuacin KPZ (por las inicales de sus creadores,Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Vi-Cheng Zhang) esuna ecuacin diferencial estocstica en derivadas parcia-les y no lineal. Describe la variacin temporal del grosor(~x; t) de una lmina. Es un buen modelo de crecimientode supercies. Viene dada por la expresin:

@(~x;t)@t = r2+ 2 [r]2 + (~x; t)

donde (~x; t) es un ruido gaussiano blanco con primersegundo momentos:

h(~x; t)i =0 y h(~x; t)(~x0; t0)i =2Dd(~x ~x0)(t t0)

donde , y D son parmetros del modelo; d es la di-mensin de la lmina y es un concepto bastante impor-tante en la resolucin de la ecuacin y afecta al tipo desolucin. En concreto:

1. si d < 2 la ecuacin tiene una sola fase "speraen la que las uctuaciones de divergen algebrica-mente con el tamao del sistema, desestabilizandocualquier comportamiento estudiado;

2. si d > 2 la ecuacin presenta una fase uida unacoplamiento dbil para lo sucientemente pe-quea. En esta fase, las uctuaciones son pequeasy el comportamiento es coherente globalmente. Elestudio de las correlaciones espaciales y temporalesarroja que:

h(x1; t)(x2; t)i 1

rd2 y h(x; t1)(x; t2)i 1td22

1.1 Referencias Mehran Kardar, Giorgio Parisi y Yi-Cheng Zhang,Dynamic Scaling of Growing Interfaces, PhysicalReview Letters, Vol. 56, 889 - 892 (1986). APS

A.-L.Barabsi and H.E.Stanley, Fractal concepts insurface growth (Cambridge University Press, 1995)

1

Captulo 2

Ruido gaussiano

El ruido Gaussiano se encuentra asociado con la radia-cin electromagntica ya que no podemos tener comuni-cacin elctrica sin electrones es imposible evitar el ruido,el ruido Gaussiano muestra una densidad de probabilidadque responde a una distribucin normal (o distribucin deGauss). Si un ruido es Gaussiano, la probabilidad que sealeje de ms de 3 del valor promedio es muy baja. Estapropiedad es utilizada para identicar la seal del ruido,pero slo funciona si el ruido es realmente Gaussiano.

2.1 Ruido GaussianoEl ruido gaussiano se confunde a menudo con el ruidoblanco gaussiano, aunque son conceptos diferentes. Es-trictamente hablando, el ruido gaussiano es nicamente elque presenta una distribucin de Gauss, donde las varia-ciones electromagnticas normalmente son muy peque-as del orden de los microvolts siendo despreciable en lamayora de los sistemas

2.2 Ruido blanco GaussianoEl ruido blanco es una seal aleatoria, caracterizada por-que sus valores en instantes de tiempo distintos no tie-nen relacin alguna entre s, es decir, no existe corre-lacin estadstica entre sus valores.[usuarios.multimania.es/proyectofer/Ruido.doc documento externo]El ruido blanco Gaussiano ser aquel cuya funcin dedensidad responde a una distribucin normal. Gaussianose reere a la distribucin de voltaje de la fuente de rui-do. Blanco es la fuente de ruido de potencia de densidadespectral, que es idealmente plano con la frecuencia. Enrealidad, en algn punto --debido al desfase- hay una re-duccin en el nivel de ruido medible.

2.3 Vase tambin Gauss Ruido

Distribucin de probabilidad

2

Captulo 3

Bao trmico

En termodinmica, un bao trmico es un sistema (S)cuya capacidad calorca es tan grande que, cuando sehalla en contacto con un sistema de prueba () , la tem-peratura de (S) permanece constante. Se trata de un sis-tema ideal que constituye una reserva innita de energa.

3.1 JusticacinSea (S) un bao trmico de volumen constante a tempe-ratura T0 . Si el bao trmico se pone en contacto con elsistema de prueba () , y recibe el calor elemental Q ,la energa interna U del bao trmico vara segn:conforme al primer principio de la termodinmica. Si elvolumen del bao trmico permanece constante, se cum-ple:donde CV es la capacidad calorca a volumen constantedel bao trmico y dT0 su incremento de temperatura. Dela denicin capacidad calorca a volumen constante seobtiene:Por lo tanto, para que el incremento de temperatura delbao trmico sea nulo, la capacidad trmica del bao tr-mico tiene que ser innita:

Dado que la capacidad trmica a volumen constante esuna magnitud extensiva, el nmero de moles del bao tr-mico tiene que ser innito:En la prctica, la condicin para que un sistema (S) seconsidere un bao trmico respecto a otro () , radica enque el nmero de moles de (S) sea superior al nmero demoles de () en varios rdenes de magnitud.

3.2 Vase tambin Calor Capacidad calorca Colectividad cannica Teorema de equiparticin

3

Captulo 4

Camino libre medio

En mecnica estadstica y teora cintica de los gases, sedene como camino libre medio a la distancia o espa-cio entre dos colisiones sucesivas de las molculas de ungas. Recordemos que en un gas, sus molculas estn enconstante movimiento chocando unas con otras. La tem-peratura del gas es funcin de la energa cintica de susmolculas.El camino libre medio, tambin se conoce como reco-rrido libre medio, (1/u), o longitud de relajacin, y vienedado por la inversa del coeciente de atenuacin lineal uy es la distancia promedio en la que viaja una partculaen un medio atenuante, antes que sta interacte.En 1857, Rudolf Clausius en una importante contribu-cin al campo de la teora cintica en el que rede-ni el modelo cintico de los gases de August Krnig introdujo el concepto de recorrido libre medio de unapartcula.[1][2][3]

4.1 Clculo del camino libre medioEl camino libre medio se calcula multiplicando la velo-cidad media de las molculas del gas por el tiempo entrecolisiones:

l = vt

siendo v la velocidad cuadrtica media de las molculasque ser proporcional a la raz cuadrada de la tempera-tura e inversamente proporcional a la raz de la masa dela molcula y t el tiempo medio entre colisiones el cualdepende fundamentalmente de la densidad del gas.Se puede estimar mediante la expresin:

l = 1n

donde n es el nmero demolculas por unidad de volumeny es la seccin ecaz de dispersin.En el aire, a temperatura ambiente y presin normal, esdel orden de 3 / 10000 cm

4.2 Vase tambin Teora cintica

4.3 Notas[1] Clausius, R. (1857), ber die Art der Bewegung, die wir

Wrme nennen, Annalen der Physik 100: 353379

[2] Clausius, R. (1862), ber dieWrmeleitung gasfrmigerKrper, Annalen der Physik 115: 157

[3] Clausius, R. (1864), Abhandlungen ber die Mecha-nische Wrmetheorie. Electronic manuscript from theBibliothque nationale de France.

