Cuarto Semestre
COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
Gua de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias
COLEGIO DE BACHILLERES DEL
ESTADO DE BAJA CALIFORNIA
FRANCISCO ARTURO VEGA DE LAMADRID
Gobernador del Estado de Baja California
MARA DEL ROSARIO RODRGUEZ RUBIO
Secretaria de Educacin y Bienestar Social y Directora General del ISEP del Estado de Baja California
MARCO ANTONIO ESPONDA GAXIOLA
Subsecretario de Educacin Media Superior, Superior, Formacin Docente y Evaluacin
ARCELIA GALARZA VILLARINO
Directora General del CBBC
IVN LPEZ BEZ
Director de Planeacin Acadmica del CBBC
MATEMTICAS IV
Edicin, febrero de 2012
Diseado por:
Fs. Norman Edilberto Rivera Pazos
Apoyaron en la revisin: Ing. Enrique Correa Estrella Arq. Juan Ramn Islas Sambrano M.C. Jos Alejandro Andaln Estrada Lic. Gastn Santos Cabrera Profra. Mara Lorena Mariscal Bobadilla
Actualizado por:Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila
Edicin, febrero de 2014
Apoyaron en la revisin:
Lic. Alejandra Snchez Muuzuri Lic. Gastn Santos Cabrera Ing. Raquel Lauren Almanza Ing. Juan Andrs Vargas Rodrguez
En la realizacin del presente material, participaron:
JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Teresa Lpez Prez
EDICIN, FEBRERO DE 2015 Gerardo Enrquez Niebla Diana Castillo Cecea
La presente edicin es propiedad del
Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.
Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra.
Este material fue elaborado bajo la coordinacin y supervisin de la
Direccin de Planeacin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.
Blvd. Anhuac #936, Centro Cvico, Mexicali, B.C., Mxico.
www.cobachbc.edu.mx
En el marco de la Reforma Integral de la Educacin Media Superior, Colegio de Bachilleres del
Estado de Baja California (CBBC), se ha propuesto la meta de formar y consolidar el perfil de egreso en el
bachiller, poniendo a disposicin del alumno los elementos necesarios que le permitan crecer y
desarrollar conocimientos, habilidades, actitudes y valores para poder enfrentar los retos de un mundo
globalizado, vertiginoso, competitivo y complejo. Por tanto, es importante que el proceso educativo
implemente estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios
reales, donde el estudiante con creatividad, habilidad y destreza sepa desarrollar, movilizar y transferir
las competencias adquiridas.
En virtud de lograr lo anterior y consciente de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a
una bibliografa adecuada, pertinente y eficaz con el entorno socio-econmico actual, el CBBC brinda la
oportunidad a los estudiantes de contar con materiales didcticos para el ptimo desarrollo de los
programas de estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar
que, dichos materiales son producto de la participacin de docentes de la Institucin, en los cuales han
manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formacin de los jvenes
bachilleres.
Los materiales didcticos se dividen en dos modalidades: Gua de Actividades del Alumno para el
Desarrollo de Competencias, dirigida a las asignaturas de los Componentes de Formacin Bsica y
Propedutica, y Gua de Aprendizaje; para las capacitaciones del Componente de Formacin para el
Trabajo. Cabe sealar que, los materiales se encuentran en un proceso permanente de revisin y
actualizacin por parte de los diferentes equipos docentes as como del equipo editorial. Las guas se
pueden consultar en la pgina Web del CBBC: www.cobachbc.edu.mx en la seccin alumnos / material
didctico.
Es necesario, hacer nfasis que la gua no debe ser tomada como la nica herramienta de trabajo
y fuente de investigacin, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un trabajo de
consulta en otras fuentes bibliogrficas impresas y electrnicas, material audiovisual, pginas Web,
bases de datos, entre otros recursos didcticos que apoyen su formacin y aprendizaje.
COMPETENCIAS DISCIPLINARES BSICAS DEL CAMPO DE
MATEMTICAS
1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales, hipotticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y
los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos,
analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las
tecnologas de la informacin y la comunicacin.
