CALCULO INTEGRAL
TRABAJO COLABORATIVO - FASE 1
PRESENTADO POR:
ALBENIS ROBAYO SOLANO
CÓDICO: 1.080.262.949
HERNAN DARIO SERRATO
CÓDICO: 1.081.411.410
ROBINSON JAVIER DURAN CEDEÑO
CÓDIGO: 1.079.411.098
CARLOS ALBERTO BURBANO
CÓDICO: 1.080.262.383
PRESENTADO A:
WILSON IGNACIO CEPEDA
GRUPO: 100411_289
TUTOR DEL CURSO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
LA PLATA, HUILA
SEPTIEMBRE DEL 2015
Introducción
El Cálculo Integral es la rama de las Matemáticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnología, Ingeniería
e Investigación, que requiere un trabajo sistemático y Planificado, para poder cumplir el proceso
fundamental de, técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos. Por ello, la
integración es necesaria para otras áreas matemáticas más avanzadas y tiene muchas aplicaciones
prácticas en nuestra vida profesional.
Es por ello que como estudiantes desarrollamos la creatividad y pensamiento para poder involucrar
todos estos contenidos en el desarrollo del trabajo, impulsándonos a razonar dándole un papel
protagónico a nuestra formación.
El presente trabajo Colaborativo, se pretende resaltar la aplicación de los siguientes temas:
Integrales definidas, indefinidas, Anti derivadas y algunos teoremas en la solución de los ejercicios
propuestos; en el que se emplea materiales de información a través de videos, syllabus, gráficas y
demás elementos , en donde la labor es el trabajo en equipo o el trabajo colaborativo que implica
resolver o comprender la temática, de una manera concertada con los compañeros y tutor del grupo,
evidenciándolo en el correcto desarrollo de los ejercicios propuestos.
Objetivo General
o Comprender y aplicar los conocimientos relacionados con la temática de la unidad 1: La
Integración, del curso de cálculo integral.
Objetivos Específicos
o Identificar y comprender claramente la solución y definiciones de las integrales definidas,
integrales indefinidas y anti derivadas.
o Emplear las herramientas matemáticas del curso, para el desarrollo problemas en la vida diaria
y profesional.
Desarrollo de la actividad
Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de las
integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.
Ejercicio 1
∫ [( 5x )−2
3√ x2]dxAplicamos la regla de la suma, la cual establece:
∫ f ( x )± g (x )dx=∫ f ( x )dx ±∫ g ( x )dx
∫( 5x )−2
3√x2dx
¿∫ 5xdx=5 ln(x )
∫ 5xdx
Sacamos la constante
∫ a∗f (x )dx=a∗∫ f (x )dx
5∫ 1xdx
Aplicamos la regla de integración o la integral común
∫ 1xdx=ln(x)
¿5 ln(x )
∫23√ x2
dx=6 x
53
5
∫23√ x2dx
Sacamos la constante
∫ a∗f (x )dx=a∗∫ f (x )dx
¿2∫ 3√x2dx
3√ x2=x23 , asumiendo que x≥0 , Entonces
¿2∫ x23 dx
Aplicamos la regla de la potencia
∫ xadx= xa+1
a+1, a≠−1
¿2x
23+1
23+1
Simplificamos
¿6 x
53
5
¿5 ln ( x )−¿6 x
53
5¿
Agregamos una constante a la solución
Si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Y así obtenemos, Finalmente
¿5 ln ( x )−¿6 x
53
5+C ¿
Ejercicio 2
∫ [ sec ( x ) tan (x )+sec2 ( x ) ]dx
