Introduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de Estructuras
y aly aly aly alDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo Resistente
Josef Farbiarz F., M.S.C.E.Profesor Asociado
Facultad de MinasFacultad de MinasFacultad de MinasFacultad de MinasUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Nacional de Colombia
Sede MedellnSede MedellnSede MedellnSede Medelln III.1
El curso va en laIII.1
IIIRESPUESTA DINMICA DE
LAS ESTRUCTURASIII.2
Introduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laIntroduccin a laDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de EstructurasDinmica de Estructuras
y aly aly aly alDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo ResistenteDiseo Sismo Resistente
IIIRESPUESTA DINMICA DE
LAS ESTRUCTURASGeneralidades
Ecuaciones de movimientoSistemas elsticos de un grado de libertad
Clculo de la respuesta dinmicaEspectros de respuesta
Espectros de diseoVarios grados de libertad como SUGDL
Sistemas inelsticosIII.3
Acciones que varan rpidamente con el tiempo
fuerzas inerciales similares en magnitud a las estticas
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
Sistema dinmicoSistema dinmicoSistema dinmicoSistema dinmico
Determinista: Variacin temporal conocida.
Estocstica o aleatoria: Variacin temporal slo
puede definirse estadsticamente.
Cargas dinmicasCargas dinmicasCargas dinmicasCargas dinmicas
III.4
Aceleraciones
Velocidades
Desplazamientos
Tensiones
Deformaciones
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
Respuesta estructuralRespuesta estructuralRespuesta estructuralRespuesta estructural
III.5
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
[ ] )()( tftu =Comportamiento dinmicoComportamiento dinmicoComportamiento dinmicoComportamiento dinmico
RespuestaExcitacin
Operador diferencial
u(t) f(t)Identificacin de la accin Identificacin de sistemas Anlisis dinmico - ConocidaConocidaConocidaConocida - DesconocidaDesconocidaDesconocidaDesconocida
III.6
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
Clculo del comportamiento dinmicoClculo del comportamiento dinmicoClculo del comportamiento dinmicoClculo del comportamiento dinmico
SolicitacinSolicitacinSolicitacinSolicitacin
Idealizacin dinmicaIdealizacin dinmicaIdealizacin dinmicaIdealizacin dinmica
Modelacin matemticaModelacin matemticaModelacin matemticaModelacin matemtica
Solucin numricaSolucin numricaSolucin numricaSolucin numrica
RespuestaRespuestaRespuestaRespuesta
Esttica, dinmica, ssmicaEsttica, dinmica, ssmicaEsttica, dinmica, ssmicaEsttica, dinmica, ssmica
Discretizacin, elementos Discretizacin, elementos Discretizacin, elementos Discretizacin, elementos finitos, etc..finitos, etc..finitos, etc..finitos, etc..
Equilibrio, compatibilidad Equilibrio, compatibilidad Equilibrio, compatibilidad Equilibrio, compatibilidad de deformaciones, etc..de deformaciones, etc..de deformaciones, etc..de deformaciones, etc..
Mtodos continuos o Mtodos continuos o Mtodos continuos o Mtodos continuos o discretosdiscretosdiscretosdiscretos
III.7
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
Excitacin PeridicaExcitacin PeridicaExcitacin PeridicaExcitacin Peridica
Motor sobre la Motor sobre la Motor sobre la Motor sobre la estructuraestructuraestructuraestructura
HliceHliceHliceHlice
Armnica simpleArmnica simpleArmnica simpleArmnica simple
ComplejaComplejaComplejaCompleja
SolicitacinSolicitacinSolicitacinSolicitacin
III.8
Excitacin AperidicaExcitacin AperidicaExcitacin AperidicaExcitacin Aperidica
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
ExplosinExplosinExplosinExplosin
Aceleracin Aceleracin Aceleracin Aceleracin del suelodel suelodel suelodel suelo
ImpulsoImpulsoImpulsoImpulso
Larga duracinLarga duracinLarga duracinLarga duracin
SolicitacinSolicitacinSolicitacinSolicitacin
III.9
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
III.10
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
III.11
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
III.12
UN GRADO DE LIBERTAD
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
III.13
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
III.14
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
DOS GRADOS DE LIBERTAD
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
III.15
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin
UNO Y DOS GRADOS DE LIBERTAD
III.16
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacinMLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
III.17
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacinMLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
III.18
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacinMLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
III.19
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacinMLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD
III.20
DiscretizacinDiscretizacinDiscretizacinDiscretizacin
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
)(xu
Oscilacin generalizadaOscilacin generalizadaOscilacin generalizadaOscilacin generalizada
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin
III.21
SuperposicinSuperposicinSuperposicinSuperposicin
L
xb
sen1
L
xb
2sen2
L
xb
3sen3
+
+
RESPUESTA DINMICAGENERALIDADES
Elementos finitosElementos finitosElementos finitosElementos finitos
IdealizacinIdealizacinIdealizacinIdealizacin
Nmero finito de segmentos
Tamao y forma independientes
Interconexin de segmentos: nodos
Nodos: Coordenadas globales
Incgnitas: desplazamientos nodales
Deformacin continua: funciones de
interpolacin entre nodos
III.22
GeneralidadesEcuaciones de movimiento
Sistemas elsticos de un grado de libertadClculo de la respuesta dinmica
Espectros de respuestaEspectros de diseo
Varios grados de libertad como SUGDLSistemas inelsticos III.23
IIIRESPUESTA DINMICA DE
LAS ESTRUCTURAS
1a Ley de Newton (1642-1727)Todo cuerpo permanece en su estado de
reposo, o movimiento uniforme rectilneo, a
menos que sea obligado a cambiar ese estado
debido a la aplicacin de cualquier tipo de
fuerzas."
Se conoce tambin como Ley de Inercia. Es vlida
para cuerpos sin fuerzas aplicadas, o con fuerzas cuya
resultante es nula.
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.24
2a Ley de Newton (1642-1727)"La fuerza que acta sobre un cuerpo y causa
su movimiento, es igual a la tasa de cambio del
momentum del cuerpo."
xmdt
dxmvmQ &===
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
dt
dQF =
Pero el momentum Q, o cantidad de movimiento, es
igual a la masa del cuerpo por su velocidad:
III.25
2a Ley de Newton (cont.)
Si la masa del cuerpo permanece constante:
xmdt
xdmF &&
& ==
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
)()()( xmdt
d
dt
dxm
dt
dmv
dt
d
dt
dQF &====
As:
maF =Es decirIII.26
3a Ley de Newton (1642-1727)
A toda accin se opone siempre una
reaccin de igual magnitud."
Permite utilizar el procedimiento de
cuerpo libre
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.27
Principio de DAlambert (1717-1783)
El equilibrio esttico debe cumplirse en
cada instante de tiempo, es decir,
incluso las fuerzas inerciales deben
cumplir con el equilibrio esttico en
cualquier instante dado
F ma ==== 0fuerza inercial
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.28
Energa PotencialTrabajo realizado por una fuerza al recorrer una
distanciadlFdE
P=
P
L
inicio
fin
P
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.29
LFdlFE
L
0
P==
P
L
F
uL
inicio
fin
PP
0P
x
P
u
kinicio
fin
x
F
===
x
0
x
0
2
x
0
Puk
2
1duukduPE
Energa PotencialEnerga Potencial
2
Pxk
2
1E =
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.30
Energa cintica
vdu
dvm
dt
du
du
dvm
dt
dvmamF ====
tt vvx
iC vmdvvmduFE0
2
00 21
===
dvvmduF =
2
21
tC vmE =
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.31
rEE PC =+
( ) 0=+ PC EEdt
d
Para todo sistema conservativo la energa total es constante:
es decir, el cambio de la energa total es nulo:
Algunos sistemas no son conservativos, es decir, tienenprdida de energa, ya sea por amortiguacin u otras fuerzasexternas no conservativas. El trabajo de estas fuerzasconstituye la energa disipada, Ed.