5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del
espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenmeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y
cientficos.
BLOQUE I
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES
CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES
CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
2 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
Ejercicio cardiovascular
Una definicin sencilla del ejercicio cardiovascular, es todo ejercicio que aumenta la frecuencia cardaca a un
nivel donde an es posible hablar pero se empieza a sudar un poco.
Un mnimo de 20 minutos de ejercicio cardiovascular tres o cuatro das por semana tpicamente es suficiente
para mantener un buen nivel de condicionamiento fsico. Cualquier tipo de movimiento es bueno, incluso la
limpieza del hogar y la jardinera. Pero si desea adelgazar, deber realizar algn tipo de ejercicio cardiovascular
durante 30 a 45 minutos o ms, cuatro o ms das por semana.
Utiliza los criterios que definen a una funcin para establecer si una relacin dada es funcional o
no.
Describe una funcin empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio y rango.
Emplea la regla de correspondencia de una funcin y los valores del dominio implcito o explicito,
para obtener las imgenes correspondientes.
Aplica diferentes tipos de funciones en el anlisis de situaciones.
Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a travs de nuevas relaciones.
Aplica las nociones de relacin y funcin para describir situaciones de su entorno.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR:
Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetos que
persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin
de medios, cdigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,
ideas y prcticas sociales.
Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales hipotticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
Funciones
Relaciones
Dominio
Contradominio
Imagen
Regla de correspondencia
3BLOQUE I
El programa de ejercicio cardiovascular ideal comienza con 5 a 10 minutos de precalentamiento, que incluye
movimientos suaves que aumentan levemente la frecuencia cardaca.
Luego, gradualmente pasa a realizar unos 20 minutos o ms de algn ejercicio cardiovascular, tal como
gimnasia aerbica, trote sobre tapiz rodante o caminata, hasta alcanzar lo que se denomina frecuencia
cardaca de entrenamiento. (La tabla a continuacin lo ayudar a encontrar su zona de frecuencia
cardaca deseada o zona de entrenamiento).
La frecuencia cardaca de entrenamiento es una pauta que puede ayudarlo a medir su nivel de
condicionamiento fsico antes de iniciar su programa de ejercicio y a medir su progreso tras iniciar el programa.
La frecuencia cardaca de entrenamiento tambin te indica la intensidad del ejercicio. Al comenzar un programa
de ejercicio, lo aconsejable es mantenerse cerca del lmite inferior de su zona de entrenamiento. Si haces
ejercicio con regularidad, puedes hacer ejercicio a una intensidad suficiente como para mantenerte cerca del
lmite superior de la zona de entrenamiento.
Para asegurarte de mantenerte dentro de tu zona de entrenamiento, debers tomarte el pulso cada tanto al
hacer ejercicio. Podrs encontrar el pulso en 2 lugares: en la base del pulgar de cualquiera de las dos manos (lo
que se denomina pulso radial) o de un lado del cuello (lo que se denomina pulso carotdeo). Coloca los
dedos ndice y medio sobre el pulso y cuenta el nmero de latidos en un espacio de 10 segundos. Multiplica esa
cifra por 6 para calcular el nmero de latidos por minuto. Por ejemplo, si contaste 20 latidos durante los 10
segundos, tu frecuencia cardaca ser de 120 latidos por minuto.
Haz una grfica que muestre los valores mnimo y mximo de % del ritmo cardaco mximo que es aconsejable para
un buen acondicionamiento fsico. Inserta los datos de la tabla en el mismo plano cartesiano.
Cul es el valor mnimo y mximo de edad para los cuales es til esta grfica?
Los valores obtenidos, representan el dominio o el rango de la grfica?
Cules seran los valores mximo y mnimo de % de ritmo cardaco para una persona con 28 aos?
Pregunta a tu profesor la edad que tiene y determine los valores correspondientes del % de ritmo cardaco.
4Pregunta al mdico de la escuela cul es ritmo cardaco mnimo y mximo recomendable para la
actividad fsica de jvenes de 15, 16 y 17 aos? O busca en Internet u otra fuente de informacin y agrega
estos datos a la tabla y modifica la grfica.
