Ximo Beneyto Apunts · b) Cálculo de la Suma. [ Obtener la Suma de la Serie en caso de ser...

Ximo Beneyto

Apunts

XB

Apuntes

Series

Tema : Series Numéricas. Pàgina 2

Antes de empezar a desarrollar el tema de las Series de Números Reales, es conveniente revisar

a fondo el contenido y los conceptos del tema precedente (Sucesiones de Números Reales), del cual

necesita todo su potencial de cálculo, así como la interiorización del concepto ‘límite’ de una sucesión.

Concepto éste que resulta esencial para comprender la idea de Serie de Números Reales. No es posible un

desarrollo fluido del presente tema sin los conocimientos anteriores, pues iremos cayendo sucesivamente

en lagunas de comprensión y de técnica, imprescindibles para seguir adelante.

1. Definición

Sea una Sucesión de Números Reales, construyamos, a partir

de sus términos, una nueva Sucesión , de la siguiente forma :

< Cada término de esta nueva sucesión es la SUMA desde el primer término hasta el

n.simo término de la sucesión , tal como se ha propuesto.

A esta nueva Sucesión se le llama Sucesión de las Sumas Parciales asociada a .

Cuando exista , sea o no finito, definiremos la Serie Numérica, o simplemente Serie

asociada a , precisamente a este límite.

A pesar de la definición anterior, para hacer referencia a la Serie Numérica asociada a la

sucesión se suele recurrir a la notación , notación, por otra parte, ampliamente

XB

Apuntes

Series


aceptada, aunque pueda resultar confusa.

, cuando este límite exista, sea o no finito.

No obstante la relación anterior, generalizaremos el uso de la notación para indicar la Serie

Numérica, o simplemente Serie asociada a la sucesión , originada por la sucesión , aun

desconociendo el término general de la Suma Parcial de Orden ‘n’ asociada y su comportamiento en el

límite.

Necesitaremos revisar el concepto de límite de una Sucesión para poder comprender el concepto

de Serie, pues, ésta no representa, como en un principio podríamos pensar, la “Suma de los infinitos

términos de la Sucesión ”, sino, ese valor, único, si existe, que representa el límite de la Sucesión

de Sumas Parciales. Concepto éste, FUNDAMENTAL para la comprensión y desarrollo del tema.

A an, término general de la Sucesión dada, también se le llama término general de la serie

, siendo los términos de la Serie los términos de la Sucesión .

y , serán, pues, formas habituales de referirnos a la Serie

asociada a la Sucesión , siendo . la más adecuada.

2. Relaciones entre Conceptos :

TRelación entre y :

Si en la Relación (I), restamos Sn y Sn-1 observamos que :

T Por tanto, tenemos :

Relación que permite obtener an a partir de Sn.

XB

Apuntes

Series


T Relación entre y : , cuando existe el límite, sea o no

finito.

A también le llamaremos Sucesión de Sumas Parciales de la Serie , sin que

cause ninguna confusión.

[NOTA 1: Realmente, tal como se ha definido el concepto de Serie Numérica, en adelante

simplemente Serie, la expresión representa simplemente:

T un número

T más ó menos infinito

T nada

según sea , finito, infinito o no exista. Así que, realmente, a lo largo del tema deberíamos

referirnos a la sumabilidad o no de los términos de la sucesión .

No obstante, puesto que la notación es de uso corriente en la mayor parte de los textos de

Matemáticas referidos a las Series, seguiremos ésta en el desarrollo del tema conscientes de su

‘abuso’ en ciertos momentos.]

[NOTA 2: Acerca del símbolo SUMATORIO , , sigma mayúscula del alfabeto griego, se

utiliza en Matemáticas para reflejar una SUMA de elementos. Generalmente en la parte inferior de

dicho símbolo indicaremos la variable respecto de la cual queremos efectuar la suma, así como el

primer valor de dicha variable, en la parte superior indicaremos el valor final ésta. Siempre valores

naturales.

Así, ].

3. Carácter de una Serie Numérica

Dada una Serie , cuya sucesión de sumas parciales es

XB

Apuntes

Series


Si ( es decir, existe y es finito ) decimos que es una Serie

Convergente . Al número real S, le llamaremos Suma de la Serie .

Escribimos = S

Si decimos que es una Serie Divergente y no tiene Suma

Finita.

decimos que la serie No Converge y es No Sumable.

Podemos, pues, comprobar la sencillez del estudio de una serie conocido el término

general de su sucesión de sumas parciales, Sn .Cuestión ésta, que más adelante se verá, no es

cuestión sencilla.

Es claro, así mismo, el interés especial que nos merecen las Series Convergentes, al representar

éstas valores finitos de la Suma. A pesar del matiz existente entre ambos conceptos, Divergencia

y No Convergencia serán en ocasiones asuntos similares, al reflejar ambos que la Serie no tiene

Suma Finita.

Convergencia, Divergencia o No Convergencia de una Serie es el Carácter o Naturaleza de la

Serie.

Veamos un ejemplo que pone de manifiesto todos los conceptos expuestos y su relación:

Ejemplo .- De una Serie , conocemos el término general de la sucesión de sus sumas

parciales .

a) Hallar an y formar la serie

b) Hallar a1 + a2 + a3 +AAA+a1.000.000 =

c) Estudiar si es CONVERGENTE y hallar su SUMA.

a) ¿ an ?

De las relaciones obtenidas anteriormente, deducimos que :

XB

Apuntes

Series


[Observa que el sumatorio empieza desde n = 2, pues a1 no se puede obtener mediante la expresión

que acompaña al Sumatorio]

b)

Puesto que representa la SUMA de los 1.000.000 primeros términos de la sucesión

, e interpretando el concepto de Suma parcial de orden n

Y

c) ¿ Convergencia, Suma ?

Puesto que :

.

Parece obvio manifestar la dificultad que entraña hallar Sn a partir de an , de lo contrario, el tema

sería supersencillo. En el apartado de problemas resueltos se encuentran varias situaciones para “ver

y obtener” la formación de Sn a partir de an..

Sigamos ... Veamos un Ejemplo de formación de Sn a partir de an .

Una Serie , tal que , se llama una Serie Telescópica,

observemos que en una Serie Telescópica, al formar la Suma Parcial de Orden ‘n’, obtenemos:

Así, pues, .

La Serie Telescópica, es pues, un caso de formación sencilla de Sn a partir de an .

XB

Apuntes

Series


Obviamente el carácter de esta Serie dependerá de la expresión de bn .

Así, será Convergente, Divergente o No sumable, según sea . En caso de ser finito este

límite, la Suma de una Serie Telescópica será .

Ejemplo: es una Serie telescópica, siendo .

Como y , la Suma de la Serie será .

Son frecuentes, a la hora de plantear una Serie Numérica, las notaciones , ,

según sea el término de la sucesión a partir del cual queramos plantear la Serie.

es un tanto “abusiva” según la definición de Sucesión..

4. La Serie Geométrica

Debido a su enorme importancia y trascendencia en el desarrollo del tema, dedicaremos un apartado

entero al estudio de estas interesantísimas Series Numéricas. No resulta nada temerario afirmar que

fueron las Series Geométricas ya en la Grecia antigua, las primeras Series en ser estudiadas y origen

del planteamiento posterior de este tema.

Servirá también de nuevo ejemplo de formación de la Sucesión de Sumas Parciales de Orden “n”

a partir de una Sucesión .

Dada la importancia del resultado para el devenir del tema, se sugiere prestar atención tanto al

desarrollo como a las conclusiones obtenidas.

Llamaremos Serie Geométrica a una Serie Numérica de la forma :

XB

Apuntes

Series


En la cual Sn = r + r2 + ... + rn

Recordando la expresión de la Suma de los n primeros términos de una progresión Geométrica

donde a1 = r y an = rn Y

A la hora de estudiar la convergencia, esto es, hallar distinguiremos tres casos :

i) *r* < 1 .

