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IV. SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEP TOS

A. COORDENADAS POLARES

Dado un punto en el plano cartesiano ,x y (coordenadas rectangulares), dicho punto

puede ser representado con otras coordenadas (coordenadas polares) que consisten en dar la distancia del origen al punto y el ángulo que se forma entre el eje x positivo y la línea que une al origen y el punto.

Consideremos al punto con coordenadas rectangulares 2,3P “x=2, y=3” y lo

representaremos en el plano cartesiano.

Como ya se dijo, éste punto se puede dar con otras coordenadas:

coordenadas coordenadasrectangulares polares

2,3 ,P P r

Ahora, para calcular el valor de r y θ tenemos:

2,3P

r: distancia entre el origen y

el punto 2,3P .

θ : ángulo entre el eje x positivo y la línea que une al origen con el punto.

por Pitágoras: 2 2 2

2

3 2

9 4

13 3.6

r

r

r

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y para el ángulo θ :

1

3tan

2

3tan

2

56.30

es decir, el punto 2,3P escrito en coordenadas polares es 13,56.3P

En resumen, y no es difícil observar que, en general, tenemos:

Coordenadas rectangulares ,x y a polares ,r

2 2r x y 1tany

x

Coordenadas polares ,r a rectangulares ,x y

cosx r seny r

Ejemplos.- Convertir las coordenadas de los puntos que se dan a las coordenadas que se piden

a) 5, 3 polares

Grafiquemos el punto 5, 3

2 2 2

2 2

r x y

r x y

1

tan

tan

y

x

y

x

sen

sen

y

r

r y

cos

cos

x

r

r x

x =valor absoluto del

número x

2 2 , 5 5 , 0 0

5, 3x y , encontremos a r y a θ con nuestras

fórmulas:

2 2

2 25 3

25 9

34

r x y

r

r

r

1

1

1

ángulo de referencia

tan

3tan

5

3tan

5

30.96

y

x

,

5, 3x y

360° 30.96°

θ =360°–30.96°

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es decir 5, 3 34,329.04

b) 3,60 rectangulares

3, 60r localicemos “más o menos” este punto en el plano:

c) 6,30 rectangulares

En el plano cartesiano este punto queda:

Ejercicios.- Convertir

a) 2,1 polares b) 7, 2 polares

c) 5,70 rectangulares d) 4,120 rectangulares

e) 3,45 rectangulares f) 8,4 polares

g) 31, rectangulares h) 4

2 2, rectangulares

i) 5, 10 polares

3,60

con nuestras fórmulas encontremos a x e y

12

32

cos

3 cos60

3

x r

x

x

x

32

3 32

sen

3 sen60

3

y r

y

y

y

es decir 3 232 2

3,60 ,

aplicando nuestras fórmulas encontremos a x e y

32

cos

6 cos30

6

3 3

x r

x

x

x

12

sen

6 sen30

6

3

y r

y

y

y

es decir 6,30 3 3, 3

30°

30°

3 3

6,30

6,30

como r es negativa, se toma el sentido contrario

del punto 6,30

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B. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO

Para la distancia entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el plano cartesiano tenemos la

siguiente fórmula: 2 2

2 1 2 1d x x y y

Por ejemplo para la distancia entre los puntos A(–2,3) y B(7,–3) se tiene:

A(x1, y1) y B(x2, y2) A(–2, 3) y B(7, 0)

Aplicando la fórmula mencionada tenemos:

2 2

7 ( 2) 0 (3)d

2 2

9 3d

81 9 90 (9)(10) 3 10d

3 10d ó ____

3 10AB

EJERCICIOS.- Considera los siguientes puntos del plano cartesiano y encuentra lo que se te pide de la pregunta 1 a la 5

A(-2,4) , B(3,1) , C(0,-8), D(7,-1) , E(-3,-5) , F(6,0)

1.- AB

2.- DE

3.- El perímetro del triangulo ACD

4.- El perímetro del triangulo BEF

5.- El perímetro del triangulo EAF

6.- Determina cual de los puntos A(7,3) , B(-5,2) y C(-8,1) es el más cercano al punto P(1,1/2).