Si el mdico les ayuda, midan la frecuencia cardiaca de cinco de sus compaeros despus de hacer una
actividad fsica moderada (dos vueltas a la cancha corriendo o subir escaleras con paso rpido).
Ana
Yolanda
Conchita
Karla
Laura
Sofa
101 M
102 M
103 M
104 M
105 M
106 M
Equipo de volibol Grupos
Ana
Yolanda
Conchita
Karla
Laura
Sofa
101 M
102 M
103 M
104 M
105 M
106 M
Equipo de volibol Grupo
Argumentos
(elementos)
Imgenes
(elementos)
RANGO
(conjunto)
Una funcin es la regla de correspondencia que asocia cada elemento del dominio con slo un valor del
contradominio, es decir que para cada valor de y.
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
5Toda funcin es una relacin, pero no todas las relaciones son funciones.
Grficamente quedara:
Despus de analizar los esquemas podemos concluir que:
BLOQUE I
6Formas de representar una funcin
Utilicemos el siguiente diagrama para encontrar la relacin de correspondencia entre los estados de la
repblica y sus capitales.
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
Si usamos la regla de correspondencia , de tal manera que A es un Estado de la Repblica y
B su capital, tendremos las parejas ordenadas:
(Michoacn, Morelia), (Jalisco, Guadalajara), (Hidalgo, Pachuca), (Sinaloa, Cualiacn), (Nayarit,
Tepic).
Su dominio est dado por los estados:
(Michoacn, Jalisco, Hidalgo, Sinaloa, Nayarit)
Su rango es:
(Morelia, Guadalajara, Pachuca, Cualiacn, Tepic)
Su contradominio es:
(Morelia, Guadalajara, Pachuca, Culiacn, Tepic, Monterrey, Coahuila)
Observa que el rango est formado por los nicos elementos que se encuentran relacionados con el
contradominio, por lo que el rango es un subconjunto del contradominio.
Por lo que podemos decir que el ejemplo anterior es una funcin, ya que a cada elemento del dominio
le corresponde nicamente un elemento del contradominio.
En las funciones se presentan 2 tipos de variables:
Variable independiente (x).
Variable dependiente (y).
Del siguiente ejemplo de pares ordenados, determinaremos si es relacin o funcin:
(-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).
Como en este caso los valores de la primera coordenada, que es (x) no se repiten, por tanto es una
funcin.
7BLOQUE I
a) La relacin de los datos (x, y) es una funcin?
b) La relacin de los datos (y, x) es una funcin? Explica por qu usando la regla de
correspondencia:
c) De la relacin de los pares ordenados, su dominio es:
d) De la relacin de los pares ordenados, su rango es:
Ahora mediante pares ordenados identificars si es una relacin o funcin, as como
dominio y rango:
a) (-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).
Como en este caso los valores de la primera coordenada, que es (x) no se repiten, es
una funcin.
b) (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6).
Funcin o relacin: _______________________
8 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
c) (6, -3), (6, -5), (4, 0), (4, -8), (5, 3).
Funcin o relacin: _______________________
d) (1, 2), (4, 2), (7, 2), (10, 2)
Funcin o relacin: _______________________
e) (5, 0), (5, 8), (5, 4), (5, -3).
Funcin o relacin: _______________________
f) (8, 7), (9, 7), (11, 7), (13, 7), (15, 7)
Funcin o relacin: _______________________
g) (2,-1), (3, -4), (5, 0), (5, 2), (6,1).
Funcin o relacin: _______________________
9BLOQUE I
10 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
Actividad 1:
11BLOQUE I
12 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
13BLOQUE I
14
Existen diferentes formas de representar a una funcin, de tal manera que estas son:
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
15
que
BLOQUE I
16
I. De los siguientes ejercicios determina en la recta numrica los intervalos de
manera grfica:
II. Del siguiente ejemplo de pares ordenados determina el dominio y rango.
a) (-9,7), (-8, 8), (-7, 9), (-6, 10), (-5, 11).