Simplificamos
∫ sec2 (x )+ tan(x )cos (x)
dx
Aplicamos la regla de la suma, la cual establece:
∫ f ( x )± g (x )dx=∫ f ( x )dx ±∫ g ( x )dx
¿∫ sec2 ( x )dx+∫ tan(x )cos (x)
dx
∫ sec2 (x )dx=tan(x )
∫ sec2 (x )dx
Aplicamos la regla de integración o la integral común
∫ sec2 (x )dx=tan ( x )
¿ tan ( x )
∫ tan(x )cos (x)
dx= −2
tan2( x2 )−1
∫ tan(x )cos (x)
dx
Aplicamos la integración por sustitución
∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )
u=tan( x2 ) :dx= 21+u2 du , tan(x )= 2u
1−u2 ,cos ( x )=1−u2
1+u2
¿∫2u
1−u2
1−u2
1+u2
21+u2 du
¿∫ 4u
(u2−1)2du
Sacamos la constante
∫ a∗f (x )dx=a∗∫ f (x )dx
¿4∫ u
(u2−1)2du
Aplicamos la integración por sustitución
∫ f (g (x ) )∗g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g(x )
∫ v=(u2−1 ) :dv=2udu ,du= 12u
dv
¿4∫ u
v2
12u
dv
¿4∫ 1
2v2dv
Sacamos la constante
∫ a∗f (x )dx=a∗∫ f (x )dx
¿412∫
1
v2dv
Usaremos la siguiente propiedad de los exponentes
¿ 1
an=a−n
Aplicamos así
1
v2=v−2
¿412∫ v−2dv
Aplicamos la regla de la potencia
∫ xadx= xa+1
a+1, a≠−1
¿412
v−2+1
−2+1
Sustituimos en la ecuación
v=(u2−1 ) , u=tan( x2 )
¿412
( tan 2( x2 )−1)−2+1
−2+1
Simplificamos
¿− 2
tan2( x2 )−1
¿ tan ( x )−¿ 2
tan2( x2 )−1¿
Agregamos una constante a la solución
Si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Y así obtenemos, Finalmente
¿ tan ( x )−¿ 2
tan2( x2 )−1+C ¿
Ejercicio 3
∫ x3−1x−1
dx
Necesitamos simplificar esta integral, aprovechemos el factor de diferencia de cubos y elevemos −1
del numerador a 3. Tenemos entonces:
∫ x3−1x−1
dx
Ahora podemos simplificar cancelando (x-1) así:
∫ (x−1)(x2+x+12)x−1
Y tenemos:
∫ x2+x+1
Podemos reescribir la integral usando la propiedad aplicada:
∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx
∫ x2+∫ x+∫ 1
Las primeras dos integrales se resuelven teniendo en cuenta la propiedad aplicada:
∫ xn= xn+1
n+1
Aplicamos
x3
3+ x2
2+∫ 1
La integral de una constante es inmediata, tenemos:
Propiedad aplicada ∫ k dx=kx+c
x3
3+ x2
2+ x
Realizando la suma
2x3+3 x2+6 x6
Extrayendo el factor común:
16x (2x2+2 x+6 )
Agregamos una constante a la solución
Si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Y así obtenemos, Finalmente
16x (2x2+2 x+6 )+C
Ejercicio 4
∫ [2 sech ( x ) tanh (x )−x ]dx
Tenemos una constante que esta multiplicado, podemos sacarla fuera de la integral
Propiedad aplicada∫ kf (x )=k∫ f (x )
2∫ sech (x ) tanh ( x )−x
Y aplicando:
∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx
2∫ sech (x) tanh ( x )−∫ x
La integral de sech(x) tanh(x) la obtenemos de forma inmediata
Propiedad aplicada ∫ sech ( x ) tanh ( x )=−sech (x)
−2 sech (x )−∫ x
La última parte se resuelve de forma inmediata
Propiedad aplicada ∫ xn= xn+1
n+1
−2 sech (x )− x2
2
Agregamos una constante a la solución
Si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Y así obtenemos, Finalmente
−2 sech (x )− x2
2+C
El conjunto de todas las anti derivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota
por el símbolo ∫ f ( x )dx=f ( x )+CResolver las siguientes integrales indefinidas:
Ejercicio 5
∫(5¿¿ x−4x)dx¿
Podemos separar esta integral en 2, dado que se están restando, tenemos entonces:
Propiedad aplicada ∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx
∫5x−∫ 4x
Ambas integrales se resuelven de manera inmediata, con la misma propiedad
Propiedad aplicada ∫ ax dx= ax
ln (a)
Tenemos entonces:
5x
ln(5)− 4 x
ln (4)
Agregamos una constante a la solución
Si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Y así obtenemos, Finalmente
5x
ln(5)− 4x
ln (4 )+C
Ejercicio 6
∫ (xe+ex )dx
Podemos separar esta integral en 2, dado que se están sumando, tenemos entonces:
Propiedad aplicada ∫ [kf ( x )±kg ( x )]dx=∫kf ( x )+∫kg (x )dx
∫ xe+∫ ex
Tenemos una función elevada a un número (número e), podemos aplicar:
Propiedad aplicada ∫ xndx= xn+1
n+1
Desarrollamos:
x1+e
1+e+∫ex
La integral faltante es igual a la función:
Propiedad aplicada ∫ exdx=ex
x1+e
1+e+ex
Agregamos una constante a la solución
Si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+C
Y así obtenemos, Finalmente
x1+e
1+e+ex+C
Ejercicio 7
∫17
√1−x2dx+√ (x2+1 )2
dx
Aplicamosla reglade la suma: ∫ f ( x )±g ( x )dx=∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
¿ ∫ 17
√1−x2dx+ ∫ √ (x2+1 )2dx
∫17
√1−x2dx=17 arcsin ( x)
Sacamosla constante aplicando laformula : ∫ a· f ( x )dx=a· ∫ f (x )dx
¿17 ∫1
√1+x2dx
Aplicamosla reglade integracion : ∫1
√1−x2dx=arcsin (x )
¿17 arcsin (x )
∫ √(x2+1 )2dx= x3
3+x
∫ √(x2+1 )2dx
√ (x2+1 )2=((x2+1 )) , asumiendo que (x2+1 )≥0
¿ ∫ (x2+1 )dx
Aplicamosla reglade la suma: ∫ f ( x )±g ( x )dx=∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
¿ ∫ x2dx+ ∫ 1dx
∫ x2dx= x3
3
∫ x2dx
aplicamos laregla de la potencia : ∫ xadx= xa+1
a+1, a≠−1
¿ x2+12+1
simplificado= x3
3
∫ 1dx=x
∫ 1dx
integral deunaconstante : ∫ f (a )dx=x · f (a )
¿1 x
Simplificado:=x
¿ x3
3+x
¿17 arcsin (x )+ x3
3+x
agregamos unaconstante ala solucion :
¿17 arcsin (x )+ x3
3+x+C
Ejercicio 8
∫tan ( x )
Se n2 (x ) sec ( x )+cos ( x )dx
Aplicamoslaintegracion por partes : ∫ uv '=uv− ∫ u ' v
u=tan ( x )
Sen2 ( x ) sec (x )+cos ( x ),u '=cos ( x ) , v '=1 , v=x
¿tan (x )
Se n2 ( x ) sec ( x )+cos ( x )x−cos ∫ ( x ) xdx
¿x tan (x)
cos ( x ) s nⅇ ( x ) tan ( x )−cos ∫ ( x ) xdx
∫ cos ( x ) xdx=xsen (x )+cos (x )
cos ∫ ( x ) xdx
aplicamos laintegracion por partes : ∫ uv '=uv− ∫ u ' v
u=x ,u'=1 , v '=cos (x ) , v=sen (x)
¿ xsen ( x )− ∫ 1 sen ( x )dx
¿ xsen ( x )− ∫ sen ( x )dx
∫ sen ( x )dx=−cos (x )
∫ sen ( x )dx
aplicamos laregla de integracion: ∫ sin(x )dx=(−cos(x ))
¿−cos (x)
xsen ( x )−(−cos ( x ))
Simplificado:=xsin ( x )+cos (x)
¿x tan (x)
cos ( x ) s nⅇ ( x ) tan ( x )−(xsen ( x )+cos (x ))
Simplificado:−xsen (x )−cos ( x )+ x tan(x )cos ( x ) s nⅇ ( x ) tan ( x )
Agregamosunaconstante a lasolucion−xsen ( x )−cos ( x )+ x tan ( x )cos (x ) s nⅇ ( x ) tan (x )
+C
Ejercicio 9. Encuentre el valor promedio de la función g ( x )=|x|−1 en el intervalo [-1,1].
