Resolución de Circuitos ifá iTrifásicos
IntroducciónEn la actualidad la mayoría (o todos) los SistemasEléctricos de Potencia (S E P) Generación de EnergíaEléctricos de Potencia (S.E.P) Generación de Energía,Transmisión, Distribución y Consumos son trifásicos.¿Por qué?¿Por qué?Esta modalidad presenta ventajas Técnico-Económicas (v/s monofásicas)
1) Habíamos visto que para un sistema monofásico de C.A. laexpresión para la potencia instantánea
)2cos()cos()( βαωϕ +++= tIVIVtpefefefef
Es pulsantepulsante y depende del tiempo y oscila alrededor delvalor medio de la potencia con una frecuencia igual al doblede la frecuencia ω
Demostraremos que en un sistema trifásico (balanceado) lapotencia instantánea eses constanteconstante e igual a la potencia
dimedia.
Φ== 3)cos(3)( PIVtp efef ϕ
2) Los circuitos trifásicos requieren menor sección de losconductores que para circuitos monofásicos ⇒ que el peso totalconductores que para circuitos monofásicos ⇒ que el peso totaldel sistema 3Φ es menor que el del sistema 1Φ
En efecto, considerando, igual potencia transmitida, igual tensión de fase y factor de potenciatensión de fase y factor de potencia
cos3)(
ϕefef IVPoequilibradTrifásico
=ϕcosefef IVPMonofásico=
)cos9
(33 22
2'2'
1 ϕ
ϕ
efef
efef
VPRIRpérdidas ==ϕ
2
22 )cos
(22ef
ef
efef
VPRRIpérdidas ==
é d dl d
ϕ22
2
cos2
efVRPpérdidas =
VPR
VPR
pérdidasigualando
efef)
cos9(3)
cos(2 22
2'
22
2=
ϕϕ
RRRR
ff
66 '' =⇒=
Por otro lado para la misma resistividad y longitud dela líneala línea
'' 6
6 SSSL
SL
=⇒=ρρ
S: Sección Transversal del conductor del sistema
6SS
monofásicoS’: Sección Transversal del conductor del sistemat ifá itrifásico
Es posible demostrar que el peso total de los conductores delsistema trifásico es aproximadamente la cuarta parte del pesosistema trifásico es aproximadamente la cuarta parte del pesototal de los conductores del sistema monofásico ⇒ menorescostos montaje (construcción) y mantenimiento (Estructurasmenos voluminosas mas espaciadas menos cobre etc)menos voluminosas, mas espaciadas , menos cobre , etc)
3) Para una misma potencia, un generador o motor trifásico es) p , gmas pequeño (menor costo) que su correspondientemonofásico. Respecto del rendimiento 1Φ(65%), 3Φ(85%).
Definición de Fuente 3Φ Equilibrada
Una fuente que puede ser representada por 3f ó fáfuentes de tensión monofásicas conectadasformando una estrella o un triángulo como enl fla figura:
Constituye una fuente trifásica Equilibrada siempreque se den las relaciones siguientes:que se den las relaciones siguientes:
)1 321 ==Δ== cbannn VVVenVVVYen
00)2...
3.
2.
1.
=++Δ=++ cbannn VVVenVVVYen
Para que la suma de las tensiones sea nula debecumplirse que las 3 tensiones tengan el mismocumplirse que las 3 tensiones tengan el mismomodulo(magnitud) y diferencias de fase de 120ºexactamente.exactamente.
Si elegimos “arbitrariamente” para la conexión “Υ” elfasor V como referencia podemos tener dosfasor V1 como referencia, podemos tener dossituaciones
en que: º01 ⟨=⋅
VV
º1202
⟨⟨
⟨−=⋅
⋅VV
º240º1203 ⟨−=⟨= VVV
)sec( −−⇒+Δ cbaen
º0
)sec(
' ⟨=
⇒+Δ
⋅VV
cbaen
a
º120
''
' ⟨−=⋅
⋅VV b
a
º240º120 '' ⟨−=⟨= VVV c
La otra posibilidad:
en que º01 ⟨=⋅
VV
º1202 ⟨=⋅
⋅VV
º240º1203 ⟨=⟨−= VVV
Secuencia de fase: Es el orden en que las 3 tensiones alcanzan sus máximos.