Su dominio es: D=[-9, -8, -7, -6, -5]
Su rango es R=[7, 8, 9, 10, 11]
b) (-2, 1), (-2, 4), (-2, 6), (-2, 8), (-2, 10), (-2, 13)
Su dominio es: D=
Su rango es R=
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
17
c) (2, 8), (3, 9), (4, 10), (-2, 11), (-3, 12), ( -4, 13)
Su dominio es: D=
Su rango es R=
d) (0, 1), (1, 0), (-1, 0), (2, 1), (-3, 0), (-4, 1).
Su dominio es: D=
Su rango es R=
e) (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)
Su dominio es: D=
Su rango es R=
f) (2,-1),(3, 0), (4, 1), (4,2), (5, 3), (6, 5)
Su dominio es: D=
Su rango es R=
g) (-3, 4), (-2, 2), (-1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6)
Su dominio es: D=
Su rango es R=
Para encontrar los valores del Dominio y Rango en una grfica se toma en consideracin lo siguiente:
1. Para el Dominio, se toma en consideracin los valores que se tienen en el eje horizontal, es decir
desde -x a x.
2. Para el Rango, se toman los valores que hay en el eje vertical, desde los valores mnimos hasta
los mximos, es decir -y a y.
BLOQUE I
18 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
Por ejemplo:
19
Actividad 2:
Las funciones se clasifican de acuerdo con la informacin que se puede obtener de ellas: por su
representacin grfica, pueden ser algebraicas o trascendentes, por la forma de sus grficos:
continuas o discontinuas, por su monotona: crecientes o decrecientes.
Funciones algebraicas o trascendentes:
Segn la forma en que se representan matemticamente, podemos clasificarlas en:
1. Algebraicas: son aquellas que pueden formarse usando simplemente operaciones algebraicas.
2. Trascendente: Son aquellas que no son algebraicas. A esta clasificacin pertenecen las funciones
trigonomtricas, logartmicas, exponenciales, por ejemplo:
BLOQUE I
20 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
21
Segn por el comportamiento las podemos clasificar en continuas y discontinuas.
3. Continua: Son aquellas que se presentan cuando no hay ruptura para cierto valor en x.
Por ejemplo:
4. Discontinua: Son aquellas que se presentan cuando hay ruptura, un caso especial sera cuando
la funcin presenta en cierto valor de x una divisin entre cero.
Por ejemplo:
BLOQUE I
22 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
23
Tambin se da clasificacin de las funciones respecto a la relacin que existe entre dominio y
contradominio, stas son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas.
Observa la siguiente figura:
Para saber grficamente si una funcin es de este tipo, se traza una lnea horizontal y si cruza
nicamente un slo punto se dice que la funcin es uno a uno, ejemplo de ello es la funcin lineal.
BLOQUE I
24
B. Funciones sobreyectivas: En estas funciones los valores del dominio tienen su imagen en
el contradominio; incluso ms de una imagen, pues no queda un solo valor en y sin que est
relacionado por lo menos con uno de x.
La funcin es sobreyectiva, ya que todo valor de y proviene de por lo menos una x.
Esta funcin no es inyectiva puesto que existen tres valores diferentes de x que al sustituirlos en la
funcin dan el mismo resultado, como se observa en el cruce de la funcin con el eje de las x, por
mencionar un ejemplo de ello.
C. Funciones biyectivas: Una funcin de este tipo es cuando es inyectiva y sobreyectiva a la
vez, es decir, el dominio solamente se tiene un solo valor en el contradominio y ningn valor del
contradominio sobra.
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
25BLOQUE I
26 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
27
Secuencia didctica 2
En cierta compaa farmacutica requieren una bandeja de nquel con dimensiones muy especficas, un
vendedor llega ofreciendo lminas de dicho metal con medidas de 40 x 20. El gerente le hace las
siguientes preguntas, mostrndole el diseo que se requiere:
a) Cul es el largo y ancho de la bandeja en funcin de la altura x?
b) Cul es la funcin que nos determina el rea de la base de la bandeja?
c) Qu funcin nos expresa el volumen de la bandeja?