En cuyo caso, , por tanto .

Por tanto, la Serie Converge y su Suma es

ii) *r* > 1

no puede ser finito, con lo cual será:

4 , si r > 1 Y La Serie Diverge.

ò , si r < -1, en cuyo caso la Serie No Converge

iii) *r* = 1 r = 1 Y la Serie Diverge.

r = -1 ò Y la Serie No Converge.

Resumiendo :

Dada la serie Geométrica

T *r* < 1 la Serie es Convergente y su Suma es

T *r* $ 1 la Serie No Converge (Diverge o es No Sumable).

[Algunos textos proponen la Serie Geométrica como , cuyo carácter es el mismo, no siendo

así su Suma. Veremos más adelante que es muy sencillo relacionar ambos valores]

XB

Apuntes

Series


5. Tipos de Series Numéricas

Atendiendo al valor de los términos de una Serie, clasificamos éstas en ...

O Una Serie , es de Términos Positivos, si

Ejemplo : ; ; son Series de términos positivos

; ; , NO son series de términos

positivos

O Una Serie , es de Términos No Negativos, si , algún .

Ejemplo : ; ; son Series de términos no

negativos

O Una Serie , es de Términos Negativos, si

Ejemplo : ; son series de términos negativos

O Una Serie , es Alternada, si an, toma valores positivos y negativos (o negativos y

positivos), alternativamente.

Ejemplo : s o n S e r i e s

alternadas

O Una Serie , es de Términos Cualesquiera, si an puede tomar valores positivos y

negativos arbitrariamente.

Ejemplo : ; ; son series de términos

cualesquiera.

XB

Apuntes

Series


6. Estudio de una Serie Numérica

Básicamente, el estudio de una Serie Numérica , consiste en :

a) Estudio del Carácter.

[ Averiguar si la Serie es Convergente , Divergente o No Sumable ]

b) Cálculo de la Suma.

[ Obtener la Suma de la Serie en caso de ser convergente. ]

Vimos anteriormente, en el Ejemplo 1, la sencillez del estudio de la Serie , conocido el

término general de la suma parcial de orden n, Sn, pues , tanto el análisis de convergencia como el

cálculo de la Suma, se reducen al cálculo del .

Pero, lo más usual, es el estudio de la serie a partir de su expresión y, desde ,

vamos a plantear su estudio en la continuación del tema.

Veamos en primer lugar sus propiedades.

[ NOTA. Salvo mención expresa, entenderemos la notación para 4 para +4, especificando +4

cuando sea necesario para una mejor comprensión ]

7. Propiedades elementales de las Series Numéricas.

7.1.- El carácter de una Serie no se modifica, si SUPRIMIMOS sus ‘p’ primeros

términos , siendo p un número natural.

Demostración:

a) es Convergente

En efecto, consideremos las series y obtenida suprimiendo los ’p’ primeros

términos de

P Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a ,

XB

Apuntes

Series


PSea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a ,

.

Sea también

Observemos que:

Sp, n = Sn - Sp ú n > p (I).

Bastará con aplicar límite a ambos lados de la igualdad

Y Sp, n = ( S n - Sp ) = [ Como Converge Y S n = S ] = S - Sp 0 ú

Y Converge y además = - .

Así mismo, si la serie es Convergente, llamemos S’ a su Suma, Y S’ = ( S n - Sp )

Y S n = S’ + Sp 0 ú

b) es Divergente

Una construcción idéntica a la efectuada en el apartado anterior, nos permite llegar a

(I) Sp, n = S n - Sp y, en consecuencia:

Sp, n = ( S n - Sp ) = [ Como Diverge Y S n = 4 ó -4 ] = 4 ó -4

Y es, en cualquier caso Divergente

c) es No Sumable

Puesto que (I) Sp, n = Sn - Sp

Sp, n = ( S n - Sp ); [ Como es No Sumable Y ò S n ] =>

ò S p,n Y es No Sumable

Así, a partir de la propiedad anterior, las Series

XB

Apuntes

Series


tendrán el mismo carácter, obviamente la Suma, en caso de ser Convergente, no será la misma.

7.2.- El carácter de una Serie no se modifica, si le AÑADIMOS un número finito de

términos.

Veamos.

Si a una Serie le añadimos un número finito de términos, a1 + ...+ ap , a partir de la

relación obtenida anteriormente:

(I) Sp, n = Sn - Sp ú n > p => Sn = Sp, n + Sp ú n > p,

Será Convergente, Divergente o no Sumable, según lo sea . Para demostrarlo

será suficiente utilizar la misma operativa que en la demostración de la propiedad anterior.

7.3.- El carácter de una Serie no se modifica, si MODIFICAMOS un número finito

de términos de la misma.

(Si la Serie es CONVERGENTE, la Suma de la Serie modificada tiene como Suma la de la Serie

dada incrementada en la Suma de las diferencias entre el valor del término modificado y el que tenía

anteriormente ).

Demostrando ...

Dada la Serie , modifiquemos un número finito de sus términos, por ejemplo,

reemplazándolos por , obteniendo una nueva Serie.

Si tanto en la Serie como en la nueva Serie obtenida, suprimimos los pm primeros

términos, es claro que obtendremos la misma Serie .

Tal como hemos probado anteriormente, las tres Series , y la Serie que hemos

obtenido modificando sus elementos tendrán el mismo carácter.

Además,

XB

Apuntes

Series


Podemos establecer, pues, con carácter general que :

El carácter de una Serie no varía si se le modifican, suprimen o añaden un número finito de

términos.

Si la Serie es CONVERGENTE, la Suma de la Serie modificada tiene como Suma la de la Serie

dada incrementada en la Suma de las diferencias entre cada término y su modificado.

7.4.- Dada la serie , su carácter ( Convergente o Divergente o no Sumable ) no se

modifica si se INTERCAMBIAN de lugar un número finito de sus términos.

En efecto, sea la Serie :

Intercambiemos de lugar los términos ap y aq, obteniendo ahora :

Expresión a la que podemos llegar mediante este proceso :

En ambos pasos hemos suprimido y añadido un término.

Utilizando las propiedades anteriores, el carácter de la Serie no se modifica, como tampoco lo hace

su Suma en caso de ser Convergente, pues la variación total de la Suma será

Efectuando un número finito de pasos, el carácter, obviamente no se modifica, podemos afirmar,

pues, que modificar el orden de un número finito de términos de la Serie no modifica su carácter.

XB

Apuntes

Series


7.5.- Si y , son Series Convergentes y ,

la serie , es Convergente y se verifica la relación :

[ Observa que, para " = 1 y $ = 1 , y considerando " =

k y $ = 0 => , para una constante cualquiera k , propiedades éstas de

enorme interés en la operativa práctica del tema ].

La demostración es muy sencilla, veamos :

Sean y las Sucesiones de Sumas Parciales asociadas a y

respectivamente.

Puesto que ambas Series son convergentes Y

Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a ,

Sn = " A Sn’ + $A Sn’’ nos dará la expresión del término general de la Suma parcial de orden “n”

asociada a , por tanto

XB

Apuntes

Series


Y Es Convergente y su Suma es S = " A S’ + $ A S’’.

No podemos afirmar nada en el caso de Series Divergentes.

7.6.- Si en una Serie ( Convergente o Divergente ) se agrupan los términos de la misma, sin

cambiarlos de orden, según una ley cualquiera, la serie que resulta tiene el mismo carácter .

