ALGEBRA LINEAL
TRABAJO COLABORATIVO FASE No.2
JUBE ALEXANDER NIO MISSE
DAVID ONOFRE BUITRAGO
JONATHAN SMIT PARADA PEREZ
GRUPO: 100408_273
Tutor
DIEGO FRANSISCO MARTINEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
NOVIEMBRE DE 2014.
INTRODUCCION El presente trabajo tiene como objetivo transmitir los conocimientos adquiridos en la
segundad unidad del curso acadmico Algebra lineal, el cual es objeto de en el campus
virtual de la UNAD, donde se resuelven algunos problemas propuestos empleando los
sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones lineales, mtodo de Gauss Jordan, mtodo de
factorizacin, matriz inversa, rectas y planos y espacios vectoriales.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Adquirir y aplicar conceptos relacionados con la unidad No.2 del curso
acadmico Algebra lineal.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Conocer la terminologa relacionada con Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolver sistemas lineales utilizando el mtodo de Jordn y Gauss
Resolver sistemas lineales utilizando factorizacin LU .
Hallar 1A en un sistema lineal
Identificar ecuaciones ecuaciones simtricas y paramtricas
Identificar y evidenciar puntos de interaccin en planos
Valorar la importancia del lgebra matricial y la adquisicin de estrategias para la
simplificacin de los clculos.
3. ACTIVIDAD A DESARROLLAR 1. Utilice el mtodo de eliminacin de Gauss Jordn, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1.
464
575
174
zyx
zyx
zyx
Ecuacin 1
1 -4 7 1
5 - 7 1 5
-4 1 6 -4
1
5 R 2 + R1 R2
1 -4 -7 1
0 -13/5 -34/5 0
-4 1 6 -4
1
4 R 3 + R1 R3
1 -4 -7 1
0 -3/5 -34/5 0
0 -15/4 -11/2 0
13
5 R 3 +
15
4 R2 R3
1 -4 - 7 1
0 -13/5 -34/5 0
0 0 -27/10 0
1 -4 -7 1
0 -13/5 - 34/5 0
0 0 1 0
1 -4 -7 1
0 1 34/13 0
0 0 1 0
JORDAN
4 R 2 + R1 R1
1 0 -57/13 1
0 1 34/13 0
0 0 1 0
34
13 R 3 + R2 R2
1 0 -57/13 1
0 1 0 0
0 0 1 0
57
13 R 3 + R1 R1
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
Ecuacin 2
1.2. 1875
11743
zyx
zyx
[3 4 75 7 1
|11
18] f1/3
[1 4/3 7/35 7 1
|11/318
] 5f1 + f2
[1 4/3 7/30 1/3 32/3
|11/3
109/3] f2/1/3
[1 4/3 7/30 1 32
|11/3109
] 4/3f2 + f1
[1 0 450 1 32
|149109
]
x 45z = 149
y 32 z = 109 Variables libres: z
x = 149 + 45z
y = 109 + 32z
z = z
Ecuacin 3
1.3.
26
764
8575
11474
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
f2- 5f
f3+ 4f1
f4 -6f1
F1=f1+4f2
F3= f3+15f2
F4= f4-23f2
F3=13/224f3
6425-41230
51 15 22-15-0
472534130
11-47-4-1
21-1-16
7-1-6 1 4-
8- 51-7-5
11-47-4-1
6425-41230
51 15 22-15-0
47/1313/2534/131 0
11-47-4-1
13/249250/13249/13-00
42/13180/13-224/1300
47/1313/2534/131 0
45/1348/13-45/1301
13/249250/13249/13-00
3/1645/56-100
47/1313/2534/131 0
45/1348/13-45/1301
F1=f1 - f3
F2=f2 - f3
F4= f4 + f3
F4=
F1= f1 + f4
F2= f2 + f 4
F3= f3 + f4
Entonces tenemos
X= -
Y=
Z=
W=
16/249215/13000
3/1645/56-100
25/828/501 0
45/651/56-001
430/17431 000
3/1645/56-100
25/828/501 0
45/651/56-001
430/17431 000
132/43-0100
331/86001 0
189/215-0001
Ecuacin 4
1.4.
4164
275
34
yx
yx
yx
4164-
2-75
3-4-1=A
F2=f2 - 5f1
F3= f3+ 4f1
F2= 1
13 f2
La matriz presenta una inconsistencia el elemento del termino independiente (Tercera Columna) de la tercera fila es diferente a Cero (0); mientras que el resto de la fila es CERO Con lo que se concluye que el sistema no tiene solucin.
1600
13130
3-4-1=A
1600
110
3-4-1=A
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorizacin LU .