BLOQUE I
28
Actividad 3:
RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
29
Actividad 4:
perodo
BLOQUE I
30 RECONOCES Y REALIZAS OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES
BLOQUE II
APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y
TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
32 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y
TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
Funcin inversa
Funcin escalonada
Funcin valor absoluto
Funcin identidad
Funcin constante
DESEMPEOS A DEMOSTRAR:
Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a funcin inversa de una funcin
dada.
Escribe la ecuacin de la relacin inversa de una funcin dada.
Seala si la relacin inversa corresponde a una funcin.
Utiliza la tabla y grfica de una funcin para trazar la grfica de su funcin inversa posible.
Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor absoluto, idntica y
constante.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR:
Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetos que
persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin
de medios, cdigos y herramientas apropiados.
Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,
ideas y prcticas sociales.
Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales hipotticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.
33BLOQUE II
La expresin h=0.42t+10 describe el crecimiento de una planta, donde t es el tiempo medido en semanas
y h se mide en centmetros. Estas plantas se cultivan en un laboratorio de Ecologa de una universidad y
estn listas para plantarse cuando tienen una altura de 10 cm.
Cul es el crecimiento de la planta 2, 4, 5, 8 y 12 semanas despus?
Cul es su grfica?
Unos bilogos han encontrado esa planta creciendo en forma silvestre en una regin aislada. Algunas de
las plantas miden 22 cm, 30 cm, 80 cm y 111 cm.
Cmo escribira una expresin matemtica para obtener el tiempo de vida (en semanas), a
partir de la longitud que han medido los bilogos?
Cul es la edad de cada una de esas plantas?
Cul es la grfica que describe el crecimiento de esas plantas?
Estas funciones son una segunda forma de obtener nuevas funciones a partir de una funcin ya
conocida. El proceso se usa comnmente para funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales.
Sin embargo en funciones algebraicas tambin es posible dada una relacin F, si se intercambia el
orden de los elementos que forman cada pareja ordenada que pertenecen a F obtenindose una nueva
relacin que se denomina Funcin Inversa y se expresa como
34 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
Cualquier pareja de ordenadas de nmeros que satisfaga la ecuacin original al invertir su orden se
puede verificar.
35BLOQUE II
X y
36 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
f(x) f(x)
f(x) f(x)
Actividad 1:
37BLOQUE II
f(x) f(x)
38 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
39BLOQUE II
40 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
41BLOQUE II
42 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
43BLOQUE II
44 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
45BLOQUE II
Actividad 2:
46 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
47BLOQUE II
48 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
49BLOQUE II
50 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
51BLOQUE II
52 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
53BLOQUE II
54 APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICAS
Actividad 3:
BLOQUE III
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES
DE GRADOS CERO, UNO Y DOS
56 EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE
GRADOS CERO, UNO Y DOS
DESEMPEOS A DEMOSTRAR:
Compara el modelo general de las funciones polinominales con los de funciones particulares y
determina si corresponden a dicha clase de funciones.
Identifica la forma polinominal de las funciones constante, lineal y cuadrtica, as como sus
grficas respectivas.
Determina si la situacin corresponde a un modelo lineal o cuadrtico empleando los criterios de
comportamiento de datos en tablas, descripcin de enunciados, tipos de grficas y
regularidades particulares observadas.
Emplea los modelos lineales y cuadrticos para describir situaciones tericas o prcticas que implican, o no, razones de crecimiento o de crecimiento constante que se asocian con dichos
modelos.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR:
Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuanta los objetos que
persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de
medios, cdigos y herramientas apropiados.
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,
ideas y prcticas sociales.
Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales hipotticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y
las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.
Elige un enfoque determinista o aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta
su pertinencia.
Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
Modelo general de las funciones polinomiales.
Forma polinomial de funciones de grados: cero, uno y dos.
Representacin grfica de funciones de grados: cero, uno y dos.
Caractersticas de las funciones polinomiales grados: cero, uno y dos.
Parmetros de las funciones de grados: cero, uno y dos.
