Elementos de logica ycalculabilidad

Xavier Caicedo F.

Departamento de MatematicasUniversidad de los Andes

Contenido

Introduccion, ix

Primera parte

EI cl'Iiculo de proposiciones

Capitulo 1

Sintaxis,3 1.1 Simbolizacion 3

1.2 Formulas bien formadas, induccion en formulas 8

1.3 Descomposicion tinica, conectivo principal 12

1.4 El arbol de una formula, definiciones recutsivas 16

1.5 Supresion de parentesis 20

1.6 Notacion polaca 21

1.7 Decidibilidad 28

I"~-"--------"-"-~

I

Capitulo 2

Deduccion formal, 35

Capitulo 3

Semantica, 55

Capitulo 4

Equivalencia,71

Capitulo 5

Resolucion en el cruculo de proposiciones, 89

Capitulo 6 Compacidad, Conjuntos infinitos de premisas, 95

2.1 calculo Proposicional Axiomatico 37

2.2 Deducci6n con premisas, reglas derivadas 40

2.3 Teorema de 1a deducci6n 44

2.4 Reducci6n al absurdo 48

3.1 Valuaciones, validez 56

3.2 Completitud 62

4.1 Algebra Proposicional 71

,4.2 Conjuntos completos de conectivos 76

14.3 Formas normales, funciones booleanas 80

6.1 Lema de Konig 96

6.2 Compacidad 100

Segunda parte

Calculo de predicados

Capitulo 1

Simbolizacion,.107

Capitulo 2

Semantica, 135

Capitulo 3

Deducci6n Formal, 155

Capitulo 4

Resoluci6n en el

1.1 Predicruios, relacio!leS, cuantificadores

1.2 Igualdad, funciones

1.3 Conceptos primitivos y definidos

1.4 S intaxis

2.1 Estructuras

2.2 Validez

2.3 Isomorfismo

3.1 kdomatizaci6n del Calculo de Predicados

3.2 Validez del sistema axiomatico

3.3 Especiicaci6n existencial

3.4 Equivalencia, Forma Prenexa

calculo de predicados, 181 4.1 Forma Normal de Skolem

4.2 Teorema de Herbrand

108

116

121 :i

126

135

143

149

155

164

169

173

181

185

r ,

! .

Tercera parte

CaIculabilidad

Capitulo 1

Enumerabilidad efectiva, deddibilidad, 199

Capitulo 2

Funciones recursivas, 221

4.3 Metodo de Resoluci6n 190

4.4 Demostraci6n del Teorema de Herbrand 193

1.1 Conjuntos enumerables y no enumerables 200

1.2 Conjuntos efectivamente enumerables 206

1.3 Existencia de conjuntos no efectivamente enumerables 212

1.4 Conjuntos decidibles 216

2.1 Funciones recursivas primitivas 221

2.2 Funciones r.ecursivas 228

2.3 Conjuntos f,-o/.:ursivos 231

2.4 Funciones defmidas de relaciones 235

2.5 Conjuntos recursivamente enumerables 239

2.6 Funciones recursivas parciales 244

Capitulo 3 Maquinas de Turing, 247

Capitulo 4

Elproblema de Ia parada, 279

Capitulo 5

Recursividad de funciones

3.1 Maquinas de Turing 247

3.2 Ejemplos 256

3.3 Turing- Calculabilidad de Funciones recursivas 266

4.1 Maquinas Universales 279

4.2 EI problema de Ia parada 288

Turing-calculables, 293 5.1 Codificacian recurslva de sucesiones finitas 293

5.2 Recursividad de Ia [uncian de Ackermann 298

5.3 Toda [uncian Turing-calculable es recursiva 301

5.4 Forma normal de Kleene 309

B1iobliografia, 315

Explicar el sentido en que se toman las palabras, determinar bien su significado, es ir por el atajo de la verdad, es suprimir obstaculos y disputas interminables, tan prerjudiciales como inUtiles.

F.J. de Caldas, "Del inJlujo del clima sobre los seres organizados"

J ,

r: I! I, ,I I' '!

i' 11

r

II i !