Ecuacin 5
x-4y-7z+4w=-11 5x-7y-z-5w =-8 -4x+y+6z-w =-7 6x-y-z-w =-2
1 4 7 4
5 7 1 5 A=
4 1 6 1
6 1 1 1
1 4 7 4
5 7 1 5 5f1 + f2 U=
4 1 6 1 4f1 + f3
6 1 1 1 6f1 + f4
1 4 7 4
0 13 34 25 U=
0 15 22 15 15/13f2 + f3
0 23 41 25 23/13f2 + f4
1 4 7 4
0 13 34 25 U=
0 0 224/13 180/13
0 0 249/13 250/13 249/224f3 + f4
1 4 7 4
0 13 34 25 U=
0 0 224/13 180/13
0 0 0 215/56
1 0 0 0
5 1 0 0 L=
4 15/13 1 0
6 23/13 249/224 1
1 0 0 0 11
5 1 0 0 8 5f1 + f2
4 15/13 1 0 7 4f1 + f3
6 23/13 249/224 1 2 6f1 + f4
1 0 0 0 11
0 1 0 0 47
0 15/13 1 0 51 15/13f2 + f3
0 23/13 249/224 1 64 23/13f2 + f4
1 0 0 0 11
0 1 0 0 47
0 0 1 0 42/13
0 0 249/224 1 249/13 249/224f3 + f4
1 0 0 0 11
0 1 0 0 47
0 0 1 0 42/13
0 0 0 1 249/16
1 4 7 4
0 13 34 25 U=
0 0 224/13 180/13
0 0 0 215/56
1 4 7 4 11
0 13 34 25 47 f2/13
0 0 224/13 180/13 42/13
0 0 0 215/56 249/16
1 4 7 4 11 4f2 + f1
0 1 34/13 25/13 47/13
0 0 224/13 180/13 42/13
0 0 0 215/56 249/16
1 0 45/13 48/13 45/13
0 1 34/13 25/13 47/13
0 0 224/13 180/13 42/13 f3/224/13
0 0 0 215/56 249/16
1 0 45/13 48/13 45/13 45/13f3 + f1
0 1 34/13 25/13 47/13 34/13f3 + f2
0 0 1 45/56 3/16
0 0 0 215/56 249/16
1 0 0 51/56 45/16
0 1 0 5/28 25/8
0 0 1 45/56 3/16
0 0 0 215/56 249/16 f4/215/56
1 0 0 51/56 45/16 51/56f4 + f1
0 1 0 5/28 25/8 5/28f4 + f2
0 0 1 45/56 3/16 45/56f4 + f3
0 0 0 1 1743/430
1 0 0 0 189/215
0 1 0 0 331/86
0 0 1 0 132/43
0 0 0 1 1743/430
x = 189/215
y = 331/86
z = 132/43
w = 1743/430
3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el mtodo
que prefiera para hallar 1A ).
Ecuacin 6
764
9275
11743
zyx
zyx
zyx
[3 4 75 7 2
4 1 6|1 0 00 1 00 0 1
] f1/3
[1 4/3 7/35 7 2
4 1 6|1/3 0 00 1 00 0 1
] 5f1 + f2
4f1 + f3
[1 4/3 7/30 1/3 29/30 13/3 10/3
|1/3 0 0
5/3 1 04/3 0 1
] f2/1/3
[1 4/3 7/30 1 290 13/3 10/3
|1/3 0 05 3 0
4/3 0 1]
4/3f2 + f1
13/3f2 + f3
[1 0 410 1 290 0 129
|7 4 05 3 023 13 1
] f3/129
[1 0 410 1 290 0 1
|7 4 05 3 0
23/129 13/129 1/129]
41f3+f1
29f3+f2
[1 0 00 1 290 0 1
|40/129 17/129 41/12922/129 10/129 29/12923/129 13/129 1/129
] Inversa
40/129 17/129 41/129 11 f1 40/129
22/129 10/129 29/129 9
23/129 13/129 1/129 7
1 17/40 41/40 1419/40
22/129 10/129 29/129 9 22/129f1 + f2
23/129 13/129 1/129 7 23/129f1 + f3
1 17/40 41/40 1419/40
0 3/20 1/20 59/20 f2 3/20
0 1/40 7/40 533/40
1 17/40 41/40 1419/40 17/40f2 + f1
0 1 1/3 59/3
0 1/40 7/40 533/40 1/40f2 + f3
1 0 7/6 263/6
0 1 1/3 59/3
0 0 1/6 77/6 f3 1/6
1 0 7/6 263/6
0 1 1/3 59/3
0 0 1 77 f3 1/6
1 0 7/6 263/6 7/6f3 + f1
0 1 1/3 59/3 1/3f3 + f2
0 0 1 77
1 0 0 46
0 1 0 6
0 0 1 77
: = 46 , = 6, = 77,
4. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que: Ecuacin 7
. = (, , ) = (,,)
= = ( + ) + ( ) + ( )
=
: ECUACIONES PARAMETRICAS
x = 8 + 7t
y = 4 12t
z = 1 4t ECUACIONES SIMETRICAS x + 8
7=
y 4
12=
z 1
4
4.2 Contiene a y es paralela a la recta
Solucin
Como la recta es paralela a la recta dada, entonces el vector de direccin es el
mismo.