57BLOQUE III
Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contena 10% de
protena. La protena consista en levadura y harina de maz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla
de protena se estim que el peso promedio ganado w (en gramos) de una rata en cierto perodo fue de
Construye la grfica de esta funcin. Segn la grfica, encuentra el mximo peso ganado, cul es la
cantidad de levadura que debe darse a las ratas para obtener el peso mximo?
Sugerencia: Toma valores entre 0 y 100, para P, usando el % sin convertirlo a decimal.
m
b
x
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS58
59BLOQUE III
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS60
61BLOQUE III
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS62
se
63BLOQUE III
tp
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS64
65BLOQUE III
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS66
67BLOQUE III
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS68
69BLOQUE III
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS70
71BLOQUE III
Actividad 1:
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS72
BLOQUE III 73
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS74
Actividad 2:
BLOQUE III 75
EMPLEAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOS76
77BLOQUE III
78
INSTRUMENTOS DE EVALUACIN DE COMPETENCIAS GENRICAS
UTILIZAS FUNCIONES
POLINOMIALES DE
GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES
FACTORIZABLES EN LA
RESOLUCIN DE PROBLEMAS
80
UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE
GRADOS TRES Y CUATRO
BLOQUE IV
UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
DESEMPEOS A DEMOSTRAR (BLOQUE IV):
Reconoce el patrn de comportamiento grfico de las funciones polinomiales de grados tres y
cuatro.
Describe las propiedades geomtricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geomtricas para obtener la solucin de
ecuaciones factorizables y representar grficamente las funciones polinomiales de grados tres y
cuatro en la resolucin de problemas.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR (BLOQUE IV):
Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuanta los objetos que
persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de
medios, cdigos y herramientas apropiados.
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,
ideas y prcticas sociales.
Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales hipotticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta
con modelos establecidos o situaciones reales.
Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o
variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin
y comunicacin.
Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.
OBJETOS DE APRENDIZAJE (BLOQUE IV):
Modelo matemtico de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.
Propiedades geomtricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.
Mtodos de solucin de las ecuaciones factorizables asociadas a una funcin
polinomial de grados: tres y cuatro.
Comportamiento de la grfica de una funcin polinomial en funcin de los valores
que toman sus parmetros.
Representacin grfica de funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.
81BLOQUE IV, V
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN
LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE V
DESEMPEOS A DEMOSTRAR (BLOQUE V):
Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la divisin sinttica, para hallar
los ceros reales de funciones polinomiales.
Emplea la divisin sinttica para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la divisin
de un polinomio entre un binomio de la forma x - a.
Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del lgebra y el teorema de la
factorizacin lineal para hallar los ceros de una funcin polinomial factorizable.
Aplica y combina las tcnicas y procedimientos para la factorizacin y la obtencin algebraica y
grfica de ceros de funciones polinomiales, en la resolucin de problemas tericos o prcticos
COMPETENCIAS A DESARROLLAR (BLOQUE V):
Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuanta los objetos que
persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de
medios, cdigos y herramientas apropiados.
Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros
puntos de vista de manera crtica y reflexiva.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,
ideas y prcticas sociales.
Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales hipotticas o formales.
Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o
variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la
informacin y comunicacin.
Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.
OBJETOS DE APRENDIZAJE (BLOQUE V):
Ceros y races de la funcin.
Teoremas del factor y del residuo.
Divisin sinttica.
Teorema fundamental del lgebra.
Teorema de factorizacin lineal.
Grficas de funciones polinomiales factorizables.
82UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 83
84UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 85
86UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 87
88UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Actividad 1:
BLOQUE IV, V 89
90UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 91
92UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 93
94UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 95
:
96UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE IV, V 97
Actividad 1:
98UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Actividad 3:
Actividad 2:
BLOQUE IV, V 99
100UTILIZAS FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS TRES Y CUATRO
UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS
BLOQUE VII
UTILIZAS FUNCIONES
EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS
122 UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALESY LOGARTMICAS
DESEMPEOS A DEMOSTRAR:
A partir de la expresin de la funcin exponencial decide si sta es creciente o decreciente.