!! 1

i r ,

1 ~r ;:.1

f I' :! ,~ : r ;;:' *' ~" 'JI

Introducci6n

Cuando se habla de l6gica moderna se usa referirse a ella como "L6gica Formal", "L6gica Simb6lica", "L6gica Matematica". Hist6ricamente tal terminologfa ha aparecido en el orden indicado. Podemos afirmar que la L6gica Formal es par 10 menos tan antigua como los escritos de Arist6teles, en donde ya se observa que la validez de los silogismos depende de su forma y no del significado particular de las proposiciones que los componen. En esta etapa los sfmbolos son meros auxiliares en la clasificaci6n de las diversas formas de argumen,tos. La L6gica Simb6lica en cambia tiene su precursor en Leibnitz, uno de los creadores del Calculo Infinitesimal, quien se interes6 por el problema 4e descubrir una "characteristica universa lis " , es decir un metoda para simbolizar proposiciones y argumentos de Mate-matica y Metaffsica y "calcular" can las formas simb6licas en orden a averiguar su verdad 0 validez. Este deseo se cristaliza, apoyado par los progresos del Hamada "metoda axiomatico", en el siglo XIX can los trabajos de George Boole, De Morgan, Frege, Shroeder, Pierce, y Peano. Puede decirse que esta etapa culmina en 1910 - 1913 can la monumental Principia Mathematica de Whithead y Russell, en donde una gran porci6n del raciocinio matematico se reduce a un calculo simb6lico. El desarrollo posterior corresponde ala L6gica matemdtica, cuando los sistemas formales mismos se convierten en objetos de estudio par metodos matematicos . (Metamatemiitica). Son Hilbert, LOwenheim, SkoIem, Godel, y Tarski, entre otms, los principales propiciadores en Ia primera mitad del siglo XX de este desarrollo,. el cual nos ha dado resultados muy profundos en los Fundamentos de la Matematica y en la Teorfa de Calculabilidad Efectiva, resutados que inciden radicalmente en areas que van desde la pura especu-

x

laci6n filos6fica hasta las aplicaciones practicas de la Matematica. Por otra parte la L6gica se ha convertido er un instrumento poderosfsimo para el estudio de las Matematicas mismas, de manera que ha IIegado a conformar una de las grandes areas en que se divide su estudio, junto con las tradicio-nales como Analisis y Algebra.

]

Primera parte

E1 Calculo de Proposiciones

1.\-,'.

Capitulo 1

Sintaxis

1.1 Simbolizaci6n

La idea de simbolizar proposiciones 0 partes de las proposiciones dellenguaje ordinario con el objeto de hacer explfcitas sus conexiones l6gicas se remonta par 10 menos hasta Arist6teles (384 - 322 A.C.). Expresiones como "todo S es P" fueron usadas por Arist6teles para simbolizar todas las afirmaciones de la forma: "todo hombre es mortal", "todos los metales brillan", "todos los gatos son pardos", etc .. Esto permiti6 establecer la validez de ciertos argu-mentos de una forma dada, independientemente de los significados del sujeto S y predicado P de cada proposici6n involucrada. Este es d caso, por ejemplo, del silogismo : si "Todo S es P" y "Ningun P es Q" entonces "Ningun S es Q", el cual en notaci6n tradicional se podrfa expresar:

Todo S es P

Ningun P es Q

Ningun S es Q.

Otro ejemplo mas sencillo seria : de "Algun S es P" se sigue "Algun P es S".