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.32
( ) += 21
21
t
t dt
t CPHdtEdtEE
Principio de Hamilton (1805-1865)
0=HUn sistema est en equilibrio dinmico si
donde:
21 y t tentre tiempode
intervalo elen de cambio =
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.33
Principio del trabajo virtualEl trabajo realizado por todas las fuerzas de un sistemaen equilibrio dinmico, incluyendo fuerzas inerciales,debido a un desplazamiento virtual, es nulo.
x
x
k
m
0
k mx..
c cx. f
0= ukuuucuumuf &&&( ) 0= ukuucumf &&&
fkuucum =++ &&&
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
III.34
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
f P
x
11
0 tt0 1
fr
rfxm =&&
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
frPfxsi = o 0 &
0 0 === xxt &
III.36
xm &&
P0
t1
f
t
P
PP 0
022 == xt
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
III.37
P0
t1
f
tt2
P
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
PPP 20
III.39
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
h
x
P00
0
=
=
x
hx
&
P
r
0 si
0 si 0
>=
=
xkxr
xr
Hallar la mxima deflexin del resorte
III.40
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
xg
PrP &&=
La ecuacin de movimiento es F=ma (2 Ley de Newton), es decir:
-h
f
x
P
x20
La energa cintica es cero en t=0 y en elmomento de mximo desplazamiento delresorte, por lo tanto, el trabajo realizado escero y el rea neta bajo la curva fuerza-desplazamiento debe ser cero
( ) 02
22
2 =+kx
xhP
++==
h
xk
PSi
211 2
III.41
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
(t)k
x
Por el principio de Hamilton:Para un sistema sin amortiguacin, y teniendo en cuenta que:
entonces:
[ ]2)(2
1)( tktE tP = [ ]
2)(
2
1)( tJtE dc =
[ ] [ ] = )()( tftf [ ] [ ] [ ])()()( 1 tftfntf nn =
( ) =21
0t
t dtdtJk
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3 III.42
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
(t)k
x ( ) ( ) =21
21
0t
t
t
t dtdtJdtk
( ) ] ( )( )[ ] 21
21
t
t dt
tddtJJ
0 (por Hamilton)
A
B
AB en ( )[ ] =+21
0t
t dtdtJk
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3
III.43
se integra por partes
= dfggfdgf
RESPUESTA DINMICAECUACIONES DE MOVIMIENTO
(t)k
x
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3 Entre t1 y t2 puede tomar cualquier valor
0=+ dt Jk
Ecuacin de movimiento del sistema
( ) 0=+ PC EEdt
d
( ) 0)()(21 22 =
+ tktJdt
dtd
0)()()()( =+ ttkttJ td
0)()( =+ tktJ td
O tambin:
III.44
GeneralidadesEcuaciones de movimiento
Sistemas elsticos de un grado de libertadClculo de la respuesta dinmica
Espectros de respuestaEspectros de diseo
Varios grados de libertad como SUGDLSistemas inelsticos III.45
IIIRESPUESTA DINMICA DE
LAS ESTRUCTURAS
Vibracin libre (no amortiguadaVibracin libre (no amortiguadaVibracin libre (no amortiguadaVibracin libre (no amortiguadaNA)NA)NA)NA)
x
km
0
masamasamasamasarigidezrigidezrigidezrigidez
coordenada que coordenada que coordenada que coordenada que describe el describe el describe el describe el movimientomovimientomovimientomovimiento
RESPUESTA DINMICASISTEMAS ELSTICOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
(SUGDL)
kx
Mx
0xkxm =+&&III.46
0xm
kx =+&&
tm
kcosCt
m
ksenCx 21 +=
RESPUESTA DINMICASUGDL
Cuya solucin es:
Si:
dividiendo por m:
m
k=
tcosCtsenCx 21 +=
Para t=0: 02210 xC 0cosC0senCx =+=
tsenCtcosCx 21 =&
== 01210
xC 0senC0cosCx &&
Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)
III.47
entonces:
= frecuencia en radianes/segundo (rad/s)
T = 2/2/2/2/ = 1/f = perodo en segundos (s)
f = /2/2/2/2 = frecuencia en ciclos/segundo (Hertz)
xo
vo
t
x
perodo T
amplitud
tcosxtsenx
x 00 +
= &
Ecuacin para vibraciones libres no amortiguadas
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)Vibracin libre (NA)
III.48
Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Esta ocurre cuando hay una fuerza, P(t), que causa el movimiento. En tal caso, la ecuacin que lo define es:
m
tPx
m
kx
)(=+&&
m
Px
m
kx =+&&
Carga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constante
k
PtcosCtsenCx 21 ++=
Solucin general Solucin particular
tsenCtcosCx 21 =&
RESPUESTA DINMICASUGDL
III.49
Considerando las condiciones iniciales, x=0 y v=0:
0Cy k
PC 12 == ( )tcos1
k
Px =
0
1
2
P/k
t
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)
III.50
mit
m
Ptxx PP === &&&
PulsoPulsoPulsoPulsoCuando un sistema se somete a una carga P de valorconstante por un intervalo de tiempo tp, pequeo con respectoa su perodo natural, la aceleracin puede considerarseconstante, igual a P/m. El efecto es como el de una velocidadaplicada al sistema. Dicha velocidad est dada por:
Pulso o impulso: rea bajo la curva carga-
tiempo
Esta ecuacin es vlida para duraciones de la carga hasta deaproximadamente un dcimo del perodo natural de vibracindel sistema. En tales casos, es inconsecuente la forma de lafuncin carga-tiempo.
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)
III.51
Funcin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaSi se tiene una funcin de carga, un diferencial de tiempopodra tratarse como un pulso, que ocasiona un incrementoen la aceleracin, cuyo
[ ]
[ ]dt
m
)t(fPxd
dt
xdx
xm)t(fP
==
=
&&
&&
&&
efecto puedeconsiderarse comouna velocidad inicialpara el instantesiguiente:
P[f(t)]
td
xxxxkkkk mmmm
0000
P[f(t)]P[f(t)]P[f(t)]P[f(t)]
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)
III.52
tcosdxtsenxd
dx 00 +
= &
Recordando la ecuacin para vibracin libre no amortiguada, yteniendo en cuenta que el pulso no causa desplazamientoinicial:
[ ] ( )dttsenm
)t(fPdx
=
[ ] ( ) =t
0dttsen
m
)t(fPx
El desplazamiento total en un instante t ser el efecto sumadode todos los pulsos debidos a cada diferencial de tiempo entre0 y t:
Para un sistema con velocidad y desplazamiento iniciales:
( ) ( ) [ ] ( ) ++=t
0
00 dttsen
m
)t(fPtsen
xtcosxx
&
Ecuacin para cualquier carga arbitraria, para SUGDLNA
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)Vibracin forzada (NA)
III.53
RESPUESTA DINMICASUGDL
AmortiguacinAmortiguacinAmortiguacinAmortiguacin
Todo movimiento tiende a disminuir con el tiempo
debido a la prdida de la energa presente en el
sistema. La energa, ya sea cintica o potencial, se
transforma en otras formas de energa como ruido,
calor, etc.
En los sistemas dinmicos esta prdida de energa se
denomina amortiguamiento
III.54
Fx
c
.
ca
Fa
Viscoso
Existen diferentes tipos de amortiguamiento:
Viscoso
Proporcional a la velocidad del movimiento
RESPUESTA DINMICASUGDL
AmortiguacinAmortiguacinAmortiguacinAmortiguacin
III.55
Fx
c
.
ca
Fa
N
N
Fa
N
Viscoso
Coulomb
Existen diferentes tipos de amortiguamiento:
Viscoso
Proporcional a la velocidad del movimiento
Coulomb
Causado por friccin
RESPUESTA DINMICASUGDL
AmortiguacinAmortiguacinAmortiguacinAmortiguacin
III.56
Fx
c
.
ca
Fa
N
N
Fa
N
u
F
Fy
u
F
Fy
u
F
Fy
Viscoso
Histertico
Coulomb
Existen diferentes tipos de amortiguamiento:
Viscoso
Proporcional a la velocidad del movimiento
Coulomb
Causado por friccin
Histertico
Cuando el material trabaja
en el intervalo inelstico o
no lineal, y la trayectoria
de carga es diferente a
la de descarga
RESPUESTA DINMICASUGDL
AmortiguacinAmortiguacinAmortiguacinAmortiguacin
III.57
xk
m
0
c
masamasamasamasa
amortiguador amortiguador amortiguador amortiguador viscosoviscosoviscosoviscoso
coordenada que coordenada que coordenada que coordenada que describe el movimientodescribe el movimientodescribe el movimientodescribe el movimiento
rigidezrigidezrigidezrigidez
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
kx
cx
mx
Aplicando el principio de DAlambert:
m x c x k x&& &++++ ++++ ==== 0III.58
y sus races:
La solucin es:
( ) 0e kcm t2 =++
m2
mk4cc 21
+=
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
m2
mk4cc2
2 =
Sin embargo, esta solucin depende del valor del radical en las races, lo que resulta en tres posibilidades:
x t Ae Bet t( ) ==== ++++ 1 2 C
Cuya solucin es del tipo:Lo que implica que:
Reemplazando en la ecuacin del sistema
te)t(x =t2t e)t(xy e)t(x == &&&
III.59
Cuando el radical es igual a cero tenemos:
=== m2mk2c 0km4c2
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
a) El radical es nulo
21 m2
m2
m2
c==
=
= D
CD en : tt BteAe)t(x +=
III.60
Al evaluar A y B para condiciones iniciales, se obtiene:
( )[ ] t000 exvtx)t(x ++=
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
xovo
t
xEl sistema no vibra!Por esta razn este amortiguamiento
se conoce con el nombre de crtico.