Veamos ..., sea una Serie , efectuemos una agrupación de

sus términos, por ejemplo:

Sean:

Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , y la Sucesión de Sumas

Parciales asociada a la nueva Serie obtenida agrupando los términos de .

es, pues, una Subsucesión de , por lo tanto será convergente o divergente según

lo sea . Así, la nueva Serie será convergente o divergente según lo sea .

8. Hallando el Carácter de una Serie

Una vez estudiadas las propiedades elementales de las Series, nos vamos a ocupar de organizar, en

primer lugar, el estudio del carácter y, en segundo lugar, dar técnicas para poder obtener, en ciertas

situaciones, la Suma de la Serie.

Para averiguar el Carácter de una Serie , se suelen utilizar fundamentalmente dos caminos:

XB

Apuntes

Series


1. Aplicar a la Serie una de las llamadas Condiciones Generales de Convergencia de Series

ó

2. Aplicar a la Serie alguno de los llamados Criterios de Convergencia de Series.

Comencemos exponiendo las Condiciones Generales de Convergencia de Series.

8.1 Condiciones Generales de Convergencia de Series

8.1.1 Condición General de Convergencia del Resto

Una Serie , es CONVERGENTE <=> = 0.

Siendo el Resto de Orden ‘n’ de la Serie,

Demostración:

es una Serie Convergente <=> <=>

ú g > 0 õn0 (g) / si n $ n0 Y *Sn - S* < g

Como Sn = a1 + a2 +...+ an Y *Sn - S* = *S - Sn * = < g ú n $ n0

Definamos una Sucesión {Rn}n0ù / Rn = , es claro que,

a partir de la expresión anterior, =0.

(ú g > 0 õn0 (g) / si n $ n0 => *Rn * = < g )

La nueva Serie Rn = recibe el nombre de Resto de Orden “n” asociado a la Serie

8.1.2 Condición Necesaria y Suficiente de Convergencia

Una Serie es Convergente <=> ú g > 0 õ n0 (g) / si n $ n0, p $ 1, => < g

Demostración:

es una Serie Convergente <=> , por lo tanto es

Convergente, puesto que en ú toda Sucesión Convergente es Regular Y será una Sucesión

Regular =>

ú g > 0 õn0 (g) / si p > q $ n0 Y | Sp - Sq | < g

XB

Apuntes

Series


] < g ]

tomando q = p, y p = n + p, p $1, ] < g.

8.1.2.1 Consecuencia

La equivalencia anterior nos da lugar a una expresión muy útil para determinar si una Serie es o no

Convergente.

Puesto que , si es Convergente ú g > 0 õn0 (g) / si p $ n0 , p $1, < g,

Si consideramos, en particular, cualquier valor de ‘p’, tendremos que, si es una Serie

Convergente ú g > 0 õn0 (g) / si p $ n0 , p $1, < g es decir | Sn+p - Sn | < g, o sea

p $1.

Así, pues

es convergente => , p $1.

Expresión de cierta utilidad para comprobar la No Convergencia de Series, en particular la Serie

Armónica como más adelante veremos.

8.1.3 Condición Necesaria de Convergencia (Cauchy, Agustin Louis)

Dada la serie si la serie CONVERGE Y .

En forma de Criterio :

[Nota: Cuando un criterio o condición no establezca de manera definitiva el carácter de una

serie, pondremos la expresión DUDA]

XB

Apuntes

Series


En efecto, si a1 = S1

an = Sn - Sn-1 ú n $ 2

Si Converge Y õ Y .

O también, si es una Serie Convergente p $1, en particular,

tomando p=1, => => .

Ejemplo 2.- Aplicar la Condición Necesaria Convergencia de Cauchy a las siguientes Series

; ;

En cuanto hayamos estudiado algunas Series más, daremos Ejemplos más concretos de Series cuyo

término general tiende a cero, y son Convergentes o Divergentes.

8.1.4 Condición Necesaria y Suficiente de Convergencia de Series de Términos Positivos

Una Serie de términos positivos, es Convergente <=> Su Sucesión

de Sumas Parciales está acotada superiormente.

Además, la Suma de la Serie S = sup .

XB

Apuntes

Series


La demostración ....Al ser una equivalencia, demostraremos por doble implicación.

Sea Convergente.=>

Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , puesto que es una Serie

Convergente, tendrá límite finito, y por lo tanto será Convergente, al tratarse de una

Sucesión Convergente, según una propiedad de las Sucesiones Convergentes, está Acotada, y por

el hecho de estar Acotada, está Acotada Superiormente.

está Acotada Superiormente<=

Al ser una Serie de términos positivos, será una Sucesión Monótona

Estrictamente Creciente, junto con la hipótesis de estar Acotada Superiormente, podemos concluir,

según propiedad de las Sucesiones de Números Reales, que es Convergente, por lo tanto

õ , con lo cual es Convergente y su Suma es S.

Si recordamos la construcción de la demostración que lleva a la Convergencia de una Sucesión

Monótona Creciente y Acotada Superiormente, observaremos que precisamente S = sup .

Con lo que concluimos la doble equivalencia.

8.1.5 Condición Necesaria y Suficiente de Divergencia de Series de Términos Positivos

Una Serie de términos positivos, , es Divergente <=> Su Sucesión

de Sumas Parciales no está acotada superiormente.

Sea Divergente.=>

Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , puesto que es una Serie de

términos positivos, , por lo tanto no está Acotada Superiormente

no está Acotada Superiormente<=

Al ser una Sucesión de términos Positivos no Acotada Superiormente, según propiedad de

XB

Apuntes

Series


las Sucesiones, es claro que , y por lo tanto será Divergente.

Consecuencia de ambas propiedades, es que una Serie de términos positivos, será Convergente o

Divergente, pero no puede ser No Sumable.

Con esta Condición finalizamos las Condiciones Generales de Convergencia.

Hasta ahora, únicamente hemos estudiado a fondo la Serie Geométrica y de un modo más sencillo

las Series Telescópicas. Sobre todo, los fundamentos aprendidos en el estudio de las Series

Geométricas van a ser de una gran utilidad en lo que sigue del tema.

Como complemento a estas Series, es el momento de plantear el estudio de dos de las Series más

utilizadas en el estudio de este tema como son la Serie Armónica y la Serie

Hiperarmónica .

La Serie Armónica.

Llamamos Serie Armónica a la Serie

observemos que se trata de una Serie de términos positivos. Vamos a emplear un resultado anterior

para demostrar que se trata de una Serie Divergente.

Para ello, formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales

Sea . =>

Y, restando ambas expresiones, llegamos a:

. Expresión que podemos acotar inferiormente de la siguiente

manera:

.

Si => .

Aplicando la consecuencia 8.1.2.1 de la Condición de Convergencia 8.1.2, tomando p=n,

XB

Apuntes

Series


concluimos que la Serie Armónica es Divergente.

La Serie Hiperarmónica.

Llamamos Serie Hiperarmónica a la Serie

.

Con los conocimientos adquiridos, estudiemos el caso

Observemos que se trata de una Serie de términos positivos. Procedamos exactamente igual que con

la Serie Armónica para demostrar que se trata de una Serie Divergente.

Formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales

Sea . Es claro que:

Y, restando ambas expresiones, llegamos a:

.

Al ser p < 1, podemos acotar inferiormente de la siguiente manera:

.

Pero, al ser p < 1, 1 - p > 0, , así,

Aplicando la consecuencia 8.1.2.1 de la Condición de Convergencia 8.1.2, tomando p=n,

concluimos que la Serie es Divergente.

Para el estudio de la Serie Hiperarmónica , precisamos previamente

de conocimientos acerca de la comparación de Series.

Bien.

Expongamos a continuación alguno de los Criterios que podemos aplicar a una Serie para poder

determinar de una manera muy operativa si ésta es Convergente o no. Al finalizar la exposición

XB

Apuntes

Series


plantearemos algún consejo acerca de la utilización de estos criterios así como de las Condiciones

Generales de Convergencia.