EI anal isis 16gico de las proposiciones a traves de la conexi6n sujeto-pre-dicado esta incluido en el Ca1culo de Predicados que estudiaremos mas adelante (Cap. II). El Calculo de Proposiciones que presentamos en este capitulo estudia por el contrario las conexiones logic as de las proposiciones dcsde un punta de vista mas general. Analizaremos las proposiciones

'1

I

1;-

't ii ,I I I

I I ,

II I, i l

4 Sintaxis

solamente en cuanto estas puedan estar compuestas 0 ser combinaci6n de proposiciones mas sencillas. Este analisis nos llevara a ciertas proposiciones at6micas que no se dejan descomponer mas, y que simbolizaremos por letras como p, q, r, etc. Ciertas partfculas y expresiones lingiifsticas que conectan proposiciones se simbolizaran tambien por sfmbolos especiales. Sera claro que la validez de muchos argumentos s610 depende de la forma como las proposiciones involucradas se combinan a partir de las at6micas por medio de estos "conectivos". Considere por ejemplo el argumento siguiente:

Juan tiene 20 afios 0 22 afios

Si Juan tiene 22 afios, entonces naci6 antes que Pedro. Juan no naci6 antes que Pedro.

Juan tiene 20 afios.

Evidentemente las cuatro oraciones estan formadas por combinaciones de las siguientes proposiciones at6micas:

en la forma:

p: Juan tiene 20 afios

q: Juan tiene 22 afios

r: Juan napi6 antes que Pedro

l.p6q

2. Si q entonces r. 3. No es el caso que r.

p

Ahora bien, el argumento es correcto no importa eual sea el significado de p, q, r. Si llamamos proposicion a cualquier expresi6n para la cual tenga sentido decir que es verdadera 0 falsa (aunque no tengamos manera de saber cual es el caso), y suponemos que p, q, r representan cualesquiera propos i-ciones, tenemos la siguiente demostraci6n informal del argumento simb6-lico anterior: si las premisas 1, 2, 3 son verdaderas, entonces p debe ser verdadera ; de fo contrario par la premisa 1, al ser fa/sa p deberia ser

i I .!

"

1.1 Simbolizaci6n 5

verdadera q; ahora, por fa premisa 2 al ser verdadera q serla verdadera r; pero esto contradirfa fa premisa 3 que estamos suponiendo cierta.

Es claro que la validez del argumento se basa solamente en el significado de los conectivos: "_ 6 _", "si _ entonces _"; "no es el caso que _", y no en el de lasproposiciones p, q, r.

Muchas expresiones del lenguaje ordinario conectan proposiciones para formar nuevas proposiciones, pero desde cierto punto de vista todas son substituibles por los siguientes conectivos cuya simbolizaci6n indicamos:

P 6 q (incluye el caso en que ambos p y q son ciertos )

si p entollces q (de p se sigue q, p implica, ... )

IW es el CGJO que p (no es cierto p, es falso p, ... )

pyq

P si y solamente si q

EI anterior argumento quedarfa:

p~q q ::) r

p

Tambien podrfa expresarse como una sola proposici6n compleja:

((p v q) A (q ::)r) A ( ..... r)) ::)p.

pv q

p::)q

~p

pAq

p-q

Esta ultima oraci6n es siempre verdadera, es decir es verdadera cualquiera que sea el significado de p, q y r, como 10 hemos demostrado en el parrafo anterior. Podrfamos decir que e[ objeto de la Logica es hallar estas formas absolutamente verdaderas, estas verdades logicas.

Note la importancia de los panSntesis para evitar ambigiiedades. La propo-

I i I I,.

6 Sintaxis

slClOn: "Viene Ana y si viene Luis viene Marfa" debe simbolizar-se p 1\ (q :J r). Si omitimos los parentesis queda p 1\ q :J r, que podrfa interpretarse alternativamente como: "Si vienen Ana y Luis entonces viene Marfa", alterandose el significado de la frase. La ultima proposicion debe simbolizarse (p 1\ q) :J r, y puede darse el caso de que esta proposicion sea verdadera y la primera falsa.

Ejemplo

La proposicion compuesta : "Si x es par entonces x2 es par. Si x2 es par entonces no es impar. Ademas, x es par 0 impar. Por 10 tanto, si x2 es impar entonces x es impar." se puede simbolizar a partir de las proposiciones atomicas: p: x es par r: x2 es par q: x es impar s: x2 es impar como:

p :J r) 1\ (r :J ~ s) 1\ (p V q:J (s :J q).