4.4 Bibliografa REIF, F.: Fsica Estadstica (Berkeley Physics Cour-

se, volumen 5). Editorial Revert, 1993.

CASTILLO GIMENO, J. L. y GARCA YBA-RRA, P. L.: Introduccin a la Termodinmica Esta-dstica mediante problemas. Editado por la UNED,octubre de 2000.

4

Captulo 5

Coeciente de difusin

En la fsica, el coeciente de difusin es un valor querepresenta la facilidad con que cada soluto en particularse mueve en un disolvente determinado. Depende de tresfactores:

Tamao y forma del soluto Viscosidad del solvente Temperatura (Difusividad trmica) De la naturaleza de la partcula que se difunde y del

solvente donde difunde, siendo independiente de lasconcentraciones.

Los coecientes de difusin para lquidos son del orden de10^5(cm^2/s), para gases del orden de 10^1(cm^2/s)y para slidos 10^9(cm^2/s).Este coeciente aparece en la Ley de Fick, relacionadacon la difusin de materia o energa.

5

Captulo 6

Colectividad cannica

La colectividad cannica (tambin llamada colectivocannico o ensamble cannico) es una forma de plan-tear problemas en fsica estadstica. Consiste en jar enun sistema macroscpicamente el nmero de partculas,el volumen y la temperatura.Fuera de la fsica propiamente dicha, el formalismo delcolectivo cannico ha sido usado para predecir terica-mente la distribucin de la renta, por ejemplo, la obser-vacin de Pareto de que las rentas altas se distribuyen deacuerdo con una ley potencial inversa, puede deducirsedel formalismo cannico. La evidencia indica adems,que las rentas altas de diversos lugares de Estados Uni-dos se hallan en equilibrio termodinmico.

6.1 Planteamiento fsico del pro-blema

Se denomina colectividad cannica, o ensamble canni-co, al conjunto de los posibles estados de un sistema (con-junto de partculas) que intercambia energa trmica conlos alrededores, pero no materia. El volumen que ocupay su nmero de partculas es constante. En el equilibrio,el sistema permanece a temperatura constante, y se pue-de considerar que est en contacto con un bao trmico.Esto quiere decir que est en contacto con una gran ma-sa a una temperatura dada, y por el principio cero de latermodinmica el sistema se encuentra en equilibrio ter-modinmico con el bao. En estas condiciones, la energano est totalmente determinada, sino que es una variablealeatoria que puede tomar una serie de valores. De estaforma, slo podemos hablar de probabilidad de que el sis-tema adopte una energa determinada en funcin de estatemperatura.

6.2 El factor de BoltzmannSe demuestra que la probabilidad de que un sistema atemperatura T est en una conguracin de energa E esproporcional al factor de Boltzmann:

PE =eE/kBT

Z

Donde:

PE es la probabilidad buscadaE es la energa cuya probabilidad estamos bus-candokB es la constante de BoltzmannT es la temperatura.

Z constituye un funcional del sistema en equilibrio co-rrespondiente a la ligadura de normalizacin, esto es, quela suma de las probabilidades de todos los microestadossea uno. Se dene trivialmente como:

Z := Z(V; T ) =P eE(V )/kBTdonde es un ndice mudo que recorre todos los micro-estados posibles del sistema con un nmero de partculas,volumen y temperatura dados.

6.3 La funcin de particin canni-ca

La funcin de normalizacin Z recibe el nombre de fun-cin de particin cannica o simplemente funcin departicin. Esta es una funcin matemtica de la tempera-tura, el nmero de partculas y el volumen. Se puede de-mostrar la frmula siguiente, que relaciona la mecnicaestadstica con la termodinmica en el colectivo canni-co:

F (T; V;N) = kBT lnZ(T; V;N)

Esta ecuacin nos da la energa libre de Helmholtz del sis-tema (una variable de estado termodinmica) en funcinde sus variables naturales, lo que supone un conocimientotermodinmico exhaustivo del sistema. Por tanto conocerla funcin de particin es resolver el problema estadsti-co.

6

6.5. REFERENCIAS 7

6.4 Vase tambin Fsica estadstica Colectividad microcannica Colectividad macrocannica

6.5 Referencias Reif, F.: Fundamentals of Statistical and Thermal

Physics. McGraw-Hill, New York, 1965. Mandl, F.: Statistical Physics. John Wiley, New

York, 1971. Kittel, C.: Fsica Trmica. Editorial Revert, Bar-

celona, 1986. Landau, L. D. y Lifshitz, E. M.: Fsica Estadstica

vol. 5 del Curso de Fsica Terica. Editorial Revert,Barcelona, 1988.

Captulo 7

Colectividad estadstica

En fsica estadstica se dene a una colectividad esta-dstica, ensamble estadstico, o simplemente ensamblecomo un conjunto hipottico de sistemas termodinmi-cos de caractersticas similares que nos permiten realizarun anlisis estadstico de dicho conjunto. Este conceptofue propuesto por Joseph Williards Gibbs en 1879.[1]

7.1 Principales colectivados o en-sambles

Hay varios tipos de colectividades o ensambles usados enfsica estadstica. La eleccin de uno u otro depender delenfoque del problema, entre los ms usados estn:

Colectividad microcannica: Un ensamble de siste-mas termodinmicos que no intercambian energani materia con el ambiente. Su energa, nmero departculas y volumen permanecen constantes.

Colectividad cannica: Un ensamble de sistemasque intercambian energa trmica con los alrededo-res, pero nomateria. Su energa vara, pero su nme-ro de partculas, volumen y temperatura son cons-tantes.

Colectividad macrocannica: Un ensamble de siste-mas que intercambian materia y energa con el am-biente. Su temperatura, volumen y potencial qumi-co son constantes en el tiempo.

La forma de la funcin de particin para cada tipo de en-samble es:

Microcannico: (U; V;N) = eTS , siste-ma cerrado y aislado (energa constante y en-tropa mxima).Cannico: Z(T; V;N) = eA , sistema ce-rrado con energa constante y temperatura ja-da.Macrocannico: (T; V; ) = epV , sistemaabierto.

Donde:

T , temperatura.S , entropa.A , la energa libre de Helmholtz.p , presin.V , volumen.

7.2 Propiedades deseables de unensamble

Representatividad.

Ergodicidad: El promedio de una variable tomadosobre el tiempo debe ser igual al tomado sobre elensamble.