7.- Calcula el área del circulo limitado por la circunferencia que tiene su centro en el punto C(5,1) y que pasa por el punto P(1,4). 8.-Si la longitud de un segmento es 10 y las coordenadas de uno de sus extremos son A(8,10), calcula la ordenada del otro extremo, sabiendo que su abscisa es 2 (dos soluciones)

Distancia entre el punto A y el punto B

Se denota: AB d

Recuerda que al igual que un número fraccionario, las raíces también se tienen que simplificar.

103109)2)(5)(9(90

Descomposición factorial del 90

90 2

45 3

15 3

5 5

1

9 10

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C. ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Para encontrar el área de un triángulo recuerda que tenemos la fórmula 2

b hA

sin

embargo en geometría analítica, si contamos con las coordenadas de los tres vértices del triángulo, podemos utilizar la fórmula que tienes en tu formulario y es:

1 1

2 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3

3 3

1 1

2 2

x y

A x y x y x y x y x y x y x y

x y

Ejemplo.- Encontrar el área de triangulo cuyos vértices tiene coordenadas A=(–1,2) B=(3,–2) y C=(4,6).

Acomodando las coordenadas del triángulo en la fórmula se tiene:

1 21

3 22

4 6

A

, Ahora repetimos el primer renglón debajo del arreglo anterior y

obtenemos los siguientes productos.

EJERCICIOS.- Encuentre el área de las siguientes figuras si las coordenadas de sus vértices son:

(a) A(–2,–2) , B(7,1) y C(3,8)

(b) J(3,–1) , K(–2,7) y L(1,6)

(c) M(–1,–2) , N(–5,–3) , P(–3,–6)

(d) A(–4,3), B(0,–2), C(5,2) y D(1,7)

(e) A(2,2), B(1,1), C(4,–1) y D(8,5)

(f) A(1,1), B(5,2) y C(3,5)

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D. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO DADA UNA RAZÓN

Dadas las coordenadas de un segmento AB , para encontrar las coordenadas que dividen a

dicho segmento en partes iguales, tenemos las fórmulas: 1 2 1 2

1 1r r

x rx y ryx y

r r

en

donde necesitamos las coordenadas de los extremos del segmento y la razón (r) en que cada punto divide al segmento.

EJEMPLO.-

Dividir el segmento AB en tres partes iguales si A=(-1,6) y B=(5,2) Primero representamos los puntos A y B así como los puntos que queremos encontrar intuitivamente.

Como podemos ver para partir el segmento AB en tres partes iguales se necesitan 2 puntos C y D entre ellos, los cuales parten al segmento en la razón:

1 un tramo desde hasta

2 dos tramos desde hastaC

A Cr

C B

2 dos tramos desde hasta2

1 un tramo desde hastaD

A Dr

D B

Ahora apliquemos las fórmulas antes mencio-nadas para encontrar las coordenadas de C y D.

Para el punto C:

5 312 2 2

3 312 2 2

1 ( )(5) 11

1Cx

1 22 2

3 312 2 2

6 ( )(2) 6 7 14

1 3Cy

143C=(1, )

Para el punto D: 1 (2)(5) 1 10 9

31 2 3 3Dx

6 (2)(2) 6 4 10

1 2 3 3Cy

103D=(3, )

EJERCICIOS.-

1.-Divide el segmento AB en tantas partes iguales como se te indica

(a) A=(–1,4), B=(6,2) en tres partes iguales. (b) A=(3,5), B=(8,–2) en cuatro partes iguales. (c) A=(–4,–3), B=(7,4) en cuatro partes iguales. (d) A=(–1,–1), B=(5,6) en tres partes iguales

2.-Calcula las coordenadas del punto que divide al segmento AB si A(–2,–1) y B(3,2) con una razón = –2

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E. POLÍGONOS

Se llama polígono a la porción de plano limitado por una curva cerrada, llamada línea poligonal. Un polígono puede ser convexo o cóncavo. Se dice que es convexo si todas sus diagonales están dentro de él, y es cóncavo si alguna de sus diagonales no queda dentro de él.