A pesar de que la conclusion de esta implicacion es verdadera si se entiende que hablamos de numeros naturales, Ia forma proposicional completa no es siempre verdadera, se puede dar significados a las Ietras p, q, r, s bajo los cuales la proposicion es falsa. Utilice por ejemplo los significados originales dados arriba, pero cambiando x2 por 3x.

Finalmente observamos que cuando hem os hablado aquf de argumentos, validez, demostraciones, etc. nos hem os referido a 'su significado intuitivo en el raciocinio ordinario, matematico 0 extramatematico. Uno de los objetivos principales de la logica es dar un sentido preciso a estos conceptos.

Ejercicios

1. Simbolice de Ia forma mas fina posible, es decir use letras s6lo para aquellas proposiciones que no son compuesta de otras (proposiciones at6micas).

a. Si Juan viene a la fiesta, Luis vendra. Si Luis viene Marfa tam bien. Pero Marfa viene solo si Juan viene. Par 10 tanto, Luis no vendra a la fiesta.

b. x es primo si y solo si x no es 1 y no tiene divisores propios.

2

3

1.1 Simbolizacion 7

c. Si ella es alta 0 rubia entonces debe llamar la atenci6n. Por 10 tanto, si el portera estaba en la puerta y no dorm fa, es imposible que ella haya entrado sin que ella haya visto .

. d. Si 12 divide any amy si cuando x divide tanto a m como n, se tiene que x oS 12, entonces existen a y b tales que 12 = am+bn.

2. Demuestre que el argumento:

p:::lq

q:::l...,r

svp

r:::ls

. es correcto, independientemente del significado de p, q, r, s.

3. Simbolice:

x es par 0 impar pero no ambos

x es par si y solo si x2 es par

si x es impar entonces x2 es impar

Demuestre que el argumento simbolizado no es correcto inde-pendientemente del significado de las proposiciones. l Que premisa se podrfa aiiadir para que el argumento resulte correcto, inde-pendientemente de su significado?

4. Cad a uno de los conectivos siguientes es expresable como p:::l q 0 como q :::l p. Indique cUlil es el caso:

a. p, si q

b. P solamente si q

c. peon la condici6n de que q

d. pes condici6n suficiente para q

e. p es condici6n necesaria para q

f. P se sigue de q.

ii I , il :

:1 , !

I I. 1: I ! t

8 Sintaxis 1.:

5: Simbolice de la manera mas fina posible: Maria no vendra a la fiesta a d( menos que Luis venga. 0

6. EI simbol.o v se reserva para la interpretaci6n inclusiva de la disyunci6n 6, es decir p v q incluye como posibilidad eI caso en que ambas proposiciones son verdaderas. Suponga que v simboliza el 6 exclusivo (p v q significa : s61.o p 6 s610 q)

a. Exprese p v q en terminos de v, ~ e 1\ b. Exprese p v q en terminos de v. e 1\

1.2 Formulas bien formadas,induccion en formulas

Definimos en esta secci6n de una manera precisa el lenguaje formal con que vamos a trabajar. Como hem os visto en la secci6n anterior la forma y las relaciones estructurales entre las expresiones simb6licas reflejan de alguna manera las propiedades y relaciones de [as conceptos que elias pretenden denotar. Esto justifica el estudio de las expresiones mismas como combinaciones de sfmbolos.

El alfabeto del lenguaje del Ca1culo de Proposiciones consiste de los siguientes sim bolos:

Conectivos proposicionales

Parentesis

Letras proposicionales

()

pqrstuvw

Pi PZ P3

qi qZ q3

Los conectivos proposicionales se IIaman respectivamente negaci6n, con-juncian, disyunci6n, implicacian y equivalencia. Los parentesis se distin-gucn como parentesis izquierdo "(" y derecho ")". Si V denota el conjunto

ot

F:

F:

L sa cc

1.2 F6nnulas bien fonnadas, inducci6n en f6nnulas 9

de sfmbolos de este alfabeto, llamaremos y* al conjunto de todas las cadenas o sucesiones finitas de sfmbolos de V, con posibles repeticiones, por ejemplo: .