7.3 Vase tambin

Matriz densidad

Funcin de particin

Colectividad microcannica

Colectividad cannica

Colectividad macrocannica

Ensamble isotrmico-isobrico

Espacio fsico

Teorema de Liouville

7.4 Referencias[1] Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in

Statistical Mechanics. New York: Charles Scribners Sons.

8

7.5. BIBLIOGRAFA 9

7.5 Bibliografa Reif, F.: Fundamentals of Statistical and Thermal





Captulo 8

Colectividad macrocannica

La colectividad macrocannica (o colectivo macroca-nnico o grancannico) es una forma de plantear pro-blemas en fsica estadstica. Consiste en jar macrosc-picamente en un sistema el potencial qumico, el volumeny la temperatura. A diferencia de la colectividad canni-ca, donde el sistema a estudio slo puede intercambiarenerga con el exterior, en la colectividad macrocanni-ca el sistema puede intercambiar tanto partculas comoenerga con el entrorno.

8.1 DenicinSe denomina ensamble macrocannico (tambin llamadocolectividad macrocannica o gran cannica) al conjuntode los posibles estados de un sistema (conjunto de part-culas) que intercambia energa trmica y materia con losalrededores. Al estudiar el equilibrio del sistema, se janmacroscpicamente el potencial qumico , el volumenV y la temperatura T.

8.2 Funcin de particin macroca-nnica

La funcin de particin macrocannica Z de un gas idealcuntico, esto es, un gas de partculas no interactuantesen un pozo de potencial, viene dada por:

Z =1XN=0

Xfnig

Yi

eni(i) ;

donde N es el nmero total de partculas del gas, el pro-ducto Q se extiende sobre cada microestado i para unapartcula, ni es el nmero de partculas ocupando el mi-croestado i y i es la energa de una partcula en dichomicroestado. fnig es el conjunto de todos los posiblesnmeros de ocupacin para cada uno de esos microesta-dos, de manera que ini = N.En el caso de los bosones, al no cumplir el principio deexclusin de Pauli, las partculas idnticas pueden ocuparel mismo estado cuntico, y los nmeros de ocupacin

pueden tomar cualquier valor entero siempre que su su-ma valga N. Sin embargo, para los fermiones, el principiode exclusin de Pauli impide que dos partculas idnticasocupen el mismo estado cuntico y, por lo tanto, los n-meros de ocupacin pueden tomar slo los valores 0 y 1,adems de que, evidentemente, su suma valga N.

8.3 Funciones de particin macro-cannicas especifcas

La expresin anterior para Z , se puede demostrar que esequivalente a:

Z =Yi

Zi:

Para un conjunto grande de bosones en equilibrio trmi-co, Zi toma la forma:

Zi =1X

ni=0

eni(i) =1

1 e(i) ;

mientras que para un sistema compuesto por un nmerogrande de fermiones:

Zi =1X

ni=0

eni(i) = 1 + e(i) ;

y para un gas de Maxwell-Boltzmann:

Zi =1X

ni=0

eni(i)

ni!= exp

e(i)

:

8.4 Derivacin de las funciones deestado

Al igual que en la colectividad cannica, a partir de lafuncin de particin macrocannica se pueden calcular

10

8.5. VASE TAMBIN 11

expresiones para los valores esperados de las funcionesde estado.

Deniendo , el valor medio de los nme-ros de ocupacin es:

hnii = @ ln(Zi)@

;V

=1

@ ln(Zi)@

;V

:

Esta expresin, para bosones porpociona:

hnii = 1e(i) 1

expresin que se puede obtener tambin mediante laestadstica de Bose-Einstein.Para fermiones:

hnii = 1e(i) + 1

que, a su vez, se puede obtener tambin mediante laestadstica de Fermi-Dirac.En el lmite clsico (estadstica de Boltzmann):

hnii = e(i) :

Valor medio del nmero total de partculas N:

hNi = @ ln(Z)@

;V

=1

@ ln(Z)@

;V

:

Varianza del nmero total de partculas:

h(N)2i =@2 ln(Z)@2

;V

:

Valor esperado de la energa interna E:

hEi = @ ln(Z)@

;V

+ hNi :

Varianza de la energa interna:

h(E)2i =@2 ln(Z)@2

;V

:

Presin P:

PV = kBT lnZ :

Ecuacin de estado:

hPV i = ln(Z)

:

8.5 Vase tambin Fsica estadstica Colectividad microcannica Colectividad cannica






Captulo 9

Colectividad microcannica

La colectividad microcannica, o colectivo microca-nnico, es una forma de plantear problemas en fsica es-tadstica. Consiste en considerar que el sistema macros-cpico es un sistema aislado de tal manera que la ener-ga permanezca constante, al no existir intercambio conel exterior.De hecho, al conjunto de microestados con la densidad deprobabilidad dada por

(q; p) = 1(E)[E H(q; p)];

se denomina colectividad microcannica y a la distribu-cin, distribucinmicrocannica. Corresponde con sis-temas macroscpicos aislados y en equilibrio. O lo que eslo mismo, con energa constante.Por ejemplo, supongamos un modelo de Ising. Estamosinteresados en calcular cuntos microestados hay compa-tibles con una energa dada. Si somos capaces de obtenerste nmero, habremos resuelto el problema termodin-mico.

9.1 Formulacin matemticaEs imprescindible, para expresar correctamente las rela-ciones con la termodinmica, empezar deniendo la fun-cin como,

(E) =R EE0

dE0Rdqdp [E0 H(q; p)] =R

EoHE dqdp;

que resulta el volumen del espacio fsico encerrado entrelas hipersupercies H(q;p)=Eo y H(q;p)=E y se le deno-mina volumen fsico.La relacin existente entre , la norma de la distribucin,y es:

= d(E)dE :

Este resultado se obtiene fcilmente reemplazando en ladenicin de (E) la expresin para (p; q) .

(E) =R EE0

dE0Rdpdq (p; q)(E0)

El factor (E0) no depende de las variables del espaciofsico as que puede salir de la integral interna. Lo quequeda es la integral en todo el espacio fsico de (p; q) ,igual a 1 por denicin.

