2. Contenido
3. Repaso de la teora de conjuntos 4. Operaciones con conjuntos 5. Diagramas de Venn 6. Propiedades 7. 8. 9. Conjunto potencia (power set) 10. Ejemplos de teora de conjuntos 11. Teora de la probabilidad
12. Probabilidad
13. Interpretacinfrecuentistade probabilidad
14. De este modo para un frecuentista, la definicin de probabilidad sera: Definicin:si un experimento que est sujeto al azar resulta denformas igualmente probables y mutuamente excluyentes (es decir que ocurren bajo las mismas condiciones), y sun Ade estos resultados tienen un atributoA , la probabilidad del atributoAes: Interpretacinfrecuentistade probabilidad 15. InterpretacinBayesianade probabilidad
16. Nota 1:A veces el futuro no se puede predecir y solo se puede calcular la probabilidad de que algo suceda. Nota 2:En el lanzamiento de un dado los resultados son mutuamente excluyentes y mutuamente probables. La probabilidad de obtener un 4 es 1/6. Esto no significa que en 6 tiradas tengamos necesariamente que obtener un 4. Nota 3:El desarrollo inicial de la teora de probabilidades se asocia al estudio de los juegos de azar. 17. Espacio muestral
18.
19. Espacio muestral discreto
20.
21. 22. Espacio muestral continuo
23. Eventos
24. Espacio muestral en experimentos con reemplazo y sin reemplazo 25. Diagrama del rbol 26. Sigma-algebra: motivacin Cuando analizamos eventos aleatorios, generalmente no estamos interesados en sino en un subconjuntoE .Cuando analizamos las probabilidades de ocurrencia del evento E, tambien nos interesan las probabilidades de la no ocurrencia del evento E. Adems si nos interesa la probabilidad de ocurrencia de los eventos A 1y A 2tambin nos interesara la probabilidad de su unin. 27. Sigma-lgebra 28. Ejemplos 29. Algunas definiciones
30. Andrey Nikolaevich Kolmogorov(Abril 25, 1903 Octubre 20, 1987) 31. Axiomas de probabilidad de Kolmogorov 32. Axiomas de probabilidad de Kolmogorov 33. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 34. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 35. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 36. Consecuencias de los tres axiomas de probabilidad 37. Ejemplos 38. 39. Probabilidad conjunta
40. Probabilidad marginal
Suma sobre todos losj Suma sobre todos losi 41. Probabilidad condicional
Probabilidad condicional deA idada la ocurrencia deB j 42. Probabilidad condicional
Probabilidad condicional deB jdada la ocurrencia deA i 43. Diagrama del rbol 44.
45. Ejemplo
46. La paradoja del falso positivo 47. 48. 49. 50. 51. Propiedades de la probabilidad condicional 52. Ejemplos 53. Probabilidad condicional con varias variables aleatorias 54. Ejemplo Una bolsa tiene 10 bolas blancas y 30 rojas. Cul es la probabilidad de muestrear BBRB? Muestreo sin reemplazo Muestreo con reemplazo 55. Ejemplo 56. Arboles de decisin 57. Ejemplo 58. 59. Ejemplo Una pareja planifica utilizando DemoProvera (confiabilidad = 99.7%/ao) y condn de latex masculino (confiabilidad = 98%/ao) simultneamente. Si la probabilidad de quedar en embarazo al tener relaciones sin proteccin es del 85%/ao, cul es la probabilidad de un embarazo no deseado?Porcentajes sacados de:http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_birth_control_methods 60. Eventos independientes 61. Eventos independientes
62. Ejemplo 63. Ejemplo Suponga que se quiere disear el acueducto de un parque industrial que tendr dos fbricas. Supongamos que existen dos niveles de demanda de agua: W 1= 1 m 3 /min y W 2= 2 m 3 /min. La probabilidad que cualquier fbrica requiera dichos niveles de demanda son 0.3 y 0.7 respectivamente (P(W 1 )=0.3, P(W 2 )=0.7). Dichos niveles de demanda de ambas fbricas son estdsticamente independientes. Cul es la combinacin de niveles de demanda menos probable? ms probable? Fabrica 1 Fabrica 2 64. P(W 1 W 1 ) = P(W 1 )P(W 1 )=0.3 x 0.3 = 0.09 2 P(W 1 W 2 ) = P(W 1 )P(W 1 )=0.3 x 0.7 = 0.21 3 P(W 2 W 1 ) = P(W 2 )P(W 1 )=0.7 x 0.3 = 0.21 3 P(W 2 W 2 ) = P(W 2 )P(W 2 )=0.7 x 0.7 = 0.49 4 1.00 Nivel total de demanda 0.42 65. Si los costos de instalacin inicial y de ensanche son los siguientes: Costos de instalacin inicial: Dos unidades= $2500 Tres unidades= $3000 Cuatro unidades= $4000 Costo de ensanche: Dos a tres unidades = $1200 Tres a cuatro unidades = $1500 Dos a cuatro unidades = $2000 Que capacidad inicial instalara usted de modo que el costo total esperado del proyecto sea el mnimo? 66. Lo mejor ser instalar 3 unidades = 3 m 3 /min 67. Regla de la multiplicacin para eventos independientes 68. Ejemplo 69. 70.