. . '.'-' . . IncluiremQsppr conveniencia en Y una cadena vaCa que no contiene. sfmbolos y' que denotaremos A. Utilizaremos letras griegas a, ~,y ';.;' para denotar cadenas arbitrarias de sfmbolos. Si a = al ... an E Y Y ~ = bl ... bk E Y entonces aj3= al ... anb1 ... bk sera la yuxtaposici6n 0 concatena-cion de a y 13. En particular para Ia cadena vacfa tendremos Aa =aA = a .

Entre todas esas cadenas especificaremos par medio de la definici6n siguiente ciertas expresiones que lIamaremos formulas bien formadas 0 fufs. La definici6n es constructiva ya que da "instrucciones" para construir fufs.

Definicion 1. Una cadena de sfmbolos es una fbf si y solo 51 puede obtenerse par medio de las reglas siguientes:

Flo Las letras proposicionales son fbfs.

F2. Si a es fbf entonces ~(a) es fbf.

F3. Si a y 13 son fbfs, entonces (a)A(j3), (a)v(j3), (a)::>(j3) y (a)-(j3) son fbfs.

Ejemp[o

Las expresiones de las lfneas siguientes son fbfs. Las de la primera !fnea 10 son por (FI). Las demas provienen de fbfs en lfneas anteriores, de acuerdo con (F2) y (F3),

p

(P)A (q)

p) " (q

(p) " (q

q

~(q)

......

r s

(r) v (s)

~(q) v (r) ~ r) v (s ~(q) vCr~ ~(q)) v (r) :::l (~ r) v (s

',j

'I '.',

-10 Sintaxis

En cambio, la expresi6n p)1I q::>::>(q) no es fbf. Basta observar que (Fl) s610 produce letras proposicionales y las reglas (F2) y (F3) s610 producen cadenas que comienzan en "~" 0 en "(". La siguiente cadena tam poco es bien formada, hecho cuya demostraci6n es mas diffcil:

~(~(~(P) II r)v (s::> (P).

La siguiente propiedad de las fufs esta implfcita en la definici6n. Nos dice que toda fbf se puede "analizar" por medio de fufs mas simples:

F4. Toda fbf es una letra proposicional 0 tiene una de las formas ~ (a), (a)1I (13), (a)v (13), (a)::> (13) 0 (a)::> (13), en donde a y 13 son tambien fbfs.

L1amamos ;:s al conjunto de las fbfs. Para cada conectivo proposicional podemos definir UEa operacion en V*:

F ~ : a I-~ (a) F II : a, j3l-(a) 11(13)

F v : a, j3l-(a) v (13)

F::>: a, f I-(a)::> (13) F ++ : a, 131-(a) ++(13)

Un subconjunto J de V* es induetivo si es cerrado bajo tales operaciones. Por supuesto ;:s y V* mismo son inductivos. El siguiente lema muestra que ;:s es el conjunto inductivo mas pequeno que contiene las letras proposicionales.

Lema 1. Si J es un conjunto inductivo que contiene las letras proposicio-nales entonces ;:s C J

Demostraci6n. Por inducci6n en n demos tram os que si una fbf a de ;:s tiene n ocurrencias de conectivos entonces a EJ. n = O. Entonces a es letra proposicional y a EJ por hip6tesis. Suponga la hipotesis de inducci6n cierta para toda k

1.2 F6nnulas bien fonnadas, inducci6n en f6nnulas 11

n ocurrencias de conectivos. Par hip6tesis de inducci6n: a', a" EJ PeroJ es inductivo, por 10 tanto ~ (a') E J y (a') 0 (a")E J . l1li

EI lema anterior tiene como corolario el siguiente importante teorema que tendremos ocasi6n de usar muchas veces.

Principio de inducciqn,(!n formulas. Sea ffJ una propiedad que se apliea ... , a eiertas sueesiones de sfmboLos y taL que:

1. Cada Letra proposieionaL tiene La propiedad, II. (a) Si a es una fbf que tiene fa propiedad entonees ~ (a) La tiene.

(b) Si a y (3 son fbfs que tienen La propiedad entonees (a) 0 ((3) tiene La propiedad, para eualquier eoneetivo binario O.