(E) =R EE0

dE0(E0)Rdpdq (p; q) =R E

E0dE0(E0)

Derivando respecto de E y aplicando el Teorema funda-mental del clculo obtenemos:

d(E)dE = (E)

9.2 Conexin con la termodinmi-ca

Es muy sencillo, la relacin con el problema termodin-mico viene dada por la frmula de Boltzmann:

S(E;N; V ) = kB log

donde es la supercie que rodea al volumen fsico yque es proporcional al nmero de microestados con ener-ga E . S es la entropa del sistema expresada en fun-cin de sus variables naturales, lo que da una informa-cin termodinmica completa del sistema. Para obtener

es necesario elaborar un modelo del sistema fsico quequeramos estudiar.Esta ecuacin est basada en el principio de que todas lasconguraciones microscpicas son igualmente pro-bables, siempre que sean compatibles con las condicio-nes macroscpicas de energa, nmero de partculas y vo-lumen. Tambin es necesario que se cumpla el Principiode ergodicidad.De esta ecuacin podemos obtener todas las propiedadestermodinmicas, como Ecuacin de Estado, Calor espe-cco, Energa, etc.

12

9.4. REFERENCIAS 13

9.3 Vase tambin Fsica estadstica Colectividad cannica Colectividad macrocannica






Captulo 10

Constante de acoplamiento

En fsica, una constante de acoplamiento, usualmen-te denotada g, es un nmero que determina la fuer-za de una interaccin. Usualmente el Lagrangiano o elHamiltoniano de un sistema puede ser separado en unaparte cintica y una parte de interaccin. La constante deacoplamiento determina la fuerza de la parte de interac-cin con respecto a la parte cintica, o entre dos sectoresde la parte de interaccin. Por ejemplo, la carga elctricade una partcula es una constante de acoplamiento.Una constante de acoplamiento desempea un importan-te rol en dinmica. Por ejemplo, frecuentemente se esta-blecen jerarquas de aproximacin basadas en la impor-tancia de varias constantes de acoplamiento. En el movi-miento de un gran trozo de hierro magnetizado, las fuer-zas magnticas son ms importantes que las fuerzas gra-vitacionales debido a las magnitudes relativas de las cons-tantes de acoplamiento. Sin embargo, enmecnica clsicafrecuentemente se realizan estas decisiones comparandolas fuerzas directamente.

10.1 Constante de estructura na

La constante de acoplamiento resulta de gran utilidad enla teora cuntica de campos. Un papel especial es repre-sentado en las teoras cunticas relativistas por las cons-tantes de acoplamiento que no poseen dimensiones, esdecir, son nmeros puros. Un ejemplo es la constante deestructura na),

=e2

40~c

(donde e es la carga de un electrn, 0es la permitividaddel vaco, ~ es la constante reducida de Planck y c esla velocidad de la luz) es tal constante de acoplamientosin dimensiones que determina la intensidad de la fuerzaelectromagntica sobre un electrn.

10.2 Vase tambin Teora cuntica de campos, especialmente

electrodinmica cuntica y cromodinmicacuntica

Constante de estructura na Constante de acoplamiento gravitacional

10.3 Referencias y vnculos exter-nos

An introduction to quantum eld theory, por M. E.Peskin and H. D. Schroeder, ISBN 0-201-50397-2

The Nobel Prize in Physics 2004 Information forthe Public

14

Captulo 11

Constante de Boltzmann

La constante de Boltzmann (k o kB) es la constante f-sica que relaciona temperatura absoluta y energa. Se lla-ma as en honor del fsico austriaco Ludwig Boltzmann,quien hizo importantes contribuciones a la teora de lamecnica estadstica, en cuyas ecuaciones fundamentalesesta constante desempea un papel central. Su valor en SIes:

k 1; 38065041023 J/K = 1; 3806504 1016 ergios/K

11.1 Importancia en la denicinestadstica de entropa

Tumba de Ludwig Boltzmann en el cementerio central de Viena,donde aparece grabada la frmula de la entropa.

En mecnica estadstica, la entropa, S, de un sistemaaislado en equilibrio termodinmico se dene como el

logaritmo natural de W, el nmero de estados microsc-picos denidos en los que puede llegar a estar un sistemadadas las limitaciones macroscpicas (como, por ejem-plo, la energa total ja, E):

S = k lnW:

Esta ecuacin, que relaciona los detalles microscpicoso microestados del sistema (a travs deW) con su estadomacroscpico (a travs de la entropa S), es la idea centralde la mecnica estadstica. Es tal su importancia que fuegrabada en la lpida de la tumba de Boltzmann.La constante de proporcionalidad, k, relaciona la entropade la mecnica estadstica con la entropa de la termodi-nmica clsica de Clausius:

S =

Z dQT:

Podra elegirse una entropa escalada adimensional entrminos microscpicos tales que

S0 = lnW ; S0 =Z dQ

kT:

Se trata de una forma mucho ms natural, y esta entropareajustada corresponde exactamente a la entropa de lainformacin desarrollada posteriormente por Claude El-wood Shannon.Aqu, la energa caracterstica, kT, es el calor necesariopara aumentar la entropa reajustada por un nat.

11.2 HistoriaAunque Boltzmann vincul por primera vez la entropay la probabilidad en 1877, al parecer la relacin nuncase expres a travs de una constante especca sino has-ta que Max Planck introdujo por vez primera k, y ofre-ci un valor exacto (1.3461023 J/K, aproximadamente2.5% menor que la cifra que se usa hoy en da), en suderivacin de la ley de la radiacin del cuerpo negro en

15

16 CAPTULO 11. CONSTANTE DE BOLTZMANN

19001901.[2] Antes de 1900, las ecuaciones que incluanlos factores de Boltzmann no utilizaban las energas pormolcula ni la constante de Boltzmann, sino una formade constante de gas R y energas macroscpicas para lascantidades macroscpicas de la sustancia. La breve y sim-blica forma de la ecuacin S = k log W en la lpida dela tumba de Boltzmann se debe de hecho a Planck, no aBoltzmann. En realidad Planck la introdujo en el mismotrabajo en el que present h.[3]

Como escribi Planck en su discurso de recepcin delPremio Nobel en 1920,[4]

Esta constante suele denominarse constan-te de Boltzmann, aunque, hasta donde s, elpropio Boltzmann nunca la mencion; segn loque permiten ver sus armaciones ocasionales,debido a una serie de circunstancias particula-res nunca consider la posibilidad de llevar acabo una medicin precisa de la constante.

Estas condiciones peculiares pueden comprenderse sise recuerda uno de los grandes debates cientcos de lapoca. Exista un enorme desacuerdo, durante la segun-da mitad del siglo diecinueve, respecto a si los tomos ylas molculas eran reales o si eran tan s slo una he-rramienta heurstica, til para la solucin de problemas.Tambin haba un desacuerdo respecto a si las molculasqumicas (medidas a travs de los pesos atmicos) eranlo mismo que las molculas fsicas (medidas a travsde la teora cintica). Para continuar la cita de la lecturade 1920 de Planck:[4]

Nada puede ilustrar mejor el ritmo positivoy frentico del progreso con el que han traba-jado los cientcos durante los ltimos veinteaos que el hecho de que, desde ese entonces,se han descubierto no uno, sino una gran can-tidad de mtodos para medir la masa de unamolcula prcticamente con la misma preci-sin que la alcanzada para un planeta.