Es interesante entonces saber si elamortiguamiento de un sistema esmayor o menor que el crtico. A estarelacin se le conoce como:
As:
=
== m2c m2
c
c
c
c
= 122y
+= 121III.61
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
La solucin es:
tampoco hay vibracin!
Sin embargo, el sistema regresa a su posicin de equilibrioms lentamente que en el sistema con amortiguamiento crtico
x ovo
t
x
x t e A e B et t t( ) ==== ++++
2 21 1
Amortiguamiento mayor que el crtico (Amortiguamiento mayor que el crtico (Amortiguamiento mayor que el crtico (Amortiguamiento mayor que el crtico ( > 1)> 1)> 1)> 1)
III.62
Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico ( < 1)< 1)< 1)< 1)La solucin es imaginaria:
pero utilizando las transformaciones de Euler se obtiene:
x t e A e B et i t i t( ) ==== ++++
1 12 2
x t e C t
Dsen t
t( ) cos====
++++
1
1
2
2
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
En las ecuaciones anteriores puede verse que sistema sub-amortiguado tiene una frecuencia equivalente, a igual a:
= 2a 1III.63
Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico (Amortiguamiento menor que el crtico ( < 1)< 1)< 1)< 1)Resolviendo para las condiciones iniciales:
(((( )))) (((( ))))x t e x t v x sen tt o a o oa
a( ) cos==== ++++++++
a
xovo
t
x
T
Taa
==== ====
2 2
1 2
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
III.64
=0
=0,4
=0,6
=0,8=1
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
Efectos del amortiguamiento en la vibracin libre
III.65
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmico
xnXn+1
Xn+2
TaTa
Envolvente exponencial
Recordando la ecuacin para vibraciones libres sub-amortiguadas, la relacin entre picos sucesivos puede determinarse como:
anT
n
n ex
x =+1
Al logaritmo natural de la relacin se le llama decremento logartmico, y est dado por:
2an1n
n
1
2T
x
xln
==
=
+III.66
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmicoDe la ecuacin anterior puede deducirse el valor del cociente de amortiguamiento:
Cuando el amortiguamiento es pequeo, el decremento de la vibracin es tambin pequeo y el radical puede aproximarse a uno:
2
2
412
+
=
2
III.67
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmico
Otra alternativa cuando el decremento es pequeo es considerar la diferencia entre varios perodos:
=
+ perodos#n
n
x
xln
perodos#
1
III.68
Existen otros mtodos para evaluar el amotiguamiento, como el de la amplificacin resonante y el del ancho de banda, que se basan en el estudio del fenmeno de resonancia en oscilaciones armnicas, que se ven ms adelante
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmico
De tal manera, se puede calcular el amortiguamiento de una estructura forzndola a vibrar y registrando su vibracin libre, cuando la excitacin ha cesado.Por ejemplo, si la amplitud del movimiento del centro de un puente de 120m de luz decrece de 20cm a 5 cm en dos ciclos sucesivos:
386,15
20ln == %5,21215,0
4
386,112
386.1
2
2=
+
=
III.69
EjemploEjemploEjemploEjemplo
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaVibracin libre (amortiguadaA)A)A)A)
Decremento Decremento Decremento Decremento logartmicologartmicologartmicologartmicoPor otra parte, si el movimiento del centro del puente decrece de 20cm a 18 cm en un ciclo:
1054,018
20ln == 0167,0
2
1054,0
20167,0
4
1054,012
1054,0
2
2=
=
==
+
=y
Cuando el decremento es muy pequeo entre dos picos, su medicin se hace difcil, as que puede utilizarse la tercera opcin. Por ejemplo, si en 20 ciclos el movimiento se redujo de 20cm a 2,45cm:
0,0167 105,045,2
20ln
20
1===
III.70
La nica diferencia entre este caso y el de vibracin forzada no amortiguada es que debe incluirse el trmino del amortiguamiento en la ecuacin:
m
)t(Pxx2x )t(Pkxxcxm 2 =++=++ &&&&&&
Carga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constanteCarga sbita constante
( )k
PtcosCtsenCex a2a1
t ++=
Solucin general Solucin particular
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
Pxx2x 2 =++ &&&
( )( )tcosCtsenCe
tcosCtsenCex
a2a1at
a2a1t
++
+=
&
III.71
Suponiendo que no hay desplazamiento ni velocidad iniciales:
k
PC
k
PC0x 220 =+==
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
k
P
1C CC0x
211a20
=+==&
+
= tcostsen
1e1
k
Px aa2
t
Remplazando en la ecuacin de solucin, se obtiene:
III.72
kP
Cuando el pulso termina el sistema oscila alrededor de su posicin inicial, de acuerdo con las ecuaciones de vibracin libre amortiguada. En este caso, las condiciones iniciales, sern las condiciones en el instante t1 en que termin el pulso.
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
( )
( ) ( )
+
+
=
1aa
oo1ao
tt
ttsenxv
ttcosx
e)t(x 1
III.73
dddd tttt
F(t)F(t)F(t)F(t)FFFFxxxx
kkkk mmmm0000
cccc F(t)F(t)F(t)F(t)
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
[ ] ( ) ( )
= tsenem
dt)t(fPdx a
t
a
Funcin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de cargaFuncin generalizada de carga
Respuesta amortiguada a un impulso
De manera similar al caso no amortiguado, la velocidad al trmino de un pulso es el impulso dividido por la masa y el desplazamiento es cero. Aplicando estas condiciones a la ecuacin de vibracin libre amortiguada:
III.74
Para obtener la respuesta total, basta con integrar la ecuacin anterior:
Esta ecuacin se conoce con el nombre de Integral de Duhamel. Si el sistema tiene condiciones iniciales, la Integral de Duhamel se convierte en:
Esta ecuacin es slo vlida para el intervalo elstico del comportamiento de las estructuras. Para funciones complicadas que no permitan una solucin cerrada de la integral se requiere la utilizacin de mtodos numricos. Varios mtodos numricos ms eficientes se presentan ms adelante.
[ ] ( ) ( ) ++
+= t
0a
t
aa
00a0 dttsene
m
)t(fPtsen
xxtcosxx
&
[ ] ( ) ( ) =t
0a
t
a
dttsenem
)t(fPx
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.75
Cuando un motor o una mquina rotan, cualquier desbalancede las partes en movimiento producen una vibracin. Laexcitacin que produce el motor es armnica de la forma:
donde P es proporcional al peso desbalanceado y es lafrecuencia angular de la rotacin del motor o de la mquina.Para un sistema amortiguado, la ecuacin de movimiento es:
Interesa slo la solucin particular, pues la general disminuyerpidamente con el tiempo.
Derivando dos veces y remplazando la solucin y sus dosderivadas en la ecuacin de movimiento, se obtiene:
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsante
tsenP)t(P =
tsenm
Pxx2x 2 =++ &&&
tcosCtsenCx 21 =
III.76
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsante
( )[ ] ( )[ ] tsenm
PtcosC2CtsenC2C 12
2221
22 =++
Para que esta ecuacin sea valida, los coeficientes de lostrminos de seno deben ser iguales, y el coeficiente deltrmino de coseno debe ser nulo. As, dividiendo por 2:
k
PC2C1 21
2
=
+
0C1C2 22
1 =
+
y
222
2
1
21
1
k
PC
+
=
2222
21
2
k
PC
+
=y
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:
E
GF
III.77
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteRemplazando las ecuaciones F y G en E se obtiene la solucin particular de la ecuacin de movimiento. Esta parte corresponde a la respuesta del sistema ante la excitacin pulsante. Para obtener la respuesta completa basta aadir la solucin encontrada antes para las vibraciones libres. Sin embargo, estas vibraciones libres decaen exponencialmente con el tiempo, fase transitoria, en una tasas que depende de la relacin entre y ....
