Funciones
Definición1
Clasificación2
Características3
Relación- Funciòn
Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o sujetos representada como un conjunto de pares
ordenados
La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5
Relación
Relación Cosas que se relacionan
Es un múltiplo de …
No es igual a …
Da más leche que …
Es congruente con …
Número enteros
Números
Vacas
Triángulos
1
2
3
4
Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos
La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números
Relación 1
El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuenta
2
La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa
La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un conjunto
de números
Sean los conjuntos L; formado por las vocales latinas, y G; formado por las vocales griegas
Ejemplo
, , , ,L a e i o u , , , , , ,G
Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinas con las vocales griegas (transliteración), R: LG.
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )R a e e i o o u
Representación con pares ordenados
Ejemplo
Representación gráfica
a
e
L i
o
u
G
Ejemplo
Representación gráfica
a e i o u
Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales
Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima
Enrique
RogelioG
Mario
Víctor
El diagrama establece que Arturo y Aurora son
hijos de Rogelio, que Pedro es hijo de Enrique, Norma es hija de Mario y Fátima es hija de Víctor.
¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura?
¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una persona
tenga dos padres
Funciones
Pedro
Arturo
H Aurora
Norma
Fátima
Enrique
RogelioG
Mario
Víctor
Si una relación excluye este tipo de
correspondencias entre los elementos de los
conjuntos que la definen, hablamos de una
FUNCIÓN
Toda ecuación es una Relación, pero no toda Relación es una Funciones
¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?
¿Qué es una función?
Una función es una relación entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto.
Estos dos conjuntos son el dominio, que también se
conoce como X, y el alcance, conocido como Y.
Es un caso especial de una relación.
Una función se define formalmente de la siguiente manera:
Sea f: A B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada xA hay un solo yB tal que x f y, que se denota como y=f(x).
Funciones
i
Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIOii
A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIAiv
A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la función
iii
Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A
Las funciones se clasifican:
Funciones
Por la relación entre el Dominio y el Contradominio1
Inyectivas Suprayectivas Biyectivas
Por su regla de correspondencia2
Algebraicas Trascendentes
Por su simetría3
Pares Impares
Clasificación de las funciones
Función Lineal
Función Cuadráticas
Función Cúbica
Función Potencia
f x mx b
2f x ax bx c
3f x ax
cf x x
Función Raíz f x x donde 0x
Función Reciproca 1f x
x donde 0x
Funciones Racionales
11 1 0
11 1 0
n nn n
m mm m
p x a x a x a x af x
q x b x b x b x b
Funciones Irracionales f x mx b
Función Valor Absoluto f x x
donde0
0 0
0
x si x
x si x
x si x
Función Exponenciales
Función Logarítmicas
xf x b
l gbf x o x
Funciones Trigonométricas
f x Sen x
f x Cos x
f x Tang x
Funciones Hiperbólicas
2
x xe ef x Senh x
2
x xe ef x Cosh x
x x
x x
e ef x Tangh x
e e
Todas las relaciones pueden ser graficadas en el plano cartesiano
Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
Función Inyectiva
x1,x2 si [x1≠ x2 ] [f(x1) ≠ f(x2)]
x1,x2 si [f(x1) = f(x2)] [x1= x2]B
Si f: A B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones
A
Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento.A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento
Ejemplo
Función Inyectiva
En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo
Lugar 1
Lugar 2Carro 1
¿Esta relación es
una función?
Función Inyectiva Ejemplo
Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros diferentes, el lugar de estacionamiento que les corresponde es diferente.
¿Esta función es inyectiva?
Lugar 2Carro 2
Carro 3
En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones
Función Suprayectiva
Im(f)= B, es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio)
yB existe xA tal que y=f(x)
Si f: A B es una función, es sobreyectiva si se cumple que:
A
Sea la función definida del conjunto de carros hacia el
conjunto de lugares de estacionamiento.
Ejemplo
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Todos los elementos del contradominio SON imágenes de algún o algunos elementos del dominio.
Carro 6 ¡Esta función NO es inyectiva!
Función Suprayectiva
Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo.
¿La función del ejemplo anterior es
suprayectiva?
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Función Biyectiva
Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos diferentes elementos del dominio
Si f: A B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva, es decir,
A
Ejemplo
Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al menos un elemento del dominio B
Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de lugares de
estacionamiento.
Todos los elementos del contradominio SON imágenes de solo un elemento del dominio. La función es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.