v = 6i 6j + 2k
p = (5,3, 7)
7,3,5 P2
4
6
3
6
9
zyx
Ecuaciones paramtricas son:
x = 5 6t
y = 3 6t
z = 7 + 2t
Ecuaciones simtricas son:
x5
6=
y3
6=
z+7
2
5. Encuentre la ecuacin general del plano que:
Ecuacin 8
5.1 Contiene los puntos: P=(-8,4,1), Q=(-1,-8,-3), R=(-3,-2,-1)
Formamos los vectores
PQ = v = (1 + 8) + (8 4) + (3 1) = 7 12 4
PR = u = (3 + 8) + (2 4) + (1 1) = 5 6 2
Ahora, encontramos un vector Normal al realizar el producto cruz entre los vectores
directores u y v:
= |i j k5 6 27 12 4
| = |6 212 4
| i |5 27 4
| j + |5 67 12
|
= 0i + 6j 18k
Por ltimo, la ecuacin general de la recta est dada por:
a = 0 ; b = 6 ; C = 18
a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0
0(x + 8) + 6(y 4) 18(z 1) = 0
6y 24 18z + 18 = 0
=
5.2. Contiene al punto P(-1,-8,-3) y tiene como vector normal a
n= 3i + 2j 5k
Dado que tiene como vector normal a n = 3i + 2j 5k, la ecuacin del plano es:
Ecuacin 9
a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0
3(x + 1) + 2(y + 8) 5(z + 3) = 0
3x 3 + 2y + 16 5z 15 = 0
3x + 2y 5z 2 = 0
6. Encuentre todos los puntos de interseccin de los planos:
Ecuacin 10
1: 9x 2y 8z = 10 y 2: 5x 7y 8z = 2
[9 2 8
5 7 8|102
] f1/9 [1 2/9 8/9
5 7 8|12
] 5f1 + f2
[1 2/9 8/90 73/9 112/9
|13
] f2/73/9 [1 2/9 8/90 1 112/73
|1
27/73]
2/9f2 + f1
[1 0 40/730 1 112/73
|67/7327/73
]
x 40/73 = 67/73
y + 112/73 = 27/73
Variable libre :z
Haciendo z = t , nos queda
x = 67/73 + 40/73t
y = 27/73 112/73t
z = t
7. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de 2 , constituyen un espacio
vectorial.
Nota : Muestre que cada uno de los axiomas se satisfacen.
Ecuacin 11
= [
]22
, = [
]22
, = [
]22
7.1 +
[
] + [
] = [ + + + +
]22
7.2.
Ecuacin 12
[
] = [
]22
7.3 . ( + ) + = + ( + )
Ecuacin 13
([
] + [
]) + [
] = ([ + + + +
]) + [
]
= [( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) +
] =
[ + + + + + + + +
] = [ + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + )
] = [
] + ([ + + + +
])
=
[
] + ([
] + [
]) = + ( + )
7.4. 0 + = + 0 =
Ecuacin 14
[
] + [0 00 0
] = [0 + 0 + 0 + 0 +
] = [ + 0 + 0 + 0 + 0
] = [
] + [0 00 0
] = + 0 =
7.5. + () = 0
Ecuacin 15
[
] + [
] = [
] = [0 00 0
] = 0
7.6. + = +
Ecuacin 16
+ = [
] + [
] = [ + + + +
] = [ + + + +
] = [
] + [
]
= +
7. ( + ) = +
([
] + [
]) = [
] + [
] = [
] + [
] = +
8. ( + ) = +
( + ) [
] = [( + ) ( + )( + ) ( + )
] = [ + + + +
]
= [
] + [
] = +
9. =
[1 00 1
] [
] = [
] =
CONCLUSIONES
Se estudiaron y se aplicaron los conceptos relacionados con la Unidad No.2 del
curso acadmico algebra lineal.
Con el desarrollo del ejercicios adquirimos conocimientos sobre la terminologa del
sistema de ecuaciones lineales.
BIBLIOGRAFIA
Modulo Algebra Lineal, Unidad Dos, Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales.
Recuperado el 20 de octubre de 2014 de
http://66.165.175.239/campus09_20142/mod/lesson/view.php?id=142.
Algebra Lineal, Determinantes, Septiembre 2009, I.Q. MGTVE
Ziga, C. (2010). Mdulo Algebra Lineal. Bogot D.C: Universidad Nacional Abierta y A
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Grossman, S. I. (2012). lgebra Lineal, 7.Edicin. Mxico: McGraw Hill,.
www.thenacoosweb.com
J. Rojo. (2001). Algebra Lineal. Ed. McGraw-Hill.
S. Lipschutz. (2003). Algebra Lineal. Ed. McGraw-Hill.