Respuesta total
Respuesta sin los trminos de las vibraciones libres o estacionaria
t/T
Por esta razn, interesa ms la respuesta correspondiente a las vibraciones forzadas, que permanece por ms tiempo. Cabe anotar, sin embargo, que la deformacin mxima puede ocurrir antes de que las vibraciones libres hayan decado completamente.
k
Px ; 0 x; 0,05 ; 2,0 000
====
&
III.78
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteCuando el movimiento se grafica contra el tiempo se obtiene la tpica
figura sinusoidal, como la anterior. Sin embargo, puede utilizarse una
diagramacin que se conoce como plano de fase. En esta grfica, las
ordenadas siguen siendo amplitud, pero las abscisas son la relacin entre
la velocidad de la respuesta y la de la excitacin
t
C1
C12 + C22/
C1sent
C2cost
C2
x
III.79
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteEn la figura aparecen dos vectores que representan los trminos de la
solucin particular, en funcin de las constantes C1 y C2. En la grfica, las
constantes son las longitudes de los vectores que permanecen
perpendiculares entre s, mientras rotan con una velocidad angular
constante .
El movimiento resultante es la suma de los dos vectores:
donde:
Remplazando los valores de C1, C2 y en H, se obtiene:
( )+= tsenCCx 2221 ( )
+=
tCC cos222
1y
( )2121
1
2
C
Ctan
=
= J
IH
( )= tsenRk
Px d
1222
d 21R
+
=dondeK
III.80
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteEl trmino Rd se conoce con el nombre de factor de respuesta del
desplazamiento o factor de amplificacin dinmica. es el ngulo dedesfase entre las velocidades angulares de la excitacin y de la respuesta.
Derivando la ecuacin K una vez se obtiene la velocidad de la respuesta:
( )= tcosRkm
Px v&
222v
21
R
+
=donde
Derivando de nuevo:
( )= tsenRm
Px a&&
222
2
a
21
R
+
=donde
III.81
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteSi / > 1, el factor de amplificacintiende a cero y es independiente del
amortiguamiento. La masa del sistema
controla la respuesta.
Por otra parte, si / 1, la respuestadepende del amortiguamiento del sistema.
Para valores bajos de x, el factor de
amplificacin crece hasta valores muchas
veces mayores que 1.
estxx
2
2
estxx
=
c
P
2
xx 0est
III.82
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
/
Rd
= 0.0
= 0.1
= 0.2
= 0.5
= 1.0
Si se evala este diferencial, puede determinarse cul es la relacin
de frecuencias para la cual ocurre la resonancia.
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.83
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
( ) 0ddRd =
En realidad, la resonancia no ocurre exactamente cuando / = 1,sino cuando:
( )( ) ( )
0
21
1
d
d
d
Rd
22
222
2
d =
+
=
Para eliminar el radical, se puede derivar la funcin al cuadrado con
respecto a (/):
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.84
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento( )( ) ( )
0
421
1
d
d
d
Rd
2
2
222
22
2
d =
+
+
=
( )( )
0
421
4220
d
Rd
2
2
222
2
2
2
2
d =
+
+
+
+=
( )( )
021422d
Rd 22
2
2
2
2
d =+
+=+
+=
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
/
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.85
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
Relacin de resonancia
2
2
21 =
221 =
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.86
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
Relacin de resonancia
Como puede comprobarse, slo para
amortiguamiento nulo la resonancia ocurre
justamente cuando la relacin de frecuencias es
unitaria. Mientras ms crece el amortiguamiento, la
realcin de resonancia tiende a cero.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
/
0.00
0.40
0.80
1.20
1.60
2.00
2.40
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5
/
Rd
= 1.0
0.5
0.4
0.3
0.2
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Fuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsanteFuerza pulsante
Si / > 1, se acerca a 180 y hay un fuerte desfase entre accin y reaccin.Cuando la fuerza se aplica en una direccin, el sistema se mueve en direccin
contraria.
Por otra parte, si / 1, se acerca a 90 para todos los valores de . Losdesplazamientos son mximos cuando la fuerza pasa por cero.
III.87
0
30
60
90
120
150
180
0 1 2 3 4 5
/
= 0.0
= 1.0
= 0.5
= 0.2
= 0.1
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.88
0.0
0
Rd0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Relacin de frecuencias, / / / /
A
m
p
l
i
t
u
d
d
e
l
a
r
e
s
p
u
e
s
t
a
a
r
m
n
i
c
a
,
max
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento1
22
2
d 21R
+
=
Para valores pequeos de ,/ 1 y, entonces:
( ) 1d 2R=
==2
R 0d0mx mx
mx
0
2
=
Mtodo de la amplificacin resonante
Otro mtodo para evaluar
el amortiguamiento se
basa en que para cualquier
valor de la amplitud de la
respuesta hay dos valores
de la relacin de
frecuencias.
Tmese, por ejemplo:
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.89
0.0
0
Rd0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Relacin de frecuencias, / / / /
A
m
p
l
i
t
u
d
d
e
l
a
r
e
s
p
u
e
s
t
a
a
r
m
n
i
c
a
,
max
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
2
mx=
2
mx
A la diferencia entre las
dos relaciones
correspondientes de /se le llama ancho de
banda.
Ancho de banda
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.90
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
( ) ( )1
22
22
2
d 212211R mx
+
=
2
R
2mxd0mx
=
=
Ahora, bien, la respuesta mxima, es decir, la
resonancia, ocurre, como se prob atrs, para:221 =
A su vez, para esta relacin de frecuencias:
( )1
4222
d 82211R mx
++=
[ ] [ ] 12142d 1244R mx
==
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.91
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
=
+
2
22
21
As, para :
Elevando al cuadrado:
( )2122
( )
( ) 018421
1821
22
2
2
222
22
22
2
=
+
+
=
+
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.92
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
Resolviendo la ecuacin cuadrtica:
( ) ( )[ ] 0181212 222
2
22
=+
( ) ( ) ( )[ ]
( )
( ) ( ) 224222
424222
222222
12212
1616212
2
3232416164212
2
1814214212
=
=
++=
=
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.93
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
Para amortiguamientos pequeos se pueden ignorar los
trminos con , de manera que:
=
2121
2
Y, por series de Taylor, ste radical puede aproximarse a:
211
211
1 y 11
12
12
12
=++=
+
=++=
=
+=
Ancho de banda
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)
III.94
Evaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamientoEvaluacin del amortiguamiento
Mtodo del ancho de banda
Finalmente, el valor del amortiguamiento se obtiene con la
relacin:
=
=
+
2
2
-
12
12
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Generador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibracionesExisten formas intencionales y no
intencionales de generar vibraciones.
Las primeras son especializadas y se
refieren generalmente a trabajos
experimentales. Las segundas son
generalmente accidentales, como llantas
desbalanceadas, hlices rotas en un
ventilador, motores desbalanceados, etc.
La modelacin de ambas fuentes de
vibracin es la misma.
tsenrmkxxcxm E =++2* &&&
tmE
m
mgx
r sent
Ks=Kcol
c
( )= tsenRm
mx a
E
*&&
III.95m*=m+mg+mE
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Generador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibracionesGenerador de vibraciones
Generador de vibraciones para experimentacinIII.96
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)AceleraciAceleraciAceleraciAceleracin en los apoyosn en los apoyosn en los apoyosn en los apoyosSi en lugar de una fuerza armnica el sistema
vibra debido a un movimiento armnico de los
apoyos (A sen t), la ecuacin del movimientoes:
tAsenmxmkxxcxm s ==++2
&&&&&
tsenAxxx =++ 222 &&&
( )= tsenARx a
m
Ks=Kcol
c
X Relativo al apoyo
xs m(x + xs)
kucu
Si la excitacin es una aceleracin arbitraria:
{ }
=
d)t(1sen
e)(x1
1)t(x
2
t
0
)t(o2&&
III.97
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasLas mquinas pueden transmitir importantes cantidades de fuerzas a sus
apoyos, por medio de su vibracin.
xxxx
kkkk
mmmm0000
cccc
F(t)F(t)F(t)F(t)=Psen =Psen =Psen =Psen tttt
ffffrrrr
La fuerza transmitida depende de la accin
esttica y de la accin del amortiguamiento.