En efecto para una secuencia de fases 1-2-3(secuencia positiva) se tiene(secuencia positiva) se tiene
º120)º120cos()(
º0cos)(
2
1
=−=
==
tenmáximosutienetVtv
tenmáximosutienetVtv
ωω
ωω
º240)º240cos()(
120)120cos()(
3
2
=−= tenmáximosutienetVtv
tenmáximosutienetVtv
ωω
ωω
En un gráfico:
Observación
inicialfasorVSea º5030⟨=⋅
{ }}rotacionaloperador
tjjtj eeettv ωωω º50)º50( 3030)º50cos(30)( ⇒ℜ=+= +{ } j
principalfasor
jj eeettv ω 321)( 3030)50cos(30)( ⇒ℜ=+=
Equivalente entre fuente 3Φ (Υ Δ)Equivalente entre fuente 3Φ (Υ-Δ)equilibrado
Tensiones de Línea y de Fasef fCada una de las 3 fuentes 1Φ empleadas para formar
una fuente 3Φ se llama generador de fase.
La tensión asociada con cada generador defase se denomina “tensión de fase” de lafase se denomina “tensión de fase” de lafuente trifásica.La tensión entre dos de los tres terminales deLa tensión entre dos de los tres terminales delínea se llama “tensión entre línea” osimplemente “tensión de línea”simplemente tensión de línea .Ambas fuentes son equivalentes si lastensiones entre cada pareja de terminalestensiones entre cada pareja de terminalescorresponden exactamente a las que se dan acontinuación:continuación:
Luego:
21''⋅⋅⋅
−= VVV ba aba VV⋅⋅
=''
32''⋅⋅⋅
−= VVV cb bcb VV⋅⋅
=''
13''⋅⋅⋅
−= VVV ac cac VV⋅⋅
=''
Supongamos en lo que sigue sec(+) y veamos larelación que existe entre ambas fuentesrelación que existe entre ambas fuentes.
{ } º30333311º1201º01120º0º120
º0
)(
1
⟨⎟⎞
⎜⎛⎪
⎬⎫⎪
⎨⎧
⎟⎞
⎜⎛
⟨⟨⟨⟨⎪⎪⎪
⎨
⎧
⟨
⟨=⋅⋅⋅
⋅
VjVjVVVVVVVV
VV
R li d l i áli i bti t
{ } º3032222
1º1201º01120º0
º120
º120)sec( ''
3
2 ⟨=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+=⎪⎭
⎪⎬
⎪⎩
⎪⎨ ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
−−=⟨−−⟨=⟨−−⟨==
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎨
⟨=
⟨−=+⋅
VjVjVVVVVV
VV
VV aba
Realizando el mismo análisis se obtiene entonces
º30333'' ⟨=⎟⎟
⎞⎜⎜⎛
+==⋅⋅
VjVVV aba
( ) º9033
22
''
⎞⎛
⟨−=−==
⟨⎟⎠
⎜⎝
⋅⋅VjVVV
j
bcb
aba
º150323
23
'' ⟨=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−==
⋅⋅VjVVV cac
En una gráfica
VV a º30'⎪⎧
⟨=⋅
VV
VV
VV
VV
b
a
3'
º150'
º90'
30
)sec( =⇒
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⟨
⟨−=
⟨
+⋅
⋅
VV a º150'⎪⎪⎩
⟨=
Suponiendo ahora como referencia Va’b’ (rotando elsistema anterior)sistema anterior)
º03'' ⟨==⋅⋅
VVV b ⎪⎧
⟨−=⋅
301 VV
1203
03
''
''
⇒⟨−==
⟨==⋅⋅
VVV
VVV
bcb
aba
⎪
⎪⎪⎪
⎨ ⟨−=
⟨⋅
1502 VV
º1203'' ⟨+==⋅⋅
VVV cac⎪⎪⎪
⎩⟨+=
⋅903 VV
⎩
De las relaciones anteriores se puedeconcluir que la amplitud de la tensiónde línea es √3 veces la tensión de fasede línea es √3 veces la tensión de fase
VV 3 fLL VV 3=
Resolución de Circuitos 3Φ Equilibrados
Definiciones:Carga Equilibrada : Tres impedancias igualesconectadas en estrella o delta forman una cargatrifásica equilibradatrifásica equilibrada.