Obtiene valores de funciones exponenciales y logartmicas, utilizando tablas o calculadora.
Traza las grficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza para obtener
grficas de funciones logartmicas.
Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y
logartmicas.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR:
Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuanta los objetos que
persigue.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin
de medios, cdigos y herramientas apropiados.
Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores,
ideas y prcticas sociales.
Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos
aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de
situaciones reales hipotticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
OBJETOS DE APRENDIZAJE:
Funcin exponencial.
Funcin logartmica.
Grfica de la funcin exponencial y logartmica.
Propiedades de los exponentes.
Propiedades de los logaritmos.
Cambio de una expresin exponencial a una logartmica y viceversa.
Ecuaciones exponenciales.
Ecuaciones logartmicas.
123BLOQUE VII
Ser posible saber esta informacin a partir de la funcin mostrada?
Ayudara a responder alguna de esas preguntas o todas, la construccin de la grfica?
(Problema basado en uno propuesto en el libro Preclculo de Stewart, J., Ed. Thompson, 2001).
Son aquellas funciones en las que el exponente es una variable y se caracteriza por una constante + -
elevada a una variable (son biunvocas porque crece en exponente x y decrece en exponentes x ).
Su notacin est dada de 2 formas:
Un bilogo ha estudiado cierta poblacin de aves en una isla de Pascua (Sabe dnde est esa
isla?). Dicha poblacin est limitada de acuerdo al tipo de hbitat necesario para la anidacin. Segn
los datos que ha obtenido desde que lleg a la isla, la poblacin se puede calcular mediante la
expresin:
donde t se mide en aos.
De vuelta a la universidad, el bilogo les dice a sus estudiantes que obtengan:
a) La poblacin inicial de aves que haba en la isla a partir de la ecuacin.
b) El tamao al que tendera la poblacin al transcurrir los aos.
c) El tiempo en el que la poblacin se habr reducido a la mitad de la inicial.
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS124
Este tipo de funciones tienen una amplia variedad de usos, tales como crecimiento de poblacin,
crecimiento en problemas de salud, entre otros.
Estas funciones exponenciales, se pueden representar de las siguientes maneras:
BLOQUE VII 125
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS126
am
an
am + n
am
an
am - n
1
am
a - m
BLOQUE VII 127
1a 0
(a )n
ma
n m
a n m
a n
m
a n
a n
1
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS128
BLOQUE VII 129
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS130
Actividad 1:
BLOQUE VII 131
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS132
BLOQUE VII 133
Qu relacin existe entre la forma de la curva y la funcin?
Cmo se puede determinar el crecimiento o decrecimiento de una funcin exponencial a
partir de su expresin algebraica?
2. En enero de 2010 adquiriste un automvil en $110,000.00. Si cada ao su valor se disminuye en
11%.
a) Encuentra la ecuacin que determina la depreciacin del automvil.
b) Cunto valdr el automvil para el ao 2015?
3. Un producto derivado de la familia de las cipermetrinas se usa para aniquilar parsitos que
destruyen a las plantas del jardn. La funcin proporciona la cantidad de
parsitos que sobreviven al cabo de t horas despus de la aplicacin.
a) Cul es la cantidad inicial de parsitos?
b) Cul es la cantidad presente despus de 4 horas
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS134
BLOQUE VII 135
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS136
BLOQUE VII 137
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS138
BLOQUE VII 139
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS140
BLOQUE VII 141
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS142
BLOQUE VII 143
++
+
0.6019
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS144
BLOQUE VII 145
Actividad 2:
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS146
( )
BLOQUE VII 147
2.- Encuentra lo que se te pide:
a) Usando las propiedades de los logaritmos, realiza los siguientes ejercicios:
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS148
BLOQUE VII 149
Actividad 3:
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS150
BLOQUE 2 MATEMATICASBLOQUE 3 MATEMATICASBLOQUE 4 Y 5 MATEMATICASBLOQUE 6 MATEMATICASBLOQUE 7 MATEMATICASBLOQUE 8 MATEMATICAS