8.2 Criterios de Convergencia

Ordenemos estos Criterios según los diferentes tipos de Series que hemos planteado en páginas

anteriores.

M Series de Términos Positivos

8.2.1.- Criterio de Comparación ( Mediante Acotación )

Sea una Serie de Términos positivos, y una Serie

( Auxiliar ) de términos positivos de carácter conocido.

O Si ú n 0 ù y Converge Y Converge

O Si ú n 0 ù y Diverge Y Diverge

[ Para aplicar con éxito el criterio de Comparación mediante acotación, mayoraremos la Serie con

una Serie Convergente y la minoraremos con una Serie Divergente, pues de los contrario no

obtendremos criterio para ].

Demostración

i) Si ú n 0 ù y Converge

Como

Al ser Convergente Y õ Y

Y Como es monótona creciente ( es de términos positivos ) y Acotada

Superiormente Sn # S' ú n 0 ù Y es Convergente

Y es una Serie Convergente

ii) Si ú n 0 ù y Diverge

XB

Apuntes

Series


Al ser Divergente y de términos positivos, , así, $

Y = +4

Y Diverge

En casos de aplicación práctica de este criterio debemos indicar que, con las hipótesis del criterio

* Si ú n 0 ù y Diverge Y el criterio no decide nada acerca de

ú n 0 ù Diverge y también

* Si ú n 0 ù y Converge Y el criterio no decide nada acerca de

ú n 0 ù Converge y ( también, tal como veremos

inmediatamente).

[Comentar que las acotaciones también se pueden efectuar a partir de un término cualquiera, pues

tal como vimos, suprimir un número finito de términos de una serie no modifica el carácter de

ésta].

Estamos ya en condiciones de finalizar nuestro estudio de las Series Hiperarmónicas.

Sea la Serie

Observemos que se trata de una Serie de términos positivos...

Formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales

Sea . Es claro que:

Agrupemos los términos de la siguiente forma:

Acotemos la expresión anterior:

XB

Apuntes

Series


que se trata de una Serie Geométrica de razón , será pues una

Serie Geométrica Convergente, por consiguiente , aplicando el Criterio de Comparación,

será Convergente.

Resumiendo:

8.2.2. Criterio de Comparación ( Mediante acotación del cociente)

Sea una serie de términos positivos, y una Serie

( Auxiliar ) de términos positivos

Si : õ k 0 ú+ # k ú n 0 ù y Converge Y Converge

Si : õ k 0 ú+ $ k ú n 0 ù y Diverge Y Diverge

Las demostraciones son muy sencillas:

En efecto :

i) õ k 0 ú+ # k ú n 0 ù y Converge.

Si õ k 0 ú+ / # k ú n 0 ù Y an # kA bn ú n 0 ù . Com o Converge Y

Converge Y Aplicando el primer criterio de comparación Converge

XB

Apuntes

Series


ii) õ k 0 ú+ $ k ú n 0 ù y Diverge Y Diverge

Si õ k 0 ú+ / $ k ú n 0 ù Y an $ kA bn ú n 0 ù . Como Diverge Y

Diverge Y Aplicando el primer criterio de comparación Diverge.

8.2.3. Criterio de Comparación ( Mediante límite del cociente)

Sea una serie de términos positivos y una Serie

(Auxiliar) de términos positivos

Sea

1. Si R Ö 0, 4 y Tienen el mismo carácter

2. Si R = 0 y Converge Y Converge

3. Si R = 4 y Diverge Y Diverge

Demostrando ...

1.- Sea R Ö 0, 4 y Converge

Por definición de límite de una Sucesión:

úg> 0 õn0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

] ú n $n0 .

ú n $n0 Y Y en virtud de la comparación mediante acotación,

Converge y por tanto Converge.

XB

Apuntes

Series


Si de la desigualdad ú n $n0 elegimos , ú n $n0

y Divergente Y

ú n $n0 an > (R - g) bn Y Diverge y Diverge.

2.- = 0 y Converge.

Por definición :

ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] ( ) < g Y en virtud del criterio

de comparación (mediante acotación del Cociente) Y Como Converge Y

Converge Y Converge.

3.- = 4 y Diverge

Por definición :

ú k 0 ú+ õ n0 ( k) / si n $n0 Y > k ] Y utilizando el criterio de comparación

Y Como Diverge Y Diverge Y Diverge.

8.2.4 Criterio de Comparación con las Series Armónica e Hiperarmónica (Pringsheim)

S e a u n a S e r i e d e t é r mi n o s p o s i t i v o s y

XB

Apuntes

Series


Demostración.

Basta con aplicar el Criterio de Comparación mediante límite a las Series y

(Serie Armónica para p=1, e hiperarmónica si p>1)

8.2.5. Criterio del Cociente (mediante límite)( D’Alembert, Jean Le Rond)

Sea una Serie de términos positivos

Demostración:

En efecto...

i) Sea ,

por definición de límite de una Sucesión,

ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

] ú n $n0 Y , en particular, tomemos un g1 > 0 / R + g1 < 1 Y õ n1 ( g1) /

ú n $n1 .

Si llamamos r = R + g1 < 1 Y ú n $n1 Y

an+1 < r A an

an+2 < r A an+1 < r2 A an

...............................

an+p < rp A an

XB

Apuntes

Series


Consideremos ahora la Serie = que es una Serie Geométrica con

razón

r < 1 y por tanto Convergente Y Converge Y Converge Y

Converge

ii) Si R 0 ú

por definición de límite de una Sucesión,

ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

] ú n $n0 Y , en particular, tomemos un g2 > 0 / R - g2 > 1 Y õ n2 ( g2) /

ú n $n2 .

Si llamamos r = R - g1 > 1 Y ú n $n2 Y

an+1 > r A an

an+2 > r A an+1 > r2 A an

...............................

an+p > rp A an

Consideremos ahora la Serie = que es una Serie Geométrica, cuya

razón r > 1, y por tanto Diverge Y Diverge Y En virtud del Criterio de

Comparación, Diverge Y

Diverge.

iii) Si

XB

Apuntes

Series


Apliquemos la definición de Sucesión divergente a

ú k 0 ú+ õ n0 ( k) / si n $n0 Y > k ] , tomando k>1, es una

Sucesión monótona creciente de términos positivos Y no puede tener límite cero, por tanto según

la Condición Necesaria de Convergencia, es Divergente.

iv) Si R = 1 pero R 6 1+ Y

A partir de un n0 en adelante Y an+1 $ an con lo cual es una Sucesión monótona creciente

de términos positivos Y no puede tener límite cero Y es Divergente.

8.2.6 Criterio de la Raíz (mediante límite) (Cauchy, Agustin Louis)

Sea , una Serie de términos positivos

Demostración

i) , R < 1

Por definición de límite,,

ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

En particular, sea g1 > 0 / R + g1 < 1 , õ n1 si n $ n1 ]

XB

Apuntes

Series


Es una Serie Geométrica Convergente ( |R + g1 | = R + g1 < 1 ) Y

Converge Y es Convergente.

ii) , R > 1 R 0 ú

ú g > 0 õ n0 ( g) / si n $n0 Y < g ] - g < < g ]

En particular, sea g2 > 0 / R - g2 > 1 , õ n2 si n $ n2 ]

Con el mismo razonamiento anterior

Es una Serie Geométrica Divergente ( |R - g2 | = R - g2 > 1 ) Y aplicando el

Criterio de Comparación mediante acotación, Diverge Y

Diverge

iii) R > 1 R = 4

ú k > 0 õ n0 ( g) / si n $ n0 Y > k ,

en particular, para un k1 > 1 õ n3 ( g) / si n $ n3 Y > k1 ] an > ( k1 )n

es una Serie Geométrica Divergente ( | k1 | = k1 > 1 ) Y mediante Criterio de

Comparación Y Diverge Y Diverge.

iv) ,R 6 1+

Si R 61+ Y $ 1 a partir de un n0 en adelante Y an $ 1n Y Y

Diverge, y por lo tanto Diverge.