Lugar 1
Lugar 3
Lugar 4
Lugar 5
Lugar 6
Carro 1
Carro 2
Carro 3
Carro 4
Carro 5
Carro 6
Lugar 2
Funciones Algebraicas
Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2( ) 3 2f x x x Función cuadrática
B
1 21 2 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a x a C
Función Polinomial (entera) de grado “n”( )f x ax b
Función lineal
1 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...( )( )
( ) ...
n nn n
m mm m
a x a x a x a x aP xr x
Q x b x b x b x b x b
D
Funciones Racionales
Función Racional No entera
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2( )f x x b
Las funciones irracionales incluyen
radicales en la regla de correspondencia
B
1( )
2
xf x
x
C
2( ) 1f x x x
2( )
4
xr x
x
D
Funciones Irracionales
1( )
2
xf x
x
E
Funciones trascendentes
Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre de funciones trascendentes o trascendentales
A
Ejemplos
( ) , 0xf x a a
Función Exponencial B Función logaritmo
( ) log , 0af x x a
C
( ) sin( ), ( ) cos( ), ( ) tan( )f x x f x x f x x
Funciones Trigonométricas (circulares)
( ) cot( ), ( ) sec( ), ( ) csc( )f x x f x x f x x
D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas
Una función es par cuando se cumple que:
Función Par
f(x)=f(-x)
Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y
Una función es impar cuando se cumple que:
Función Impar
f(-x)=-f(x)
Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas
Operaciones con Funciones
Dadas las funciones f(x) y g(x) se definen la:
1 Suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)
2
3
5
Resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x)
Composición: (fg)(x) = f(g(x))
División: (f/g)(x) = f(x) / g(x)4
Multiplicación: (f*g)(x) = f(x) * g(x)
Función Lineal
La función lineal tiene la forma siguiente: F(x)= mx+b Ó = mx+b El dominio es donde X puede obtener
cualquier valor. En esta ecuación M respresenta la
pendiente de la recta y B representa el intercepto en el eje de Y (eje vertical).
Tiene una pendiente (m=2.)
Intercepto en Y es (0,5).
Intercepto en X es (-5/2).
La pendiente es positiva, por lo tanto la línea es de forma creciente.
El domino y el alcance son los números reales.
No tiene asíntotas.
Función Lineal: f(x)= 2x+5
La gráfica de F(x)=mx+btiene una formacomo esta
Ejemplos
Para trazar esta gráfica necesitamos hacer una tabla de valores y luego sustituir esos valores en la función.
F(-1) = 2(-1)+5 F(1) = 2(1)+5
F(-1) = -2+5 F(1) = 2+5
F(-1) = 3 F(1) = 7
F(0) = 2(0)+5 F(2) = 2(2)+5
F(0) = 0 + 5 F(2) = 4+5
F(0) = 5 F(2) = 9
F(x)=2x+5Trace la gràfica
F(x)=2x+5Trace la gràfica
El dominio son todos los números reales.
La gráfica es una recta, con una pendiente de 2. Lo cual nos dice que a medida que se mueve uno hacia la derecha en el eje de X, se mueve dos hacia arriba en el eje de Y.
No hay asíntotas.
Intercepto en el eje de X: (-5/2,0).
Intercepto en el eje de Y: (0,5).
F(X)=2x+5Características
Función Cuadrática
Una función racional es la razon entre dos polinomios y se expresa de la forma:
Donde la P(X) y Q(X) son funciones polinómicas y Q(X), el denominador, NO puede ser cero.
El dominio de una función racional NO son todos los números reales, ya que el denominador nos plantea un valor que no puede ser incluido en el dominio.
Las gráficas NO son continuas
Función Racional
Ejemplos
1. Son líneas curvas, por lo tanto no tiene pendiente.
2. Intercepto en Y es (0,1/5).
3. No tiene intercepto en X.
4. Su dominio son todos los números reales, excepto -5/2. (X X≠-5/2)⎮
5. Tiene asíntotas: líneas por donde la función no puede pasar.
6. Asíntota vertical es x=-5/2.
7. Asíntota horizontal es y=0.
Función racional:
1. El dominio es:
2. Intercepto de y es el par: (0,1/5), ya que:
3. Intercepto en X: 0=
0=(2x+5) (2x+5)
0=1, No hay intercepto en X.
: Trace la gràfica
4. Asíntotas:
a) Horizontal: y=O, ya que el numerador tiene grado 0 es menor que el grado del denominador que es 1. Satisface una de las tres reglas: Si n < p, entonces la gráfica de f tiene una asíntota horizontal en y=0.
b) Vertical: x= -5/2, la asíntota vertical es la restricción del dominio.
c) Oblicua: No hay asíntota oblicua, ya que el grado del numerador es < que el grado del denominador.
Trace la gràfica
:
Se hizo una tabla de valores para colocar puntos adicionales en la gráfica.
Trace la gràfica
: Trace la gràfica
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