En 2013, el Laboratorio Nacional de Fsica del ReinoUnido utiliz las mediciones de microondas y deresonancia acstica para determinar la velocidad del soni-do de un gas monoatmico en una cmara elipsoide tria-xial y calcular un valor ms preciso para la constante, co-mo parte de la revisin del Sistema Internacional de Uni-dades (SIU). El nuevo valor calculado fue de 1.380 65156 (98) 1023 J K1, y se espera que sea aceptado porel SIU tras una revisin.[5]

11.3 Vase tambin

Termodinmica

11.4 Referencias[1] P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), The

2010 CODATARecommended Values of the Fundamen-tal Physical Constants (Web Version 6.0). This databasewas developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochi-gova. Available: http://physics.nist.gov/constants [Thurs-day, 02-Jun-2011 21:00:12 EDT]. National Institute ofStandards and Technology, Gaithersburg, MD 20899.

[2] Planck, Max (1901), Ueber das Gesetz der Energie-verteilung im Normalspectrum, Ann. Phys. 309 (3):55363, doi:10.1002/andp.19013090310, Bibcode:1901AnP...309..553P, http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf. Traduccin al ingls: "On the Law of Distributionof Energy in the Normal Spectrum (Acerca de la ley dedistribucin de la energa en el espectro normal)".

[3] Duplantier, Bertrand (2005). Le mouvement brownien,'divers et ondoyant' [Brownian motion, 'diverse and un-dulating'] (pdf). Sminaire Poincar 1 (en french): 155212.

[4] Planck, Max (2 June 1920), The Genesis and Present Sta-te of Development of the Quantum Theory (Nobel Lectu-re), http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/planck-lecture.html

[5] de Podesta, M.; Underwood, R.; Sutton, G.; Morantz, P.;Harris, P.; Mark, D. F.; Stuart, F.M., &Vargha, G. (2013,jul 11). A low-uncertainty measurement of the Boltzmannconstant.Metrologia, 50(4),354. doi:10.1088/0026-1394/50/4/354 (Consultado domingo 1 de diciembre del 2013)

11.5 Otras lecturas J. Bronowski (1979). El ascenso del hombre (cap.

10, Un mundo dentro del mundo). Bogot: Fon-do Educativo Interamericano. No. 853 (AlejandroLudlow Wiechers/BBC, trad.).

11.6 Enlaces externos Los ltimos minutos del captulo 10, Un mundo

dentro del mundo, de El ascenso del hombre, deJacob Bronowski, donde el autor rinde homenaje aLudwig Boltzmann. (en ingls)

Captulo 12

Densidad de estados

E = p /2m 2

DOS E

Grca que representa la densidad de estados frente a la energapara un gas de electrones libres.

La densidad de estados (DOS) en un sistema fsico ca-racteriza el nmero existente de estados por cada interva-lo de energa. En un sistema cuntico nito (partcula enun pozo) existe un nmero discreto de estados posiblesde la energa, de modo que la densidad de estados seruna distribucin discreta; en cambio en sistemas innitoslas energas accesibles forman un continuo de modo quela densidad de estados formar tambin un continuo. Ladensidad de estados depende esencialmente del tipo deinteraccin del sistema (ya que es esta la que determinala cuantizacin de las energas).Es un concepto central en fsica estadstica ya que el com-portamiento de la densidad de estados marca el compor-tamiento del sistema.

12.1 DenicinLa densidad de estados es por denicin la distribucincuya integral entre dos energas da el nmero existentede estados.

dN(E) = D(E)dE ) N(E2)N(E1) =Z E2E1

D(E)dE

siendo D(E) la densidad de estados y N(E) el nmero deestados con energa menor o igual que E.Si el nmero de estados viene etiquetado por Em , la an-

terior relacin viene satisfecha por la siguiente distribu-cin:

D(E) =Xm

(Em E)

siendo (x) la distribucin delta de DiracEn un slido, la densidad de estados toma la siguienteforma (el factor 2 se debe a la degeneracin de spin)

D(E) = 2Xk(E(k)E) = 2

ZB:Z:

V

(2)3(E(k)E)dk = 2

ZE(k)=E:

V

(2)3dS

jrkE(k)j

donde k es un vector del espacio recproco, B. Z. es lazona de Brillouin y dS el elemento diferencial de super-cie en el espacio recproco para una supercie de energaconstante.

17

Captulo 13

Desorden templado y desorden recocido

En fsica estadstica se dice que un sistema presenta des-orden templado (quenched disorder) cuando determina-do nmero de parmetros que entran en denicin sonaleatorios, pero su valor est jo durante el proceso deobservacin. Por el contrario, se dice que hay desordenrecocido (annealed disorder) cuando se permite a estosparmetros evolucionar. Normalmente se considera quelos problemas con desorden templado presentan una ma-yor dicultad matemtica, debido a que el trmino pro-mediado y el promediado sobre el desorden no se puedenllevar a cabo de la misma forma. Por ello se han desarro-llado mtodos especcos como, por ejemplo el truco delas rplicas.

18

Captulo 14

Distribucin de Boltzmann

La distribucin de Boltzmann o distribucin deMaxwell-Boltzmann es una distribucin de probabili-dad de las velocidades de un gas asociada a la estadsticade Maxwell-Boltzmann para dicho sistema.Tcnicamente el trmino distribucin de Boltzman sereserva para la funcin de probabilidad de la energa delas partculas, mientras que el trmino distribucin deMaxwell-Boltzmann se reserva para la distribucin deprobabilidad de la velocidad de las partculas (obviamenteexiste una relacin matemtica ja entre ambas).

