XXI Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012

7/30/2019 XXI Olimpada Matemtica Rioplatense San Isidro, 4 de Diciembre de 2012

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XXI Olimpada Matemtica RioplatenseSan Isidro, 4 de Diciembre de 2012

Nivel A Primer DaProblema 1

Decimos que un nmero entero positivo Nes equilibrado si la diferencia entre dgitos

que estn en posiciones vecinas es 0, 1 1. Por ejemplo, los nmeros 232, 555 y 876

son equilibrados y los nmeros 244 y 890 no son equilibrados.

Cuntos nmeros equilibrados de tres dgitos hay?

Problema 2

Se quiere ubicar los nmeros pares del 2 al 20, uno en cada crculo, sin que se repitan,

de modo que las sumas de los tres nmeros ubicados en cada lado del pentgono seaniguales entre s y que la suma de los tres nmeros ubicados en los crculos pintados de

gris sea mltiplo de 13.

El 2 ya est ubicado. Determinar la ubicacin de los dems nmeros. Dar todas las

posibilidades.

Problema 3

Encontrar el mayor nmero de fichas rectangulares de 4 1 que se pueden colocar en

una cuadrcula de 10 10, de tal manera que cualesquiera dos fichas no se tocan, ni en

sus lados ni en sus vrtices.

Aclaracin: Cada ficha debe cubrir exactamente cuatro cuadraditos de la cuadrcula.


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Nivel A Segundo DaProblema 4

Davi es un nio muy curioso. Tiene un recipiente en forma de paraleleppedo con sus

tres dimensiones (ancho, largo y alto) de medidas enteras, positivas y distintas. El

recipiente est completamente lleno de dos lquidos que no se mezclan, A y B, siendo el

volumen de A un 36% del volumen de B.

Davi observa que, al apoyar horizontalmente el recipiente sobre cualquiera de sus seis

caras, la altura que alcanza cada uno de los dos lquidos es un nmero entero.

Cul es el menor volumen que podra tener el recipiente de Davi?

Problema 5

Una tabla cuadriculada tiene 100 columnas y unacantidad desconocida de filas. Comenzando por la

primera columna se escribieron los primeros

nmeros naturales en forma ordenada, un nmero

por casilla, sin saltear nmeros ni casillas, del modo

que indica la figura.

Se sabe que el nmero 38 qued escrito en la

segunda columna y que el 107 qued escrito en la

misma fila que el 38.

Cuntas filas puede tener la tabla? Dar todas las

posibilidades. En cada caso indicar qu nmeroqued escrito en la casilla que est en la fila 1 y columna 100.

Problema 6

Alan juega un solitario en la computadora. Al comienzo, Alan elige un nmero entero

positivo n.

Luego elige un divisor impar positivo de n.

Si el divisor elegido es d= 1, la computadora reemplaza n por n+1.

Si el divisor elegido es un nmero dmayor que 1, la computadora reemplaza n por el

resultado de dividir n por d.Alan contina el juego eligiendo un divisor ddel nuevo nmero.

Por ejemplo:

1 3 120 21 7 8 ......

d d d= = =

Puede Alan elegir apropiadamente el nmero inicial n y jugar de manera que nunca

aparezca una potencia de 3?

Aclaracin: Las potencias de 3 son: 30

= 1, 31

= 3, 32

= 3 3 = 9, 33

= 3 3 3 = 27, etc.


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Nivel 1 Primer DaProblema 1

En el tringuloABC, 45ABC= ,BC= 1 yEes el punto del ladoACtal queEC= 1.

La perpendicular aACque pasa porEcorta a la prolongacin de BCen el puntoD de

modo que CD = 2 y Cest en el interior deDB.

Determinar la medida de los ngulos del tringuloABD.

Problema 2

Hallar el menor entero positivo kpara el cual las 100 fracciones

50 50 51 51 99 99, , , , . . . , ,

49 51 50 52 98 100k k k k k k + + + + + +

son irreducibles.

Problema 3

Abel tiene infinitas piezas de los tipos A y B. Las piezas del tipo A tienen 5 cuadraditos

de lado 1 y las del tipo B tienen 6 cuadraditos de lado 1, como se muestra abajo:

Abel quiere cubrir totalmente un tablero de n n , dividido en n2

cuadraditos de lado 1,

usando algunas de estas piezas, sin dejar huecos, sin superponer piezas y sin salirse del

tablero.

Cul es el menor n para el cual puede hacerlo?


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Nivel 1 Segundo DaProblema 4

SeaNun nmero entero positivo tal que el nico cuadrado perfecto que lo divide es 1.

Hallar la cantidad de mltiplos positivos de N que tienen exactamente N divisores

positivos.

Problema 5

Sea ABCD un cuadriltero convexo. Los puntos P y Q de los lados AB y AD,

respectivamente, son tales que rea(ABQ) = rea(ADP) = 13

rea(ABCD).