Entonees coda fbf tiene La propiedad.

Demostracwn. Sea J = {a E ~ I a tiene la propiedad ffJ}, entonces J contiene las letras proposicionales por (I) y es inductivo par (II). Por tanto

~ CJ. I!li!

Ejemplo

EI numero de sfmbolos en toda fuf qs de la forma 3n + 1. Basta comprobar I y II. Sea L[a] eI numero de sfmbolos en a. 1. Si a es letra proposicional. L[ a] = 1 = 3 -0 + 1 II. (a) Si L[ a] = 3n + 1 entonces L[ ~ (a)] = 3 + (3n + 1) = 3(n + 1) + 1.

(b) Si L[a] = 3n + 1 Y L[(3] = 3k + 1, entonces L[(a) 0 (3)] = 5 + 3n + 1 + 3k + 1 = 3(n + k + 2) + 1.

Ejercicios

1. Demuestre rigurosamente que las cadenas siguientes no son fufs: (P), ~, p A q, (pp) 1\ (q), ~(~(~(p) 1\ r) v (s::> (p), ~ p) ~ (q) ::> (r ::> ( ~ (.., (P 1\ (r ::> (q)).

2. Demuestre por inducci6n en f6rmulas:

12 Sin taxis

a. Si N[a] = # negaciones en a y B[a] = # de conectivos binarios, entonces el numero de parentesis de a es 2N[a] + 4B[a].

b. Toda ocurrencia de ")" en una fbf va precedida de ")" 0 de una !etra proposicional.

c. Toda fbf que no es letra proposicional term ina en ")".

d. En toda fbf el numero de parentesis izquierdos es igualal de derechos.

3. Demuestre que ;s = n{J IJ es inductivo y contiene las letras proposi-cionales }.

4. Un conjunto X.de cadenas de sfmbolos es proposicional si todo elemen-to de X. es una letra proposicional 0 tiene una de las form as ~ (a), (a)O(3), donde a y f3 pertenecen a X. y 0 es un conectivo.

a. Demuestre por inducci6n en el numero de conectivos de los elemen-tos de X. que X. C ;So

b. Demuestre que ;s = u{x.1 x. es proposicional}. c. *Demuestre que si X. ;=! 0 entonces X. debe contener letras proposi-

cionales. (Ayuda: considere un elemento de X. de longitud mfnima.)

d. *Demuestre que siJ es un conjunto no vacfo inductivo y proposicional entonces J = ;s', donde ;S' es el conjunto de fbfs que se obtienen utilizando solamente las letras proposicionales de J.

Demostraremos en esta secci6n que el lenguaje formal introducido es . inambiguo, es decir no es posible que una fbfa tenga dos descom posiciones distintas, v.gr.:

a = C . tL.) II ( .. Y ) a = ( ... f3' ... ) v ( .. y' ... )

1.3 Descomposicion (inica, ronectivoprincipai 13

en fbfs mas sencillas ~,y 0 W, y'.

Sea a una cadena de sfmbolos arbitraribs;la cadena (3 es un segmento inicial de a si existe otra cadena y tal que a =(3 y. Denotaremos esta relaci6n par

~,;; a. La cadena vacfa, A, es un segmento inicial de a (a = A a), a mismo es un segmento. inicial de a (a = a A).,SiA.,;; a y A. a, A. es un segmento inicial propio de a, y esto se denota X

14

-

Sintaxis

I[A1 = 2 + I[a1 + 1[y];;: 2 + D[aJ+ D[y] = 1 + D[APD[A1, 10 cual implica (2) y (1) para A. II

Teorema de la. Descomposicion unica. Toda fbf a es una letra proposi-donal, es de'laforma ...,(a ') con a' fbI, ose puede expresar de una manera unica en laforma a = (a ') 0 (a") con a', a" fbfs yO un conectivo binario.