Para solucionar este ejercicio usaremos el teorema del valor medio
gprom=1
b−a∫a
b
g (x )dx
gprom=1
1−(−1)∫−1
1
(|x|−1)dx
gprom=12∫−1
1
|x|dx−12∫−1
1
dx
gprom=12 (∫
−1
0
(−x)dx+∫0
1
xdx)−12∫−1
1
dx
gprom=12 (−x2
2 ]−1
0
+ x2
2 ]0
1
)− x2 ]
−1
1
gprom=12 ((−(0)2
2−
(−1)2
2 )+((1)2
2−
(0)2
2 ))−( (1 )2
−(−1 )
2 )gprom=
12 ( 1
2+ 1
2 )− (1 )
gprom=12−1
gprom=−12
=0,5
Ejercicio 10. La velocidad de un objeto lanzado verticalmente al aire está dado por V ( t )=64−32t m/seg., donde t es el tiempo en segundos, calcule la velocidad promedio, según sea el caso:
a) Durante el primer segundo
V prom= 1b−a
∫a
b
g (x)dx V prom= 11−0
∫0
1
(64−32 t)dx
V prom=1∫0
1
(64−32 t)dx V prom=∫0
1
(64 t−32t 2
2)|10
V prom=[(64 (1 )−32 (1 )2
2 )−(64 (0)−32(0)2
2 )] V prom=48m /seg
b) Entre t = 1 y t = 3 segundos
V prom= 1b−a
∫a
b
g (x)dx V prom= 13−1
∫1
3
(64−32 t)dx
V prom=12∫1
3
(64−32t)dx V prom=12∫1
3
(64 t−32 t 2
2)|31
V prom=12 [(64 (3 )−32 (3 )2
2 )−(64 (1)−32(1)2
2 )] V prom=1
2[ 0 ] V prom=0m / seg
Ejercicio 11. Dado P ( x )=∫1
x2
sen ( t )dt . Utilice el teorema fundamental del calculo para encontrar la derivada
de P ' ( x ) .
P ( x )=∫1
x2
sen (t )dt
Utilizamos la formula del teorema fundamental del calculo
ddx
∫a
u ( x )
f (t )dt=f (u ( x ) )∗u ' ( x )
ddx
∫1
x2
sen (t )dt=sen (x2 )∗2 x
¿2 x∗sen (x2)
Ejercicio 12.
∫−π
π
¿¿
calculamos laintegral indefinida : ∫ ¿
∫ ¿
usamos la siguiente identidad :¿
¿∫1+sen (2x )dx
aplicamos laregla de la suma: ∫ f (x )±g(x )dx= ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx
¿ ∫ 1dx+ ∫ sin (2x )dx
∫ 1dx=x
∫ 1dx
integral deunaconstante : ∫ f (a)dx=x · f (a)
¿1 x
Simplificado:=x
∫ sen (2 x )dx=−cos (2x )2
∫ sen (2 x )dx
aplicamos integracion por sustitucion : ∫ f (g(x )) · g '( x)dx= ∫ f (u)du ,u=g(x )
u=2x :du=2dx ,dx=12du
¿ ∫ sen(u) 12du
∫sin (u )
2du
Sacar la constante : ∫ a · f (x )dx=a · ∫ f ( x)dx
¿ 12∫ sen (u )du
aplicamos laregla de integracion : ∫ sin(u)du=(−cos (u))
¿ 12(−cos (u ))
Sustituimos enla ecuacionu=2 x
¿ 12(−cos (2x ))
Simplificando:=−cos (2 x )
2
¿ x−cos (2 x )
2
agregar unaconstante ala solucion¿ x−cos (2 x )
2+C
calculamos los limites :∫−π
π
¿¿
∫a
b
f ( x )dx=F (b )−F (a )=lim ¿x→b−¿ (F ( x ) )−lim ¿x→a+¿( F ( x ))¿ ¿¿¿
lim ¿x→−π+¿( x− cos ( 2x )
2 )=−12
−π¿¿
lim ¿x→−π+¿( x− cos ( 2x )
2 )¿¿
sustituir lavariable :¿−π−cos¿¿¿
Simplificado:=−12
−π
lim ¿x→π−¿( x− cos (2x )
2 )=π−12¿¿
lim ¿x→π−¿( x− cos (2x )
2 )¿¿
Sustituir la variable :¿ π−cos (2 π )
2
Simplifificar¿ π−12
¿ π−12−(−1
2−π )
Simplificar :¿2π
CONCLUSIONES
REFRENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Instituto ISIV. (1 de diciembre de 2010). Integrales Indefinidas: Definición - Matemáticas II.
[video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=tB0NQate3wE
Ríos, J. (20 de agosto de 2011). Ejercicio de integral indefinida. [video]. Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=6Yer--EF1EY
Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/
Videos_en_texto_Unidad_1.pdf
Ríos, J. (29 de julio de 2012). Teorema Fundamental del Cálculo. [video]. Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/
Videos_en_texto_Unidad_1.pdf