Utilizando las ecuaciones del movimiento por
fuerza pulsante y la ecuacin para el factor de
amplificacin dinmica de desplazamientos:
El mximo valor de fr en el tiempo es:
xckxfff aestr &+=+=
( ) ( )[ ]+= tcosctsenkRk
Pf dr
222dr ckRk
Pf
mx+=
III.98
2dr
21RP
fmx
+=
=
m2
c
Remplazando el valor de Rd se obtiene una relacin entre la fuerza
transmitida al apoyo y la amplitud de la funcin de fuerza aplicada.
Esta relacin se conoce con el nombre de Transmisibilidad del
sistema
222
2
r
21
21
P
fTR mx
+
+==
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas
III.99
Similarmente, puede demostrarse que:
y que:
222
2
s
m
21
21
x
xTR
+
+==
&&
&&
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas
22
2
2
s
m
21
21
x
xTR
+
+==
&
&
III.100
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas
El amortiguamiento reduce la
amplitud del movimiento para
todas las frecuencias de
entrada. Sin embargo, el
amortiguamiento slo reduce
las fuerzas transmitidas
cuando
Para que la fuerza transmitida
sea menor que la aplicada, la
rigidez, y por lo tanto la
frecuencia, debe ser
suficientemente baja como
para que
2>
2>
III.101
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
0.1 1.0 10.0
/
TR
= 0.0 = 0.1
= 0.2 = 0.5
= 1.0
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas
Es deseable que el apoyo no tenga amortiguamiento, pues aumentara la
fuerza. Esto implica un resorte con baja rigidez, pero debe revisarse que la
deformacin esttica sea aceptable. Adems, cuando la mquina es
rotatoria o tiene motor, su frecuencia vara cuando se enciende y se apaga.
Debe tenerse cuidado en proveer algo de amortiguamiento para reducir la
fuerza transmitida cuando pasa por las frecuencias de resonancia, sin que
sea mucho como para aumentarla en su nivel de servicio.
Puede demostrarse que la transmisividad de fuerzas aplica exactamente a
la transmisibilidad de vibraciones. La anterior figura puede utilizarse
indistintamente para los dos casos. Puede observarse que para bajas
relaciones de frecuencias, la relacin de aceleraciones tiende a uno, es
decir, la masa se mueve rgidamente con el suelo. En el otro extremo,
cuando la relacin de frecuencias es alta, la relacin de aceleraciones
tiende a cero, es decir, que la masa permanece quieta mientras el suelo se
mueve. Este es el principio del aislamiento basal.III.102
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas EjemploEjemploEjemploEjemplo
30m 30m
15cm
Un bus de 2 t viaja por el puente de la Avenida del Ferrocarril sobre
el Ro Medelln. El flujo plstico de los materiales ha causado una
deflexin de 15 cm en el medio de cada luz. La rigidez del sistema
es de 140 kN/m Cul es la amplitud del movimiento vertical del
bus, si viaja a 60 km/h?
Cul es la velocidad que causar resonancia?III.103
xxxx
kkkk
mmmm0000
cccc
xxxxssss
Si se supone que las llantas no se separan
de la va y que son infinitamente rgidas, el
sistema puede idealizarse como se muestra
en la figura. Las llantas se desplazan sobre
la va que tiene una forma sinusoidal. As:
El perodo de la carga del sistema es el
tiempo que le toma al bus cruzar una luz:
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas EjemploEjemploEjemploEjemplo
tsen5,7tsenA)t(xs ==
srad5.3
m30s
m7,162
Lv2
T2
vLT
=
=
===
III.104
La frecuencia angular natural del sistema es:
Entonces,
Suponiendo una alta amortiguacin, como 40% de la crtica:
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas EjemploEjemploEjemploEjemplo
srad38,8
2
140
m
k===
42,0=
( )
{ }( ) ( )186,1
42,04,0242,01
42,04,021
x
xTR
222
2
s=
+
+==
cm9,8cm5,7186,1x186,1x s ===
III.105
( )( ) 8,380,893 893,0 0dTRd 2
===
Ahora bien, para considerar la resonancia, debe recordarse que
para amortiguamientos grandes, el pico de la resonancia no ocurre
exactamente cuando /=1. Sin embargo, si se observa la grficade TR vs. /, puede verse que en el pico de la resonancia lapendiente de las curvas es cero, es decir, que la resonancia ocurre
cuando TR es mxima.
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas EjemploEjemploEjemploEjemplo
( ){ } ( )
( )( ) ( ) 136,1
64,01
8,021
8,01TR 24
2
22
2
2
2
+
+=
+
+
=
III.106
h/km5,128s/m7,35283,6
3048,7
2
Lv ==
=
=
srad48,7=
RESPUESTA DINMICASUGDL
Vibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaVibracin Forzada (amortiguadaA)A)A)A)Transmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzasTransmisin de fuerzas EjemploEjemploEjemploEjemplo
III.107
GeneralidadesEcuaciones de movimiento
Sistemas elsticos de un grado de libertadClculo numrico de la respuesta dinmica
Espectros de respuestaEspectros de diseo
Varios grados de libertad como SUGDLSistemas inelsticos III.108
IIIRESPUESTA DINMICA DE
LAS ESTRUCTURAS
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodos numricos IntegralesEn muchos casos, la solucin analtica de la ecuacin de
movimiento implica realizar integrales muy complicadas. Estas
integrales pueden solucionarse por medio de mtodos numricos.
Por ejemplo, la integral de Duhamel
puede solucionarse numricamente utilizando el mtodo numrico
de Simpson, sabiendo que:
As, la integral de Duhamel se convierte en:
[ ] ( ) ( ) =t
0 at
adtsene
m
dt)t(fPx
( ) = aaaaa sentcoscostsentsen
[ ] [ ]
=
t0 at
aa
t0 at
aa dsen
e
e
m
dt)t(fPtcosdcos
e
e
m
dt)t(fPtsen)t(x
A B III.109
RESPUESTA DINMICASUGDL
Las integrales A y B pueden entonces solucionarse por medio de la
regla de Simpson. En un instante de tiempo dado, n, si se definenlas funciones
el valor de A o de B ser el rea bajo la curva de z(), que, segnSimpson, puede aproximarse a:
Vlidas para n=2,4,6,V
[ ] [ ] cos)(z y )(nB
== ntfPnsentfPz aanA
[ ]nAnAnA
a
nn zezezm
eAA ++
+=
2
1
2
2
2
2 43
[ ]nBnBnB
a
nn zezezm
eBB ++
+=
2
1
2
2
2
2 43
Mtodos numricos Integrales
III.110
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodos numricos IntegralesEjemplo
Un SUGDL se somete a una aceleracin constante igual a
cierto porcentaje de la gravedad, por un tiempo
determinado. Averiguar la respuesta del sistema utilizando
la integral de Duhamel
III.111
(Ver Duhamel.xls)
n t F(t) coswat senwat z=F coswat z=F senwat A B xn
0 0.0 -1.96 1.0000 0.0000 -1.9600 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
1 0.1 -1.96 0.9990 0.0443 -1.9581 -0.0868
2 0.2 -1.96 0.9961 0.0885 -1.9523 -0.1735 -0.6576 -0.0322 -0.0261
3 0.3 -1.96 0.9912 0.1326 -1.9427 -0.2598
4 0.4 -1.96 0.9843 0.1763 -1.9293 -0.3456 -1.0052 -0.1076 -0.0714
5 0.5 -1.96 0.9755 0.2198 -1.9121 -0.4308
6 0.6 -1.96 0.9649 0.2628 -1.8911 -0.5151 -1.1813 -0.2054 -0.1122
7 0.7 -1.96 0.9523 0.3053 -1.8664 -0.5983
8 0.8 -1.96 0.9378 0.3472 -1.8381 -0.6804 -1.2602 -0.3141 -0.1429
9 0.9 -1.96 0.9215 0.3884 -1.8061 -0.7612
10 1.0 -1.96 0.9034 0.4288 -1.7707 -0.8405 -1.2821 -0.4271 -0.1639
11 1.1 -1.96 0.8835 0.4684 -1.7317 -0.9181
12 1.2 -1.96 0.8619 0.5071 -1.6893 -0.9939 -1.2686 -0.5404 -0.1775
13 1.3 -1.96 0.8386 0.5448 -1.6436 -1.0678
14 1.4 -1.96 0.8136 0.5814 -1.5947 -1.1395 -1.2315 -0.6513 -0.1861
15 1.5 -1.96 0.7871 0.6169 -1.5426 -1.2091
16 1.6 -1.96 0.7590 0.6511 -1.4876 -1.2762 -1.1775 -0.7582 -0.1913
17 1.7 -1.96 0.7294 0.6841 -1.4296 -1.3409
18 1.8 -1.96 0.6983 0.7158 -1.3687 -1.4029 -1.1103 -0.8597 -0.1943
19 1.9 -1.96 0.6659 0.7460 -1.3053 -1.4622
20 2.0 -1.96 0.6322 0.7748 -1.2392 -1.5186 -1.0322 -0.9547 -0.1962 III.112
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0
Tiempo,s
x
(
t
)
,
m
=0
=0,05
=1
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodos numricos IntegralesEjemplo
III.113
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodos numricosMtodos numricosMtodos numricosMtodos numricos
Cuando la funcin de carga dinmica de un sistema es arbitraria o
no es lineal, no es posible aplicar la solucin analtica de la ecuacin
de movimiento, incluso de SUGDL. En estos y otros casos de alta
complejidad en el anlisis dinmico y, en general, en el campo de la
mecnica de los materiales, es necesario utilizar mtodos numricos
para realizar la integracin de las ecuaciones diferenciales que
dominan la modelacin de los sistemas dinmicos.