Demostraci6n. Par (F4) a tiene una de las tres formas indieadas. Suponga que existen a', a", ~', W' E:s y conectivos binarios * y # tales que a = (a') * (a") = (W) # (W') Mostraremos que a' = W, a" = W' y * = #. Suponga a' '" W, entonces a'< W 0 W< a'. En cualquier caso e contradice el lema anterior pues un segmento inieial propio de una fbf'resulta fbf. Por 10 tanto, a' = W. Esto fuerza los segmentos )*( a") y )#(~") a ser iguales. Por 10 tanto: * = #, a') = W') y asf a" =: I)". III

Note que si nuestra definici6n de fbf no incluyera parentesis el teorema serfa falso, pues a = p A q V r tendrfa dos descomposiciones con a' '" W, a" '" W' y * '" #.

La primera ocurrencia de la negaci6n en una fbf de la forma ...,(a),o la ocurrencia del conectivo 0 en la descomposici6n liniea: a = (a') 0 (a") se llama el conectivo principal, 10 seiialamos con una flecha en el ejemplo siguiente:

p) A ""(r v (s)})", ""(P::> (...,( ...,(r. j

. En f6rmulas muy complicadas puede ser diffcil encontrar a simple vista el conectivo principal. Daremos un algoritmo que podrfa programarse facil-mente en una computadora parahallarlo.

Algoritmo. Si la f6rmula comienza por ..., ese sfmbolo es el conectivo principal; de 10 contrario la f6rmula debe comenzar por un parentesis izquierdo. Recorra la formula de izquierda a derecha. Asigne al primer parentesis izquierdo el numero 1. Asigne a cada parentesis izquierdo el valor asignado al parentesis anterior mas 1. A cada derecho, el valor del parentesis anterior menos 1. EI conectivo principal es el simbolo inmedia-

;\ tamente despues del primer parentesis al que se asigne O.

" il L

1.3 Descomposicion unica, conectivo principal

Ejempio:

p) A ~(r)) V (S)) A ~(pn::>(~(..,{~(r)))) 12 1 23 432 3 2 10

Tenemos el algoritmo. l.Que nos garantiza que fU!:lQrpna?

15

Detnls de cada algoritmo no trivial hay un teoreina.que garantiza que al aplicarJo se obtiene realmente 10 que se pretende.

Demostracwn de la validez del algoritmo. Note que si 'A. es un segmento inicial de una fbf a, el numero asignado al ultimo parentesis de 'A. segun las instrucciones del algoritmo es I['A.] - D['A.]. Por ellema 2 este numero es ;;;: O. De manera que Ie numero asignado al i-esimo parentesis de a es ni ;;;: O. En particular, como los parentesis izquierdos y derechos estan balanceados en a, el numero asignado al Ultimo parentesis de a es I[ a] - D[ a] = O. Considere ahora (a) 0 ({3). AI aplicar el algoritmo a esta nueva f6rmula, se comienza con un panntesis izquierdo adicional a los que pueda haber en a al cual se Ie asigna 1, de manera que al i-esimo parentesis de a se asigna ni + 1 >0. En particular, al ultimo de (a se asigna 0 + 1 = O. Por 10 tanto, al parentesis ")" que Ie sigue se asigna 1 - 1 = 0, siendo este el primer cero. III

Ejercicios

1. Demuestre que la relaci6n :s; es un orden parcial en V*, es decir es reflex iva, transitiva y antisimetrica.

2. Demuestre que en todo segmento inicial 'A. de una fbf D['A.] :!: # de conectivos binarios en 'A..

3. Sea a una fbf y 'A. una cadena arbitraria de sfmbolos, demuestre que si (a) 'A. es una fbf entcinces 'A. tiene la forma 0 ({3) donde a es un conectivo binario y f3 es una fbf.

4. Defina segmento final de una cadena de forma apropiada y demuestre que si 'A. es segmento final de una fbf, I ['A. ] s D['A.].

; ,

i i

.1

,I i!

.,

I I I I !

