1MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2
1. CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S.
2. ECUACIÓN DE UN M.A.S.
3. CÁLCULO DE LA FASE DE UN M.A.S.
1. USO INDISTINTO DE LAS FUNCIONES COSENO Y SENO
2. EJEMPLOS EN DIFERENTES POSICIONES
4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
1. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD
2. CARACTERÍSTICAS DE LA ACELERACIÓN
3. VALORES MÁXIMOS
5. ESTUDIO DINÁMICO DEL M.A.S. - MUELLES
6. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES DEL M.A.S.
7. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL M.A.S.
1. GRÁFICAMENTE
2. POSICIONES IMPORTANTES
8. EL PÉNDULO FÍSICO – OTRO EJEMPLO DE M.A.S.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 3
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 4
x=-A x=0 x=Ax(t)
POSICIÓN DE EQUILIBRIO AAMPLITUD
x(t)Elongación
Posición de equilibrio – Punto donde no actúan las fuerzas restauradoras. Se suele tomar como origen del sistema de coordenadas
Elongación – Separación con respecto a la posición de equilibrio de la partícula en cualquier instante del tiempo. (Puede ser positiva o negativa)
Amplitud – Valor máximo de separación de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (+)
Amplitud Elongación
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 5
)cos(wt2Aw2dt
x(t)2ddtdv(t)a(t)
nAceleració
)Awsen(wtdtdx(t)v(t)
Velocidad
)Acos(wtx(t)Posición
ρ
ρ
ρ
A-Amplitud (m)
w – Pulsación ó frecuencia angular (rad/s)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 6
posición la de al contrario siempre Signo
movimiento del sentido elcon coherenteser que tiene
inicial velocidadla de signo el fase, la ntecorrectame introduce se Si
)cos()(
:
)()(
:
)cos()(
:
2
wtAwta
naceleració
wtAwsentv
velocidad
wtAtx
posición
x=-A x=0 x=Ax(t)
v=0 v=MAX(+-) v=0
a=MAX(+) a=0 a=MAX(-)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 7
(m/s) 0x
equilibrio deposición lapor pasar al máxima es velocidadLa
0 v-A xóA x
movimiento del extremos losen nula es velocidadLa
su valor calcula solamente . velocidadla de signo el diferencia noexpresión Esta
max
22Awv(x)
Awv
x
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 8MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 8
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 6sen(πt/2) (en metros). a) ¿Cuánto valen la amplitud, el período? b) ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 1seg? ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 1,4seg? c) Si la masa de la partícula que oscila es de 2kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
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x = 6sen(πt/2)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 10
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 4sen(πt + π) (en metros). a) ¿Cuánto valen la a amplitud, el período y el desfase? b) ¿Dónde está y cuál es su velocidad y aceleración para t = 0,5seg? c) Si la masa de la partícula que es oscila es de 2kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
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x = 4sen(πt + π)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 12
El movimiento de un oscilador armónico se ajusta a la siguiente ecuación: x = 3cos( 3πt + π/3) (en metros). a) ¿Cuánto valen la a amplitud, el período y el desfase? b) ¿Dónde está y cuál su velocidad y aceleración para t = 3 seg? c) Si la masa de la partícula que es oscila es de 4kg ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que provoca este movimiento? d) Realiza una descripción del movimiento.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 13
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 14
Una partícula que oscila con M.A.S. describe un movimiento de amplitud de 10 cm y periodo 2 s. Cuando se encuentra 3 cm del origen tiene dos velocidades, Una mientras va hacia un extremo y otra cuando regresa. a) Calcula estas velocidades. b) Escribe la ecuación de la posición con un desfase, suponiendo que empezamos a contar el tiempo cuando está en ese punto (3cm).
22Awv(x) x
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Una partícula se mueve a lo largo de una recta con m.a.s. En el punto x = 3 cm lleva una velocidad de 9 cm/s y en el punto x = 6 cm lleva una velocidad de 4 cm/s. Determina: a) la frecuencia y la velocidad angular, b) el período del movimiento, c) la amplitud de la vibración.