14.1 Distribucin de Maxwell-Boltzmann

Matemticamente la distribucin de Maxwell-Boltzmanes la distribucin de una variable aleatoria escalar X =pX21 +X

22 +X

23 combinacin de otras tres variables

aleatorias Xi cada una de las cuales se distribuye segnuna distribucin normal X N(0; a2) .Fsicamente el mdulo de la velocidad de una molculav es igual a la raz de la suma cuadrados de las veloci-dades coordenadas de la partcula v =

qv2x + v

2y + v

2z

, y como cada una de ellas siguen distribuciones gausia-nas entonces v debe seguir una distribucin de Maxwell-Boltzmann explcitamente:

p(v) = 4

m2kT

32 v2e

mv22kT

14.2 Vase tambin Estadstica de Maxwell-Boltzmann

19

Captulo 15

Econofsica

La econofsica es un novedoso campo de investigacincientca que aplica teoras y mtodos, originalmentedesarrollados por fsicos, para entender y resolver pro-blemas en la economa y, especialmente, aquellos que in-volucran aspectos estocsticos y de dinmica no lineal.Ejemplos de econofsica incluyen el uso de la teora de lapercolacin para explicar uctuaciones en los mercados,el uso de modelos de infarto cardaco, criticalidad au-torganizada y dinmica de placas tectnicas para expli-car las cadas en las bolsas de valores. La Econofsicase preocupa por explicar fenmenos de escalamiento yautosimilares como las leyes de potencias en la distribu-cin de la riqueza. Otro problema de la Econofsica, esel estudio de la existencia de caos determinista en los pa-trones de transacciones econmicas y sus horizontes deprediccin temporal.La econofsica surgi en los aos 1990, principalmen-te en el entorno del prestigiado Instituto Santa Fe deNuevo Mxico, que se especializa al estudio de lossistemas complejos. Uno de los principales exponentesde la Econofsica es Brian Arthur, quien acu el trminoeconoma adaptativa para denominar sistemas econmi-cos formados por un nmero grande de agentes que rea-lizan transacciones de tipo econmico. El mejor ejemplose conoce como el problema del bar El Farol. Aparen-temente, fue el profesor de fsica de la Universidad deBoston Eugene Stanley, el primero en llamar as a estadisciplina.Es importante mencionar que la Econofsica se contra-pone en mtodos y losofa a la economa clsica puesconsidera que, sta ltima, se basa en fundamentos te-ricos derivados de una termodinmica del equilibrio quees inaplicable a la realidad.Una rama de estudio emparentada con la Econofsica esla Sociofsica que estudia fenmenos sociales desde la p-tica de los sistemas complejos y la dinmica no lineal.

15.1 Bibliografa Ricardo Mansilla. Introduccin a la econofsica. Ed

Equipo Sirus, Madrid Espaa, 2003. Brian Arthur. The Economy as an Evolving Com-

plex System II. Edited (with S. Durlauf and D. La-ne), Addison-Wesley, 1997. (La introduccin estadisponible en lnea aqu)

Rosario Mantegna and Eugene Stanley. An Intro-duction to Econophysics Correlations and Comple-xity in Finance.Cambridge, England: CambridgeUniversity Press, 2000.

Sitabhra Sinha, Arnab Chatterjee, Anirban Chakra-borti, Bikas K Chakrabarti, Econophysics: An Intro-duction, Wiley-VCH, 2010.

Hagen Kleinert, Path Integrals in QuantumMechanics, Statistics, Polymer Physics, andFinancial Markets, 3th edition, World Scien-tic (Singapur, 2004)(Disponible en lneaBIT/8889404752/Introduzione_alla_econosica_in_logica_complementare.htmIntroduzione all Econosica in lgica complemen-tare

J.Voit. The Statistical Mechanics of Financial Mar-kets, 3th edition, Ed. Springer 2005

Schwember, Herman & Maltrana, Diego R. Distri-bucin del Ingreso en Chile: Radiografa de un en-fermo grave. 1 Ed., Comunicaciones Noreste, 2007

15.2 Enlaces externos Brian Arthur en el Instituto Santa Fe [Fire]-FuriosO-

20

Captulo 16

Ecuacin de Langevin

En fsica estadstica, una ecuacin de Langevin (PaulLangevin, 1908) es una ecuacin diferencial estocsticaque describe el movimiento browniano en un potencial.Las primeras ecuaciones de Langevin que fueron estudia-das fueron aquellas en las que el potencial es constante, deforma tal que la aceleracin a de una partcula brownianade masam se expresa como la suma de la fuerza viscosaque es proporcional a la velocidad de la partcula v (leyde Stokes), un trmino de ruido (t) (el nombre quese le da en un contexto fsico a trminos en ecuacionesdiferenciales estocsticas que son procesos estocsticos),que representa el efecto de una serie continua de choquescon los tomos del uido que forma el medio, y F (x) quees la fuerza de interaccin sistemtica producida por lasinteracciones intramoleculares e intermoleculares:

ma = mdvdt = F (x) v+ (t)

Ecuaciones esencialmente similares se aplican a otrossistemas brownianos, tales como ruido de Johnson-Nyquist (tambin conocido como ruido trmico) en unaresistencia elctrica:

LdI(t)dt = RI(t) + v(t):

Se pueden obtener numerosos resultados interesantes ansin resolver la ecuacin de Langevin, a partir del teoremade disipacin de uctuacin.El mtodo principal para hallar una solucin, si es que serequiere una solucin, es utilizar la ecuacin de Fokker-Planck, que presenta una ecuacin determinista que essatisfecha por la densidad de probabilidad dependientedel tiempo. Soluciones numricas alternativas se puedenobtener mediante simulacin de Montecarlo. Tambin sehan usado otras tcnicas, tales como integracin de ca-mino, que se basan en la analoga entre fsica estadsticay mecnica cuntica (por ejemplo la ecuacin de Fokker-Planck puede ser transformada en la ecuacin de Schr-dinger si se transforman algunas variables).La ecuacin de Langevin se utiliza tambin en ladinmica molecular como un termostato, obteniendo asuna temperatura promedio constante en la simulacin.

16.1 Referencias The Langevin Equation, With Applications to Sto-

chastic Problems in Physics, Chemistry and Electri-cal Engineering (Second Edition), by W T Coey(Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov(Universit de Perpignan, France) & J T Waldron(Trinity College, Dublin, Ireland).

World Scientic Series in Contemporary ChemicalPhysics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10)

Reif, F. Fundamentals of Statistical and ThermalPhysics, McGraw Hill New York, 1965. See section15.5 Langevin Equation

16.2 Vase tambin Paul Langevin Movimiento browniano

21

Captulo 17

Energa interna

En fsica, la energa interna (U) de un sistema intentaser un reejo de la energa a escala macroscpica. Msconcretamente, es la suma de:

la energa cintica interna, es decir, de las sumas delas energas cinticas de las individualidades que loforman respecto al centro de masas del sistema, y de

la energa potencial interna, que es la energa po-tencial asociada a las interacciones entre estasindividualidades.[1]

La energa interna no incluye la energa cintica trasla-cional o rotacional del sistema como un todo. Tampocoincluye la energa potencial que el cuerpo pueda tener porsu localizacin en un campo gravitacional o electrostticoexterno.

Todo cuerpo posee una energa acumulada en su interior equi-valente a la energa cintica interna ms la energa potencialinterna.