La interseccin de PQ y la diagonalACes el puntoR.

Calcular la raznAR

RC.

Problema 6

Se tienen 1000 bolitas distribuidas en 79 cajas idnticas. Puede haber cajas vacas pero

no pueden estar todas las bolitas en la misma caja. Las operaciones permitidas son dos:

Pasar de una caja a otra exactamente 13 bolitas. Pasar de una caja a otra exactamente 66 bolitas.Las bolitas estn distribuidas de tal manera que es imposible juntar las 1000 bolitas en

una sola caja realizando cualquier sucesin de operaciones permitidas.

Cuntas bolitas hay en cada caja? Dar todas las posibilidades.


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Nivel 2 Primer Da

Problema 1

En el tringulo ABC los puntos M y N estn en los segmentos AB y AC,

respectivamente, de modo que MN sea paralelo a BC y tangente a la circunferencia

inscrita al tringulo ABC. Sea K el punto en el que la circunferencia inscrita del

tringuloAMNes tangente a MN. Se sabe que MN=4, BC=12 y que MKy KN tienen

longitudes enteras. Demostrar que el tringuloABCes equiltero o rectngulo.

Problema 2

Sobre un tablero cuadrado de 2012 2012 se ubican trimins, como los de la figura, sin

que se superpongan (cada trimin cubre exactamente 3 casillas del tablero). Determinar

cuntos trimins se pueden colocar como mximo en el tablero si se cumple que para

cualesquiera dos filas y cualesquiera dos columnas, al menos una de las cuatro casillas

de la interseccin no est cubierta por un trimin.

Problema 3

Sea n tal que3

1n + es divisible por 56, y6 6 6

1 2 kd d d+ + +L es divisible por 112,

donde 1 2, , , kd d dK son todos los divisores positivos de n . Cul es el menor nmero de

divisores positivos que puede tener n?


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Nivel 2 Segundo Da

Problema 4

Para cada entero positivo n definimos ( )s n como la suma de los dgitos de n. Encontrar

el menor entero positivo ktal que

( ) (2 ) (3 ) ... (2011 ) (2012 )s k s k s k s k s k = = = = = .

Problema 5

Un nmero entero 2n > se dice k-beta si se pueden elegir dos nmeros distintos del

conjunto { }1,2,3,...,n tales que su producto sea igual a k veces la suma de los otros

2n nmeros. Para cada entero positivo k, encontrar todos los nmeros k-beta.

Problema 6

Dados varios enteros no negativos, una movida legal es cambiar un entero positivo a

elegido entre ellos de la siguiente manera. Si a es impar, se lo reemplaza por 1a ; si a

es par, se lo reemplaza por 1a o por 2a . Dos jugadoresA yB hacen movidas

legales por turnos, comenzando con los nmeros 1, 2, , n;A juega primero. Un

jugador gana si al cabo de una movida suya se obtiene la sucesin de n ceros (as que no

hay ms movidas posibles). Para cada n , determinar quin tiene estrategia ganadora.


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Nivel 3 Primer Da

Problema 1

Diremos que un entero positivo n es apocalptico si entre sus divisores positivos hay

seis distintos cuya suma es igual a 3528. Por ejemplo, 2012 es apocalptico, pues sus

seis divisores 1, 2, 4, 503, 1006 y 2012 sumados dan 3528.

Determinar cul es el menor entero positivo apocalptico.

Problema 2

Un rectngulo est dividido en 2n rectngulos ms pequeos mediante 1n rectas

horizontales y 1n rectas verticales. Entre esos rectngulos hay exactamente 5660 que

no son congruentes. Para qu valor mnimo de n es esto posible?

Problema 3

Sea T un tringulo no issceles y 4n un entero. Demostrar que se puede dividir a Ten n tringulos y trazar en cada uno de ellos una bisectriz interior de modo tal que esas n

bisectrices sean paralelas.


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Nivel 3 Segundo Da

Problema 4

Determinar, en cada caso, todos los nmeros realesx tales que:

a) 2 ... 2012 2013x x x+ + + = ;

b) 2 ... 2013 2014x x x+ + + = .

Aclaracin: x denota la parte entera dex, la cual se define como el mayor nmero

entero que es menor o igual ax.

Problema 5

Sean 2a y 3n enteros. Demostrar que uno de los nmeros

1 2 21, 1, ... , 1,n n na a a+ + + +

no comparte ningn divisor impar mayor que 1 con ninguno de los dems nmeros.

Problema 6

En cada casilla de un tablero de 100 100 hay escrito un nmero entero. La operacin

permitida es elegir cuatro casillas que formen una de las figuras

o cualesquiera de sus rotaciones, y sumarle 1 a cada uno de los cuatro nmeros. El

objetivo es, mediante operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor nmeroposible de restos distintos mdulo 33. Cul es el mnimo nmero que se puede lograr

con certeza?

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