22Awv(x) x
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 16
Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 0,20 m; su aceleración vale 0,40 m/s 2 en un punto cuya elongación es -0,10 m. Determinar: a) las ecuaciones del movimiento suponiendo nula la fase inicial, b) el período de la oscilación, c) los instantes en que V y a se hacen máximas.
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x=-A x=0 x=A x(t)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 18
x=-A x=0 x=A x(t)
v
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x=-A x=0 x=A x(t)
v
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 20
x=-A x=0 x=A x(t)
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 21
x=-A x=0 x=A x(t)
v
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 22
x=-A x=0 x=A x(t)
v
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x=-A x=0 x=A x(t)
v
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CARACTERÍSTICAS:
• SE PRODUCE SOBRE LA MISMA TRAYECTORIA
•OSCILANDO ALREDEDOR DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
• ES PERIÓDICO (T)
•ESTÁ SOMETIDO A FUERZAS RESTAURADORAS QUE INTENTAN HACER VOLVER AL CUERPO A SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO. LAS FUERZAS RESTAURADORAS SON PROPORCIONALES A LA SEPARACIÓN CON RESPECTO A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO
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• SE PUEDE EXPRESAR INDISTINTAMENTE EN FUNCIÓN DEL COSENO O DEL SENO
• LA DIFERENCIA ESTÁ EN LA FASE A AÑADIR
• EXISTE SIEMPRE ENTRE ELLOS UNA DIFERENCIA DE FASE DE PI/2
• LA FASE DEPENDE DE LA POSICIÓN INICIAL Y DEL SENTIDO DEL MOVIMIENTO(VELOCIDAD)
• LA FASE PUEDE SUMARSE O RESTARSE, NORMALMENTE SE USAN FASES MENORES A PI
• LA FASE TIENE QUE GARANTIZAR QUE PARA t=0 LA PARTÍCULA SE ENCUENTRE EN LA POSICIÓN INICIAL, Y SE CALCULA DE LA SIGUIENTE FORMA:
A
xarAxt
wtAtx
)0(cos)cos()0(0
)cos()(
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2max
2
wa -A xóA x
movimiento del extremos losen máxima esn aceleració La
0 0x
equilibrio deposición lapor pasar al nula esn aceleració La
)equilibrio elecuperar posición(r la de al contrario siempre esn aceleració la de signo El
M.A.S.) del stica(carácteríelongación la a alproporcion esn aceleració La
?a(x)
:posición la defunción en n Aceleració
)cos()( )cos()(
:celeración :
2w- a
A
a
wtAwtvwtAtx
aposición
x
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 27
2Aw máximoValor
A máxima esposición la cuando produce Se
máximan Aceleració
Aw máximoValor
o)(equilibri 0 xesposición la cuando produce Se
máxima Velocidad
A máximoValor
máximaPosición
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 28MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 28
-kx(t)F(x) elongación la a alproporcion Es
:ticasCaracterís
)(k F(x)
)(wm F(x)
amF2
tx
tx
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 29
.equilibrio deposición la de rarecuperado fuerza una Es
elongación la a contraria siempre es fuerza la que indica menos signo El
k(N/m) de Unidades
muelle del elástica constante llama sek , de caso elen
movimiento del rarecuperado constante la esk donde
elongación la a alproporcion Es
:ticasCaracterís
)(k F(x)
)(wm F(x)
amF
2mwk
-kx(t)F(x)
2
muelles
tx
tx
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 30
k
m2T
m
k w mw k
(N/m) (muelles) rarecuperado Constante -k
2 ;21
))((s movimiento del Frecuencia - f
(s) moviento del Periodo - T
(rad/s) angular frecuencia/ Pulsación - w
2
1-
fwwf
T
Hz
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 31
Se hace oscilar verticalmente un cuerpo de masa 80 g que está colgado de un muelle en hélice de constante elástica 2 N/m. Si la amplitud de la oscilación es de 10 cm, ¿cuál será la expresión de su elongación en función del tiempo?
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 32
Al suspender un cuerpo de masa 300 g del extremo de un muelle que está colgado verticalmente, éste se alarga 20 cm. Si se tira del cuerpo 5 cm hacia abajo y se suelta, comienza a oscilar. Calcular el período del movimiento. ¿Cuál será la máxima velocidad que alcanzará?