XB

Apuntes

Series


8.2.7 Criterio de Kummer (mediante acotación)

Sea una Serie de términos positivos, y sea una Sucesión

de números reales positivos.

Sea

si õ k $ 0 / Kn $ k ú n 0 ù Y Converge

si Kn # 0 ú n 0 ù y Diverge Y Diverge

Veamos :

1. õ k $ 0 / Kn $ k ú n 0 ù

Si Kn $ k Y

Y kn A an - kn+1 A an+1 $ k A an+1 ú n 0 ù

Asignando a ’n’ los valores n = 1, 2, ..., p-1

k1 A a1 - k2 A a2 $ k A a2

k2 A a2 - k3 A a3 $ k A a3

k3 A a3 - k4 A a4 $ k A a4

.............................................................

kp-1 A ap-1 - kp A ap $ k A ap

Sumando

k1 A a1 - kp A ap $ k A ( a2 + a3 + ... + ap ) Y k ( a2 + a3 + ... + ap ) # k1 A a1 - kp A ap # k1 A a1

ú p 0 ù

Sea la sucesión de Sumas Parciales asociada a , tendremos que

Sp # ú p 0 ù Y es una Sucesión de términos positivos acotada

XB

Apuntes

Series


Superiormente, por lo tanto es Convergente Y es una Serie Convergente.

2. Kn # 0 ú n 0 ù y Diverge

ú n 0 ù Y

Y . Como Es Divergente y es de términos

positivos Y kn+1 A an+1 $ kn A an ú n 0 ù Y k2 A a2 $ k1 A a1

Y k3 A a3 $ k2 A a2

.......................................

Y kn+1 A an+1 $ kn A an

Y kn+1 A an+1 $ k1 A a1

Y

k1 A a1 > 0 Como Diverge

Y Aplicando el Criterio de Comparación Y Converge.

8.2.8 Criterio de Kummer (mediante límite)

Sea , una Serie de términos positivos,

1. Si existe

XB

Apuntes

Series


8.2.9 Criterio de Raabe

Sea , una Serie de términos positivos

Demostración :

Basta con tomar kn = n en el criterio de Kummer (mediante límite)

8.2.10 Criterio de la Integral

Sea f una función real, continua, positiva, monótona decreciente en un intervalo [1, +4 [,

= 0,

y tienen el mismo carácter.

Demostración

Sea " = [a] ( parte entera de a ) Y " # a < " + 1

Consideremos un intervalo de la forma [ m, m+1 ] con m $ " + 1

Como f es decreciente Y ú x 0 [ m, m+1 ] f(m+1) # f(x) # f(m)

Además, f es POSITIVA Y

Y

XB

Apuntes

Series


Si tomamos m = " + 1, " +2, ... , n

..................................................

Sumando término a término :

* Si es Convergente Y existirá y será Finito

Y ú n 0 ù

Y

YLas Sumas parciales de la Serie están ACOTADAS superiormente

Y es una Serie Convergente

* Si es Divergente Y = +4 y por tanto ...

M Series de Términos Negativos

Para el estudio del carácter de una Serie de términos negativos ,

bastará con aplicar la propiedad que nos dice que las Series

tienen el mismo carácter.

Para k=-1, reducimos una Serie de términos Negativos a una Serie de Términos Positivos,

cuyo estudio podemos afrontar mediante los Criterios y técnicas expuestas anteriormente.

XB

Apuntes

Series


M Series con Infinitos Términos Positivos y Negativos

Una vez estudiados algunos de los principales Criterios de Convergencia para Series de Términos

Positivos, pasemos al estudio de las Series de términos cualesquiera.

Parece lógico comentar que, en principio para el estudio de las Series de términos cualesquiera,

descartemos aquellas Series con un número finito de términos negativos, pues suprimiendo éstos

obtendríamos una Serie de términos positivos, cuyo carácter sería exactamente el mismo que el de la Serie

original siendo ésta una Serie de términos positivos, según propiedades estudiadas a lo largo del tema.

Así mismo, un razonamiento análogo nos lleva a descartar aquellas Series con un número finito de

términos positivos.

Ocupémonos pues, de aquellas Series Numéricas que tengan infinitos términos negativos e infinitos

términos positivos.

8.2.10. Convergencia Absoluta

Decimos que una Serie es Absolutamente Convergente si la Serie formada por los

valores absolutos de los términos de es una Serie Convergente.

Es una Serie Absolutamente Convergente si es Convergente.

Una Serie es Absolutamente Divergente si la Serie formada por los valores absolutos

de los términos de es una Serie Divergente.

Es una Serie Absolutamente Divergente si es Divergente.

8.2.10.1 Propiedad:

Si una Serie es Absolutamente Convergente => es una Serie Convergente.

Demostración:

Dada la Serie an 0 ú Formamos la serie de sus términos en valor absoluto ,

8.2.11 Criterio de Abel

XB

Apuntes

Series


Dada una Serie , cuyo término general se puede expresar de la forma

, de manera que:

es una Sucesión Monótona Decreciente y

es una Sucesión tal que

Y Es una Serie Convergente y

Demostración:

Consideremos la Sucesión de Sumas Parciales asociadas a , .

Sea ahora la Serie auxiliar , y, a partir de ella , cuya

Sucesión de Sumas Parciales, , será:

Es pues, una Serie de Términos positivos cuya Sucesión de Sumas

Parciales está acotada superiormente, por tanto es Convergente.

Como es Convergente, será Absolutamente

Convergente, y por la propiedad de la Convergencia Absoluta, es

Convergente.

La Convergencia de esta Serie nos lleva a que el límite de la Sucesión de Sumas Parciales, exista

XB

Apuntes

Series


y sea finito, así :

=>

Es Convergente y, además, tiene la misma Suma que .

Por otra parte

Como M es una Cota Superior de .

Series Alternadas

Un caso muy especial de las Series con infinitos términos positivos y negativas lo constituyen las

llamadas Series Alternadas

Llamamos Serie Alternada a una Serie , donde

.

Obviamente las Series Alternadas son Series con infinitos términos positivos e infinitos términos

negativos.

Para el estudio de su convergencia, se suelen utilizar, o bien el Criterio de Leibniz, o bien la

Convergencia Absoluta. Veamos el Criterio de Leibniz

8.2.12 Criterio de Leibniz

Dada una Serie Alternada , .

Si:

es una Sucesión Monótona Decreciente y

XB

Apuntes

Series


Y Es una Serie Convergente y

Demostración:

Considerando en el Teorema de Abel

La demostración es inmediata.

Series Semiconvergentes.

Una Serie , es una Serie Semiconvergente, si:

* es Convergente

* es Divergente.

A partir de resultados obtenidos con anterioridad podemos establecer que:

- Toda Serie Semiconvergente debe tener infinitos términos positivos e infinitos términos

negativos.

- Las Series auxiliares y , deberán ser ambas Series Divergentes.

Estudiemos, en primer lugar, los problemas de Convergencia relativos a las Series

Semiconvergentes.

Para preparar su estudio, dada una Serie , an 0 ú ( Infinitos términos positivos e infinitos

términos negativos ), consideremos dos Series Auxiliares que podemos formar con sus términos:

Formada por los términos Positivos de la serie en el mismo orden en el que

se encuentran en ésta.

XB

Apuntes

Series


Formada por los términos Negativos de la serie en el mismo orden en el que

se encuentran en ésta y cambiados de signo.

Ambas Series, y serán Series de términos positivos.