-

16 Sintaxis

1.4 El arbol de una formula, definiciones recursivas

Una vez que sabemos c6mo hallar el conectivo principal, tenemos un metoda algorftmico para descomponer una fbf en todas sus subf6rmulas, es decir aquellas fbfs que entran en su formaci6n, como 10 indica el ejemplo siguiente:

p) II ~ (r)) v (s))) II ~ (P)) ::J ( ~ ( ~ (r)))) 12 1 23 432 3210 1

I

I I (p) 1\ ~ (r)) v (s)) (~(P))::J( ~ (~(r))) 1 0 I 1 210 i I I

J(p) l P (~(r)) v (s) ( ~ ( ~ (r)) 1 2 10 I I \ 1 I ~ (r) s p ~ (r)

\ \' \ r r

La descomposici6n solo se detiene en las letras proposicionales. Si conec-tamos cad a subf6rmula can la f6rmJla de la cual se hi} desprendido obtenemos un arbol cuyos nodos son f6rmulas. Si colocamos en cada nodo solamente el conectivo principal de cada subf6rmula tenemos el arbol de laf6rmula:

r r

cuyos nod os tcrminales son las Ictras proposicionales.

1.4 El arrol de unaf6rmula, definiciones recursivas 17

Es posible reconstruir la formula a partir de su arbol; basta comenzar en los nodos terminales (Ietras proposicionales) y aplicar la operacion sintactica indicada por cad a nodo. por ejemplo:

/\ r r

f-> s

.......... fi .. ...v.. ... .L. .. .... .. / .......... ~ ( ~ (r))v (s) -, (r) s

El arbol de una formula es mas fundamental que la formula misma pues indica la (unica) forma como esta es combinacion de operaciones aplicadas a las letras proposicionales, yes independiente del tipo de notacion que se use, como veremos en la secci6n 1.6.

Considere ahara la siguiente definicion de una funcion C : 5S - IN,

1. c [p] = 0 si p es letra proposicional

2. C [ ~ (a)] =C [a] + 1 3.C [(a)O(~)]=C [a]+C [~]1+1

La 'definicion anterior se llama recursiva porque permite calcular el valor en una formula en terminos de los valores en las subf6rmulas que la componen. Como la longitud de las subformulas va disminuyendo, el calculo debe terminar en una numero finito de pasos. La funcion C del ejemplo simpiemente cuenta el numero de conectivos que ocurren en la formula. Sin embargo, hay otras funciones recursivamente definidas que .no tienen una interpretacion tan sencilla. Considere

1. f[p] = 0 si p es letra proposicional

2. f[ ~(a)] = f[a] + 1 3. f[(a) 0 (~)] = Max(f[a],f[~]) + 1

Dada una fbf a podemos calcular f[ a] de la manera siguiente.

18 Sintaxis

Determinamos si es letra proposicional, comienza en "~" 0 comienza en "(". En el primer caso f[ a J = 0, en el segundo caso a = ~ (a') y debemos calcular f[a'). En el tercer caso debemos hallar el conectivo principal, escribir a = (a') 0 (a") y calcular f[a'], f[a"]. Para hallar f[a'], 0 f[a'] y f[ a"] debemos Jepetir el analisis con cada uno de ellos. Debemos construir . pues el arbol dela formula! Si a es la formula del ejemplo que consideramos. al comienzode esta seccion, f]a J se calcula construyendo el arbol y luego calculando de las proposicionales hacia arriba segun la definicion de la funcion:

1~

o i :

Os

En cad a node se da el valor de fen la subformula correspondiente a ese nodo.

Note que es el teQrema de descomposicion unica el que garantiza que una funcion definida por recurrencia esta bien definida. Si este no valiera y tuvieramos a = (a') * (13') = (a") # (P") con a' ;>< 13', a";>< 13", entonces al aplicar (3) del ejemplo anterior tendrfamos:

f[a] = Max(f[a'],f[WD + 1

f[ a] = Max(f[ a"],f[!3"]) + 1

lo.cual pod ria dar dos valores diferentes.

Se puede demostrar, por induccion en formulas, que la funcion f definida anleriormente da la longitud m,lxima (en numero de arcos) de las ramas del arbol de la formula. Por ejemplo, l1(p 1\ q) V (D s)] = 2 mientras que f[p 1\ (qV(DS))J = 3 (Ejerc.3).

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