Bicondicional
↔
Doble Implicación
Clase 25 - Leonel Morales – [email protected] – [email protected] 24 / Septiembre / 2014
Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
Dos fórmulas son Equivalentes Lógicas Si y sólo si:
Para cada valor de verdad asignado Mismo valor de verdad funcional
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Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
Dos fórmulas son Equivalentes Lógicas Si y sólo si:
Para cada valor de verdad asignado Mismo valor de verdad funcional
Esencialmente: Si tienen la misma tabla de verdad
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Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
Ejemplos:
DeMorgan: ~(P v Q) ↔ (~P & ~Q) (~P v ~Q) ↔ ~(P & Q)
Definición de Condicional: (P → Q) ↔ (~P v Q) (P v Q) ↔ (~P → Q)
Exportar e Importar: ((R & T) → M) ↔ (R → (T → M))
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Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
Es válida en las dos vías:
(S → K) ↔ (~K → ~S) (~K → ~S) ↔ (S → K)
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Bicondicional
↔ Equivalencia Lógica
Es válida en las dos vías:
(S → K) ↔ (~K → ~S) (~K → ~S) ↔ (S → K)
Recordar: Consecuencia lógica (((R & T) & (T → Q)) → Q)
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Bicondicional
↔ El Bicondicional
Bicondicional: También llamado «doble implicación»
Si dos fórmulas son equivalentes lógicos Bicondicional de ambas es tautología
Ejemplos: (~A & ~B) ↔ ~(A v B)
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Bicondicional
↔ Tabla de Verdad
El Bicondicional
P Q P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Bicondicional
↔ Tabla de Verdad
El Bicondicional
P Q P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Otra forma
P Q P→Q Q→P (P→Q) & (Q→P)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1
Bicondicional
↔ Tabla de Verdad
El Bicondicional
P Q P↔Q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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Otra forma
Bicondicional esequivalente lógico de:
((P→Q) & (Q→P))
P Q P→Q Q→P (P→Q) & (Q→P)
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1
Bicondicional
↔ Recordatorio Reglas de sintaxis de lógica simbólica Una fórmula es lógica si sigue estas reglas:
1. Toda proposición atómica es una fórmula lógica2. Si φ es una fórmula lógica entonces φ también lo es3. Si φ y ψ son fórmulas lógicas entonces también lo son
1. (φ & ψ)2. (φ v ψ)3. (φ ψ)4. (φ ψ)
4. Cualquier expresión de proposiciones es fórmula lógica si puede ser construida por aplicaciones de las primeras 3 reglas
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Bicondicional
↔ Recordatorio Reglas de sintaxis de lógica
simbólica Una fórmula es lógica si sigue estas
reglas:1. Toda proposición atómica es una
fórmula lógica2. Si φ es una fórmula lógica entonces
φ también lo es3. Si φ y ψ son fórmulas lógicas
entonces también lo son1. (φ & ψ)2. (φ v ψ)3. (φ ψ)4. (φ ψ)
4. Cualquier expresión de proposiciones es fórmula lógica si puede ser construida por aplicaciones de las primeras 3 reglas
Versión corta:
FL = Fórmula Lógica
P, Q, R, S, etc., son FLSon proposiciones atómicas
~FL es FL
1. FL & FL es FL2. FL v FL es FL3. FL FL es FL4. FL FL es FL
Cualquier derivadode las anterioreses FL
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Bicondicional
↔ Otro Recordatorio
Árboles de Verdad
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(P v Q) (P & Q) (P Q)
P QPQ
~P Q
~(P v Q) ~(P & Q) ~(P Q)
~P~Q
~P ~QP
~Q
Bicondicional
↔ Otro Recordatorio
Árboles de Verdad
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(P v Q) (P & Q) (P Q)
P QPQ
~P Q
~(P v Q) ~(P & Q) ~(P Q)
~P~Q
~P ~QP
~Q
(P Q)
PQ
~P~Q
~(P Q)
P~Q
~PQ
Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
Eliminación de Bicondicional
Izquierda
Derecha
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p1. (φ ψ) p2. ψ c. φ EL: p1, p2
p1. (φ ψ) p2. φ c. Ψ ER: p1, p2
Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
Introducción de Bicondicional
Asumiendo antecedentes
Con dos premisas
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a1. φ Se asume … p1. ψ
a2. ψ Se asume … p2. φ
c. (φ ψ) I: p1, p2
p1. φ p2. ψ c. (φ ψ) I: p1, p2
Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
Conmutatividad del Bicondicional
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p1. (φ ψ) c. (ψ φ) Conm: p1
Bicondicional
↔ Reglas de Derivación
Reemplazo de Equivalentes
Ejemplo:
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p1. (φ ψ) p2. …φ… c. …ψ… RE: p1, p2
1. (Q T) Premisa 2. (T (P v R)) Premisa 3. (Q (P v R)) RE: p1, p2
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