Variables aleatorias continuasDefinicin 3.6 Seauna variable aleatoria con valores enyunadensidadde probabilidad sobre. Se dice quees unavariable aleatoria continuade densidadsi para todo intervalodese tiene:

La ley de la variable aleatoriaes la ley continua sobre, de densidad.

Para determinar la ley de una variable aleatoria continua, hay que calcular su densidad. De manera equivalente, la ley de una variable continua se determina dando la probabilidad de que ella pertenezca a un intervalocualquiera. Es lo que hemos hecho para nuestro ejemplo de base, el llamado aRandom, que es una variable aleatoria continua, de densidad. Una variable aleatoria continuade densidad, cae entreycon una probabilidad igual a :

Mientras ms grande sea la densidaden un segmento, mayores sern las probabilidades de quecaiga en ese segmento, lo cual justifica el trmino ``densidad''.Como ya hemos observado paraRandom, la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un punto cualquiera es nula.

En consecuencia:

Observemos tambin que el modificar una densidad en un nmero finito o numerable de puntos, no cambia de las integrales sobre los segmentos y en consecuencia la ley de probabilidad asociada tampoco cambia. El valor que toma la densidad en un punto particular, no es importante. Por ejemploRandomtiene como densidad apero da lo mismo usar. Como en los casos discretos, debemos conocer algunos ejemplos bsicos. Las densidades se dan en un punto cualquiera de.

Ley uniforme.La ley uniforme sobre un intervalo es la ley de ``sorteos al azar'' en un intervalo. Sison dos nmeros reales, la ley uniforme sobre el intervalose denota por. Ella tiene por densidad a la funcin:

Randomes una variable aleatoria de ley uniforme.

Ley exponencial.Las leyes exponenciales modelan intervalos de tiempo o duraciones aleatorias, como la vida de una partcula en fsica. La ley exponencial de parmetrose denota por. Ella tiene por densidad a la funcin:

Ley normal.La ley normal, ley de Gauss o Laplace-Gauss es la ms clebre de las leyes de probabilidad. Su xito y su omnipresencia en las ciencias de la vida vienen del Teorema del Lmite Centrado que estudiaremos ms adelante. La ley normal de parmetrosyse denota por. Ella tiene por densidad a la funcin:

Las leyes exponenciales y normales constituyen el ncleo de las familias de leyes clsicas que se encuentran mas frecuentemente en estadstica.Ley de Weibull.La ley de Weibull de parmetrosy, denotada por, tiene por densidad:

Se la emplea como modelo de duracin aleatoria, principalmente en fiabilidad (duracin de funcionamiento sin roturas, duracin de reparacin). La leyes la ley.

Ley gamma.La ley gamma de parmetrosy, denotada portiene por densidad:

dondees la ``funcin gamma'', definida por. Paraentero,y, la leyes llamadaley de chi cuadradocongrados de libertady se denota por. Esta es la ley de la suma de los cuadrados devariables aleatorias independientes de ley, se emplea para las varianzas empricas de muestras gaussianas. La leyes la ley exponencial.

Ley beta.La ley beta de parmetrosy, denotada portiene por densidad:

Esta familia de leyes nos provee de modelos no uniformes para variables aleatorias acotadas. Si unas variables aleatorias independientes siguen la ley uniforme, sus estadgrafos de orden (valores reordenadas) siguen leyes beta.Ley log-normal.La ley log-normales la ley de una variable aleatoria, de valores positivos, cuyo logaritmo sigue la ley. Ella tiene por densidad a la funcin:

En medicina, numerosos parmetros fisiolgicos son modelados empleando leyes log-normales.

Ley de Student.La ley de Student congrados de libertad,, es la ley de la relacin, donde las variables aleatoriaseson independientes,de ley,de ley. Ella tiene por densidad a la funcin:

Se la utiliza para estudiar la media emprica de una muestra gaussiana.

Ley de Fisher.La ley de Fisher de parmetrosy(enteros positivos) es la ley de la relacin, dondeeson dos variables aleatorias independientes de leyesyrespectivamente. Ella tiene por densidad a la funcin:

Se la emplea para comparar las varianzas de muestras gaussianas.

El Valor EsperadoEl valor que se espera obtener de un experimento estadstico se llama el valor esperado. Tambien llamado "esperanza matemtica". Tambien lo llamamos "media" y esta es la palabra que vamos a seguir usando. Si tiramos una moneda 10 veces, esperamos que salga 5 veces "cara" y 5 veces "cruz". Esperamos obtener este valor porque la probabilidad de que salga "cara" es 0,5, y si lanzamos la moneda 10 veces, obtenemos 5. Por lo tanto, 5 es la media. Para formalizar este particular ejemplo de la media, si p es la probabilidad y n el nmero de eventos, la media es a = np. Esta es la forma de la media cuando se puede expresar la probabilidad por medio de la distribucin binomial.Para formalizar el concepto un poco mas, en un experimento con resultados discretos xipara los cuales la probabilidad es P(xi), la media estar dada pora =SxiP(xi)En el caso de variables continuas donde se expresa la probabilidad en trminos de unafuncin de distribucin, la media toma la forma

La Desviacin Estndar

La desviacin estndar es un ndice numrico de la dispersin de un conjunto de datos (o poblacin). Mientras mayor es la desviacin estndar, mayor es la dispersin de la poblacin. La desviacin estndar es un promedio de las desviaciones individuales de cada observacin con respecto a la media de una distribucin. As, la desviacin estndar mide el grado de dispersin o variabilidad. En primer lugar, midiendo la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la media del conjunto de datos. Luego, sumando todas estas diferencias individuales para dar el total de todas las diferencias. Por ltimo, dividiendo el resultado por el nmero total de observaciones (normalmente representado por la letra n) para llegar a un promedio de las distancias entre cada observacin individual y la media. Este promedio de las distancias es la desviacin estndar y de esta manera representa dispersin.

Matemticamente, la desviacin estndar podra, a primera vista, parecer algo complicada. Sin embargo, es en realidad un concepto extremadamente simple. En realidad no importa si usted no sabe calcular con exactitud la desviacin estndar, siempre y cuando usted comprenda claramente el concepto.La desviacin estndar es un indicador en extremo valioso con muchas aplicaciones. Por ejemplo, los estadsticos saben que cuando un conjunto de datos se distribuye de manera normal, el 68% de las observaciones de la distribucin tiene un valor que se encuentra a menos de una desviacin estndar de la media. Tambin saben que el 96% de todas las observacionestiene un valor no es mayor a la media ms o menos dos desviaciones estndar (la Figura 18 grafica esta informacin).