Existe un vasto nmero de mtodos numricos propuestos en la
literatura especializada, tanto en el rea de las matemticas como
en el de las ingenieras. Aqu se hace un sucinto compendio de los
mtodos ms conocidos y utilizados en el rea de la Ingeniera
Ssmica.
III.114
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodos numricosMtodos numricosMtodos numricosMtodos numricosClasificacinClasificacinClasificacinClasificacin
Soluciones en el dominio del tiempohAproximaciones fsicas
hAproximaciones matemticas
Soluciones en el dominio de la frecuencia
III.115
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
Muchos de los mtodos numricos se basan en la metodologa
expresada por las series de Taylor.
Cualquier funcin que tenga un nmero finito de discontinuidades,
se le puede aproximar tanto como se quiera por medio de
superposicin de funciones analticas. Por ejemplo, si el valor de
una funcin x(t), y todas sus derivadas, se conocen para un instante
t0, se puede calcular su valor en otro instante cualquiera t=t0+tutilizando la serie de Taylor:
Series de TaylorSeries de TaylorSeries de TaylorSeries de Taylor
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) LLLL&&&&&& ++++++=+ 0nn
0
3
0
2
000 tx!n
t tx
!3
ttx
2
ttxttxttx
III.116
RESPUESTA DINMICASUGDL
Aunque en teora el factorial domina rpidamente y
podra utilizarse un intervalo de tiempo de cualquier
tamao, en la prctica debe utilizarse un intervalo de
tiempo pequeo para que la serie converja rpido. En
general, la expansin de la serie de Taylor para un
tiempo tn cualquiera da:
Series de TaylorSeries de TaylorSeries de TaylorSeries de Taylor
LL&&&&&& +
+
+
++=+ niv4
n
3
n
2
nn1n x24
tx
6
tx
2
txtxx
L
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.117
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin lineal
LL&&&&&&& +
+
++=+ niv3
n
2
nn1n x6
tx
2
txtxx
N
M
LL&&&&&&& +
++=+ niv2
nn1n x2
txtxx
Derivando, trmino a trmino:L
De se obtiene xn y se reemplaza en y :MLN
( ) LL&&&&& ++++= ++ ivn4
1nn
2
nn1n x24
txx2
6
txtxx O
( ) LL&&&&&& +++= ++ 12xt
xx2
txx
ivn
3
1nnn1n P
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.118
RESPUESTA DINMICASUGDL
Conociendo el desplazamiento y la velocidad en un momento dado
(como las condiciones iniciales) se calcula la aceleracin de la
ecuacin de movimiento. Se toma un intervalo de tiempo t y:
1. Se estima la aceleracin x*n+1 al final del intervalo. La primera
aceleracin xn ser el ms simple primer estimado de x*n+1
2. Se calcula
3. Se calcula
4. Se calcula
( )1nnn1n xx2t
xx ++ +
+= &&&&&&
( )1nn2
nn1n xx26
txtxx ++ +
++= &&&&&
( )1n1n1n1n t,x,xfx ++++ = &&&
Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.119(Se desprecian los trminos con grados mayores que la tercera derivada)
RESPUESTA DINMICASUGDL
5. a) Si xn+1 x*n+1, se toma xn+1 calculada como un estimadomejorado para regresar al paso 2.
b) Si xn+1 = x*n+1, la iteracin ha convergido. Puede avanzarse al
prximo intervalo de tiempo y regresar al paso 1.
Este mtodo iterativo es de un slo paso, pues involucra
informacin del inicio y el final de un slo intervalo de tiempo.
Si la aceleracin fuera lineal, la tercera derivada sera constante,
y de la cuarta en adelante seran cero y el mtodo sera exacto.
Al ignorar del tercer trmino en adelante, se asume
implcitamente que la aceleracin es lineal; por eso el mtodo se
llama as.
Para que converja, t
Para ilustrar el mtodo, se utilizar la ecuacin de
vibracin libre para un oscilador lineal amortiguado:
El oscilador vibra con un perodo natural de 1 s, tiene
un coeficiente de amortiguacin crtica del 5 % y las
condiciones iniciales son, velocidad nula y
desplazamiento de 2,5 cm. El intervalo de tiempo ser
de 0,125 s
xx2x 2= &&&
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.121
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealEn la siguiente tabla se consignan los pasos calculados.
En el instante t=0, el desplazamiento x es 2,5 cm y la velocidad
es cero. Con la ecuacin del oscilador se calcula la aceleracin
inicial, que da -98.69 cm/s. Con ste valor se calcula el
desplazamiento y la velocidad, utilizando las series de Taylor, que
dan 1.73 cm y -12.34 cm/s, al final del intervalo constante t.Estos valores se utilizan, a su vez, para calcular la aceleracin de
nuevo con la ecuacin del oscilador, lo que da -60.50 cm/s.
Evidentemente, el mtodo no ha convergido. Se repite el proceso
utilizando el ltimo valor de la aceleracin para los clculos, pero
manteniendo constantes los valores de las columnas 2 y 5,
porque son los trminos que dependen de valores al principio del
intervalo. Cuando se converge, puede pasarse al prximo
intervalo de tiempo.
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.122
III.123
(1) (2) (3) (4)(1) (5) (6) (7) (8)
RESPUESTA DINMICASUGDL
Ver Linear Acceleration.xlsVer Linear Acceleration.xlsVer Linear Acceleration.xlsVer Linear Acceleration.xls
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
Una vez obtenida la convergencia para todos los intervalos de
tiempo en la duracin estudiada del movimiento, ste puede
graficarse, como se muestra en la figura.
Como puede observarse, se grafic tambin la respuesta exacta,
calculada con la ecuacin para vibracin libre amortiguada.
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin lineal
La respuesta numrica difiere tanto en amplitud como en tiempo, es
decir, tiene un desfase con la respuesta exacta. Ms adelante se
hablar del error, que depende, en parte del intervalo de tiempo
escogido.
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.124
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2
Tiempo, s
x
,
c
m
Analtica
Aceleracinlineal
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealMtodo de la aceleracin linealDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.125
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin lineal
Para el caso particular de SUGDL, el mtodo de la aceleracin lineal
puede formularse de tal manera que se evite la iteracin. Por ejemplo, si
se tiene un oscilador cuyo movimiento se describe mediante la ecuacin:
Al instante t=tn+1:
Si se reemplaza en la ecuacin R las ecuaciones para el desplazamiento
y la velocidad del mtodo de la aceleracin lineal, se obtiene:
m
)t(fxx2x 2 =++ &&& Q
1n2
1n1n
1n xx2m
)t(fx ++
++ = &&& R
++
++
=
+
+
6
tt1
x3
tt1xt
m
)t(f)t(f
xnn
2n1n
1n
&&&
&& S
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.126
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin linealMtodo Especial de la aceleracin lineal
Esta ecuacin da la aceleracin al final del intervalo,
en trminos de la excitacin en ambos extremos del
intervalo y de sus condiciones iniciales. Junto con las
ecuaciones para desplazamiento y velocidad del
mtodo de la aceleracin lineal, descritas
anteriormente, esta versin especial del mtodo
incluye un incremento de tiempo completo sin
iteraciones.