Terminales de Línea: Son los terminales de la carga (a’,b’,c’)Corrientes de Línea: Son las corrientes que circulan por losCorrientes de Línea: Son las corrientes que circulan por losterminales de línea (Ia’,Ib’, Ic’)Impedancia de fase: Se le llama así a cada una de lasimpedancias de la carga (Z o Z’)Corriente de fase: Son las corrientes que circulan por cadaimpedancia de faseimpedancia de faseTensiones de fase: Son las tensiones en cada impedancia defaseCircuito Equilibrado: Si una carga equilibrada esta alimentadapor una fuente trifásica equilibrada el conjunto recibe el nombrede “Circuito trifásico Equilibrado”q
Circuitos con Carga en Conexión ΥCircuitos con Carga en Conexión ΥEquilibrada
Supongamos sec(+)
º120º120º0 321 ⟨=⟨−=⟨=⋅⋅⋅
VVVVVV
n y n’ eléctricamente son el mismo punto, dicho deotra manera están al mismo potencial V 0 Enotra manera están al mismo potencial, Vnn’=0. Enefecto utilizando el Teorema de Millman:
∑n
1=
∑
∑=
Y
VYV n
k
kkrpk
pr
''''
1
++++
=
∑=
YYYVYVYVYV
Y
cncnbnbnanannn
kpk
0)(1
'
'''
=++
=
++
VVVZV
YYY
cnbnan
cnbnan
013'
Z
V nn
Conclusión: En un circuito 3Φ equilibrado laó ftensión entre el punto neutro de la fuente y
el punto neutro de la carga es cero.Como la tensión entre los puntos n y n’ essiempre cero no circulará corriente entreestos puntos si se conectan a través de unaimpedancia o se cortocircuitan. Si suponemosque la impedancia de la carga es:
⟨⋅
ZZ ϕ⟨= ZZ
El cálculo de las corrientes será directo, esto es: ⋅⋅⋅
ϕϕϕ −⟨==−⟨−==⟨−== ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅º120º120 3
'2
'1
'ZV
Z
VIZV
Z
VIZV
Z
VI cba
Observe que es suficiente conocer una corriente, las demás se desfasan en 120º (conocida naturalmente la secuencia de fase)la secuencia de fase)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅º1201º1201 '''''' ⟨=⟨−== acabaa IIIIII
Observando las relaciones, estos nos dan 3 circuitosequivalentes monofásicos (por ser equilibrado) El que sóloequivalentes monofásicos (por ser equilibrado). El que, sólopara no perder configuración, podemos dibujar:
Si el circuito es equilibrado se puede trabajar con lo que sedenomina su “Equivalente por fase”. (Observe que si la fuente3Φ de tensión esta en conexión Δ esta se transforma a una3Φ de tensión esta en conexión Δ, esta se transforma a unafuente de tensión 3Φ en estrella.
Circuito Equilibrado con Carga en Δ
Sea el circuito
⟨==⟨−==⟨==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
º120 º120 º0 VVVVVVVVV cacbcbaba
Las corrientes de fase (aplicando Ley de Ohm)
ϕ⟨=⋅
'' ZZ
º'
'
º'
''
'120 120 −⟨==−⟨−==⟨−== ⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅ ca
cabc
bcab
abZV
Z
VIZV
Z
VIZV
Z
VI ϕϕϕ
ºº.