71. 72. 73. 74. serie paralelo 75. Propiedad de Markov
76. Relacin entre eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes 77. Teorema de las probabilidades totales 78. Para un chip se sabe que: 79. Thomas Bayes(aprox. 1702 Abril 7, 1761) Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances (1764) 80. Teorema de Bayes 81. 82. Ejercicio Suponga que tenemos dos urnas: A y B. Las cuales se muestran en la figura. En A hay siete bolas rojas (red - R) y tres bolas blancas (white - W). En B hay una bola roja y nueve blancas. Se lanza una moneda. Si caen caras se saca una bola de la urna A y si cae en sellos se saca una bola de la urna B. Si se lanz la moneda y se sac una bola roja, cual es la probabilidad que esta bola provenga de la urna A? 83. 84. Problema de Monty Hall http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
85. Problema de Monty Hall
86. Problema de Monty Hall 87. Problema de Monty Hall 88. Redes bayesianas 89. Ejercicios 90. Conteo de datos con la ayuda del factorial
91. Factorial 92. Factorial 93. Factorial en MS EXCEL Se calcula utilizando la funcin FACT 94. Factorial en MATLAB FACTORIAL(N): como los nmeros de doble precision solo almacenan 15 dgitos, la respuesta es exacta para N 21. Si N>21, la respuesta solo ser aproximada. 95. La funcin gamma La funcin gamma en MS EXCEL y en MATLAB 96. Es el nmero de arreglos en un orden en particular de los elementos que forman un conjunto. De cuantas formas diferentes se pueden ubicar a, b y c? a b c a c b b a c b c a c a b c b a Permutacin P(n,r) Para la primera posicin se escoje cualquiera de las letras Para la segunda posicin se puede escoger dos letras para la primera posicin Para la ltima posicin se escoje la letra restante En este caso tenemos 3x2x1 = 6 posibilidades 97. Permutacin P(n,r) 98. Combinatoria C(n,r) De los objetos de un conjunto, es una seleccin de estos sin importar el orden. Se divide porr ! ya que en cada combinacin existenr ! permutaciones 99. Ejemplo Supongamos que el grupo de probabilidad y estadstica est formado por 35 estudiantes. Cuantos grupos de tres estudiantes podran formarse para hacer un trabajo?La solucin es 100. Combinatoria vs Permutacin La diferencia entre una permutacin y una combinatoria es que en la primera el inters se centra en contar todas las posibles selecciones y todos los arreglos de estas, mientras que en la segunda el inters slo recae en contar el nmero de selecciones diferentes. Ejemplo: abc y acb son diferentespermutacionespero son igualescombinacinde las letras 101. Permutacin y combinacin enMS EXCEL y MATLAB 102. Ejemplo 103. Ejemplo 104. Ejemplo 105. Ejemplo 106. Problema del cumpleaos http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem
107. Problema del cumpleaos 108. Problema del cumpleaos De acuerdo con este grfico y para las hiptesis dadas, en un grupo de al menos 23 personas es probable encontrar con una probabilidad mayor del 50% dos personas que cumplan aos el mismo da
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