Este mtodo, sin embargo, es vlido slo para un
oscilador de un grado de libertad.
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.127
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkPuede considerarse como una generalizacin del mtodo de la
aceleracin lineal. Teniendo los valores para el desplazamiento, la
velocidad y la aceleracin en el instante t, se escoge un t y:
1. Se calcula x*n+1, cuyo primer estimado es xn
2. Se calcula
3. Se calcula
4. Se calcula
( )* 1nnn1n xx2t
xx ++ +
+= &&&&&&
+
++= ++ * 1nn2nn1n xx21
txtxx &&&&&
( )1n1n1n1n t,x,xfx ++++ = &&&5. a) Si xn+1 x*n+1, se toma xn+1 calculada como un estimado
mejorado para regresar al paso 2.
b) Si xn+1 = x*n+1, la iteracin ha convergido. Puede avanzarse al
prximo intervalo de tiempo y regresar al paso 1.
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones FsicasAproximaciones Fsicas
III.128
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de NewmarkEl mtodo Beta de Newmark puede tomar valores entre 0 y 0,5. Cuando =1/6, el mtodo es el mismo que el de la aceleracin lineal. Si b=1/4 el mtodo sera exacto si la velocidad variase
linealmente en el intervalo.
Si 1/6
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemAproximaciones MatemAproximaciones MatemAproximaciones Matemticasticasticasticas
El mtodo se basa en una aproximacin de diferencias finitas de las
derivadas del desplazamiento en el tiempo, es decir, la velocidad y la
aceleracin.
t/2 t/2
Xn+0,5
Xn-0,5
Xn
Xn+1Xn-1Xn
t t
x x
t
tIII.130
Si el intervalo t es constante, la velocidad a la mitad de intervalos sucesivos puede aproximarse como:
A su vez, la aceleracin en t=n ser, aproximadamente:
Remplazando y en :
Ahora bien:
t2
xxx 1n1nn
= +&
21nn1n
21nn
2n1n
nt
xx2x
t
xx
t
xxx
+
=
= ++&&
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas
t
xxx 1nn5,0n
= & t
xxx n1n5,0n
= ++&y UT
t
xxx 5,0n5,0nn
= +
&&&& V
UT V
X
W
III.131
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas
Por otra parte, si:
entonces,
nn1n1n
21nn1n fkx
t2
xxc
t
xx2xm)t(fkxxcxm =+
+
+=++ ++&&&
Y
Para t=0 (n=0):
=
+
+ 2n21nn21n tm2
kxt2
c
t
mxf
t2
c
t
mx
+
=
+
t2
c
t
mt
m2kx
t2
c
t
mxf
x
2
2n21nn
1n
10111
0 xxt2xt2
xxx
+=
= && Z
III.132
012
012101
0 x2xtxxt
xx2xx +=
+
=
&&&&
De la ecuacin de movimiento, evaluada en t=0:
AA
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas
( )
00
20
1
0102
01
xtx2
txx
x2xxt2txx
+
=
++=
&&&
&&&
AAZ en :
m
kxxcfx 000
+= &&&
III.133
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas
En sntesis:
1.
2.
3.
m
kxxcfx 000
+= &&&
00
20
1 xtx2
txx +
= &
&&
+
=
+
t2
c
t
mt
m2kx
t2
c
t
mxf
x
2
2n21nn
1n
III.134
Un oscilador de UGDL tiene las siguientes
propiedades:
m=44,4kg
k=1750N/m
=0,05El sistema parte del reposo.
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia Central EjemploEjemploEjemploEjemplo
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas
0
2
4
6
8
10
12
0 0.2 0.4 0.6 0.8
T iempo, s
F
u
e
r
z
a
,
t
t fn xn-1 xn xn+10.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.000000
0.1 5.0000 0.0000 0.0000 0.001092
0.2 8.6602 0.0000 0.0011 0.003592
0.3 10.0000 0.0011 0.0036 0.006753
0.4 8.6603 0.0036 0.0068 0.009033
0.5 5.0000 0.0068 0.0090 0.008816
0.6 0.0000 0.0090 0.0088 0.005243
0.7 0.0000 0.0088 0.0052 -0.000119
0.8 0.0000 0.0052 -0.0001 -0.005112
0.9 0.0000 -0.0001 -0.0051 -0.007851
1.0 0.0000 -0.0051 -0.0079 -0.007424III.135
La funcin
de carga es
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.0 2.0 4.0 6.0
t
x
RESPUESTA DINMICASUGDL
El mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia CentralEl mtodo de la Diferencia Central EjemploEjemploEjemploEjemplo
Dominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempoDominio del tiempo Aproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones MatemticasAproximaciones Matemticas
III.136
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de Runge-KuttaDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas
Antes que un mtodo, es una familia de mtodos. Se basan en la
seleccin de varios valores de velocidad, dentro de un mismo
intervalo de tiempo, que se promedian ponderadamente para
vaticinar el desplazamiento y la velocidad al final del intervalo.
Estos mtodos son de un slo paso y no son iterativos. Hay
varias variantes, cuyo grado depende del nmero de valores que
se proponen para la aceleracin. Aqu se presenta un mtodo de
cuarto grado.
En este caso, el primer valor de la velocidad se calcula con el
dato de la aceleracin que sale de la ecuacin de movimiento, o
de otro mtodo, considerada constante en el intervalo. Luego se
toman otros tres valores, cada uno basado en el anterior, para
luego promediarlos en el clculo del desplazamiento y la
velocidad al final del intervalo. III.137
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de Runge-KuttaDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas
III.138
Los pasos se resumen a continuacin:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( )nnn1 t,x,xf tk &=
++++=
2
tt,
2
kx,
8
kt
2
xtxf tk n
1n
1nn2 &
&
++++=
2
tt,
2
kx,
8
kt
2
xtxf tk n
2n
1nn3 &
&
++++= tt,kx,2
ktxtxf tk n3n
3nn4 &&
++++=+ 6kkk
xtxx 321nn1n &
( )6
kkk2kxx 4321n1n
++++=+ &&
xx 22 &x..
t u1 v1 a1 k1 u2 v2 a2 k20.000 2.500 0.000 -98.696 -12.337 2.307 -6.169 -77.037 -9.6300.125 1.840 -9.626 -66.579 -8.322 1.108 -13.787 -30.595 -3.8240.250 0.300 -13.711 -3.239 -0.405 -0.563 -13.913 27.915 3.4890.375 -1.280 -10.597 57.175 7.147 -1.830 -7.023 68.157 8.5200.500 -2.101 -2.369 84.447 10.556 -2.085 2.908 71.177 8.8970.625 -1.806 6.459 67.225 8.403 -1.271 10.661 38.131 4.7660.750 -0.622 11.400 17.384 2.173 0.125 12.486 -11.743 -1.4680.875 0.790 10.243 -37.627 -4.703 1.357 7.891 -52.114 -6.5141.000 1.702 4.011 -69.730 -8.716 1.817 -0.347 -63.334 -7.9171.125 1.692 -3.793 -64.404 -8.051 1.329 -7.818 -41.848 -5.2311.250 0.830 -9.125 -27.024 -3.378 0.207 -10.814 -0.831 -0.1041.375 -0.388 -9.478 21.278 2.660 -0.939 -8.148 37.654 4.7071.500 -1.323 -5.032 55.389 6.924 -1.529 -1.570 54.406 6.8011.625 -1.524 1.629 59.149 7.394 -1.307 5.326 42.551 5.3191.750 -0.943 6.990 32.848 4.106 -0.442 9.043 10.118 1.2651.875 0.071 8.445 -8.105 -1.013 0.583 7.938 -25.078 -3.1352.000 0.976 5.542 -42.030 -5.254 1.241 2.915 -45.111 -5.639
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de Runge-Kutta EjemploDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas
Se calcular la respuesta del oscilador del ejemplo de la
aceleracin lineal, es decir, =0,05; T=1s; x0=2,5cm.