120 120 :entoncesescribir puede se ⟨=⟨−=⋅⋅⋅
abcaabbc IIII
ZZZ
Las corrientes de línea:
[ ]
[ ] º15031º1201
º303º12011
⟨⟨
⟨−=⟨−=−=⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅ababcaaba
IIIII
IIIII
[ ]
[ ] º903º1201º1201
º15031º1201
⟨=⟨−⟨−=−=
⟨−=−⟨−=−=⋅⋅⋅⋅⋅
ababbccac
abababbcb
IIIII
IIIII
Observe que si la fuente estuviera en Υ se transforma a unafuente Δ equivalente o bien se transforma la carga en Δ a una
[ ] 90312011201 ⟨⟨⟨ ababbccac IIIII
fuente Δ equivalente o bien se transforma la carga en Δ a unacarga en Υ equivalente, lo que permite obtener fácilmente lascorrientes de línea. Recuerde que
1Δ= ZZY 3
1
Magnitudes de Línea y de Fase
Sean:
)( magnitudlineadetensionVVVV bb⋅⋅⋅
)(
)(
magnitudlineadecorrienteIIII
magnitudlineadetensionVVVV
cbaL
cabcabL
⋅⋅⋅===
===
)( magnitudfasedetensionVVVV cnbnanf
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅===
)( magnitudfasedecorrienteIcIII cababf ===
Caso Υ fL II =
Caso Δ fL VV =
Caso Υ Relación entre la tensión de línea y la tensión de fase,considerando secuencia positiva, y suponiendo conocidas lascorrientes de línea:corrientes de línea:
º120º120º0 ⟨=⟨−=⟨=⋅⋅⋅
IfIIfIIfI cba
Si suponemos adicionalmente que la fuente esta en Υ:
VVV⋅⋅⋅
bnanab VVV −=
entonces: baab IZIZV
⎞⎛
−=⋅⋅⋅⋅⋅
( )
baab IIZV ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
( )
fab
fab
IZV
IZV
º303
1201º01
⟨=
⟨−−⟨=⋅⋅
}
f
V
fabL VIZVV
f
33 ===⋅⋅
ff
VV 3= fL VV 3=
Caso Δ Relación entre la corriente de línea y la corriente defase considerando secuencia positiva y suponiendo conocidasfase, considerando secuencia positiva, y suponiendo conocidaslas tensiones de fase: º120º120º0 ⟨=⟨−=⟨=
⋅⋅⋅VVVVVV cabcab
⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅−= III caaba
⋅⋅
⋅−=
'' Z
V
Z
VI caaba
( )⋅
⋅
⋅⟨−⟨= º1201º01VI a
'Z
reemplazando:
}
º303⟨
⋅
⋅fI
VII 303'
⟨−==⋅
aL
Z
II
fL II 3= f
Circuitos DesequilibradosCircuitos Desequilibrados (Fuente Equilibrada)
Carga en Δ desequilibrada
caaba III⋅⋅⋅
−=
abbcb III⋅⋅⋅
−=
bccac III⋅⋅⋅
−=
caca
bcbc
abab
VIVIVI ⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
===cabcab ZZZ
⋅⋅⋅
Carga en Δ abierta
Carga en Υ desequilibradaCarga en Υ con Neutro encadenado
cnc
bnb
ana
VIVIVI ⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
=== '''
Aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff en eld ’
cba ZZZ
nudo n’.
S i d id l f t tincba IIII
⋅⋅⋅⋅=++
Suponiendo conocida la fuente se tiene que:
nnan VVV '1'⋅⋅⋅
−=
nnbn VVV '2'
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−=
nncn VVV '3' −=
Debemos entonces determinar el valor de Vn’n.Aplicando Teorema de MillmanAplicando Teorema de Millman
1
n
pk krk
Y VV =
∑1
1
kpr n
pkk
VY
=
=
=
∑' ' ' '
'' ' ' '
0
n a an n b bn n c cn n n nnn n
n a n b n c n n
Y V Y V Y V Y VVY Y Y Y+ + +
=+ + +
}0
1 2 31 1 1 1
0nn
a b c n
V V V VZ Z Z ZV
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + +
≠' 01 1 1 1a b c n
n n
a b c n
V
Z Z Z Z⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ≠+ + +
Carga en Υ con Neutro sólido (Z=0)
ncba IIII⋅⋅⋅⋅
=++
cbaVIVIVI⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅=== 321
c
c
b
b
a
a
ZZZ⋅⋅⋅
Carga en Υ con Neutro flotante
0=++⋅⋅⋅cba III
nnan VVV '1'
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−=
0321' ≠
++= ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ cba
nnVYVYVYV nncn
nnbn
VVV
VVV
'3'
'2'
⋅⋅⋅−=
−=
++⋅⋅⋅
cba YYYnncn 3
b VVV⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅ '''
c
cnc
b
bnb
a
ana
Z
VIZ
VIZ
VI ⋅⋅⋅ === '''
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