Veamos qué propiedades infieren las Series y , a la serie

Propiedad

Si y , son Convergentes, = P y = Q

= P - Q.

Demostrando una vez más........

Sean y su Sucesión de Sumas Parciales asociada

6 su Sucesión de Sumas Parciales asociada

6 su Sucesión de Sumas Parciales asociada

ú n 0 ù õ n1 , n2 (n) / Sn = n1 , n2 unívocamente determinados por n .

Puesto que, tanto n1 como n2 dependen de “n” podemos establecer sendas funciones de variable

natural

D(n) y P(n) /

Es claro que si es una serie convergente = P y, si Es Convergente

Y = Q. Basta con aplicar en Sn para llegar a S = P - Q. Resultado que nos da, por

un lado, la convergencia de , y por otro lado, = P - Q.

Propiedad

Si una de ellas Converge y la otra Diverge Y Diverge

XB

Apuntes

Series


Supongamos Convergente ( = P ) y Divergente ( Qn = 4 ) Y

Sn = -4 Y Sn = -4 Y Diverge

Propiedad

Cuando y son ambas Divergentes Y no podemos afirmar nada acerca de la

Convergencia de

Volvamos al estudio de las Series Semiconvergentes...

Dada la Serie an 0 ú Formamos la serie de sus términos en valor absoluto , si

es la Sucesión de Sumas Parciales asociada a , con las Sumas parciales anteriores,

tendremos que :

Podemos, pues, establecer la convergencia absoluta de estas series mediante :

a) Es Absolutamente Convergente ] y son Convergentes

b) Es Absolutamente Divergente ] una de las dos es Divergente.

Lo demostramos

a) Y es Absolutamente Convergente

Y es Convergente, sea su Sucesión de Sumas Parciales asociada.

De la relación anterior: , õ S'n = S' =>

Y S'n # S' ú n 0 ù

Obviamente ú m 0 ù õ n0 ù / Pm # S'n # S'

Acotada Superiormente Y Convergente

XB

Apuntes

Series


Análogamente Convergente

Z Convergente , õ = P

Convergente õ = Q

ú n 0 ù S'n # P + Q => , Una Serie de términos positivos al fin y al cabo, será

Convergente y por lo tanto Es Absolutamente Convergente

b Y Es Absolutamente Divergente

Y no está acotada superiormente Y si Y al menos una de ellas

no estará acotada superiormente Y Al menos una de ellas deberá ser Divergente

Z Exactamente el mismo razonamiento

Es Semiconvergente

Expongamos a continuación el efecto que produce sobre el carácter de una Serie, una reordenación

cualquiera de sus términos.

Dada una Serie , entenderemos por Reordenacion de sus términos a la nueva Serie que se

obtiene mediante una biyección en el conjunto de los números naturales, de manera que cada término de

la Serie es reemplazado por el término de la Serie que ocupa el lugar que dicha biyección asocia al orden

de su posición inicial en la Serie.

Así, cada biyección que definamos en N , originará una reordenación de los términos de la Serie

de la siguiente manera:

Sea una de tales biyecciones, llamemos a la nueva Serie

XB

Apuntes

Series


obtenida mediante la reordenación de términos de originada por la biyección ‘ F’ .

Ejemplo: Dada la Serie , la Serie

Es una reordenación de la Serie

originada por la biyección

tal que:

Veamos a continuación un curiosísimo comportamiento de las Series Semiconvergentes ante la

reordenación de sus términos. Comportamiento, que como veremos un poco más adelante, es exclusivo

de éstas, pues las Series de términos positivos no modifican su carácter ante ninguna reordenación.

Teorema

Una serie semiconvergente puede ser reordenada del tal modo que la serie obtenida

sea :

1. Convergente y tenga por Suma un número " 0 ú

2. Divergente

3. No Sumable

Es decir, reordenando convenientemente los términos de una Serie Semiconvergente, podemos

obtener una nueva Serie cuyo comportamiento podemos decidir a voluntad. ¡¡¡¡ !!!!.

XB

Apuntes

Series


Demostración.

1.

Sea una Serie Semiconvergente y " 0 ú, un número real cualquiera, vamos a demostrar

que podemos efectuar una reordenación de la Serie, para conseguir una nueva Serie cuya suma sea

precisamente ". Procedamos ordenada y cuidadosamente.........

y sean las Series Auxiliares y definidas anteriormente.

Ambas series son de Términos Positivos

Es una Serie Divergente y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales

asociada a , , no está acotada superiormente [ ú k 0 ú õ n0 / k ]

En particular, para el valor ", tomemos n1 0 ù /

p1.+ p2 + ... + # " < p1.+ p2 + ... + ,

es decir, n1 es el primer subíndice para el cual la suma parcial asociada a es estrictamente

mayor que " .

Así:

S'1 # S'2 # ... # # " < .

Como Es Divergente y de términos positivos Y Su Sucesión de Sumas Parciales no está

acotada superiormente, restemos, pues de p1.+ p2 + ... + , un número suficiente de términos

q1 , q2 , ... para que el valor obtenido sea estrictamente inferior a ". Sea n2 el menor de los

subíndices /

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - < " # p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - .

Añadamos ahora los términos positivos sucesivos hasta conseguir

sobrepasar de nuevo a ", sea n1 + n3 el menor de estos subíndices

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + # " < p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 -

XB

Apuntes

Series


... - +

Restemos ahora el número imprescindible de términos de sucesivos a los anteriores para

que el número obtenido sea inferior a ", sea n4 /

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + - < " # p1.+ p2 + ... + -

q1 - q2 - ... - + -

Prosiguiendo de manera indefinida, construimos una nueva Serie con los términos de

p1.+ p2 + ... + - q1 - q2 - ... - + - +

+

Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales de esta nueva serie Y

= - > n1 # n # n1 + n2 -1

= - > n1+n2 # n # n1 + n2 +n3 -1

= - > n1 + n2 +n3 # n # n1 + n2 +n3 +n4-1

Y así sucesivamente

Como es una Serie Convergente=>

Si , como => y .

=>

Así pues, la Serie formada por los términos de , reordenados éstos, y cuya Sucesión de Sumas

Parciales es la propuesta anteriormente tiene por suma ", con lo cual damos por concluida la

demostración.

2.

XB

Apuntes

Series


Para obtener a partir de la Serie dada una Serie divergente hacia +4 reordenando términos ...

Es una Serie Divergente y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales

asociada a , , no está acotada superiormente [ ú k 0 ú õ n0 / k ]

En particular, tomemos n1 0 ù /

p1.+ p2 + ... + / p1.+ p2 + ... + > q1 + 1

Y p1.+ p2 + ... + - q1 > 1

tomemos n2 0 ù /

Y p1.+ p2 + ... + - q1 + + ... + - q2 >2

Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales obtenidas, tendremos que :

Y es tal que Y La Serie obtenida Diverge

Análogamente podemos reordenar las términos de la Serie para obtener una Serie hacia -4

3.

Para obtener una Serie No Sumable, podemos aplicar la técnica propuesta en el primer apartado,

pero haciendo tender las Sumas parciales a dos número diferentes, con lo cual la Serie resultante será No

Sumable.

9. Convergencia Condicional e Incondicional

Definición

Una Serie es Incondicionalmente Convergente si es Convergente y cualquier Serie

deducida de ella mediante una reordenación cualquiera de sus términos, también lo es.

XB

Apuntes

Series


es Condicionalmente Convergente si es Convergente, pero existe alguna reordenación

de sus términos para la cual la Serie es divergente.

Teorema

Sea una Serie de términos positivos Y es incondicionalmente convergente.

El carácter y la Suma de una Serie de términos positivos no se modifica al reordenar de cualquier

manera los términos de la Serie.