III.139
u3 v3 a3 k3 u4 v4 a4 k4 u v2.307 -4.815 -77.838 -9.730 1.892 -9.730 -53.579 -6.697 1.840 -9.6261.108 -11.538 -31.925 -3.991 0.387 -13.616 -4.468 -0.559 0.300 -13.711
-0.563 -11.966 26.764 3.345 -1.204 -10.365 43.360 5.420 -1.280 -10.597-1.830 -6.337 67.751 8.469 -2.075 -2.128 65.910 8.239 -2.101 -2.369-2.085 2.079 71.667 8.958 -1.838 6.589 53.641 6.705 -1.806 6.459-1.271 8.842 39.206 4.901 -0.692 11.360 15.239 1.905 -0.622 11.4000.125 10.666 -10.666 -1.333 0.720 10.066 -28.076 -3.509 0.790 10.2431.357 6.986 -51.579 -6.447 1.668 3.796 -54.134 -6.767 1.702 4.0111.817 0.052 -63.570 -7.946 1.707 -3.935 -51.053 -6.382 1.692 -3.7931.329 -6.409 -42.682 -5.335 0.884 -9.128 -22.481 -2.810 0.830 -9.1250.207 -9.177 -1.799 -0.225 -0.325 -9.350 15.359 1.920 -0.388 -9.478
-0.939 -7.125 37.049 4.631 -1.283 -4.847 42.741 5.343 -1.323 -5.032-1.529 -1.631 54.442 6.805 -1.527 1.774 46.627 5.828 -1.524 1.629-1.307 4.289 43.165 5.396 -0.983 7.025 26.749 3.344 -0.943 6.990-0.442 7.622 10.958 1.370 0.016 8.360 -5.171 -0.646 0.071 8.4450.583 6.878 -24.451 -3.056 0.935 5.389 -32.190 -4.024 0.976 5.5421.241 2.722 -44.997 -5.625 1.318 -0.083 -41.053 -5.132 1.325 0.056
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de Runge-Kutta EjemploDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas
III.140
RESPUESTA DINMICASUGDL
Mtodo de Runge-Kutta EjemploDominio del tiempo Aproximaciones Matemticas
III.141III.141
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2
Runge-Kutta
Analtica
Aceleracinlineal
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
Como ya se vio, una funcin peridica es aquella en la que la
forma de variacin en un perodo se repite indefinidamente.
Muchos tipo de funciones de carga son aproximadamente
peridicas, bajo ciertas condiciones, como las fuerzas en de la
hlice en los barcos, oleaje en plataformas marinas, cierto tipo de
cargas de viento en rascacielos, etc.
Aunque las cargas ssmicas nunca son peridicas pues son
cargas arbitrarias, su solucin puede aproximarse por medio de
superposicin de muchas funciones sinusoidales. Ya se ha
presentado el caso de las series de Taylor y de la Integral de
Duhamel.
Otra aproximacin al problema puede hacerse utilizando las
series de Fourier.
III.142
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
El armnico fundamental de la funcin de carga tiene una
frecuencia de:
Los coeficientes de las series pueden expresarse en funcin de
f(t), puesto que las funciones de seno y coseno son ortogonales
(cuando una vale 0, la otra vale uno, y viceversa)
( ) ( ) K1,2,3,j tjsenbtjcosaa)t(f1j
0j1j
0j0 =++=
=
=
00 T
2=
Cualquier funcin
peridica puede
separarse en sus
componentes armnicas
usando las series de
Fourier, as:
AB
III.143
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
El coeficiente a0 es el promedio de f(t), mientras que los
coeficientes aj y bj son las amplitudes del j-simo armnico de
frecuencia j0.
Las condiciones matemticas para que converja son en
extremo generales y cubren prcticamente cualquier situacin de
ingeniera concebible, aunque estrictamente hablando slo se
aplica a sistemas lineales.
( )
( )
=
=
=
0
0
0
T
0 00
j
T0 0
0j
T
00
0
dttjsen)t(fT
2b
dttjcos)t(fT
2a
dt)t(fT
1a
KK 1,2,3,j donde =
AB
III.144
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
La nica restriccin importante es que cuando la
funcin de carga es discontinua, la serie de Fourier da
su valor promedio en la discontinuidad.
Si el eje de la grfica de la funcin peridica fuera tal
que la suma de las reas positivas es igual a la suma
de las reas negativas, se obtendra que el valor
promedio de la funcin sera nulo, es decir, que la
integral bajo la curva de la funcin de carga sera igual
a cero, o, que a0=0. Los otros dos coeficientes
constantes son, en general, diferentes entre s.
III.145
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
Si se sustituyen los valores de los coeficientes de Fourier en la
funcin de carga, se obtiene:
( ) ( )
( ) ( )
=
=
+
=
1j0
T0 0
0
01j
T
0 00
tjsendttjsen)t(fT
2
tjcosdttjcos)t(fT
2)t(f
0
0
Cuando el perodo tiende a infinito, la frecuencia fundamental
tiende a ser un diferencial.
( ) ( )
( ) ( )tjsendttjsen)t(fd
tjcosdttjcos)t(fd
)t(f
00 000
00 000
0
0
+
=
=
=
III.146
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
Si se definen:
Los coeficientes A() y B() son las componentes de latransformada de Fourier y la funcin de carga est expresada por
la Integral de Fourier o la Transformada Inversa de Fourier.
Mediante un artificio matemtico, la ecuacin puede
expresarse como:
( )
( )
=
=
0 0
0 0
dttjsen)t(f2
1)(B
dttjcos)t(f2
1)(A
( ) ( )
+=0 00 0
dtjsen)(B2dtjcos)(A2)t(f
y
AC
AC
( ) ( )
+= dtjsen)(Bdtjcos)(A)t(f 00III.147
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
Ahora bien, puede demostrarse, a travs de las propiedades de
las funciones trigonomtricas (paridad), que:
De tal manera, si estas integrales son cero, pueden sumarse a la
funcin de carga sin alterarla.
y( ) ( )
== 0cos)(i 0)( 00 dtjBdtjsenAi
( ) ( )
( ) ( )
++=
dtjcos)(Bidtjsen)(Ai
dtjsen)(Bdtjcos)(A)t(f
00
00
[ ] ( ) ( )[ ]
=
+=
de)(F)t(f
dtjsenitjcos)(iB)(A)t(f
ti
00
AD
III.148
)(iB)(A)(F =
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
Como:
remplazando los valores de las componentes de Fourier da:
)(iB)(A)(F =
( ) ( )[ ]
=
=
dte)t(f2
1)(F
dttjsenitjcos)t(f2
1)(F
tij
00
0
se conoce como la Transformada de Fourier, mientras
que es la Transformada Inversa de Fourier
Estas expresiones estan dadas en el campo complejo de la
frecuencia.
Las seales de excitacin y de respuesta, en ambos campos de
la sismologa y la ingeniera ssmica, son finitas, acotadas y
continuas; por lo tanto, sus transformadas de Fourier siempre
existen y pueden evaluarse.
AE
AEAD
III.149
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuencia
Como: )t(ma)t(fmaf ==
)(mA)(F
dte)t(a2
mdte)t(f
2
1)(F tijtij 00
=
=
=
A la relacin entre la transformada de la respuesta y la
transformada de la excitacin se le llama Funcin de
Transferencia
Para cada ,
Transformada de Fourier de la aceleracin
)(F
)(X)(H
=
tie)(Fkxxcxm =++ &&& AF
III.150
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuenciaLa solucin es del tipo:
Remplazando en :
La funcin de transferencia ser la relacin entre la respuesta y la
excitacin:
ti2
titi
e-x
eixex
=
==
&&
&
AF
( ) )(Fcimk 2 =+
cimk
)(F2 +
=
cimk
1
)(Fcimk
)(F
e)(F
e2
2
ti
ti
+=
+
=
Amplitud de la respuesta de un sistema
bajo carga de la forma eiwt III.151
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuenciaResumiendo:
cimk
12 +
f(t) Transformada de Fourier F()
dte)t(f2
1 tij 0
H()Funcin de transferencia
X()Transformada Inversa
de)(X ti
x(t)
III.152
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuenciaCuando no se conoce la funcin continua que describe la seal
con la que se requiere trabajar generalmente se tienen valores de
la funcin a intervalos constantes. Estos valores pueden
representarse por un vector o serie discreta xr, donde r =
0,1,2,...n-1, como se aprecia en la figura.
x(t)
t
r
x0x1x2
x3x4x5
III.153
RESPUESTA DINMICASUGDL
Dominio de la frecuenciaLa transformada de Fourier, en forma de integral no puede
calcularse. El procedimiento tiene que realizarse en forma
discreta mediante mtodo numrico. Retomando los coeficientes
constantes de la serie de Fourier,
pueden combinarse definiendo X=aj-ibj y expresndolos en forma
compleja, as:
( )
( )
=
=
0
0
T
0 00
j
T
0