Si pensamos en constituyentes atmicos o moleculares,ser el resultado de la suma de la energa cintica delas molculas o tomos que constituyen el sistema (desus energas de traslacin, rotacin y vibracin) y de laenerga potencial intermolecular (debida a las fuerzas in-termoleculares) e intramolecular de la energa de enlace.

En un gas ideal monoatmico bastar con considerarla energa cintica de traslacin de sus tomos.

En un gas ideal poliatmico, deberemos conside-rar adems la energa vibracional y rotacional de lasmismas.

En un lquido o slido deberemos aadir la energapotencial que representa las interacciones molecula-res.

Desde el punto de vista de la termodinmica, en unsistema cerrado (o sea, de paredes impermeables), la va-riacin total de energa interna es igual a la suma de lascantidades de energa comunicadas al sistema en formade calor y de trabajo U = Q W (En termodinmi-ca se considera el trabajo negativo cuando este entra en elsistema termodinmico, positivo cuando sale). Aunque elcalor transmitido depende del proceso en cuestin, la va-riacin de energa interna es independiente del proceso,slo depende del estado inicial y nal, por lo que se di-ce que es una funcin de estado. Del mismo modo dU esuna diferencial exacta, a diferencia de gQ , que dependedel proceso.

17.1 El enfoque termodinmico: laecuacin fundamental

En termodinmica se deduce la existencia[2] de una ecua-cin de la forma

U = U(S; V;N)

conocida como ecuacin fundamental en representacinenergtica.La importancia de la misma radica en que concentra enuna sola ecuacin toda la informacin termodinmica deun sistema. La obtencin de resultados concretos a partirde la misma se convierte entonces en un proceso sistem-tico.Si calculamos su diferencial:

22

17.2. ALGUNAS VARIACIONES DE LA ENERGA INTERNA 23

dU =

@U

@S

dS +

@U

@V

dV +

@U

@N

dN

se denen sus derivadas parciales:

la temperatura T = @U@S la presin P = @U@V el potencial qumico = @U@N .

Como T, P y son derivadas parciales de U, sern fun-ciones de las mismas variables que U:

T = T (S; V;N) P = P (S; V;N) = (S; V;N)

Estas relaciones reciben el nombre de ecuaciones de es-tado. Por lo general no se dispone de la ecuacin funda-mental de un sistema. En ese caso sus sustitucin por elconjunto de todas las ecuaciones de estado proporciona-ra una informacin equivalente, aunque a menudo deba-mos conformarnos con un subconjunto de las mismas.

17.2 Algunas variaciones de laenerga interna

Al aumentar la temperatura de un sistema, sin que varenada ms, aumenta su energa interna reejado en el au-mento de la energa trmica del sistema completo o de lamateria estudiada.Convencionalmente, cuando se produce una variacin dela energa interna manifestada en la variacin del calorque puede ser cedido, mantenido o absorbido se puedemedir este cambio en la energa interna indirectamentepor la variacin de la temperatura de la materia.

17.2.1 Variacin sin cambio de estadoSin que se modique el estado de la materia que compo-ne el sistema, se habla de variacin de la energa internasensible o calor sensible y se puede calcular de acuerdoa los siguientes parmetros;

Q = CemT

Donde cada trmino con sus unidades en el Sistema In-ternacional son:Q = es la variacin de energa o de calor del sistema enun tiempo denido (J).Ce = calor especco de la materia (J/kgK).m = masa.T = temperatura nal del sistema - temperatura inicial(K).

Ejemplo

Calcular la energa total de un sistema compuesto de 1 gde agua en condiciones normales, es decir a la altura delmar, una atmsfera de presin y a 14 C para llevarlo a15 C, sabiendo que el Ce del agua es = 1 [cal/gC].Aplicando la frmula Q = CemT y reemplazando losvalores, tenemos;

Q = 1 [cal/gC] 1 [g] (15 - 14) [C] = 1 [cal]

17.2.2 Energa cintica media de un gasideal

Ecm =32 (KT ) =

12mv

2m

K = Constante de Boltzmann = 1,381023 J/Kvm=Velocidad media de la molculaLas propiedades termodinmicas de un gas ideal puedenser descritas por dos ecuaciones:La ecuacin de estado de un gas ideal clsico que es la leyde los gases ideales

PV = nRT

y la energa interna a volumen constante de un gas idealque queda determinada por la expresin:

U = c^V nRT

donde

P es la presin V es el volumen n es la cantidad de sustancia de un gas (en

moles) R es la constante de los gases (8.314

JK1mol1) T es la temperatura absoluta U es la energa interna del sistema c^V es el calor especco adimensional a

volumen constante, 3/2 para un gasmonoatmico, 5/2 para un gas diatmicoy 3 para molculas ms complejas.

La cantidad de gas en JK1 es nR = NkB donde

N es el nmero de partculas de gas kB es la constante de Boltzmann

(1.3811023JK1).

La distribucin de probabilidad de las partculas por ve-locidad o energa queda determinada por la distribucinde Boltzmann.

24 CAPTULO 17. ENERGA INTERNA

17.2.3 Variacin con modicacin de lacomposicin qumica

Si se produce alteracin de la estructura atmica-molecular, como es el caso de las reacciones qumicaso cambio de estado, se habla de variacin de la energainterna qumica o variacin de la energa interna latente.Esta condicin de cambio de estado se puede calcular deacuerdo a:

Q = Ccem

DondeCce=Coeciente de cambio de estado, medido en[kcal/m]

17.2.4 Variacin nuclearFinalmente, en las reacciones de sin y fusin se hablade energa interna nuclear.

17.3 Vase tambin Calor Temperatura Termodinmica

17.4 Referencias[1] Ibez, J.A. y Ortega M.R. Termologa 1. ISBN 84-404-

4291-2.

[2] Biel, J. Formalismo y mtodos de la termodinmica (Vol1).Granada, 1987. ISBN 641-1986 .(Captulo 9).