Demostración

* Sea una Serie de términos positivos y sea la serie resultante de practicar una

reordenación cualquiera de sus términos mediante una biyección F .

Sean y las Sucesiones de sumas parciales asociadas a y a

respectivamente.

Sea m = máx { F(j) j = 1, 2,... n }

S'n # Sm Y

Como es Convergente Y está acotada superiormente por la Suma de la Serie,

S Y ú n 0 ù õ m 0 ù / S'n # Sm # S

Está acotada superiormente por S

Y Es Convergente y su suma S’ # S Y Las Series de términos positivos son

incondicionalmente convergentes.

Como es una serie de términos positivos Convergente y con suma S’ podemos obtener

mediante la reordenación inversa de F, F-1, cuya existencia garantiza la biyectividad de

F Y S # S’

Y S = S'

XB

Apuntes

Series


Teorema

Una Serie de términos cualesquiera es Incondicionalmente Convergente ] es Absolutamente

Convergente.

Y Por reducción al absurdo:

Sea , an 0 ú una serie Incondicionalmente Convergente, si No fuese

absolutamente convergente Y sería una serie semiconvergente, para la cual

existirían reordenaciones que la harían perder el carácter de convergente, en contra de la

convergencia.

Z Si es Absolutamente Convergente Y Las Series Asociadas y

serán convergentes.

Reordenando y Serán convergentes Y Convergente Y

incondicionalmente convergente

Teorema

Una Serie de términos reales cualesquiera es Condicionalmente Convergente ] es

Semiconvergente.

Convergencia Condicional

Dada una Serie , podemos obtener una reordenación de sus términos mediante una biyección

en el conjunto de los números naturales. Así, cada biyección que definamos en N , originará una

reordenación de los términos de la Serie de la siguiente manera:

Sea una de tales biyecciones, llamemos a la nueva Serie

obtenida mediante la reordenación de términos de originada por la biyección.

El asunto que nos planteamos ahora es si una reordenación de términos en una Serie influye en su

XB

Apuntes

Series


carácter. Definamos pues:

Definición

Una Serie se dice que es una Serie Incondicionalmente Convergente si:

T es Convergente

T es Convergente para cualquier reordenación de sus términos definida por una

biyección

Una Serie se dice que es una Serie Condicionalmente Convergente si:

T es Convergente

T es Divergente para alguna reordenación de sus términos definida por una biyección

Propiedad

OToda Serie de términos positivos es Incondicionalmente

Convergente.

O La Suma de una Serie de términos positivos NO se modifica al reordenar de cualquier

forma los términos de la Serie.

Demostrando ........

En efecto, se a , una Serie de términos positivos, y la

Serie reordenada asociada a una biyección cualquiera . Designemos por

y sus respectivas Sucesiones de Sumas Parciales.

XB

Apuntes

Series


Sea m = máx { }.

.

Si es una Serie Convergente y de términos positivos, estará acotada

Superiormente, por tanto, existe

es, pues, una Sucesión de términos positivos Acotada Superiormente, es decir,

Convergente, será una Serie Convergente.

Además, de las acotaciones anteriores, deducimos que .

Procedamos ahora en otro orden considerando que procede de reordenar la Serie

, sencillamente mediante la biyección , cuya existencia garantiza la

biyectividad de F. De esta manera .

De ambas desigualdades concluimos que: = , con lo cual cerramos la

demostración.

Así, pues, las Series de términos positivos son ‘invulnerables’ ante cualquier reordenación de sus

términos, en cambio, las Series de términos cualesquiera no lo son, como va a quedar de manifiesto en las

siguientes propiedades.

Propiedad.

Una Serie es Incondicionalmente Convergente <=> es Absolutamente

XB

Apuntes

Series


Convergente.

[Propiedad que nos confirma la definición que en la mayoría de textos de Cálculo se da de las Series

Incondicionalmente Convergentes ]

Demostremos ésta por doble implicación:

=>

S i es Incondicionalmente Convergente, será Convergente, y cualquier Serie

obtenida mediante la reordenación de sus términos , también lo será.

Consideremos la Serie y las Series auxiliares definidas en apartados anteriores

y .

Si no fuese Convergente, sería Semiconvergente y no podría ser

incondicionalmente Convergente. Así será Convergente, y por tanto será

Absolutamente Convergente.

<=

Si es Absolutamente Convergente, y serán ambas Convergentes.

Una reordenación cualquiera de términos de , produce una reordenación en las

Series auxiliares y , pero al ser ambas Series de términos positivos, su carácter

no se modifica, como es Absolutamente Convergente => y , serán

Convergentes, así pues, la Serie reordenada , es Convergente, por lo tanto es

Incondicionalmente Convergente.

XB

Apuntes

Series


Y, para finalizar,

Propiedad.

Una Serie es Incondicionalmente Convergente <=> es Absolutamente

Convergente.

Sigamos...

Sumando una Serie

Veamos a continuación algunas de las técnicas utilizadas con mayor frecuencia para obtener la

Suma de una Serie Convergente, en las contadas ocasiones en las que ésta se puede obtener..

Suma de la Serie Geométrica

Ya en la parte de teoría hicimos una exposición técnica del concepto de Serie Geométrica, vamos

a dar en esta parte un nuevo enfoque, un poco más práctico que el que ya hemos visto...

Una Serie Geométrica se origina por la suma de los términos de una sucesión geométrica de primer

término a1 y razón r.

Recordemos que :

1< Una colección ordenada de números a1, a2, ... , an , ... forman una Sucesión Geométrica, si cada

uno de ellos ( excepto el primero ), se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante

llamado Razón de la Sucesión Geométrica.

Así :

2< La SUMA de los 'n' primeros términos de una sucesión geométrica es:

XB

Apuntes

Series


de donde, la SUMA de la correspondiente Serie Geométrica es :

[ Como la Serie debe ser convergente Y ] =

.

Su suma es :

Así pues, para obtener la SUMA de una Serie Geométrica bastará con obtener :

1º.- El primer término de la misma

2º.- La razón

3º.- y aplicar la fórmula anterior

L NOTA : En ocasiones tiene alguna dificultad hallar el primer término y la razón de una

Sucesión Geométrica. Para hallarlos, se sugiere desarrollar los tres o cuatro primeros

términos de la Serie asociada, y deducirlos.

Ejemplo 16.-

<Términos

<Carácter

<Suma

XB

Apuntes

Series


Suma de Series mediante Descomposición del término general an

Una Serie se puede sumar por descomposición, cuando su término general, an , se puede

descomponer en una suma de varias expresiones ( descomposición en suma de fracciones simples, cuando

an es un cociente de sucesiones polinómicas, propiedades de los logaritmos, raíces , etc..)

Por ejemplo, se pueden sumar por descomposición de su término general an:

Como caso particular, podemos considerar las series Telescópicas en las que an = bn+1 - bn, y en

las cuales, la factorización ya está realizada..

En cualquier caso, la técnica a aplicar consiste en obtener Sn a partir de la descomposición de an.

mediante cualquiera de los procedimientos conocidos.

Comencemos con el más conocido

Método de Descomposición en Sumas de Fracciones Simples

Cuando el término general de la Serie, an, es un cociente de Sucesiones Polinómicas,

podemos obtener una descomposición de an, en Suma de Fracciones Simples, según sean las raíces

del denominador de an. Estudiaremos el caso de que an solo tenga raíces reales simples.

En caso de raíces múltiples y raíces imaginarias utilizaremos el método de Dirichlet tal y como lo

empleamos en la descomposición en Sumas de Fracciones simples para integrar una función racional.

A continuación, una vez propuesta la descomposición, colocaremos unos a continuación de otros,

los primeros seis o siete términos, o más si es conveniente, y los tres o cuatro últimos.