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 33
Un cuerpo colgado de un muelle helicoidal realiza un movimiento armónico simple barriendo un espacio de 0.5 m. En una oscilación completa invierte 3.0 s. Calcula: La velocidad máxima del cuerpo. La velocidad del cuerpo 1.0 s después de pasar por el punto más bajo de su trayectoria. La aceleración máxima del cuerpo.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 34
Un oscilador consta de un bloque de 512 g de masa unido a un resorte. En t = 0, se estira 34,7 cm respecto a la posición de equilibrio y se observa que repite su movimiento cada 0,484 segundos. Halla: a) el período, b) la frecuencia, c) la frecuencia angular, d) la constante de fuerza, e) la velocidad máxima, f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque, y g) la ecuación de movimiento (asumiendo que v(0) =0).
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2212
21EcEpEm
221Ec
221Ep
Mecánica Energía
cinética Energía
elástica fuerza la de Trabajo
va)conservati - rarecuperado (fuerza elástica potencial Energía
mvkx
mv
kx
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 36
0Ec A x mínima cinética Energía2
1
2
1Ec 0 x máxima cinética Energía
)22(2
1)22(2
2
1
22A-wv(x)
:posición la defunción en cinética Energía
222max
kAAmw
xAkxAmwEc
x
0Ep 0 x mínima potencial Energía2
1
2
1Ep x máxima potencial Energía
22
1222
1
:posición la defunción en potencial Energía
222max
kAAmwA
kxxmwEp
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 37
(t)posición x la de depende No
constante Es
)(2
122
1EcEpEm
:posición la defunción en Mecánica Energía
221E m
22
kA
xAkkx
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 38
2A2mw2
1221E m
constante siempre esy dos las de suma la es mecánica energía La
positiva siempre es cinética energía La
positiva siempre es elástica potencial energía La
kA
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2
2
2
2
1Ec
0 Ep 0 x
02
1Ep
A x
2
1 CONSTANTE ESMECÁNICA ENERGÍA LA PUNTOS LOS TODOS EN
kAEc
kA
kA
M.A.S. DEL POSICIONES ALGUNAS EN ENERGÉTICOESTUDIO
-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)
Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 40
24
1
2
1Ep
2
1
2
1
2
1EcEp la que para ¿?x
4
3
2
1
4
3
4
3
2
1)
4(
2
1)(
2
1
4
1
2
1
4
1
42
1
2
1 Ep
2
222
222
222
22
2
AxkAkxkAEm
EmkAA
kA
AkxAkEc
EmkAA
kkxA
x
-A ¿? -A/2 0 A/2 ¿? A x(t)
Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 41
Un bloque de 5 kg se cuelga de un resorte y éste se estira 18 cm. Más tarde el sistema se coloca en horizontal y se estira 7.5 cm y se suelta. Averigua: la constante elástica del muelle.la amplitud del movimiento. el período del movimiento.la energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el bloque en libertad. Ecuaciones del movimiento.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 42
gravedad la de valor dely
longitudsu de depende solamente pénduloun de oscilación de periodo El
22
2...
L
x-sen
agsen
mamgsen
maP
x
xx
g
LT
L
gw
L
gw
L
xga
xwaSAM
aL
xg
x
L
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 43
Un péndulo simple está constituido por una masa de 0.5 kg que cuelga de un hilo de 1.5 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 8º en un lugar con g = 9.8 m/s2, determina: período, ecuaciones del movimiento, su energía potencial máxima, su velocidad máxima.
x
L
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 44
La longitud de un péndulo es de 0.248 m y tarda 1 s en efectuar una oscilación completa de = 18º. Determina: g en ese punto, la velocidad máxima, la fuerza máxima de recuperación siendo m = 5 g. ¿Cuál sería el período de oscilación de este péndulo si lo llevamos a la Luna? gL =g/6
x
L
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 45
El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2 s cuando g=9.8 m/s2. Si la longitud del péndulo, L, se incrementa en un milímetro ¿cuánto se atrasará el reloj en 24 horas?
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