Captulo 18

Entropa topolgica en fsica

La entropa enredada topolgicamente, usualmentedenotada por , es un nmero que caracteriza los esta-dos de varios cuerpos que poseen orden topolgico. Laforma corta entropa topolgica es la que se usa frecuen-temente, aunque el mismo nombre en teora ergdica sereere a un concepto matemtico no relacionado.Una entropa enredada topolgicamente distinta de ceroreeja la presencia de enredos cunticos de largo alcanceen estados cunticos de varios cuerpos. La entropa en-redada topolgicamente enlaza el orden topolgico conpatrones de enredos cunticos de largo alcance.Dado un estado ordenado topolgicamente ordenado, laentropa topolgica puede extraerse del comportamientode la entropa de Von Neumann midiendo el enredadocuntico entre un bloque espacial y el resto del sistema.La entropa enredada de una regin simplemente conexacon longitud de frontera L:

SL ! L +O(L) ; > 0

El trmino constante es la entropa enredada topolgica-mente.La entropa enredada topolgicamente es igual al logart-mo de la dimensin cuntica total de las excitaciones delas cuasipartculas de los estados.Por ejemplo, los estados cunticos fraccionados de Hall,los estados de Laughlin en la fraccin fraction 1/m, tiene = log(m). Los Z2 estados fraccionados, tales como losestados ordenados topolgicamente del spin lquido Z2 ,modelos de dimer cunticos en redes no bipartitas, y losestados de cdigo trico de Kitaev, son caracterizados por = log(2).

18.1 Vase tambin

18.1.1 Introduccin a la cantidad

Topological Entanglement Entropy, Alexei Kitaevand John Preskill, Phys. Rev. Lett. 96, 110404(2006).

Detecting Topological Order in a Ground State Wa-ve Function, Michael Levin and Xiao-Gang Wen,Phys. Rev. Lett. 96, 110405 (2006).

18.1.2 Clculos para estados especcosordenados topolgicamente

M. Haque, O. Zozulya and K. Schoutens; Phys. Rev.Lett. 98, 060401 (2007).

S. Furukawa and G. Misguich, Phys. Rev. B 75,214407 (2007).

25

Captulo 19

Ergodicidad

La ergodicidad es una propiedad muy importante de al-gunos sistemas mecnicos que permite justicar ciertosresultados de la mecnica estadstica. Un sistema es er-gdico si el nico conjunto invariante de medida no nulade la hipersupercie de energa constante del espacio delas fases es toda la hipersupercie de energa constante.Los sistemas ergdicos tienen el inters de que en ellos elpromedio temporal de ciertas magnitudes pueden obte-nerse como promedios sobre el espacio de estados lo cualsimplica las predicciones sobre los mismos.

19.1 Denicin de sistema ergdicoUn sistema ergdico se puede representar por un espa-cio de estados M (al modo de un espacio fsico) y ladinmica del sistema se representa por un conjunto deaplicaciones que conservan la medida de un conjunto:

gt : M ! M; 8 : A X :(gt(A)) = (A)

Que asigna a cada estado el estado futuro pasado un tiem-po t. Las aplicaciones anteriores con la composcin defunciones forman un semigrupo (y si estn denidas lasinversas un grupo uniparamtrico). Un sistema es ergdi-co si no existe un subconjunto del espacio de estados conuna medida nita que sea invariante por el conjunto deaplicaciones, en otras palabras, la evolucin de un con-junto de estados que ocupe un volumen nito de dichoespacio, necesariamente se expande por todo el espacioal evolucionar cada uno de sus puntos.Ms formalmente, sea M = (X;; ) un espacio demedida en el que se ha denido un grupo uniparamtrico(o alternativamente semigrupo) de aplicaciones medibles.Y sea A X un conjunto invariante por las aplicacioneses decir tal que:

gt(A) A; 8t

Entonces el sistema es ergdico si y solamente si:

A = X (A) = 0

Es decir, si los nicos conjuntos invariantes son o todoel espacio (trivialmente) o conjuntos de medida nula (esdecir, conjuntos neglibles probabilsticamente).

19.2 Ergodicidad y teorema erg-dico de Birkho

En los sistemas ergdicos es vlido el teorema de Birkhoque permite sustituir promedios temporales del sistemapor un promedio espacial sobre una regin del espaciode las fases. El enunciado del teorema ergdico, debido aBirkho (1931) es el siguiente:

Sea T : X ! X una transformacin que pre-serva la medida en un espacio de medida

(X;; ) . Se puede considerar el promedio temporalde una funcin f que se comporta lo sucientemente bien(ms precisamente, f 2 L1() ). Este promedio tempo-ral se dene como la medida sobre las iteraciones de Tempezando en cierto punto x y cuando existe es:

f^(x) = limn!1

1

n

n1Xk=0

fT kx

Si se considera adems el promedio espacial de f, de-nido como:

f =

Zf d

donde es la medida de probabilidad del espacio:

26

Captulo 20

Espacio fsico

Espacio fsico de un sistema dinmico con estabilidad focal.

En mecnica clsica, el espacio fsico, espacio de faseso diagrama de fases es una construccinmatemtica quepermite representar el conjunto de posiciones y momen-tos conjugados de un sistema de partculas. Ms tcnica-mente, el espacio de fases es una variedad diferenciablede dimensin par, tal que las coordenadas de cada puntorepresentan tanto las posiciones generalizadas como susmomentos conjugados correspondientes. Es decir, cadapunto del espacio fsico representa un estado del siste-ma fsico. Ese estado fsico vendr caracterizado por laposicin de cada una de las partculas y sus respectivosmomentos.El formalismo del espacio fsico se emplea en el contextode la mecnica lagrangiana y la mecnica hamiltoniana.Usualmente se designa el espacio fsico o una parte del por (gamma mayscula). Fsicamente cada punto delespacio fsico representa un posible estado del sistemamecnico.En fsica estadstica se usan distribuciones de probabili-dad denidas sobre el espacio fsico. Partiendo de cier-to subconjunto de las distribuciones de probabilidad deun espacio fsico puede construirse una estructura deespacio de Hilbert. Estos espacios de Hilbert de un sis-tema clsico son la base para los espacios de Hilbert queaparecen en mecnica cuntica.

20.1 Espacio fsico en mecnicaclsica

Dos trayectorias diferentes en el espacio fsico de unsistema de tipo pndulo. A la izquierda un movimientooscilatorio de pequea amplitud se corresponde con unatrayectoria cerrada. A la derecha un pndulo que davueltas completas tiene una trayectoria diferente en elespacio fsico.

En mecnica clsica el espacio fsico es una construccinmatemtica a partir del espacio de conguracin. Concre-tamente un espacio fsico adecuado para un sistema conun nmero nito de grados de libertad es el brado cotan-gente del espacio de conguracin del sistema mecnico.Ese brado cotangente construido de esa manera puedeadems ser dotado de una topologa simplctica dondepueden formularse convenientemente los teoremas de lamecnica hamiltoniana.Uno de los teoremas clsicos sobre espacios fsicos es elteorema de Liouville, segn el cual una nube de puntosdistribuidos de acuerdo con una densidad de probabili-dad que represente un estado de equilibrio macroscpico(pi,qi) debe ser invar

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