Cancelar en las diferentes líneas aquellas sumas de términos que den cero, y hallar Sn.

Basta con aplicar límite a la expresión obtenida de Sn, para hallar la suma de la serie.

Ejemplo

<Carácter

Se trata, pues, de una Serie de términos positivos.

<Suma

XB

Apuntes

Series


Propongamos una descomposición en fracciones, según las raíces del polinomio del denominador:

n = 0 y n = -2

XB

Apuntes

Series


Comentario : Observando la igualdad de fracciones obtenida, Y

al igualar los numeradores, 1 = A (n+2) + BAn , también podemos proceder a asignar valores a "n"

que nos permitan hallar A y B. Si asignamos a "n" el valor de cada una de las raíces obtenidas,

lograremos A y B con suma facilidad.

Así :

Encontrarás más formas de sumar por descomposición en los problemas resueltos del 25 al 32.

Suma de Series Hipergeométricas

Una Serie de términos positivos , es una Serie Hipergeométrica,

si el cociente es de la forma: , " Ö 0.

µ Si una serie es Hipergeométrica y converge su suma es

Demostración:

Ejemplo 19.- Estudiar el carácter y la suma de :

<Carácter

<Suma ¿ Es Hipergeométrica ?

Al ser Hipergeométrica y convergente

XB

Apuntes

Series


Suma de Series Aritmético-Geométricas

Llamamos serie Aritmético-Geométrica a una serie de la forma

y P(n) una Sucesión Polinómica de grado p.

Para sumar este tipo de Series, se emplea la técnica que vamos a explicar a continuación, tantas

veces como indique el grado de P(n).

Técnica :

Ejemplo Estudiar el carácter y hallar la suma de :

<Carácter

Serie de Términos Positivos :

<Suma

Es del tipo aritmético-geométrica

XB

Apuntes

Series


Una variante más sencilla de esta técnica de suma consiste en escribir únicamente los cuatro o cinco

primeros términos de la serie, y aplicar la técnica anterior. Tengamos en cuenta que la convergencia de la

serie obliga a an a tender a cero, lo cual lógicamente obliga a tender a cero a an-1, an-2, etc.

Sumemos la serie anterior con esta variante:

XB

Apuntes

Series


Suma de Series cuyo término general tiene expresiones Factoriales en el

Denominador

Se suman con esta técnica aquellas Series cuyo numerador es un polinomio en “n” y el denominador

es una expresión con factorial ( n!, (n+1)!, etc )

La técnica adecuada se apoya en un resultado del cálculo infinitesimal, procedente del desarrollo

en Serie para la función f(x) = ex

Como Y tomando n = 1 Y es decir :

Planteemos pues, la técnica adecuada para sumar este tipo de Series , , ...

XB

Apuntes

Series


* Sea p = grado P(n)

Como hemos de expresar en una SUMA de Factores propondremos como suma de p+1

factores :

........................................................................

P+1-términos

* Hallar los coeficientes

* A continuación, ajustar cada una de las p+1 series obtenidas al desarrollo conocido.

P Sumar los valores obtenidos

NOTA En el numerador, no obstante la expresión propuesta, se empieza la factorización en

sentido descendente con el elemento del denominador que aparece con el factorial

Ejemplo :

Serie

[ Se comprueba que la Serie es Convergente, es una Serie de términos positivos. El criterio

del Cociente mediante límite lo resuelve con suma facilidad ]

Suma

Suma por descomposición en factoriales (¡ Claro ! )

Tal como hemos propuesto :

Y

Y

XB

Apuntes

Series


Igualando coeficientes

= =

=

Desarrollando cada suma por separado :

= e ( pues )

Veamos otro ejemplo : Obtener la Suma de la serie Convergente :

* Suma por descomposición en FACTORIALES :

grado de 3n + 2 = 1

Descomposición propuesta :

Y A = 3, B = 2 (¡ Obvio ! )

XB

Apuntes

Series


Por tanto :

Un poco más sencillo ¿ verdad ?

Suma de Series con términos de la Serie Armónica

Recordemos del tema Sucesiones de números reales, que es el término general

de una Sucesión Monótona, estrictamente Creciente y cuyo límite es, precisamente, el número irracional

‘e’ (e = 2,718281...)

Puesto que se trata de una Sucesión Estrictamente Creciente =>

Aplicando logaritmos Neperianos a ambos lados de la desigualdad:

Por otro lado, también sabemos del tema Sucesiones, que es el término general

de una Sucesión Monótona, estrictamente Creciente y cuyo límite es 1/e

Puesto que se trata de una Sucesión Estrictamente Creciente =>

Operando como anteriormente

Aplicando logaritmos Neperianos a ambos lados de la desigualdad:

XB

Apuntes

Series


Por lo tanto, a la vista de las dos desigualdades anteriores, podemos establecer que:

Asignando valores a ‘n’ en la doble desigualdad anterior, obtenemos que:

XB

Apuntes

Series


Sumando cada miembro de las desigualdades:

(II)

Llamemos , a la Sucesión de Sumas Parciales de la Serie Armónica ,

, podemos escribir la relación (II) de la siguiente forma

, operando con habilidad

Considerando n+1 = n , en la primera desigualdad =>

Operando en la segunda desigualdad => ,

Ambas expresiones nos permiten una magnífica acotación de

Observemos el comportamiento de esta acotación cuando n tienda a infinito,

[Supondremos n>1, sin que por ello se vea afectado el resultado]

Como n>1, Ln(n) no se anula para ningún valor de ‘n’, además Ln(n)>0, dividamos pues la doble

XB

Apuntes

Series


desigualdad anterior por Ln(n).....+

Como , aplicando la propiedad del Emparedado

=> y son Infinitos Equivalentes.

Consideremos, pues, la Sucesión /

Estudiemos su monotonía:

Así, pues, es una Sucesión monótona estrictamente decreciente.

Por otro lado, de (III), sabemos que

está acotada inferiormente

Al ser una Sucesión monótona estrictamente decreciente y acotada inferiormente, es una

Sucesión Convergente.

Llamemos .

Completamos, pues, una interesante expresión para describir el término general de la Suma Parcial

de Orden ‘n’ de la Serie Armónica :

, y ‘E’ es la llamada constante de Euler-

Masqueroni.

XB

Apuntes

Series


Veamos como utilizar esta expresión para obtener la Suma de algunas Series con términos de la

Armónica:

Y A partir de la cual

Y

Y

Y notaremos

Y Suma ‘n’.primeros términos armónica Hn

Y Suma primeros términos pares armónica hasta 2n

Y Suma primeros términos impares armónica hasta 2n-1

El proceso de suma con ayuda de esta técnica consiste en descomponer la fracción en suma de

fracciones simples, a continuación efectuar la suma de los n primeros términos ( o los que convenga ) y,

a continuación, supuesto que los términos no se anulan, aplicar la fórmula que hemos obtenido.

Ejemplo : Estudiar el carácter y estudiar la convergencia de la serie :

i) Convergencia

Al ser una Serie Alternada, estudiemos la convergencia absoluta

=

Aplicando el criterio de Pringsheim

Sea " 0 ú / Y La Serie Converge

Y Es absolutamente Convergente Y es Convergente

XB

Apuntes

Series


ii) Suma

Propongamos en primer lugar, una descomposición en suma de fracciones simples

Si

Y 1 = A (n+3) + B (n+2) Y

= =

Damos valores a “n”

......................

XB

Apuntes

Series


Aplicando límite a ambos lados de la igualdad

Ximo Beneyto Apunts · b) Cálculo de la Suma. [ Obtener la Suma de la Serie en caso de ser...

Documents

Transcript of Ximo Beneyto Apunts · b) Cálculo de la Suma. [ Obtener la Suma de la Serie en caso de ser...