Los lados del polígono son los lados de la poligonal: AB , BC ,CD , etc. El número de lados del polígono es igual al número de vértices y de ángulos. De acuerdo con el número de lados, los polígonos reciben nombres especiales, el polígono de menor número de lados es el triángulo.

No. de lados Nombre

Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho

Nueve Diez Once Doce

Quince

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono

Endecágono Dodecágono

Pentedecágono

Diagonal.- Se llama diagonal al segmento determinado por dos vértices no consecutivos

BE y EG de las figuras anteriores.

Teorema.- La suma de los ángulos interiores (Si) de un polígono convexo es igual a tantas veces el número lados menos dos por 180°

180 ( 2)iS n

Los ángulos internos de un polígono, son los formados por cada dos lados consecutivos. Los ángulos externos de un polígono son los ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos prolongando los lados de un mismo sentido. www.ca

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Ángulos Interiores

Ángulos Exteriores

A

B

C

D

E

F

1

2

3

4

5

6

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales, es decir que es equilátero y equiángulo, valor de un ángulo interno de un polígono regular. Como el polígono regular tiene todos sus ángulos interiores iguales, el valor “i” de uno de ellos se encuentra dividiendo la suma entre el número “n” de lados.

iSi

n

Y como 180 ( 2)iS n

180 ( 2)n

in

Teorema.- La suma de los ángulos exteriores Se de todo polígono convexo es igual 360°

El valor de un ángulo exterior “e” es 360

n

Teorema.- El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice es igual al número de lados menos tres. 3d n

Teorema.- Si n es el número de lados del polígono, el número total de diagonales D, que pueden trazarse desde todos los vértices, está dada por la fórmula.

( 3)

2

n nD

Teorema.- Dos polígonos son iguales si pueden descomponerse en igual número de triángulos respectivamente iguales y dispuestos del mismo modo.

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F. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El símbolo de semejanza es

Si 'A A , 'B B y 'C C y ' '

AB

A B =

' '

BC

B C =

' '

CA

C A

Entonces: ' ' 'ABC A B C

Para asegurar la semejanza de dos triángulos no es necesaria la comprobación de todas estas condiciones pues, según se verá más adelante el hecho de tener algunas nos determina todas las demás, con las diferencias que implica cada caso. Dos lados son homólogos cuando se oponen a ángulos iguales.

' '

' '

' '

AB y A B

BC y B C

CA y C A

Son lados homólogos

1. CARACTERÍSTICAS DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Idéntico.- Todo triángulo es semejante a sí mismo.

Recíproco.- Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.

Transitivo.- Dos triángulos semejantes a un tercero, son semejantes entre sí.

2. RAZÓN DE SEMEJANZA

Es la razón de dos lados homólogos. La razón de semejanza es cualquiera de las razones

' '

AB

A B =

' '

BC

B C =

' '

CA

C A

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Teorema.- Toda recta paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

3. CASOS DE SEMEJANZA

Dos triángulos son semejantes: Si tienen dos ángulos respectivamente iguales. Si 'A A y 'B B entonces ' ' 'ABC A B C

Si tienen dos lados proporcionales e igual ángulo comprendido entre dichos lados.

Si ' '

AB

A B=

' '

AC

A C y 'A A entonces ' ' 'ABC A B C

Si tienen sus tres lados proporcionales. Si ' '

AB

A B=

' '

BC

B C=

' '

CA

C A entonces ' ' 'ABC A B C

EJERCICIOS: En cada uno de los siguientes ejercicios se dan triángulos semejantes y las medidas de alguno de sus lados. Encuentra las medidas de los triángulos restantes.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

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